Karine

ALVARO NOGUEIRA

CONTROLE ROBUSTOH DE SISTEMAS DISCRETOS SUJEITOS ARESTRIES NO CONTROLE E NA SADA

CURITIBA

2009

ALVARO NOGUEIRA

CONTROLE ROBUSTOH DE SISTEMAS DISCRETOS SUJEITOS ARESTRIES NO CONTROLE E NA SADA

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia de Produo eSistemas da Pontifcia Universidade Catlica doParan como requisito parcial para o obtenodo ttulo de Mestre em Engenharia de Produoe Sistemas.

Orientador:

Prof. Dr. Gustavo Henrique da Costa Oliveira

Co-orientador:

Prof. Dr. Humberto Xavier de Arajo

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO PARAN - PUCPR

CURITIBA

2009

iAos meus pais e

minha amada Letcia.

ii

Agradecimentos

Gostaria de agradecer inicialmente meus pais pela oportunidade de realizar um trabalho

como este e por todo o apoio. A minha noiva Letcia, por sempre estar incentivando a seguir em

frente, e pelo carinho e compreenso durante a realizao desse trabalho. Ao meu orientador,

professor Dr. Gustavo Henrique da Costa Oliveira pelo apoio e incentivo. Ao meu co-

orientador, professor Dr. Humberto Xavier de Arajo, por ensinar e compartilhar todo o seu

conhecimento, pela confiana e pacincia.

iii

A alegria e o amor so as duas grandes

asas para os grandes feitos.

J. W. von Goethe

iv

Resumo

Este trabalho aborda o problema de controle robusto H para sistemas lineares sujeitos arestries no controle e na sada, em tempo discreto. Deseja-se encontrar um controlador porrealimentao de sada, de ordem menor ou igual do sistema (reduzida ou completa), capaz detratar as incertezas paramtricas do processo do tipo politopo. A abordagem formulada pararesolver o problema baseia-se nos conceitos de estabilidade quadrtica e invarincia positiva. definindo um conjunto elipsoidal positivamente (D,R)-invariante, gerado por uma funo deLyapunov quadrtica e contido na regio de linearidade do sistema. Assim, procura-se garantirque a trajetria dos estados permanece no interior de um conjunto de estados admissveis,respeitando as restries nos sinais de controle e sada. Para a sntese dos controladores, prope-se um algoritmo hbrido baseado em Evoluo Diferencial (ED) e desigualdades matriciaislineares (LMIs). O algoritmo de sntese validado com aplicaes em exemplos de simulao.

Palavras-chave: Controle H, Controle Robusto, BMI, LMI, Restries, EvoluoDiferencial

vAbstract

This work deals with the H robust control problem for linear systems subject to controland output constraints in discrete time. A dynamic output feedback controller able to handlewith the parametric uncertainties of the system is considered. It can be of reduced or full order.The approach formulated to solve the problem is based on the concept of quadratic stability andpositive invariance. An ellispoidal positively (D,R)-invariant set is defined, which is generatedby quadratic Lyapunov function, contained in the systems domain of linearity. This set ensuresthe trajectory of the states in a set of admissible states, which complies with the control andoutput restrictions. A hybrid algorithm based on Differential Evolution (DE) and linear matrixinequalities (LMI) is proposed for solving this constrained robust control problem. Examplesare discussed to validate this approach.

Keywords: H Control, Robust Control, BMI, LMI, Input and output constraints,Differential Evolution

vi

Lista de Figuras

1 Sistema em malha fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Processo da Evoluo Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Evoluo da norma H ao longo das geraes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Sinais de Controle e Sada para o sistema definido por (A1,B21). . . . . . . . . 39








12 Evoluo da norma H ao longo das geraes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13 Sinais de Controle e Sada no vrtice (A,B21). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46








vii

Lista de Tabelas

1 Estratgias da Evoluo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Resultado do limitante superior da norma H para controladores de diferentes

dimenses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Resultado do limitante superior da norma H para controladores de diferentes

dimenses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

viii

Lista de Abreviaturas

BMI - Desigualdade Matricial Bilinear (Bilinear Matrix Inequality)

CE - Computao Evolutiva

ED - Evoluo Diferencial

EAR - Equao Algbrica de Riccati

LTI - Linear Invariante no Tempo (Linear Time-Invariant)

LMI - Desigualdade Matricial Linear (Linear Matrix Inequality)

MIMO - Mltiplas Entradas, Mltiplas Sadas (Multiple Inputs, Multiple Outputs)

ix

Lista de Smbolos

Rn Espao vetorial de nmeros reais com dimenso nRnm Matrizes de nmeros reais com dimenso nmRe(s) Parte real do nmero complexo s

Imag(s) Parte imaginria do nmero complexo s

sup Supremo de

0nm Matriz nula com dimenso nmIn Matriz identidade com dimenso nnG1 Matriz inversa de G

GT Matriz transposta de G

diag(G1,G2) Matriz diagonal formada pelas matrizes G1,G2Gn Norma n da matriz GG()> 0 Matriz (semi)definida positiva, i.e., {G Rnn |uT Gu()> 0, u Rn, u 6= 0}G()< 0 Matriz (semi)definida negativa, i.e., {G Rnn |uT Gu()< 0, u Rn, u 6= 0}

xLista de Publicaes

1. NOGUEIRA, A.; ARAJO, H. X.; OLIVEIRA, H. C.H Robust Controller for Discrete-

Time Linear Systems Under Control and Output Constraints. 7th IEEE International

Conference on Control and Automation. Christchurch, Nova Zelndia, 2009.

xi

Sumrio

1 Introduo 1

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Estrutura da Dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Conceitos e Definies Preliminares 6

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Sistemas Incertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Modelo incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 Complemento de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.3 S-procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Desigualdades Matriciais Bilineares - BMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Estabilidade Quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Invarincia Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.1 Domnio de invarincia elipsoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6.2 D-invarincia positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Norma H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Bounded Real Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sumrio xii

3 Controle RobustoH com Restries 16

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Controle H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Problema de Controle Robusto H com Restries . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Sntese de Controladores Robustos H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Algoritmo de Sntese 29

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Evoluo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Inicializao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Mutao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.3 Recombinao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.4 Avaliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.5 Seleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Estratgias da Evoluo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Algoritmo Hbrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4.1 Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.2 Inicializao do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Resultados 37

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Concluso 51

Referncias 53

11 Introduo

1.1 Introduo

Durante as ltimas dcadas, a sntese de controladores robustos para sistemas lineares

vem sendo amplamente discutida pela comunidade cientfica. Esses controladores possuem a

capacidade de assegurar o desempenho e a estabilidade do sistema frente s incertezas inerentes

ao modelo e, diferentemente da teoria de controle clssico, podem ser utilizados em sistemas

multivariveis, variantes no tempo e de ordem elevada.

A modelagem matemtica de um sistema dinmico pode resultar de um procedimento

baseado nas leis fsicas ou em tcnicas de identificao de sistemas ou ainda por ambos

os mtodos (Aguirre, 2000; Ljung, 1999). Ao se realizar a modelagem matemtica de um

determinado sistema, procura-se obter um modelo que represente o mais fielmente possvel

seu comportamento dinmico, porm, devido a no linearidades ou incertezas de parmetros,

isto nem sempre possvel. Assim, obtm-se uma aproximao do modelo real do sistema,

permitindo com que o sistema seja abordado como um sistema incerto, no qual seus parmetros

podem assumir infinitos valores dentro de um conjunto com limites conhecidos.

O grande avano no estudo de sistemas incertos deve-se ao estudo de estabilidade. Um

importante trabalho desenvolvido no estudo da estabilidade foi realizado por (Lyapunov, 1893),

o qual se tornou conhecido na dcada de 60 com o desenvolvimento do conceito de controle

moderno. O trabalho de Lyapunov analisa o comportamento de um sistema mecnico e se

baseia em funes que medem a energia do sistema, na qual a estabilidade est associada ao

fato do sistema dissipar energia ou no. Na dcada de 80, a teoria da estabilidade quadrtica

foi formulada, inicialmente publicada em (Hollot e Barmish, 1980) e posteriormente em

(Barmish, 1983, 1985). A estabilidade quadrtica pressupe a existncia de uma mesma

funo quadrtica de Lyapunov para todo o domnio de incerteza do problema, assegurando-

se assim a estabilidade do sistema. Deste modo, o sistema sujeito a incertezas denominado

quadraticamente estabilizvel se existe um controlador para o qual o sistema em malha fechada

quadraticamente estabilizvel.

1.1 Introduo 2

Ao se fazer a sntese de controladores, uma medida de desempenho deve ser escolhida como

crittrio de avaliao. A norma H, descrita inicialmente em (Zames, 1981), um ndice de

desempenho frequentemente utilizado. Em (Doyle et al., 1989), equaes no espao de estado

so formuladas para a problema de controleH por realimentao de sada, as quais se baseiam

nas equaes algbricas de Riccati (EAR). A motivao para a escolha desta norma como

crittrio de avaliao, assim como importantes resultados sobre o problema de controle H por

realimentao de sada, podem ser encontrados em (Bernstein e Haddad, 1989; Khargonekar e

Rotea, 1991; Zhou et al., 1994; Doyle et al., 1994; Scherer, 1995).

Entretanto, formulaes do problema H em termos de EAR podem se tornar difceis de

serem aplicadas aos problemas de controle robusto. Deste modo, muitas pesquisas nos ltimos

anos tm focado no desenvolvimento de abordagens utilizando desigualdades matriciais lineares

(LMIs), por seu poder de tratabilidade computacional e usabilidade na resoluo de problemas

na teoria de sistemas de controle. As LMIs permitem que determinados problemas sejam

reduzidos a problemas de otimizao convexa. Em (Willems, 1971) foi introduzido o termo

LMI, e Willems refere-se equao de Riccati como um gargalo da teoria de sistemas lineares

e antev que, apesar da importncia da LMI parecer no ser apreciada naquela poca, seria

interessante explorar sua capacidade por meio de algoritmos computacionais. Em (Boyd et al.,

1994) foram apresentadas as diferentes caracterizaes de LMIs para a resoluo de problemas

de controle e identificados trs fatores que tornam as LMIs uma ferramenta importante:

a. existe uma grande variedade de especificaes de projetos e restries que pode ser

expressa como LMIs;

b. um problema formulado em termos de LMI pode ser resolvido de forma exata, atravs de

algoritmos eficientes de otimizao convexa;

c. a maioria dos problemas com mltiplas restries ou objetivos so frequentemente

tratveis na estrutura de LMI.

Muitos problemas de controle robusto passaram a ser formulados em termos de LMI, tais

como o problema de sntese de controladores robustos por realimentao de estado (Chilali e

Gahinet, 1996; Peaucelle et al., 2000; Ebihara e Hagiwara, 2002; Oliveira et al., 2002), e o

problema de sntese de controladores dinmicos de ordem completa para sistemas precisamente

conhecidos (Chilali e Gahinet, 1996; Scherer et al., 1997; Apkarian et al., 2001; Ebihara e

Hagiwara, 2004). A norma H e os problemas de controladores H tambm podem ser

caracterizados por LMIs, como por exemplo em (Gahinet, 1994; Gahinet e Apkarian, 1994;

Apkarian e Gahinet, 1995; Palhares et al., 1997; Xie et al., 2004).

1.1 Introduo 3

No entanto, um grupo de problemas de controle no possui formulaes convexas baseadas

em LMI. Um exemplo, o problema de sntese de controladores por realimentao de sada

esttica. Considervel esforo tem sido feito para desenvolver um procedimento eficiente para

a sntese de controladores por realimentao de sada, como em (Sharav-Shapiro et al., 1998;

Crusius e Trofino, 1999; Bing e Siying, 2001; Bara e Boutayeb, 2006; Rosinov et al., 2003;

Rosinov e Vesel, 2003). Porm, este continua sendo um problema em aberto. A maioria

das dificuldades decorrem da no convexidade do problema de realimentao de sada, o qual

no representado em termos de LMIs, mas sim atravs de desigualdades matriciais bilineares

(BMI), introduzidas em (Goh et al., 1994, 1995; Safonov et al., 1994).

Diferentemente das LMIs, no so conhecidos algoritmos com tempo polinomial para

soluo de problemas BMIs. Problemas BMIs podem entretanto ser solucionados por diferentes

mtodos. Um exemplo fixar umas das variveis desconhecidas, tornando o problema convexo,

e minimizar a outra varivel desconhecida, como em (Grigoriadis e Skelton, 1994). Outra

soluo usar mtodos globais, como o algoritmo branch-and-bound, apresentado em (Goh et

al., 1995). Assim, diferentes trabalhos tem sido desenvolvidos a fim de solucionar os problemas

na rea de controle robusto na forma de BMIs, tais como (Beran e Boyd, 1997; Hassibi et al.,

1999; Tuan et al., 1999; Kanev et al., 2004; Lu et al., 2005).

Outra caracterstica importante dos sistemas fsicos que deve ser observada ao se projetar

um controlador so as restries nos sinais de controle e sada. Conforme (Reinelt, 2000a),

a maioria dos problemas em aplicaes prticas de controle ocorrem devido a existncia de

restries, como no controle e na sada, consequncia de limitaes fsicas e/ou no linearidades

inerentes ao sistema a ser controlado. Ao se ignorar estas restries, o desempenho do sistema

pode ser degradado ou at mesmo pode-se levar a instabilidade do sistema. Muitos trabalhos

foram publicados referentes ao estudo da estabilidade de sistemas lineares sujeitos s restries.

Dentre eles e dentro do contexto deste trabalho, existem duas abordagens principais: a saturao

de controladores e o comportamento no-linear do sistema, conforme verificado em (Gutman

et al., 1985; Vassilaki e Bitsoris, 1989; Castelan e Hennet, 1993; Castelan e Tarbouriech, 1994;

Tarbouriech e Burgat, 1994; Huang et al., 2002; Fang et al., 2003). No entanto, em nenhuma das

referncias citadas anteriormente foi levada em considerao as incertezas do modelo, ou seja,

a sntese de controladores robustos sujeitos a restries, que no ponto de vista prtico torna-

se interessante. Assim, nos trabalhos de (Sznaier e Damborg, 1987; Sznaier e Sideris, 1991;

Sznaier, 1992; Bitsoris e Gravalou, 1992; Milani, 1994; Hu et al., 1998; Bitsoris e Gravalou,

1999; Reinelt, 2000b; Silva et al., 2005; Abbas-Turki et al., 2005), o problema de controle

robusto com restries abordado.

1.2 Proposta 4

1.2 Proposta

Nesse contexto, este trabalho formular um problema de controle H sujeito a incertezas e

restries no controle a sada, o qual resultar em um problema de otimizao multi-objetivo e

no convexo. Para solucionar este problema, a teoria da Computao Evolutiva (CE) pode ser

aplicada em conjunto com a formulao LMI. Utilizando-se os paradigmas da Computao

Evolutiva, dentre eles a Evoluo Diferencial (ED), possvel operar sobre um conjunto

de solues candidatas do problema, denominado populao, diferentemente dos mtodos

clssicos de otimizao. Os mtodos clssicos operam sobre uma nica soluo, necessitando

ser aplicado diversas vezes ao problema, para que seja possvel escolher uma dentre vrias

solues timas.

Uma das abordagens mais prximas desenvolvida neste trabalho descrita em (Langner,

2004; Arajo e Langner, 2005; Arajo et al., 2006). Nesses trabalhos, abordada a sntese de

controladores robustos H2 e H por realimentao de estado e sada para sistemas sujeitos a

restries no estado, no controle e na sada em tempo contnuo. Para solucionar o problema em

(Langner, 2004; Arajo e Langner, 2005), foi proposto um algoritmo hbrido, baseado em LMIs

e algoritmos genticos, e em (Arajo et al., 2006) foi proposto um algoritmo hbrido baseado

em LMIs e evoluo diferencial. O presente trabalho se caracteriza por tratar o problema no

contexto de sistemas em tempo discreto.

Assim, o presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma soluo para o

problema de controle robusto H por realimentao de sada dinmica, para sistemas lineares

sujeitos a incertezas e restries no controle e na sada em tempo discreto. A modelagem do

sistema ser realizada atravs de equaes no espao de estados, permitindo o tratamento de

processos com mltiplas entradas e mltiplas sadas (MIMO). A ordem do controlador a ser

sintetizado pode ser de ordem reduzida ou completa.

Para implementar o problema em questo, um algoritmo de sntese baseado nos conceitos

da Evoluo Diferencial (ED) e das desigualdades matriciais lineares (LMIs) ser apresentado.

Desta forma o problema poder ser tratado computacionalmente, permitindo o estudo com casos

de exemplo retirados da literatura.

1.3 Estrutura da Dissertao

Este trabalho est dividido em seis captulos, que estaro organizados da seguinte maneira.

No captulo 2, so apresentadas algumas definies e conceitos preliminares, como por

1.3 Estrutura da Dissertao 5

exemplo, a descrio de sistemas incertos, LMIS e BMIs. No captulo 3, abordado o problema

de controle robusto H com restries e ao final apresentado o teorema desenvolvido que

permite a sntese desse controlador. No captulo 4, o conceito da Evoluo Diferencial (ED)

e as suas estratgias so abordados e, em seguida, o algoritmo desenvolvido para realizar a

sntese do controlador demonstrado. No captulo 5, so apresentados os resultados obtidos

em aplicaes em exemplos de simulao, utilizando o algoritmo de sntese para projetar o

controlador desejado. Finalmente, no captulo 6, so descritos os principais resultados, os

desafios enfrentados e algumas possveis continuaes deste trabalho.

62 Conceitos e Definies Preliminares

2.1 Introduo

Neste captulo so descritos alguns conceitos e definies preliminares necessrios para a

formulao do problema de controle robustoH que ser tratado neste trabalho. Primeiramente,

na seo 2.2, descrito o conceito de sistemas incertos e a definio de incertezas paramtricas

do tipo politopo. Na seo 2.3, abordado o conceito, as caractersticas e as propriedades das

desigualdades matriciais lineares (LMIs). Na seo 2.4, descrito o conceito das desigualdades

matriciais bilineares (BMIs). Na seo 2.5, a definio de estabilidade quadrtica para sistemas

discretos apresentado. Na seo 2.6, apresentado o conceito de invarincia positiva. Na

seo 2.7, a norma H descrita. Na seo 2.8, apresentado o bounded real lemma para

sistemas lineares em tempo discreto.

2.2 Sistemas Incertos

Ao tentar obter o modelo real do sistema, em muitos casos, estamos sujeitos a obter um

modelo aproximado do real. Neste modelo aproximado, algumas propriedades fsicas inerentes

ao sistema so ignoradas ou, conforme a complexidade matemtica do modelo, algumas

simplificaes so adotadas. Assim sendo, alguns dados do problema no so totalmente

conhecidos, podendo ser considerados como incertos.

As incertezas devem ser representadas explicitamente no modelo dos sistemas incertos.

Conforme (Oliveira, 1997), as incertezas podem ser representadas de duas maneiras:

estruturadas ou no estruturadas. As incertezas estruturadas so definidas por um espao de

pertinncia para os parmetros do modelo, na qual existe uma famlia de modelos que relaciona

a entrada e a sada da planta ao invs de um nico modelo. As incertezas no estruturadas esto

associadas s dinmicas no modeladas do modelo da planta.

2.2 Sistemas Incertos 7

2.2.1 Modelo incerto

Seja um sistema discreto, linear e invariante no tempo, sujeito a incertezas estruturadas

paramtricas, definido pela equao de estado

x(k+1) = A(r(k))x(k)+B2(s(k))u(k), (2.1)

onde x(k) Rn o vetor de estado, u(k) Rm o vetor de controle, A(r) Rnn a matrizdinmica do sistema, B2(s) Rnm a matriz de controle, r R Rnr e s S Rns , soos vetores de parmetros incertos das matrizes dinmica e de controle, respectivamente. Os

conjuntos R e S so compactos e as funes r(k) : [0,) R e s(k) : [0,) R soconsideradas mensurveis no sentido de Lebesgue (Arajo, 1998).

As matrizes A(r(k)) e B2(s(k)) podem ser decompostas em torno do sistema

nominal(A,B2), quando este definido por{A(r(k)) = A+A(r(k))

B2(s(k)) = B2+B2(s(k)), (2.2)

onde A(r(k)) e B2(s(k)) correspondem s matrizes de incertezas. Supe-se que o par (A,B2)

seja estabilizvel e constante.

A partir do modelo geral (2.1), adota-se a hiptese que as componentes dos vetores de

incerteza r(k) R e s(k) S pertencem a um intervalo fechado, e esto limitadas superior einferiormente como segue

ri ri ri, i = 1,2, ,nr, (2.3)

s j s j s j, j = 1,2, ,ns. (2.4)

Os domniosR e S, definidos por (2.3) e (2.4), so poliedros convexos com N= 2nr e M= 2ns

vrtices, respectivamente.

Com a hiptese suplementar que os elementos das matrizes A(r(k)) e B2(s(k)) so funes

lineares de r(k) e s(k), as relaes de (2.3) e (2.4) definem tambm as matrizes vrtices Ai e

B2 j, i = 1,2, ,N e j = 1,2, ,M, associados aos vrtices dos poliedros R e S.

Assim, as matrizes A e B2 pertencem aos domnios convexos fechados definidos por

DA =

{A Rnn; A =

N

i=1

iAi,N

i=1

i = 1, i 0}, (2.5)

2.3 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs 8

DB2 =

{B2 Rnm; B2 =

M

j=1

jB2 j,M

j=1

j = 1, j 0}. (2.6)

Com base nas definies (2.5) e (2.6), o sistema geral (2.1) pode ser descrito como{x(k+1) = Ax(k)+B2u(k)

A DA , B2 DB2. (2.7)

O modelo do sistema incerto, descrito neste captulo, portanto representado utilizando

incertezas estruturadas paramtricas do tipo politopo, onde o conjunto dos parmetros do

sistema um poliedro convexo e o sistema nominal localizado no centro deste poliedro.

2.3 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs

Nas ltimas dcadas, as desigualdades matriciais lineares (LMIs) obtiveram ateno

especial pela sua aplicao na teoria de controle. Muitos dos problemas que aparecem na

literatura sobre a teoria de controle podem ser reduzidos a problemas clssicos de otimizao

convexos ou quasi-convexos, sendo estes resolvidos por meio de LMIs.

Uma vez que o problema formulado em termos de LMIs, ele pode ser resolvido de forma

exata, atravs de algoritmos eficientes de otimizao convexa como, por exemplo, pelo LMI

Control Toolbox disponvel no software MATLAB. Alm de soluo numrica eficiente, as

LMIs tambm possuem como principais caractersticas a robustez na descrio de problemas

com incertezas e a habilidade para considerar mltiplos requisitos de controle apenas anexando

LMIs adicionais.

A primeira aplicao das LMIs na anlise de sistemas dinmicos foi feita por (Lyapunov,

1893), em seus ensaios sobre a estabilidade dos movimentos, conhecido atualmente como teoria

de Lyapunov. No entanto, o termo LMI foi utilizado pela primeira vez para resoluo de

problemas de controle em (Willems, 1971).

2.3.1 Definio

Uma desigualdade matricial linear (LMI) uma inequao na forma

F(x) = F0+m

i=1

xiFi > 0 , (2.8)

2.3 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs 9

onde x Rm um vetor de escalares desconhecido (variveis de deciso ou otimizao) eFi = FTi Rnn, i = 0, ,m, so matrizes simtricas conhecidas. Nota-se que as inequaesF(x) < 0 e F(x) > G(x) so casos especiais da equao (2.8), pois elas podem ser reescritas

como F(x)> 0 e F(x)G(x)> 0, respectivamente.

A LMI (2.8) uma inequao convexa em x, tal que o conjunto F := {x : F(x) 0} convexo. Assim, se x1 e x2 F e (0,1) ento

F(x1+(1)x2) = F(x1)+(1)F(x2)> 0. (2.9)

Como mencionado anteriormente, uma das vantagens da representao de problemas de

controle atravs de LMIs a possibilidade de considerar mltiplos requisitos anexando LMIs

adicionais. Assim, seja um conjunto definido por n LMIs

F1(x)> 0; F2(x)> 0; ; Fn(x)> 0. (2.10)

O conjunto apresentado em (2.10) pode ser reescrito por uma nica LMI

F(x) = diag(F1(x),F2(x), ,Fn(x))> 0. (2.11)

2.3.2 Complemento de Schur

O complemento de Schur converte um conjunto de inequaes no lineares convexas, que

aparecem regularmente nos problemas de controle, em LMI. Sejam as desigualdades matriciais

R(x)> 0, Q(x)S(x)R(x)1S(x)T > 0 (2.12)

ou, de forma equivalente,

Q(x)> 0, R(x)S(x)T Q(x)1S(x)> 0, (2.13)

onde Q(x) = Q(x)T , R(x) = R(x)T e S(x) so dependentes de x de forma afim. O lema do

complemento de Schur converte este conjunto de inequaes no lineares convexas na LMI

equivalente [Q(x) S(x)

S(x)T R(x)

]> 0. (2.14)

2.4 Desigualdades Matriciais Bilineares - BMIs 10

2.3.3 S-procedure

O S-procedure estende o uso das LMIs, permitindo que as condies no representadas por

desigualdades lineares, que normalmente aparecem na anlise de sistemas no lineares, possam

ser representadas como LMIs. A seguir, o S-procedure descrito utilizando funes quadrticas

(Boyd et al., 1994). Sejam F0, ,Fn funes quadrticas na varivel x Rn

Fi(x) = xT Tix+2uTi x+i, i = 0, ,n, (2.15)

onde Ti = T Ti . A existncia de i 0, ,n 0 tal que

F0(x)n

i=1

iFi(x) 0 (2.16)

implica que

F0(x) 0, x tal que Fi(x) 0, i = 1, ,n . (2.17)

Nota-se que a equao (2.16) equivalente a[T0 u0uT0 0

]

n

i=1

i

[Ti uiuTi i

] 0. (2.18)

2.4 Desigualdades Matriciais Bilineares - BMIs

As desigualdades matriciais bilineares (BMIs) so uma extenso da abordagem das

desigualdades matriciais lineares (LMI). As BMIs se popularizaram nos trabalhos de (Safonov

et al., 1994), e sua primeira aplicao aparece em (VanAntwerp et al., 1997).

Os problemas formulados com BMIs so mais difceis de serem resolvidos que os

formulados com LMIs, pois as BMIs no so convexas, podem ter mltiplas solues locais

e so NP-hard, ou seja, no podem ser resolvidas em tempo polinomial no pior caso.

2.4.1 Definio

Uma desigualdade bilinear matricial (BMI) uma inequao na forma

F(x,y) = F0+m

i=1

xiFi+n

j=1

y jG j +m

i=1

n

j=1

xiy jHi j > 0, (2.19)

onde x Rm e y Rn so vetores de escalares desconhecidos e Fi = FTi Rnn, i = 0, ,m,Gi = GTi Rnn, j = 0, ,n, Hi j = HTi j Rnn, i = 0, ,m j = 0, ,n, so matrizes conhecidas.

2.5 Estabilidade Quadrtica 11

Uma BMI uma LMI em x para um valor de y fixo, e uma LMI em y para um valor de x

fixo. Assim convexa em x e em y, separadamente. Como as BMIs descrevem conjuntos que

no so necessariamente convexos, elas podem descrever uma variedade maior de restries

que as LMIs, e podem ser utilizadas para representar muitos tipos de problemas de otimizao

e controle. A principal desvantagem das BMIs que elas so muito mais difceis de serem

manipuladas computacionalmente do que as LMIs.

2.5 Estabilidade Quadrtica

Ao se projetar um controlador para um determinado sistema, deseja-se que seja assegurada

a estabilidade do sistema em malha fechada, ou seja, todas as trajetrias do sistema devem

convergir para zero quando t . Uma condio suficiente para isso a estabilidadequadrtica.

O conceito de estabilidade quadrtica foi introduzido em (Hollot e Barmish, 1980; Barmish,

1985). L foram formuladas as condies necessrias e suficientes para a estabilidade

quadrtica de sistemas sujeitos a incertezas em tempo contnuo. No entanto, o mesmo conceito

vlido para sistemas sujeitos a incertezas em tempo discreto.

A estabilidade quadrtica consiste na existncia de uma funo quadrtica de Lyapunov

nica, independente dos parmetros incertos, que decresce ao longo de todas as trajetrias no

nulas do sistema. Assim, ser assegurado a estabilidade do sistema em malha fechada para todo

o domnio de incertezas admissveis.

Em (Leite et al., 2004) o conceito de estabilidade quadrtica aplicado aos sistemas sujeitos

a incertezas em tempo discreto, e esta caracterizada pela existncia de uma matriz P Rnn,simtrica e definida positiva, tal que

AT PAP < 0, (2.20)

A DA (2.5), B DB (2.6).

Verificando-se a equao (2.20), apenas os vrtices do conjunto DA (2.5) precisam ser

considerados para a anlise da estabilidade quadrtica. Assim sendo, um sistema sujeito a

incertezas do tipo politopo (2.7) quadraticamente estvel se e somente se existe uma matriz

P Rnn, simtrica e definida positiva, tal que

ATi PAiP < 0, i = 0,1, ,N (2.21)

2.6 Invarincia Positiva 12

onde Ai so os vrtices do domnio convexo DA (2.5).

2.6 Invarincia Positiva

O conceito de invarincia positiva (Arajo, 1998) utilizado na sntese de controladores de

sistemas dinmicos sujeitos a restries, pois procura garantir a manuteno das trajetrias dos

estados de um sistema controlado no interior de alguns conjuntos de estados admissveis.

Seja o sistema discreto autnomo descrito por:

x(k+1) = A(r(k))x(k), r(k), (2.22)

onde A(.) uma funo contnua e r(k) R (2.3) o vetor de parmetros incertos que satisfazas hipteses que asseguram a existncia e a unidade das solues da equao (2.22).

Definio 2.6.1. Um conjunto no vazio Rn positivamente invariante para o sistema(2.22) se

x(k0) , (2.23)

onde A(r(k))x(k) e r(k) R (2.3), as trajetrias do sistema x(k) , k k0.

Uma outra definio importante a de um conjunto positivamente invariante e

assintoticamente estvel.

Definio 2.6.2. Seja Rn um conjunto no vazio, contendo o ponto de equilbrio x = 0. um conjunto positivamente invariante e assintoticamente estvel para o sistema (2.22) se

x(k) , (2.24)

onde A(r(k))x(k) e r(k) R (2.3), as trajetrias x(k;x(k0)) 0 quando k .

2.6.1 Domnio de invarincia elipsoidal

Nesta seo, restringe-se a anlise de domnios de invarincia positiva elipsoidais.

A determinao desses domnios pode ser baseada em funes de Lyapunov quadrticas

associadas ao sistema considerado.

Proposio 2.6.1. Seja v(x) = xT Px, P = PT Rnn, P > 0, uma funo de Lyapunovquadrtica para o sistema (2.22), definindo o domnio elipsoidal como:

= {x Rn : v(x) c, c > 0} (2.25)

2.6 Invarincia Positiva 13

um domnio positivamente invariante e assintoticamente estvel (estvel) para o sistema

(2.22) se v(x(k)) = v(x(k+1)) v(x(k))< 0 (v(x(k)) 0), x(k) .

Assim, uma condio suficiente relativa invarincia positiva do conjunto enunciada

no caso de sistemas autnomos sujeitos a incertezas do tipo politopo.

Seja o sistema discreto autnomo:{x(k+1) = Ax(k)

A DA.(2.26)

Proposio 2.6.2. O conjunto elipsoidal definido por (2.25) positivamente invariante para

o sistema (2.26) se a matriz P satisfaz as seguintes LMIs:

ATi PAiP 0, i = 1,2, . . . ,N. (2.27)

Esta proposio uma consequncia direta do conceito da estabilidade quadrtica (2.20) e

da proposio 2.6.1 aplicada aos sistemas discretos sujeitos a incertezas politpicas. Nota-se

que a desigualdade estrita da LMI (2.27) assegura a estabilidade assinttica do domnio para

o sistema (2.26).

2.6.2 D-invarincia positiva

A D-invarincia positiva uma ferramenta que se mostra interessante no estudo da

estabilizao de sistemas no autnomos sujeitos a restries de controle ou de sada.

Seja um sistema discreto no autnomo descrito por:{x(k+1) = Ax(k)+B1w(k)

w(k) D,(2.28)

onde w(k) Rd o vetor de perturabao. O conjuntoD fechado e convexo, contendo w= 0.

Definio 2.6.3. Um conjunto no vazio Rn positivamente D-invariante para o sistema(2.28) se

x0 , (2.29)

ento

x(k;x(k0);w) ,w(k) D,k k0. (2.30)

Assim, o domnio positivamente D-invariante para o sistema (2.28) se todas as

2.7 Norma H 14

trajetrias x(k;x(k0);w) inicilizadas neste domnio l permaneam, qualquer que seja a

perturbao w(k).

2.7 NormaH

A norma H definida como:

H = sup max [H(z)]. (2.31)

onde sup max o valor singular mximo da resposta em frequncia do sistema H(z).

Em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) estveis, a norma H utilizada para

avaliar o desempenho atravs da funo de transferncia desses sistemas. Seja o sistema linear

invariante no tempo S descrito pelas equaes de estado

S:

{x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

y(k) =Cx(k)+Du(k), (2.32)

onde x(k) Rn o vetor de estado, u(k) Rm o vetor de controle e y(k) Rp o vetorde sada medida. Por hiptese, assume-se que S seja assintoticamente estvel, ou seja, todos os

plos (i) da matriz de transferncia A pertencem a uma circunferncia de raio unitrio (i < 1).

Seja H(z) a funo de transferncia do sistema S entre a sada y e a entrada u,

H(z) =C(zIA)1B+D. (2.33)

A norma H da funo de transferncia definida como

H(z) = supuR

max [H(z)]. (2.34)

Assim, a norma H da funo de transferncia de um sistema corresponde a medida do

pior caso no ganho do sistema.

2.8 Bounded Real Lemma

Seja o sistema linear invariante no tempo S, controlvel, descrito pelas equaes de estado

S:

{x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

y(k) =Cx(k)+Du(k), (2.35)

2.8 Bounded Real Lemma 15

Seja H(z) a funo de transferncia entre a sada y e a entrada u,

H(z) =C(zIA)1B+D. (2.36)

Ento, as seguintes afirmaes so equivalentes (Gahinet e Apkarian, 1994):

a. A estvel e

C(zIA)1B+D < 1; (2.37)

b. Existe uma matriz simtrica P = PT > 0 tal queAT PAP AT PB CT

BT PA BT PB I DTC D I

< 0; (2.38)c. Existe uma matriz simtrica P = PT > 0 tal que

P1 A B 0AT P 0 CTBT 0 I DT0 C D I

< 0. (2.39)

Os conceitos e definies apresentados neste captulo sero utilizados para formular o

problema a ser abordado neste trabalho e auxiliaro na sntese do controlador. No prximo

captulo ser apresentado o problema de controle robusto H de sistemas discretos sujeitos a

restries no controle e na sada e o teorema formulado para solucionar este problema.

16

3 Controle RobustoH com Restries

3.1 Introduo

Neste captulo formulado o problema de controle robusto H com restries e

apresentado os principais resultados deste trabalho, que permitem a sntese do controlador.

Na seo 3.2, o controle H descrito. Na seo 3.3, o problema de controle robusto Hde sistemas discretos sujeitos a restries no controle e na sada apresentado. Na seo 3.4,

algumas condies so determinadas a fim de garantir que as restries no controle e na sada

sejam satisfeitas, e assegurar a estabilidade e o desempenho do sistema em termos da norma

H.

3.2 ControleH

O problema de controle H e sua ligao com robustez foi introduzido por (Zames, 1981),

originalmente no domnio da frequncia, para tratar dos casos de robustez em que os mtodos

de controle lineares quadrtico, prevalecentes no domnio do tempo, no atendiam. Porm,

no incio da dcada de 90, com a soluo no espao de estado, os controladores timos Hpassaram a se apresentar de forma mais simples.

O problema de controle H com realimentao de sada para sistemas lineares, utilizando

um compensador dinmico apresentado a seguir.

Seja o sistema linear invariante no tempo S, descrito pelas equaes de estado

S:

x(k+1) = Ax(k)+B1w(k)+B2u(k),

y(k) =Cyx(k),

z(k) =C1x(k)+D11w(k)+D12u(k),

(3.1)

onde x(k) Rn o vetor de estados, u(k) Rm, o vetor de controle, w(k) Rl , o vetor deperturbao externa, y(k)Rp, o vetor de sada medida e z(k)Rq, o vetor de sada controlada.

3.2 Controle H 17

Assume-se que Cy seja uma matriz conhecida de posto completo.

Seja um controlador dinmico K definido por:

K:

{ (k+1) = Ak (k)+Bke(k),

u(k) =Ck (k)+Dke(k),(3.2)

onde (k) Rnc , com (0) = 0, o vetor de estado do controlador, e(k) Rp, o vetor erro(e(k) = r(k)y(k)), r(k)Rp, o vetor referncia, e Ak, Bk, Ck e Dk so matrizes desconhecidase de dimenses apropriadas.

O sistema em malha fechada est representado no diagrama da Figura 1.

Figura 1: Sistema em malha fechada.

O sistema em malha fechada resultante da combinao das equaes (3.1) e (3.2) descrito

por:

[x(k+1)

(k+1)

]=

[AB2DkCy B2CkBkCy Ak

][x(k)

(k)

]+

[B1

0nc1

]w(k)+

[B2Dk

Bk

]r(k)

z(k) =[

C1D12DkCy D12Ck][ x(k)

(k)

]+[D11]w(k)+ [D12Dk]r(k)

.

(3.3)

Definindo-se as matrizes do sistema em malha fechada como

A =

[A 0

0 0nc

], B1 =

[B1

0nc1

], B2 =

[B2 0

0 Inc

],

Cy =

[Cy 0

0 Inc

], C1 =

[C1 0qnc

], D12 =

[D12 0qnc

], (3.4)

1 =

[Ip

0ncp

], 2 =

[Im

0ncm

],

3.2 Controle H 18

LK =

[Dk CkBk Ak

], (3.5)

e rearrajando-se os termos nas equaes (3.3), obtm-se:x f (k+1) = (A+B2LKCy)x f (k)+B1w(k)+B2LK1r(k),

y(k) =T1 Cyx f (k),z(k) = (C1+D12LKCy)x f (k)+D11w(k)+D12LK1r(k),

(3.6)

onde x f (k) definido por

x f (k) =

[x(k)

(k)

]. (3.7)

Seja H f (z) a funo de transferncia do sistema em malha fechada entre a perturbao w e

a sada z:

H f (z) =C1 f (zIA f )1B1 f +D11 f , (3.8)

onde

A f = A+B2LKCy,

B1 f = B1, (3.9)

C1 f =C1+D12LKCy,

D11 f = D11.

Assim, com a norma H de H f (z) dada pela equao (2.31), pode-se definir o seguinte

problema de controle timo H:

Encontrar um controlador dinmico LK , tal que a funo de transferncia H f (z) seja

estvel e possua norma H f (z) mnima.

No entanto, encontrar um controlador timo H numericamente e teoricamente

complicado (Doyle et al., 1989). Desta forma, um problema de otimizao que aproxima-se

da soluo tima definido como um problema de controle H sub-timo, descrito por:

Dado um > 0, encontrar um controlador estabilizante, se este existe, tal que H f (z) < .

As solues desse problema, se existirem, so chamadas de controladores gamma-sub-

timo. Isto , pode-se calcular o menor limite superior para a norma H f (z) pelaminimizao de . Utilizando-se a relao existente entre a norma H do sistema e o Bounded

Real Lemma, apresentada na seo 2.8, para um sistema em malha fechada discreto no tempo

3.3 Problema de Controle Robusto H com Restries 19

(3.6) assintoticamente estvel, H f (z) se e somente se existe uma matriz simtricadefinida positiva P Rnn tal que

P PA f PB1 f 0ATf P P 0 CT1 fBT1 f P 0 I DT11 f

0 C1 f D11 f I

< 0, (3.10)

Com isso, o problema de controle H sub-timo, para sistemas com realimentao de

sada dinmica, equivalente a encontrar um controlador dinmico LK (3.5) estabilizante e

uma matriz P soluo do seguinte problema de otimizao:

minP,LK

(3.11)

sujeito a P PA f PB1 f 0ATf P P 0 CT1 fBT1 f P 0 I DT11 f

0 C1 f D11 f I

< 0. (3.12)

3.3 Problema de Controle RobustoH com Restries

Seja S o sistema linear invariante discreto no tempo, sujeito a incertezas paramtricas do

tipo politopo, descrito pelas equaes de estado:

S:

x(k+1) = Ax(k)+B1w(k)+B2u(k),

y(k) =Cyx(k),

z(k) =C1x(k)+D11w(k)+D12u(k),

(3.13)

onde x(k) Rn o vetor de estados, u(k) Rm, o vetor de controle, w(k) Rl , o vetor deperturbao externa, y(k)Rp, o vetor de sada medida, e z(k)Rq, o vetor de sada controlada.Supe-se que Cy tenha posto completo e todas as matrizes sejam reais e com dimenses

apropriadas. As matrizes A e B2 pertencem aos conjuntos convexos limitados definidos em

(2.5) e (2.6), respectivamente:

DA =

{A Rnn; A =

N

i=1

iAi,N

i=1

i = 1, i 0}, (3.14)


DB2 =

{B2 Rnm; B2 =

M

j=1

jB2 j,M

j=1

j = 1, j 0}. (3.15)

Supe-se tambm que os pares (A,B2) sejam estabilizveis e os pares (Cy,A) sejam

detectveis em todo o domnio de incerteza. Supe-se ainda que o sistema (3.13) esteja sujeito

as seguintes restries:

a. o vetor de controle u(k) pertence ao conjunto poliedral

D ={

u Rm : hTi u i, i > 0}, (3.16)

onde hi Rm, hi 6= 0, i = 1,2, ,nh;

b. o vetor de sada y(k) pertence ao conjunto poliedral

D ={

y Rp : Ti y i, i > 0}, (3.17)

onde i Rp, i 6= 0, i = 1,2, ,nn.

O vetor de perturbao w(k) limitado em norma, tendo em vista as restries no domnio

do tempo apresentadas anteriormente, e pertence ao conjunto convexo

D(w0) ={

w Rl : w w0, w0 > 0}. (3.18)

Este conjunto define uma hiperesfera de raio w0.

Considera-se que um vetor de referncia r(k) pertence ao conjunto limitado por

R={

r Rp : rT R1r 1, R = RT Rpp, R > 0} . (3.19)O controlador por realimentao de sada dinmica a ser projetado definido por (3.2), com

LK =

[Dk CkBk Ak

] R(m+nc)(p+nc). (3.20)

O sistema em malha fechada dado por:x f (k+1) = A f x f (k)+B1 f w(k)+B2 f r(k),

y(k) =Cy f x f (k),

z(k) = (C1 f x f (k)+D11 f w(k)+D12 f r(k),

(3.21)


onde

A f = A+B2LKCy, B1 f = B1, B2 f = B2LK1,

Cy f =T1 Cy, C1 f =C1+D12LKCy, (3.22)

D11 f = D11, D12 f = D12LK1,

com A DA e B2 DB2 .

Utilizando-se a equao (3.20), o sinal de controle u(k) pode ser descrito por

u(k) =T2 LKCyx f (k)+T2 LK1r(k). (3.23)

A partir das restries (3.16) e (3.17), definem-se os conjuntosD eD , para o sistema em

malha fechada, com:

D ={

x f : hTi T2 LKCyx f (k)+h

Ti

T2 LK1r(k) i, i > 0, i = 1, ,nh

}, (3.24)

D ={

x f : Ti T1 Cyx f (k) i, i > 0, i = 1, ,nn}. (3.25)

Os conjuntosD eD so as regies no espao de estado para as quais os sinais de controle

e de sada do sistema, respectivamente, no saturam. Portanto, a partir das equaes (3.24) e

(3.25), importante notar que o sistema de malha fechada resultante vlido somente para os

estados x f pertencentes a

D D . (3.26)

A funo de transferncia H f (z) entre a sada controlada z e a perturbao w igual a

H f (z) =C1 f (zIA f )1B1 f +D11 f (3.27)

com A DA e B2 DB2 .

Assim, o problema de controle robusto H de sistemas discretos sujeitos a restries no

controle e na sada pode ser formulado como segue:

Problema 1. Encontrar um controlador estvel por realimentao de sada dinmica

LK R(m+nc)(p+nc), (3.28)

de ordem fixa nc e um escalar positivo , tais que as seguintes condies sejam satisfeitas:

a. LK = arg min{ : H f (s)

};

b. as restries (3.16) e (3.17) sejam respeitadas pelas trajetrias do sistema em malha

3.4 Sntese de Controladores Robustos H 22

fechada (3.6), para quaisquer que sejam a perturbao w(k) D(w0) e a entrada dereferncia r(k) R.

3.4 Sntese de Controladores RobustosH

Nesta seo so descritos os lemas que esto associados as restries de controle e de

sada, definidas em (3.16) e (3.17), e o lema associado ao conceito de invarincia Para

o desenvolvimento dos resultados deste trabalho, a definio apresentada a seguir se faz

necessria (Arajo et al., 2006).

Definio 3.4.1. Sejam D e R conjuntos compactos e um conjunto no vazio. um

conjunto positivamente (D,R)-invariante em relao ao sistema (3.1) se para todo estado

inicial x f (k0) e toda perturbao w(k) D, x f (k) , k k0 e r(k) R.

Partindo-se do pressuposto que os domnios de invarincia positiva podem ser gerados a

partir de funes de Lyapunov quadrticas associadas aos sistemas estveis, conforme discutido

na seo 2.6, os domnios positivamente invariantes elipsoidais obtidos a partir das funes de

Lyapunov do tipo v(x) = xT Px, com P = PT > 0, sero utilizados para solucionar o problema

de sntese de controladores H.

Seja o conjunto elipsoidal , centrado na origem, definido por

={

x f Rn+nc : xTf Px f 1,P = PT > 0}, (3.29)

onde P Rnn.

Definindo-se L como o conjunto de todos os controladores LK R(m+nc)(p+nc) tais queA f seja assintoticamente estvel, A DA e B2 DB2 , o seguinte resultado pode ser obtido apartir da definio 3.4.1.

Proposio 3.4.1. O controlador por realimentao de sada dinmica LK uma soluo do

problema de controle robusto H para sistemas sujeitos a restries, no controle e na sada,

em tempo discreto, se e somente se

LK = arg min{ : H f (z) ,LK L

}(3.30)

e existe um conjunto qualquer Rn+nc positivamente (D,R)-invariante em relao aosistema (3.6) tal que

D D . (3.31)


Alguns lemas preliminares sero apresentados a seguir, os quais auxiliam na obteno

de uma soluo para o Problema 1. Supe-se que a matriz desconhecida Dk seja nula. No

lema 3.4.1, apresentado uma condio suficiente para que a restrio de controle (3.16) seja

respeitada, ou seja, D .

Lema 3.4.1. O elipside definido por (3.29) est contido no poliedro D (3.24), para um

dado controlador LK , com P Rnn, se e somente se[2i hTi T2 LKCy

CTy LTK2hi P

] 0, i = 1,2, . . . ,nh. (3.32)

Demonstrao: A partir das inequaes (3.24), uma funo suporte do elipside pode ser

escrita como

c(hi,Lk) = maxx f

hTi T2 LKCyx f . (3.33)

O Lagrangeano do problema de maximizao descrito por:

L(x f , ) = hTi T2 LKCyx f + (x

Tf Px f 1), (3.34)

onde R o multiplicador de Lagrange. Assim, as condies necessrias e suficientes deotimalidade so dadas por:

L

= xTf Px f 1 = 0,Lx

=CTy LTK2hi+2Px f = 0. (3.35)

Obtem-se assim

x f =P1CTy LTK2hi

2, (3.36)

=

hTi T2 LKCyP1CTy LTK2hi

2. (3.37)

Assim, conclui-se que a soluo tima dada por

c(hi,LK) =

hTi T2 LKCyP1CTy LTK2hi. (3.38)

Consequentemente, o elipside est contido emD , se e somente se c(hi,LK) i, i=1,2, . . . ,nh, o que equivalente a

hTi T2 LKCyP1CTy LTK2hi i, i = 1,2, . . . ,nh. (3.39)


As inequaes (3.39) podem ser escritas como

2i hTi T2 LKCyP1CTy LTK2hi 0, i = 1,2, . . . ,nh. (3.40)

Utilizando-se o complemento de Schur em (3.40), so obtidas as seguintes LMIs:[2i hTi T2 LKCy

CTy LTK2hi P

] 0, i = 1,2, . . . ,nh. (3.41)

No lema 3.4.2, apresentada uma condio suficiente para que a restrio de sada (3.17)

seja satisfeita, ou seja, D .

Lema 3.4.2. O elipside definido por (3.29) est contido no poliedro D (3.25), para um

dado controlador LK , com P Rnn, se e somente se[ 2i Ti T1 Cy

CTy 1i P

] 0, i = 1,2, . . . ,nn (3.42)

.

Demonstrao: A partir das inequaes (3.25), uma funo suporte do elipside pode ser

escrita como

s(i) = maxx f Ti T1 Cyx f . (3.43)

O Lagrangeano do problema de maximizao descrito por

L(x f , ) =Ti T1 Cyx f + (xTf Px f 1), (3.44)

onde R o multiplicador de Lagrange. Assim, as condies necessrias e suficientes deotimalidade so dadas por

L

= xTf Px f 1 = 0,Lx

=CTy 1i+2Px f = 0. (3.45)

Obtm-se assim

x f =P1CTy 1i

2, (3.46)

=Ti T1 CyP1C

Ty 1i

2. (3.47)


Portanto, na soluo tima tm-se

s(i) =Ti T1 CyP1C

Ty 1i. (3.48)

Consequentemente, o elipside est contido em D , se e somente se s(i) i, i =1,2, . . . ,nn, o que equivale a

Ti T1 CyP1CTy 1i i, 1,2, . . . ,nn. (3.49)

As inequaes (3.49) podem ser escritas como

Ti T1 CyP

1CTy 1i 2i , i = 1,2, . . . ,nn. (3.50)

Utilizando-se o complemento de Schur em (3.50), so obtidas as seguintes LMIs:[ 2i Ti T1 Cy

CTy 1i P

] 0, i = 1,2, . . . ,nn. (3.51)

O prximo lema apresenta uma condio suficiente assegurando a (D,R)-invarincia

positiva de um conjunto elipsoidal para as trajetrias do sistema de malha fechada, sem

levar em considerao as restries no controle e na sada.

Lema 3.4.3. Sejam o conjunto gerado por uma matriz simtrica definida positiva P Rnn,definido por(3.29), e o sistema incerto (3.3). Se existir uma matriz PRnn e escalares k 0,k 0, k = 1,2, . . . ,N M, tais que o conjunto de desigualdades

ATf PA f P+kP ATf PBT1 f ATf PBT2 fBT1 f PA f B

T1 f PB1 f kI BT1 f PB2 f

BT2 f PA f BT2 f PB1 f B

T2 f PB2 f (kkw20)R1

0, (3.52)para cada vrtice (Ai,B2 j) do conjunto DADB2 , ento um conjunto (D,R)-invariantepara o sistema de malha fechada e LK um controlador robusto que estabiliza o sistema (3.1).

Demonstrao: seja v(x f ) = xTf Px f uma funo de Lyapunov quadrtica, associada ao sistema

de malha fechada (3.3). A equao a diferenas de v(x f ) ao longo das trajetrias do sistema (3.3)


dada por

v(x f (k+1)) v(x f (k)) = xTf (ATf PA f P)x f + xTf A

Tf PB1 f w+ x

Tf A

Tf PB2 f r

+wT BT1 f PA f x f +wT BT1 f PB1 f w+w

T BT1 f PB2 f r

+rT BT2 f PA f x f + rT BT2 f PB1 f w+ r

T BT2 f PB2 f r.

(3.53)

Para simplificar notao, sumprimiu-se o tempo k nas equaes.

Para que seja um conjunto positivamente (D,R)-invariante para o sistema com incertezas

(3.3), suficiente que v(x f (k+ 1)) v(x f (k)) 0, qualquer que seja o vetor x f pertencente fronteira de , isto , xTf Px f = 1, e para toda perturbao admissvel w D(w0) e refernciar R. Assim, um conjunto positivamente (D,R)-invariante para o sistema (3.3) se

xTf (ATf PA f P)x f + xTf A

Tf PB1 f w+ x

Tf A

Tf PB2 f r+w

T BT1 f PA f x f +wT BT1 f PB1 f w

+wT BT1 f PB2 f r+ rT BT2 f PA f x f + r

T BT2 f PB1 f w+ rT BT2 f PB2 f r 0,

(3.54)

para um ponto qualquer (x f ,w,r) tal que xTf Px f 1, wT w w20 e rT R1r 1.

Utilizando o S-procedure, apresentado na seo 2.3.3, esta condio pode ser reescrita sem

restries:

Se existem escalares k 0, k 0 e k 0 tais que

xTf (ATf PA f P)x f + xTf A

Tf PB1 f w+ x

Tf A

Tf PB2 f r+w

T BT1 f PA f x f +wT BT1 f PB1 f w

+wT BT1 f PB2 f r+ rT BT2 f PA f x f + r

T BT2 f PB1 f w+ rT BT2 f PB2 f r

+k(xTf Px f 1)+k(w20wT w)+ k(1 rT R1r) 0,(3.55)

x f Rn, w Rl e r R, entao um conjunto positivamente (D,R)-invariante para osistema (3.3). Neste caso, este procedimento assegura somente a suficincia da nova condio.

A desigualdade (3.55) pode ser reescrita comox fw

r

T

ATf PA f P+kP ATf PB1 f ATf PB2 fBT1 f PA f B

T1 f PB1 f kI BT1 f PB2 f


T2 f PB2 f kR1

x fw

r

+ (3.56)k +kw20+ k 0.

Na desigualdade (3.56) observa-se que x f , w e r podem assumir quaisquer valores em seus

respectivos espaos, o que implica na necessidade da condio

k +kw20+ k 0. (3.57)


Assim, a desigualdade (3.57) pode ainda ser escrita comoATf PA f P+kP ATf PB1 f ATf PB2 f 0

BT1 f PA f BT1 f PB1 f kI BT1 f PB2 f 0


T2 f PB2 f kR1 0

0 0 0 k +kw20+ k

0. (3.58)

Alm disso, se a desigualdade (3.58) for satisfeita para uma combinao (k, k,k), ento

ela tambm satisfeita para qualquer k tal que

k k k kw20. (3.59)

Assim, sem perda de generalidade, escolhe-se

k = kkw20, (3.60)

obtendo-se para (3.58) a desigualdade dada por:ATf PA f P+kP ATf PB1 f ATf PB2 f

BT1 f PA f BT1 f PB1 f kI BT1 f PB2 f


T2 f PB2 f (k +kw20)R1

0. (3.61)

No entanto, a desigualdade (3.61) deve ser verificada para toda matriz A f , com A DA eB2 DB2 . Como as incertezas so convexas, avalia-se (3.61) somente nos vrtices (Ai,B2 j) deDADB2 .

A partir dos resultados apresentados nos lemas 1, 2 e 3, o seguinte teorema fornece uma

soluo para o Problema 1.

Teorema 1. Seja o sistema incerto (3.13) sujeito as restries no controle e na sada, e

(P,LK,k,k) a soluo do problema de otimizao

minP,LK ,k,k

(3.62)

sujeito a

[2i hTi T2 LKCy

CTy LTK2hi P

] 0, i = 1,2, . . . ,nh, (3.63)


[ 2i Ti T1 Cy

CTy 1i P

] 0, i = 1,2, . . . ,nn, (3.64)

P PA f PB1 f 0ATf P P 0 CT1 fBT1 f P 0 I DT11 f

0 C1 f D11 f I

< 0, (3.65)

ATf PA f P+kP ATf PBT1 f ATf PBT2 f

BT1 f PA f BT1 f PB1 f kI BT1 f PB2 f


T2 f PB2 f (kkw20)R1

0, (3.66)para k = 1,2, . . . ,N M e em cada vrtice (Ai,B2 j) de DADB2 .

Assim, o controlador LK uma soluo do problema de controle robusto H de sistemas

sujeitos a restries no controle e na sada em tempo discreto e o conjunto elipsoidal , gerado

por P, positivamente (D,R)-invariante para o sistema em malha fechada (3.6).

Demonstrao: As LMIs (3.63) e (3.64) garantem, de acordo com os lemas 3.4.1 e 3.4.2, que

o conjunto elipsoidal verifica a condio (3.31), isto , D D .

Partindo-se da definio de norma H, as desigualdades matriciais (3.65) (Gahinet e

Apkarian, 1994), garantem o desempenho do controlador.

As desigualdades matriciais (3.66), conforme o lema 3.4.3, garantem (D,R)-invarincia

positiva do conjunto para o sistema de malha fechada.

As desigualdades matriciais apresentadas em (3.65) e (3.66) so bilineares (BMIs), ou

seja, no so convexas em LK , P e k. Assim, para solucionar este problema de otimizao,

proposto, no prximo captulo, um algoritmo hbrido, utilizando-se Evoluo Diferencial e

LMIs.

29

4 Algoritmo de Sntese

4.1 Introduo

Neste captulo, apresentada uma descrio sobre o mtodo de otimizao evolutiva,

conhecido como Evoluo Diferencial (ED), e o algoritmo de sntese proposto com o objetivo de

solucionar o problema abordado neste trabalho. Considerando-se que o problema a ser resolvido

suficientemente complexo, o que acaba dificultando uma formulao matemtica que atenda

os requisitos bsicos de tratabilidade pelas ferramentas convencionais, a abordagem via ED

torna-se atrativa.

Na seo 4.2, o conceito principal e as etapas de implementao do ED so descritas. As

estratgias de ED so apresentandas na seo 4.3. Na seo 4.4, o algoritmo de sntese hbrido

desenvolvido, utilizando os conceitos de Evoluo Diferencial e LMIs, apresentado.

4.2 Evoluo Diferencial

Evoluo Diferencial (ED) pode ser classificado como um algoritmo evolutivo codificado

em ponto flutuante, voltado para otimizao global sobre espaos contnuos. O algoritmo

de ED foi proposto por (Storn e Price, 1995, 1997) para solucionar o problema de ajuste

polinomial de Chebyshev. Assim como os Algoritmos Genticos, as Estratgias Evolutivas

e a Programao Evolutiva, a Evoluo Diferencial faz parte de uma grande rea conhecida

como Computao Evolutiva. Entretanto, a Evoluo Diferencial considerada mais eficaz e

robusta do que as demais subreas (Vesterstrom e Thomsen, 2004), podendo ser utilizada para

encontrar solues aproximadas em problemas prticos em que as funes objetivo so no

lineares ou no diferenciveis no espao contnuo.

Conforme (Cheng e Hwang, 2001), a escolha do algoritmo de ED para otimizao de

problemas baseada nas seguintes caractersticas: um algoritmo de busca estocstica,

originado dos mecanismos de seleo natural; busca a soluo em diferentes regies do espao,

4.2 Evoluo Diferencial 30

ou seja, dificilmente torna-se preso em timos locais; permite que os parmetros de entrada e

sada sejam manipulados como nmeros ordinrios reais utilizando eficientemente os recursos

do computador; e eficaz trabalhando com uma populao pequena.

O processo de otimizao de um algoritmo de ED consiste basicamente em adicionar a

diferena vetorial ponderada, entre dois indivduos escolhidos aleatoriamente na populao, a

um terceiro indivduo, gerando assim um indivduo modificado. Em seguida, as componentes

do indivduo modificado so recombinadas com as componentes de um indivduo escolhido

aleatoriamente, resultando em um indivduo tentativa. Se este indivduo tentativa resultar em um

valor da funo objetivo menor que o do indivduo escolhido anteriormente de forma aleatria,

ento ele o substituir na gerao seguinte.

Este processo de ED pode ser dividido em cinco etapas: inicializao, mutao,

recombinao, avaliao e seleo. A figura 2 representa o procedimento geral do algoritmo

da evoluo diferencial com as respectivas etapas.

Figura 2: Processo da Evoluo Diferencial.

4.2.1 Inicializao

Na fase de inicializao, as variveis de controle so inicializadas e a populao inicial

gerada. As variveis de controle a serem inicializadas so: F (fator que controla a amplitude da

diferena ponderada), CR (probabilidade de cruzamento) e NP (tamanho da populao).

Em (Storn e Price, 1997) so recomendados valores que devem ser adotados para as

variveis de controle. O valor de F a ser escolhido deve pertencer ao intervalo [0,2], e quanto

maior for o tamanho da populao escolhida, menor deve ser o valor de F . Para a varivel

CR, o valor a ser escolhido deve pertencer ao intervalo [0,1]. Valores prximos a 0 tornam

a convergncia do algoritmo mais lenta e valores prximos a 1 tornam a convergncia mais

rpida. O tamanho da populao NP deve ser escolhido como sendo 10 D, onde D igual dimenso ou ao nmero de variveis do problema.

Aps a inicializao das variveis de contole, a populao inicial gerada. A populao

inicial contm NP indivduos, denominado de vetores. Cada vetor contm n componentes, que

4.2 Evoluo Diferencial 31

representam as variveis do problema de otimizao. Os indivduos da populao inicial so

escolhidos aleatoriamente, geralmente com distribuio de probabilidade uniforme.

4.2.2 Mutao

Aps as variveis serem inicializadas e a populao inicial ser gerada, ocorre a mutao, que

um operador baseado na evoluo natural, cujo objetivo manter a diversidade da populao

e expandir o espao de busca.

Neste trabalho, a forma de realizar a mutao ocorre da maneira descrita a seguir. Entre

os NP indivduos da populao, so escolhidos aleatoriamente trs vetores X , X e Xdistintos entre si. Na gerao q um par de vetores (X ,X ) define uma diferena X - X . Esta

diferena multiplicada pela varivel de controle F, sendo denotada por diferena ponderada.

A diferena ponderada usada para perturbar o terceiro vetor X . Assim, para cada vetor

X (q)i , i = 1,2, . . . ,NP, chamado de vetor alvo, na gerao q, um vetor mutante gerado pela

expresso:

V (q+1)i = X(q) +F(X

(q) X

(q) ), (4.1)

onde os indces aleatrios , e {1, . . . ,NP} devem ser diferentes entre si, e diferentes dei. Portanto, so gerados NP vetores mutantes V (q+1)i , i = 1,2, . . . ,NP.

4.2.3 Recombinao

Na fase de recombinao introduzido o cruzamento para aumentar a diversidade dos

indivduos que sofreram a mutao. O vetor tentativa U (q+1)i , resultante do cruzamento,

formado pela mistura dos componentes do vetor mutante V (q+1)i com o vetor alvo X(q)i , para

cada i = 1,2, . . . ,NP.

As componentes do vetor tentativa U (q+1)i , representadas por u(q+1)i( j) , j = 1,2, . . . ,D, so

formadas conforme a expresso:

u(q+1)i( j) =

v(q+1)i( j) , se ri CR ou j = (i),

x(q)i( j), se ri >CR e j 6= (i), j = 1,2, . . . ,D,(4.2)

onde ri um nmero gerado aleatoriamente no intervalo [0,1], x(q)i( j) e v

(q+1)i( j) so as componentes

dos vetores alvo X (q)i e mutante V(q+1)i , respectivamente, CR a probabilidade do cruzamento,

ou seja, a probabilidade do vetor tentativa herdar os valores das variveis do vetor doador

V (q+1)i , e (i) um nmero aleatrio escolhido no conjunto {1,2, . . . ,D}.

4.3 Estratgias da Evoluo Diferencial 32

Quando a probabilidade de cruzamento CR for igual a 1, todas as componentes do vetor

tentativa U (q+1)i sero herdadas do vetor doador V(q+1)i . Caso a probabilidade de cruzamento

CR for igual a 0, todas as componentes do vetor tentativa sero herdades do vetor alvo X (q)i .

4.2.4 Avaliao

Na fase de avaliao, o custo de cada um dos indvduos i = 1,2, . . . ,NP, do vetor alvo

X (q)i e do vetor tentativa U(q+1)i so calculados, representados respectivamente por f (X

(q)i ) e

f (U (q+1)i ).

4.2.5 Seleo

Na fase de seleo, os melhores filhos so produzidos, e portanto so determinados

os vetores alvo da gerao seguinte. O custo do vetor tentativa U (q+1)i , representado por

f (U (q+1)i ), comparado com o custo do vetor alvo X(q)i , representado por f (X

(q)i ), para cada

i= 1,2, . . . ,NP. Se o custo do vetor alvo for menor que o custo do vetor tentativa, ao vetor alvo

permitido avanar para a prxima gerao. Caso contrrio, o vetor tentativa substitui o vetor

alvo na gerao seguinte. Este processo de seleo pode ser escrito como:

Se f (U (q+1)i ) f (X (q)i ), entao X (q+1)i =U (q+1)i ,

Se f (U (q+1)i )> f (X(q)i ), entao X

(q+1)i = X

(q)i , i = 1,2, . . . ,NP.

(4.3)

Para que o procedimento de ED seja finalizado, algum critrio de parada deve ser adotado,

como por exemplo, estabelecendo-se um nmero mximo de geraes.

4.3 Estratgias da Evoluo Diferencial

O algoritmo de ED pode variar de acordo com o critrio de escolha do indivduo a

ser modificado na formao do vetor mutante, o nmero de indivduos considerados para

perturbao e o tipo de cruzamento a ser utilizado. As estratgias de EDl so usualmente escritas

pela notao ED/a/b/c, onde:

a - especifica o vetor a ser modificado X , podendo ser rand (um vetor da populaoescolhido aleatoriamente) ou best (o vetor de menor custo da populao);

b - determina o nmero de vetores diferena usados na mutao;

4.4 Algoritmo Hbrido 33

c - denota o tipo de cruzamento, exponencial (exp) ou binomial (bin).

Alternando entre os diferentes valores de a, b e c, dez estratgias podem ser descritas de

acordo com a Tabela 1. A estratgia a ser adotada para um problema determinada por tentativa

e erro, pois uma estratgia que funciona bem para um dado problema pode no funcionar bem

quando aplicada a outro problema.

Tabela 1: Estratgias da Evoluo Diferencial

Nmero Mutao Notao

1 V (q+1) = X (q) +F(X(q) X

(q) ) ED/rand/1/bin

2 V (q+1) = X (q)best +F(X(q) X

(q) ) ED/best/1/bin

3 V (q+1) = X (q) +F(X(q) X

(q) +X

(q) X (q) ) ED/rand/2/bin

4 V (q+1) = X (q)best +F(X(q) X (q) +X

(q) X (q) ) ED/best/2/bin

5 V (q+1) = X (q)old +F(X(q)bestX (q)old +X (q) X (q) ) ED/rand-to-best/2/bin

6 V (q+1) = X (q) +F(X(q) X

(q) ) ED/rand/1/exp

7 V (q+1) = X (q)best +F(X(q) X

(q) ) ED/best/1/exp

8 V (q+1) = X (q) +F(X(q) X

(q) +X

(q) X (q) ) ED/rand/2/exp

9 V (q+1) = X (q)best +F(X(q) X (q) +X

(q) X (q) ) ED/rand/2/exp

10 V (q+1) = X (q)old +F(X(q)bestX (q)old +X (q) X (q) ) ED/rand-to-best/2/exp

Fonte: (Arantes et al., 2006).

4.4 Algoritmo Hbrido

No captulo anterior, foi formulado o Teorema 1, com a finalidade de resolver o problema

proposto neste trabalho. No entanto, o teorema composto por desigualdades matriciais que

no so convexas, e, consequentemente, tem-se um problema no convexo a ser solucionado.

Assim, um algoritmo hbrdo proposto baseado em ED e em LMIs, a fim de resolver o

problema de projeto de controladores robustos.

A Computao Evolutiva, que um importante mtodo de otimizao, vem sendo aplicada

com sucesso a uma grande variedade de problemas de otimizao em engenharia. A medida

que novos problemas de otimizao em engenharia aparecem, sempre com funes objetivo

sendo no-diferencivel, no-contnua, no-linear, perturbada e multidimensional, ou possuindo

vrios mnimos locais e restries complexas por causa dos diferentes requerimentos prticos,

as abordagens eficazes e viveis para solucionar tais problemas esto se tornando insatisfatrias

e insuficientes. A ED, que um mtodos de otimizao pertencente a rea da Computao


Evolutiva, tem sua efetividade e eficincia demonstrada com sucesso nos ltimos anos atravs

de uma ampla quantidade de aplicaes (Nearchou e Omirou, 2006), tornando-se um mtodo

satisfatrio para solucionar tais problemas em engenharia (Ronkkonen et al., 2005; Salman et

al., 2007).

Para que o problema seja solucionado, necessrio encontrar os valores de quatro variveis:

P, LK , k e k. Baseado na estrutura geral do algoritmo de ED, com um conjunto de

solues candidatas para as variveis LK e k, as desigualdades matriciais do problema podem

ser tratadas como sendo convexas (LMIs). Assim, para cada par (LK ,k) o algoritmo pode

determinar, resolvendo um problema de otimizao convexo, as demais variveis do problema,

P e k.

Desta forma, o algoritmo hbrido proposto gera uma populao inicial Pop de solues

candidatas (indivduos) para as variveis LK e k. Em cada gerao j, o problema de otimizao

convexo resultante pode ser resolvido utilizando o pacote LMI-Lab do software MATLAB,

(Gahinet et al., 1995) para cada soluo candidata, ou seja, o par (LK ,k). Assim, todos os

indivduos da populao Pop so avaliados e ao final de determinando nmero de geraes,

encontram-se os valores das variveis que solucionam o problema apresentado, de tal forma

que as desigualdades sejam satisfeitas.

4.4.1 Algoritmo

O algoritmo proposto para resolver o Problema 1, com a minimizao da norma H, pode

ser descrito como:

Algoritmo 1 Algoritmo de Sntese

Gerar uma populao inicial factvel Pop;evalP Calcular a aptido de cada indivduo de Popenquanto Nmero de geraes no for atingido ( j < J) faa

Gerar o vetor modificado V;U Realizar o cruzamento entre Pop e V;evalU Calcular a aptido de cada indivduo de U;para i = 1 at M faa

se evalUi > evalPi entoSubstituir Popi por Ui em Pop

fim sefim para

fim enquanto


4.4.2 Inicializao do Controlador

Para inicializar os indivduos LK , a gerao da populao inicial clssica de ED, apresentada

em (Storn e Price, 1995), requer um enorme esforo computacional, porque o espao de

busca no convexo e os limites do espao de busca so desconhecidos. A fim de reduzir o

esforo computacional na gerao de indivduos factveis, uma abordagem descrita em (Arajo,

1998) foi implementada. Esta abordagem fornece uma condio suficiente para a gerao de

elementos factveis, do ponto de vista da estabilidade quadrtica, atravs de um problema de

controle robusto por realimentao de estados.

Portanto, necessrio que o problema de controle robusto por realimentao de sada

esttica seja escrito na forma de um problema de controle por realimentao de estados.

Utilizando-se a lei de controle u = LK y, onde LK dado por (3.5), o problema de controle

robusto por realimentao de sada dinmica pode ser reescrito como um sistema por

realimentao de sada esttica, possibilitando o problema ser escrito como um problema de

controle por realimentao de estados. Seja o sistema obtido a partir dex(k+1) = Ax f (k)+ B1w(k)+ B2u(k)

y(k) = Cyx f (k)

z(k) = C1x f (k)+ D11w(k)+ D12u(k)

, (4.4)

A lei de controle por realimentao esttica de sida dada por:

u = LK y. (4.5)

Se o posto de Cy no for completo, gera-se uma matriz aleatria N tal que a matriz

M =

[N

Cy

](4.6)

tenha posto completo. Com a matriz M, definida em (4.6), realiza-se a transformao de

similaridade x = Mx f e o sistema se torna:x(k+1) = Ax f (k)+B1w(k)+B2u(k)

y(k) =Cyx f (k)

z(k) =C1x f (k)+D11w(k)+D12u(k)

, (4.7)

onde A = MAM1, B1 = MB1, B2 = MB2, C1 = C1M1 e Cy = CyM1. A lei de controle

resultante dada por

u = LCyM1x = Lx, (4.8)


onde o novo controlador L possui a seguinte estrutura:

L =[

0 LK]. (4.9)

Para tornar o problema convexo e encontrar os controladores factveis LK , utiliza-se a

transformao L G = L, com matrizes de estrutura fixa dadas por

G =

[[](np) 0

0 [](p)

]L =

[0(m(np)) [](mp)

](4.10)

para solucionar as LMIs, [Pi j AiG+B2 jL

GT ATi +LT BT2 j G+G

T Pi j

] 0, (4.11)

em cada vrtice (Ai,B2 j) de DADB2 .

O controlador robusto LK extrado de L e os k so determinados de forma aleatria.

Conforme (Neumann, 2006), as restries impostas s estruturas de G e L inserem um

conservadorismo extra na gerao da populao inicial, fazendo com que o procedimento no

encontre solues factveis para determinados problemas ou confinando a populao inicial em

uma regio restrita do espao de busca, comprometendo a regio inicial de busca e a diversidade

da populao inicial.

37

5 Resultados

5.1 Introduo

Este captulo tem como objetivo a validao do mtodo proposto para a soluo do

problema de controle robusto H de sistemas discretos sujeitos a restries no controle e na

sada. Assim, dois exemplos extrados da literatura, relacionados com o problema abordado,

so estudados.

5.2 Exemplo 1

Neste exemplo, utilizado um sistema incerto em tempo discreto, baseado no problema

descrito em (Lu et al., 2005), e descrito pelas seguintes equaes:x(k+1) = Ax(k)+B1w(k)+B2u(k),

y(k) =Cyx(k),

z(k) =C1x(k)+D11w(k)+D12u(k),

com

A1 =

[0,1 0,20 1

], A2 =

[0,2 0,20 1

],

B1 =

[1

1

], B21 =

[22

], B22 =

[4

4

],

C1 =[

1 0], Cy =

[1 2

],

D11 = [0,1] , D12 = [1] .

5.2 Exemplo 1 38

O sinal de controle est sujeito s seguintes restries:

1 u(k) 1.

As restries no sinal de sada so dadas por:

5 y(k) 5,

e o sinal de perturbao est restrito a uma esfera de raio w0 = 0,2 e centro na origem.

A entrada de referncia satisfaz seguinte restrio:

1 r(k) 1.

O controlador por realimentao dinmica de sada, de ordem completa (nc = 2), obtido

pelo algoritmo de sntese apresentado na seo 4.4, definido por{ (k+1) = Ak (k)+Bke(k),

u(k) =Ck (k)+Dke(k),

com

Ak =

[0,0301 0,32880,2561 0,3994

], Bk =

[0,4269

0,1933

],

Ck =[

0,1031 0,0380], Dk = [0] .

A norma H associada ao limitante superior = 1,3445 e o melhor valor do vetor kencontrado :

k =[

0,2664 0,2678].

O conjunto positivamente (D,R)-invariante determindo pela matriz

P =

0,9696 0,1173 0,0101 0,01570,1173 0,7490 0,3518 0,01500,0101 0,3518 0,5057 0,31710,0157 0,0150 0,3171 0,3400

.

5.2 Exemplo 1 39

Neste exemplo, o algoritmo foi executado durante 200 geraes com uma populao inicial

de 20 indivduos, e as variveis de controle do ED foram CR = 0,8 e F = 0,5. A evoluo dos

valores da normaH durante a execuo do algoritmo hbrido apresentada na Figura 3. Nota-

se que a partir da centsima gerao, a norma j est prxima de seu valor timo, justificando a

parada do algoritmo em 200 iteraes.

Figura 3: Evoluo da norma H ao longo das geraes

Nas Figuras 4 e 5, so ilustrados os sinais de controle e sada do sistema em malha

fechada quando o processo definido pelo modelo tal com vrtices (A1,B21) e (A2,B22),

respectivamente. Nestas figuras no h perturbao externa atuando sobre o processo, isto ,

w(k) = 0, k, e o sinal de referncia 1, isto , r(k) =1, k 0.

(a) Sinal de Controle (b) Sinal de Sada

Figura 4: Sinais de Controle e Sada para o sistema definido por (A1,B21).

5.2 Exemplo 1 40






w(k) = 0, k, e o sinal de referncia 1, isto , r(k) = 1, k 0.



5.2 Exemplo 1 41





respectivamente. Nestas figuras h perturbao externa atuando sobre o processo, isto ,

w(k) = 0,2, k, e o sinal de referncia 1, isto , r(k) =1, k 0.



5.2 Exemplo 1 42






w(k) = 0,2, k, e o sinal de referncia 1, isto , r(k) = 1, k 0.



5.2 Exemplo 1 43



Dentre as Figuras 4 11 pode ser observado que as restries nos sinais de controle e

de sada so respeitadas pelo controlador projetado para o sistema apresentado, na ausncia

ou presena de um sinal de perturbao. O desempenho do controlador projetado satisfatrio,

uma vez que quanto menor for o valor da normaH, menor ser o efeito da perturbao externa

w sobre o sinal de sada do sistema.

O exemplo foi executado durante 20 vezes, para os parmetros apresentados acima, o que

permitiu determinar o desvio padro e a mediana dos valores da norma H. O desvio padro

calculado foi de 0,0158 e a mediana foi de 1,3365.

A Tabela 2 mostra os resultados obtidos para este problema, considerando-se controladores

com dimenses diferentes.

Tabela 2: Resultado do limitante superior da norma H para controladores de diferentesdimenses.

Ordem do Controlador

1 1,33

2 1,34

Nota-se que os limitantes da normaH so prximos para os dois controladores, ou seja, o

desempenho do sistema permanece o mesmo para as diferentes dimenses.

5.3 Exemplo 2 44

5.3 Exemplo 2

Este exemplo uma adaptao do problema descrito em (Zhai et al., 2002). Seja o sistema

incerto em tempo discreto, descrito pelas seguintes equaes:x(k+1) = Ax(k)+B1w(k)+B2u(k),

y(k) =Cyx(k),

z(k) =C1x(k)+D11w(k)+D12u(k),

e

A =

0,46 1,08 1,15 0,990,33 0,52 1,28 0,971,38 0,34 0,65 0,670,53 0,55 0,19 0,27

, B1 =

0,29

0,71

0,49

0,20

, B2 =

0,73

2,02

1,82b1

,

C1 =[0,67 0,40 0,18 0,40

], Cy =

[1,71 0,93 0,64 0,63

],

D11 = [0,63] , D12 = [0] ,

com 1 b1 0,43.

O sinal de controle est sujeito s seguintes restries:

10 u(k) 10.

As restries no sinal de sada so dadas por:

10 y(k) 10,

e a perturbao est restrita a uma esfera de raio w0 = 0,5 e centro na origem..

A entrada de referncia satisfaz seguinte restrio:

3 r(k) 3.

O controlador por realimentao dinmica de sada, de ordem completa (nc = 4), obtido

pelo algoritmo de sntese apresentado na seo 4.4, definido por{ (k+1) = Ak (k)+Bke(k),

u(k) =Ck (k)+Dke(k),

5.3 Exemplo 2 45

onde

Ak =

0,2655 0,1274 0,4447 0,63100,0559 0,0286 0,6946 1,17100,2297 0,6007 0,1273 0,31750,1415 0,2733 0,1752 0,6427

, Bk =0,24040,22870,2346

0,2511

,

Ck =[

0,6191 0,4019 0,2189 0,2047], Dk = [0] .

A norma H associada ao limitante superior = 52,75 e o melhor valor do vetor kencontrado :

k =[

0,2257 0,2186].

O conjunto positivamente (D,R)-invariante determindo pela matriz:

P=

2,0860 1,4276 1,4478 2,4099 2,2364 1,8234 4,1340 3,18261,4276 1,1041 0,9100 1,6519 1,5995 1,2760 2,9709 2,23301,4478 0,9100 1,0995 1,7204 1,5611 1,2358 2,8457 2,24672,4099 1,6519 1,7204 2,8559 2,6504 2,1038 4,8886 3,78692,2364 1,5995 1,5611 2,6504 11,0386 8,2752 5,4681 1,98061,8234 1,2760 1,2358 2,1038 8,2752 6,3598 4,2368 1,60984,1340 2,9709 2,8457 4,8886 5,4681 4,2368 8,7419 6,53713,1826 2,2330 2,2467 3,7869 1,9806 1,6098 6,5371 5,5933

.

O algoritmo foi executado durante 200 geraes com uma populao inicial de 20

indivduos, e as variveis de controle do ED foram CR = 0,8 e F = 0,5. A evoluo dos

valores da norma H durante a execuo do algoritmo hbrido apresentada na Figura 12.

5.3 Exemplo 2 46

Figura 12: Evoluo da norma H ao longo das geraes.


fechada quando o processo definido pelo modelo tal com vrtices (A,B21) e (A,B22),


w(k) = 0, k, e o sinal de referncia 3, isto , r(k) =3, k 0.


Figura 13: Sinais de Controle e Sada no vrtice (A,B21).

5.3 Exemplo 2 47






w(k) = 0, k, e o sinal de referncia 3, isto , r(k) = 3, k 0.



5.3 Exemplo 2 48






w(k) = 0,5, k, e o sinal de referncia 3, isto , r(k) =3, k 0.



5.3 Exemplo 2 49






w(k) = 0,5, k, e o sinal de referncia 3, isto , r(k) = 3, k 0.



5.3 Exemplo 2 50



Dentre as figuras 13 20 pode ser observado que as restries nos sinais de controle e

de sada so respeitadas pelo controlador projetado para o sistema apresentado, na ausncia

ou presena de um sinal de perturbao. O desempenho do controlador projetado no to

satisfatrio, pois o valor da norma H relativamente alto, no fornecendo uma boa filtragem

do sinal de perturbao.

O problema foi executado durante 20 vezes consecutivas para os parmetros apresentados

acima, o que permitiu determinar o desvio padro e a mediana dos valores da norma H. O

desvio padro calculado foi de 3,17 e a mediana foi de 49,26.

A Tabela 3 mostra os resultados obtidos para este problema considerando controladores

com dimenses diferentes.

Tabela 3: Resultado do limitante superior da norma H para controladores de diferentesdimenses.

Ordem do Controlador

2 52,27

3 52,51

4 52,75

Nota-se pela Tabela 3 que as normas H obtidas so relativamentes altas, no fornecendo

uma boa filtragem do sinal de perturbao. No entanto, o desempenho do sistema permanece o

mesmo para as diferentes dimenses dos controladores.

51

6 Concluso

Neste trabalho foi abordado o problema da sntese de controladores robustos de sistemas

discretos sujeitos a restries no controle e na sada, utilizando como critrio de desempenho a

norma H.

A descrio do problema baseada em um controlador por realimentao de sada

dinmica, que garante a estabilidade e o desempenho do sistema frente as incertezas e restries

a qual est submetido. Para solucionar o problema foram utilizados os conceitos de estabilidade

quadrtica e de invarincia positiva. As restries no controle e na sada so satisfeitas

utilizando uma funo de Lyapunov quadrtica, que assegura a (D,R)-invarincia positiva de

conjuntos elipsoidais. Desta maneira, no ocorrem saturaes nas variveis do sistema.

No entanto, o teorema apresentado, que trata da sntese do controlador, expresso atravs

de desigualdades matriciais lineares (LMIs) e bilineares (BMIs), ou seja, caracterizado como

um problema de otimizao no-convexo. As LMIs podem ser tratadas computacionalmente

utilizando a caixa de ferramentas LMI Control Toolbox do software Matlab. Porm, para que

as BMIs fossem tratadas computacionalmente, foi utilizado em conjunto com o LMI Control

Toolbox um mtodo baseado em Evoluo Diferencial.

A Evoluo Diferencial uma ferramenta capaz de solucionar problemas de otimizao

no-convexos e dessa maneira, optou-se em propor um algoritmo hbrido baseado em Evoluo

Diferencial e LMIs. Esse algoritmo busca uma soluo robusta para a sntese do controlador

que satisfaa as restries no controle e na sada. Uma dificuldade deste mtodo encontrada

na inicializao do algoritmo e na determinao da populao inicial de controladores factveis.

Esse processo de inicializao pode confinar a populao inicial em uma regio restrita do

espao de busca.

O algoritmo proposto foi aplicado em exemplos retirados da literatura e encontrou um

controlador que solucionasse o problema de controle robusto H sujeito a restries. Esse

controlador pode ser de ordem reduzida ou de ordem completa, diferentemente de vrios

mtodos de sntese que requerem que o controlador seja de ordem completa. importante

6 Concluso 52

notar que essa sequncia de minimizao no garantir a convergncia para um timo global da

soluo, ou mesmo local. No entanto, o algoritmo apresentado oferece uma opo interessante

para resolver o problema.

Como trabalhos futuros de aplicao do controle robusto H, pode-se sugerir os seguintes

tpicos de pesquisa:

utilizar o conceito de funo de Lyapunov dependente de parmetro

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