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Kapitel 9
Analyse der Modellstruktur
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
2
Rekursive OLS-Schätzung
Spezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, : k-Vektor
b t: OLS-Schätzer für aus Beobachtungen
{(x i, Y i), i =1,...,t }
b t = (Xt’ Xt)-1 Xt’ yt, t =k+1,...,n
mit Xt: Ordnung txk, yt : t-Vektor
Rekursive Beziehung zum Berechnen der b t
Var{bt} = 2 (Xt’ Xt)-1
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion
OLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954 bis 1999:
rekursiv geschätzte
marginale Konsum-
neigung und Kon-
fidenzband (=0.95)
ˆ 1.948 0.897C Y
0.78
0.80
0.82
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
65 70 75 80 85 90 95
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Dummy-Variable
Regressor, der das Zutreffen eines bestimmen Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0
Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Dummy-Variable für Saisonen
Für die Saisonen sind definiert:
Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i = 2), etc.
Beachte: Für jede Periode (t = 1,…, n) gilt
Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1
1,
0,it
it
Q i tes Quartal
Q sonst
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modelle für Quartalsdaten
Das Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen Effekte
Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Yt = + Xt + ut
Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit:
Yt = iQit+ i Qit Xt + ut oder
Yt = Q2tQ3tQ4t+ Xt+ Q2t Xt+ Q3t Xt+ Q4t Xt + ut mit , , i = 2,3,4.
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Modelle für Quartalsdaten, Forts.
Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamen Anstieg
Yt = iQit+ Xt + ut = + iQit + Xt + ut
Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg
Yt = + i Qit Xt + ut
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Strukturbruch
Strukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten
Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen
Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden? Schätzung des
Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow-Test
Chow-Test: Zum entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen vermutet werden müssen oder nicht
Voraussetzungen:
1. Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert werden
2. bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen den Regimen stattgefunden hat
3. ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst und die Residuen bestimmen werden können
Oft erlauben Dummies das Modellieren von Regimen
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow-Test, Forts.
Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespe-zifisch angepasst werden
Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen
Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow-Test, Forts.
Modell mit zwei Regimen:
die partitionierten Größen y, X, und u entsprechen den Größen vor und nach dem Strukturbruch
Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: 1 = 2 kann
mittels F-Test überprüft werden:
S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit Strukturbruch
SR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
y X u
y X u
2RS S n kF
S k
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow-Test, Forts.
Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten Störgrößen näherungsweise der Chi-Quadrat-Verteilung (k) bei
großem n
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen
1. 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68
2. 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17
F-Statistik:
p-Wert: 0.004
6899.7 (200.68 5107.17) 46 46.30
200.68 5107.17 2F
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow-Test für m Regime
Verallgemeinerung: m Regime
H0: 1 = … = m
F-Statistik
Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i - tes Regime (i = 1,…, m)
Verteilung von F: F(k,n-mk) oder ([m-1]k)
( 1)R ii
ii
S S n mkF
S m k
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Chow‘s Prognosetest
Änderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums, nach der Änderung p < k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar
Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t = 1,…, n-p gibt OLS-Schätzer b
Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…, n
Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist:
H0: yf = Xf + u
F-Statistik (mit Prognosefehlern ef)
p
kpneXXXXIe
eeF fffpf
ff
1)'('
'
1
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Prognosetest: Berechnung von F
1. Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD
2. Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F
3. Einsetzen in F-Statistik gibt
p
kpn
S
SSF
D
DFD
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen
1. 1954 bis 1991: S91 = 3400.90
2. 1954 bis 1999: S2 = 6899.69
F-Statistik des Prognosetests
p-Wert: 0.0005
63.48
)28(46
90.3400
90.340069.6899
F
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Rekursive Residuen
Modell y = X + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt
Prognosefehler:
bt ist OLS-Schätzer von b auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t}
Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen)
w ~ N(0, 2I)
Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Struktursta-bilität
1
1, 1,...,
1 ( )t t t
t
t t t t
Y x bw t k n
x X X x
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
60 65 70 75 80 85 90 95
Recursive Residuals ± 2 S.E.
Rekursive Residuen
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Tests zur Strukturstabilität
Test, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind: CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test
CUSUM Test:
Kritische Schranken nach Brown et al. (1975)
1
1 t
t ss kW w
s
14.1.2005 Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
-20
-10
0
10
20
30
60 65 70 75 80 85 90 95
CUSUM 5% Significance
CUSUM Test