Kef 4o Perigrafiki Statistiki

8/18/2019 Kef 4o Perigrafiki Statistiki

1/10

Μαθηματικά Β Γυμνασίου Γεωμετρία

Κεφάλαιο 4ο


4.1. Βασικές έννοιες της στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

τατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που συγκεντρώνειστοιχεία, τα ταινομεί και τα παρουσιά!ει σε κατάλληλη μορφ",ώστε να μπορο#ν να αναλυθο#ν και να ερμηνευτο#ν για τηνευπηρ$τηση διαφ%ρων σκοπών&

Πληθυσμός ονομά!εται το σ#νολο των στοιχείων το οποίοεετά!ουμε ως προς $να " περισσ%τερα χαρακτηριστικά&

!ετα"λητή ονομά!εται το χαρακτηριστικ% ως προς το οποίοεετά!εται $νας πληθυσμ%ς&

#τομα ονομά!ονται τα στοιχεία του πληθυσμο#

Δείγμα είναι $να υποσ#νολο 'μ$ρος( του πληθυσμο#

Πλήθος " !έγεθος δείγματος ονομά!εται ο αριθμ%ς των ατ%μωντου δείγματος

$ντι%&οσ'%ευτικό (είγμα ονομά!εται αυτ% που γίνεται μετ$τοιο τρ%πο ώστε τα συμπεράσματα να μπορο#ν να γενικευτο#νγια το σ#νολο του πληθυσμο#&

Δειγματολη)ία " (ημοσκό%ηση είναι η τεχνικ" της επιλογ"ςεν%ς δείγματος, ώστε το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικ%&

$%ογ&αφή ονομά!ουμε την ε$ταση %λου του πληθυσμο# ως προς$να " περισσ%τερα χαρακτηριστικά&

)σκ"σεις'*( +α υπολογίσετε

'α( το -. του /0'1( το 20. του *20

'γ( το 3-. του *0'δ( το -. του 320'ε( το *-. του 3&000

'2( 5ο αθλητικ% σωματείο 6Γ&7&8&7& )ριστοτ$λης9 $χει τμ"ματαχειροσφαίρισης καλαθοσφαίρισης και σκάκι& 8ίναι εγγεγραμμ$να3-0 αγ%ρια και *-0 κορίτσια& 7το τμ"μα χειροσφαίρισης είναιεγγεγραμμ$να */- παιδιά&'α( :οιο είναι το ποσοστ% των αγοριών σ; αυτ%ν τον αθλητικ%σ#λλογο<'1( :οιο είναι το ποσοστ% των παιδιών που παί!ουν μπάσκετ<

7ελίδα * απ% *0


2/10


Κεφάλαιο 4ο '3( 5ο παρακάτω εικον%γραμμα μας πληροφορεί για τον αριθμ% τωναυτοκιν"των που πο#λησε μια αντιπροσωπεία αυτοκιν"των τα $τη200=, 200>, 20*0, 20** και 20*2&

4.*. +&αφικές %α&αστάσεις

:ολλ$ς φορ$ς θ$λουμε να παρουσιάσουμε στατιστικά στοιχεία ταοποία $χουμε συγκεντρώσει απ% την ε$ταση κάποιου πληθυσμο# "δείγματος ως προς μια " περισσ%τερες μετα1λητ$ς& ? παρουσίασητων στοιχείων αυτών μπορεί να γίνει με γραφικ$ς παραστάσεις'(ιαγ&άμματα( δηλαδ" εικ%νες " σχ"ματα, %που φαίνονται μεσ#ντομο και εντυπωσιακ% τρ%πο οι πληροφορίες που $χουμεσυγκεντρώσει&

8ίδη γραφημάτων που χρησιμοποιο#με στη 7τατιστικ"

*( 8ικον%γραμμα2( @α1δ%γραμμα3( Κυκλικ% διάγραμμα4( Aρον%γραμμα

,ικονογ&άμματα είναι ταδιαγράμματα στα οποία οιπληροφορίες δίνονται με τηνεπανάληBη της εικ%νας τουαντικειμ$νου στο οποίοαναφερ%μαστε&

)γορ$ς αυτοκιν"των200=

200>

20*0

20**

C*&000 αυτοκίνητα

ίτλος (ιαγ&άμματος είναι η πρ%ταση που μας κατατοπί!ει για τοείδος και τη μετα1λητ" της $ρευνας&

Κλίμακα εικονογ&άμματος ονομά!ουμε τον αριθμ% τωναντικειμ$νων που παριστάνει η εικ%να&

ίτλος στήλης " γ&αμμής ονομά!ουμε το %νομα της τιμ"ς τηςμετα1λητ"ς&

7ε κάθε εικον%γραμμα πρ$πει να υπάρχει ο τίτλος, η κλίμακα και οτίτλος κάθε στ"λης&

α"(ογ&άμματα είναι τα διαγράμματα τα οποία οι πληροφορίεςδίνονται με ορθογώνια " ε ευθ#γραμμα τμ"ματα 'ρά1δους(& 5α ορθογώνια εν%ς ρα1δογράμματος μπορεί να είναι τοποθετημ$νακάθετα " ορι!%ντια&

ίτλοι α/όν'ν είναι αυτοί που μας δείχνουν τι παριστάνουν οι δ#οάονες&

7ελίδα 2 απ% *0


3/10



7ε κάθε ρα1δ%γραμμα πρ$πει να υπάρχει ο τίτλος, η κλίμακα και οιτίτλοι των α%νων&

Κυκλικά (ιαγ&άμματα είναι αυτά που το δείγμα παριστάνεται με$να κ#κλο και οι τιμ$ς της μετα1λητ$ς παριστάνονται με κυκλικο#ςτομείς διαφορετικο# χρώματος&

Για τον υπολογισμ% της γωνίας θ εν%ς κυκλικο# τομ$αχρησιμοποιο#με τον τ#πο

= × οτιμημεταβλητηςθ 360

μεγεθοςδειγματος

Για τον υπολογισμ% της τιμ"ς της μετα1λητ"ς %ταν γνωρί!ουμε τηγωνία θ εν%ς κυκλικο# τομ$α χρησιμοποιο#με τον τ#πο



4/10


Κεφάλαιο 4ο ×

=ο

θμεγεθοςμεταβλητητιμημεταβλητης

360

0&ονογ&άμματα είναι τα διαγράμματα που παριστάνουν τηνε$λιη εν%ς φαινομ$νου σε διάφορες χρονικ$ς στιγμ$ς&

)σκ"σεις'*( 5ο παρακάτω εικον%γραμμα παρουσιά!ει την κατοχ" σκυλιώνκατά την εαετία 200*D200 στη π%λη των 7ερρών&


ο135

ο112,5

ο67,5

ο45


5/10



*1 ** *2 *4 *3 *C-00 σκυλιά

'α( :οιο $τος είχε τη μεγαλ#τερη κατοχ" σκυλιών<) Β Γ E

200* 200- 2002 200 '1( :οιο $τος είχε τη μικρ%τερη κατοχ" σκυλιών<

) Β Γ E200* 2004 200- 200

'γ( ? μεγαλ#τερη μείωση στη κατοχ" σκυλιών "ταν το $τος) Β Γ E

2003 2004 200- 200'γ( ? μεγαλ#τερη α#ηση στη κατοχ" σκυλιών "ταν το $τος

) Β Γ E2003 2004 200- 2002

'δ( ? συνολικ" κατοχ" σκυλιών την εαετία 200*D200 σε χιλιάδεςσκυλιά "ταν

) Β Γ E*= */ * *-

'2( 7το παρακάτω κυκλικ% διάγραμμα φαίνεται πως καταν$μονταιοι *-0 μαθητ$ς των τριών τάεων του )ριστοτελείου Γυμνασίου&

Μαθητ$ς των 3 τάεων του )ριστοτελείου Γυμνασίου

'α( :οια τάη $χει περισσ%τερους μαθητ$ς<'1( Fι μαθητ$ς που αντιστοιχο#ν στη Γ Γυμνασίου είναι

) Β Γ E 840 4- -0 -- 0

'γ( 5ο ποσοστ% των μαθητών της ) Γυμνασίου είναι

) Β Γ E10,8% 30% 50% 108%

7ελίδα - απ% *0


6/10



4.2. Κατανομή συ5νοτήτ'ν και σ5ετικ6ν συ5νοτήτ'ν

Πα&ατη&ήσεις λ$γονται οι πληροφορίες που παίρνουμε απ% τηνε$ταση εν%ς δείγματος ως προς μια μετα1λητ"&

ιμές (είγματος λ$γονται οι δυνατ$ς τιμ$ς της μετα1λητ"ς τουδείγματος&

Διαλογή είναι η ανάγνωση με τη σειρά των παρατηρ"σεων και ηκαταγραφ" κάθε παρατ"ρησης με συμ1ολικ% τρ%πο, με μια γραμμ"'G( για την αντίστοιχη τιμ" της μετα1λητ"ς& 'Για ευκολία στην

καταμ$τρηση σχηματί!ουμε πεντάδες ||||( ) &

υ5νότητα είναι το πλ"θος εμφάνισης μιας τιμ"ς της μετα1λητ"ς&

Κατανομή συ5νοτήτ'ν είναι η αντιστοίχιση σ; $να πίνακα τωντιμών της μετα1λητ"ς με τις αντίστοιχες συχν%τητες&

5ετική συ5νότητα είναι το πηλίκο της συχν%τητας προς τοπλ"θος των παρατηρ"σεων πολλαπλασια!%μενο επί *00&

Πίνακας κατανομής συ5νοτήτ'ν και σ5ετικ6ν συ5νοτήτ'νείναι $νας πίνακας με στ"λες

5ιμ$ς, Eιαλογ", 7υχν%τητες, 7χετικ$ς συχν%τητες

:αρατηρ"σεις 5ο άθροισμα των συχνοτ"των ισο#ται με το πλ"θος του

δείγματος 5ο άθροισμα των σχετικών συχνοτ"των ισο#ται με *00

:αράδειγμαF αριθμ%ς των μηνυμάτων που στείλαμε τον μ"να Γενάρη, είναι

4 - 2 * - 4 0 3 4 -0 4 3 - 2 3 2 0

2 2 - 3 2 3 / 0 0* - * - 3 * 2 3 -3 2 2 4 2 - - 0 0 0

:αρατηρ"σεις είναι ο παραπάνω πίνακας αριθμών 5ιμ$ς δείγματος είναι οι αριθμοί 0, *, 2, 3, 4, -, , /

:ίνακας κατανομ"ς συχνοτ"των και σχετικών συχνοτ"των

5ιμ$ς

Eιαλογ" 7υχν%τητα 7χετικ" συχν%τητα

0 ||||GGG = ** GGGG 4 =

7ελίδα απ% *0


7/10


Κεφάλαιο 4ο 2 |||| |||| *0 203 ||||GGG = *4 |||| - *0- ||||GGG *0 20 GGGG 4 =/ G * 2

7#νολο 50 100)ν μας !ητηθεί να γίνει κυκλικ% διάγραμμα τ%τε προσθ$τουμε μιαστ"λη στην οποία συμπληρώνουμε τις μοίρες που αντιστοιχο#ν οιτιμ$ς&F υπολογισμ%ς των μοιρών γίνεται πολλαπλασιά!οντας τηνσυχν%τητα με το 30 και διαιρώντας το αποτ$λεσμα με το πλ"θοςτων συχνοτ"των&

5ιμ$ς

Eιαλογ" 7υχν%τητα 7χετικ" συχν%τητα Μοίρες

0 ||||GGG = * -/,* GGGG 4 = 2=,=2 |||| |||| *0 20 /23 ||||GGG = * -/,4 |||| - *0 3- ||||GGG *0 20 /2 GGGG 4 = 2=,=

/ G * 2 /,27#νολο 50 100 30

4.4. 7μα(ο%οίηση %α&ατη&ήσε'ν

7μα(ο%οίηση %α&ατη&ήσε'ν είναι ο χωρισμ%ς τωνπαρατηρ"σεων σε ομάδες&

Κλάσεις ονομά!ονται οι ομάδες στις οποίες χωρί!ουμε τιςπαρατηρ"σεις&

#κ&α κλάσε'ς ονομά!ονται η πρώτη και η τελευταία τιμ" τηςκλάσης&

Πλάτος κλάσεις είναι η απ%σταση των άκρων της κλάσης&

Κέντ&ο κλάσης λ$γεται το ημιάθροισμα των άκρων της κλάσης&

8στόγ&αμμα είναι το διάγραμμα που αποτελείται απ% συνεχ%μεναορθογώνια, τα οποία $χουν #Bος ίσο με τη συχν%τητα " τη σχετικ"συχν%τητα της αντίστοιχης κλάσης και πλάτος το πλάτος της

κλάσης&

7ελίδα / απ% *0


8/10


Κεφάλαιο 4ο :αρατ"ρηση7ε μια κλάση αD1 δεν συμπεριλαμ1άνεται η τιμ" 1&

:αράδειγμα

Εξετασαμε τους μαθητες ενος Γυμνασιου ως προς το βαρος τους. Τααποτελεσματα (στρογγυλοποιημενα σε κιλα) ειναι:

-3 -> 4 * 4/ 4 4/ /2-2 4* -/ - /- 0 /* 42-- =* -4 -- 42 -2 = -4-> 3 -4 4= - 0 44 -3-/ 4 3 * -- > -* -4-3 -= -- / -/ -> -3 2 4> 3 -2 43 4> -/ 2/ 43 42 0 - -> 4/ /=-> -0 -- 4 - 4/ -3 2* -* * 4* -= -3 /3 -

Η μικροτερη τιμη των παρατηρησεων ειναι 41 και η μεγαλυτερη 81.

Θεωρουμε λοιπον ανα μεγιστο πλατος απο 40 εως 82 δηλαδη μηκους 42

για να περιεχονται μεσα ολες οι παρατηρησεις.

Το 42 διαιρειτε με το 7 αρα μπορουμε να δημειουργησουμε 7 κλασεις.

Τοπλατος της κλασηςειναι 42:7=6 κιλων

Ταακρα της1ης κλασηςειναι 40 και 46

Ταακρα της2ης κλασηςειναι 46 και 52

κ.ο.κΣτην 1η κλαση τοποθετουμε οσους μαθητες ζυγιζουν 40 - 46 κιλα, στη

2η οσους ζυγιζουν 46 - 52, στην 3η 52 - 58, στην 4η 58 - 64, στην 5η

64 - 70, στην 6η 70 - 76 και στην 7η 76 - 82 κιλα. (Αν καποια

παρατηρηση συμπιπτει με το δεξιο ακρο μιας κλασης, την τοποθετουμε

στην αμεσως επομενη κλαση).

7#μφωνα με τα δεδομ$να συμπληρώνουμε τον επ%μενο πίνακακατανομ"ς συχνοτ"των

ΚλάσειςΚ$ντροκλάσης

Eιαλογ"7υχν%τητες

7χετικ$ς7υχν%τητε

ς

40 H 4 43 |||| GGG = *0.

4 H -2 4> |||| |||| GGG *3 *,2-.

-2 H -= -- |||| |||| |||| |||| |||| G 2 32,-0.

-= H 4 * |||| |||| |||| |||| |||| 20 2-.

4 H /0 / |||| GG / =,/-.

/0 H / /3 GGGG 4 -.

/ H =2 /> GG 2 2,-0.7#νολα =0 *00.

7ελίδα = απ% *0


9/10


Κεφάλαιο 4ο Iστ%γραμμα των παραπάνω ομαδοποιημ$νων παρατηρ"σεων

4.5.!έση τιμή 9 Διάμεσος

!έση τιμή '" μέσος ό&ος( εν%ς συν%λου παρατηρ"σεων είναι τοπηλίκο του αθροίσματος %λων των παρατηρ"σεων προς το πλ"θοςτων παρατηρ"σεων αυτών&

Διάμεσος εν%ς συν%λου παρατηρ"σεων 'αφο# $χουμε τοποθετ"σειτις τιμ$ς σε α#ουσα σειρά(, είναι η μεσαία παρατ"ρηση, αν το πλ"θος των παρατηρ"σεων είναι

περιττ%ς αριθμ%ς& ο μ$σος %ρος των δ#ο μεσαίων παρατηρ"σεων, αν το πλ"θος

των παρατηρ"σεων είναι άρτιος αριθμ%ς&

:αρατ"ρησηΓια να 1ρο#με τη μ$ση τιμ" μιας ομαδοποιημ$νης κατανομ"ς,εργα!%μαστε ως ε"ς*( Βρίσκουμε τα κ$ντρα των κλάσεων2( :ολλαπλασιά!ουμε το κ$ντρο κάθε κλάσης με τη συχν%τητα

αυτ"ς της κλάσης3( :ροσθ$τουμε τα παραπάνω γιν%μενα4( Eιαιρο#με το άθροισμα που 1ρ"καμε με το πλ"θος των

παρατηρ"σεων 'δηλαδ" το άθροισμα των συχνοτ"των τωνκλάσεων(

:αράδειγμα? ελάχιστη θερμοκρασία για κάθε ημ$ρα του Iανουαρίου στις7$ρρες "ταν 'σε 1αθμο#ς Κελσίου(

* 3 2 * 4 3 -/ 4 3 2 * 4/ 2 3 * * *

7ελίδα > απ% *0

J

K

L

M

N

O

P

Q

O

R

S

T

*

&

*

&

-

M

L

L

Q

,

U

U

V

V

V

&

P

K

L

M

W

O

P

Q

O

R

S

T

&

W

O

P

α ρ ι θ μ ό ς μ α θ η τ ώ ν

( σ υ χ ν ό τ η τ ε ς )

J K L M N O P Q O R S T * & * & -

M L L Q U U V V V & P K L M W O P Q O R S T & W O P

κιλά


10/10


Κεφάλαιο 4ο * 2 2 2 3 - /

'α( +α γίνει κατανομ" συχνοτ"των'1( +α υπολογιστεί η μ$ση τιμ" και η διάμεσος των θερμοκρασιών

X#ση'α( 5ιμ" Eιαλογ" 7υχν%τητα 5ιμ" χ

7υχν%τητα* IIIIII / /2 IIIII *23 IIII - *-4 III 3 *2- II 2 *0 IIII - 30/ III 3 2*

7#νολο 31 107

'1(

ο107Μεσητιμη 3,531

= <

Για να 1ρο#με τη διάμεσο, γράφουμε τις θερμοκρασίες με α#ουσα

σειρά

*, *, *, *, *, *, *, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, -, -, , , , , , /, /, /

8πειδ" το πλ"θος είναι 3* 'περιττ%ς αριθμ%ς( η διάμεσος είναι ημεσαία παρατ"ρηση, δηλαδ" η *η παρατ"ρηση& 7υνεπώς

oδιαμεσος 3=

7ελίδα *0 απ% *0

Documents

Kef 4o Perigrafiki Statistiki