Kelipatan Dan Faktor

MODUL

KELIPATAN DAN

FAKTOR

Penyusun:

MATEMATIKA

CERIA

KELIPATAN DAN FAKTOR ”Om Wendi”

Page 1

Anggaplah Matematika Sebagai Teman | www.wendiferdintania.wordpress.com

Kelipatan Suatu Bilangan

Contoh:

1. Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 !

Penyelesaian:

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 × 2 = 2 6 × 2 = 12 11 × 2 = 22

2 × 2 = 4 7 × 2 = 14 12 × 2 = 24

3 × 2 = 6 8 × 2 = 16 13 × 2 = 26

4 × 2 = 8 9 × 2 = 18 14 × 2 = 28

5 × 2 = 10 10 × 2 = 20

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.

2. Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 !

Penyelesaian:

Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagai berikut.

1 × 5 = 5 3 × 5 = 15 5 × 5 = 25

2 × 5 = 10 4 × 5 = 20

Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah:

5, 10, 15, 20, 25.

Jika k anggota bilangan asli A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan

dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.


Page 2


3. Tentukan semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan

kelipatan 2 dan 5 !

Penyelesaian:

Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2

dan 5 adalah 10, 20.

Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut kelipatan persekutuan

dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Contoh:

1. Tentukan KPK dari 6 dan 15 !

Penyelesaian:

Kelipatan 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

Kelipatan 15 adalah 15, 30, 45, 60, ...

Kelipatan persekutuan dari 6 dan 15 adalah 30, 60, ...

Jadi, KPK dari 6 dan 15 adalah 30.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q

anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota

himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.


Page 3


2. Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4 !

Penyelesaian:

Kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...

Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ...

Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima

Untuk menentukan KPK dengan cara faktorisasi prima, kalian harus bisa

menyatakan suatu bilangan bulat positif dalam bentuk perkalian bilangan-

bilangan prima.

Contoh:

Tentukan KPK dari 90 dan 168 !

Penyelesaian:

Langkah 1: menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi

prima.


Page 4


Dari pohon faktor tesebut dapat dituliskan sebagai berikut:

90 = 2 × 32 × 5

168 = 22 × 3 × 7

Langkah 2: mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan

dengan ketentuan “jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua

bilangan, maka dipilih yang pangkat tertinggi”.

Jadi, KPK dari 90 dan 168 adalah 22 × 32 × 5 × 7 = 2.520.

Menentukan KPK dengan Pembagian Bersusun

Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan KPK dengan pembagian

bersusun, silakan perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan KPK dari 9, 15, dan 42 !

Penyelesaian:

Langkah 1: bagi ketiga bilangan tersebut secara bersusun hingga hasil

bagi semua bilangan adalah 1.


Page 5


Langkah 2: kalikan semua pembagi.

Jadi, KPK dari 9, 15, dan 42 adalah 3 × 2 × 7 × 5 × 3 = 630.

Menentukan KPK Bentuk Aljabar

Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan KPK bentuk aljabar, silakan

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan KPK dari 90a2bc3 dan 168ab3c2 !

Penyelesaian:


prima.


90 = 2 × 32 × 5

168 = 22 × 3 × 7

Sehingga diperoleh:

90a2bc3 = 2 × 32 × 5 × a2 × b × c3

168ab3c2 = 22 × 3 × 7 × a × b3 × c2


Page 6


Langkah 2: mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan

dengan ketentuan “jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua

bilangan, maka dipilih yang pangkat tertinggi”.

Jadi, KPK dari 90a2bc3 dan 168ab3c2 adalah:

22 × 32 × 5 × 7 × a2 × b3 × c3 = 2.520a2b3c3.

Faktor Suatu Bilangan

Contoh:

1. Tentukan semua faktor dari 25 !

Penyelesaian:

1 × 25 = 25 5 × 5 = 25

Jadi semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

2. Tentukan semua faktor dari 30 !

Penyelesaian:

1 × 30 = 30 2 × 15 = 30 3 × 10 = 30 5 × 6 = 30

Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada

bilangan lain yang habis membagi 30. Maka, semua faktor dari 30

adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli

yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama

dengan k .


Page 7


3. Tentukan semua faktor dari 25 dan 30 !

Penyelesaian:

Faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30.

Jadi, faktor dari 25 dan 30 adalah 1 dan 5.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Contoh:

1. Tentukan FPB dari 25 dan 30 !

Penyelesaian:



Tampak bahwa faktor dari 25 dan 30 adalah 1 dan 5.

Jadi, FPB dari 25 dan 30 adalah 5.

FPB dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang

merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut.


Page 8


2. Tentukan FPB dari 9, 15, dan 24 !

Penyelesaian:


Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, dan 15.


Tampak bahwa faktor dari 9, 15, dan 24 adalah 1 dan 3.

Jadi, FPB dari 9, 15, dan 24 adalah 3.

Menentukan FPB dengan Faktorisasi Prima

Untuk menentukan FPB dengan cara faktorisasi prima, kalian harus bisa

menyatakan suatu bilangan bulat positif dalam bentuk perkalian bilangan-

bilangan prima.

Contoh:

Tentukan FPB dari 90 dan 168 !

Penyelesaian:


prima.


Page 9



90 = 2 × 32 × 5

168 = 22 × 3 × 7

Langkah 2: mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-

masing bilangan dengan ketentuan “pilih pangkat yang terendah”.

Jadi, FPB dari 90 dan 168 adalah 2 × 3 = 6.

Menentukan FPB dengan Pembagian Bersusun

Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan FPB dengan pembagian

bersusun, silakan perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan FPB dari 24, 48, dan 72 !

Penyelesaian:

Langkah 1: bagi ketiga bilangan tersebut secara bersusun hingga hasil

bagi semua bilangan adalah 1.


Page 10


Langkah 2: kalikan pembagi yang habis membagi semua bilangan.

Jadi, FPB dari 24, 48, dan 72 adalah 2 × 2 × 3 = 12.

Menentukan FPB Bentuk Aljabar

Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan FPB bentuk aljabar, silakan

perhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Tentukan FPB dari 90a2bc3 dan 168ab3c2 !

Penyelesaian:


prima.


90 = 2 × 32 × 5

168 = 22 × 3 × 7

Sehingga diperoleh:

90a2bc3 = 2 × 32 × 5 × a2 × b × c3

168ab3c2 = 22 × 3 × 7 × a × b3 × c2


Page 11


Langkah 2: mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-

masing bilangan dengan ketentuan “pilih pangkat yang terendah”.

Jadi, FPB dari 90a2bc3 dan 168ab3c2 adalah:

2 × 3 × a × b × c2 = 6abc2.

Penggunaan KPK dan FPB pada Masalah Kehidupan Sehari-hari

Maulia, Dityana, dan Mila mempunyai tempat langganan bakso yang

sama, yaitu bakso Pak Manteb. Maulia membeli bakso setiap 3 hari

sekali, Dityana setiap 4 hari sekali, dan Mila setiap 2 hari sekali. Jika

pada hari ini mereka membeli bakso bersama-sama, setiap berapa hari

mereka akan membeli bakso bersama-sama lagi ?

Penyelesaian:

Untuk memecahkan permasalahan ini, kita menggunakan KPK. Karena

yang dicari adalah setiap berapa hari Maulia, Dityana, dan Mila akan

membeli bakso secara bersama-sama.

Kelipatan dari 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...

Kelipatan dari 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Tampak bahwa KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

Jadi, mereka akan membeli bakso bersama-sama setiap 12 hari.


Page 12


Pada tanggal 13 Maret 2014, secara kebetulan Lintang, Mardani, dan

Alfi bertemu di bank Mandiri. Setelah ditelusuri, ternyata Lintang

menabung setiap 25 hari sekali, Mardani setiap 20 hari sekali, dan Alfi

setiap 30 hari sekali. Pada tanggal berapakah mereka akan bertemu

lagi untuk kedua kalinya di bank Mandiri ?

Penyelesaian:

Untuk memecahkan permasalahan ini, kita menggunakan KPK. Karena

yang dicari adalah pada tanggal berapa Lintang, Mardani, dan Alfi akan

bertemu lagi untuk kedua kalinya di bank Mandiri.

Kita gunakan faktorisasi prima:


20 = 22 × 5

25 = 52

30 = 2 × 3 × 5

KPK dari 20, 25, dan 30 adalah 22 × 3 × 52 = 300

Jadi mereka akan bertemu lagi di bank Mandiri untuk kedua kalinya

setelah 300 hari lagi, yaitu pada tanggal 7 Januari 2015.

20

2 10

5 2

25

5 5

30

2 15

5 3


Page 13


Utusan anggota pramuka dari kelas VII, VIII, dan IX sebuah SMP

untuk mengikuti Perkemahan Sabtu Minggu (Persami) sebanyak 108

siswa. Utusan kelas VII sebanyak 36 siswa, kelas VIII sebanyak 42

siswa, dan kelas IX sebanyak 30 siswa. Untuk acara baris berbaris

semua utusan dibagi dalam beberapa kelompok. Tiap kelompok

merupakan campuran dari kelas VII, VIII, dan IX dengan jumlah

anggota setiap kelompok adalah sama.

a) Berapa sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk ?

b) Berapa banyak anggota tiap kelompok ?

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, kita gunakan FPB. Karena

yang dicari adalah sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk.

Kita gunakan faktorisasi prima:

42

2 21

7 3

30

2 15

5 3

36

2 18

9 2

3 3


Page 14



42 = 2 × 3 × 7

36 = 22 × 32

30 = 2 × 3 × 5

a) FPB dari 30, 36, dan 42 adalah 2 × 3 = 6

Jadi sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk adalah 6

kelompok.

b) Banyak anggota pada setiap kelompok:

108 : 6 = 18 siswa

KPK dan FPB dari dua bilangan asli A dan B adalah 72 dan 4. Tentukan

bilangan A dan B yang jumlahnya (A + B) paling besar !

Penyelesaian:

KPK (A, B) = 72 = 23 × 32

FPB (A, B) = 4 = 22

Sehingga (A × B) = KPK (A, B) × FPB (A, B) = 72 × 4 = 288

Karena FPB kedua bilangan tersebut = 22, maka salah satu bilangan

pasti memiliki faktor 22 , dan bilangan lainnya 23 (dari KPK). 32 hanya

faktor dari salah satu bilangan saja, maka bilangan yang mungkin

adalah:

Untuk dua bilangan asli p dan q berlaku:

p × q = KPK (p, q) × FPB (p, q)


Page 15


Bilangan I (A) Bilangan II (B)

22 × 32 = 36 23 = 8

22 = 4 23 × 32 = 72

Karena (A + B) kemungkinan yang paling besar, maka dua bilangan asli

(A dan B) tersebut adalah 4 dan 72.

Seorang petani apel sedang memanen apel. Dia memasukkan apel-apel

tersebut secara rapi ke dalam 10 buah kotak, dengan jumlah yang sama

untuk setiap kotaknya. Dia lupa menghitung banyak apel yang

dimasukkan ke dalam kotak ketika itu. Yang dia ingat, jika diambil 2-an

maka tersisa 1. Jika diambil 3-an dan 5-an juga tersisa 1. Petani

tersebut juga ingat kalau kapasitas maksimal untuk setiap kotaknya

adalah 50 buah. Tentukan banyak apel yang dipanen oleh petani

tersebut!

Penyelesaian:

Misalkan: (x + 1) = jumlah apel dalam sebuah kotak

Berarti untuk bilangan asli n :

(x + 1) = 2n + 1 x = 2n

(x + 1) = 3n + 1 x = 3n

(x + 1) = 5n + 1 x = 5n

Pola di atas menunjukan bahwa 2, 3, dan 5 merupakan faktor dari x.

x = 2 × 3 × 5 = 30


Page 16


Bilangan x yang mungkin adalah 30, 60, 90, ....

Karena kapasitas maksimal untuk setiap kotaknya adalah 50 buah,

maka dimbil kelipatan yang terkecil, yaitu 30.

Jumlah apel dalam setiap kotak = (x + 1) = 30 + 1 = 31.

Jadi jumlah apel yang dipanen oleh petani tersebut adalah:

31 × 10 = 310 buah apel.

Latihan Soal

1. Tentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan berikut :

a) 12 dan 20

b) 24 dan 36

c) 45, 78, dan 100

d) 64, 115, dan 230

e) 60x5y2 dan 90x3z2

f) 100b3c6d, 120a4b2d8 dan 160a2bc3

2. Pada sebuah pertunjukan sirkus, terdapat 3 buah lampu, yaitu warna

merah, kuning, dan hijau. Mula-mula ketiga lampu itu menyala

bersamaan. Kemudian lampu merah menyala setiap 3 detik, lampu

kuning menyala setiap 5 detik, dan lampu hijau menyala setiap 6 detik.

Tiap berapa detik ketiga lampu itu menyala bersamaan ?


Page 17


3. FPB dari dua bilangan asli A dan B adalah 5. Sedangkan hasil kalinya

(A × B) adalah 1000. Tentukan bilangan A dan B yang jumlahnya (A + B)

paling kecil !

4. Di suatu galaksi, 3 komet mampu dilihat dari planet Namex. Komet A

terlihat setiap 40 tahun sekali, komet B terlihat setiap 48 tahun

sekali, dan komet C terlihat setiap 60 tahun sekali. Ketiga komet

tersebut terakhir terlihat secara bersamaan pada tahun 2010. Pada

tahun berapa ketiga komet dapat terlihat secara bersamaan lagi dari

planet Namex ?

5. Utusan dari kelas X, XI, dan XII sebuah SMA untuk mengikuti

kegiatan karnaval dalam rangka hari kemerdekaan R.I. sebanyak 250

siswa. Utusan kelas X sebanyak 100 siswa, kelas XI sebanyak 90 siswa,

dan kelas IX sebanyak 70 siswa. Semua utusan dibagi dalam beberapa

kelompok untuk dibagikan tema apa yang akan digunakan. Tiap

kelompok merupakan campuran dari kelas X, XI, dan XII dengan

jumlah anggota setiap kelompok adalah sama.

a) Berapa sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk ?

b) Berapa banyak anggota tiap kelompok ?

6. Seorang peternak telur sedang memanen telur. Dia memasukkan telur-

telur tersebut secara rapi ke dalam 8 buah kotak, dengan jumlah yang

sama untuk setiap kotaknya. Dia lupa menghitung banyak telur yang


Page 18


dimasukkan ke dalam kotak ketika itu. Yang dia ingat, jika diambil 2-an

maka tersisa 1. Jika diambil 3-an, 5-an, 7-an juga tersisa 1. Peternak

tersebut juga ingat kalau kapasitas maksimal dari setiap kotaknya

adalah 300 butir. Tentukan banyak telur yang dipanen oleh peternak

tersebut!

* * * *

Documents

Kelipatan Dan Faktor