59
Matematika 1 Vrste funkcija Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2015 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 1 / 38

Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

  • Upload
    hangoc

  • View
    249

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Matematika 1Vrste funkcija

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2015

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 1 / 38

Page 2: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 2 / 38

Page 3: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije

2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma

3 Graf inverzne funkcije

4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 3 / 38

Page 4: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Vrste funkcija Polinomi

Polinomi

Polinom:

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.

Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +

√3x2−πx +5.25

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 4 / 38

Page 5: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Vrste funkcija Racionalne funkcije

Racionalne funkcije

Racionalna funkcija:

y =P(x)Q(x)

,

gdje su P(x) i Q(x) polinomi.

Primjer.

1 y =2x +5x−3

2 y =3x +2

x2 +x +3

3 y =5x4 +

√7x2−πx +5

x3−2x +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 5 / 38

Page 6: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 6 / 38

Page 7: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax

2 y = loga x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 7 / 38

Page 8: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Vrste funkcija Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 8 / 38

Page 9: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije

Graf funkcije

Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).

y

x0 x

f(x)(x, f(x))

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 9 / 38

Page 10: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije

Graf funkcije

Zadatak.Funkcija f je zadana grafom

y

x4

3

−1

Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 10 / 38

Page 11: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije

Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 11 / 38

Page 12: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije

Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.

-1 1

Slika 1.

-1 1

Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 12 / 38

Page 13: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.

a < 0

y = ax+ b

a > 0

y = ax+ b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 13 / 38

Page 14: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:

1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 14 / 38

Page 15: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .

a > 0

a < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 15 / 38

Page 16: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:

1 y = x−x2

2 y = (x−1)2

3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 16 / 38

Page 17: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Page 18: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .

an > 0 an < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Page 19: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .

an > 0 an < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Page 20: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Page 21: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = 4x3 − 2x2 + 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Page 22: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = −3x4 + x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Page 23: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = x− x2 − x3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Page 24: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Page 25: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x4

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Page 26: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x6

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Page 27: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x8

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Page 28: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

y = x4

y = x6

y = x8

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Page 29: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Page 30: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x3

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Page 31: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x5

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Page 32: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x7

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Page 33: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = xy = x3

y = x5

y = x7

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Page 34: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:

Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);

Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 21 / 38

Page 35: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).

i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 22 / 38

Page 36: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38

Page 37: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38

Page 38: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1.

f je parna f je neparna

Slika 2.

f je parna

Slika 3.

f je neparna

Slika 4.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38

Page 39: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38

Page 40: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38

Page 41: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38

Page 42: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

1+x2

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38

Page 43: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

1+x2

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38

Page 44: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

a)b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38

Page 45: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

a)b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38

Page 46: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Graf inverzne funkcije

y = f−1(x)

y = f(x)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 28 / 38

Page 47: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Graf inverzne funkcije

Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 29 / 38

Page 48: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Primjer.

Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.

Rjesenje.

y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)

yx = −√y x =

√y

y = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 30 / 38

Page 49: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Suzavanje domene omogucava invertiranje:

Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√

y .

Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 31 / 38

Page 50: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija

Slika 1. Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 32 / 38

Page 51: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38

Page 52: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38

Page 53: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38

Page 54: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.Nema inverznu jer

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38

Page 55: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38

Page 56: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38

Page 57: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):

r

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 36 / 38

Page 58: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Elipsa s poluosima a i b(

x2

a2 +y2

b2 = 1)

:

a

b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 37 / 38

Page 59: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Hiperbola s poluosima a i b(

x2

a2 −y2

b2 = 1)

:

a

b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 38 / 38