Embed Size (px)
Citation preview
วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) สอบวันเสารที่ 3 กรกฎาคม 2553 เวลา 13.00 – 16.00 น.
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 4 ตวัเลือกจํานวน 25 ขอ (1 - 25) ขอละ 5 คะแนน 1. กําหนดให , ,p q r และ s เปนประพจน ที่ประพจน ( ) ( )p q r s∨ → ∨ มีคาความจริงเปนเท็จ และประพจน p r↔ มีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดมีคาความจริงเปนจริง 1. ( ) ( )q p q r→ ∧ → 2. [ ]( ~ )q p q r→ ∨ ∧
3. ( ) ( )p s r q→ ↔ ↔ 4. [ ]( ) ( )r s q p r↔ ∧ → ∧ 2. กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ { }1, 0, 1− ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. [ ]2 0x y x y∀ ∀ + + > มีคาความจริงเปนจริง 2. [ ]0x y x y∀ ∃ + ≥ มีคาความจริงเปนเท็จ 3. [ ]1x y x y∃ ∀ + = มีคาความจริงเปนเท็จ 4. [ ]1x y x y∃ ∃ + > มีคาความจริงเปนเท็จ
3. ให { }{ }, { }, , { }A φ φ φ φ= และ ( )P A เปนเพาเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. จํานวนสมาชิกของ ( )P A เทากับ 16 2. จํานวนสมาชิกของ { }( ) , { }P A φ φ− เทากับ 7 3. { }{ } { }, , { } ( ) , { }P Aφ φ φ φ φ⊂ − 4. { }{ }, { }, { } ( )P Aφ φ φ ⊂
4. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา 1 21
3x
A x Rx x
⎧ ⎫− −⎪ ⎪= ∈ >⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭ แลว [0, 1)A∩ เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1 2,3 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2. 1 , 13
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3. 2 , 13
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4. 2 3,3 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5. ให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง
โดยที่ 3( )6
xf xx+
=+
และ 1 6( )( )1xf g x
x− −
=−
ถา ( ) 2g a = แลว a อยูในชวงใดตอไปนี้
1. [ 1, 1)− 2. [1, 3) 3. [3, 5) 4. [5, 7)
6. กําหนดให x เปนจํานวนจริง ถา arcsin4
x π= แลวคาของ ( )2sin arccos
15xπ⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ อยูในชวงใด
1. 10,2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2. 1 1,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3. 1 3,22
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
4. 3 , 12
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
7. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา ,a b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A มุม B และมุม C ตามลําดับ
แลว 1 1 1cos cos cosA B Ca b c
+ + เทากับขอใดตอไปนี้
1. 2 2 2
2a b c
abc+ + 2.
2( )a b cabc+ + 3.
2( )2
a b cabc
+ + 4. 2 2 2a b c
abc+ +
8. กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดานหนึ่งของไฮเพอรโบลา 2 29 16 90 64 17 0x y x y− − + + = แลววงกลมดังกลาวมีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้
1. 254π ตารางหนวย 2. 25
2π ตารางหนวย 3. 4π ตารางหนวย 4. 5π ตารางหนวย
9. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ˆABC เปนมุมฉาก และดานตรงขามมุมฉากยาว 10 หนวย ถาพิกัดของจุด A และจุด B คือ ( 4, 3)− และ ( 1, 2)− ตามลําดับ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจุด C 1. 8 27 0x y+ − = 2. 8 27 0x y+ − = 3. 4 5 3 0x y− + = 4. 5 4 3 0x y− + + = 10. พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. 43322 3< ข. 2 3
3 1log log8 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต ข ผิด 3. ก. ผิด แต ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
11. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ 2 23 28(3 ) 3 0x x+ − + = และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log log( 1) log( 3)x x x+ − = + แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B∪ เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
12. กําหนดให 0 1 1 1,
0 1 0 0A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ 1 10 2
C−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
คาของ ( )2det 2 t tA BC B C+ +
เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1 2. 0 3. 2 4. 6 13. ถา sin15 และ cos15 เปนคําตอบของสมการ 2 0x ax b+ + = แลว คาของ 4a b− เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1 2. 1 3. 2 4. 1 3 2+
14. กําหนดให x เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ 253 9 27x x⋅ = และ 2 4 6
4 6 8
(log 3)(log 5)(log 7)(log 3)(log 5)(log 7)
y =
คาของ yx เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1
8− 2. 1
8 3. 27− 4. 27
15. ให 1z และ 2z เปนจํานวนเชิงซอน ถา 11
3 45 5
z i− = − เมื่อ 2 1i = − และ 1 25 2 5z z+ =
แลว 2z เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 2 i− 2. 3 2 i+ 3. 1 2 i− 4. 1 2 i+
16. กําหนด u และ v เปนเวกเตอร โดยที่ 3 , 3u i j v= + = และ 4u v− = คาของ u v+ เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 6 2. 10 3. 13 4. 4 17. กําหนดให , ,x y z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x y≠ ถา , 2 , 3x y z เปนลําดับเลขคณิต แลว คา r เทากับขอใดตอไปนี้
1. 14
2. 13
3. 12
4. 2
18. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา :f R R→ เปนฟงกชัน โดยที่ ( )f x ax b= + เมื่อ ,a b เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชันลด และ ( ( ( ( )))) 16 45f f f f x x= + แลวคาของ a b+ เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 11 2. – 5 3. 11 4. 5
19. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชัน โดยที่
3 1; 1 1
1( ) ; 1 5
5 ; 5
xx
xf x ax b x
x
⎧ −⎪ − < <
−⎪⎪= + ≤ <⎨⎪ ≥⎪⎪⎩
ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง ( 1, )− ∞ แลวคาของ ab เทากับขอใดตอไปนี้
1. 54
2. 74
− 3. 15 4. 10−
20. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 คะแนน และมีสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุมนี้เพียง 29 คน เทากับ 2.5 แลวนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 35 2. 58 3. 60 4. 85 21. มีนักเรียน 5 คน รวมกันบริจาคเงิน ไดเงินรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 660 ถามีนักเรียนเพิ่มอีก 1 คน มารวมบริจาคเปนเงิน 60 บาท ความแปรปรวน จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตรงกับขอใดตอไปนี้ 1. เพิ่มขึ้น 80 2. เพิ่มขึ้น 90 3. ลดลง 80 4. ลดลง 90 22. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอม ๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 7 หรือผลคูณของหนาลูกเตา ทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปนี้
1. 118
2. 16
3. 29
4. 49
23. กําหนดใหอนุกรมตอไปนี้ 1000 20 100
2
1 3 1 1
1( 1) , , , 22
kk
k k k kA B k C k D
∞
= = = =
⎛ ⎞= − = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
คาของ A B C D+ + + เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 7,917 2. 7,919 3. 7,920 4. 7,922
24. กําหนด 48 362 , 3a b= = และ 245c = ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. 1 1 1b c a> > 2. 1 1 1
a b c> > 3. 1 1 1
b a c> > 4. 1 1 1
a c b> >
25. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดังตอไปนี้
แถวที่ 1 1 แถวที่ 2 3 5 แถวที่ 3 7 9 11 แถวที่ 4 13 15 17 19 แถวที่ 5
จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูตําแหนงใดในแถวที่เทาใด 1. ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2. ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3. ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4. ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21 ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลข จาํนวน 25 ขอ (26 - 50) ขอละ 7 คะแนน 26. ในการสอบวิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ และวิชาคณิตศาสตร ของโรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด 66 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่สอบตกทั้งสามวิชาจํานวน 13 คน นักเรียนที่สอบไดทั้งสามวิชามีจํานวน 17 คน นักเรียนที่สอบได วิชาภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษแตสอบตกวิชาคณิตศาสตรมีจํานวน 10 คน นักเรียนที่สอบไดวิชาภาษาไทยและวิชา คณิตศาสตรแตสอบตกวิชาภาษาอังกฤษมีจํานวน 11 คน นักเรียนที่สอบไดเพียงวิชาเดียว มีจํานวน 6 คน จํานวนนักเรียน ที่สอบไดวิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร เทากับเทาใด __________ 27. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา { }1 3 1 7 1S x R x x x= ∈ + + − = − และ { }3 1,T y R y x x S= ∈ = + ∈ แลวผลบวกของสมาชิกใน T เทากับเทาใด __________ 28. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา 1 2 3 4, , , ,f f f f g และ h เปนฟงกชันจาก R ไปยัง R โดยที่ 2 2
1 2 3 4( ) 1, ( ) 1, ( ) 4, ( ) 4f x x f x x f x x f x x= + = − = + = − 1 2( )( ) ( )( ) 2f g x f h x+ = และ 3 4( )( ) ( )( ) 4f g x f h x x− = คาของ ( )(1)g h เทากับเทาใด __________
29. คาของ
44 44
1 144 44
1 1
cos sin
sin cos
n n
n n
n n
n n
= =
= =
−∑ ∑
∑ ∑ เทากับเทาใด __________
30. ให , , ,a b c d เปนจํานวนจริง ถา 5 5 6 4 53
2 1 3 2 2
a a a
c c
b bd d d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แลว คาของ b c+ เทากับเทาใด ___________
31. ให , , , ,a b c d t เปนจํานวนจริง ถา a bA
c d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
โดยที่ det 0A t= ≠ และ ( )2 1det 0A t A−+ =
แลวคาของ ( )2 1det A t A−− เทากับเทาใด ___________ 32. กําหนดให 2 5u i j= − และ 2v i j= + ให w เปนเวกเตอร โดยที่ 11u w⋅ = − และ 8v w⋅ = ถา θ เปนมุมแหลมที่เวกเตอร w ทํามุมกับเวกเตอร 5i j+ แลว tan sin 2θ θ+ เทากับเทาใด ___________
33. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่ทําให 2 2 12 2
ni⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
เมื่อ 2 1i = −
แลว n มีคาเทากับเทาใด ___________ 34. ให { }na เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ 2
1 2 3 ... n na a a a n a+ + + + = สําหรับ 1, 2, 3, ...n = ถา 1 100a = แลว 2lim nn
n a→∞
มีคาเทากับเทาใด ___________
35. กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให { }na เปนลําดับของจํานวนจริงที่ นิยามโดย 72n
nanβ −
=+
สําหรับ 1, 2, 3, ...n = ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ { }na เปนจํานวนเทากับ 108a แลว lim nn
a→∞
มีคาเทากับเทาใด ___________ 36. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา x ตัว โรงงานจะตองเสียคาใชจาย 3 2450 60,200 10,000x x x− + + บาท ถาขายตุกตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตากี่ตัว จึงจะไดกําไรมากที่สุด ___________ 37. กําหนดให ( )f x เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ( )y f x= ที่จุด (1, 2)
มีคาเทากับ 4 และ 2
1
( ) 12f x dx−
=∫ แลว ( 1) ( 1)f f ′′− + − มีคาเทากับเทาใด ___________
38. กําหนดให ( ) ( ) ( )h x f x g x= โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง ( )y f x= ที่จุด ( , )x y เทากับ 2 2x− และเสนสัมผัสเสนโคง ( )y f x= มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 5 ถา g เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีสมบัติ (2) (2) 5g g′= = แลว (2)h′ มีคาเทากับเทาใด ___________
39. กําหนดให 2 21 11 1 1 1na
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
สําหรับ 1, 2, 3, ...n =
คาของ 1 2 3 20
1 1 1 1a a a a
+ + + +… เทากับเทาใด ___________
40. ให k เปนคาคงที่ และถา 15 4
5
( ) 3 2 12 2lim 15 6 ... 15 ...( 2) 5 5
n
n
k n n nn
−
→∞
+ + + ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
แลว k มีคาเทากับเทาใด ___________ 41. ขอสอบปรนัย 20 ขอ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกําหนดขอ 1 – 10 ขอละ 4 คะแนน ขอ 11 – 20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนักเรียนตอบขอใดถูกตอง จะไดคะแนนเต็มของขอนั้น แตถาตอบผิดหรือไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมีกี่วิธี ที่นักเรียนคนหนึ่ง จะทําขอสอบชุดนี้ไดคะแนนรวม 45 คะแนน ___________ 42. กําหนดให { }1, 2, 3, ..., 9, 10A = จงหาจํานวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่ประกอบดวยสมาชิก 8 ตัวที่แตกตางกัน โดยที่ ผลรวมของสมาชิกทั้ง 8 ตัว เปนพหุคูณของ 5 ___________ 43. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ถานักเรียนคนหนึ่งในหองนี้สอบได 55 คะแนน คิดเปนคะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (coefficient of variation) ของคะแนนนักเรียนหองนี้ เทากับ 20% คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด ___________ 44. สรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง โดยใหความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเปน 10 แลว ปรากฏวามัธยฐานของคะแนนการสอบเทากับ 57 คะแนนซึ่งอยูในชวง 50 – 59 ถามีนักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 คะแนน อยูจํานวน 20 คน จงหาวานักเรียนกลุมนี้ มีทั้งหมดกี่คน ___________ 45. กําหนดจุด 10 จุด โดยที่ระยะหางระหวางจุดเทา ๆ กัน ดังรูป จะตองลบจุดออกจากภาพอยางนอยที่สุดกี่จุด เมื่อลบออกจากภาพแลวไมมีสามจุดใด ๆ (ที่เหลือ) เปนจุดยอดของ สามเหลี่ยมดานเทา ___________ 46. ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองส่ีเหลี่ยมโดยใหผลรวมของจํานวนในชองส่ีเหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18
7 x 8
คาของ x เทากับเทาใด ___________
47. จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 16 ชอง ดังรูป หลัก (ค) หลัก (ง)
1 5 x 13
แถว (ก) แถว (ข)
ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองส่ีเหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนใน แตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลัก ((ค) และ (ง)) มีคาเทา ๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลว จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 48. ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 × 5 ตอไปนี้
5 4 1 3 5 3
2 3 1 x
โดยที่ แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 แตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 49. สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ กําหนดให a b⊗ เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติดังตอไปนี้
(ก) 4a a a⊗ = + (ข) a b b a⊗ = ⊗ (ค) ( )a a b a ba b b⊗ + +
=⊗
คาของ (8 5) 100⊗ ⊗ เทากับเทาใด ___________ 50. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้
หลักที่ 1
หลักที่ 2
หลักที่ 3
หลักที่ 4
หลักที่ 5
2 5 8 23 20 17 14 11
26 29 32 47 44 41 38 35
จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด ___________
F F
T
F F F T
T F
F
เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553)
ตอนที่ 1 ขอ ๑ ตอบ ๒ rp ↔ และ )()( srqp ∨→∨ ∧∨→ qpq ([ )r ขอ ๒ ตอบ ๓ }1,0,1{−=U
1. 02)1(1 =+−+− เปนเท็จ
2. 1,1;0,0;1,1 −=====−= yxyxyx เปนจริง 3. ไมมี x ที่ทําใหทุก 1; =+ yxy เปนเท ็จ
4. ให 1;1,1 >+== yxyx เปนจริง ขอ ๓ ตอบ ๓ 3)(}}};{,{},{,{ =∅∅∅∅= AnA 1. 82))(( 3 ==∴ APn 2. 628}}){,{)(( =−=∅∅−APn 3. }}{,{)(}}}{,{},{,{ ∅∅−⊂∅∅∅∅ AP 4. )(}}}{,{},{,{ AP∈∅∅∅∅
ขอ ๔ ตอบ ๓
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−+−−
∈= 13||2|1||
xxxRxA
พิจารณา )1,0[∈x จะได
03223
032
321
0132
1
0132)1(
1321
<−−
<−
−++
<+−+
>−−+−
>−+−−
xx
xxx
xxXxxxx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1,
32)1,0[
23,
32
ขอ ๕ ตอบ ๓ 36
63:;
63 1 +=+→
++
=++
= − yxxyyyxf
xxf
1
63−−
=x
xy
1
61)()(63))(())(( 11
−−
=−
−== −−
xx
xgxgxgfxogf
ถา 2)( =ag แลว 1
612
)2(63−
−=−
−a
a
3=a ขอ ๖ ตอบ ๔ จาก
21
4sin
4arcsin =→=→= xxx ππ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
22
21arccos
15sinarccos
15sin ππ x
sin15 3
sin(12 60 )sin 72
o o
o
π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
=
จะเห็นวา sin 60 sin 72 sin 90< <
ดังนั้น 3 sin 72 12
< <
+ - +
32
23
ขอ ๗ ตอบ ๑ จากกฎของโคไซน
( ) ( ) ( )ab
cbacac
bcabbc
acba
Cc
Bb
Aa 2
12
12
1cos1cos1cos1 222222222 −++
−++
−+=++
abccba
abccbabcaacb
2
2222
222222222
++=
−++−++−+=
ขอ ๘ ตอบ ๑ ( ) ( ) 6422517441625109 22 −+−=+−−+− yyxx
( ) ( ) 19
216
5 22
=−
−− yx
จะได 5259162 =→∴=+= cc วงกลมที่มีจุดปลายของจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางไฮเพอรโบลาและจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอรโบลาจะมีรัศมียาวเทากับ
25 หนวย
ดังนั้น พืน้ทีว่งกลม 4
2525 2
2 πππ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== r ตารางหนวย
ขอ ๙ ตอบ ๒
2 3 2 11 4 1
3 5
AB BCyx
y x
⊥
− −⎛ ⎞⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠⎝ ⎠= +
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )0271128112
024082
100202010100234
1034
2
2
22
222
=−+=→=∴=−+
=−+
=++
=+++
=−++
yxxx
xxxx
xx
yx
10
C(x,y)
B(-1,2) A(-4,3)
ขอ ๑๐ ตอบ ๑
ก.
( )( )
( ) ( )61
961
8
61
868
34
61
969
23
23
333
222
>∴
==
==
ข. 2log33log
2log02log1log21log
33log8log3log83log
32
3333
2222
−<−∴
−=−=
−=−=
ถูก ถูก ขอ ๑๑ ตอบ ๒
( )( )2 2
2
3 3 28 3 3 0
9 3 1 3 3 0
13 ,3 39
2, 1{ 2,1}
log log( 1) log( 3); 0, 1, 3( 1) 3; 1
2 3 0( 3)( 1) 0
3; 1, 1{3}
{ 2,1,3}
x x
x x
x x
x xA
x x x x x xx x x xx xx xx x x
BA B
⋅ − ⋅ + =
⋅ − − =
= =
∴ = − == −
+ − = + > > > −− = + >
− − =− + =
∴ = ≠ >=
∴ ∪ = −
ขอ ๑๒ ตอบ ๒
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1010
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1100tA , ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2200
2 tA
( ) 2022det
1302
2
1111
2011
0101
0011
4031
0011
4031
2011
2011
22
2
2
2
=−=++∴
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
CBBCA
CBBCA
CB
BC
C
t
tt
t
ขอ ๑๓ ตอบ ๓ จาก 02 =++ baxx
( )( )( )
41
221
230sin;15cos15sin21
15cos15sin;15cos15sin015cos15sin15cos15sin
015cos15sin
2
2
===+=
=+=∴
=++−
=−−
ooo
oooo
oooo
oo
ba
baxx
xx
248
41
23
23
211
30sin1
24 ==−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
=
+=
+=
ba
o
ขอ ๑๔ ตอบ ๒ 2 25 5 2 33 9 27 3 3 3x x x x⋅ = → ⋅ = และ 0>x
( )( )
2
2
3
2 5 3 02 1 3 0
1 ; 32
12
log 3 log 5 log 7log8log 2 log 4 log 6 log 8 3log 3 log 5 log 7 log 2
log 4 log 6 log8
1 12 8
y
x xx x
x x
x
y
x
+ − =
− + =
= = −
∴ =
⋅ ⋅= = = =
⋅ ⋅
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
ขอ ๑๕ ตอบ ๔
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=→=+
+=→−=−
iZZZ
iZiZ
54
53552525
54
53
54
53
221
11
1
i42 −=
iZ
iZ
21
21
2
2
+=
−=
ขอ ๑๖ ตอบ ๒
10
109342
32
16924
9,4
162
222
22
222
=+∴
=+−=++=+
−=
=+−∴
==
=+−=−
vu
vvuuvu
vu
vu
vu
vvuuvu
ขอ ๑๗ ตอบ ๒ zyx ,, เปนลําดับเรขาคณิต yx ≠ yry
ry ,, เปนลําดับเรขาคณิต yrz
ryx ==∴ ,
จาก zyx 3,2, เปนลําดับเลขคณิต
( )( )
1,31
01130143
34
232
2
=∴
=−−=+−
+=
−=−∴
r
rrrr
ryyry
yyrryy
ถา 1=r แลว yx =
31
=∴ r
ขอ ๑๘ ตอบ ๑ baxxf +=)( และ f เปนฟงกชันลด จะได 0<a 4516))))(((( 234 +=++++= xbabbabaxaxffff 164 =a และ 4523 =+++ babbaba 2−=a
9455
−==−
bb
11)9(2 −=−+−=+ ba
ขอ ๑๙ ตอบ ๔ f∵ ตอเนื่องบน ( )∞− ,1 จะได
bax
xfxf
xx+=
−
−→=
−− →→ 1
1lim)1()(lim.)1
3
11
( )
( )13
)111(11lim
3
1
→−=+
+=++−→+=−−
−−→
ba
babaxx
x
( )255)5(lim.)25
→=+→=−→
bafx
( ) ( ) 8412 =→− a
52−=
=ba
( ) 1052 −=−=ab ขอ ๒๐ ตอบ ๑ 5.20 30
30
1
−=∴=∑=
ZZi
i
10
605.2 −=−
x ( ) 355.21060 =−=x ขอ ๒๑ ตอบ ๔
จากสูตร 22
2 µσ −= ∑NX i
( )
57049005470706
32820
32820360029220
29220551846605
3605
660
22
6
1
5
1
22
=−=−=
=−=∴
=×+=→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑
∑∑
=
=
σ
ii
ii
i
X
XX
ดังนัน้ความแปรปรวนลดลง 660 570 90− = ขอ ๒๒ ตอบ ๓ 3666)( =×=Sn , 1E (ผลบวกเทากบั 7 ) { }43,34,52,25,61,16= 2E (ผลคูณเทากับ 12 ) { }43,34,62,26=
{ }
92
368)(
8)(43,34,52,25,62,26,61,1621
==∴
==∪=
EP
EnEEE
ขอ ๒๓ ตอบ ๑
( )
( )( ) ( )( )
79172505028650
2
211
21
2212
50502101100
286552870216
412120
01
1
100
1
2220
3
2
1000
1
=+++=+++
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
===
=−=+−==
=−=
∑
∑
∑
∑
∞
=
=
=
=
DCBA
D
kC
kB
A
k
k
k
k
k
k
ขอ ๒๔ ตอบ ๔
( )( )( )
cbabca
c
b
a
1112555
2733
1622
1212224
1212336
1212448
>>→<<∴
===
===
===
ขอ ๒๕ ตอบ ๒ จาก ,...361,...,9,7,5,3,1 ( )211361 −+= n 1811
21361
=+−
=n
ผลบวกของจํานวนในแตละแถว
( )
( ) 1712191818
1902201919
181...4321
=⇒=
=⇒=
≥+++++
n
n
n
ดังนั้น 361 อยูในแถวที่ 19 ตําแหนงที่ 10 (จากซาย)
เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553) ตอนที่ 2
ขอ ๒๖ ตอบ ๒ ( ) 1366101711321 −=++++++ YXXX 53386 =++ Y 9=Y ดังนั้นสอบไดอังกฤษและคณิตศาสตร 26917 =+ คน ขอ ๒๗ ตอบ ๒
( ) ( )171232131
31;17131
2
22
−=−++−++
≥−=−++
xxxxx
xxxx
( ) 1691234
13123222
2
+−=−+
−=−+
xxxxxxx
05143 2 =−+ xx
( )( )3 1 5 0
1 , 53
x x
x x
− − =
= = −
21313
31;13 =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=→=+= yxxy
ขอ ๒๘ ตอบ ๑
( )( ) ( ) ( )244)(4)(
1)(2)(21)(1)(22 >−−−−−=+−+
>−−−−−−=→=−++
xxhxg
xhxgxhxg
แทนคา )(2)( xhxg −= จาก ( )1 ในสมการ ( )2
( ) ( )( ) ( ) xxhxhxh
xxhxh
48)()()(44
48)()(222
22
=+−+−
=+−−
xxh 412)(4 −=
132)(3)(
−=+−=−=
xxxgxxh
( )( ) ( )( ) 1)2()13(11 ==−==∴ Gghghg
T U=66
2X
3X
E
13
M
11
Y17
1X
10
ขอ ๒๙ ตอบ ๒
oooo
n
on 44cos...3cos2cos1coscos44
1
++++=∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
+++=
21cos...
241cos
243cos
245cos2
21cos
245cos2...
241cos
245cos2
243cos
245cos2
oooo
oooooo
oooo
n
on 44sin...3sin2sin1sinsin44
1
++++=∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
+++=
21cos...
241cos
243cos
245sin2
21cos
245sin2...
241cos
245sin2
243cos
245sin2
oooo
oooooo
44 442 22 2
1 144 44
1 1
45 4545 45 45 45 2 cos sincos sin cos sin cos sin 2 22 2 2 245 45 45 45 45 45sin cos sin cos sin cos 2sin cos2 2 2 2 2 2
o o
n n
o o
n n
n n
n n
= =
= =
⎛ ⎞−⎜ ⎟−
⎝ ⎠− = − = =∑ ∑
∑ ∑
2cos 45 2cot 45sin 452
= =
=
ขอ ๓๐ ตอบ ๔
3 5 3 5 4 5 63 2 3 1 2 3 2
a a a
c c
b bd d a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + + +=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 2 3 1 22 2 2 2 1
c c
c c
⋅ = − +
⋅ = → =
3 3 2 33 5 5 4 5 23 5 6 2 8
a a a
a
d d d
b b b
= + → =
⋅ = + → =
= + + → +
0=∴c
4=∴b 404 =+=+∴ cb ขอ ๓๑ ตอบ 4 พิจารณาจากโจทย 1 0A A−+ = นั้น A นาจะเปนเมตรกิซเสมือนสมมาตร (Skew symmetric matrix) tA A= − โดยสมาชิกนอกแนวทแยงมุมหลัก เปน 1 นั่นคือ
0 11 0
a bA
c d⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ det 1 0A = ≠
แทนคา 2 1 20 1 0 1 0 01(1)1 0 1 0 0 0(1)
A t A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จริง
ดังนั้นคาของ 2 1 20 1 0 1 0 21(1)1 0 1 0 2 0(1)
A t A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
จะได 2 1det( ) 4A t A−− =
ขอ ๓๒ ตอบ 2 ให jbiaw +=
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
2 5 11 1
2 8 2
2 2 : 2 4 16 3
1 2 : 9 273, 2
2 3 , 4 9 13
5 25 1 26
5 10 3 13 1cos13 26 13 2 25
45tan sin 2 tan 45 sin 90 1 1 2
o
o o
u w a b
v w a b
a b
bb a
w i j w
i j
w i j
w i jθ
θ
θ θ
⋅ = − = − − − − − − − >
⋅ = + = − − − − − − >
× + = − − − − − −− >
− − = −
∴ = =
= + = + =
+ = + =
⋅ + += = = =
+
∴ =
∴ + = + = + =
ขอ ๓๓ ตอบ 8
nn
ii ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
4sin
4cos
22
22 ππ
14
sin4
cos =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ππ nin
14
cos =πn และ 0
4sin =
πn เมื่อ ,...24,16,8=n
8=∴n ขอ ๓๔ ตอบ 200 จาก nn anaaaa 2
321 ... =++++
3
4 12221
aaaaa =→=+∴
6
9 133321
aaaaaa =→=++
11 2 3 4 4 416
10aa a a a a a+ + + = → =
iii
จะได nannn
aaaaa 2
21111
1
2
...1063
=+
+++++
( ) 20010022
2
limlim 121
22 ===
+=∴
∞→∞→a
nnanan
nnn
ขอ ๓๕ ตอบ 2
27
+−
=nnan
β
จาก 10879 aSS =−
1107108
1179
1078
10898−
=−
+−
→=+βββaaa
710870907788 −=−+− βββ
14070 =β 2=β 2
272limlim =
+−
=∴∞→∞→ n
nannn
ขอ ๓๖ ตอบ 200
0602009003200)(
1000060200450200)(2
23
=−+−=′
−−+−=
xxxfxxxxxf
0600009003 2 =+− xx 0200003002 =+− xx ( )( )
200,1000200100
=∴=−−
xxx
( ) 6 900(100) 600 900 300(200) 1200 900 300
200
f x xff
x
′′ = − +′′ = − + =′′ = − + = −
∴ =
ขอ ๓๗ ตอบ 10 ให baxxfcbxaxxf +=′++= 2)(,)( 2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )342
23:32
322)1(
242
123233
1223
2238
1223
12
1424)1(
1
2232
1
2
−=→=−−
>−−−−−−=++→=
>−−−−−−=+−
=+−
=+−+++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++→=++
>−−−−−−=+→=′
−−∫
bbcbaf
cba
cba
cbacba
cxxbxadxcbxax
baf
แทนใน ( )32
34
382,
38
2344
:1 =+−=∴=+
= ca
103
30382
32
34
38)1()1( ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+++=−′′+− ff
ขอ ๓๘ ตอบ 10
10)5(2)2(5)5(4)2(4444)2(
4125;2)(5)1(;242)2(
102222)(
)2()2()2()2()2()()()()()()()()(
2
==−+=′∴=+−=
=∴+−=+−=
=−=−=′=∴=−→−=′
′+′=′′+′=′→=
hf
cccxxxf
ffxxxxf
gfgfhxfxgxgxfxhxgxfxh
ขอ ๓๙ ตอบ 7
2 2
1
2
3
4
20
1 2 3 20
1 11 1 1 11
4
1 5 14
13 524 41 13 5
4 4
1 25 134
1 41 254
1 841 7614
1 1 1 1 5 1 13 5 25 13 ... 841 761...4
1 841 1 29 74 4
n
nn n
a
a
a
a
a
a
a a a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
−=
⎛ ⎞−⎜ ⎟
−⎝ ⎠= =
−=
−=
−=
− + − + − + + −∴ + + + + =
− + − += = =
iii
ขอ ๔๐ ตอบ 25
( )( )
...5
126152
23lim 5
45
+++=+
+++∞→ n
nnnkn
15 15 5152 3 315 5
k = = = ×−
25=
ขอ ๔๑ ตอบ 352 จะตอบใหไดคะแนน 45 คะแนน ( )1 ตอบถูกตอนที่ 1 10 ขอ และตอบถูกตอนที่ 2 อีก 5 ขอ
จํานวนวิธตีอบ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
510
1010
!5!5!10
= 252=
( )2 ตอบตอนที ่1 ผิด 1 ขอ และตอบตอนที่ 2 ผิด 1 ขอ
จํานวนวิธตีอบ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
110
110
100=
ดังน้ันจํานวนวิธตีอบทั้งหมด คือ 352100252 =+ วิธี
ขอ ๔๒ ตอบ 9
{ }
( ) 5521110
10,9,...,5,4,3,2,110
1
==
=
∑=i
i
A
ดังน้ัน ตัวเลขทีต่ัดออกสองตัวตองมีผลบวกเปนพหุคูณของ 5 ซ่ึงมี ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8,7,9,6,7,3,10,5,6,4,8,2,3,2,9,1,4,1 ซ่ึงจะมี 9 แบบ
ขอ ๔๓ ตอบ 50
( )
( )
501.1
55551.0
55)5
(5.0
255
110020
1555.0
==→=+
−=
>−−−−−−=→==
>−−−−−−−
=
XXX
XX
XSXS
SX
ขอ ๔๔ ตอบ 36 คน ชวงคะแนน f cf
5950 −
8
12
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
20
2
12257 49.5 10
8
47.5( ) 125 2
6 122
L
m
N fMed L I
f
N
N
N
⎛ ⎞−⎜ ⎟= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟
= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
= −
∑
182
36
N
N
=
∴ =
ขอ ๔๕ ตอบ 4 จุด
หรือ
ขอ ๔๖ ตอบ 3
ขอ ๔๗ ตอบ 9 ใหผลบวกแตละแถว ก ข แตละหลัก ค ง k=
( ) ( )1782171616...4321 ==+++++
( )4 2 1 5 13k X= + + + + (ผลบวกของจํานวนนอกเหนือจาก 13,,5,1 X ) ( ) ( )8 17 4 1 5 13k X∴ = − + + + จะไดวา 4 หาร 1351 +++ X ลงตัว
( )9194
=∴
+
XX
7 8 3 7 8 3 7 8 3 7 8 3 7 8
7 3 8 7 3 8 7 3 8 7 3 8 7 3
7 X 8
ก
ข
ค ง
1 5
X 13
ขอ ๔๘ ตอบ 3
3 5 4 2 1
1 3 2 5 4
4 1 5 3 2
2 4 3 1 5
5 2 1 4 x=3
ขอ ๔๙ ตอบ 208
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) 20052325
3858
5211211121121231223223
23252335335
35383558558
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⊗∴
=⊗=+⊗=⊗=⊗⊗=+⊗=⊗=⊗
⊗=+⊗=⊗=⊗
⊗=+⊗=⊗=⊗
จะได ( ) ( )
( ) ( ) 20810424100100
10010010010010010020010058
==+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+⊗=⊗=⊗⊗
ขอ ๕๐ ตอบ 2 จากหลักที่ 1241 −= nan ถา 84=n จะได ( ) 1842484 −=a
2015
12016=
−=
ดังน้ัน 2012 อยูในหลักที่ 2
หลักที่ 1 หลักที ่ 2 หลักที ่ 3 หลักที ่ 4 หลักที ่ 5 2 5 8
23 20 17 14 11 26 29 32
47 44 41 38 35 50 53 56
71 68 65 62 59
