BAB IV PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL

IV.1 PencuplikanDalam bab-bab sebelumnya kita membahas persoalan dalam rangka analisa fungsi kontinu. Dalam banyak kasus perlu mencatat pengamatan pada titik-titik waktu diskrit, bahkan pencatatan dalam bentuk kontinu, karena untuk pengolahan dengan computer, kita perlu mendiskretkan(mendigitkan) pencatatan kontinu tersebut. Dalam bab ini kita akan membhas pencuplikan dan pengolahan cuplikan data.

=Fungsi sisir atau shah didefinisikan sebagai :

{ } =(x)(s)Yang Transformasi Fouriernya adalah fungsi sisir itu sendiri :

{ } = ()()sederetan impuls berspasi Sifat fungsi sisir dibawah similiritas adalah :

()()

Karena

] maka

= sehingga jika diambil kita perolehimpuls berspasi . Maka Transformasi Fouriernya :

F { } = ()()

Jadi : Sederetan impuls berkekuatan berspasi dalam ruang waktu menghasilkan sederetan satuan impuls berspasi dalam domain ruang frekuensi.

0F(s)-S0Scf(x) 0STinjau fungsi f(x) yang dibatasi pita pada frekuensi S0, yaitu transformasinya Fouriernya F(s) = 0 untuk

Pencuplikan suatu fungsi f(x) pada selang-selang sama dapat dipandang sebagai mengalikan fungsi f(x) dengan fungsi sisir membentuk fungsi g(x).

g (x) = f(x)x 0xf(x)

0

x

Akibat dari penculikan dapat kita lihat pada transformasi Fouriernya. Dari teorema konvolusi menyatakan bahwa perkalian dalam domain waktu adalah sama dengan konvolusi dalam domain frekuensi. Jadi karena ( maka g(x)G(s) = ( * F(s) dengan * menyatakan konvolusi.

(Karena adalah deret impuls berkekuatan satu satuan berspasi disepanjang sumbu s maka konvolusi dalam domain frekuensi akan mengulang F(s) pada setiap disepanjang sumbu s dari minus tak berhingga hingg ke plus tak berhingga.

G(s) = ( * F(s)1/-01/sJelaslah G(x) fungsi periodek dengan frekuensi .Kesimpulan : Akibat dari pencuplikan pada selang yang sama spektrumnya periodek dengan frekuensi

Suatu persoalan yang berhubungan dengan persoalan pencuplikan adalah apakah kita dapat memperoleh kembali fungsi orisinil dari data cuplikan. Jelaslah kita dapat memperoleh kembali f(x) dari g(x) jika kita dapat memperoleh F(s) dari G(s). Untuk ini kita perlu menghilangkan semua replika F(s) kembali pada yang berpusat di titik asal s=0.

g(x) f(x)Untuk ini kita kalikan G(s) dengan fungsi persegi dengan . Maka G(s) yng invers transformasi Fouriernya diberikan oleh f(x) =

Jika dua batasan dipenuh, yaitu a. F(x) dibatasi pita pada s0 dan b. Hubungan antara selang pencuplik dan batas pita s0 memenuhi , maka f(x) dapat diperoleh kembali g(x) dengan jalan mengkonvolusi fungsi cuplikan dengan fungsi penginterpolasi berbentuk .Teorema cuplikan: Suatu fungsi dicuplik pada spasi serba sama dapat diketemukan lagi dari harga-harga cuplikan asal .Jika persyaratan di atas tak dipenuhi, misalnya maka dalam domain frekuensi replika-replika F(s) saling tumpang-tindih dan kita dapat memperoleh kembali f(x) dengan mempergunakan fungsi penginterpolasi . Karena G(s) replika-replika spektra F(s) yang saling tumpang tindih.Akibat tumpang tindih adalah energi di atas fekuensi dilipat kembali dibawah dan dijumlahkan ke spektrum G(s). Perlipatan kembali energi dinamakan aliasing dan kesalahan atau perbedaan antara f(x) dengan fungsi yang diinterpolasi dinamkan kesalahan aliasing. Jika f(x) genap maka F(s) juga genap dan aliasing secara efektif menaikkan energi dalam spektrum. Sebaliknya jika f(x) ganjil maka F(s) juga ganjil dan aliasing secara efektif energi dalam spektrum berkurang.

s

0

0f(t)tF(s)-f00f0Contoh :

Kasus1 :Selang pencuplikan maka frekuensi pelipatan atau frekuensi Nyquist .

0

Empat titik cuplik per cycle

Kasus 2 :

dua titik cuplik per cycleKasus 3 :

Spektrum primerreplika pertama

\ Fungsi diinterpolasit

Replika pertamaSpektrum primerKasus 4 :

Fungsi diinterpolasi konstan

t IV.2 Transformasi Fourier DiskretMisalx sinyal f(t) direpresentasi oleh N cuplikan yang berselamg t maka itu selang total sinyal dicuplik adalah T=Nt dengan T lebar jendela pemotongan .Ini berarti kita mengandaikan sinyal diluar jendela pemotongan samadengan nol. F(t)

T

Deretan data cuplikan .pasangan transformasi fourierdiskrit

Dengan Sifat khusus dari transformasi fourier diskret adalah : Yaitu pasangan transformasi Fourier diskret periodik dengan perioda N.

-s/N/2 So s sN/2 Satu perioda -s maxsatu perioda +smax Konvolusi dan Korrelasi Diskret.Tinjau pasangan-pasangan transformasi Fourier berikut : Maka teorema konvolusi menyatakan Dengan Misal Yaitu masing masing panjangx M dan N .karena sifat transformasi Fourier diskret kita andaikan periodik dengan perioda M dan N.Tetapi agar formulasi teorema konvolusi diskret pegang asas dengan sifat periodisitas ,kita dapat andaikan bahwa fungsi periodik dengan perioda M N sehingga konvolusi yang dihasilkan periodik dengan perioda M N yang samaDapat di tunjukkan bahwa harga MN adalahMN M + N 1Kita definisikan urutan yang di perpanjang f (t)0 t M - 1 (t) = 0M t MN - 1

g (t)0 t N - 1 (t) = 00 t MN - 1Maka konvolusi diskret (t) dan (t) ditulis sebagai (t) * (t) = (mn) (t-mn)Dengan t=0, 1,., MN-1Korelasi dua fungsi kontinu f (t) dan g (t) adalah f (t) o g (t) = () g (t + ) dtPernyataan diskret yang ekuivalen adalah (t) o (t) = (mn) (t = mn)Dengan t = 0, 1,.., MN-1Seperti konvolusi fungsi korelasi diskret ini juga bersifat priodik dengan prioda MN. Seperti dalam formulasi kontinu dalam formulasi diskret juga berlaku teorema korelasi.

f (t) o g (t) F (s) G* (s) f (t) g* (t) F (s) o G (s)Ikhtisar parameter pencuplikan dan pemotonganParameterDomainHubungan

Banyak titik cuplikKedua-duanyaN = =

Spasi cuplikWaktu = =

Spasi cuplikFrekuensi = =

Lebar jendela pemotongwaktuT= N

Frekuensi NY quist (lipat)frekuensi = = N

Transformasi fourier diskret satu dimensi dapat diperluas untuk sinyal dua dimensi. Missal fungsi kontinu f (x,y) di cuplik pada spasi dan dengan lebar jendela TM = M dan TN = N. Seperti halnya dengan kasus satu dimensi, kita mengendalikan sinyal diluar jendela pemotong berharga nol.f ( ) = f (+ mx,+ ) = dengan m = 0, 1, ........, M-1 dan n = 0, 1, , M-1Pasangan transformasi Fourier diskret adalahF (, ) = = exp k = 0, 1, .., M-1 dan l = 0, 1, , N-1dan= exp m = 0, 1, .., M-1 dan n = 0, 1, , N-1Pertambahan pencuplikan dalam domain spatial dan frekwensi spantial di hubungkan melalui dan SehinggaF(uk,vl) = F (uo + ku, v + l)Seperti halnya pada sinyal satu dimensi, sinyal diskret Fk,0 juga periodik dengan perioda M dan N.F(uo + (k + M) vo + ( l + N) v) = F(uo + k u, vo + lv)danf(xo + (m + M) x, Yo + (n + N) )= f (xo + m x, Yo + n)transformasi Fourier juga menunjukkan simetri konjugasiF (uk, vl) = F (-uk, -vl)danF (uk,vl) = F (-uk, -vl)Konvolusi diskret dua dimensi dapat diformulasikan untuk Array diskrit f(xo, yn) besar A X B dan g(xm, yn) besar C X D dengan mengandaikan Array tersebut periodik dengan periode M dan N disepanjang arah x dan y. Seperti halnya dalam satu dimensi, untuk menghindari wrap around error kita pilihMA+C-1NB+D-1dan array f(x,y) dan g(x,y) diperluas menjadife(Xm, Yn) = dange(Xm, Yn) = konvolusi diskret dua dimensi fe (xm, yn) dan ge (xm, yn) diberikan olehfe(xm, yn)*ge(xm, yn) = fe (xk, ye) ge (xm-k, yn-l)F(um,vn) * G(um, vn) = (uk, vl) G(um-k, vn-l)Korelasi diskret dua dimensi fe (xm, yn) dan ge(xm, yn) diberikan olehfe(xm, yn) * ge(xm, yn) = e (xk, yl) ge (xm+k, yn+l)dapat dibuktikan bahwa theorema konvolusif(x,y) * g(x,y) F(u,v) G(u,v)f(x,y) g (x,y) F(u,v) 0 G(u,v)berlaku baik untuk kasus kontinu maupun diskret.IV-3. Efek-efek pencuplikan (data disekret) pada pengolahan sinyal.Salah satu penerapan analisa sistem linear yang penrting adalah pengfilteran sinyal. Seperti telah dibahas dalam bab II analisa ini dapat dilakukan dengan dua cara yaitu analisa dalam domain waktu atau analisa dalam domain frekwensi.kedua metoda diatas dihubungkan melalui transformasi Fourier. Dalam pegfilteran di domain waktu hubungan input dan output melalui integral konvolusi, yaitu output, sedangkan konvolusi fungsi tanggapan impuls sistem dengan input, sedangkan dalam domain frekwensi transformasi output adalah perkalian biasa antara fungsi transfer system dengan transformasi Fourier input. Demikian pula dalam mendesign filter optimum kita dapat bekerja dalam domain waktu maupun dalam domain frekwensi. Dalam domain waktu fungsi tanggapan impuls dapat diperoleh dengan memecahkan persamaan integral yang menyangkut fungsi korelasi auto sinyal observasi dan korelasi silang sinyal-sinyal input-observasi. Sebaliknya dalam domain frekwensi fungsi transfer dapat dicari dengan menghitung spektrum daya sinyal input dan spectrum daya bising. Untuk pengolahan sinyal diskret ada dua persoalan yang harus diperhatikan yaitu kenyataan bahwa transformasi Fourier diskret adalah fungsi periodic (yang disebabkan oleh pencuplikan) dan kenyataan bahwa dalam pencuplikan kita mempergunakan jendela pemotong yang lebarnya berhingga.A. Penghitung spectrum dayaMisal f(t) sinyal yang dianalisa. Sinyal dicuplik pada selang waktu dan hanya pada titik-titik yang berhingga jumlahnya, yaitu diamati pada jendela pemotong yang lebarnya T = Nt

f(t)F(s)f(t)

tK - Smax 2Smax T/2SSmax-T/2KTlN S

Dalam ruang waktu f()=f(+nt) dengan 0nN-1Dalam ruang frekwensi dengan 0m N-1Atau atau 0 atau Dengan S = dan Jadi spasi pencuplikan disuatu domain menetukan (ditentukan) oleh lebar jendela pemotongan dalam domain lain. Jiak kita menginginkan menghitung komponen frekwensi tinggi spectrum kita harus memcuplik dalam domain waktu secara halus (pendek-pendek). Jika menghendaki resolusi tinggi dalam spektrum ( kecil), maka kita harus mempergunakan jendela pemotong yang lebar (besar) dalam domain waktu. Jika f(t) komplek maka N buah bilangan riil dan N buah bilangan imaginer ditransformasi menghasilkan N bilangan riil dan N bilangan imaginer spektrum. Jika f(t) riil, maka N bilangan riil dan N bilangan nol (bagian imaginernya) ditransformasi member N/2 bilangan riil dan N/2 bilangan imaginer spectrum (dalam setengah sisi kanan). Karena F(s) hermit (F(-s) = F*(s)), separuh spectrum sebelah kiri adalah bayangan cermin separuh spectrum sebelah kiri. Jadi N/2 bilangan riil dan N/2 bilangan imaginer dealam separuh spectrum sebelah kiri, ditinjau dari segi informasi, mubasir (berkelebihan). B. Aliasing Sperti telah kita kemukakakn sebelumnya bahwa semua informasi domain frekwensi suatu fungsi dibatasi pita terkandung dalam selang [-S0, S0] Jika selang pencuplikan tidak dipenuhi, transformasi dalam selang tersebut dikorupsi (dicemari) oleh kontribusi dari perioda-perioda berseblahan dan gejala ini dinamakan aliasing (kealiasan). Jelaslah, jika terpaksa mengolah data fungsi yang secara berpautan tak dibatasi pita aka kita tak dapat menghindarkan terjadinya kealiasan.Meskipun kita mempunyai data atau fungsi yang dibatasi pita kita juga Sulit menghindari kealiasan oleh proses pemotongan. Missal suatu fungsi dibatasi pita dipotong pada jangkauan tak berhingga. Secara matematis proses ini dapat dibuat model sebagai mengalikan fungsi dengan pulsa segi empat lebar T. efek perkalian ini, dalam domain frekuensi, sama dengan konvolusi spectrum fungsi dengan fungsi sin (x)/x yang mempunyai jangkauan tak hingga. Karena konvolusi dua fungsi tak dapat sempit dari salah satu fungsinya, maka spectrum fungsi yang dipotong dalam domain frekuensi mempunyai jangkauan tak hingga. Jelaslah pemotongan menghancurkan keterbatasan pita dan menyebabkan pengolahan digital menghasilkan kealiasan dalam semua kasus.Meskipun kealiasan tak dapat dihindari, kesalahan yang diakibatkan dapat dibatasi dan diredusir hingga ke pendekatan yang dapat di terima.C. Pemotongan: Selain terjadinya kealiasan, pemotongan juga menyebabkan spectrum yang dihitung berbeda dari spectrum yang sesungguhnya. Jendela pemotongan harus dipilih secara bijaksana agar memberikan hasil yang cukup teliti.

Untuk menghitung spektrumnya, fungsi f(x) dipotong hingga mempunyai jangkauan T yang berhingga. Jika fungsi dipotong dengan jendela pemotong lebar T, fungsi yang dihasilkan adalah yang merupakan pasangan ganjil pulsa-pulsa segi empat sehingga dapat dituliskan sebagai

Dalam domain frekuensi, spectrum fungsi tepi yang dipotong adalah

Jadi speektrum sinyal yang dipotong adalah simusoid yang dikurung dibawah sampul dua kali F(s) spectrum yang diinginkan. Titik cuplik G(s) dihitung pada frekuensi-frekuensi diskret Si,

Dengan harga G(s) karena suku kosinus berharga +1 untuk I genap dan -1 untuk ganjil, maka

D. Efek Pengolahan digital:Spectrum daya dan interpolasi. Kita akan bahas efek komualtif pengolahan digital pada citra atau sinyal kontinu. Tinjau fungsi kontinu f(t) yang mempunyai spectrum amplitude segitiga berphasa acak .

Spectrum Fungsi pencuplikFungsi pencuplik

Spectrum Sinyal yang dicuplikSinyal yang dicuplik

Untuk pengolahan digital sinyal perlu didigitisasi. Pertama-tama fungsi dipotong dengan jendela pemotongan yang mempunyai jangkauan T yang berhingga dan yang spektrumnya . Proses pemotongan ini secara materi atas sesuai dengan perkalian sehingga spektrumnya adalah konvolusi

Pendigitisasi mempunyai aperture pencuplikan yang berlebar sehingga dan sinyal dirata-ratakan pada setiap tititk cuplik. Perataan local ini secara matematis dapat dibuat modelnya sebagai konvolusi dengan fungsi aperture yang cocok. Dalam contoh ini aperture pencuplikan berupa fungsi segiempat lebar yang spektrumnya .Spectrum sinyal yang dipotong yang dikonvolosi dengan fungsi aperture tak lain perkalian fungsi sinc yang lebar dengan spectrum sinyal yang dipotong. Efek aperture pencuplikan mengurangi energy frekuensi tinggi dalam sinyal. Perhatikan diluar frekuensi , polaritas energy dibalik. Proses pencuplikan dapat dimodel matematiskan sebagai perkalian sinyal yang dipotong dan dilicinkan (smooth) oleh aperture pencuplikan g(t) dengan fungsi pencuplik . Akibat pencuplikan spectrum sinyal periodic dengan menyalin (replica) spectrum orisinal pada selang-selang . Marilah kita interpolasi fungsi yang telah dicuplik . Untuk mendapakan kembali, sedekat mungkin, fungsi semula f(t). untuk ini fungsi yang dicuplikan dikonvolusi dengan pulsa segitiga yang lebarnya . Fungsi penginterpolasi spektrumnya (fungsi transfer) . Karakteristik fungsi transfer ini adalah fungsi turun dan naiknya frekuensi. Maka itu spectrum sinyal yang diinterpolasi H(s) yaitu perkalian spectrum sinyal yang dicuplik dengan fungsi transfer, bertendensi mengusir semua salinan (replica) menuju nol, kecuali replica primer yang berada di s=0

Fungsi transfer penginterpolasiFungsi penginterpolasi

Sisa spectrum berdekatan

Spectrum Sinyal yang diinterpolasiSinyal yang diinterpolasiJika kita menyatakan h(t) sebagai fungsi yang diperoleh dengan menginterpolasi fungsi cuplikan yang dipotong, maka h(t) diberikan oleh persamaan:

dan spektrumnya

Marilah kita bahas efek pengolahan digital pada sinyal. Pada contoh sebelumnya aperture pencuplik dan fungsi penginterpolasi dipilih agak lebar untuk memperbesar efeknya yaitu t0=2t. Parameter-parameter tersebut meskipun dapat sebarang, tetapi harus dipilih dalam hubungan tertentu. Sebagai contoh, aperture pencuplik harus mempunyai lembar kira-kira sama dengan spasi cuplikan t. Untuk interpolasi linear juga dipilih t0 =t. Pemotongan mengkonvolusi spektrum dengan sin (x)/x yang sempit, jika jendela pemotongan lebar, spektrumnya menjadi sempit mendekati suatu impuls dan ini mengurangi efeknya. Juga jika fungsi telah nol diluar jendela pemotong , maka tak akan ada efeknya. Apertur pencuplik bertendensi mengurangi energi frekuensi tinggi dalam spektrum sehingga ini dapat mengurangi kealiasan yang terjadi. Aperture pencuplik juga membalik polaritas energi frekuensi tinggi.Pencuplikan membuat spektrum periodik. Ini mengakibatkan kealiasan energi diatas frekuensi lipatan, t. Interpolasi mengembalikan spektrum ke replika tunggal berpusat di titik asal. Ini dilakukan secara teliti hanya jika fungsi sin (x)/x diperguanakan sebagai fungsi interpolasi . fungsi interpolasi lainnya menghilangkan replika-replika (salinan-salinan) spektrum secara tak komplit dan mengurangi kandungan energi frekuensi tinggi replika primer.Parameter-parameter pendigitan biasanya hasil dari keterbatasan peralatan pendigit. Jendela pemotongan menyatakan medan pandangan maksimum pendigit citra. Aperture pencuplikan fungsi kesensitifan titik (bentik) pengscan.Spasi pencuplikan biasanya dapat diatur dan harus dapat dibuat berhubungan dengan diameter titik pengscan . fungsi penginterpolasi untuk peragaan citra tak lain daripada titik peragaan itu sendiri.

Untuk mengurangi keahlian dapat dipergunakan apertur pencuplik segiempat dengan lebar dua kali spasi pencuplikan. Ini akan meletakkan pemotongan nol pertama fungsi transfer di fN=t.

Aperture segitiga di pergunakan untuk lebar empat titik cuplik dan mempunyai perpotongan nol pertama di fN. Karena spektrumnya sebagai fungsi frekuensi menuju ke nol lebih cepat daripada pulsa segi empat, maka aperture segi tiga lebih efektif terhadap kealiasan . Seperti aperture segi empat, aperture segitiga mengurangi energi dalam F(s) untuk frekuensi-frekuensi dibawah fN.Dari pembahasan diatas, terutama dari persamaan-persamaan h(t) dan H(s) menunjukkan bahwa fungsi kontinu tak dapat diolah secara dogital tanpa distorsi yang berat. Tetapi ada cara keluar dari persoalan ini yaitu dengan oversampling jika kita memilih spasi pencuplikan cukup kecil sehingga fN terletak jauh di sebelah frekuensi-frekuensi yang menarik dalam spektrum, maka jika keliasan mengkontaminasi spektrum bagian atas, ini akan mempunyai efek yang kecil atau tak ada efek pada data yang kita olah. Sebagai aturan kasar, oversampling oleh faktor 2 adalah cukup untuk kebanyakan penerapan , meskipun analisa harus dilakukan pada setiap kasus . Jendela pemotongan juga harus cukup lebar agar menghasilkan kontaminasi minimum spektrum sinyal. Dengan oversampling yang sesuai, kita dapat mengurangi keliasan dan efek pemotongan hingga sebarang order besar yang diinginkan. Usaha ini tentu saja harus dibayar dengan pertambahan waktu komputer.E. Pengiltern DigitalPengilteran linear dapat diimplementasi secara digital dalam dua cara yang berbeda. Operasi pengilteran dapat diimplementasi dalam domain waktu oleh konvolusi fungsi yang di cuplik f(t) dengan tanggapan impuls h(t) menghasilkan g(t). Cara alternatif, fungsi-fungsi f(t) dan h(t) di transformasi ke domain frekuensi dengan algoritma transformasi fourier cepat. Kemudian spektrum output G(s) dapat diperoleh dengan mengalikan F(s) dengan H(s), dan sinyal output dibentuk dengan transformasi inverse. Jika satu atau kedua sinyal input konvolusi mempunyai jangkauan pendek, metoda konvolusi digital secara komputasi lebih efisien.Pengfiltern konvolusi: pencuplikan f(t) dan h(t) membuat spektrumnya periodik. Jika kedua sinyal dicuplik pada selang t yang sama, spektralnya akan periodik dengan frekuensi 1/t yang sama. Konvolusi sinyal-sinyal cuplikan mengalikan kedua spektra dalam domain frekuensi membentuk G(s), yang juga periodik dengan frekuensi t . Jika g(t) diinterpolasi, speltrumnya diredusir kereplika tunggal dititik asal. Jika f(t) atau h(t) dibatasi pita dibawah s=1/t, maka g(t) akan dibatasi pita dan interpolasi akan menyusun kembali secara eksak. Tetapi pemotongan menghancurkan keterbatasan pita, dan kealiasan tak dapat dihindarkan dan kealiasan ini akan muncul dalam g(t) dalam cara yang langsung. Jadi efek yang diakibatkan oleh konvolusi digital adalah sama dengan seperti yang dihasilkan oleh pencuplikan, pemotongan, dan interpolasi. Pengfilteran domain frekuensi:

Sinyal input f(t) di cuplik membentuk x(t) yang mempunyai spektrum periodik kontinu x(s). Jika kita menghitung transformasi fouriernya, sebetulnya kita menghitung titik-titik berspasi sama pada siklus primer spektrum periodiknya y(s). Kita menghitung N titik berspasi Ds yang sama pada jangkauan frekuensi -1/2 Dt hingga 1/2 Dt. Jadi spektrum x(t) yang kita hitung adalah y(s) bukan x(s).Karena y(s) dicuplik, maka transformasi inversnya y(t) adalah fungsi periodik kontinu (jika tidak dicuplik) berlangsung takhingga.Jadi spektrum yang dihitung Y(s) adalah bukan spektrum x(t) atau bahkan f(t), tetapi spektrum fungsi periodik kontinu yang mempunyai perioda T. Semua titik cuplik x(t) jatuh tepat pada siklus primer y(t) dan dengan perkecualian kealiasan, siklus primer y(t) adalah tepat f(t), fungsi yang dicuplik membentuk x(t).Dengan menghitung spektrum x(t) secara digital, kita perlu mencuplik spektrum untuk mendapatkanY(s) yang tak lain spektrum fungsi periodik kontinu y(t). Jadi kita mempunyai dalam domain frekuensi spektral yang ekuivalen salinan (replika) yang disebabkan oleh pencuplikan dalam domain waktu. Jika kita implementasi transformasi invers secara digital, kita mendapatkan kembali x(t)`dari Y(s). Kemudian jika kita menginterpolasi x(t), kita dapatkan kembali f(t). Kenyataan bahwa Y(s) sesuai dengan fungsi periodik tak menghasilkan efek yang jelek. Jika mengimplemen pengfilteran digital dalam domain frekuensi situasinya tak begitu sederhana.Misal kita mengimplemen pengfilteran dalam domain frekuensi dengan mengalikan Y(s) dengan fungsi transfer H(s). Ini sesuai dengan mengkonvolusi y(t) dengan tanggapan impuls h(t). Karena y(t) periodik, konvolusi akan kecenderungan mengatasi siklus-siklus berdekatan y(t) hingga kesiklus primer disekitar t = T/2.Jika h(t) sempit dan y(t) mendekati konstan dalam daerah sekitar t =T/2 maka pengotoran siklus berdekatan, hanya akan mempunyai efek kecil. Jika x(t) tak sama pada setiap ujung jendela pemotong maka y (t) mempunyai diskontinuitas pada t =T/2. Ini menghasilkan diskontinuitas buatan dalam fungsi pada setiap ujung jendela pemotong. Konvolusi dengan tanggapan impuls h(t) akan menghasilkan articaft pada setiap ujung jendela pemotong. Meskipun efek pengotoran siklus berdekatan ini tak dapat dihindari sama sekali, tetapi ini dapat dikurangi hingga tingkatan yang dapat diterima dengat membuat jendela pemotong lebar terhadap komponen-komponen penting sinyal dengan mengatur x(t) mempunyai amplitudo sama pada setiap ujung jendela pemotong.