KHAI TRIỂN TAYLOR

Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange

20 00 0 0

( )0

0

( )1! 2!

!

n

nn

f x f xf x f x x x x

f x x xn

R

x

f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:

( 1)

10 ,

( 1)!

nn

nf c x xn

R

(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)

c nằm giữa x và x0

Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano

20 00 0 0

( )

0 00

( )1! 2!

!( )

n

n n

f x f xf x f x x x x x

f x x xn

o x x

f có đạo hàm cấp n tại x0:

Phần dư Peano.

x0 = 0: khai triển Maclaurin.

Ý nghĩa của khai triển Taylor

f(x): biểu thức phức tạp

cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán.

Hàm đơn giản nhất là đa thức.

f(x) = sinx

( ) ( )f x x o x

f(x) = sinx

33( ) ( )

3!xf x x o x ( ) ( )f x x o x

f(x) = sinx

33( ) ( )

3!xf x x o x ( ) ( )f x x o x

4 2 17

1( ) ( 1) ( )

(2 1)!

nn

n

xf x o xn

f(x) = sinx

Ví dụ 1.

(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3)

•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.

•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.

Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho

1( )f xx

(1) 1f 1( )f xx

21( )f xx

(1) 1f

32( )f xx

(1) 2f

46( )f xx

(1) 6f

2

3 3

(1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1)1! 2!

(1) ( 1) ( 1)3!

f ff x f x x

f x o x

(4)524( )f xx

2

3 3

(1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1)1! 2!

(1) ( 1) ( 1)3!

f ff x f x x

f x o x

2 3 31 2 6( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1! 2! 3!

f x x x x o x

32 31 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x

Phần dư Peano

(4)524( )f xx

Nếu dùng phần dư Lagrange:

323( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx

)44

3

( ( ) ( 1)4!

fR xc

44

5 51 24 ( 1)( 1)4!

xxc c

Ví dụ 2

2( ) 2 tan (1 tan )f x x x

2 2 2( ) 2(1 tan ) 6 tan (1 tan )f x x x x

2

3 3

(0) (0)( ) (0) ( 0) ( 0)1! 2!

(0) ( 0) ( 0)3!

f ff x f x x

f x o x

Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x

2( ) 1 tanf x x

33tan ( )

3xx x o x

Ví dụ 3

Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)

Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0

Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư.

2 3(2) (2) (2)( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!f f ff x f x x x

2 3(2) (2) (2)( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!f f ff x f x x x

Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)

2 31 4 120 ( 2) ( 2) ( 2)1! 2! 3!x x x

2 3( 2) 2( 2) 2( 2)x x x

2( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x

(1) 1, (1) 1f f

Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản

( ) ( )k xf x e

( )

1

(0)(0) ( 0) ( 0)!

n kx k n

k

fe f x o xk

1

11 ( )!

nx k n

ke x o x

k

(x0 = 0)

(. )1 xf x e

( ) (0) 1kf

1( ) ( 1) ( 1)!( )

(1 )

kk

kkf xx

( )

1

(0)ln(1 ) (0)!

n kk n

k

fx f x o xk

1

1ln(1 ) ( 1) ( )

n kk n

k

xx o xk

( )2 l ). n(1 f x x

( ) 1(0) ( 1) ( 1)!k kf k

( ) ( ) ( 1) ( 1)(1 )k kf x k x

( )

1

(0)(1 ) (0)!

n kk n

k

fx f x o xk

2( 1)(1 ) 11! 2!( 1) ( 1) ( )

! n n

x x x

n x o xn

( )3 1 ). ( f x x

( ) (0) ( 1) ( 1)kf k

Áp dụng cho = - 1.

2 31 1 ( 1) ( )1

n n nx x x x o xx

2( 1)(1 ) 11! 2!( 1) ( 1) ( )

! n n

x x x

n x o xn

( ) ( ) sin2

kf x x k

2 1 ( )

2 1

0

(0)sin (0)!

n kk n

k

fx f x o xk

( ) sin3. f x x

( ) (0) sin2

kf k

( )

(2 1) 1

2 (0) 0

2 1 (0) ( 1)

k

p p

k p f

k p f

2 1

1 2 1

1sin ( 1)

(2 1)!

n kk n

k

xx o xk

2 ( )

2

0

(0)sin (0)!

n kk n

k

fx f x o xk

2 1

1 2

1sin ( 1)

(2 1)!

n knk

ko xxx

k

Lưu ý cho hàm sin x

f(2n)(0) = 0 hệ số của x2n là 0.

Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản

21 ( )1! 2! !

xn

nx x xe o xn

2 31( 1) ( )

2 3ln(1 )

nn nx x xx o xx

n

2( 1)11! 2!(

(1 )

1) ( 1) ( )!

n n

x x

nn

x

x o x

2 31 ( 1)11

( )n n nx x x o xx

x

3 5 2 1

1 2 1( 1)3! 5! (2 1)!

sinn

n nx x x xx o xn

2nhay o x

2 4 2

21 ( 1)2! 4! (

c2 )!

osn

n nx x x o xxn

2 1no xhay

Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic

3 5 2 1

2 1sinh3! 5! (2 1)!

nnx x xx x o x

n

3 5 2 1

1 2 1arctan ( 1)3 5 2 1

nn nx x xx x o x

n

2 4 2

2cosh 12! 4! (2 )!

nnx x xx o x

n

Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu

Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.

Lưu ý về thay tương đương cho sinh, cosh

, 0sinh khi x x x

3 5 2 1

2 1sinh3! 5! (2 1)!

nnx x xx x o x

n

2 4 2

2cosh 12! 4! (2 )!

nnx x xx o x

n

bậc cao hơn x (khi x→0)

2cosh 1 0

2,khi xxx

Ví dụ áp dụng

2 3 31 u u u o u

1. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:

1( )f xx

x0 = 1 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1

1( )1

f xu

Trả về biến cũ:

2 3 3( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x x x x o x

2. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:

( ) ln( 2)f x x

u = x – 1

( ) ln(3 )f x u ln(1 2 )u

2 3

3(2 ) (2 )2 (2 )2 3u uu o u

Sai! (u + 2) 0 khi u = 0 (hay x = 1)

2 31ln(1 ) ( 1) ( )

2 3

nn nx x xx x o x

n

( ) ln(3 )f x u

ln3 1 l3

n3 ln 13

uu

ln33u

2

32

u

3

33

u

3

3uo

2 3 31 1 1ln3 ( )3 18 81u u u o u

Nhớ trả về x

1 0x

3. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:

22( )

3 4xf x

x x

2 1 6( )( 1)( 4) 5( 1) 5( 4)

xf xx x x x

1 1 6 15 1 201

4xx

Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.

1 1 6 1( )5 1 201

4

f x xx

2 31 1 ( 1) ( )1

n n nx x x x o xx

2 3 31 1 ( )5

x x x o x

2 3 31 1 7 25( ) ( )2 8 32 128

f x x x x o x

2 3 36 120 4 4 4 4

x x x xo

4. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:

( ) .ln(1 )xf x e x

1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao.

2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:

Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k

g khai triển đến bậc (n – k)

Và ngược lại.

2 3 4

2 3 4

x x xx2 3

2! 6!1

x xx

xe ln(1 )x

Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0.

ln(1 + x) khai triển đến x3

Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1

ex khai triển đến x2

( ) ln(1 )xf x e x 2 3

( )f x 2 3

3( )2 3x xx o x

221 ( )

2!xx o x

2 33( )

2 3x xx o x

(0) (1)

khai triển cấp 3

5. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho:

( ) sin .ln(1 )f x x x

( ) sin .ln(1 )f x x x (1) (1)

1.Khai triển cấp 4:3 3

( )f x 2 3

3( )2 3x xx o x

33( )

3!xx o x

3 4

2 3( )2 6x xx o x

( ) sin .ln(1 )f x x x (1) (1)

2.Khai triển cấp 3:

2 2

( )f x 2

2( )2xx o x

2( )x o x

32 3( )

2xx o x

7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho:2

( ) x xf x e

Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0

khai triển Maclaurin của f theo u.

Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống

2 2( ) 1x xf x e x x 22

2!

x x

323!

x x 32o x x

21 x x 212x 3x 31

6x 3o x

2 3 31 512 6

x x x o x

Để tìm bậc khai triển của f theo u phải xác định bậc VCB của u theo x.

2 1x x x

6. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 4 cho:

( ) ln(cos )f x x

ln(cos ) ln(1 cos 1)x x

21cos 12

u x x

Cần khai triển đến x4khai triển f đến u2

2

2cos 1ln(1 cos 1) cos 1 cos 1

2xx x o x

2

2cos 1ln(1 cos 1) cos 1 cos 1

2xx x o x

2 4

41 12! 4!x x o x

22 4

4 41 1 12 2! 4!

x x o x o x

2 4

4

2 12x x o x x4 trong số hạng bình

phương không sử dụng

22

2121 12!x o x

cos x chỉ cần khai triển đến x2

sin 1tan sincos 1 cos 1xx xx x

7. Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 5 cho:

( ) tanf x x

(0)(1)

5 4

2 2sin 1 (cos 1) (cos 1) (cos 1)x x x o x 22 4 2

4 2 4sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )2 24 2x x xx o x o x o x

22 4 24 2 4sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )

2 24 2x x xx o x o x o x

3 55( )

6 120x xx o x

2 4 41 51 ( )2 24x x o x

3 5 51 2 ( )3 15

x x x o x

Cách 2: 3 55

2 45

( )sin 6 120tancos

1 ( )2 24

x xx o xxxx x x o x

2 41

2 24x x

3 5

6 120x xx

x3 51 13 30x x

313x 52

15x

5215x

+ o

+ o3 5 51 2tan ( )

3 15x x x x o x

Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = cosh x

cosh2

x xe ex

2 3 2 1 22

2 3 2 1 22

12! 3! (2 1)! (2 )!

1 : 22! 3! (2 1)! (2 )!

n nn

n nn

x x x xx o xn n

x x x xx o xn n

2 2

212! (2 )!

nnx x o x

n

Bổ sung: tìm khai triển của f(x) = arctan x

( ) arctanf x x2

1( ) ( )1

f x g xx

Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x2n.

2 4 6 2 2( ) 1 ( 1) ( )n n ng x x x x x o x

(0) 0f

(0) (0) 1f g

(0) (0) 0f g

(0) (0) 1 2!f g

(2 ) (2 1)(0) (0) 0k kf g

(2 1) (2 )(0) (0) ( 1) (2 )!k k kf g k

2 3

(2 ) (2 )2 2 1 2 1

(0) (0) (0)( ) (0)1! 2! 3!

(0) (0)(2 )! (2 )!

n nn n n

f f ff x f x x x

f fx x o xn n

3 5 2 1

1 2 1arctan ( 1)3 5 2 1

nn nx x xx x o x

n

Cách viết khai triển cho arctan là cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung.

Các lưu ý khi viết khai triển Taylor tai x0

1.Luôn luôn chuyển về khai triển Maclaurin

2.Áp dụng các công thức cơ bản trên biểu thức

u(x) với điều kiện u(x0) = 0.

3.Khai triển cho tổng hiệu: từng hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu.

4.Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ ra bậc thấp nhất trong kt mỗi hàm để biết được bậc kt của hàm còn lại.

5.Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x).

Áp dụng trong tính đạo hàm.

B1: Viết khai triển taylor theo (x-x0) đến cấp n

B2: Xác định hệ số của (x-x0)n trong khai triển.

B3: Giả sử hệ số trong B2 là a

f(n)(x0) = a.n!

Bài toán: tìm đạo hàm cấp n của f tại x0.

Ví dụ

3 3

3! 2!x x

1. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, với f(x) = ex.sinx

Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là2 3

2 3( ) 1 ( ) ( )2! 3!x xf x x o x x o x

Các số hạng chứa x3 là:

Hệ số của x3 là: 1 1 13! 2! 3

1(0) 3! 23

f

2. Tìm đh cấp 3 tại x = 0, 2( ) ln(1 )f x x x

Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của f là

2 2 2 32 3( ) ( )( ) ( )

2 3x x x xf x x x o x

Các số hạng chứa x3 là: 31 22

x 313x

Hệ số của x3 là:23

2(0) 3! 43

f

3. Tìm đh cấp 12, 13 tại x = 0, 31( )

2f x

x

Khai triển Maclaurin đến cấp 13 của f là

31 1( )21

2

f xx

2 33 3 31 12 2 2 2

x x x

12

131 1 02 16

x o x

4 53 3

2 2x x o

(12) (13)1(0) 12! , (0) 0 13!16

f f

23

Hệ số của x13 là: 0

Hệ số của x12 là:

12

131( ) 1 02 16

xf x o x

Áp dụng khai triển Taylor trong tính giới hạn

1.Thông thường chỉ áp dụng kt Tayor để tính gh nếu các pp khác (gh cơ bản, VCB, L’Hospital) tính quá dài hoặc không tính được.

2.Đa số các bài dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB hoặc VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu.Do đó các biểu thức được khai triển đến khi hết triệt tiêu ở phần đa thức thì dừng, phần VCB bậc cao bỏ đi khi tính lim

Ví dụ

330( )

3!xx x x

3

30( )3!x x

3

3!x

1.Tìm các hằng số a,p để VCB (x) axp khi x → 0.

/ ( ) sina x x x

1 , 36

a p

/ ( ) 2 x xb x x e e

2 2sinhx x

33 32 2 ( ) 2

3!xx x o x x

/ ( ) sin cosc x x x x

3 23 2( ) 1 ( )

6 2x xx o x x o x

3

3( )3x o x

3

3x

2.Tính giới hạn:

2

50/ lim

1 5 1x

xax x

2

0 2 2lim

1 1 1 11 .5 1 5 ( ) 15 2!5 5

x

x

x x o x x

2

20 2lim

( )2

x

xx o x

2

20

1lim2

2x

xx

tan

3 40/ lim

3

x x

x

e ebx x

tantan

30

1limx x

xx

eex

30

tanlim1x

x xx

33

30

( )3lim

x

xx x o x

x

1

3