Presentasi Kalkulus 2“Luas dan Jumlah Riemann,

Integral Tentu”Oleh :

Kelompok 2

Achmad Damanhuri

Rezkhy Adami

Vaniyon Ariwinanda

Luas dan Jumlah Riemann

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖

Disini Σ (huruf besar Yunani), yang secara umum hampir sama dengan 𝑆, menyarankan

atau perintah untuk menjumlahkan semua bilangan yang ditunjukkan dalam indeks 𝑖,

𝑖 = ℤ+ dan dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda Σ dan berakhir

dengan bilangan yang ada di atas tanda Σ. Sehingga,

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛

𝑖=2

5

𝑏𝑖 = 𝑏2 + 𝑏3 + 𝑏4 + 𝑏5

𝑗=1

𝑛1

𝑗=1

1+1

2+1

3+1

4+⋯+

1

𝑛2

𝑘=1

4𝑘

𝑘2 + 1=1

12 + 1+1

22 + 1+1

32 + 1+1

42 + 1

Jika semua 𝑐 (konsonan)

𝑖=1

𝑛

𝑐𝑖 = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 +⋯+ 𝑐 = 𝑛𝑐

Maka dapat dirumuskan bahwa,

𝑖=1

𝑛

𝑐𝑖 = 𝑛𝑐

Contoh:

𝑖=1

5

2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5. 2 = 10

I. 𝑖=1𝑛 𝑐𝑎1 = 𝑐 𝑖=1

𝑛 𝑎1

II. 𝑖=1𝑛 (𝑎1 + 𝑏1) = 𝑖=1

𝑛 𝑎1 + 𝑖=1𝑛 𝑏1

III. 𝑖=1𝑛 (𝑎1 − 𝑏1) = 𝑖=1

𝑛 𝑎1 − 𝑖=1𝑛 𝑏1

Sifat-sifat Σ

Beberapa jumlah khusus,

1. 𝑖=1𝑛 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +⋯+ 𝑛 =

𝑛(𝑛+1)

2

2. 𝑖=1𝑛 𝑖2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 +⋯+ 𝑛2 =

𝑛 𝑛+1 (2𝑛+1)

6

3. 𝑖=1𝑛 𝑖3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 +⋯+ 𝑛3 =

𝑛 𝑛+1

2

2

4. 𝑖=1𝑛 𝑖4 = 14 + 24 + 34 + 44 + 54 +⋯+ 𝑛4 =

𝑛(𝑛+1)(6𝑛3+9𝑛2+𝑛−1)

30

Mencari Luas Suatu FungsiDalam hal ini kita mengambil contoh, yaitu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥2 dengan batasan dimulai dari 𝑥 =0 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑥 = 1

𝐿𝑦 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4

Mencari Luas Menurut Poligon Dalam dan Luar

𝐿 =1

4. 0 2 +

1

4.1

4

2

+1

4.1

2

2

+1

4.3

4

2

=7

32= 0.21875

Menurut polygon dalam Menurut polygon luar

𝐿 =1

4.1

4

2

+1

4.1

2

2

+1

4.3

4

2

+1

4. 1 2 =

7

32= 0.46875

0.21875 < 𝐿𝑦 < 0.46875

< <

Lebar dari interval 𝑎, 𝑏 adalah 𝑏 − 𝑎 maka lebar tiap

bagian 𝑛 adalah ∆𝑥=𝑏−𝑎

𝑛

Sehingga 𝑛 membagi interval 𝑎, 𝑏 sebanyak 𝑛 sub-interval

𝑥0 = 𝑎

𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥

𝑥2 = 𝑎 + 2∆𝑥

𝑥3 = 𝑎 + 3∆𝑥

𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛∆𝑥

𝐿𝑛 = 𝑓 𝑥1 Δ𝑥 + 𝑓 𝑥2 Δ𝑥 + 𝑓 𝑥3 Δ𝑥 +⋯𝑓 𝑥𝑛 Δ𝑥

Bagaimana jika 𝑛 → ∞ ?

L =

𝐿 = lim𝑛→∞

𝑖=1

𝑛

𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Contoh:1. Carilah jumlah Riemann dari 𝑖=3

8 1

𝑖+1= ⋯

2. Hitunglah jumlah Riemann untuk 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥, dengan 𝑎 = 0 ; 𝑏 = 3 ;𝑛 = 6 (Carilah luas menurut polygon luar) …

Contoh 1

𝑖=38 1

𝑖+1=1

3+1+1

4+1+1

5+1+1

6+1+1

7+1+1

8+1

=1

4+1

5+1

6+1

7+1

8+1

9

=2509

2520

= 0,99563492

Contoh 2Diketahui:

1) 𝑎 = 0

2) 𝑏 = 3

3) 𝑛 = 6

4) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥

𝑥1 = 0,5 ; 𝑥2 = 1 ; 𝑥3 = 1,5 ; 𝑥4 = 2 ; 𝑥5 = 2,5 ; 𝑥6 = 3

𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥

Integral Tertentu

Integral tertentu ditandai dengan batas-batas integral, yaitu 𝑎𝑏𝑓 𝑥 . Dengan

a disebut batas bawah integral, dan b disebut batas atas integral.

INTRODUCTION

Andaikan bahwa P (suatu partisi dari [a,b] yang menjadi n selang bagian), ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1, dan 𝑥𝑖 sebagaititik sampel untuk selang bagian ke-i.

∆𝑥3∆𝑥2∆𝑥1 ∆𝑥4 ∆𝑥5 ∆𝑥6

𝑎 = 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5𝑥6

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6

Titikpartisi

Titik-titik sampel

Sebuah Partisi dari [a,b] dengan Titik Sampel 𝑥𝑖

Maka anggaplah 𝑝 , disebut norma P, menyatakan panjang selang bagian yang terpanjang dari Partisi P.

DEFINISI

Definisi

Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika

lim𝑃 →0

𝑖=1

𝑛

𝑓( 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

ada, dapat dikatakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut 𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, disebut integral

tentu f dari a ke b, diberikan oleh

𝑎

𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim𝑃 →0

𝑖=1

𝑛

𝑓( 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

Secara umum 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan luas bertanda daerah yang terkurung di antara kurva y =

f(x) dan sumbu-x dalam selang [a,b], yang berarti:• tanda positif disisipkan pada luas bagian-bagian yang berada di atas sumbu x• tanda negatifdisisipkan pada luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu x

Pada symbol,

𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝐴𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ

Dapat diperlihatkan dalam:

y

x

𝐴𝑎𝑡𝑎𝑠

𝐴𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ

a b

Penghitungan Integral Tentu

Dengan mengetahui bahwa suatu fungsi terintegrasikan, maka kita bolehmenghitungnya menggunakan partisi teratur (selang bagian yang sama panjang) dan dengan mengambil titik sampel 𝑥𝑖 .

Contoh Soal

Hitunglah −23𝑥 + 3 𝑑𝑥

Penyelesaian

Buatlah Partisi selang [-2,3] menjadi nselang bagian yang sama, masing-masingpanjang ∆𝑥 = 5/𝑛. Dalam setiap selang bagian [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] gunakan 𝑥𝑖 sebagai titiksampel, maka

𝑥0 = −2

𝑥1 = −2 + ∆𝑥 = −2 +5

𝑛

𝑥2 = −2 + 2∆𝑥 = −2 + 25

𝑛

.

.

.

𝑥𝑖 = −2 + 𝑖∆𝑥 = −2 + 𝑖5

𝑛

𝑥𝑛 = −2 + 𝑛∆𝑥 = −2 + 𝑛5

𝑛= 3

Jadi, 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 + 3 = 1 + 𝑖(5

𝑛), sehingga

𝑖=1

𝑛

𝑓( 𝑥𝑖)∆ 𝑥𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑓(𝑥𝑖)∆ 𝑥𝑖

=

𝑖=1

𝑛

1 + 𝑖5

𝑛

5

𝑛

=5

𝑛

𝑖=1

𝑛

1 +25

𝑛2

𝑖=1

𝑛

𝑖

=5

𝑛𝑛 +25

𝑛2𝑛 𝑛 + 1

2

= 5 +25

21 +1

𝑛

Karena P merupakan suatu partisi tetap, 𝑃 → 0 setara dengan 𝑛 → ∞. Kita menyimpulkan bahwa

−1

3

𝑥 + 3 𝑑𝑥 = lim𝑃 →0

𝑖=1

𝑛

𝑓( 𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

= lim𝑛→∞5 +25

21 +1

𝑛

=35

2

Kita dapat memeriksa jawaban tersebut, karena integral yang diminta memberikan luas trapezium. Maka dengan

rumus luas trapesium 𝐴 =1

2𝑎 + 𝑏 ℎ memberikan

1

21 + 6 5 =

35

2.

A

𝑦 = 𝑥 + 3

−2

1

𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝐴 =35

2

Teorema Dasar Kalkulus Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

b

a

dxxf )( = F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

Sifat-sifat integral tentu1. Sifat Penambahan Selang

Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka

dxxfc

a )( = dxxf

b

a )( + dxxf

c

b )( bagaimanapun urutan a, b dan c.

Contoh :

1. dxxdxxdxx 2

1

21

0

22

0

2 2. dxxdxxdxx

2

3

23

0

22

0

2

3. dxxdxxdxx

2

1

21

0

22

0

2

1. Sifat Simetri Teorema :

Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)( dan

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka dxxfa

a

)( = 0.

Contoh :

A.

04

cos24

cos dxx

dxx

244

1.

4cos8

0

dxx

B. dxx

x

5

52

5

4 = 0

1.

2.

3.

4.

5.

Sifat-sifat Integral Tertentu

Contoh :

Hitung dxxx )64(2

1

2

Jawab :

dxxdxxdxxx

2

1

22

1

2

1

2 64)64( = 4

2

1

32

1

2

36

2

xx

= 4

3

1

3

86

2

1

2

4 = 12

LATIHAN

Latihan1. Hitunglah 0

3𝑥3 − 6𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

menggunakan rumus jumlah Rieman.

2. −24𝑥 + 4 −

1

2𝑥2 𝑑𝑥 = …

3. Diketahui𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥= 20𝑥3 + 2𝑥−3 dan 𝑓 −1 = 7.Maka carilah 1

2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = . . .

4. 𝑎112𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 = 14,maka nilai a adalah …

5. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 , maka 01𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = …

1 2 3 4 5Check the Solutions!

Diketahui:

𝑎 = 0

𝑏 = 3

dibagi sebanyak 𝑛 sub-interval

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥

𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥

𝑥0 = 0 ; 𝑥1 =3

𝑛; 𝑥2 =

6

𝑛; 𝑥3 =

9

𝑛, 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑥𝑖 =

3𝑖

𝑛

PEMBAHASAN

1.

−24𝑥 + 4 −

1

2𝑥2 𝑑𝑥

=1

2𝑥2 + 4𝑥 −

1

2.1

3𝑥3 │−2

4

=1

2𝑥2 + 4𝑥 −

1

6𝑥3 │−2

4

=1

442 + 4 ∙ 4 −

1

643 −

1

2−2 2 + 4 −2 −

1

6−2 3

= 8 + 16 −64

6− 2 − 8 +

8

6

= 18

2.

PEMBAHASAN

𝑑 𝑓 𝑥 = 20𝑥3 + 2𝑥−3

𝑓 𝑥 = 5𝑥4 − 𝑥−2 + 𝑐

𝑓 −1 = 7

= 5(−1)4− −1 −2 + 𝑐 = 7

4 + 𝑐 = 7

𝑐 = 3

Maka,𝑓 𝑥 = 5𝑥4 − 𝑥−2 + 3

1

2

5𝑥4 − 𝑥−2 + 3 dx

3.

PEMBAHASAN

Cara 1

𝑎112𝑥(𝑥2+1)2𝑑𝑥 = 14

𝑎112𝑥(𝑥4+2𝑥2 +1)2𝑑𝑥 = 14

𝑎1(12𝑥5+24𝑥3 + 12𝑥)2𝑑𝑥 = 14

2𝑥6+6𝑥4 + 6𝑥2 │𝑎1 = 14

2 1 6 + 6 1 4 + 6 1 2 − 2 𝑎 6 + 6 𝑎 4 + 6 𝑎 2 = 14

2 + 6 + 6 − 2 𝑎6 + 3𝑎4 + 3𝑎2 = 14

14 − 2 𝑎6 + 3𝑎4 + 3𝑎2 = 14

−2 𝑎6 + 3𝑎4 + 3𝑎2 = 0

𝑎6 + 3𝑎4 + 3𝑎2=0

𝑎2(𝑎4 + 3𝑎2 + 1)=0

𝑎2 = 0 ∪ 𝑎4 + 3𝑎2 + 1=0

𝑎2 = 0

4.

PEMBAHASAN

𝑎112𝑥(𝑥2+1)2𝑑𝑥 = 14

𝑢 = 𝑥2 + 1𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥6 𝑑𝑢 = 12𝑥 𝑑𝑥

𝑎

1

𝑢2 6 𝑑𝑢 = 14

6 𝑎

1

𝑢2 𝑑𝑢 = 14

6 ∙1

3𝑢3 │𝑎1 = 14

2(𝑥2 + 1)3= 14(𝑥2 + 1)3=7

( 1 2 + 1)3 − 𝑎 2 + 13= 7

8 − (𝑎2 + 1)3=7

Cara 2

(𝑥2 + 1)3=1𝑎2 + 1 = 1𝑎2= 0𝑎 = 0

PEMBAHASAN

01𝑥 − 1 𝑑𝑥 =

1

2𝑥2 − 𝑥

=1

212 − 1 −

1

202 − 0

=1

2− 1

= −1

2

=1

2

PEMBAHASAN

1

05.

THANK YOU!!

That’s all…