Variable aleatoria discreta o -la aberracin de las matemticas- en Tigres azules y los lmites del lenguaje en El espejo y

Variable aleatoria discreta o -la aberracin de las matemticas- en Tigres azules y los lmites del lenguaje en El espejo y la mscara de Jorge Luis Borges.

porSK-MELEAArtculo publicado el 07/10/2014

Stephen Kcenich, MS, Montgomery College, MDMara-Elvira Luna-Escudero-Alie, PhD., Montgomery College, MD

A Lee y Bill Kcenich

Proyecto_borges@yahoo.com

El tiempo es la sustancia de que estoy hecho.El tiempo es un ro que me arrebata,pero yo soy ese ro; es un tigre que me destroza, pero yo soy el tigre;es un fuego que me consume, pero yo soy el fuego.El mundo, desgraciadamente, es real;yo, desgraciadamente, soy Borges (O.I. 256)

El complejo mundo borgeano pleno de pantesmo, laberintos, espejos, sueos, digresiones sobre el infinito, reflexiones sobre la catica realidad, el tiempo y el espacio, nos impele insistentemente a analizar, entre otras consideraciones, los mltiples conceptos metafsicos inmersos en sus exquisitos textos. En este artculo en particular, hemos reflexionado sobre dos cuentos: Tigres azules, y El espejo y la mscara. Nuestra reflexin sobre Tigres azules se ha servido de conceptos prestados de la estadstica y la teora de probabilidades, especficamente hemos aplicado la variable aleatoria discreta en un intento por encontrar un patrn a una realidad numrica cambiante cuya variacin parece gobernada por el caos. En cuanto al relato: El espejo y la mscara, hemos relexionado sobre los lmites del lenguaje que, a nuestro parecer, dicho relato propone. Hemos hecho tambin un anlisis contrastivo profundizando en la analoga que encontramos entre los lmites del lenguaje; postulado del cuento El espejo y la mscara, y la restriccin de las matemticas para explicar un fenmeno cuantitativo, que tambin vemos como un postulado de Tigres azules.

Empecemos por resumir el argumento de ambos cuentos y luego de comentar cada relato, reflexionaremos sobre el puente metafsico que, en nuestra opinin, los conecta indefectiblemente.

El relato Tigres azules, el segundo de los cuentos incluidos en el ltimo libro de relatos de Borges titulado:La memoria de Shakespeare(1983), tiene como protagonista a Alexandre Craigie; un profesor escoss de lgica occidental de la Universidad de Lahore, que los domingos se dedica a estudiar la obra del filsofo holands Baruch Spinoza. El profesor Craigie estaba obsesionado desde nio con tigres (al igual que el propio Borges lo estuviera), y supo a fines de 1904 que en la regin del delta del Ganges haba sido descubierta una variedad azul de tigres. Craigie aprovech sus vacaciones para viajar a la India, al Punjab.

Alexandre Craigie no encontr en el Punjab tigres azules sino historias y sagas populares sobre su supuesta presencia. Incluso tuvo la impresin de que los aldeanos veneraban como divinidad al tigre azul. A falta de tigres azules, el profesor Craigie hall unas extraas pequeas piedrecitas lisas, circulares y de un azul brillante, como el del tigre de sus sueos. El profesor Craigie observ que estas piedrecitas azules que semejaban pequeos discos o fichas se multiplicaban o disminuan indiscriminadamente. El misterioso fenmeno, esa aberracin de las matemticas, producido por las piedras que generan, apodadas por los aldeanos tigres azules, intrig al profesor de lgica occidental. El profesor constat, no obstante su formacin acadmica, que en el universo caba el desorden, y tambin la carencia de lgica. Trat de entender la variacin numrica de las piedras usando la estadstica, despus de haber fracasado con las cuatro operaciones bsicas de la aritmtica, y tambin con el clculo de probabilidades. El 10 de febrero, Alexander Craigie entr a la mezquita Wazil Khan a la hora en que la luz no ha revelado los colores, y rez para ser eximido de su carga. Sbitamente se le apareci un mendigo ciego, y le pidi limosna. El profesor Craigie le dijo que no tena monedas, y el ciego respondi que por el contrario, tena muchas. Cuando Alexandre Craigie le entreg las piedras azules, el mendigo le dijo:Te quedas con los das y las noches, conla cordura, con los hbitos, con el mundo.Y luego el mendigo ciego desapareci en el alba tan misteriosamente como haba aparecido.

El relato El espejo y la mscara, el sptimo de los cuentos incluidos en la penltima coleccin de cuentos de Borges,El libro de arena(1975), nos narra una fbula cuyas acciones ocurrieron en Irlanda, durante la primera poca de la Edad Media. Los hechos narrados sucedieron en el marco temporal inmediatamente posterior a la batalla de Clontarf. El Alto Rey irlands le propone al poeta de su corte que inmortalice la victoria sobre los noruegos en una oda. Despus de un ao el Olln recita de memoria su oda y se la entrega al rey quien la acepta y premia su esfuerzo con un espejo de plata. El rey le dice al poeta que su poema ser copiado sesenta veces por los escribas de su Corte y que de su pluma maestra espera un poema aun mejor:

[] Acepto tu labor. Es otra victoria. Has atribuido a cada vocablo su genuina acepcin y a cada nombre sustantivo el epteto que le dieron los primeros poetas. No hay en toda la loa una sola imagen que no hayan usado los clsicos. La guerra es el hermoso tejido de hombres y el agua de la espada es la sangre. El mar tiene su dios y las nubes predicen el porvenir. Has manejado con destreza la rima, la aliteracin, la asonancia, las cantidades, los artificios de la docta retrica, la sabia alteracin de los metros. Si se perdiera toda la literatura de Irlanda-omen absit-podra reconstruirse sin prdida con tu clsica oda. Treinta escribas la van a transcribir dos veces.

Hubo un silencio y prosigui.

Todo est bien y sin embargo nada ha pasado. En los pulsos no corre ms a prisa la sangre. Las manos no han buscado los arcos. Nadie ha palidecido. Nadie profiri un grito de batalla, nadie opuso el pecho a los vikings. Dentro del trmino de un ao aplaudiremos otra loa, poeta. Como signo de nuestra aprobacin, toma este espejo que es de plata [].

Transcurrido el siguiente ao, el poeta regres con un poema menos largo el cual ley con inseguridad,

[] La pgina era extraa. No era una descripcin de la batalla, era la batalla. En su desorden blico se agitaban el Dios que es Tres y es Uno, los nmenes paganos de Irlanda y los que guerrearan, centenares de aos despus, en el principio de la Edad Mayor. La forma no era menos curiosa. Un sustantivo singular poda regir un verbo plural. Las preposiciones eran ajenas a las normas comunes. La aspereza alternaba con la dulzura. Las metforas eran arbitrarias o as lo parecan. [].

El rey felicit al poeta y orden que se copiara una sola vez el nuevo poema y que se guardara en un cofre. Como premio por su obra, el rey le ofreci una mscara de oro, y le dijo que de su talento aun esperaba un poema mejor.

El Olln regres nuevamente al palacio al cabo de un ao. El rey not el cambio fsico del poeta; estaba visiblemente deshecho y tan abatido que sus ojos parecanmirar muylejos o haber quedado ciegos. El poeta no llevaba ningn manuscrito consigo y no se atreva a recitar el poema. Finalmente lo hizo; era una sola lnea oda solamente por el rey. Intrigado por el breve poema, el rey le pregunt al poeta:

[] Qu hechicera te lo dio?

En el alba dijo el poeta me record diciendo unas palabras que al principio no comprend. Esas palabras son un poema. Sent que haba cometido un pecado, quiz el que no perdona el Espritu.

El que ahora compartimos los dos el Rey musit. El de haber conocido la Belleza, que es un don vedado a los hombres. Ahora nos toca expiarlo. Te di un espejo y una mscara de oro; he aqu el tercer regalo que ser el ltimo.

Le puso en la diestra una daga. Del poeta sabemos que se dio muerte al salir del palacio; del Rey, que es un mendigo que recorre los caminos de Irlanda, que fue su reino, y que no ha repetido nunca el poema.

El estudioso Esteban Mata public en la Revista Filosofa, de la Universidad de Costa Rica un ensayo muy lcido analizando el cuento Tigres azules desde la perspectiva de la teora del caos.

[] Por tanto y para concluir, creo que Tigres azules puede leerse como una bella parbola que simboliza el advenir del cosmos a partir del caos, una bella imagen de lo indiscernible e indescifrable que es la totalidad, incluso para nuestros ms osados y ambiciosos pensamientos.

Aunque valoramos mucho el anlisis de Esteban Mata, nuestra aproximacin al relato ms bien se centra en la aplicacin de conceptos estadsticos tales como la variable aleatoria discreta para descifrar, o al menos, intentar descrifrar los misterios o fenmenos numricos que ocurren con las piedras azules. Postulamos que sera posible, haciendo algunos cambios mnimos en el relato, hallar un patrn matemtico a la metamorfosis numrica que sucede con estas piedras de fbula. Si no hubiramos hecho las variaciones que hemos realizado al cuento, tampoco habramos podido encontrar ningn patrn matemtico. Alguien podra objetar, acaso el mismo Borges, nuestros cambios aduciendo que ya no se tratara del mismo relato. Y sin embargo hemos hecho estos cambios porque nuestra intencin principal es que nuestros estudiantes comprendan la aplicacin en la vida diaria de las estadsticas, y que adems se beneficien con lecturas literarias que de hecho ampliarn sus horizontes de mundo. Hemos creado un colectivo de aprendizaje (Learning Community), que consiste en la unin de dos cursos a travs de un tema. Nuestro tema es Borges, en concreto los textos borgeanos donde abundan contenidos matemticos y para nuestro proyecto acadmico hemos unido un curso de matemticas con uno de castellano.

En concreto nos vamos a referir ahora a ejemplos que aplicaremos en nuestro colectivo de aprendizaje, que slo son posibles, si realizamos unas breves variaciones al cuento de Borges, tal como lo hemos comentado. Por ejemplo, si realizamos un experimento aleatorio con cantidades inciertas, tal como ocurre, con las piedras pequeas circulares del relato Tigres azules, tendremos variables inciertas y sujetas a las muchas posibilidades de la contingencia. Estas cantidades inciertas son las que llamamos variables aleatorias o variables estocsticas. En trminos generales, una variable aleatoria, es por tanto, un valor numrico que est influido por el azar. Es decir que una variable aleatoria o estocstica es una funcin que asigna eventos (p.e. los resultados posibles de tirar o simplemente manipular las piedras azules; las piedras que engendran, (1,1), (1, 2), (1,3)) a nmeros reales (p.e. su suma). Una variable aleatoria o estocstica es una variable estadstica que obtiene sus valores como resultado de mediciones hechas en experimento aleatorio. Al tener una variable aleatoria no podemos saber qu valor exacto tendr; pero s podemos asignarle una serie de valores posibles mediante una distribucin de probabilidades, siempre y cuando se trate de una variable aleatoria discreta. Dicho de otro modo, los valores posibles para una variable aleatoria y sus valores probables asociados, establecen una distribucin de probabilidad.

La definicin formal de variable aleatoria se representa mediante esta frmula:

X: R

Donde X representa la funcin que asigna a cada elemento del espacio muestral (representado por omega) un nmero real (R). El conjunto de nmeros reales est representado de esta manera por R.

Tenemos que enfrentarnos a la aleatoriedad infinita y podemos manejar esta aleatoriedad siempre y cuando no nos concentramos en patrones en el sentido de secuencias que son siempre exactas. Por tanto usaremos la estadstica para encontrar de manera mucho ms sutil un patrn llamado distribucin de probabilidad discreta.

En este caso, nuestra variable aleatoria X = nmero de piedras producidas cuando se manipulan las piedras que generan.

Cada variable aleatoria debe seguir una distribucin probable, la cual es una lista de todos los valores de X juntos con sus probabilidades.

A partir de la distribucin de probabilidades podemos encontrar lo siguiente:i. La media, yii. La varianza (es el cuadrado de la desviacin estndar, y sta es la medida de la dispersin de los datos que se emplean habitualmente).

La media = E [X] = suma [X*P(X)]Var [X] = Var [X] =

Ejemplo: Supongamos que la piedra que engendra es manipulada ocho veces, como en el relato de Borges, y como producto de esa manipulacin se va generando el siguiente nmero de piedras (adems de la piedra azul original):

200, 7, 46, 82, 3, 102, 989, 21

i. Crear una distribucin de probabilidad,ii. Encontrar E [X] and Var [X]

Algunas veces, un fenmeno natural puede ser modelado para que encaje bien en un cierto tipo de distribucin. Examinaremos tres clases de distribuciones aqu: binomial, de geometra, y de Poisson (llamada as en honor al fsico-matemtico francs Simon-Denis Poisson (1781-1840)). Adems de esto, haremos mnimas modificaciones a Tigres azules. Estas modificaciones nos permitirn examinar cada una de estas distribuciones.

Distribucin Binomial

Consideremos una mnima modificacin en el relato Tigres azules, donde cada vez que una piedra es manipulada, ocurre que otra piedra aparece o ninguna lo hace. Asumamos que una piedra aparece con probabilidad = p que no vara. Asumiendo que nosotros manipulamos las piedras un nmero fijo de veces y cada vez que lo hacemos es independiente de la siguiente vez.

En la modificacin que hemos descrita, la variable aleatoria, X sigue una distribucin binomial con parmetros n y p.

Podemos encontrar E [X] usando la frmula n*p y Var [X] = n*p* (1-p)

Ejemplo: Asumiendo que tenemos la piedra azul de la historia de Borges que produce otra piedra con la probabilidad = .6 y no produce ninguna piedra con probabilidad = .4 Encontremos el nmero esperado de piedras si la piedra es manipulada ocho veces.

En este ejemplo n = 8, p = .6 entonces E [X] = n*p = 8*.6 = 4.8, Var [X] = n*p*(1-p) = 8*.6.4 = 1.96

Podramos imaginar otro escenario con las piedras que generan donde la distribucin binomial pueda ser usada en diez ensayos con el propsito de obtener una media = 6.

Distribucin geomtrica

Nuestra siguiente modificacin involucra un escenario donde cada vez que las piedras azules son manipuladas, una nueva piedra azul aparece con probabilidad p o ninguna piedra aparece con probabilidad 1-p. En este escenario, sin embargo, X- nmero de manipulaciones hasta que la primera piedra aparezca, sigue una distribucin geomtrica, E [X] = 1/p, Var [X] = (1-p)/p2

Ejemplo, podramos pensar tambin en otro escenario donde el nmero de piedras que aparece siga una distribucin geomtrica con una media = 5.

Distribucin de Poisson

La modificacin final que sugerimos implica un escenario donde otra vez, cada manipulacin de las piedras resulta en ninguna piedra o en una piedra nueva. Sin embargo, no hay un nmero fijo de probabilidad p o un nmero fijo de manipulaciones. Asumimos que las piedras azules estn siendo manipuladas siguiendo un ndice constante sobre un intervalo dado de tiempo. Ahora X = nmero de piedras que aparecen sobre un intervalo de tiempo. X sigue la distribucin de Poisson con una media y una varianza dadas = media.

Ejemplo, podemos pensar en una situacin donde el nmero de piedras que aparecen en una hora si X sigue la distribucin de Poisson con una media = 5/hora

Distribuciones continuas

Las distribuciones continuas son distribuciones donde la variable aleatoria X, puede tomar un nmero incontable o un nmero infinito de valores. Podemos tambin pensar en una situacin donde las piedras que generan representen una variable aleatoria continua.

Puestos a reflexionar sobre el infinito nos imaginamos otra manera en la que podra haber actuado Cragie con las piedras azules. Una manera simple hubiera sido usar la distribucin normal y crear un intervalo de confianza tal como sigue:

1.- Manipular la piedra un nmero fijo de veces = n2.- Encontrar E [X] y una desviacin estndar como describimos antes,3.- Encontrar el intervalo apropiado z o intervalo.

Por lo expuesto anteriormente y de manera simplificada, hemos podido ver que la estadstica bien puede aplicarse al realto Tigres azules. La estadstica puede, en las manos de los personajes de Borges que son arquetipos platnicos; se explican genricamente aliviar as su reaccin aprehensiva al ser confrontados al devastador infinito.

El relato Tigres azules podra, desde luego, como lo hizo muy bien el estudioso Esteban Mata, ser analizado desde la perspectiva de la teora del caos, y puede tambin ser comentado simplemente como un cuento fantstico donde suceden extraos fenmenos que no ameritan ni aceptan explicaciones racionales. Tambin podramos comentarlo en tanto un relato donde se plasma una fantasa metafsica, que de acuerdo a Bioy Casares, es la caracterstica crucial de las fantasas borgeanas. Incluso podramos analizar este cuento como si fuera una metfora de la creacin artstica, especficamente del arte potica, o acaso como una contradiccin entre la precisin y exactitud de las matemticas y la imposibilidad de stas de asimilar matemticamente los sucesos que ocurren en el cuento. Nuestra lectura del cuento, ha privilegiado el sentido matemtico, porque nos ha parecido que en efecto, Tigres azules es uno de los cuentos donde ms abundan no solamente conceptos matemticos, sino incluso trminos matemticos explcitamente empleados en el mismo relato. Nos ha parecido tambin que Tigres azules es uno de los relatos menos estudiados de Borges, especialmente desde la cantera de las matemticas, disciplina que como bien sabemos, era una de las pasiones intelectuales de nuestro clebre autor Borges, tan erudito.

Hemos afirmado en un artculo anterior donde analizamos el poema Descartes y la visin de la geometra, el espacio y el tiempo que se deduce del poema y de otros textos borgeanos, que nada es casual en la obra de Borges. Tampoco es casual en absoluto que Borges hubiera decidido que el protagonista de Tigres azules fuera un profesor de lgica occidental, fascinado por los tigres y estudioso de Baruch Spinoza. Qu explicacin lgica podra haber dado Alexander Craigie a la transformacin numrica sin orden ni concierto de las fabulosas piedras? Estamos de acuerdo con Jaime Alazraki, especialista en la obra de Borges, cuando afirma que el comn denominador de las ficciones borgeanas sera un relativismo que influye y determina todo. Es claro que Borges nos presenta un universo en el que no podemos estar seguros de nada. En su relato Tigres azules, se refiere a la aberracin de las matemticas, tambin llamado obsceno milagro debido a la imposiblidad de entender la multiplicacin y substraccin inaudita de las piedras maravillosas que no parecen obedecer a ningn patrn conocido en el amplio mbito de las leyes y frmulas matemticas. No es posible tan si quiera decir que 2 + 2 = 4 porque en el universo mgico de Tigres azules, precisamente esto no ocurre, ms bien sucede todo lo contrario.

Utilizando la variable aleatoria discreta, concepto clave de la estadstica, y adems manipulando un poco la historia borgeana, hemos intendado presentar una posible explicacin lgica a la realidad cambiante y cuantitativa presente en Tigres azules. Nuestra intencin, como hemos mencionado, ha sido sobre todo la de hacer ms manejable para los estudiantes universitarios, algunos conceptos matemticos de la estadstica, al pensar en ejemplos concretos provenientes de relatos, como en este caso, que adems permitan a los estudiantes ampliar sus horizontes acadmicos al leer buena literatura. Comentaremos luego, la relacin que hemos encontrado entre los dos cuentos analizados en cuanto a la visin del mundo que Borges nos presenta en ellos.

En el relato El espejo y la mscara, el poeta de la corte representara a todos los poetas, y de esta manera, desde luego, al mejor usuario del lenguaje. Es muy interesante que justamente el experto en las palabras no sea capaz de entender todo el lenguaje, de transmitir a travs de su arte la realidad o su visin de la misma, de expresar la Belleza o la Verdad mediante ella. En Tigres azules, tambin el profesor Craigie es experto en lgica occidental y sin embargo no ser capaz de entender la lgica de la transformacin numrica de las piedras azules.

En El espejo y la mscara, el Rey del cuento le regala al Olln un espejo como premio por su primer poema que era una mmesis de la realidad. El poeta ha intentado reflejar la realidad y de esta manera estara funcionando no en el universo regido por la episteme, sino en el mbito de la doxa, de las apariencias, porque la descripcin fotogrfica de la realidad no la agota ni la representa en su totalidad. El segundo regalo del Rey de Irlanda fue una mscara de oro y corresponda al segundo poema que esconda la realidad; ya no era una descripcin puntillosa de la batalla como en el primer poema, sino ms bien era la misma batalla. El poeta tuvo que librar su batalla personal con el lenguaje al escribir el segundo poema que ya no era un calco de la realidad. El tercer poema del Olln siendo el ms breve de todos, y tambin el ms intenso, representa la maravilla de todas las maravillas, el absoluto esttico. De alguna manera podemos decir que el poeta ha destrudo el lenguaje al trascenderlo. El poeta ha roto el lenguaje al acceder a la maravilla con una sola palabra o tal vez una breve frase esencial. El Rey y el poeta pagarn por esa hamarta; el Rey por ser testigo de lo imposible, por haber instigado la maravilla, y el poeta por haberla ejecutado aplicadamente, y por tanto, por haber actuado como si fuera Dios, tal como Alexander Craigie lo hiciera en Tigres azules.

El lenguaje es lineal y la realidad es simultnea, y por ende, el poeta del relato El espejo y la mscara no puede aunque lo intenta aprehender la realidad mediante el lenguaje, no obstante ser pues, en tanto poeta, el mejor usuario del lenguaje. El poeta tampoco puede acceder a la Belleza mediante el lenguaje humano, y la Belleza con mayscula, como aparece en el relato de Borges, puede de hecho ser un sinnimo de la Verdad en este relato plurisignificativo. Al salir del palacio, el poeta se suicida con la daga regalada por su Rey. Por su parte, el Rey de Irlanda dej de ser rey para ser un vagabundo que no repiti nunca el misterioso poema-lnea o acaso poema-palabra que sin embargo encerraba la Maravilla y la Belleza.

En ambos cuentos ocurren hamartas muy importantes y similares. Alexander Craigie, manipula unas piedras sagradas que se multiplican y disipan de manera inexplicable para los seres humanos. Su inefable accin es un desafo muy caro que pone en evidencia la limitacin de las matemticas para explicar transformaciones numricas. El poeta de la corte impelido por su rey se atreve a quebrar el lenguaje al intentar acceder a la Belleza = Verdad por medio de las palabras. Alexander Craigie casi se vuelve loco intentado entender lo incomprensible, y se salva de la locura al entregar las piedras azules a cambio de la normalidad en su vida : [] Te quedas con los das y las noches, con la cordura, con los hbitos, con el mundo.

Borges nos presenta en ambos relatos una visin del mundo impregnada de relativismo. Como bien seala Alazraki, el relativismo caracterstico de los relatos borgeanos nos incita a ver el mundo en continuo movimiento, nos invita a tratar de trasdender el hic et nunc, a buscar todas las dimensiones posibles de la realidad. Para Borges, el mundo es impenetrable, y el universo es incomprensible para los seres humanos, y por tanto, cualquier intento por descrifrar el universo conducir al fracaso. En el caso del poeta del relato El espejo y la mscara, su hamartia le condujo al suicidio, y al rey lo redujo a la condicin de paria. En el cuento Tigres azules, la hamarta de Alexander Craigie lo alien y fue rescatado de esa alienacin tras rogar a Al que su vida volviera a la normalidad. Solamente es salvado cuando le entrega las piedras mgicas o diablicas al misterioso mendigo ciego que se las pidi a cambio de devolverle la cordura y el mundo.

Como bien seala Alazraki enLa prosa narrativa de Jorge Luis Borges(1974),

Borges ha negado la validez de la metafsica en el contextode la realidad, pero la ha aplicado a un contexto donderecobra su vigencia: la literatura.

Concluimos afirmando que para efecto de nuestro colectivo de aprendizaje, los textos matemticos de Borges son muy tiles para incitar a que los estudiantes piensen de manera crtica, a que amplen sus conocimientos literarios a la misma vez que sus estudios de estadstica dan un giro de muchos grados al trabajar con ejemplos que nunca hubieran imaginado. Las humanidades y las ciencias se abrazan en armona gracias a los mltiples y eruditos conocimientos de Borges. Los estudiantes en nuestro colectivo de aprendizaje se enriquecern no slo acadmicamente sino tambin desde una perspectiva ms global y humana.

De hecho, Borges nos maravilla y nos transforma; nos impele a cuestionarnos a cada paso, a reflexionar sobre el mundo, a dudar de lo que creemos seguro, a mirar la realidad con ojos de poeta y de filsofo. Quin se atrevera a decir que sigue siendo la misma persona despus de leer un texto de Borges?

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