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Kapitel IV. Lineare Abbildungen
Inhalt:
13. Lineare Abbildungen
14. Matrix-Darstellung
15. Isomorphie von Vektorraumen
Wir wollen nun die Abbildungen F : V → W zwischen Vektorraumen V und W
untersuchen, die die Vektorraum-Struktur erhalten. Wir nennen solcheAbbildungen Homomorphismen oder, zur Unterscheidung von den Gruppen- undRing-Homomorphismen, meistens lineare Abbildungen.
Die Struktur der Vektorraume, insbesondere der Basis- und der Dimensionsbegriff,erlauben eine genaue strukturelle Beschreibung der Eigenschaften linearerAbbildungen, wie z.B. der Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat. DieseEigenschaften lassen sich auch ohne die Zuhilfenahme von Basen charakterisieren.Hierzu werden die Begriffe Kern, Bild und Rang einer linearen Abbildungeingefuhrt. Der rechnerische Umgang mit linearen Abbildungen wird mit Hilfe derMatrix-Darstellung in Abschnitt 14 begrundet. Abschnitt 15 behandelt diebijektiven linearen Abbildungen, die Isomorphismen.Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 195
Lineare Abbildungen Einfuhrung: Linearitat der Matrix-Vektor-Multiplikation
13 Lineare Abbildungen
13.1 Einfuhrung: Linearitat der Matrix-Vektor-Multiplikation
Es sei A ∈ MatK (m, n) eine Matrix. Wir definieren die Abbildung
FA : K n → Km, x 7→ Ax .
Dann gilt fur alle x , y ∈ K n und alle α ∈ K die Beziehung
FA(x + y) = FA(x) + FA(y), FA(αx) = αFA(x);
dies wird kurz zusammengefasst zu
FA(αx + βy) = αFA(x) + βFA(y)
fur alle x , y ∈ K n und alle α, β ∈ K .Mit anderen Worten, die Abbildung FA ist eine lineare Abbildung im Sinne derfolgenden Definition.
Bemerkung: Man achte auf die Dimensionsangaben: Die Matrix A liegt in Mat(m, n) und die
Abbildung FA hat den Definitionsbereich Kn sowie den Wertevorrat Km.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 196
Lineare Abbildungen Definition: Lineare Abbildung
13.2 Definition: Lineare Abbildung
Es sei K ein Korper, V und W zwei Vektorraume uber K .Eine Abbildung F : V → W heißt lineare Abbildung (oderVektorraum-Homomorphismus), falls gilt:
F (x + y) = F (x) + F (y) fur alle x , y ∈ V
F (αx) = αF (x) fur alle x ∈ V , α ∈ K .
Wir konnen beide Bedingungen auch zusammenfassen zu
F (αx + βy) = αF (x) + βF (y) fur alle x , y ∈ V , α, β ∈ K .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 197
Lineare Abbildungen Bemerkungen:
13.3 Bemerkungen:
Es seien V ,W Vektorraume und F : V → W linear. Dann gilt:
(a) F (0V ) = 0W .
(b) Fur beliebige Linearkombinationen in V gilt
F
(
m∑
k=1
αkvk
)
=
m∑
k=1
αkF (vk ).
Hieraus folgt fur jede Familie (vi )i∈I von Vektoren vi ∈ V :
Ist (vi )i∈I linear abhangig, so ist auch die Familie (F (vi ))i∈I linear abhangig(in W ).
Ist die Familie (F (vi))i∈I linear unabhangig, so ist auch die Familie (vi )i∈I
linear unabhangig.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 198
Lineare Abbildungen Satz:
Eine lineare Abbildung ist durch die Festlegung der Bilder von Basisvektorenbereits vollstandig definiert:
13.4 Satz:
Es seien V ,W Vektorraume, und (vi )i∈I sei eine Basis von V .Weiterhin seien Vektoren wi ∈ W , i ∈ I , gegeben.Dann existiert genau eine lineare Abbildung F : V → W mit F (vi ) = wi fur allei ∈ I ; mit anderen Worten, die lineare Abbildung F ist durch die Bilder F (vi ) einerBasis von V eindeutig beschrieben.
13.5 Korollar: Gleichheit linearer Abbildungen
Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie (vi )i∈I eine Basis von V .
Zwei lineare Abbildungen F : V → W und G : V → W sind genau dann gleich,wenn die Bilder der Basiselemente gleich sind, also wenn
F (vi ) = G(vi ) fur alle i ∈ I
gilt.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 199
Lineare Abbildungen Satz: Lineare Abbildungen F : Kn→ Km
13.7 Satz: Lineare Abbildungen F : K n→ K
m
Zu jeder linearen Abbildung F : K n → Km (mit m, n ∈ N) existiert eine eindeutigbestimmte Matrix A ∈ Mat(m, n) mit
F (x) = FA(x) = Ax fur alle x ∈ K n.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 200
Lineare Abbildungen Satz: Verkettung linearer Abbildungen
13.8 Satz: Verkettung linearer Abbildungen
Es seien U ,V ,W Vektorraume uber K und F : U → V sowie G : V → W lineareAbbildungen. Dann ist die Verkettung
G ◦ F : U → W , u 7→ G(F (u))
linear.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 201
Lineare Abbildungen Definition
Die folgenden Begriffe treten bei der Beschreibung linearer Abbildungen haufigauf. Deshalb sollte man sie sich merken.
13.10 Definition
Eine lineare Abbildung F : V → W heißt
Monomorphismus, wenn F injektiv ist,
Epimorphismus, wenn F surjektiv ist,
Isomorphismus, wenn F bijektiv ist,
Endomorphismus, wenn V = W gilt, also F : V → V vorliegt,
Automorphismus, wenn V = W gilt und F bijektiv ist.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 202
Lineare Abbildungen Satz: Charakterisierung anhand einer Basis von V
13.11 Satz: Charakterisierung anhand einer Basis von V
Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie (vi )i∈I eine Basis von V . Weiter seiF : V → W linear und wi = F (vi ). Dann gilt:
(a) F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I linear unabhangig ist.
(b) F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I ein Erzeugendensystemvon W ist.
(c) F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn (wi )i∈I eine Basis von W ist.
Bemerkung: Wir halten als wichtiges Resultat fest: ein Isomorphismus F : V → W
bildet jede Basis (vi )i∈I von V in eine Basis (F (vi ))i∈I von W ab.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 203
Lineare Abbildungen Korollar: Charakterisierung bei gleicher endlicher Dimension
Durch Einsatz des Dimensionsbegriffs fur endlich-dimensionale Vektorraume folgtsofort (siehe 8.21):
13.12 Korollar: Charakterisierung bei gleicher endlicher Dimension
Es seien V ,W Vektorraume uber K mit dimV = dimW < ∞. Fur eine lineareAbbildung F : V → W sind dann aquivalent:
(i) F ist ein Monomorphismus (d.h. injektiv).
(ii) F ist ein Epimorphismus (d.h. surjektiv).
(iii) F ist ein Isomorphismus (d.h. bijektiv).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 204
Lineare Abbildungen Korollar: Schlussfolgerungen uber die Dimension
13.13 Korollar: Schlussfolgerungen uber die Dimension
Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear.
(i) Falls F ein Monomorphismus ist, so folgt dimV ≤ dimW .
(ii) Falls F ein Epimorphismus ist, so folgt dimV ≥ dimW .
(iii) Falls F ein Isomorphismus ist, so folgt dimV = dimW .
Hierbei sind dimV = ∞ und dimW = ∞ zugelassen.
13.14 Korollar: Schlussfolgerungen aus der Dimension
Es seien V ,W Vektorraume uber K .
(i) Falls dimV ≤ dimW und dimV < ∞ gilt, so existiert ein Monomorphismus F : V → W .
(ii) Falls dimV ≥ dimW und dimW < ∞ gilt, so existiert ein Epimorphismus F : V → W .
(iii) Falls dimV = dimW < ∞ gilt, so existiert ein Isomorphismus F : V → W .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 205
Lineare Abbildungen Satz: Inverse
13.15 Satz: Inverse
Es seien V ,W Vektorraume uber K . Ist F : V → W ein Isomorphismus, so ist dieUmkehrabbildung F−1 : W → V ebenfalls linear und bijektiv, also einIsomorphismus.
Bemerkung:
(a) Existiert zwischen zwei Vektorraumen V ,W ein Isomorphismus, so heißen V
und W isomorph. Hier wurde begrundet, dass der Isomorphie-Begriff einesymmetrische Relation darstellt. Wir betrachten ihn genauer in Abschnitt 15.
(b) Fur einen Isomorphismus F : V → W gelten naturlich die Beziehungen
F ◦ F−1 = idW , F−1 ◦ F = idV .
(c) Man beachte die allgemeine Definition und den Satz 2.23 aus Kapitel I: Dielineare Abbildung F : V → W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn eseine Abbildung X : W → V gibt mit
F ◦ X = idW , X ◦ F = idV .
Die Linearitat dieser Abbildung X wurde hier zusatzlich bewiesen.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 206
Lineare Abbildungen Definition und Satz: Kern, Bild und Rang
Die Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat kann man auch ohne Zuhilfenahmeeiner Basis ausdrucken.
13.17 Definition und Satz: Kern, Bild und Rang
Es seien V ,W Vektorraume uber K sowie F : V → W linear.
(a) Das Urbild des Nullvektors 0W heißt der Kern von F ,
Kern(F ) := F−1({0W }) = {v ∈ V | F (v) = 0W }.
Es gilt: Kern(F ) ist ein Untervektorraum von V .
(b) Das Bild von F ist die Menge
Bild(F ) = F (V ) = {F (v) | v ∈ V }.
Es gilt: Bild(F ) ist ein Untervektorraum von W .
(c) Der Rang von F ist definiert als
Rang(F ) = dim(Bild(F )).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 207
Lineare Abbildungen Satz: Charakterisierung anhand von Kern und Bild
13.19 Satz: Charakterisierung anhand von Kern und Bild
Es seien V ,W Vektorraume uber K . Weiter sei F : V → W linear. Dann gilt:
(a) F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn Kern(F ) = {0V } gilt.
(b) F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn Bild(F ) = W gilt.
(c) F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn Kern(F ) = {0V } undBild(F ) = W gilt.
Nur die Aussage (a) muss bewiesen werden, weil (b) die Definition der Surjektivitat ist (siehe2.18(b)) und (c) die Aussagen (a) und (b) zusammenfasst.
Der Beweis von (a) beruht im Wesentlichen auf der folgenden Aussage.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 208
Lineare Abbildungen Lemma: Urbilder einpunktiger Mengen
13.20 Lemma: Urbilder einpunktiger Mengen
Es seien V ,W Vektorraume uber K . Weiter sei F : V → W linear. Fur einbeliebiges w ∈ W ist die Menge F−1({w}) entweder leer, oder sie hat die Form
F−1({w}) = p + Kern(F )
mit einem beliebigen p ∈ V , fur das F (p) = w gilt.
Bemerkung: Das Lemma besagt, dass F−1({w}) ein Element des FaktorraumsV /Kern(F ) ist; dies verallgemeinert unsere Aussage zur Losung inhomogener LGSin Satz 11.5: Die Losungsmenge der Gleichung
F (v) = w
mit w ∈ W ist entweder leer, oder sie ist ein affiner Unterraum von V mit demAufpunkt p (partikulare Losung, spezielle Losung F (p) = w) und demDifferenzenraum Kern(F ).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 209
Lineare Abbildungen Homomorphiesatz
Wir erhalten nun den ersten Hauptsatz uber lineare Abbildungen sowie dieDimensionsformel.
13.21 Homomorphiesatz
Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear. Weiter seiU = Kern(F ).
Dann sind der Faktorraum V /U und der Bildraum Bild(F ) isomorph; einIsomorphismus ist gegeben durch
HF : V /U → Bild(F ), p + U 7→ F (p).
13.22 Satz: Dimensionsformel
Es seien V ,W Vektorraume uber K und F : V → W linear. Dann gilt
dimV = dim(Kern(F )) + dim(Bild(F )) = dim(Kern(F )) + Rang(F ).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 210
Lineare Abbildungen Bemerkung
13.23 Bemerkung:
Der Homomorphiesatz ermoglicht es, jede lineare Abbildung “nach ihrem Kern zufaktorisieren”, um dadurch einen Isomorphismus zu erzeugen: aus F : V → W
wird zuerst der Monomorphismus
H1 : V /Kern(F ) → W , [v ]Kern(F ) 7→ F (v),
und daraus durch Einschrankung des Wertevorrats der Isomorphismus
HF : V /Kern(F ) → Bild(F ), [v ]Kern(F ) 7→ F (v).
Wenn man dann noch einen komplementaren Untervektorraum M 4 V vonKern(F ) findet, der ja ein vollstandiges Reprasentantensystem von V /Kern(F ) ist,so kann man HF ersetzen durch den Isomorphismus
HF : M → Bild(F ), v 7→ F (v).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 211
Lineare Abbildungen Satz: Die Vektorraume Abb(V , W ) und Hom(V , W )
Wir betrachten nun Strukturen auf der Menge aller Abbildungen
Abb(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine Abbildung}
sowie der Teilmenge aller linearen Abbildungen
Hom(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine lineare Abbildung}.
Wegen der Vektorraum-Eigenschaft des Wertevorrats W konnen wir beliebigeAbbildungen f , g : V → W addieren und mit Skalaren multiplizieren:
f + g : V → W , v 7→ f (v) + g(v) ∈ W ,
αf : V → W , v 7→ αf (v) ∈ W .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 212
Lineare Abbildungen Satz: Die Vektorraume Abb(V , W ) und Hom(V , W )
13.25 Satz: Die Vektorraume Abb(V ,W ) und Hom(V ,W )
Es seien V ,W Vektorraume uber K .
(a) Die Menge
Abb(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine Abbildung}
mit der obigen Addition und Skalarmultiplikation ist ein K -Vektorraum. SeinNullelement ist die Abbildung N : V → W mit N(v) = 0W fur alle v ∈ V ,die sog. Null-Abbildung.
(b) Die Menge
Hom(V ,W ) = {f : V → W | f ist eine lineare Abbildung}
ist ein Untervektorraum von Abb(V ,W ); d.h. mit F : V → W linear undG : V → W linear ist auch F + G und αF linear.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 213
Lineare Abbildungen Satz: Dimension von Hom(V , W )
13.26 Satz: Dimension von Hom(V ,W )
Falls dimV > 0 und dimW > 0 gilt, so ist
dim(Hom(V ,W )) = (dimV ) · (dimW ),
mit der Vereinbarung n · ∞ = ∞ ·m = ∞, ∞ ·∞ = ∞.
Falls dimV = 0 oder dimW = 0 ist, so gilt dim(Hom(V ,W )) = 0.
Bemerkung: Hom(K n,Km) hat die gleiche Struktur wie der VektorraumMatK (m, n) der m × n-Matrizen: Fur Matrizen A,B ∈ MatK (m, n) ist
(FA + FB)(x) = (A + B)x und αFA(x) = (αA)x .
Tatsachlich ist durch A 7→ FA ein Vektorraum-Isomorphismus zwischenMatK (m, n) und Hom(K n,Km) gegeben. Die Dimension dim(MatK (m, n)) = mn
wurde in 10.2 angegeben. Die obige Dimensionsformel liefert das gleiche Ergebnis!
Im Fall endlich-dimensionaler Vektorraume V und W wird im Beweis eine Basisvon Hom(V ,W ) konstruiert, die mit den Elementarmatrizen Ek,ℓ in 10.2vergleichbar ist.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 214
Lineare Abbildungen Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )
Im Spezialfall V = W sind die linearen Abbildungen F : V → V genau dieEndomorphismen; anstatt Hom(V ,V ) schreibt man oft Hom(V ).
Die Endomorphismen konnen wie ublich addiert und mit Skalarenmultipliziert werden.
Zusatzlich konnen sie mit der Verkettung (=Hintereinanderausfuhrung)verknupft werden:
F ,G ∈ Hom(V ) ⇒ F ◦ G ∈ Hom(V ),
denn die Linearitat von F ◦ G wurde ja in Satz 13.8 gezeigt.
Mit Addition und Verkettung ergibt sich die Struktur eines Rings, und zusammenmit der Skalarmultiplikation sogar die Struktur einer Algebra, wie wir sie bei denquadratischen Matrizen schon kennengelernt haben.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 215
Lineare Abbildungen Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )
13.27 Satz: Der Endomorphismenring Hom(V )
Es sei V ein Vektorraum uber K . Der Vektorraum
Hom(V ) = {F : V → V | f ist eine lineare Abbildung}
ist mit der Addition, Skalarmultiplikation und Verkettung eine K -Algebra. Sie ist(in der Regel) nicht-kommutativ.
Ihr Einselement ist die identische Abbildung idV : V → V ; denn
idV ◦F = F ◦ idV = F gilt fur alle F ∈ Hom(V ).
Ihre Einheiten (d.h. die Elemente mit einem Inversen bzgl. der Verkettung)sind genau die Automorphismen: sie bilden die Automorphismengruppe
Aut(V ) = {F : V → V | f ist eine bijektive lineare Abbildung}.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 216
Lineare Abbildungen Bemerkung
13.28 Bemerkung
Im Fall V = K n lasst sich Hom(V ) mit dem Vektorraum der quadratischenMatrizen MatK (n, n) vergleichen. Die Verkettung in Hom(V ) entspricht derMatrix-Multiplikation in MatK (n, n).
Die Automorphismengruppe Aut(V ) entspricht dabei der allgemeinen linearen
Gruppe Gl(n).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 217
Matrix-Darstellung Definition und Satz: Koordinatenabbildung
14 Matrix-Darstellung
In diesem Abschnitt sind alle Vektorraume endlich-dimensional. Zur praktischenRechnung mit linearen Abbildungen greifen wir auf Basen der Vektorraume zuruck.
14.1 Definition und Satz: Koordinatenabbildung
Es sei V ein Vektorraum uber K mit dimV = n ∈ N. Weiter sei A = (v1, . . . , vn)eine Basis von V .
(a) Durch
ΦA : V → K n, v =
n∑
i=1
αivi 7→ (α1, . . . , αn)⊤
ist eine Abbildung definiert; wir nennen ΦA die zur Basis A gehorendeKoordinatenabbildung von V .
(b) Die Koordinatenabbildung ΦA ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus.Ihre Umkehrabbildung lautet
Φ−1A : K n → V , (α1, . . . , αn)
⊤ 7→n∑
i=1
αivi .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 218
Matrix-Darstellung Definition und Satz: Koordinatenabbildung
Bemerkung: Die Koordinatenabbildung ΦA ist wohldefiniert: nach Satz 8.11existiert fur jedes v ∈ V eine Darstellung
v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn
mit eindeutigen Skalaren α1, α2, . . . , αn ∈ K .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 219
Matrix-Darstellung Voruberlegung zur Matrix-Darstellung
14.3 Voruberlegung zur Matrix-Darstellung: Es seien V ,W Vektorraume uberdem Korper K mit dimV = n und dimW = m, m, n ∈ N. Weiter seiA = (v1, . . . , vn) eine Basis von V und B = (w1, . . . ,wm) eine Basis von W .
Die Koordinatenabbildungen bezeichnen wir mit ΦA : V → K n undΨB : W → Km.
Nun sei F : V → W eine lineare Abbildung. Durch Verkettung erhalten wirdie lineare Abbildung
F = ΨB ◦ F ◦ Φ−1A : K n → Km.
Zur Abbildung F gibt es nach Satz 13.7 eine eindeutig bestimmte MatrixA ∈ MatK (m, n) mit F = FA, also F (x) = Ax .
WegenF = Ψ−1
B ◦ FA ◦ ΦA
(und der Isomorphie von ΨB und ΦA) sind die wichtigen Eigenschaften vonF gleichbedeutend mit den Eigenschaften von FA, also auch mit denEigenschaften der Matrix A. Dies liefert praktische Berechnungsmethoden
z.B. fur Kern, Bild und Rang von F .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 220
Matrix-Darstellung Definition und Satz: Matrix-Darstellung
14.4 Definition und Satz: Matrix-Darstellung
Es seien V ,W Vektorraume uber K mit dimV = n, dimW = m und m, n ∈ N.Weiter sei A = (v1, . . . , vn) eine Basis von V und B = (w1, . . . ,wm) eine Basisvon W . Die Koordinatenabbildungen bezeichnen wir mit ΦA : V → K n undΨB : W → Km.
Es sei F : V → W eine lineare Abbildung.
(a) Die eindeutig bestimmte Matrix A ∈ MatK (m, n) mit
F = Ψ−1B ◦ FA ◦ ΦA
heißt die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A und B.
(b) Die k-te Spalte ~ak = (aj,k )1≤j≤m der darstellenden Matrix A von F istgegeben durch
F (vk ) =m∑
j=1
aj,kwj , k = 1, . . . , n.
Anders ausgedruckt: ~ak = ΨB(F (vk )) ist der Koordinatenvektor (bzgl. derBasis B) von F (vk ).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 221
Matrix-Darstellung Satz
14.6 Satz
Mit den Bezeichnungen in 14.4 sei A ∈ MatK (m, n) die darstellende Matrix zurlinearen Abbildung F : V → W . Dann gilt
Rang(F ) = Rang(A).
Insbesondere folgt:
F ist ein Monomorphismus genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.
F ist ein Epimorphismus genau dann, wenn Rang(A) = m gilt.
F ist ein Isomorphismus genau dann, wenn m = n und Rang(A) = n gilt, d.h.wenn A ∈ Gl(n,K ) gilt.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 222
Matrix-Darstellung Praktischer Aspekt: Losung der Gleichung L(v) = w
14.7 Praktischer Aspekt: Losung der Gleichung L(v) = w
Gegeben sei eine lineare Abbildung F : V → W und ein Vektor w ∈ W .
1. Wahle geeignete Basen (v1, . . . , vn) von V und (w1, . . . ,wm) von W .
2a. Stelle die darstellende Matrix A von F auf.
2b. Berechne den Koordinatenvektor ~y von w .
3. Bestimme alle Losungen des linearen Gleichungssystems A~x = ~y .
3a. Falls keine Losung existiert, hat auch F (v) = w keine Losung.
3b. Andernfalls: Fur jede Losung x = (α1, . . . , αn)⊤∈ K n von A~x = ~y ist
v =
n∑
k=1
αkvk
eine Losung von F (v) = w .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 223
Matrix-Darstellung Satz: Verkettung
Die Verkettung linearer Abbildungen wurde bereits in Satz 13.8 behandelt. Wirwollen hier den Zusammenhang zum Matrixprodukt erganzen.
14.9 Satz: Verkettung
Es seien U ,V ,W endlich-dimensionale Vektorraume uber K (und keiner sei derNullraum). Weiter seien A eine Basis von U , B eine Basis von V und C eine Basisvon W .
Außerdem sei A die darstellende Matrix der linearen Abbildung F : U → V bzgl.der Basen A und B, und es sei B die darstellende Matrix der linearen AbbildungG : V → W bzgl. der Basen B und C. Dann ist das Matrixprodukt C = BA
definiert und C ist die darstellende Matrix von G ◦ F bzgl. der Basen A und C.
Bemerkung: Das “Bindeglied” ist hier nicht nur der Vektorraum W , sondern auchdie Basis B von W , die sowohl fur den Wertevorrat von F als auch fur denDefinitionsbereich von G verwendet wird.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 224
Matrix-Darstellung Satz: Basiswechsel
Wir wollen noch uberlegen, welchen Einfluss der Ubergang zu einer anderen Basisvon V (oder W ) auf die darstellende Matrix hat.
14.10 Satz: Basiswechsel
Mit den Bezeichnungen in 14.4 sei A ∈ MatK (m, n) die darstellende Matrix zurlinearen Abbildung F : V → W .
(a) Es sei A′ = (v ′1, . . . , v
′n) eine weitere Basis von V . Die Matrix T ∈ Gl(n,K )
sei die darstellende Matrix von idV : V → V bzgl. der Basen A′ und A, also
v ′k =
n∑
j=1
tj,kvj , 1 ≤ k ≤ n.
Dann ist B = AT die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A′ und B.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 225
Matrix-Darstellung Satz: Basiswechsel
(b) Es sei B′ = (w ′1, . . . ,w
′m) eine weitere Basis von W . Die Matrix S ∈ Gl(m,K )
sei die darstellende Matrix von idW : W → W bzgl. der Basen B′ und B, also
w ′k =
m∑
j=1
sj,kwj , 1 ≤ k ≤ m.
Dann ist C = S−1A die darstellende Matrix von F bzgl. der Basen A und B′.
Bemerkung: Der Rang der darstellenden Matrizen A, B, und C im obigen Satzbleibt erhalten; man vergleiche hierzu Satz 10.20. Ubrigens gilt S ∈ Gl(n,K ), weilidV (offensichtlich) ein Isomorphismus ist; ebenso ist T ∈ Gl(m,K ).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 226
Matrix-Darstellung Satz: Basiswechsel
Um sich die Gestalt der Transformations-Matrizen T und S besser merken zukonnen, beachte man das folgende kommutative Diagramm. Die Spalten von T
und S entstehen, indem man die neuen Basisvektoren in A′ bzw. B′ alsLinearkombination der alten Basisvektoren in A bzw. B schreibt. Die verwendeteBasis wird jeweils mit angegeben:
VF
−−−−→ W
(V ,A′)idV−−−−→ (V ,A)
F−−−−→ (W ,B)
idW−−−−→ (W ,B′)
y
ΦA′
y
ΦA
y
ΨB
y
Ψ′
B
K n T−−−−→ K n A
−−−−→ Km S−1
−−−−→ Km
Die Aussage zum Basiswechsel folgt direkt aus Satz 14.9.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 227
Matrix-Darstellung Spezialfall: Endomorphismen
14.11 Spezialfall: Endomorphismen
Es sei V ein Vektorraum uber K mit dimV = n ∈ N. Weiter sei A = (v1, . . . , vn)eine Basis von V .Verwendet man im Definitions- und Wertebereich des EndomorphismusF : V → V die gleiche Basis A, so besitzt F als darstellende Matrix diequadratische Matrix A ∈ MatK (n, n) mit den Spaltenvektoren ~ak = (aj,k )1≤j≤n,wobei
F (vk ) =
m∑
j=1
aj,kvj , k = 1, . . . , n
gilt.
Ersetzt man A durch eine neue Basis A′ im Definitions- und Wertebereich V , soergibt Satz 14.10 als neue Darstellungsmatrix von F die Matrix
B = T−1AT .
Hierbei ist T ∈ Gl(n,K ) die invertierbare quadratische Matrix in 14.10(a).
Beachte: Die darstellenden Matrizen A und B = T−1AT von F : V → V sindahnlich, vgl. Satz 10.21.Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 228
Matrix-Darstellung Bemerkung
14.12 Bemerkung
Es seien V ,W endlich-dimensionale Vektorraume uber K , dimV = n ∈ N unddimW = m ∈ N. Wir geben feste Basen A von V und B von W vor.
(a) Die Vektorraume Hom(V ,W ) und MatK (m, n) sind isomorph. DerIsomorphismus ist erklart durch die Abbildung
Θ : Hom(V ,W ) → MatK (m, n), F 7→ A,
wobei A die darstellende Matrix von F bzgl. der gegebenen Basen ist.
(b) Im Spezialfall V = W und A = B gilt sogar:Θ : Hom(V ) → MatK (n, n) ist ein Ring-Isomorphismus: zur Abbildung idV
gehort die Einheitsmatrix, zur Verkettung G ◦ F gehort das Matrixprodukt,etc.
Weiterhin bildet Θ die Automorphismengruppe Aut(V ) bijektiv auf GL(n,K )ab; diese Abbildung ist ein Gruppen-Isomorphismus.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 229
Isomorphie von Vektorraumen Satz
15 Isomorphie von Vektorraumen
Dieser kurze Abschnitt dient nur als Zusammenfassung von Aussagen uberIsomorphismen. Wir verwenden die Sprechweise aus Bemerkung 13.15:
Zwei Vektorraume V ,W heißen isomorph, wenn es einen IsomorphismusF : V → W gibt.
Satz 13.13 hat dann die folgende Formulierung.
15.1 Satz
Zwei endlich-dimensionale Vektorraume V ,W uber dem Korper K sind genaudann isomorph, wenn dimV = dimW gilt.
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 230
Isomorphie von Vektorraumen Satz
Was kann uber unendlich-dimensionale Vektorraume (oder in voller Allgemeinheit)gesagt werden? Eigentlich brauchen wir nur die Aussage in 13.11(c) zusammenmit dem Basis-Begriff anzuschauen.
15.2 Satz
Zwei Vektorraume V und W (egal, ob endlich- oder unendlich-dimensional) sindgenau dann isomorph, wenn es Basen A von V und B von W gibt, die die gleicheMachtigkeit haben.
Einen Isomorphismus F : V → W erhalt man dann wie folgt: jede bijektiveAbbildung f : A → B zwischen den Basen definiert nach Satz 13.4 genau einelineare Abbildung von V nach W .
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 231
Isomorphie von Vektorraumen Satz
Als Notation fur Isomorphie von Vektorraumen verwendet man haufig
V ≃ W (V und W sind isomorph).
Als strukturelle Aussage halten wir fest:
15.3 Satz
Die Isomorphie ‘≃’ ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller K -Vektorraume.
Beweis:
Reflexivitat: V ≃ V mittels des Isomorphismus idV : V → V .
Symmetrie: Aus V ≃ W mittels des Isomorphismus F : V → W folgt auch W ≃ V mittelsdes Isomorphismus F−1.
Transitivitat: Aus U ≃ V und V ≃ W mittels der Isomorphismen F : U → V bzw.G : V → W folgt auch U ≃ W mittels des Isomorphismus G ◦ F . �
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 232
Isomorphie von Vektorraumen Beispiele
15.4 Beispiele:
(a) Jeder endlich-dimensionale K -Vektorraum V mit dimV = n ist isomorph zu Kn: einpassender Isomorphismus ist die Koordinatenabbildung ΦA : V → Kn zu einer Basis A vonV .
(b) Der Polynomraum R[t] ist isomorph zum Vektorraum der reellen Zahlenfolgen mithochstens endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern
V = {(an)n∈N0| an ∈ R fur n ∈ N0, an 6= 0 fur hochstens endlich viele n}.
Die Basis der Monome A = (1, t, t2, t3, . . .) ist abzahlbar, also gleichmachtig zu N0. AlsBasis B = (~ej )j∈N0
von V betrachten wir die Folgen
~e0 = (1, 0, 0, 0, . . .), ~e1 = (0, 1, 0, 0, . . .),
allgemein ~ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, 0, . . .) mit genau einer 1 an der Stelle n = j . Auch dieseBasis ist abzahlbar, also sind K [t] und V isomorph.
Als Isomorphismus bietet sich an
f =n∑
k=0
aj tj 7→ (a0, a1, . . . , an, 0, 0, 0, . . .).
Lineare Algebra, Teil I 19. Januar 2011 233
Isomorphie von Vektorraumen Beispiele
(c) Der Polynomraum R[t] ist NICHT isomorph zum Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen
W = {(an)n∈N0| an ∈ R fur n ∈ N0}.
Dafur genugt es zu zeigen, dass in W eine uberabzahlbare Familie linear unabhangigerElemente existiert. Denn dann ist auch jede Basis von W uberabzahlbar, hat also einegroßere Machtigkeit als N0. (Vgl. hierzu Definition 2.27 im Grundlagenkapitel.)
Als uberabzahlbare Indexmenge verwenden wir die Menge R. (Dass R nicht abzahlbar ist,findet man z.B. in G. Fischer, Lineare Algebra (17. Aufl.), Seite 42.) Wir definieren furjedes x ∈ R die Folge
~ex = (1, x , x2, x3, . . .) ∈ W .
Behauptung:
Die Familie (~ex )x∈R ist linear unabhangig.
Beweis: Es sei C = {x1, x2, . . . , xm} ⊂ R eine endliche Menge paarweise verschiedenerZahlen xi . Wir mussen zeigen, dass die Familie (~ex1 ,~ex2 , . . . ,~exm ) linear unabhangig ist.Dafur genugt es, dass die “Anfangsstucke” dieser Folgen linear unabhangig sind, z.B.
(1, x1, x21 , . . . , xm−11 )
(1, x2, x22 , . . . , xm−12 )
.
..
(1, xm, x2m, . . . , xm−1m )
Diese Vektoren sind die Zeilen einer Vandermonde-Matrix. Weil die betreffende Matrixinvertierbar ist (siehe Beispiel 14.5), sind die Zeilenvektoren linear unabhangig.
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