Embed Size (px)
Citation preview
1
KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án)
Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên Bài 1. I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ:
Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: 퐴 ∨ 퐵;퐴 ∧ 퐵;퐴 ⇒ 퐵; 퐴 ⇔ 퐵; 퐴̅. Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề:
tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1). Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14. Ví dụ: (Hàm 푓(푥) xác định trong lân cận điểm 푥 = 푎 là hàm liên tục tại x =
a) ⇔ ∀(휀 > 0)∃(훿 > 0) ∀푥 (|푥 − 푎| < 휀) ⇒ |푓(푥) − 푓(푎)| < 휀 . Từ đó (Hàm 푓(푥) xác định trong lân cận điểm 푥 = 푎 là hàm không liên tục tại x = ⇔ ∃(휀 > 0)∀(훿 > 0) ∃푥 (|푥 − 푎| < 휀) ∧ |푓(푥) − 푓(푎)| ≥ 휀 I.1.2. Tập hợp và ánh xạ:
Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18.
Quan hệ thứ tự từng phần. Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21): Khẳng định 푓(푛) phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi 푛 ≥ 푛 khi và chỉ
khi thỏa mãn 2 điều kiện: i) 푓(푛 ) đúng. ii) Từ 푓(푚) đúng với 푚 ≥ 푛 suy ra Từ 푓(푚 + 1) đúng. Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ. Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập
continum. Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh.
I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số: Định nghĩa phép toán trong∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có
tính kết hợp. Phần tử trung hòa 푒; phần tử nghịch đảo 푎 của một phần tử a trong A. Tính duy nhất của 푒, của 푎 .
Nhóm G, nhóm cộng ⟨퐺; +; 0⟩, nhóm Abel, nhóm nhân ⟨퐺; . ; 푒⟩; nhóm nhân giao hoán ⟨퐺; . ; 1⟩.
Khái niệm vành ⟨퐾; +,0; . ⟩. Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, các vành ℝ[푥] - tất cả các đa thức hệ số thực, ℝ[푥] – vành tất cả các đa thức P(x) hệ số thực có bậc 푑푒푔푃(푥) ≤ 푛.
2
Khái niệm trường ⟨푃; +,0; . ,1⟩. Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ.
Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức 푧 = 푟(푐표푠휑 + 푖푠푖푛휑) có đúng n giá trị 푤 , 푘 = 0,1,2, … ,푛 − 1 cho bởi công thức
푤 = √푟 푐표푠휑 + 푘2휋
푛+ 푖푠푖푛
휑 + 푘2휋푛
Các ví dụ về căn bậc n của số phức. Ý nghĩa hình học của căn bậc n của số phức z: n số phức 푤 , 푘 =
0,1,2, … , 푛 − 1 là căn bậc n của số phức z tạo thành n đỉnh của một n- giác đều trên đường tròn bán kính 푅 = |푧| với một đỉnh ứng với số phức
푤 = √푟 푐표푠휑푛
+ 푖푠푖푛휑푛
. Trong HGT & ĐSTT trường 핂 là một trong hai trường cố định: trường số
thực ℝ hoặc trường số phức ℂ. I.2. Ma trận I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường 핂
퐴 = 푎×
=
푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎
…푎 푎 … 푎
, 푎 ∈ 핂
ma trận vuông cấp n trên trường 핂
퐴 = 푎 =
푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎
…푎 푎 … 푎
,푎 ∈ 핂
푀 , (핂) – tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường 핂 푀 (핂) – tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường 핂 Ma trận đường chéo
퐷 =
푎 0 … 00 푎 … 0
…0 0 … 푎
,
còn ký hiệu là: 퐷 = 푑푖푎푔(푎 , 푎 , … , 푎 ) Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường chéo đều bằng 0:
3
푈 =
푎 푎 … 푎0 푎 … 푎
…0 0 … 푎
Ma trận tam giác dưới là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía trên đường chéo đều bằng 0:
퐿 =
푎 0 … 0푎 푎 … 0
…푎 푎 … 푎
Ma trận đơn vị 퐸 = 훿 = 푑푖푎푔(1,1, … ,1); trong đó 훿 =1푛ế푢푖 = 푗0푛ế푢푖 ≠ 푗
là ký
hiệu Kroneker. Ma trận block, block-tam giác. I.2.2. Vành ma trận 푴풏(핂)
Các phép toán trên ma trận: cộng hai ma trận; Nhóm Abel ⟨푀 , (핂); +;푂⟩; nhân ma trận với một số 훼 ∈ 핂; nhân hai ma trận, tính kết hợp của phép nhân ma trận, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Vành ma trận ⟨푀 (핂); +,푂; . ⟩ là vành có đơn vị E.
Ma trận khả nghịch (GTr1, tr.44-47): - Khái niệm ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo 퐴 - Nhóm tuyến tính 퐺퐿(푛,핂) - Nghịch đảo của tích các ma trận khả nghịch:
(퐴 퐴 …퐴 ) = 퐴 퐴 …퐴
4
Bài 2. Bài tập: Giáo trình2 (GTr2): Phương pháp qui nạp toán học: 1.1.11d,e Gợi ý: sử dụng nguyên lý qui nạp: 1. Kiểm tra cơ sở qui nạp (công thức đúng với n =1). 2. chứng minh qui nạp : giả sử công thức đúng cho n = m, chứng minh nó đúng cho n = m+1. Tập hợp: 1.1.18; 1.1.21
Gợi ý: 1.1.18: dùng đại số tập hợp biến đổi từ vế phức tạp hơn ra vế đơn giản; Ý a) biến đổi vế phải ra vế trái; ý b) biến đổi vế trái ra vế phải.
Ánh xạ: 1.1.24; 1.1.25; 1.1.28 (ý d không bắt buộc (kbb)); Không bắt buộc: 1.1.34; 1.1.30; 1.1.31
Gợi ý: 1.1.28d): Ký hiệu 푌 tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y. Gọi 푌 ,푌 , … ,푌 là tất cả các tập con của Y có đúng m-1 phần tử, hý hiệu 푌 = 퐻 , 푖 = 1,2, … ,푚 . Rõ ràng số toàn ánh là 푇 = |푌 | − 푌 ∪ 푌 ∪…∪ 푌 | = 푚 − |퐻 ∪ 퐻 ∪ …∪ 퐻 |, sử dụng bài 1.1.26 ta nhận được số T như trong đáp số.
Số phức: 1.2.10 (kbb) ; 1.2.14; 1.2.17; 1.2.19; 1.2.21; 1.2.14
a) 1 + 18푖 b) 10 − 11푖
c) i21
d) 1 + 푖
1.2.19
푧 =1 + 휏휏 − 1
(푘 = 0,1,2, … , 푛 − 1); 휏 = √−1
푧 =1 + 휏휏 − 1
(푘 = 0,1,2, … , 푛 − 1); 휏 = √1 ;
푧 =푖 + 푖휏휏 − 1
(푘 = 0,1,2, … , 푛 − 1); 휏 = √−1
1.2.21 a) 2 cos + 푖 sin b) cos − 푖 sin c) 2 1 + 푖√3 d) 2 √
5
Thêm 2 bài về hình học số phức: 1. Tìm miền biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức (VT351)
a) |푧 + 1| + |푧 − 1| = 3 b) |푧 + 2| − |푧 − 2| = 3 c) |푧 − 2| = 2 + 푅푒푧 d) |푧 + 3 + 4푖| ≤ 5
2. Tìm vị trí của các điểm trên mặt phẳng phức ứng với các số phức 푧 , 푧 , 푧 thỏa mãn
푧 + 푧 + 푧 = 0|푧 | = |푧 | = |푧 |
(VT347) Gợi ý: Bài 1.a) Theo định nghĩa là Elip + = 1 có tiêu điểm 퐹 (−1,0),퐹 (1,0); 2푎 = 3, 2푐 = 2 1.b) − = 1 1.c) 푦 = 8푥; tiêu điểm 퐹(2,0), đường chuẩn 푥 = −2 1.d) Hình tròn (푥 + 3) + (푦 + 4) ≤ 25 Bài 2. Các đỉnh của tam giác đều ABC trên đường tròn tâm O(0,0) bán kinh 푅 = |푧 |.
Đa thức và phân thức: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b; Gợi ý: Sử dụng lược đồ Hoocner GTr1, tr12-13 cho các bài 1.3.3a,b; 1.3.4a 1.3.5 Tìm tất cả các nghiệm phức 1.3.6 Tìm tất cả các nghiệm thực, cặp các nghiệm phức liên hợp 푧 = 푎 +푖푏và푧̅ = 푎 − 푖푏 cho ta thừa số (푥 − 푧)(푥 − 푧̅) = 푥 − 2푎푥 + 푎 + 푏
1.3.3 a) 3. Gợi ý: 푓 (1) = 푓 (1) = 0; 푓′′′(1) ≠ 0 b) 3.
1.3.4a a) 푓(푥) = (푥 − 2) − 18(푥 − 2) + 38
1.3.5 a) (푥 − 1)(푥 − 2)(푥 − 3) c) 푥 − 푖√3 푥 + 푖√3 푥 − − √ 푖 푥 − + √ 푖
푥 +32−√32푖 푥 +
32
+√32푖
1.3.6 a) (푥 + 3)(푥 + 3푥 + 3)(푥 − 3푥 + 3);
6
b) 푥 − 2푥푐표푠 + 1 푥 + 2푥푐표푠 + 1 푥 + 2푥푐표푠 + 1
Ma trận: 2.1.22b,c,d; 2.1.23a,b; 2.1.25; 2.1.26; 2.1.34; 2.1.42 Gợi ý: 2.1.22
푑)퐴 =1 푛0 1 푛0 0 1
,
Gợi ý:Viết A = E+B với 퐵 =0 1 10 0 10 0 0
và sử dụng bài 2.1.21.
2.1.23
a) 퐴 = 퐸nếu푛làsốchẵn퐴nếu푛làsốlẻ
b)
⎣⎢⎢⎡ (−1) (−1) 푛푎 (−1) 푛푎(−1) 푛 (−1) + (−1) ( )푎 (−1) ( )푎
(−1) 푛 (−1) ( )푎 (−1) + (−1) ( )푎⎦⎥⎥⎤,
Gợi ý: Viết 퐴 = 퐵 − 퐸; trongđó퐵 =0 푎 푎1 0 0−1 0 −1
,퐵 = 푂vớimọi푛 ≥ 3
và áp dụng bài 2.1.21. 2.1.25, 2.1.26 khi tìm 퐴 có thể tính trực tiếp, biểu diễn 퐴 = 퐸 + 퐵 thì thấy 퐵 = 퐵 = ⋯ = 퐵 = 퐵 nên 퐴 = (퐸 + 퐵) = 퐸 + (2 − 1)퐵. 2.1.34 Gọi 퐴 = 푥 푦
푧 푡 . Điều kiện 퐴 = 푂 trở thành hệ phương trình, giải ra
được hai loại ma trận 퐴 = 0 0훼 0 ,퐴 =
훼 훽
− −훼 (훽 ≠ 0)
2.1.42 có thể chứng minh trực tiếp rằng ma trận A thỏa mãn phương trình 푥 − 푇푟퐴푥 + 푑푒푡퐴 = 0 ; trong đó 퐴 =
푎 푎푎 푎 , 푡푟퐴 = 푎 + 푎 , từ đó
ta có 퐴 = và tất nhiên là 퐴 퐵 = 퐵퐴 ⇔ 퐴퐵 = 퐵퐴.
7
Bài 3. I.3. Định thức cấp n I.3.1. Khái niệm định thức cấp n:
Khái niệm nghịch thế, hoán vị, bổ đề cơ bản về hoán vị: Thay đổi hai vị trí bất kỳ trong hoán vị làm thay đổi tính chẵn, lẻ của hoán vị ấy (hs tự đọc chứng minh GTr1 tr.48)
Định nghĩa định thức cấp n của ma trận 퐴 = 푎 ∈ 푀 (핂):
푑푒푡퐴 = 푎 푎 … 푎( , ,…, )
;
Trong đó tổng được lấy theo tất cả n! các hoán vị khác nhau (푗 , 푗 , … , 푗 ) của {1,2, … , 푛}.
Các hệ quả từ định nghĩa - Định thức (của ma trận) có một hàng (cột) gồm toàn số 0 thì bằng 0 - Định thức có hai hàng tỷ lệ thì bằng 0 - Định thức (của ma trận) dạng tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo Ví dụ định thức cấp 2, 3. Ba tính chất đặc trưng a), b), c) của định thức và các hệ quả (GTr1,tr53-57) Định thức dạng tam giác (ma trận dạng tam giác), ba biến đổi sơ cấp của
định thức (tính định thức bằng phương pháp Gauss) đưa định thức về dạng tam giác; ví dụ minh họa cho định thức cấp 5
1 −1 1 1 10 1 1 −1 11 1 −1 −1 11 1 1 −1 11 1 1 1 1
=
1 −1 1 1 10 1 1 −1 10 2 −2 −2 00 2 0 −2 00 2 0 0 0
= −8
1 −1 1 1 10 1 0 0 00 1 −1 −1 00 1 0 −1 00 1 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 10 1 0 0 00 0 −1 −1 00 0 0 −1 00 0 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 10 1 0 0 00 0 −1 −1 00 0 0 −1 00 0 0 −2 1
=
= −8
1 −1 1 1 10 1 0 0 00 0 −1 −1 00 0 0 −1 00 0 0 0 1
= −8.1.1. (−1). (−1). 1 = −8. Trong đó ở bước thứ
ba ta đã rút các thừa số chung 2 ra ngoài dấu định thức và đổi chỗ ℎ ↔ ℎ .
8
I.3.2. Khai triển định thức theo một hàng (một cột): chứng minh công thức khai triển theo một hàng. Môi trường ứng dụng các khai triển định thức theo hàng, cột. Cho ví dụ. Khai triển định thức theo k hàng (k cột): Định lý Laplace (tự đọc chứng minh: GTr1, tr61). Định thức của tích hai ma trận (tự đọc chứng minh: GTr1, tr62). Định thức ma trận block-tam giác I.3.3. Cách tính định thức: tự đọc GTr1, tr.65-69. Cho ví dụ minh họa phương pháp tổng hợp: vừa sử dụng pp Gauss vừa pp phân tích theo hàng, cột. Ở ví dụ trên sau bước thứ ba ta được: 푑푒푡퐴 = −8 1 −1
0 1 . −1 −10 −1 . 1 = (−8). 1.1.1 = −8, đó chính là hệ quả của
định lý Laplace: định thức ma trận block tam giác bằng tích các định thức block trên đường chéo. I.4. Ma trận nghịch đảo I.4.1. Hạng của ma trận:
i) Định nghĩa hạng của ma trận: 푟푎푛푘퐴 , tính chất. ii) Phương pháp Gauss đưa ma trận vuông về dạng đường chéo (bằng biến
đổi sơ cấp hàng và cột): - Các ma trận biến đổi sơ cấp 푇 ,푇 (훼),푇 (훼). Ý nghĩa của phép nhân ma
trận A với các ma trận biến đổi sơ cấp: 푇 퐴;퐴푇 ;푇 (훼)퐴;퐴푇 (훼); 푇 (훼)퐴; 퐴푇 (훼).
- Phân tích ma trận vuông 퐴 = 퐵퐷퐶; trong đó D là ma trận đường chéo; B, C là các ma trận khả nghịch và là tích các ma trận biển đổi sơ cấp (tự đọc, GTr1, tr.74-76). Thuật toán tìm hạng của ma trận
Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp, dễ dàng chứng minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp (hay còn gọi là phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận) sau đây:
Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về dạng có một số phần tử khác 0 nằm ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác không này bằng hạng của ma trận. Trong khi thực hiện phương pháp Gauss nếu trên một hàng nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên cột của phần tử khác không này. Tương tự cho cột: nếu trên một cột nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên hàng của phần tử khác không này. Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số ta thực hiện phương pháp Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên một hàng hoặc một cột nào đó có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp:
9
- Trường hợp thứ nhất: thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị cụ thể, bài toán được giải quyết.
- Trường hợp thứ hai: thừa số chung này khác 0, ta tiến hành giản ước nó đi và tiếp tục phương pháp Gauss.
Như vậy là nhu cầu biện luận tham số chỉ cần thiết khi xuất hiện thừa số chung trên một hàng hay một cột nào đó của ma trận. Biến đổi: lấy hàng thứ i của ma trận nhân với a rồi cộng vào hàng thứ j ta sẽ viết 푎ℎ + ℎ , tương tự 푎푐 + 푐 : sẽ là lấy cột thứ i của ma trận nhân với a rồi cộng vào cột thứ j. ⊙ - là ký hiệu phần tử đã được tự động khoanh 0.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau tùy thuộc vào các giá trị khác nhau của tham số m
퐴 =
푚 −1 0 1 12 1 −1 푚 1−1 2 푚 1 −11 2 −1 0 0
.
Sau khi thực hiện các biến đổi −ℎ + ℎ , ℎ + ℎ ta được
퐴
⊙ ⊙ 0 ⊙ 12 −푚 2 −1 푚 − 1 0푚 − 1 1 푚 2 0
1 2 −1 0 0
0 0 0 0 1−3푚 + 4 0 −2푚 − 1 푚 − 5 0
⊙ 1 ⊙ ⊙ 03 − 2푚 0 −2푚 − 1 −4 0
.
Cột thứ ba có thừa số chung −2푚 − 1, ta dừng lại biện luận - TH1: 푚 = − : ta nhận được ma trận
0 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 0
⇒ 푟푎푛푘퐴 = 3.
- TH2: 푚 ≠ − : Giản ước cột thứ ba cho −2푚 − 1 ta nhận được 0 0 0 0 1
1 −푚 0 0 푚 − 1 00 1 0 0 0⊙ 0 1 ⊙ 0
Trên hàng thứ hai có thừa số chung 푚 − 1, dừng lại biện luận hai trường hợp con trong trường hợp 1
(i) m = 1, tương tự như TH1 ta có 푟푎푛푘퐴 = 3. (ii) 푚 ≠ 1, Giản ước hàng thứ hai cho 푚 − 1 ta nhận được
10
0 0 0 0 1−1 0 0 ⊙ 00 1 0 0 00 0 1 0 0
⇒ 푟푎푛푘퐴 = 4.
Như vậy ta nhận được kết quả cuối cùng :
푟푎푛푘퐴 =3nếu푚 ∈ − , 1
4nếu푚 ≠ − ,푚 ≠ 1.□
I.4.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo: có chứng minh (GTr1, tr.64)
I.4.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss, thuật toán và ví dụ (GTr1, tr.76-78):
- Đưa ma trận khả nghịch A về ma trận đơn vị E chỉ bằng các biến đổi sơ cấp hàng: 푇퐴 = 퐸; trong đó T là tích các ma trận biển đổi sơ cấp.
- Cơ sở toán học của thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss: 푇퐴 = 퐸 ⇔ 퐴 = 푇퐸.
Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp và giải hệ phương trình tuyến tính
Ma trận sơ cấp푇 ∈ 푀 (핂) là ma trận nhận được từ ma trận đơn vị 퐸 ∈ 푀 (핂) bằng một biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột). Mỗi biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A tương đương với nhân về phía bên trái A với một trong ba loại ma trận sơ cấp thích hợp tương ứng với các biến đổi sơ cấp của ma trận : đổi chỗ hai hàng, lấy một hàng nhân với một số rồi cộng vào hàng khác, nhân một hàng với một số khác 0. Thuật toán tìm 퐴 bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A được mô tả như sau:
(퐴|퐸) → (퐸|퐴 ). Diễn đạt bằng lời có nghĩa là bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận block
(퐴|퐸) ( ma trận có n hàng, 2n cột) nếu mà bên trái nhận được ma trận đơn vị E thì bên phải từ E sẽ nhận được 퐴 .
Ví dụ: Với 퐴 =−1 0 −1−1 1 02 0 1
quá trình tìm 퐴 được viết như sau:
−1 0 −1−1 1 02 0 1
1 0 00 1 00 0 1
→1 0 10 1 10 0 1
−1 0 0−1 1 0−2 0 −1
11
1 0 00 1 00 0 1
1 0 11 1 1−2 0 −1
vậylà퐴 =1 0 11 1 1−2 0 −1
.□
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Xét hệ n phương trình tuyến tính không thuần nhất n ẩn có vế phải bằng chữ
퐴[푥 ] = [푦 ] Nếu hệ này có nghiệm duy nhất thì tồn tại 퐴 và nghiệm được viết dưới dạng
ma trận [푥 ] = 퐴 [푦 ]
Cho nên hàng thứ k của ma trận 퐴 cần tìm chính là hàng hệ số của 푥 , k = 1, 2, …, n viết theo thứ tự các chữ (푦 , 푦 , … ,푦 ).
Ví dụ : Tìm 퐴 nếu 퐴 =1 0 02 1 0−1 0 1
.
Ứng với A ta có hệ phương trình 푥 = 푦
2푥 + 푥 = 푦푥 = 푦 + 푦
và như thế ta có 퐴 =1 0 0−2 1 01 0 1
.□
12
Bài 4. Bài tập: GTr2: Định thức:2.2.4; 2.2.6; 2.2.14f,h; 2.2.15a,b,c,d; 2.2.23; 2.2.25a
Gợi ý: 2.2.4: Đổi chỗ ℎ ↔ ℎ được định thức block-tam giác:
푑푒푡퐴 = − 1 23 4 .
푧 1 푧푧 푧 11 푧 푧
= 2(푧 − 1) = 2 ; (푑푒푡퐴) = 2
2.2.6: 푓 (0) chính là hệ số của x trong (1 + 푥푎 )(1 + 푥푎 ) … (1 + 푥푎 ), các số hạng khác của 푓(푥) = 푑푒푡(푥퐴 + 퐸) đều từ bậc hai trở lên nên ở trong 푓 (0) bằng 0. 푓 (0) = 푇푟퐴 = 푎 + 푎 + ⋯+ 푎 2.2.14 f): 1 - Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ , (−0,1)ℎ + ℎ
h) 푑 =1 + (−1)
2
Gợi ý: −ℎ + ℎ ,−ℎ + ℎ , … ,−ℎ + ℎ sau đó phân tích theo cột thứ nhất được 푑 = (−1) + 푑 .
2.2.15 a) lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng lên tất cả các hàng trên. 2.2.23
Gợi ý: Sử dụng tính cộng tính của định thức viết mỗi hàng của A+x thành tổng hay dưới dạng vectơ hàng là
(푎 + 푥,푎 + 푥, … ,푎 + 푥) = (푎 , 푎 , … ,푎 ) + (푥, 푥, … , 푥) Rồi phân tích định thức thành tổng của 2 định thức; trong đó có một định
thức là detA , còn lại các định thức khác nhận được từ detA bằng cách thay một hàng nào đó bởi hàng toàn x. Dễ dàng thấy định thức có một hàng toàn x bằng x nhân với tổng các phần bù đại số của hàng đó.
2.2.25 a) 퐷 = (푎 − 푏) [푎 + (푛 − 1)푏]nếu푏 = 푐;
퐷 =푏(푎 − 푐) − 푐(푎 − 푏)
푏 − 푐nếu푏 ≠ 푐.
Cách1: −ℎ + ℎ ,−ℎ + ℎ , … ,−ℎ + ℎ sauđóphântíchtheocột thứ nhất được công thức truy hồi đơn.
Cách2: Giải: Sử dụng bài 2.2.22.
13
푑푒푡퐴 = (푎 − 푐) = 푑푒푡퐴 − 푐 퐴,
(1)
푑푒푡퐴 = (푎 − 푏) = 푑푒푡퐴 − 푏 퐴,
(2)
Nếu 푏 ≠ 푐 thì nhân hai vế (1) với b, hai vế (2) với (- c) rồi cộng lại ta nhận được kết quả như trên. Khi b = c sử dụng bài 2.2.23. ta có
푑푒푡퐴 = (푎 − 푏) = 푑푒푡퐴 − 푏 퐴,
= 푑푒푡퐴 − 푏 퐴,
=
푒푡퐴 − 푛푏(푎 − 푏) và có kết quả như trên.□
Ma trận (tiếp theo): Hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo: GT2: 2.1.45a,b;
2.1.46b,c,e;
2.1.47a,b,d,j,k; 2.1.53a,f,g Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận (GTr1, tr27) 2.1.46 b) 1nếu푚 = 1, 3nếu푚 = −3, 4nếu푚 ≠ 1,푚 ≠ −3 c) 2nếu푚 = 1, 3nếu푚 = 2ℎ표ặ푐푚 = 3, 4nếu푚 ≠ 1,푚 ≠ 2,푚 ≠ 3 e) 3nếu푚 = 0,푚 = −2hoặc푚 = −4, 4nếu푚 ≠ 0,푚 ≠ −2, 푚 ≠ −4 2.1.47. a) −1 2
1 −1
b) 0 −1 1−1 1 01 0 0
d)
1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0
j)
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1 −2 1 0 0 … 0 0 00 1 −2 1 0 … 0 0 00 0 1 −2 1 … 0 0 0. . . . . . . . . . … . . . . . .0 0 0 0 0 … 1 −2 10 0 0 0 0 … 0 1 −20 0 0 0 0 … 0 0 1 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
14
Gợi ý: −ℎ + ℎ ,−ℎ + ℎ , … ,−ℎ + ℎ và lặp lại lần hai. k)
16
3 0 1 23 −3 0 03 0 −3 0−3 3 2 −2
2.1.53 f) có thể sử dụng bài 2.1.54 biến đổi sơ cấp hàng từ (퐴|퐵) đến (퐸|퐴 퐵):
0 0 10 1 11 1 1
1 −11 20 1
→1 0 00 1 00 0 1
−1 −10 31 −1
Vậy là 푋 =−1 −10 31 −1
Ý g) đưa về ý f) bằng cách chuyển vị 푋 = 퐵퐴 ⇔ 푋 = (퐴 ) 퐵 ; thực hiện vế phải theo ý f) sau đó chuyển vị được ma trận X cần tìm.
푎) 1 10 0
푓) −1 −10 31 −1
푔) 1 2 −1 05 6 −9 8
15
Bài 5. I.5. Hệ phương trình tuyến tính I.5.1. Hệ Gauss và công thức Cramer:
Hệ n pttt n ẩn 퐴[푥 ] = [푏 ](1) . Hệ Gauss là hệ có 푑푒푡퐴 ≠ 0;
Công thức nghiệm của hệ (1) dưới dạng ma trận:
[푥 ] = 퐴 [푏 ](2)
và công thức Cramer (có chứng minh):
푥 =|퐴 ||퐴| ,푘 = 1,2, … , 푛;
trong đó 퐴 là ma trận nhận được từ A bằng cách gạch bỏ cột thứ k thay bằng cột
hệ số tự do.
I.5.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Hệ m pttt tổng quát n ẩn 퐴[푥 ] =
[푏], định lý Croneker – Capelli (tự đọc chứng minh), nghiệm tổng quát và
nghiệm riêng. Tìm tất cả các nghiệm của hệ pttt tổng quát.
I.5.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Định lý: Để hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn퐴[푥 ] = 푂 có nghiệm
khác không điều kiện cần và đủ là: 푟푎푛푘퐴 < 푛
CM: Cần: Hệ 퐴[푥 ] = 푂 có nghiệm khác không thì 푟푎푛푘퐴 < 푛. Thật vậy nếu
ngược lại , rankA = n thì hệ đã là hệ Gauss có nghiệm duy nhất bằng không, trái
với giả thiết.
Đủ: Hệ 퐴[푥 ] = 푂 có 푟푎푛푘퐴 = 푟 < 푛 thì theo định lý Croneker- Capelly sẽ có
số ẩn tự do bằng 푛 − 푟 ≥ 1. Cho một ẩn tự do giá trị khác 0 được nghiệm khác
không.
Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản.
I.5.4. PP Gauss giải hệ PTTT: mô tả phương pháp, ý nghĩa thực hành của phương pháp Gauss giải hệ pttt tổng quát. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
16
Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý.
Thực chất của phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi tương đương hệ phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó là:
(i) Đổi chỗ hai phương trình (ii) Lấy hai vế của một phương trình nhân với một số 훼 ∈ 핂 rồi cộng tương
ứng vào phương trình khác (iii) Nhân hai vế của một phương trình với một số 훼 ∈ 핂,훼 ≠ 0.
Rõ ràng là các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ viết ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp Gauss giải hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn 퐴[푥 ] = [푏 ] có dạng
(퐴|푏) =
푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎. . . . … . .푎 푎 … 푎
푏푏. .푏
.
Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số 푥 , 푥 , … , 푥 . Nếu không có gạch sọc ngăn cách người ta hiểu hệ là hệ thuần nhất. Ba biến đổi tương đương hệ phương trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận (퐴|푏).
Giả sử 푎 ≠ 0, khi đó ta thực hiện Bước1: Lấy hàng thứ nhất nhân với − rồi cộng vào hàng thứ hai, theo thỏa
thuận từ trước ta sẽ viết − ℎ + ℎ và tiếp tục − ℎ + ℎ , … ,− ℎ +
ℎ . Kết quả sau bước1 ta nhận được ma trận của phương pháp Gauss là 푎 푎 … 푎0 푎′ … 푎′. . . . … . .0 푎′ … 푎′
푏푏′…푏′
Phương trình có chứa 푎 ≠ 0 mà ta đã dùng để loại trừ ẩn 푥 ra khỏi các phương trình còn lại được gọi là phương trình gốc. Như vậy trong ví dụ này sau
17
bước1 ta đã lọai được một ẩn 푥 ra khỏi các phương trình thứ 2, 3,…, m. Các phương trình gốc được đưa lên phía trên theo thứ tự các bước 1, 2,…. Sau không quá n-1 bước ta sẽ nhận được hàng cuối cùng khác không có một trong hai dạng sau đây:
Loại1: Bên trái gạch sọc toàn số 0, còn bên phải khác 0- hệ vô nghiệm. Loại2: Bên trái gạch sọc có ít nhất một hệ số khác 0. Trong trường hợp này hệ
có nghiệm. Số ẩn tự do n-r bằng số n trừ đi số phương trình r khi kết thúc phương pháp Gauss. Cho các ẩn tự do các giá trị tùy ý trong 핂 ta sẽ nhận được tất cả các nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc các ẩn tự do được gọi là nghiệm tổng quát. Để tìm nghiệm của hệ phương trình người ta ngược từ dưới lên theo các phương trình gốc. Khi hệ thuần nhất có nghiệm khác 0 thì hệ có hệ nghiệm cơ bản. Hệ nghiệm cơ bản có n-r nghiệm có thể tìm được bằng cách cho n-r bộ giá trị các ẩn tự do sao cho ma trận thành lập từ các hàng giá trị này là ma trận khả nghịch. Đơn giản nhất là cho ma trận n-r bộ giá trị các ẩn tự do là ma trận đơn vị 퐸 ∈ 푀 (핂).
Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số, ta áp dụng phương pháp Gauss đã xét ở trên đến khi gặp trường hợp trên một hàng nào đó của ma trận hệ có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp như trong thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục c).
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. Tìm hệ nghiệm cơ bản.
푥 + 푥 − 6푥 + 3푥 = 0푥 + 푚푥 + 2푥 − 푥 = 0−푥 + 2푥 + 푚푥 + 푥 = 0
Giải và biện luận bằng phương pháp Gauss 1 1 −6 31 푚 2 −1−1 2 푚 1
~1 1 −6 30 푚 − 1 8 −40 3 푚 − 6 4
~1 1 −6 30 3 푚 − 6 40 푚 + 2 푚 + 2 0
TH1: m = -2 hệ trở thành
18
1 1 −6 30 3 −8 4 , cónghiệmtổngquát(NTQ)
푥 = 푥 − 푥
푥 = 푥 − 푥, 푥 , 푥 tùyý
hay
푥 = 3푢푥 = 3푣
푥 = 10푢 − 5푣푥 = 8푢 − 4푣
; 푢, 푣 ∈ 핂tùyý.(1)
Hệ nghiệm cơ bản {푒 , 푒 }với푒 = (10,8,3,0), 푒 = (−5,−4,0,3). TH2: 푚 ≠ −2 giản ước hàng thứ ba cho m+2 ta được hệ tương đương
1 1 −6 30 3 푚 − 6 40 1 1 0
, 1ẩntựdo푥 ,
cóNTQ
푥 = 4푡푥 = (3푚 + 1)푡
푥 = −4푡푥 = (9 −푚)푡
; 푡 ∈ 핂tùyý,(2)
hệ nghiệm cơ bản {푒}푣ớ푖푒 = (3푚 + 1,−4,4,9 −푚). Kết luận: (i) Khi m = -2 hệ có NTQ (1), hệ nghiệm cơ bản {푒 , 푒 } (ii) Khi 푚 ≠ −2 hệ có NTQ (2), hệ nghiệm cơ bản {푒}.□
19
Bài 6. Bài tập: GTr2: I.5 2.3.6a,b; 2.3.7a,b,c,e; 2.3.9a,b,c; 2.3.10b,c; 2.3.16a,b.
2.3.6 a) NTQ:
푥 =푥 − 9푥 − 2
11,푥 =
−5푥 + 푥 + 1011
(푥 ,푥 tùyý); (0,1,−1,1);
b) NTQ:
푥 =1 − 13푥
7, 푥 =
8푥 − 67
, 푥 =15 − 6푥
7(푥 tùyý);
(2,−2,3,−1)
2.3.7 a) (i)푥 = 푥 = 1/8, 푥 = 1/2khi휆 = 3,
(ii) 푥 = 0, 푥 = 1/3, 푥 = 2/3khi휆 = 1,
(iii)Vônghiệmkhi휆 ≠ 1/3, 휆 ≠ 2/3;
b) (i) NTQ: 푥 = 1 − 푥 − 푥 − 푥 (푥 , 푥 ,푥 tùyý)khi휆 = 1, (ii) Vônghiệmkhi휆 = −3, (iii) Nghiệm duy nhất 푥 = 푥 = 푥 = 푥 = 1/(3 + 휆)
khi휆 ≠ 1, 휆 ≠ −3.
c) (i) Vônghiệmkhi휆 = −3, 휆 = 0, (ii) Khi 휆 ≠ 0, 휆 ≠ −3 có nghiệm duy nhất
푥 =2 − 휆휆(휆 + 3) , 푥 =
2휆 − 1휆(휆 + 3) , 푥 =
휆 + 2휆 − 휆 − 1휆(휆 + 3)
e) (i) Khi 휆 = 6 có NTQ:푥 = 3푥 − 2푥 ,푥 = 11푥 + 3푥 − 4푥
푥 , 푥 ,푥 tùy ý, (ii) Khi 휆 ≠ 6 có
NTQ:푥 = 3푥 , 푥 = 푥 = 0, 푥 = 11푥 (푥 tùyý);
20
Gợi ý: Ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss là 4 −1 3 −1 4−1 3 0 0 −20 0 휆 − 6 0 00 0 0 0 휆 − 6
2.3.9
a)
2 −1 1휆 + 4 0 5
2휆 − 2 0 0−3 0 −휆 − 2
(i) Khi 휆 = 1, hệ có NTQ: 푥 = 푥 , 푥 = −푥 (푥 tùyý), hệ nghiệm cơ bản có 1 nghiệm (1,1,-1),
(ii) Khi 휆 ≠ 1, hệ có nghiệm duy nhất 푥 = 푥 = 푥 = 푥 = 0
b) 2 −1 1 1
−휆 − 2 3 0 02(휆 − 1) 휆 − 1 0 0
(i) Khi 휆 = 1, hệ có NTQ: 푥 = 푥 , 푥 = −푥 − 푥 (푥 ,푥 tùyý), hệ nghiệm cơ bản {(1,1,−1,0), (0,0,−1,1)}
(ii) 2 −1 1 12 1 0 0
−휆 − 8 0 0 0
Khi 휆 = −8, hệ có NTQ: 푥 = −2푥 , 푥 = −4푥 − 푥 (푥 , 푥 tùyý), hệ nghiệm cơ bản
{(1,−2,−4,0), (0,0,−1,1)} Khi 휆 ≠ −8, 휆 ≠ 1, NTQ: 푥 = 푥 = 0, 푥 = −푥 (푥 tùyý), hệ nghiệm cơ bản {(0,0,−1,1)}
c)
휆 1 −2 1−휆 − 1 1 휆 + 2 0휆 + 1 휆 + 1 0 0
1 − 3휆 −2 0 0
(i) Khi 휆 = −1, hệ có NTQ: 푥 = 2푥 , 푥 = −2푥 ,푥 = −5푥 (푥 tùyý). Hệ nghiệm cơ bản {(1,2,−2,−5)}.
(ii) Khi 휆 = 1
hệ có NTQ: 푥 = −푥 ,푥 = 푥 , 푥 = 2푥 (푥 tùyý). Hệ nghiệm cơ bản {(1,−1,1,2)}.
21
(iii) Khi 휆 = −2
hệ có NTQ: 푥 = 푥 = 0, 푥 = 2푥 (푥 tùyý). Hệ nghiệm cơ bản {(0,0,1,2)}. (iv) Khi 휆 ≠ −2, 휆 ≠ −1, 휆 ≠ 1 hệ có nghiệm duy nhất 푥 = 푥 = 푥 = 푥 = 0.
2.3.10 b) Ma trận 푋 = 푥
× có vectơ cột thứ j là (푥 , 푥 ,푥 ) thỏa mãn hệ
phương trình tuyến tính 퐴[푥 ] = 푏 ; trong đó 푏 (푗 = 1,2) − là ma trận cột thứ j của ma trận B. Giải bằng phương pháp Gauss hai hệ phương trình này ta được tất cả các ma trận
푋 =−훼 + 2 −2 − 훽3훼 − 1 4 + 3훽
2훼 1 + 2훽(훼,훽 ∈ ℝ);
c) Ma trận 푋 = 푥×
có vectơ cột thứ j là (푥 ,푥 , 푥 , 푥 ) thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính 퐴[푥 ] = 푏 ; trong đó 푏 (푗 = 1,2) − là ma trận cột thứ j của ma trận B. Giải bằng phương pháp Gauss hai hệ phương trình này ta được tất cả các ma trận
푋 =
훼 훾훽 훿
2 + 2훼 − 2훽 2 + 2훾 − 2훿−1 − 훼 + 훽 1 − 훾 + 훿
(훼,훽, 훾,훿 ∈ ℝ)
2.3.16 a){(1 + 3푡 − 2푢, 1 − 2푡, 푢)}(푡, 푢 ∈ ℤ); Gợi ý: 푥 = = 2 − 푥 − 2푥 + −là số nguyên khi và chỉ khi
푥 = 푢và = 푡 − là các số nguyên. b){(푢, 0,22푢 − 11,8 − 16푢)}(푢 ∈ ℤ)
Gợi ý: Giải bằng phương pháp Gauss 2 −3 5 70 3 −8 −110 0 −8 −11
100
NTQ: 푥 = 푡, 푥 = − 푡,푥 = 0,푥 = (푡 ∈ ℝ).
Đặt = 푢 ∈ ℤ ta có nghiệm nguyên như đáp số. {(−16푢 − 8,6푢 + 3,1,푢)(푢 ∈ ℤ)}
22
Bài 7. Bài tập: Kiểm tra chương 1 (2tiết) Lý thuyết (1 tiết) II.1. Không gian vectơ và không gian vectơ con II.1.1. Khái niệm không gian véctơ và không gian véctơ con
Định nghĩa không gian vectơ ⟨푉,핂⟩ trên trường 핂, các ví dụ về các không gian
vectơ thường gặp:
퐸 , 퐸 – Không gian các vectơ bán kính 푎⃗ = 푂푀⃗ trên mặt phẳng, trong không
gian tương ứng với phép công hai vectơ theo qui tắc hình bình hành, nhân vectơ
với một số thông thường;
핂 – Không gian tọa độ n chiều 핂 = {푎 = (훼 ,훼 , … ,훼 )} với các tọa độ
훼 ∈ 핂;
푀 , (핂)- Không gian các ma trận cấp (m,n) trên trường 핂;
ℝ[푥]- Không gian các đa thức hệ số thực;
픽(0,1) - Không gian các hàm số số thực xác định trên khoảng (0,1).
Định nghĩa không gian vectơ con . Các ví dụ về các không gian vectơ con quan
trọng.
ℝ[푥] - Không gian các đa thức hệ số thực có bậc ≤ 푛;
Không gian con sinh bởi hệ vectơ 퐿(푎 , 푎 , … , 푎 ) trong không gian vectơ
⟨푉,핂⟩;
N 0 - Không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất 퐴[푥 ] = 푂;퐴 ∈ 푀 , (핂).
23
Bài 8. II.1.2. Cơ sở và chiều của không gian vectơ
Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, các ví dụ.
Khái niệm cơ sở của KGVT; tọa độ vectơ.
Bổ đề: Trong không gian vectơ ⟨푉,핂⟩ có hai hệ vectơ
{푒 , 푒 , … , 푒 }(1)
푒 , 푒 , … , 푒 (2)
Hệ (1) độc lập tuyến tính, còn hệ (2) biểu diễn tuyến tính qua hệ (1) và có số
vectơ 푚 > 푛. Khi đó hệ (2) là hệ pttt. (có cm)
Định lý cơ bản về cơ sở (không chứng minh)
Các cơ sở trong một không gian vectơ (khác {표})có cùng số các vectơ
Chiều của không gian: số vectơ trong một cơ sở của không gian vectơ V được gọi
là chiều của không gian đó và ký hiệu là 푑푖푚푉.
Cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất 퐴[푥 ] = 푂;퐴 ∈
푀 , (핂) (không chứng minh): gian nghiệm N 0 của hệ PTTT thuần nhất
퐴[푥 ] = 푂;퐴 ∈ 푀 , (핂) có dim N 0= n- rankA, hệ cơ sở của N 0 tìm từ công
thức NTQ mỗi lần cho một ẩn tự do bằng 1, các ẩn tự do khác bằng 0 (hệ có r ẩn
tự do).
Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ: Không gian
퐿 = 퐿(푎 , 푎 , … , 푎 ) sinh bởi hệ vectơ {푎 ,푎 , … ,푎 } có cơ sở là một hệ con đltt
lớn nhất trong đó.
II.1.3. Toạ độ véctơ khi đổi cơ sở
Ma trận chuyển cơ sở C là ma trận khả nghịch, công thức tọa độ của véctơ khi
đổi cơ sở:
Giả sử (푉,핂) là một không gian vectơ (hữu hạn chiều) trên trường 핂 (핂 = ℝ hoặc 핂 = ℂ cố định). {푒 , 푒 , . . , 푒 } là một cơ sở cố định của V. Ta cũng dùng ký hiệu [푒 ] để chỉ ma trận cột hình thức của 푒 , 푒 , . . , 푒 tức là
24
[푒 ] =
⎣⎢⎢⎢⎡푒푒..푒 ⎦⎥⎥⎥⎤
Đương nhiên khi này [푒 ] = [푒 푒 … 푒 ] là ma trận hàng hình thức
của 푒 , 푒 , . . , 푒 . (푥 ,푥 , . . ,푥 ) là tọa độ của vectơ a trong cơ sở {e }, tức là 푎 = 푥 푒 + 푥 푒 +. . +푥 푒 hay có thể viết dưới dạng ma trận
푎 = [푒 ] [푥 ]
Giả sử {푒 } là một cơ sở khác của V. Khi đó tồn tại các 푐 ∈ 핂 để 푒 = 푐 푒 + 푐 푒 +. . . +푐 푒
푘 = 1,2, . . , 푛 (1)
hay dưới dạng ma trận [푒 ] = [푒 ] 퐶(2).
Ma trận 퐶 = 푐 xác định theo hệ thức (1) hoặc (2) được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở {푒 } sang cơ sở {푒 };trong đó tọa độ của 푒 là cột thứ k của ma trận C. Dễ dàng thấy, nếu {푒 } là một cơ sở còn {푒 } là một hệ vectơ của V xác định theo (2) thì {푒 } là cơ sở của V khi và chỉ khi C là ma trận khả nghịch.
Gọi (푥 ,푥 , . . . , 푥 ), (푥 , 푥 , . . . ,푥 ) là các tọa độ của cùng một vectơ a trong các cơ sở {푒 }, {푒 } tương ứng. Ta có [푥 ] = 퐶[푥 ](3).
II.1.4. Hạng của hệ vectơ. Định lý về hạng của ma trận
Khái niệm hạng của hệ vectơ, Định lý về hạng của ma trận (có chứng minh):
Định lý về hạng của ma trận Hạng của hệ vectơ {푎 ,푎 , . . . , 푎 } trong V được ký hiệu là
푟푎푛푘{푎 ,푎 , . . . , 푎 }. Ta có 푟푎푛푘{푎 , 푎 , . . . ,푎 } = 푑푖푚퐿(푎 , 푎 , . . . , 푎 ). Giả sử 퐴 = 푎
× là ma trận có m hàng, n cột với 푎 ∈ 핂. Khi đó ta gọi
ℎ = (푎 , 푎 , … , 푎 ), 푐 = 푎 , 푎 , … , 푎 tương ứng là các vectơ hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A.
Định lý về hạng của ma trận: Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ các vectơ hàng cũng bằng hạng của hệ các vectơ cột . Như vậy là
푟푎푛푘퐴 = 푟푎푛푘{ℎ , ℎ , . . . ,ℎ } = 푟푎푛푘{푐 , 푐 , … , 푐 }. Hạng của hệ vectơ
Hạng của hệ vectơ {푎 ,푎 , . . . , 푎 } bằng số vectơ trong hệ con độc lập tuyến tính lớn nhất trong {푎 , 푎 , . . . , 푎 }. Có thể lấy một hệ con độc lập tuyến tính lớn
25
nhất tùy ý trong {푎 ,푎 , . . . , 푎 } làm cơ sở của không gian 퐿(푎 , 푎 , . . . ,푎 ) sinh bởi hệ vectơ {푎 , 푎 , . . . ,푎 }
Bài toán tìm cơ sở và chiều của không gian 퐿 = 퐿(푎 , 푎 , . . . , 푎 ) được đưa về bài toán tìm hạng của ma trận A thành lập từ các hàng (hoặc các cột) tọa độ của các vectơ 푎 . Khi thực hiện phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận A có liên quan đến tìm cơ sở và chiều của không gian vectơ ta không được đổi chỗ các hàng (cột). Số phần tử khác không trong ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các hàng có số thứ tự 푖 , 푖 , … , 푖 thì các vectơ 푎 , 푎 , . . . , 푎 có thể lấy làm cơ sở của 퐿(푎 ,푎 , . . ,푎 ). Chú ý ở đây ta tìm cơ sở trong số các vectơ đã cho {푎 ,푎 , . . . , 푎 } .
Ví dụ: Cho 푎 = (2,−1,1,1), 푎 = (−휆, 2,1,1),푎 = (휆, 휆, 2,2), 푎 = (2, 휆 + 1,4,4) là các vectơ trong ℝ . Ta hãy tìm cơ sở của 퐿 = 퐿(푎 , 푎 ,푎 ,푎 ) tùy theo các giá trị khác nhau của tham số 휆.
Trước hết ta thành lập ma trận 퐴 từ các hàng tọa độ của các vectơ theo thứ tự 푎 , 푎 ,푎 , 푎 là
퐴 =
2 −1 1 1−휆 2 1 1휆 휆 2 22 휆 + 1 4 4
.
Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận, sau bước thứ nhất ta nhận được ma trận 0 0 0 1
−휆 − 2 3 0 0휆 − 4 휆 + 2 0 0−6 휆 + 5 0 0
và sau khi lấy hàng hai nhân với -1 rồi cộng vào hàng ba ta có 0 0 0 1
−휆 − 2 3 0 02휆 − 2 휆 − 1 0 0−6 휆 + 5 0 0
Trường hợp 1: 휆 = 1, ta nhận được 0 0 0 1−1 1 0 00 0 0 0−1 1 0 0
~
0 0 0 1−1 0 0 00 0 0 00 0 0 0
cho ta cơ sở của L là {푎 = (2,−1,1,1), 푎 = (−1,2,1,1)} . Trường hợp 2: 휆 ≠ 1, sau khi giản ước hàng 3 cho 휆 − 1 và dùng nó làm gốc
ta nhận được
26
0 0 0 1−휆 − 8 0 0 0
0 1 0 0−2휆 − 16 0 0 0
.
Xảy ra hai trường hợp nhỏ trong trường hợp 2 này i) 휆 = −8 có
0 0 0 10 0 0 00 1 0 00 0 0 0
cho cơ sở là {푎 = (2,−1,1,1), 푎 = (−2,−2,1,1)} ii) Khi 휆 ≠ −8 ta được
0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 0 0
cho cơ sở {푎 ,푎 , 푎 }. Như vậy cuối cùng ta có kết luận: Khi 휆 = 1 cơ sở là {푎 , 푎 }; khi 휆 = −8 cơ sở là {푎 ,푎 } ; Khi 휆 khác 1 và -8 cơ sở là {푎 ,푎 ,푎 }□ II.1.5. Không gian tổng, giao; tổng trực tiếp Không gian tổng 퐿 + 퐿 , không gian giao 퐿 ∩ 퐿 . Định lý về chiều KG tổng, KG giao (có chứng minh). Khái niệm tổng trực tiếp 퐿 ⨁퐿 . Định lý về tổng trực tiếp (không chứng minh): GT1, bổ đề 3, tr186.
27
Bài 9. Bài tập: GTr2: II.1 - Nhận biết không gian vectơ con - Cơ sở của không gian vectơ , của không gian sinh bởi hệ vectơ - Hạng của hệ vectơ - Không gian tổng, giao; tổng trực tiếp - Tọa độ vectơ khi đổi cơ sở GT2: 3.1.10a,b; 3.1.11a,c,d; 3.1.12a,b; 3.1.18a,b; 3.1.19; 3.1.20b; 3.1.23; 3.1.30a,b; 3.1.31b; 3.1.32b; 3.1.33a; 3.1.34a; 3.1.37a; Gợi ý: 3.1.10. a).
3.1.11. c),d). Xét mỗi ma trận như một vectơ trong ℝ .
3.1.12. a), b). Xét mỗi đa thức trong ℝ[푥]
푓(푥) = 푎 푥 + 푎 푥 + ⋯+ 푎 푥 + 푎 như một vectơ (푎 , 푎 , , , ,푎 , 푎 ) trong ℝ . 3.1.18.
a) (1,2,3) tức là 푥 = 푒 + 2푒 + 3푒 ; b) (1,1,1);
3.1.19.
Như thường lệ ta vẫn ký hiệu
[푥] =
푥푥…푥
là ma trận cột tọa độ của 푥 = (푥 ,푥 , … ,푥 ), [푒 ] = [푒 , 푒 , … , 푒 ]
là ma trận hàng hình thức từ (푒 , 푒 , … , 푒 ). Gọi cơ sở cố định của V mà trong đó xác định tọa độ của {푒 }, {푒′ } là (푣 , 푣 , … , 푣 ). Theo giả thiết [푒 ] =[푣 ] 퐴, [푒′ ] = [푣 ] 퐴′.
푥 = [푒 ] [푥 ] = [푒′ ] [푥′ ]hay[푣 ] 퐴[푥 ] = [푣 ] 퐴′[푥′ ] cho ta 퐴[푥 ] = 퐴′[푥′ ]hay[푥 ] = 퐴 퐴′ 푥 ′ . □
28
3.1.20.
b)
⎩⎨
⎧푥 = 2푥′ + 푥′ − 푥′
푥 = −3푥′ + 푥′ − 2푥′ + 푥′푥 = 푥 − 2푥 + 2푥 − 푥′푥 = 푥 − 푥 + 푥 − 푥′
3.1.23. Gọi 퐴 là các 1-ma trận
a) 퐴 : 푖, 푗 = 1,2, … , 푛 , 푛 ;
b) 퐴 + 퐴 : 1 ≤ 푖 ≤ 푗 ≤ 푛 , ( ) ;
c) 퐴 − 퐴 : 1 ≤ 푖 < 푗 ≤ 푛 , ( ) ; (trường hợp trường 핂 = 픽 có
푐ℎ푎푟픽 = 2 thì 1 = -1, các ma trận phản đối xứng trở thành ma trận đối xứng nên sẽ có kết quả như ý b))
d) Không tạo thành không gian vectơ; e) {퐴 − 퐴 : 푖 = 2,3, … ,푛} ∪ 퐴 : 푖, 푗 = 1,2, … , 푛; 푖 ≠ 푗 ,푛 − 1; f) Cơ sở gồm các ma trận tương ứng với các vectơ cơ sở của không gian
nghiệm của hệ 푛 phương trình tuyến tính thuần nhất 푛 ẩn 퐴퐵 − 퐵퐴 = 푂(1) với
퐵 =
푥 푥 … 푥푥 푥 … 푥
. . . . … . .푥 ( ) 푥 ( ) … 푥
.
Chiều của không gian 푑푖푚푉 = 푛 − 푟푎푛푘푀; trong đó M là ma trận hệ của hệ phương trình (1); dim V bằng số ẩn tự do của hệ (1).
g) {퐸}, 1. 3.1.30. a) {푎 , 푎 , 푎 }, 3,
푎 = −푎 + 푎 = (−1,1,0), 푎 = 푎 − 푎 + 푎 = (1,−1,1); b) {푎 , 푎 ,푎 }, 3, 푎 = 푎 + 푎 = (1,1,0), 푎 = 3푎 − 2푎 = (3,−2,0). 3.1.31.
b) {퐴 ,퐴 }, 2, 퐴 = (1,1),퐴 = (1,−1),퐴 = (2,1).
Chỉ dẫn: Xem mỗi ma trận như một vectơ trong không gian ℝ với푝 = 푚푛 . 3.1.32.
29
b) {푓 (푥), 푓 (푥),푓 (푥)}, 3, 푓 (푥) = (1,1,1), 푓 (푥) = (1,1,0),푓 (푥) = (0,1,1).
Chỉ dẫn: Xem mỗi đa thức như một vectơ trong không gian ℝ với các tọa độ theo thứ tự là các hệ số của (푥 , 푥 , … , 푥,푥 ) 3.1.33.
a) 휆 = 1, {푎 ,푎 }; 휆 ≠ 1, {푎 , 푎 , 푎 ,푎 }.
Chỉ dẫn: Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận của ma trận thành lập từ các hàng tọa độ của các vectơ {푎 , 푎 , … , 푎 }. 3.1.34. a) ∀휆, {푎 ,푎 , 푎 } 3.1.37. a) {(1,2,1,0,0), (−1,1,0,1,0), (1,−1,0,0,1)}, 3.
30
Bài 10. II.2. Ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính II.2.1. Khái niệm AXTT và TTTT
Định nghĩa AXTT và TTTT, các ví dụ. Cách cho AXTT:
Đối với mỗi hệ cơ sở {푒 , 푒 , … , 푒 } trong KGVT ⟨푉,핂⟩ và hệ n vectơ tùy ý
{푤 ,푤 , … ,푤 } trong KGVT ⟨푊,핂⟩ tồn tại duy nhất một AXTT 푓:푉 → 푊 sao
cho 푓(푒 ) = 푤 , 푘 = 1,2, … , 푛. (không chứng minh)
II.2.2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Giả sử 푓 ∈ 퐿(푉,푊) là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ (푉,핂) vào
không gian vectơ (푊,핂). 퐾푒푟푓 = {푎 ∈ 푉: 푓(푎) = 0} là một không gian vectơ con của V và được gọi
là không gian nhân hay đơn giản là nhân của f . 퐼푚푓 = {푏 ∈ 푊:∃푎 ∈ 푉푓(푎) = 푏} là một không gian vectơ con của W và
được gọi là không gian ảnh của f. Ta có công thức 푑푖푚푉 = 푑푖푚퐾푒푟푓 + 푑푖푚퐼푚푓.
Giả sử trong các cơ sở cố định (푒 , 푒 , . . , 푒 )của푉, (푤 ,푤 , . . ,푤 )của푊 f có ma trận là A. Theo biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính, nếu ký hiệu [푥 ] là ma trận cột tọa độ của vectơ a thì 푓(푎) = 0 tương đương với
퐴[푥 ] = 푂(1) tức là tọa độ (푥 , 푥 , . . , 푥 ) của a thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1). Giải hệ (1) ta được hệ nghiệm cơ bản (푒 , 푒 , . . , 푒 ), 푒 ∈ 핂 cho ta hệ cơ sở của 퐾푒푟푓 với các vectơ trong V có cùng tọa độ như {푒 , 푒 , . . , 푒 } mà ta vẫn ký hiệu là (푒 , 푒 , . . , 푒 ).
Ví dụ: Tùy thuộc vào các giá trị khác nhau của tham số 휆 ta hãy tìm cơ sở của 퐾푒푟푓 trong đó 푓 ∈ 퐿(푉,푊) và có ma trận
퐴 =1 −1 1 −22 휆 −1 −1휆 2 1 1
.
Giải hệ phương trình (1) bằng phương pháp Gauss sau bước đầu tiên ta thu được ma trận
퐴 =1 −1 1 −23 휆 − 1 0 −3
휆 + 2 휆 + 2 0 0.
Trường hợp 1. 휆 = −2 ta nhận được hệ 1 −1 1 −21 −1 0 −1
Có nghiệm tổng quát
31
푥 = 푥 − 푥푥 = 푥
với 푥 , 푥 tùy ý cho ta hệ cơ sở của 퐾푒푟푓 là {푎 = (1,1,0,0), 푎 = (0,−1,1,1)}.
Trường hợp 2. 휆 ≠ −2 ta nhận được 1 −1 1 −21 1 0 00 휆 − 4 0 −3
,
cho nghiệm tổng quát
⎩⎪⎨
⎪⎧
푥 = −푥
푥 =13
(2휆 − 2)푥
푥 =13
(휆 − 4)푥
với 푥 tùy ý; cho cơ sở {푎 = (−3,3,2휆 − 2, 휆 − 4)}.□ Cùng ví dụ trên bây giờ ta tìm cơ sở của Imf.
Vì 퐼푚푓 = 퐿(푓(푒 ),푓(푒 ), . . , 푓(푒 )) nên Imf có cơ sở là một hệ con độc lập tuyến tính lớn nhất trong {푓(푒 ), 푓(푒 ), . . ,푓(푒 )} . Vì tọa độ của 푓(푒 ) là vectơ cột thứ i của A cho nên đó chính là hệ con độc lập tuyến tính lớn nhất trong hệ các vectơ cột của A. Khi áp dụng phương pháp Gauss tìm hạng của A, không đổi chỗ các cột, thì trong ma trận cuối cùng các phần tử khác không trong ma trận nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các cột có số thứ tự 푗 , 푗 , . . , 푗 thì các vectơ 푓 푒 , 푓 푒 , . . , 푓 푒 có thể lấy làm cơ sở của Imf.
Áp dụng cho ví dụ đang xét, tìm rankA thoạt đầu ta nhận được ma trận 0 0 1 03 휆 − 1 0 −3
휆 + 2 휆 + 2 0 0.
Trường hợp 1. 휆 = −2 ta nhận được ma trận 0 0 1 01 −1 0 −1 cóhạngnhư 0 0 1 0
0 0 0 −1 ,
cho ta cơ sở của Imf gồm hai vectơ cột thứ ba, thứ tư tức là {(1,−1,1), (−2,−1,1)}.
Cũng có thể lấy cơ sở gồm hai vectơ cột thứ 1,2; thứ 1, 3. Tương tự cho trường hợp 휆 ≠ −2 thuật toán tìm hạng ma trận cho ta
0 0 1 01 0 0 00 0 0 −3
,
hay cơ sở của Imf gồm ba vectơ cột thứ nhất,thứ ba và thứ tư tức là {(1,2, 휆)(1,−1,1), (−2,−1,1)}.□
32
II.2.3. Ánh xạ tuyến tính ngược (ss với GTr,tr125-127)
Định nghĩa AXTT ngược của AXTT 푓:푉 → 푊. Định lý về 4 điều kiện tương
đương tồn tại AXTT ngược: Giả sử ⟨푉,핂⟩ và ⟨푊,핂⟩ là các không gian vectơ
trên cùng một trường 핂 có 푑푖푚푊 = 푑푖푚푉, 푓 ∈ 퐿(푉,푊). Khi đó 4 khẳng định
sau tương đương: (không chứng minh)
i) 푓:푉 → 푊 là song ánh
ii) Tồn tại AXTT ngược 푔:푊 → 푉
iii) 푘푒푟푓 = {표}
iv) 푖푚푓 = 푊
Chứng minh định lý này hoàn toàn giống như chứng minh định lý ở tr125 GTr1 chỉ có chút ít thay đổi trong từ ngữ từ toán tử tuyến tính sang ánh xạ tuyến tính (VT689)
33
Bài 11.
II.2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính. Hạng của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ma trận 퐴 của AXTT 푓 (trong các cơ sở {푒 , 푒 , … , 푒 } của ⟨푉,핂⟩ và {푤 ,푤 , … ,푤 } của ⟨푊,핂⟩) dưới dạng ma trân hình thức [푓(푒 )푓(푒 ) … 푓(푒 )] = [푤 푤 … 푤 ]퐴 hay [푓(푒 )] = 푤 퐴 Ma trận 퐴 của TTTT 푓 (trong cơ sở {푒 , 푒 , … , 푒 } của KGVT 푉): [푓(푒 )푓(푒 ) … 푓(푒 )] = [푒 푒 … 푒 ]퐴 hay [푓(푒 )] = [푒 ] 퐴 (các ký hiệ như GTr1, tr7) Dạng tọa độ của AXTT, ma trận của AXTT khi đổi cơ sở. ma trận của TTTT khi đổi cơ sở: Giả sử trong các cơ sở {푒 , 푒 , … , 푒 } của 푉, {푤 ,푤 , … ,푤 } của 푊 AXTT f có ma trận A; còn trong các cơ sở tương ứng khác {푒′ , 푒′ , … , 푒′ } của 푉, {푤′ ,푤′ , … ,푤′ } của 푊 AXTT f có ma trận 퐴 . Gọi B là ma trận chuyển cơ sở từ {푒 , 푒 , … , 푒 } sang {푒′ , 푒′ , … , 푒′ }; C là ma trận chuyển cơ sở từ {푤 ,푤 , … ,푤 } sang {푤′ ,푤′ , … ,푤′ }. Khi đó ta có
퐴 = 퐶 퐴퐵(1) CM: Theo định nghĩa [푓(푒 )] = 푤 퐴(2)
[푓(푒′ )] = 푤′ 퐴′(3) [푒′ ] = [푒 ] 퐵(4) 푤′ = 푤 퐶(5)
Từ (4), (2) có [푓(푒 )] = [푓(푒 ] 퐵 = 푤 퐴퐵(6) Từ (3), (5) ta có [푓(푒′ )] = 푤′ 퐴 = 푤 퐶퐴 (7) So sánh (6), (7) ta có 퐴퐵 = 퐶퐴 hay 퐴 = 퐶 퐴퐵□ II.3. Trị riêng, vectơ riêng II.3.1 Trị riêng, vectơ riêng của TTTT: định nghĩa vectơ riêng, trị riêng của TTTT; không gian một chiều bất biến đối với TTTT푓. Định lý về trị về trị riêng, vectơ riêng. Ví dụ. II.3.2 Chéo hóa TTTT : Điều kiện chéo hóa được: Toán tử tuyến tính f trong không gian vectơ V chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sởcủa V gồm toàn các vectơ riêng của f.
Giả sử 푓 ∈ 퐿(푉) và trong một cơ sở ban đầu nào đó của không gian vectơ 푉 toán tử tuyến tinh f có ma trận 퐴; 푑푖푚푉 = 푛.Ta nói f chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở nào đó của V mà trong đó f có ma trận D là ma trận đường chéo. Cơ sở này được gọi là cơ sở đường chéo của f (hay của A).
Vetơ 푒 ∈ 푉, 푒 ≠ 0 được gọi là vectơ riêng của f (hay của A) ứng với trị riêng 휆 ∈ 핂 nếu 푓(푒) = 휆푒. Tập tất cả các vectơ riêng ứng với cùng một trị riêng 휆
34
cùng với vectơ không (o) tạo thành không gian vectơ con trong V được ký hiệu là 푉 (푓) và gọi là không gian riêng của f ứng với trị riêng 휆. Tập 휎(푓) tất cả các trị riêng của f được gọi là phổ của f.
Cơ sở {푒 , 푒 , . . , 푒 } của V là cơ sở đường chéo của f khi và chỉ khi đây là cơ sở gồm toàn các vectơ riêng của f.
Nếu f có n trị riêng khác nhau trong trường 핂 thì n vectơ riêng tương ứng với chúng tạo thành cơ sở đường chéo của f. Trong trường hợp f có các trị riêng bội thì cho dù f có n trị riêng (kể cả bội) câu trả lời về chéo hóa của f vẫn không xác định. Vấn đề là có tồn tại cơ sở của V gồm toàn các vectơ riêng của f không.
Ví dụ: Giả sử
퐴 =1 −1 00 2 00 1 1
là ma trận của f trong không gian vectơ V có dimV = 3. Hãy làm rõ vấn đề chéo hóa của f . Nếu f chéo hóa được hãy tìm ma trận đường chéo, ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu sang cơ sở đường chéo.
Ta biết rằng trị riêng của f là nghiệm của đa thức đặc trưng |퐴 − 휆퐸| = 푂 hay (휆 − 1) (2 − 휆) = 0. Như vậy 휎(푓) = {1,1,2} trong đó 휆 = 1 là nghiệm bội hai.
Với 휆 = 1 vectơ riêng 푒 = (푥 , 푥 ,푥 ) thỏa mãn hệ phương trình tuyến tinh thuần nhất (퐴 − 휆 퐸)[푥 ] = 푂. Không gian riêng 푉 (푓) gồm các vectơ có cùng tọa độ như các vectơ của không gian nghiệm của hệ phương trình này. Giải hệ (1) ta tìm được cơ sở của 푉 (푓) là {푒 , 푒 }; trong đó 푒 = (1,0,0), 푒 = (0,0,1).
Với 휆 = 2, 푉 (푓) có cơ sở 푒 = (−1,1,1). Rõ ràng {푒 , 푒 , 푒 } độc lập tuyến tính nên tạo thành cơ sở đường chéo của f.
Ma trận chuyển cơ sở C từ cơ sở ban đầu sang cơ sở đường chéo có các cột theo thứ tự chính là các cột tọa độ của 푒 , 푒 , 푒 ;
퐶 =1 0 −10 0 10 1 1
trong cơ sở (푒 , 푒 , 푒 ) f có ma trận đường chéo
퐷 =1 0 00 1 00 0 2
và 퐷 = 퐶 퐴퐶 □ Đối với ma trận
퐴 =2 0 01 1 −1−1 0 1
35
Ta cũng có 3 trị riêng thực 휆 = 휆 = 1, 휆 = 2. Với 휆 = 1, không gian nghiệm của hệ phương trình xác định vectơ riêng có cơ sở (푒 )với푒 = (0,1,0), với 휆 = 2 có cơ sở (푒 )với푒 = (1,2,−1). Như vậy f chỉ có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính cho nên nó không chéo hóa được mặc dù giống như ví dụ trên nó cũng có 3 trị riêng thực. □ Bài tập: (1 tiết) GTr2: II.1 3.1.35a,c; 3.1.36a,c; 3.1.38a,b; 3.1.39b; 3.1.40b; 3.1.41b; 3.1.35. a) dim(퐿 + 퐿 ) = 3, dim 퐿 ∩ 퐿 = 1 c) 4, 2.
3.1.36. Gọi 퐿 = 퐿(푎 , 푎 , … , 푎 ), 퐿 = 퐿(푏 ,푏 , … , 푏 ) a) 퐿 + 퐿 = 퐿 , 퐿 ∩ 퐿 = 퐿 = 퐿 c) {푎 , 푎 , 푎 ,푏 }, {(1,1,1,1,1), (0,2,3,1,−1)} 3.1.38. a) {(0,1,1,0), (−1,0,0,1), (0,1,0,2), (0,0,1,1)},
{(−1,1,1,1)} b) {(1,−3,0,5), (0,−2,1,3), (2,1,−1,1)},
{(1,1,−2,−1)} 3.1.39.
b) 푥 − 푥 − 2푥 = 0푥 − 푥 + 2푥 = 02푥 + 푥 − 푥 = 0
Chỉ dẫn: Gọi phương trình cần tìm là 훼 푥 + 훼 푥 + ⋯+ 훼 푥 = 0(1) Thay tọa độ của các 푎 , 푎 , … , 푎 vào (1) ta được hệ m phương trình tuyến
tính thuần nhất n ẩn (훼 ,훼 , … ,훼 ) . Hệ nghiệm cơ bản có r vectơ cho ta hệ r phương trình độc lập tuyến tính cần tìm. 3.1.40. b) Khi 휆 = −1: {(1,2,−2,5)}; 1, Khi휆 = 1: {(1,−1,1,2)}; 1, Khi휆 = −2: {(0,0,1,2)}; 1, Khi휆 ≠ 1, 휆 ≠ −1, 휆 ≠ −2 không gian nghiệm là {0} 3.1.41. b) 퐿 = 퐿(퐴,퐵,퐶,퐷); 푡푟표푛푔đó퐴 = 1 −1
1 1 ,퐵 = 1 2−1 1 , 퐶 =
−1 01 1 ,퐷 = 1 1
1 3 ; Hệ con độc lập tuyến tính lớn nhất trong {퐴,퐵,퐶,퐷} là {퐴,퐵,퐶}(tacó퐷 = 퐴 + 퐵 + 퐶).Cơsở퐿là{퐴,퐵,퐶};푑푖푚퐿 = 3.
36
Bài 12.
Bài tập: GTr2: II.2 AXTT:GTr2: 3.2.13; 3.2.14; 3.2.15a,b; 2.3.11a,c,d 3.2.16a,b,c; 3.2.22a,b;3.2.26a,b; 3.2.23a,b; 3.2.25a,c; 3.2.13.
a) 5 3 42 0 1 ;
b) −3 −6 −93 7 12 ;
c) −6 −5 −39 6 3 .
Chỉ dẫn: Gọi B là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu (푒 , 푒 , 푒 ) sang cơ sở mới (푒 + 푒 + 푒 , 푒 + 푒 , 푒 ), C là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu (푤 ,푤 ) sang cơ sở mới (푤 + 푤 ,푤 + 2푤 ). Ma trận của f trong cơ sở mới là
퐶 퐴퐵; 퐶 = 1 11 2 ,퐶 = 2 −1
−1 1 ,퐵 =1 1 11 1 01 0 0
.
3.2.14.
a) 1 0 15 4 2−1 0 −1
;
b) −5 −13 −131 −3 18 4 16
;
c) −4 13 3−3 9 1−7 19 −1
.
Chỉ dẫn: Ma trận của f trong cơ sở mới là 퐶 퐴퐵; C là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu sang cơ sở mới. Trong đó đối với ý
a) 퐶 =1 0 01 1 01 1 1
,퐶 =1 0 0−1 1 00 −1 1
;
b) 퐶 =1 −1 11 1 21 −1 2
,퐶 =4 1 −30 1 −1−1 0 1
;
c) 퐶 =−1 3 −1−3 8 −10 0 1
,퐶 =8 −3 53 −1 20 0 1
.
3.2.15.
37
a)
1 0 3 22 1 4 32 2 1 −50 1 2 1
;
b)
1 2 3 4−1 0 1 2−1 −3 3 42 4 −1 0
;
2.3.11 a) (1,−1,1); b) (2,3,1); c) (0,0,2,−1) + 훼(13,0,9,−1) + 훽(0,13,−27,3)(훼,훽 ∈ ℝ);
Giải: Các vectơ cần tìm 푥 = (푥 , 푥 ,푥 ) có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
퐴[푥 ] = [푏 ](1); trong đó [푥 ] =푥푥푥
, [푏 ] =푏푏푏
là các ma trận cột tọa độ
của x, b tương ứng. Giải bằng phương pháp Gauss hệ (1) được nghiệm tổng quát 푥 = 3푥 − 13푥 − 13
푥 = 9푥 − 7 (푥 , 푥 tùyý)
Có một nghiệm riêng (0,0,2,−1), còn hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất là {푒 , 푒 }푣ớ푖푒 = (13,0,9,−1), 푒 = (0,13,−27,3). Nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất 훼푒 + 훽푒 cộng với một nghiệm riêng.□
d) (2,1,−1,0,1) + 훼(1,0,4,0,−1) + 훽(0,1,−8,0,2)(훼,훽 ∈ ℝ);
3.2.16. a) 퐾푒푟푓: (1,1,−5,0), (0,1,−7,1) , 2;
퐼푚푓: (1,2), (−1,3) , 2; Toànánh; b) 퐾푒푟푓: (1,−2,1,0), (2,−1,0,1) , 2;
퐼푚푓: (1,0,5), (2,1,11) , 2; Khôngđơnánh, khôngtoànánh; c) 퐾푒푟푓: (1,0,0,−2,1), (0,1,0,−4,3), (0,0,2,−3,0) , 3; Chỉ dẫn: Kerf trùng với không gian nghiệm của hệ phương trình 퐴[푥 ] =푂. Còn Imf là không gian vectơ con trong W sinh ra bởi các vectơ cột của ma trận A. Điều kiện để f đơn ánh là 퐾푒푟푓 = (표), toàn ánh là 푑푖푚퐼푚푓 =푑푖푚푊.
3.2.22.
38
a) Không , vì detA = 0;
b) Có, 퐴 =3 6 −3−3 4 −10 −2 2
, (3,1,1);
3.2.26. Các tọa độ của các vectơ được cho trong các cơ sở cố định nào đó trong V và W.
a) 퐾푒푟푓: (1,0,−1) , 1;
퐼푚푓: (1,1), (1,−1) , 2; toànánhkhôngđơnánh,
matrận퐴 = 1 1 11 −1 1 ;
b) 퐾푒푟푓 = (표), 퐼푚푓 = 푊: (1,1,1), (−1,2,1), (−1,3,1) , 3, đẳngcấu,
matrận퐴 =1 −1 −11 2 31 1 1
;
3.2.23.
a) 퐵 =−3 1 1−12 0 6−6 0 5
;
b) 퐵 =1 −1 1
10 −5 96 −2 5
;
3.2.25. Xem bài 3.2.24.
a) 퐴 =−4 1 1−6 1 20 1 −1
, 푓 (푎) = (10,18,−6);
b) 퐴 =2 −2 −43 4 30 8 8
, 푓 (푎) = (−114,79,240);
c) 퐴 =
0 −1 1 02 −1 −1 −10 0 2 −12 1 1 −4
, 푓 (푎) = (0,6,2,14);
39
Bài 13.
III.1. Dạng toàn phương trong KGVT
III.1.1. Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương Khái niệm dạng STT, dạng STT đối xứng, DTP trong không gian vectơ. Ma trận của dạng STT, DTP. Ma trận của DTP khi đổi cơ sở. III.1.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
- Khái niệm cơ sở chính tắc của DTP. - Phương pháp Lagrange và phương pháp Jacobi đưa dạng toàn phương về
dạng chính tắc Đây là các phương pháp đưa dạng toàn phương trong không gian vectơ (푉,ℝ) về dạng chính tắc. Phương pháp Lagrange thực chất là phương pháp tách dần các bình phương, còn phương pháp Jacobi là phương pháp tìm cơ sở chính tắc bằng phương pháp ma trận tam giác trên. Để minh họa cho phương pháp Lagrange ta lấy dạng toàn phương
퐹(푥) = 푥 + 푥 − 2푥 + 2푥 푥 + 4푥 푥 − 4푥 푥 (1) Ta có 퐹(푥) = (푥 + 푥 + 2푥 ) − 8푥 푥 − 6푥
= (푥 + 푥 + 2푥 ) − 623푥 + 푥 −
49푥
= (푥 + 푥 + 2푥 ) +83푥 − 6
23푥 + 푥 (2)
Đặt 푥 + 푥 + 2푥 = 푡
푥 = 푡23푥 + 푥 = 푡
hay
⎩⎪⎨
⎪⎧푥 = 푡 +
13푡 − 2푡
푥 = 푡
푥 = −23푡 + 푡
(3)
Dưới dạng ma trận (3) là [푥 ] = 퐶[푡 ] ; trong đó
퐶 =
⎣⎢⎢⎢⎡1
13 −2
0 1 00 − 2
3 1⎦⎥⎥⎥⎤
Bằng đổi biến (3) theo (2) ta nhận được dạng chính tắc
퐹(푥) = 푡 +83푡 − 6푡 ;
40
trong đó 푥 = 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒 với (푒 , 푒 , 푒 ) là cơ sở chính tắc của dạng toàn phương theo phương pháp Lagrange;
푒 = (1,0,0), 푒 = 13 , 1,− 2
3 , 푒 = (−2,0,1).
Ma trận C chính là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở ban đầu sang cơ sở chính tắc (푒 , 푒 , 푒 ). Phương pháp Jacobi : Giả sử dạng toàn phương 푓(푥, 푥) có dạng song tuyến tính đẳng cực 푓(푥,푦) với ma trận 퐴 = 푎 ; 푎 = 푓 푒 , 푒 .Ký hiệu
퐴( ) =
푎 푎 … 푎푎 푎 … 푎. . . . … . .푎 푎 . . 푎
,Δ = 푑푒푡퐴( )
và gọi chúng tương ứng là ma trận con chính, định thức con chính bậc k của A. Giả sử Δ ≠ 0 với mọi k =1,2,…, n. Gọi (푒 , 푒 , … , 푒 ) là cơ sở ban đầu của không gian vectơ (푉,ℝ). Phương pháp Jacobi xây dựng cơ sở chính tắc (푒 , 푒 , … , 푒 ) từ (푒 , 푒 , … , 푒 ) thỏa mãn ba điêu kiện
(i) Ma trận chuyển cơ sở từ (푒 ) sang (푒 ) là ma trận tam giác trên sao cho 푒 ∈ 퐿(푒 , 푒 , … , 푒 ) với mọi i = 1, 2,…, n;
(ii) 푓 푒 , 푒 = 0푛ế푢푖 ≠ 푗 (điều kiện trực giao);
(iii) 푓(푒 , 푒 ) = 1 (điều kiện chuẩn hóa). Gọi
푒 = 푐 푒 (4)
Các hệ số (푐 , 푐 , … , 푐 ) cần tìm từ (11) thỏa mãn (i),(ii),(iii) nêu trên là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
퐴( ) 푐 =
00. .1
(5)
cho ta 푐 = ;Δ = 1, 푘 = 1,2, . . , 푛(6) chính là các hệ số của dạng toàn phương chính tắc
41
⎩⎪⎨
⎪⎧푓(푥,푥) = 푐 푡
푥 = 푡 푒
(7)
Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi; chỉ ra cơ sở chính tắc và ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở chính tắc
푓(푥, 푥) = 푄(푥) = 푥 + 푥 − 2푥 푥 + 2푥 푥 Ta có ma trận dạng toàn phương 푓(푥, 푥) là
퐴 =1 −1 0−1 0 10 1 1
.
Có Δ = 1,Δ = −1,Δ = −2; 푐 = = 1, 푐 = = −1, 푐 = = . Theo (4),(5) ta có
푒 = 푐 푒푒 = 푐 푒 + 푐 푒
푒 = 푐 푒 + 푐 푒 + 푐 푒,
1 −1−1 0
푐푐 = 0
1 cho(푐 , 푐 ) = (−1,−1); 1 −1 0−1 0 10 1 1
푐푐푐
=001
cho(푐 , 푐 , 푐 ) =12
,12
,12
.
Ta nhận được cơ sở chính tắc của phương pháp Jacobi là (푒 , 푒 , 푒 ) với 푒 = (1,0,0), 푒 = (−1,−1,0), 푒 = (1,1,1); ma trận chuyển cơ sở C sang cơ sở chính tắc, theo (11) có các cột theo thứ tự là các cột tọa độ của 푒 , 푒 , 푒 :
퐶 =12
2 −2 10 −2 10 0 1
.
Như vậy, sau đổi biến [푥 ] = 퐶[푡 ] ta nhận được dạng chính tắc
푄(푥) = 푡 − 푡 +12푡
푥 = 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒.□
- Luật quán tính. - Khái niệm về DTP xác định dương. Điều kiện ký số về DTP định dương
(không chứng minh). Định lý Silvester (không chứng minh)
42
Bài 14.
Bài tập: GTr2 tiếp II.2, II.3
3.2.28a,c; 3.2.30b; 3.2.32;
3.3.1d,e,h; 3.3.2a,b,c; 3.3.3; 3.3.9; 3.3.19c,d; 3.3.24.
3.2.28. Chứng minh tương tự như bài 3.2.24.
Giải: Theo giả thiết [푎 ] = [푒 ] 퐴 , [푏 ] = 푤 퐵 ; trong đó [푎 ] = [푎 푎 … 푎 ], [푏 ] = [푏 푏 … 푏 ], 푤 = [푤 푤 … 푤 ] là các ma trận hàng hình thức . Lấy f hai vế hệ thức đầu tiên, vì 푓(푎 ) = 푏 nên ta có [푓(푎 )] = [푓(푒 )] 퐴 = [푏 ] = 푤 퐵 haylà[푓(푒 )] = 푤 퐵 퐴 . Theo định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính thì điều này có nghĩa là 퐴 =퐵 퐴 là ma trận của f trong các cơ sở ban đầu {푒 }trong푉, 푤 trong푊. □
a) 퐴 =
2 −2 11 0 0−2 2 −12 −2 1
;퐾푒푟푓: (0,1,2) ; 퐼푚푓: (푏 ,푏 );
b) 퐴 =1 10 −9−1 24 −19−1 30 −23
;퐾푒푟푓: (표); 퐼푚푓: (푏 , 푏 ,푏 );
퐴 =
−1 4 −2 01 −4 3 −17 −9 4 −23 −2 0 0
;퐾푒푟푓: (표); 퐼푚푓: (푏 , 푏 , 푏 , 푏 )
3.2.30.
푏)퐴 =1 1 10 2 4−1 3 7
, 퐼푚푓: (1 − 푥 , 1 + 2푥 + 3푥 ),퐾푒푟푓 = ((1 − 푥) ),
không tồn tại 푓 . 3.2.32.
퐹(1) = 3 + 3푥 + 3푥 ,
퐹(푥) =12
[3 + 3(푡 + 푥) + 3푡푥 + 3푥 ]푡푑푡 = 1 + 푥,
퐹(푥 ) = ∫ [3 + 3(푡 + 푥) + 3푡푥 + 3푥 ]푡 푑푡 = 1 + 푥 + 푥 , cho ta
43
a) 퐴 =3 1 13 1 13 0 1
;
b) 퐼푚퐹: (1 + 푥, 1 + 푥 + 푥 ),퐾푒푟퐹: (1 − 3푥 ); c) 푥 ∈ 퐼푚푓 vì 퐹(−푥 + 푥 ) = 푥 ; d) 퐹 (1) = 퐹 퐹(1) = 15 + 15푥 + 12푥 .
3.3.1. d)휆 = 1, 훼(1,1,0)(훼 ≠ 0); 휆 = 휆 = 3, 훼(1,0,−1) + 훽(1,1,2)(훼 +
훽 ≠ 0); e) 휆 = −1, 훼(1,0,−1)(훼 ≠ 0); 휆 = 1,훼(1,1,0)(훼 ≠ 0);
휆 = 3,훼(1,1,2)(훼 ≠ 0). h) 휆 = 휆 = 1, 훼(2,1,0) + 훽(1,0,−1)(훼 + 훽 ≠ 0); 휆 = −1,
훼(3,5,6)(훼 ≠ 0). 3.3.2.
a) (1,1,1), (1,1,0), (1,0,−3) ; 1 0 00 2 00 0 2
;1 1 11 1 01 0 −3
;
b) (1,1,2), (3 − 3푖, 4,5 − 3푖), (3 + 3푖, 4,5 + 3푖) ; 1 0 00 2 + 3푖 00 0 2 − 3푖
;1 3 − 3푖 3 + 3푖1 4 42 5 − 3푖 5 + 3푖
;
c) Không chéo hóa được: Trị riêng 휆 = 휆 = 0 chỉ có một vectơ riêng độc lập tuyến tính 푒 = (1,3,2).Với trị riêng 휆 = 1 có vectơ riêng độc lập tuyến tính nữa 푒 = (1,1,1): không tồn tại cơ sở gồm toàn các vectơ riêng của A.
3.3.3. Để 휆 ∈ ℝ là trị riêng : 퐷 푝(푥) = 푝′(푥) = 휆푝(푥) điều kiện cần 푑푒푔푝(푥) = 0 và 휆 = 0. Dễ thấy 휆 = 0 cũng là điều kiện đủ là trị riêng của toán tử vi phân vì 푝(푥) = 1 chính là vectơ riêng ứng với trị riêng 휆 = 0. Vậy phổ 휎(휆) = {표} và tất cả các vectơ riêng ứng với trị riêng 휆 = 0 có dạng 훼. 1(훼 ≠0).□
Ghi chú: có thể thành lập ma trận của toán tử vi phân trong cơ sở
(1,푥, 푥 , … ,푥 ) là 퐴 =
⎣⎢⎢⎢⎡0 1 0 … 00 0 2 … 0. . . . . . … . .0 0 0 … 푛 − 10 0 0 … 0 ⎦
⎥⎥⎥⎤ và nhận được
44
휎(휆) = {표}.Khi 휆 = 0 được không gian riêng 푉 (퐷) = 퐿 (1,0,0, … ,0) có cơ sở chính là đa thức 푝(푥) = 1.
3.3.9.휎(휆) = {(−1) , 푘 = 1,2, … , 푛}; 푓 (푥) = 푥 − là vectơ riêng ứng với trị riêng 휆 = (−1) , k = 1,2,…,n . Chéo hóa được.
3.3.19. 퐴 chéo hóa được , tồn tại cơ sở (푒 , 푒 , … , 푒 ) gồm toàn các vectơ riêng của 퐴 tương ứng với các trị riêng (휆 , 휆 , … , 휆 ). C là ma trận thành lập từ các cột theo thứ tự là các cột tọa độ của các 푒 , 푒 , … , 푒 ,퐷 = 푑푖푎푔(휆 , 휆 , … , 휆 ) thì 퐴 = 퐶퐷퐶 , cho ta
퐴 = 퐶퐷 퐶 = 퐶푑푖푎푔(휆 , 휆 , … , 휆 )퐶 .
푐)퐶 =1 1 11 1 01 0 −3
,퐶 =3 −3 1−3 4 −11 −1 0
,퐷 =1 0 00 2 00 0 2
,
퐴 =3 − 2 3(2 − 1) 1 − 2
3(1 − 2 ) 2 − 3 1 − 23(1 − 2 ) 3(2 − 1) 1
;
푑)퐶 =1 1 10 1 1−1 0 2
,퐶 =12
2 −2 0−1 3 −11 −1 1
,퐷 =−1 0 00 1 00 0 3
,
퐴 =12
(−1) 2 + 3 − 1 (−1) 2 − 3 + 3 3 − 13 − 1 3 − 3 3 − 1
2((−1) + 3 ) 2((−1) − 3 ) 2. 3
3.3.24.
a) 휆 = 휆 = 1, 푒 = (1,−1,0), 푒 = (−1,3,−1), 휆 = 3, 푒 = (1,−1,1).
b) (퐴 − 2퐼) = 퐸, sử dụng bài 3.3.21. với 푓(푥) = (푥 − 2) ;
c) √10퐸 − 퐴 =2 −1 −21 4 2−1 −1 1
, sử dụng bài 3.3.21. với
푓(푥) = √10 − 푥 .
d) √10퐸 − 퐴 = 4퐸 − 퐴.
45
Bài 15.
III.2. Không gian Euclid
III.2.1. Tích vô hướng: Khái niệm tích vô hướng, KG Euclid. Các ví dụ về tích vô hướng. DTP xác định dương và tích vô hướng. Các bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovsky và Minkovsky trong tích vô hướng. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn, hệ cơ sở trực chuẩn. Tọa độ của vectơ trong hệ cơ sở trực chuẩn. Quá trình trực chuẩn hóa Gram- Schmidt. Định lý 푄푅- phân tích (mới bổ sung[TK1,tr114] ): Giả sử 퐴 ∈ 푀 , (ℝ) là ma trận có các cột độc lập tuyến tính. Khi đó tồn tại 푄 ∈ 푀 , (핂) , 푅 ∈ 푀 (ℝ) sao cho
1. 퐴 = 푄푅. 2. 푄 푄 = 퐸. 3. 푅 là ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo đều
dương. 4. 푄,푅 duy nhất.
Khi m = n thì Q là ma trận trực giao. III.2.2. Định lý chéo hóa trực giao ma trận đối xứng: Định lý về phần bù trực giao, chiếu trực giao. Ký hiệu E là không gian Euclid, dimE = n, ⟨푎, 푏⟩ là tích vô hướng trong E, ‖푎‖ = ⟨푎,푎⟩ là độ dài (hay chuẩn) của vectơ a. Đặc biệt khi 푎, 푏 ∈ ℝ ,
푎 = (푎 , 푎 , … ,푎 ), 푏 = (푏 ,푏 , … , 푏 ) thì ‖푎‖ = ∑ 푎 được gọi là độ dài
Euclid. Độ dài này xác định bởi tích vô hướng ⟨푎, 푏⟩ = ∑ 푎 푏 . Trong các bài toán sau này nếu không có những hạn chế cụ thể thì độ dài vectơ trong ℝ luôn được hiểu là độ dài Euclid. Hai vectơ a, b được gọi là trực giao nếu ⟨푎, 푏⟩ = 0, khi đó ta thường viết theo cách của hình học là 푎 ⊥ 푏. Hệ các vectơ (푎 , 푎 , … , 푎 ) được gọi là hệ trực giao nếu 푎 ≠ 표, 푎 ⊥푎 nếếu푖 ≠ 푗. Hệ các vectơ (푒 , 푒 , … , 푒 ) được gọi là hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao và được chuẩn hóa tức là độ dài tất cả các vectơ đều bằng 1: ‖푒 ‖ =1, 푖 = 1,2, … ,푚. Hệ trực chuẩn (푒 , 푒 , … , 푒 ) mà là cơ sở của E được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn của E. Quá trình trực chuẩn Gram-Schmidt cho phép ta xây dựng hệ trực chuẩn (푒 , 푒 , … , 푒 ) từ một hệ độc lập tuyến tính tùy ý (푎 , 푎 , … , 푎 ) thỏa mãn điều kiện
46
푒 ∈ 퐿 푎 ,푎 , … ,푎 ; 푗 = 1,2, . ,푚. Xây dựng hệ trực chuẩn theo phương pháp Gram-Schmidt được thực hiện qui nạp theo số vectơ m của hệ 푎 , 푎 , … , 푎 như sau: Đặt 푒 = ‖ ‖ . Nếu (푒 , 푒 , … , 푒 ) là hệ trực chuẩn đã được xây dựng từ hệ độc lập tuyến tính (푎 , 푎 , … , 푎 ) và (푎 ,푎 , … ,푎 ,푎 ) độc lập tuyến tính thì xây dựng
푒 = 푎 − ⟨푎 , 푒 ⟩푒 − ⟨푎 , 푒 ⟩푒 − ⋯− ⟨푎 , 푒 ⟩푒 . Đặt 푒 = ta nhận được hệ trực chuẩn có k+1 vectơ.
Ví dụ: Trực chuẩn hóa cơ sở (푎 , 푎 ,푎 ) trong ℝ với 푎 = (0,1,1), 푎 = (1,0,1), 푎 = (1,1,1).
Đặt 푒 = ‖ ‖ = 0,√
,√
.
푒 = 푎 − ⟨푎 , 푒 ⟩푒 = 푎 −1√2
푒 = 1,−12
,12
푒 song song với 푒 = (2,−1,1).
Đặt푒 =푒‖푒 ‖ =
2√6
,−1√6
,1√6
.
Tươngtự
푒 = 푎 − ⟨푎 , 푒 ⟩푒 − ⟨푎 , 푒 ⟩푒 = 푎 − √2푒 −2√6
푒 =13
,13
,−13
songsongvới푒 = (1,1,−1).Đặt푒 =푒‖푒 ‖ =
1√3
,1√3
,1√3
.
Như vậy hệ cơ sở trực chuẩn trong ℝ là (푒 , 푒 , 푒 ) đã xây dựng xong □ Giả sử L là một không gian vectơ con của E. Không gian vectơ con trực
giao với L là 퐿 xác định như sau 퐿 = {푎 ∈ 퐄:∀푙 ∈ 퐿⟨푎, 푙⟩ = 0}
Ta có 퐄 = 퐿⨁퐿 .(1)
Theo (1) thì mỗi vectơ 푎 ∈ 퐸 biểu diễn duy nhất thành 푎 = 푙 + 푙 (2)
Trong đó 푙 ∈ 퐿, 푙 ∈ 퐿 .Vectơ l trong (2) được gọi là chiếu trực giao của a trên L và viết 푙 = 푃 (푎). Với 푎 ∈ 퐄 và L là không gian vectơ con của E ta có
min∈‖푎 − 푙‖ = ‖푎 − 푃 (푎)‖(3)
Người ta gọi (3) là định lý chiếu trực giao hay còn gọi là định lý xấp xỉ. Người ta còn nói ‖푎 − 푃 (푎)‖ là khoảng cách ngắn nhất từ vectơ a đến không gian con L.
47
Ví dụ: Trong ℝ tìm xấp xỉ tốt nhất của 푎 = (1,1,1) trong không gian 퐿(푎 ,푎 ) sinh bởi 푎 = (0,1,1),푎 = (1,0,1).
Từ (2) và (3) theo ví dụ trên, vì 푒 = 0,√
,√
, 푒 =√
,−√
,√
là cơ sở trực chuẩn của 퐿(푎 , 푎 ) nên ta có
푃 (푎) = ⟨푎, 푒 ⟩푒 + ⟨푎, 푒 ⟩푒 = √2푒 +2√6
푒 =23
,23
,43
.□
Toán tử chiếu trực giao Giả sử L là một không gian vectơ con của E, 퐄 = 퐿⨁퐿 . Thành lập toán tử
tuyến tính 푃 :퐄 → 퐄
theo qui tắc: nếu 푎 ∈ 퐄,푎 = 푙 + 푙 , 푙 ∈ 퐿, 푙 ∈ 퐿 thì đặt 푃 (푎) = 푙. Người ta gọi 푃 là toán tử chiếu trực giao trên không gian L.
Toán tử chiếu song song Giả sử 퐿 , 퐿 là hai không gian vectơ con của E, 퐄 = 퐿 ⨁퐿 . Thành lập toán
tử tuyến tính 푃 :퐄 → 퐄
theo qui tắc: nếu 푎 ∈ 퐄,푎 = 푙 + 푙 , 푙 ∈ 퐿 , 푙 ∈ 퐿 thì đặt 푃 (푎) = 푙 . Toán tử tuyến tính được xác định như thế được gọi là toán tử chiếu trên 퐿 song song với 퐿 .
Dễ dàng thấy toán tử chiếu trực giao trên không gian L là toán tử tự liên hợp vì thế ma trận của nó trong cơ sở trực chuẩn của E là ma trận đối xứng. Toán tử 푃 là toán tử chéo hóa được và nó có phổ 휎 (휆) = {0,1}. Vectơ 푎 ∈ 퐄 là vectơ riêng ứng với trị riêng 휆 = 1 khi và chỉ khi 푎 ∈ 퐿; ứng với trị riêng 휆 = 0 khi và chỉ khi 푎 ∈ 퐿 ;
Ví dụ: Trong ℝ cho 푎 = (1,−1,1), 푎 = (−1,1,2), 푎 = (4,−4,1), 퐿 = 퐿(푎 , 푎 , 푎 ) là không gian sinh bởi 푎 ,푎 , 푎 .
(i) Tìm ma trận của toán tử chiếu trực giao 푃 ; (ii) Tìm cơ sở của 퐿 ; (iii) Tìm cơ sở đường chéo của 푃 , ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc ban
đầu sang cơ sở đường chéo;
(iv) Tìm ma trận B của toán tử 3푃 + 퐼; trong đó I là toán tử đồng nhất trong
ℝ .Từ đó suy ra 3푃 + 퐼 = 푃 + 퐼. Dễ thấy cơ sở của 퐿 = 퐿(푎 , 푎 ,푎 ) là (푎 , 푎 ). Áp dụng quá trình Gram-
Schmidt ta nhận được cơ sở trực chuẩn của L là
푒 =1√3
,−1√3
,1√3
, 푒 = −1√6
,1√6
,2√6
48
(i) Trong cơ sở chính tắc 푖 = (1,0,0), 푗 = (0,1,0),푘 = (0,0,1) của ℝ ta có
푃 (푖) = ⟨푖, 푒 ⟩푒 + ⟨푖, 푒 ⟩푒 =12
,−12
, 0 ,
푃 (푗) = ⟨푗, 푒 ⟩푒 + ⟨푗, 푒 ⟩푒 = −12
,12
, 0 ,
푃 (푘) = ⟨푘, 푒 ⟩푒 + ⟨푘, 푒 ⟩푒 = (0,0,1). Như vậy 푃 có ma trận
퐴 =12
1 −1 0−1 1 00 0 2
.
Có thể tính theo cách khác theo công thức 퐴 = [푒 ][푒 ] + [푒 ][푒 ] ; trong đó như thường lệ [푒 ] là ma trận cột tọa độ của vectơ 푒 . Thực ra là có thể chứng minh được định lý sau: Nếu không gian vectơ con L trong ℝ mà có cơ sở trực chuẩn (푒 , 푒 , … , 푒 ) thì toán tử chiếu trực giao trên L có ma trận
퐴 = [푒 ][푒 ] + [푒 ][푒 ] + ⋯+ [푒 ][푒 ] (ii) 퐿 = {푎 ∈ 퐸:∀푙 ∈ 퐿⟨푎, 푙⟩ = 0}. Giải hệ ⟨푎, 푒 ⟩ = ⟨푎, 푒 ⟩ = 0 ta được cơ
sở của 퐿 là (e); e = (1,1,0). (iii) Như đã nói ở trên 푃 có hai trị riêng
휆 = 0 với vectơ riêng e = (1,1,0)∈ 퐿 휆 = 1 có hai vectơ riêng cơ sở là (푎 , 푎 ).
Ta nhận được cơ sở đường chéo (푎 , 푎 , 푒), ma trận đường chéo của 푃 là 퐷 = 푑푖푎푔(1,1,0), ma trận chuyển cơ sở là
퐶 =1 −1 1−1 1 11 2 0
, có퐶 =16
2 −2 2−1 1 23 3 0
(iv) Xét hàm số 푓(푥) = √3푥 + 1 tương ứng với toán tử 3푃 + 퐼 ( hay
ma trận √3퐴 + 퐸 ), f(1) = 2, f(0)=1. Theo bài 3.3.21. ta có ma trận của
3푃 + 퐼 là
퐵 = 퐶퐷퐶 =12
3 −1 0−1 3 00 0 2
Dễ dàng thấy 퐵 = 퐴 + 퐸, tức là 3푃 + 퐼 thực ra lại là toán tử tuyến tính 푃 +퐼.□ Khái niệm TT tự liên hợp, ma trận của TT tự liên hợp. Trị riêng của TT tự liên hợp (không chứng minh). Định lý chéo hóa trực giao ma trận đối xứng (không chứng minh). Đưa DTP về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa trực giao.
49
Bài 16.
Bài tập: Kiểm tra chương 2: 2 tiết
Bài tập (1 tiết) III.1 DTP: ma trận DTP, pp Lagrange
GTr2: 4.2.1a,b,c; 4.2.2; 4.2.3a,f; 4.2.6a, c; 4.2.7a, b.
4.2.1. a) 0 1
1 0 ;
b) 1 33 −1 ;
c) 2 1 01 2 20 2 3
;
d) 2 1 11 1 01 0 2
;
e)
1 −1 1 2−1 3 3 −41 3 10 02 −4 0 10
.
4.2.2. Dạng song tuyến tính đẳng cực của dạng toàn phương là dạng song tuyến tính đối xứng.
a) 푏(푥,푦) = ∫ 3푥 (푡)푦 (푡)푑푡 + 푥(0)푦(0) + [푥(1)푦 (1) + 푥 (1)푦(1)]
b) 퐴 =2 1 21 8 92 9 12
.
4.2.3. a) Không xác định: 푞(1,1) > 0 > 푞(1,−1); b) Không xác định: 푞(3,1) > 0 > 푞(1,3); c) Xác định dương: 푞(푥) = (푥 + 푥 ) + 푥 > 0∀푥 = (푥 , 푥 ) ≠ 표; d) Xác định dương: 푞(푥) ≥ 0, 푞(푥) = 0 khi và chỉ khi
푥(0) = 푥(1) = 푥(2) = 0cho푥(푡) = 0;
50
e) Dương nhưng không xác định dương: 푞(푥) ≥ 0∀푥(푡) nhưng tồn tại 푥 (푡) = 푡(푡 − 1)(푡 − 2) ≠ 0nhưng푞 푥 (푡) = 0;
f) Xác định dương: 푞(푥) ≥ 0, 푞(푥) = 0 khi và chỉ khi 푥(푡) = 0. 4.2.6.
a)
(i) 퐴 =
1 −1 1 2−1 3 3 −41 3 10 02 −4 0 10
;
Gợi ý: 푄(푥) = (푥 − 푥 + 푥 + 2푥 ) + 2(푥 + 2푥 − 푥 ) + (푥 + 2푥 ) .
(ii) 퐶 =
1 1 −3 50 1 −2 50 0 1 −20 0 0 1
,
[푥 ] = 퐶[푡 ],훼 = 1,훼 = 2,훼 = 1,훼 = 0; (iii) 푒 = (1,0,0,0), 푒 = (1,1,0,0),
푒 = (−3,−2,1,0), 푒 = (5,5,−2,1); 푄(푥) = 푡 + 2푡 + 푡
푥 = 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒;
(iv) Dương, không xác định dương: ∀푥푄(푥) ≥ 0,푄(푒 ) = 0; (v) Có 3 trị riêng dương, một trị riêng bằng 0.
b)
(i) 퐴 =
1 1 −1 21 3 −5 4−1 −5 9 −92 4 −9 9
;
Gợi ý:
(푥) = (푥 + 푥 − 푥 + 2푥 ) + 2 푥 − 푥 + 2푥 − (푥 + 2푥 ) + 15푥 ;
(ii) 퐶 =
2 −2 −3 40 2 5 −140 0 2 −40 0 0 2
,
[푥 ] = 퐶[푡 ],훼 = 1,훼 = 2,훼 = − ,훼 = 15;
51
(iii) 푒 = (1,0,0,0), 푒 = (−1,1,0,0),
푒 = (−3,5,2,0), 푒 = (2,−7,−2,1); dạng chính tắc:
푄(푥) = 푡 + 2푡 −92푡 + 15푡
푥 = 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒;
(iv) Không xác định; (v) Có 3 trị riêng dương, một trị riêng âm.
4.2.7. a)
(i) 퐴 =1 1 01 2 10 1 10
,Δ = Δ = 1,Δ = 9;
(ii) 퐶 =9 −9 10 9 −10 0 1
,푄(푥) = 푡 + 푡 + 푡 ;
(iii) 푒 = (1,0,0), 푒 = (−1,1,0), 푒 = (1,−1,1).
b)
(i) 퐴 =1 −2 1−2 6 −41 −4 6
,Δ = 1,Δ = 2,Δ = 6;
(ii) 퐶 =6 6 20 3 20 0 2
,푄(푥) = 푡 + 푡 + 푡 ;
(iii) 푒 = (1,0,0), 푒 = (2,1,0), 푒 = (1,1,1).
c)
(i) 퐴 =−2 −4 2−4 −5 −22 −2 12
,Δ = −2,Δ = −6,Δ = −12;
(ii) 퐶 =−3 −4 −90 2 60 0 3
,푄(푥) = − 푡 + 푡 + 푡 ;
(iii) 푒 = (−1,0,0), 푒 = (−2,1,0), 푒 = (−3,2,1).
52
d)
(i) 퐴 =
⎣⎢⎢⎢⎡4 0 0 0 00 −4 −4 0 00 −4 2 0 00 0 0 −5 30 0 0 3 3⎦
⎥⎥⎥⎤
,Δ = 4,Δ = −16,Δ = −96,
Δ = 480,Δ = 2304.
(ii) =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1
4 0 0 0 0
0 − 14 − 1
6 0 0
0 0 16 0 0
0 0 0 − 15
18
0 0 0 0 524⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
, α = ,α = − ,
α = , α = − ,α = ; 푄(푥) = 푡 − 푡 + 푡 − 푡 + 푡 ;
(iii) 푒 = (1,0,0,0,0), 푒 = (0,−1,0,0,0), 푒 = (0,−1,1,0,0),
푒 = (0,0,0,−1,0), 푒 = (0,0,0,3,5).
53
Bài 17.
III.3. Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai
III.3.1. Phương trình siêu mặt bậc hai: Không gian Euclid - Afin 퐸 , vectơ và
điểm; Phương trình siêu mặt bậc hai tổng quát 퐹(푥) + 2퐿(푥) + 푐 = 0. Đưa pt
siêu mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc bằng phép quay và tịnh tiến.
III.3.2. Phân loại các đường cong và mặt cong hai chính tắc. Khảo sát các mặt
cong bậc hai chính tắc.
Ma trận 퐴 ∈ 푀 (ℝ) được gọi là ma trận trực giao nếu 퐴 퐴 = 퐸, hay là tương đương 퐴 퐴 = 퐴퐴 = 퐸. Như vậy A là ma trận trực giao khi và chỉ khi 퐴 = 퐴 . Nếu A là ma trận vuông cấp n trực giao thì hệ các vectơ hàng (hệ các vectơ cột ) tạo thành hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian Euclid ℝ . Dễ dàng thấy biến đổi trực giao, tức là biến đổi có dạng
[푥 ] = 퐶[푥 ](4) với C là ma trận trực giao, bảo toàn độ dài và góc giữa các vectơ. Để tiện khi sử dụng ngôn ngữ hình học ta gọi các phần tử x ( vectơ x) trong không gian Euclid ℝ là điểm. Cố định một cơ sở trực chuẩn (푒 , 푒 , … , 푒 ) của không gian Euclid ℝ .
Phương trình bậc hai tổng quát trong ℝ là phương trình có dạng 퐹(푥) + 2퐿(푥) + 푐 = 0; (5)
trong đó 퐹(푥) là dạng toàn phương ,
⎩⎪⎨
⎪⎧퐹(푥) = 푎
,
푥 푥
푥 = 푥 푒
,
퐿(푥) = ∑ 훼 푥 là dạng tuyến tính theo (푥 , 푥 , … , 푥 ).
Ta sẽ dùng các biến đổi trực giao [푥 ] = 퐶[푡 ](4)
đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
54
⎩⎪⎨
⎪⎧퐹(푥) = 휆 푡
푥 = 푡 푒
(6)
Với (푒 , 푒 , … , 푒 ) là cơ sở chính tắc của dạng toàn phương F(x). Sau cùng áp dụng phép tịnh tiến
푡 = 푋 + 휃푖 = 1,2, … ,푛
Đưa phương trình bậc hai tổng quát nhận được từ (5) sau khi áp dụng đổi biến (4) về dạng chính tắc. Ví dụ: Bằng biến đổi trực giao và tịnh tiến hệ trục tọa độ đưa phương trình bậc hai sau về dạng chính tắc và mô tả mặt cong chính tắc này
푥 + 푥 − 2푥 + 2푥 푥 + 4푥 푥 − 4푥 푥 + 푥 − 푥 − 2푥 −358
= 0(1)
Ta có dạng toàn phương tương ứng 퐹(푥) = 푓(푥 , 푥 , 푥 ) = 푥 + 푥 − 2푥 + 2푥 푥 + 4푥 푥 − 4푥 푥 (2)
có ma trận
퐴 =1 1 21 1 −22 −2 −2
.
Đa thức đặc trưng |퐴 − 휆퐸| = (휆 − 2) (−4 − 휆) có hai vectơ riêng 푒 =(1,1,0), 푒 = (1,−1,1) ứng với trị riêng 휆 = 휆 = 2, vectơ riêng 푒 =(1,1,0) ứng với trị riêng 휆 = −4. Ta nhận được hệ cơ sở trực chuẩn gồm toàn các vectơ riêng của A là (푒 , 푒 , 푒 ) với 푒 =
√(1,1,0), 푒 =
√(1,−1,1),
푒 =√
(−1,1,2). Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn ban đầu sang (푒 , 푒 , 푒 ) là
퐶 =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡1√2
1√3
− 1√6
1√2
− 1√3
1√6
0 1√3
2√6 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
,퐶 = 퐶 .
Bằng biến đổi trực giao [푥 ] = 퐶[푡 ] tức là
55
⎩⎪⎨
⎪⎧푥 = 1
√2푡 + 1
√3푡 − 1
√6푡
푥 = 1√2
푡 − 1√3
푡 + 1√6
푡
푥 = 1√3
푡 + 2√6
푡
(3)
từ dạng toàn phương (2) ta nhận được dạng chính tắc 퐹(푥) = 2푡 + 2푡 − 4푡푥 = 푡 푒 + 푡 푒 + 푡 푒 (4)
Áp dụng biến đổi trực giao (3) vào phương trình (1) ta nhận được phương trình
2푡 + 2푡 − 4푡 − √6푡 = hay 2푡 + 2푡 − 4 푡 +√
= 4 hay được phương trình chính tắc
푋2
+푋2− 푋 = 1; (5)
trong đó ta đã áp dụng phép tịnh tiến 푡 = 푋푡 = 푋
푡 = 푋 −6√8
(6)
Như vậy là sau khi áp dụng hai phép biến đổi liên tiếp (3) sau đó đến (6) hay gộp lại thành một biến đổi phức hợp
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧푥 = 1
√2푋 + 1
√3푋 − 1
√6푋 +
18
푥 = 1√2
푋 − 1√3
푋 + 1√6
푋 −18
푥 = 1√3
푋 + 2√6
푋 −14
(7)
ta nhận được (5) là phương trình chính tắc của Hypeboloit một tầng tròn xoay trục 퐼푋 ; trong đó 퐼( ,− ,− ) là gốc tọa độ mới. Công thức (7) cho phép ta nhận được phương trình chính tắc (5) nhưng thực hiện hai biến đổi theo thứ tự ngược lại: đầu tiên tịnh tiến 푂(0,0,0) → 퐼( ,− ,− ) theo công thức
56
⎩⎪⎨
⎪⎧푥 = 푡 +
18
푥 = 푡 −18
푥 = 푡 −14
sau đó quay theo công thức
⎩⎪⎨
⎪⎧푡 = 1
√2푋 + 1
√3푋 − 1
√6푋
푡 = 1√2
푋 − 1√3
푋 + 1√6
푋
푡 = 1√3
푋 + 2√6
푋
□
57
Bài 18.
Bài tập: GTr2, III.2: 4.1.1a, b; 4.1.2a, b; 4.1.3a, b; 4.1.6a, b; 4.1.7a,b; 4.1.8a,b.
4.1.1.
a) √
(1,2,2,−1),√
(2,3,−3,2),√
(2,−1,−1,−2) ;
b) √
(1,1,−1,−2),√
(2,5,1,3) ;
c) √
(2,1,3,−1),√
(3,2,−3,−1) ;
d) (1,−1,1,1,0),√
(1,1,−1,1,1) ;
e) √
(1,−1,−1,−1,1),√
(1,−1,1,1,1),√
(19,41,51,−34,39) .
Gợi ý: a) Cơ sở cả ba vectơ; b) Hai vectơ đầu; c) Hai vectơ đầu; d) Hai vectơ đầu; e) Ba vectơ đầu.
4.1.2.
a) (2,−2,−1,0), (1,1,0,−1) ;
b) (0,1,0,−1), (1,0,−1,0) ;
c) (1,1,0,−3) ;
d) (1,2,1,0,0), (0,3,1,1,0), (0,−3,−1,0,1) ;
e) (3,1,0,11,0), (0,0,1,3,0), (−2,0,0,−4,1) . Gợi ý: Không gian 퐿 của 퐿 = 퐿(푎 ,푎 , … ,푎 ) chính là không gian nghiệm
của hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn với các phương trình theo thứ tự có các hệ số là các tọa độ của các vectơ (푎 , 푎 , … , 푎 ). 4.1.3.
a) (1,−1,1), (2,1,3) ;
b) (1,−1,1,1), (2,1,3,−1) ;
58
c) (1,2,1,1,−1), (−1,1,1,2,1), (2,−1,3,1,2) ;
d) (1,−1,0,1,1,1), (2,3,1,2,1,−1) . Gợi ý: 푁 là không gian sinh bởi các vectơ hàng của hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất đã cho. 4.1.6.
a) (1,−5,−8,1);
b) (115,346,116,103);
c) (133,104,−363,−29);
d) (137,−80,21,−14,156)
4.1.7. a) (4,3,7);
b) (3,4,−6,7);
c) (−6,9,27,15);
d) (88,−134,−18,32).
Gợi ý: a) Cơ sở trực chuẩn của 푁 là 푒 =
√(1,2,−2);
b) 푒 = (1,1,−1,1), 푒 =√
(2,1,1,−2);
c) 푒 =√
(1,0,0,−1), 푒 =√
(1,2,6,1);
d) 푒 =√
(−1,2,1,−1), 푒 =√
(2,−1,3,−1),
푃(푎) = ⟨푒 ,푎⟩푒 + ⟨푒 , 푎⟩푒 =√푒 +
√푒 .
4.1.8. a) (13,20,23), ;
Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn của N là 푒 =√
(1,0,1), 푒 =√
(−1,4,1);
b) (−3,6,6,3), √ ;
Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn của N là
59
푒 = (1,−1,1,1), 푒 =√
(1,−2,−2,−1), 푃 (푎) =√
푒 ;
c) (13,5,−6,13), √ .
Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn của N là 푒 =
√(1,−1,0,1), 푒 =
√(1,2,−1,1), 푃 (푎) = √3푒 +
√푒 ;
d) (31,−15,−8,53), √ .
Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn của N là
푒 =1√6
(2,0,−1,1), 푒 =1
√246(4,6,−5,−13),
푃 (푎) =3√6
푒 −15√246
푒 .
60
Bài 19.
Bài tập: GTr2, III.2 (tiếp 1 tiết): 4.1.21a, b, c.
III.3.: 4.2.4a, b, c; 4.2.11a, d; 4.2.12a, b, g; 4.2.13a, c.
4.1.21. Cơ sở trực chuẩn gồm toàn các vectơ riêng (푒 , 푒 , … , 푒 ).
a) 1 00 3 , 푒 =
√(1,−1), 푒 =
√(1,1);
b) 9 0 00 18 00 0 −9
, 푒 = (2,2,1), 푒 = (2,−1,−2), 푒 = (1,−2,2);
c) 9 0 00 9 00 0 27
,
푒 =1√2
(1,1,0), 푒 =1√18
(1,−1,−4), 푒 =13
(2,−2,1);
4.2.4. a)
(i) 휆 = 1,2,5; 푒 =√
(0,1,1), 푒 =√
(1,−1,1),
푒 =√
(2,1,−1), tương ứng 푄(푥) = 푡 + 2푡 + 5푡 ;
(ii) 퐶 =√
0 √2 2√3 −√2 1√3 √2 −1
;
(iii) Xác định dương; (iv) max‖ ‖ 푄(푥) = 5tại ± 푒 , min‖ ‖ 푄(푥) = 1tại ± 푒 ;
(v) Elipxoit với các bán trục 1,√
,√
.
b)
(i) 휆 = 휆 = −3, 휆 = 6; 푒 =√
(1,0,−1), 푒 =√
(1,−4,1),
푒 = (2,1,2) tương ứng 푄(푥) = −3푡 − 3푡 + 6푡 ;
(ii) 퐶 =√
3 1 2√20 −4 √23 1 2√2
;
61
(iii) Không xác định : 푄(푒 ) = −3 < 0 < 푄(푒 ) = 6; (iv) max‖ ‖ 푄(푥) = 6tại ± 푒 , min‖ ‖ 푄(푥) = −3tại ± 푒 , ; (v) Hypeboloit hai tầng tròn xoay trục 푡 .
c)
(i) 휆 = 0, 휆 = 2, 휆 = 3; 푒 =√
(1,0,−1), 푒 =√
(1,0,1),
푒 = (0,1,0), tương ứng 푄(푥) = 2푡 + 3푡 ;
(ii) 퐶 =√
1 1 00 0 √2−1 1 0
;
(iii) Dương nhưng không xác định dương: 푞(푥) ≥ 0,푄(푒 ) = 0; (iv) max‖ ‖ 푄(푥) = 3tại ± 푒 , min‖ ‖ 푄(푥) = 0tại ± 푒 ; (v) 푄(푥) = 1 chính tắc là mặt trụ elip trục 푡 .
4.2.11. a) (−1,1),elip;
b) ,− , hypebol;
c) (1,−2), hypebol; Gợi ý: Tâm đối xứng của đường cong bậc hai
푎 푥 + 2푎 푥푦 + 푎 푦 + 2푎 푥 + 2푎 푦 + 푎 = 0 trong trường hợp 퐽 =
푎 푎푎 푎 ≠ 0 là 퐼 (푥 , 푦 ) thỏa mãn hệ phương trình
푎 푥 + 푎 푦 + 푎 = 0푎 푥 + 푎 푦 + 푎 = 0
d) −1, , 0 , hypeboloit một tầng;
4.2.12. a) Phương trình chính tắc: 2푋 + 푌 = 1, elip với hệ trục chính tắc
IXY, trong đó 퐼(−1,1); hệ cơ sở trực chuẩn chính tắc (푒′ , 푒′ ); 푒′ =
√,√
, 푒′ = −√
,√
, biến đổi đưa về chính tắc
⎩⎨
⎧푥 =푋 − 푌√2
− 1
푦 =푋 + 푌√2
+ 1(1)hay
푥푦 = 퐶 푋
푌 + −11 ;
62
trong đó 퐶 = √−
√
√ √
là ma trận của phép quay một góc 훼 = và cũng là ma
trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn ban đầu sang cơ sở chính tắc. Theo (1) để nhận được hệ trục chính tắc đầu tiên tịnh tiến 푥푂푦 → 푥′퐼푦′ sau đó quay một góc đến 푋퐼푌.
b) Phương trình chính tắc: 2푋 − 푌 = 1, hypebol trục IY, hệ trục chính tắc IXY, trong đó 퐼(1,−2); hệ cơ sở trực chuẩn chính tắc (푒′ , 푒′ ); 푒′ =
,− √ , 푒′ = √ , , biến đổi đưa về chính tắc
⎩⎪⎨
⎪⎧ 푥 =
푋 + √3푌2
+ 1
푦 =−√3푋 + 푌
2− 2
(2)hay푥푦 = 퐶 푋
푌 + 1−2 ;
trong đó 퐶 =√
− √ là ma trận của phép quay một góc 훼 = − và cũng là
ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn ban đầu sang cơ sở chính tắc. Theo (2) để nhận được hệ trục chính tắc đầu tiên tịnh tiến 푥푂푦 → 푥′퐼푦′ sau đó quay một góc 훼 = − đến 푋퐼푌. g) Phương trình chính tắc: 푋 = 2푌- parabol trục IY, hệ trục tọa độ chính tắc
XIY; với 퐼(2,1). Hệ cơ sở trực chuẩn chính tắc (푒′ , 푒′ ); 푒′ =
,− , 푒′ = , ứng với các trị riêng 휆 = −25, 휆 = 0. Biến đổi đưa về
chính tắc : Đầu tiên quay một góc –훼 với 푠푖푛훼 = , 푐표푠훼 = (cùng kim đồng hồ
) với ma trận trực giao 퐶 = 4 3−3 4 =
cos(−훼) −푠푖푛(−훼)푠푖푛(−훼) cos(−훼) sau đó tịnh
tiến đến 푂 (1,2). Gộp lại ta được đổi biến tổng hợp
⎩⎨
⎧ 푥 =4푥 + 3푦′
5=
4(푋 + 1) + 3(푌 + 2)5
=4푋 + 3푌
5+ 2
푦 =−3푥 + 4푦′
5=−3(푋 + 1) + 4(푌 + 2)
5=−3푋 + 4푌
5+ 1
(7)
Theo (7) ta lại có thể thực hiện biến đổi theo thứ tự ngược lại so với trên đó là:
đầu tiên tịnh tiến 푥푂푦 → 푥′퐼푦′ sau đó quay một góc −훼 đến 푋퐼푌.
63
4.2.13. Gợi ý:
a) − + + = 1: hypeboloit một tầng trục IX; 퐼(6,3,3),hệ trục
tọa độ trực chuẩn chính tắc IXYZ, cơ sở trực chuẩn chính tắc 푒′ = (2,2,1),
푒′ = (−2,1,2), 푒′ = (1,−2,2) ứng với các trị riêng 휆 = −1, 휆 = 2,
휆 = 5. Biến đổi trực giao 푥푦푧
= 퐶푥′푦′푧′
sau đó tịnh tiến 푥′푦′푧′
=푋 + 7푌 − 1푍 + 2
,trong đó
C là ma trận có các cột được thành lập theo thứ tự từ các cột tọa độ của 푒′ , 푒′ , 푒′ :
퐶 =13
2 −2 12 1 −21 2 2
.
b) − + + = 1: hypeboloit hai tầng trục IX; 퐼 2,√2,−√2 ,hệ
trục tọa độ trực chuẩn chính tắc IXYZ, cơ sở trực chuẩn chính tắc
푒′ =√
(0,−1,1), 푒′ = (1,0,0), 푒′ =√
(0,1,1) ứng với các trị riêng
휆 = −1, 휆 = 1, 휆 = 5.
Biến đổi trực giao 푥푦푧
= 퐶푥′푦′푧′
sau đó tịnh tiến 푥′푦′푧′
=푋 − 2푌 + 2푍
,trong đó C là
ma trận thành lập theo thứ tự từ các cột tọa độ của 푒′ , 푒′ , 푒′ :
퐶 =1√2
0 1 0−1 0 11 0 1
.
c) + + = 1: elipxoit, hệ trục tọa độ trực chuẩn chính tắc IXYZ,
퐼 , ,−4 , cơ sở trực chuẩn chính tắc 푒′ = 3√2, 4√2,−5√2 ,
푒′ = (−8,6,0), 푒′ = 3√2, 4√2, 5√2
ứng với các trị riêng 휆 = 5, 휆 = 10, 휆 = 15; Biến đổi trực giao 푥푦푧
= 퐶푥′푦′푧′
64
sau đó tịnh tiến 푥′푦′푧′
=푋 + 3√2
푌푍 − √2
,trong đó C là ma trận có các cột được thành
lập theo thứ tự từ các cột tọa độ của 푒′ , 푒′ , 푒′ :
퐶 =1
10
3√2 −8 3√24√2 6 4√2−5√2 0 5√2
.
65
Bài 20.
Bài tập: GTr2, III.3 (tiếp 1 tiết): 4.2.14a,b.
4.2.14. a) −푋 + 푌 + 푍 = 0: Nón tròn xoay trục OX. Hệ trục tọa độ trực
chuẩn chính tắc OXYZ; Cơ sở trực chuẩn chính tắc 푒′ =√
(1,1,0),
푒′ =√
(−1,1,0), 푒′ = (0,0,1) ứng với các trị riêng 휆 = 1, 휆 = 휆 = −1.
Vectơ chỉ phương của nón chính tắc là 푒′ . Biến đổi trực giao với ma trận
퐶 =1√2
1 −1 01 1 00 0 √2
; 푥푦푧
= 퐶푋푌푍
.
b) 푍 = 5푋: mặt trụ parabol trục OY. Giải: Trị riêng: 휆 = 휆 = 0, 휆 = 1, các vectơ riêng tương ứng 푒′ =(푐표푠훼, 푠푖푛훼, 0), 푒′ = (−푠푖푛훼, 푐표푠훼, 0), 푒′ = (0,0,1). Quay quanh trục OZ theo công thức
푥푦푧
=푐표푠훼 −푠푖푛훼 0푠푖푛훼 푐표푠훼 0
0 0 1
푋푌푍
.
Thế vào phương trình đã cho 푧 = 3푥 + 4푦 ta được 푍 − 푋(3푐표푠훼 + 4푠푖푛훼) + 푌(3푠푖푛훼 − 4푐표푠훼) = 0. Chọn 훼 sao cho 3푠푖푛훼 − 4푐표푠훼 = 0 hay 푠푖푛훼 = , 푐표푠훼 = ta sẽ được phương trình chính tắc
푍 = 5푋. Như vậy cơ sở 푒′ = (3,4,0), 푒′ = (−4,3,0), 푒′ = (0,0,1) là cơ sở trực chuẩn chính tắc, hệ tọa độ chính tắc OXYZ.□ Kiểm tra chương 3: 2 tiết.
Hà Nội
22/ 5- 2012
Giáo trình, tài liệu tham khảo TT Tên giáo trình, tài liệu Tình trạng giáo trình, tài liệu 1 Giáo trình:
1. Đại số tuyến tính, Nguyễn Xuân Viên, HVKTQS - 1996 2. Bài tập ĐSTT và HHGT, Nguyễn Xuân Viên, Nguyễn Hoài Anh,
Có ở thư viện (website) Có Có
Giáo viên hoặc khoa có
Đề nghị mua mới
Đề nghị biên soạn mới
66
Nguyễn thị Thanh Hà, Nxb QĐND - 2010 3. Линейная алгебра, Ильин В.А., Позняк Э.Г., Наука – Москва 1999.
GV có
2 Tài liệu tham khảo: 1. Linear Algebra with Application, J. T. Scheick, Graw- Hill-1997 2. Аналитической геометрии и Линейной алгебры, Беклемешев Д.В., Высшая школа – Москва 1998. 3.Линейная алгебра и её применения, Г.Стренг, Мир- Москва 1980.
GV có GV có bản điện tử tiếng Nga nt
