Kapitel 9Kapitel 9 - Lunds tekniska högskola · Kapitel 9Kapitel 9 Komppgressibel strömning Rörströmning med friktion Strypning, supersoniskt inlopp Ma 1 >1 I. Överljudsströmning

Kapitel 9Kapitel 9Kap.9, Kompressibel p , p

strömning

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömningp g

Ekvationer:

Inkompressibel:Kompressibel:

•Kontinuitet•Kontinuitet

•Impuls

Ob k t

•Impuls

•EnergiObekanta:

Hastighet, tryck•Tillståndsekv.

Obekanta:

Hastighet, tryck, densitet, energi (entalpi, temperatur)( p , p )


Termodynamik, en kort repetition

Ideal gas: gas som följer tillståndsekvationen RTp ρ=

Gaskonstanten R Λ= ( )KkgJ 8314=ΛAllmänna gaskonstanten

MR ( )g

M Molmassan

ccR −= vp ccR

v

p

cc

k = Isentropkoefficient

pc Specifik värmekapacitet vid konstant tryckp

vc Specifik värmekapacitet vid konstant volym



∫2

Inre energi ∫=−1

12 ˆˆ dTcuu v

∫2

ˆˆ dThhE t l i

Om cp och cv konstanta: ( )1212 ˆˆ TTcuu v −=−

( )ˆˆ TTchh =∫=−1

12 dTchh pEntalpi ( )1212 TTchh p −=−



Isentrop tillståndsändring (adiabatisk, reversibel)

0ˆ =+= pdvuddqrTillfört värme

vdppdvudpvudhd ++=+= ˆˆˆ

dqpdvudvdphd =+=− ˆˆ

Entalpi

rdqpdvudvdphd =+=

Tdqds r=Entropi

pdvuddphdTds +=−= ˆˆρ ρ

1=v

ρ ρ



pdvuddphdTds +=−= ˆˆ pρ

vdvRTdTc

pdpRTdTcTds vp +=−= vpp

∫∫∫∫∫ +==22222

dvRdTcdpRdTcds

Isentrop

∫∫∫∫∫ +=−=11111

vR

Tc

pR

Tcds vp

21 ss = pTp 21

1

2

1

2 lnlnppR

TTcp =

T

kkk

TT

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

1

21

1

2

1

2

ρρ

1

2

1

2 lnlnρρR

TTcv =

p ⎠⎝⎠⎝ 111 ρ


Ljudhastigheten

Betrakta en tryckvåg som

C

ppp

Δ+Δ+

ρpρBetrakta en tryckvåg som

rör sig med hastigheten CV

TTΔ

Δ+

0=VTρ

Låt nu vågen stå stilla goch gasen vara i rörelse

TTppp

Δ+Δ+Δ+

ρT

pρ

VCVTT

Δ−=Δ+

CVT=


Ljudhastigheten

ppp

Δ+Δ+

ρpρ

Impuls ( )∑ −= VVmF &VCV

TTΔ−=

Δ+

CVT=

Impuls ( )∑ = inut VVmF( ) ( )( )CVCACApppA −Δ−=Δ+− ρ

VCΔΔ VCp Δ=Δ ρ

Kontinuitet ( )( )AVCAC Δ−Δ+= ρρρ

ρρρΔ+

Δ=Δ CV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+

ΔΔ

=⇒Δ+

Δ=Δ⇒

⎪

⎪⎬⎫

Δ+Δ

=Δρρ

ρρρρρρρ

ρ122 pCCpCV

⎠⎝ΔΔ+⎪⎭Δ=Δρρρρρ VCp


Ljudhastigheten

ppp

Δ+Δ+

ρpρ

⎞⎛ ΔΔ ρp

VCVTT

Δ−=Δ+

CVT=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+ΔΔ

=ρρ

ρ12 pC

I en ljudvåg är småρΔΔ ,p

Låt 220 apC =∂∂

=⇒→Δρ ljudhastigheten∂ρ

ρ

Adiabatisk processkonstkonst == ∂

∂=

∂∂

=⇒Ts

pkpaρρ konst.konst. == Ts

Fö id l äll kRTkpFör ideal gas gäller kRTpa ==ρ

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömning

När kan strömning antas vara inkompressibel?

( ) ∂∂∂∂ u∂∂ρ

p g

( )xu

xu

xu

xu

∂∂

≈∂∂

+∂∂

=∂

∂ ρρρρ xu

xu

∂∂


Ma < 0.3 Inkompressibel

0 3 < Ma < 0 8 Subsonisk strömning0.3 < Ma < 0.8 Subsonisk strömning

0.8 < Ma < 1.2 Transonisk strömning

1 2 < Ma < 3 0 Supersonisk strömning1.2 < Ma < 3.0 Supersonisk strömning

3.0 < Ma Hypersonisk strömning


Adiabatisk och isentrop stationär strömning

Sätt upp energiekvationen längs en strömlinje (försumma axeleffekt) vwqgzVhgzVh +−++=++ 2

2221

211 2

1ˆ21ˆ

För gaser är försumbar( )12 zzg −

För y större än gällerTδ ⎨⎧ = 0wv

02

222

11ˆkonstant1ˆ1ˆ hVhVh ==+=+y gT

⎩⎨ = 0q

02211 22

Perfekt gas: 02

ˆ TcVTcTch ppp =+⇒=Stagnationsentalpi

g 02 pppDefinition: Stagnationsentalpi/temperatur = den entalpi/temperatur gasen erhåller då den bromsas till vila adiabatiskt

20

211 Mak

TT −

+=


Adiabatisk och isentrop stationär strömningkk

Om strömningen är isentrop: 121002

11−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kk

kk

MakTT

pp

Notera att stagnationstryck och

1211

00

211

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kk

kMak

TT

ρρ

stagnationsdensitet ej är konstanta vid adiabatiskt strömning utan endast om t ö i ä i t

ρ

Kritiska värden, värden då Ma=1

*1

* ⎞⎛Både stagnationsvärdena

h d k iti k ä d ä

strömningen är isentrop.

0

*

12+

=

k

kTT

1

1

0

*

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−

kk

ρρ och de kritiska värdena är

användbara som referensvärden

1

0

*

12 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kk

kpp 2

1

0

*

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kaa


Isentrop strömning med areaförändring

y( )xh

( )yxV , Antag nu1. Mycket tunna gränsskikt

dhx

( )R

2. Liten areaökning

3. Stor kurvatur1


Isentrop strömning med areaförändring

Kontinuitet ( ) ( ) ( ) konstant== mxAxVx &ρ

Diff ti k ti it t h i l k tiDifferentiera kontinuitets och impuls ekvationerna:

dAdVdρ ⎫

10

0

dpdAdVVdVdpA

dAVdVd

ρρ

−==⇒⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+

=++

22

21

0VMaAV

dadp

VdVρ

ρρ

=−

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎬

=

=+

⎪⎭


Isentrop strömning med areaförändring 22 11

Vdp

MaAdA

VdV

ρ−=

−=

1Ma

0dA0>dV0dA 0dp

0

ddV

00

><

ddV

0


Raka stötar (adiabatisk men ej reversibel)1

1

Vρ

2

Vρ

1

1

1

pAV

2

2

pAV

1

1

1

ˆ

sh

p

2

2

ˆ

sh

p

1

1

Mas

2

2

Mas

Kontinuitet 222111 VAVA ρρ =

Impuls 21112

2222211 VAVAApAp ρρ −=−Stöt

1112222211 pp ρρ

Energi 02

222

11ˆkonstant

21ˆ

21ˆ hVhVh ==+=+

22 VV

(3)

0

22

2

21

1 22TcVTcVTc ppp =+=+

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömning 1ρ 2ρp g


1

1

1

ĥ

pAV

2

2

2

2

2

ĥ

pAVρ

VV ρρ = (1)1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

⇒≈ 21 AA2211 VV ρρ =

211

22221 VVpp ρρ −=−

(1)

(2)11

Endast kompressionsstöt möjlig, dvs. p2 > p1

02

222

11ˆ

21ˆ

21ˆ hVhVh =+=+ (3)

Se t.ex. tabell på sid. 621

( ) ( )11ˆ

−=

⎟⎞

⎜⎛

=⎟⎞

⎜⎛

=−

===k

kpc

pccc

pcRpcTch pppp ρ

ρρρ ( ) ( )1111 −⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− kkc

ccccR

p

vp

vp ρρρρρ

22 kVVKombinera (1), (2) och (3) 21

1

21

1

211 kMa

kRTkV

pV

==ρ



1

1

1

ĥ

pAV

2

2

2

2

2

ĥ

pAVρ

1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

Kombinera (1), (2) och (3)

( )⎤⎡212

112 Vp ρ

22 kVV

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+= 12

11

1

11

1

2 kpV

kpp ρ

21

1

21

1

211 kMa

kRTkV

pV

==ρ

Använd:

( )[ ]121

1 21

1

2 −−+

= kkMakp

p(4)

12 >p om 11 >Ma11>

pom 1



1

1

1

ĥ

pAV

2

2

2

2

2

ĥ

pAVρ

1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

(2) kan skrivas som

212 1 kMap +22

1

1

2

11

kMakMa

pp

++

=

( ) 21 2Mk 11 MMInför (4)

( )( )12

2121

212

2 −−+−

=⇒kkMa

MakMa 11 21 MaMa

**121221 11

AATTVVppssMaMa >>

01020102

12121212 TTpp

AATTVV=<

>> ρρ


Dysor

AVm ρ=&

mm && = då 1=Ma **** VAm ρ=&maxmm = då 1=Ma VAm ρ=

Att ytterligare sänka pb kommer inte att y g pbändra massflödet eftersom 1max =Ma

1121

0*1

1

0***

max 12

12 RT

kA

kVAm

kρρ

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==&

( )( )( )2

1

00*

1121

21

12 RTA

kk

kk

ρ−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=


Dysor

Konvergent-divergent

Notera, överjudsströmning i utloppet endast i fall G,H och I,

Film


Rörströmning med friktion



OBS! Eftersom stagnationsvärdena varierar längs röret måste de kritiska värdena avvändas som referens

Kritisk längd : den längd på röret som ger soniska förhållanden*L

( )( ) 2

2

2

2*

121ln

211

MakMak

kk

kMaMa

DfL

−+++

+−

= Finns i tabell B3( )



M MVilken längd krävs för att öka Machtalet från till ?LΔ 1Ma 2Ma

** ⎞⎛⎞⎛Δ fLfLL

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΔDfL

DfL

DLf



Strypning, subsoniskt inlopp ( )1*1 MaLL = ( )2*2 MaLL =

1



Strypning, supersoniskt inlopp

11 >Ma

I. Överljudsströmning i hela röret

L ökar II. Stöt någonstans på vägen ger underljudsströmning sista biten

III. Massflödet minskar inte förrän röretsIII. Massflödet minskar inte förrän rörets längd påverkar dysan så att *AAt ≠

Documents

Kapitel 9Kapitel 9 - Lunds tekniska högskola · Kapitel 9Kapitel 9 Komppgressibel strömning Rörströmning med friktion Strypning, supersoniskt inlopp Ma 1 >1 I. Överljudsströmning