Experimentalphysik VI

Kerne und Teilchen

Prof. Dr. Thomas Muller

Priv.-Doz. Dr. Wolfgang Wagner

SS 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Großenordnungen der Kern- und Teilchenphysik . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Nomenklatur in der Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Grundlagen der Kernphysik 7

2.1 Kerne und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Massenspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Bindungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Parametrisierung der Bindungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Grundlagen von Streuexperimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Klassifikationen von Streuprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3 Die Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Rutherfordstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Elektronstreuung an Kernen, Formfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Energie des gestreuten Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2 Streuung an einer ausgedehnten Ladungsverteilung . . . . . . . . . 35

2.6 Elektronstreuung an Nukleonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Grundlagen der Teilchenphysik 45

3.1 Tiefinelastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Proton-Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Strukturfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3 ep-Wirkungsquerschnitt jenseits des Resonanzbereichs, Skaleninvarianz 48

3.1.4 Das Partonmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Symmetrien und Erhaltungssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1 Paritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.2 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.3 Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Der Teilchenzoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Elementarteilchen im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

3.3.2 Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.3 Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.4 Der Farbfreiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.5 Baryonenzahlerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.6 Schwere Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Experimentelle Methoden:

Detektoren und Beschleuniger 79

4.1 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Elektromagnetische Wechselwirkung geladener Teilchen . . . . . . . 79

4.1.2 Wechselwirkung von Photonen mit Materie . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.3 Hadron-Wechselwirkungen mit Kernen . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.4 Strahlenwirkung, Dosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2 Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.1 Ionisationsdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.2 Gasdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.3 Halbleiterdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.4 Szintillations-Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.5 Elektromagnetisches Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.6 Hadron-Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.7 Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.8 Teilchenbeschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Das Standardmodell 106

5.1 Phanomene der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.1 Schwache Zerfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2 Inverser β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1.3 Paritatsverletzung in der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . 113

5.1.4 Schwache Wechselwirkung von Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2 Phanomene der starken Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.1 Farbe, Gluonen, Confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.2 Die laufende Kopplungskonstante der QCD . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2.3 Die OZI-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2.4 Existenz des Gluons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2.5 Hadronproduktion in Elektron-Positron-Vernichtung . . . . . . . . 124

2

5.3 Elektroschwache Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.1 Grundbegriffe in Feldtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.2 Dirac-Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.3 Lokale Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.4 Schwache Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3.5 Das Glashow-Weinberg-Salan-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.6 Spontane Symmetriebrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3.7 Spontane Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie . . . . . . . . 136

5.3.8 Der Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.4 Entdeckungen der modernen Teilchenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.1 Entdeckung des top-Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.2 Neutrinooszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6 Anwendungen der Kern- und Teilchenphysik 147

6.1 Radioaktivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1.1 Zerfallsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1.2 Anwendungen der Radioaktivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.3 Sonderfalle von Kernubergangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2 Kernspaltung (Fission) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.3.1 Energiegewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.3.2 Energiegewinnung in Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3

1 Einleitung

1.1 Grundbegriffe

1.1.1 Großenordnungen der Kern- und Teilchenphysik

1. Langeneinheit:

∅ H-Atom (2· Bohrscher Radius) ≈ 1A = 10−10 m”Angstrom“

∅ Proton ≈ 2 fm = 2 · 10−15 m”Fermi“

∅ Quark, Lepton, Eichboson: d ≤ 10−19 m (!)

Plankskala: lPl =√

G~c3

= 1, 62 · 10−35 m

Das ist die Dimension, bei der Quanteneigenschaften der Gravitation berucksichtigt

werden mussen.

2. Energie/Masse/Impuls: 1 eV = 1, 60277 · 10−19 J

Energie:

1 eV ist die kinetische Energie, die ein einfach geladenes Teilchen nach einer Be-

schleunigung in einer Potentialdifferenz von 1 V besitzt.

Masse:

1eV

c2= 1, 78266 · 10−36 kg

Beispiele:

Elektron: me = 0, 511 MeV/c2

Pion: mπ± = 139, 57 MeV/c2

Proton: mp = 938, 27 MeV/c2

Neutron: mn = 939, 57 MeV/c2

γ : mγ < 2 · 10−16 eV/c2

Z: mZ = 91, 187 GeV/c2

t: mt = 178± 4 GeV/c2

4

Masseneinheit in der Kernphysik:

mu = 1 u =1

12m(12

6 C) = 1, 66054 · 10−27 kg = 931, 494 MeV/c2

Bemerkung:

Offensichtlich ist m(126 C)< 6 ·mp +6 ·mn +6 ·me und zwar um 0, 8 % ⇒ Massendefekt

durch Bindungsenergie.

Impuls:

Der Zusammenhang mit der Gesamtenergie und der Masse ist gegeben durch:

Eges =√c2p2 +m2

0c4

1 eV/c = 5, 34 · 10−28 kg·ms

3. Drehimpuls:

1~ = 6, 58 · 10−22 MeV · s = 1, 97 · 10−11 MeV cmc

Ebenfalls wichtig ist die Beziehung ~c = 197 MeV fm

4. Ladung:

e = 1, 602 · 10−19 Ce2

4πε0~ c= αem ≈ 1

137

1.1.2 Nomenklatur in der Kernphysik

Kernphysik: Physik der Nukleonen n und p im Verbund: Nuklide.

Schreibe dafur:AZX

n+N

X: chemisches Elementsymbol

n+: Ionisierungszahl, falls nicht vollstandig ionisiert

A: Massenzahl

Z: Ladungszahl

N : Neutronenzahl

5

Die leichten Kerne bilden jedoch eine Ausnahme:

11H =: p Proton

21D =: d Deuteron

31T3 =: t Triton

42He2 =: α

Außerdem werden folgende Bezeichnungen verwendet:

Isotope: Kerne gleicher Ladungszahl. p, d und t haben zum Beispiel Z=1.

Isotone: Kerne gleicher Neutronenzahl.22He1 und d haben N=1.

Isobare: Kerne gleicher Massenzahl.22He1 und t haben A=3.

Isomere: Kerne mit gleichen Z und N auf unterschiedlichen Energieniveaus, zum Beispiel:

178Hf∗ →178 Hf + γ

Spiegelkerne: Kerne mit vertauschbaren N und Z. 136 C7 ↔ 13

7 N6

6

2 Grundlagen der Kernphysik

2.1 Kerne und ihre Eigenschaften

• Elektrische Ladung

• Masse

• Bausteine

• Ausdehnung

• Spin, magnetische Momente

2.1.1 Elektrische Ladung

1. Bestimmung der Kernladung durch Rutherfordstreuung (siehe Kapitel 2.4)

dσ

dΩ=

1

(4πε0)2

(z · Z · e2

4 · Ekin

)21

sin4 Θ2

Dabei ist z die Ladungszahl des streuenden Teilchens, Z die Kernladungszahl und Θ

der Streuwinkel.

2. Moseley-Gesetz Die Lage der Linien im Rontgenspektrum ist charakteristisch fur

die Ordnungszahl eines Elements. Dabei wird ein Elektron aus einer inneren Schale

herausgeschlagen. Die entstehende Lucke wird durch ein außeres Elektron gefullt.

Jenachdem welches innere Elektron herausgeschlagen wird, beobachtet man verschie-

dene Serien von Spektrallinien: K,L,M,N

7

Die dabei auftretenden Frequenzen sind gegeben durch das Moseley-Gesetz:

νK = Ry · (Z − s︸ ︷︷ ︸Zeff

)2

(1

n21

− 1

n22

)

Dabei ist n21 = 1, da der Ubergang in den Grundzustand geht. In diesem Fall ist s ≈ 1.

Dies beschreibt den Effekt der Abschirmung durch die innere Atomhulle, das heißt

fur die K-Serie schirmt nur das 1s Elektron den Kern ab. Fur die L-Serie hingegen

ist s ≈ 7, 4.

Die Kernladung ist ein Vielfaches der Elementarladung e.

Außerdem sind Atome neutral! Die Abweichung zwischen Proton- und Elektronla-

dung wurde an SF6 gemessen:

|qp + qe|e

< 10−21 [PDG2006]

Die Frage warum dies so ist ist noch offen. Gibt es eine Symmetrie zwischen Quarks

(Bausteine von Proton und Neutron) und Leptonen?

2.1.2 Massenspektroskopie

Prinzip: Gleichzeitige Bestimmung der Energie Ekin und des Impulses p eines Ions mit

Ladung Q und Masse M durch elektrische und magnetische Felder.

8

Ablenkung in ~E-Feld:

~F = ~E ·Qy = 1

2at2 = 1

2E·Qm·(

lv

)2mit Ekin = 1

2Mv2

⇒ y = Q·E·l2e·Ekin

=⇒”Energiefilter“

Ablenkung in ~B-Feld:

~FLorentz = ~Fzent.

Q · v ·B = M ·v2

R

⇒ p = Q ·B ·R =⇒”Impulsfilter“

Masse: M = p2

2·Ekin= Q1·B2R2y

E·l2

Nur Verhaltnis zwischen Q und M kann gemessen werden

Verbesserung: doppelt fokussierendes Spektrometer

Dabei laufen die Ionen im Zylinderkondensator auf einer Kreisbahn.

| ~E| ·Q =m · v2

rE

⇒ Ekin =1

2| ~E| ·Q · rE

Magnetfeld: p = Q ·B · rM

9

Problem:

Ionen treten unter verschiedenen Richtungswinkeln und mit verschiedenen Geschwindig-

keiten aus der Ionenquelle aus. Daraus resultiert eine Abweichung von der Referenzbahn,

beziehungsweise den Weigenschaften des Normalbundels.

Außerdem muss man neben einer guten Massenauflosung auch eine ausreichende Intensitat

am Auffanger erreichen.

Losung:

1.) Richtungsfokussierung:

Die Ionen werden auf den Auffanger fokussiert, deren Emissionswinkel bezuglich der Mit-

telebene der Quelle nicht zu groß ist.

2.) Geschwindigkeitsfokussierung:

Fokussierung von Ionen mit ∆v an der Quelle bezuglich des Normalenbundels.

⇒ Doppeltfokussierend!

Massenspektrograph: Alle Massen in einem bestimmten Bereich werden gleichzeitig in

Form eines Linienspektrums aufgenommen, zum Beispiel mit einer Photoplatte.

10

Massenspektrometer: Detektor mit Blende → sehr kleines Massenfenster. Das Massen-

spektrum wird durch Veranderung der Felder ermittelt (scan).

Beobachtung: Die Ladung des Kerns ist ein Vielfaches der Elementarladung e und immer

positiv. Die Masse des Kerns ist ein Vielfaches der Protonmasse mp.

Offensichtlich gibt es im Kern einen weiteren Baustein neben dem Proton:

Neutron: mn ≈ mp und Qn = 0

2.1.3 Bindungsenergie

Warum binden sich Proton (und Neutron) trotz großer Coulombabstoßung auf so kleinen

Raum?

Es mussen Bindungskrafte auftreten:

FK >> FCoulomb

⇒ Große Bindungenergie: EB ≈ O(MeV)

Zum Vergleich: atomare Bindungsenergie O(eV)

Bindungenergie aus Massendefekt:

mKern = Z ·mp +N ·mn −EB

c2

Beschreibung der Kerne bezuglich ihrer Zusammensetzung:

• Kernladungszahl Z (Anzahl der Protonen)

• Neutronenzahl N

• Massenzahl A=Z+N

11

Verschiedene Kombinationen von Z und N werden als Nuklide bezeichnet. Dargestellt wer-

den die Nuklide in der Form AZX wobei X das Symbol des chemischen Elements ist. Als

Beispiel seien die Kohlenstoffisotope 126 C und 13

6 C aufgefuhrt.

Nuklide gleicher Massenzahl A: Isobare

Nuklide gleicher Ladungszahl Z: Isotope

Nuklide gleicher Neutronenzahl N: Isotone

Massenstandard:

Der Massenstandard basiert auf 12C. Es ist gut zur Masseneichung geeignet, da es mit

großer Haufigkeit auftritt.

Atomare Masseneinheit u:

1 u =1

12M(12C) ≈ 931, 494

MeV

c2= 1, 66054 · 10−27 kg

Die Bindungsenergie B wird uber die Masse der Atome definiert, da diese praziser messbar

sind.

B(A,Z) =(Z ·M(1H) + (A− Z)Mn −M(A,Z)

)· c2

Dabei ist M(1H) die Masse des Wasserstoffatoms und M(A,Z) die Atommasse. Die Ru-

hemassen von Proton und Neutron wurden bestimmt zu:

mp = 938, 272 MeV/c2

mn = 939, 566 MeV/c2

Zum Vergleich, die Masse des Elektrons betragt lediglich 0, 511 MeV/c2.

Beispiel: Bindungsenergie von 12C = 6p+ 6n

B(6, 12) =

(6 · [938, 272 + 0, 511]

MeV

c2+ 6 · 939, 566

MeV

c2− 12 · 931, 494

MeV

c2

)· c2

Die Bindungsenergie pro Nukleon ergibt sich dann zu BA

= 7, 68 MeV . Im Vergleich dazu,

die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom betragt im Grundzustand lediglich

13, 6 eV .

Die Rechnung setzt eine sehr genaue Vermessung der Atommassen voraus. ⇒ Genaue Mas-

senspektroskopie.

12

Bindungsenergie aus Kernreaktionen

Einfang thermischer Neutronen (Ekin ≈ 1/40 eV ) in Wasserstoff:

n+1 H → 21H + γ

Die Energie des γ-Quants kann gemessen werden. Dabei muss auch die Ruckstoßenergie

des Kerns berucksichtigt werden.

E(21H) =

p2

2M(21H)

Impulserhaltung: |~p(2H)| = |~p(γ)|γ-Quant: pc = Eγ

Daraus erhalt man die Energie des Deuterons zu

E(21H) =

E2γ

2M(21H)

Die Bindungsenergie ergibt sich schließlich aus der Summe der Photonenergie und der

kinetischen Energie des Deuterons:

B = (mn +M(21H)) · c2 = Eγ +

E2γ

2 ·M(21H)c2

Die Bindugnsenergie pro Nukleon BA

ist nicht konstant. Sie variiert

• stark bei leichten Kernen

• leicht bei schweren KernenBA

liegt im Bereich 7, 5− 8, 5 MeV (≈ konstant)

Verursacht durch den Sattigungseffekt der Kernkrafte, das heißt die Nukleonen wech-

selwirken nur mit den nachsten Nachbarn, nicht mit allen Nukleonen im Kern ⇔Gegensatz zur elektromagnetischen Wechselwirkung.

13

Das Maximum erreicht die Bindungsenergie pro Nukleon bei A ≈ 60 (56Fe). Das hat

Konsequenzen fur die Energiegewinnung aus Kernumqandlungen:

⇒ Fusion leichter Kerne

⇒ Spaltung schwerer Kerne

Kernfusion: Energieproduktion in den Sternen. Fusion von H zu He (mehr in Kapitel 6)

Kernspaltung: Technisch nutzbar ab A > 230. Spaltung in zwei ungefahr gleichgroße

Kerne bevorzugt. ∆E ≈ 1 MeV

14

2.2 Parametrisierung der Bindungsenergie

Tropfchenmodell: Bethe, Weizsacker 1955

Die Kernmaterie verhalt sich wie ein Tropfen einer inkompressiblen Flussigkeit, die durch

kurzreichweitige Krafte mit Sattigungscharakter zusammengehalten wird.

Motivation: Kernradius R ∝ a13 (aus Streuexperimenten, siehe Kapitel 2.3)

Das Tropfchenmodell erklart den Verlauf der Bindungsenergien und damit der Kernmassen.

B = B1 +B2 +B3 +B4 +B5

1. Volumenterm

Jedes Nukleon liefert den gleichen Beitrag.

B1 = av · A · c2 av = 15, 67MeV

c2

Die Reichweite der Kernkraft ist kurz, ungefahr wie der Abstand zweier Nukleonen

(Sattigung). Wurde jedes Nukleon mit jedem anderem wechselwirken, ware die Bin-

dungsenergie proportional zu A · (A− 1).

2. Oberflachenterm

Die Nukleonen an der Oberflache des Tropfens (Kerns) haben weniger Bindungs-

partner und daher eine reduzierte Bindungsenergie. Folglich ist der Oberflachenterm

negativ und proportional zur Oberflache des Tropfens.

B2 = −as · A23 · c2 as = 17, 23

MeV

c2

3. Coulombterm

Die elektrische Abstoßung zwischen den Protonen reduziert die Bindungsenergie des

Terms. Die Coulombenergie einer gleichmaßig geladenen Kugel mit Radius R und

Ladung Q ist:

Ec =3

5

Q2

R

Fur den Kern gilt Q2 = e2Z2 und R ∝ A− 13

B3 = −ac ·Z2

A13

· c2 ac = 0, 714MeV

c2

15

4. Asymmetrieterm

Bei schweren Kernen wird die Coulombabstoßung durch die Anhaufung von Neutro-

nen reduziert. Folglich ergibt sich eine Asymmetrie zwischen der Zahl der Neutronen

und Protonen im Kern, zum Beispiel 208Pb mit N − Z = 44 Neutronen mehr als

Protonen. Dies fuhrt zu eienr Verringerung der Bindungsenergie. Verstandlich wird

diese Korrektur erst im Fermigasmodell.

Die Abstande zwischen den Niveaus werden nach oben hin kleiner. Im asymmetri-

schen Fall sind die Neutronniveaus dichter gedrangt. Die Summe der Bindungsener-

gien nimmt ab.

B4 = −aa ·(N − Z)2

4 · A· c2 aa = 93, 15

MeV

c2

5. Paarungsterm

Kerne mit geradzahliger Proton- und geradzahliger Neutronzahl besitzen eine erhohte

Bindungsenergie (siehe BA-Kurve). Dies ist eine empirische Korrektur die sich im

16

Rahmen des Tropfchenmodells nicht erklaren lasst. Die Erklarung erfolgt durch das

Schalenmodell. Es ist energetisch gunstiger, wenn 2 Nukleonen die gleiche Ortswel-

lenfunktion haben und sich die Gesamtdrehimpulse zu Null addieren:

l1 = l2, ma = −m2 und ~j1 +~j2 = ~0

Die Nukleonen verhalten sich also anders als die Elektronen in der Atomphysik. Dort

ist es energetisch gunstiger, zwei Elektronen in verschiedenen Orbitalen zu haben

als zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin im selben Orbital. Der Grund dafur

ist die elektrostatische Abstoßung. In der Kernphysik hingegen wirkt zwischen den

Nukleonen im Mittel eine anziehende Kraft.

⇒ Paarung von Nukleonen gleicher Sorte vorteilhafter.

B5 = − δ

A12

·c2 δ =

−11, 2 MeV

c2falls Z und N gerade

0 falls Z gerade und N ungerade oder umgekehrt

11, 2 MeVc2

falls Z und N ungerade

Die A-Abhangigkeit kommt dadurch zustande, dass der Uberlapp der Ortswellen-

funktionen bei großeren Kernen abnimmt.

17

Das Tropfchenmodell ermoglicht die Berechnung der Bindungsenergien und damit die Be-

rechnung der Kernmassen.

Weizsacker-Massenformel

M(A,Z) = N ·Mn + Z · (Mp +Me)− av · A+ as · A23 + ac ·

Z2

A13

+ aa ·(N − Z)2

4A+

δ

A12

Anwendungsbeispiel der Massenformel: Uranspaltung

n+23892 U → 239

92 U → X + Y

m(X) = m(Y ) = m(U

2)

Spaltenergie

Es = M(Z,A) · c2 − 2 ·M(Z

2,A

2) · c2

Ubrig bleibt also nur die Anderung der Bindungsenergie

Es = ∆B = as · A23 (1− 2

23 ) + ac ·

Z2

A13

(1− 2−23 ) = 182 MeV

Frage: Warum gibt es keinen stabilen nn-Bindungszustand?

In der nachfolgenden Tabelle sind die einzelnen Beitrage zu Bindungsenergie von Di-

Nukleon-Zustanden aufgefuhrt.

B(nn) [MeV] B(pp) [MeV] B(np) [MeV]

1 Volumenterm 31,34 31,34 31,34

2 Oberflachenterm -27,35 -27,35 -27,35

3 Coulombterm 0 -2,27 -0,57

4 Asymmetrieterm -46,58 -46,58 0

5 Paarungsterm 7,92 7,92 0

Bges -34,67 -36,94 3,42

Offensichtlich ist die Bindungsenergie auf Grund des Asymmetrieterms nur bei der pn-

Bindung großer Null, womit das der einzige stabile Di-Nukleon-Zustand ist.

18

2.3 Grundlagen von Streuexperimenten

Schema der Streuung eines Teilchens an einem Streuzentrum:

Reaktion zwischen Projektil und Target

a+ b ⇒ c+ d

2.3.1 Klassifikationen von Streuprozessen

1. Elastische Streuung: Teilchen sind vor und nach der Reaktion identisch, sie werden

nicht zerstort.

Die Teilchen im Anfangs- und Endzustand unterscheiden sich in Energie und Impuls.

Der Streuwinkel und die Energie von a’ und b’ sind eindeutig korreliert. Die Messung

gibt Ruckschluss auf die Ausdehnung der streuenden Objekte.

19

2. Inelastische Streuung

Anregung

Erzeugung neuer Teilchen

Erzeugung neuer Teilchen in Reaktionen kollidierender Strahlen (Collider).

Auflosungsvermogen:

Die de Broglie-Wellenlange λ– eines Projektils der Masse m ist durch die relativistische

Energie gegeben. Mit Eges = Ekin +mc2 und pµpµ = m2c4 folgt:

p2c2 =(Ekin +mc2

)2 −m2c4 = E2kin + 2mc2 · Ekin

20

Damit erhalt man die de Broglie-Wellenlange in Abhangigkeit der Energie.

λ– =~p

=~ · c√

E2kin + 2mc2 · Ekin

≈

~√

2m·Ekinfalls Ekin << mc2

~cEkin

falls Ekin >> mc2

Heißenberg’sche Unscharferelation:

Um ein Objekt auflosen zu konnen, muss die de Broglie-Wellenlange des Projektils kleiner

sein als die Ausdehnung des zu untersuchenden Objekts.

λ–≤ ∆x

Aus der Unscharferelation ergibt sich somit der benotigte Impuls des Projektils:

pc ≥ ~c∆x

≈ 200 MeV +m

∆x

Beispiele fur die benotigten Impulse:

Objekt Ausdehnung Impuls

Kerne einige fm 10-100 MeV/c

Nukleonen ≈ 0,8 fm ≈ 100 Mev/c

Quarks punktformig!? >>GeV/c

2.3.2 Wirkungsquerschnitt

Der Wirkungsquerschnitt σ ist eine physikalische Große zur Beschreibung von Streuvorgangen.

Er ist ein Maß fur die Wahrscheinlichkeit der Streuung eines einfallenden Teilchens am

Streuzentrum. Eine anschauliche Erklarung ist die effektive Streuflache.

Entsprechend ist auch die Dimension des Wirkungsquerschnitts eine Flache. Dieser wird

ublicherweise in cm2 angegeben. Fur Kernreaktionen hat sich die Einheit barn eingeburgert:

1 barn = 10−24 cm2

Die Bezeichnung barn (engl: Scheune) wurde wahrend des Manhattenprojekts fur sehr

große Wirkungsquerschnitte eingefuhrt und ist eine Anspielung auf die Redewendung”as

big as a barn“ (deutsche Entsprechung:”groß wie ein Scheunentor“) gewesen. In der

21

Teilchenphysik liegen die Wirkungsguerschnitte ublicherweise zwischen nanobarn: nb =

10−9 barn und picobarn: pb = 10−12 barn.

Illustration: feste Kugeln

Abstand R = R1 +R2 zum Zeitpunkt der Streuung ⇒ σ = πR2

Ein Strahl monoenergetischer Teilchen trifft auf ein Target mit gleichmaßig verteilten Streu-

zentren.

Geometrischer Wirkungsquerschnitt

(vereinfachtes Modell)

• A: Querschnittsflache des einfallenden Teilchenstrahls

22

• na: Teilchendichte im Strahl

• na: Rate aller einfallenden Teilchen

• Φa: Fluss, also die Zahl der pro Flacheneinheit und pro Zeiteinheit auf das Target

treffende Teilchen

Φa =Na

A= na · va

• va: Geschwindigkeit der einfallenden Teilchen

• Nb Gesamtzahl der Targetteilchen inenrhal des Strahlquerschnitts A

Damit lasst sich die Reaktionsrate schreiben als

N =NaNbσb

A

wobeiNbσb

A=

gesamte Streuflache

Gesamtflache des Strahls= Wahrscheinlichkeit

N = Φa ·Nb · σb

Diese Formel gilt jedoch nur, wenn die Streuzentren nicht raumlich uberlappen (→ dunnes

Target). Diese geometrische Uberlegung liefert die Motivation fur die allgemeine Definition

des totalen Wirkungsquerschnitts:

σ ≡ Zahl der Reaktionen pro Zeiteinheit

Zahl der Strahlteilchen/Zeit · Zahl der Streuzentren/ Flache

Mit den obigen Großen lasst sich der Wirkungsquerschnitt nun schreiben als

σ =N

N · nb · d

Beispiele:

σpp(10 GeV ) ≈ 40 mb

σνp(10 GeV ) ≈ 7 · 10−14 b = 70 fb

23

Eine weitere wichtige Große ist die Luminositat L .

L ≡ Φa ·Nb

Sie hat die Dimension Flache−1·Zeit−1 und wird in Einheiten von cm−1s−1 angegeben. Die

Rate eines bestimmten Prozess ist dann gegeben durch

N = L · σ

Kollidierende Teilchenstrahlen:

Zwei Teilchensorten (a und b) in jeweils j Teilchenpaketen mit Na und Nb Teilchen, zum

Beispiel Protonen und Antiprotonen.

Beispeil Tevatron:

j ·Np = 8000 · 109

j ·Np = 1500 · 109

Die Umlauffrequenz eines Pakets ist f = vu. Somit ist die Kollisionsfrequenz am Wech-

selwirkungspunkt f = j · f . Mit dem Strahlquerschnitt A lasst sich die Luminositat nun

schreiben als:

L =NaNb · f

A

Annahme: Das Strahlprofil ist gaußformig in x und y mit den Standardabweichungen σx

und σy (→ A = 4πσxσy)

L =1

4π

NaNbf

σxσy

Die integrierte Luminositat ist beim Betrieb eines Speicherrings uber mehrere Jahre ein

Maß fur die bisher aufgezeichnete Datenmenge.

Lint =

∫ t1

t0

L · dt

Auf der folgenden Abbildung ist die integrierte Luminositat der einzelnen Betriebsjahre

des Tevatrons abgebildet.

24

Differentieller Wirkungsquerschnitt:

Der differentielle Wirkungsquerschnitt wird in Abhangigkeit verschiedener Variablen an-

gegeben, zum Beispiel:

• Raumwinkel Ω

• Polarwinkel θ

• Transversalimpuls pt = |~p| · cos θ

• Energie E

Die Bestimmung erfolgt durch Messung der Winkel- beziehungsweise Energieverteilung.

Beispiel: Wirkungsquerschnitt in Abhangigkeir des Raumwinkels Ω. Betrachte dazu das

Raumwinkelelement dΩ zwischen θ und θ + dθ sowie ϕ und ϕ+ dϕ

25

dΩ = sin θdθdϕ

Die Reaktionsrate lasst sich dann schreiben als

N = L · dσ(θ)

dΩ∆Ω

Diese Schreibweise ist zum Beispiel bei der Coulombstreuung sinnvoll, da der totale Wir-

kungsquerschnitt divergiert (σtot →∞). Das lasst sich damit erklaren, dass die Reichweite

des Coulombpotentials unendlich ist.

Der doppelt differentielle Wirkungsquerschnitt ist in Abhangigkeit von zwei Variablen ge-

geben, meist Ω und E ′ (Energie des gestreuten Projektils)

dσ(E,E ′, θ)

dΩdE ′

2.3.3 Die Goldene Regel

Nun stellt sich jedoch die Frage, wie sich der Wirkungsquerschnitt theoretisch berechnen

lasst. Die Antwort darauf gibt uns die Quantenmechanik.

1. Beschreibung der Wechselwirkung durch einen Hamiltonoperator H . Das Ubergangs-

matrixelement Mfi uberfuhrt den Anfangszustand i (initial) in den Endzustand f

(final) und gibt gerade die Ubergangswahrscheinlichkeit von i nach f an.

Mfi = 〈ψf |H |ψi〉 =

∫ψ∗fH ψidV

26

2. Die Reaktionsrate hangt auch von der Anzahl der moglichen Endzustande f im Pha-

senraum ab.

Phasenraum:

Der Phasenraum ist ein 6-dimensionaler Orts- und Impulsraum. Nach der Heißenbergschen

Umscharferelation besetzt jedes Teilchen das Phasenraumvolumen

h3 = (2π~)3

Betrachte die Streuung eines Teilchens im Volumen V und Impulsbereich p′ und p′ + dp′

⇒ Kugelschale im Impulsraum 4πp′2dp′.

dn(p′) =V · 4πp′2

(2π~)3dp′

Aus E = p2

2mfolgt dE ′ = v′ · dp′. Damit ergibt sich die Dichte der Endzustande im Ener-

gieintervall dE ′:

ρ(E ′) =dn(E ′)

dE ′ =V · 4πp′2

v′(2π~)3

Die Verkupfung zwischen Mfi und dem Phasenraum ρ(E ′) ist gegeben durch Fermi’s

Goldene Regel (Quantenmechanik: Naherung fur zeitabhangige Probleme).

W =2π

~|Mfi|2 · ρ(E ′)

Dabei ist W die Reaktionsrate pro Targetteilchen und pro einfallendes Teilchen.

W =N

NbNa

=ΦaNbσ

NbNa

=σ · va

V

Somit kann man den Wirkungsquerschnitt berechnen:

σ =2π

~va

· |Mfi|2 ρ(E ′) · V

27

2.4 Rutherfordstreuung

Die gestreuten α-Teilchen lassen sich als Lichtblitze auf einem Zinnsulfidschirm beobachten.

Die verwendete Foldfolie muss dunn sein, da man nur einmalige Streuung des α-Teilchens

an einem Atomkern beobachten mochte, keine mehrfach Wechselwirkung.

Die beobachtete Große ist die Anzahl der Lichtblitze pro Raumwinkelelement

dN

dΩ

∣∣∣∣∣θ

Interpretation:

Elastische Streuung an Coulombpotential.

~Fc =1

4πε0

Z ′Ze2

r2

~r

r

Nun stellt sich die Frage, ob wir dNdΩ

vorhersagen konnen?

1. Stoßparameter b:

28

b: senkrechter Abstand zwischen Teilchen und Streuzentrum.

~Fc ist eine Zentralkraft. Draus resultiert eine vollstandige Symmetrie um die Achse

des einfallenden Strahls (Azimutal-Symmetrie)

⇒ dΩ = 2π sin θ · dθ

Betrachte nun ein Kreissegment des einfallenden Strahls, das in das Winkelsegment

[θ, θ + dθ] gestreut wird.

Elastische Streuung: Erhaltung der Teilchenzahl, die Teilchenzahlrate durch das Kreis-

segment ist also gleich der Teilchenzahlrate im Winkelsegment nach der Streuung.

Na =2πb · dbA

= N(θ, dθ) =dσ(θ)

dΩ·∆Ω · L

Mit L = Φa ·Nb und nur einem Streuzentrum (Nb = 1)erhalt man den differentiellen

Wirkungsquerschnitt zu:

dσ(θ)

dΩ=

b

sin θ·∣∣∣∣dbdθ∣∣∣∣

Das Betragszeichen stellt sicher, dass der Wirkungsquerschnitt nie negativ wird. Die-

se Gleichung gilt allgemein fur die Streuung an einem Zentralpotential. Beispiel:

Streuung an harten Kugeln.

2. Zusammenhang zwischen b und θ fur Coulombpotential: Bahnkurve (klassische Me-

chanik: Keplerproblem)

mKern >> mα

Das heißt wir haben in guter Naherung ein Einkorperproblem. Andernfalls musste

man mit der reduzierten Masse rechnen.

⇒ Streuung an einem statischen Potential

29

Drehimpuls: ~L = ~r × ~p = const. (Zentralkraft)

Wahle nun das Koordinatensystem so, dass ~L ‖ ~ez ⇒ Bahn in ebenen Polarkoordi-

naten: r, ϕ (anders als in unseren Streuproblem). In den neuen Koordinaten ist der

Drehimpuls nun mr2ϕ = l

Energieerhaltung:

E =1

2m(r2 + r2ϕ2) + V (r) = const.

Durch ersetzen von ϕ durch den Drehimpuls, Separation der Variablen und anschlie-

ßende Integration erhalten wir:

ϕ(r) = ± l

m

∫ r

r0

r′2dr′√2m

(E − V (r)− l2

2mr2 )

Die Losung des Integrals fur V = k · 1r

findet man in den Buchern der klassischen

Mechanik.

r =l2

m · (1 + ε cosϕ)ε2 = 1 +

2El2

m · k2

Mit l = b · p = b√

2mE erhalten wir:

⇒ ε2 = 1 +4E2b2

m · k2

Beziehung zwischen ϕ und θ?

Fur r = ∞ ist a + ε · cosϕ∞ = 0. Nun kann man die Symmetrie der Hyperbel

ausnutzen und die Drehachse fur ϕ in das Streuzentrum legen. Damit ist ϕ∞ = ±Ψ2,

wobei Ψ der Winkel zwischen den Asymptoten der Hyperbel ist. Aus der Relation

Ψ + θ = π folgt sin θ2

= 1ε.

⇒ b =k

2E· cot

θ

2

Erinnerung:

dσ

dΩ=

b

sin θ

(db

dθ

)db

dθ=

k

2E· ddθ

cotθ

2= −1

2

1

sin2 θ2

⇒ dσ

dΩ=

k2

4E2·cot θ

2

sin θ· 1

2

1

sin2 θ2

=1

4

(k

2E

)2

· 1

sin4 θ2

30

Mit k = Z′Z·e2

4πε0erhalten wir schließlich:

dσ(θ)

dΩ=

1

4πε0·(Z ′Z · e2

4Ekin

)21

sin4 θ2

Bemerkung:

σtot divergiert fur das Coulombpotential, da die Felder nicht auf Null gehen. Die Reichweite

der Coulombkraft ist also unendlich. In der Realitat schirmen die Elektronen der Atomhulle

das Potential jedoch ab.

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Vergleich zwischen den Vorhersagen der Theorie und

den experimentellen Ergebnissen der Rutherfordstreuung.

31

Es ergibt sich eine gute Ubereinstimmung mit dem Experiment, aber unter bestimmten

Bedingungen treten Abweichungen, namlich dann, wenn kleinste Abstande erreicht werden,

bei

1. großen Energien

2. großen Streuwinkeln (extrem: zentraler Stoß)

32

2.5 Elektronstreuung an Kernen, Formfaktor

Bei der Elektronstreuung an einem Kern wird ein virtuelles Photon ausgestauscht. Dabei

wird kinetische Energie auf den Kern ubertragen: Eruck = E − E ′.

2.5.1 Energie des gestreuten Elektrons

Zur Erinnerung: Viererimpuls p = (Ec, px, py, pz)

Der Impuls des Elektrons sei vor der Streuung p und nach der Streuung p′. Analog dazu

die Impulse des Kerns Pk und P ′k. Aus der Impulserhaltung folgt nach quadrieren

p2 + 2pPk + P 2k

Bei der elastischen Streuung ist der Betrag des Viererimpulses erhalten, also

p2 = p′2 = M2e c

2

P 2k = P ′2

k = M2k c

2

Nachweisen kann man jedoch nur das gestreute Elektron. Der Kernimpuls ergibt sich zu

P ′k = p+ Pk − p′.

⇒ pPk = p′ · (p+ Pk − p′) = p′p+ p′Pk −M2e c

2

Im Laborsystem gilt:

p = (Ec, ~p), p′ = (E′

c, ~p′) und Pk = (Mkc, 0), Pk = (

E′kc, ~Pk)

33

Wenn man dies in die Gleichung einsetzt und mit c2 multipliziert erhalt man:

EMkc2 = E · E ′ − ~p~p′c2 + E ′Mkc

2 −M2e c

4

Da E >> Mec2 kann man diesen Term vernachlassigen. Außerdem ist E ≈ |~p| · c und

E ′ ≈ |~p′| · c

cos θ =~p~p′

|~p||~p′|

⇒ EMkc2 = EE ′ · (1− cos θ) + E ′Mkc

2

Somit ergibt sich die Energie des gestreuten Elektron:

E ′ =E

1 + EMkc2

· (1− cos θ)

Bei der elastischen Streuung erhalten wir also eine eindeutige Beziehung zwischen dem

Streuwinkel θ und der Energie des gestreuten Elektrons.

34

2.5.2 Streuung an einer ausgedehnten Ladungsverteilung

Bisher haben wir die Ausdehnung des Kerns nicht berucksichtigt. Die storungstheoretische

Behandlung des Problems liefert die Born’sche Naherung (Z · α << 1)

Den einfallenden Elektronenstrahl kann man als ebene Welle beschreiben durch die Wel-

lenfunktion

ψi =1

V· ei~p~x/~

Ebenso das gestreute Elektron entsprechend

ψi =1

V· ei~p~x/~

Die Wellenfunktion ist normiert auf ein endliches Volumen, wobei dieses viel großer als das

Streuzentrum ist. ∫V

|ψi|2 dV = na · V

Dabei ist na die Teilchendichte. Nach der Goldenen Regel (siehe Abschnitt 2.3.3) ist der

Wirkungsquerschnitt gegeben durch

σ =2π

~ve

· |Mfi|2ρ(E ′) · V

Die Zustandsdichte ist gegeben durch

ρ(E ′) =V · 4πp′2

v′(2π)3

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt sich durch Division durch 4π. Fur relativis-

tische Elektronen gilt: ve = v′ = c und p′c = E ′. Das Ubergangsmatrixelement ist gegeben

35

durch Mfi = 〈ψf |Hint |ψi〉

dσ

dΩ=

V 2E ′2

(2π)2 · (~c)4· |〈ψf |Hint|ψi〉|2

Berechnung von 〈ψf |Hint|ψi〉:

Der Wechselwirkungsoperator ist in diesem Fall gegeben durch das Coulombpotential:

Hint = e · Φ. Das Ubergangsmatrixelement berechnet sich dann folgendermaßen:

〈ψf |Hint |ψi〉 =e

V

∫ei~p′~x/~Φ(~x)ei~p~x/~d3x

Der Impulsubertrag ~q ist gegeben durch ~q = ~p − ~p′. Damit lasst sich das Matrixelement

nun schreiben als:

〈ψf |Hint |ψi〉 =e

V

∫Φ(~x)ei~q~x/~d3x

Mit dem Green’schen Theorem, einem Korrolar des Satzes von Gauß∫V

u∆vd3x =

∫V

v∆ud3x

lasst sich das Integral nun umschreiben als:∫Φ(~x) · ei~q~x/~d3x− ~2

|~q|2·∫ei~q~x/~ ·∆Φ(~x) d3x

Aus der Elektrodynamik ist bekannt:

∆Φ = −ρ(~x)ε0

Die Ladungsdichte ρ(~x) ist statisch. Wir definieren nun die auf die Gesamtladung normierte

Ladungsdichte f(~x):

ρ(~x) = Z · e · f(~x)

Mit der Feinstrukturkonstante α = e2

4πε0~classt sich das Matrixelement schließlich schreiben

als

〈ψf |Hint |ψi〉 =Z · 4πα~3c

|~q|2 · V

∫f(~x)ei~q~x/~d3x

Wir definieren das Integral nun als Formfaktor:

F (~q) =

∫V

f(~x)ei~q~x/~d3x

36

Der Formfaktor ist die Fouriertransformierte der normierten Ladungsverteilung. Der diffe-

rentielle Wirkungsquerschnitt lasst sich nun schreiben als

dσ

dΩ=

4 · Z2α(~c)2E ′2

(|~q|c)4· F (~q)2

Als Beispiel betrachten wir nun die Streuung an einer punktformigen Ladungsverteilung

f(~x) = δ(~x). Dies liefert uns die schon bekannte Rutherfordstreuung.

Der Formfaktor ist konstant und bei entsprechender Normierung F (~x) = 1. Der Ruckstoß

ist vernachlassigbar. Mit E ′ = E beziehungsweise |~p| = |~p′| erhalten wir:

sinθ

2=

|~q|2 · |~p|

⇒ |~q| = 2 · |~p| sin θ2

(dσ

dΩ

)Rutherford

=Z2α2(~c)2

3 · E2 sin4 θ2

Diese Herleitung uber den Formfaktor ist wesentlich einfacher als die Herleitung in Ab-

schnitt 2.4.

37

Messung von Formfaktoren:

Minimum bei θ = 51: ⇒ |~q|/~ ≈ 1,8 fm−1

• Rascher Abfall: 1|~q|4 -Abhangigkeit.

• Minimum: Der Formfaktor stellt ein Beugungsbild dar.

Mott-Wirkungsquerschnitt:

Das Elektron hat Spin 12. Berucksichtigt man dies, andert sich die Winkelverteilung:(dσ

dΩ

)∗

Mott

=

(dσ

dΩ

)Rutherford

·(

1− β2 sin2 θ

2

)Dabei ist β = v

c. Der Stern ∗ kennzeichnet, dass der Ruckstoß des Targets nicht berucksichtigt

wird.

Im Spezialfall einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung f(~x) = f(|~x|) = f(r) erhalt

man in Kugelkoordinaten:

F (~q2) = 4π

∫f(r) · sin(|~q|r/~)

|~q|r/~r2dr

38

Zusammenhang zwischen dem Formfaktor und der Ladungsverteilung:

39

Elektronenstreuung an 40Ca und 48Ca:

Das Minimum liegt bei 48Ca bei einem kleineren Winkel als bei 40Ca. Somit besitzt 48Ca

eine großere Ausdehnung.

Radiale Ladungsverteilung der Kerne:

Wie auf nachfolgender Abbildung zu sehen ist, haben die Kerne in der Mitte eine nahezu

konstante Ladungsdichte. Zum Rand hingegen lauft diese diffus aus.

Eine gute Beschreibung der radialen Ladungsverteilung ist gegeben durch die Fermi-Verteilung:

%(r) =%(0)

a+ e(r−c)/a

Mit c = 1,07 fm · A 13 und a = 0,54 fm.

40

Der mittlere quadratische Radius ist gegeben durch:

< r2 >= 4π

∫ ∞

0

r2f(r) · r2dr

Fur mittlere und schwere Kerne gilt jedoch die Naherung:

√< r2 > = r0 · A

13

wobei r0 = 0,94 fm ist.

Man kann den Kern also naherungsweise als Kugel mit Radius R ansehen. Mit

R2 = 53< r2 > erhalten wir die Beziehung, die wir bereits in der Massenformel verwendet

haben:

R = 1,21 · A13 fm

Ausnahmen bilden nur dich leichten Kerne, wie zum Beispiel: 6Li, 9Be und 4He. Diese

Kerne besitzen ungefahr eine gaußformige Ladungsverteilung.

Die Nukleondichte im Kern ist also nahezu konstant, mit im Mittel:

%N ≈ 0,17Nukleonen

fm3

41

2.6 Elektronstreuung an Nukleonen

Bei der Elektronstreuung an Nukleonen ist der Ruckstoß nicht mehr zu vernachlassigen,

da die Energie in die Großenordung der Ruhemasse der Nukleonen kommt.(dσ

dΩ

)Mott

=

(dσ

dΩ

)∗

Mott

· E′

E

Außerdem muss auch das magnetische Moment des Nukleons berucksichtigt werden. Fur

Spin 12-Teilchen ohne innere Strukur (Dirac-Teilchen) gilt:

µ = ge

2M

~2

wobei g = 2

Nukleonen hingegen haben ein magnetisches Moment von

µp =gp

2· µN = 2,79 · µN

wobei µN = e~2Mp

das Kernmagneton ist. Folglich sind Nukleonen keine Diracteilchen und

besitzen eine Substruktur.

Zur Beschreibung der Streuung werden nun zwei Formfaktoren benotigt:

• elektrischer Formfaktor GE(Q2)

• magnetischer Formfaktor GM(Q2)

Rosenbluth-Formel:

dσ

dΩ=

(dσ

dΩ

)Mott

·[G2

E(Q2) + τG2M(Q2)

1 + τ+ 2τGM2(Q2) · tan2 θ

2

]

τ =Q2

4M2c2

42

Messung des Formfaktors:

43

Ergebnis der Messungen:

Die Formafktoren GE(Q2) und GM(Q2) haben bis auf die Normierung die gleiche Form.

Dipolverteilung:

GDipol(Q2) =

(1 +

Q2

0,71(

GeVc

)2)−2

GpE(Q2) =

1

2,79Gp

M(Q2) =1

−1,91Gn

M(Q2) = GDipol(Q2)

Dipolfaktor ⇒ Exponentiell abfallende Ladungsverteilung

%(r) = %(0) · e−ar

mit a = 4,27 fm−1

Nukleonen sind nicht punktformig und sind auch keine Kugeln! Ihr mittlerer quadratischer

Ladungsradius ist gegeben durch:√< r2

p > = 0,862 fm

44

3 Grundlagen der Teilchenphysik

3.1 Tiefinelastische Streuung

Idee: Je hoher der Impulsubertrag Q2 (Q2 = −q2) desto kleiner ist die Wellenlange des

virtuellen Photons und desto kleinere Strukturen konnen aufgelost werden.

Die Elektron-Proton-Streuung wurde Ende der 1960er Jahre am SLAC bei Energien bis 25

GeV untersucht.

3.1.1 Proton-Resonanzen

45

Resonanzanregungen des Protons deuten darauf hin, dass das Proton ein zusammengesetz-

tes Objekt ist.

Die invariante Masse W der Resonanzen:

W 2c2 = p′2 = (p+ q)2

= M2c2 + 2pq + q2

= M2c2 + 2Mν + q2

Dabei ist die Große ν = p·qM

lorentzinvariant. Falls das Targetproton in Ruhe ist gilt:

ν = E − E ′

3.1.2 Strukturfunktionen

Bei weiterer Erhohung der Elektronenenergie wird das Proton zerstort. Dabei werden neue

Hadronen erzeugt. Dieser Prozess wird Tiefinelatische Streuung genannt.

Im Gegensatz zur elastischen Streuung besteht kein fester Zusamenhang mehr zwischen

E ′ und Θ → 2 Parameter. Die Formfaktoren heißen im Fall der inelastischen Streuung an

Nukleonen Strukturfunktionen: w1 und w2.

Der differentielle Wirkungsquerschnitt fur die tiefinelastische Streuung ist gegeben durch:

d2σ

dΩdE ′ =

(dσ

dΩ

)∗

Mott

·[w2(Q

2, ν) + 2 · w1(Q2, ν) · tan2 Θ

2

]Dabei ist ν = E − E ′.

46

Auf der nachfolgenden Abbildung ist der doppelt differentielle Wirkungsquerschnitt fur

die ep-Streuung bei Wasserstoff unter einem festen Streuwinkel von Θ = 4. Die Energie

variiert von 4,5 bis 20 GeV.

Beobachtungen:

• Nukleonresonanzen sind mit zunehmenden Q2 deutlich weniger ausgepragt. Der Ab-

fall des Wirkungsquerschnitts ist fur das ∆(1232) am Auffalligsten.

• Der Abfall schwacht sich mit zunehmender Energie ab.

• Im Kontinuumsbereich bei W ≥ 2, 5 GeV/c2 ist die Abnahme des Wirkungsquer-

schnitts mit Q2 nur gering.

47

3.1.3 ep-Wirkungsquerschnitt jenseits des Resonanzbereichs, Skaleninvarianz

Auf der obigen Abbildung ist der ep-Wirkungsquerschnitt jenseits des Resonanzbereichs

aufgetragen. Ab W ≥ 2 GeV/c2 hangt der Wirkungsquerschnitt nurnoch schwach von

Q2 ab. Da Q2 die Energieskala des Streuprozesses darstellt bezeichnet man diese Verhal-

ten auch als Skaleninvarianz. Man beobachtet jedoch einen dramatischen Unterschied zur

elastischen Streuung: Man erhalt wesentlich hohere Zahlraten.

48

Wie bereits diskutiert ist der Formfaktor beziehungsweise die Strukturfunktion die Fou-

riertransformierte der raumlichen Ladungsverteilung

Experimentelle Beobachtung:

Die Strukturfunktion ist unabhangig von Q2, die Streuung erfolgt also an punktformigen

Quellen. Die Ladungsverteilung ist also eine Deltafunktion. Die punktformigen Konstitu-

enten des Protons konnen als Quarks identifiziert werden.

Die Konstituenten des Protons, beziehungsweise aller Hadronen werden auch als Partonen

bezeichnet.

Bjorkens Skalierungshypothese (1967)

Bei hohen Energien verschwindet die Abhangigkeit der Strukturfunktion von q2. Die Funk-

tionen hangen nurnoch von

x ≡ − q2

2pe · q= − q2

2Mν=

Q2

2Mν

49

der Bjorken’schen Skalierungsvariablen ab, auch bezeichnet als”Bjorken x“, die eine lor-

entzinvariante Große ist.

Nun lassen sich die Strukturfunktionen in Abhangigkeit von x schreiben:

F1(x,Q2) = Mc2 ·W1(Q

2, ν)

F2(x,Q2) = ν ·W1(Q

2, ν)

Skaleninvarianz (Bjorkenscaling):

F1(x,Q2) → F1(x)

F2(x,Q2) → F2(x)

50

3.1.4 Das Partonmodell

Bei hohen Energien streut das virtuelle Photon, beziehungsweise das Elektron durch Aus-

tausch des Photons an den Partonen, die in diesem Zusammenhang als”quasi-freie“ Teil-

chen angesehen werden konnen.

Die tiefinelastische ep-Streuung entspricht also der Summe uber elastische eqi-Streuungen,

wobei die qi die einzelnen Quarks des Protons sind.

Bemerkung: Die Impulskomponenten pi werden mit zi skaliert. Die Strahlenergie ist viel

großer als der Impuls der Partonen relativ zueinander.

Ansatz:

2 ·W Punkt1 (Q2, ν) =

Q2

2M2δ(ν − Q2

2M)

W Punkt2 (Q2, ν) = δ(ν − Q2

2M)

Einsetzen in die Formel fur d2σdE′dΩ

und Integration uber E ′ ergibt eine Formel fur die elas-

tische Streuung an einem Spin 12-Punktteilchen.

Die Callan-Gross Relation

F2(x) = 2x · F1(x)

Dies gilt jedoch nur fur Spin 12-Teilchen. Fur Spin 0-Teilchen gilt F1(x) = 0, da dieser Term

von der magnetischen Wechselwirkung abhangt.

51

Experimentelle Bestatigung: 2xF1

F26= 0 ⇒ Die Partonen des Protons sind 1

2-Teilchen. Diese

werden Quarks genannt.

Der Impulsanteil zi ist nicht fest sondern durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben: fi

Partondichte

Bjorken x entspricht dem Impulsanteil zi

F1(x) =1

2

∑i

q2i fi(x)

F2(x) = x∑

i

q2i fi(x)

Das Proton besteht aus zwei up-Quarks und einem down-Quark. Entsprechend brauchen

wir die Partondichten u(x) und d(x).

F2(x) = x

[(2

3

)2

u(x) +

(1

3

)2

d(x)

]

52

Mit Berucksichtigung der Seequarks ergibt sich:

F2(x) = x∑

f

z2f (qf (x) + qf (x))

Die naive Erwartung an die Partondichtefunktion (PDF = Parton Density Function) sieht

folgendermaßen aus:

a.) Ware das Proton punktformig (nur ein Quarks vorhanden), ware die PDF eine δ-

Funktion bei 1.

b.) Bestunde das Proton aus 3 unabhangigen, nicht wechselwirkenden Quarks, wurde sich

der Impuls gleichmaßig auf die Quarks aufteilen. Die PDF ware eine δ-Funktion bei 13

Das Proton ist ein komplexes”lebendiges“ Objekt. Die Seequarks, Gluonen und Valenz-

quarks wechselwirken miteinander.

53

a.) Wechselwirkung zwischen den Valenzquarks durch Gluonenaustausch berucksichtigt.

Die Deltafunktion wird verschmiert. Das Maximum liegt unterhalb von 13.

b.) Gluonen und Seequarks tragen ebenfalls einen Anteil des Protonimpulses, die Gluon-

dichte g(x) muss also ebenfalls berucksichtigt werden. Dies fuhrt zu einem steilen Anstieg

der PDF bei kleinem x.

Messungen von ZEUS an HERA (DESY, Hamburg) in den 1990er Jahren.

• bei großem x: Hauptbeitreg durch die Valenzquarks

• bei kleinem x: Hauptbeitrag durch Seequarks und Gluonen

54

Im mittleren x-Bereich wird die Skaleninvarianz bestatigt. Fur großere x fallt F2 mit Q2

und fur kleinere x fallt F2 mit Q2.

Bjorken’sche Skaleninvarianz ist verletzt. Dies wird auch Skalenverletzung genannt. Ursa-

che: Die Quarks emittieren/absorbieren Gluonen.

55

3.2 Symmetrien und Erhaltungssatze

Empfehlenswerte Literatur:

D.Griffiths, Introduction to elementary particles

D. H. Perkins, Hochenergiephysik

E. Noether, 1917: Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssatzen.

• Kontinuierliche Transformationen

Transformation Erhaltungsgroße

Raumtranslation Impulserhaltung

Zeittranslation Energieerhaltung

Rotations-Transf. Drehimpulserhaltung

Eichtransformation Ladungserhaltung

• Diskrete Transformationen

Transformation Erhaltungsgroße

Raumspiegelung Paritat P

Teilchen ↔ Antiteilchen Ladungsparitat C

Zeitspiegelung Zeitparitat

Eichtransformation und Teilchen-Antiteilchenaustausch bedingen interne Symmetrien, Im

Gegensatz zu Raum-Zeit-Symetrien

Was ist eine Symmetrie?

Eine Symmetrie ist die Eigenschaft eines Systems, invariant in Bezug auf die Anwendung

einer bestimmten Symmetrieoberation zu sein. Dabei bedeutet invariant, dass der Zustand

nach Anwendung der Operation ununterscheidbar vom Zustand vor Anwendung der Ope-

ration ist.

Ein Beispiel ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Zustand sich nach einer Drehung um ein

Vielfaches von 120 nicht verandert.

56

Symmetrieoperationen mussen bestimmte Eigenschaften aufweisen:

1. Abgeschlossenheit: Wenn Ri und Rj Operationen sind, dann ist es die Verknupfung

Ri Rj = Rk auch.

2. Existenz der Identitat (neutrale Operation)

E Ri = Ri

3. Existenz einer inversen Operation: Zu jedem Ri gibt es eine inverse Operation R−1i

so dass gilt

Ri R−1i = R−1

i Ri = E

4. Assoziativgesetz

Ri (Rj Rk) = (Ri Rj) Rk

Die Menge der Operationen heißt Gruppe. Beim Spezialfall der Abel’schen Gruppe gilt

zusatzlich das Kommutativgesetz:

Ri Rj = Rj Ri

Endliche Gruppen haben eine endliche Anzahl von Elementen

Kontinuierliche Gruppen hangen von einem oder mehreren kontinuierlichen Parametern

ab, z.B. bei Drehungen vom Drehwinkel.

Diskrete Gruppen: Elemente sind abzahlbar.

In der Physik betrachtet man meistens Gruppen von Matrizen

U(n): Gruppe der unitaren n× n-Matrizen. Die Elemente sind komplex.

U−1 = UT = U+

SU(n): Matrizen aus U(n) mit det U = 1.

O(n): Gruppe der orthogonalen n× n-Matrizen. Elemente sind reell.

A−1 = AT

SO(n): Matrizen aus O(n) mit det O = 1.

Beispiel: SO(3) ⇒ Rotation im Raum

57

Interne Symmetrien:

SU(2) → Schwache Wechselwirkung

SU(3) → Starke Wechselwirkung, Rotation im Farbraum

Eine kontinuierliche Transformation kann zum Beispiel ein quantenmechanischer Operator

sein:

Betrachte infinitesimale Translationen δx im Raum. Dies wirkt folgendermaßen auf die

Wellenfunktion (ψ → ψ′):

ψ′ = ψ(x+ δx) ≈ ψ(x) + δx · ∂ψ(x)

∂x= (1 + δx

∂

∂x)ψ = D · ψ

Mit dem Impulsoperator p = −i~ ∂∂x

lasst sich der Operator D schreiben als:

D = 1 +i

~p · δx

Eine endliche Transformation ∆x wird dann aus n infinitesimalen Schritten zusammen

gesetzt.

D = limn→∞

(1 +

i

~p · δx

)n

= exp

(i

~p ·∆x

)Da p unitar ist, ist es auch D:

D∗D = D−1D = 1

Der Impulsgenerator p wird als Generator des Translationsoperators bezeichnet. Wenn der

Hamiltonoperator H unabhangig von raumlichen Translationen ist, gilt [D,H] = 0 ⇔[p,H] = 0

Folglich ist der Erwartungswert von p eine erhaltene Große: ∂p∂t

= 0

Aquivalente Aussagen:

1. Der Impuls ist erhalten

2. Der Hamiltonoperator ist invariant unter raumlichen Translationen

3. [p,H] = 0

3.2.1 Paritat

Die Paritatstransformation ist eine Raumspiegelung am Ursprung: x

y

z

⇒

−x−y−z

~r ⇒ −~r

58

Sie ist eine diskrete Transformation. Der Paritatsoperator P ist definiert als

Pψ(~r) → ψ(−~r)

Da offensichtlich P 2 = 1 gilt, ist P unitar und besitzt die Eigenwerte ±1.

Eine Eigenfunktion zum Paritatsoperator existiert, wenn das System spiegelinvariant ist.

Dann gilt:

|ψ(~r, t)|2 = |ψ(−~r, t)|2

ψ(~r, t) = ±ψ(−~r, t)

Beispiel: ψ(x) = cos(x)

Pψ = cos(−x) = cos(x) = ψ

⇒ p=1, cos(x) ist also eine gerade Wellenfunktion. Im Gegensatz dazu ist ψ(x) = sin(x)

eine ungerade Wellenfunktion mit der Paritat p = −1.

Es gibt aber auch Wellenfunktionen, die keine Eigenfunktionen des Paritatsoperators P

sind, zum Beispiel:

ψ(x) = sin(x) + cos(x)

Pψ(x) = − sin(x) + cos(x) 6= ψ

Dieser Zustand hat keine definierte Paritat.

Die Paritat ist eine erhaltene Quantenzahl, falls [P,H] = 0. Fur kugelsymmetrische Poten-

tiale gilt H(−~r) = H(~r):

⇒ [P,H] = 0

Somit haben gebundene Zustande eine definierte Paritat.

Beispiel: Wasserstoff-Atom (ohne Spineffekte)

Die Wellenfunktionen sind gegeben durch

ψ(r, θ, φ) = χ(r)Y ml (θ, φ)

Raumspiegelung:

θ → π − θ

φ → π + φ

Y kl (θ, φ) → Y k

l (π − θ, π + φ) = (−1)lY kl (θ, φ)

59

Die Paritat der Elektronzustande ist also durch den Bahndrehimpuls gegeben:

p = (−1)l

Folglich haben s,d,g-Zustande die Paritat p = 1, wahrend die p,f,h-Zustande die Paritat

p = −1 haben.

Elektrische Dipolubergange:

Die Auswahlregel fur einen elektrischen Dipolubergang besagt: ∆l = ±1. Somit andert sich

die Paritat des Elektronzustandes. Die Paritat des abgestrahlten Photons ist −1 und die

Paritat des Gesamtsystems (Atom + Photon) ist erhalten.

Pγ = −1

Die Paritat ist eine multiplikative Quantenzahl: Die Paritat des Gesamtsystems ist gleich

dem Produkt der einzelnen Paritaten. In der starken und der elektromagnetischen Wech-

selwirkung ist die Paritat erhalten, zum Beispiel:

p+ p → π+ + p+ n

Dabei ist π+ = (ud). Den Teilchen wird eine Eigenparitat zugeordnet. Die Nukleonen

haben per Konvention die Paritat +1. Da die Baryonenzahl erhalten ist, heben sich die

Nukleonparitaten in der Reaktion weg.

Paritat des Pions: Das Pion hat Spin 0. Die Absorption langsamer Pionen in Deuterium

liefert die Festlegung der Paritat des Pions.

π− + d → n+ n

Dabei erfolgt der Pion-Einfang aus einem s-Bindungszustand (lrel = 0). Die Spins sind

sd = 1 und sπ = 0. Im Anfangszustand haben wir also j = 1. Da der Drehimpuls erhalten

ist, gilt dies auch fur den Endzustand: j = 1

~Jtot = ~Snn + ~Lrel

Kopplungsmoglichkeiten fur die Spins der Neutronen:

↑ + ↓ ⇒ snn = 0

↑ + ↑ ⇒ snn = 1

Daraus ergeben sich vier Kopplungsmoglichkeiten fur den Gesamtdrehimpuls:

60

1. snn = 0 lrel = 1

2. snn = 1 lrel = 0

3. snn = 1 lrel = 1

4. snn = 1 lrel = 2

Die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus der Orts- und der Spinwellenfunktion zusammen:

ψges = ψ(~r1, ~r2) · S(s1, s2)

Die Ortswellenfunktion kann durch die Kugelflachenfunktionen Y ml (θ, φ) dargestellt werden

und hat somit die Paritat (−1)lrel .

Die Neutronen sind Spin 12-Teilchen (Fermionen) und gehorchen dem Pauliprinzip. Also

muss die Gesamtwellenfunktion im Endzustand antisymmetrisch sein.

Fall 1: Im Zustand |↑↓〉 ist die Spinwellenfunktion antisymmetrisch. Wegen lrel = 1 ist auch

die Ortswellenfunktion antisymmetrisch, womit die Gesammtwellenfunktion symmetrisch

wird, was aber im Widerspruch zum Pauliprinzip steht!

Fall 2-4: Der Zustand |↑↑〉 ist ein Triplet-Zustand. somit ist S(s1, s2) symmetrisch. Folglich

muss die Ortswellenfunktion antisymmetrisch sein.

⇒ lrel muss ungeradzahlig sein.

Fall 3 mit s = 1 und L = 1 ist also realisiert. Die Paritat im Endzustand ist dann gegeben

durch:

Pf = P 2Neutron · (−1)L = −1

Da die Paritat erhalten ist gilt auch:

Pinitial = −1 = Pπ · Pd · PBahn

Da das Deuteron d aus zwei Nukleonen besteht, hat es die Paritat 1. Ebenso hat auch die

Bahn die Paritat (−1)0 = 1. Somit muss fur die Paritat des Pions gelten:

Pπ = −1

Die Eigenparitat von Teilchen und Antiteilchen ist:

a.) bei Fermionen entgegengesetzt

b.) bei Bosonen identisch

61

3.2.2 Ladungskonjugation

Symmetrie der Naturgesetze in Bezug auf Austausch von Teilchen und Antiteilchen.

C |Teilchen〉 = |Antiteilchen〉

Das Vorzeichen ALLER Ladungen wechselt!

Elektrodynamik

Invarianz der Maxwellgleichungen unter Vorzeichenumkehr von Ladung und Stromdichte.

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung erhalten C.

Eigenzustande der Ladungskonjugation:

Nur moglich fur neutrale Systeme, z.B. γ und π0

• Photon: Elektromagnetisch Felder ~E und ~B wechseln das Vorzeichen unter C, da sie

durch Ladungen beziehungsweise Strome hervorgerufen werden.

C |γ〉 = − |γ〉

Somit ist cγ = −1

• Pion π0: Das Pion zerfallt mit einem Branching Ratio (Verzweigungsverhaltnis) von

BR = 98, 8 % in zwei Photonen.

π0 → γγ

C∣∣π0⟩

= ηπ0

∣∣π0⟩

Da wir wissen, dass cfinal = c2γ = 1 ist, erhalten wir:

ηπ0 = +1

Frage: gibt es einen c = −1 Anteil, also π0 → γγγ ?

BR(π0 → 3γ)

BR(π0 → 2γ)< 3 · 10−8 [1998]

Folglich ist die Ladungskonjugation ist eine Symmetrie der elektromagnetischen Wech-

selwirkung

62

3.2.3 Zeitumkehr

Tψ(~r, t) → ψ(~r,−t)

Darunter versteht man die Invarianz der Naturgesetze unter Umkehrung der Zeitentwick-

lung.

• klassisch: Newtons Gesetze sind invariant.

F = md2x

dt2

• Teilchenphysik:

A+B → C +D = C +D → A+B

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung sind invariant unter Zeitum-

kehr.

t-Spiegelung:

t→ −t

~v → −~v

~p→ −~p

~σ → −~σ

Dabei bezeichnet σ den Spin eines Teilchens.

Als Beispiel ware zu nennen:

p+27 Al↔ α+26 Mg

Wie man auf der nachfolgenden Abbildung sieht, sind die Wirkungsquerschnitte fur die

beiden Reaktionen quasi identisch.

63

3.3 Der Teilchenzoo

3.3.1 Elementarteilchen im Standardmodell

Spin-12-Teilchen → Fermionen, Bestandteile der Materie.

Spin-0-Teilchen → Bosonen, Vermittler der Krafte.

Fermionen

Leptonen

(νe

e

)(νµ

µ

)(ντ

τ

)+ Antiteilchen

Quarks

(u

d

) (c

s

) (t

b

)+ Antiteilchen

Es existieren also drei Familien (oder Generationen). Die verschiedenen Quarksorten be-

64

zeichnet man als”Flavours“ (engl.: flavour = Geschmack).

u up c charm t top (truth)

d down s strange b bottom (beauty)

Die verschiedenen Lepton-Sorten heißen Leptonflavours.

e Elektron

µ Myon + deren Neutrinos

τ Tau

Wechselwirkungsteilchen

Die Wechselwirkungsteilchen sind die Vermittler der Krafte in der Natur.

Elektromagnetische Wechselwirkung Photon γ

Schwache Wechselwirkung Z0, W±

Starke Wechselwirkung 8 Gluonen g

Gravitation Graviton (Spin 2) G

Es gibt noch keine Quantentheorie der Gravitation. Sie ist also kein Bestandteil des Stan-

dardmodells.

Kopplungen:

1. Leptonen:

e,µ,τ : Elektromagnetische und schwache Wechselwirkung.

νe,νµ,ντ : nur schwache Wechselwirkung.

2. Quarks:

Elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung

Zu jeder Kopplung tragen die Teilchen entsprechende Ladungen.

Elektrische Ladung:

Leptonen:

e,µ,τ : −1 · e → e−,µ−,τ−

Antiteilchen: +1 · e → e+,µ+,τ+

Neutrinos: elektrisch neutral

65

Quarks:

u-Typ Quarks: u, c, t: zf = +23e

u, c, t: zf = −23e

d-Typ Quarks: d, s, b: zf = −13e

d, s, b: zf = +13e

”Schwache Ladung“: Die Ladung der schwachen Wechselwirkung ist der Isospin T . Die

Beschreibung der schwachen Wechselwirkung erfordert, dass Quarks und Leptonen ei-

ne Handigkeit zugeordnet wird. Entsprechend bezeichnet man diese als linkshandige und

rechtshandige Teilchen.

Leptonen: T T3(νe

e

)L

(νµ

µ

)L

(ντ

τ

)L

12

+12

−12

eR µR τR 0 0

Quarks: (u

d′

)L

(c

s′

)L

(t

b′

)L

12

+12

−12

uR cR tR 0 0

dR sR bR 0 0

Die W-Bosonen koppeln nur an die linkshandigen Zustande (Dubletts), zum Beispiel: Tief-

inelastische Streuung uber W−-Austausch, auch”geladene Strom-Wechselwirkung“ (char-

ged current) genannt.

Mehr Details zur schwachen Wechselwirkung folgen in Kapitel 5.1

”Starke Ladung“: Die Ladung der starken Wechselwirkung wird Farbe genannt. Die Quarks

tragen die Farbladungen”rot, grun, blau“. Die entsprechenden Antiquarks tragen die da-

zugehorigen Antifarben. Bindungszustande von Quarks mussen immer Farbneutral, also

Farbsingletts sein.

66

Man unterscheidet zwei Sorten von Hadronen:

1. Mesonen: Mesonen sind q1q2 Zustande. Die Konstituenten tragen Farbe und Antifar-

be, sodass die Mesonen farbneutral sind.

2. Baryonen: Baryonen sind q1q2q3 Zustande, wobei die Quarks die Farben rot-grun-

blau tragen. Nach der additiven Farbmischung ist auch dieser Zustand”weiß“, also

farbneutral.

3.3.2 Mesonen

• Mesonen sind q1q2 Bindungszustande.

• Paritat: Quarks und Antiquarks tragen entgegengesetzte Paritaten. Folglich sind die

Paritaten gegeben durch den Bahndrehimpuls, also (−1)L+1. Im Folgenden betrach-

ten wir nur Zustande mit L = 0. Zustande mit L > 0 werden als orbital angeregte

Zustande bezeichnet. Fur den Grundzustand (L = 0) gilt: P = −1.

• Spin: Die Spins haben zwei Einstellmoglichkeiten: ↑↓ mit Spin 0 oder ↑↑ mit Spin 1.

Nun erfolgt eine Klassifizierung der Mesonen nach

• pseudoskalare Mesonen: JP = 0−

• Vektormesonen: JP = 1−

1. Pseudoskalare Mesonen aus u- und d-Quarks

Die Konstituentenmassen (d.h. die effektiven Massen der Quarks in einem Bindungs-

zustand) von u- und d-Quarks sind in der Großenordnung von 300 MeV/c2. Das

Konzept der Quarksmassen ist kompliziert, da Quarks nicht als freie Teilchen auftre-

ten. Die vergleichbaren Massen von u- und d-Quarks fuhren zu einer Entartung, das

heißt, Zustande mit gleichen Quantenzahlen konnen mischen. Die Beschreibung der

Mischung von u- und d-Quarks erfolgt durch den Isospinformalismus

u- und d-Quarks bilden ein Isospin-Dublett I = 12

u I3 = +12

u I3 = −12

d I3 = +12

d I3 = −12

Der starke Isospin ist eine Erhaltungsgroße der starken Wechselwirkung. Alle im Iso-

spinraum gedrehten Zustande sind im Bezug auf die starke Wechselwirkung aquivalent.

67

Mathematisch wird der Isospin behandelt wie der Drehimpuls.

u =∣∣12

+ 12

⟩d =

∣∣12− 1

2

⟩u =

∣∣12− 1

2

⟩d =

∣∣12

+ 12

⟩Die u- und d-Quarks konnen zu einem Isospin-Triplett (I=1) oder zu seinem Isospin-

Singlett (I=0) koppeln.

Isospin-Triplett:

|1 1〉 = −ud π+

|1 0〉 = 1√2(uu− dd) π0

|1 − 1〉 = du π−

Isospin-Singlett:

|0 0〉 = 1√2(uu+ dd)

Aber: Das strange-Quark muss auch berucksichtigt werden!

2. Pseudoskalare Mesonen mit strange-Quark Anteil

Das s-Quark tragt die additive Quantenzahl”strangeness“. Diese ist in der star-

ken und der elektromagnetischen Wechselwirkung erhalten. Nur geladene schwache

Strome (W-Austausch) andern strangeness.

Isospin: flavour SU(2) Symmetrie

2⊗ 2 = 3⊕ 1

Flavour: SU(3)

3⊗ 3 = 8⊕ 1

Oktettzustande: K+ = us K− = su

K0 = ds K0 = −sdstrangeness: +1 -1

η = 1√6(uu+ dd− 2ss): flavourneutral, aber kein SU(3) Singlett

η′ = 1√3(uu+ dd− 2ss): SU(3)Flavour Singlett, in u,d,s antisymmetrisch:

68

Dies ergibt insgesamt das SU(3)Flavour Nonett:

Ware die Flavour-SU(3) eine perfekte Symmetrie, hatten alle Teilchen eines Super-

multipletts die gleiche Masse!

Mesonen Masse [MeV/c2]

π± 139.57

π0 134.98

η 547.51

η′ 957.78

K± 493.68

K0/K0 497.65

⇒ Flavour-SU(3) ist keine gute Symmetrie!

3. Vektormesonen

Die Vektormesonen haben Spin 1, sind also Zustande der Art ↑↑. Sie bilden ebenfalls

ein Nonett:

69

Zustande mit strangeness:

|K∗−〉 =∣∣s↑u↑⟩ ∣∣K∗0⟩ =

∣∣s↑d↑⟩ s=-1

|K∗0〉 =∣∣s↑u↑⟩ |K∗+〉 =

∣∣u↑s↑⟩ s=+1

Darstellung der flavourneutralen Zustande:

|ρ0〉 = 1√2

(∣∣u↑u↑⟩− ∣∣d↑d↑⟩) gleich wie π0 bis auf Spin

|ρ0〉 = 1√2

(∣∣u↑u↑⟩+∣∣d↑d↑⟩) kein SU(3) Singlett!

|φ〉 =∣∣s↑s↑⟩ kein SU(3) Singlett!

Maximal entmischt

Phanomenologische Massenformel fur die leichten Mesonen:

Mqq = mq +mq + ∆Mss

Dabei sind die mq die oben bereits angesprochenen Konstituenten Quarkmassen und ∆Mss

die Massenverschiebung auf Grund der Spin-Spin-Wechselwirkung.

Das Potential der Spin-Spin-Wechselwirkung ist gegeben durch:

Vss(qq) =8π~3

9cαs~σq · ~σq

mqmq

δ(~x)

Das farbmagnetische Potential hangt won der Spineinstellung der beiden Quarks ab.

~σq·~σq =4

~~sq·~sq = 2·[s(s+ 1)− sq(sq + 1)− sq(sq + 1)] =

-3 fur s=0, fur pseudoskal. Mesonen

+1 fur s=1, fur Vektormesonen

70

Die Anpassung der Massenformel an die Messungen liefert:

mu,d ≈ 310 MeV/c2

ms ≈ 483 MeV/c2

Dies sind jedoch die Konstituentenmassen. Die intrinsischen Massen (nackte Massen) sind

ungefahr:

mu,d ≈ 5− 10MeV/c2

ms ≈ 150 MeV/c2

3.3.3 Baryonen

Baryonen sind q1q2q3 Bindungszustande. Die moglichen Spineinstellungen sind:

↑↑↑, ↑↓↑, ↑↑↓, ...1

2⊗ 1

2⊗ 1

2=

3

2⊕ 1

2⊕ 1

2

Die drei Quarkspins konnen folglich zu Spin 32

oder Spin 12

koppeln.

71

1. Spin 32

∣∣32

32

⟩= |↑↑↑〉∣∣3

212

⟩= 1√

3(|↑↑↓〉+ |↑↓↑〉+ |↓↑↑〉)∣∣3

212

-⟩

= 1√3(|↓↓↑〉+ |↓↑↓〉+ |↑↓↓〉)∣∣3

232

-⟩

= |↓↓↓〉

vollstandig

symmetrisch

2. Spin 12

∣∣12

12

⟩12

= 1√2(|↑↓〉 − |↓↑〉) |↑〉∣∣1

212

-⟩

12= 1√

2(|↑↓〉 − |↓↑〉) |↓〉

antisymmetrisch unter

Austausch von 1 und 2.

∣∣12

12

⟩23

= 1√2|↑〉 (|↑↓〉 − |↓↑〉)∣∣1

212

-⟩

23= 1√

2|↓〉 (|↑↓〉 − |↓↑〉)

antisymmetrisch unter

Austausch von 2 und 3.

Die Spinwellenfunktionen der Spin 12.Baryonen sind nur partiell symmetrisch!

Bahndrehimpuls:

Es handelt sich um ein 3-Korper System. Fur die Beschreibung sind daher 2 Bahndrehim-

pulse notig.

A: Schwerpunkt von Quark 1 und Quark 2

B: Schwerpunkt von allen drei Quarks

Annahme fur die weitere Diskusion: keine orbitalen Anregungen

l = l′ = 0

72

Baryonen mit einem s-Quark werden Hyperonen genannt:

1. JP = 32

+- das Baryon Dekuplett

|∆++〉 =∣∣u↑u↑u↑⟩ |∆+〉 =

∣∣u↑u↑d↑⟩ |∆0〉 =∣∣u↑d↑d↑⟩ |∆−〉 =

∣∣d↑d↑d↑⟩|Σ∗+〉 =

∣∣u↑u↑s↑⟩ |Σ∗0〉 =∣∣u↑d↑s↑⟩ |Σ∗−〉 =

∣∣d↑d↑s↑⟩|Ξ∗0〉 =

∣∣u↑s↑s↑⟩ |Ξ∗−〉 =∣∣d↑s↑s↑⟩

|Ω−〉 =∣∣s↑s↑s↑⟩

2. JP = 12

+- das Baryon Oktett

Die Spin-Zustande sind weder rein symmetrisch noch rein antisymmetrisch. ⇒ ge-

mischte Symmetrie.

Kurzform der Spin-Flavour-Wellenfunktionen:

|n〉 =∣∣u↓d↑d↑⟩ |p〉 =

∣∣u↑u↑d↓⟩|Σ−〉 =

∣∣d↑d↑s↓⟩ |Λ0〉 =∣∣u↑d↓s↑⟩ |Σ0〉 =

∣∣u↑d↑s↓⟩ |Σ+〉 =∣∣u↑u↑s↓⟩

|Ξ−〉 =∣∣d↓s↑s↑⟩ |Ξ0〉 =

∣∣u↓s↑s↑⟩Λ0 und Σ0 haben die gleichen Valenzquarkinhalte, aber die Spins koppel unterschied-

lich.

Λ0: Spins von u und s koppeln zu 1

73

Σ0: Spins von u und d koppeln zu 1

m(Σ0)−m(Λ0) ≈ 80 MeV/c2

Die symmetrisierte Form der Spin-Flavour-Wellenfunktion des Protons sieht folgen-

dermaßen aus: ∣∣p↑⟩ =1√18

(2∣∣u↑u↑d↓⟩+ 2

∣∣u↑d↓u↑⟩+ 2∣∣d↓u↑u↑⟩

−∣∣u↑u↓d↑⟩− ∣∣u↑d↑u↓⟩− ∣∣d↑u↑u↓⟩

−∣∣u↓u↑d↑⟩− ∣∣u↓d↑u↑⟩− ∣∣d↑u↓u↑⟩ )

Massenformel fur Baryonen

JP = 32

+-Baryonen sind ungefahr 300 MeV/c2 schwerer als JP = 1

2

+-Baryonen, was durch

die Spin-Spin-Wechselwirkung verursacht wird:

M =∑

i

mi + ∆Mss

Das Spin-Spin-Potential ist gegeben durch:

Vss(qiqj) =4π

9

~3

cαs

~σi~σj

mimj

δ(~x)

Die Summierung uber die Quark-Quark-Paare vereinfacht sich, wenn die Quarks die gleiche

Masse haben:3∑

i,j=1 i6=j

~σi~σj =4

~2

3∑i,j=1 i6=j

~si~sj =

-3 fur s = 1

2

+3 fur s = 32

∆Mss =4

9

~3

c3παs |ψ(0)|2 ·

−3 1

m2u,d

fur Nukleonen

+3 1m2

u,dfur ∆-Zustande

+3 1m2

sfur Ω

Anpassung der Quarkmassen an die gemessenen Baryonmassen ergibt:

mu,d ≈ 363 MeV/c2

ms ≈ 538 MeV/c2

Die Konstituentequarknmassen der Hadronen sind also großer als die der Mesonen. Grund

dafur ist, dass die Konstituentenquarkmassen dynamisch durch Quark-Gluon-Wechselwirkungen

erzeugt werden. Dies geschieht in Baryonen anders als in Mesonen.

74

3.3.4 Der Farbfreiheitsgrad

Aus der Quantemechanik identischer Teilchen ist bekannt:

|ψ(1, 2)|2 6= |ψ(2, 1)|2

ψ(1, 2) = eiϕψ(2, 1)

Da die Wellenfunktion unter nochmaliger Vertauschung wieder in sich selbst ubergehen

muss gilt:

ψ(1, 2) = ±ψ(2, 1)

Die Wellenfunktion muss also entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein.

• Bosonen (ganzzahliger Spin): symmetrische Wellenfunktion.

• Fermionen (halbzahliger Spin): antisymmetrische Wellenfunktion

”verallgemeinertes Pauliprinzip“

Baryonen sind also Fermionen. Folglich muss die Wellenfunktion antisymmetrisch sein. Das

Baryon-Dekuplett enthalt die Zustande

|∆++〉 =∣∣u↑u↑u↑⟩

|∆−〉 =∣∣d↑d↑d↑⟩

|Ω−〉 =∣∣s↑s↑s↑⟩

Bei diesen Zustanden ist die Spin-Flavour-Wellenfunktion aber symmetrisch.

ψ(∆++) = ψOrt︸︷︷︸l, l′ = 0

⇒ sym

· ψSpin︸︷︷︸↑↑↑

⇒ sym

ψflavour︸ ︷︷ ︸uuu

⇒ sym

Widerspruch: ψ(∆++) muss antisymmetrisch sein, da ∆++ ein Fermion ist!

Spin-Statistik-Problem

Losung: Quarks tragen eine weitere Quantenzahl: Farbe

ψ = ψOrt · ψSpin · ψflavour · ψFarbe

75

In der Natur treten nur Bindungszustande auf, die Farbsingletts sind!

Also muss ψFarbe antisymmetrisch sein. Dies gilt fur alle Hadronen!

• Alle Baryonen haben die gleiche Farbwellenfunktion:

ψFarbe =1√6

∑α=r,g,b

∑β=r,g,b

∑γ=r,g,b

εαβγ |qαqβqγ〉

=1√6

(qrqgqb − qrqbqg + qgqbqr − qgqrqb + qbqrqg − qbqgqr)

• ψFarbe ist antisymmetrisch. Folglich muss der Rest der Wellenfunktion symmetrisch

sein. Fur l = l′ = 0 ist ψOrt symmetrisch. ⇒ ψSpin · ψflavour muss symmetrisch

sein. Also muss die Spin-Flavour-Wellenfunktion symmetrisiert werden (siehe Kapitel

3.3.3) ∣∣∆+⟩

=1√3

(∣∣u↑u↑d↑⟩+∣∣u↑d↑u↑⟩+

∣∣d↑u↑u↑⟩)3.3.5 Baryonenzahlerhaltung

Beobachtungen:

1. Wenn in Teilchenreaktionen Baryonen erzeugt weren, dann wird zugleich die gleiche

Anzahl an Antibaryonen erzeugt: z.B. p+ p→ p+ p+ p+ p

Zuerst beobachtet wurde das Antiproton in der Reaktion

Λ → p+ + π

2. Das Proton ist stabil:

p+ 9 e+ + γ

p+ 9 e+ + π0

Die stabile partielle Lebensdauer τ(p→ e+ + π0) betragt:

τ(p→ e+ + π0) ≈ 1.6 · 1033 y

Zum Vergleich dazu, das Alter des Universums betragt ≈ 13 · 109 y.

Die Baryonenzahl ist erhalten!

76

Eine Verletzung der Baryonenzahlerhaltung ist moglich in hypothetischen”Grand Unified

Theories“. Deshalb sucht man in Experimenten nach dem Protonzerfall.

Analog: Leptonzahl-, Elektronzahl-, Myonzahl- und Tauzahlerhaltung.

Ausnahme: Neutrinooszillationen

Gell-Mann-Nishijima-Formel:

Q = I3 +1

2(A+ S)

A: Baryonenzahl

I3: dritte Komponente des Isospins

Q: elektische Ladung in Einheiten von e

S: strangeness

Sie gilt in dieser Form jedoch nur fur leichte Hadronen.

3.3.6 Schwere Hadronen

Neben den bisher betrachteten leichten Quarks gibt es auch noch schwere Quarks:

Quarks Masse [GeV/c2]

charm 1.25± 0.09 (MS-Schema )

bottom 4.2± 0.07 (MS-Schema )

top 170.9± 1.8 (Pol-Masse)

Das top-Quark ist so schwer, dass es keine gebundenen Zustande bildet!

τtop ≈ 4.7 · 10−25 s

1. B-MesonenB0

d = bd B0d = bd

B+ = bu B− = bu

B0s = bs B0

s = bs

2. charm-MesonenD0 = cu D0 = cu

D+ = cd D− = cd

D+s = cs D−

s = cs

77

3. Charmonium und Bottonium: das sind dc und bb Bindungszustande, z.B.:

ηc(1s) JPC = 0−+

J/ψ(1s) JPC = 1−−

ηb(1s) JPC = 0−+

Υ(1s) JPC = 1−−

Mehr Details in Kapitel 5.2.

4. charm- und beauty-Baryonen:

Λ+c = udc JPC = 1

2

+

Ξ+c = usc JPC = 1

2

+

λ0b = udb JPC = 1

2

+

78

4 Experimentelle Methoden:

Detektoren und Beschleuniger

4.1 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie

Die Strahlung kann Energieverlust erleiden, beziehungsweise vollstandig absorbiert werden.

Dies geschieht durch:

• Elektromagnetische-Wechselwirkung

• Kern-Wechselwirkung

4.1.1 Elektromagnetische Wechselwirkung geladener Teilchen

1. Ionisation

Parameter: zi, Z, ne, ~v

Klassisch erfolgte die Beschreibung von Niels Bohr, die quantenmechanische For-

mulierung stammt von Bethe. Eine moderne (relativistische) Beschreibung lieferten

Allison und Cobb 1988.

dE

dx= − z2

iE4ne

4πε20mev2

(ln

2mev2

〈I〉− β2 − ln

(1− β2

))Dabei ist 〈I〉 ≈ Z · 14 eV die Ionisierungsenergie.

• E0 << mic2:

dE

dx∝ ρ

z2i

E0

• E0 ≈ 3mic2:

dE

dx= 1 . . . 2

MeV

g · cm−3· ρ ≈ const.

79

• E0 >> 3mic2:

dE

dx∝ E

80

Die Reichweite der Teilchen in Materie betragt:

〈R〉 =

∫ 0

E0

(dE

dx

)−1

∝ E0

mi · zi

· 1

ρ

Energieverlust:

Das ausgepragte Maximum im nachfolgenden Schaubild wird Bragg-Maximum ge-

nannt.

Energiefluktuation:

Fur ein”dunnes“ Material, das heißt bei nur wenigen Stoßen, besitzt die Verteilung

einen langen Auslaufer, der sich wie eine Landauverteilung verhalt.

81

Im Spezialfall von Elektronen / Positronen in Materie:

• Ionisation (Bethe-Bloch-Formel)

• Bremsstrahlung durch Ablenkung am Kern

Beschleunigung am Kern:

a =F

mi

=ziZe

2

4πεr2

1

mi

Fur die Intensitat der Strahlung gilt:

dE

dt= IStrahlung ∝

z2iZ

2

m2i

⇒ Ie−

Ip=m2

p

m2e

= 3 · 106

Der Energieverlust nach der hochrelativistischen Bethe-Heitler-Formel ist jedoch:(dE

dx

)Brems

∝ Z2E

m2e

82

Die Konsequenz ist, dass der Energieverlust mit steigender Energie wieder ansteigt:dEdx∝ E

⇒ E(x) = E0 · e−x

x0 [x0 : Strahlungslange]

Beispiel einiger Strahlungslangen:

Al x0 = 9 cm

Fe x0 = 1.8 cm

Pb x0 = 0.6 cm

2. Cerenkov-Effekt (1934)

Wenn sich ein geladenes Teilchen ind einem Dielektrikum mit v > cn

bewegt, emit-

tiert es Cerenkov-Licht in Form eines Lichtkegels und zwar mit dem Offnungswinkel

cos θc = 1βn

.

83

Der Energieverlust betragt: (dE

dx

)C

≈ 10−4 ·(dE

dx

)ion

Die Anzahl der emittierten Photonen Nγ in einem Zentimeter Wasser ist also von

der Großenordnung Nγ ≈ o(100).

4.1.2 Wechselwirkung von Photonen mit Materie

1. Photoeffekt

Der Photoeffekt bevorzugt Elektronen aus der K-Schale: σPh. ∝ Z5 · 1Eγ

2. Comptonstreuung

Die Endenergie E ′γ ist gegeben durch:

E ′γ

1

a+ Eγ

mc2(1− ·θγ)

Der Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

σC ∝ ZlnEγ

Eγ

84

3. Paarerzeugung

σP ∝ Z2

Der Wirkungsquerschnitt ist also energieunabhangig!

⇒ Nγ(x) = N0 · e−79

xx0

4.1.3 Hadron-Wechselwirkungen mit Kernen

Hadronen sind zum Beispiel: h = π+, pi−, p, p, n, n, K+, K−, K0L

Die Wechselwirkung erfolgt typischerweise mit einem Wirkungsquerschnitt von σin ≈50 mb = 5 · 10−26cm2. Die Absorption folgt einem exponentiellen Verlauf:

N(x) = N0e− x

x0

mit λ = AσinNL·ρ

[m], zum Beispiel:

C: λ = 34 cm

Fe: λ = 17 cm

U: λ = 11 cm

85

Eine detailliertere Auflistung einiger Matrialien ist in nachfolgender Tabelle gegeben.

86

4.1.4 Strahlenwirkung, Dosimetrie

1. Allgemein:

Aktivitat: Die Aktivitat ist die Anzahl der Zerfalle je Sekunde, dNdt

. Ihre Einheit ist

Becquerel (Bq).

1 Bq ≡ 1Zerfall

s

Energiedosis: Die Energiedosis ist die je Masse deponierte Energie, DE = ∆E∆m

. Die

zugehorige Einheit heißt Gray (Gy).

1 Gy ≡ 1J

kg= 100 rad

2. Ionisierende Strahlung:

Ein Maß fur ionisierende Strahlung ist die Ionendosis Ds = ∆Q∆m

, wobei die Einheit

Rontgen (R) ist.

1As

kg= 4 · 104R

3. Biologische Wirkung:

Da die verschiedenen Strahlungsarten unterschiedlich gefahrlich fur biologisches Ge-

webe sind, gibt es den Begriff der Aquivalenzdosis (H):

H = DE · q

wobei q der biologische Faktor ist, zum Beispiel:

Elektromagnetische Strahlung q = 1

n q = 5 . . . 20

p q = 5 . . . 15

α, Kerne q = 20

Die Einheit der Aquifalenzdosis heißt Sievert (Sv).

1 Sv = 1 Gy · q = 100 rem

87

4.2 Detektoren

Detektoren dienen dem Nachweis, der Identifikation und der Vermessung von Teilchen:

E Kalorimetrie (Absorption)

~p Bahnbestimmung im Magnetfeld

v Flugzeitmessung oder Cerenkovstrahlung

m, q Ionisationsmessung, dEdx

τ Lebensdauer: Zerfallstrecke

Teilchenidentifikation im Detektor:

88

4.2.1 Ionisationsdetektoren

Einen Ionisationsdetektor kann man sich prinzipiell als Plattenkondensator vorstellen:

Der Energievelust des Teilchens durch Ionisation ist gegeben durch:

∆E =dE

dx·∆x

89

Ionisation:

ne = ni =∆E

Wi

Dabei ist Wi die effektive Ionisationsenergie. Im Fall von Argon waren das etwa 26 eV . Die

Anzahl der erzeugten Elektron-Loch-Paare waren bei Argon 25 1cm·atm

, also 25 Elektron-

Loch-Paare je Zentimeter bei Atmospharendruck.

Spannungsanderung durch Ladungsbewegung:

• Ionen:

1

2CU2 =

1

2CU2

0 − ni

∫ d

y0

dE0dy

=1

2CU2

0 − nieU0

d(d− y0)

mit ∆U = U − U0, U2 − U2

0 ≈ ∆U · 2U0 lasst sich dies schreiben als:

∆U = −nie(d− y0)

Cd

• Elektronen:

∆U = −nee

C

y0

d

Zusammen ergibt sich also:

∆Utotal = −neC

Signalform:

Es ist zu sehen, dass Elektronen und Ionen den Weg unterschiedlich schnell zurucklegen.

dabei ist te = o(µs) und tIon = o(ms). Es erfolgt außerdem eine Aufladung uber das

90

Netzteil. Anwendung findet diese Technik zum Beispiel in Taschendosimetern. Typische

Werte fur die Bauteile sind:

R = o(MΩ)

C = o(100 pF )

⇒ RC = o(100 µs)

Die Signalstarke, zum Beispiel bei Argon (Wi = 26 eV ), bei einer Energie von ∆E = 1MeV

mit einer Kapazitat von C = 100 pF ist:

∆U = 60 µV

also sehr klein.

4.2.2 Gasdetektoren

Sauli: CERN-Report 77-09

1. Zahlrohr:

Schematischer Aufbau:

Wie in obiger Abbildung zu sehen ist, nimmt das elektrische Feld mit zunehmenden

Radius ab.

R(r) =CU0

2πε0

1

r

Die Kapazitat des Zahlrohrs ist gegeben durch

C =2πε0ln ra

ri

Durch die Sekundarionisation kommt es zu einer sogenannten Gasverstarkung, die

106 erreichen kann.

91

2. Geiger-Muller-Zahlrohr:

Die Lawinen an der Anode setzen UV-Photonen frei. Diese erzeugen wiederum Elektron-

Ion-Paare die eine Lawine auslosen. Es kommt zu einer Gasentladung mit ∆Q =

C · U0. Anwendung findet das Geiger-Muller-Zahrohr in Teilchenzahlern.

Ortsauflosende Gasdetektoren: (von Charpak)

1. Proportionalkammer:

Anode: 30− 50 µm

d: 1− 2 mm

h: 5− 20 mmJede Anode besitzt einen eigenen Verstarkerausgang. Neben der Anode, die anspricht

gibt es bei den Nachbardrahten ein Signal durch Induktion.

Die Bestimmung des Durchgangsortes x0 ist die Position des angesprochenen Drahtes

mit einer Streuung von σx = d√12

. Dies sind typischerweise 500 µm.

2. Driftkammer: Die Idee hatten unter anderem Bressani und Charpak im Jahr 1969.

Gebaut wurde sie schließlich 1971 unter anderem von Wolenta und Heintze.

Das Prinzip ist die Messung der Ankunftszeit der Ionisationselektronen, wobei der

92

Startzeitpunkt durch externe Detektoren vorgegeben wird.

x =

∫ t2

t1

vDdt

Dabei ist VD die Driftgeschwindigkeit. Sie betragt typischerweise 5 − 7 µm/ns. Im

Fall einer konstanten Driftgeschwindigkeit ergibt sich:

x = vD · (t2 − t1)

Die Ortsauflosung ist begrenzt durch:

• Inhomogenitaten von E

• Diffusion Dx → δx =√Dxt

• verschiedene Einfallswinkel

• elektronisches Rauschen

⇒ σ ≈ 30− 200µm

93

Beispiele fur den Aufbau einer Driftkammer mit moglichst homogenem E-Feld:

94

3. Zeitprojektionskammer (TPC):

Die Spurrekonstruktion erfolgt durch Messung von Ankunftszeit und Ort der anspre-

chenden Elektroden.

4.2.3 Halbleiterdetektoren

Ein Halbleiterdetektor basiert auf dem Prinzip, dass ein ionisierendes Teilchen Elektron-

Loch-Paare im Halbleiter erzeugt.

Beispiel: Silizium

Anzahl der erzeugten Elektron-Loch-Paare:

Nel =dE

dx· dwi

wobei wi = 3.6 eV (Bandlucke 1.1 eV + 2.5 eV Phononen).

Nel(d = 300µm) = 3.2 · 104

Problem: Bei Raumtemperatur gibt es bereits 1.5 · 1010 e-L-Paarecm3

Losung: pn-Ubergang in Sperrichtung (Diode)

95

Herstellung:

n (im Volumen): 30Si+ n→31 Si→30 P + e− + νe

p (auf der Flache) Ionenimplantation

Ortsempfindlichkeit:

Auflosung (Berechnung durch Schwerpunktsbildung): o(10 µm)

4.2.4 Szintillations-Detektoren

Szintillationsdetektoren beruhen auf dem Prinzip, dass eine Ionisation mit Lichtemission

verbunden ist. Das entstandene Licht kann uber den Photoeffekt in ein elektrisches Signal

umgewandelt werden.

1. Anorganische Szintillatoren:

Kristall mit sogenannten Aktivatoren.

96

Zum Beispiel: NaJ + T l

ρ = 3.7g

cm3

λγ = 410 nm

Nγ = 4 · 104 MeV −1

2. Organische Szintillatoren:

Organische Szintillatoren nutzen aus, dass eine Ionisation eine Molekulanregung ver-

ursacht. Dies fuhrt zur Emission von UV-Licht, was dann uber einen Wellenlangenschieber

umgewandelt und anschließend detektiert wird.

Zum Beispiel:

Napthalen: λmax = 348 nm

Napthalen + POPOP: λmax = 500 nm

Der prinzipelle Aufbau eines Photomultipliers (PMT), der zum Nachweis der entstehenden

Photonen eingesetzt wird, ist in nachfolgender Skizze zu sehen:

Die erzielbaren Verstarkungen liegen im Bereich von 104 . . . 107, wobei die Quanteneffizienz

etwa 20 % betragt.

97

Anwendungen fur Szintillations-Detektoren.

1. Die Absorption von e+, e−, γ dient der Energiemessung:

I0 ∝ E0

2. Bestimmung der Durchtrittszeit geladener Teilchen:

∆T = T2 − T1

δt ≈ 50− 2000 ps

98

Sonderfall: Szintillierende Fasern

Der Szintillator hat einen Brechungsindex von n = 1.6, wahrend die Ummantelung

aus einem nicht szintillierenden Material einen etwas kleineren Brechungsindex hat.

4.2.5 Elektromagnetisches Kalorimeter

Mit einem Kalorimeter fuhrt man eine Energiebestimmung durch Absorption durch. Ein

Elektromagnetisches Kalorimeter beschrankt sich dabei auf elektromagnetisch Wechselwir-

kende Strahlung, also e+, e−, γ.

Der Nachweis erfolgt bei e± durch Ionisation und Bremsstrahlung, bei Photonen hingegen

durch Paarbildung. Alle diese Effekte fuhren zu Sekundarelektronen und Photonen.

Die Anzahl der Sekundarteilchen ist N(d) = 2d, wobei die Energie je Sekundarteilchen

durch E(d) = E0

2d gegeben ist.

Edmax = Ec =E0

2dmax

99

Somit lasst sich das Schauermaximum berechnen durch:

dmax =ln E0

Ec

ln 2

Die Anzahl der Teilchen im Schauermaximum ist dann N(dmax) = E0

Ec

Das longitudinale und das transversale Profil des Schauers ist in der nachfolgenden Abbil-

dung zu sehen.

95% eines Schauers befinden sich in einem Zylinder mit Radius RM = 21·X0

Ec.

Zum Beispiel Bleiglas: RM = 3.6 cm

Energiemessung:

Mit

N(d) = 2d

Ntot =dmax∑

0

2d = ddmax+1

Ntot = 2E0

ec

∝ Isig.

Ergibt sich:

E0 ∝ Ntot ∝ Isignal

Die Unsicherheit ist gegeben durch

σ(E0) ∝√Ntot ∝ Isig

⇒ σ(E0)

E0

=a√E0

(+b+

c

E

)Dabei ist der erste Term statistischer Natur, der konstante Term b ist verursacht durch

Inhomogenitaten oder Lecks und der letzte Term ist Rauschen.

100

4.2.6 Hadron-Kalorimeter

Das Hadron-Kalorimeter funktioniert analog zum elektromagnetischen Kalorimeter. Der

Hadron-Schauer enthalt π, K, p, n. Diese produzieren im Kalorimeter Sekundarteilchen,

zum Beispiel: µ±, e±, p, n, ν. Diese fuhren zu einer Ionisation.

Das longitudinale Schauermaximum befindet sich bei

dmax [λI ] = 0.2 · lnE0 + 0.7

d95% ∝ lnE0

Im Beispiel von Eisen (E0 = 100 GeV ):

dmax = 1.6 · λI=27 cm

d95% = 4.8 · λI=80 cm

Hadron-Kalorimeter sind große Klotze!

σE

E≈ 100%√

E(typisch)

4.2.7 Experimente

Ein Experiment ist ein System von Detektoren zum Nachweis / zur Vermessung physika-

lischer Prozesse.

1. Superkamiokande in Kamioka, Japan:

Ursprunglich gebaut fur die Suche nach dem Protonzerfall.

Der Nachweis erfolgt uber die Cerenkovstrahlung des Positrons im Wasser. Man hat

jedoch kein Signal gefunden. Daraus lasst sich die minimale Lebensdauer des Protons

abschatzen zu:

τp > 1033 Jahre

101

Spater wurde der Detektor auch auf der Suche nach solaren Neutrinos verwendet und

hat einen wichtigen Beitrag zur Entdeckung der Neutrinooszillation geliefert.

2. CMS-Experiment

Im Web: http://cmsinfo.cern.ch

Motivation:

Studium von Ereignissen in Proton-Proton-Kollisionen bei 14 TeV Schwerpunkts-

energie. Man erhofft sich daraus neue Erkenntnisse in folgenden Bereichen:

• Higgsboson

• SUSY

• Elektroschwache Anomalien

• top-Quark Ereignisse

• Strukturen von Quarks

• ...

4.2.8 Teilchenbeschleuniger

Die Funktionsweise eines Teilchenbeschleunigers beruht auf wenigen grundlegenden Prin-

zipien:

• Beschleunigung geladener Teilchen im elektrostatischen Feld

• Ablenkung in magnetischen Dipolfeldern

• Fokussierung mit magnetischen Multipolfeldern

102

1. Beschleuniger mit Fixed Target Experiment

Die Schwerpunktsenergie ist dann gegeben durch

ECMS =√S =

√m2

1c4 +m2

2c4 + 2E1E2 ≈

√2E1m2c2

Zum Beispiel das Super Proton Synchrotron (SPS) am Cern:

E1 = 450 GeV

m1 = m2 = mp = 0.94 GeV/c2

⇒√S = 29 GeV

Vorteil:

• Hohe Ereignisrate

• Detektor”einfach“

Nachteil:

• Energien klein

103

2. Collider

ECMS =√S =

√m2

1c4 +m2

2c4 + 2E1E2 − 2~p1~p2c2

Zum Beispiel das Super-Proton-Antiproton-Synchrotron (SppS am Cern:

E1 = E2 = 270 GeV

m1 = m2 = mp = 0.94 GeV/c2

⇒√S ≈ 540 GeV

Vorteil:

• Hohe Energie

Nachteil:

• Ereignisraten relativ niedrig

• Detektoren aufwandig und teuer

Ein Maß fur die Ereignisraten ist die Luminositat (siehe Kapitel 2.3.2)

L =NpNp · f · nbunch

4πσxσy

104

Np Anzahl der Protonen je Paket (bunch)

Np Anzahl der Antiprotonen je Paket

σx Ausdehnung des Strahls in x-Richtung

σy Ausdehnung des Strahls in y-Richtung

Die Ereignisrate ist dann

N = L · σ

Die Zahl der Ereignisse bekommt man durch

N =

∫ t2

t1

L σ · dt

Beispiel: Tevatron (Fermilab)

Np = 1011 f = c2πR

= 48 kHz

Np = 1011 σx ≈ σy ≈ 50 µm

nbunch = 6

⇒ L = 1031 1

cm2s

Stand 2007: L ≤ 2 · 1032 1cm2s

• Inelastische Streuung:

σpp = 50 · 10−26cm2

N = 50 · 10−26 · 1031 cm2

cm2s= 500kHz

• tt-Erzeugung:

σpp→tt = 7 pb

Nz · 10−36 · 1031 cm2

cm2s= 7 · 10−3 s−1

In einem”Jahr“ (107 s = 1 Beschleunigerjahr ):

Ntt =

∫ t+107s

t

σL dt = 100 pb−1 · σ = 700

105

5 Das Standardmodell

Im Rahmen des Standardmodells sind einige Begriffe gebrauchlich:

QED Quantenelektrodynamik

QCD Quantenchromodynamik

QFD Quantenflavourdynamik → Schwache Wechselwirkung.

5.1 Phanomene der schwachen Wechselwirkung

Erste Beobachtung:”Langsamkeit“ des Betazerfalls!

1. Zerfalle:

Zum Beispiel:

Λ → pπ τ = 2.6 · 10−10s

n→ pe−νe τ = 8.9 · 102s

π+ → µ+νµ τ = 2.6 · 10−8s

µ+ → e+νµνe τ = 2.2 · 10−6s

Das ist langsam im Vergleich zu elektromagnetischen Prozessen,

π0 → γγ τ ≈ 10−16s

oder zu starken Prozessen:

ρ→ π+π− τ ≈ 10−23s

2. Streuungen

Streuungen haben sehr kleine Wirkungsquerschnitte! Zum Beispiel die Neutrino-

Nukleonstreuung:

σ(νµN → N + π + µ−) ≈ 10−38cm2 bei 1 GeV

σ(πN → N + π) ≈ 10−26cm2

”Anwendung“ finden Prozesse der schwachen Wechselwirkung in der 1. Stufe der

Fusion in der Sonne:

pp→ d+ e+ + νe

Auf Grund der kleinen Wirkungsquerschnitte ist die Lebensdauer der Sonne im Be-

reich τ ≈ 1010 Jahre.

106

5.1.1 Schwache Zerfalle

1. n→ pe−νe

1930 Pauli: Vorschlag eines”Neutrinos“ (kleines Neutron) zur Erklarung der konti-

nuierlichen Elektron-Energieverteilung.

1934 Fermi: Erklarung des Energiespektrums

Wendet man die”Goldene Regel“ an, so erhalt man die Ubergangsrate durch:

W =2π

h|Mif |2

dN

dE

Fur den Betazerfall gilt:

|M |2 = G2F · 1 (∆I = 0)

wenn n(↑) → p(↑) + e−(↑) + νe(↓), und

|M |2 = G2F · 3 (∆I = 1)

wenn n(↑) → p(↓) + e−(↑) + νe(↑).

Dabei ist GF :

GF = 1.16 · 10−3 1

GeV 2

dNdE

ist die Zustandsdichte, also die Anzahl der Zustande mit einer Energie zwischen

E und E + dE.

Im Ruhesystem des Neutrons gilt:

~pn = 0 = ~pp + ~pe + ~pν

und

E = Ep + Ee + Eν ≈ 1 MeV

107

Die Protonenergie ist praktisch vernachlassigbar:

Ep =~p2

p

2mp

≈ 1 keV << E

Mit

dN = dne · dnν

wobei

dne =4πp2

edpe

h3· V

dnν =4πp2

νdpν

h3· V

und

pν =E − Ee

c⇒ dpν =

dE

c

folgt schließlich fur die Zustandsdichte:

dN

dE=

16π2

h6c3p2

e (E − Ee)2 dpe

Im Experiment beobachtet man jedoch die Rate der Zerfalle in einem bestimmten

Impulsintervall des Elektrons:

N(pe) ∝ p2e · (E − Ee) · F (Z, pe) ·

√1− mνc2

(E − Ee)2

Dabei stellt F (Z, pe) eine Korrektur durch die Auswirkung des Kerns dar. Der letz-

te Term kommt zum tragen, wenn die Ruhemasse des Elektronneutrinos von Null

verschieden ist.

108

Aus dem sogenannten Kurie-Plot ware in diesem Fall die Neutrinomasse bestimmbar.

Das Spektrometer fur solche Messungen kann wie folgt aufgebaut sein:

Damit wurde die Obergrenze der Masse des Antielektronneutrinos auf

mνe ≤ 2 eV/c2

gesenkt. Aus anderen Experimenten hat man auch Obergrenzen fur die anderen Neu-

trinoflavours festlegen konnen:

mνµ < 170 keV/c2

109

mντ < 24 MeV/c2

Fur die Gesamtrate der Zerfalle erhalt man schließlich:

Ntot ∝ G2F

∫ E

0

E2e · (E − Ee)

2 · dEe ∝ G2FE

5

Diese Proportionalitat zu E5 bezeichnet man auch als Sargent-Regel. Die Fermikon-

stante ist dabei nicht dimensionslos:

GF = 1, 16 · 10−5 1

GeV 2

2. Myonzerfall

µ− → e− + νµ + νe

µ+ → e+ + νµ + νe

Die differentielle Zerfallsbreite ist gegeben durch

dΓ

dEe

=m2

µG2F

2π3E2

e

(3− 4Ee

mµ

)Die totale Zerfallsbreite ergibt sich aus der Integration zu:

Γ =

∫ mµ

0

dEedΓ

dEe

= G2F

m5µ

192π3[c = 1]

Der Vergleich des Neutron- und des Myonzerfalls liefert ein Verhaltnis der Lebens-

dauern vonτµτn∝(En

eµ

)5

≈ 10−10

Aus der Myonmasse Mµ = 105, 65836 MeV/c2 und der Lebensdauer τµ = 2, 19703 ·10−6 s Lasst sich die Kopplungskonstante berechnen zu:

GF = 1, 166... · 10−5 1

GeV 2

Die Kopplung im Neutron- und im Myonzerfall ist also trotz der sehr unterschiedli-

chen Lebensdauern die Gleiche.

110

3. Uberprufung: Lebensdauer des τ−

τ(τ− → e−νeντ )

τ(µ− → e−νeνµ)=

(mµ

me

)5

= 7 · 10−7

Mit:

τ → eνν (BR=20%)

τ → µνν (BR=20%)

τ+ → udν (BR=60%)

und unter Berucksichtigung des Verzeigungsverhaltnisses (branching ratio, BR), das

beim Zerfall in Quarks auf Grund der drei Farbladungen 60% betragt, erhalt man

als Vorhersage fur die Lebensdauer des τ−:

τ(τ−) = 0, 2 · 7 · 10−7 · τ(µ) = 0, 3 · 10−12 s

Das Experiment liefert einen damit vertraglichen Wert von:

τ(τ−)Exp. = 290 · 10−15 s

5.1.2 Inverser β-Zerfall

Beim inversen Betazerfall wird ein Proton und ein Antielektronneutrino in ein Neutron

und ein Positron umgewandelt. Der Wirkungsquerschnitt dieser Reaktion berechnet sich

nach:

σ(νep→ ne+) =4

πG2

Fp2CM

wobei ∆J = 0 und 1 sein kann. Mit pν = Eν−Qc

≈ 1 MeV/c, wobei Q = 1, 8 MeV die

Schwellenenergie ist, erhalt man einen Wirkungsquerschnitt von:

σ = 10−42 cm2

111

Der experimentelle Nachweis dieser Reaktion wurde am Savanna River Reaktor bei einem

Neutrinofluss von 1013 νe

s·cm2 erbracht (Reimes und Cowan).

• Die zwei Photonen γ1, γ2 stammen aus der Annihilation des Positrons mit einem

Elektron und haben jeweils eine Energie von 511 keV

• Die restlichen Photonen stammen aus der Reaktion n+114 Cd→113 Cd+ nγ, wobei

die Photonen eine Gesamtenergie von 9,1 MeV besitzen.

Als Signal des Einfangs eines Antineutrinos bekommt man also zum einen zeitgleich das

Signal der zwei Photonen aus der Paarvernichtung mit diskreter Energie, und zum ande-

ren wenig spater ein Schauer von Photonen mit einer Gesamtenergie von 9,1 MeV. Diese

eindeutige Signatur lasst eine gute Trennung des Signals von Untergrund zu.

Bestimmung der Raten, zum Beispiel:

1 GW Leistung, 15 m Entfernung: φν = 1013 1cm2·s

1 t Wasser: 6, 7 · 1029 freie Protonen

⇒ N = σ · φ · np

= 10−43cm2 · 1013 1

cm2s· 6, 7 · 1029

= 0, 07 Hz

⇒ Schwache Wechselwirkung ist universell

112

5.1.3 Paritatsverletzung in der schwachen Wechselwirkung

Erinnerung: Naturgesetze gehorchen fundamentalen Symmetrien.

Experiment von S. Wu et al. (1956): Studium der β−-Emission von 60Co

Folglich bezitzen das Elektron und das Antineutrino jeweils mI = +12

Man erwartet, dass die Richtung der emittierten Elektronen gleichermaßen in bzw. gegen

die Ausrichtung des 60Co-Spins erfolgt (Raumspiegelung). Die Beobachtung liefert jedoch,

dass die Elektronen bevorzugt gegen die Ausrichtung des 60Co-Spins emittiert werden.

Helizitat:

H(e−) =~p · ~s|~p||~s|

= −vc< 0 (linkshandig)

⇒ H(νe) = +v

c≈ +1

⇒ Es gibt keine linkshandigen νe!

[Bzw. es gibt keine rechtshandigen ν]

Erweiterung: schwache Kopplung erfolgt nur an die linkshandigen Teilchen, beziehungswei-

se rechtshandigen Antiteilchen.

113

5.1.4 Schwache Wechselwirkung von Quarks

Aus der Untersuchung von nuklearem Betazerfall, Myonzerfall und Neutrinostreuung kommt

man zu der Erkenntnis, dass schwache Wechselwirkung durch Austausch eines massiven

Bosons mit universeller Kopplung an Lepton- und Quarkgenerationen stattfindet.

1. Lepton-Kopplungen: W-Bosonen koppeln nur an linkshandige Dubletts innerhalb

einer Generation.

Leptonflavour andernde Wechselwirkungen werden nicht beobachtet.

2. Quarksektor:

Im Quarksektor andert der W-Boson Austausch (geladener Strom) zuweilen die Zu-

114

gehorigkeit zur Flavourfamilie!

Erinnerung: vor 1974 waren bekannt: u, d, s und e, νe, µ, νµ.

3. Genauer Vergleich der Fermikonstanten GF aus Neutron- und Myonzerfall liefert:

GF (n)

GF (µ)= 0, 96

Aus Λ0-Zerfall:GF (Λ)

GF (µ)≈ 1

20

Vorschlag von N. Cabibbo (1963): Quarks mischen.

Die fur die schwache Wechselwirkung relevanten Flavoureigenzustande sind nicht

identisch mit den Masseneigentzustanden (Zeitentwicklung)

|d′〉 = cos θc |d〉+ sin θc |s〉

|s′〉 = cos θc |s〉 − sin θc |d〉

Schwache Wechselwirkung (W-Boson) koppelt an Dubletts der schwachen Eigen-

zustande. (u

d′

)L

(c

s′

)L

(t

b′

)L

(Damals nur u, d und s bekannt.)

θc= Cabibbo-Winkel (Mischungswinkel)

Die down-Typ Quarks haben gedrehte Zustande. Das ist Konvention! (Man konnte

auch die up-Typ Quarks drehen. Es kommt nur auf den relativen Winkel an.)(|d′〉|s′〉

)=

(cos θc sin θc

− sin θc cos θc

)(|d〉|s〉

)

Die Mischungsmatrix vermittelt also einen Basiswechsel.

Vertizes:

∝ gW√2

cos θc ∝ gW√2

sin θc

115

GF (n)

GF (µ)= cos2 θc cos θc = 0, 98

GF (Λ)

GF (µ)= sin2 θc sin θc = 0, 98

ΓK+→µ+ν

Γπ+→µ+ν

∝ tan2 θc

4. GIM-Mechanismus - Das charm-Quark

K0 → µ+µ− Zerfall

”Box-Diagramm“

M ∝ cos θc · sin θc

Beobachtung:

ΓRechnung >> Γbeobachtet

Glashow, Iliopolus und Maiani schlagen die Existenz eines vierten Quarks vor, das

charm-Quark, mit der Kopplung − sin θc an d-Quarks und cos θc an s-Quarks.

M ∝ − cos θc sin θc

116

Im Fall masseloser Quarks wurde eine perfekte Aufhebung der Amplituden stattfin-

den. Damc >> mu, heben sich die Amplituden nicht vollstandig auf undK0 → µ+µ−

findet statt.

Aus Γ(K0 → µ+µ−) schlossen GIM bereits Jahre vor Entdeckung des charm-Quarks:

mc ≈ 1...3GeV/c2

5. Quarkmischung in drei Generationen|d′〉

|s′〉|b′〉

=

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

︸ ︷︷ ︸

CKM-Matrix

·

|d〉|s〉|b〉

Cabibbo-Kobayashi-Markawa-Matrix

Die Quarkmischung in drei Generationen lasst sich mit drei Winkeln und einer Phase

parametrisieren, denn V ist unitar. (Alle Basiswechselmatrizen sind unitar.)

V + = V −1

Anzahl der Parameter:

• Komplexe n× n Matrix: 2n2 Parameter

• V +V = 1 ⇔∑

k VikV∗jk = δij

⇒ n2 Bedingungen

• Jedes Quarkfeld kann eine Phase absorbieren. Eine globale Phase ist nicht be-

obachtbar. Folglich reduzieren sich die Parameter um 2n− 1.

⇒ n2 − (2n− 1) = (n− 1)2 freie Parameter

117

5.2 Phanomene der starken Wechselwirkung

5.2.1 Farbe, Gluonen, Confinement

Literatur: Povh, Kapitel 8.3

Das Spin-Statistik-Problem (Pauli-Prinzip fur Quarks in Baryonen) fuhrte und zu den

Farbfreiheitsgraden (siehe Kapitel 3.3.4)

• Die Farbe ist die Ladung der starken Wechselwirkung. Sie kann drei Werte annehmen:

rot, grun und blau.

• Antiquarks tragen Antifarben: antirot, antigrun und antiblau.

• Die Austauschteilchen der starken Wechselwirkung heißen Gluonen

– Sie koppeln an Farbladung

– Sie tragen gleichzeitig Farbe und Antifarbe

Gruppentheorie: 3⊗ 3 = 8⊕ 1

Diese Oktettzustande sind ein System von Basiszustanden und sind gegeben durch

die 8 Gluonen. Diese tragen die Farben (Konvention, andere moglich):

rg, rb, gb, gr, br, bg,√1

2(rr − gg),

√1

6(rr + gg − 2bb)

Farbsinglett: √1

3(rr + gg + bb)

Das Farbsinglett ist invariant gegenuber Umdefinition der Farbnamen, existiert je-

doch nicht in der Natur.

118

• Fundamentale Vertizes der starken Wechselwirkung

Gluonen haben Selbstwechselwirkungen, im Gegensatz zur Elektromagnetischen Wech-

selwirkung.

• Die Theorie der starken Wechselwirkung heißt Quantenchromodynamik (QCD)

• Hadronen sind farbneutrale Objekte!

Bedingung (bzw. Beobachtung):

In der Natur treten nur farbneutrale Objekte als freie Teilchen auf. Folglich treten

Quarks nicht als freie Teilchen auf. Versucht man ein Quark aus einem Hadron zu

entfernen, so entstehen neue Quark-Antiquark-Paare, so dass am Ende wieder farb-

neutrale Hadronen vorliegen.

Quarks sind sin Hadronen”eingesperrt“

⇒ Confinement

Das QCD-Potential muss mit dem Abstand zwischen farbgeladenen Objekten anstei-

gen.

119

5.2.2 Die laufende Kopplungskonstante der QCD

Kopplungskonstante: αs

Die Amplitude eines Prozesses ist proportional (αs)n2 , wobei n die Anzahl der Vertizes ist.

Zum Beispiel bei der Reaktion qq → g → q′q′:

Die Amplitude ist proportional zu αs. Folglich ist der Wirkungsquerschnitt in der niedrigs-

ten Ordnung der Storungstheorie:

σ ∝ α2s

Bei Korrekturen hoherer Ordnung muss man analog zur QED (Photonaustausch) die

Schleifenbildung berucksichtigen, hier also Quarkschleifen und auf Grund der Selbstwech-

selwirkung der Gluonen auch Gluonschleifen.

Quantenkorrekturen bewirken eine Abhangigkeit der starken Kopplungskonstante αs vom

Impulsubertrag Q2.

αs → αs(Q2)

120

Die Quarkschleifen schirmen die Farbladung ab, verhalten sich also analog zur QED. Die

Gluonschleifen wirken hingegen verstarkend, wobei dieser Effekt uberwiegt.

αs(Q2) =

12π

(33− 2nf ) · ln(

Q2

Λ2

)Dabei ist nf die Anzahl der beteiligten (aktiven) Quarkflavours. Schwere Quarks spielen

also erst bei relativ großem Q2 eine Rolle. Λ wird als Abschneideparameter bezeichnet,

unterhalb dessen die Storungsreihe zusammenbricht. Er ist der einzige freie Parameter der

QCD und muss experimentell bestimmt werden:

Λ ≈ 250 MeV/2

1. Q2 → ∞ ⇒ αs → 0. Dieses Verhalten nennt man asymptotische Freiheit. Der

Energiebereich wird pertubativer Bereich genannt, das heißt, die Storungsrechnung

ist anwendbar. Die Bedingung αs << 1 ist dann erfullt, wenn Q2 >> Λ2 ist. Im

Limes Q2 →∞ kann man Quarks als freie Teilchen ansehen.

2. Q2 → 0 ⇒ αs → ∞. Dieses Anwachsen der Kopplungskonstante nennt man Con-

finement. Die Storungstheorie bricht zusammen, daher bezeichnet man dies auch als

nicht pertubativer Bereich.

5.2.3 Die OZI-Regel

Die OZI-Regel (Okuba-Zweig-Iizuka-Regel) ist die Folge der asymptotischen Freiheit der

QCD.

Wir betrachten die Zerfalle des Φ-Mesons:

Φ = ss M = 1020 MeV/c2 JPC = 1−−

BR(Φ → K+K−) = 49, 1± 0, 6 %

BR(Φ → K0

l K0s

)= 34, 1± 0, 5 %

BR(Φ → π+π−π0

)= 15, 6± 1, 2 %

Die Verzweigungsverhaltnisse sind zunachst (naiv) unerwartet, denn im 3π-Modus ist der

Phasenraum großer. Der verfugbare Phasenraum hangt mit der Massendifferenz zwischen

Mutter- und Tochterteilchen zusammen.

121

∆m(Φ → 3π) = (1020− 415) MeV/c2 = 605 MeV/c2

∆m(Φ → 2K) = (1020− 990) MeV/c2 = 30 MeV/c2

Warum ist der Zerfallsmodus in 3π trotz großerem Phasenraumvolumens unterdruckt?

122

Erklarung der OZI-Regel durch die QCD:

1. Mesonen sind wie alle Hadronen Farbsingletts. Da Gluonen sowohl Farbe als auch

Antifarbe tragen, mussen Anfangs- und Endzustand durch mehrere Gluonen verbun-

den werden, denn auch der Zwischenzustand muss farbneutral sein. Es kommen also

zwei oder drei Gluon Zwischenzustande in Frage.

2. Der Gluonzwischenzustand muss auch alle anderen Quantenzahlen der QCD erhalten,

darunter auch die Ladungskonjungation C.

Das Gluon hat die C-Paritat -1.

⇒ gg : C = +1

ggg : C = −1

Das Vektormeson φ hat C = −1. Folglich ist der Austausch von drei Gluonen not-

wendig. Die Zerfallsamplitude ist dann proportional zu α3s.

3. Das φ ist schwer: M = 1020 MeV/c2

⇒M > ΛQCD

Die Gluonen mussen die Gesamte Energie auf den Endzustand ubertragen

Q2 >> ΛQCD

Der φ-Zerfall findet also im pertubativen Bereich der asymptotischen Freiheit statt.

Folglich ist αs klein.

⇒ Zerfallsamplitude ist unterdruckt.

4. Bei φ → 2K werden zwei niederenergetische Gluonen ausgetauscht. Folglich ist αs

groß. Auch die Zerfallsamplitude ist relativ groß.

123

5.2.4 Existenz des Gluons

e+e− → qq

Quarks manifestieren sich im Detektor als kollimierte Bundel von Hadronen, den soge-

nannten Jets. Die Produktion eines Quark-Antiquark-Paars fuhrt zu zwei Jets. Diese sind

auf Grund der Impulserhaltung kolliniear (back to back)

In Prozessen hoherer Ordnung kann ein energiereiches, hartes Gluon unter großem Winkel

emittiert werden.

Dieses Gluon produziert einen extra Jet. Man beobachtet ein 3-Jet Ereignis.

αs =N(3 Jets)

N(2 Jets)≈ 0, 1

Messungen bei unterschiedlichen Schwerpunktsenergien sind Messugnen des Laufens der

Kopplungskonstante.

5.2.5 Hadronproduktion in Elektron-Positron-Vernichtung

Betrachte zunachst die Erzeugung von Myonpaaren:

124

Falls Q2 << M(Z0) ist nur der Photonaustausch relevant. Andernfalls muss auch Z0-

Austausch beziehungsweise γ ∗ /Z0-Interferenz berucksichtigt werden.

Differentieller Wirkungsquerschnitt:

dσ

dΩ=α2

4S(~c)2 (1 + cos2 θ

)Totaler Wirkungsquerschnitt:

σ =4πα2

3S(~c)2

Wichtig ist der Abfall mit dem Quadrat der Schwerpunktsenergie. Die Winkelabhangigkeit

(1 + cos2 θ) ist typisch fur die Erzeugung von zwei Spin 12-Teilchen.

Wirkungsquerschnitt fur Hadronen:

125

Das R-Verhaltnis:

126

127

5.3 Elektroschwache Vereinigung

5.3.1 Grundbegriffe in Feldtheorien

• Lagrange-Formalismus in der klassischen Mechanik. Lagrangefunktion

L = T − U

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Euler-Lagrange-Gleichungen:

d

dt

(∂L

∂qi

)=∂L

∂qii = 1, 2, 3

Teilchen sind lokalisierte Objekte. Die Bewegungsgleichungen beschreiben eine Tra-

jektorie ~r(t)

• Quantenfeldtheorie

Teilchen werden durch Felder beschrieben:

φ(x, y, z, t)

Sie erstrecken sich uber eine Raumregion beziehungsweise den ganzen Raum.

Die Lagrangefunktion wird zu einer Lagrangedichte L und ist eine Funktion der

Felder φi und ihrer Ableitungen:

∂µφi =∂φi

∂xµxµ = (ct, x, y, z)

xµ ist dabei der Raum-Zeit-Vierervektor. Die verallgemeinerten Euler-Lagrangegleichungen

sind gegeben durch:

∂µ

(∂L

∂φi

)i = 1, 2, 3, ...

Die Dimension der Lagrangedichte L ist Energie pro Einheitsvolumen.

• Typen von Feldern:

Skalare-Felder φ

Spinor-Felder ψ

Vektor-Felder aµ

Dirac-Spinoren ψ

128

Was sind Spinore?

Spinore sind Wellenfunktionen mit zwei Komponenten zur Beschreibung von Spin12-Teilchen.

Zwei Spinzustande:

∣∣∣∣12 , 12⟩

=

(1

0

) ∣∣∣∣12 , 1

2-

⟩=

(0

1

)Allgemeiner Zustand: (

α

β

)= α

(1

0

)+ β

(0

1

)Der Spin wird mit Pauli-Matrizen beschrieben:

~S =~2~σ

σx =

(0 1

1 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 0

0 −1

)

Eigenvektoren von σx: (1√2

1√2

)und

(1√2

− 1√2

)(α

β

)als Linearkombination der Eigenvektoren:

(α

β

)= a

(1√2

1√2

)+ b

(1√2

− 1√2

)

mit a =1√2(α+ β) und b =

1√2(α− β)

• Dirac-Spinore:

Dirac-Spinore sind vierkomponentige Vektoren zur Beschreibung von Teilchen und

Antiteilchen.

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

129

• γ-Matrizen: 4× 4-Matrizen

γ0 =

(1 0

0 1

)γi =

(0 σi

−σi 0

)Dabei sind σi die bekannten Paulimatrizen.

5.3.2 Dirac-Lagrangedichte

L = i~cψγµ∂µψ −mc2ψψ

ψ = adjungierter Spinor

ψ und ψ werden als unabhangige Variablen betrachtet. Eigentlich hat ψ acht Felder, da

ψ ein komplexer Spinor ist. Deshalb nimmt man die Komponenten von ψ und ψ als un-

abhangige Variablen.

∂L

∂(∂µψ)= 0

∂L

∂ψ= i~cγµ∂µψ −mc2ψ

Mit der Euler-Lagrangegleichung folgt daraus die Dirac-Gleichung. Sie beschreibt ein

Spin 12-Teilchen mit der Masse m:

iγµ∂µψ −mc2

~cψ = 0

5.3.3 Lokale Eichinvarianz

Die Dirac-Lagrangedichte ist invariant unter globalen Phasenraumtransformationen (Eichtrans-

formationen).

ψ → eiθψ

Denn ψ transformiert sich gemaß ψ → e−iθψ. Deshalb heben sich in ψψ die Phasen heraus.

Lokale Eichtransformationen:

θ = θ(xµ)

Die Phasenanderung ist also eine Funktion des Ort-Zeit-Vektors xµ. Ist L invariant unter

lokalen Eichtransformationen?

130

Berechne:

∂µ

(eiθ(x)ψ

)= i (∂µθ (xµ)) eiθψ + eiθψ + eiθ∂µψ(

L = i~cψγµ∂µψ −mc2ψψ)

L → L − ~c (∂µθ) ψγµψ

Man erhalt eine Zusatzterm in der Lagrangedichte. Fur die weitere Diskussion nehmen wir

eine Variablentransformation vor:

λ(x) = −~cqθ(x)

Dabei ist q die Ladung des Teilchens. Daraus folgt:

ψ → e−iqλ(x)

~c ψ

Neues, grundlegendes Prinzip einer Quanten-Feld-Theorie (QFT):

Fordere, dass die vollstandige Lagrangedichte der Theorie invariant unter lokalen Eichtrans-

formationen ist!

Folglich muss die freie Lagrangedichte so erganzt werden, dass die lokale Eichinvarianz gilt.

Wir fugen ein Vektorfeld (Eichfeld) Aµ hinzu, mit Aµ + ∂µλ.

L = i~cψγµ∂µψ −mc2ψψ − qψγµψAµ

∂µ

(e−

iqλ~c ψ)

= −i q~c

(∂µλ) e−iqλ~c ψ + e−

iqλ~c ∂µψ

⇒ L → L + q (∂µλ) ψγµψ − qψγµψ∂µλ = L

L ist somit invariant.

Die volle Lagrangedichte muss auch den freien Term des Eichfeldes enthalten!

LA = − 1

16πF µνFµν +

1

8π

(mAc

~

)2

AνAν

F µν = ∂µAν − ∂νAµ

F µν ist lokal eichinvariant, AνAµ hingegen nicht! Folglich muss das Eichfeld Aµ masselos

sein:

mA = 0

131

Vollstandige Dirac-Lagrangedichte:

L = i~cψγµ∂µψ −mc2ψψ − 1

16πF µνFµν − qψγµψAµ

Fur eine mathematisch elegante Formulierung der Forderung nach lokaler Eichinvarianz

ersetzen wir die Ableitung ∂µ durch die kovariante Ableitung:

Dµ ≡ ∂µ + iq

~cAµ

denn

Dµψ → e−iqλ~c Dµψ

und somit ergibt sich die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik:

L = i~cψγµDµψ −mc2ψψ − 1

16πF µνFµν

Die QED ist der Prototyp einer Quantenfeldtheorie!

5.3.4 Schwache Wechselwirkung

Die Ladung der schwachen Wechselwirkung ist der schwache Isospin T. Die fundamentalen

Teilchen sind in Dubletts und Singletts angeordnet.

T T3(νe

e

)L

(νµ

µ

)L

(ντ

τ

)L

(u

d′

)L

(c

s′

)L

(t

b′

)L

1212

1212

-

eR µR τR uR cR tR 0 0

dR sR bR 0 0

Die zugehorige Symmetriegruppe ist die SU(2).

Ein Dublett von Dirac-Spinoren muss transformiert werden. In der QED: Eichtransforma-

tion aus U(1).

Betrachtet man

ψ =

(ψ1

ψ2

)ψ → Uψ

mit einer unitaren 2× 2 Matrix(U †U = 1

)132

U = eiH

wobei H hermite’sch ist:

H = θ · 1+ ~τ · ~α

~τ =

τ1τ2τ3

wobei τi die Pauli-Matrizen sind.

~α =

α1

α2

α3

αi ∈ R

U = eiθ · ei~τ ·~α

Verlangt man nun lokale Eichinvarianz der freien Dirac-Lagrangedichte unter SU(2) Pha-

sentransformationen, so brauchen wir neue Eichfelder.

Kovariante Ableitung:

Dµ = ∂µ + igτα2Wα

µ α = 1, 2, 3

Man fuhrt drei Eichfelder mit folgender Transformationsregel ein:

Wµ → Wµ +1

g∂µ~α− ~α× ~Wµ

5.3.5 Das Glashow-Weinberg-Salan-Modell

Eichgruppe: SU(2)L × U(1)Y

Y = Hyperladung

Q = T 3 +Y

2

χL → ei~α(x)~T+iβ(x)Y χL

Zum Beispiel: χL =

(νe

e

)L

mit T = 12

und Y = −1

ψR → eiβ(x)Y ψR

133

Zum Beispiel: ψR = eR

Kovariante Ableitung:

Dµ = ∂µ + ig ~Wµ · ~T + ig′1

2BµY

Das fuhrt uns auf 4 Eichfelder.

Die Lagrangedichte ist dann gegeben durch:

L0 = χLγµ

[i∂µ − g

1

2~τ · ~Wµ − g′(−1

2)Bµ

]χL

+ ψRγµ [i∂µ − g′(−1)Bµ]ψR

− 1

4WµνW

µν − 1

4BµνB

µν

mit Wµν = ∂µWν − ∂νWµ − g ~Wµ × ~Wν

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ

Problem: Die 3Wµ Felder und Bµ sind masselos, aber die schwache Wechselwirkung braucht

massive Felder. Die Massenterme der Form W µWµ konnen jedoch nicht von Hand hinzu-

gefugt werden, da dies zur Verletzung der lokalen Eichinvarianz fuhren wurde.

Losung: Spontane Symmetriebrechung und Higgsmechanismus

5.3.6 Spontane Symmetriebrechung

Massenterm:

Beispiel einer Lagrangedichte eines skalaren Feldes φ:

L =1

2(∂µφ) (partialµφ) + e−(αφ)2

Der Massenterm ist ein Term zweiter Ordnung in φ, was zunachst nicht offensichtlich ist.

Wir entwickeln nun den Potentialterm e−(αφ)2 :

L =1

2(∂µφ) (∂µφ) + 1 −(αφ)2︸ ︷︷ ︸

Massenterm

+1

2α4φ4 − 1

6α6φ6 + . . .

Die Lagrangedichte beschreibt Teilchen mit Masse

m =√

2α~c

134

Die Terme hoherer Ordnung reprasentieren Selbstkopplungen.

Vakuumzustand (Grundzustand des Feldes)

Betrachte dazu:

L =1

2(∂µφ) (∂µφ) +

1

2µ2φ2 − 1

4λ2φ4

Auf Grund des positiven Vorzeichens vor dem Massenterm waren die Massen jedoch ima-

ginar. In der Storungstheorie entwickelt man die Felder um den Grundzustand. Zerlege

dazu die Lagrangedichte in einen kinetischen Teil τ und das Potential U .

L = τ − U

U(φ) = −1

2µ2φ2 +

1

4λ2φ4

∂U

∂φ= −µ2φ+ λ2φ3 !

= 0

⇒ φ0 = 0 φ1,2 = ±µ~

∂2U

∂φ2= −µ2 + 3λ2φ2

φ0 ist also ein Maximum falls µ2 > 0. Folglich sind die Minima φ1 und φ2. Dieses Potential

nennt man auch auch”mexican hat potential“.

Um Storungstheorie zu betreiben, mussen wir um die Minima entwickeln. Dies fuhrt zu

einer Umdefinition des Feldes

135

η ≡ φ± µ

λ

Dies fuhrt zur Lagrangedichte als Funktion von η

L =1

2(∂µφ) (∂µφ)− µ2η2 ± µλη3 − 1

4λ2η4 +

1

4

µ2

λ2

Dies liefert uns dann einen Massenterm mit korrektem Vorzeichen:

m =√

2µ~c

Die Wechselwirkungsterme, die proportional zu η3 und η4 sind, reprasentieren Vertizes mit

3 bzw. 4”Teilnehmern“.

Spontane Symmetriebrechung:

Die Lagrangedichte ist invariant unter der Transformation φ → −φ (Symmetrie bezogen

auf den Ursprung). Die Lagrangedichte um das Vakuum entwickelt, ist jedoch nicht mehr

symmetrisch. Die Symmetrie ist gebrochen.

Der Vakuumzustand des Feldes hat nicht die gleiche Symmetrie wie die Lagrangedichte.

Dies fuhrt zur spontanen Symmetriebrechung. Das heißt, die Symmetrie ist nicht durch ein

externes Feld gebrochen, wie zum Beispiel ein ~B-Feld beim H-Atom zu einer Aufspaltung

der Energieniveaus fuhrt.

5.3.7 Spontane Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie

In Kapitel 5.3.6 hatte die betrachtete Lagrangedichte die diskrete Symmetrie

φ→ −φ

Nun haben wir eine Lagrangedichte mit zwei Feldern:

L =1

2(∂µφ1) (∂µφ1) +

1

2(∂µφ2) (∂µφ2) +

1

2µ2(φ2

1 + φ22

)− 1

4λ2(φ2

1 + φ22

)Diese ist invariant unter Rotationen im (φ1, φ2)-Raum. Das Potential ist gegeben durch:

−1

2µ2(φ2

1 + φ22

)− 1

4λ2(φ2

1 + φ22

)136

Die Minima liegen auf einem Kreis:

φ21,min + φ2

2,min =µ2

λ2

Ein umdefinieren der Felder

η ≡ φ1 −µ

λξ = φ2

liefert:

L =1

2(∂µη) (∂µη) +

1

2(∂µξ) (∂µξ)− µ2η2 + µλ

(η3 + ηξ2

)− λ2

4

(η4 + ξ4 + 2η2ξ2

)+

µ2

4λ2

Das η-Feld hat die Masse mη =√

2µ~c, wohingegen das ξ-Feld masselos ist.

Goldstone-Theorem

Die spontane Brechung einer kontinuierlichen Symmetrie bewirkt immer das Auftreten

mindestens eines masselosen, skalaren (Spin 0) Feldes (Teilchen). Diese masselosen Skalare

heißen Goldstone-Bosonen.

Kopplungen:

5.3.8 Der Higgs-Mechanismus

Der Higgs-Mechanismus besteht im Wesentlichen aus der lokalen Eichinvarianz der elek-

troschwachen Lagrangedichte und der spontanen Brechung einer kontinuierlichen Symme-

trie durch Vakuumzustande eines skalaren Feldes.

Wahl der Higgs-Felder:

Vier reelle Felder werden in einem Dublett des schwachen Isospins arrangiert.

φ =

(φ+

φ0

)mit

φ+ =1√2

(φ1 + iφ2)

137

φ0 =1√2

(φ3 + iφ4)

Das Higgs-Potential ist gegeben durch

U (φ) = µ2φ†φ+ λ(φ†φ)2

mit µ2 < 0 und λ > 0.

φ†φ =1

2

(φ2

1 + φ22 + φ2

3 + φ24

)Aus ~∇U = 0 folgt im Minimum:

φ21 + φ2

2 + φ23 + φ2

4 = −µ2

λ

Wahl eines bestimmten Minimums, zum Beispiel:

φ1 = φ2 = φ3 = 0 φ23 = −µ

2

λ≡ V 2

V 2 = vev: vacuum expectation value

Entwicklung von φ:

φ0 =1√2

(0

V + h(x)

)

Die Eichinvarianz fordert einen Wechselwirkungsterm der Higgs- und Eichfelder:∣∣∣∣(i∂µ − g ~T · ~Wµ − g′Y

2Bµ

)φ

∣∣∣∣2 − U(φ)

Einsetzen der Entwicklung von φ:∣∣∣∣(−ig~τ2 ~Wµ − ig′

2Bµ

)φ

∣∣∣∣2 =1

8

∣∣∣∣∣(gW 3

µ + g′Bµ g(W 1

µ − iW 2µ

)g(W 1

µ + iW 2µ

)−gW 3

µ + g′Bµ

)(0

v

)∣∣∣∣∣2

=1

8

∣∣∣∣∣(

(gW 1µ − iW 3

µ)v

−vgW 3µ + vg′Bµ

)∣∣∣∣∣2

=1

8v2g2

[(W 1

µ

)2+(W 2

µ

)2]+

1

8v2(g′Bµ − gW 3

µ

)2=

(1

2vg

)2

W+µ W

−µ +

1

8v2(W 3

µ , Bµ

)( g2 −gg′

−gg′ g′2

)(W 3

µ

Bµ

)

mit W± = 1√2(W 1 ∓ iW 2)

138

MW =1

2vg

Photon und Z0-Boson sind Linearkombinationen von W 3µ und Bµ:

Aµ =g′W 3

µ + gBµ√g2 + g′2

mit MA = 0

Zµ =gW 3

µ − g′Bµ√g2 + g′2

mit MZ =1

2v√g2 + g′2

Andere Formulierung:g′

g= tan θW

(Aµ

Zµ

)=

(cos θW sin θW

− sin θW cos θW

)(Bµ

W 3µ

)Dabei ist θW der Weinberg Winkel genannte elektroschwache Mischungswinkel.

e+ e− → W+W−

Der Prozess uber den Higgs-Austausch regularisiert den Wirkungsquerschnitt bei hohen

Energien (√s→ 1 TeV ).

Die Elektroschwache Vereinigung wird sehr gut bestatigt!

139

5.4 Entdeckungen der modernen Teilchenphysik

5.4.1 Entdeckung des top-Quarks

Erste Hinweise:

• 1975: Nachweis des τ -Leptons in e+e−-Kollisionen (Perl, Mark I)

• 1977: Entdeckung des Υ(1s) =∣∣bb⟩ in Proton-Kernstoßen

Situation:(u

d

) (c

s

)b(

νe

e

) (νµ

µ

)τ

Frage: Iso-Singletts oder Dubletts?

DESY, 1984: Messung der Vorwarts-Ruckwarts-Asymmetrie in e+e− → bb (Jade)

AFB = (−22, 8± 6, 5)%

SM-Dublett: AFB = −25, 2%

Singlett: AFB = 0

Daraufhin begann die Suche nach dem Isospin-Partner des b-Quark.

Ein weiteres Argument fur die vollstandige 3. Generation waren Dreiecksdiagramme:

Die Existenz dieser Dreiecksdiagramme wurde zu einer Divergenz des Wirkungsquerschnitts

fuhren. Dies wird nur dann vermieden, wenn die 3. Lepton- und Quarkgeneration vollstandig

sind.

140

Top-Quark-Produktion:

Am Tevatron (√s = 1, 8 TeV bzw. 1, 96 TeV im Run II):

qq → tt 85%

gg → tt 15%

Am LHC wird es umgekehrt sein!

Zerfall des top-Quark:

Klassifikation von tt-Ereignissen:

Naturlich konnen auch beliebige Kombinationen der leptonischen und hadronischen Zerfalle

der W -Bosonen auftreten. Das Verzweigungsverhaltnis lasst sich durch zahlen der Zerfalls-

moden ermitteln:

3 leptonische Moden und 2 hadronische Moden × 3 Farben macht 9 Moden:

BR(W → lνl) =1

9

141

BR(W → Quarks) =6

9

• Rein hadronischer Modus

W+ und W− zerfallen in Hadronen

BR((

69

)2= 36

81≈ 44%

• Rein leptonischer Modus

nur eνe oder µνµ, da experimentell”einfach“ nachzuweisen:

eνe + eνe : 181

eνe + µνµ : 281

µνµ + µνµ : 181

BR ≈ 5%

• Lepton + Jets-Modus

Zerfall eines W in eνe/µνµ und des anderen in qq

BR = 29· 6

9· 2 = 24

81≈ 30%

Die anderen tt-Moden enthalten τ -Leptonen und sind deshalb nur schwer nachweis-

bar.

5.4.2 Neutrinooszillationen

Neutrinos besitzen eine von Null verschiedene Ruhemasse. Desweiteren sind die Massen

Neutrinos entartet, also verschieden. Die Eigenzustande der schwachen Wechselwirkung

|νe〉 , |νµ〉 , |ντ 〉

sind nicht gleichzeitig Eigenzustande des Massenoperators:

|ν1〉 , |ν2〉 , |ν3〉

Die fuhrt zur Neutrinomischung:|νe〉|νµ〉|ντ 〉

=

Ue1 Ue2 Ue3

Uµ1 Uµ2 Uµ3

Uτ1 Uτ2 Uτ3

|ν1〉|ν2〉|ν3〉

Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix

142

Diese Mischungsmatrix ist vergleichbar mit der CKM-Matrix im Quarksektor.

Die Neutrinos konnen sich also ineinander umwandeln, d.h. mischen.

|ν(t = 0)〉 = |νe〉

Auf Grund der Mischung kommt es fur Zeiten t > 0 zu einer Linearkombination verschie-

dener Flavours:

|ν(t)〉 = α(t) · |ν1〉+ β(t) · |ν2〉+ γ(t) · |ν3〉

Zur Vereinfachung der Diskussion betrachten wir eine Zweizustandsmischung:

|νe(t)〉 = Ue1 · e−iEν1t~ |ν1〉+ Ue2 · e−iEν2

t~ |ν2〉

Dieser Fall kommt in der Natur zum Beispiel bei solaren Neutrinos vor.

Fur relativistische Neutrinos erhalten wir mit der Naherung pc >> mνic2 fur die Energie:

Eνi=√p2c2 +m2

νic4 ≈ pc

(1 +

1

2

m2νic4

p2c2

)Die Wahrscheinlichkeit, νe zur Zeit t zu messen ergibt sich dann zu:

Pνe→νe(t) = 〈νe(t)|νe〉 = |Ue1|2 + |Ue2|2 + 2 |Ue1| |Ue2| · cos

(1

2

Eν1 − Eν2

~· t)

Wenn man diese Oszillation misst, erhalt man eine Aussage uber

∆m2 = m2ν1−m2

ν2

Die dazu benotigte Zeit t erhalt man aus der Flugstrecke:

l = t · c

Die Mischung lasst sich auch durch einen Mischungswinkel parametrisieren:

U =

(cos θ sin θ

− sin θ cos θ

)

Die Wahrscheinlichkeit fur eine Umwandlung von α → β, wobei α 6= β, ist dann gegeben

durch:

Pα→β = sin2 (2θ) · sin2

(∆m2`

4E

)

143

In konkreten Einheiten lasst sich dies schreiben als:

Pα→β = sin2 (2θ) · sin2

(1, 267 · ∆m2[ev2] · `[km]

E[keV ]

)

Anschaulich ist dieses Verhalten in der folgenden Abbildung zu sehen. L0 bezeichnet dabei

die Oszillationslange:

L0 =4πE

∆m2

Neutrinoquellen:

1. Sonne

In der Sonne entstehen Neutrinos durch Fusionsreaktionen. Die Gesamtreaktion ist

gegeben durch:

4p→ He4 + 2e+ + 2νe

Es gibt verschiedene Fusions-Zyklen mit schwachen Prozessen. Mehr dazu in

Kapitel 6.

2. Hohenstrahlung

Die Neutrinos entstehen durch Wechselwirkung der kosmischen Strahlung mit der

Atmosphare. Dabei werden zum Beispiel Pionen erzeugt, die dann zerfallen:

π+ → µ+νµ

µ+ → e+νeνµ

Das Verhaltnis der Raten der einzelnen Flavours ist

N(νe)

N(νµ)≈ 1

2

144

Die Energien bewegen sich in dem Bereich 0, 5 − 50 GeV und die Flugstrecken be-

tragen bis zu 12000 km. Mit diesen Parametern ist man besonders auf kleine ∆m2

sensitiv.

3. Reaktorneutrinos

Spaltprozesse erzeugen Neutronen, die dann Zerfallen:

n→ pe−νe

Die Neutrinos haben eine Energie von ungefahr 4 MeV

4. Teilchenbeschleuniger

Ein auf ein Target gerichteter Protonenstrahl erzeugt Pionen, die dann zerfallen,

wobei Neutrinos entstehen. Mittels Ladungsseperation kann man nun νµ oder νµ-

Strahlen erzeugen. Es sind dabei Energien bis 100 GeV moglich.

5. Naturliche Radioaktivitat

Bei naturlichen Zerfallen im Erdinneren entstehen ebenfalls Neutrinos. Dies fuhrt zu

einem neuen Froschungsfeld: Dem Scan des Erdinnerens.

6. Kosmische Beschleuniger

Zum Beispiel Supernovae

7. Kosmische Neutrino-Hintergrundstrahlung

Diese Neutrinos sind kurz nach dem Urknall aus dem thermodynamischen Gleichge-

wicht ausgefroren.

T ≈ 1, 9 K nν ≈ 330cm−3

Als wichtige Experimente zum Thema Neutrinos sind zu nennen:

Homestake: Homestake war das erste Sonnenneutrinoexperiment. Es konnte mittels ei-

nes radiochemischen Verfahrens Neutrinos ab einer Energie von 814 keV nachweisen. In

diesem Experiment wurden weniger solare Elektronneutrinos nachgewiesen als nach dem

Standardsonnenmodell erwartet wurden. Somit gilt Homestake als Anfang des Sonnenneu-

trinoproblems

Kamiokande: Ursprunglich wurde dieses Experiment zum Nachweis von Protonzerfallen

gebaut, woher auch der Name stammt:

Kamioka nucleon decay experiment

145

Dabei werden Neutrinos uber elastische Streuung an Elektronen nachgewiesen, die dann in

einem großen Wassertank Cerenkov-Licht produzieren. Somit ist eine Energierekonstruk-

tion, und durch den hohen Impulsubertrag auch eine ungefahre Richtungsrekonstruktion

moglich. Kamiokande, beziehungsweise die nachste Ausbaustufe Super-Kamiokande, hat

einen wichtigen Beitrag zum Nachweis der Neutrinooszillation und zur Losung des Son-

nenneutrinoproblems geleistet.

146

6 Anwendungen der Kern- und Teilchenphysik

6.1 Radioaktivitat

Radioaktivitat bezeichnet die Umwandlung chemischer Elemente durch Aussendung von

Strahlung

α-Zerfall: ZAXN

α−→ A-4Z-2YN-2+

42He

β-Zerfall: ZAXN

e∓−→AZ±1YN∓1+e

∓ + ν(ν)

γ-Zerfall: ZAXN

* γ−→ AZXN+n · γ

6.1.1 Zerfallsgesetz

Das Zerfallsgesetz ist gegeben durch

N(t) = N0 · e−λt

Dabei ist λ die Zerfallskonstante. Die in der Einheit Becquerel [Bq] gemessene Aktivitat

ist mit der Zerfallskonstante durch

A(t) =dN

dt= −λN(t)

verknupft.

Beispiele: Außenwelt Aktivitat

Granit 1000 Bqkg

Gartenerde 400 Bqkg

Haus

Radon 50 Bqm3

Kalium im Korper 4500 Bq

Halbwertszeit:

t 12

=ln 2

λ

Lebensdauer:

τ =1

λ

Zerfallsbreite:

Γ =~τ

= ~ · λ

147

Die Lebensdauer und die Zerfallsbreite sind durch eine Fouriertransformation miteinander

verknupft.

1. α-Zerfall

Die Vorraussetzung fur den α-Zerfall ist, dass der”Q-Wert“ großer Null ist:

Q = (M(Z,A)−M(Z − 2, A− 4)−Mα) · c2 > 0

Daraus folgt fur die Energie der α-Teilchen:

Eα =Q

1 + Mα

M(Z−2,A−4)

Beobachtungen:

(a) Es gibt mehrere Linien Eα,i fur einen Ubergang, da der Tochterkern Y verschie-

dene Anregungsenergien haben kann.

(b) Zusammenhang zwischen t 12

und Eα:

Beispiele: X t 12

Eα

212Po 0, 3 µs 8,8 MeV

240Cu 27 d 6,4 MeV

238Pu 877 a 5,6 MeV

238U 4, 5 · 109 a 4,27 MeV

205Pb 1, 4 · 1016 a 2,6 MeV

Das Potential fur ein α-Teilchen sieht folgendermaßen aus:

148

Im Kern entsteht ein gebundenes System aus Y+α. Das α-Teilchen kann nur durch

den Tunneleffekt entweichen. Dazu muss die Coulombschwelle durchtunnelt werden:

VC(R0) =Zα · ZY · e2

4πε0 ·R0

Beispiel: Zerfall von Uran

23892 U → 234

90 Th+α

Aus der Berechnung der Coulombschwelle erhalt man im Fall von Uran VC = 35MeV .

Im Vergleich dazu ist die Energie der α-Teilchen mit Eα = 4, 27 MeV viel kleiner.

Betrachte zum Tunneleffekt zunachst eine eindimensionale Barriere:

T =jout

jin=|ψout| · vout

|ψin| · vin

Aus der Schrodingergleichung erhalt man dann:

T = e−2~

√2m(V0−Eα)·d

Im dreidimensionalen Fall nahert man den Coulombwall durch eine Reihe von Po-

tentialstufen an:

149

Lasst man nun die Breite der Potentialstufen gegen Null gehen, so erhalt man einen

Ausdruck fur die Transmission:

T = e−2~

√2m(V (r)−Eα)·dr

Fur V (r) setzt man nun das gewohnliche Coulombpotential ein.

In diesem speziellen Fall erhalten wir:

Tα = e−G

Dabei ist G der sogenannte Gamov-Faktor. Er ist proportional zu 1√Eα

Beispiele:21284 Po: t 1

2= 0, 3 µs

Eα = 8, 8 MeV

Tα = 10−13

14466 Nd: t 1

2= 2 · 1015 a

Eα = 1, 83 MeV

Tα = 10−42

Die Stoßfrequenz des α-Teilchens gegen den Coulombwall lasst sich berechnen durch:

f =vα

2R0

= 1020...1021

Insgesamt ergibt sich die Zerfallsrate λ durch

λ = λα · Tα · f

Dabei ist λα die Wahrscheinlichkeit, dass ein α-Teilchen entsteht, Tα ist die Tunnel-

wahrscheinlichkeit und f die Stoßfrequenz des α-Teilchens gegen den Coulombwall.

150

2. β-Zerfall

Prozess:

AZX→A

Z±1Y+β∓ + νe(νe)

Beobachtung durch Chadwick (1914): e−/e+-Abstrahlung mit kontinuierlichem Spek-

trum

Mysterium:

• Wo kommen die e−/e+ her?

• Kontinuierliches Spektrum

3. γ-Zerfall

Prozess:

AZX

*→AZX+nγ

6.1.2 Anwendungen der Radioaktivitat

1. Datierung

Interessant fur Archeologie

(a) Atmosphare

• 14N+p→14

C+n

• 14CO2 Entstehung

• Aufnahme in Pflanzen, Tieren und Menschen.

(b) Nach Ende des Stoffwechsels:

14C→14

N+e− + νe + 155 keV

Die Halbwertszeit betragt t 12

= 5730 a. Zur Altersbestimmung misst man das

Verhaltnis

R =R(14C)

R(12C)

Vor 1950 betrug dieses Verhaltnis in der Atmosphare

R = 1, 2 · 10−12

151

Danach hat sich diese Zahl zum Beispiel durch atmospharische Atomtests verandert.

Somit ist die Radiocarbonmethode bei neueren Proben nicht mehr anwendbar.

6.1.3 Sonderfalle von Kernubergangen

Innere Konversion

AZX

*→ AZX+e−

Ee = (M(X∗)−M(X)) · c2 − Eb(e−)

Die innere Konversion tritt auf, wenn die γ-Emission bei einem Ubergang verboten ist

(0 → 0).

Innere Paarbildung

Kann auftreten, falls ∆E > 2mec2.

Zum Beispiel:168 O

*→ 168 O+e− + e+ ∆E = 6 MeV

152

Resonanzabsorption von γ-Strahlung (Kernfluoreszenz)

Der Absorptionsquerschnitt ist gegeben durch:

Beispiel:57

Fe:

E0 = 14, 4 keV

τ = 1, 4 · 10−7 s

⇒ Γ = 4, 7 · 10−9 eV

Kernfluoreszenz findet also nur statt, wenn die Energie des Photons Eγ ≈ E0 ± Γ ist.

Aber:

1. Der Ruckstoß den Kerns muss berucksichtigt werden:

Er =1

2m0v

2r =

E2γ

2mAc2

Im Fall von57

Fe ist das Er = 2 · 10−3 eV . Die Energie des Photons ist also

Eγ = E0 − Er

2. Auch der Ruckstoß des absorbierenden Kerns muss berucksichtigt werden:

Er =E2

γ

2mAc2= 2 · 10−3 eV

153

Fur die Absorption gilt dann:

E ′γ = E0 + Er

3. Dopplerverschiebung durch thermische Bewegung

∆Etherm. = E0 ·√

2kT

mKc2

4. Moßbauereffekt

Fur den Moßbauereffekt bindet man die Atome in ein Kristallgitter ein. Dabei nutzt

man aus, dass Gitterschwingungen gequantelt sind.

154

In 60% aller Falle geben die emittierende bzw. absorbierende Kerne ihren Ruckstoß

an das Gitter ab. In diesem Fall ist Er ≈ 0

Moßbauer-Experiment:

Verwendung von191

Ir*γ1 od. γ2→ 191

Ir mit den Energien

Eγ1 = 42 keV

Eγ2 = 123 keV

Die Halbwertszeit dieses Isotops betragt:

τ < 5 · 10−10s

155

Anwendungen:

• HFS-Analysen

• Isomere Verbindungen (Einfluss chemischer Verbindungen)

• Messung von relativistischen Effekten:

Zum Beispiel: Gewicht von Licht (Pound, Rebka, PRL 4 (1960), S. 357)

Gleichheit der schweren und der tragen Masse des Photons.

mγ =hν

c2

Im Gravitationsfeld betragt die Energieanderung:

∆Eγ = mγg ·∆h =hν

c2g∆h =

h

c∆ν

Verwende57

Fe: hν0 = 14, 4 keV

156

Erwarte:

∆E =hν

c2g ·∆h

=14, 4 · 103eV · 9, 8m

s2 · 20 m

9 · 1016 m2

s2

= 3, 1 · 10−11 eV

∆E

E= 2, 2 · 10−15

Experimentell: ∆(hν) = 1, 05± 0, 10 ·∆(hν)therm.

6.2 Kernspaltung (Fission)

Historisch: 1938/39 Zufallige Entdeckung von Hahn und Straßmann

1939 Meitner, Fritsch: Erklarung des Prozesses

1942 Kontrollierte Kernspaltung in Chicago

1945 Atombomben am 6.8. und 9.8.

1. Vorraussetzung: Spontane Spaltung

• Q = M(Z,A)−M(ZX , AX)−M(ZY , AY ) > 0

157

• Energiegewinnung bei Deformation des Mutterkerns

a = R · (1 + ε)

b =R√1 + ε

≈ R · (1− 1

2ε)

Dabei ist ε der Deformationsparameter. Da das Volumen konstant ist, ergibt

sich die Oberflache zu:

O ≈ 4πR2

(1 +

2

5ε2 + ...

)Mit den Beitragen zur Energie des Kerns:

Es = −asA2/3

(1 +

2

5ε2...

)

Ec = −acZ2

A1/3

(1− 1

5ε2...

)Somit ergibt sich fur die Energieanderung bei Deformation:

∆E =1

5

(ac

Z2

A1/3− 2asA

2/3

)· ε2

Diese Energieanderung muss fur spontante Spaltung großer Null sein. Dies ist

gleichbedeutend mitacZ

2

2asA> 1

158

woraus sich als Bedingung fur spontane Spaltung

Z2

A> 51

ergibt.

159

Beispiel:23892 U= Z2

A= 35, 6

T1/2(Spaltung) = 1016a

T1/2(α) = 1, 5 · 109a

Uranspaltung:

Die Auslosung der Spaltung erfolgt zum Beispiel durch Neutroneneinfang:

238U+n→239

U+6, 4 MeV239

U→ X∗ + Y ∗ +m · νe + k · n+m · e−

Ein Beispiel fur die Zerfallsprodukte waren36

Kr +56

Ba, wobei uber 300 verschiedene

Paare bekannt sind. Daraus resultieren verschiedene Zerfallsketten, zum Beispiel:

13753 I

β−→13754 Xe

β−→13755 Cs

β (30a)−→ 13756 Ba

2. Kernkraftwerke

(a) Energiebilanz bei der Uranspaltung:

Spaltfragmente 167 MeV

Spaltneutronen 5 MeV

Photonen 6 MeV

β, γ (Sekundarzerf.) 14 MeV

νe 12 MeV

Gesamt: 204 MeV

Davon sind 192 MeV thermisch nutzbar. Somit liefert ein Gramm235

U eine

thermische Energie von 2 MWh. Im Gegensatz dazu liefert ein Gramm Kohle

bei der Verbrennung nur 8 Wh thermische Energie.

(b) Betrieb durch Kettenreaktion

n+235

U−→236U

*−→ X + Y + 2...4n

Die entstehenden Neutronen regen wiederum Urankerne an. Nun muss man

durch passende Wahl der Neutronenenergie den Wirkungsquerschnitt fur die

Spaltung maximieren.

160

Fur eine effiziente Spaltung werden thermische Neutronen benotigt. Folglich

mussen die Neutronen abgebremst werden.

Moderator H2O D2O Graphit

Bremslange [cm] 5,3 11,2 19,2

σAbs.[b] 0,7 10−3 5 · 10−3

Prinzip:

Der Absorber verhindert eine unkontrollierte Kettenreaktion.

Kritische Masse: oberhalb der kritischen Masse entsteht eine unkontrollierte

Kernspaltung. Im Fall von235

U fuhrt die Uberschreitung der kritischen Masse

von 50 kg zur Explosion.

161

6.3 Kernfusion

• Big Bang (3 min)

• Sterne, Supernovae

• H-Bombe

6.3.1 Energiegewinnung

d+ t→ α+ n+ 3, 5 MeV (α) + 14, 1 MeV (n)

Deuterium kommt zu 0,015% naturlich im Wasser vor. Das Tritium muss erst erzeugt

werden.

n+63 Li → 4

2 He+t+4,6 MeV

Die Halbwertszeit von Tritium betragt t1/2 = 12, 3a

Die Vorraussetzungen fur die Kernfusion:

• Die Kerne mussen ausreichend Energie zur Uberwindung der Coulombabstoßung be-

sitzen. Dies ist ab kT (d, t) > 10 keV der Fall, was einer Temperatur T > 108 K

entspricht.

• Lawson-Kriterium

Pd,t > PV

Fusion Verluste

• Zundparameter (fur Fusionsbetrieb):

Z = n · τE · kT > 1021keV · sm3

162

Laser-induzierte Kernfusion

Durch das plotzliche Verdampfen des Glasmantels wird das eingeschlossene Deuterium und

Tritium durch die Tragheit des Glases auf Dichten von

n > 1022 1

cm3

komprimiert. Die Einschlusszeit betragt

τE > 10−8s

und die Temperatur

T > 108K

Somit ist das Kriterium fur den Zundparameter erfullt, was zur Zundung fuhrt.

6.3.2 Energiegewinnung in Sternen

Die Strahlungsleistung unserer Sonne auf der Erdoberflache ist durch die Solarkonstante

gegeben:

P = 1, 372kW

m2

Diese Leistung errechnet sich aus der Gesamtleistung

Ptot = 4 · 1023kW

und dem Abstand zwischen Erde und Sonne von 1 AE.

In der Sonne laufen zwei Fusionszyklen ab, wobei der CNO-Zyklus fur die Energiegewin-

nung nur eine untergeordnete Rolle spielt.

163

1. pp-Kette:

Energie: E = 26, 2 MeV =6, 55 MeVProton

2. CNO-Zyklus:

164

Dabei spielt der Kohlenstoff die Rolle eines Katalysators. Folglich kann dieser Prozess

nicht in Sternen der ersten Generation ablaufen, da der benotigte Kohlenstoff erst

im Endstadium eines Sterns entsteht.

165