KERJA PROJEK MATEMATIK TAMABAHAN

Embed Size (px)

Text of KERJA PROJEK MATEMATIK TAMABAHAN

KERJA PROJEK MATEMATIK TAMABAHAN

KERJA PROJEK MATEMATIK TAMABAHAN

TAJUK : LUAS PERMUKAAN BAR COKLAT

Contoh Jawapan Soalan Lanjutan I.

Jika luas permukaan bahagian atas bar coklat dan ketebalannya dikekalkan, teroka bentuk yang boleh menghasilkan jumlah luas permukaan bar coklat yang minimum. Beri kesimpulan anda.

1. Memahami Masalah.

(a) Maklumat yang diberi.

Permuakaan atas bar coklat dikekalkan dalam erti kata lain bar coklat mempunyai keratan rentas seragam dengan luasnya dikekalkan sebagai 75.6 cm2. [atau 84 cm2 jika isipadu yang asal digunakan]

Ketebalan = 3 cm.

Oleh kerana luas keratan rentas dan ketebalan dikekalkan, isipadu bar coklat juga dikekalkan sebagai 226.8 cm3. [atau 252 cm3 jika isipadu yang asal digunakan]

(b) Hasil yang dikehendaki.

Mencari bentuk bar coklat yang mempunyai jumlah luas permukaan yang minimum.

2. Merancang Strategi.

Jumlah luas permukaan, L = 2 ( luas permukaan atas

+ (perimeter permukaan atas) ( tinggi

= 2 ( 75.6 + (perimeter)( 3 cm Oleh kerana luas permukaan atas dan ketebalan dikekalkan (malar) , jumlah luas permukaan hanya bergantung kepada perimeter permukaan atasnya.

Permukaan atas yang mempunyai luas yang tetap dan perimeter yang paling minimum akan memberi jumlah luas permuaan yang minimum.

Pertimbangkan bentuk segiempat dan segi tiga berikut yang mempunyai luas yang sama iaitu 100 cm2. Perimeter setiap rajah dihitungkan.

Perimeter = 50 cm Perimeter = 40 cm Perimeter = 60 cm

Perimeter = 52.36 cm2 Perimeter = 48.28 cm2 Perimeter = 45.59

Segiempat sama mempunyai perimeter lebih kecil daripada segiempat yang lain. Segitiga sama mempunyai perimeter lebih kecil daripada segitiga yang lain.

Segiempat sama mempunyai perimeter yang lebih kecil daripada segitiga sama.

Daripada keputusan di atas, bentuk seragam dengan sisi yang sama panjang iaitu poligon sekata mempunyai perimeter yang kecil. Selain daripada itu poligon sekata yang mempunyai bilangan sisi yang banyak mempunyai perimeter yang lebih kecil.

Bulatan adalah bentuk yang paling seragam dan boleh dianggap sebagai had bagi poligon sekata apabila bilangan sisi, n adalah tak terhingga besarnya.

Berdasarkan hujah ini, konjektur berikut dibuat.

Konjektur

Jika luas permukaan atas dan ketebalan dikekalkan, bar coklat dengan keratan rentas berbentuk bulatan iaitu silinder mempunyai jumlah luas permukaan yang minimum.

Penerokaan selanjutnya akan dihadkan kepada bentuk prisma dengan keratan rentasnya berbentuk poligon sekata.

Satu rumus untuk menentukan perimeter poligon sekata yang mempunyai luas yang malar akan diterbitkan. Seterusnya jumlah luas permukaan prisma akan dihitungkan. Dengan membandingkan nilai jumlah luas permukaan, diharapkan bentuk bar coklat yang mempunyai jumlah luas permukaan minimum akan diperoleh.

3. Melaksanakan strategi.

Pertimbangkan sebuah poligon sekata yang mempunyai n sisi dan berpusat di O.

Katakan panjang setiap sisinya ialah s. Poligon sekata dibahagi kepada n segitiga serupa dengan sudut di O ialah ( o

Jika luas poligon sekata ialah A, maka luas setiap segitiga ialah A/n.

( o = 360 o/ n Panjang sisi a boleh ditentukan dengan

q

q

sin

2

,

sin

2

1

2

n

A

a

n

A

a

=

=

Panjang sisi s boleh ditentukan dengan petua kosinus

s 2 = a 2 + a 2 ( 2 a.a kos ( = 2a 2 ( 2 a 2 kos ( = 2a 2(1- kos ( ) s = a((2(1-kos())

Maka jumlah luas permukaan bar coklat, L = 3 ( ns + 75.6 ( 2 = 3ns + 151.2 cm2.

Seterusnya program Microsoft EXCELL akan digunakan untuk menentukan luas permukaan bar coklat. Jadual 1 menunjukkan keputusan pengiraan.

Sekiranya keratan rentas berbentuk bulatan (iaitu bar coklat berbentuk silinder),

(j2 = 75.6

j2 = 24.064

j = 4.906

Jumlah luas permukaan bar coklar = 2 ((j2 ) + 3 (2(j)

= 2(75.6) + 3(2( ( 4.906)

= cm2

Daripada Jadual 1, didapati apabila n semakin besar, jumlah luas permukaan semakin kecil dan menghampiri jumlah luas bar coklat berbentuk silinder iaitu 243.676 cm2.

Oleh kerana had bagi poligon sekata apabila n ( infinti ialah bulatan, maka boleh disimpulkan bahawa bar coklat yang berbentuk silinder mempunyai jumlah luas permukaan yang minimum sekiranya ketebalan dan luas permukaan atasnya dikekalkan.

n

q

/rad

A/n

a

s

L

V

3

2.094395

25.2

7.6286897

13.21328

270.1195

226.8

4

1.570796

18.9

6.1481705

8.694826

255.5379

226.8

5

1.256637

15.12

5.6388135

6.628823

250.6323

226.8

6

1.047198

12.6

5.3942982

5.394298

248.2974

226.8

7

0.897598

10.8

5.2561808

4.561143

246.984

226.8

8

0.785398

9.45

5.1699745

3.956927

246.1663

226.8

9

0.698132

8.4

5.1123537

3.497056

245.6205

226.8

10

0.628319

7.56

5.0718518

3.134577

245.2373

226.8

11

0.571199

6.872727

5.0422589

2.841137

244.9575

226.8

12

0.523599

6.3

5.0199602

2.598523

244.7468

226.8

13

0.483322

5.815385

5.0027299

2.394463

244.5841

226.8

14

0.448799

5.4

4.9891343

2.220374

244.4557

226.8

15

0.418879

5.04

4.9782146

2.070058

244.3526

226.8

16

0.392699

4.725

4.9693098

1.938929

244.2686

226.8

17

0.369599

4.447059

4.9619515

1.823512

244.1991

226.8

18

0.349066

4.2

4.9558003

1.721131

244.1411

226.8

19

0.330694

3.978947

4.9506053

1.629686

244.0921

226.8

20

0.314159

3.78

4.9461777

1.547505

244.0503

226.8

21

0.299199

3.6

4.9423731

1.473245

244.0144

226.8

22

0.285599

3.436364

4.9390797

1.405809

243.9834

226.8

23

0.273182

3.286957

4.9362097

1.344294

243.9563

226.8

24

0.261799

3.15

4.9336934

1.287952

243.9326

226.8

25

0.251327

3.024

4.9314749

1.236155

243.9117

226.8

26

0.241661

2.907692

4.9295089

1.188373

243.8931

226.8

27

0.232711

2.8

4.9277585

1.144156

243.8766

226.8

28

0.224399

2.7

4.9261932

1.103117

243.8619

226.8

29

0.216662

2.606897

4.9247878

1.064926

243.8486

226.8

30

0.20944

2.52

4.9235212

1.029296

243.8367

226.8

31

0.202683

2.43871

4.9223757

0.995977

243.8259

226.8

32

0.19635

2.3625

4.9213363

0.964751

243.8161

226.8

33

0.1904

2.290909

4.9203903

0.935426

243.8071

226.8

34

0.1848

2.223529

4.9195268

0.907833

243.799

226.8

35

0.17952

2.16

4.9187365

0.881824

243.7916

226.8

36

0.174533

2.1

4.9180114

0.857266

243.7847

226.8

37

0.169816

2.043243

4.9173444

0.83404

243.7784

226.8

38

0.165347

1.989474

4.9167295

0.812041

243.7726

226.8

39

0.161107

1.938462

4.9161615

0.791173

243.7673

226.8

40

0.15708

1.89

4.9156356

0.771353

243.7623

226.8

41

0.153248

1.843902

4.9151478

0.752502

243.7577

226.8

42

0.1496

1.8

4.9146945

0.734551

243.7534

226.8

43

0.146121

1.75814

4.9142725

0.717438

243.7495

226.8

44

0.1428

1.718182

4.9138791

0.701104

243.7458

226.8

45

0.139626

1.68

4.9135116

0.685498

243.7423

226.8

46

0.136591

1.643478

4.9131679

0.670573

243.7391

226.8

47

0.133685

1.608511

4.9128459

0.656284

243.736

226.8

48

0.1309

1.575

4.9125439

0.642591

243.7332

226.8

49

0.128228

1.542857

4.9122602

0