-
315
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E
1 UVOD
Postopek Karlsruhe so razvili K. R. Koch, B. Heck, E. Kuntz in
B. Meier-Hirmer na Geodetskemintitutu Univerze Karlsruhe v Zvezni
republiki Nemiji.
Bistvo postopka Karlsruhe je (neodvisna) izravnava posameznih
izmer in nato skupna izravnavaopazovanj obeh izmer hkrati z
naslednjimi predpostavkami, ki morajo biti izpolnjene pred
skupnoizravnavo:
v obeh izmerah morajo biti osnovne toke mirujoe,
v obeh izmerah mora biti merilo mree enako in
v obeh izmerah mora biti natannost opazovanj homogena.
Prvo informacijo o stabilnosti osnovnih tok dobimo na osnovi
geoloko-geofizikalnegaraziskovanja zemljia okoli tok. Podatek o
merilu mree in prav tako informacijo o premikihosnovnih tok dobimo
s Helmertovo transformacijo koordinat osnovnih tok tekoe izmere
napredhodno. Neujemanje koordinat tok po transformaciji nam da
informacijo o premikih osnovnihtok. Razliko v merilu mree dobimo iz
parametrov Helmertove transformacije. Homogenost
POVZETEK
V lanku je opisan postopek Karlsruhe, ki je eden izmedpostopkov
deformacijske analize. Z uporabo statistinihmetod in na osnovi
geodetskih opazovanj doloimo,ali so premiki tok statistino znailni.
Podan je prikazmetode na testnem primeru.
KLJUNE BESEDEdeformacijska analiza, postopek Karlsruhe,raunski
primer
deformation analysis, Karlsruhe approach,numerical example
Klasifikacija prispevka po COBISS-u: 1.02
ABSTRACT
Karlsruhe approach, which is one of the methods forthe
deformation analysis, is presented in the article.Based on geodetic
observations, statistical significanceof displacements at the
surface is determined bystatistical methods. A numerical example
shows theeffectiveness of the presented method.
KEY WORDS
UDK: 528.1
DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU KARLSRUHEDEFORMATION ANALYSIS,
KARLSRUHE APPROACH
Toma Ambroi
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:09315
-
316
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E natannosti opazovanj doloimo, tako kot pri postopku Hannover,
s testom F. e so opazovanjanehomogena, moramo pred izravnavo
popraviti njihove utei.
Nadaljnje testiranje premikov tok pa naredimo s postopkom, ki ga
opisujemo v tretjem poglavjuSkupna izravnava opazovanj obeh izmer
in testiranje hipoteze o premikih tok.
Postopek lahko razdelimo na tri korake:
doloitev utei opazovanj, izravnava opazovanj posamezne izmere in
odkrivanje grobihpogrekov med opazovanji,
skupna izravnava opazovanj obeh izmer in testiranje hipoteze o
premikih tok,
konna izravnava opazovanj in grafina interpretacija
rezultatov.
2 DOLOITEV UTEI OPAZOVANJ, IZRAVNAVA OPAZOVANJ POSAMEZNE IZMERE
IN ODKRIVANJE GROBIH POGREKOV MED OPAZOVANJI
Najprej moramo posvetiti pozornost izraunu referennih varianc
enote utei za doline 2
idV in
za smeri 2isV (Vodopivec in Kogoj, 1997). Indeks i oznauje
posamezno izmero: 1 i oznauje
predhodno izmero, 2 i pa tekoo izmero. Utei razlinih skupin
opazovanj v posamezniizmeri izraunamo z naslednjima enabama:
2
2
0
i
i
i
d
dP VV
in 22
0
i
i
i
s
sP VV
,
kjer je:
2
0iV ... a priori referenna varianca enote utei posamezne
izmere,
2
idV , 2
isV ... oceni za referenno varianco enote utei za doline in
smeri posamezne izmere.
Opazovanja moramo izravnati v prosti mrei za vsako izmero
posebej, kot velja za druge postopkedeformacijske analize.
Orientacijske neznanke moramo odstraniti z redukcijo neznank v
enabahpopravkov (Heck, 1983). Pribline koordinate tok morajo biti v
izravnavi predhodne in tekoeizmere enake.
V vsaki izravnavi posebej tvorimo kvadratno formo (vsoto
kvadratov popravkov opazovanj)
iiii vPvT : .
Skupno kvadratno formo za obe izmeri dobimo, e setejemo
kvadratni formi iz obeh izravnav(Heck, 1983; Ninkov, 1985; Aanin,
1986; Mihailovi in Aleksi, 1994)
PvvvPvvPvT
22
T
211
T
1210 :: : . (1)
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:09316
-
317
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
Etevilo prostostnih stopenj b dobimo s setevanjem tevila
prostostnih stopenj iz obeh izravnav:
21 bbb , (2)kjer je:
iiii dunb ... tevilo prostostnih stopenj posamezne izmere =
tevilo nadtevilnih opazovanj posamezne izmere,
in ... tevilo opazovanj v posamezni izmeri,
iu ... tevilo neznank v posamezni izmeri in
id ... defekt datuma mree.
Ugotoviti moramo tudi prisotnost grobih pogrekov med opazovanji
in jih odstraniti. Grobopogreeno opazovanje lahko doloimo po
Baardovi, Popovi, danski metodi ali ustrezni drugimetodi (Caspary,
1988).
Prvi korak postopka Karlsruhe je torej izravnava opazovanj vsake
izmere posebej in izraunskupne kvadratne forme enaba (1) ter tevila
prostostnih stopenj enaba (2).
3 SKUPNA IZRAVNAVA OPAZOVANJ OBEH IZMER IN TESTIRANJE HIPOTEZE O
PREMIKIH TOK
Pri doloevanju tok, ki so se statistino znailno premaknile, med
pogojno mirujoimi tokamisi v skupni izravnavi opazovanj pomagamo s
testiranjem naslednje hipoteze (Heck, 1983; Ninkov,1985; Aanin,
1986; Mihailovi in Aleksi, 1994):
0H : Axll )(E in 0dxB T toke mirujejo in (3)
1H : Axll )(E in 0dxB z T toke so se premaknile, (4)
kjer je:
A matrika koeficientov enab popravkov opazovanj,
x vektor koordinatnih neznank,
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:09317
-
318
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E
d vektor razlik koordinat,
l vektor opazovanj,
l vektor izravnanih opazovanj,
00
00N in
10
01E .
Nielna hipoteza vkljuuje predpostavko, da je 0dxB T , kar
pomeni, da so premiki tokenaki ni. S statistinim testiranjem
poskuamo ugotoviti, ali je morda d statistino znailno
razlien od ni. V tem primeru moramo sprejeti alternativno
hipotezo, da je 0dxB z T . Sstatistinim testiranjem doloimo, ali so
razlike izravnanih koordinat tok dveh izmer nastalesamo zaradi
pogrekov opazovanj ali zaradi pogrekov opazovanj in premikov
tok.
V skupni izravnavi obeh izmer hkrati razdelimo vektor neznank
(koordinat) x na tri vektorje:
> @TTTT ,, xxzx ccc , (5)kjer je:
z ... vektor koordinat osnovnih tok, za katere predpostavimo, da
mirujejo v obeh izmerah,
xc ... vektor koordinat tok predhodne izmere, za katere
predpostavimo, da so se premaknile,
x cc ... vektor koordinat tok tekoe izmere, za katere
predpostavimo, da so se premaknile.
ccc
ENNENNNNN
NENNENNNN
NNENNENNN
NNNNNNNN
NNNNNN
NNNNNNNN
B
xxz
T
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:09318
-
319
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E
Slika 1: Vektor neznank v skupni izravnavi obeh izmer
hkrati.
V skupni izravnavi nastopajo koordinate osnovnih tok (vektor z )
v vektorju neznank samo
enkrat, koordinate tok, ki so se morda premaknile, pa dvakrat
> @,, T2T1T xxx cc c in> @,, T2T1T xxx cccc cc .
Funkcionalni model skupne izravnave opazovanih koliin je
lAxv z . (6)
V okviru nielne hipoteze predpostavimo, da velja pogoj
0dxB T ,ki ga morajo izpolniti neznanke (koordinate tok). e
imamo toke, ki so se premaknile, med
pogojno mirujoimi tokami in upotevamo 0dxB T , se nam bodo v
izravnavi premikitok d prenesli na vektor popravkov . Tako bo
vektor popravkov vz vseboval tudi informacije
o premikih tok.
V skupni izravnavi tvorimo kvadratno formo
z
T
zz Pvv : . (7)
e od kvadratne forme skupne izravnave z: , ki vsebuje
informacije o pogrekih opazovanj in
premikih tok, odtejemo kvadratno formo 0: , ki vsebuje samo
informacije o pogrekih
opazovanj, dobimo kvadratno formo, ki vsebuje samo informacije o
premikih tok:
PvvPvvT
z
T
z0zh :: : . (8)
> @> @T4T3T4T3T2T1
TTTT
,,,,,
,,
xxxxxx
xxzx
cccccc
ccc
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:10319
-
320
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E Kvadratne forme se porazdeljujejo po porazdelitvi 2F . Tako
lahko zapiemo, da je 200 V:
porazdeljen po porazdelitvi 2F z b prostostnimi stopnjami. Enako
je porazdeljen tudi 20h V:s dnpkf 0)1( prostostnimi stopnjami, kjer
je:
k ... tevilo izmer v skupni izravnavi, v naem primeru 2 k , n
... razsenost mree:
n =1 za enorazsene mree,
n =2 za dvorazsene mree,
0p ... tevilo osnovnih tok, za katere predpostavimo, da mirujejo
v obeh izmerah = tevilo tok
v vektorju z,
d ... defekt datuma mree in2
0V ... referenna varianca opazovanj v skupni izravnavi.
Tvorimo testno statistiko
f
b
b
fF
Pvv
PvvPvvT
T
z
T
z
0
h ::
, (9)
ki je porazdeljena po porazdelitvi F s f in b prostostnimi
stopnjami.
S testno statistiko (9) testiramo postavljeno hipotezo (3). e je
testna statistika manja ali enakakot kritina vrednost pri izbrani
stopnji znailnosti testa
Dd 1,,bfFF , (10)
potem ne moremo zavrniti nielne hipoteze, to pomeni, da za
nobeno izmed pogojno mirujoihtok ne moremo trditi, da se je
statistino znailno premaknila.
e je testna statistika veja od kritine vrednosti pri izbrani
stopnji znailnosti testa D! 1,,bfFF , (11)
potem zavrnemo nielno hipotezo, to pomeni, da se je vsaj ena
izmed pogojno mirujoih tokstatistino znailno premaknila.
Med pogojno mirujoimi tokami moramo doloiti toke, ki so se
statistino znailno premaknile.Doloimo jih z naslednjim
postopkom.
Skupno izravnavo obeh izmer moramo ponoviti 0p -krat ( 0p je
tevilo pogojno mirujoih
tok, torej tevilo tok v vektorju z ) tako, da iz izravnave vsaki
izloimo eno toko. V vsaki
izravnavi izraunamo z: , enaba (7).Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:10320
-
321
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E Izraunamo 0p kvadratnih form iz prav toliko izravnav. Izmed
vseh je ena najmanja. Zatoko, pri kateri je vrednost kvadratne
forme minimalna minz )(: , zakljuimo, da se jestatistino znailno
premaknila.
Toko, za katero smo ugotovili, da se je statistino znailno
premaknila, prestavimo iz pogojno
mirujoih med toke, ki so se statistino znailno premaknile, iz
vektorja z v vektorja xc inx cc , enaba (5), ter ponovno izraunamo
v izravnavi z: (7).
Izraunamo testno statistiko F z enabo (9).
e je izpolnjen pogoj (11), pomeni, da so med pogojno mirujoimi
tokami e vedno toke, kiso se statistino znailno premaknile. Zato
moramo celotni opisani postopek ponoviti indoloiti e druge toke, ki
so se statistino znailno premaknile, postopoma eno po eno.
e je izpolnjen pogoj (10), pomeni, da za nobeno izmed pogojno
mirujoih tok ne moremotrditi, da se je statistino znailno
premaknila. Ta iteracijski postopek doloevanja tok, ki sose
statistino znailno premaknile, med pogojno mirujoimi, je tako
konan.
Drugi korak postopka Karlsruhe je torej doloitev mirujoih tok po
pravkar opisanem postopku,ki izpolnjujejo pogoj (10).
4 KONNA IZRAVNAVA OPAZOVANJ IN GRAFINA INTERPRETACIJA
REZULTATOV
Definitivno izravnavo opazovanj naredimo, ko smo izloili vse
toke, ki so se statistino znailnopremaknile, med pogojno mirujoimi
tokami. Uporabimo funkcionalni model (6), kjer so v
vektorju z vektorja neznank x samo mirujoe toke. Za vse druge
toke, ki so se statistinoznailno premaknile, velja dodaten
matematini pogoj alternativne hipoteze (4) (Heck, Kuntzin
Meier-Hirmer, 1977; Kuntz in Schmitt, 1977; Heck, 1983; Ninkov,
1985; Aanin, 1986;Mihailovi in Aleksi, 1994)
jj dxBT , (12)
kjer je:
> @NNENNNNENNB ccccccccc
T
11 T T T T T T
j
pjpj xx
00
00N in
10
01E
xp ... tevilo tok, ki so se statistino znailno premaknile
(tevilo tok v vektorju xc oziroma x cc )
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:10321
-
322
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E
cccccc
jj
jj
j xx
yy
d ... premik toke j ,
jj xy cc , ... koordinati toke j predhodne izmere,
jj xy cccc , ... koordinati toke j tekoe izmere.
Glede na (12) lahko zapiemo matriko kofaktorjev
jxxyx
xyyy
jj
dd
dd
j qq
qq
T BQBQ xxdd ,
kjer je:
jjjjjjdyyyyyyyy qqqq ccccccccc 2 ,
jjjjjjdxxxxxxxx qqqq ccccccccc 2 ,
jjjjjjjjdxyxyxyxyxy qqqqq cccccccccccc .
V zadnjih treh enabah so vrednosti koeficientov desnih strani
enab enake elementom matrike
kofaktorjev skupne izravnave, ki se nanaajo na toko jT v okviru
matrik xxQ cc , xxQ ccc in xxQ cccc
ccccccccc
cccccc
ccc
xxxxxz
xxxxxz
xzxzzz
QQQ
QQQ
QQQ
Q
T
T
T
.
Za posamezno toko tvorimo testno statistiko
2
2
SF
j
j
T ,
ki je za dvorazseno mreo porazdeljena po porazdelitvi F z 2 in f
prostostnimi stopnjami in
velja:
2
1
T
2 jj
j
j
dQddd
T ,
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:10322
-
323
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E
21
2
02
2
012
0
2 21
bb
bbS
VV
V ,
21 bbf in tako dobimo
2
0
1
T
2
V
jj
j
j
FdQd
dd. (13)
e je testna statistika manja ali enaka kot kritina vrednost pri
izbrani stopnji znailnosti testa ,Dd 1,,2 fj FF (14a)
potem ne moremo zavrniti nielne hipoteze (3).
e je testna statistika veja od kritine vrednosti pri izbrani
stopnji znailnosti testa D! 1,,2 fj FF , (15a)
potem zavrnemo nielno hipotezo (3).
Za enorazseno mreo je
1
1
T
2 jj
j
j
dQddd
T
in tako dobimo
j
j
dd
jjj
jQ
dF
2
0
2
2
0
1
T
1
V
V
dQd
dd
,
kjer je:
jjj HHd ccc ,
jjjjjjj HHHHHHddqqqQ 2 ccccccccc .
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:10323
-
324
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E e je testna statistika manja ali enaka kot kritina vrednost
pri izbrani stopnji znailnosti testa
Dd 1,,1 fj FF , (14b)potem ne moremo zavrniti nielne hipoteze
(3).
e je testna statistika veja o kritine vrednosti pri izbrani
stopnji znailnosti testa
D! 1,,1 fj FF , (15b)potem zavrnemo nielno hipotezo (3).
Obrazloeni nain statistinega testiranja hipotez lahko tudi
grafino interpretiramo. Oglejmosi primer za dvorazseno mreo.
Enabo (13) upotevamo v neenabi (14a):
D Vd 1,,2
2
0
1
T 2 fjj Fj
dQddd
.
Ta izraz predstavlja obmoje znotraj elipse, ki je identina z
relativno elipso pogrekov med
tokama jTc in jT cc , poveana za faktor D1,,22 fF . Velikosti
polosi so:
lfl FA OV D 1,,22
0
2 2 , 2,1 l ,
kjer sta lO lastni vrednosti matrike jddQ :
)(2
1 1
N Odd
yyxx qq ,
)(2
1 2
N Odd
yyxx qq ,
2
2
4)(
dddxyyyxx qqq N .
Smerni kot velike polosi doloimo iz enabe
dd
d
yyxx
xy
qq
q
22tan
T .
Z elipsami pogrekov lahko zelo enostavno grafino prikaemo
analizo premikov. Na isti slikinariemo vektorje premikov tok in
relativne elipse pogrekov (seveda v istem merilu). VektorTo
ma
Am
bro
i -
DEF
ORM
AC
IJSKA
AN
ALI
ZA
PO
PO
STO
PKU
KA
RLSR
UH
E
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:11324
-
325
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
Epremika jd nariemo od toke jTc proti toki jT cc . Relativno
elipso pogrekov pa nariemo
tako, da je njeno sredie v toki jT cc .
Tretji korak postopka Karlsruhe, konna izravnava opazovanj in
grafina interpretacija rezultatov,je tako konan.
5 RAUNSKI PRIMER
Uporabnost postopka Karlsruhe elimo prikazati na primeru iz
literature (Mihailovi in Aleksi,1994). Popolnoma isti primer smo
obdelali tudi po postopku Hannover s programom DAH, zatoskice mree,
vhodnih podatkov za izravnavi in izravnanih koordinat tok predhodne
in tekoeizmere ne podajamo ponovno (glej Ambroi, 2001). V
preglednici 1 podajamo rezultate prvegakoraka postopka Karlsruhe,
ki smo jih dobili s programom RaM (Ambroi in Turk, 1997).
Preglednica 1: Rezultati prvega koraka postopka Karlsruhe.
Podatke za izravnavo za drugi korak postopka Karlsruhe smo
pripravili tako, da smo vsaopazovanja predhodne izmere uvrstili v
prvo skupino (grupo) opazovanj, vsa opazovanja tekoe
izmere pa v drugo skupino opazovanj. V vektorju neznank x smo
vse toke uvrstili v vektor z .
V skupni izravnavi obeh izmer hkrati, ki smo jo izravnali kot
prosto mreo, smo torej za vsako
Predhodna izmera
1 i Tekoa izmera
2 i
idV 5 mm 5 mm
isV 1 1
i: 28.221 40.103
0: 68.324
i0V 0.96990 1.15618
in 48 48
iu 14+7 14+7
id 3 3
ib 30 30
b 60
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:11325
-
326
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E izmed sedmih tok imeli poleg dveh koordinatnih neznank e dve
orientacijski neznanki, ki pasmo jih pred izravnavo reducirali. A
priori standardna odklona enote utei za smeri in za dolinesta bila
v skupni izravnavi obeh izmer hkrati enaka kot v izravnavi
posamezne izmere.
Izraunana kvadratna forma po enabi (7) v skupni izravnavi obeh
izmer hkrati je 1840.53,izraunana testna statistika po enabi (9) pa
141.48. Ker je testna statistika veja od kritinevrednosti pri
izbrani stopnji znailnosti testa ( 95.195.0,60,11 F ), zavrnemo
nielno hipotezo(3), kar pomeni, da toke ne mirujejo.
Ker smo nielno hipotezo (3) zavrnili, pomeni, da imamo v mrei
tudi toke, ki so se statistinoznailno premaknile, med pogojno
mirujoimi tokami. Zato v tem, drugem koraku doloimotoke, ki so se
statistino znailno premaknile, med pogojno mirujoimi tokami. V
vsakem
iteracijskem koraku moramo izvesti skupno izravnavo obeh izmer
0p -krat ( 0p je tevilo pogojno
mirujoih tok oziroma tevilo tok v vektorju z in se po vsakem
iteracijskem koraku zmanjaza ena) tako, da izloimo iz izravnave po
eno, vedno drugo toko in v vsaki izravnavi izraunamokvadratno formo
po enabi (7). Ugotovimo, pri kateri toki je vrednost kvadratne
forme minimalna(v preglednici 2 je podrtana). Ta toka se je
statistino znailno premaknila in jo zato prestavimoiz pogojno
mirujoih tok med toke, ki so se statistino znailno premaknile,
enaba (5), ter vizravnavi ponovno izraunamo kvadratno formo po
enabi (7). Tvorimo testno statistiko poenabi (9), ki jo primerjamo
s kritino vrednostjo pri izbrani stopnji znailnosti testa.
Iteracijskiproces ponavljamo toliko asa, dokler je testna
statistika (9) manja, kot je kritina vrednost priizbrani stopnji
znailnosti testa. V tem primeru ne moremo zavrniti nielne hipoteze,
ki pravi, datoke, ostale v vektorju z , mirujejo. Rezultate
postopka doloitve mirujoih tok podajamo vpreglednici 2.
Podatke za izravnavo za doloitev tok, ki so se statistino
znailno premaknile, med pogojnomirujoimi tokami smo pripravili na
naslednji nain. Koordinate pogojno mirujoih tok v
vektorju z nastopajo le enkrat (na primer v 2. iteraciji so to
koordinate tok 2, 3, 4, 5, 6 in 7).
Toke, ki so se statistino znailno premaknile, pa imajo
koordinate zapisane v vektorjih xc inx cc (v 2. iteraciji so to
koordinate toke 1; pribline koordinate te toke so identine za toko
1c in 1cc ). Opazovanja predhodne izmere na pogojno mirujoih tokah
smo uvrstili v prvo skupinoopazovanj, opazovanja tekoe izmere pa v
drugo skupino opazovanj. Opazovanja predhodnekakor tudi opazovanja
tekoe izmere na tokah, ki so se statistino znailno premaknile,
smoseveda uvrstili v prvo skupino opazovanj (saj imamo opraviti z
opazovanji na razlinih tokah
1c in 1cc ). A priori standardna odklona enote utei za smeri in
za doline sta bila v izravnavi zadoloitev tok, ki so se statistino
znailno premaknile, med pogojno mirujoimi tokami enakakot v
izravnavi posamezne izmere. Iz tako pripravljene datoteke smo nato
postopoma izloevalipo eno toko (v 2. iteraciji sta to najprej
priblini koordinati toke 2 ter seveda vsa opazovanja ste toke in
proti tej toki, nato pribline koordinate tok 3, 4, 5, 6 in 7) in v
vsaki izravnavi smoizraunali kvadratno formo po enabi (7), ki jo
podajamo v preglednici 2. Ko smo ugotovili, prikateri toki je
vrednost kvadratne forme minimalna (v 2. iteraciji je to toka 7),
smo koordinatete toke prestavili iz vektorja z v vektorja xc in x
cc . Podobno smo opazovanja na tej tokiTom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:12326
-
327
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
Euvrstili v prvo skupino opazovanj (v 2. iteraciji je to toka 7c
in 7 cc ) in izraunali kvadratnoformo po enabi (7), ki smo jo na
koncu iteracijskega koraka primerjali s kritino vrednostjo
priizbrani stopnji znailnosti testa.
Preglednica 2: Rezultati postopka doloitve tok, ki so se
statistino znailno premaknile.
Vektor koordinat osnovnih tok z , za katere predpostavimo, da
mirujejo, sestavljajo po 4. iteracijitoke 4, 5 in 6, druge
koordinate tok sestavljajo vektorja xc in x cc . Poleg navedene
kvadratne
1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija
Izloena toka 1
z: 847.96
Izloena toka 2 2 2
z: 1062.72 666.75 187.68
Izloena toka 3 3 3 3
z: 1257.89 614.41 241.24 56.26
Izloena toka 4 4 4 4
z: 1525.83 771.05 525.50 71.61
Izloena toka 5 5 5 5
z: 1652.54 871.93 664.73 184.84
Izloena toka 6 6 6 6
z: 1509.08 804.15 595.42 188.65
Izloena toka 7 7
z: 877.93 470.95
Toke v z 2,3,4,5,6,7 2,3,4,5,6 3,4,5,6 4,5,6
Toke v xc in x cc 1 1,7 1,7,2 1,7,2,3
z: 1085.02 721.41 215.72 69.57
),( bfF 81.17 52.14 11.77 0.10
f 9 7 5 3
D1,,bfF 2.04 2.17 2.37 2.76
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:12327
-
328
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E forme v preglednici 2, ki je rezultat definitivne skupne
izravnave, podajamo izravnane koordinatein elemente matrike
kofaktorjev (uporabljene v nadaljevanju) v preglednici 3.
Preglednica 3: Rezultati skupne izravnave, ko toke 4, 5, in 6
obravnavamo kot mirujoe.
Iz podanih rezultatov v preglednici 3 za posamezno toko
izraunamo testno statistiko po enabi(13). Ker je testna statistika
veja, kot je kritina vrednost pri izbrani stopnji znailnosti
testa
( 15.395.0,60,2 F ), zavrnemo nielno hipotezo (3), kar pomeni,
da toke ne mirujejo. Zagrafino interpretacijo izraunamo elemente
relativnih elips pogrekov po enabah (16) in (17)za toke, ki so se
statistino znailno premaknile. Rezultate podajamo v preglednici 4
in na sliki
Elementi matrike kofaktorjev jdd
Q
Predhodna izmera Tekoa izmera
Toka Izravnana
koordinata
[m]
yc xc y cc x cc
yc 1000.0038 0.1399697 0.0483643 0.1399615 0.0483635
xc 999.9946 0.0483643 0.1385962 0.0483635 0.1385904
y cc 999.9841 0.1399615 0.0483635 0.1399697 0.0483643
1
x cc 999.9566 0.0483635 0.1385904 0.0483643 0.1385962
yc 2000.0065 0.1399711 0.0276374 0.1399601 0.0276356
xc 1000.0027 0.0276374 0.1064849 0.0276356 0.1064764
y cc 1999.9677 0.1399601 0.0276356 0.1399711 0.0276374
2
x cc 1000.0517 0.0276356 0.1064764 0.0276374 0.1064849
yc 2600.0032 0.0985425 0.0288822 0.0985373 0.0288821
xc 1900.0039 0.0288822 0.2002550 0.0288821 0.2002457
y cc 2600.0238 0.0985373 0.0288821 0.0985425 0.0288822
3
x cc 1899.9595 0.0288821 0.2002457 0.0288822 0.2002550
yc 1499.9997 0.0937237 0.0024813 0.0937206 0.0024815
xc 1799.9994 0.0024813 0.0931012 0.0024815 0.0930977
y cc 1500.0233 0.0937206 0.0024815 0.0937237 0.0024813
7
x cc 1800.0423 0.0024815 0.0930977 0.0024813 0.0931012
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:13328
-
329
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E2. Elipse pogrekov na mirujoih tokah izraunamo tudi po enabah
(16) in (17), le da namestoelementov matrike kofaktorjev
jddQ vzamemo kar pripadajoe elemente matrike kofaktorjev
skupne izravnave zzQ .
Preglednica 4: Testne statistike, elementi relativnih elips
pogrekov in premiki tok, ki so se statistino znailno
premaknile.
Slika 2: Elipse pogrekov in premiki tok.
Toka ),2( bF A [m] B [m] T [] yd [m] xd [m] d [m]
Premaknila
1 70.99 0.0110 0.0090 17.3 0.0197 0.0380 0.0428 Da
2 112.70 0.0131 0.0104 152.3 0.0388 0.0490 0.0625 Da
3 64.15 0.0115 0.0086 179.0 0.0206 0.0444 0.0489 Da
7 166.06 0.0071 0.0066 152.6 0.0236 0.0429 0.0490 Da
4 0.0038 0.0035 168.8 Ne
5 0.0042 0.0036 146.0 Ne
6 0.0041 0.0036 39.6 Ne
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:13329
-
330
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
E 6 ZAKLJUEKEden izmed postopkov deformacijske analize je
postopek Karlsruhe, ki smo ga podrobnopredstavili. Na podanem
reenem primeru prikazujemo uporabnost postopka. Za izravnave
smouporabili program RaM, elemente relativnih elips pogrekov smo
izraunali v Excelu, skico mree,relativne elipse pogrekov in premike
smo izrisali s programoma RisRaM oziroma Premik.
Izraunani rezultati so podobni rezultatom, izraunanim po
postopku Hannover (Ambroi,2001). V preglednici 5 primerjamo
izraunane koordinatne razlike po obeh postopkih ssimuliranimi
koordinatnimi razlikami.
Preglednica 5: Primerjava izraunanih koordinatnih razlik po
postopku Karlsruhe in Hannover s simuliranimi koordinatnimi
razlikami v [mm].
Iz preglednice 5 tudi vidimo, da so tudi premiki tok, ki so se
statistino znailno premaknile,primerljivi s simuliranimi. Na
podlagi izraunanih rezultatov lahko zakljuimo, da je
postopekKarlsruhe kot tudi postopek Hannover uporaben za doloitev
mirovanja tok v geodetski mrei.
Toka 1 2 3 4 5 6 7
yd [mm] 20.0 30.0 25.0 0.0 0.0 0.0 25.0
xd [mm] 34.6 52.0 43.3 0.0 0.0 0.0 43.3
d [mm] 40.0 60.0 50.0 0.0 0.0 0.0 50.0
Sim
uli
ran
o
Q [] 210 330 150 30
yd [mm] 19.7 38.8 20.6 23.6
xd [mm] 38.0 49.0 44.4 42.9
d [mm] 42.8 62.5 48.9 49.0
Q [] 207 322 155 29
Ka
rlsr
uh
e
Premaknila da da da ne ne ne da
yd [mm] 19.6 38.7 20.6 4.0 6.4 3.3 23.6
xd [mm] 38.0 49.0 44.3 5.1 7.1 10.6 42.9
d [mm] 42.8 62.4 48.9 6.5 10.0 11.1 49.0
Q [] 207 322 155 322 222 163 29
Ha
nn
ove
r
Premaknila da da da ne ne ne da
Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:13330
-
331
Geo
dets
ki v
estn
ik 4
8/20
04
3IZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
IZ Z
NIZ
ZN
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
AN
OS
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TI
IN S
TR
TR
TR
TR
TR
OK
EO
KE
OK
EO
KE
OK
ELiteratura in viri:
Ambroi, T. (2001). Deformacijska analiza po postopku Hannover.
Geodetski vestnik, 45 (12), 3853.
Ambroi, T., Turk, G. (1997). Navodila za uporabo programa RaM
ver. 3.2, avg. 96, in GeM3 ver. 3.1, mar. 97. Internaizdaja.
Aanin, S. (1986). Prilog obradi i analizi geodetskih merenja za
odredjivanje pomeranja i deformacija objekta i tla.Doktorska
disertacija. Beograd: Gradjevinski fakultet, Institut za
geodeziju.
Caspary, W. F. (1988). Concepts of Network and Deformation
Analysis. Kensington: The University of New South Wales,School of
Surveying.
Heck, B. (1983). Das Analyseverfahren Des Geodtischen Instituts
Der Universitt Karlsruhe Stand 1983. VDeformationsanalysen 83.
Geometrische Analyse und Interpretation von Deformationen
Geodtischer Netze (str. 153182). Mnchen: Hochschule der Bundeswehr.
Knjiga 9.
Heck, B., Kuntz, E., Meier-Hirmer, B. (1977).
Deformationsanalyse mittels relativer Fehlerellipsen. AVN, 84 (3),
7887.
Kuntz, E., Schmitt, G. (1977). Analyse von Deformationsmessungen
mit Hilfe relativer Fehlerellipsen. V Seminar
berDeformationsanalysen (str. 2644). Mnchen: Hochschule der
Bundeswehr]. Knjiga 4.
Mihailovi, K., Aleksi, I. R. (1994). Deformaciona analiza
geodetskih mrea. Beograd: Gradjevinski fakultet, Institut
zageodeziju.
Ninkov, T. (1985). Deformaciona analiza i njena praktina
primena. Geodetski list, 39 /62/ (79), 167178.
Vodopivec, F., Kogoj, D. (1997). Ausgleichung nach der Methode
der kleinsten Quadrate mit der a posteriori Schtzungder Gewichte.
sterreichsche Zeitschrift Fr Vermessung & Geoinformation, 85
(3/97), 202207.
doc. dr. Toma Ambroi, univ. dipl. in. geod., univ. dipl. in.
rud.FGG Oddelek za geodezijo, Jamova 2, SI-1000 LjubljanaE-pota:
[email protected]
Prispelo za objavo: 2. avgust 2004 Tom
a A
mbr
oi
- D
EFO
RMA
CIJS
KA A
NA
LIZ
A P
O P
OST
OPK
U K
ARL
SRU
HE
stevilka 3_04.pmd 22.9.2004, 7:13331
