Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 1 … · 2016-03-30 · Ciljevi ucenjaˇ Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ Integral kao antiderivacija Prepoznavanje

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 1 / 45

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Tablicno integriranje

2 Integriranje supstitucijom”Ocigledna” supstitucijaSupstitucijaSupstitucija u odredenom integralu

3 Parcijalna integracijaKombiniranje parcijalne integracije i supstitucijeParcijalna integracija u odredenom integralu


Ciljevi ucenja

Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Integral kao antiderivacija

Prepoznavanje ”ociglednih” supstitucijaMetoda supstitucije-slozeniji zadaciParcijalna integracijaKombiniranje gornjih tehnika


Ciljevi ucenja

Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Integral kao antiderivacijaPrepoznavanje ”ociglednih” supstitucija

Metoda supstitucije-slozeniji zadaciParcijalna integracijaKombiniranje gornjih tehnika


Ciljevi ucenja

Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Integral kao antiderivacijaPrepoznavanje ”ociglednih” supstitucijaMetoda supstitucije-slozeniji zadaci

Parcijalna integracijaKombiniranje gornjih tehnika


Ciljevi ucenja

Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Integral kao antiderivacijaPrepoznavanje ”ociglednih” supstitucijaMetoda supstitucije-slozeniji zadaciParcijalna integracija

Kombiniranje gornjih tehnika


Ciljevi ucenja

Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:Integral kao antiderivacijaPrepoznavanje ”ociglednih” supstitucijaMetoda supstitucije-slozeniji zadaciParcijalna integracijaKombiniranje gornjih tehnika


Tablicno integriranje

f (x)∫

f (x)dx1x ln |x |+c

xa;a 6=−1 xa+1

a+1 +csinx −cosx +ccosx sinx +c

1cos2 x tgx +c

1sin2 x

−ctgx +cbx bx

lnb +cex ex +c1√

a2−x2 arcsin(xa )

f (x)∫

f (x)dx1

a2+x21aarctg(x

a )+c1

a2−x21

2a ln |a+xa−x |+c

1√x2+a2

ln(x +√

x2 +a2)+c1√

x2−a2 ln(x +√

x2−a2)+cshx chx +cchx shx +c

1sh2x

−cthx +c1

ch2xthx +c


Tablicno integriranje Zadaci

Zadatak 1.Odredite sljedece integrale: Rj.01

(a)∫ (

2x3 +1x2 −

7√x

)dx

(b)∫ (

x2/3 +5x

)dx

(c)1∫

0

2√

x dx .




(a)∫ (

2x3 +1x2 −

7√x

)dx

(b)∫ (

x2/3 +5x

)dx

(c)1∫

0

2√

x dx .




(a)∫ (

2x3 +1x2 −

7√x

)dx

(b)∫ (

x2/3 +5x

)dx

(c)1∫

0

2√

x dx .



Zadatak 2.Odredite sljedece integrale:

(a)∫ (

2cosx− 3cos2 x

)dx

(b)∫ 5sin3 x +4

sin2 xdx

(c)

π

2∫0

13

sinx dx .




(a)∫ (

2cosx− 3cos2 x

)dx

(b)∫ 5sin3 x +4

sin2 xdx

(c)

π

2∫0

13

sinx dx .




(a)∫ (

2cosx− 3cos2 x

)dx

(b)∫ 5sin3 x +4

sin2 xdx

(c)

π

2∫0

13

sinx dx .




(a)∫ ( 1

34 +x2

+1

7−x2

)dx

(b)∫ ( 1√

5−x2+

3√4+x2

)dx

(c)∫ 1√

4x2−1dx

(d)1∫

0

dxx2 +1

.




(a)∫ ( 1

34 +x2

+1

7−x2

)dx

(b)∫ ( 1√

5−x2+

3√4+x2

)dx

(c)∫ 1√

4x2−1dx

(d)1∫

0

dxx2 +1

.




(a)∫ ( 1

34 +x2

+1

7−x2

)dx

(b)∫ ( 1√

5−x2+

3√4+x2

)dx

(c)∫ 1√

4x2−1dx

(d)1∫

0

dxx2 +1

.




(a)∫ ( 1

34 +x2

+1

7−x2

)dx

(b)∫ ( 1√

5−x2+

3√4+x2

)dx

(c)∫ 1√

4x2−1dx

(d)1∫

0

dxx2 +1

.




(a)∫ (

3x +32x)

dx

(b)∫

5e3xdx

(c)1∫

0

2xdx

(d)Odredite povrsinu na slici desno.

−1 1

ex




(a)∫ (

3x +32x)

dx

(b)∫

5e3xdx

(c)1∫

0

2xdx


−1 1

ex




(a)∫ (

3x +32x)

dx

(b)∫

5e3xdx

(c)1∫

0

2xdx


−1 1

ex




(a)∫ (

3x +32x)

dx

(b)∫

5e3xdx

(c)1∫

0

2xdx


−1 1

ex




(a)π∫

0

(3x2 +2sinx−ex

)dx

(b)1∫

0

(3√

x +1√

1−x2

)dx

(c)Odredite povrsinu na slicidesno.

π0

cos x

sin x




(a)π∫

0

(3x2 +2sinx−ex

)dx

(b)1∫

0

(3√

x +1√

1−x2

)dx


π0

cos x

sin x




(a)π∫

0

(3x2 +2sinx−ex

)dx

(b)1∫

0

(3√

x +1√

1−x2

)dx


π0

cos x

sin x



Rjesenje 1:Zad.01

(a) x4

2 −1x −14

√x +c.

(b) 35x5/3 +5ln |x |+c.

(c) 43 .

Rjesenje 2:(a) 2sinx−3tgx +c.(b) −5cosx−4ctgx +c.(c) 1

3 .



Rjesenje 3:

(a) 2√3

arctg( 2x√3)+ 1

2√

7ln∣∣∣√7+x√

7−x

∣∣∣+c.

(b) arcsin( x√5)+3ln(x +

√x2 +4)+c.

(c) 12 ln(

x +√

x2− 14

)+c.

(d) π

4 .

Rjesenje 4:

(a) 1ln33x + 1

2ln332x +c.

(b) 53e3x +c.

(c) 1ln2 .

(d) e2−1e .



Rjesenje 5:

(a) π3 +5−eπ.

(b) 34 +

π

2 .

(c) P =

π

4∫0

(cosx−sinx)dx =√

2−1.


Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija

Ocigledna supstitucijaAko je u = u(x) onda je∫

f (u(x))dudx

dx =∫

f (u)du

PRIMJER 1.∫2x√

x2−1 dx =?

Rjesenje:∫ √x2−1 2x dx =

∣∣∣u=x2−1dudx =2x

∣∣∣= ∫ √u

dudx

dx =∫ √

udu =23

u3/2 +c =

= 23

√(x2−1)3 +c.



Ocigledna supstitucijaAko je u = u(x) onda je∫

f (u(x))dudx

dx =∫

f (u)du

PRIMJER 1.∫2x√

x2−1 dx =?

Rjesenje:∫ √x2−1 2x dx =

∣∣∣u=x2−1dudx =2x

∣∣∣= ∫ √u

dudx

dx =∫ √

udu =23

u3/2 +c =

= 23

√(x2−1)3 +c.



Primjer 2.∫sin2 x cosx dx =?

Rjesenje:∫sin2 x cosx dx =

∣∣∣ u=sinxdudx =cosx

∣∣∣= ∫u2 du

dxdx =

∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.

Standardnija procedura:∫sin2 x cosx dx =

∣∣ u=sinxdu=cosxdx

∣∣= ∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.






∣∣∣= ∫u2 du

dxdx =

∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.



∣∣= ∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.






∣∣∣= ∫u2 du

dxdx =

∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.



∣∣= ∫u2du =

u3

3+c =

sin3 x3

+c.



Zadatak 6.Izracunajte sljedece integrale:

(a)∫

cos2 x sinx dx

(b)∫ ex

1+ex dx

(c)∫ ex

1+e2x dx

(d)∫ x3

x4 +1dx

(e)∫

x2 cos(x3)dx



Rjesenje 6:

(a)∫

cos2 x sinx dx =∣∣∣ t=cosxdt=−sinxdx−dt=sinxdx

∣∣∣=−∫t2dt =− t3

3+c =−cos3 x

3+c.

(b) ln(1+ex)+c (t = 1+ex)

(c) arctg(ex)+c (t = ex)

(d) 14 ln(x4 +1)+c (t = x4 +1)

(e) 13 sin(x3)+c (t = x3)



Zadatak 7.

Ako je∫

f (x)dx = F (x)+c, koliko je:

(a)∫

f (2x)dx

(b)∫

f (x−4)dx

(c)∫

f (3x +1)dx



Rjesenje 7:

(a) F (2x)2 +c

(b) F (x−4)+c

(c) F (3x+1)3 +c



Sljedeci zadaci se cesto koriste u primjenama.


(a)∫

sin2 x dx

(b)∫

cos2 x dx



Rjesenje 8:(a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom

sin2 x =1−cos(2x)

2

∫sin2 xdx =

12

∫(1−cos(2x))dx =

12

∫dx− 1

2

∫cos(2x)dx =

x2− sin(2x)

4+c

(b) Koristimo se identitetom

cos2 x =1+cos(2x)

2∫cos2 xdx =

12

∫(1+cos(2x))dx =

12

∫dx +

12

∫cos(2x)dx =

= x2 +

sin(2x)4 +c




sin2 x =1−cos(2x)

2∫sin2 xdx =

12

∫(1−cos(2x))dx =

12

∫dx− 1

2

∫cos(2x)dx =

x2− sin(2x)

4+c


cos2 x =1+cos(2x)

2∫cos2 xdx =

12

∫(1+cos(2x))dx =

12

∫dx +

12

∫cos(2x)dx =

= x2 +

sin(2x)4 +c




sin2 x =1−cos(2x)

2∫sin2 xdx =

12

∫(1−cos(2x))dx =

12

∫dx− 1

2

∫cos(2x)dx =

x2− sin(2x)

4+c


cos2 x =1+cos(2x)

2

∫cos2 xdx =

12

∫(1+cos(2x))dx =

12

∫dx +

12

∫cos(2x)dx =

= x2 +

sin(2x)4 +c




sin2 x =1−cos(2x)

2∫sin2 xdx =

12

∫(1−cos(2x))dx =

12

∫dx− 1

2

∫cos(2x)dx =

x2− sin(2x)

4+c


cos2 x =1+cos(2x)

2∫cos2 xdx =

12

∫(1+cos(2x))dx =

12

∫dx +

12

∫cos(2x)dx =

= x2 +

sin(2x)4 +c


Integriranje supstitucijom Supstitucija

SUPSTITUCIJA

Integral∫

h(x)dx , pomocu supstitucije, izracunavamo sljedecim

koracima:(a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uzdu = g′(x)dx): ∫

h(x)dx =∫

h(x)du

g′(x)

(b)Iz h(x)g′(x) pokusamo eliminirati x tako da h(x)

g′(x) prepoznamo kao

funkciju od u tj. h(x)g′(x) = f (u). Dakle,

∫h(x)

dug′(x)

=∫

f (u)du

(c)∫

f (u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon

izracunavanja, zamjenimo nazad u = g(x).Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 21 / 45


Primjer 3.∫ x3 +3(x4 +12x)2 dx =?

Rjesenje:

(a) Stavimo u = x4 +12x . Dakle du = (4x3 +12)dx :∫ x3 +3(x4 +12x)2 dx =

∫ x3 +3u2

du(4x3 +12)

(b) U integralu kracenjem se eliminira x∫ x3 +3u2

du4(x3 +3)

=14

∫ 1u2 du

(c) 14

∫ 1u2 du =

14

u−1

−1+c =

14(x4 +12x)−1

−1+c =− 1

4(x4 +12x)+c



Primjer 3.∫ x3 +3(x4 +12x)2 dx =?

Rjesenje:


∫ x3 +3u2

du(4x3 +12)


du4(x3 +3)

=14

∫ 1u2 du

(c) 14

∫ 1u2 du =

14

u−1

−1+c =

14(x4 +12x)−1

−1+c =− 1

4(x4 +12x)+c



Primjer 3.∫ x3 +3(x4 +12x)2 dx =?

Rjesenje:


∫ x3 +3u2

du(4x3 +12)


du4(x3 +3)

=14

∫ 1u2 du

(c) 14

∫ 1u2 du =

14

u−1

−1+c =

14(x4 +12x)−1

−1+c =− 1

4(x4 +12x)+c



Primjer 3.∫ x3 +3(x4 +12x)2 dx =?

Rjesenje:


∫ x3 +3u2

du(4x3 +12)


du4(x3 +3)

=14

∫ 1u2 du

(c) 14

∫ 1u2 du =

14

u−1

−1+c =

14(x4 +12x)−1

−1+c =− 1

4(x4 +12x)+c




(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx

(b)∫ e

1x

x2 dx

Zadatak 10.

(a)∫ √lnx +2

xdx

(b)∫ cosϕ

1+sinϕdϕ




(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx

(b)∫ e

1x

x2 dx

Zadatak 10.

(a)∫ √lnx +2

xdx

(b)∫ cosϕ

1+sinϕdϕ




(a)∫ sin(ln t)

tdt

(b)∫ e2y

1+e2y dy

(c)∫ x

1+x4 dx



Rjesenje 9:

(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx =

∣∣∣∣∣ t=x2+2x+2dt=2(x+1)dxdx= 1

2(x+1)dt

∣∣∣∣∣=∫ x +1√

tdt

2(x +1)=

=12

∫t−12 dt = t

12 +c = =

√x2 +2x +2+c

(b) −e1x +c (t = 1

x )

Rjesenje 10:

(a) 23(lnx +2)

32 +c (t = lnx +2)

(b) ln |1+sinϕ|+c (t = 1+sinϕ)

Rjesenje 11:(a) −cos(ln t)+c (u = ln t)(b) 1

2 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )

(c) 12arctg(x2) (u = x2)



Rjesenje 9:

(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx =

∣∣∣∣∣ t=x2+2x+2dt=2(x+1)dxdx= 1

2(x+1)dt

∣∣∣∣∣=∫ x +1√

tdt

2(x +1)=

=12

∫t−12 dt = t

12 +c = =

√x2 +2x +2+c

(b) −e1x +c (t = 1

x )

Rjesenje 10:

(a) 23(lnx +2)

32 +c (t = lnx +2)



2 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )

(c) 12arctg(x2) (u = x2)



Rjesenje 9:

(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx =

∣∣∣∣∣ t=x2+2x+2dt=2(x+1)dxdx= 1

2(x+1)dt

∣∣∣∣∣=∫ x +1√

tdt

2(x +1)=

=12

∫t−12 dt = t

12 +c = =

√x2 +2x +2+c

(b) −e1x +c (t = 1

x )

Rjesenje 10:

(a) 23(lnx +2)

32 +c (t = lnx +2)



2 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )

(c) 12arctg(x2) (u = x2)



Rjesenje 9:

(a)∫ x +1√

x2 +2x +2dx =

∣∣∣∣∣ t=x2+2x+2dt=2(x+1)dxdx= 1

2(x+1)dt

∣∣∣∣∣=∫ x +1√

tdt

2(x +1)=

=12

∫t−12 dt = t

12 +c = =

√x2 +2x +2+c

(b) −e1x +c (t = 1

x )

Rjesenje 10:

(a) 23(lnx +2)

32 +c (t = lnx +2)



2 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )

(c) 12arctg(x2) (u = x2)


Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu

SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU

Ako integral∫

h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral∫f (u)du onda vrijedi:

b∫a

h(x)dx =

g(b)∫g(a)

f (u)du

Veza medu granicama integrala je dana sa

x a bu g(a) g(b)



Primjer 4.

Izracunajte integral1∫

0

ex

ex +1dx

Rjesenje:1∫

0

ex

ex +1dx =

∣∣∣∣u=ex+1du=ex dx

x 0 1u 2 1+e

∣∣∣∣= 1+e∫2

1u

du = (lnu)|1+e2 = ln

(1+e

2

)



Primjer 4.

Izracunajte integral1∫

0

ex

ex +1dx

Rjesenje:1∫

0

ex

ex +1dx =

∣∣∣∣u=ex+1du=ex dx

x 0 1u 2 1+e

∣∣∣∣= 1+e∫2

1u

du = (lnu)|1+e2 = ln

(1+e

2

)




(a)

π

8∫0

cos(4x)dx

(b)1∫

0

t√

t2 +1dt

(c)1∫

0

ex

1+e2x dx



Rjesenje 12:

(a)

π

8∫0

cos(4x)dx =

∣∣∣∣ t=4xdt=4dxx 0 π

8t 0 π

2

∣∣∣∣=π

2∫0

cos tdt4

=14

(sin t |

π

20

)=

14.

(b)1∫

0

t√

t2 +1dt =

∣∣∣∣∣u=t2+1du=2tdt

t 0 1u 1 2

∣∣∣∣∣=2∫

1

√u

du2

=12

23(u3/2|21) =

13(√

8−1)

(c)1∫

0

ex

1+e2x dx =

∣∣∣∣ u=ex

du=ex dxx 0 1u 1 e

∣∣∣∣= e∫1

11+u2 du = arctgu|e1 = arctge− π

4.


Parcijalna integracija

PARCIJALNA INTEGRACIJA

Stavimo

u = f (x), v = g(x)

Sa povrsina sa slike desnoiscitavamo vezu:∫

udv +∫

vdu = uv

u

v

∫ud v

∫vdu



Integral∫

f (x)g′(x)dx racunamo na sljedeci nacin:

∫f (x)g′(x)dx =

∣∣∣ u=f (x)⇒du=f ′(x)dxdv=g′(x)dx⇒v=g(x)

∣∣∣= uv −∫

vdu =

= f (x)g(x)−∫

g(x)f ′(x)dx .



Primjer 5.

Izracunajte integral∫

x cosx dx .

Rjesenje:∫x︸︷︷︸u

cosx dx︸︷︷︸dv

=∣∣ u=x⇒du=dxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= uv −∫

vdu =

x sinx−∫

sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 5.


x cosx dx .



=

∣∣ u=x⇒du=dxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= uv −∫

vdu =

x sinx−∫

sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 5.


x cosx dx .




∣∣=

uv −∫

vdu =

x sinx−∫

sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 5.


x cosx dx .




∣∣= uv −∫

vdu =

x sinx−∫

sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 5.


x cosx dx .




∣∣= uv −∫

vdu =

x sinx−∫

sinxdx =

= x sinx +cosx +c.



Primjer 6.


lnx dx .

Rjesenje:∫lnx︸︷︷︸

u

dx︸︷︷︸dv

=∣∣∣u=lnx⇒du= 1

x dxdv=dx⇒v=x

∣∣∣= uv −∫

vdu = (lnx)x−∫ 1

xxdx =

= x lnx−∫

dx = x lnx−x +c.



Primjer 6.


lnx dx .


u

dx︸︷︷︸dv

=

∣∣∣u=lnx⇒du= 1x dx

dv=dx⇒v=x

∣∣∣= uv −∫


xxdx =

= x lnx−∫

dx = x lnx−x +c.



Primjer 6.


lnx dx .


u

dx︸︷︷︸dv


x dxdv=dx⇒v=x

∣∣∣=

uv −∫


xxdx =

= x lnx−∫

dx = x lnx−x +c.



Primjer 6.


lnx dx .


u

dx︸︷︷︸dv


x dxdv=dx⇒v=x

∣∣∣= uv −∫

vdu =

(lnx)x−∫ 1

xxdx =

= x lnx−∫

dx = x lnx−x +c.



Primjer 6.


lnx dx .


u

dx︸︷︷︸dv


x dxdv=dx⇒v=x

∣∣∣= uv −∫


xxdx =

= x lnx−∫

dx = x lnx−x +c.




(a)∫

xexdx

(b)∫

x2 cosx dx




(a)∫(x +1)sinx dx

(b)∫(2x−1)e3xdx

(c)∫

x2 lnx dx

(d)∫

x2e3xdx



Rjesenje 13:

(a)∫

xex dx =

∣∣ u=x⇒du=dxdv=ex dx⇒v=ex

∣∣= xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫

x2 cosx dx =∣∣ u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= x2 sinx−∫

2x sinxdx =

=∣∣ u=2x⇒du=2dxdv=sinxdx⇒v=−cosx

∣∣= x2 sinx− (2x(−cosx)+∫

2cosxdx) =

= x2 sinx +2x cosx−2∫

cosxdx = x2 sinx +2x cosx−2sinx +c



Rjesenje 13:

(a)∫

xex dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=ex dx⇒v=ex

∣∣=

xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫


∣∣= x2 sinx−∫

2x sinxdx =



2cosxdx) =





Rjesenje 13:

(a)∫


∣∣= xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫

x2 cosx dx =

∣∣ u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx

∣∣= x2 sinx−∫

2x sinxdx =



2cosxdx) =





Rjesenje 13:

(a)∫


∣∣= xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫


∣∣=

x2 sinx−∫

2x sinxdx =



2cosxdx) =





Rjesenje 13:

(a)∫


∣∣= xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫


∣∣= x2 sinx−∫

2x sinxdx =

=

∣∣ u=2x⇒du=2dxdv=sinxdx⇒v=−cosx


2cosxdx) =





Rjesenje 13:

(a)∫


∣∣= xex −∫

exdx = xex −ex +c

(b)∫


∣∣= x2 sinx−∫

2x sinxdx =



2cosxdx) =





Rjesenje 14:(a) −(x +1)cosx +sinx +c(b) e3x (1

3(2x−1)− 29

)+c

(c) x3

3 ln |x |− x3

9 +c

(d) e3x(

x2

3 −2x9 + 2

27

)+c


Parcijalna integracija Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije

Zadatak 15.Supstitucijom i parcijalnom integracijom izracunajte sljedece integrale:

(a)∫

2x3 cos(x2) dx

(b)∫

ex sinx dx

(c)∫

arcsinx dx

(d)∫

xarctg x dx



Rjesenje 15:

(a)∫

2x3 cos(x2)dx =

∣∣ t=x2

dt=2xdx

∣∣= ∫t cos t dt =

∣∣ u=t⇒du=dtdv=cos tdt⇒v=sin t

∣∣== t sin t−

∫sin t dt = t sin t +cos t +c = x2 sin(x2)+cos(x2)+c

(b)∫

ex sinx dx =∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=sinxdx⇒v=−cosx

∣∣=−cosx ex +∫

ex cosx dx

=∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=cosx dx⇒v=sinx

∣∣=−cosx ex +sinxex −∫

ex sinx dx

⇒ 2∫

ex sinx dx =−cosx ex +sinxex

⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =

∣∣∣∣u=arcsinx⇒du= 1√1−x2 dx

dv=dx ⇒ v=x

∣∣∣∣=x arcsinx−

∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2

∣∣∣∣= x arcsinx +∫

dt =

x arcsinx + t +c = = x arcsinx +√

1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫

2x3 cos(x2)dx =∣∣ t=x2

dt=2xdx

∣∣=

∫t cos t dt =


∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫

ex sinx dx =

∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=sinxdx⇒v=−cosx


ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx

=

∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=cosx dx⇒v=sinx


ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.



Rjesenje 15:

(a)∫


dt=2xdx



∣∣== t sin t−


(b)∫



ex cosx dx



ex sinx dx

⇒ 2∫


⇒∫

ex sinx dx =ex

2(−cosx +sinx)+c

(c)∫

arcsinx dx =


dv=dx ⇒ v=x


∫ x√1−x2

dx =

∣∣∣∣ t=√

1−x2

dt=− x√1−x2


dt =


1−x2 +c.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 39 / 45


Rjesenje 15:

(d)∫

xarctg x dx =

∣∣∣∣∣u=arctg x⇒du= 11+x2 dx

dv=xdx ⇒ v=x2

2

∣∣∣∣∣=x2

2arctg x−

∫ x2

2(1+x2)dx = = x2

2 arctg x− 12

∫(1− 1

1+x2 ) dx =

= x2

2 arctg x− 12(x−arctg x)+c.



Rjesenje 15:

(d)∫

xarctg x dx =

∣∣∣∣∣u=arctg x⇒du= 11+x2 dx

dv=xdx ⇒ v=x2

2

∣∣∣∣∣=x2

2arctg x−

∫ x2

2(1+x2)dx = = x2

2 arctg x− 12

∫(1− 1

1+x2 ) dx =

= x2

2 arctg x− 12(x−arctg x)+c.


Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredenom integralu

PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU

b∫a

u dv = uv |ba−b∫

a

v du

Zadatak 16.

Izracunajte integral:e∫

1

lnx dx



Zadatak 17.Izracunajte povrsinu sa slike:

x

y

f (x) = x sin x



Rjesenje 16:e∫

1

lnx dx =

∣∣∣u=lnx⇒du= 1x dx

dv=dx ⇒ v=x

∣∣∣= x lnx∣∣∣e1−

e∫1

x1x

dx = 1.

Rjesenje 17:3π∫

2π

x sinx dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx

∣∣=−x cosx∣∣∣3π

2π

+

3π∫2π

cosx dx = 5π.



Rjesenje 16:e∫

1

lnx dx =∣∣∣u=lnx⇒du= 1

x dxdv=dx ⇒ v=x

∣∣∣= x lnx∣∣∣e1−

e∫1

x1x

dx = 1.

Rjesenje 17:3π∫

2π

x sinx dx =

∣∣ u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx


2π

+

3π∫2π

cosx dx = 5π.



Rjesenje 16:e∫

1

lnx dx =∣∣∣u=lnx⇒du= 1

x dxdv=dx ⇒ v=x

∣∣∣= x lnx∣∣∣e1−

e∫1

x1x

dx = 1.

Rjesenje 17:3π∫

2π

x sinx dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx


2π

+

3π∫2π

cosx dx = 5π.




(a)3∫

2

72x−3

dx

(b)∫ dx

x2−2x +3

(c)∫ x

x2 +7dx

(d)∫

tgx dx

(e)

π

2∫π

4

ctgx dx

(f)∫ 6x2−2x−sinx

2x3−x2 +cosxdx



Rjesenje 18:

(a) 72 ln3

(b) 1√2

arctg(

x−1√2

)+c

(c) 12 ln(x2 +7)+c

(d) − ln |cosx |+c

(e) − ln(√

22 )

(f) ln |2x3−x2 +cosx |+c


Documents

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-4 1 … · 2016-03-30 · Ciljevi ucenjaˇ Ciljeve ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ Integral kao antiderivacija Prepoznavanje