Kompetensi Dasar Mendeskripsikan Macam-macam MatriksTujuan Kegiatan Belajar I Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat:1.Menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks.2.Membedakan jenis-jenis matriks3.Menyelesaikan soal berkaitan dengan kesamaan dua matriks.4.Menentukan transpose suatu matriks.Ayo Ingat Kembali

Perhatikanlah tabel di bawah ini dan jawablah pertanyaannya dengan benar.Siswa Laki-laki

Siswa PerempuanKelas X AK 1 10 22Kelas X AK 2 8 24

1. Berapa jumlah siswa laki-laki di kelas X AK 1?Jawab: ………………………………………………………2. Berapa jumlah siswa perempuan di kekas X AK 2?Jawab: ………………………………………………………3. Informasi tentang jumlah siswa laki-laki dikelas X AK 2 dapat kalian temukan pada baris ……… kolom ……….

Materi matriks adalah salah satu kompetensi yang harus dipelajari oleh siswa Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas X. Penerapan dari materi matriks banyak ditemukan dalam

kehidupan sehari-hari. Gambar ilustrasi diatas merupakan kegiatan harian perbankan yang didalamnya terdapat proses transaksi para nasabah. Dalam kegiatan perbankan tersebut para nasabah sering menemukan suatu data yang disajikan dalam bentuk daftar, seperti daftar bunga, daftar konversi mata uang dan daftar-daftar yang lain. Daftar tersebut biasanya dibuat berbentuk tabel agar data mudah dibaca dan dimengerti. Agar data lebih sederhana lagi sehingga pengolahan data lebih mudah, tabel juga sering disajikan dalam bentuk matriks. Selain kegiatan perbankan, dapat juga kita jumpai data dalam bentuk tabel dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya data jumlah siswa suatu sekolah, data penjualan barang

1. Pengertian Matriks

Sumber: mforum.cari.com.mySumber: www.bareksa.com

Baris ke-2Baris ke-3Kolom ke -1 Kolom ke -2

di swalayan, data sensus penduduk di Indonesia dan lain sebagainya. Agar mudah dibaca dan dimengerti data tersebut juga disajikan dalam bentuk tabel. Sebagai langkah awal untuk memahami pengertian matriks, disajikan data banyak siswa laki-laki dan perempuan di SMK Nurul Falah Pekanbaru dalam Tabel 1 berikut:Tabel 1.Jumlah siswa SMK Nurul Falah Pekanbaru TA 2015/2016No Kelas Laki-laki Perempuan1 X 53 1382 XI 36 963 XII 134 134

Jika data pada Tabel 1 di atas dituliskan hanya angka-angkanya saja dan dituliskan di dalam kurung buka dan kurung tutup, maka susunan bilangan tersebut dinamakan matriks.Dapat dituliskan,[ 53 138

36 96134 134]

Baris matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. Ayo perhatikan lagi contoh selanjutnya, disajikan data keadaan absensi kelas X dalam Tabel 2 berikut.Tabel 2. Keadaan absensi kelas X tanggal 4 januari 2015Kelas Sakit (s) Izin (i) Alpha (a)

KolomBaris

Baris ke-1

Baris ke-1Baris ke-2 Baris ke-3Kolom ke-1 Kolom ke-2Kolom ke-1 Kolom ke-3

X AKX TN

X TKJ

100

002

210

Sama halnya dengan contoh sebelumnya, jika data pada Tabel 2 di atas hanya ditulis angka-angkanya saja dan dituliskan di dalam kurung buka dan kurung tutup, maka susunan bilangan tersebut dinamakan matriks. Dapat dituliskan,[1 0 20 0 10 2 0 ]

Selanjutnya untuk menyatakan matriks pada media ini digunakan tanda kurung siku “[ ]”. Berikut akan dibahas mengenai notasi matriks, elemen suatu matriks, dan ordo matriks.Suatu matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan

seterusnya. Sebagai contoh,

A = [2 43 −25 7 ] B = [5 4 −1

3 6 2 ] C = [4 −32 0 ]

KolomBaris

Jadi, matriks adalah susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang dan diatur menurut baris dan kolom, dituliskan di dalam dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ].

2. Notasi Matriks

3. Elemen Suatu

Baris ke-1Baris ke-iBaris ke-2

Kolom ke-jKolom ke-2Kolom ke-1

Setiap bilangan atau huruf dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks. Elemen suatu matriks dapat berupa bilangan atau berupa huruf. Setiap elemen ditentukan dengan menyatakan baris dan kolom yang memuat bilangan atau huruf dalam suatu matriks. Perhatikan matriks A di bawah ini.

A = [2 43 −25 7 ]

Elemen-elemen pada kolom pertama matriks A adalah bilangan 2, -3, dan 5. Elemen-elemen pada baris ketiga matriks A adalah bilangan 5 dan 7. Bilangan 4 merupakan elemen baris pertama kolom kedua.

Bentuk umum suatu matriks adalah sebagai berikut.A = [a11 a12 …

a21 a22 …… … …a i1 ai2 …

a1 j

a2 j

…a ij

]Elemen suatu matriks dinotasikan menggunakan huruf kecil nama matriks, misalnya 𝑎. Indeks pertama (𝑖) menyatakan baris dan indeks kedua (𝑗) menyatakan kolom. Sebagai contoh, 𝑎12 menunjukkan elemen baris ke-1 kolom ke-2, 𝑎21 menunjukkan elemen baris ke-2 kolom ke-1, dan seterusnya.

4. Ordo Matriks

Ordo suatu matriks adalah banyaknya baris diikuti banyaknya kolom dari suatu matriks. Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom. Sebagai contoh,A = [ 3 2 1 ] B = [5 −3

2 0 ] C = [2 41 −25 7 ]

Matriks A terdiri dari 1 baris dan 3 kolom, maka dapat dikatakan matriks A

berordo 1 x 3 (dibaca satu kali tiga) dapat dituliskan A1x3.

Matriks B terdiri dari 2 baris dan 2 kolom, maka dapat dikatakan matriks B

berordo 2 x 2 (dibaca dua kali dua) dapat dituliskan B2x2.

Matriks C terdiri dari 3 baris dan 2 kolom, maka dapat dikatakan matriks C

berordo 3 x 2 (dibaca tiga kali dua) dapat dituliskan C3x2.

Contoh Soal 1:Berikut diberikan data peminjaman buk perpustakaan oleh siswa-siswa SMK Nurul Falah Pekanbaru pada hari Senin, 20 Januari 2014.

Tabel 3.Banyaknya peiminjaman buku perpustakaan SMK Nurul Falah PekanbaruKelas X Kelas XI Kelas XIIBuku Matematika 26 20 8Buku Akuntansi 21 15 6

a. Nyatakan data pada Tabel 3 di atas dalam bentuk matriks dan berilah notasi pada matriks tersebut.b. Berapakah banyak baris dan kolom dari matriks tersebut?c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.e. Sebutkan elemen pada baris kedua kolom kedua.f. Terletak pada baris dan kolom berapakah elemen 15?g. Berapakah banyaknya elemen pada matriks tersebut?h. Berapakah ordo dari matriks tersebut?Penyelesaian:a. Data pada Tabel 3 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, misalnya dinotasikan matriks A.

Ditinjau dari banyaknya baris dan kolom (ordo), suatu matriks dapat diklasifikasi sebagai berikut.a. Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh,M = [0 0 0] N = [1 2 3 4 ] P = [0 1 5 9 4]Matriks M berordo 1 × 3, matrik N berordo 1 × 4, dan matriks P berordo1 × 5. Matriks M, N, dan P di atas terdiri dari satu baris sehingga disebut sebagai matriks baris.b. Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh,

5. Jenis-jenis Matris

Contoh Soal 1:Berikut diberikan data peminjaman buk perpustakaan oleh siswa-siswa SMK Nurul Falah Pekanbaru pada hari Senin, 20 Januari 2014.

Tabel 3.Banyaknya peiminjaman buku perpustakaan SMK Nurul Falah PekanbaruKelas X Kelas XI Kelas XIIBuku Matematika 26 20 8Buku Akuntansi 21 15 6

a. Nyatakan data pada Tabel 3 di atas dalam bentuk matriks dan berilah notasi pada matriks tersebut.b. Berapakah banyak baris dan kolom dari matriks tersebut?c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.e. Sebutkan elemen pada baris kedua kolom kedua.f. Terletak pada baris dan kolom berapakah elemen 15?g. Berapakah banyaknya elemen pada matriks tersebut?h. Berapakah ordo dari matriks tersebut?Penyelesaian:a. Data pada Tabel 3 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, misalnya dinotasikan matriks A.

R = [02] S = [125] T = [42

−105

]Matriks R berordo 2 × 1, S berordo 3 × 1, dan T berordo 5 × 1. Matriks R, S, dan T di atas terdiri dari satu kolom sehingga disebut sebagai matriks kolom.c. Matriks persegiMatriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Dengan kata lain, matriks persegi adalah matriks berordo 𝑛 × 𝑛, dengan 𝑛 adalah banyaknya baris dan kolom pada matriks. Pada matriks persegi berordo 𝑛 × 𝑛, elemen-elemen 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 , … , 𝑎nn terletak pada diagonal utama.Contoh,A = [−2 3

8 6 ] B = [5 0 −22 7 46 9 1 ] C = [1 1 32

5 6 418 2 030 4 16

] Matriks 𝐴 berordo 2×2, matriks 𝐵 berordo 3×3, dan matriks 𝐶 berordo 4×4. Banyaknya baris dan kolom pada masing-masing matriks 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 adalah sama, sehingga matriks 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 disebut matriks persegi. Pada matriks A, elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama adalah -2 dan 6. Pada matriks B, elemenelemen yang terletak pada diagonal utama adalah 5, 7, dan 1. Pada matrik C, elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama adalah 1, 6, 0, dan 6. Ditinjau dari elemen-elemen penyusunnya, suatu matriks dapat diklasifikasi sebagai berikut.a. Matriks NolMatriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah nol. Matriks nol dinotasikan dengan O. Sebagai contoh,

A = [0 00 0] B = [0 0 0

0 0 00 0 0 ] C = [0 0

0 00 0]

Semua elemen pada matriks 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah nol, sehingga matriks 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 disebut matriks nol.b. Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah dan di atas diagonal utama bernilai 0.Sebagai contoh,A = [2 0

0 9] B = [1 0 00 6 00 0 4] C = [1 0 0 0

0 6 0 00 0 9 00 0 0 6

]c. Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol. Matriks identitas dapat juga didefinisikan sebagai matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. Matriks identitas disimbolkan 𝐼. Sebagai contoh,I = [1 0

0 1] I = [1 0 00 1 00 0 1 ] I = [1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 01

]d. Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Pada matriks segitiga atas, elemen diagonal utama dan elemen di atas diagonal utama tidak boleh semuanya nol. Sebagai contoh,

A =[3 60 8] B = [4 5 1

0 2 90 0 6] C = [4 2 31

0 1 520 0 3 90 0 0 8

] e. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Pada matriks segitiga bawah, elemen diagonal utama dan elemen di bawah diagonal utama tidak boleh semuanya nol. Sebagai contoh,

D = [2 01 5] E = [4 0 0

1 5 03 8 7] F = [7 0 00

3 1 001 5 004 2 60

]

Bagaimana dua matriks dikatakan sama? Untuk mengetahui pengertian dan syarat kesamaan dua matriks, perhatikan matriks-matriks di bawah ini.

6. Kesamaan Matriks

Contoh Soal: Termasuk jenis apakah matriks-matriks di bawah ini? Jelaskan.

a. A = [ 0 2 0 ] d. D = [1 7 2 13 −2 5 44 0 2 76 5 −1 6

]b. B = [000

0] e. E = [1 0 0

0 1 00 0 1 ]

c. C = [3 0 00 2 00 0 3 ]

Penyelesaian:a. Matriks A terdiri dari satu baris, maka matriks A disebut matriks barisb. MatriksMatriks B terdiri dari satu kolom, maka matriks B disebut matriks kolom. Semua elemen dari matriks B adalah nol, maka matriks B disebut matriks nol. Jadi, matriks B merupakan matriks kolom dan matriks nol.c. Matriks C merupakan matriks persegi yang berordo 3 × 3 dan semua elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai 0, maka matriks C merupakan matriks diagonal.d. Matriks D merupakan matriks persegi yang berordo 4 × 4.e. Matriks E merupakan matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol, maka matriks E disebut matriks identitas.

A = [2 48 3] B = [ 10

5123

8 3 ] C = [4 1 95 0 3] D = [3 6 4

2 0 3] Perhatikan matriks 𝐴 dan matriks 𝐵. - Elemen-elemen pada baris pertama matriks A adalah 2 dan 4 sedangkan pada baris kedua adalah 8 dan 3. - Elemen-elemen pada baris pertama matriks B adalah 10

5= 2

dan 123

= 4 sedangkan pada baris kedua adalah 8 dan 3. - Ordo matriks 𝐴 dan ordo matriks 𝐵 sama yaitu 2 × 2 serta elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama. - Matriks A dikatakan sama dengan matriks B. Perhatikan matriks C dan matriks D- Ordo matriks 𝐶 dan matriks 𝐷 sama yaitu 2 × 3- Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) tidak sama.- Dengan demikian, matriks C tidak sama dengan matriks D.

Jadi, dua matriks dikatakan sama jika:a. ordonya samab. elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama.

Contoh Soal,1. Diketahui matriks-matriks:

A = [3 51 2] B = [2 3 0

3 1153 ] C = [3 15

3

184

] D = [2 62

0

3 1 5 ]

Contoh Soal,1. Diketahui matriks-matriks:

A = [3 51 2] B = [2 3 0

3 1153 ] C = [3 15

3

184

] D = [2 62

0

3 1 5 ]

7. Transpose Matriks

Suatu matriks terdiri dari baris dan kolom. Misalkan terdapat matriks A. Apabila elemen-elemen pada baris matriks A dijadikan elemen-elemen pada kolom matriks yang baru, matriks apakah yang terbentuk? Perhatikan ilustrasi di bawah ini.Misalkan A = [1 3 3

5 2 23 4 0], jika elemen-elemen pada baris

pertama matriks A dijadikan elemen-elemen pada kolom pertama matriks yang beru, elemen-elemen pada baris kedua dijadikan elemen-elemen pada kolom kedua matriks yang baru, dan elemen-elemen pada baris ketiga dijadikan elemen-elemen pada kolom ketiga matriks yang bau, maka diperoleh matriks baru yaitu [1 5 33 2 43 2 0 ].Matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran elemen-elemen pada baris dan kolom dinamakan transpose matriks. Transpose dari matriks A dinotasikan AT(dibaca: A transpose). Elemen-elemen pada baris matriks A menjadi elemen-elemen pada kolom matriks AT dan elemen-elemen pada kolom matriks A menjadi elemen-elemen pada baris matriks AT

Jika matriks A berordo m × n maka transpose A berordo n × m. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

Suatu matriks yang matriks transposenya sama dengan matriks awalnya -(𝐴 = 𝐴T ) dinamakan matriks simetrik atau matriks setangkup. Misalnya, A = [2 1

1 2], maka AT = [2 11 2]=¿A

Transpose dari matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen pada baris matriks A menjadi elemen-elemen pada kolom matriks yang baru.

Jika Am x n maka ATn x m

B = [1 3 43 1 14 1 1 ], maka AT = [1 3 4

3 1 14 1 1 ]= B

Contoh SoalDiketahui matriks-matriks:A = [2 −3

7 9 ] B = [4 9 20 7 63 2 1]

Tentukan:a. AT b. BTPenyelesaian:a. A = [2 −3

7 9 ] maka AT = = [ 2 7−3 9]

b. B = [4 9 20 7 63 2 1] maka AT = [4 0 3

9 7 22 6 1]