Kapitel 3 Matematik 3c

8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c

1/29

Kapitel 3

3101

a) C och F , eftersom punkterna på grafen intill dessa

punkter är större än C och F .

b) C , eftersom den har det minsta y -värdet.

c) A och E , eftersom punkterna på grafen intill dessa

punkter är mindre än A och E .

d) A, eftersom den har det största y -värdet.

e) A, C, E och F utgör extrempunkterna.

3102

a) f (0) = 5

b)

3103

a) a och d eftersom punkterna på grafen intill dessa punkter

är större än a och d.

b) d eftersom vi ser att d är mindre än a. Dessutom vet vi att

grafen stiger utanför intervallet eftersom det endast finns

tre extrempunkter.

c) b, eftersom punkterna på grafen intill dessa punkter är

mindre än b.

d) Eftersom funktionen är definierad för alla reella tal så

kommer maxvärdet att gå mot oändligheten då talet x går

mot +/– oändligheten.

3104

a) (–2, –2) och (2, –1) eftersom punkterna på grafen intill

dessa punkter är större.

b) (–2, –2) minst y -värde.

c) (0, 1) och 3, 3) eftersom punkterna på grafen intill dessa

punkter är mindre.

d) (4, 3) ger störst y -värde.

e) (–2, –2), (0, 1), (2, –1) och (4, 3) d.v.s. samlingen av

lokala max- och minpunkter.

3107

a) För x = 1 då är grafen parallell med x -axeln och

derivatan är lika med noll.

b) Positiv eftersom grafen stiger.

c) För x < 1.

d) I intervallet 1 ≤ x .

3108

a) För x = 0 och x = 2.

b) Negativ, grafen lutar neråt.

c) Inom intervallet vi ser så är funktionen avtagande i

intervallet 0 ≤ x ≤2.

d) Inom intervallet vi ser så är funktionen växande i

intervallen x ≤0 och 2 ≤ x .


2/29

3109

a) Först förenklar vi funktionen: y = 3 x 2 – 30 x = 3 x ( x – 10)

Eftersom funktionen är av grad två vet vi att det endast

kommer finnas en extrempunkt och att den kommer ligga

mitt emellan två punkter med samma y -värde. Vi väljer y -

värdet noll och ser att x måste vara noll eller tio dåeftersom: y = 3 ∙ 0 ∙ (0 – 10) = 0, y = 3 ∙ 10 ∙ (10 – 10) = 0.

Därför så måste extrempunkten ha x -värdet mitt emellan

d.v.s. 5.

b) Eftersom x 2 termen inte har något minus tecken framför

sig kommer grafen ha en minpunkt vilket gör att derivatan

kommer vara negativ till vänster om extrempunkten.

c) Här blir det tvärt om, d.v.s. positiv derivata.

d) För 5 ≤ x .

3110

a) För x ≤ 0 och 2 ≤ x .

b) Noll, det står i tabellen.

c) Negativ.

d) Två, står i tabellen.

3111

a) –3 och 1 (ungefär).

b) För –3 0.

c) Eftersom derivatan först stiger och sedan avtar.

3116

a)

b)

c) Negativt, eftersom det inte finns ett minustecken framför

x 2-termen.

d) Positivt, annars blir det inte en glad mun .

e) Minpunkt eftersom det är en glad mun.

3117

a) x = –2 och x = 3, från tabellen

b) (–2, 4) är en maxpunkt eftersom grafen först stiger sen

avtar. (3, –2) är en minpunkt eftersom funktionen först

avtar sen stiger.

c) Se figur i facit.


3/29

3118

a) y ¢ = 3 x 2 – 12 = 0 x = ± (12 / 3) = ±2

b) –3 < –2 ⇒ y ¢ = 3 ∙ (–3)2 – 12 = 27 – 12 = 15

–2 < 0 < 0 ⇒ y ¢ = 3(0)2 – 12 = –12

2 < 3 ⇒ y ¢ = 3(3)2 – 12 = 27 – 12 = 15

x –2 2

f ¢ ( x ) + 0 – 0 +

c)

Extrempunkternas koordinater blir därför, (–2, 16) och

(2, 16).

d)

3119

a) Först hittar vi derivatans nollställen:

y ¢ = 227 3 0 (27 / 3) 3 x x − = ⇔ = = ±

Sen beräknar vi derivatans tecken på sidan om nollställen:

x = –4 < –3 ⇒ y ¢ = 27 – 3(–4)2 = 27 – 48 < 0

–3 0

3 0

0


4/29

3120

a) Först beräknar vi derivatans nollställen:

y ¢ = 3 x 2 – 12 x = x ( x – 4) = 0 ⇔ x = 0, x = 4

Därefter bestämmer vi ifall de är max-/minpunkter

x = –1 < 0 ⇒ y ¢ = 3(–1)2 – 12(–1) = 15 > 0

0


5/29

3123

a) Först beräknar vi derivatans nollställen:

y ¢ = 9 x 2 + 9 > 9 > 0

Här ser vi att derivatan aldrig är noll utan att den är som

minst 9, då x =0, och stiger då x stiger/avtar.

Istället räknar vi ut några punkter:

och med hjälp av dem skissar vi grafen:

b) Derivatans nollställen: y ¢ = 4 x 3 – 12 x 2 = 0 ⇔ x = 0,

eller y ¢ = x – 3 = 0 ⇔ x = 3.

Om x är mindre än noll blir derivatan negativ.

Är den mellan noll och tre, t.ex. 1, blir den även då negativ

vilket betyder att vid x = 0 har vi en terrasspunkt. Om x är

större än tre då blir istället derivatan positiv vilket betyder

att då x = 3 har vi en minpunkt. Grafen ser därför ut såhär:

3124

a) Grafens derivata är först negativ, sen 0 då x = 0, och

därefter positiv. Grafen av derivatan bör därför se ut såhär:

b) Här gäller det omvända, d.v.s. derivatan är först positiv,

sen 0 då x = a, och därefter negativ. Grafen blir därför

såhär:

3125

a) Om vi börjar med y = x 3 ser vi att derivatan blir y ¢ = 3 x 2,

hade det funnits en positiv konstant term också så hade

derivatan aldrig kunnat bli lika med noll. Vi lägger därför

till termen x och får då funktionen y = x 3 + x , vilken saknar

extremvärden.

b) Vi utgår ifrån y = x 3 igen dess derivata y ¢ = 3 x 2. Vi vet att

pq-formeln har två olika lösningar och vill därför ha en till

x -term i derivatan. Detta får vi genom att addera en x 2-term

till funktionen. En funktion skulle därför kunna vara

y = x 3 + x 2.


6/29

3126

a) Först beräknar vi derivatan, utan att bry oss om

konstanten a: f ¢ = 3 x 2 – 2ax

Vi vet att då x = –2 blir derivatan noll för ett visst a:

f ¢ (–2)= 3(–2)2 – 2a(–2) = 3 ∙ 4 + 4a = 0

vilket vi ser är då a = –3.

För att ta reda på ifall punkten är max/minpunkt kan vi titta

på andra derivatan. Ifall den är positiv så ökar derivatan och

därför måste det vara en minpunkt och tvärt om ifall andra

derivatan är negativ. Andra derivatan är:

f ¢¢ ( x )= 3(2) x – 2a = 6 x + 6

f ¢¢ (–2) = –12 +6 < 0

Därför är det en maxpunkt.

3127

a) Vi undersöker detta genom att titta på derivatan och se

för vilka värden på a som derivatan inte kan anta värdet

noll.

y ¢ = 3 x 2 + 2ax + 1 = 0

x = 2 2(2 / 6) (2 / 6) (1 / 3) 1 / 3 ( 3) / 9a a a± − = ± −

Vi ser från detta att , d.v.s. att

absolutvärdet av a måste vara < 3 .

b) Om det bara finns en extrempunkt i grafen till ett

tredjegradspolynom, d.v.s. ett sådant vi har, måste

extrempunkten vara en terrasspunkt eftersom funktionen

ska gå mot plus oändligheten åt ena hållet och mot minus

oändligheten åt andra hållet. Vi ser av beräkningarna i

a-delen att derivatan endast har ett nollställe då

c) Sista fallet, då grafen har två extrempunkter får vi då a är

större än roten ur tre eller mindre än minus roten ur tre.

3128

a) Vi börjar med att derivera funktionen och hitta vilka a-

och b-termer som får derivatan att vara 0 då x = 1 med

y -värdet = 2

y ¢ = 3ax 2 + b = 3a + b = 0 ⇔ b = – 3a

2 = y = ax 3 + bx = a(1)3 – 3a(1) = –2a ⇔ a = –1, b = 3

För att ta reda på ifall extrempunkten är en max- eller

minpunkt tittar vi på andra derivatan som i uppgift 3126:

y ¢¢ = 2(3ax ) = –6 x

x = 1 ⇒ y ¢¢ = –6

vilket gör att derivatan vänder neråt och att vi har en

maxpunkt.

3129

Vi beräknar värdet för de olika potenserna och jämför dem. x x 2 x 3

200 200 40 000 8 000 000

0,1 0,1 0,01 0,001

0,5 0,5 0,25 0,125

3130

Då x går mot oändligheten kommer x 3-termen vara oändligt

mycket större än de andra termerna och vi kan därför

ignorera dem. x 3 kommer gå mot plus oändligheten ifall det

inte står något minustecken framför termen. Nu ser vi frångrafen att funktionen går mot minus oändligheten och

därför måste det stå ett minustecken framför x 3-termen.

3131

a) x 3-termen eftersom den har högst potens.

b) Konstant termen ifall x är mindre än en femtedel.

c) Grafen bör se ut som denna:


7/29

3132

a) Utnyttja att x 3-termen dominerar för stora x tillsammans

med att beräkna funktionens extrempunkter för att skissa

grafen.

y ¢ = 3 x 2 – 2(2 x ) – 1 = 3 x 2 – 4 x – 1 = 0

x = 2(4 / 6) (4 / 6) (1 / 3) 2 / 3 (7 / 9)± + = ±

Eftersom x 3-termen inte har något minus tecken framför sig

måste den första extrempunkten vara en maxpunkt och den

andra en minpunkt. Från detta kan vi skissa:

3133

a) Inget minustecken framför x 3-termen betyder att den

börjar längst ner till vänster och slutar längst upp till höger i

ett koordinatsystem. För att få reda på vad som händer

däremellan beräknar vi extrempunkterna.

y ¢ = 3 x 2 + 2(3 x ) = 3 x ( x +2) = 0 ⇔ x =0, x = –2

Och som tidigare vet vi att den första är en maxpunkt och

att den andra är en minpunkt. Grafen kan vi därefter rita

och bör se ut som denna:

3134

Vi kan direkt räkna bort C och D eftersom de inte är

tredjegradsfunktioner. Ett trick som sedan kan användas är

att ifall x 2-termen har ett minustecken framför sig ”flyttar

sig” grafen åt höger. Eftersom vår graf är flyttad åt vänster

måste det vara ett plustecken framför x 2

-termen och därförstämmer A.

3135

Vi vet att grafen kommer starta längst ner till vänster och

stiga upp till det högra hörnet i ett koordinatsystem

eftersom det inte finns ett minus-tecken framför x 3-termen.

För att hitta extrempunkterna tittar vi på derivatan.

f ¢ ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 8 = 0

x = ( 2 / 6) (1 / 9) (8 / 3) ( 1 / 3) (5 / 3)− ± + = − ±

Vi stoppar in dessa x -värden i funktionen för att hitta

y -värdena vid extrempunkterna.

Vilket ger grafen:


8/29

3136

a) Den med högst potens, d.v.s. x 4-termen.

b) Konstanttermen, d.v.s. den med lägst potens.

c) Då x går mot plus och minus oändligheten går y motoändligheten eftersom minustecknet försvinner i x 4-termen.

Vi tittar på derivatan för att beräkna eventuella

extrempunkter.

y ¢ = 4 x 3 – 12 x = 4 x ( x 2 – 3) = 0 ⇒ x =0, x =± 3

Vi stoppar in dessa x -värden för att hitta extrempunkternas

y -värden.

Eftersom grafen börjar längst upp till vänster måste den

första extrempunkten vara en minpunkt, den andra en

maxpunkt och den sista en minpunkt också vilket stämmer

överens med våra y -värden. Grafen blir därför som denna:

3137

Direkt kan vi säga att den troligen inte kommer ha det

eftersom en fjärdegradsfunktion som har tre nollställen ska

ha sin mellersta (andra) extrempunkt precis på x -axeln

vilket är ovanligt. Men eftersom det ändå kan hända tittar vi

på y -värdena av extrempunkterna.

y ¢

= –4 x 3

+ 56 x = 4 x ( x 2

– 16) = 0 ⇒ x =0, x

=±4

Eftersom alla extrempunkter har y -värden som är större än

noll har funktionen två nollställen.

3138

a) Vi ser direkt att då x är noll, sex eller tio kommer en av de

3 termerna i funktionen bli noll och funktionen som helhet

också.

b) Fram till x = 0 är alla termer negativa vilket gör attgrafen som helhet är det också. Mellan noll och sex är en

term positiv och de två andra negativa, vilket gör att

funktionen som helhet blir positiv. Mellan sex och tio är två

termer positiva vilket gör att funktionen blir negativ. Då x är

större än tio är alla termer positiva vilket gör att funktionen

som helhet blir det också. Med hjälp av detta kan vi skissa:

c) Från texten ovan vet vi att funktionen är positiv mellan

noll och sex samt även efter tio.

3139

Eftersom koefficienten framför x 3-termen är negativ startar

grafen längst upp till vänster och stiger därefter. Därför är

grafen positiv innan –2 och mellan 1 och 4. Grafen ser ut

som denna:


9/29

3140

a) Först drar vi ut den största gemensamma potensen och

därefter fortsätter vi:

b) Vi ser direkt från den faktoriserade funktionen att

ekvationens nollställen är x = 0, x = –2 och x = 4.

c) Eftersom x 4 har ett minustecken framför sig kommer den

börja längst ner till vänster. Vid x = –2 kommer den gå över

till positiva y -värden. Vid x = 0 har vad som kallas en

dubbelrot eftersom x 2 =0. Vad detta betyder är att grafen

bara nuddar x -axeln innan den börjar stiga igen. Först vid x

lika med fyra vänder funktionen ner och blir negativ. Därför

är funktionen positiv mellan –2 och 4.

3141

Genom att veta tre nollställen kan vi skapa en funktion via

faktorisering: där c är en

konstant som vi bestämmer med hjälp med den sista

punkten i tabellen.

Vi ser nu att konstanten framför x 3-termen är negativ vilket

gör att funktionen är positiv för x mindre än –3 samt mellan

x = –1 x = 4. Vilket ger grafen:

Vilket är grafen av

3142

Genom att titta först skissa en graf som liknar – x 4 grafen och

därefter sudda ut delen för små x och istället rita in x 3

grafen får vi en graf som liknar:

b) f ¢ ( x ) = 12 x 2 – 12 x 3 = 12 x 2(1 – x ) = 0 ⇒ x =0, x

=1

Extrempunkterna blir maxpunkten (1, 1).

3145

Minsta värdet hittar vi vid x = 3, då är y = –27.Största värdet hittar vi vid x = –1, då är y = 37.

3146

Eftersom en andragradsfunktion har maximalt ett lokalt

extremvärde räcker det att jämföra det lokala extremvärdet

(då x = 3) med randvärdena ( x = 1 och x = 6).

3147

a) y ¢ = 20 – 10 x = 0 ⇔ x = 2

b)

c)

d) Funktionens största hittas vid x = 2( y (2) =20) emedan

det minsta hittas vid randpunkterna ( y (0) = 0).


10/29

3148

a) Vi ser att grafen är parallell med x -axel då x = 5 och 9.

b) y -värdet är som störst 11.

c) Nej, f (2) = 5 medan f (9) = 2.

3149

Först vi beräknar vi nollstället för derivatan:

y ¢ = 2 x – 2 = 0 ⇔ x = 1. Nu testar vi randpunkterna och

det lokala extremvärdet för att se vilka y -värden de ger.

Vi ser att största funktionsvärdet är 3 medan det minsta

är –1.

3150


y ¢ = 6 x 2 – 24 = 0 ⇔ x =± 4 . Nu testar vi randpunkterna

och lokala extremvärdet för att se vilka y -värden de ger.

Vi ser att största funktionsvärdet är 138 medan det minsta

är –24.

3151

Se facit.

3152


f ¢ ( x ) = 3 x 2 – 2 x – 1 = 0 ⇔

Nu testar vi randpunkterna och det lokala extremvärdet för

att se vilka y -värden de ger.

a)

Vi ser att största funktionsvärdet är 4 då x = 2.

b) Här ser vi att y är minst (=1) då x = 1.

3153

Först vi beräknar vi nollstället för derivatan,

y ¢ = 12 x 2 – 780 x + 12000 = 0

⇔


att se vilka y -värden de ger.

Vi ser att största funktionsvärdet är 125 000 då x = 50

medan det minsta är 112 000 då x = 40.

3154

Eftersom derivatan är två, konstant, vet vi att funktionen är

en rät linje som har k-värdet 2.

x = 0 ⇒ y = 3

x = 1 ⇒ y = 3 + 2

x = 2 ⇒ y = 3 + 2 + 2

x = 3 ⇒ y = 3 + 2 + 2

x = 4 ⇒ y = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11


11/29

3155

Ifall funktionens minsta värde ligger i en av ändpunkterna

men ändpunkten tillhör inte intervallet. Ett exempel är

funktionen har inget minsta värde

eftersom –1 inte tillhör intervallet.

3156


f ¢ ( x )= 24 x – 12 x 2 – 12 x 3 = 0 ⇔ x 0 = 0


att se vilka y -värden dem ger.

Vi ser att största funktionsvärdet är 13 vid x = –1 och att det

minsta värdet infaller då x = 2, men den punkten tillhör

inte intervallet så en minsta punkt finns inte.

3157

Vi kommer lösa den här uppgiften algebraiskt.

a får därför minst vara noll och max vara 1,5.

3202

a) y ¢ = 9,6t + 9,6 = 0 ⇔ t = 1

b)

3203

a) Vi söker derivatans nollställe:

y ¢ = 1000 – 10 x = 0 ⇔ x = 100 kr.

b) kr.

3204

Likformighet ger:

a) Vi söker nollställen och tar medelvärdet av dem för att

hitta x -

koordinaten. cm

cm/dygn

b) y ¢ = 0,00035 ∙ 260 – 0,0007 x = 0 ⇔ x = 130

c) Först ritas kurvan därefter letar du efter dy /dx -funktion

som ofta ligger under GRAPH på miniräknaren.

3205

y ¢ = 2,1 – 0,82 x = 0 ⇔ x = 2,6

3206

a)

b)

c) Vi letar efter derivatans nollställe och beräknar y -värdet

där: y ¢ = 0,5t – 2 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ 0,25(4)2 – 2(4) +2 = –2°

Så det är kallast klockan 4 då det är –2°. Vi vet även att

ändpunkten t = 12 ger det största värdet 14°.

3207

a)

b) Se uppgift a).

c) Arean > 0 vilket ger att 0


12/29

3208

a)

b) Vi vet att arean inte kan bli därför får tre gånger x inte

vara större än 420, vilket leder till att x max får vara 140 m.

Samtidigt får x inte vara negativ eftersom bredden får inte

vara negativ heller.

c) A¢ ( x )= 420 – 6 x = 0 ⇔ x = 70

A(70) = 70(420 – (3 ∙ 70)) = 14 700 m2

3209

Vi kan avläsa att tangenten lutar neråt med k-värde –1. Det

betyder att temperaturen minskas med 1 grad per timme.

3210

a) Dagens intäkter är en funktion av volym och pris. Därför

blir I ( x ) = 28 x

b) tkr

c) V ¢ ( x )= 15 + 12 x – 3 x 2 = x 2 – 4 x – 5 = 0 ⇔

3211

a)

b)

c) A¢ ( x )= 36 – 4 x = 0 ⇔ x = 9

3212

a) Arean för triangeln längst ner till höger kan beskrivas

av:

För triangeln längst ner till vänster blir arean:

Och För den övre triangeln blir arean:

Totalt blir arean för de tre trianglarna:

12 x +8 x – x 2 + 96 – 8 x = 96 + 12 x – x 2

b) A = Rektangelns area – Trianglarnas area =

c) För att figuren fortfarande ska vara en rektangel måste

0 ≤ 2 x ≤ 16 och 0 ≤ x ≤12, vilket ger att 0 ≤ x ≤8.

d) A¢ ( x )= Vilket ger minimivärdet

3213

a)

b)

c) Eftersom h + r = 12 och radien måste vara positiv så är

definitionsmängden 0 < r < 12.

d) V ¢ (r)=

e) V ¢ (r)= = 8r – r2 ⇔ r(8 – r) ⇒ r = 0, r = 8

Men eftersom r inte får vara noll blir måtten blir radien

åtta cm och höjden 12 – 8 = 4 cm.

3214

Se facit.


13/29

3215

För att besvara denna fråga deriverar vi funktionen och

försöker sätta den till 4.

y ¢ =

Vilket inte går i den här uppgiften eftersom vi inte kan taroten ur ett negativ tal.

3216

a)

b)

c) Vi beräknar minimipunkten med hjälp av derivata.

S¢ ( x )=

Vilket gör att x också blir 30m.

3217

Antag att kvadrater som skärs ut har sidan x . Då skulle

volymen förklaras av: y ¢ = 3 x 2 + 2 x – 2 = 8 ⇔

V ¢ ( x ) = 8000 – 520 x + 6 x 2 = 0 ⇔

Om x hade varit 66,7 cm hade bredden varit större än

största möjliga (50=100/2). Därför måste kvadrantens

sidor vara 20 cm vilket ger den maximala volymen:

3218

Om vi mäter skillnaden som en funktion d( x ) blir den:

för att hitta största skillnaden beräknar vi

derivatans nollställe, d¢ ( x ) = 1 – 2 x = 0 ⇒ x = 0,5

3219

Jag tänker använda Pythagoras sats här för att först räkna ut

den sista sidans längd i triangeln.

m

Vidare kan vi utnyttja likformighet för att relatera

bottenytans bredd och längd. Låt tomtens horisontella

sträcka vara B = 42 – x , där x är den stora triangelns bas,

och dess vertikala sträcka vara y . Likformighet ger då:

Vi kan därför beskriva bottenarean:

Arean = A( x ) = (42 – x ) y = (42 – x ) ∙ (40/42) x =

= 40 x – 40/42 x 2 ⇒

⇒ A¢ ( x ) = 40 – (40/21) x = 0 ⇔ x = 21 ⇒ B = 21, y = 20

⇒ A(21) = 420 m2

3221

Triangelarean beskrivs av:

Vi letar efter derivatans nollställen:

A¢ ( x )=

Men eftersom arean är lika med noll då x är noll så beräknar

vi istället: cm2

3222

a) y = 3 – 0,5 x , eftersom y är lika med tre då x är noll och y

är lika med noll då x är sex.

b) Låt B vara rektangelns bredd och H vara rektangelns

höjd. Vi skaparen relation mellan B och H via likformighet:

Vi deriverar nu R med avseende på B:

R = H ∙ B = 0,5(6 – B) ∙ B = 3 B – B2 /2 ⇒ R = 3 – B ⇒ B = 3

Vilket ger arean: R = 0,5(6 – 3) ∙ 3 = 4,5

3223

Area = Bredden ∙ Höjden = 2 x ∙ ( 12 – x 2)

A¢ ( x )=

Men x kan inte vara negativt, vilket gör att max-värdet blir


14/29

⇔

3224

a) Funktionen har ett lokalt maximum.

b) Funktionen har ett lokalt minimum.

c) Funktionen har en terasspunkt på väg uppåt.

3225

a) Vi söker värdet då derivatan har samma lutning som

sekanten. Sekantens lutning är och

derivatan är:

y ¢

b) Ja för den här funktionen stämmer det, eftersom den är

ett polynom och därför kontinuerlig samt deriverbar i varjepunkt.

3226

a) Vi tittar på derivatan: f ¢ ( x ) = 3 x 2 – a > 0 för alla x

eftersom x 2 > 0 och –a > 0.

b) Vi hittar först derivatans nollställen,

f ¢ och runt dessa beräknar vi

derivatan.

f ¢ ( a− ) = 3a – a = 2a > 0

f ¢ (0) = 3(0) – a = –a < 0

f ¢ ( a ) = 3a – a = 2a > 0

Här ser vi att derivatan stiger till en maximipunkt för att sen

vända ner till en minimipunkt innan den vänder upp igen.

3227

Här utnyttjar vi derivatans definition men bortser från att h

ska gå mot noll och låter det istället vara 0,1, vilket gerfunktionen:

( f (1,1) – f (1))/0,1 = f ¢ (1) ⇔

3228

a) Priset bestäms av och vi vill

hitta derivatans nollställe.

b) P¢ ( x )

Biljettpriset som ger maximal intäkt är därför 65 kr.

3229

Här kan vi utnyttja likformighet. Om vi förkortar sträckan

mellan cylinderns topp och konens topp med h*, vet vi att

Vilket ger cylinderns höjd: så om viantar att cylinderns radie är r kan vi uttrycka cylinderns

volym med formeln:

Nu använder vi derivata: V ¢ (r)

Om radien hade varit noll

kommer volymen bli det också, men om radien är åtta blir

volymen:

3230

Från uppgiften får vi en formel med 3 okända och 3 villkorsom vi kan utnyttja för att hitta de okända konstanterna.

y = ax 2 + bx + c, y ¢ = 2ax + b

1) 0 = a(0)2 + b(0) + c ⇒ c = 0

2) y ¢ = 2a(0) + b = 1 ⇒ b = 1

3) 4 = a(1)2 + 1(1) = a + ⇒ a = 3

3231

Först beräknar vi derivatan och därefter kollar vi ifall

funktionen håller för den givna punkten.

y ¢ = –2 x , y ¢ (0) = –2(0) = 0 ≠2

3232

Den ledsna munnen kan beskrivas av och

den positiva munnen som är förskjuten till höger beskrivs av

eftersom både derivatan och funktionen

har ett nollställe för samma x . f ( x ) är definierad över

intervallet 0 ≤ x ≤ 10 medan g( x ) är definierad för x större

eller lika med 10. Vi vet även att , f (10) = g(10)

samt att f ¢ (10)= g¢ (10), vilket ger sambanden:

f (0) = a = 25

f (10) = 25 – 100b = 10 b = (25 – 10)/100 = 0,15

f ¢ (10)= –2(0,15)10 = –3

g¢ (10) = 2c(10 – d)

f ¢ (10)= g¢ (10) ⇔ –3 = 2c(10 – d) ⇔ c = –3/(20 – 2d)

g(10) = c(10 – d)2 = –3/(2(10 – d) ∙ (10 – d)2 =

= –3/2 ∙ (10 – d) = 10 ⇔

⇔ d = 10 + 20/3 = 50/3 ⇒ c = –3/(2(10 – 50/3))= 9/40


15/29

⇒

3235

a) y = x ⇒ y ¢ = 0,5 x –1/2

b) y = 1/ x + 5/ x 2 = x –1 + 5 x –2 ⇒ y ¢ = – x –2 – 10 x –3

3236

f ( x ) = 2 x 0,5 f ¢ ( x ) = x –1/2 = 1/ x ⇒ f ¢ (1) = 1/ 1 = 1

3237

y ¢ ( x ) = 2(–2) ∙ (1/ x 3) ⇒ y ¢ (2)= –4 ∙ 1/23 = –0,5

3238

a) y ¢

b) y ¢

3239

Först beräknar vi tangentens ekvation:

f ¢

3240

a)

b) ) y ¢ ( x )= 15/(2 x ) ⇒ y ¢ (100)= 15/20 = 3/4

Vilket betyder att när bilens bromssträcka är hundra m ökar

hastigheten med 3/4 kilometer per timme per meter.

3241

g¢

3242

a) Derivatan är y ¢ = 1 – (1/ x 2), vilket säger oss att

funktionen minskar i värde så länge –1


16/29

3244

Från funktionen ser vi att x > 0 eftersom vi inte kan ta roten

ur ett negativt tal. Med hjälp av derivatan,

f ¢ , ser vi att funktionen

först sjunker men vänder uppåt vid .

3245

a) Vi tittar på derivatan och ser ifall den går mot ett

asymptotiskt värde. lim x →±∞

y ¢2

5lim 4 4,

x x →±∞= − − = − vilket

betyder att asymptoten är y = 4 x .

b) Vi tittar på derivatan och ser ifall den går mot ett

asymptotiskt värde. lim x →±∞

y ¢2

10lim 0

( 1) x x →±∞= =

−, vilket

betyder att asymptoten ges av y = 4. Då x går mot 1 blirderivatan oändlig vilket betyder att det är en asymptot vid

x = 1 också.

3246

För att kunna göra detta skapar vi en funktion av uttrycket

och visar att funktionens minimivärde är 2 för x > 0.

y ( x ) = x + 1/ x ⇒ y ¢ ( x ) = 1 – 1/ x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 1

och

3247

a) V (r) = πr2 ∙ h = π42 ∙ h = 1000 ⇔ h = 1000/16π ≈ 20 cm

b) Y (r) = 2 ∙ botten + mantelytan = 2 ∙ πr2 + 2πr ∙ h

Y (4) = 2 ∙ π42 + 2 ∙ π4 ∙ 1000/16π = 32π + 500 ≈ 600 cm2

c) Y(6) = 2 ∙ π62 + 2∙ π6 ∙ 1000/36π= 72π + 333 ≈ 559 cm2

d)Y (r) = 2πr2 + 2πr ∙ 1000/r2π = 2πr2 + 2000/r

Y ¢ (r) = 4πr – 2000/r2 = 4πr2 – 2000 = 0 ⇔

r = (2000/4π)1/3 = (500/π)1/3

3249

a) f ¢ ( x ) = 5 x 4 – 24 x 2, f ¢¢ ( x ) = 20 x 3 – 48 x

b) f ¢ ( x ) = 16 x + 8e

2 x

, f ¢¢ ( x ) = 16 + 16e

2 x

c) f ¢ ( x ) =(6 x 2 – 12)/3 , f ¢¢ ( x ) = 12 x /3

3250

a) y ¢ = –(3/ x 4), y ¢¢ = 12/ x 5

b) y ¢ = 2e2 x + 4e4 x , y ¢¢ = 4e2 x + 16e4 x

c) y ¢ = –(6/ x 3), y ¢¢ = 18/ x 4

d) y ¢ = –1/ x 2 + 1/(2 x ), y ¢¢ = 2/ x 3 – 1/4 x 3/2

3251

a) f ¢ ( x ) = x 2 – 12 x ⇒ f ¢¢ ( x ) = 2 x – 12 ⇒ f ¢¢ (0) = –12

b) f ¢¢ ( x ) = 2 x – 12= 0 ⇔ x = 12/2 = 6

3252

Först beräknar vi derivatorna sen summerar vi termerna.

y ¢ = 2e2 x , y ¢¢ = 4e2 x ⇒ y ¢¢ + y ¢ + y = 4e2 x + 2e2 x + e2 x = 7e2 x

3253

a) dy /dx + d2 y /dx 2 = 6e3 x + 18e3 x

b) dy /dx + d2 y /dx 2 = –6e–3 x + 18e–3 x

3254

a) y ¢ = 3 x 2 – 30 x ⇒ y ¢¢ = 6 x – 30 = 0 ⇔ x = 5

b) y ¢ = 12 x + e– x ⇒ y ¢¢ = 12 – e– x = 0 ⇔ x = – ln(12)


17/29

3255

a) Vi deriverar och letar efter x -värden som gör att

derivatan blir negativ. ) f ¢ ( x ) = 4 x 2 0

y ¢¢ (1) = –60 ∙ 13 + 30 = –30 < 0

För extrempunkten i (0, 0) får vi ingen ytterligare

information av att titta på andra derivatan men vi ser att

extrempunkten vid x = –1 är en minimipunkt och för x = 1

så är det en maximipunkt.

c) Testet misslyckades eftersom andra derivatan var noll.

När det händer måste vi göra ett teckenstudium.

y ¢ (–0,5) = –15(– 0,5)4 + 15(–0,5)2 = 2,8125 > 0

y ¢ (0,5) = –15(–0,5)4 + 15(0,5)2 = 2,8125 > 0

Vilket visar att derivatan är positiv på båda sidorna, alltså ärpunkten en terrasspunkt.


18/29

3262

a) >, eftersom f (e) är större än f (a).

b)


19/29

3269

a)

b)

y ( x ) x

0 0

26 10

50 20

70 30

86 40

96 50

100 60

95 70

80 80

50 90

0 0

c) y ( x ) = (5 x 2 – 500 x )( x – 180)–1

y ¢ ( x )= (10 x – 500)( x – 180)–1 – (5 x 2 – 500 x )( x – 180)–2 = 0

vilket gör att x är 60 eftersom x < 100.

3270

a) Först deriverar vi funktionen sen så beräknar vi

funktionsvärdet.

a) Från grafen ser vi att det maximala värdet antas då x = 2

och är 144 mikrogram.

b) Funktionsvärdet är 75 då x är 0,5 och 5,1 vilket betyder

att skillnaden, 4,6 h, är hur länge grafen antar värden över

75 mikrogram.

3271

a) Bågens höjd är m och bredden

densamma.

b) f ¢ ( x )= –10,5(0,03133e0,03133 x – 0,03133e–0,03133 x )

⇒ f ¢ (10)= –0,21

vilket betyder att bågen lutar neråt med –0,21 meter per

meter tio meter från bågens högsta punkt.


20/29

3272

a)

Först är det ganska få som dör sen runt vecka sex tar

epidemin fart och efter tolv veckor är det inte så många fler

som dör.

b) Från miniräknaren kan vi avläsa:

X y ¢ ( x )

5 4 600

6 12 300

7 23 900

8 26 200

9 15 500

10 6 200

3273

Från grafen ser vi att det tar drygt 10 sekunder för person A

att springa 100

meter.

I den andra grafen ser vi att person B springer snabbare.

Han springer på ungefär 9,8 sek.

b) Vi skapar en funktion, f (t), som beskriver skillnaden

mellan person A och B vid tiden t.

vilket ger

plotten:

Vi ser att den största skillnaden är strax efter en sekund.


21/29

3275

a ) y ¢ = (1 ∙ x 1 – 1)/2 = 1/2

b) y ¢ = (2 ∙ –1 ∙ x 1 – 1) = –2/ x 2

c) y ¢ = 2e2 x

3276

y ¢ = (5/5)e0,2 x = e0,2 x

a) y ¢ =e0,2 ∙ – 5 = e–1 ≈ 0,37

b) y ¢ =e0,2 ∙ 5 = e1 ≈ 2,72

c) Nej, eftersom är en strängt växande funktion.

3277

a) f ¢ ( x )= 3 ∙ x 1 – 1 – e x = 3 – e x

b) f ¢ ( x )= 3 – e x = 0 ⇔ x = ln 3

c) Vi kollar på andra derivatan utvärderat i extrempunkten:

f ¢¢ (ln(3)) = –eln 3 = –3 < 0 vilket betyder att vi har en

maxpunkt.

e)

3278

a) Den beskriver funktionens lutning.

b) Den beskriver hur funktionens lutning förändras.

3279

a) Mellan b och c samt mellan d och e.

b) Det är negativt eftersom kurvans lutning minskar.

3280

a) För en 15-åring får vi:

Och för en 45-åring blir det:

b)

Enligt modellen har en 20-åring bäst lungkapacitet.

3281

Vi letar efter värden på x då derivatan är negativ.

a) f ¢ ( x )=

b) f ¢ ( x )=

3282

a) En konstant funktion har alltid derivatan lika med noll.

Ett exempel är därför

b) Här blir det lite jobbigare men här är en funktion:

3283

Vi hittar extrempunkternas x -värden genom derivata.

f ¢ ( x ) =

Vi utvärderar nu x -värdet för att få y -värdet:

3284

a)

y ¢ = 6 ∙ ln(1,2)e0,6 ∙ ln (1,2) ∙ x = 1,1e0,11 x

b) Eftersom e x är en strängt växande funktion är derivatan

växande.


22/29

3285

s¢ (t)= 2,6t och s¢¢ (t) = 2,6

s¢ (t) beskriver hur snabbt bilen kör och s¢¢ (t) beskriver

accelerationen.

3286

a) Vid tiden noll fanns det 80 mg och var 25 år halveras det.

Med denna information blir

b) y ¢ (t) = (80/(2t /25) = (80 ∙ (–(ln (2)/25))/(2t /25) ⇒

y ¢ (50) = (80 ∙ (–(ln (2)/25))/(250/25) = –0,55

Vilket betyder att ämnet sönderfaller med 0,6 mg per år.

3287

a)

b) Det givna:

c) Vi byter ut y mot den givna funktionen:

d) För att höjden ska vara positiv måste x vara större än noll

(kan inte vara negativ) och mindre än 2.

e) Vi deriverar funktionen och hittar det maximala värdet:

V = (4πx 2 – π x 4)/3 ⇒ V ¢ = (8πx – 4π x 3)/3 = 0 ⇔

x = 0,

Det maximala värdet antas då

f)

3288

Vi deriverar funktionen och matchar a så att derivatan blir

noll då x = 2:

y ¢ = 2 x – a / x 2 ⇒ y ¢ (2) = 4 – a /4 = 0 ⇔ a = 16

3289

a) Vi deriverar funktionen och utvärderar den för t = 15:

v¢ (t) = –55 ∙ ln 0,9 ∙ 0,9t ⇒ v¢ (15) = –55 ∙ ln 0,9 ∙ 0,915 =

= 1,2 m/s

Bilen accelererar med 1,2m/s efter 15 sekunder.

b) Bilens hastighet kommer hela tiden att öka men då tiden

går mot oändligheten kommer 0,9t-termen gå mot noll,

vilket gör att maxfarten blir 55m/s.

3290

f ¢ ( x ) = a / 2 x ⇒ f ¢¢ ( x ) = –a /4 x 3/2 ⇒

f ¢¢ (4) = –a /4(4)3/2 = 2 ⇔ a = –2 ∙ 32 = –64

3291

Från det första villkoret vet vi att funktionen måste ha

strukturen: där c är en konstant.

Det andra villkoret bestämmer konstanten:

3292

Vi skapar en funktion som beskriver hur nära en punkt är Q.

f ( x ) = 2 2( 1,5) x x − + ⇒

f ¢ ( x ) = 0,5 ∙ (2( x – 1,5) + 1)/ 2( 1,5) x x − + = 0 ⇔

⇔ 2( x – 1,5) + 1 = 0 ⇔ x = –0,5 + 1,5 = 1

När x är ett så är y det med.


23/29

3293

V ¢ (h) = (3π – 3πh2 /3) = 0 ⇔ h = 1 ⇒ r = 3 1−

3294

Vi deriverar funktionen:

f ¢ ( x ) = 4 x 3 – 12 x + 12 x – 4 = 0

Eftersom funktionen fortfarande är komplicerad får vi prova

oss fram för att hitta ett nollställe:

f ¢ ( x ) = 4 x 3 – 12 x + 12 x – 4 = 0

f ¢ (0) = – x ≠ 0

f ¢ (–1) = –4 – 12 + 12 – 4 = –8 ≠ 0

f ¢ (1) = 4 – 12 + 12 – 4 = 0 OK !

Vilket ger funktionsvärdet:

3295

a) Vid x = 0, x =2, och x = 4 eftersom derivatans ändras på

ett sätt som inte är kontinuerligt.

3296

a)

b)

c) Derivatan kan vi inte hitta då x =0 eftersom den är både

–1 och 1. När x = 1 däremot visar derivatan rätt däremot.

3297

a) Grafen till vänster om y -axeln är helt plan medan den ser

ut som en x 2-funktion till höger. Eftersom den vänstra delen

är en konstant blir den derivatan noll. Vi undersöker därför

om även den högra delen blir noll.

f ( x ) = x 2 ⇒ f ¢ (0) = 2 ∙ 0 = 0

Funktion är därför deriverbar.

b) Vi gör samma sak här, deriverar funktionerna och avläser

derivata för att se ifall dem är l ikadana.

f 1( x ) = x 2 ⇒ f 1¢ (1) = 2 ∙ 1 = 2

f 2( x ) = 3 x – 2 ⇒ f 2¢ (1) = 3

f 1¢ (1) ≠ f 2¢ (1)

3298

a) Se facit för en bra skiss.

b) Derivatan existerar vid noll eftersom både tal som är lite

större och lite mindre än noll får funktionsvärdet noll och

därför blir derivatan noll. Vid x = 1 är dock derivatan

odefinierad, eftersom grafen gör ett hopp.

3299

Vi har två villkor som måste hålla dels måste

funktionsvärdena vara desamma vid x = 2 men ävenderivatornas värden måste vara lika. Vi får därför:

f 1( x ) = ax + b ⇒ f 1¢ (2) = a

f 2( x ) = x 2 ⇒ f 2¢ (2) = 2 ∙ 2 = 4

a = 4

f 1(2) = 4 ∙ 2 + b = 8 + b

f 2(2) = 22

b = 4

3303

Eftersom derivatan av den primitiva funktionen är

funktionen.

I kommande uppgifter kommer c representera en

konstant term.


24/29

3304

a)

b)

c)

d)

3305

a)

b)

c)

d)

3306

a)

b)

c)

d)

3307

A = B= C= D=

3308

a) Eftersom derivatan resulterar i en faktor två måste a vara

en halv.

b) Här blir det tvärtom, därför måste a vara två.

3309

a)

b)

c)

d)

3310

Vi ser att grafen representerar därför måste den

primitiva funktionen ges av:

3311

B är den primitiva funktionen eftersom när dess lutning är

positiv är A:s kurva det.

3312

a)

b)

c)

d)

3313

Av det vi får se av grafen verkar det som att f ( x ) = 1– x 2

vilket skulle ge den primitiva funktionen:

3314

Först förenklar vi funktionen:

Vilket ger den primitiva funktionen:

3317

a) Först bestämmer vi den generella primitiva funktionen

med konstanten c och därefter bestämmer vi c.

b)

3318

Eftersom konstanttermen som Per har lagt till inte beror av

x och kommer därför

försvinna:

3319

Per eftersom Mias funktion inte håller för villkoret

F (0) = 4.

3320

Vi bestämmer den primitiva funktionen till A¢ ( x ).


25/29


26/29

3407

a)

b)

c)

d)

3408

Vi hittar den primitiva funktionen till integranden och

utvärderar de vid intervallets ändpunkter.

och

3411

a)

b)

3412

a)

b)

3413

a)

b)

c)

d)

3415

3416

a)

b)

c)

3417

Den givna funktionen fungerar som en integrand:

3418

a)

b)

3421

3422

a)

b)

c)


27/29

3423

a)

b)

c)

d) 40 m/s eftersom då t ökar går e-termen mot noll.

3424

a) Tillväxthastigheten bestäms av f ( x ) = 50 + 5 x . Därför

blir: f (2016 – 2012) = f (4) = 50 + 20 = 70 och

f (2022 – 2012) = f (10) = 50 + 50 = 100

b) Nu vill vi titta på integralen, med avseende på

tillväxthastigheten som integrand.

F (4) = 1050 +4

42

00

50 5 1050 50 (5 / 2) xdx x x + = + + ∫ =

= 1050 + 200 + 80/2 – 0 = 1290

Och för 2022 blir det:

F (10) = 1050 +10

102

00

50 5 1050 50 (5 / 2) xdx x x + = + + ∫ =

= 1050 + 500 + 500/2 - 0 = 1800

3425

a) Först måste vi hitta vart linjen skär x -axeln:

y = 6 – 2 x = 0 ⇒ x = 3 så integralen fram till 3 är den

intressanta,3

0

6 2 xdx −∫ .

b) Först måste vi hitta vart linjen skär x -axeln:

y = 1 – x 2 = 0 ⇒ x = 1 så integralen fram till 1 är den

intressanta,1

2

0

1 x dx −∫

3426

a) Vi kommer vilja integrera F ( s) från 0,1 till 0,2 vilket

skrivs:0,2

0

120 sds∫

b)0,2

0,22 2 2

0,10

120 60 60 0,2 60 0,1 2,4 0,6 1,8 sds s J = = ⋅ − ⋅ = − = ∫

3427

a) Vi söker värdet på t för att v(t) = 0:

b) Nu måste vi titta på integralen fram till 30:e sekunden:

c) v¢ (t) = –2,4 + 0,08t ⇒ v¢ (10) = –2,4 + 0,08(10) =–1,6

är hur mycket som bromsas.


28/29

3428

a) Vi deriverar uttrycken och beräknar minpunkten.

f ¢ ( x ) = –0,942 x 2 + 17,52 x – 29,4 = 0 ⇔

Vi tar minus eftersom det inte är rimligt att storstaden

använder som minst energi runt klockan fem på

eftermiddagen istället är det ca 2 på morgonen.

b) 9,3 + 7,4 = 16,7, d.v.s. strax innan kvart i fem.

c) Här kan vi utnyttja integraler:

13

3 2

12

0,314 8,76 29,4 400 x x x dx − + − + =∫13

4 3 2

12( 0,1314 / 4 ) ( 8,76 / 3) (29, 4 / 2) 400 x x x x = − + − + =

= F (13) – F (12) = 6889 – 6101 = 788 MW

d)

24

3 2

0

0,314 8,76 29,4 400 x x x dx − + − + =∫24

4 3 2

0( 0,1314 / 4 ) ( 8,76 / 3) ( 29,4 / 2) 400 x x x x = − + − + =

= F (24) – F (0) = 15 454 MW

3429

Integralen av acceleration är hastighet.

3430

a) Efter fem minuter pumpas det in 100 liter/minut.

b) Under den första halvtimmen pumpas det in 3 500 liter.

c) Det pumpas in dubbelt så mycket vatten under den första

halvtimmen jämfört med de första tio minuterna.

3431

a) Först hittar vi rötterna till kurvan.

Vilket ger integralen:

3432

3433

Vi skapar en funktion P som bestämmer priset om man

producerar x tidningar.

[Facit har tolkat frågan på ett annat sätt, här betalar vi för

de första 25 exemplaren]

3434

Vi vet att integralen av accelerationen över tid ger

hastigheten. Därför kan vi skriva hastigheten som:

3435

Ett enkelt exempel är den konstanta funktionen, d.v.s. den

där k =0 och m = 3

3436

a) Vi mäter antalet liter olja med funktionen,

I detta fall t tre.

b)

3437


29/29

3438

Först räknar vi ut hur lång tid det tar innan personen äruppe i 40m/s därefter utnyttjar vi den tiden för att sträckan

personen har färdats under den tiden.

Nu integrerar vi upp till den tiden:

3439

Vi börjar med att plotta grafen för att få en känsla av vad vi

jobbar med:

För att ta reda på den mindre arean kan vi integrera

skillnaden mellan de två kurvorna d.v.s. använda

som integrand.

Den större ytan räknas ut genom att subtrahera den mindre

ytan från hela den stora:

Vi ser därför att ration är 1:7.

3440

Vi har blivit givna ett antal villkor. Det första är att vi detlägra integrationsgränsen är då y =0. Det andra är att då

integralen från den punkten till en annan okänd punkt är 18

a.e. då har vi hittat a. Vi börjar med det första villkoret:

När vi kommer hit inser vi att det finns ett till viktigt villkor

och det är att a > 0, vilket betyder att x 3-termen kommer ha

en negativ faktor framför sig. Det i sin tur betyder att grafen

kommer gå från kvadrant två till kvadrant fyra, istället för

från tre till ett och därför kommer våra integrationsgränser

vara 0 och 6.

Vilket ger grafen:

Från vilken vi kan läsa av att minpunkten är (0, 0) och

maxpunkten är (4; 5,3).

3441

Här är det två saker man måste komma ihåg, den första är

att ifall den undre och övre integrationsgränsen är

densamma kommer integralen vara noll och det andra är att

ln(1) = 0. Med hjälp av dessa måste a vara 1.

Documents

Kapitel 3 Matematik 3c