of 65/65
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 1 / 65

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes ... · Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 4 / 65. Uvod Kada se tocka S približava toˇ cki T duž

  • View
    13

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes ... · Katedra za matematiku (FSB, Zagreb)...

  • Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 1 / 65

  • Ciljevi ucenja

    Ciljevi ucenja:to je niz brojeva?to je granicna vrijednost ili limes niza brojeva?to je granicna vrijednost ili limes funkcije?Limes funkcije kada x to znaci da je limes beskonacan?to su lijevi i desni limes?Racunanje s limesima funkcijaKoji su neodredeni oblici?Jesu li limesi i relacija uskladeni?to znaci da je funkcija neprekidna (neprekinuta) u tocki?Neprekidna funkcija na intervaluOperacije s funkcijama koje cuvaju neprekidnost

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 2 / 65

  • Sadraj

    Sadraj:1 Uvod2 Granicna vrijednost ili limes niza

    Pojam nizaGranicna vrijednost ili limes nizaNeka svojstva konvergentnih nizovaRacunanje s limesima nizova

    3 Granicna vrijednost ili limes funkcijeJednostrani limesiLimesi u R {,+}Cauchyjeva definicija limesa funkcijeRacunanje s limesima funkcijaNeodredeni obliciTeorem o sendvicu

    4 Neprekidnost funkcijeCauchyjeva definicija neprekidnosti funkcijeNeprekidnost i operacije s funkcijama

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 3 / 65

  • Uvod

    Uvod

    Podsjetimo se problema pronalaenja tangente t na krivulju y = f (x) utocki T (a, f (a)). Buduci znamo da tocka lei na tangenti, moemopronaci jednadbu ako znamo nagib tangente k. Problem je u tometo nam trebaju dvije tocke za racunanje nagiba, a mi znamo samojednu tocku na t. Da bismo rijeili problem prvo smo izracunalipriblinu vrijednost nagiba uzimajuci blisku tocku S(x , f (x)) na krivulji iizracunali nagib sekante:

    kTS =f (x) f (a)

    x a .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 4 / 65

  • Uvod

    Kada se tocka S pribliava tocki T du krivulje, tada sekanta rotira okoT i pribliava se tangenti kao njezinom granicnom poloaju. To znacida se nagib sekante pribliava sve vie nagibu tangente. Piemo

    k = limST

    kTS

    i kaemo da je k limes kTS kada se S pribliava T du krivulje. Buducida se x pribliava a kada se S pribliava T , takoder moemo pisati daje

    k = limxa

    f (x) f (a)x a .

    Analogno, moemo razmatrati problem pronalaenja trenutne brzinekao granicne vrijednosti srednje brzine.

    Problem tangente doveo je do dijela matematike koji zovemodiferencijalni racun, a koji je bio izumljen vie od 2000 godina nakonintegralnog racuna.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 5 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Pojam niza

    Pojam niza

    DefinicijaNiz realnih brojeva je funkcija a :NR.

    a(1)= a1 nazivamo prvim clanom niza,a(2)= a2 drugim clanom niza,...a(n)= an nazivamo n-tim ili opcim clanom niza;

    Niz oznacavamo s (an)nN ili (an)n=1 ili (an) ili (a1,a2, . . . ,an, . . .)

    Primjericea) niz: (1,1,1,1, . . .) ima opci clan an = (1)n,b) niz ciji je opci clan an = (2)

    n

    n! ima prvih nekoliko clanova(2, 2, 43 , 23 , 415 , . . .)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 6 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    PRIMJER 1.Niz ciji je opci clan:

    a) an = a1 +d(n1) zovemo aritmeticki niz. Svaki clan, osim prvog, jearitmeticka sredina susjednih: an = an1+an+12 .b) an = a1qn1 nazivamo geometrijski niz. Svaki clan, osim prvog, jegeometrijska sredina susjednih: an =pan1 an+1.c) an = 1a1+d(n1) nazivamo harmonijski niz. Svaki clan, osim prvog, je

    harmonijska sredina susjednih: an =(

    a1n1+a1n+12

    )1.

    Napiimo prvih deset clanova tih nizova ako je: a1 = 1, d = 1, q = 12 , a1 =2, d =2, q =2.Gomilaju li se clanovi niza oko nekog broja u svakom pojedinomslucaju?Broj A R nazivamo gomilitem niza ako svaka -okolina (A,A+)broja A sadri beskonacno mnogo clanova tog niza.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 7 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    Rjeenje:

    a1 = 1, d = 1, q = 12a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... NE, clanovi su sve veci i veci;

    b) 1, 12 ,14 ,

    18 ,

    116 ,

    132 ,

    164 ,

    1128 ,

    1256 ,

    1512 ,... DA, clanovi se gomilaju oko broja 0;

    c) 1, 12 ,13 ,

    14 ,

    15 ,

    16 ,

    17 ,

    18 ,

    19 ,

    110 ,... DA, clanovi se gomilaju oko broja 0.

    a1 =2, d =2, q =2a) -2, -4, -6, -8, -10,-12, -14, -16, -18, -20,...NE, clanovi su sve manji i manji;

    b) -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512, 1024,...NE, parni clanovi su sve veci i veci, a neparni sve manji i manji;

    c) 12 , 14 , 16 , 18 , 110 , 112 , 114 , 116 , 118 , 120 ,...DA, clanovi se gomilaju oko broja 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 8 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    PRIMJER 2.a) Kolika je prosjecna brzina automobila tijekom putovanja ako prijedeput duljine s brzinom v1, a zatim se vrati istim putem (duljine s)brzinom v2?b) Kolika je prosjecna brzina automobila tijekom putovanja ako prijedeput duljine s brzinom 60 km/h, pa se vrati istim putem brzinom40 km/h?

    Rjeenje:Prosjecna brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se:

    v = ukupni prijedeni putukupno vrijeme gibanja

    .

    a) v = 2 st1 + t2

    = 2 ssv1 +

    sv2

    = 21v1 +

    1v2

    , to je harmonijska sredina brzina.

    b) v = 2160 + 140

    = 48 [km/h].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 9 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Granicna vrijednost ili limes niza

    Granicna vrijednost ili limes niza

    DefinicijaAko postoji tocka A takva da se u svakoj njezinoj - okolini (A,A+)nalaze gotovo svi clanovi niza (an), kaemo da je niz (an)konvergentan i da je A limes ili granica tog niza. Inace kaemo da jeniz divergentan.

    Piemo: an A kada n ili limnan =A.Citamo: "an tei ka A, kad n tei u beskonacno" ili "limes od an, kad ntei u beskonacno, je A."DefinicijaBroj A zovemo granicna vrijednost ili limes niza (an) ako za svaki broj> 0 moemo naci prirodan broj n0() takav da za sve n > n0() vrijedi|an A| < .Simbolicki piemo: (> 0) (n0 N) (n N) (n > n0 |an A| < ).Ako broj A postoji kaemo da je niz (an) konvergentan.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 10 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    PRIMJER 3.U 5. st. prije Krista, grcki filozof Zenon iz Eleide postavio je problem poznatkao 2. Zenonov paradoks, o utrci izmedu grckog junaka Ahila i kornjace kojaje startala prva. Zenon je tvrdio kako Ahil nikada nece preteci kornjacu.Pretpostavimo da Ahil starta s mjesta a1, a kornjaca s mjesta k1, vidi sliku:

    Kada Ahil stigne na mjesto a2 = k1, kornjaca je vec na mjestu k2. Kada je Ahilna mjestu a3 = k2, kornjaca je na k3. Ovaj proces se nastavlja ubeskonacnost, tako se cini se da ce kornjaca uvijek biti ispred Ahila! To je usuprotnosti sa zdravim razumom.Ovaj paradoks se moe objasniti pomocu konvergentnih nizova. UzastopniAhilovi poloaji (a1,a2,a3, . . .) ili poloaji kornjace (k1,k2,k3, . . .) su neki nizovikoji definiraju uredaj. Primjerice, moemo uzeti da su to harmonijski nizovi(1, 12 ,

    13 , . . .) i (

    12 ,

    13 ,

    14 . . .). Oba niza konvergiraju k broju 0, limn

    1n = 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 11 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Neka svojstva konvergentnih nizova

    Neka svojstva konvergentnih nizovaDefinicija (omedenost) Za niz realnih brojeva (an) kaemo da jeomeden ako

    (m,M R) (n N) (m an M).Definicija (monotonost) Niz (an) realnih brojeva je rastuci (resp.

    strogo rastuci) ako je

    an an+1 (resp. an < an+1), n N.

    Analogno definiramo padajuci i strogo padajuci niz.

    Tvrdnja 1. Omeden i monoton niz je konvergentan.

    Tvrdnja 2. (Teorem o sendvicu) Ako su nizovi (an), (bn) i (cn) takvida je an bn cn za svaki n veci od nekog n0 i ako jelim

    nan = limncn = L onda konvergira i niz (bn) i vrijedi limnbn = L.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 12 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    PRIMJER 4.

    Dokaimo da je niz (2, (1+ 12)2, (1+ 13)3, . . . , (1+ 1n )n, . . .) konvergentan.

    Rjeenje:1o) Prvo cemo pokazati da je niz strogo rastuci.Koristimo generaliziranu verziju Bernoullijeve nejednakosti:

    (1+x)k > 1+kx , za k > 1 i x 1, x 6= 0,

    koja se lako dokazuje prvo matematickom indukcijom za prirodnebrojeve k , a zatim i za sve realne k > 1. Stavimo x = 11+n i k = n+1n .Slijedi (

    1+ 11+n) n+1

    n > 1+ n+1n 11+n = 1+ 1n/n

    (1+ 11+n

    )n+1 > (1+ 1n )n an+1 > an. pKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 13 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Primjer

    2o) Zatim cemo pokazati da je niz omeden.Kako je niz strogo rastuci, to je omeden odozdo s a1 = 2. Stavimo x = 1i k = 1+ 2n u Bernoullijevu nejednakost. Slijedi

    2 4 1n = (1+1)1+ 2n > 1+1 (1+ 2n )= 2 (1+ 1n ), 4>

    (1+ 1n

    )n = an, ppa je 4> an 2, za sve n N, to znaci da je niz omeden.Prema tvrdnji 1, niz je konvergentan.

    Taj limes se oznacava s e,

    limn

    (1+ 1

    n

    )n= e = 2.7182818284590452353602874713527...

    i obicno se naziva Eulerov broj.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 14 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes niza Racunanje s limesima nizova

    Tvrdnja 3. (racunanje s limesima)Neka su (an) i (bn) konvergentni nizovi realnih brojeva. Ako jelim

    nan =A i limnan =B, onda je

    limn(an bn)= limnan limnbn =AB,

    limn(an bn)= limnan limnbn =A B, limnc = c, c je konstanta,

    limn

    (anbn

    )= limnanlim

    nbn= AB , B 6= 0 i bn 6= 0 (n N),

    limn |an| =

    limnan

    = |A|,lim

    nanr =

    (lim

    nan)r =Ar , r R, an > 0 (n N) i A> 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 15 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije

    Granicna vrijednost ili limes funkcije

    Vidjeli smo u uvodu kako se pojavljuju limesi kada elimo odredititangentu krivulje ili brzinu tijela. Sada cemo razmatrati limese funkcijaopcenito.

    Za funkciju f :NR, f (n)= 1n znamo to znaci limn1n (= 0).

    Kako definirati limes funkcije f :R\ {0} R, f (x)= 1x kada x ?Kako definirati limes te funkcije kada x 0?

    to se dogada s vrijednocu funkcije f (x)= sinxx kada x 0? Moemoli proiriti funkciju f tako da bude prirodno definirana i u tocki 0?

    Postoji li limx0

    sin x ?

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 16 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije

    DefinicijaNeka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirana na I, osimmoda u x0. Broj L zovemo granicna vrijednost ili limes funkcije f utocki x0 ako za svaki niz (an), an I \ {x0} vrijedi:

    limnan = x0 limn f (an)= L.

    Piemo: limxx0

    f (x)= L.Citamo: "Limes funkcije f (x), kad x tei x0, je L."

    PRIMJER 5.Ispitajmo:

    a) limx1

    x1x21 ,

    b) limx0

    sin x .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 17 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    Rjeenje a):Neka je (an) proizvoljan niz realnih brojeva sa svojstvom

    limnan = 1 i an 6= 1, n N.

    Zbog an 6= 1 imamo da je an 1a2n 1

    = 1an +1

    . Stoga vrijedi

    limn

    an 1a2n 1

    = limn

    1an +1

    = 11+1 =

    12

    .

    Dakle,

    limx1

    x 1x2 1 =

    12

    .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 18 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    Rjeenje b):Funkcija f (x)= sin x nije definirana u nuli. Uvrtavajuci sve manje imanje vrijednosti za x dobivamo

    f (1)= sin= 0 f(

    12

    )= sin2= 0

    f(

    13

    )= sin3= 0 f

    (14

    )= sin4= 0

    f (0.1)= sin10= 0 f (0.01)= sin100= 0f (0.001)= sin1000= 0 f (0.0001)= sin10000= 0

    Na osnovi ovih informacija moemo pomisliti da je

    limx0

    sin

    x= 0,

    no ovaj put smo pogreno zakljucili.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 19 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    Moemo promatrati dva niza (an)= (1n ) i (bn)= ( 21+4n ) koja konvergirajuk nuli.Vrijedi lim

    nsin

    an= lim

    nsin(n)= 0.Ali, lim

    nsin

    bn= lim

    nsin(2+2n

    )= 1.

    Stoga limx0

    sin

    xne postoji.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 20 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    PRIMJER 6.Heavisideova funkcija je definirana s

    H(t)={

    0, t < 0,1, t 0.

    Nazvana je po inenjeru Oliveru Heavisideu (18501925) i moe sekoristiti za opisivanje elektricne struje koja je ukljucena u trenutku t = 0(vidjeti sliku).

    Ispitajmo ponaanje funkcije H oko nule.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 21 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    Rjeenje

    Promatrat cemo niz (cn), cn = (1)n 1n , koji oscilira oko nule i limncn = 0.Niz (H(cn)) ima dvije tocke gomilanja 0 i 1:

    H(cn)=H(1n )= 1, n paran, limnH(

    1n

    )= 1,

    H(cn)=H(1n )= 0, n neparan, limnH(1n

    )= 0.

    Stoga limt0

    H(t) ne postoji.

    Medutim, moemo promatrati ponaanje funkcije H(t) kada se tpribliava nuli zdesna ili kada se pribliava nuli slijeva.Neka je (an) proizvoljan niz za koji vrijedi limnan = 0 i an > 0 (n N).Tada je lim

    nH (an)= 1, to piemo limt0+ H(t)= 1.Slicno, aka je (bn) proizvoljan niz za koji vrijedi limnbn = 0 i bn < 0(n N). Tada je lim

    nH (cn)= 0, to piemo limt0 H(t)= 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 22 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Jednostrani limesi

    Jednostrani limesi

    Definicija1 Neka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirane na I, osim

    moda u x0. Broj L zovemo desni limes (limes zdesna) funkcije f utocki x0 ako za svaki niz (an), an I sa svojstvom an > x0 (n N) vrijedi:

    limnan = x0 limn f (an)= L.

    Piemo: limxx0

    f (x)= limxx0+

    f (x)= f (x0+)= L.2 Neka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirane na I, osim

    moda u x0. Broj L zovemo lijevi limes (limes slijeva) f u tocki x0 akoza svaki niz (an), an I sa svojstvom an < x0 (n N) vrijedi:

    limnan = x0 limn f (an)= L.

    Piemo: limxx0

    f (x)= limxx0

    f (x)= f (x0)= L.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 23 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Jednostrani limesi

    Ako usporedimo definicije limesa funkcije i jednostranih limesa vidimoda vrijedi slijedeca tvrdnja.

    Tvrdnja 4.Neka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirane na I, osimmoda u x0. Postoji limxx0

    f (x) ako i samo ako limesi limxx0

    f (x) i

    limxx0+

    f (x) postoje i jednaki su.

    ZADATAK 1.

    Za funkciju g ciji je graf dan na slici, naveditevijednosti (ako postoje):

    a) limx2

    g(x) b) limx2+

    g(x) c) limx2

    g(x)

    d) limx5

    g(x) e) limx5+

    g(x) f ) limx5

    g(x)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 24 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Limesi u R {,+}

    Limesi u R {,+}Definicija

    1 Za funkciju f : a,+R kaemo da ima granicnu vrijednost ililimes u tocki + jednak L R ako za svaki niz (cn), cn a,+(n N) vrijedi:

    limncn =+ limn f (cn)= L.

    Piemo: limx+ f (x)= f (+)= L.

    2 Neka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirana na I, osimmoda u x0. Kaemo da funkcija f ima granicnu vrijednost ili limes utocki x0 jednaku + ako za svaki niz (cn), cn I \ {x0} vrijedi:

    limncn = x0 limn f (cn)=+.

    Piemo: limxx0

    f (x)=+.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 25 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    PRIMJER 7.

    Za funkciju y = 1x2

    naci limese (ako postoje):

    a) limx0

    1x2

    ,

    b) limx+

    1x2

    .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 26 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Primjer

    Rjeenje

    a) Kada se x pribliava nuli, tada se x2 takoder pribliava nuli, pa 1/x2

    postaje sve vece i vece (ili neomedeno raste). Primjerice, akopromatramo niz (1/n) imamo da je f (1/n)= n2, pa vrijedi

    limn

    1n= 0 lim

    n f (1/n)= limnn2 =+.

    Stoga limx0

    (1/x2) ne postoji (nije realan broj), preciznije limx0

    (1/x2)=+.b) Kada se x tei u beskonacno, tada x2 takoder tei u beskonacno,pa 1/x2 postaje sve manji i manji pozitivan broj (ili tei nuli). Za svakiniz (cn) sa svojstvom da je neomeden s desna imamo

    limncn = limn f (cn)= limn1/cn

    2 = 0.

    Stoga je limx+(1/x

    2)= 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 27 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Zadatak

    ZADATAK 2.Po analogiji s prethodnim definirajte sljedece limese i navediteodgovarajuce primjere funkcija:

    a) limx+ f (x)=+ b) limx f (x)= L R

    c) limxx0

    f (x)= d) limx+ f (x)=

    e) limx f (x)=+ f ) limx f (x)=

    g) limxx0

    f (x)=+ h) limxx0+

    f (x)=+

    h) limxx0

    f (x)= k) limxx0+

    f (x)=.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 28 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Racunajuci limes limxx0

    f (x)= L koriste se fraze x blizu x0 i f (x) blizu L.Sada cemo dati (ekvivalentnu) definiciju funkcije preko okolina.

    Kao motiv za ovu definiciju limesa promatrat cemo funkciju

    f (x)={

    2x 1, x 6= 3,6, x = 3.

    Intuitivno, jasno je da ako je x blizu 3, ali x 6= 3, tada je f (x) blizu 5.Postavimo, primjerice, pitanje: koliko x treba biti blizu broju 3 da biudaljenost f (x) od 5 bila manja od 0.1?Dakle, traimo > 0 takvo da

    |f (x)5| < 0.1 ako je |x 3| < , x 6= 3.Vrijedi: ako je 0< |x 3| < 0.1/2= 0.05 onda je

    |f (x)5| = |(2x 1)5| = |2x 6| = 2|x 3| < 2 0.05= 0.1 .Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 29 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Dakle, odgovor na nae pitanje je = 0.05. Znaci ako je x unutarudaljenosti 0.05 od 3, onda je f (x) unutar udaljenosti 0.1 od 5. Slicnoimamo

    |f (x)5| < 0.01 ako je 0< |x 3| < 0.005,|f (x)5| < 0.001 ako je 0< |x 3| < 0.0005 .

    Brojeve 0.1, 0.01, 0.001 moemo promatrati kao greke tolerancijekoju moemo dopustiti. Da bi 5 bio limes f (x) kada x tei 3, moramomoci odrediti za bilo koju udaljenost f (x) od 5. Razmiljajuci kaogore, za bilo koji pozitivan broj nalazimo da je

    |f (x)5| < ako je 0< |x 3| < = 2

    .

    Drugim rijecima:

    ako je 3< x < 3+ (x 6= 3) onda je 5< f (x)< 5+,

    (vidjeti sliku).Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 30 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 31 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    DefinicijaNeka je I R otvoren interval, x0 I i f funkcija definirane na I, osimmoda u x0. Broj L zovemo granicna vrijednost ili limes funkcije f utocki x0 ako za svaki > 0 moemo naci broj > 0 takav da cim je0< |x x0| < vrijedi |f (x)L| < .

    Piemo: limxx0

    f (x)= L.

    Simbolicki piemo:(> 0) (> 0) (x I) (0< |x x0| <

    f (x)L< ).Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 32 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Na isti nacin definiraju se druge vrste limesa.

    Definicija (Cauchyjeva definicija limesa zdesna i slijeva)1 lim

    xx0f (x)= lim

    xx0+f (x)= f (x0+)= L ako vrijedi:

    (> 0) (> 0) (x I) (0< x x0 < f (x)L< ).

    2 limxx0

    f (x)= limxx0

    f (x)= f (x0)= L ako vrijedi:

    (> 0) (> 0) (x I) (0< x0 x < f (x)L< ).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 33 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Cauchyjeva definicija limesa funkcije

    Definicija (Cauchyjeva definicija beskonacnih limesa)1 lim

    x+ f (x)= f (+)= L ako vrijedi:

    (> 0) (> 0) (x I) (x > f (x)L< ).2 lim

    xx0f (x)=+ ako vrijedi:

    (E > 0) (> 0) (x I) (0< |x x0| < f (x)>E).

    3 limx+ f (x)= f (+)=+ ako vrijedi:

    (E > 0) (> 0) (x I) (x > f (x)>E).

    itd. . . .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 34 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Racunanje s limesima funkcija

    Limes funkcije je u skladu sa operacijama zbrajanja, mnoenja i slaganja(kompozicija) funkcija. To je posljedica cinjenice da je limes niza u skladu stim operacijama i definicije limesa funkcije.

    Tvrdnja 5. (racunanje s limesima funkcija)Neka je I R otvoren interval, x0 I i f ,g funkcije definirane na I, osimmoda u x0. Ako postoje limxx0

    f (x) i limxx0

    g(x), onda vrijedi

    1) funkcija f g ima limes u x0 ilim

    xx0(f (x)g(x))= lim

    xx0f (x) lim

    xx0g(x) ,

    2) za svaki c R funkcija c f ima limes u x0 ilim

    xx0c f (x)= c lim

    xx0f (x),

    3) funkcija f g ima limes u x0 ilim

    xx0(f (x) g(x))= lim

    xx0f (x) lim

    xx0g(x),

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 35 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Racunanje s limesima funkcija

    4) ako je g(x) 6= 0 (x I \ {x0}) i limxx0 g(x) 6= 0,funkcija fg ima limes u x0 i

    limxx0

    (f (x)g(x)

    )=

    limxx0

    f (x)

    limxx0

    g(x) ,

    5) funkcija |f | ima limes u x0 ilim

    xx0|f (x)| =

    limxx0 f (x) ,

    6) ako je f (x)> 0 (x I \ {x0}) , limxx0 f (x)=A> 0 i limxx0 g(x)=B,funkcija f g ima limes u x0 i

    limxx0

    (f (x)g(x)

    )=

    (lim

    xx0f (x)

    ) limxx0

    g(x)=AB .

    Svojstva 1) 6) vrijede i u slucaju kada x .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 36 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Racunanje s limesima funkcija

    PRIMJER 8.

    Izracunajmo limes limx2

    x3 +2x2 153x i obrazloimo svaki korak.

    RjeenjeZapocinjemo primjenom pravila 4), ali njegova primjena potpuno jeopravdana u zavrnoj fazi kada smo utvrdili da postoje limesi brojnika inazivnika i limes nazivnika nije 0.

    limx2

    x3+2x2153x =

    limx2

    (x3+2x21)lim

    x2(53x) (pravilo 4)

    =lim

    x2x3+2 lim

    x2x2 lim

    x21

    limx2

    53 limx2

    x (primjena 1, 2 i 3)

    = (2)3+2(2)2153(2) (uzastopnom primjenom 3)= 111 .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 37 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Neodredeni oblici

    Neodredeni oblici su:00

    , , 0 , , 1

    , 00, 0

    Odredeni oblici su:L0 (L 6= 0), L 0,

    0

    , . . .

    U ovom odjeljku cemo racunati limese koristeci prethodno navedenapravila za limese funkcija i neke algebarske transformacije.

    PRIMJER 9.(

    00

    )Izracunajmo:

    a) limx0

    (3+x)2 9x

    ,

    b) limt0

    t2 +93

    t2.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 38 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Rjeenjea) Podsjetimo se da uzimamo u obzir samo x 6= 0 kad x tei 0, pacemo prvo pojednostavniti razlomak: (3+x)

    29x =

    (9+6x+x2)9x = 6+x .

    Stoga je

    limx0

    (3+x)2 9x

    = limx0

    (6+x)= 6.

    b) Ne moemo odmah primjenjivati pravilo o kvocijentu, buduci jelimes nazivnika 0. Ovdje cemo prvo racionalizirati brojnik.

    limt0

    pt2+93

    t2 =(

    00

    )= lim

    t0

    pt2+93

    t2 p

    t2+9+3pt2+9+3

    = limt0

    (t2+9)9t2

    (pt2+9+3

    ) = limt0

    t2

    t2(p

    t2+9+3)

    = limt0

    1pt2+9+3

    = 1limt0

    (t2+9)+3= 13+3 = 16 .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 39 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    ZADATAK 3.Izracunajte:

    a) limh0

    (h5)225h , [R :10]

    b) limt3

    t292t2+7t+3 , [R : 6/5]

    c) limx0

    p1+xp1x

    x , [R : 1]

    d) limh2

    h+2h3+8 , [R : 1/12]

    e) limx16

    4px16xx2 , [R : 1/128].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 40 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    PRIMJER 10.(

    )Izracunajmo:

    a) limx

    x2 +3x 53x2 +x ,

    b) limt

    t +

    t2 + t2t 3 .

    Rjeenje a)Ne moemo odmah primjenjivati pravilo o kvocijentu, buduci je limesnazivnika . Ovdje cemo prvo podijeliti brojnik i nazivnik s x2 koje nije0, jer x .

    limx

    x2 +3x 53x2 +x =

    (

    )= lim

    x(x2 +3x 5)/x2(3x2 +x)/x2 = limx

    1+ 3x 5x23+ 1x

    = 13

    .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 41 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Rjeenje b)Prvo cemo podijeliti brojnik i nazivnik s navecom potencijom urazlomku. (Moemo smatrati da je t > 0.)

    limt

    t +

    t2 + t2t 3 =

    (

    )= lim

    t(t +

    t2 + t)/t

    (2t 3)/t = limt1+

    1+ 1t

    2 3t= 1+1

    2= 1.

    ZADATAK 4.Izracunajte:

    a) limh

    6h4+2h3+h22h3+h23 , [R :] b) limt

    5t2t+32t3+3t4 , [R : 0]

    c) limx

    p3+x+ 4

    px23x+2

    2p

    x2+ 4p

    x25, [R : 2/3]

    d) limt

    pt2+2tt+1 , [uvesti supstituciju t =x , R :1].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 42 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Neodredeni oblik (0 )Ako je f (x)= g(x) h(x) i lim

    xag(x)= 0 i limxah(x)=, gdje je

    a R {,}, tada se limxa f (x) svodi na oblik

    g(x)1

    h(x)

    ilih(x)

    1g(x)

    , tako da

    se odredivanje granicne vrijednosti svodi na slucajeve(

    00

    )ili

    (

    ).

    PRIMJER 11.

    Izracunajmo limx 2

    (2x

    ) tgx .

    Rjeenje

    limx 2

    (2 x

    ) tgx = (0 )= limx 2

    2xctgx =

    (00

    )=

    supst.y = 2 x

    = limy0

    yctg( 2y)

    = limy0

    ytgy = limy0

    ysiny cosy = 1 1= 1.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 43 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    ZADATAK 5.

    Ako je g(x)= 1x

    i h(x)= x2, izracunajtei)

    a) limxg(x) h(x)= limx

    1x x2, [R :]

    b) limxg(x) h(x)= limx

    1x x2, [R :]

    c) limx0+

    g(x) h(x)= limx0+

    1x x2, [R : 0]

    b) limx0

    g(x) h(x)= limx0

    x 1x x2, [R : 0].

    ii)a) lim

    x1

    h(x) 1g(x) = limx1x2 x , [R : 0]

    b) limx

    1h(x) 1g(x) = limx

    1x2 x , [R : 0]

    c) limx0+

    1h(x) 1g(x) = limx0+

    1x2 x , [R :]

    b) limx0

    1h(x) 1g(x) = limx0

    1x2 x , [R :].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 44 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    PRIMJER 12. ()Izracunajmo:

    a) limx

    (px

    x +2

    ),

    b) limt

    (t +

    t2 t +3

    ).

    RjeenjeU slucaju neodredenog oblika potrebno je danu funkcijualgebarskim transformacijama svesti na oblik .

    a) limx

    (px

    x +2

    )= ()

    = limx

    (px

    x +2

    )p

    x +px +2px +px +2

    = limx

    x x 2px +px +2

    = 2px +px +2

    = 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 45 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Rjeenje b)

    limt

    (t +

    t2 t +3

    )= (+)=

    supst.t =x

    = limx

    (x +

    x2 +x +3

    )= lim

    x

    (x +

    x2 +x +3

    ) x+

    px2+x+3

    x+p

    x2+x+3

    = limx

    x2+x2+x+3x+

    px2+x+3

    = ( )= limx (x+3)/x(x+px2+x+3)/x= lim

    x1+ 3x

    1+

    1+ 1x + 3x2= 11+1 = 12 .

    ZADATAK 6.

    Izracunajte: a) limt

    (t

    t2 2t +4

    ), [R : 1]

    b) limx

    (x2 2

    x2 3x +7

    ), [R : 3/2]

    c) limt

    (1p

    t(p

    t2pt+4

    ), [R :1/3].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 46 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    Neodredeni oblik (1)

    Ovdje racunamo limese funkcija oblika y = f (x)g(x) kod kojih nakonuvrtavanja dobivamo oblik 1. Osim svojstava 1) 6) za racunanje slimesima, koristit cemo vaan limes broja e. U primjeru 4. proucavalismo lim

    n

    (1+ 1n

    )n = e. Taj limes vrijedi i kad n . Zaista, uvodecisupstituciju n =1k dobivamo:

    limn

    (1+ 1n

    )n = limk

    (1 11+k

    )1k = limk

    (1+k

    k

    )1+k= lim

    k

    (1+ 1k

    )k (1+ 1k

    )= e 1= e.

    Stoga se moe dokazati da za svaki niz (an) sa svojstvom da |an|vrijedi: lim

    n

    (1+ 1an

    )an = e. Dakle:lim

    x

    (1+ 1

    x

    )x= e.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 47 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    PRIMJER 13.

    a) Za proizvoljne , R izracunajmo: limx

    (1+

    x

    )x.

    b) Izracunalmo: limx0

    (1+x) 1x .

    Rjeenjea) Uvodeci supstituciju y = x/ i primjenjujuci svojstvo 6) za racunanjelimesa f g , gdje je g(x)= c konstantna funkcija, dobivamo:

    limx

    (1+

    x

    )x= lim

    y

    (1+ 1

    y

    )y=

    (lim

    y

    (1+ 1

    y

    )y)= e.

    b) Uvodeci supstituciju x = 1y

    dobivamo eljeni limes.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 48 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    PRIMJER 14.

    Izracunajmo: a) limx

    (x2 5

    x2

    )x2, b) lim

    x

    (x +3x +1

    )x.

    Rjeenje

    a) limx

    (x25

    x2

    )x2 = (1)= limx

    (1 5x2

    )x2 = limx

    (1+ 1

    x25

    )x2= lim

    x

    (1+ 1

    x25

    ) x25 (5) = ( limx

    (1+ 1

    x25

    ) x25 )5 = e5,b) lim

    x

    (x+3x+1

    )x = (1)= limx

    (1+ x+3x+1 1

    )x = limx

    (1+ 2x+1

    )x= lim

    x

    ((1+ 2x+1

    ) x+12

    ) 2x+1 x

    =(

    limx

    (1+ 2x+1

    ) x+12

    ) limx

    2xx+1

    = e2.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 49 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    ZADATAK 7.Izracunajte:

    a) limx

    (px+3px+1

    )2px, [R : e4]

    b) limt

    ( t+at+b

    )t, [R : eab]

    c) limx

    (x3+xx3c

    )x2, c R, [R : e].

    Neodredeni oblici(00

    )i(0)

    U prvom slucaju racunamo limese funkcija oblika f (x)= g(x)h(x) ako jelimxag(x)= 0

    + i limxah(x)=, gdje je a R {,}. Tada se

    limxag(x)

    h(x) odreduje tako da se najprije logaritmira:ln f (x)= h(x) ln(g(x)), i time se granicna vrijednost svodi naneodredeni oblik (0 ). Ako je ta granicna vrijednost L, onda jetraena granicna vrijednost eL. Slicno se postupa u slucaju

    (0).Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 50 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Neodredeni oblici

    PRIMJER 15.

    Izracunajmo: a) limx0+

    x tgx , b) limx0+

    x1x , c) lim

    xx1x .

    Rjeenje

    a) limx0+

    x tgx = (00)= limx0+

    etg(x)ln(x) = e limx0+ tg(x)ln(x)

    = e(0) = e limx0+lnx

    ctg(x) = . . . = e0 = 1

    b) limx0+

    x1x = (0)= e limx0+

    1x ln(x) = e = 0

    c) limxx

    1x = (0)= e limx 1x ln(x) = . . . = e0 = 1.

    ZADATAK 8.Izracunajte odredene oblike:

    a) limx1+

    x1x , [R :] b) limx0

    11+e 1x

    , [R : 1] c) limx0+

    11+e 1x

    , [R : 0].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 51 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    Teorem o sendvicu (ili uskladenost limesa irelacije )Na osnovi teorema o sendvicu za nizove imamo sljedecu tvrdnju.

    Tvrdnja 6. (uskladenost limesa i relacije )Neka je I R otvoren interval, x0 I i f ,g,h tri realne funkcije definiranena I, osim moda u x0, i neka postoje limesi funkcija f i g u x0.

    1 Ako je f (x) g(x), x 6= x0 u nekoj okolini tocke x0, onda jelim

    xx0f (x) lim

    xx0g(x).

    2 (Teorem o sendvicu) Ako je

    f (x) h(x) g(x), x 6= x0u nekoj okolini tocke x0 i limxx0

    f (x)= limxx0

    g(x)= L, onda funkcija hima limes u x0 i vrijedi limxx0

    h(x)= L (vidjeti sliku).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 52 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    PRIMJER 16.

    Pokazati da je limx0

    x2 sin1x= 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 53 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    RjeenjePrimjetimo da ne moemo koristiti da je

    limx0

    x2 sin1x= lim

    x0x2 lim

    x0sin

    1x

    ,

    jer limx0

    sin 1x ne postoji, (vidjeti primjer 4. b).

    Provjerimo jesu li ispunjene pretpostavke teorema o sendvicu. Znamoda vrijedi: 1 sin 1x 1 za sve x 6= 0. Slijedi da je

    x2 x2 sin 1x x2, x 6= 0

    i limx0

    x2 = limx0

    x2 = 0. Dakle, moemo primijeniti teorem o sendvicu nafunkcije f (x)=x2, g(x)= x2 i h(x)= x2 sin 1x , pa je

    limx0

    x2 sin1x= 0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 54 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    PRIMJER 17.

    Dokaimo da funkcija h(x)= sinxx ima limes kada x 0 i da vrijedi

    limx0

    sinxx

    = 1 .

    Rjeenje

    Limes limx0

    sinxx je neodredeni oblik

    (00

    ). Primijenit cemo teorem o

    sendvicu.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 55 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    U skladu sa slikom a) imamo da je |PP | = sin(x), |AP| = x , |AB| = tg(x)i |PP | < |AP|, to daje sin(x)x < 1 za sve x > 0.Nadalje je: 1x2 =P(COAP)

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    PRIMJER 18.

    Izracunajmo: a) limx0

    sin5xsin2x

    , b) limx0

    1cosxx2

    , c) limt0

    (sin2t

    t

    )t+3.

    Rjeenje

    a) limx0

    sin5xsin2x

    = limx0

    sin5x5x

    sin2x2x

    52= 1

    1 12= 1

    2,

    b) limx0

    1cosxx2

    = limx0

    1 (12sin2 x2 )x2

    = 2 limx0

    sin2 x24 (x2 )2 =

    12

    (sin x2

    x2

    )2= 1

    21= 1

    2,

    c) limt0

    (sin2t

    t

    )t+3=

    (limt0

    sin2tt

    )limt0

    t+3= (2 1)0+3 = 8.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 57 / 65

  • Granicna vrijednost ili limes funkcije Teorem o sendvicu

    ZADATAK 9.Izracunajte:

    a) limx0

    cos(2x)cos(3x)x2 , [R : 5/2]

    b) limx0

    cos(2x)cos(3x)x , [R : 0]

    c) limt0

    t ctgt , [R : 1],

    d) limt0

    tg tsin tt3 , [R : 1/2],

    e) limh0

    (1+sinh) 1h , [R : e].

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 58 / 65

  • Neprekidnost funkcije

    Neprekidnost (neprekinutost) funkcije

    DefinicijaNeka je I R otvoren interval, x0 I. Za funkciju f : I R kaemo da jeneprekidna u tocki x0 ako postoji limes funkcije f u tocki x0 ilim

    xx0f (x)= f (x0).

    Funkcija je neprekidna na skupu I ako je neprekidna u svakoj tockix0 I.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 59 / 65

  • Neprekidnost funkcije

    Neka je funkcija f definirana na nekom otvorenom intervalu oko x0,osim moda u x0. Kaemo da je f prekidna u x0 ako nije neprekidna ux0.

    PRIMJER 19.

    Na slici je prikazan graf funkcije f .U kojim tockama funkcija ima prekid?Zato?

    Rjeenje1) Ima prekid u tocki x0 = 1, jer funkcija nije definirana u 1.2) Ima prekid u tocki x0 = 3. Funkcija je ovdje definirana, ali ne postojilimx3

    f (x) (jer lijevi i desni limes nisu jednaki).

    3) Ima prekid u tocki x0 = 5. Funkcija je ovdje definirana i postojilimx5

    f (x) (jer su lijevi i desni limes jednaki). Ali limx5

    f (x) 6= f (5).Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 60 / 65

  • Neprekidnost funkcije Cauchyjeva definicija neprekidnosti funkcije

    Cauchyjeva definicija neprekidnosti funkcije

    DefinicijaNeka je I R otvoren interval, x0 I i f : I R. Kaemo da je fneprekidna u x0 ako

    (> 0) (> 0) (x I) (0< |x x0| < f (x) f (x0)< ).

    PRIMJER 20.

    Funkcija f (x)= sinxx je neprekidna na cijeloj domeni, tj. u svakoj tockix0 R\ {0}.

    ZADATAK 10.

    Ispitajte je li funkcija f (x)={ sinx

    x , x 6= 0,1, x = 0. neprekidna u nuli.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 61 / 65

  • Neprekidnost funkcije Cauchyjeva definicija neprekidnosti funkcije

    Funkcija f ima uklonjivi prekid u tocki x0 ako postojilim

    xx0f (x)= L 6= f (x0).

    Funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako su limesi slijeva izdesna u tocki x0 konacni i razliciti.Funkcija f ima prekid druge vrste u tocki x0 ako je barem jedan odlimesa slijeva ili zdesna beskonacan ili ne postoji.

    ZADATAK 11.

    a) Provjerite da funkcija f (x)={ 2x2, x 3,

    3x , x > 3, ima prekid prvevrste u x0 = 3.

    b) Provjerite da funkcija f (x)= 32x1+x ima prekid druge vrste ux0 =1.

    c) Provjerite da funkcija g(x)=

    sinx

    x , x < 0,1, x = 0,

    5x4 2x +1, x > 0,ima uklonjivi

    prekid u x0 = 0.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 62 / 65

  • Neprekidnost funkcije Neprekidnost i operacije s funkcijama

    Neprekidnost i operacije s funkcijama

    Tvrdnja 7.Neka je I R otvoren interval, x0 I i f ,g : I R neprekidne u x0. Tadavrijedi

    1) funkcija f g je neprekidna u x0,2) za svaki R funkcija f je neprekidna u x0,3) funkcija f g je neprekidna u x0,4) ako je g(x) 6= 0, x I, onda je funkcija fg je neprekidna u x0,5) funkcija |f | je neprekidna u x0.

    Osim toga, kompozicija neprekidnih funkcija daje neprekidnu funkciju:6) Neka je I R otvoren interval, x0 I, g : I R neprekidna u x0 i

    f : g(I)R neprekidna u f (x0). Tada je kompozicija f g (dana s(f g)(x)= f (g(x))) neprekidna u x0.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 63 / 65

  • Neprekidnost funkcije Neprekidnost i operacije s funkcijama

    Stavak 6) u tvrdnji 7. (neprekidna funkcija neprekidne funkcije jeneprekidna funkcija) je posljedica slijedece tvrdnje o limesima.

    Tvrdnja 8.Neka je I R otvoren interval, a I, lim

    xag(x)= b i f : g(I)Rneprekidna u b, tada je lim

    xa f(g(x)

    )= f (b). Drugim rijecima:

    limxa f

    (g(x)

    )= f

    (limxag(x)

    ).

    PRIMJER 21.

    Napiimo specijalne slucajeve tvrdnje 8. ako je f (x)= npx , ex .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 64 / 65

  • Neprekidnost funkcije Neprekidnost i operacije s funkcijama

    Rjeenje

    limxa

    n

    g(x)= n

    limxag(x), n N, g(x) 0, x I,

    limxae

    g(x) = e limxag(x).

    PRIMJER 22.

    U kojim tockama je funkcija F (x)= 1px2+74 neprekidna?

    Rjeenje

    F = f g h k , gdje je f (x)= 1x , g(x)= x 4, h(x)=p

    x , k(x)= x2 +7.Kako su sve elementarne funkcije neprekidne na svojoj domeni, toprema stavku 6) tvrdnje 7. slijedi da je F neprekidna na svojoj domeni:

    DF ={x R|

    x2 +74 6= 0

    }= {x R|x 6= 3} = (,3)(3,3)(3,+).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Limes funkcije 65 / 65

    UvodGranicna vrijednost ili limes nizaPojam nizaGranicna vrijednost ili limes nizaNeka svojstva konvergentnih nizovaRacunanje s limesima nizovaGranicna vrijednost ili limes funkcijeJednostrani limesiLimesi u R{-,+}Cauchyjeva definicija limesa funkcijeRacunanje s limesima funkcijaNeodreeni obliciTeorem o sendvicuNeprekidnost funkcijeCauchyjeva definicija neprekidnosti funkcijeNeprekidnost i operacije s funkcijama