Khalid Aziz

1

SIMULACION DE YACIMIENTOS DE PETROLEO

KHALID AZIZ

Profesor de Ingeniería Química

Universidad de Calgary, Alberta, Canadá

Y

Director del grupo de modelamiento computacional

Calgary, Alberta, Canadá

&

ANTONIN SETTARI

Director de desarrollos técnicos

Intercomp desarrollo de los recursos & ingeniería Ltd.

Calgary, Alberta, Canadá

2

AGRADECIMIENTOS

Los autores están en deuda con muchas personas e instituciones que han contribuido con este trabajo,

particularmente:

B. Agbi, A. Spivak y J.W. Watts por la revision del manuscrito.

S.C.M.Ko (quien también proporciono los resultados de algunos de sus trabajos inéditos), J. Abou-Kassem, J.W.

Grabowski, R. Mehra, B. Rubin y muchos otros estudiantes y colegas por los comentarios en varias partes y

versiones del manuscrito a través de los años).

Pat Hitchner, Brenda Oberhammer, y Betty Lewis por la escritura de varias versioens del manuscrito con

considerable interes y gran paciencia, y por su ayuda en muchas otras formas.

Al consejo nacional de investigación (Canada),Energia, Minas y Recursos (Canada), al departamento de Ingenieria

Quimica de la universidad de Calgary, y al grupo de modelamiento computacional por su apoyo directo o indirecto en

este proyecto.

A la universidad de Calgary por el premio a K. Aziz de beca de residencia para de esa manera permitir que este

trabajo se completara.

A Intercomp desarrollo de recursos e ingeniería (S.A) por darle a A. Settari permiso para trabajar en este proyecto y

por crear condiciones propicias para este trabajo.

K.H Coats y otros investigadores en este campo, incluyendo personal de Intercomp de cuya experiencia nos hemos

beneficiado.

A la sociedad de ingenieros de petróleos, a la prensa y a la sociedad de la matematica industrial y aplicada por el

permiso de reproducir el material procedente de sus publicaciones.

Marilyn Croot de la universidad de Calgary por la redacción. Imraan Aziz y Natasha Aziz por la ayuda con los

archivos de literatura y el fotocopiado.

A los editores de la institución ―editores de la ciencia aplicada‖ por su gran interés en este manuscrito.

3

PREFACIO

Este libro está destinado teóricamente a los ingenieros, y prácticamente orientado a los matemáticos y científicos

quienes quieren entender cómo desarrollar y utilizar modelos computacionales en yacimientos de petróleo.

Este no es un libro de análisis numérico, aunque la mayor parte del libro trata acerca del uso de técnicas numéricas

para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Hay varios libros sobre solución numérica de ecuaciones

diferenciales parciales, pero no tratan con ecuaciones que no tienen todas las características importantes de las

ecuaciones que describen el flujo multifasico en yacimientos de petróleo. Las ecuaciones a resolver en la simulación

de yacimientos de petróleo tienen algunas características muy especiales que deben ser consideradas por el

ingeniero de simulación o científico. La ingeniería, la física y la matemática del problema están tan entrelazadas que

una buena comprensión de todos los tres aspectos es esencial antes de que uno pueda aspirar a desarrollar buenos

modelos.

El libro debe ser adecuado para pequeños cursos diseñados para la práctica de ingenieros y para su propio estudio.

También se espera que este sirva como referencia para científicos e ingenieros ligados al desarrollo y aplicaciones

de tecnologías de simulación. Muchas de las ideas desarrolladas acá aplican directamente a la simulación del

movimiento de aguas subterráneas.

En nuestra propia experiencia no hemos encontrado ningún sustituto para obtener el tipo de comprensión de la

teoría que es obtenida por parte de la escritura y de las pruebas de programas de computador. Por lo tanto se

recomienda que en cualquier curso que trate de simulación de yacimientos a los lectores se les pida desarrollar

algunos programas de simulación como un simple modelo monofásico unidimensional (capitulo 3), un modelo

unidimensional de dos fases (capitulo 5), y un modelo bidimensional monofásico (capitulo 7). Algunas de las sub-

rutinas básicas requeridas para estos modelos se encuentran en el apéndice B.

En la presentación del material, hemos tratado de introducir todos los conceptos en el contexto más simple posible y

manteniendo un nivel de tratamiento lo mas rigoroso posible sin ser innecesariamente abstracto. Una breve

discusión de algunos de los conceptos básicos del análisis numérico se ha previsto en el texto según sea necesario y

se remite al lector a las referencias apropiadas para más detalle.

En la presentación del material relativo a la simulación de yacimientos, hemos tratado de desarrollar una notación

coherente y terminología usada a lo largo de una minuciosa discusión de varios aspectos teóricos y prácticos del

tema.

No ha sido nuestra intensión establecer la precedencia histórica, ya que las ideas han sido desarrolladas

simultáneamente por varias personas y algunos resultados no han sido publicados por razones de competencia.

Este libro contiene un tratamiento relativamente completo de modelos de diferencias finitas para yacimientos de tipo

aceite negro (Black oil), pero no incluye temas como la simulación de procesos de recuperación térmica, adición de

químicos, desplazamiento miscible (excepto para un breve tratamiento presente en el capítulo 12) y el uso de

métodos variacionales en simulación. Esto se ha hecho para mantener el tamaño del libro razonable y también

porque estas áreas están experimentando un rápido desarrollo en estos tiempos.

KHALID AZIZ

ANTONIN SETTARI

4

CONTENIDO

Pag.

Prefacio

Nomenclatura

1. INTRODUCCION 19

1.1 ¿Que es un modelo computacional? 19

1.2 Otros modelos 19

1.3 ¿Que preguntas puede responder el modelo computacional? 20

1.4 Conclusiones 20

2. ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS 21

2.1 Introducción 21

2.2 Ley de la conservación de la masa 21

2.2.1 Flujo monofásico 21

2.2.2 Flujo multifásico 23

2.3 Ley de Darcy 25

2.3.1 Flujo en una fase 25


2.4 Ecuaciones básicas de flujo 26

2.4.1 Flujo en una fase 26


2.4.3 Uso del Pseudopotencial 29

2.4.4 Condiciones límites 29

2.5 Formas alternativas de ecuaciones de flujo para múltiples fases 29

2.5.1 Formulación en forma Parabólica 30

2.5.2 Formulación en forma Hiperbólica 31

2.6 Ecuaciones de flujo que incluyen efectos No-Darcy 33

2.6.1 Altas tasas de flujo (Efectos inerciales y de turbulencia) 33

2.6.2 Efecto de deslizamiento y umbral 34

2.6.3 Flujo No Newtoniano 35

2.6.4 Otros efectos 35

2.7 Propiedades de la roca y del fluido 35

5

2.7.1 Propiedades del fluido 36

2.7.2 Propiedades de la roca 36

2.8 Conclusiones 44

3. FLUJO DE UN FLUIDO EN UNA DIMENSION 48


3.2 Aproximación de diferencias finitas 48

3.2.1 Discretización en el espacio 49

3.2.2 Discretización en el tiempo 53

3.2.3 Discretización de errores 54

3.3 Otros métodos seleccionados 60

3.3.1 Otros métodos explícitos 60

3.3.2 Otros métodos implícitos 61

3.3.3 Métodos ODE 62

3.3.4 Comparación de los métodos 64

3.4 Sistema de malla y condiciones limite 65

3.4.1 Dos métodos para construir una malla 65

3.4.2 Condiciones limite 66

3.5 Discretización de ecuaciones en una dimensión con coordenadas cartesianas 69

3.5.1 Ecuaciones diferenciales para una malla irregular 70

3.5.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 73

3.5.3 Tratamiento de coeficientes variables 74

3.6 Discretización de ecuaciones de flujo 1D en coordenadas radiales cilíndricas 76

3.6.1 Ecuaciones diferenciales para mallas irregulares 77

3.6.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 80

3.6.3 Tratamiento de coeficientes variables 80

3.7 Algunas propiedades de ecuaciones de diferencias finitas 81

3.7.1 Existencia de solución y balance de materia 81

3.7.2 Tratamiento de No-Linealidades 84

3.8 Conclusiones 90

4. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ TRIDIAGONAL 106


6

4.2 Métodos de solución 107

4.2.1 Algoritmo de Thomas 107

4.2.2 Algoritmo de Tang 109

4.2.3 Solución de ecuaciones de Matriz tridiagonal simétrica 111

4.2.4 Casos especiales de No única solución 112

4.2.5 Otros casos especiales 113

5. FLUJO MULTIFASICO EN UNA DIMENSION 116


5.2 Método de solución simultanea (SS) 116

5.2.1 Método SS para flujo bifásico 116

5.2.2 Extensión del método SS a flujo trifásico 120

5.2.3 Otras formulaciones del método SS 121

5.3 Método implícito presiones - explicito saturaciones (IMPES) 123

5.3.1 Método IMPES para flujo trifásico 123

5.3.2 Otras derivaciones del método IMPES 125

5.4 Análisis de los métodos IMPES y SS 126

5.4.1 Estabilidad 126

5.4.2 Existencia y unicidad de solución 131

5.4.3 Convergencia 134

5.5 Tratamiento de no linealidades 135

5.5.1 Ponderación de las transmisibilidades 136

5.5.2 Aproximación de las transmisibilidades en el tiempo 138

5.5.3 No linealidad debido a la función PC 146

5.5.4 Filtración de Gas 147

5.6 Método de solución secuencial (SEQ) 148

5.6.1 Método SEQ para flujo bifásico 148

5.6.2 Otras formas y derivaciones 151

5.6.3 Resultados numéricos 152

5.6.4 Método SEQ para flujo trifásico 154

5.6.5 Discusión 156

7

5.7 Tratamiento de términos de producción 156

5.7.1 Forma diferencial y condiciones de frontera 157

5.7.2 Discretización de condiciones de frontera 159

6. SOLUCION DE ECUACIONES DE BLOQUE TRIDIAGONAL 180


6.2 Métodos de solución 181

6.2.1 Extensión del algoritmo de Thomas 181

6.2.2 Uso de los métodos para matrices banda 183

7. FLUJO DE UN FLUIDO EN DOS DIMENSIONES 184


7.2 Clasificación de los problemas 2D 184

7.2.1 Problemas Areales (x,y) 184

7.2.2 Problemas de la sección de la Cruz (x-z) 185

7.2.3 Problemas de un solo pozo (r-z) 186

7.2.4 Comentarios sobre modelos bidimensionales 187

7.3 Discretización de las ecuaciones de flujo 187

7.3.1 Aproximaciones por diferencias 187

7.3.2 Estabilidad de los esquemas de diferencias 190

7.4 Condiciones limite 190

7.4.1 Fronteras cerradas o sin flujo 190

7.4.2 Limites de flujo 191

7.4.3 Discretización de las condiciones limite 192

7.5 Condiciones iniciales 194

7.6 Tratamiento no lineal 194

7.7 Tratamiento de los pozos individuales 194

7.8 Ecuaciones en forma de matriz 198

7.9 Métodos especiales de problemas 2D 200

7.9.1 Alternando explícitamente la dirección (ADE) 200

7.9.2 Alternando implícititamente la dirección (IDA) 201

7.9.3 Métodos de comparación 203

7.10 Construcción del Grid 204

8

7.10.1 Grid irregular en 2D 204

7.10.2 El uso de una cuadricula curvilíneo 205

7.11 Conclusiones 209

8. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ PENTADIAGONAL 216


8.2 Métodos directos de solución 220

8.2.1 Factorización LU 220

8.2.2 Ordenamiento de ecuaciones 222

8.2.3 Técnicas para matrices dispersas 222

8.3 Métodos iterativos 228

8.3.1 Método de Jacobi 230

8.3.2 Método Gauss-Seidel 231

8.3.3 Método de relajación (SOR) 231

8.3.4 Método SOR línea y bloque 233

8.3.5 Métodos de corrección aditiva 234

8.3.6 Métodos iterativos implícitos de dirección alternativa (ADI) 236

8.3.7 Métodos fuertemente implícitos 241

8.3.8 Otros métodos 243

8.3.9 Comparación de métodos iterativos 244

8.3.10 Consideraciones practicas en el uso de métodos iterativos 250

8.4 Comparación de métodos iterativos y directos 252


9. FLUJO MULTIFASICO EN DOS DIMENSIONES 263


9.2 Clasificación de los problemas 2D 263

9.2.1 Problemas de área (x, y) 263

9.2.2 Problemas sección-cruz (x-z) 264

9.2.3 Problemas de pozo sencillo (r-z) 264

9.2.4 Comentarios generales 265

9.3 Métodos de solución y su comparación 265

9.3.1 Discretización en 2D 265

9

9.3.2 Estabilidad de los métodos IMPES y SS en dos dimensiones 267

9.3.3 Comparación de métodos de solución y requerimientos computacionales 270

9.4 Condiciones Frontera 272

9.4.1 Formulación diferencial 272

9.4.2 Condiciones de compatibilidad y sus limitaciones 273

9.4.3 Formulación en diferencias finitas 274

9.5 Condiciones iniciales 276

9.6 Simulación de acuíferos 277

9.7 Simulación de aéreas y problemas de la sección transversal 279

9.7.1 Uso del Grid curvilíneo 279

9.7.2 Tratamiento de pozos individuales 280

9.7.3 Fenómeno de orientación de la malla 281

9.8 Simulación de problemas de ―single-well‖ 284

9.8.1 Tratamiento de los términos de producción (modelo de pozo) 284

9.8.2 Comparación de estabilidad y eficiencia de tratamientos de transmisibilidad 288

9.8.3 Consideraciones prácticas 290


10. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE BLOQUE PENTADIAGONAL 293


10.2 Métodos directos 294

10.3 Métodos iterativos 294

10.3.1 Método BSOR 295

10.3.2 Método iterativo ADI 295

10.3.3 Método SIP 295

10.3.4 Comparación de los métodos iterativos 296

10.4 Comparación de los métodos directos e iterativos 296


11. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES Y TECNICAS DE SOLUCION 298


11.2 Flujo de una sola fase 298

11.2.1 Ecuación básica y Discretización 298

10

11.2.2 Métodos especiales para problemas 3D 299

11.2.3 Métodos directos de solución 300

11.2.4 Métodos iterativos 302

11.2.5 Comparación de los métodos 307

11.3 Flujo multifásico 308

11.3.1 Métodos de solución básicos y sus exigencias de trabajo 308

11.3.2 Métodos para resolver las ecuaciones de la matriz 309


12. TOPICOS ESPECIALES 313


12.2 Pseudo funciones 313

12.2.1 Modelo de equilibrio vertical 313

12.2.2 Otras Pseudofunciones 316

12.3 Tubos de corriente y modelos relacionados 317

12.4 Simulación de problemas de punto de burbuja no constante 317

12.5 Simulación de sistemas no descritos por el modelo de aceite negro 321

12.5.1 Simulación de desplazamiento miscible 322

12.5.2 Simulación de efectos composicionales 324

12.6 Dependencia de la historia de las funciones de saturación 325

12.6.1 Modelo físico de histéresis 325

12.6.2 Tratamiento numérico de histéresis 327

12.7 Simulación de yacimientos naturalmente fracturados 329

12.8 Control automático con el intervalo del tiempo 330


13. CONSIDERACIONES PRÁCTICAS 333

13.1 Desarrollo del programa 333

13.1.1 Desarrollo del modelo matemático 333

13.1.2 Desarrollo del modelo numérico 334

13.1.3 Desarrollo del modelo de computadora 334

13.2 Uso del programa 337

13.2.1 Pasos involucrados en un estudio de simulación 337

11

13.2.2 Selección y diseño del modelo 338

13.2.3 Ajuste histórico 340


APENDICE A 342

APENDICE B 350

BIBLIOGRAFIA 361

12

NOMENCLATURA

A Área de sección transversal de un bloque

B1 Factores volumétricos de formación definidos por las Ec. (2.8-2.10)

b1 = 1/B1 Reciproco del factor volumétrico de formación

C Una constante arbitraria

C Concentración, Capitulo 12

c Coeficiente de acumulación

Cf Compresibilidad del fluido, Ec. (2.37)

CR Compresibilidad de la roca, Ec. (2.41)

En = max 𝒆𝒊 Norma de error

ei = Ui – ui Error en la solución aproximada en el punto i, función inversa de Pc(Sw)

Fw Función inversa de PC (Sw)

f Una función arbitraria

fn = 𝝀 𝐧/(𝝀 𝐰 + 𝝀 𝐧) Coeficiente de flujo fraccional de la fase no mojada

fw = 𝝀 𝐰/(𝝀 𝐰 + 𝝀 𝐧) Coeficiente de flujo fraccional de la fase mojada

g Aceleración de la gravedad

g Vector de la gravedad

gc Constante de conversión, =32,2 lbm / lbf . ft/sec2

h Espaciamiento del grid, Capitulo 3

h Espesor del yacimiento, Capitulo 12

h Elevación (positiva hacia abajo)

Ki Relación de equilibrio vapor-liquido (valor K) para el componente i

k.kx,y,z Permeabilidad, o los componentes del tensor de permeabilidad

Krl Permeabilidad relativa de la fase l

Krog Permeabilidad relativa del aceite en el sistema aceite-gas

Krow Permeabilidad relativa del aceite en el sistema aceite-agua

L Longitud

M Peso molecular, Capitulo 2

M Numero de puntos en un sistema grid, Capitulo 3

13

M = 𝝀 𝐰/𝝀 𝐧 Relación de movilidad

M = µo / µs Relación de movilidad para un flujo miscible, Capitulo 12

m = ρ𝝓 Masa por unidad de volumen

𝒎 Flujo de masa, flujo de masa por unidad de área por unidad de tiempo

N Número de incógnitas en un esquema de diferencias finitas después de que las

. incógnitas han sido eliminadas debido a las condiciones de frontera

Pc Presión Capilar

Pco Valor de la presión capilar afuera del medio poroso

Pcog Presión capilar aceite-gas

Pcow Presión capilar aceite-agua

PI Función de influencia, Ec. (9.52)

P Presión (U, u también representan presión)

Pb Presión en el punto de burbuja

Pl Presión de la fase l

Ps Presión de saturación

Pw Presión en el wellbore

Pwf Presión de fondo fluyendo

QI Función de influencia, Ec.(9.51)

Qlp = 𝝏𝑸𝟏

𝝏𝑷 Derivada de la tasa con respecto la presión

Qlm = 𝝏𝑸𝟏

𝝏𝑺𝒎 Derivada de la tasa con respecto a la saturación

QTL Tasa total de flujo de líquido

QTo Tasa total de flujo de aceite

QTT Tasa total de flujo de fluidos

q Sumidero (producción por unidad de tiempo),q es negativo para inyección

𝒒 Agotamiento de masa por unidad de volumen por unidad de tiempo, positivo para

. producción, negativo para inyección

qi Valor promedio aproximado de q en un bloque i

ql = 𝒒 l / ρISTC Volumen de un componente l producido en un tanque de almacenamiento por

. unidad de volumen de yacimiento por unidad de tiempo

R Constante universal de los gases

R(Av) Tasa promedio de convergencia para v iteraciones

Ri Error local de discretizacion en el punto i

14

Rs Solubilidad del gas en el petróleo

r Espacio coordenado (distancia en la dirección radial)

re Radio externo

rw Radio del pozo

Sl Saturación de la fase l

Sgc Saturación del gas residual dependiendo de la dirección del desplazamiento

Sgc Saturación de gas residual en el desplazamiento de líquidos, Capitulo 12

Sgcr Saturación critica de gas, Capitulo 12

Sgmax Máxima saturación de la fase gaseosa

Snc Saturación critica de la fase no mojada en un ciclo de drenaje o saturación .

. residual en un ciclo de imbibición

Swc Saturación critica de la fase mojada en un ciclo de imbibición o saturación residual

. en un ciclo de drenaje

Swmax Saturación máxima de la fase agua

Swo Valor de Sw correspondiente a Pco

T Temperatura, Capitulo 2

T = 𝝀𝑨

𝚫𝒙 Transmisibilidad, diferencias finitas

Tl = (𝝀𝒍) 𝑨

𝚫𝒙 Transmisibilidad para la fase l, diferencias finitas

t Tiempo

Δt Incremento de tiempo

U Variable dependiente (solución exacta de una ecuación diferencial parcial)

u Velocidad superficial de Darcy

ui Aproximación de U en un punto i del grid

uT Velocidad total uw + un de un flujo bifásico en un volumen

V Volumen

WI Coeficiente de productividad (proporcional al índice de productividad)

x Distancia

xi Valor de x en un punto i del grid.

y Distancia

Z Factor de compresibilidad

z Distancia

15

α = 𝚫𝒕

𝒉𝟐 Coeficiente

β Factor de turbulencia, Ec. (2.96)

Г Límite del yacimiento

𝜸 = 𝝆𝒈

𝒈𝒄 Densidad en términos de presión/distancia

Δ𝜸 = yw - yn Diferencia de densidades

𝝀 = k/(µB) Transmisibilidad

𝝀 = 𝝀𝒘𝝀𝒏

𝝀𝒘 + 𝝀𝒏 Mobilidad promedio

𝝀i Valores propios

𝝀l = KKrl / (µl Bl) Transmisibilidad de la fase l

𝝀l = KKrl / µl Mobilidad de la fase l

𝝀max Modulo máximo de valores propios

𝝀R = Kr / (µ B) Transmisibilidad radial

𝝀T = K 𝑲𝒓𝒐

𝝁𝒐 +

𝑲𝒓𝒘

𝝁𝒘 +

𝑲𝒓𝒈

𝝁𝒈 Mobilidad total

𝝀X = Kx / (µB) Transmisibilidad en la dirección x

𝝀Y = KY / (µB) Transmisibilidad en la dirección y

𝝀Z = KZ / (µB) Transmisibilidad en la dirección z

µ Viscosidad

v Nivel de iteración

𝝃m Factor de amplificación, Ec. (3.51)

𝝆 Densidad del fluido

𝝆 = In r Transformado en coordenadas radiales, Capitulo 3

𝝆 (B) Radio espectral de la matriz B

𝝆l Densidad de la fase l

O Orden de aproximación

ϴ Angulo

Φ Porosidad

Φ = 𝒅𝑷

𝒀

𝒑

𝒑𝟎 – z Pseudo-potencial

𝝍 Pseudo- presión, Ec. (2.52)

Ω Límite del yacimiento

16

𝝎 Parámetro de mezcla, Capitulo 12

𝝎 Factor de relajación en el método SOR

𝝎b Valor optimo de 𝜔 en el método SOR

𝝎li Fracción de masa del componente i en la fase l

𝝎i Fracción de masa del componente i en la mezcla

OPERADORES

A Coeficiente de la matriz de un sistema de ecuaciones algebraicas

A Operador diferencial para coordenadas cartesianas

B Coeficiente de la matriz un

, Ec.(3.54)

C Coeficiente de la matriz para problemas de valor de los límites de la cuarta clase

C Operador diferencial para coordenadas cilíndricas

D Matriz de acumulación

E Matriz tridiagonal simétrica con 2´s en la diagonal principal y 1´s en las diagonales inferiores y superiores

G Vector de los términos de gravedad

I Matriz identidad

J Jacobiano

L Matriz triangular inferior para la factorización LU

L Operador de diferencias finitas para coordenadas cartesianas

M Operador de diferencias finitas para coordenadas cilíndricas

Q Vector fuente

S Matriz tridiagonal simétrica, Capitulo 4

T Matriz de transmisibilidad

U Matriz triangular superior para la factorización LU

𝚫 Operador diferencial

𝚫2

Operador diferencial para la segunda derivada

𝚫S Espaciamiento del grid en coordenadas s (s = x, y, z, r, etc.)

𝚫t Operador diferencial para la derivada del tiempo

17

SUBINDICES

dg Gas disuelto

f fluido

fg Gas libre

i Inicial, Capitulo 12

i ± 𝟏

𝟐 Limites del bloque que contiene el punto i

i Punto i del grid

J Matriz Jacobiana

l Componente o fase, l = o, g, w (oil, gas, water)

N Índice del espacio del punto del grid correspondiente a la ultima incógnita

n Fase no mojante

RC Condiciones de reservorio

R Roca

r, ϴ, z Direcciones en el sistema de coordenadas cilíndricas

s Solvente, Capitulo 12

sf Fase arena

STC Condiciones estándar o stock tank

T Total

w Fase agua o mojante

x, y, z Direcciones en el sistema de coordenadas cartesianas

SUPERINDICES

b Diferencia hacia atrás

f Diferencia delantera

L Logarítmico

n Nivel de tiempo, n = o, 1, 2, 3, …

o Condiciones iniciales (t=0) o condiciones de referencia

p Orden de la aproximación d la diferencia finita

r Referencia

T Matriz o vector transpuesto

2 Centrado

18

∗ Solución intermedia o perturbada

´ 𝒅

𝒅𝒙 o

𝝏

𝝏𝒙

´´ 𝒅𝟐

𝒅𝒙𝟐 o 𝝏𝟐

𝝏𝒙𝟐

. 𝝏

𝝏𝒕

- Pseudo valor de profundidad promedio para cálculos de VE, Capitulo 12

ABREVIACIONES

GOR Relación Gas-Aceite

LSOR Línea SOR

SOR Relajación superior sucesiva

WOR Relación Agua-Aceite

SIP Procedimiento fuertemente implícito

1DC Corrección en una dimensión

2DC Corrección en dos dimensiones

PI Índice de Productividad

1-D Unidimensional

2-D Bidimensional

3-D Tridimensional

ODE Ecuación (es) diferencial ordinaria

PDE Ecuación (es) diferencial parcial

IMPES Presión implícita – Saturación explicita

SS Solución simultanea

SEQ Solución secuencial

VE Equilibrio vertical

w-n Mojante – No mojante

C-N Crank - Nicolson

D2 Régimen de ordenación

D4 Régimen de ordenación

WI Coeficiente de productividad

19

CAPITULO 1

INTRODUCCION

1.1 ¿QUE ES UN MODELO COMPUTACIONAL?

El objetivo principal del estudio de un reservorio es predecir el comportamiento futuro del reservorio y encontrar caminos o medios que permitan incrementar el recobro final. La Ingeniería de yacimientos clásica ofrece en un modelo básico (modelo de tanque) y no puede explicar adecuadamente las variaciones en el reservorio y los parámetros de los fluidos en el espacio y en el tiempo. La simulación de Yacimientos por computadores permite estudiar de manera más detallada el reservorio dividiéndolo en un número de bloques (algunas veces varios miles) y aplicar la ecuación fundamental de flujo en medios porosos a cada bloque. Los programas de ordenadores digitales que realizan los cálculos necesarios para realizar estudios de este modelo son llamados modelos de computadora. Debido a los avances realizados desde la década de 1950 en hardware y software tecnológicamente, ahora es posible escribir modelos más sofisticados que simulan algunos de los procesos más complejos que tienen lugar en los reservorios durante la ejecución de los planes de recuperación. La tecnología de la simulación de yacimientos está siendo constantemente mejorada y ampliada, Nuevos modelos para simular más y más complejos planes de recuperación se proponen todo el tiempo. En este libro nosotros tratamos con el más básico de todos los modelos de yacimientos, conocido como el modelo de aceite negro o modelo beta. Un profundo conocimiento de las técnicas usada para el modelo de aceite negro es esencial para desarrollar una cierta apreciación de los modelos más complejos. En la descripción de un modelo de computadora términos como modelos matemáticos, modelos numéricos, simulador numérico, modelos grid, modelos en diferencias finitas y simulador de yacimientos son usados casi indistintamente. En realidad, hay tres clases de modelos envueltos en el desarrollo de un programa para simulación un yacimiento. 1.1.1 Modelo Matemático

El modelo físico a ser modelado debe ser expresado en términos de las ecuaciones matemáticas apropiadas. Este proceso casi siempre implica suposiciones. Las suposiciones son necesarias desde el punto de vista práctico, a fin de hacer manejable el problema tratado. Por ejemplo, cada ingeniero de yacimientos conoce que el concepto de permeabilidad relativa tiene limitaciones, pero en esencia, no tenemos más remedio que usarlo. La formulación de un modelo matemático es considerada en el capítulo 2; resulta en un conjunto de ecuaciones no lineales parcialmente diferenciales con las correspondientes condiciones iníciales y de frontera. 1.1.2 Modelo Numérico

Las ecuaciones que constituyen un modelo matemático de un yacimiento son casi siempre también complejas y son solucionadas por métodos analíticos. Las aproximaciones deben ser hechas al poner las ecuaciones en una forma que es susceptible a ser solucionadas por las computadoras digitales. Como un conjunto de ecuaciones forma un modelo numérico. Esto es discutido en los capítulos del 3 al 12. 1.1.3 Modelo computacional

Un programa de computadora o un conjunto de programas escritos para solucionar las ecuaciones del modelo numérico constituyen un modelo computacional del yacimiento. Algunos aspectos prácticos del modelo computacional son discutidos en el capítulo 13. El uso de un modelo computacional para solucionar problemas prácticos serán referenciados como ―simulación de yacimientos‖ en este libro.

1.2 OTROS MODELOS

Muchas clases de modelos han sido usados por los Ingenieros de Petróleos. Ellos deben ser divididos en dos categorías, (a) modelos análogos, y (b) modelos físicos. Los más comunes modelos análogos son los modelos eléctricos, donde el potencial eléctrico y la corriente sirven como las variables análogas. Modelo eléctrico discreto (R-C y R-R redes) las cuales son análogas de las ecuaciones por diferencias finitas, han sido aplicados a problemas de yacimiento por Bruce (1943) y Karplus (1956). Los modelos continuos de tipo Electrolítico son discutidos por Botset (1946). Análisis exhaustivo de estos y otros métodos de computadora análoga se pueden encontrar en un texto de Karplus (1958).

20

Sin embargo, los métodos análogos ahora han sido completamente reemplazados por modelos computacionales. La literatura de los modelos físicos es extensa (Rapoport, 1955; Geertsma et al., 1956; Perkins and Collins, 1960; Redford et al., 1976), y ellos juegan un papel importante en la comprensión del comportamiento de un reservorio. Los modelos físicos pueden ser clasificados en dos categorías (cf Redford et al., 1976), (a) Modelos a escala, y (b) modelos elementales. En el modelo a escala, las dimensiones del reservorio, las propiedades de la roca y fluidos son escalados por el modelo de laboratorio de modo que la relación entre las distintas fuerzas en el reservorio y las de los modelos físico son las mismas. Un modelo a escala proporcionaría resultados que pueden aplicarse directamente en el campo. Infortunadamente, todos los modelos a escala son difíciles o imposibles de construir (Geertsma et al., 1956; Pozzi and Blackwell, 1963). En un modelo elemental, los experimentos son llevados a cabo con actuales (o simulados) rocas y fluidos del yacimiento. Obviamente los resultados de cada modelo no son directamente aplicables al campo, pero pueden ayudar a responder algunas preguntas básicas acerca de la mecánica del yacimiento. Las ecuaciones de flujo de fluido básicas que describen el flujo en el reservorio (modelo matemático) son también validas para los modelos a escala y elemental. Esto significa que un modelo computacional puede ser verificado e incluso ajustado, incluso mediante el uso de los resultados de los modelos físicos y luego usarlos para predecir el comportamiento del campo. Por lo tanto un máximo entendimiento de los fenómenos complejos en el reservorio debe exigir el uso adecuado de los modelos físicos y los modelos computacionales. Debe quedar claro que los modelos computacionales no pueden eliminar la necesidad de los modelos físicos, ya que no se puede utilizar para determinas la física del problema. Por otro lado, el uso optimo de los datos de los modelos físicos es en muchos casos posible solamente a través de los modelos computacionales. En conclusión, sería correcto decir que los modelos computacionales de los reservorios de petróleo no pueden reemplazar todos los modelos físicos. Los modelos computacionales pueden, sin embargo, mejorar la comprensión de los datos obtenidos por modelización física, y ayuda en el diseño de experimentos realizados en los modelos físicos.

1.3 ¿QUE PREGUNTAS PUEDE RESPONDER EL MODELO COMPUTACIONAL?

Los modelos computacionales pueden ser herramientas valiosas para el ingeniero de petróleo intentando responder preguntas del siguiente tipo: 1. ¿Cómo debe ser desarrollado y producido un campo con el fin de maximizar en orden para maximizar la

recuperación económica de hidrocarburos? 2. ¿Cuál es el mejor esquema de recobro mejorado para el yacimiento? ¿Cómo y cuándo debe ser

implementado? 3. ¿Porque el yacimiento no se comporta de acuerdo a las predicciones hechas por los estudios previos de

simulación o la ingeniería de yacimientos? 4. ¿Cuál es la recuperación económica definitiva para el campo? 5. ¿Qué tipo de datos de laboratorio es requerido? ¿Cuál es la sensibilidad de las predicciones de los modelos a

diferentes datos? 6. ¿Es necesario hacer el estudio de los modelos físicos del reservorio? ¿Cómo pueden los resultados ser

escalados para las aplicaciones del campo? 7. ¿Cuáles son los parámetros críticos que deberían ser medidos en el campo cuando es aplicado un esquema de

recuperación? 8. ¿Cuál es el mejor esquema de completamiento para los pozos en un reservorio? 9. ¿De qué porción del reservorio proviene la producción? Esas son algunas preguntas generales; muchas más preguntas específicas deben ser resueltas cuando estamos considerando un estudio particular de simulación. La Definición de los objetivos del estudio debe realizarse con cuidado e indicando las preguntas a ser resueltas es un paso extremadamente importante en la realización de cualquier estudio de simulación

1.4 CONCLUSIONES

La simulación de yacimientos es una herramienta que permite al Ingeniero de petróleos obtener un mayor conocimiento sobre el mecanismo de recuperación que sería posible. Puede, si se utiliza adecuadamente, ser una herramienta muy valiosa. No, sin embargo, sustituir la buena práctica que es esencial para la realización de todos los estudios de yacimiento (cf. Coats, 1969; Staggs y Herbeck, 1971). Además, no todos los reservorios requieren un modelo de estudio sofisticado y en muchos casos estudios de yacimientos convencionales o estudios de modelos computacionales extremadamente simples pueden responder a las preguntas que se plantean. Es fácil generar números por un modelo computacional; en la mayoría de los casos la interpretación correcta de los números requiere un análisis cuidadoso por alguien quien entienda el modelo matemático, numérico y computacional. El objetivo de este libro es presentar el material básico para la comprensión de este tipo.

21

CAPITULO 2

ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS

2.1 INTRODUCCION

Antes de simular un yacimiento de petróleo en un computador, es necesario un modelo matemático del sistema. El desarrollo de cada uno de los modelos es el objetivo de este capítulo. Los movimientos de los fluidos en medios porosos son gobernados por las mismas leyes fundamentales que rigen su movimiento, por ejemplo, la atmosfera, los oleoductos y ríos. Esas leyes están basadas en el principio de conservación de la masa, el momento y la energía y son discutidas en detalle en numerosos libros incluyendo Bird et al. (1960), Schlichting (1968), y Monin y Yaglom (1971). Desde un punto de vista práctico es imposible en este momento tratar de aplicar estas leyes básicas directamente a los problemas de flujo en medios porosos. En cambio, un enfoque semi-empirico se utiliza cuando se emplea la ley de Darcy en lugar de la ecuación de movimiento. Las bases teóricas de la ley empírica de Darcy son analizadas por Whitaker (1966, 1969); dichos estudios proporcionan una comprensión de las limitaciones de las relaciones empíricas. Además de las relaciones discutidas anteriormente, las propiedades físicas de los fluidos implicados en el sistema también deben ser conocidas en función de las variables dependientes. Este libro trata solamente con algunos de los modelos matemáticos los cuales deben ser conocidos por su importancia práctica. Los métodos numéricos para la solución de ecuaciones resultan de esos modelos que serán discutidos en el capítulo 3. Un breve desarrollo de las ecuaciones a resolver más adelante se presentara en la sección 2.2. La discusión quedara limitada a flujo isotérmico monofásico, o flujo multifásico de hasta 3 fluidos inmiscibles. En este contexto, los siguientes sistemas monofásicos y multifásicos son de importancia práctica: gas; aceite; gas-aceite; aceite-agua; aceite-agua-gas. Los primeros dos libros tratan con el mecanismo de flujo de fluidos en medios porosos que fueron publicados por Muskat (1937, 1949). Esos libros son de gran importancia histórica y contienen muchas contribuciones propias de Muskat. Un libro sobre la teoría del movimiento de las aguas subterráneas se publico en la URSS por Polubarinova-Kochina (1962). Este libro trata con esos problemas de fluidos monofásicos donde las soluciones analíticas son posibles. Un libro de estudio de la física de los fluidos fue publicado por Scheidegger (1974). Este libro trata brevemente con una selección de temas relacionados con la recuperación de petróleo en yacimientos subterráneos; está diseñado como una referencia para los investigadores. El libro de Collins (1961) trata con los aspectos teóricos y prácticos de la ingeniería de yacimientos de petróleo. La sociedad de ingenieros de petróleos of AIME ha publicado 3 monografías; dos tratan de la aplicación de los principios de flujo de fluido a las pruebas de ascenso de presión (Matthews and Rusell, 1967; Earlougher, 1977); la tercera monografía de Craig (1971) proporciona tratamientos prácticos de el problema de inyección de agua en yacimientos de petróleo. Bear (1972) proporción un tratamiento completo de la dinámica y estática de los fluidos en medios porosos. Sin embargo, la mayoría de los problemas considerados en el libro por Bear están orientados hacia la hidrología de aguas subterráneas. La aplicación de la teoría de flujo de fluidos a las pruebas de pozos de gas es mejorada en una publicación de la Energy Resources Conservation Board de Alberta (ERCB, 1975).

2.2 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA 2.2.1 Flujo monofásico

Considera el flujo de un fluido monofásico (un solo componente o una mezcla homogénea) en la dirección axial en un núcleo cilíndrico como el mostrado en la figura 2.1. El volumen de control debe ser representativo del medio poroso (ver Bear, 1972; p.19), i.e., debe ser grande comparado con el tamaño del poro pero pequeño comparado con el tamaño del núcleo. Las propiedades físicas básicas del medio poroso, como la porosidad, deben asociarse con el volumen de control. Si la porosidad está definida como una fracción del volumen de control no ocupado por la matriz solida, luego nosotros podemos ver que si el volumen de control tiene el tamaño de un poro, la seria uno o cero. Como nosotros incrementamos el tamaño del volumen de control, los valores de porosidad fluctuaran antes de llegar a un valor representativo.

22

L Flujo de Flujo de Entrada Salida Volumen de control

Fig.2.1 Flujo lineal en una roca porosa cilíndrica de longitud x

El valor de la porosidad asociada con un punto P es el valor representativo para un volumen de control que contiene el punto P. Otras propiedades físicas son definidas en un punto en el medio poroso de igual manera. Este es el enfoque continuo, donde el medio poroso actual es reemplazado por uno continuo ficticio a cualquier punto al cual podemos asignar variables y parámetros que son funciones continuas del espacio y el tiempo en coordenadas. Mx será el componente x del vector de flujo de masa (flujo de masa por unidad de superficie por unidad de tiempo)

de un fluido de densidad (una fase, único componente) Se refiere a las figura 2.1 nosotros vemos el flujo de entrada

de masa a través del volumen de control en x sobre un intervalo de tiempo t es:

m x x At

y el flujo de salida de masa a través del volumen de control en x+x sobre un intervalo de tiempo t es:

m x x+xAt

La diferencia entre el flujo de entrada y el de salida debe ser igual a la suma de la acumulación de masa dentro del

volumen de control. La acumulación de masa trata la compresibilidad sobre un intervalo de tiempo t es:

𝜕

𝜕𝑡(𝜌𝜑∆𝑉) ∆𝑡

Y la eliminación de masa del volumen de control, i.e. agotamiento de masa (acumulación) debido a un sumidero de la

fuerza q (masa por unidad de volumen por unidad de tiempo) sobre un intervalo de tiempo t es:

q Vt Ahora tenemos

(m x x − m x x+x ) At = 𝜕

𝜕𝑡(𝜌𝜑∆𝑉) ∆𝑡 + q Vt (2.1)

Dividiendo por Vt y tomando V= Ax, obtenemos:

(m x x − m x x+x )

𝑥=

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q

Tomando el límite como x0 tenemos la ecuación de la conservación de la masa para este sistema:

−𝜕𝑚 𝑥

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q (2.2)

Note que q es negativa para una fuente ya que nosotros asumimos que sea positivo para un sumidero.

Es posible expresar el flujo de masa en términos de una velocidad superficial (o Darcy).

𝑚 𝑥 = 𝜌𝑢𝑥 (2.3)

Donde Ux es una velocidad en la dirección x definida por la ecuación (2.3). Substituyendo la ecuación (2.3) en la ecuación (2.2) obtenemos:

x

23

−𝜕𝜌𝑢 𝑥

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q (2.4)

La ecuación correspondiente para el flujo en 3 dimensiones en un medio poroso de forma arbitraria debe ser

derivada en una manera similar por considerar un volumen de control x y z. Esto conduce a:

− 𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑢𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝜌𝑢𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝜌𝑢𝑧 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q

Para el sistema en coordenadas cartesianas. Más generalizada, la ecuación debe ser escrita como:

−∇. 𝜌𝑢 =𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q (2.5)

El operador de divergencia sobre el lado izquierdo de la ecuación (2.5) debe ser expandido en cualquier sistema de

coordenadas. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas (r, , z) la ecuación de conservación es:

− 1

𝑟

𝜕𝜌𝑟 𝑢𝑟

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝜌𝑢𝜃

𝜕𝜃+

1

𝑟

𝜕𝜌𝑢𝑧

𝜕𝑧 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜑 + q (2.6)

2.2.2 Flujo multifásico La conservación para el flujo en una sola fase (ecu. 2.5) puede ser generalizada de la siguiente manera:

−∇. 𝑚 𝑙 =𝜕 𝑚 𝑙

𝜕𝑡+ 𝑞 𝑙 (2.7)

Donde 𝑚𝑙 es la masa del componente 𝑙 en una unidad de volumen medido, 𝒎 𝒍 es el flujo de masa de un componente

𝑙 y ∇. 𝑚 𝑙 o dividido en 𝑚 𝑙 es la tasa de flujo de salida de masa por unidad de volumen. Hay dos importantes modelos matemáticos en la ingeniería de yacimientos de petróleo: (1) flujo multifásico o de una sola fase donde más de dos componentes hidrocarburos son considerados y (2) flujo multifásico donde el sistema de hidrocarburos puede ser aproximado por 2 componentes, un componente no volátil (aceite negro) y un componente volátil (gas) soluble en la fase aceite. Nosotros consideraremos el segundo caso exclusivamente – este es conocido como el modelo β o el modelo de aceite negro. El sistema de composición variable será considerado brevemente solo en el Capitulo 12. 2.2.2.1 Modelo β En este modelo el problema del flujo de fluidos supone que hay 3 distintas fases: Aceite, Agua y Gas. Usualmente el agua es la fase mojante, el aceite tiene una capacidad de mojabilidad intermedia y el gas es la fase humectante. El agua y el aceite son asumidos inmiscibles y no experimentan cambios de masa o cambios de fase. El gas es asumido soluble en aceite pero usualmente no en agua. Si asumimos que la solubilidad del gas es cero a condiciones de tanque entonces el yacimiento debe ser considerado como una solución de dos componentes: aceite a condiciones de tanque y gas a condiciones estándar. Además, en este tipo de tratamiento se asume que los fluidos están a temperatura constante y en equilibrio termodinámico en todo el yacimiento. En estas condiciones el comportamiento de la presión- el volumen- la temperatura (PVT) del sistema puede ser expresado por los factores volumétricos de formación definidos:

𝐵𝑜 = 𝑉𝑜 +𝑉𝑑𝑔

𝑅𝐶

𝑉𝑜 𝑆𝑇𝐶= 𝑓 𝑝𝑜 (2.8)

𝐵𝑤 = 𝑉𝑤 𝑅𝐶

[𝑉𝑤 ]𝑆𝑇𝐶= 𝑓 𝑝𝑤 (2.9)

𝐵𝑔 = 𝑉𝑔

𝑅𝐶

𝑉𝑔 𝑆𝑇𝐶

= 𝑓 𝑝𝑔 (2.10)

En las ecuaciones anteriores [𝑉𝑙]𝑅𝐶 representa el volumen ocupado por un componente de masa fija 𝑙 (o, w, g) a

condiciones de yacimiento y [𝑉𝑙]𝑆𝑇𝐶 es el volumen ocupado por el mismo componente a condiciones de tanque o

condiciones estándar. Notamos que algunos autores prefieren trabajar con los factores invertidos, i.e. 𝑏𝑙 = 1𝐵𝑙

. La

transferencia de masa entre las fases aceite y gas son descritas por la relación de aceite y gas en solución:

𝑅𝑠 = 𝑉𝑑𝑔

𝑉𝑜 𝑆𝑇𝐶

= 𝑓 𝑝𝑜 (2.11)

24

La cual da la cantidad de gas disuelto en el aceite como función de la presión de la fase aceite. Las densidades de las tres fases a condiciones de yacimiento están relacionadas con las densidades a condiciones de tanque:

𝜌𝑜 =1

𝐵𝑜 𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 + 𝑅𝑠𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 (2.12)

𝜌𝑤 =1

𝐵𝑤

𝜌𝑤𝑆𝑇𝐶 (2.13)

𝜌𝑔 =1

𝐵𝑔 𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 (2.14)

La densidad de la fase aceite puede ser expresada también como

𝜌𝑜 = 𝜌 𝑜 + 𝜌 𝑑𝑔 (2.15)

Donde 𝜌 𝑜 y 𝜌 𝑑𝑔 son las densidades de los dos componentes

𝜌 𝑜 =1

𝐵𝑜𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 (2.16)

𝜌 𝑑𝑔 =𝑅𝑠

𝐵𝑜𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 (2.17)

Antes de considerar el flujo multifásico el concepto de saturación debe ser introducido. La saturación, 𝑆𝑙 de la fase 𝑙 es la fracción del volumen de poroso ocupado por la fase 𝑙. Obviamente, 𝑆𝑙𝑙 = 1. La ecuación de la conservación

de la masa para cada componente puede ser escrita considerando la ecuación 2.7. Para el componente aceite en la fase aceite

𝑚 𝑜 = 𝜌 𝑜𝑢𝑜 (2.18)

𝑚𝑜 = 𝜌 𝑜𝜙𝑆𝑜 (2.19)

Sustituyendo la ecuación 2.18 y 2.19 en la 2.7 y dividiendo por 𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 se obtiene

−∇. 1

𝐵𝑜𝑢𝑜 =

𝜕

𝜕𝑡

1

𝐵𝑜𝜙𝑆𝑜 + 𝑞𝑜 (2.20)

Donde

𝑞𝑜 =𝑞 𝑜

𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶

Todos los términos en la ecuación 2.20 tiene la dimensión

𝑆𝑇𝐶 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑅𝐶 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 .

1

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

La ecuación para la fase agua es obtenida de manera similar:

−∇. 1

𝐵𝑤𝑢𝑤 =

𝜕

𝜕𝑡

1

𝐵𝑤𝜙𝑆𝑤 + 𝑞𝑤 (2.21)

El componente gas existe tanto en la fase gas como en solución en la fase aceite

𝑚 𝑔 = 𝜌𝑔𝑢𝑔 + 𝜌 𝑑𝑔𝑢𝑜 (2.22)

𝑚𝑔 = 𝜙 𝑆𝑔𝜌𝑔 + 𝜌 𝑑𝑔𝑆𝑜 (2.23)

𝑞 𝑔 = 𝑞 𝑓𝑔 + 𝑞 𝑜𝑅𝑠 𝜌𝑔

𝜌𝑜 𝑆𝑇𝐶

= 𝑞 𝑓𝑔 + 𝑞𝑜𝑅𝑠𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 (2.24)

25

La ecuación final para el gas:

−∇. 𝑅𝑠

𝐵𝑜𝑢𝑜 +

1

𝐵𝑔𝑢𝑔 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑅𝑠

𝐵𝑜𝑆𝑜 +

1

𝐵𝑔𝑆𝑔 + 𝑞𝑓𝑔 + 𝑅𝑠𝑞𝑜 (2.25)

Los términos de producción 𝑞𝑜 , 𝑞𝑤 , 𝑞𝑔 representan el volumen producido a condiciones de tanque(o estándar), por

unidad de tiempo por unidad de volumen de yacimiento.

2.3 LEY DE DARCY

2.3.1 Flujo en una Fase Además de la ecuación de continuidad o conservación de la masa desarrollada en la anterior sección, requerimos una relación entre la tasa de flujo y el gradiente de presión en cada fase. Tal relación fue descubierta por Darcy (1856) para flujo en una fase. La forma diferencial de esta relación es

𝑢 = −𝑘

𝜇 ∇𝑝 + 𝜌

𝑔

𝑔𝑐 (2.26)

Donde 𝑘 es el tensor de permeabilidad absoluta del medio poroso, 𝜇 es la viscosidad del fluido, 𝑔 es el vector

aceleración gravitacional y 𝑔𝑐 es una constante de conversión con unidades de

𝑙𝑏 𝑚𝑙𝑏 𝑓𝑓𝑡

𝑠𝑒𝑔 2 en el sistema de unidades de

ingeniería. Si la coordenada en la vertical con dirección hacia abajo es z entonces podemos escribir

𝜌𝑔

𝑔𝑐= −𝜌

𝑔

𝑔𝑐∇𝑧 = −𝛾∇𝑧 (2.27)

Con la definición anterior de 𝛾 podemos escribir la Ley de Darcy como

𝑢 = − 𝑘

𝜇 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 (2.28)

Cuando u=o, la relación de la ecuación anterior en coordenadas cartesianas con el eje vertical z y orientado hacia abajo son:

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 𝛾 (2.29)

𝜕𝑝

𝜕𝑥=

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0 (2.30)

El tensor de permeabilidad usado en la ecuación 2.26 se define por la ecuación y debe ser determinado experimentalmente. En la mayoría de los problemas prácticos es posible (o necesario) asumir que 𝑘 es un tensor

diagonal dado por,

𝑘 =

𝑘𝑥

𝑘𝑦

𝑘𝑧

Si 𝑘𝑥 = 𝑘𝑦 = 𝑘𝑧 , el medio es llamado isotrópico, de lo contrario es anisotropico. Las limitaciones de la Ley de Darcy

son completamente discutidas en la literatura (e.g. Hubbert, 1956; Scheidegger, 1974; Collins, 1961; Whitaker, 1966, 1969) y no serán considerados aquí. 2.3.2 Flujo Multifásico La ley puede ser extendida para describir el flujo simultáneo de más de una fase:

𝑢𝑙 = − 𝑘𝑘𝑟𝑙

𝜇 𝑙 ∇𝑝𝑙 + 𝜌𝑙

𝑔

𝑔𝑐 (2.31)

Donde 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (fase aceite, agua y gas respectivamente) y 𝑘𝑟𝑙 es la permeabilidad relativa de la fase 𝑙. La

ecuación 2.31 también puede ser escrita en términos de 𝛾𝑙 .

𝑢𝑙 = − 𝑘𝑘𝑟𝑙

𝜇 𝑙

∇𝑝𝑙 − 𝛾𝑙∇𝑧 (2.32)

26

Donde

𝛾𝑙 = 𝜌𝑙𝑔

𝑔𝑐 (2.33)

Y 𝑧 está en la dirección positiva vertical hacia abajo. Si la velocidad esta en cm/seg, la viscosidad en centipoises y el

gradiente de presión en atm/cm entonces las unidades de 𝑘 es el Darcy. Puede ser mostrado como,

1 Darcy= 9.869 x 10-9

cm2

= 1.062 x 10-11

ft2

Con frecuencia la unidad de milidarcy o mD (1 Darcy= 1000 milidarcys) es usado.

2.4 ECUACIONES BASICAS DE FLUJO

Las ecuaciones de flujo para flujo en una fase y flujo multifasico son obtenidas por la combinación apropiada de la Ley de Darcy y la ecuación de conservación de la masa. La densidad del fluido es expresada explícitamente o implícitamente como una función de la presión a través de una ecuación de estado. Diferentes situaciones prácticas serán consideradas aquí. 2.4.1 Flujo en una Fase 2.4.1.1 Ecuación general para Fluidos Compresibles Cuando todo el espacio poroso es ocupado por una sola fase, ecuación 2.28 puede ser sustituido en la ecuación 2.5 para obtener,

∇.𝜌𝑘

𝜇 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝜙 + 𝑞 (2.34)

Dividiendo por 𝜌𝑆𝑇𝐶 y usando la definición de 𝐵 = 𝑉 𝑅𝑐

𝑉 𝑆𝑇𝐶 tendremos

∇. 𝜆 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 = 𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝐵 + 𝑞 (2.35)

Donde

𝜆 = 1

𝜇𝐵𝑘 (2.36)

2.4.1.2 Ecuación para fluidos ligeramente compresibles.

Para el flujo del liquido es posible asumir que la compresibilidad del fluido definida por,

𝑐𝑓 = − 1

𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑝)𝑇 =

1

𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑝)𝑇 (2.37)

Es constante en el rango de presión de interés. Esta ecuación puede ser integrada para obtener

𝜌 = 𝜌0 exp 𝑐𝑓 𝑝 − 𝑝0 (2.38)

Donde 𝜌0 es la densidad a la presión de referencia 𝑝0. De la definición del factor volumétrico de formación vemos

que:

𝜌

𝜌0 =𝐵0

𝐵= exp 𝑐𝑓 𝑝 − 𝑝𝑜

= 1 + 𝑐𝑓 𝑝 − 𝑝0 + 1

2!𝑐𝑓

2 𝑝 − 𝑝0 2 + … .. (2.39)

Donde 𝐵0 es el factor volumétrico de formación a 𝑝0. Considerando solo los primeros dos términos de la expansión tenemos,

𝐵 =𝐵0

1+ 𝑐𝑓 𝑝− 𝑝0 (2.40)

Esto es justificado por que 𝑐𝑓 es pequeño (≈10

-5 a 10

-6).

27

Si la variación del volumen de poro con la presión es insignificante, esto debe ser representado por (ver ecuación 2.121).

𝜙 = 𝜙0[1 + 𝑐𝑅(𝑝 − 𝑝0) (2.41)

Donde 𝑐𝑅 es la compresibilidad de la roca.

El termino de la derivada con respecto al tiempo de la ecuación 2.35 puede ser expresada en términos de 𝜕𝑝

𝜕𝑡

usando la expresión para 1 𝐵 dada por la ecuación 2.40 y para 𝜙 por la ecuación 2.41.

Cuando esto se hace, la ecuación 2.35 se convierte,

∇. 𝜆 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 = 𝜙𝑐𝑓

𝐵𝑜+ 𝜙𝑜 𝑐𝑅

𝐵

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞 (2.42)

Otra útil forma de la ecuación de flujo es obtenida sustituyendo la ecuación 2.38 en la 2.34 y despreciando términos

del cuadrado del gradiente de presión multiplicado por 𝑐𝑓 en comparación con otros términos en la ecuación. El

resultado de la ecuación es:

∇2𝑝 = 𝜙𝜇 𝑐𝑓

𝑘

𝜕𝑝

𝜕𝑡+

𝜇

𝜌𝑘𝑞 (2.43)

En la escritura de la ecuación anterior, la cual es conocida como la ecuación de difusividad (Carslaw and Jaeger, 1959), tenemos también que asumir que las propiedades de los fluidos son constantes, 𝑐𝑅 = 0, y que los términos de

gravedad son despreciables. 2.4.1.3 Ecuaciones para flujo de gas Para el flujo de gas no es usualmente apropiado asumir que la compresibilidad es constante para estas ocasiones la ecuación de flujo puede ser escrita como:

∇. 𝜆 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 = ∁ 𝑝 𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞 (2.44)

Donde

𝑐 𝑝 = ∅𝑑

𝑑𝑝

1

𝐵 + ∅°

𝐶𝑅

𝐵 (2.45)

Otra forma de la ecuación es obtenida si utilizamos la ley de las gases

𝜌 =𝑝𝑀

𝑍𝑅𝑇 (2.46)

Sustituyendo la ecuación (2.46) en la ecuación (2.34) y despreciando términos gravitacionales, los cuales son normalmente pequeños para flujo de gas, tenemos que:

∇. 𝑝

𝜇𝑍∇𝑝 =

∅𝜕

𝑘𝜕𝑡 𝑝

𝑍 +

𝑅𝑇

𝑀𝑘𝑞′ 2.47

En la ecuación de arriba nosotros asumimos que ∅ 𝑦 𝑘 son constantes, teniendo que 2𝑝. ∇= ∇𝑝2 , entonces podemos escribirla en la ecuación (2.47).

∇2𝑝2 −𝑑

𝑑𝑝2 ln(𝜇𝑍 (∇𝑝2)2 =

2∅𝜇𝑍

𝑘

𝜕

𝜕𝑡 𝑝

𝑍 + 2

𝑍𝑅𝑇𝜇

𝑀𝑘𝑞 (2.48)

La derivada a la derecha se pude escribir como:

𝜕

𝜕𝑡 𝑃

𝑍 =

𝑝𝑐 𝜕𝑝

𝑍 𝜕𝑡 (2.49)

28

Donde

𝑐 =1

𝜌 𝑑𝜌

𝑑𝑝⇃𝑇=

1

𝑝−

1

𝑍 𝑑𝑍

𝑑𝑝 2.50

Sustituyendo en la ecuación (2.49) y despreciando el segundo término de la izquierda de la ecuación (2.48) tenemos:

∇2𝑝2 =∅𝜇

𝑘

𝜕𝑝2

𝜕𝑡+

2𝑍𝑅𝑇𝜇

𝑀𝑘𝑞 2.51

Esto es también posible arriba en la ecuación para el otro procedimiento. Una ecuación más rigurosa de la compresibilidad del fluido es obtenida definiendo pseudo –presión 𝜓,

como:

𝜓 = 2 𝑃

𝜇𝑍𝑑𝑝 2.52

𝑝

𝑝0

Desde

∇𝜓 =𝑑𝜓

𝑑𝑝∇𝑝 =

2𝑝

𝜇𝑍∇𝑝

Y también

𝜕𝜓

𝜕𝑡=

𝑑𝜓

𝑑𝑝

𝜕𝑝

𝜕𝑡=

2𝑝

𝜇𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑡

La ecuación original (2.47) se transformo en:

∇2=∅

𝑘

𝜇𝑐𝜕𝜓

𝜕𝑡+

2𝑅𝑇

𝑀𝑘𝑞 (2.53)

Note que esta ecuación es la misma forma de la ecuación (2.51), y no involucra asumir simplificaciones. Una completa discusión de ecuación de flujo de gas en una sola fase está disponible en el manual publicado por ENERGY RESOUCES CONSERVATION BOARD de Alberta (ERCB, 1975). 2.4.2 Flujo Multifásico

La ley de Darcy ecuación (2.32) puede ser sustituida en la ecuación de conservación de la energía para cada fase (ecua 2.20, 2. 21, y 2.25) para obtener la ecuación de flujo de fluidos:

∇. 𝜆0 ∇𝑝0 − 𝛾0∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 ∅𝑠0

𝐵0 + 𝑞0 2.54

∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 ∅𝑠𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.55

∇. 𝑅0𝜆0 ∇𝑝0 − 𝛾0∇𝑧 + 𝜆𝑠 ∇𝑝𝑠 − 𝛾𝑠∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 ∅

𝑅𝑠

𝐵0𝑆0 +

𝑆𝑔

𝐵𝑔 + 𝑅𝑠𝑞0 + 𝑅𝑓𝑔 2.56

Donde la movilidad 𝜆𝑡 esta definida por

𝜆𝑡 =𝑘𝑟𝑡

𝜇𝑡𝐵𝑡𝑘

Mientras la ecuación de conservación es suficiente para describir flujo en una sola fase (solo depende de la variación de la Presión) este no es el caso para flujo en múltiples fases. De las Ecuaciones (2.54) a (2.56) cuentan con seis variables dependientes. Tres correlaciones adicionales se requieren para completar esta descripción.

𝑆0 + 𝑆𝑔 + 𝑆𝑤 = 1 2.57

𝑝𝑐𝑜𝑤 = 𝑝0 + 𝑝𝑤 = 𝑓 𝑆𝑤 , 𝑆𝑔 (2.58)

𝑝𝑐𝑜𝑔 = 𝑝𝑔 + 𝑝𝑜 = 𝑓 𝑆𝑤 , 𝑆𝑔 (2.59)

29

La relación entre la presión capilar y la saturación es usualmente empírica. 2.4.3 Uso del Pseudopotencial

Esta es a menudo conveniente para la ecuación de conservación y en forma no explicita involucra términos de gravedad. Esta es necesaria para la definición de potencial introducida por Hubbert (1940, 1956). Define que

Φ = 𝑑𝑝

𝛾

𝑝

𝑝0

− 𝑍 2.60

La ley de Darcy pude ser escrita como:

𝑢 = −𝑘

𝜇 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 = −

𝑘

𝜇𝛾∇Φ 2.61

Y la ecuación de flujo es formalmente simplificada. Por ejemplo la ecuación para una sola fase (ecuación (2.44)) seria:

∇. 𝜆𝛾∇Φ = ∁ 𝑝 𝛾𝜕Φ

𝜕𝑡+ 𝑞

Y la ecuación (2.54) seria:

∇. 𝜆0𝛾0∇Φ0 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝑠0

𝐵0 + 𝑞0

Solo para flujo incompresible puede ser usado el verdadero potencial

Φ′ = 𝑝 − 𝛾𝑧

El cual es luego relacionado para Φ ser

Φ′ = 𝛾Φ

2.4.4 Condiciones límites El modelo matemático discute que tan lejos se encuentra de las condiciones iníciales necesarias, sin embargo, esto es instructivo para presentar una discusión para próximos trabajos con representación de diferencias finitas (modelo numérico). Las condiciones de límite para flujo en una sola fase están dadas en la sección 3.4 del capítulo 3 y más detallada en la sección 7.4 y 7.7 del capítulo 7. Las condiciones de límite para múltiples fases está dada en el capítulo 5 sección 5.7 y más profundamente en el capítulo 9, sección 9.4 y 9.8

2.5 FORMAS ALTERNATIVAS DE ECUACIONES DE FLUJO PARA MULTIPLES FASES

Varias alternativas para la formulación de ecuaciones de flujo en secciones previas pueden ser derivadas aquí. Para mayor claridad, el desarrollo es restringido para flujo de múltiples fases, los subíndices w y n denotan la fase húmeda o no humedad, respectivamente. La formulación en cuatro variables esta en esta notación.

∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝑠𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.62

∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝑠𝑛

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 2.63

𝑝𝑐 = 𝑝𝑛 − 𝑝𝑤 = 𝑓 𝑠𝑤 (2.64)

𝑆𝒘 + 𝑺𝒏 = 1 (2.65)

30

2.5.1 Formulación en forma parabólica 𝑷𝑾 𝒀 𝑷𝑵

Suponga que la función inversa existe para 𝑝𝑐(𝑠𝑤)

𝑠𝑤 = 𝐹𝑤 𝑝𝑐 = 𝐹𝑤 𝑝𝑛 − 𝑝𝑤 (2.66)

La función Fw existe si Pc es monoatómicamente creciente o monoatómicamente decreciente, entonces la ecuación (2.62) y (2.63) puede ser expresado como:

∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝐹𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.67

∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

(1 − 𝐹𝑛)

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 2.68

La ecuación (2.67) y (2.68) son las básicas para el método llamado ―método de solución simultanea‖ en la literatura del petróleo introducida por (Douglas et 1959; Coats 1968; Sheffield 1969). La ecuación queda acoplada al libre tratamiento de linealidades Pc la función debe ser empleada para la simulación de cero capilaridad. Formulación en Pn y Pc Esta formulación es similar a las anteriores y puede ser escrita como:

∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑛 − ∇𝑝𝑐 − 𝛾𝑤∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝐹𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.69

∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

(1 − 𝐹𝑤 )

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 2.70

Una formulación equivalente también puede ser escrita como: Formulación en Pn y Sw

Donde Pw es expresada como Pn –Pc La ecuación (2.64) es usada obteniendo

∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑛 − ∇𝑝′𝑐∇𝑠𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

𝑆𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.71

∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 Φ

(1 − 𝑆𝑤)

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 2.72

La forma en diferencias finitas de esas ecuaciones puede ser derivada bajo la siguiente suposición. Esto es mejor visto si la ecuación (2.71) y (2.72) son expresadas en diferentes formas. Donde la ecuación (2.71) es multiplicada por Bw, la ecuación (2.72) por Bn y a a ecuación se le añade lo obtenido.

Bn∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 + 𝐵𝑤∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 − Bw∇. 𝜆𝑤 𝑝′𝑐∇Sw + ∇𝛾∇𝑧

= 𝐵𝑛 1 − 𝑆𝑤 𝜕

𝜕𝑡

∅

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 + 𝐵𝑤 𝑆𝑤

𝜕

𝜕𝑡

∅

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 2.73

Donde

∇𝛾 = 𝛾𝑤 − 𝛾𝑛 (2.74) La ecuación (2.73) es una forma alternativa de la ecuación (2.71).note que en la p, s la formulación esta expresada en función de la presión capilar que puede ser arbitraria siempre y cuando P‘c exista. En forma de diferencias finitas,

si la saturación en la ecuación (2.73)a tomado la forma explícita, entonces 𝜆𝑛 , 𝜆𝑤 , 𝑝′𝑐 y ∇𝑠𝑤 son conocidos y 𝜕

𝜕𝑡

∅

𝐵𝑤

puede ser como una función de Pn. Ecuación (2.72)es para solucionar la Sw. Esto es conocido como ―presión implícita –saturación explicita‖, O método IMPES (Stones y Gader 1961; Breitenbach 1969)y es ampliamente usada

en la simulación de yacimientos. Cuando el tratamiento explicito para la saturación es no ajustable, como en el caso de la conocida simulación, la ecuación derivada queda. Cuando 𝑝𝑐 = 0(𝑝𝑛 = 𝑝𝑤 = 𝑝) La ecuación (2.73) y (2.72) simplificada para

Bn∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝 − 𝛾0∇𝑧 + 𝐵𝑤∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝 − 𝛾𝑤∇𝑧

31

= 𝐵𝑛 1 − 𝑆𝑤 𝜕

𝜕𝑡

∅

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 + 𝐵𝑤 𝑠𝑤

𝜕

𝜕𝑡

∅

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤 (2.75)

∇ 𝜆𝑛 ∇𝑝 − 𝛾𝑛∇𝑧 =𝜕

𝜕𝑡 ∅

1 − 𝑆𝑤

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 (2.76)

Una diferencia de simplificación de resultados para flujo incompresible en un medio incompresible cuando Bw, Bn y ∅ son constantes (Bw, Bn no necesariamente igual a uno), entonces la siguiente ecuación queda como:

∇. (Bn𝜆𝑛 + Bw𝜆𝑤)(∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧) − ∇. Bw𝜆𝑤 p′c∇𝑆𝑤 − ∆𝛾∇𝑧

= Bn𝑞𝑛 + Bw𝑞𝑤 2.77

∇. Bn𝜆𝑛(∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧) = ∅𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡+ Bn𝑞𝑛 (2.78)

Finalmente para flujo de fluidos incompresible de igual densidad con Bw=Bn=1 y Fuerzas externas de presión capilar, la clásica ecuación propuesta por (Muskat 1937; Collins 1961) están dadas:

∇. (𝜆𝑛 + 𝜆𝑤 )(∇𝑝 − 𝛾∇𝑍) = 𝑞𝑛 + 𝑞𝑤 2.79

∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑧 = −∅𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡+ 𝑞𝑛 ( 2.80)

Obviamente la ecuación también puede ser presentada en función de 𝑝𝑛 , 𝑆𝑛 ; 𝑝𝑤 , 𝑠𝑛𝑜𝑝𝑤 , 𝑆𝑤 .

2.5.2 Formulación en “forma hiperbólica”

Esta formulación es posible en una simple forma solo para fluido incompresible. Esta fue la primera utilizada para calcular la inyección de agua (Fayers y Sheldon, 1959) y redirigida más recientemente por HIATT (1968). La formula general nos puede dar aquí vista, también puede ser encontrada en Bear (1972) y spivak (1974). La ecuación de la conservación de la masa para dos fases con una compresibilidad despreciable de la roca.

−∇. 𝜌𝑤𝑢𝑤 = ∅𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑤𝑆𝑤 + 𝑞 𝑤 (2.81)

−∇. 𝜌𝑛𝑢𝑛 = ∅𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑛(1 − 𝑆𝑤 ) + 𝑞 𝑛 (2.82)

En el termino antes de la expansión, la ecuación es dividida por la densidad y se adhiere conjuntamente el termino de la velocidad 𝑢𝑇 = 𝑢𝑛 + 𝑢𝑤 es obtenido.

∇. 𝑢𝑇 = ∇. 𝑢𝑛 + 𝑢𝑤

= −𝑞𝑛 − 𝑞𝑤 + ∅ (𝑆𝑤 − 1)

𝜌𝑛

𝜕𝜌𝑛

𝜕𝑡−

𝑆𝑤

𝜌𝑤 𝜕𝜌𝑤

𝜕𝑡 −

1

𝜌𝑛𝑢𝑛∇. 𝜌𝑛 −

1

𝜌𝑤𝑢𝑤∇. 𝜌𝑤 (2.83)

Donde 𝑞𝑡 = 𝑞 𝑙/𝜌𝑙 en el caso de la compresibilidad, todos los términos son ceros y la ecuación (2.83) simplificada:

∇. 𝑢𝑇 = −(𝑞𝑛 + 𝑞𝑤 ) = −𝑞𝑇 (2.84)

La ley de Darcy la podemos escribir como:

𝑢𝑤 = −𝜆𝑤 ∇𝑝𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑧 , 𝑢𝑛 = 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧 Donde

𝜆𝑙 =𝑘𝑘𝑟𝑙

𝜇𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (2.85)

Esta fase movible (L) en la ecuación anterior puede ser combinada para obtener la ecuación de flujo fraccional.

𝑢𝑤 = 𝑀𝑢𝑛 + 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑐 − ∆𝛾∇𝑧 (2.86)

Donde 𝑀 = 𝜆𝑤 /𝜆𝑛 es el radio de movilidad y ∆𝛾 = 𝛾𝑤 − 𝛾𝑛 la velocidad 𝑢𝑤puede ser remplazad por 𝑢𝑇 − 𝑢𝑛 en la

ecuación (2.86) para obtener:

𝑢𝑛 =1

1 + 𝑀 𝑢𝑇 − 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑐 − ∆𝛾∇𝑧 (2.87)

32

Finalmente la ecua (2.87) se puede sustituir en la ecuación (2.86) con la suposición le la incompresibilidad. Con la definición de flujo fraccional y la movilidad como:

𝑓𝑛 =𝜆𝑛

𝜆𝑤 + 𝜆𝑛 𝑓𝑤 =

𝜆𝑤

𝜆𝑤 + 𝜆𝑛 (2.88)

𝜆 =𝜆𝑛𝜆𝑤

𝜆𝑤 + 𝜆𝑛 (2.89)

El resultado de la ecuación es:

∇. 𝑓𝑛𝑢𝑇 − 𝜆′ ∇𝑝𝑐 − ∆𝛾∇𝑧 = ∅𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡− 𝑞𝑛 (2.90)

Varios términos en esta ecuación pueden ser en función de la saturación:

∇𝑝𝑐 =𝑑𝑆𝑤

𝑑𝑡∇𝑆𝑤

∇. 𝑓𝑛𝑢𝑇 = 𝑢𝑇.∇𝑓𝑛 + 𝑓𝑛∇. 𝑢𝑇 = 𝑢𝑇 . ∅𝜕𝑓𝑛𝜕𝑆𝑤

∇𝑆𝑤 − 𝑓𝑛𝑞𝑇

∇. 𝜆 ∆𝛾∇𝑧 = ∆𝛾∇𝑧. ∇𝜆 = Δ𝛾 ∇𝑧.𝜕𝜆

𝜕𝑆𝑤∇𝑆𝑤

En las anteriores ecuaciones se asumió que ∇𝑧 no es función de la posición. Esto puede satisface el sistema ordinario. De la ecua (2.88).

𝑑𝑓𝑛𝑑𝑆𝑤

=𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑤

Y desde 𝑓𝑤 + 𝑓𝑛 = 1 se puede escribir como:

−𝑞𝑛 + 𝑓𝑛𝑞𝑇 = 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

Después sustituimos la expresión anterior en la ecuación (2.90) y la ecuación resultante es.

−∇. 𝜆 𝑑𝑝𝑐

𝑑𝑆𝑤∇𝑆𝑤 − 𝑢𝑇

𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑤

+ ∆𝛾∇𝑧𝑑𝜆

𝑑𝑆𝑤 ∇𝑆𝑤 = ∅

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡− 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇 (2.91)

La ecuación (2.91) es la formula general que incluye la ecuación derivada de Fayers y Sheldon, (1959) y HIATT (1968) como caso especial. En otra solución de esta ecuación, esto es necesario para resolver la primera ecuación (2.84) para 𝑢𝑇 el cual es necesario para un caso dimensional. (el ejercicio 2.2 que se encuentra al final de este

capitulo ). La ecuación generalizada para tipo parabólico por que 𝑑𝑝𝑐/𝑑𝑆𝑤 < 0 y cambiadas para tipo hiperbólico si

Pc=0 entonces se reduce a:

− 𝑢𝑇


+ ∆𝛾∇𝑧𝑑𝜆


𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡− 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇 (2.92)

Esta es la ecuación para el caso hiperbólico, por que 𝑑𝑓𝑤

𝑑𝑆𝑤> 0. finalmente si se tiene igual densidad de fluido o

(∇𝑧 = 0) la ecuación fraccional de flujo de fluidos se simplifica a:

𝑢𝑛 = 𝑓𝑛𝑢𝑇 𝑢𝑤 = 𝑓𝑤𝑢𝑇

Y la ecuación (2.92) para este caso puede llegar a escribirse de esta manera, y de forma similar para la ecuación de inyección de agua.

𝑢𝑇


. ∇𝑆𝑤 = = ∅𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡− 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇 (2.93)

33

La ecuación (2.84) y (2.93) son equivalente para el sistema de ecuación (2.79) y (2.80), el termino fuente 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

seria cero para producción cuando 𝑞𝑤 = 𝑓𝑤𝑞𝑇 por ley de Darcy, sin embargo al inicio de la inyección puede llegar

a ser cero. Por ejemplo cuando la fase humedad es inyectada 𝑞𝑤 = 𝑞𝑇 y

𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇 = (1 − 𝑓𝑤 )𝑞𝑤 ≠ 0.

Un análisis más detallado del término de esta discusión está en el capítulo 5 y 7. La derivación de flujo de fluido compresible son de la misma linealidad. Pero el resultado de esta ecuación es considerablemente más complejo. Escribiendo el término de 𝑝𝑛 𝑦 𝑆𝑤 estos son los resultados,

𝑏𝑛

𝑏𝑤 ∇. 𝜆𝑤 ∇𝑝𝑛 − ∇𝑝𝑐 − 𝛾𝑤∇𝑧 + ∇. 𝜆𝑛 ∇𝑝𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑧

= 𝑏𝑛

𝑏𝑤𝑆𝑤

𝜕𝑏𝑤

𝜕𝑡+ (1 − 𝑆𝑤)

𝜕𝑏𝑛

𝜕𝑡 +

𝑏𝑛

𝑏𝑤𝑞𝑤 + 𝑞𝑛 (2.94)

𝑏𝑤 𝑢𝑇


+ 𝑘∆𝛾𝑑𝜓

𝑑𝑆𝑤∇𝑧 . ∇𝑆𝑤 + ∇. 𝑏𝑤𝑘𝜓

𝑑𝑝𝑐

𝑑𝑆𝑤. ∇𝑆𝑤

= −∅𝜕

𝜕𝑡 𝑏𝑤𝑆𝑤 − 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤∇. 𝑏𝑤𝑢𝑇 − 𝜓∇. 𝑏𝑤𝑘∆𝛾∇𝑍 (2.95)

Donde 𝑏𝑙 = 1/𝐵𝑡

𝑓𝑤 =𝑘𝑟𝑤 /𝜇𝑤

𝑘𝑟𝑛

𝜇𝑛+

𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤

, 𝜓 =𝑘𝑟𝑛

𝜇𝑛𝑓𝑤

Y 𝜆𝑙 para esta nueva definición: 𝜆𝑙 =𝑘𝑘𝑟𝑙

𝜇 𝑙𝐵𝑡

En el ejercicio (2.2) y (2.3) en nuestro entorno la derivación de la ecuación de flujo de dos fases dada arriba y la correspondiente ecuación para tres fases.

2.6 ECUACIONES DE FLUJO QUE INCLUYEN EFECTOS NO-DARCY

Estrictamente hablando, la Ley de Darcy es válida sólo para fluidos Newtonianos en un rango limitado de tasas de flujo donde la turbulencia, la inercia y otros efectos de alta velocidad son insignificantes. Además, a presiones muy bajas esta ley no aplica debido al fenómeno de deslizamiento. En esta sección son dadas algunas de las relaciones usadas en la práctica cuando las formas tradicionales de la Ley de Darcy no funcionan. 2.6.1 Altas Tasas de Flujo (Efectos Inerciales y de Turbulencia) Cuando la velocidad de flujo incrementa, las desviaciones de la Ley de Darcy pueden ser observadas. Investigadores han atribuido diversamente esto al flujo turbulento (Fancher y Lewis, 1993; Elenbaas y Katz, 1947; Cornell and Katz, 1953) o a los efectos inerciales (Hubbert, 1956; Houpeurt, 1959). La explicación general aceptada (Wright, 1968) es que, como la velocidad incrementa, la desviación es debida a los efectos iníciales de inercia, seguida más tarde por efectos de turbulencia. En 1956, Hubbert señaló la desviación de la Ley de Darcy al número de flujo de Reynolds como aproximadamente 1 (Basado en la media del diámetro de grano no-consolidado), mientras que la turbulencia no fue observada hasta que el número de Reynolds se aproximó a 600. La transición desde el flujo laminar hasta el flujo turbulento es largo. Este rango de tasas de flujo es adecuadamente representado por una ecuación cuadrática (Forschheimer, 1901) dada para flujo en estado-estable unidimensional sin efectos gravitacionales significativos mediante,

−d𝑝

d𝑥=

𝜇

𝑘𝑢 + 𝛽𝜌 𝑢 𝑢 (2.96)

Donde β es el factor de ‗turbulencia‘ (Katz et al, 1959).

Para flujo multidimensional la ecuación puede ser escrita como (Geertsma, 1974):

−∇p =𝜇

𝑘𝑢 + 𝛽𝜌 𝑢 𝑢

34

La ecuación (2.96) la cual incluye efectos laminar, inercial y de turbulencia es una ecuación general de balance de cantidad de movimiento. Esta puede ser reorganizada a la forma,

𝑢 = −δk

μ

d𝑝

d𝑥 (2.97)

Donde

𝛿 =1

1 +𝛽𝜌𝑘𝜇

𝑢

Es el factor de corrección de la ‗turbulencia‘ (Wattenbarger y Ramey, 1968; Govier, 1961). Cuando 𝛿=1.0, la ecuación

anterior (2.97) es equivalente a la Ley de Darcy. En un medio anisotrópico, 𝛿 es distinta en diferentes direcciones. El

flujo a través de este medio se da entonces, en forma generalizada, por

𝒖 = −1

𝜇𝑘 𝛿𝛻𝑝 (2.98)

Donde en general k y 𝛿 son tensores.

Es evidente que la ecuación (2.98) representaría tanto el flujo laminar como el flujo donde los efectos inercia-turbulencia (IT) están presentes. Esta ha sido referenciada como la ecuación generalizada laminar-inercial-turbulento (LIT) en el manual ERCB (1975). Sus efectos son importantes sólo con flujo de gas cerca al pozo. La ecuación de flujo de gas obtenida combinando la ecuación (2.98) con la ley de conservación de la masa es

∇. 𝑝

𝑍

𝑘

𝜇𝛿𝛻𝑝 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙𝑝

𝑍 + 𝑞

𝑅𝑇

𝑀

Ecuaciones de este tipo deben ser resueltas iterativamente. 2.6.2 Fenómeno de Deslizamiento y Umbral

Experimentalmente se ha observado que cierto gradiente de presión diferente de cero es necesario para iniciar el flujo. La relación entre q y 𝜕𝑝/𝜕𝑥 para tasas bajas es mostrada en la Fig. 2.2. El fenómeno de deslizamiento (o

Klinkenberg) se presenta en flujo de gas a bajas presiones y resulta en un aumento de la permeabilidad efectiva en comparación con la medida para líquidos. Aunque ambos fenómenos son en lo relativo, poco importantes, la Ley de Darcy puede ser fácilmente modificada por ellos. Para una discusión detallada de estos efectos, ver los trabajos de Collins (1961) y Bear (1972).

Fig. 2.2. Fenómeno de Umbral.

Actual

Ley de Darcy

Umbral

q

δp/δx

35

2.6.3 Flujo No Newtoniano

Algunos fluidos (por ejemplo, soluciones de polímeros) muestran un comportamiento no Newtoniano, caracterizado por una dependencia no-lineal del esfuerzo de corte en la tasa de corte. La teoría de tal comportamiento, la cual está más allá del alcance de este libro, es discutida en la literatura sobre reología. Para fines prácticos, la resistencia al flujo en medios porosos puede ser descrita por la Ley de Darcy, la cual incluye la viscosidad aparente μapp

dependiente de la velocidad de flujo. Un ejemplo de la función μ para una solución polimérica se encuentra en la Fig.

2.3. La velocidad de Darcy 𝒖 puede por lo tanto ser escrita como

𝒖 = −𝑘

𝜇(𝒖) ∇𝑝 − 𝛶∇z (2.99)

La región de flujo pseudoplástica puede ser aproximada en un amplio rango de velocidades mediante el modelo de la Ley de Potencia (ecuación de Blake-Kozen, ver Bird et al., 1960):

μapp = H𝑢𝑛−1 (2.100)

Las constantes H y n deben ser determinadas empíricamente.

Fig. 2.3 Viscosidad Aparente para fluidos no-Newtonianos (Después Bondor et al., 1972).

2.6.4 Otros Efectos

Aquí son presentados otros efectos que causan linealidades adicionales en las ecuaciones básicas de flujo. Estas están normalmente asociadas a técnicas secundarias y terciarias de recobro. Por ejemplo, un polímero en una solución es absorbido por la roca reservorio y la solución cambia en el agua. Por lo tanto, el contacto con el polímero reduce la permeabilidad relativa del anterior flujo de agua. Las propiedades que dependen de la concentración deben ser consideradas cuando las ecuaciones de inmiscibilidad son aplicadas a sistemas miscibles, CO2 y caudales micellar, etc. En técnicas térmicas de recobro, todos los coeficientes de la Ley de Darcy se convierten en funciones de la temperatura. Como un último ejemplo, Finol y Farouq Ali (1975) también consideraron la compactación de la roca reservorio bajo cambios de presión (grado de subsidencia).

2.7 PROPIEDADES DE LA ROCA Y FLUIDO

El carácter de las ecuaciones y la clase de métodos que deben ser empleados para simularlas dependen en gran medida de las propiedades de la roca y el fluido. Una breve discusión de estas propiedades es presentada en esta sección, debido al rol que estas desempeñan en la simulación de yacimientos, el cual es completamente apreciable. El tratamiento completo de las propiedades físicas y la recopilación de correlaciones se encuentran en Frick y Taylor (1962) y Katz et al. (1959).

μmax

μmin

Pseudoplástico Flujo

Dilatante

log u

log

μ a

pp

36

2.7.1 Propiedades del Fluido

Para fluidos que pueden aproximarse mediante el modelo-β isotérmico, los factores volumétricos de formación y las viscosidades son sólo funciones de la presión, y deben ser determinados a la temperatura del yacimiento. Se debe tener en cuenta que Bg está relacionado con la compresibilidad del gas Z, y debido a que la compresibilidad del agua

Cw es pequeña, este puede ser expresado mediante la ecuación (2.40).

𝐵𝑤 =𝐵𝑤𝑏

1+𝐶𝑤 𝑝𝑤 −𝑝𝑤𝑏 (2.101)

Donde 𝐵𝑤𝑏 y 𝑝𝑤𝑏 son las condiciones en algún punto de referencia (normalmente el punto de burbuja).

Las viscosidades del aceite y el gas generalmente son funciones bastante dependientes de la temperatura y esto debe tenerse en cuenta si los cambios de esta propiedad no pueden ser ignorados, como en el caso de flujo en pozo o el caso de procesos de recuperación térmica. La dependencia de la temperatura a una presión dada normalmente puede ser asumida como lineal en coordenadas logarítmicas, esto es,

𝜇 = 𝜇° 𝑇

𝑇° 𝐶 (2.102)

Donde 𝑇°y 𝜇° son los valores en un punto de referencia y la constante C debe ser determinada del valor de 𝜇 a una

𝑇 ≠ 𝑇°. Obviamente, esta aproximación no será precisa para aceite, si el punto de burbuja es atravesado dentro del rango de temperatura considerado. Cuando el modelo-β no es adecuado, deben ser especificados más datos de la caracterización composicional de los fluidos. En la Fig. 2.4 se muestra un ejemplo de las propiedades dependientes de la presión para aceite y gas. 2.7.2. Propiedades de la Roca

2.7.2.1 Presión Capilar En la primera aproximación, la presión capilar y las permeabilidades relativas deben ser consideradas como funciones sólo de la roca reservorio. En caso de dos fases, la curva típica de presión capilar es representada mediante la Fig. 2.5. La capilaridad depende de la saturación del fluido mojante y de la dirección del cambio de saturación (Curva de drenaje o imbibición). El valor 𝑃𝑐𝑏 , el cual es necesario para iniciar el desplazamiento recibe el nombre de ‗presión de

Umbral‘ (Bear, 1972) y es importante en rocas de baja permeabilidad (Thomas et al., 1968). El valor de saturación al cual la fase mojante ya no puede ser desplazada por la aplicación de un gradiente de presión es llamada ‗saturación irreducible‘. Teóricamente, la curva 𝑃𝑐 debería tener una asíntota en ese valor con el fin de que el gradiente de

presión se mantenga constante en ambas fases. Esto puede ser visto si se considera equilibrio gravitacional vertical. Una situación similar ocurre en el otro extremo de la curva durante el ciclo de imbibición, cuando el valor de la saturación irreducible de la fase no-mojante es aproximado.

37

Fig. 2.4 Funciones típicas dependientes de la presión (Settari y Azis, 1975)

Rs

μo

Bo

Bo

Rs

(S

TB

/RB

)

μo

(cP

)

Po (psia)

400

0

800 1200 1600

1.1

1.2

1.3

20

40

60

1

400

Bg

μg

800 1200 1600

0.01

0.02

0.03

μg

(cP

)

Pg (psia)

Bg

0

0.01

0.02

0.03

0.04

38

Fig. 2.5 Curva típica 𝑃𝑐

Welge (1949) fue el primero en medir la presión capilar negativa, lo cual dio inicio a debates así como también a trabajos experimentales (Por ejemplo, Calhoun et al., 1949; Morrow y Harris, 1965; Morrow, 1970). Después de esto, investigadores en el área concluyeron que la mojabilidad y capilaridad son funciones de algunas otras variables adicionales. Entre ellas están las propiedades de los fluidos del yacimiento, la contaminación y la temperatura (Poston et al., 1970). Para simulación numérica, las pendientes deben ser siempre finitas. Algunos de los primeros investigadores intentaron incorporar valores grandes de pendientes en modelos computacionales con el fin de aproximar el carácter asintótico. Esto creó problemas computacionales y más tarde se reconoció que ese procedimiento no era necesario. El uso de valores razonables de pendientes en la región de 𝑆𝑤𝑠 hace mucho más fácil de resolver el problema. Pero,

por otro lado esto crea el problema de ‗overshoot‘, el cual debe ser tratado numéricamente (Capitulo 12). Para flujo en tres fases, Leverett y Lewis (1941) investigaron por primera vez las funciones (2.58) y (2.59) y encontraron algunas justificaciones para las siguientes suposiciones:

𝑃𝑐𝑜𝑤 = 𝑓 𝑆𝑤 (2.103a)

𝑃𝑐𝑜𝑔 = 𝑓(𝑆𝑔) (2.103b)

Las suposiciones (2.103a y b) en general siguen siendo usadas, aunque se han propuesto algunas mejoras, como la hecha por Shutler (1969). A pesar de que es posible formular un modelo que explique mediante histéresis resultante el cambio de la dirección de flujo, en muchos casos esta puede ser predicha y sólo se requiere de un conjunto de curvas de presión capilar. 2.7.2.2 Permeabilidad relativa La mayoría de los trabajos experimentales sobre permeabilidad relativa también han sido realizados sobre sistemas de dos fases. La figura 2.6 muestra los resultados típicos que pueden ser obtenidos desplazando el aceite con agua para un sistema agua-aceite. El valor de Sw en el cual el agua empieza a fluir es llamado saturación crítica, Swc. La saturación Snc en la cual la fase desplazada deja de fluir es llamada saturación residual. Similarmente, en un ciclo de drenaje la Snc será la saturación crítica y la Swc la saturación residual. Debido la inclinación de las curvas de

presión capilar en la saturación irreducible debe ser finito en el modelo numérico, la curva de presión capilar usada no puede ser la misma para definir la saturación en la cual la fase desplazada llega a ser inmóvil. Este valor es por lo

Swc Snc Sw

0 1

Pc

Pcb

Imbibición

Drenaje

39

tanto determinado por la saturación residual, en la cual la permeabilidad relativa se hace cero. En términos de la ecuación de flujo de Darcy esto significa que la fase deja de fluir porque la movilidad es cero y no porque la fuerza externa es cero. Consecuentemente, ahí no se necesita distinguir la saturación crítica y la irreducible.

Figura 2.6.Curvas Típicas de Kr.

Junto con los numerosos resultados experimentales, hay también métodos teóricos los cuales muestran que la porosidad, la presión capilar y la permeabilidad relativa están relacionadas. Una relación aproximada entre ellas es

representada por la función de Leverett (𝐽 = 𝑃𝑐

𝜍 𝑘/𝜙 ) la cual es la base para algunos de los métodos teóricos de

cálculo de la permeabilidad (Ashford, 1969). Por lo tanto, en un yacimiento con propiedades variando fuertemente, diferentes curvas de permeabilidad relativa y saturación residual deben ser usadas en diferentes partes del yacimiento. La mojabilidad de la roca también tiene una fuerte influencia sobre la permeabilidad relativa (Owens y Archer, 1971). Mungan (1972) muestra que los fluidos del yacimiento en lugar de los líquidos refinados deben ser utilizados para las mediciones de permeabilidad relativa. Comenzado con la primera medición por Leverett y Lewis (1941), casi todos los trabajos de tres fases han sido realizados experimentalmente (Corey et al., 1956; Snell, 1962). Estas investigaciones muestran que la dependencia funcional puede ser aproximada por:

𝐾𝑟𝑤 = 𝑓 𝑆𝑤 𝐾𝑟𝑔 = 𝑓 𝑆𝑔 (2.104)

𝑘𝑟𝑜 = 𝑓 𝑆𝑤, 𝑆𝑔 (2.105)

La función (2.105) es rara vez conocida e incluso cuando lo es, la forma no es conveniente para usar en los modelos numéricos. Prácticamente los enfoques son basados en la estimación de la permeabilidad relativa de las tres fases des dos grupos de datos de dos fases: la permeabilidad relativa en un sistema agua-aceite

𝑘𝑟𝑜𝑤 = 𝑓(𝑆𝑤) (2.106)

Y en un sistema gas-aceite

𝑘𝑟𝑜𝑔 = 𝑓(𝑆𝑔) (2.107) El concepto puede entenderse mejor si se fija en lo que se refiere a la Krow, la fase no mojante puede ser asumida como la suma de la fase aceite y la fase gas, y similarmente para Krog, la fase mojante es toda de liquido ( aceite y agua) presente. Por lo tanto, en la figura 2.7 (a) el punto con Krow = 0 denota la saturación de agua máxima más

bien que la saturación de aceite, porque la saturación de aceite puede estar decreciendo mas por el incremento de la saturación de gas. Sin embargo, esto ha sido encontrado experimentalmente que una saturación residual de aceite

40

diferente de cero existe cuando el aceite es desplazado simultáneamente por el agua y el gas. La observación sobre la histéresis hecha tempranamente Pc aplica también a los datos de Kr y el dato correcto de acuerdo al

desplazamiento (drenaje o inhibición) debe ser seleccionado. El tratamiento numérico de la histéresis es discutido en el capítulo 12.

Figura 2.7. (a) Sistema Agua-Aceite, (b) Sistema Gas-Aceite

La aplicación más sencilla para predecir Kro es definir

𝑘𝑟𝑜 = 𝑘𝑟𝑜𝑤 ∗ 𝑘𝑟𝑜𝑔 (2.108)

Dos modelos más exactos fueron propuestos por Stone. En el primer método, Stone (1970) define la saturación normalizada como:

𝑆∗𝑜 =𝑆𝑜−𝑆𝑜𝑚

(1−𝑆𝑤𝑐−𝑆𝑜𝑚 ) 𝑆𝑜 ≥ 𝑆𝑜𝑚 (2.109)

𝑆∗𝑤 =𝑆𝑤−𝑆𝑤𝑐

(1−𝑆𝑤𝑐 −𝑆𝑜𝑚 ) 𝑆𝑤 ≥ 𝑆𝑤𝑐 (2.110)

𝑆∗𝑔 =𝑆𝑔

(1−𝑆𝑤𝑐−𝑆𝑜𝑚 ) (2.111)

Ahora la permeabilidad relativa del aceite en un sistema de tres fases es asumida como

𝐾𝑟𝑜 = 𝑆∗𝑜𝛽𝑤𝛽𝑔 (2.112)

Los multiplicadores βw y βg están determinados para la condición que la ecuación (2.112) reduce los datos a dos fases para los dos casos extremos de Sg=Sg*=0 y Sw=Swc. Esto da:

𝛽𝑤 =𝐾𝑟𝑜𝑤 (𝑆𝑤 )

1−𝑆∗𝑤 𝛽𝑔 =

𝐾𝑟𝑜𝑔 (𝑆𝑔)

1−𝑆∗𝑔 (2.113)

La región de la fase movible de aceite para el modelo (2.113) es mostrada en el diagrama ternario en la figura 2.8, asumiendo un incremento de Sw y Sg.

41

Figura 2.8. Zona movible de aceite para un flujo en tres fases.

Figura 2.9. Funciones típica de la dependencia de la saturación para sistemas Agua- Aceite con Agua como la fase

mojante (de Settari y Aziz. 1975).

El segundo modelo (Stone, 1973) no requiere especificación de Som y esto es, en verdad, capaz de predecirse. La

predicción de la ecuación es derivada de las consideraciones del canal de flujo y están de la forma

𝑘𝑟𝑜 = 𝑘𝑟𝑜𝑤 + 𝑘𝑟𝑤 𝑘𝑟𝑜𝑔 + 𝑘𝑟𝑔 − (𝑘𝑟𝑤 + 𝑘𝑟𝑔) (2.114)

Con la restricción que Kro≥0, valores negativos de Kro implica un aceite inmóvil. El valor cero en ambos modelos para que reduzcan exactamente los datos a dos fases solo puede hacerse si la permeabilidad relativa en los end points es igual a uno:

𝑘𝑟𝑜𝑤 𝑆𝑤𝑐 = 𝑘𝑟𝑜𝑔 𝑆𝑔 = 0 = 1 (2.115)

De otro modo, la función Kro (Sw, Sg) solo se aproximara a datos de dos fases. Un modelo que no tiene esta limitación puede ser desarrollado si nosotros asumimos que los datos de aceite –gas son medidos en la presencia del agua irreducible.

42

Figura 2.10. Funciones típicas de la dependencia del a saturación para sistemas Gas-Aceite con Aceite como la fase

mojante (de Settari y Aziz, 1975).

En este caso, un sistema agua-aceite en Swc y en un sistema gas-aceite en Sg=0 son idénticos físicamente (i.e., ambos tienen Sw=Swc, So=1-Swc) y por lo tanto la ecuación (2.115) debería ser equivalente definiendo la permeabilidad absoluta como la permeabilidad efectiva de la fase aceite en la presencia de Swc. En orden de preservar la definición acostumbrada de permeabilidad, los modelos presentados por Stone deben ser alterados. Vamos a hacer la denotación

𝑘𝑟𝑜𝑤 𝑆𝑤𝑐 = 𝑘𝑟𝑜𝑔 𝑆𝐿 = 1 = 𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 (2.116)

Donde SL =1-Sg =So+Swc para un sistema gas-aceite. Los dos modelos de Stone pueden ahora ser modificados como sigue: Modelo 1

𝑘𝑟𝑜 = 𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 𝑆𝑜∗𝛽𝑤𝛽𝑔 (2.117)

Donde

𝛽𝑤 =𝑘𝑟𝑜𝑤 (𝑆𝑤 )/𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤

1−𝑆𝑤∗ 𝛽𝑔 =

𝑘𝑟𝑜𝑔 (𝑆𝐿)/𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤

1−𝑆𝑔∗ (2.118)

Modelo 1 Modelo 2 𝑆𝑜𝑚 = 0.15

43

Figura 2.11. Calculo de Kro para tres fases por el Modelo Stone 1 y 2.

Modelo 2

𝑘𝑟𝑜 = 𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 (𝑘𝑟𝑜𝑤 /𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 + 𝑘𝑟𝑤 )(𝑘𝑟𝑜𝑔 /𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 + 𝑘𝑟𝑔 ) − (𝑘𝑟𝑤 + 𝑘𝑟𝑔 ) (2.119)

Dietrich y Bondor (1976) tienen otra sugerencia normalizada del Modelo 2:

𝑘𝑟𝑜 =1

𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 𝑘𝑟𝑜𝑤 + 𝑘𝑟𝑤 𝑘𝑟𝑜𝑔 + 𝑘𝑟𝑔 − (𝑘𝑟𝑤 + 𝑘𝑟𝑔 ) (2.120)

Modelo 1 Modelo 2 𝑆𝑜𝑚 = 0.1

Figura 2.12. Cálculo de Kro para tres fases por el Modelo de Stone 1 y 2.

44

Este modelo tiende a predecir una Som más alta comparado con la ecuación (2.119). También, nos da valores incorrectos para pequeños Krow desde

lim 𝑘𝑟𝑜 = ∞ con 𝑘𝑟𝑜𝑐𝑤 → 0

Por lo tanto la ecuación (2.119) es un modelo más razonable. Ejemplos Las figuras 2.9 y 2.10 muestran ejemplos de propiedades de roca de dos fases. Dos ejemplos de tres fases calculando Kro por la ecuación (2.118) y (2.119) están en la figura 2.11 y 2.12. El diagrama de datos de dos fases es

una interpolación lineal entre los datos tabulados, como deberían típicamente ingresados en un simulador. El segundo set de datos muestra que los dos modelos pueden predecir permeabilidades bastantes diferentes en la región de baja Kro.

2.7.2.3 Otras propiedades El carácter tensorial de la permeabilidad absoluta ha tenido ya una discusión en la sección 2.2.3. Debido a la estratificación de las rocas en el yacimiento, el principal eje tensor es usualmente el horizontal y el vertical y puede ser identificado con permeabilidad horizontal (kH) y permeabilidad vertical (kv). Por lo tanto para un sistema de coordenadas cartesianas xyz con Z vertical, nosotros tendríamos kx=ky=kH, kz=kv.

La porosidad de la roca depende de la presión debido a la compresibilidad de la roca CR. Usualmente, la CR es comparada con la compresibilidad del agua e igualmente puede ser asumida constante, la cual se da

∅ = ∅° 1 + 𝐶𝑅(𝑝 − 𝑝°) (2.121)

Donde ∅º es la porosidad a una presión de referencia pº.

2.8 CONCLUSIONES

En este capítulo, las ecuaciones básicas de flujo de fluidos para modelos de aceite negro se han desarrollado. Las

limitaciones de estas ecuaciones no se han discutido ya que no se dispone de alternativas, y la discusión de este

tema debe ser restringido en un libro que trate principalmente los métodos numéricos.

La mayor debilidad del modelo matemático está en el área de tres fases,

la permeabilidad relativa y presión capilar. Los modelos simples basados en

de datos en dos fases requieren verificación. También hemos ignorado los problemas de flujo de fluidos con

cambio de temperatura y la difusión masiva. Estos temas están fuera del alcance de este texto.

EJERCICIOS

Ejercicio 2.1

Deducir la ecuación de conservación de la masa de una sustancia arbitraria considerando un medio poroso de forma

arbitraria saturado con uno o más fases.

Solución

Considere el flujo de una determinada sustancia Q que se distribuye con

la concentración C en el sistema que se muestra a continuación.

45

dónde

El flujo neto a través de la superficie = 𝐯. 𝐧𝐝𝛔𝟎

De la generación de Q en V = 𝐪𝐝𝐯𝐕

La tasa de cambio de Q en V = 𝐂𝐝𝐯𝐯

v = velocidad real de la sustancia (la velocidad intersticial) en el medio poroso.

q=generación de Q por unidad de volumen por unidad de tiempo.

Ahora, utilizando el teorema de Gauss demostrar que la ecuación de conservación de Q

d

dt CdV

V

= − cv. ndς0

+ qdvV

puede ser escrito como

dC

dt+ ∇. Cv − q dv = 0 (D)

V

Próximo show para un medio poroso saturado con un solo componente la ecuación de fluidos. (D) puede ser escrito

como:

−∇. ρu = d

dt ρФ − q (E)

dónde

u = vФ = Velocidad Darcy

Sugerencia: flujo másico = 𝐶𝑣. 𝑛 = 𝜌𝑢. 𝑛 puesto que C=𝜌 para el espacio de los poros yC = 0 para la matriz de

roca. Del mismo modo C = ρФ para la acumulación.

Ahora extendemos la ecuación. (E) para el flujo multifasico y proporcionar definiciones de la velocidad de Darcy y la

permeabilidad relativa basada en el flujo de masa.

Ejercicio 2.2

Deducir las ecuaciones. (2,94) y (2,95).

Solución

(a) A partir de las ecuaciones. (2,20) y (2,21), eliminar dSL/dt, multiplicando la ecuación de la fase humectante por

bn/bw para obtener la ecuación. (2,94).

(b) La velocidad de Darcyuw viene dada por :

46

uw = fw uT + kψ ∆∇Pc + ∆у∇z A

Sustituirestá en la ecuación de la fase de mojante la ecuación para obtener la ecuación. (2,95).

Ejercicio 2.3

Deducir el equivalente de ecuaciones. (2,94) y (2,95) para flujo de tres fases.

Solución

Comience con

−∇. bW uW = d

dt(ФbW SW + qW ) (A)

−∇. b0u0 = d

dt(Фb0S0 + q0) (B)

−∇. bgug − ∇Rs . b0u0 = d

dt(Фbg g + Фb0S0

dRs

dt + q0) (C)

(Véase el ejercicio 5.2 del capítulo 5 de la forma de la ecuación. (C).

(a) Eliminar las derivadas de la saturación multiplicar las ecuaciones agua y gas

de bo/bw y bo/bg, y añade:

𝛻. 𝜆0 𝛻𝑝0 − у0𝛻𝑧 + 𝑏0

𝑏𝑊 𝛻. 𝜆𝑊 𝛻𝑝0 − 𝛻𝑝𝐶𝑂𝑊 − у𝑤𝛻𝑧 +

𝑏0

𝑏𝑔 𝛻. 𝜆𝑔 𝛻𝑝0 − 𝛻𝑝𝑐𝑜𝑔 − у𝑔𝛻𝑧

= 𝑆0 𝑑 Ф𝑏0

𝑑𝑡+

𝑏0

𝑏𝑔 Ф

dRs

dt +

𝑏0

𝑏𝑊 𝑆𝑤

𝑑 Ф𝑏𝑤

𝑑𝑡+

𝑏0

𝑏𝑔 𝑆𝑔

𝑑 Ф𝑏𝑔

𝑑𝑡+ 𝑞0 +

𝑏0

𝑏𝑊 𝑞𝑤

+ 𝑏0

𝑏𝑔 𝑞𝑔 (D)

(b) La ecuación de flujo fraccional de agua es:

uw = fw uT + Kψ0g ∇Pc0w + ∆у0w

∇z + Kψg ∇Pc0g + ∆у0g

∇z (E)

Donde

∆у𝟎𝐰

= у𝐰

− у𝟎

∆у𝟎𝐠

= у𝟎

− у𝐠

ψ0g = Kro

uo+

Krg

ug f w ψg =

Krg

ugf w

Sustituir (E) en (A) para obtener

𝑏𝑤 𝑢𝑇


+ 𝑘 ∆у0w

dψog

dSw+ Δу

0g

dψg

dSw ∇z . ∇Sw + 𝑏𝑤 𝑢𝑇

𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑔

+ 𝑘 ∆у0w

dψog

dSg+ Δу

0g

dψg

dSg ∇z . ∇Sg

+ ∇. 𝑏𝑤𝐾ψog

dPcow

dSw ∇Sw + ∇. 𝑏𝑤𝐾ψg

dPcog

dSg ∇Sg

= −∂

∂t ϕ𝑏𝑤 Sw − qw − 𝑓𝑤∇. 𝑏𝑤 𝑢𝑇 − ψog ∇. K𝑏𝑤 ∆у

0w∇z

− ψg∇. K𝑏𝑤 ∆у0g

∇z (F)

47

Similarmente, derive la ecuación de flujo fraccional del aceite.

uo = fouT − Kξw ∇Pcow + ∆у

0w∇z + Kξ

g ∇Pcog + ∆у

0g∇z G

ξw

=Krw

uwfoξ

g=

Krg

ugfo

y sustituya G en (B) para obtener

bo uT

∂fo

∂Sw+ K −∆у

0w

∂ξw

∂Sw+ ∆у

0g

∂ξg

∂Sw ∇z . ∇Sw + bo uT

∂fo

∂Sg+ K −∆у

0w

∂ξw

∂Sw+ ∆у

0g

∂ξg

∂Sw ∇z . ∇Sg

− ∇. boKξw

dPcow

dSw∇Sw + ∇. bo Kξw

dPcog

dSg∇Sg

= −∂

∂t ϕbo So − qo − fo∇. bo uT + ξw∇. Kbo∆у

0w∇z − ξg∇. Kbo∆у

0g∇z (H)

48

Capitulo 3

FLUJO DE UN FLUIDO EN UNA SOLA DIMENSION

3.1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo trata la solución numérica de ecuaciones de flujo en una sola fase y en una dimensión. Entre los problemas tratados en este libro, los problemas en una sola dimensión son los más simples y no siempre necesitan el uso de técnicas numéricas. Soluciones analíticas son conocidas por varios casos especiales (cf. Muskat, 1937; Collins, 1961) y ellos proveen un medio para verificar la exactitud de los métodos aproximados. Además, la mayoría de los conceptos relacionados con métodos de diferencias finitas y técnicas de solución pueden ser introducidos aquí en una forma simple y fácil de entender y luego extenderlos a varias dimensiones. La formulación matemática de problemas y sus tratamientos numéricos depende del tipo de sistema físico y suposiciones relacionadas en el desarrollo del modelo matemático del sistema. Las ecuaciones de flujo a ser consideradas en este capítulo han sido discutidas en forma general en el capítulo 2. Aquí presentamos un resumen de varias formas de ecuaciones de flujo en una dimensión. Métodos de diferencias finitas para la solución de estas ecuaciones serán presentados en la siguiente sección de este capítulo. La mayoría de los problemas de flujo en una dimensión pueden ser puestos en una de las siguientes formas: 1. Problemas de flujo lineal en estado estable – caso ODE lineal.

𝑑2𝑈

𝑑𝑥2= 𝑞 𝑥 (3,1)

2. Problemas de flujo lineal en estado transitorio – caso PDE lineal

𝑑2𝑈

𝑑𝑥2 =𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑞 𝑥, 𝑡 (3,2)

3. Problemas de flujo lineal en estado transitorio – caso PDE coeficiente variable y no lineal.

𝜕

𝜕𝑥 𝜆(𝑥, 𝑈)

𝜕𝑈

𝜕𝑥 = 𝑐 𝑥, 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑞 𝑥, 𝑡 (3,3)

4. Problemas de flujo radial transitorio – caso PDE coeficiente variable y no lineal.

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑥 𝑟𝜆(𝑟, 𝑈)

𝜕𝑈

𝜕𝑥 = 𝑐 𝑟, 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑞 𝑟, 𝑡 (3,4)

El uso del símbolo U para representar la variable dependiente P es conveniente para una discusión general de los métodos de diferencias finitas. Sin embargo es más conveniente usar el símbolo ρ para ambas soluciones, la aproximada y la exacta en los siguientes capítulos, y en algunos casos, cuando debamos tomar ventaja de las características físicas del problema. Las siguientes dos secciones introduce la terminología y los conceptos básicos de los métodos de diferencias finitas. Para mayor claridad, esto es llevado a cabo por una ecuación elíptica simple (ec 3.1) y la ecuación parabólica más simple (ec 3.2) con cuadricula regular. Los temas especiales de cuadriculas irregulares y el tratamiento de no linealidades son tratados en las secciones subsecuentes. La ecuación que describe el flujo de una sola fase en medios porosos no es única para la mecánica de los yacimientos. En consecuencia, la literatura pertinente a la solución numérica de estas ecuaciones es basta. El fondo del análisis numérico relacionado a este problema puede ser encontrado en numerosos libros (ej. Lapidus 1962, Smith 1965, Von Rosenberg 1969 Ames 1969, Mitchell 1969) y es difícil escoger uno por referencia. Los avances en análisis numérico pueden ser seguidos en diferentes revistas. La literatura concerniente a aplicaciones es dispersa a través de algunas ramas de la ingeniería, en particular, transferencia de calor.

3.2 APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS FINITAS.

La siguiente exposición tiene dos propósitos: (1) definir la terminología y (2) resumir los hechos básicos los cuales serán requeridos luego para el desarrollo de técnicas especiales. El completo tratamiento de teorías y aplicaciones pueden ser encontradas en libros de soluciones numéricas o ecuaciones diferenciales, como también en libros de análisis numérico. La idea básica de algún método de aproximación es para reemplazar el problema original por otro problema que es más fácil de resolver y del cual la solución es en algún sentido cerca a la solución del problema original.

49

Como un simple ejemplo considere la ecuación:

𝐴𝑈 =𝑑2𝑈

𝑑𝑥2− 𝑞 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 𝐿 (3,5)

Con, 𝑈 0 = 𝑈 𝐿 = 0

En la aproximación de diferencias finitas, en vez de tratar de encontrar una función continua y suave U(x) la cual satisface (3.5), tratamos solo valores aproximados de la solución denotados por u sobre un set finito de distintos puntos x1, x2,…, xn dentro del intervalo (0, L). Los puntos x son llamados puntos de cuadricula (también puntos de malla o puntos de red). La ecuación diferencial es reemplazada por un juego de ecuaciones algebraicas relacionando valores ui en xi fara todos los puntos. Estas ecuaciones son llamadas ―ecuaciones de diferencias finitas‖ y el problema diferencial es entonces reducido a un problema algebraico. Si podemos mostrar que el problema discreto es cercano al problema original, entonces los valores ui se aproximaran a la verdadera solución Ui = U(xi) en la posición xi. El proceso de obtener ecuaciones de diferencias finitas que aproximen una ecuación deferencial dada es llamado ―discretización‖. Tres tipos de preguntas pueden ser respondidas en esta etapa:

a) ¿Cómo puede una ecuación diferencial dada ser discretizada? b) ¿Cómo podemos determinar que la solución de diferencias finitas ui es cercana a Ui en algún sentido, y cuál

es la magnitud de la diferencia? c) ¿Cuál es el mejor método de resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultante?

Las primeras dos preguntas son discutidas en este capítulo. La tercera pregunta es extremadamente importante desde el punto de vista práctico, y envuelve dos pasos. Primero, cuando las ecuaciones de diferencias finitas no son lineales, deben ser linealizadas. Esta pregunta será considerada en la sección 3.7. El segundo paso involucra la solución de la matriz resultante, y este importante problema será considerado en el siguiente capítulo. 3.2.1 Discretización en el Espacio. Consideremos la ecuación 3.5 con condiciones de limites U(0)=U(L)=0. Básicamente, hay tres métodos disponibles para la discretización de algún operador dado: el método de la serie de Taylor, el método integral y el método variacionales (Forsythe and Wasow, 1960; Varga, 1962). Estos corresponden a las formulaciones deferencial, integral y variacional de la ecuación de conservación (ec 3.5). El problema a resolver es:

𝐴𝑈 = 0

En vez de esto resolvemos

𝐿𝑢 = 0

Donde L es un operador de diferencia finita, aproximando el operador diferencial A. generalmente nosotros escribimos

𝐴𝑈𝑖 = 𝐿𝑈𝑖 + 𝑅𝑖 3,6 Donde LUi es obtenido por aproximar las derivadas en el operador diferencial A y Ri es el término de residuo usualmente referido como error de truncamiento o error de discretización local. Esto será discutido luego en más detalle. 3.2.1.1 Método de las Series de Taylor. Consideremos una cuadricula uniforme, con puntos grid en

𝑥0, 𝑥1 , … , 𝑥𝑁+1

Con x0=0, xn+1=L y el espacio de la cuadricula h definido por

𝑕 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 =𝐿

(𝑁 + 1)

Ahora extendamos Ui+1 y Ui-1 dentro de las series de Taylor sobre Ui:

𝑈𝑖+1 = 𝑈𝑖 + 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2+ 𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕4

24+ 𝑈𝑖

𝑉 𝑕5

120+ 𝑈𝑖

𝑉 𝑕6

720+ ⋯ (3,7)

50

𝑈𝑖−1 = 𝑈𝑖 − 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2 –𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕4

24− 𝑈𝑖

𝑉 𝑕5

120+ 𝑈𝑖

𝑉 𝑕6

720− ⋯ (3,8)

Usando las dos expansiones de arriba podemos derivar algunas aproximaciones diferenciales para U‘ i y una para U‘‘i. Resolviendo la ec 3.7 para U‘i tenemos:

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 𝑈𝑖

𝑕+ 𝑅𝑖

𝑓 (3,9)

Donde

𝑅𝑖𝑓

= −𝑈𝑖′′ 𝑕

2− 𝑈𝑖

′′′ 𝑕2

6− (3,10)

En la ecuación 3.9 el termino (Ui+1 – Ui)/h es la aproximación diferencial adelantada para la derivada U‘i. Esto es obtenido por asumir que Ri es pequeña. Similarmente, organizando la ec 3.8 obtenemos

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖 − 𝑈𝑖−1

𝑕+ 𝑅𝑖

𝑏 (3,11)

Donde

𝑅𝑖𝑏 = 𝑈𝑖

′′𝑕

2− 𝑈𝑖

′′′𝑕2

6+ ⋯ (3,12)

En la ecuación 3.11 el termino (Ui – Ui-1)/h es la aproximación diferencial atrasada para la derivada U‘i y R

bi es el error

de discretización local para el termino de la aproximación diferencial atrasada. La aproximación de diferencia central de U‘i es obtenida por sustraer la ec 3.8 de la ec 3.7 y reorganizando:

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 𝑈𝑖−1

2𝑕+ 𝑅𝑖

𝑐 (3,13)

Donde

𝑅𝑖𝑐 = − 𝑈𝑖

′′′ 𝑕

6− 𝑈𝑖

𝑉 𝑕4

120− ⋯ (3,14)

Aquí (Ui+1 – Ui-1)/2h proporciona una aproximación para U‘i. Hasta ahora solo la primera derivada ha sido considerada. Una aproximación para la segunda derivada es desarrollada por sumar la ec 3.8 y la ec 3.7 y reorganizando:

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖−1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖+1

𝑕2+ 𝑅𝑖

2 (3,15)

Donde

𝑅𝑖2 = − 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕2

12− 𝑈𝑖

𝑉𝐼 𝑕4

360− ⋯ (3,16)

En la ec 3.15 el termino

1

𝑕2 𝛥2𝑈𝑖 =𝑈𝑖−1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖+1

𝑕2 (3,17)

Es la aproximación de la diferencia central para U‘‘i y Ri

2 es el termino de residuo correspondiente. La ecuación (3.17)

define el operador lineal D2 Como un ejemplo, considere el operador diferencial, A, definido por la ec. 3.5. Usando la aproximación de diferencia central de la derivada, tenemos

𝑎𝑈𝑖 =𝑈𝑖−1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖+1

𝑕2 − 𝑞𝑖 + 𝑅𝑖2 (3,18)

51

Donde qi = q(xi). Comparando la expresión de arriba con la ec 3.6 vemos que

𝐿𝑢𝑖 =1

𝑕2𝛥2𝑈𝑖 − 𝑞𝑖 (3,19)

Generalmente no es posible para nosotros obtener la solución exacta, en vez de esto resolvemos el problema

𝐿𝑢𝑖 =1

𝑕2 𝛥2𝑈𝑖 − 𝑞𝑖 = 0 (3,20)

Donde ui es una aproximación de diferencias finitas para Ui y la ec 3.20 es una aproximación de diferencias finitas para la ec 3.5.La otra aproximación de diferencias finitas derivada aquí será utilizada luego en problemas más generales. Una aproximación la cual es equivalente al tratamiento anterior es dado por la teoría de interpolación por polinomios (ej. Carnahan et al 1969; kelley, 1968). Ya que la formula diferencial para U(p) es la derivada de un polinomio el cual interpola U en un juego de puntos dados, esto sigue inmediatamente que:

a) Un operador diferencial para U(P)

debe involucrar al menos P+1 valores diferentes de Ui b) La aproximación para U

(p) es exacta si la función U es un polinomio de grado q<p

Esta aproximación es conveniente para la derivación de aproximaciones de mayor orden. (Ver ejercicio 3.1 al final de este capítulo). 3.2.1.2 Método Integral. El método integral es cercano al significado físico de la ecuación. Note que la ec 3.17 podría ser derivada por primero escribir U‘‘ = (U‘)‘ y aproximando esto como

𝑈′ ′ ≃

𝑈𝑖+

12

′ − 𝑈𝑖−

12

′

𝑕

Entonces aproximando U‘ como

𝑈𝑖+

12

′ ≃ (𝑈𝑖+1 − 𝑈𝑖)/𝑕 𝑈𝑖−

12

′ ≃ (𝑈𝑖 − 𝑈𝑖−1)/𝑕

Este procedimiento es, de hecho, la derivación de la ecuación de diferencias finitas por el método integral. Esto – en contraste con el método de las series de Taylor – requiere el concepto adicional de un bloque (o región de malla), la cual es la región rodeada por los límites entre el punto dado y su vecindad. En una dimensión, nosotros reemplazamos eje-x por una barra de sección constante A y el bloque para el punto de cuadricula es definido por los limites

Figura 3.1. Discretización unidimensional en bloques.

Ya que la ecuación 3.5 expresa conservación de masa, como discutimos en detalle en el capítulo 2, esto puede ser escrito en forma integral como

𝐴 𝜕2𝑈

𝜕𝑥2

𝑥𝑖+12

𝑥𝑖−12

𝑑𝑥 − 𝑞𝑥𝑖+

12

𝑥𝑖−12

𝑑𝑥 =

52

𝐴 𝜕𝑈

𝜕𝑥 −

𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑖+1/2 𝑖−1/2

− 𝐴 𝑞𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

𝑑𝑥 = 0 (3,21)

Donde la integración ha sido llevada a cabo sobre el volumen de bloque y la integral convertida usando el teorema de Green‘s. La ecuación 3.21 expresa conservación de masa para el bloque i, porque

𝐴 𝜕𝑦

𝜕𝑥 𝑖+1/2

Son tasas de flujo interbloque y

𝐴 𝑞𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

𝑑𝑥

Es la tasa de fuente total por bloque i. ahora podemos discretizar la ec 3.21 con el uso de diferencias centrales para los términos dU/dx :

𝐴 𝜕𝑈

𝜕𝑥 −

𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑖+1/2 𝑖−1/2 − 𝐴 𝑞𝑑𝑥

≃𝐴 𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑕− 𝐴𝑞𝑖𝑕 = 0 (3,22)

Donde qi aproxima el valor de q en el bloque i. Dividiendo la ec 3.22 por el volumen de el bloque V = Ah dando como resultado la ec 3.20 de nuevo. Note que el método integral da ecuaciones que son expresadas en unidades de masa/tiempo, mientras que el método de Taylor da ecuaciones de masa/ (volumen*tiempo). En aplicaciones prácticas, la primera forma, la ec 3.22 es preferible porque da matrices simétricas y es apropiada por los cálculos de balances de materia. Estos aspectos son discutidos en la sección 3.7. 3.2.1.3 Método Variacional. Finalmente tocaremos de forma abreviada el uso del método variacional. El punto inicial aquí es la formulación variacional de la ecuación de conservación. Como se discute en largas referencias de los métodos variacionales (Mikhlin, 1964; Courant y Hilbert, 1953; Hildebrand, 1965; Schechter, 1967) la solución de U de la ec 3.5 minimiza la integral

𝐼 = 1

2 𝜕𝑉

𝜕𝑥

2

− 𝑞𝑉 𝑑𝑥𝐿

0

(3,23)

Entre todas las funciones V que son suficientemente suaves y satisfacen las condiciones limites. En esta etapa podemos escoger la aproximación directa de la función L, como muestra Varga (1962). La segunda posibilidad es construir una clase de función v (usualmente polinomial), la cual aproxima la función V y entonces resuelve el problema de minimización solo para funciones de esta clase. Por ejemplo asumamos que todas las funciones aproximadas v tienen la forma:

𝑣 𝑥 = 𝑐𝑖𝑆𝑖(𝑥)

𝑖=𝑁

𝐼=1

(3,24)

Donde Si(x) es la también llamada función ―Chapeau‖ mostrada en la figura 3.2. Las funciones Si son llamadas funciones base y cada Si diferente de cero solo en el intervalo (xi-1, xi+1), llamados el so porte de Si. Es fácilmente visto que la clase de funciones definidas por la ec 3.24 consistentes de todas las funciones v, que son continuas y pieza clave lineal entre los puntos xi. Las funciones v satisfacen v(0) = v(L) = 0 y los valores de v en xi son iguales a ci. Sustitución de la ecuación 3.24 en la ecuación 3.23 da una forma cuadrática en ci la cual controla un mínimo para ciertos valores de vi = ci. El proceso de minimización (bosquejado en ejercicio 3.2) conduce a un juego de ecuaciones algebraicas para vi, idénticos con la ec 3.20.

53

Figura 3.2. Función de Chapeau

De hecho podemos escoger diferentes funciones base que generarán diferentes ecuaciones. Esta aproximación en su más extenso sentido abarca todos los métodos de tipo variacional (Ritz, Galerkin, elementos finitos, peso residual y otros métodos). Por esta razón, y también porque en esta aproximación trabajamos con funciones continuas más que con valores discretos, las ecuaciones algebraicas generadas por estos métodos no son referidas como ecuaciones de diferencias finitas. 3.2.1.4 Problema Discretizado.

Todos los métodos de discretización llenan un juego de ecuaciones algebraicas para el problema de valores limites (ec 3.5):

𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑕2 = 𝑞𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁

𝑢0 = 𝑢𝑁+1 = 0 (3,25)

Estas ecuaciones pueden ser escritas en forma de matriz como

1

𝑕2𝑬𝒖 = −𝒒 (3,26)

Donde E es una matriz trigonal simétrica

𝑬 =

2 − 1 −1 2 − 1 −1 2 − 1

. . . . . .

−1 2

(3,27)

Y los vectores u y q son definidos como

𝒖 =

𝑢1

⋮𝑢𝑖

⋮𝑢𝑁

𝒒 =

𝑞1

⋮𝑞𝑖

⋮𝑞𝑁

Los métodos para la solución de la ec. (3.26) son considerados en el siguiente capítulo. 3.2.2 Discretización en el Tiempo.

Considere la ecuación parabólica (ec. (3.2))

𝑑2𝑈

𝑑𝑥2 =𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑞 (3.28)

Con la condición inicial U(x,0) = U

o(x)= f(x). Ya hemos discutido la discretización en el lado derecho en términos de

valores de malla ui. Para un problema dependiente del tiempo, estos valores son función del tiempo, ui = ui (t).

54

Entonces por cada punto xi en la malla, el lado derecho de la ecuación (3.26) puede ser reemplazado por dui/dt + qi y

obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑕2 =𝑑𝑢𝑖

𝑑𝑡+ 𝑞𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 (3,29)

Con la condición inicial ui(0) = U

o(xi).

La ecuación 3.29 es discretizada en el espacio, pero continua en el tiempo; por esta razón este proceso es llamado semi-discretización (Varga, 1962). La forma usual de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) (3.29) es discretizar las derivadas del tiempo también. Un acercamiento es aplicar los métodos desarrollados pro ODEs, como discutimos en la sección 3.3.3. Sin embargo, porque el número de ecuaciones simultáneas es usualmente grande, métodos numéricos especiales para ecuaciones parabólicas han sido desarrollados independientes de los métodos numéricos para ODEs. Discreticemos la coordenada tiempo en intervalos Δt, y busquemos soluciones numéricas solo en niveles discretos

t0=0, t1=Δt,…, tn=nΔt,… entonces cada función ui(t) es aproximada por valores 𝑢𝑖𝑛 , n=1,2…. La derivada dui/dt es

entonces expresada en términos de 𝑢𝑖𝑛 .

El método más simple es obtenido cuando dui/dt es aproximado por la diferencia adelantada:

𝑑𝑢𝑖

𝑑𝑡 𝑛

≃ 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 /𝛥

Sustituyendo esto en la ecuación 3.29 con el lado izquierdo escrito en el nivel n, resulta el clásico método explicito:

𝛼𝛥2𝑢𝑖𝑛𝛼 𝑈𝑖−1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖+1

𝑛 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 = + 𝑞𝑖 𝛥𝑡

= 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 𝑛 = 0,1 … (3,30)

Donde α=Δt / h

2

Ya que el primer paso (n=0) todos 𝑢𝑖0= U

o (xi) son conocidos, el único termino desconocido en la ecuación i es 𝑢𝑖

𝑛+1.

Las ecuaciones pueden se resueltas explícitamente punto por punto; así pues el nombre ―método explicito‖ Otra opción es usar la diferencia atrasada para aproximar la derivada del tiempo

𝑑𝑢𝑖

𝑑𝑡 𝑛

≃ 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 /𝛥𝑡

Y escribir el lado izquierdo en el nivel n+1:

𝛼𝛥2𝑢𝑖𝑛𝛼 𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑛+1 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 = + 𝑞𝑖 𝛥𝑡

= 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 𝑛 = 0,1 … (3,31)

Todos los términos 𝑢𝑖𝑛+1 son desconocidos, entonces las N ecuaciones para un nivel de tiempo dado n deben ser

resueltos simultáneamente. Consecuentemente, la ec (3.31) es llamada el método implícito (clásico). En notación matricial esto puede ser escrito como

𝛼𝑬 + 𝑰 𝒖𝒏+𝟏 = 𝒖𝒏 − ∆𝒕𝒒 𝑛 = 0, 1, 2, … (3,32) Donde E es la matriz definida por la ecuación (3.27) e I es la matriz identidad. Otros métodos serán discutidos luego en este capítulo. Debería ser mencionado que una teoría unificada por discretización de tiempo es dada por la teoría de la aproximación de Pade‘ (Varga, 1962). 3.2.3 Discretización de Errores En el desarrollo de aproximaciones de diferencias finitas a varias derivadas, el término de residuo era insignificante, esto es importante para considerar en esta etapa, la influencia de estas aproximaciones y preguntar:

1. ¿Provee la solución 𝑢𝑖𝑛 una aproximación razonable para 𝑈𝑖

𝑛?

2. ¿Cuál es el comportamiento de los errores de discretización cuando los tamaños de malla son refinados?

55

Estas preguntas son consideradas luego. 3.2.3.1 Orden Local de Aproximaciones y Consistencia.

Tomemos como un ejemplo la expresión (3.9) para la aproximación de U’ el residuo 𝑅𝑖𝑓, dado por la ec (3.10) es

llamado el error de truncamiento o el error de discretización local de la aproximación de U’i por (Ui+1 – Ui)/h. para

evaluar la magnitud de 𝑅𝑖𝑓, necesitamos las derivadas de U más altas, las cuales son usualmente desconocidas. Sin

embargo, alguna información cualitativa sobre el comportamiento de 𝑅𝑖𝑓 para h—0 puede ser obtenida. Para hacer

esto, necesitamos introducir la ―notación asintótica‖: una función f (h) es de orden p, si hay una constante K tal que para toda h<h0, |f (h) |≤ Kh

p. Podemos escribir esto como

𝑓 𝑕 = 0 𝑕𝑝

En otras palabras, f (h) tiende a cero al menos tan rápido como la 𝑕𝑝 (El caso más común es cuando p es un integral

positivo) De otra forma, la notación

𝑓 𝑕 = 𝑜 𝑕𝑝 Significa que f (h) / h

p → 0 como h→0, esto es f (h) tiende a cero más rápido de h

p. (Para una explicación más

detallada, ver el texto de Ames, 1969) Aplicando esta notación a

𝑅𝑖𝑓

= −𝑈𝑖′′

𝑕

2− 𝑈𝑖

′′′𝑕2

6− ⋯

Vemos que para h→0 el primer termino será eventualmente dominado y entonces

𝑙𝑖𝑚𝑕→0

𝑅𝑖𝑓

= 𝑙𝑖𝑚𝑕→0

−𝑈𝑖′′ 𝑕

2

La cual implica

𝑅𝑓 = 𝑂 𝑕 (3,33) También, ya que Ui‘‘ no es una función de hm R

f ≠ O(h

p) para alguna p>1. Los valores p más altos para los cuales

R=O (hp) es llamado el orden de el error R (y la aproximación asociada con R). Entonces la formula de diferencia

adelantada 3.9 es una aproximación de primer orden para U‘ y podemos escribir


𝑕+ 𝑂 𝑕 (3,34)

Similarmente encontramos


𝑕+ 𝑂 𝑕 (3,35)

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 𝑈𝑖−1

2𝑕+ 𝑂 𝑕2 (3,36)

𝑈′′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑕2 + 𝑂 𝑕2 (3,37)

El termino de error en cada una de las anteriores expresiones puede ser hecho arbitrariamente pequeño escogiendo un valor suficientemente pequeño de h. Tales aproximaciones son llamadas consistentes. Más precisamente al operador de diferencia L se dice que es una aproximación consistente para el operador diferencial consistente A en el punto xi, si el error de truncamiento, Ri, satisface

𝑅𝑖 ≡ 𝐴𝑈𝑖 − 𝐿𝑈𝑖 → 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑕 → 0 (3,38)

Ya que la definición anterior aplica al punto xi solamente, una definición más general es más provechosa de un punto de vista práctico. DEFINICIÓN: Un operador de diferencia L es consistente con el operador diferencial A, si ||R||→0 como h→0 donde

||R|| es alguna norma de vector R conteniendo elementos Ri (ver apéndice A).

56

La anterior definición ha sido usada, entre otros, por Richtmyer y Morton (1967) y Blum (1972). Si solamente ordenes de aproximación integral son considerados, la anterior definición es equivalente a decir que

L es consistente si Ri = O(hp) con p ≥ 1

Y

L es consistente si Ri = O (h0)

Note que la consistencia es una propiedad del operador de diferencia y no de la solución. 3.2.3.2 Convergencia Dejemos ei ser el error en la solución aproximada en i,

ei = Ui – ui (3.39)

Este es llamado el error de la solución o el error de discretización global. DEFINICIÓN: Un operador de diferencia L es convergente al operador diferencial A, si ||e||→0 como h→0. Los errores ei son más importantes que Ri desde un punto de vista práctico. Para mostrar su conexión evaluemos

LUi — Lui Para el problema del valor del límite elíptico de la ec 3.5. Por virtud de la definición 3.6

𝐿𝑈𝑖 = −𝑅𝑖 (3.40) Ya que AUi = 0. Ahora el operador de diferencia finita para este problema es definido por

𝐿𝑢𝑖 ≡1

𝑕2 ∆2𝑢𝑖 − 𝑞𝑖 = 0 (3,41)

Sustrayendo la ecuación 3.41 de la ecuación 3.40 y usando la definición 3.39 tenemos:

𝐿𝑈𝑖 − 𝐿𝑢𝑖 = −𝑅𝑖

=1

𝑕2 ∆2𝑈𝑖 −1

𝑕2 ∆2𝑢𝑖 − 𝑞 𝑥𝑖 + 𝑞𝑖

=1

𝑕2 ∆2𝑒𝑖

O

1

𝑕2 ∆2𝑒𝑖 + 𝑅𝑖 = 0 (3,42)

En la derivación de la ecuación (3.42) hemos utilizado el hecho que ∆

2 es un operador lineal. La ecuación (3.42)

ilustra la importante relación entre los errores locales y los errores de solución: Los errores de las solución ei satisfacen la ecuación diferencial para ui con la fuente qi reemplazada por el error local, - Ri.

Para el ejemplo considerado anteriormente esto es fácil ver que

||e|| → 0 como ||R||→0

Y consistentemente implica convergencia. Además, si ||R|| = O (hp), entonces la solución de la ecuación (3.42) ira

también a cero como O (hp). Un ejemplo de este bosquejo está en el ejercicio 3.3. Este resultado no es válido en

general, ya que el orden de convergencia de él también depende de la aproximación de las condiciones del límite. Complicaciones adicionales también vienen cuando consideramos problemas dependientes del tiempo. Convergencia del método explicito. Consideremos ahora el problema parabólico (ec (3.28))

𝐴𝑈 =𝑑2𝑈

𝑑𝑥2 −𝑑𝑈

𝑑𝑡− 𝑞 = 0

La aproximación diferencial adelantada para este problema es dada por la ecuación (3.30)

57

𝛥𝑡𝐿𝑢𝑖 = 𝛼𝛥2𝑢𝑖𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 − 𝑞𝑖 𝛥𝑡 = 0

𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 𝑛 = 0, 1, 2, … (3,43)

Ya que

𝑅𝑖 = 𝐴𝑈_𝑖^𝑛 − 〖𝐿𝑈〗_𝑖^𝑛 = 𝑂(𝑕^2 )+)𝑂(∆𝑡) L es una aproximación consistente. Como descubrimos por la ec (3.41), encontramos que los errores e

ni satisfacen:

𝛼𝛥2𝑒𝑖𝑛 − 𝑒𝑖

𝑛+1 − 𝑒𝑖𝑛 = − 𝛥𝑡𝑅𝑖 (3,44)

Entonces el error ei

n+1 generado por errores ei

n en los niveles previos y por Ri

n es

𝑒𝑖𝑛+1 = 𝛼𝑒𝑖+1

𝑛 + 1 − 2𝛼 𝑒𝑖𝑛 + 𝛼𝑒𝑖−1

𝑛 + 𝛥𝑡𝑅𝑖 (3,45) Podemos estimar el crecimiento de errores introducido en t=0. Denotado

𝐸𝑛 = 𝑚𝑎𝑥𝑖 𝑒𝑖𝑛

y 𝑀 = 𝑚𝑎𝑥𝑖 ,𝑛 𝑅𝑖

𝑛

Por la aplicación de desigualdad triangular a la ec 3.45 esto sigue que

𝐸𝑛+1 ≤ 2𝛼𝐸𝑛 + 1 − 2𝛼 𝐸𝑛 + ∆𝑡𝑀 (3,46)

Nos permite primero considerar el caso cuando α ≤ ½. Ya que (1 – 2 α) es positivo, eq 3.46 se reduce a

𝐸𝑛+1 ≤ 𝐸𝑛 + +∆𝑡𝑀

La aplicación sucesiva de la anterior relación produce

𝐸𝑛+1 ≤ 𝐸0 + 𝑛∆𝑡𝑀 = 𝐸0 + 𝑡𝑛𝑀 3,47 Donde E0 es el máximo error de truncamiento debido a la aproximación de las condiciones iniciales. Hay dos conclusiones importantes que podemos sacar de la ecuación (3.47)

1. Si E0 = 0, entonces En → 0 como grados de tiempo y el espaciamiento de la malla van a cero. Esto provee la convergencia de el método explicito para α ≤ ½.

2. Si E0 ≠ 0 entonces ya que M es definido, el error en algún paso, n, es definido. Volveremos atrás en este

punto cuando discutamos la estabilidad de esquemas de diferencias finitas. Hasta ahora solo hemos considerado el caso cuando α ≤ ½. Ahora consideremos el caso de α ≥ ½. Ahora la ecuación (3.46) da

𝐸𝑛+1 ≤ (4𝛼 − 1)𝐸𝑛 + ∆𝑡𝑀 = 𝛽𝐸𝑛 + ∆𝑡𝑀 3,48

Donde β = 4α-1 > 1. Por aplicación sucesiva de la relación anterior obtenemos

𝐸𝑛 ≤ 𝛽𝑛𝐸0 + ∆𝑡𝑀 𝛽𝑖

𝑛−1

𝑖=0

3,49

De nuevo hay 2 puntos importantes a tener en cuenta en la ecuación (3.49): 1. Si E0 = 0, el segundo termino de la ec (3.49) puede no ir a cero como el periodo de tiempo y espaciamiento de

malla van a cero. Esto muestra que nosotros podríamos no conseguir convergencia para este problema.

2. Si E0 ≠ 0, entonces es claro que errores iniciales pueden – y en la práctica lo hacen – amplificar

exponencialmente con el numero de pasos de tiempo. Este punto es considerado con más detalle con la discusión de estabilidad.

58

Aquí tenemos un ejemplo de un esquema que es consistente pero solo Condicionalmente Convergente. Convergencia Del Método Implícito. Un análisis, similar a él dado para el método explicito, muestra que la aproximación diferencial atrasada de 𝜕𝑈/𝜕𝑡 en eq (3.31) resulta en un método para el cual

𝒆 → 0 𝑎𝑠 ∆𝑡, 𝑕 → 0

Independientemente de el valor de α. Esto será mostrado a través del análisis de estabilidad en los ejercicios 3.5 y 3.5 3.2.3.3 Estabilidad El concepto de estabilidad es importante para problemas dependientes del tiempo. EL siguiente párrafo provee una definición general para estabilidad. DEFINICIÓN: Un algoritmo numérico es considerado estable si algunos errores son introducidos en alguna etapa de

computación no amplificando durante las subsecuentes computaciones. En un sentido más general, estabilidad significa que la solución maquina-computada depende continuamente de las condiciones iniciales y limites. Algunas definiciones existen en la literatura; estas son discutidas por Richtmyer y Morton (1967) y Forsythe y Wasow (1960). Para la ecuación elíptica, la aproximación siempre será estable si es consistente (incluyendo la aproximación de las condiciones limites) y si el método usado para resolver la matriz de ecuaciones es estable por si mismo contra errores de redondeo. La situación es diferente para ecuaciones parabólicas, las cuales son aproximadas en una secuencia de pasos de tiempo. Algún error εi

n introducido sobre algún nivel de tiempo n se propagará en el tiempo y afectara todas las

soluciones en todos los niveles de tiempo siguiente m > n. esto es verdad no solamente en errores de redondeo, sino también en errores de desratización; entonces, la estabilidad es siempre necesaria si soluciones significantes están por ser alcanzadas. Dos clases de errores pueden ser amplificados si el esquema numérico es inestable: 1. Errores de redondeo: cuando las ecuaciones de diferencias finitas son resueltas en computadores de memoria

finita, los valores computados, denotados por ui*, serán diferentes de ui. la diferencia ui

*- ui, llamada partida, es

causada por errores de redondeo y depende de la memoria de la maquina y la organización de computación.

2. Errores de discretización: cuando, por ejemplo, las condiciones iníciales de el problema deben ser aproximadas por los propósitos de solución numérica, algunos errores son introducidos y E0 ≠ 0. Durante la discusión de convergencia fue mostrado que el efecto de no cero E0 aumenta con el tiempo si un esquema numérico

consistente, no converge. Aunque no fue afirmado explícitamente antes, un esquema numérico para el cual el error iniciado E0 aumenta con el tiempo es llamado inestable.

Es claro de la discusión anterior que estabilidad y convergencia son propiedades relacionadas. Este resultado contenido en el teorema equivalente de Lax: Para una aproximación consistente, estabilidad es una condición necesaria y suficiente para convergencia. (Richtmyer y Morton, 1967).

Este teorema es de gran valor práctico porque hay algunos métodos relativamente simples para la investigación de la estabilidad, mientras la prueba directa de convergencia es usualmente bastante difícil para problemas prácticos. Sin embargo, el teorema es válido solo para problemas ‗presentados propiamente‘ (Richtmyer y Morton, 1967). Algunos problemas no lineales pueden no satisfacer esta condición, y la convergencia en tales casos no es garantizado por la estabilidad. Un ejemplo de esta situación es dado en el capítulo 5 sección 5.5.1, donde una aproximación consistente y estable a la ecuación hiperbólica no converge a la solución verdadera. Esto debería se claro por ahora que es bastante fácil ver si un esquema es consistente. Los dos métodos para la investigación de estabilidad son discutidos luego.

59

Métodos de las Series de Fourier. La solución de un problema de valor inicial puede ser normalmente escrita en la

forma de las series de Fourier (Richtmyer y Morton, 1967). Similarmente, la solución de la ecuación deferencial puede ser escrito en términos de series de Fourier discretas:

𝑢𝑖𝑛 = 𝐴𝑚

𝑚

𝑢𝑖𝑛(𝑚 )

𝑚 = 1, 2, … , 𝑁 3,50

Donde

𝑢𝑖𝑛(𝑚)

= Ϛ𝑚𝑛 𝑒 −1 𝑖𝑕𝑚 3,51

Y los coeficientes Am son determinados por las condiciones limites e iníciales. El crecimiento del mth componente ui

n(m) es determinado por Ϛm el cual es llamado el factor de amplificación. La ecuación diferencial será estable si

Ϛ𝑚 < 1 3,52

El factor de amplificación es obtenido por sustitución de la solución de prueba de la ec (3.51) en la ecuación diferencial y resolviendo para Ϛm.. Por ejemplo, para el método explicito (3.43), obtenemos después de manipulación bosquejada en el ejercicio 3.4

Ϛ𝑚 = 1 − 4𝛼 sin 𝑚𝑕

2 3,53

El requerimiento que | Ϛm| < 1 para alguna m dirige de nuevo la condición α < ½. Métodos de matriz. Ya que el método de Fourier considera solo una solución particular, ese no toma en cuenta las condiciones limites. En contraste a esto, el método de matriz maneja la solución completa incluyendo las condiciones límites. Cada formula de dos niveles de diferencia puede ser escrito en forma de matriz como

𝑢𝑛+1 = 𝐵𝑢𝑛 + 𝑘 𝑛 = 0, 1, 2, … 3,54 (Esto es, para el método explicito (3.30), B = (I-αE), por el método implícito (3.32), B = (αE + I)

-1). Introduzcamos

errores en el vector inicial u0, tal que el vector inicial perturbado es u

*,0 = u

0 + ε

0, y asumimos que el resto de los

cálculos son llevados a cabo sin errores. Entonces la solución en el nivel de tiempo n será u*,n

= un

+ εn. Sustituyendo

en 3.54 da εn+1

= Bεn y reducción sucesiva de los niveles de tiempo da

휀𝑛 = 𝐵 𝑛휀𝑜 3,55

En el orden que la ecuación sea estable, || ε

n || debe ser delimitado. Una condición suficiente para esto es que ||B|| <

1 matriz normal consistente con el vector normal de ε. Usando las propiedades de normas consistentes discutidas en el apéndice A tenemos

휀𝑛 = 𝐵𝑛휀0 ≤ 𝐵𝑛 휀0 = 𝐵 𝑛 휀0 휀𝑛 → 0 𝑎𝑠 𝑛 → ∞ 𝑖𝑓 𝐵 < 1

En particular, si escogemos la norma euclidiana de ε la norma correspondiente de B es la norma espectral (ver apéndice A). Si B es simétrica (el cual es frecuentemente el caso), su norma espectral es igual a su radio espectral:

𝐵 = 𝜌 𝐵 = 𝑚𝑎𝑥𝑖 𝜆𝑖 Donde λi son las raíces características de B. esto conduce al siguiente resultado:

Para un B simétrico el esquema diferencial es estable si

𝜆𝑚𝑎𝑥 < 1 (3,56)

Donde λmax es la raíz más grande de B Resultados más generales son encontrados en Varga (1962), Faddeev y Faddeeva (1963), y Richtmyer y Morton (1967) (ver apéndice A). En general nosotros tenemos el siguiente resultado:

Para que un esquema diferencial sea estable es necesario y suficiente que todas las raíces de B sean menores que la unidad en módulos. Además una condición suficiente para estabilidad es que ninguna norma de B sea menor que la unidad.

En casos simples de la ec (3.30) o (3.32), las raíces pueden ser obtenidas explícitamente y ellas son precisamente los factores de amplificación Ϛm del método de Fourier (ejercicio 3.5).

60

3.3 OTROS MÉTODOS SELECCIONADOS

Dos métodos básicos para obtener una solución aproximada de la ec 3.25 han sido discutidos en la última sección. La literatura está llena de otros métodos; sin embargo no es práctico presentar una completa discusión de todos los métodos disponibles en este libro. Sin embargo una breve discusión de algunos métodos seleccionados es presentada. 3.3.1 Otros Métodos Explícitos

Un ejemplo de un método explicito ya ha sido dado por la ec 3.30. Tales métodos son atractivos porque ellos no requieren solución de sistemas de ecuaciones. Sin embargo, ellos son solo condicionalmente estables dependiendo de la relación de malla α = ∆t/h

2. Aquí consideraremos algunos de los otros métodos explícitos reportados en la

literatura. Uno de los primeros métodos es debido a Richardson (1910):

2𝛼𝛥2𝑢𝑖𝑛 = 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛−1 (3,57)

Aunque el método es de O (∆t

2) exactitud, es inestable para todos los valores de α.

DuFort y Frankel (1953) modificaron la ec (3.57) por reemplazar el término 2uin en el lado izquierdo por ui

n+1 + ui

n-1, el

cual da:

2𝛼 𝑢𝑖−1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛−1 + 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛+1 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛−1 3,58

Esto hace el método incondicionalmente estable. Sin embargo, ya que las derivadas del espacio evaluadas con los valores de u en tres diferentes niveles de tiempo, esta aproximación no siempre es consistente (ejercicio 3.6). Ambas ecuaciones (3.57) y (3.58) son ecuaciones de tercer nivel (envolviendo valores de u en t

n-1, t

n y t

n+1). En orden de

iniciar la solución, ellas requieren valores de los dos primeros niveles. Mientras u0 es la condición inicial, u

1 debe ser

generada por algún otro método. Esto complica programar y puede afectar también la exactitud. Métodos explícitos incondicionalmente estables que no requieren valores de inicio adicional han sido introducidos por Saul‘jev (1964) y luego con suaves modificaciones por Larkin (1964) y Barakat y Clark (1966). El método de Saul‘jev consiste de dos ecuaciones alternativamente a un singular paso de tiempo:

2𝛼 𝑢𝑖−1𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛+1 + 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 𝑛 = 0, 2, 4, … (3,59𝑎)


𝑛 + 𝑢𝑖+1𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛+1 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 𝑛 = 1, 3, 5, … (3,59𝑏)

Estas ecuaciones pueden ser resueltas explícitamente si la ec. (3.59ª) es resuelta en orden de incrementar i, y la ec (3.59b) en orden de disminuir i. El método es incondicionalmente estable, pero consistente solo si α→0 como ∆t→0

(como el método de DuFort y Frankel). Sin el cambio de dirección de barrido, el método de Saul‘jev sufriría de acumulación de error en el final de la línea. Entonces, además un mejoramiento es esperado en dos barridos en dirección opuesta son llevados a cabo en cada paso de tiempo y promediados:

𝛼 𝑣𝑖−1 − 𝑣𝑖 + 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛 = 𝑣𝑖 − 𝑢𝑖𝑛 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑁 (3,60𝑎)

𝛼 𝑢𝑖−1

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛 + 𝑤𝑖+1 − 𝑤𝑖 = 𝑤𝑖 − 𝑢𝑖

𝑛 𝑖 = 𝑁, 𝑁 − 1, … , 𝐼 (3,60𝑏)

𝑢𝑖𝑛+1 =

1

2 𝑣𝑖 − 𝑤𝑖 (3,60𝑐)

Esta modificación es debido a Larkin (1964) y Barakat y Clark (1966). Otra clase de métodos explícitos, llamado ‗métodos hopscotch ‗ por Gourlay (1970) Y Gourlsy y McGuire (1971), es también basado en una idea propuesta por Saul‘jev (1964). En su forma más simple, el algoritmo hopscotch es usado primero calculando valores de ui

n+1 para todos los i singulares por el método explicito (3.30), y entonces la

solución es llenada por los valores de i por un método implícito

61

𝛼 𝑢𝑖−1𝑛 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑛𝑖+1 = 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 𝑖 = 1, 3,5, … (3,61𝑎)

𝛼 𝑢𝑖−1𝑛+1 − 2𝑢𝑖

𝑛+1 + 𝑢𝑛+1𝑖+1 = 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 𝑖 = 2, 4,6, … (3,61𝑏)

Luego (3.61ª) es llevado a cabo, ui-1

n+1 y ui+1

n+1 en la segunda ecuación son conocidos y la ec (3.61b) también se

convierte en calculo explicito. El método es incondicionalmente estable y O (∆x2 +∆t

2). En un escenario más general,

el método hopscotch ha mostrado ser una perturbación del método Crank-Nuciksib que será discutido luego. 3.3.2 Otros Métodos Implícitos. El método implícito clásico, dado por la ec (3.31), es de solo O (∆t) exactitud. Discutiremos aquí algunos métodos adicionales los cuales requieren solución de ecuaciones simultáneas. Método de Crank-Nicolson un método de segundo orden en tiempo es la fórmula de Crank-nicolson (C-N):

1

2𝛼 ∆2𝑢𝑖

𝑛 + ∆2𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 (3,62)

Este método puede ser generalizado por asignar diferentes factores de peso a las partes explicita e implícita del lado izquierdo. Si Ѳ es el factor de peso, 0 < Ѳ < 1, el método generalizado es

𝜃𝛼∆2𝑢𝑖𝑛 + 1 − 𝜃 𝛼∆2𝑢𝑖

𝑛+1 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 (3,63) El método usual de llegada en la ec (3.62) es para formar una aproximación a d

2u/dx

2 en el nivel de tiempo n+½ para

el cual un+1

–un es una diferencia central de du/dt. Queremos demostrar aquí una aproximación diferente la cual

muestra el equivalente del método C-N al método explicito-implícito de Saul‘jev consistente del uso alternado de pasos explícitos e implícitos:

𝛼∆2𝑢𝑖𝑛 = 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 𝑛 = 0, 2, 4 (3,64𝑎)

𝛼∆2𝑢𝑖𝑛+2 = 𝑢𝑖

𝑛+2 − 𝑢𝑖𝑛+1 𝑛 = 0, 2, 4 (3,64𝑏)

Adicionando las anteriores dos ecuaciones, obtenemos

𝛼(∆2𝑢𝑖𝑛 + ∆2𝑢𝑖

𝑛+2) = 𝑢𝑖𝑛+2 − 𝑢𝑖

𝑛 (3,65) La ecuación anterior es actualmente el método C-N con un paso de tiempo de 2∆t. el nivel de tiempo n+1 corresponde al nivel n+½ el cual no está explícitamente presente en la formula C-N con pasos de tiempo ∆t puede ser obtenido por tomar primero un paso explicito de ∆t/2, seguido por un paso implícito de ∆t/2. En orden de obtener el método generalizado 3.63, solo necesitamos usar 3.64a con paso de tiempo Ѳ∆t y (3.64b) con paso de tiempo (1-Ѳ) ∆t. La forma (3.64) muestra que C-N es un tipo de método predictor-corrector y también provee una forma alternativa de programar. El método generalizado es incondicionalmente estable si 0<Ѳ<1 y generalmente O(h

2+∆t). Esto se convierte en O

(h2+∆t

2) para Ѳ=½ y O (h

4+∆t

2) para Ѳ=½-h

2/12∆t (Crandall, 1955).

Algunos problemas vienen con el uso del método C-N con condiciones derivadas del límite. (Smith, 1965; Keas y Mitchell, 1966). Un ejemplo de métodos implícitos multinivel es la formula (lees, 1966; Richtmyer y Morton, 1967, p 190)

𝛼∆2𝑢𝑖𝑛+1 =

3

2 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 −

1

2 𝑢𝑖

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛−1 𝑛 = 1, 2, … (3,66)

El peso en este caso está en el lado derecho. El esquema es incondicionalmente estable y O(h

2+∆t

2), pero necesita

valores auxiliares de inicio. (Ejercicio 3.7). Richtmyer y Morton 1967 presentan una compilación de algunos otros esquemas diferenciales multinivel.

62

3.3.3 Métodos ODE Como hemos visto en la sección 3.2.2, una vez las derivadas de espacio son discretizadas, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) es obtenido en la ec (3.29). Podemos entonces aplicar (al menos en principio) alguno de los numerosos métodos desarrollados para ODEs para avances de solución en tiempo. De hecho, todos los métodos presentados hasta ahora pueden ser derivados de los métodos ODE. En esta sección presentaremos algunos de los antiguos métodos en un nuevo escenario y algunos métodos nuevos. Consideremos, por ejemplo, el problema de valores limites

𝜕𝑈

𝜕𝑡=

𝑑2𝑈

𝑑𝑥2 (3,67)

Por discretización del lado derecho obtenemos un juego de ecuaciones diferenciales ordinarias:

𝑑𝑢 𝑖 𝑡

𝑑𝑡=

1

𝑕2∆2𝑢𝑖 𝑡 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 (3,68)

Las cuales pueden ser escritas en forma de matriz como

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −

1

𝑕2 𝐸𝑢 𝑡 (3,69)

La matriz E ha sido definida por (3.27).

En la literatura ODE, el sistema de ecuaciones a ser resuelto son usualmente escritos como

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑓 𝑢, 𝑡 (3,70)

Por lo tanto para nuestro ejemplo

𝑓 = −1

𝑕2 𝐸𝑢 𝑡 (3,71)

Todos los métodos ODE pueden ser vistos como aproximación a

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑓𝑑𝑡𝑛+1

𝑛

3.3.3.1 Método De Euler El método de Euler (Henrici, 1962) por la ec (3.70) es un método explicito dado por

𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛 + 𝛥𝑡𝑓𝑖 𝑢𝑛 , 𝑡𝑛 = 𝑢𝑖

𝑛 + 𝛼∆2𝑢𝑖 𝑡𝑛 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 (3,72)

O en forma de matriz como

𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑛 − 𝛼𝐸𝑢𝑛

= 𝐼 − 𝛼𝐸 𝑢𝑛 (3,73)

El cual es exactamente el clásico método explicito dado anteriormente por la ec (3.30) 3.3.3.2 Método de Euler modificado Un método popular explicito y de segundo orden esta desarrollado por los siguientes dos pasos: 1. Primero predecimos la solución por el método de Euler

2. 𝑢𝑖∗,𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛 + ∆𝑡𝑓𝑖 𝑢𝑛 , 𝑡𝑛 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 (3.74)

63

3. El valor predicho es usado para encontrar la solución en n+1 por:

𝑢𝑖∗,𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛 +∆𝑡

2[𝑓𝑖 𝑢

𝑛 , 𝑡𝑛 + 𝑓𝑖 𝑢∗,𝑛+1 , 𝑡𝑛+1 ]

𝑖 = 1,2, … , 𝑁 (3.75)

En forma de matriz el método puede ser escrito como:

𝑢𝑛+1 =1

2∗ [𝑰 + 𝑰−∝ 𝑬 2]𝒖𝒏 (3.76)

Y la estabilidad del método depende del radio espectral de la matriz en el lado derecho. Este método es conocido en la literatura con diferentes nombres. Podemos generalizar los métodos en forma del segundo orden del método de Runge-Kutta (Henrici,1962):

𝑢𝑖∗ = 𝑢𝑖

𝑛 +∆𝑡

2𝑏𝑓 𝑢𝑛 , 𝑡𝑛 / 𝑡∗ = 𝑡𝑛 +

∆𝑡

2𝑏 (3.77)

𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛 + ∆𝑡[ 1 − 𝑏 𝑓 𝑢𝑛 , 𝑡𝑛 + 𝑏𝑓 𝑢∗, 𝑡∗ ] (3.78)

Para b=0 la ecuación de arriba se reduce al método de Euler. Para b diferente de 0 el proceso es de segundo orden. Por ejemplo con b =1/2 obtenemos el método de Euler mejorado discutido anteriormente. 3.3.3.3 El Clásico Método de Runge-Kutta Un método explicito de cuarto orden para la ecuación (3.7) es el clásico método de Runge-Kutta. (Henrici,1962):

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +∆𝑡

6(𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 𝑎4) (3.79)

Donde

𝑎1 = 𝑓(𝑢𝑛 , 𝑡𝑛)

𝑎2 = 𝑓(𝑢𝑛 +1

2∆𝑡𝑎1, 𝑡𝑛 + 1/2∆𝑡)

𝑎3 = 𝑓(𝑢𝑛 +1

2∆𝑡𝑎2, 𝑡𝑛 + 1/2∆𝑡)

𝑎4 = 𝑓(𝑢𝑛 + ∆𝑡𝑎3, 𝑡𝑛 + ∆𝑡)

La forma de la matriz de este método es considerada en el ejercicio 3.8. Este y el método modificado de Euler pertenecen a una clase de métodos conocidos como método explicito de Runge Kutta. Estos métodos son condicionalmente estables. 3.3.3.4 Método implícito de Runge-Kutta. El método explicito de Runge-Kutta discutido anteriormente nos permite obtener aproximaciones de alto orden, para la derivada del tiempo, pero estos tienen una estabilidad condicional. Para problemas no lineales este es frecuentemente más apropiado para usar incondicionalmente el método implícito estable de Runge-kutta. Un tipo general de estos métodos es discutido por Gear (1971). Aquí presentaremos unos pocos métodos seleccionados.

Métodos de segundo orden. La ecuación diferencial parcial lineal

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑓 𝑢 = 𝐴𝑢 (3.80)

Puede resolverse por

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +1

2(𝑎1 + 𝑎2) (3.81)

Donde

𝑎1 = ∆𝑡𝑓 𝑢𝑛 = ∆𝑡𝐴𝑢𝑛 (3.82)

64

𝑎2 = ∆𝑡𝑓 𝑢𝑛+1 = ∆𝑡𝐴𝑢𝑛+1 (3.83)

Sustituyendo en la ecuación (3.82) y (3.83) en la ecuación (3.80) nosotros observamos que precisamente es el método C-N. La ecuación de arriba puede ser aplicada para problemas no lineales. Otro método de segundo orden es dado por (Rosenbrock, 1963)

𝑎1 = ∆𝑡(𝑓 𝑢𝑛 + 𝑏𝑱𝒏𝑎1) (3.84)

𝑎2 = ∆𝑡(𝑓 𝑢𝑛 + 𝛽𝑎1 + 𝑏𝑱𝒏𝑎2) (3.85)

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑎2

Donde J es el jacobiano de f con elementos (𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢𝑗) y:

𝑏 = 1 − 2

2= 0.29289 (3.86)

𝛽 = 2−1

2= 0.20716 (3.87)

Por ejemplo cuando este proceso es aplicado a un problema lineal (3.80)

J=A (3.88)

Y el método esta dado por los dos procesos siguientes:

𝐴 −1

𝑏∆𝑡∗ 𝑰 𝑎1 = −

1

𝑏∗ 𝐴𝑢𝑛 (3.89)

𝐴 −1

𝑏∆𝑡∗ 𝑰 𝑎2 = −

1

𝑏∗ 𝐴𝑢𝑛 −

𝛽

𝑏∗ 𝐴𝑎1) (3.90)

Este proceso requiere solo un poco mas de trabajo que el método C-N, si el inverso de (A-(1/b∆t)I) puede ser almacenado. El método tiene una ventaja sobre el método de C-N y es discutida en el ejercicio 3.9. Un método de tercer orden. Un ejemplo del método implícito de Runge-Hutta es (Calahan,1968):

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +1

4∗ 𝑎1 +

3

4∗ 𝑎2 (3.91)

Con

𝑎1 = ∆𝑡[𝑓 𝑢𝑛 𝑎1] (3.92)

𝑎2 = ∆𝑡[𝑓 𝑢𝑛 + 𝛾𝑎1 + 𝛽𝐽(𝑢𝑛)𝑎2] (3.93)

𝛽 =1

2∗ (1 +

3

3)=0.78867 (3.94)

𝛾 = −2

3= −1.154700 (3.95)

Derivada de la matriz de este método se deja como ejercicio para el lector. Una discusión más a fondo del método de la solución numérica de ODEs incluye una ecuación ―rígida‖, que está dada por Lapidus y Seinfeld (1971), y Gear (1971). Un tipo de método de Runge-Kutta y sus aplicaciones a la simulación de yacimientos son discutidos por Price et al (1978). 3.3.4 Comparación de los Métodos La pregunta, cual método es el mejor, no tiene una única respuesta. La mejor elección depende del problema en particular, especialmente para ecuaciones no lineales. En general, los métodos explícitos requieren menos trabajo por etapa que los implícitos, pero el tiempo por etapa de los métodos explícitos es limitado por consideraciones de estabilidad y precisión. A medida que el método explicito al implícito, el trabajo por etapa se incrementa y de igual forma la estabilidad. Esto se hace mes evidente en problemas multidimensionales no lineales. Para problemas lineales y medianamente no lineales los métodos de segundo orden del tipo C-N son los más populares, pero para problemas fuertemente no lineales el componente explicito del método C-N puede tener limitaciones de estabilidad.

65

Desde el punto de vista de programación, los métodos explícitos son extremadamente simples y tienen requerimientos modestos de almacenamiento. Todos los métodos implícitos requieren algún algoritmo para la solución de ecuaciones lineales simultáneas y almacenamiento adicional para realizar estas computaciones. Estas preguntas son discutidas en detalle en los capítulos 4, 6 y 8. El enfoque de ODE (algunas veces también llamado ―el método de líneas‖) aparece atractivo por algunas razones. La teoría de ODEs está en un estado avanzado y existe una amplia variedad de métodos para escoger, muchos de ellos adecuados para problemas no lineales. Algunos de los métodos de orden mayor como Runge-Kutta requieren mucho más trabajo computacional por pasos de tiempo que los métodos de orden menor. Para que un método de orden mayor sea competitivo con los de menor orden, debe permitir el uso de proporcionalmente mayor de pasos de tiempo, para cualquier precisión especificada. Esto puede poner en conflicto con las limitaciones de los pasos de tiempo impuestas por las consideraciones de estabilidad. También, el espacio del error de truncamiento no se ve afectado por la elección del método por du/dt. Cuando el espacio del error de truncamiento domina, hay mejoras en la precisión del tiempo aproximado atreves del uso de métodos de orden superior puede no ser justificado. Con el fin de archivar y adecuar el espacio de aproximación el número de simultáneos ODEs es usualmente grande. Algunos métodos ODE que son útiles para una ecuación, rápidamente se convierten poco prácticos para sistemas grandes (e.g, métodos de predicción y corrección con iteraciones en corrección). El trabajo de Wallis y Aziz (1975) con el problema de contaminación dispersa en la atmosfera muestra la superioridad del método ODE, bajo condiciones de certeza. En problemas de este tipo es necesario tomar pequeños lapsos de tiempo (tan pequeños como los límites de estabilidad) por razones de requerimientos precisión; esto hace atractivos los modelos ODE. Otra ventaja del método ODE es que, pueden ser automatizados, para la solución de diferentes problemas de una forma más fácil que métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales parciales (PDEs). Se han propuesto varios paquetes de software para la solución de sistemas parciales de ecuaciones diferenciales basados en los métodos ODE (Carver, 1973; Cárdenas, 1973). Estos paquetes usualmente reducen el esfuerzo humano requerido para poner el problema en el computador, pero esto se da sacrificando los tiempos de cálculo del computador y el almacenamiento. Esto se aplica para los casos donde el mismo PDEs tiene que ser resuelto una y otra vez para diferentes problemas, grandes aciertos son alcanzados tomando una ventaja de las peculiaridades del problema en el desarrollo de programas de simulación.

3.4 SISTEMA DE MALLA Y CONDICIONES LIMITE

Los dos temas de la sección están relacionados, porque el sistema de malla usado, determina la forma de las condiciones limite. Primero vamos a ver dos métodos para la construcción de una malla (punto distribuido y malla de bloques centrados) y la relación de las condiciones límite para un espacio uniforme, y luego discutiremos los espacios irregulares. Esto es necesario en este punto para introducir alguna notación. Independientemente del método de discretización o el tipo de condición límite, N puede ser el número de ecuaciones diferenciales finitas (i.e. número de incógnitas que tenga un paso de tiempo) para ser resuelto. El rango del índice i puede depender del tipo de condición límite y el método de aproximación y este puede cambiar de 0 a n+1. Estas ideas se aclaran luego de discutir las condiciones límite. 3.4.1 Dos Métodos para Construir una Malla.

Dada la longitud de un reservorio L y una sección transversal uniforme A, nosotros podemos construir un sistema de malla de M puntos en básicamente dos formas:

a) Coloque el primer y último punto de la malla en x=0 y x=L, respectivamente, y distribuya el resto de puntos uniformemente entre ellos (Fig 3,3 muestra esto para M=5). Con el fin de determinar el volumen de los bloques asociados a cada punto en la malla, colocamos el bloque limite (líneas discontinuas en la figura 3.3) en medio de los puntos de la malla.

FIG. 3.3. Punto distribuido en la malla

66

Así, ∆x=L/ (M-1) y el volumen es V=∆xA, excepto para los puntos en los limites que tienen un volumen de V/2. Este método para construir mallas fue llamado ―punto distribuido de malla‖ por Settari y Aziz (1972).

b) Nosotros también podemos dividir la longitud en M bloques iguales y luego colocar los puntos de la malla in el centro de los bloques, como se muestra en la fig.3.4. Los bloques son pequeños para este caso que en el caso de puntos distribuidos en la malla, porque ahora ∆x=L/M. Además, allí no hay puntos en los límites. Este método se

Fig. 3.4. Malla con bloques centrados.

Ha usado bastante por la ingeniería de petróleos y este es usualmente referido como el método de ―malla con bloques centrados‖. En esta etapa (i.e., para un espaciamiento uniforme de la malla) la única diferencia entre los dos métodos esta en el tratamiento de las condiciones de frontera. Sin embargo, nosotros podíamos ver luego que cuando espacios arbitrarios de la malla son considerados, los análisis muestran que los puntos distribuidos en la malla tienen el enfoque correcto a diferencia de la malla de bloques centrado. El principio subyacente es que los bloques limite deben ser colocados entre los puntos de la malla no al contrario, ya que la ecuación diferencial es aproximada a os puntos de la malla y no a los limites. Una discusión detallada de esto la encontramos en la sección 3.4.3. 3.4.2 Condiciones Límite

EL yacimiento simulado interactúa con su entorno por condiciones específicas en sus límites. Es esencial formular y aproximar las condiciones limite por las que el yacimiento interacciona sus alrededores. En esta sección vamos a presentar las condiciones límites más comunes con las respectivas formas de aproximación. 3.4.2.1 Condiciones Límite de Primera Clase Las condiciones limite de primera clase (Dirichlet) especifican la evaluación de U en los limites. En simulación de yacimientos, las condiciones limite de Dirichlet surgen cuando especificamos presión en los límites del yacimiento o en un pozo. Supongamos que a x=0, la condición límite de tiempo-dependiente ec. (3.28) es

𝑈 0, 𝑡 = 𝑓1(𝑡) (3.96)

Para el punto distribuido en la malla, la diferenciación finita de la condición límite es simple

𝑢0𝑛 = 𝑓1(𝑡𝑛) 𝑛 = 0,1, … (3.97)

Fig.3.5. Condición limite Dirichlet para un punto distribuido en la malla.

Fig 3.6 Condición límite para un bloque centrado en la malla.

La ecuación (3.97) es usada siempre que 𝑢𝑛

0 se necesita en la ecuación diferencial, y la ecuación diferencial no es

necesaria para el primer punto de la malla. Por lo tanto la primera incógnita, 𝑢1, es asociada con el segundo punto de

la malla (Fig.3.5). Para un bloque central de la malla, el punto más cercano al límite es a ∆x/2 y el valor de 𝑢0 debe

ser extrapolad de este punto. La posibilidad más simple es escribir (Fig 3.6)

67

𝑢0𝑛 = 𝑓1 𝑡

𝑛 + 𝑂(∆𝑥) (3.98)

Que solo es la aproximación de primer orden. Una aproximación de segundo orden esta en (Fig 3.7):

1

2 3𝑢1𝑛−𝑢2

𝑛 = 𝑓1 𝑡𝑛 + 𝑂(∆𝑥2) (3.99)

Una práctica desventaja de esta fórmula es que la ecuación (3.99) debe incluir la resolución de las ecuaciones diferenciales para resolverse. Por esta razón, el bloque centrado de la malla es algunas veces modificado para usar medio bloque en el límite (de hecho, lo convierten en un punto distribuido de la malla en los limites)

Fig. 3.7. Dirichlet condiciones límite para bloques centrados en la malla

3.4.2.2 Condiciones Límite de Segundo Orden De la ecuación de presiones, las condiciones de segundo grado (Neumann) expresan la tasa de flujo a través de los límites y puede ser usada para especificar la tasa de producción, conociendo la influencia de acuíferos o flujo de partes del yacimiento fuera del dominio de la simulación. Una aproximación alternativa, es discutida en la siguiente sección, es para expresar el flujo alrededor de los limites atreves del término q(x,t). Deje la condición limite a x=0 por

𝑑𝑈

𝑑𝑥= 𝑓2(𝑡) (3.100)

Fig 3.8. Condición limite de Neumann. Izquierda, punto distribuido;

derecha bloque centrado en la malla.

Un método 0(∆x) es aproximar la derivada usando los puntos del interior (Fig.3.8)

𝑓2 𝑡𝑛 ≅ (𝑢2

𝑛 − 𝑢1𝑛 )/∆𝑥 (3.101)

Esta es una aproximación pobre de la derivada en el límite, especialmente para los bloques centrales de la malla. Un método de segundo orden es comúnmente usado (técnica de reflexión) de acuerdo con la Fig. 3.9 introduce un punto auxiliar fuera de los limites, con 𝑢0como el valor de la incógnita en este punto. Vemos primero

Fig. 3.9. Técnica de reflexión. Izquierda, punto distribuido en la malla;derecha, bloque centrado en la malla.

Considere el punto distribuido en la malla mostrada en la Fig. 3.9 (izquierda). La condición límite de la ecuación (3.1000) es discretizada usando una diferencia central a x=0

𝑓2(𝑡𝑛) =𝑢1

𝑛−𝑢0𝑛

2∆𝑥+ 𝑂(∆𝑥2) (3.102)

Y esta ecuación es usada para eliminar 𝑢0

𝑛 de la ecuación diferencial escrita para el punto x=0.

El mismo procedimiento se puede aplicar a la malla con bloques centrados, mostrado en la Fig. 3.9 (derecha):

𝑓2(𝑡𝑛) =𝑢1

𝑛−𝑢0𝑛

∆𝑥+ 𝑂(∆𝑥2) (3.103)

68

El error de truncamiento de la ecuación (3.103) es exactamente uno y medio del error de la eq. (3.102). Sin embargo, nosotros lo vimos en la sección 3.3.2, que estos errores actúan como referencias en la ecuación de la solución del error, Viz. ec (3.42). Por razones que vamos a aclarar cuando consideremos un espacio arbitrario, el efecto del término de la fuente es proporcional al volumen del bloque limite, que es grande (exactamente dos veces para el mismo ∆x) para el bloque centrado en la malla. En consecuencia el error introducido debido a la aproximación del límite debería ser el mismo en ambas mallas. 3.4.2.3 Condiciones Límite de Tercer Orden Las condiciones limite de tercer orden son obtenidas de la combinación de las dos condiciones anteriores:

𝑎𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑏𝑢 = 𝑓3(𝑡) (3.104)

Mezclando las condiciones límite son bastante similares en la transferencia de calor. En problemas de flujo de fluidos ocurre la siguiente situación: Considere un yacimiento I que está conectado a x=0 con otro yacimiento con presiones promedio conocidas denotadas por 𝑈𝑢 (𝑡). Nosotros queremos incluir

Fig. 3.10. Condiciones limite de tercer grado.

La influencia del segundo yacimiento como condición limite a x=0 (Fig. 3.10). El flujo del yacimiento II al yacimiento I va a ser

𝑞𝐼𝐼→𝐼 𝑡 = 𝑏[𝑈𝐼𝐼 𝑡 − 𝑢1] (3.105)

Donde b es una constante proporcional similar al índice de productividad. Por otra parte, en el yacimiento I con x→0, la tasa de flujo debe satisfacer la ley de Darcy

𝑞𝐼𝐼→𝐼 𝑡 = 𝑎𝜕𝑈

𝜕𝑥 (3.106)

Estas dos ecuaciones combinadas dan la condición límite del tipo (3.104)

𝑎𝜕𝑈

𝜕𝑥+ 𝑏𝑈 = 𝑏𝑈𝐼𝐼(𝑡)

Ecuaciones similares surgen in el tratamiento de pozos individuales y acuíferos (mire el capitulo 9). En el punto distribuido en la malla, ec. (3.104) se puede aproximar por

𝑎 𝑢2

𝑛−𝑈𝐼𝐼𝑛

2∆𝑥+ 𝑏𝑢1

𝑛 = 𝑏𝑈𝐼𝐼𝑛 (3.107)

Donde usamos el punto de reflexión. En el bloque central de la malla, nosotros encontramos algunas dificultades para aproximar Bu a x=0 y la ecuación se volvió más compleja. 3.4.2.4 Condiciones Límite de Cuarto Orden Estas ecuaciones también son llamadas ―limite cíclico‖, normalmente no surgen en problemas de una dimensión. Estas son importantes en problemas de varias dimensiones; nosotros introducimos esto acá para usar en siguientes capítulos.

69

Fig. 3.11 Condiciones limite de cuarto orden. Izquierda, puntos distribuidos en la malla; derecha, bloques centrados

en la malla.

Un ejemplo de un problema con esta condición límite sería un yacimiento de la forma de un anillo (Fig.3.11), con la coordenada x a lo largo de la línea circular centrada. Luego el punto x=0 es el mismo que x=L. La continuidad de la presión y el flujo en x=0 requiere

𝑈 𝐿, 𝑡 = 𝑈(0, 𝑡) (3.108a)

𝜕𝑈

𝜕𝑥 𝐿, 𝑡 =

𝜕𝑈

𝜕𝑥(0, 𝑡) (3.108b)

Para los puntos distribuidos en la malla (Fig. 3.11, Izquierda) nosotros especificamos

𝑢𝑁 = 𝑢0 (3.109)

Consecuentemente, la ecuación diferencial para i=1 y i=N va a ser.

𝑢𝑁 − 2𝑢1 + 𝑢2

∆𝑥2=

𝜕𝑢1

𝜕𝑡+ 𝑞1

𝑢𝑁−1−2𝑢𝑁+𝑢1

∆𝑥2 =𝜕𝑢𝑁

𝜕𝑡+ 𝑞𝑁 (3.110)

La condición limite (3.108b) no es usada, por que 𝜕𝑈

𝜕𝑥 es aproximadamente a N-1/2 y ½.

Para la malla con bloques centrados (Fig. 3.11, derecha), la condición (3.108a) no es relevante porque este no es un

punto de la malla en x=0, y (3.108b) se satisface si 𝜕𝑈

𝜕𝑥 en x=0 es aproximadamente el mismo termino en la ecuación

para puntos 1 y N. Luego las dos ecuaciones son:

𝑢𝑁 − 2𝑢1 + 𝑢2

∆𝑥2 =𝜕𝑢1

𝜕𝑡+ 𝑞1

𝑢𝑁−1−2𝑢𝑁+𝑢1

∆𝑥2=

𝜕𝑢𝑁

𝜕𝑡+ 𝑞𝑁 (3.111)

Condiciones limite cíclicas también surgen en problemas de dos y tres dimensiones en coordenadas cíclicas, discutidas en los siguientes capítulos.

3.5 DISCRETIZACION DE ECUACIONES EN UNA DIMENSION CON COORDENADAS CARTESIANAS

Primero consideremos la ec.(3.3) para un fluido ligeramente compresible

𝐴𝑈 ≡𝜕

𝜕𝑥 𝜆 𝑥, 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑥 − 𝑐 𝑥, 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑡− 𝑞(𝑥, 𝑡) (3.112)

Donde

𝜆 𝑥, 𝑈 =𝑘 𝑥

𝐵𝜇 𝑈 , 𝑐 𝑥, 𝑈 =

𝜙 𝑥 𝑐𝑓

𝐵𝑜 +𝜙𝑜𝑐𝑅

𝐵 𝑈

Existen dos características que surgen de resolver la ec.(3.112), y no han sido discutidas en secciones previas: (1) uso de malla irregular, y (2) tratamiento de los coeficientes l y c.

70

3.5.1 Ecuaciones Diferenciales para una Malla Irregular

El uso de espacios irregulares en una malla es esencial en la simulación de yacimientos. En muchos problemas prácticos es necesario refinar la malla en ciertas partes del yacimiento para obtener la precisión deseada. Por ejemplo, refinamientos locales son necesarios alrededor del pozo en simulación de un solo-pozo (tipo cono). Por otro lado, es posible usar mallas gruesas en áreas que tienen grandes acuíferos o grandes capas de gas donde la presión y saturación cambia poco.

Fig. 3.12 Superior, malla con bloque centrado; inferior, malla con punto distribuido Mallas irregulares son también ventajosas en secciones transversales en simulaciones 3D de yacimientos estratificados donde la malla vertical se elige de acuerdo con la estratificación del yacimiento. En particular, nosotros siempre queremos tener mallas gruesas (especialmente en simulaciones 3D) Y por tanto la precisión de la aproxima de diferencias finitas es muy importante. El uso de mallas irregulares en la simulación de un yacimiento es discutida en dos artículos por Settari y Aziz (1972,1974). La pregunta relatada de los limites irregulares fue discutida por, por ejemplo, Greenspan (1965) y Collatz(1966). Sin embargo, esto fue de menor importancia en la simulación de yacimientos por que la física de los límites es diferente y no se conoce su precisión. Considere ahora una aproximación diferente del operador A sobre una malla irregular. Nuestra discusión fue seguida de cerca por Settari y Aziz (1972), donde detalles adicionales pueden ser encontrados. La geometría cuantitativa envuelta en la construcción de las mallas con bloque central y el punto distribuido son mostradas en la fig3.12. De acuerdo con el principio descrito en la sección 3.4.1, en la malla con bloque centrado el tamaño del cloque ∆x, es seleccionado primero y luego los puntos de la malla son centrados entre los límites. i.e.

𝛿𝑖− = 𝛿𝑖+ = ∆𝑥𝑖/2

Por lo tanto ∆𝑥𝑖+

1

2

= 1/2(∆𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖+1

En la malla con punto distribuido los puntos de la malla son seleccionados primero, y luego los bloques limiten son metidos en medio del camino entre los puntos de la malla:

𝛿𝑖+ = 𝛿𝑖+1.− = ∆𝑥𝑖+1/2/2

𝛿𝑖− = 𝛿𝑖−1.+ = ∆𝑥𝑖+1/2/2

El tamaño de los bloques es

∆𝑥𝑖 =1

2 ∆𝑥𝑖+

12

+ ∆𝑥𝑖−

12

= 𝛿𝑖+ + 𝛿𝑖−

71

Adicionalmente a la definición de bloques limite nosotros también necesitamos un bloque intermedio transmisor 𝜆𝑖+1,2.El problema adecuado define 𝜆𝑖+1,2.puede ser tratado con la sección 3.5.3 como a sido mostrado por Settari y

Aziz (1972), nuestra conclusión no podrá ser afectada con el tratamiento de la transmisibilidad. En el caso de la malla con bloque centrado, la aproximación de la diferencia finita de A es

𝐿 1𝑢 𝑖= 1/∆𝑥𝑖 𝜆𝑖+

1

2

𝑢 𝑖+1−𝑢 𝑖

Δ𝑥𝑖+

12

+ 𝜆𝑖−

1

2

𝑢 𝑖−1−𝑢 𝑖

Δ𝑥𝑖−

12

(3.113)

Si 𝜆

𝑖+1

2

es aproximadamente:

𝜆𝑖±

1

2

= 1/2(𝜆𝑖 + 𝜆𝑖±1) (3.114)

El operador de diferencias finitas de 𝐿 1 es

𝐿1𝑢 𝑖= 1/∆𝑥𝑖

𝜆𝑖

2 𝑢 𝑖+1−𝑢𝑖Δ𝑥

𝑖+12

+𝑢 𝑖−1−𝑢𝑖Δ𝑥

𝑖−12

+𝜆𝑖+1

2


Δ𝑥𝑖+

12

+𝜆𝑖−1

2


Δ𝑥𝑖−

12

(3.115)

De forma similar, para la malla con puntos distribuidos, el punto de partida es el operador

𝐿 2𝑢 𝑖= 2/ ∆𝑥

𝑖+1

2

+ ∆𝑥𝑖−

1

2

𝜆𝑖+

1

2


Δ𝑥𝑖+

12

+ 𝜆𝑖−

1

2


Δ𝑥𝑖−

12

(3.116)

Con los cambios de aproximación ec(3.114) a

𝐿2𝑢 𝑖= 2/ ∆𝑥

𝑖+1

2

+ ∆𝑥𝑖−

1

2

𝜆𝑖 𝑢 𝑖+1−𝑢 𝑖

Δ𝑥𝑖+

12

+𝑢 𝑖−1−𝑢 𝑖

Δ𝑥𝑖−

12

+Δ𝑥

𝑖+12

2

𝜆𝑖+1−𝜆𝑖

Δ𝑥𝑖+

12


Δ𝑥𝑖+

12

+Δ𝑥

𝑖+12

2

𝜆𝑖−𝜆𝑖−1

Δ𝑥𝑖−

12

𝑢 𝑖−𝑢 𝑖−1

Δ𝑥𝑖+

12

(3.117)

El error de truncamiento local de los operadores 𝐿1 y 𝐿2 se encontró

𝑅1 𝑈𝑖 = −∆𝑥𝑖+1 − 2∆𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖−1

4∆𝑥𝑖

𝜆𝑈´ 𝑖´ −

(∆𝑥𝑖+

12

)2 − (∆𝑥𝑖−

12

)2

12∆𝑥𝑖

2𝜆𝑈´´´ + 3 𝜆´𝑈´ ´ 𝑖

−(∆𝑥

𝑖+12

)3−(∆𝑥𝑖−

12

)3

24∆𝑥𝑖

𝜆𝑈𝐼𝑉 + 2𝜆´𝑈´´´ + 3𝜆´´𝑈´´ + 2𝜆´´´𝑈´ 𝑖 + 𝑂(∆𝑥3) (3.118)

Y

𝑅2 𝑈𝑖 = −∆𝑥

𝑖+12−∆𝑥

−12

6 2𝜆𝑈´´´ + 3 𝜆´𝑈´ ´ 𝑖 −

∆𝑥𝑖+

12

3 −∆𝑥𝑖−

12

3

24∆𝑥𝑖(𝜆𝑈𝐼𝑉 + 2𝜆´𝑈´´´ + 3𝜆´´𝑈´´ + 2𝜆´´´𝑈´)𝑖 + 𝑂(∆𝑥3) (3.119)

Nosotros observamos que en la misma posición de los puntos de la malla el error 𝑅1difiere del error 𝑅2con el término

adicional:

∆𝑥𝑖+1−2∆𝑥𝑖+∆𝑥𝑖−1

4∆𝑥𝑖

𝜆𝑈´ 𝑖´ (3.120)

Este término es generalmente de orden 0, lo que implica (en sentido de la definición introducida en la sección 3.2.3), Esa 𝐿1es una aproximación inconsistente. En contraste a esto, 𝐿2 es siempre el menor o primer orden y por lo tanto

consistente. Note también que para espaciamiento regular ambas aproximaciones se convierten O Δ𝑥2 y para l igual

a una constante reducimos la forma familiar (ec(3.15)) Discutida previamente. Por otro lado, haciendo el problema lineal (l=constante) con una malla irregular no mejora el orden de la aproximación. Observamos acá de paso para un caso no lineal la manera de aproximar 𝛾𝑖±1/2 Puede distinguirse el orden del operador L cuando una aproximación

diferente de la ec.(3.114) es usada (mire la sección 3.5.3). El aspecto esencial son los términos adicionales del error introducidos en la aproximación de l son idénticos para ambos operadores 𝐿1 y 𝐿2 (Apendice B de Settari y

Aziz,1972). Vamos a explorar la pregunta: ‗Cual es el significado del análisis del error de truncamiento que se acaba de presentar? ´ La aproximación de puntos distribuidos 𝐿2 es consistente y por tanto para cualquier aproximación

72

estable en el lado derecho de la ec.(3.112) esta puede ser convergente. Sin embargo, esta no es una garantía a priori de convergencia del operador del bloque centrado 𝐿1. Cabe destacar que la inconsistencia no necesariamente

implica divergencia como Δ𝑥 →0. El orden actual de convergencia depende de la manera en que espacio de la

malla nos referimos. Por ejemplo, uno puede construir una secuencia de espacios, este puede ser el término (3.120) idénticamente cero; tal espacio satisface la discretización laplasiana:

∆𝑥𝑖+1 − 2∆𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖−1 = 0

Otros espacios pueden ser construidos, para los que el termino (3.120) realmente es O(∆x) o O(∆𝑥2). Por otro lado,

los espacios también pueden ser construidos para los términos faltantes O(∆𝑥𝑜), pero solo con un numero finito de

puntos. Porque los errores de discretización actúan como fuentes en las ecuaciones de solución de errores (mire la sección 3.2.3), sus efectos son ‗suavizados‘. Basados en una experiencia numérica, Nosotros concluimos que para toda razonable variación suave de los espacios el operador 𝐿1 puede también ser convergente en el límite. Aunque

el efecto del término de orden-cero desaparece en el límite este término puede causar errores significativos cuando el tamaño de la malla es finito. Nosotros podemos ver esto para el caso de flujo horizontal no lineal de gas, incompresible porosidad media:

𝜕

𝜕𝑥 𝜆 𝑝

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝐵𝑇

𝑀𝑆 𝑡, 𝑥 = 𝑐 𝑝

𝜕𝑝

𝜕𝑡 𝑥𝑒(0, 𝐿) (3.121)

Donde

𝜆 =𝑘𝑝

𝑍𝜇 𝑐 =

𝜙𝐴

𝑍 1 − 𝑝/𝑍

𝑑𝑍

𝑑𝑝

In la ecuación de arriba T representa temperatura, M es el peso molecular del gas, y A y B son constantes de conversión. Culham y Varga(1971) presentaron una forma especial del término S(t,x), para le ecuación (3.121) tiene una solución exacta con un pico de presión cerca a x=L este problema fue resuelto numéricamente con los operadores 𝐿1y 𝐿2 usando espacios refinados cerca de este pico. El tiempo del error de truncamiento fue suprimido

por una opción de un ∆t lo suficientemente pequeño, los efectos de los límites fueron eliminados y la pauta 𝑙∞ − del error fue evaluada en función del tiempo. Los resultados son mostrados en la fig 3.13 para dos mallas de 25 y 50 nodos. Ambos operadores son convergentes, pero el operador del bloque centrado tiene mucho

FIG 3.13 Efectos de refinamiento de red en error obtenido con operadores L1 y L2

73

También, los errores muestran diferentes comportamientos en el tiempo: errores con L1, incrementa mientras que con L2 decrece con el paso del tiempo. Los resultados mostrados en la Fig 3.13 son significativos porque en práctica, los errores de discretización son raramente determinados por experimentos refinamiento-malla. En el ejemplo anterior, L1 requerirá 40 bloques mientras que 25 son suficientes para L2. En práctica, es probable que 25 bloques también serán usados para L1, resultando más errores para este ejemplo. En conclusión, el uso de la red punto-distribuido por la red bloque-centrado es recomendado. Como la única diferencia entre los dos modelos es en la ubicación de los límites de los bloques, el modelo recomendado no es más difícil de aplicar. Además, este ofrece ventajas para el tratamiento de las condiciones límite, en particular para los problemas de un solo pozo (Capitulo 9).

3.5.2 Ecuaciones Diferenciales en Forma de Matriz

El lado izquierdo de la ec. (3.112) puede ser discretizada y las ecuaciones diferenciales resultantes pueden ser escritas en una forma de matriz:

−𝑻𝒖 = 𝑩𝑑𝒖

𝑑𝑡+ 𝑸 (3.122)

Donde

𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2, … , 𝑢𝑁)𝑇 De acuerdo con la convención discutida anteriormente. Si usamos directamente ecuaciones de la forma

𝐿𝑢𝑖 = 𝑐𝑖𝑑𝑢𝑖/𝑑𝑡 + 𝑞𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑁 (3.123)

Después la matriz T no será simétrica (excepto para una malla uniforme), porque elemento i,j + 1 no es igual que el elemento i + 1, j

𝜆𝑖+1/2

∆𝑥𝑖∆𝑥𝑖+1/2 ≠

𝜆𝑖+1/2

∆𝑥𝑖+1∆𝑥𝑖+1/2

Una forma simétrica es deseable por razones teóricas y prácticas. Esto es logrado si se multiplica la ecuación i-ésima por ∆𝑥i, obteniendo la siguiente forma

𝜆𝑖+1/2

∆𝑥𝑖+1/2(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) +

𝜆𝑖−1/2

∆𝑥𝑖−1/2(𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖) = ∆𝑥𝑖𝑐𝑖𝑑𝑢𝑖/𝑑𝑡 + ∆𝑥𝑖𝑞𝑖 (3.124)

La transición de la ec. (3.123) a la ec. (3.124) también tiene un significado físico importante: mientras la parte izquierda de la ec. (3.123) representa la derivada de los flujos (i.e., la derivada de la tasa de flujo por unidad de área), los términos correspondientes en la ec. (124) representan tasas de flujo entrantes y salientes del bloque i. Igualmente, la parte derecha de la ec. (3.123) es la tasa de cambio de masa entrante en una unidad de volumen y la parte derecha de la ec. (3.124) es la tasa de cambio de masa entrante en el volumen del bloque i. Esto se hace obvio cuando se sabe que la ecuación diferencial puede ser multiplicada por un área seccional cruzada arbitraria 𝐴 = ∆𝑦∆𝑧. Por lo tanto se puede escribir la ec. (3.124) como

𝑞𝑖+1/2 − 𝑞𝑖−1/2 = 𝑇𝑖+1/2(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) − 𝑇𝑖−1/2(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1) = 𝑉𝑖𝑐𝑖𝑑𝑢 𝑖

𝑑𝑡 + 𝑄𝑖 (3.125)

Donde

𝑇𝑖+1/2 = 𝜆𝑖+1/2𝐴

∆𝑥𝑖+1/2

𝑉𝑖 = ∆𝑥𝑖𝐴 (3.126)

Son la transmisibilidad discreta entre i y i + 1 y el volumen del bloque i, respectivamente. Es posible considerar parcialmente los efectos multidimensionales si el área A queda en función de x. Esta modificación de la ec. (3.125) es la forma convencional usada en simulación de yacimientos. No sirve de nada que le ec. (3.125) sea deducida a menudo directamente de las consideraciones elementales de la conservación de masa para el bloque i:

74

𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑒 = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

Este enfoque es más cercano al pensamiento ingenieril en término de ―balances de materia‖ y es relacionado con el enfoque matemático vía el método integral de la derivada de ecuaciones diferenciales (Sección 3.2.1) Considere ahora las condiciones de frontera a 𝑥 = 0. El caso más común de un límite de no flujo puede ser tratado

con la técnica de reflexión discutida en la Sección 3.3.4 y mostrada en la Fig. 3.9. Escribamos la ec. (3.125) para 𝑖 = 1. En la malla de puntos distribuidos la ―técnica de reflexión‖ requiere que 𝑢𝑜 = 𝑢2, 𝑇1/2 = 𝑇1+1/2 (Fig. 3.9,

izquierda). Por lo tanto se obtiene

2𝑇𝑖+1/2(𝑢2 − 𝑢1) = ∆𝑥1𝐴𝑐1

𝑑𝑢1

𝑑𝑡 + ∆𝑥1𝐴𝑞1

Y después de dividir por 2

𝑻1+1/2 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑉1𝑐1𝑑𝑢 1

𝑑𝑡 + ∆𝑥1𝐴𝑞1 (3.127)

Donde 𝑉1 = (∆𝑥1/2)𝐴 es el volumen correcto del primer bloque.

Por otra parte, para el bloque centrado en la malla, la condición es 𝑢𝑜 = 𝑢1 (que es equivalente a 𝑇1/2 = 0, otra vez

dando ec. (3.127), pero esta vez con 𝑉1 = ∆𝑥1𝐴. Asumiendo condiciones de limite de no flujo en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿, las matrices T y B en la ec. (3.122) serán

(3.128)

(3.129)

Y el vector Q será de la forma

𝑸 = 𝑄1, … , 𝑄𝑖 , … , 𝑄𝑁 𝑇 (3.130)

Se dice que la matriz T es una matriz tridiagonal y simétrica.

3.5.3 Tratamiento De Coeficientes Variables No existe una forma única de escoger los valores 𝜆𝑖+1/2, 𝑐𝑖 y 𝑞𝑖 . En general, estos valores deben ser escogidos de tal

forma que den los valores más exactos posibles

75

FIG. 3.14. Promedio de la transmisibilidad – discontinuidad vertical.

Para la tasa de flujo (acumulación e influjo en el bloque). Sin embargo, algunas veces (como en el caso de flujo multifásico) la elección es dictada por las técnicas numéricas usadas. Aquí se deducirán algunas formulas útiles para casos simples. Suponga que la transmisibilidad es a trozos constantes con la interfase entre i y i + 1 (no necesariamente en el límite del bloque, Fig. 3.14). La tasa de flujo entre i y i + 1 es

−𝑞 = 𝐴(𝑝𝑖𝑛𝑡 − 𝑝𝑖)

𝛿𝑖𝜆𝑖 = 𝐴

(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖𝑛𝑡 )

𝛿𝑖+1𝜆𝑖+1

Donde 𝑝𝑖𝑛𝑡 es la presión en la interfase. Se quiere encontrar una transmisibilidad media que le dará la misma tasa de

flujo entre i y i + 1:

−𝑞 = 𝐴(𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖)

∆𝑥𝑖+1/2𝜆𝑖+1/2 (3.131)

La eliminación de 𝑝𝑖𝑛𝑡 de estas ecuaciones resulta

𝜆𝑖+1/2 = (𝛿𝑖+ 𝛿𝑖+1)𝛿𝑖+1𝜆𝑖+1

+ 𝛿𝑖𝜆𝑖

(3.132)

Por lo tanto 𝜆𝑖+1/2 es el valor armónico medio de 𝜆𝑖 y 𝜆𝑖+1.

Considere ahora el caso cuando el yacimiento está compuesto por dos capas de permeabilidad diferente como muestra la Fig. 3.15. El flujo total entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1 es

−𝑞 = − 𝑞1 + 𝑞2 = 𝐴𝛿1

𝛿

(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖)

∆𝑥𝑖+1/2𝜆1 + 𝐴

𝛿2

𝛿

(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖)

∆𝑥𝑖+1/2𝜆2

La comparación de la anterior ecuación con la ec. (3.131) dá como resultado

𝜆𝑖+1/2 = 𝛿1𝜆1+ 𝛿1𝜆2

𝛿1+ 𝛿2 (3.133)

i.e., en este caso 𝜆𝑖+1 es una media aritmética pesada de 𝜆1 y 𝜆2.

Las analogías de las ec. (3.132) y (3.133) para problemas en conducción de calor (conductividad de calor en paredes compuestas) y electricidad (resistores en serie y paralelos) son conocidas. En la práctica, el valor de la permeabilidad absoluta k es usualmente asignada en el centro del bloque y las propiedades dependientes de la presión son evaluadas de la presión de bloque 𝑝𝑖 . Las transmisibilidades 𝜆𝑖 son

entonces asumidas para que sean constantes dentro de todos los bloques, y estas son usadas para computar 𝜆𝑖±1/2.

Esta aproximación es satisfactoria si las propiedades no cambian mucho entre dos bloques adyacentes en la malla.

76

FIG. 3.15. Promedio de la transmisibilidad – sistema de capas.

Cuando el contraste en la permeabilidad entre bloques es amplio y los datos inciertos, grandes errores pueden resultar. El valor representativo de transmisibilidad debe entonces reflejar variaciones de k entre puntos de la malla basados en la interpretación estadística de datos (Toronyi y Farouq Ali, 1974). El tratamiento de 𝑐(𝑥) y q(𝑥, 𝑡) tienen problemas similares. El valor de 𝑐𝑖 y 𝑞𝑖 deben ser escogidos de tal forma que

sean valores medios integrales:

𝑐𝑖𝑉𝑖 = 𝐴𝑐 𝑥 𝑑𝑥

∆𝑥𝑖

𝑞𝑖𝑉𝑖 = 𝐴𝑞 𝑥 𝑑𝑥

∆𝑥𝑖

Ya que las compresibilidades 𝑐𝑡 , 𝑐𝑅 fueron asumidas constantes, se puede escribir

𝑐𝑖 = ∅𝑖𝑐𝑡/𝐵° + ∅°𝑐𝑅/𝐵 donde ∅𝑖 es la porosidad representativa del bloque i:

∅𝑖 = 1

𝑉𝑖 ∅ 𝑑𝑉𝑉𝑖

(3.134)

Los datos requeridos para el uso de la ec. (3.134) pocas veces son conocidos. La situación es mejor con el término de producción 𝑞𝑖 . Las fuentes y sumideros usualmente representan pozos inyectores y productores y como tal

pueden ser aproximados por fuentes de puntos (Funciones 𝛿 de Dirac) en vez que distribución de puntos (Fig. 3.16).

Siempre que la función distinta de cero se encuentre dentro de un bloque de la malla, el valor total de la función

𝑄𝑖 = 𝑞𝑖𝑉𝑖 = 𝑞𝑑𝑉

𝑉𝑖

Es independiente de la distribución actual de la fuente dentro del bloque. Ya que solo el flujo total 𝑄𝑖 es requerido en ecuaciones diferenciales, la función 𝑞(𝑥) es inmaterial. Este hecho también muestra el límite de ―resolución‖ del método de diferencias finitas: la ubicación de un pozo puede ser cambiada dentro de un bloque en la malla sin afectar las respuestas.

FIG. 3.16. Representación de términos fuente

3.6 DISCRETIZACION DE ECUACIONES DE FLUJO UNIDIMENSIONAL EN COORDENADAS RADIALES CILINDRICAS.

El equivalente de la ec. (3.112) en coordenadas radiales de geometría cilíndrica es (ec.(3.4)):

𝐶𝑈 ≡ 1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆(𝑟, 𝑈)

𝜕𝑈

𝜕𝑟 − 𝑐 𝑟

𝜕𝑈

𝜕𝑡− 𝑞(𝑟, 𝑡) (3.135)

Esta ecuación puede ser transformada en una forma similar a la de la ec. (3.112) por medio de una transformación

del espacio coordenado. Defina 𝜌 = ln 𝑟; después 𝑟𝜆𝜕𝑈/𝜕𝑟 = 𝜆𝜕𝑈/𝜕𝜌 y después multiplicar por 𝑟2, la ec. (3.135) es transformada en

77

𝐴𝑈 ≡ 𝜕

𝜕𝑟 𝜆(exp(𝜌), 𝑈)

𝜕𝑈

𝜕𝑟 − exp(2𝜌) 𝑐 exp 𝜌

𝜕𝑈

𝜕𝑟− 𝑞(exp 𝜌 , 𝑡) (3.136)

Desde que 𝑟 =ln

-1 𝜌 = exp(𝜌).

Cualquiera de las anteriores ecuaciones describen el flujo en un yacimiento hacia un pozo aislado, bajo la suposición que todas las propiedades del yacimiento al igual que las condiciones de frontera son simétricas con respecto al eje del pozo. El radio 𝑟𝑤 es el radio del pozo y 𝑟𝑒 es el radio de drenaje (Fig. 3.17). Las soluciones analíticas para casos

simples son bien conocidas (Craft y Hawkins, 1959, ERCB, 1975). Estas son de carácter logarítmico con un gradiente de presión que incrementa rápidamente hacia el pozo. Cuando la ec. (3.135) es resuelta numéricamente, pequeños y más pequeños incrementos de enmallado 𝑟 → 𝑟𝑤 son

necesarios para mantener una exactitud uniforme. Esto resulta en un enmallado altamente irregular. (El cambio del mayor al menor ∆𝑟 es generalmente del orden de 10

2).

FIG. 3.17. Flujo radial en una dimensión.

Si se escoge resolver la ec. (3.136), igual espaciamiento en 𝜌 es generalmente lo más apropiado. Ya que para un

flujo de Darcy en estado estable en un medio homogéneo

𝑈 − 𝑈𝑤 ~ ln(𝑟/𝑟𝑤) ~ 𝜌 − 𝜌𝑤

Un espaciamiento equitativo en 𝜌 resultará en igual caída de presión entre los puntos de la malla. Este razonamiento

es comúnmente usado para construir mallas irregulares en 𝑟. Suponga que se emplea una malla de N puntos

distribuidos; entonces 𝑟1 = 𝑟𝑤 , 𝑟𝑁 = 𝑟𝑒. El espacio de enmallado debe ser regular en 𝜌, por lo tanto

∆𝜌 = (𝜌𝑒 − 𝜌𝑤 )/(𝑁 − 1) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Como ∆𝜌 = ln(𝑟𝑖+1/𝑟𝑖), se obtiene

𝑟𝑖+1

𝑟𝑖=

𝑟𝑒

𝑟𝑤

1/(𝑁−1) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 (3.137)

i.e., las coordenadas de los puntos de la malla aumentan en progresión geométrica. Nótese que aunque la formulación 3.136) transforma la parte izquierda en un operador similar al que describe el flujo lineal, el carácter radial de la ecuación ha sido transferido a la parte derecha (términos de acumulación). Consecuentemente, la ecuación transformada no ofrece ninguna ventaja significante para la simulación numérica. La mayoría de simuladores dimensionales y tridimensionales en coordenadas radiales usan directamente coordenadas 𝑟

(MacDonald y Coats, 1970, Letkeman y Ridings, 1970; Nolen y Berry, 1972; Sonier et al. (1953) y Akbar et al. (1974)). 3.6.1 Ecuaciones Diferenciales para Mallas Irregulares

El tratamiento de una malla irregular para la ec. (3.135) es similar al caso linear discutido en la Sección 3.5.1. El operador C puede ser escrito como (1/𝑥)𝐴, si se define el coeficiente 𝜆 𝑥, 𝑈 = 𝑥𝜆(𝑥, 𝑈). Por lo tanto, se puede

78

concluir de una vez que los resultados del análisis en la Sección 3.5.1 pueden ser aplicados directamente al operador C; y como antes, la malla de puntos distribuidos siempre es consistente mientras el bloque centrado en la malla sea solo consistente bajo condiciones especiales (i.e., inconsistente en general). Todas las aproximaciones consistentes para C 𝑈 pueden ser escritas así:

𝑀𝑢𝑖 = 1

𝑥𝑖∆𝑥𝑖 𝜆𝑖+1/2𝑥𝑖+1/2

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖

∆𝑥𝑖+1/2 + 𝜆𝑖−1/2𝑥𝑖−1/2

𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖

∆𝑥𝑖−1/2

(3.138) Donde

𝑥𝑖+1/2 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1) (3.139)

Y f representa el promedio de la función. Sin embargo, cuando 𝑥 = 𝑟, i.e., 𝑥 es una coordenada radial, no es claro que el promedio aritmético sea la mejor

opción para ubicar los límites entre los puntos de la malla. Como se discutió en detalle por Settari y Aziz (1974), varias opciones producirán aproximaciones consistentes:

(a) Promedio Aritmético

𝑟𝑖+1/2 = 1

2(𝑟𝑖 + 𝑟𝑖+1) (3.140)

(b) Promedio Geométrico Esta opción resulta cuando el promedio aritmético es aplicada a la ecuación transformada (ec.(3.136)):

𝑟𝑖+1/2 = (riri+1)1/2 (3.141)

(c) Promedio Logarítmico De ahora en adelante es necesario utilizar algunos conceptos físicos; por esta razón a menudo se usará la variable 𝑝,

la cual representa la presión, en lugar de 𝑢.

En un flujo en estado estable con 𝜆 siendo constante, la caída de presión exacta entre 𝑖 y 𝑖 + 1 se obtiene integrando

la Ley de Darcy

𝑞 = −2𝜋𝑟𝜆𝑑𝑝

𝑑𝑟

Que resulta en

𝑞𝐸 = −2𝜋𝑟

ln(𝑟𝑖+1/𝑟𝑖)(𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖) (3.142)

La velocidad discretizada Darcy 𝑞𝑖+1/2 es solo el primer termino dentro de los paréntesis en la ec. (3.138),

multiplicado por 2π:

−𝑞𝑖+1/2 = 2𝜋𝑟𝑖+1/2𝜆𝑖+1/2 𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖

𝑟𝑖+1− 𝑟𝑖 (3.143)

La ec. (3.143) da la caída de presión exacta para 𝜆 igual a una constante, siempre que

𝑟𝑖+1/2 = 𝑟𝑖+1/2 𝐿 =

𝑟𝑖+1− 𝑟𝑖

ln(𝑟𝑖+1/𝑟𝑖) (3.144)

El cual es conocido como ―el radio logarítmico promedio‖. El simple análisis numérico no proporciona ninguna base adicional para la selección de los límites del bloque. Esta base puede ser obtenida si se considera una aproximación deseada de las propiedades para las ecuaciones diferenciales aproximando la ec. (3.135). Utilizando la ec. (3.138) en la ec. (3.135) se obtiene:

1

𝑟𝑖(𝑟𝑖+1/2− 𝑟𝑖−1/2) 𝜆𝑖−1/2𝒓𝑖+1/2

𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖

𝑟𝑖+1− 𝑟𝑖 + 𝒓𝑖−1/2

𝑝𝑖−1− 𝑝𝑖

𝑟𝑖− 𝑟𝑖−1 = 𝑐𝑖

𝑑𝑝 𝑖

𝑑𝑡+ 𝑞𝑖 (3.145)

Para lograr una forma simétrica y darle a los términos en la ecuación un sentido físico, se multiplica la ecuación por ∆𝑧2𝜋𝑟𝑖(𝑟𝑖+1/2 − 𝑟𝑖−1/2) y se utiliza la ec. (3.143) para obtener

− 𝑞𝑖+1/2 − 𝑞𝑖−1/2 = 𝐶𝑣𝑐𝑖𝑑𝑝 𝑖

𝑑𝑡+ 𝐶𝑣𝑖

𝑞𝑖 (3.146)

79

Donde

𝐶𝑣𝑖= 2𝜋𝑟𝑖(𝑟𝑖+1/2 − 𝑟𝑖−1/2)∆𝑧 (3.147)

En la ec. (3.146) los 𝑞𝑖±1/2 son los flujos que entran y salen del bloque 𝑖 (el cual es un anillo circular) y 𝐶𝑣𝑖 es el

volumen discretizado del bloque. Ahora se requiere que:

(a) La ecuación discretizada da una tasa de flujo exacta a una caída de presión dada por 𝜆 = Una constante, y

(b) El volumen discretizado sea igual al volumen actual del bloque,

𝑉𝑖 = 𝜋(𝑟𝑖+1/22 − 𝑟𝑖−1/2

2 )∆𝑧

Estas dos condiciones pueden ser escritas como:

𝑞𝑖+1/2 = 𝑞𝐸 𝐶𝑣𝑖= 𝑉𝑖 (3.148)

Y serán satisfechas s

𝑟𝑖+1/2 = 𝑟𝑖+1/2𝐿 2𝑟𝑖(𝑟𝑖+1/2 − 𝑟𝑖−1/2) = 𝑟𝑖+1/2

2 − 𝑟𝑖−1/22 (3.149)

Desafortunadamente, las relaciones (3.148) no pueden ser satisfechas simultáneamente por cualquier opción de frontera. No obstante, como se mostrará a continuación, una discretización diferente que satisfaga estas condiciones puede ser obtenida.

Denotando 𝜌 = 𝑟2, entonces la ec. (3.135) se transforma en

4𝜕

𝜕𝜌 𝜌𝜆

𝜕𝑝

𝜕𝜌 = 𝑐

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞

La cual puede ser aproximada por el siguiente esquema consistente:

4

(𝜌 𝑖+1/2− 𝜌 𝑖−1/2) 𝜆𝑖−1/2𝜌𝑖+1/2

𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖

∆𝜌 𝑖+1/2 + 𝜆𝑖−1/2𝜌𝑖−1/2

𝑝𝑖−1− 𝑝𝑖

∆𝜌 𝑖−1/2 = 𝑐𝑖

𝑑𝑝 𝑖

𝑑𝑡+ 𝑞𝑖 (3.150)

Después de multiplicar por

𝐶𝑣𝑖= 𝜋(𝜌𝑖+1/2 − 𝜌𝑖−1/2) (3.151)

Se obtienen otra vez la ec. (3.146), pero con 𝑞𝑖±1/2 definido como

𝑞𝑖+1/2 = 4𝜋𝜆𝑖+1/2𝜌𝑖+1/2 𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖

𝜌 𝑖+1− 𝜌 𝑖 (3.152)

Las condiciones (3.148) son ahora equivalentes a

𝜌𝑖+1/2 − 𝜌𝑖−1/2 = 𝑟𝑖+1/22 − 𝑟𝑖−1/2

2

2𝜌𝑖+1/2

𝜌𝑖+1 − 𝜌𝑖= 𝑟𝑖+1/2

𝐿 1

𝑟𝑖+1 − 𝑟𝑖

La primera condición siempre es trivialmente satisfecha y la segunda puede ser usada para resolver por 𝜌𝑖+1/2:

𝜌𝑖+1/2 = 𝜌 𝑖+1− 𝜌 𝑖

𝑙𝑛 𝜌 𝑖+1𝜌 𝑖

= 𝜌𝑖+1/2

𝐿 (3.153)

Por lo tanto, la frontera debe ser logarítmica en 𝑟2 en vez de en 𝑟 cuando la discretizacion (3.150) es usada. Note

que el uso de la ec. (3.153) reduce la ec. (3.152) a la ec. (3.143) con 𝑟𝑖+1/2 = 𝑟𝑖+1/2𝐿 . En otras palabras, el límite para

calcular la transmisibilidad entre bloques es logarítmica en 𝑟 pero el límite para calcular el volumen del bloque es

logarítmico en 𝑟2. Se debe notar que la diferencia entre la discretización (3.150) y (3.145) es solo en la definición de 𝐶𝑣 y será por lo tanto aparente en problemas de flujo inestable.

80

Alternativamente, es posible usar la discretización (3.143) y reemplazar 𝐶𝑣 por 𝑉. Estas ecuaciones diferenciales no

son deducibles por el método de serie de Taylor, pero pueden ser relacionadas con el método integral. 3.6.2 Ecuaciones Diferenciales en Forma de Matriz

La ec. (3.146) puede ser escrita en la forma de la ec. (3.125):

𝑇𝑖−1/2 𝑝𝑖−1 − 𝑝𝑖 − 𝑇𝑖+1/2 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 = 𝑉𝑖𝑐𝑖

𝑑𝑝𝑖

𝑑𝑡+ 𝑉𝑖𝑞𝑖

Con la opción de la discretización (3.150), se tendrá

𝑇𝑖+1/2 ≡ 2𝜋𝑟𝑖+1/2𝐿 ∆𝑧

𝑟𝑖+1− 𝑟𝑖𝜆𝑖+1/2 (3.154)

𝑉𝑖 = 𝜋(𝑟𝑖+1/22 − 𝑟𝑖−1/2

2 )∆𝑧 (3.155)

Donde

𝑟𝑖+1/22 =

𝑟𝑖+12 −𝑟𝑖

2

𝑙𝑛 𝑟𝑖+1𝑟𝑖

(3.156)

𝑟𝑖+1/2𝐿 =

𝑟𝑖+1−𝑟𝑖


(3.157)

Cuando se escribe en forma de matriz, se obtiene

𝑻𝒑 = 𝑩𝑑𝒑

𝑑𝑡+ 𝑸

Donde la matriz T será otra vez simétrica.

Es interesante observar acá que uno puede usar un punto de partida ligeramente diferente en la deducción de las ecuaciones diferenciales, discutido anteriormente, nombrado para expandir la ec. (3.135) así

𝐶𝑈 ≡ 𝜕

𝜕𝑟 𝜆(𝑟, 𝑈)

𝜕𝑈

𝜕𝑟 +

1

𝑟𝜆 𝑟, 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑡= 𝑐 𝑟 + 𝑞(𝑟, 𝑡) (3.158)

Y después usar una aproximación de diferencias finitas. Desafortunadamente, este enfoque produce ecuaciones diferenciales no simétricas (ver Varga, 1962, p. 193 donde el menciona otros medios para obtener la forma simétrica de la integración). 3.6.3 Tratamiento de Coeficientes Variables

Todas las observaciones hechas en la Sección 3.5.3 pueden ser repetidas acá, con la obvia modificación para geometría cilíndrica. Por ejemplo, la porosidad ∅𝑖 puede ser definida por

∅𝑖 = ∆𝑧

𝑉𝑖2𝜋 ∅ 𝑟 𝑟𝑑𝑟

𝑟𝑖+1/2

𝑟𝑖−1/2 (3.159)

FIG. 3.18. Promedio de transmisibilidades – discontinuidad vertical.

81

Las formulas para pesar 𝜆 correspondiente a la ec. (3.132) y a la ec. (3.133) son:

(a) Para interface vertical (Fig. 3.18)

𝜆𝑖+1/2 = ln(𝑟𝑖+1/𝑟𝑖)

ln (𝑟𝑖𝑛𝑡 /𝑟𝑖)

𝜆𝑖+

ln (𝑟𝑖+1/𝑟𝑖𝑛𝑡 )

𝜆𝑖+1

(3.160)

(b) Para interface horizontal (transmisibilidad en capas (Fig. 3.19))

𝜆𝑖+1/2 = 𝛿1

∆𝑧𝜆1 +

𝛿2

∆𝑧𝜆2 (3.161)

Que es igual a la ec. (3.133)

FIG. 3.19. Promedio de transmisibilidades – sistema de capas.

3.7 ALGUNAS PROPIEDADES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS

3.7.1 Existencia de Solución y Balance de Materia La ecuación de la matriz para flujo linear y radial tiene la forma común

−𝑻𝒖 = 𝑩𝑑𝒖

𝑑𝑡+ 𝑸 (3.162)

Donde T es una matriz simétrica tridiagonal con elementos diagonales positivos y B es una matriz diagonal con entradas positivas. Para condiciones de frontera tipo Neumann T, B y Q han sido dadas en la Sección 3.5.2. Para

condiciones de frontera Dirichlet solo las ecuaciones para los puntos de frontera serán modificadas. Por ejemplo, considere la condición 𝑢𝑁+1 = 𝑢𝐿 en 𝑥 = 𝐿. Entonces la matriz T será

(3.163) Y el vector Q incluirá el término de frontera

(3.164)

82

Donde 𝑄𝑖 = 𝑉𝑖𝑞𝑖 es la tasa total de la fuente para el bloque 𝑖. Se observa que para cada fila de La matriz T, la diagonal de entrada ES igual a la suma de los valores absolutos de

las entradas fuera de la diagonal, excepto por la última fila en donde la entrada de la diagonal es mayor. También, es fácil de notar que T es una matriz irreducible (ver Apéndice A). De acuerdo con la definición de dominio diagonal, se

tiene: (a) T es diagonalmente dominante con cero sumas en las filas para las condiciones de frontera tipo Neumann. (b) T es diagonalmente dominante irreducible si por lo menos una condición de frontera es del tipo Dirichlet.

El dominio diagonal es una propiedad importante; de esto se deduce inmediatamente que T es singular en el caso (a) y es definitivo positivo en el caso (b) (Taussky, 1949; Varga, 1962, Capitulo 1.5; Apéndice A) 3.7.1.1 Problemas Elípticos

Inmediatamente se puede aplicar el anterior resultado para estado estable o problemas incompresibles, para la cual

la ec. (3.162) se reduce a – 𝑇𝑢 = 𝑄.

(a) Problemas tipo Neumann. Como T es singular, la solución puede o no existir. Resumamos las ecuaciones

teniendo en cuenta que T y Q son para este caso dadas por la ec. (3.128) y la ec. (3.130). Todos los términos de flujo 𝑇𝑖+1/2(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) se cancelarán en el proceso y antes de agregar la ultima ecuación se obtiene

𝑻𝑁−1/2(𝑢𝑁−1 − 𝑢𝑁) = 𝑄𝑖𝑁−1𝑖=1 (3.165a)

Y la última ecuación es

−𝑻𝑁−1/2(𝑢𝑁−1 − 𝑢𝑁) = 𝑄𝑁 (3.165b)

Estas dos ecuaciones pueden ser satisfechas si y solo si

𝑄𝑖𝑁𝑖=1 = 0 (3.166)

(a) Se puede entonces escoger 𝑢𝑁 arbitrariamente, el cual determinará únicamente 𝑢𝑁−1,…,𝑢1.

La condición (3.166) puede ser considerada como la condición de balance de materia. El término ―balance de materia‖ es una expresión de ingeniería para la conservación de masa del sistema completo el cual es obtenido mediante la aplicación del teorema de Green para la ecuación de conservación. Para los problemas de tipo Neumann, esta es también la condición existente para la solución de ecuaciones diferenciales (Mikhlin y Smolistskiy, 1967). En un sistema cerrado incompresible sin flujo a través de los limites, la conservación de masa requiere que la

producción este balanceada por medio de inyección ( 𝑞𝑑𝑥 = 0), que en forma de diferencias finitas es exactamente

(3.166). La no singularidad de la solución es la consecuencia de la suposición de incompresibilidad: porque ninguna de las propiedades son dependientes de la presión, el nivel de la presión es inmaterial.

(b) Condiciones de frontera tipo Dirichlet. En este caso existe una única solución. Se puede una vez más deducir una ecuación de balance de materia la cual debe ser satisfecha por la solución. Asumiendo ecuaciones de diferencias finitas para todos los puntos (donde T y q son ahora dados por la ec. (3.163) y la ec. (3.164)) se obtiene

𝑇𝑁+1/2 𝑢𝐿 − 𝑢𝑁 + 𝑄𝑖

𝑛𝑖=0 = 0 (3.167)

Evidentemente, 𝑇𝑁+1/2 𝑢𝐿 − 𝑢𝑁 = 𝑄𝐿 es la tasa de flujo a través del límite, el cual debe ser balanceado por

la producción y la inyección. 3.7.1.2 Problemas Parabólicos Para establecer la existencia de una solución, se debe considerar una aproximación de tiempo particular. Para el método implícito

−𝑻𝒖𝑛+1 = 𝑩

∆𝑡 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 + 𝑸𝑛+1 (3.168)

La matriz que debe ser invertida en T + B/∆𝑡. Como B tiene entradas positivas, T + B//∆𝑡 es estrictamente

dominantemente diagonal y por lo tanto positiva definida. Esto significa que la ec. (3.168) tiene una única solución (ver Apéndice A). Lo mismo es cierto para el método Crank-Nicolson

83

−1

2 𝑻𝒖𝑛 + 𝑻𝒖𝑛+1 =

𝑩

∆𝑡 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 +

1

2(𝑸𝑛 + 𝑸𝑛+1)

Donde la matriz a ser invertida es (1

2T + B/∆𝑡).

El concepto de balance de materia es también naturalmente extendido a problemas dependientes del tiempo. La masa del fluido en el bloque 𝑖 es 𝑚𝑖 = 𝑉𝑖(∅/𝐵)𝑖 y la tasa de cambio de masa debido a la compresibilidad es

𝑑𝑚 𝑖

𝑑𝑡= 𝑐𝑖𝑉𝑖

𝑑𝑢 𝑖

𝑑𝑡= 𝑉𝑖

𝑑

𝑑𝑡

∅

𝐵 𝑖 (3.169)

Otra vez mediante la suma de ecuaciones (3.162) se obtiene

𝑄𝐿 + 𝑑𝑚 𝑖

𝑑𝑡+ 𝑄𝑖

𝑁𝑖=1

𝑁𝑖=1 = 0 (3.170)

La cual es la forma continua en el tiempo de la ecuación de balance de materia. Cuando el tiempo es discretizado, esta ecuación toma la forma

𝑄𝐿∆𝑡 + (𝑚𝑖𝑛+1 − 𝑚𝑖

𝑛) + ∆𝑡 𝑄𝑖𝑁𝑖=1

𝑁𝑖=1 = 0 (3.171)

La cual expresa exactamente el balance de materia entre 𝑡𝑛 y 𝑡𝑛+1 si 𝑄𝑖 y 𝑄𝐿 son constantes durante ese periodo.

Si una discretización particular del tiempo satisface o no la ec. (3.171), depende de la definición del operador ∆𝑡(𝑐𝑢)

aproximando ∆𝑡(𝑐𝑉𝜕𝑢/𝜕𝑡)𝑖. De la ec. (3.169) se deduce que la aproximación en cualquier primer nivel satisfacerá la

ec. (3.171) si ∆𝑡 satisface

∆𝑡 𝑐𝑖𝑢𝑖 = 𝑚𝑖𝑛+1 − 𝑚𝑖

𝑛 = 𝑉𝑖 ∅

𝑩 𝑖

𝑛+1−

∅

𝑩 𝑖

𝑛 (3.172)

Así, la aproximación que se sugiere

∆𝑡 𝑐𝑖𝑢𝑖 = 𝑉𝑖 𝑐𝑖𝑢𝑖𝑢+1 − (𝑐𝑖𝑢𝑖)

𝑛 No satisface la condición de la ec. (3.172) como se puede verificar. Para obtener la expansión correcta para un fluido

ligeramente compresible, se escribe 𝑚𝑖𝑛+1 − 𝑚𝑖

𝑛 como

𝑚𝑖𝑛+1 − 𝑚𝑖

𝑛 = 𝑉𝑖 (∅𝑛+1 − ∅𝑛)

𝑩𝑛+1 + 1

𝑩𝑛+1 − 1

𝑩𝑛 ∅𝑛

≡ 𝑉𝑖 ∅

𝐵 𝑖

𝑛+1

− ∅

𝐵 𝑖

𝑛

Usando

∅𝑛+1 − ∅𝑛 = ∅°𝑐𝑅 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 Y

1

𝑩𝑛+1 − 1

𝑩𝑛 = 𝑐𝑓

𝑩° 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛

Se obtiene


𝑛 = 𝑉𝑖 ∅𝑛𝑐𝑓

𝐵°+

∅°𝑐𝑅

𝐵𝑛+1

𝑖

𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 𝑖

= 𝑉𝑖𝑐𝑖 𝒖𝑛+1 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 𝑖 (3.173)

Otra aproximación igualmente valida es


𝑛 = 𝑉𝑖 ∅𝑛+1𝑐𝑓

𝐵° + ∅°𝑐𝑅

𝐵𝑛 𝑖

𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 𝑖

= 𝑉𝑖𝑐𝑖 𝒖𝑛+1 𝒖𝑛+1 − 𝒖𝑛 𝑖 (3.174)

84

Obviamente, la ecuación 3.173 es preferible si 𝐶𝑅 = 0 y la ecuación 3.174 si 𝐶𝑓 = 0, porque entonces el coeficiente

correspondiente se vuelve explícito. Con ambas definiciones, cualquier método de segundo grado, en particular el explicito, reduce la diferencia y Crank-Nicolson satisfácela el balance de materia (3.171). 3.7.1.3 Comentarios Generales del Balance de Materia Hemos visto que hay dos propiedades esenciales de ecuaciones diferentes que asegura el balance de materia: a) La matriz T del coeficiente de flujo es simétrico con sumas de filas de ceros excepto para los límites.

Aunque esta es una condición suficiente, el balance de materia puede ser conservado también para algunos regímenes con matrices no simétricas (estas serán encontradas en el capítulo 5).

b) La expansión de los términos derivativos en el tiempo son generados en una forma que satisfaga la definición (3.172).

En general, los regímenes diferentes que satisfacen la conservación de alguna cantidad son llamados "Regímenes de Conservación". Debe ser denotado que los regímenes no conservativos no necesariamente darán resultados

insignificantes. Por ejemplo, si 𝐶𝑓 es pequeño, podemos reemplazar 𝐵𝑛+1 en la ecuación 3.173 por 𝐵𝑛 , el cual evita

iteracion en C y sera una aproximación adecuada. Similarmente, uno podria usar la forma no simétrica de la matriz T mencionada en la seccion 3.6.2. Sin embargo, cuando las ecuaciones son fuertemente no-lineales, los regímenes no-conservativos tal vez no solo causaran graves errores en el balance de materia si no que también inducen a la inestabilidad. Estos han sido observados en dinámicas de flujo numéricas (Arawaka,1966). Por lo tanto, los regímenes conservativos son recomendados especialmente para ecuaciones no-lineales.

3.7.2 Tratamiento de No-Linealidades Siempre que sea la ecuación diferencial no lineal, las transmisilidades Y/o coeficiente del término derivativo en el tiempo será función de la solución (por ejemplo, la variable dependiente). Para este caso, la ecuación 3.125 será escrita así:

𝑇𝑖+

1

2

𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , 𝑢𝑖 , 𝑢𝑖+1 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 + 𝑇𝑖−

1

2

𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1 , 𝑢𝑖 , 𝑢𝑖−1 𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖 = 𝑉𝑖𝑐𝑖 𝑥𝑖 , 𝑢𝑖 𝑑𝑢 𝑖

𝑑𝑡+ 𝑉𝑖𝑞𝑖 𝑖 = 1, ……… . . , 𝑁

(3.175) donde asumimos que 𝑇𝑖+1/2 es una función de 𝑢 y 𝑥 en 𝑖 y 𝑖 + 1 unicamente. Asi, la semi-discretisacion anterior

produce la siguiente ecuación matricial no-lineal:

−𝑇 𝑢 𝑢 = 𝐵 𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑞 (3.176)

Dependiendo de cómo la derivada del tiempo es aproximada, ecuaciones algebraicas lineales o no-lineales son obtenidas. Ecuaciones no-lineales pueden ser linealizadas en diferentes formas o solucionadas iterativamente. En general, las no-linealidades presentes en un flujo de una sola fase son menos graves que estas en un flujo multifario. Consecuentemente, algunos de estos métodos para ser discutidos, en los cuales son necesarios para problemas de flujo multifàsico (capitulo 5), no son normalmente requeridos para problemas de una fase. 3.7.2.1 Aproximaciones Explicitas La siguiente formula diferencial la cual satisface el balance de materia es

−𝑇 𝑢𝑛 𝑢𝑛 =1

∆𝑡𝐵 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 + 𝑄 (3.177)

Nótese que la matriz T puede ser calculada explícitamente, por lo tanto la única no-linealidad es en la matriz B y esta

aparece por la condición del balance de materia, ecuación 3.173. La ecuación 3.177 representa el escalar N de

ecuaciones no-lineales de tipo 𝑓 𝑢𝑖𝑛+1 = 0, la cual puede ser solucionada por cualquiera de los métodos estándar

(e.g Ortega and Rheinboldt, 1970; Ostrowski, 1973). La no-linealidad es débil; por lo tanto la simplicidad de los

85

métodos debería ser satisfactoria. Por ejemplo, para modelar una iteración por sustitución, podemos reorganizar la i-esima ecuación de la ecuación 3.177 como:

𝑢𝑖𝑛+1 =

∆𝑡

𝑉𝑖𝑐 𝑖(𝑢𝑛+1) −𝑄 + 𝑇

𝑖+1

2

𝑛 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)𝑛 + 𝑇

𝑖−1

2

𝑛 (𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖)𝑛 + 𝑢𝑖

𝑛 = 𝑓(𝑢𝑖𝑛+1) (3.178)

y se itera como (nótese que𝑢(𝑣) esta siempre en el ultimo nivel del tiempo desconocido)

𝑢𝑖(𝑣)

= 𝑓 𝑢𝑖 𝑣−1

𝑣 = 1,2, ……,

con el valor inicial 𝑓(𝑢𝑖 0

= 𝑓(𝑢𝑖𝑛) hasta que algún criterio de convergencia especificado sea satisfecho tal como

𝑢𝑖

(𝑣)− 𝑢𝑖

(𝑣+1)

𝑢𝑖(𝑣+1)

< 휀

Otros métodos (e.g Regula Falsi, Método de Newton) son igualmente aplicables. Nos permite investigar la estabilidad de el método explicito. Para el caso lineal tenemos la condición de estabilidad

:∝= ∆𝑡𝑕2 ≤

1

2 . Esto es fácil de ver que para una ecuacion de la forma

𝛾𝑑2𝑢

𝑑𝑥2 = 𝑐𝑑𝑢𝑑𝑡

la correspondiente ecuación es:

𝐶∝ = 𝛾

𝑐 ∆𝑡

𝑕2 ≤1

2

Esto es posible para generalizar esos resultados para la ecuación 3.175, usando el concepto de ecuaciones diferenciales de tipo positivo (Forsythe and Wason, 1960; Sección 14.1). Podemos escribir la ecuación 3.175 como:

𝑢𝑖𝑛+1 =

∆𝑡

𝑉𝑖𝑐𝑖 𝑇𝑖−1/2𝑢𝑖−1

𝑛 + 𝑉𝑖𝑐𝑖

∆𝑡− 𝑇𝑖−1/2 − 𝑇𝑖+1/2 𝑢𝑖

𝑛 + 𝑇𝑖+1/2𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑞𝑖𝑉𝑖

Si todos los coeficientes de la derecha son positivos, la aproximación diferencial es llamada "de tipo positivo" y será estable. Esto conduce a la condición

𝑇𝑖+1/2 + 𝑇𝑖−1/2

𝑉𝑖𝑐𝑖∆𝑡 ≤ 1

Como esto se debe mantener para todo i, la estabilidad del método explicito será conservada si:

𝑇𝑖+1/2 + 𝑇𝑖−1/2

𝑉𝑖𝑐𝑖 ∆𝑡 ≤ 1

𝑖

𝑚𝑎𝑥

en todos los tiempos. Nótese que el límite de estabilidad es dependiente del tiempo y decrece como la compresibilidad del sistema decrece. Desafortunadamente, la restricción de estabilidad (3.179) conduce a tiempos pequeños e impracticables para las típicas compresibilidades para los fluidos del yacimiento (ver ejercicio 3.10). Otros métodos explícitos que son incondicionalmente estables han sido usados (Sheffield,1970), pero su aplicación ha sido de valor limitado. Los métodos explícitos de Runge-Kutta son fácilmente de aplicar, siempre y cuando siempre generen ecuaciones con coeficientes evaluados en un tiempo conocido. Hemos encontrado que para problemas de flujo de gas citado en la sección 3.5.1, el procedimiento estándar de cuarto orden de Runge-Kutta tiene una estabilidad excelente y compara la favorabilidad con los siguientes-y anteriores- métodos diferenciales en términos de esfuerzos computacionales para dar precisión. 3.7.2.2 Aproximaciones Implícitas

Podemos considerar la anterior aproximación diferencial a la ecuación 3.176:

−𝑇 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛+1 =1

∆𝑡𝐵 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 + 𝑄 (3.180)

86

En la ecuación anterior la no-linealidad es debido al hecho que 𝑇(𝑢𝑛+1) y 𝐵(𝑢𝑛+1) son matrices con elementos que

son función de 𝑢𝑛+1. Usamos la siguiente notación en la discusión para lo siguiente:

𝑇 𝑢𝑛+1 ≡ 𝑇𝑛+1

𝐵(𝑢𝑛+1) ≡ 𝐵𝑛+1 El superíndice en una matriz o un vector refleja el tiempo o iteración en la cual los elementos de la matriz son

evaluados. Pr ejemplo, 𝑇(𝑣) significa que los elementos de T son evaluados usando 𝑢(𝑣).

Iteración Simple: El método más simple para la solución de la ecuación 3.180 es obtenido de:

𝑇(𝑣−1) +1

∆𝑡𝐵(𝑣−1) 𝑢(𝑣) =

1

∆𝑡𝐵(𝑣−1)𝑢𝑛 − 𝑄 𝑣 = 1,2, ……… (3.181)

Con

𝑢(0) = 𝑢𝑛 como la suposición inicial. La iteración es continuada hasta que la convergencia es obtenida. Cada iteración requiere la misma cantidad de trabajo como la solución sobre un tiempo para el correspondiente problema lineal. Para el problema de flujo unifàsico simple siendo considerado aquí,, la no-linealidad es débil y el proceso de iteración converge rápidamente. Método de Newton: Un régimen de iteración más efectivo, el cual también trabaja para problemas fuertemente no-

lineales es introducido después, es el método de Newton (o Método de Newton-Rhapson). El sistema de no-linealidad de ecuaciones dadas por la ecuación 3.180 puede ser escrita así:

𝑇𝑛+1 +1

∆𝑡𝐵𝑛+1 𝑢𝑛+1 −

1

∆𝑡𝐵𝑛+1𝑢𝑛 + 𝑄 = 0 (3.182a)

o llamando a la parte izquierda de la ecuación anterior, la función f la podemos escribir como:

𝑓 𝑢𝑛+1 ≡ 𝑓𝑛+1 = 0 (3.182b) Un sistema no-lineal de ecuaciones de la forma dada anteriormente puede ser solucionada por el método de Newton (e.g Henrici,1962) como se define a continuación:

𝑢(𝑣) − 𝑢(𝑣−1) = − 𝐹(𝑣−1) −1

𝑓(𝑣−1) 𝑣 = 1,2, …… .. (3.183)

donde F es la matriz Jacobiana del vector función f:

𝐹(𝑣) = 𝑑𝑓𝑖

𝑑𝑢𝑗

(𝑣)

(3.184)

y esta es la extensión vectorial derivativa usada en el clásico método de Newton para una ecuación. La ecuación 3.183 puede ser escrita en la siguiente forma que es más conveniente para propósitos computacionales:

𝐹 𝑣−1 𝛿𝑣 = −𝑓 𝑣−1 (3.185a)

𝑢(𝑣) = 𝑢(𝑣−1) + 𝛿(𝑣) para 𝑣 = 1,2, ……… (3.185b)

Con

𝑢(0) = 𝑢𝑛

Como la iteración lleva a 𝛿 y 𝑓 hasta cero, da la convergencia del método.

87

Algunas variantes del método de Newton son posibles y son discutidas, por ejemplo, por Ortega y Rheinboldt (1970) y Ostrowski (1973). El método estándar mostrado anteriormente es también referido como método de la variable tangente.

Una variable secante o método Chord es obtenido si los elementos de F son evaluados por:

𝜕𝑓𝑖(𝑣)

𝜕𝑢𝑗=

𝑓𝑖 ….,𝑢𝑗 𝑣

,…. −𝑓𝑖(….,𝑢𝑗 𝑣−1

,….)

𝑢𝑗(𝑣)

−𝑢𝑗(𝑣−1) (3.186)

Otros dos métodos son obtenidos si el método jacobiano es computado solo una vez y es asumido constante para mas iteraciones. Estos son llamados Método de Tangente fija y secante fija; tales regímenes iterativos son conocidos como estacionarios. Para los dos métodos podemos escribir:

𝐹𝑛𝛿(𝑣) = −𝑓(𝑣−1) 𝑣 = 1,2 …… .. (3.187)

donde la matriz F es evaluada usando 𝑢 en el tiempo 𝑛. Este regimen reduce el trabajo requerido por iteracion junto

con la tasa de convergencia que también es reducida. Podemos considerar en detalle como el método de Newton es aplicado. Si observamos la ecuación 3.185, es claro que el principal problema que estamos considerando es la evaluación de la matriz F. De la ecuación 3.175 vemos que F tendrá la misma estructura escasa como la matriz T para una fila i, solo

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢𝑖−1

𝜕𝑓𝑖𝜕𝑢𝑖

𝑦 𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢𝑖+1

será diferente de cero. Para la ecuación i-èsima siendo considerada tenemos

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢 𝑖−1= 𝑇𝑖−1/2 +

𝜕𝑇𝑖−

12

𝜕𝑢 𝑖−1(𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖) (3.188a)

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢 𝑖= − 𝑇

𝑖−1

2

+ 𝑇𝑖+

1

2

+𝜕𝑇

𝑖−12

𝜕𝑢 𝑖

𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖 +𝜕𝑇

𝑖+12

𝜕𝑢 𝑖

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 −𝑉𝑖

∆𝑡 𝑐𝑡 +

𝜕𝑐𝑖

𝜕𝑢 𝑖(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖

𝑛) (3.188b)

𝜕𝑓𝑖

𝜕𝑢 𝑖+1= 𝑇𝑖+1/2 +

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢 𝑖+1(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) (3.188c)

Una forma conveniente de escribir F es

𝐹 = 𝑇 + 𝑇` +1

∆𝑡(𝐵 + 𝐵`) (3.189)

donde los elementos diferentes de cero de Tý B´ son

𝑡𝑖,𝑗−1` =

𝜕𝑇𝑖−

12

𝜕𝑢 𝑖−1(𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖) (3.190a)

𝑡𝑖,𝑗` =

𝜕𝑇𝑖−

12

𝜕𝑢 𝑖

𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖 +𝜕𝑇

𝑖+12

𝜕𝑢 𝑖(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) (3.190b)

𝑡𝑖,𝑗 +1` =

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢 𝑖+1(𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖) (3.190c)

𝑏𝑖 ,𝑗` = 𝑉𝑖

𝜕𝑐𝑖

𝜕𝑢 𝑖(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖

𝑛 ) (3.191)

La ecuación matriz para el método de Newton (3.185a) ahora puede ser escrita como

𝑇 +1

∆𝑡𝐵 + 𝑇` +

1

∆𝑡𝐵`

(𝑣)𝛿(𝑣+1) = −𝑇(𝑣)𝑢(𝑣) −

1

∆𝑡𝐵 𝑣 𝑢 𝑣 − 𝑢𝑛 − 𝑄 (3.192)

88

Ahora podemos considerar un caso especial de ecuaciones lineales, donde 𝑇` = 𝐵` ≡ 0 con 𝑢(0) = 𝑢𝑛 , la primera iteracion de la ecuacion 3.192 se convierte a:

𝑇 +1

∆𝑡𝐵 𝑢 1 − 𝑢𝑛 = −𝑇𝑢𝑛 − 𝑄 (3.193)

Comparando con (3.180) muestra que estas dos ecuaciones son equivalentes si 𝑢(1) = 𝑢𝑛+1. Por lo tanto la primera iteracion del metodo de Newton (3.183) corresponde a la solución de una versión linealizada del problema del valor del límite.

Un tratamiento similar es posible para el método de Crank-Nicolson. De este modo, este método sigue siendo 0(∆𝑡2),

en el caso no-lineal todos las no-linealidades deben ser evaluadas en 𝑛 +1

2:

−1

2 𝑇𝑛+

1

2𝑢𝑛+1 + 𝑇𝑛+1

2𝑢𝑛 =1

∆𝑡𝐵𝑛+

1

2 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 + 𝑄 (3.194)

Primero notamos que la ecuación 3.194 puede ser reescrita en la forma de la ecuación 3.182a:

𝑇𝑛+1

2 +2

∆𝑡𝐵𝑛+

1

2 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = −2(𝑇𝑛+1

2𝑢𝑛 + 𝑄) (3.195)

Si 𝑛 +1

2 es aproximado por

𝑢𝑛+1/2 =1

2(𝑢𝑛 + 𝑢𝑛+1)

las matrices 𝑇𝑛+1/2 y 𝐵𝑛+1/2 son de nuevo funciones de 𝑢𝑛+1 y podemos escribir el metodo de Newton para este

problema por una analogia directa con la ecuación 3.192:

𝑇 +2

∆𝑡𝐵 + 𝑇 +

2

∆𝑡𝐵

𝑣

𝑢 𝑣+1 − 𝑢 𝑣 = −2 𝑇 𝑣 𝑢 𝑣 + 𝑄 + 𝑇 +2

∆𝑡𝐵

𝑣

(𝑢 𝑣 − 𝑢𝑛) (3.196)

La ecuación 3.194 también puede ser resuelta por un procesos de dos pasos. Como fue visto en la sección 3.3.2, esta puede ser escrita como:

−𝑇𝑛+1/2𝑢𝑛 =2

∆𝑡𝐵𝑛+

1

2 𝑢𝑛+1

2 − 𝑢𝑛 + 𝑄 (3.197a)

−𝑇𝑛+1/2𝑢𝑛+1 =2

∆𝑡𝐵𝑛+

1

2 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛+1

2 + 𝑄 (3.197b)

La primera ecuación es de tipo explicita, pero los coeficientes de las matrices están en el tiempo

𝑛 + 1

2 desconocido. Incluso, aunque esta ecuación no sea lineal, esta puede ser resuelta más fácil que la ecuación

implícita (e.g por iteración simple). La segunda ecuación, la cual es de tipo implícita, es entonces lineal desde que

𝑢𝑛+1/2 sea ahora conocido.

3.7.2.3 Métodos de Linealización Iteración Simple: El método de linealización más simple y frecuentemente usado es obtenido permitiendo las no-linealidades un paso atrás. Así, para el método diferencial anterior, lo podríamos resolver así:

−𝑇𝑛𝑢𝑛+1 =1

∆𝑡𝐵𝑛 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 + 𝑄

Es importante darse cuenta que esta linealizaciòn decrecerá el orden de la aproximación a 0∆(𝑡) para métodos de

orden superior y por lo tanto su aplicación puede no ser justificada.

89

Extrapolación: La extrapolación de la solución en el tiempo deseado puede, sin embargo, conservar el orden de la

convergencia para métodos de orden superior. Supongamos que necesitamos 𝑈 en 𝑛 + 𝑙, donde 0 < 𝑙 ≤ 1; entonces

por la extrapolación lineal, usando 𝑢𝑛−1 y 𝑢𝑛 , tenemos

𝑢 𝑡𝑛+𝑙 ≅ 𝑢𝑛+𝑙 = 𝑢𝑛 +∆𝑡𝑛

∆𝑡𝑛−1𝑙(𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1) (3.198)

Las extrapolaciones de orden superior son posibles, pero incrementan las condiciones. Porque la ecuación 3.198 es

una aproximación 0∆(𝑡) a 𝑢(𝑡𝑛+1 ), los métodos de segundo orden conservaran su orden cuando las matrices son evaluadas en tiempos extrapolados. Este enfoque trabaja bien si las no-linealidades no son muy fuertes y pueden ser usadas satisfactoriamente para flujo unifàsico y flujo miscible. En el flujo multifàsico, la naturaleza explicita de la extrapolación causa limitaciones estables similares a las presentes en formulaciones explicitas. Notamos aquí que Douglas (1961) y Douglas and Jones (1963) presentaron un procedimiento de Crank-Nicolson

modificado de prueba y error, el cual es 0∆(𝑡2) y no involucra soluciones para ecuaciones no-lineales.

Método Semi-Implícito: Finalmente, describimos el método de linealizaciòn el cual es la base del tratamiento ―semi-implícito‖ de transmisibilidades. Aunque esta consideración fue originalmente desarrollada para conservar la estabilidad en el flujo multifàsico (ver Capitulo 5 en detalle), este se aplica igualmente bien para cualquier problema no-lineal.

Considerar un término típico de 𝑇𝑛+1 𝑢𝑛+1 en la ecuación no-lineal 3.180:

𝑇𝑖+

1

2

𝑢𝑖𝑛+1, 𝑢𝑖+1

𝑛+1 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)𝑛+1 (3.199)

Expandiendo 𝑇𝑖+1/2𝑛+1 en las series de Taylor y manteniendo solo el término de orden más bajo tenemos

𝑇𝑖+1/2𝑛+1 = 𝑇𝑖+1/2

𝑛 + 𝜕𝑇

𝑖+12

𝜕𝑢 𝑖

𝑛

𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛 + 𝜕𝑇

𝑖+12

𝜕𝑢 𝑖+1

𝑛

(𝑢𝑖+1𝑛+1 − 𝑢𝑖+1

𝑛 ) (3.200)

La sustitución de la ecuación 3.200 en la ecuación 3.199 producirá términos no-lineales , el cual deben ser linealizados. Esto se logra de la siguiente manera:

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢𝑖 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)

𝑛+1 ≅

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢𝑖

𝑛


𝑛 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)𝑛

Donde hemos reemplazado (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)𝑛+1 por (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 )

𝑛 . Con la aproximación anterior la ecuación 3.199 es

linealizada como

𝑇𝑖+

12

𝑛+1 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 𝑛+1

≅ 𝑇𝑖+

1

2

𝑛 (𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖)𝑛+1 +

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢 𝑖

𝑛

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 𝑛 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 +

𝜕𝑇𝑖+

12

𝜕𝑢 𝑖+1

𝑛

𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 𝑛 (𝑢𝑖+1

𝑛+1 − 𝑢𝑖+1𝑛 ) (3.201)

Obviamente, el primer termino es un elemento de 𝑇𝑛𝑢𝑛+1, y los otros dos términos son vistos para ser elementos de

𝑇´𝑛(𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛), donde T` es definida por la ecuación 3.190. La linealizaciòn de 𝐵𝑛+1(𝑢𝑛+1- 𝑢𝑛 ) se convierte solo a

𝐵𝑛 (𝑢𝑛+1-𝑢𝑛 ), porque hemos remplazado (𝑢𝑛+1-𝑢𝑛 ) por (𝑢𝑛 -𝑢𝑛 )=0 en los términos no-lineales. Por lo tanto la forma linealizada de la ecuación 3.180 será:

𝑇 +1

∆𝑡𝐵 + 𝑇`

𝑛 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑇𝑛𝑢𝑛 − 𝑄 (3.202)

Esta puede ser comparada con la iteración de Newton (ecuación 3.192) para 𝑣 = 0. Como esta proviene de la

ecuación 3.191, que 𝐵`𝑛 = 0, la ecuación 3.202 es idéntica con la ecuación 3.192 si nosotros acomodamos 𝑢(1) =𝑢𝑛+1. Por lo tanto obtenemos el siguiente resultado importante:

La linealización 3.201 es idéntica con la primera iteración del método de Newton.

90

3.8 CONCLUSIONES

En este capítulo hemos tratado de introducir la mayoría de los conceptos requeridos para la simulación de yacimientos, que pueden ser introducidos en el contexto de un problema de flujo unifàsico unidimensional simple. Mucho material en este capítulo es solo importante para una iniciación para nuestra futura discusión de problemas multifásicos. Este capítulo no contiene una encuesta de métodos de diferencias finitas; excelentes libros que realizan este trabajo fueron mencionados en el contenido. El lector tratando de desarrollar programas de simulación de yacimientos para problemas de flujo unifásico y adimensional necesitara el material del siguiente capítulo. Mediante el entendimiento del material contenido en este capítulo es prerrequisito el entendimiento de problemas más complicados.

EJERCICIOS

Ejercicio 3.1.

Derive aproximando al límite de U1‘ para encontrar:

𝑼𝟏′ =

(−𝑼𝟑 + 𝟒𝑼𝟐 − 𝟑𝑼𝟏)

𝟐𝒉+ 𝑶(𝒉𝟐)

Solución

Usando series de Taylor y expandiendo U2 y U3 con respecto a U1 se tiene:

𝑼𝟐 = 𝑼𝟏 + 𝒉𝑼𝟏′ +

𝒉𝟐

𝟐𝑼𝟏

′′ + ⋯

𝑼𝟑 = 𝑼𝟏 + 𝟐𝒉𝑼𝟏′ + 𝒉𝟐𝑼𝟏

′′ + ⋯

Se hace el despeje de U1‘ con el fin de dejar las ecuaciones en términos de U1, U2 y U3.

𝑼𝟏′ =

𝑼𝟐 − 𝑼𝟏

𝒉+ 𝑶𝟏 𝒉

𝟐

𝑼𝟏′ =

𝑼𝟑 − 𝑼𝟏

𝟐𝒉+ 𝑶𝟐 𝒉

𝟐

𝑼𝟏′ =

𝑼𝟑 − 𝑼𝟐

𝒉+ 𝑶𝟑 𝒉

𝟐

Los términos O1(h2), O2(h

2) y O3(h

2) corresponden a los errores de truncamiento o discretización de la aproximación

hacia adelante, central y hacia atrás respectivamente, para cada uno de los términos.

Las Ecuaciones 1, 2 y 3 son una aproximación de U1‘, pero con el fin de Encontrar la mejor aproximación se hace:

𝑼𝟏′ = 𝟏 − 𝟐 + (𝟑)

91

Se tiene que:

𝑼𝟏′ =

𝑼𝟐 − 𝑼𝟏

𝒉−

𝑼𝟑 − 𝑼𝟏

𝟐𝒉+

𝑼𝟑 − 𝑼𝟐

𝒉

Y se encuentra que:

𝑼𝟏′ =

(−𝑼𝟑 + 𝟒𝑼𝟐 − 𝟑𝑼𝟏)

𝟐𝒉+ 𝑶(𝒉𝟐)

Ejercicio 3.2.

Derivar la ecuación diferencial (ecuación 3.20) por el método variable usando las funciones bases de Chapeau.

𝐿𝑢 =1

𝑕2∆2𝑢𝑖 − 𝑞𝑖 = 0 (𝟑. 𝟐𝟎)

Solución

La función v(x) dada por la ecuación 3.24 es linear dentro de cada intervalo, para xε(xi, xi+1)

v(x) = ci + ξ(ci+1 – ci) ξ = (x – xi)/h (A)

𝑣 𝑥 = 𝐶𝑖𝑠𝑖 𝑥

𝑖=𝑁

𝑖=1

𝟑. 𝟐𝟒

Donde Si(x) son las así llamadas funciones de ―Chapeau‖ mostradas en la figura 3.2. Las funciones Si son llamadas

las funciones bases y cada Si no es solo cero en el intervalo (xi-1, xi+1), llamado el soporte de Si. Esto es fácilmente

visto que la clase de funciones definidas en la ecuación 3.24 consiste de todas las funciones v, que son continuas y

linear a trozos entre los puntos xi. La función v satisface v (0) = v (L) = 0 y los valores de v a xi son iguales a ci.

Sustituyendo la ecuación 3.24 en la ecuación 3.23 da una forma cuadrática en ci la cual posee un minimo para

valores certeros de vi = ci.

92

Luego, usando la ecuación 3.23

𝐼 = 1

2 𝜕𝑉

𝜕𝑥

2

− 𝑞𝑉 𝑑𝑥𝐿

0

(𝟑. 𝟐𝟑)

Hallamos que el operativo para ser minimizado puede ser aproximado por:

𝐼𝐴 = 1

2𝑕 𝑐𝑖+1 − 𝑐𝑖

2 −𝑕

2 𝑞𝑖𝑐𝑖 + 𝑞𝑖+1𝑐𝑖+1 (𝑩)

𝑖

Finalmente, conociendo que la relación 𝜕𝐼

𝜕𝑐𝑖= 0 nos da

1

𝑕2∆2𝑐𝑖 − 𝑞𝑖 = 0 (𝑪)

La ecuación deseada.

Ejercicio 3.3.

Considere la ecuación lineal ∇2𝑢 = 𝑞 aproximada por 1 𝑕2 ∆2𝑢𝑖 = 𝑞𝑖 , con condiciones limite 𝑢0 = 𝑢𝑁+1 = 0 . Pruebe

que 𝑒 → 0 cuando 𝑕 → 0.

Solución

Siendo 𝑒𝑖 el error en i en la solución aproximada.

𝑒𝑖 = 𝑈𝑖 − 𝑢𝑖

Llamado error de la solución o error global de discretizacion

Definición: un operador de diferencia L es convergente al operador diferencial A, si 𝑒 → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑕 → 0.

El operador de diferencia finita se define como:

𝐿𝑢 𝑖≡

1

𝑕2 ∆2𝑢𝑖 − 𝑞𝑖 = 0

Definido ya

𝐿𝑈𝑖 = −𝑅𝑖

Restando las dos ecuaciones anteriores y usando la definición del error global de discretización 𝑒𝑖 = 𝑈𝑖 − 𝑢𝑖

Tenemos

𝐿𝑈𝑖 − 𝐿𝑢 𝑖= −𝑅𝑖

93

=1

𝑕2 ∆2𝑈𝑖 −1

𝑕2 ∆2𝑢𝑖 − 𝑞 𝑥𝑖 + 𝑞𝑖

=1

𝑕2 ∆2𝑒𝑖

O

1

𝑕2∆2𝑒𝑖 + 𝑅𝑖 = 0 (3.42)

Conocemos de la sección de discretización de los errores que

𝑈𝑖+1 = 𝑈𝑖 + 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2+ 𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕4

24+ 𝑈𝑖

𝑉 𝑕5

120+ 𝑈𝑖

𝑉𝐼 𝑕6

720+ ⋯ (3,7)

𝑈𝑖−1 = 𝑈𝑖 − 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2 –𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕4

24− 𝑈𝑖

𝑉 𝑕5

120+ 𝑈𝑖

𝑉𝐼 𝑕6

720− ⋯ (3,8)

Usando las dos expansiones de arriba podemos derivar diferentes aproximaciones diferenciales para U‘i y una para

U‘‘i. Resolviendo la ec. 3.7 para U‘i tenemos:


𝑕+ 𝑅𝑖

𝑓

Donde

𝑅𝑖𝑓

= −𝑈𝑖′′𝑕

2− 𝑈𝑖

′′′𝑕2

6− ⋯

Similarmente, reorganizando la ec. 3.8 obtenemos


𝑕+ 𝑅𝑖

𝑏

Donde

𝑅𝑖𝑏 = 𝑈𝑖

′′𝑕

2− 𝑈𝑖

′′′𝑕2

6+ ⋯

La aproximación de diferencia central de U‘i es obtenida por sustraer eq 3.8 de eq 3.7 y reorganizando:

𝑈′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 𝑈𝑖−1

2𝑕+ 𝑅𝑖

𝑐

Donde

𝑅𝑖𝑐 = − 𝑈𝑖

′′′𝑕2

6− 𝑈𝑖

𝑉𝑕4

120− ⋯

Una aproximación para la segunda derivada es desarrollada sumando las eq 3.8 y 3.7 y reorganizando:

𝑈′′𝑖 =𝑈𝑖−1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖+1

𝑕2 + 𝑅𝑖2

Donde

94

𝑅𝑖2 = − 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕2

12− 𝑈𝑖

𝑉𝐼 𝑕4

360− ⋯

Siendo R función de h como se ha visto, de manera generalizada ||R|| = O (hp)

Es fácil ver entonces que

||e|| → 0 cuando h→0

Ejercicio 3.4

Derive las condiciones de estabilidad para aproximaciones hacia adelante y hacia atrás por el método de series de

Fourier.

Solución

La relación entre el valor exacto de presión en un punto 𝑕𝑖 , a un tiempo, 𝑡𝑛 , 𝑈 𝑕𝑖 , 𝑡𝑛 , y el valor calculado al aplicar

un esquema numérico es:

𝑈 𝑕𝑖 , 𝑡𝑛 = 𝑢𝑖𝑛 + 𝑒𝑖

𝑛 𝐸𝑐𝑢. 1

La aproximación explicita se expresa como:

𝑢𝑖+1𝑛 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖−1𝑛

(∆𝑕)2=


𝑛

∆𝑡 𝐸𝑐𝑢. 2

Llevando la ecuación anterior a la forma de la ecu.1 , se tiene:

(𝑢𝑖+1𝑛 + 𝑒𝑖+1

𝑛 ) − 2(𝑢𝑖𝑛 + 𝑒𝑖

𝑛 ) + (𝑢𝑖−1𝑛 + 𝑒𝑖−1

𝑛 )

(∆𝑕)2 =(𝑢𝑖

𝑛+1 + 𝑒𝑖𝑛+1) − (𝑢𝑖

𝑛 + 𝑒𝑖𝑛)


Restando la ecu.3 y la ecu.2 se obtiene:

ℰ𝑖+1𝑛 − 2ℰ𝑖

𝑛 + ℰ𝑖−1𝑛

(∆𝑥)2 =ℰ𝑖

𝑛+1 − ℰ𝑖𝑛


Se expresa la ecuación que representa la aproximación numérica bajo análisis en términos del error i en lugar de

la presión U.

Una función f(h) puede ser expandida en series de Fourier de la siguiente forma:

𝑓 𝑕 = 𝜉𝑘

𝑘

∗ 𝑒𝑥𝑝 −1𝛽𝑕 𝐸𝑐𝑢. 5

Si la función expandida es la función error,𝑓 𝑕 = 𝑒𝑖𝑛 , entonces, de la ecu.5, se tiene:

𝑒𝑖𝑛 = 𝜉𝑘

𝑛

𝑘

∗ 𝑒𝑥𝑝 −1𝛽𝑖∆𝑕 𝐸𝑐𝑢. 6

95

El n-‚ésimo término de esta sumatoria, al que le haremos corresponder el tiempo 𝑡𝑛 , y 𝑡𝑛+1 tiene la siguiente forma:

𝑒𝑖𝑛 = 𝜉𝑘

𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1𝛽𝑖∆𝑕 𝐸𝑐𝑢. 7

𝑒𝑖𝑛+1 = 𝜉𝑘

𝑛+1 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1𝛽𝑖∆𝑕 𝐸𝑐𝑢. 8

Cada término de la ecu.3 se sustituye por su equivalente de la Ecu.7 o Ecu. 8 y se obtiene:

𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖+1 ∗∆𝑕 − 2𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 + 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖−1 ∗∆𝑕

∆𝑥 2

=𝜉𝑛+1 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 − 𝜉𝑛 ∗ 𝑒 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕


O bien:

∆𝑡

(∆𝑕)2 ∗ 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽∗∆𝑕 − 2𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 + 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽∗∆𝑕

= 𝜉𝑛+1 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 − 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽 𝑖 ∗∆𝑕 𝐸𝑐𝑢. 10

∆𝑡

(∆𝑕)2 ∗ 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝 −1∗𝛽∗∆𝑕 − 2𝜉𝑛 + 𝜉𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝− −1∗𝛽∗∆𝑕 = 𝜉𝑛+1 − 𝜉𝑛 𝐸𝑐𝑢. 11

Si el error en el punto " i ", 𝑒𝑖 , disminuye al pasar de nt a 1nt , entonces 𝑒𝑖𝑛+1 < 𝑒𝑖

𝑛 , de donde se tiene:

𝑒𝑖

𝑛+1

𝑒𝑖𝑛 ≤ 1 𝐸𝑐𝑢. 12

Llevando la ecu. 7 y 8 a la ecu. 12:

𝜉𝑖

𝑛+1

𝜉𝑖𝑛 ≤ 1 𝐸𝑐𝑢. 13

De donde se obtiene el factor de amplificación

𝜉𝑚 = 𝜉𝑖

𝑛+1

𝜉𝑖𝑛 𝐸𝑐𝑢. 14

Reorganizando la ecu. 11

𝜉𝑛+1

𝜉𝑛 = 1 +∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 𝑒𝑥𝑝 −1∙𝛽∙∆𝑕 − 2 + 𝑒𝑥𝑝− −1∙𝛽 ∙∆𝑕 𝐸𝑐𝑢 15

96

De trigonometría:

𝑒𝑥𝑝 −1∙𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + −1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑒𝑥𝑝− −1∙𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − −1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Luego, haciendo x , en la ecu. 15

𝜉𝑛+1

𝜉𝑛 = 1 +∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + −1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 + cos 𝜃 − −1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

= 1 +∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2

= 1 + 2.∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1

De acuerdo al criterio de Von Neumman (o series de Fourier), para que el esquema sea estable, se debe cumplir

que:

𝜉𝑚 = 𝜉𝑛+1

𝜉𝑛 ≤ 1

Es decir,

1 − 2 ∙∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≤ 1

Lo que se cumple solamente si:

−1 ≤ 1 − 2 ∙∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≤ 1

La solución a esta la desigualdad estará dada por aquellos valores de 2xt que cumplan ambos lados de

la desigualdad. Debido a que 1cos1 el lado derecho siempre se cumple. En cuanto al lado

izquierdo, se tiene:

−1 ≤ 1 − 2 ∙∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃

97

−2 ≤ −2 ∙∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃

1 ≥∆𝑡

∆𝑕 2 ∙ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃

∆𝑡

∆𝑕 2 ≤1

1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃

El valor mínimo de la expresión cos11 se obtiene para 1cos , en cuyo caso

21cos11 . Por tanto, el esquema será estable siempre y cuando:

∆𝑡

∆𝑕 2 ≤1

2

LA APROXIMACIÓN EXPLÍCITA ES CONDICIONALMENTE ESTABLE; la condición está dada por la ecuación

anterior.

Si se procede en forma análoga para el análisis de estabilidad del esquema implícito, se obtendrá que‚ éste es

incondicionalmente estable; es decir se llega a:

𝜉 < 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝛼. Donde 𝛼 es: 𝛼 = ∆𝑡/∆𝑕2

Debido a que el esquema implícito es incondicionalmente estable, éste suele ser preferido en Simulación de

Yacimientos.

Ejercicio 3.5.

Investigue la estabilidad a) progresiva y b) regresiva para diferentes métodos de solución para la matriz M.

Solución

Para una matriz N * N

Donde a = 2b + c, y a, b y c > 0 ; mostrando que los propios valores para i y us de M son:

𝝀𝒔 = −𝒄 − 𝟒𝒃𝑺𝒊𝒏𝟐 𝒔𝝅

𝟐(𝑵+𝟏) ; 𝒔 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑵 (A)

98

𝑺𝒊𝒏 𝒔𝝅

𝑵 + 𝟏

𝑺𝒊𝒏 𝒊𝒔𝝅

𝑵 + 𝟏

𝑺𝒊𝒏 𝑵𝒔𝝅

𝑵 + 𝟏

a) Use A escogiendo un valor apropiado de la constante para los propios valores de 𝑩 = 𝜶𝑨 + 𝑰 en los diferentes

métodos.

𝝀𝒔 = 𝟏 − 𝟒𝜶𝑺𝒊𝒏𝟐 𝒔𝝅

𝟐(𝑵+𝟏) ; 𝒔 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑵 (B)

Y la condición de estabilidad como 𝝀𝒊 < 1

b) Para valores propios de 𝑩 = − 𝜶𝑨 + 𝑰 −𝟏 para los diferentes métodos es

𝝀𝒔 =𝟏

𝟏+ 𝟒𝜶𝑺𝒊𝒏𝟐 𝒔𝝅

𝟐(𝑵+𝟏) (C)

Sugerencia: Si A tiene valores propios de λi, A-1

tiene valores propios de 1/λi.

Ejercicio 3.6.

Investigar la consistencia de la aproximación de DuFort Frankel. (Ecuación 3.58)


𝑛−1 + 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛+1 = 𝑢𝑖𝑛+1 − 𝑢𝑖

𝑛−1 (3.58)

Solución

La aproximación de DuFort-Frankel corresponde a ‗Otros métodos explícitos‘, estos son atractivos porque no

requieren la solución de un sistema de ecuaciones.

Este método es incondicionalmente estable.

𝛼 =𝑏𝑘

𝑕2 (𝐴)

Reemplazando (A) en la ecuación 3.58 tenemos:

𝑏

𝑕2 𝑢𝑖−1

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛−1 + 𝑢𝑖+1

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛+1 =


𝑛−1

2𝑘 (𝐵)

Para organizar el término 𝑢𝑖−1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛−1 + 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛+1 de tal manera que podamos utilizar el método de la serie de

Taylor, sumamos y restamos 2𝑢𝑖𝑛

99


𝑛−1

2𝑘= 𝑏

𝑢𝑖+1𝑛 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖−1𝑛

𝑕2 − 𝑏𝑢𝑖

𝑛+1 − 2𝑢𝑖𝑛 + 𝑢𝑖

𝑛−1

𝑕2 (𝐶)

Ahora hay que resolver cada término de la ecuación (C) por el método de Taylor.

1. El término 𝑢 𝑖

𝑛+1−𝑢 𝑖𝑛−1

2𝑘 se resuelve aplicando la aproximación central de

𝜕𝑢

𝜕𝑘 (Series de Taylor).

𝜕𝑢

𝜕𝑘=


𝑛−1

2𝑘−

𝜕3𝑢

𝜕𝑘3∗

𝑘2

3! (𝐷)


𝑛−1

2𝑘= 𝑢(𝑡)

′ +𝑘2

6𝑢(𝑡)

′′′ (𝐸)

2. El término 𝑢 𝑖+1

𝑛 −2𝑢 𝑖𝑛 +𝑢 𝑖−1

𝑛

𝑕2 se resuelve aplicando la aproximación numérica para la segunda derivada.

𝜕2𝑢

𝜕𝑕2=

𝑢𝑖−1𝑛 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖+1𝑛

𝑕2− 2

𝜕4𝑢

𝜕𝑕4∗

𝑕2

4! (𝐹)

𝑢𝑖−1𝑛 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖+1𝑛

𝑕2 = 𝑢(𝑥)′′ +

𝑕2

12𝑢(𝑥)

𝐼𝑉 (𝐺)

3. Del término 𝑢 𝑖

𝑛 +1−2𝑢 𝑖𝑛 +𝑢 𝑖

𝑛−1

𝑕2 solo se resuelve el numerador, utilizando la aproximación numérica para la

segunda derivada, con variación en el tiempo.

𝜕2𝑢

𝜕𝑘2=

𝑢𝑖𝑛−1 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖𝑛+1

𝑘2− 2

𝜕4𝑢

𝜕𝑘4∗

𝑘4

4! (𝐻)

𝑢𝑖𝑛−1 − 2𝑢𝑖

𝑛 + 𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑘2𝑢(𝑡)

′′ +𝑘4

12𝑢(𝑡)

𝐼𝑉 (𝐼)

Dividiendo por h2

𝑘2

𝑕2 𝑢(𝑡)′′ +

𝑘4

12𝑕 2 𝑢(𝑡)𝐼𝑉 (𝐽)

La solución de cada término corresponde a las ecuaciones (E, G, J), uniéndolas se tiene:

𝑢(𝑡)′ +

𝑘2

6𝑢(𝑡)

′′′ = 𝑏 𝑢(𝑥)′′ +

𝑕2

12𝑢(𝑥)

𝐼𝑉 − 𝑏 𝑘2

𝑕2 𝑢(𝑡)′′ +

𝑘4

12𝑕 2 𝑢(𝑡)𝐼𝑉 (𝐾)

Cuando se usa DuFort-Frankel con un paso de tiempo, k=h, la solución no convergerá a 𝑢(𝑡)′ = 𝑏𝑢(𝑥)

′′ .

100

Para que este converja a esa solución y sea consistente 𝑘

𝑕→ 0

Ejercicio 3.7.

Determine el orden de aproximación del método (3.66).

𝛼∆2𝑢𝑖𝑛+1 =

3

2 𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝑢𝑖𝑛 −

1

2 𝑢𝑖

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛−1 𝑛 = 1, 2, …

Solución

Expandir los términos en las series de Taylor en función de 𝑢𝑖𝑛 para obtener

𝑅𝑖 = −𝑈𝑖𝑣𝑕2

12− 𝑈𝑖𝑖𝑖

∆𝑡2

6+ 𝑂 𝑕3 + 𝑂 ∆𝑡3

Para el caso del espacio (h) la expansión la realizamos buscando el término para la aproximación para la segunda

derivada de la siguiente manera:

𝑈𝑖+1 = 𝑈𝑖 + 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2+ 𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉𝑕4

24+ 𝑈𝑖

𝑉𝑕5

120+ ⋯

𝑈𝑖−1 = 𝑈𝑖 − 𝑈′𝑖𝑕 + 𝑈′′𝑖𝑕2

2− 𝑈′′′𝑖

𝑕3

6+ 𝑈𝑖

𝐼𝑉𝑕4

24− 𝑈𝑖

𝑉𝑕5

120+ ⋯

Sumando las dos expresiones anteriores obtenemos

𝑈𝑖+1 + 𝑈𝑖−1 = 2𝑈𝑖 + 2𝑈′′𝑖𝑕2

2+ 2𝑈𝑖

𝐼𝑉𝑕4

24

Despejando 𝑈′′𝑖

𝑈′′𝑖 =𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖−1

𝑕2− 𝑈𝑖

𝐼𝑉 𝑕2

12

Tendríamos que el error 𝑅𝑖 para el espacio es:

𝑅𝑖𝑕 = −𝑈𝑖𝐼𝑉 𝑕2

12+ 𝑂(𝑕3)

Para el caso del tiempo (∆t) buscamos el término de aproximación centrada para la primera derivada…

101

𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 𝑈′𝑛∆𝑡 + 𝑈′′

𝑛 ∆𝑡2

2+ 𝑈′′′

𝑛 ∆𝑡3

6+ 𝑈𝐼𝑉𝑛

∆𝑡4

24+ 𝑈𝑉𝑛

∆𝑡5

120+ ⋯

𝑈𝑛−1 = 𝑈𝑛 − 𝑈′𝑛∆𝑡 + 𝑈′′

𝑛 ∆𝑡2

2− 𝑈′′′

𝑛 ∆𝑡3

6+ 𝑈𝐼𝑉𝑛

∆𝑡4

24− 𝑈𝑉𝑛

∆𝑡5

120+ ⋯

Restando las dos expresiones anteriores…

𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛−1 = 2𝑈′𝑛∆𝑡 + 2𝑈′′′

𝑛 ∆𝑡3

6

Despejando 𝑈′𝑛…

𝑈′𝑛 =

𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛−1

2∆𝑡− 𝑈′′′

𝑛 ∆𝑡2

6

Tendríamos que el error 𝑅𝑛 para el tiempo es…

𝑅𝑛(∆𝑡) = −𝑈′′′𝑛 ∆𝑡2

6+ 𝑂(∆𝑡3)

Sumando los errores locales tanto para el tiempo como para el espacio, tenemos…

𝑅𝑖𝑛 = −𝑈𝑖𝑣

𝑕2

12− 𝑈𝑖𝑖𝑖

∆𝑡2

6+ 𝑂 𝑕3 + 𝑂 ∆𝑡3

De acuerdo a la expresión encontrada y según lo definido como orden del error y de la aproximación asociada a

dicho error, podemos decir que la aproximación del método (3.66).

Ejercicio 3.8

Derive la forma de la matriz del método de Runge kutta para la ecuación lineal:

𝒅𝒖

𝒅𝒕= −

𝟏

𝒉𝟐 𝑬𝒖 𝒕 y discuta su ventaja computacional comparado con el algoritmo recursivo.

Solución

Para llegar a la ecuación que se menciona en el enunciado del ejercicio consideremos:

𝜕𝑈

𝜕𝑡=

𝑑2𝑈

𝑑𝑥2

Por discretización del lado derecho obtenemos un juego de ecuaciones diferenciales ordinarias:

𝑑𝑢𝑖 𝑡

𝑑𝑡=

1

𝑕2 ∆2𝑢𝑖 𝑡 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

102

Las cuales pueden ser escritas en forma de matriz como:

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −

1

𝑕2 𝐸𝑢 𝑡

Donde E es una matriz trigonal simétrica

𝑬 =

2 − 1 −1 2 − 1 −1 2 − 1

. . . . . .

−1 2

Si se denota:

𝑀 = −1

𝑕2 𝐸

Entonces el coeficiente ai (del método) será:

𝑎1 = 𝑀𝑢𝑛

𝑎2 = (𝑀 +1

2∆𝑡 𝑀2)𝑢𝑛

Sustituyendo en la siguiente ecuación:

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +∆𝑡

6(𝑎1 + 2𝑎2 + 2𝑎3 + 𝑎4)

Donde

𝑎1 = 𝑓(𝑢𝑛 , 𝑡𝑛)

𝑎2 = 𝑓(𝑢𝑛 +1

2∆𝑡𝑎1, 𝑡𝑛 + 1/2∆𝑡)

𝑎3 = 𝑓(𝑢𝑛 +1

2∆𝑡𝑎2, 𝑡𝑛 + 1/2∆𝑡)

𝑎4 = 𝑓(𝑢𝑛 + ∆𝑡𝑎3, 𝑡𝑛 + ∆𝑡)

103

Se obtiene:

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑡 𝑀 +1

2∆𝑡 𝑀2 +

1

6∆𝑡2𝑀3 +

1

24∆𝑡3𝑀4 𝘶𝑛

= 𝑢𝑛 + ∆𝑡𝐵 ∆𝑡 𝑢𝑛 (A)

El algoritmo recursivo puede ser escrito como:

𝑎1 = 𝑀𝑢𝑛

𝑎2 = 𝑎1 +1

2∆𝑡𝑀𝑎1

𝑎3 = 𝑎1 +1

2∆𝑡𝑀𝑎2

𝑎4 = 𝑎1 + ∆𝑡𝑀𝑎3 (B)

En el caso de ∆𝑡 constante, un algoritmo basado en (A) será más rápido ya que (B) es aun una matriz tridiagonal. El

algoritmo (B) requerirá aproximadamente cuatro veces más cálculos. Si ∆𝑡 es variable, ambos algoritmos son

comparables, desde que (B) pueda ser evaluado por:

𝐵 = 𝑀 𝐼 +1

2∆𝑡𝑀(𝐼 +

1

3∆𝑡𝑀 𝐼 +

1

4∆𝑡𝑀 )

Ejercicio 3.9.

Investigar las propiedades del diagrama de segundo orden de Rosenbrock‘s (3.89), (3.90) y compararlo con el

esquema C-N.

Solución

Rosenbrock, 1993

𝑎1 = ∆𝑡(𝑓 𝑢𝑛 + 𝑏𝐽𝑛𝑎1)

𝑎2 = ∆𝑡 𝑓 𝑢𝑛 + 𝛽𝑎1 + 𝑏𝐽𝑛𝑎2

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑎2

Donde J es el jacobiano de f con elementos 𝜕𝑓𝑖 𝜕𝑢𝑗 y

𝑏 = 1 − 2

2= 0,29289

𝛽 = 2 − 1

2= 0,207106

Cuando este proceso es aplicado a problemas lineales (J=A) y el método esta dado por el siguiente proceso de dos

estaciones:

104

𝐴 −1

𝑏∆𝑡𝐼 𝑎1 = −

1

𝑏𝐴𝑢𝑛 (3,89)

𝐴 −1

𝑏∆𝑡𝐼 𝑎2 = −

1

𝑏𝐴𝑢𝑛 −

𝛽

𝑏𝐴𝑎1 (3,90)

Este proceso requiere solo un poco más trabajo que el método C-N, si el inverso de 𝐴 − 1 𝑏∆𝑡 𝐼 puede ser

almacenado. El método tiene algunas ventajas por encima del método C-N las cuales se discuten en el ejercicio 3,9.

Se puede mostrar que para ∆𝑡 → ∞ , el factor de amplificación ξ se aproxima a -1 en el esquema C-N, y a 0 para el

esquema de Rosenbrock‘s.

Los esquemas en los cuales 𝜉 → 0 cuando ∆𝑡 → ∞ son llamados L-aceptables (Ehle, 1973). Por consiguiente, C-N

oscila mucho más para ∆𝑡 grandes como se mostró anteriormente para la ecuación de difusividad 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 = 𝜕𝑢 𝜕𝑡

con condición inicial 𝑢 𝑥, 0 = 0 y condiciones limite 𝑢 0, 𝑡 = 1, 𝑢𝑥 1, 𝑡 = 0. La figura muestra las soluciones como

función del tiempo a 𝑥 = 0.1 computado con ∆𝑥 = 0.1 𝑦 ∆𝑡 = 0.1.

Ejercicio 3.10.

Encuentre el límite de estabilidad para el método diferencial adelante para un problema de una dimensión con los

siguientes parámetros:

Δx = 100 ft

k = 100 md

μ = 1 cp

B = 1

Ф = 0.1

Cf = 4x10-6

psia-1

CR = 3x10-6

psia-1

105

Solución

La estabilidad se mantendrá si:

𝑇𝑖+1/2 + 𝑇𝑖−1/2

𝑉𝑖𝑐𝑖 ∆𝑡 ≤ 1

𝑖

𝑚𝑎𝑥

(3.179)

Para cumplir esto, se debe cumplir que:

∆𝑡 ≥1

2

𝜇∅∆𝑥2 𝐶𝑓+𝐶𝑅

0.006328 𝑘 (𝐴)

Reemplazando valores se tiene:

1

2

1 ∗ 0.1 ∗ 1002 ∗ (4𝑥10−6 + 3𝑥10−6)

0.006328 ∗ 100= 5.53𝑥10−3 𝑑í𝑎𝑠.

El límite de estabilidad es:

∆𝑡 ≥ 5.53𝑥10−3𝑑í𝑎𝑠.

106

CAPITULO 4

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE MATRIZ TRIDIAGONAL

4.1 INTRODUCCIÓN

Todos los problemas de flujo en una dimensión discutidos en el capitulo anterior (excepto por el caso de condición

de frontera periódico) resultaban en un sistema de N ecuaciones algebraicas simultáneas con la forma:

𝑎1𝑢1 + 𝑏1𝑢2 = 𝑑1

𝑐𝑖𝑢𝑖−1 + 𝑎𝑖𝑢𝑖 + 𝑏𝑖𝑢𝑖+1 = 𝑑𝑖 𝑖 = 2,3, … , 𝑁 − 1 (4.1)

𝑐𝑁𝑢𝑁−1 + 𝑐𝑁𝑢𝑁 = 𝑑𝑁

Donde los coeficientes 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 y 𝑐𝑖 son conocidos y 𝑑𝑖 en la parte derecha de la ecuación también son conocidos.

Este sistema de ecuaciones también puede ser escrito de la siguiente forma:

𝐴𝑢 = 𝑑 (4.2)

Donde 𝑢𝑇 = 𝑢1,𝑢2, … . , 𝑢𝑁 , 𝑑𝑇 = 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑁 y A es una matriz tridiagonal:

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐2 𝑎2 𝑏2

. . . . . .

𝑐𝑁 𝑎𝑁

Para problemas con condiciones de frontera de cuarto grado (cíclico o condición de frontera periódico) el sistema de

ecuaciones tiene una forma ligeramente diferente:

𝑐1𝑢𝑁 + 𝑎1𝑢1 + 𝑏1𝑢2 = 𝑑1

𝑐𝑖𝑢𝑖−1 + 𝑎𝑖𝑢𝑖 + 𝑏𝑖𝑢𝑖+1 = 𝑑𝑖 𝑖 = 2,3, … , 𝑁 − 1 (4.4)

𝑐𝑁𝑢𝑁−1 + 𝑎𝑁𝑢𝑁 + 𝑏𝑁𝑢1 = 𝑑𝑁

Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como:

𝐶𝑢 = 𝑑 (4.5)

Donde el vector 𝑢 y 𝑑 son definidas como antes y

𝐶 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑐2 𝑎2 𝑏2 . . .

. . . 𝑏𝑁 𝑐𝑁 𝑎𝑁

El resto de este capítulo incluye los métodos para la solución de las ecuaciones (4.2) y (4.5). Estas ecuaciones

pueden resolverse por eliminación directa o por algún método iterativo. En este capítulo solo se considerara la

107

primera clase de método y deja la discusión de métodos iterativos para capítulos posteriores. La razón para esta

elección es que en estos problemas de una dimensión no se conocen métodos iterativos que puedan competir con

los métodos de eliminación directa.

En todos los casos se asume que la solución existe. La existencia de la solución se ha discutido en el capitulo

anterior.

4.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

En esta sección se presentara primero un método para el caso general de las ecuaciones (4.2) y (4.5).

Posteriormente, serán presentados algunos de estos algoritmos aplicables bajos ciertas condiciones especiales. No

es posible dar todos los métodos para la solución de diversas formas de las ecuaciones (4.2) y (4.5); sin embargo

trataremos con los métodos que son más importantes para la solución numérica de ecuaciones diferenciales

parciales.

4.2.1 Algoritmo de Thomas

El más popular de los métodos para la solución de la ecuación (4.2) es derivado de escribir A como el producto de

dos matrices:

𝐴 = 𝑊𝑄 (4.7)

Donde 𝑾 es una matriz triangular inferior y 𝑸 una matriz triangular superior. Para la matriz tridiagonal especial A se

considero dos matrices 𝑸 y 𝑾 que pueden escribirse como:

𝑊 =

𝑤1 𝑐2 𝑤2

. . . .

𝑐𝑁 𝑤𝑁

(4.8) 𝑄 =

1 𝑞1 1 𝑞2

. . . 𝑞𝑁−1

1

(4.9)

Notamos que la diagonal inferior de 𝑾 tiene los mismos elementos de la diagonal inferior de A, y los elementos de la

diagonal principal de 𝑸 han sido seleccionados arbitrariamente. Ahora si los elementos de 𝑾𝑸 son igualados a los

elementos de A, término por término, obtendremos 2𝑁 − 1 ecuaciones para las incógnitas:

𝑤1 , 𝑤2 , … . 𝑤𝑁 y 𝑞1 , 𝑞2 , …𝑞𝑁−1

Las relaciones deseadas son:

𝑤1 = 𝑎1 (4.10)

𝑞𝑖−1 = 𝑏𝑖−1/𝑤𝑖−1 𝑖 = 2,3, … , 𝑁 (4.11)

𝑤𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑐𝑖𝑞𝑖−1 𝑖 = 2,3, … , 𝑁 (4.12)

108

Sustituyendo ecuación (4.7) en (4.2) tenemos:

𝑊𝑄𝑢 = 𝑑 (4.13)

𝑄𝑢 = 𝑔 (4.14)

Luego:

𝑊𝑔 = 𝑑 (4.15)

Ya que 𝑊 es una matriz triangular inferior, la primera ecuación del sistema (4.15) tiene solo una incógnita y puede

resolverse para 𝑔1:

𝑔1 =𝑑1

𝑤1 (4.16)

El resto de ecuaciones en el sistema (4.15) puede resolverse por la siguiente eliminación:

𝑔𝑖 =𝑑𝑖−𝑐𝑖𝑔𝑖−1

𝑤 𝑖 𝑖 = 2,3, … , 𝑁 (4.17)

Ahora observamos que 𝒈 es el lado derecho del vector para el sistema (4.14) con el coeficiente de la matriz 𝑄 que

se conoce de (4.10) para (4.12).ya que 𝑄 es una matriz triangular superior la última ecuación en el sistema tiene solo

una incógnita y esta puede ser resuelta primero:

𝑢𝑁 = 𝑔𝑁

El resto de ecuaciones ahora puede resolverse por sustitución hacia atrás:

𝑢𝑖 = 𝑔𝑖 − 𝑞𝑖𝑢𝑖+1 𝑖 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2, … ,1 (4.18)

Para propósitos computacionales esto no es necesario para almacenar 𝑤𝑖 y el algoritmo podría escribirse como:

1. Set 𝑞1 =𝑏1

𝑎1 𝑔1 =

𝑑1

𝑎1

2. Compute for 𝑖 = 2,3, . . , 𝑁

Pi = ai − ciqi−1

𝑞𝑖 =𝑏𝑖

𝑃𝑖

𝑔𝑖 =𝑑𝑖−𝑐𝑖𝑔𝑖−1

𝑃𝑖

3. Set 𝑢𝑁 = 𝑔𝑁

4. Compute for 𝑖 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2, … ,1

𝑢𝑖 = 𝑔𝑖 − 𝑞𝑖𝑢𝑖+1

El anterior algoritmo requiere cinco multiplicaciones o divisiones y tres sustracciones por punto del grid. Este

algoritmo, en este o en una forma ligeramente diferente, se ha discutido en muchos textos (e.g., Lapidus, 1962;

Richtmyer and Morton, 1967; Ames, 1969; Von Rosenberg, 1969). Presentaremos un programa computacional visual

basic para el algoritmo de Thomas en el apéndice B. El algoritmo es en esencia una forma de eliminación gaussiana.

109

Cuando se usa este algoritmo debemos estar seguros que:

𝑎1 ≠ 0 (4.19) y 𝑃𝑖 = 𝑎𝑖 − 𝑐𝑖𝑞𝑖−1 ≠ 0 (4.20)

En los casos donde las anteriores condiciones no sean satisfechas el tamaño del sistema puede ser reducido.

También se debe tener cuidado con las graves acumulaciones de errores de redondeo en casos donde 𝑝𝑖 es

pequeño. Este problema puede ser manipulado por el proceso de eliminación llamado ‗‘pivoteo‘‘.

Ahlberg et al. (1967) extendió el algoritmo de Thomas para resolver ecuaciones (4.5). El procedimiento se reduce al

algoritmo de Thomas cuando 𝑐1 y 𝑏𝑁 son iguales a cero. El algoritmo puede escribirse como:

1. Set 𝑞1 =𝑏1

𝑎1 𝑔1 =

𝑑1

𝑎1 𝑠1 = −

𝑐1

𝑎1 𝑡𝑁 = 1 𝑣𝑁 = 0

2. Compute for 𝑖 = 2,3, . . , 𝑁

Pi = ai − ciqi−1

𝑠𝑖 = −𝑐𝑖𝑠𝑖−1

𝑃𝑖

𝑞𝑖 =𝑏𝑖

𝑃𝑖

𝑔𝑖 =𝑑𝑖 − 𝑐𝑖𝑔𝑖−1

𝑃𝑖

3. Compute for 𝑖 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2, … ,1

𝑡𝑖 = −𝑞𝑖𝑡𝑖+1 + 𝑠𝑖

𝑣𝑖 = 𝑔𝑖 − 𝑞𝑖𝑣𝑖+1

4. Compute 𝑢𝑁 =𝑑𝑁−𝑐𝑁𝑣𝑁−1−𝑏𝑁𝑣1

𝑎𝑁 +𝑡1𝑏𝑁 +𝑡𝑁−1𝑐𝑁

5. Compute for 𝑖 = 𝑁 − 1, 𝑁 − 2, … ,1

𝑢𝑖 = 𝑣𝑖 − 𝑡𝑖𝑢𝑁

El anterior procedimiento requiere ocho multiplicaciones o divisiones y cinco sustracciones por punto del grid.

4.2.2 Algoritmo de Tang

Tang (1969) presento un algoritmo para la solución de la ecuación (4.5). Este algoritmo tal vez fue derivado en una

manera similar al procedimiento discutido para el algoritmo de Thomas. El algoritmo es:

1. Set 휁1 = 0 𝛽1 = −1 𝛾1 = 0

2. Compute

휁2 =𝑑1

𝑏1 𝛽2 =

𝑎1

𝑏1 𝛾2 =

𝑐1

𝑏1

110

3. Compute for 𝑖 = 2,3, . . , 𝑁 − 1

휁𝑖+1 = (𝑑𝑖 − 𝑎𝑖휁𝑖 − 𝑐𝑖휁𝑖−1)/𝑏𝑖

𝛽𝑖+1 = −(𝑎𝑖𝛽𝑖 + 𝑐𝑖𝛽𝑖−1)/𝑏𝑖

𝛾𝑖+1 = −(𝑎𝑖𝛾𝑖 + 𝑐𝑖𝛾𝑖−1)/𝑏𝑖

4. Compute

𝐴 = 휁𝑁/(1 + 𝛾𝑁)

𝐵 = 𝛽𝑁/(1 + 𝛾𝑁)

𝐶 = (𝑑𝑁 − 𝑐𝑁휁𝑁−1)/(𝑎𝑁 − 𝑐𝑁𝛾𝑁−1)

𝐷 = (𝑏𝑁 − 𝑐𝑁𝛽𝑁−1)/(𝑎𝑁 − 𝑐𝑁𝛾𝑁−1)

5. Compute first and last values of the solution vector

𝑢1 = (𝐴 − 𝐶)/(𝐵 − 𝐷)

𝑢𝑁 = (𝐵𝐶 − 𝐴𝐷)/(𝐵 − 𝐷)

6. Compute intermediate values of the solution vector for 𝑖 = 2,3, . . , 𝑁 − 1

𝑢𝑖 = 휁𝑖 − 𝛽𝑖𝑢𝑖 − 𝛾𝑖𝑢𝑁

El algoritmo solo puede ser aplicado para la solución de la ecuación (4.2). En este caso

𝑐1 = 𝑏𝑁 = 0

Y el coeficiente de la matriz es tridiagonal. El paso 6 se reduce en lo siguiente:

6a. teniendo en cuenta que 𝛾𝑖 = 0 para todo 𝑖 y para 𝑖 = 2, … , 𝑁 − 1

𝑢𝑖 = 휁𝑖 − 𝛽𝑖𝑢1

Tang afirma que este método es superior al del algoritmo de Thomas bajo ciertas condiciones. Es claro desde el

paso anterior (6.a) que este error de redondeo no debe acumularse en la aplicación de este paso. El algoritmo

requiere 11 multiplicaciones o divisiones y 6 adiciones o sustracciones por punto en el grid. La forma reducida de

este algoritmo para la ecuación matricial tridiagonal resulta en una reducción de cuatro multiplicaciones o divisiones

o dos sustracciones por punto en el grid. El trabajo requerido para este algoritmo es una y media veces el trabajo

para el algoritmo de Thomas. Un programa computacional para el algoritmo de Tang es incluido en el apéndice B.

Otro algoritmo muy similar para la ecuación (4.5) fue presentado por Evans (1971). Este requiere alrededor de la

misma cantidad de trabajo computacional por punto del grid (11 multiplicaciones o divisiones y seis adiciones o

sustracciones) como el algoritmo de Tang. Sin embargo en el último paso del proceso de eliminación 𝑢𝑖 es

111

computarizado desde 𝑢𝑖+1 y 𝑢𝑁. Por lo tanto no tiene la misma ventaja como el método de Tang en lo que se refiere

a la acumulación de errores de redondeo.

4.2.3 Solución de Ecuaciones de Matriz Tridiagonal Simétrica

Como se discutió en el capitulo anterior en muchos problemas prácticos es posible escribir la ecuación de diferencias

finitas como:

𝑆𝑢 = 𝑑 (4.21)

Donde el coeficiente de la matriz es tridiagonal y simétrico:

𝑆 =

𝑎1 𝑏1 𝑏1 𝑎2 𝑏2

. . . . . .

𝑏𝑁−2 𝑎𝑁−1 𝑏𝑁−1

𝑏𝑁−1 𝑎𝑁

4.22)

Para este caso es posible escribir

𝑆 = 𝑊𝑊𝑇

Donde 𝑾 tiene la siguiente forma:

𝑊 =

𝑤1

𝑞1 𝑤2

. . 𝑞𝑖−1 𝑤𝑖

. . 𝑞𝑁−1 𝑤𝑁

Donde 𝑾𝑻 es la traspuesta de 𝑾

Un algoritmo que toma las ventajas de esta forma especial de la matriz (atribuido a Chleski) puede ser ejecutado por

los siguientes pasos (Fox, 1964; Westlake, 1968; wilkinson and Reinsch, 1971):

1. Set 𝑤1 = 𝑎1

2. Compute for 𝑖 = 1, … , 𝑁 − 1

𝑞𝑖 =𝑏𝑖

𝑤 𝑖

𝑤𝑖+1 = 𝑎𝑖+1 − 𝑞𝑖2

3. Set

𝑔𝑁 =𝑑𝑁

𝑤𝑁

112

4. Compute for 𝑖 = 𝑁 − 1, … ,1

𝑔𝑖 = (𝑑𝑖 − 𝑞𝑖𝑔𝑖+1)/𝑤𝑖

5. Set 𝑢1 = 𝑔1/𝑤1

6. Compute for 𝑖 = 2, … , 𝑁

𝑢𝑖 = (𝑔𝑖 − 𝑞𝑖𝑢𝑖+1)/𝑤𝑖

El algoritmo de Choleski requiere considerablemente más trabajo (seis multiplicaciones o divisiones, una raíz

cuadrada y tres adiciones o sustracciones por punto en el grid) que el algoritmo de Thomas. Esto es sorprendente en

un principio, ya que se esperaría hacer menos trabajo para el caso simétrico. Mostraremos en el capítulo 8 esta

descomposición simétrica como se indico anteriormente se convierte en atractivo para las matrices bandas de mayor

ancho de banda.

4.2.4 Casos Especiales de No Única Solución

Bajo ciertos casos la matriz de la ecuación que hay que resolver es singular y una única solución no existe. Este es

el caso para problemas elípticos (flujo en estado estacionario) con condiciones de frontera de Neumann. Para este

caso existe una solución si 𝑑𝑖 = 0 y con el fin de hacer una única solución de los elementos de 𝑢 debe

especificarse arbitrariamente algún punto de frontera (ver ejercicio4.1). El coeficiente de la matriz puede hacerse

simétrico por el método discutido en el capitulo anterior. La forma de la matriz es la misma que la de la matriz S dada

por la ecuación (4.22) con elementos definidos por:

𝑎1 = −𝑏1

𝑎1 = −(𝑏𝑖 + 𝑏𝑖−1) 𝑖 = 2, … , 𝑁 − 1

𝑎𝑁 = −𝑏𝑁−1

Este sistema puede resolverse por el siguiente algoritmo:

1. Let 𝑢𝑁 = 0 ( o cualquier valor arbitrario)

2. Compute for 𝑖 = 𝑁 − 1, … ,1

𝑢𝑖 = − 𝑑𝑘/𝑖𝑘=1 𝑏𝑖 − 𝑢𝑖 (4.23)

Este proceso requiere solo una división y una adición por punto del grid (desde 𝑑𝑖𝑁−1𝑖=1 = −𝑑𝑁 y sumas

consecuentes pueden ser obtenidas por una sola sustracción).

Una única solución no existe para el caso elíptico con condiciones de frontera periódicos.la solución se vuelve única

si 𝑢𝑖 especificado en cualquier punto 𝑖 y las incógnitas restantes son resueltas por, con 𝑢𝑖 como la condición de

frontera en ambos extremos. Es posible desarrollar un algoritmo especial de eliminación para estos casos como se

indica en el ejercicio 4.2.

113

4.2.5 Otros Casos Especiales

El trabajo computacional puede ser más reducido si la ecuación (4.2) es resuelta repetidamente por diferente 𝒅 sin

cambios en A. en este caso los elementos de descomposición matricial 𝑾 y 𝑸 definidos por la ecuación (4.10) por

(4.12) puede ser guardado y el algoritmo de thomas es modificado consecuentemente. Este proceso requiere solo

tres multiplicaciones o divisiones y dos adiciones o sustracciones por grid point después 𝑾 y 𝑸 se ha calculado

una vez.

Mas reducciones en el trabajo son posibles si 𝑨 es simétrica yla ecuación (4.2) es resuelta repetidamente (Cuthill

and Varga, 1959). Este proceso requiere solo dos multiplicaciones o divisiones y dos adiciones o sustracciones por

grid point.

Otros casos especiales son considerados por Evans y Forrington (1963) y Bakes (1965).estos sin embargo no son

importantes para los problemas considerados en este libro.

EJERCICIOS

Ejercicio 4.1

Considerando la ecuación:

)(xqx

uK

x

),0( Lx

Con condiciones de frontera 0

x

u cuando x=0 y x=L para la cual la ecuación de la matriz correspondiente es

de la forma (4.21). Encontrar (a) las condiciones para la existencia de una solución y (b) encontrar como la solución

puede ser única especificando u en un punto arbitrario.

Resumen de la solución:

(a) Añadiendo sucesivamente por filas en la ecuación, encontrar la condición para la que existe solución.

0i

di

La cual es equivalente a la ecuación (3.166). Muestra que si (A) se satisface, todas las soluciones de dSu son:

cuu p

Donde pu es una solución particular y Tccc ,..., es un vector constante.

(b) Si la solución se especifica en el punto interior i, la matriz S se vuelve diagonalmente dominante pero

reducible (Varga, 1962). (Reemplazar en la ecuación de diferencias finitas el punto i por Uui y analizar la matriz

resultante). El significado físico de la reducción es que el problema puede ser separado en dos problemas

independientes. La matriz S en este caso puede ser reducida mediante la eliminación de la fila y la columna i.

114

La ecuación reducida es:

2

1

2

1

2

1 0

0 g

g

u

u

S

S

𝑆1𝑢1 = 𝑔1

𝑆2𝑢2 = 𝑔2

Donde

𝑢1 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑖−1 𝑇

𝑢2 = 𝑢𝑖+1, … , 𝑢𝑁 𝑇

𝑔1𝑗 = 𝑑𝑗 𝑗 = 1, … , 𝑖 − 2 𝑔2𝑗 = 𝑑𝑗 𝑗 = 𝑖 + 2, … , 𝑁

𝑔1𝑖−1 = 𝑑𝑖−1 − 𝑏𝑖−1𝑈 𝑔2𝑖+1 = 𝑑𝑖+1 − 𝑏𝑖𝑈

Y 𝑆1 y 𝑆2 son submatrices de S.

Si la solución se especifica en i=1 o i=N, el tamaño de la matriz se puede reducir a N-1. La matriz reducida es

dominante en la diagonal e irreducible y el problema tiene una única solución.

EJERCICIO 4.2

Desarrollar el algoritmo análogo al algoritmo (4.23) para el problema elíptico con condiciones limites periódicas, dado

por 𝐴𝑢 = 𝑑, donde

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑏𝑁

𝑏1 𝑎2 𝑏2 . . .

. . . . . .

. . .𝑏𝑁 𝑏𝑁−1 𝑎𝑁

𝑎1 = −(𝑏1 + 𝑏𝑁)

𝑎𝑖 = −(𝑏𝑖−1 + 𝑏𝑖) 𝑖 = 2, … , 𝑁

Considerando:

(a) El caso en que 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏.

(b) El caso general.

(c) Requerimientos computacionales.

Resumen de la solución

Añadiendo filas se transformara A y d en:

115

𝐴′ =

𝑎1 𝑏1 𝑏𝑁

−𝑏𝑁 𝑏2 𝑏2 𝑏𝑁

−𝑏𝑁 −𝑏3 𝑏3 𝑏𝑁

. . . .−𝑏𝑁 −𝑏1 −𝑏1 𝑏𝑁

. . . .

. . . .−𝑏𝑁 −𝑏𝑁 − 1 (𝑏𝑁−1 + 𝑏𝑁)

−𝑏𝑁 𝑏𝑁 − 1 𝑎𝑁

𝑑1 =

𝑑1

𝑑1 + 𝑑2

.

.

.

𝑑𝑗

𝑖

𝑗 =1...

𝑑𝑗

𝑁−1

𝑗 =1

𝑑𝑁

Las dos últimas filas dan la condición 𝑑𝑗 = 0𝑁𝑖 . Escoger ahora: 𝑢𝑁 = 0

Así 𝑢1 , … , 𝑢𝑁−1 se obtienen resolviendo 𝐴1𝑢 = 𝑑1 reduciendo por dropping la última fila y la última columna.

(a) Si 𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑁 el algoritmo es:

𝑢1 = 𝑑𝑗

𝑘𝑗=1

𝑁𝑏 𝑁−1

𝑘=1 (B)

𝑢𝑖 = 𝑑𝑗

𝑘𝑗 =1

𝑏 − (𝑁 − 𝑖)𝑢1

𝑁−1

𝐾=𝑖

(Recomendación: sumar todas las filas 𝑗 = 1, … , 𝑁 − 1 para obtener 𝑢1, sumar filas 𝑗 = 1, … , 𝑖 para

obtener 𝑢𝑖 .

(b) Para el caso donde todos los valores de b son diferentes, multiplicar cada columna por 𝑏1

𝑏𝑖 , luego

proceder como en (a).

(c) Con la estructura de cálculo adecuada, (B) requiere una multiplicación y tres adiciones por término

desconocido.

Un sistema de este tipo más general es considerado por Evans (1971a).

116

CAPITULO 5

FLUJO MULTIFÁSICO EN UNA DIMENSIÓN

5.1 INTRODUCCIÓN

Éste es el primer capítulo que trata flujo multifásico. En comparación con el flujo monofásico, la simulación del flujo multifásico requiere técnicas más poderosas, porque trata con un sistema de ecuaciones no-lineales acoplado. Aquí presentaremos técnicas básicas de solución que están actualmente en uso, así como técnicas especiales usadas en problemas que son difíciles de resolver por técnicas estándar. Aunque tales problemas (por ejemplo, Conificación y Filtración de gas) son típicos de sistemas multidimensionales, es más fácil discutir técnicas para manejarlas aquí. Desde el primer artículo sobre dos fases de West et al. (1954), ha sido publicados muchos artículos sobre la

simulación de flujo multifásico. En las Secciones 5.1 y 5.2, los dos métodos básicos para solucionar ecuaciones de flujo multifásico son presentados: Método de solución simultánea (SS), y el método implícito presiones – explícito saturación (IMPES). Varios métodos para el tratamiento de no-linealidades son discutidos en la Sección 5.5. Un método relativamente nuevo conocido como el método secuencial (SEQ) es presentado en la sección 6.

Cuando tratemos flujo multifásico, denotaremos las fases mojante y no mojante como "𝒘" y "𝒏" y escribiremos las

ecuaciones (2.65) a (2.65) como:

𝜕

𝜕𝑥 𝜆 𝑙

𝜕𝑃 𝑙

𝜕𝑥− 𝛾𝑙

𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆 𝑙

𝐵 𝑙 + 𝑞𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.1𝑎)

𝑃𝑐 = 𝑃𝑛 − 𝑃𝑤 𝑆𝑤 + 𝑆𝑛 = 1 (5.1𝑏)

Para flujo trifásico, escribiremos las ecuaciones como:

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑤

𝜕𝑃𝑤

𝜕𝑥− 𝛾𝑤

𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑜

𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑥− 𝛾𝑜

𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

1 − 𝑆𝑤 − 𝑆𝑔

𝐵𝑜 + 𝑞𝑜

𝜕

𝜕𝑥 𝑅𝑠 𝜆𝑜

𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑥− 𝛾𝑜

𝜕𝑧

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑔

𝜕𝑃𝑔

𝜕𝑥− 𝛾𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙𝑅𝑠

1 − 𝑆𝑤 − 𝑆𝑔

𝐵𝑜+ 𝜙

𝑆𝑔

𝐵𝑔 + 𝑅𝑠𝑞𝑜 + 𝑞𝑔

𝑃𝑐𝑜𝑤 = 𝑃𝑜 − 𝑃𝑤 𝑃𝑐𝑜𝑤 = 𝑃𝑔 − 𝑃𝑜 (5.2𝑏)

Debido a que la mayoría de este capítulo tratará con aproximaciones en un punto dado en el espacio, en ocasiones

omitiremos el subíndice espacial 𝒊.

5.2 EL MÉTODO DE SOLUCIÓN SIMULTÁNEA (SS)

La esencia de este método es la escritura de las derivadas de saturación en el lado derecho de las ecuaciones (5.1a) o (5.2a) en términos de las derivadas de presión y la solución de las ecuaciones resultantes para presiones. Fue primero propuestos por Douglas et al. (1959) y más tarde extendido y analizado más allá por varios investigadores (Coats et al., 1967; Coats, 1968; Sheffield, 1969). 5.2.1 El Método SS para Flujo Bifásico

La selección de la aproximación del tiempo es crucial para las ecuaciones acopladas. Es natural tratar técnicas del Capítulo 3 (Sección 3.3), puesto que las ecuaciones (5.1a) son parabólicas. Sin embargo, tales métodos raramente funcionan cuando se aplican a sistemas de ecuaciones no lineales acopladas de este tipo. Un método confiable es la aproximación con diferencias regresivas. Douglas (1960) ha mostrado que es estable para problemas de este tipo y es uno de los más usados frecuentemente en las Simulaciones de yacimientos. Permítanos por consiguiente discretizar el lado derecho de la ecuación (5.1a) por medio de la aproximación diferencial regresiva. El concepto de aproximación de tiempo que conserva masa fue discutido en el Capítulo 3

117

(Sección 3.7.1). El concepto se extiende para flujo multifásico mediante la siguiente definición de la derivada temporal:

1

𝛥𝑡𝛥𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 = 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑛+1

− 𝜙𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑛

(5.3)

Así que:

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 ≃

1


𝑆𝑙

𝐵𝑙 (5.4)

Podemos ahora escribir las aproximaciones en diferencias finitas para la ecuación (5.1a) como:

[Δ𝑇𝑙 Δ(𝑃𝑙𝑛+1 − 𝛾𝑙𝑧)]𝑖 =

1

𝛥𝑡𝛥𝑡 𝑉𝑝

𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑖

+ 𝑄𝑙 𝑖 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.5)

Donde:

Δ𝑇 Δ(𝑃 − 𝛾𝑧)] ≡ Δ𝑇Δ𝑃 − Δ𝑇 Δ𝛾𝑧≡ 𝑇

𝑖+1 2

[𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖 − 𝛾𝑖+

1 2

(𝑧𝑖+1 − 𝑧𝑖)] + 𝑇𝑖−

1 2

[𝑃𝑖−1 − 𝑃𝑖 − 𝛾𝑖−

1 2

(𝑧𝑖−1 − 𝑧𝑖)] (5.6)

𝑉𝑝 𝑖= 𝜙𝑖 𝐴𝑖 Δ𝑥𝑖 = 𝑉𝑖 𝜙𝑖 , 𝑇𝑖+

1

2

= 𝜆𝑖+

1

2

𝐴

𝑖+1 2

Δ𝑥𝑖+

1 2

y 𝑄𝑙 𝑖 son las tasas de inyección/producción del bloque.

Esas aproximaciones son extensiones directas de las ecuaciones (3.125) y (3.126) para flujo monofásico. Expansión de las aproximaciones de las derivadas temporales. El paso esencial el cual conlleva a la formulación de

SS es expandir el lado derecho de la ecuación (5.5) en términos de 𝑃𝑤 y 𝑃𝑛 . El operador 𝛥𝑡 puede expandirse como:

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑙

𝐵𝑙 = 𝑆𝑙

𝑛 𝛥𝑡 𝜙

𝐵𝑙 +

𝜙

𝐵𝑙 𝑛+1

𝛥𝑡𝑆𝑙 = 𝑆𝑙𝑛 𝜙𝑛 𝛥𝑡

1

𝐵𝑙 +

𝜙

𝐵𝑙 𝑛+1

𝛥𝑡𝑆𝑙 + 𝑆𝑙𝑛 1

𝐵𝑙𝑛+1 𝛥𝑡𝜙 (5.7)

Definimos las derivadas (pendientes de no-linealidades) así:

𝑏′𝑙 = 1

𝐵𝑙 ′

=𝑑

1𝐵𝑙

𝑑𝑃𝑙 𝑆𝑙

′ =𝑑𝑆𝑙

𝑑𝑃𝑐 𝑙 = 𝑤, 𝑛

𝜙′ = 𝑑𝜙 𝑑𝑃 = 𝜙 °𝐶𝑅 (5.8)

Si asumimos que la porosidad depende de 𝑃 =½(𝑃𝑤 + 𝑃𝑛), podemos escribir

𝛥𝑡𝜙 = 𝜙′[ ½ 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝛥𝑡𝑃𝑛 ] , entonces la ecuación (5.7) puede expresarse como:


𝐵𝑙 = (𝜙𝑆𝑙)

𝑛𝑏′𝑙 𝛥𝑡𝑃𝑙 + 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1𝑆′𝑙 𝛥𝑡𝑃𝑛 − 𝛥𝑡𝑃𝑤

+ 𝑏𝑙𝑛+1𝑆𝑙

𝑛 𝜙′[ ½ 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝛥𝑡𝑃𝑛 ] (5.9)

Tenga en cuenta que hasta el momento no hemos asignado ningún nivel de tiempo a las derivadas 𝑆′𝑙 , etc. La

ecuación (5.9) conservará la masa solamente si las expansiones de términos como 𝛥𝑡𝑆 son exactas, por ejemplo:

𝑆′𝑙𝛥𝑡𝑃𝑐 ≡ 𝑆𝑙𝑛+1 − 𝑆𝑙

𝑛

Esta generalmente puede satisfacerse solo si la derivada 𝑆′𝑙 es definida como una cuerda entre 𝑆𝑛 y 𝑆𝑛+1

(Peaceman, 1967; Coats, 1968):

118

𝑆′𝑙 =𝑆𝑙

𝑛+1 − 𝑆𝑙𝑛

𝑃𝑐𝑛+1 − 𝑃𝑐

𝑛 (5.10)

Con excepción de la presión capilar que es una función lineal de la saturación, la ecuación 10 define un coeficiente

implícito y así requiere iteración. Coeficientes implícitos similares resultan de 𝑏′𝑙 y 𝜙′. Aún si 𝑃𝑐 y 𝑏 fueran funciones

lineales, la expansión (5.9) aún tendrían coeficientes implícitos porque 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1 en el segundo término y 𝑏𝑙

𝑛+1 en

el tercer término datan del nivel de tiempo n+1. Forma de Matriz de Ecuaciones SS. Con las expansiones dadas en la Ecuación (5.9), la ecuación (5.5) puede escribirse como:

[Δ𝑇𝑤 Δ(𝑃𝑤𝑛+1 − 𝛾𝑤𝑧)]𝑖

𝑛+1 = 𝑑11𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑑12𝛥𝑡𝑃𝑛 𝑖 + 𝑄𝑤 𝑖

[Δ𝑇𝑛 Δ(𝑃𝑛𝑛+1 − 𝛾𝑛𝑧)]𝑖

𝑛+1 = 𝑑21𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑑22𝛥𝑡𝑃𝑛 𝑖 + 𝑄𝑛 𝑖 (5.11)

Donde los coeficientes 𝑑𝑘𝑙 son fácilmente encontrados de la ecuación (5.9) (Reconociendo 𝑆′𝑛 = −𝑆′𝑤 ):

𝑑11 =𝑉

∆𝑡[ 𝜙𝑆𝑤 𝑛𝑏′𝑤 − 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1𝑆′𝑤 +½ 𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤𝑛 𝜙′]

𝑑12 =𝑉

∆𝑡[ 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1𝑆′𝑤 +½ 𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤𝑛 𝜙′]

𝑑21 =𝑉

∆𝑡[ 𝜙𝑏𝑛 𝑛+1𝑆′𝑤 +½ 𝑏𝑛

𝑛+1(1 − 𝑆𝑤𝑛) 𝜙′]

𝑑22 =𝑉

∆𝑡 𝜙(1 − 𝑆𝑤) 𝑛𝑏′𝑛 − 𝜙𝑏𝑛 𝑛+1𝑆′𝑤 +½ 𝑏𝑛

𝑛+1 1 − 𝑆𝑤𝑛 𝜙′ (5.12)

Existen dos ecuaciones de diferencias (Ecuaciones (5.11)) para cada punto en el grid, las cuales deben solucionarse simultáneamente, de ahí el nombre ―Método SS‖. Ordenando las incógnitas en un vector:

𝑃 = [𝑃1𝑤 , 𝑃1𝑛 , . . , 𝑃𝑖𝑤, 𝑃𝑖𝑛

, … , 𝑃𝑁𝑤 , 𝑃𝑁𝑛 ]𝑇

Las ecuaciones de diferencias finitas para todos los puntos del grid pueden ser escritas ahora en forma de matriz, así:

𝑇𝑃𝑛+1 = 𝐷 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛 + 𝐺 + 𝑄 = 𝐷𝛥𝑡𝑃 + 𝐺 + 𝑄 (5.13)

Donde 𝑻 es la matriz transmisibilidad, 𝑫 es la matriz acumulación, 𝑮 es el vector de términos gravitacionales (los

cuales hemos asumido, pueden expresarse en el nivel de tiempo n), y 𝑸 es el vector fuente.

Puesto que la ecuación (5.13) es típica para flujo multifásico mostraremos su estructura en detalle y desarrollaremos notación para matrices estructuradas por bloques.

El i-ésimo ―bloque fila‖ de la matriz 𝑻 es:

Bloque Diagonal

𝑇𝑤 𝑖−1

2

0 − 𝑇𝑤 𝑖−1

2

+ 𝑇𝑤 𝑖+1

2

0 𝑇𝑤 𝑖+1

2

0

0 𝑇𝑛 𝑖−1

2

0 − 𝑇𝑛 𝑖−1

2

+ 𝑇𝑛 𝑖+1

2

0 𝑇𝑛 𝑖+1

2

119

El i-ésimo bloque de 𝑫 es una matriz de 2x2

𝑫𝒊 = 𝑑11 𝑖 𝑑12 𝑖

𝑑21 𝑖 𝑑22 𝑖

(5.14)

Y las i-ésimas particiones de 𝑮 y 𝑸 son:

𝑮𝒊 = (∆𝑇𝑤 𝛾𝑤 ∆𝑧)𝑖

(∆𝑇𝑛 𝛾𝑛 ∆𝑧)𝑖 𝑸𝒊 =

𝑄𝑤 𝑖

𝑄𝑛 𝑖

(5.15)

Si definimos (además de 𝑫𝒊 ) matrices de 2x2:

𝑻𝒊−

𝟏 𝟐

=

𝑇𝑤 𝑖−1 2

0

0 𝑇𝑛 𝑖−1 2

𝑻𝒊 = − 𝑇𝑖−

12

+ 𝑇𝑖+

1 2 (5.16)

Y Vectores de dos elementos:

𝑷𝒊 = 𝑃𝑤 𝑖

𝑃𝑛 𝑖 𝜟𝒕𝑷𝒊

𝒏 = 𝛥𝑡𝑃𝑤

𝑛𝑖

𝛥𝑡𝑃𝑛𝑛

𝑖

= 𝛥𝑡𝑃𝑤

𝑛𝑖

𝛥𝑡𝑃𝑛𝑛

𝑖

= 𝑃𝑤

𝑛+1𝑖− 𝑃𝑤

𝑛𝑖

𝑃𝑛𝑛+1

𝑖− 𝑃𝑛

𝑛𝑖

Entonces, la ecuación (5.13) puede escribirse en forma de bloque expandido como:

𝑻𝟏 𝑻𝟏+𝟏 𝟐

𝑻𝒊−𝟏 𝟐 𝑻𝒊 𝑻𝒊+𝟏 𝟐

𝑻𝑵−𝟏 𝟐 𝑻𝑵

𝑷𝟏

𝑷𝒊

𝑷𝑵 𝑛+1

=

𝑫𝟏

𝑫𝒊

𝑫𝑵

𝜟𝒕𝑷𝟏

𝜟𝒕𝑷𝒊

𝜟𝒕𝑷𝑵 𝑛

+

𝑮𝟏

𝑮𝒊

𝑮𝑵

+

𝑸𝟏

𝑸𝒊

𝑸𝑵

(5.17)

El sistema anterior es útil porque muchos algoritmos de matriz pueden extenderse fácilmente a matrices estructuradas por bloques mediante una sustitución formal de las operaciones matriciales a operaciones aritméticas (Capítulo 6). La ecuación (5.13) algunas veces se escribe en una forma residual, la cual es más conveniente desde el punto de

vista computacional, especialmente en relación a los métodos iterativos. Definiendo para cualquier 𝑷𝒌 un 𝑹𝒌

mediante:

𝑹𝒌 = 𝑻𝑷𝒌 − 𝑫 𝑷𝒌 − 𝑷𝒏 − 𝑮 (5.18)

Entonces la solución (5.13) satisface

𝑹𝒏+𝟏 = 𝑸

120

Usando 𝑹𝒏, podemos escribir la ecuación (5.13) como:

𝑻 − 𝑫 (𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏) = −𝑹𝒏 + 𝑸 (5.19)

Frecuentemente, tenemos alguna aproximación 𝑷𝒌 a 𝑷𝒏+𝟏 así como el vector de la última iteración; entonces

podemos escribir

𝑻 − 𝑫 (𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒌) = −𝑹𝒏 + 𝑸 (5.20)

(Algunos autores incluyen 𝑸 en la definición de 𝑹 tal que 𝑹𝒏+𝟏 = 𝟎).

Comentarios sobre el Método SS. a) El método SS como se presentó aquí requiere Presiones Capilares diferentes de cero puesto que las

ecuaciones para 𝑷𝒘 y 𝑷𝒏 están unidas mediante 𝑺′𝒘. Como la pendiente de la presión capilar decrece, la

matriz 𝑫 se vuelve dominante y el sistema de ecuaciones llega a ser singular. (Ejercicio 5.1). Por ende, si uno

desea simular el caso de Presión Capilar cero, una pequeña curva ―falsa‖ (la mejor opción es lineal) debe

usarse. Afortunadamente, el valor de 𝑑𝑃𝑐 𝑑𝑆 , el cual es necesario para que la Solución SS sea válida, es lo

suficiente pequeño así que no afecta las respuestas (Coats, 1968). Una variante del Método SS el cual no está

restringido a 𝑷𝒄 nula se da en la siguiente sección.

b) Luego que el paso de tiempo esté completo, 𝑺𝒘 debe actualizarse. Este paso involucra el tratamiento de no-

linealidades debido a la Presión Capilar, lo cual será discutido en la sección (5.5).

c) Debido a que el número de incógnitas es 𝑁x(el número de fases), el método SS llega a ser costoso para

problemas multidimensionales. El valor real del enfoque de SS está relacionado con el tratamiento implícito de las transmisibilidades (Sección 5.5).

5.2.2 Extensión del Método SS a Flujo Trifásico

Las expansiones del lado derecho para las ecuaciones del agua y el aceite de las ecuaciones (5.2) son:

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑜

𝐵𝑜 = 𝜙𝑛(1 − 𝑆𝑤 − 𝑆𝑔)𝑛𝑏′𝑜 𝛥𝑡𝑃𝑜 + 𝜙𝑏𝑜

𝑛+1 −𝑆′𝑤 𝛥𝑡𝑃𝑜 − 𝛥𝑡𝑃𝑤 −𝑆′𝑔 𝛥𝑡𝑃𝑔 − 𝛥𝑡𝑃𝑜

+ 𝑏𝑜𝑛+1(1 − 𝑆𝑤 − 𝑆𝑔)𝑛 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑤 (5.21)

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑤

𝐵𝑤 = 𝜙𝑛𝑆𝑤

𝑛𝑏′𝑤 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1𝑆′𝑤 𝛥𝑡𝑃𝑜 − 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑏𝑤𝑛+1𝑆𝑤

𝑛 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑤 (5.22)

Donde ahora hemos asumido que 𝜙 depende de 𝑃𝑤 . Para la ecuación de gas, el operador satisfaciendo la ecuación

de balance de materiales es:

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑔

𝐵𝑔+ 𝜙𝑅𝑠

𝑆𝑜

𝐵𝑜 = 𝛥𝑡 𝜙

𝑆𝑔

𝐵𝑔 + 𝑅𝑠

𝑛 𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑜

𝐵𝑜 + 𝜙

𝑆𝑔

𝐵𝑔

𝑛+1

𝛥𝑡𝑅𝑠 (5.23)

El primer término es

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑔

𝐵𝑔 = 𝜙𝑛𝑆𝑔

𝑛𝑏′𝑔 𝛥𝑡𝑃𝑔 + 𝜙𝑏𝑔 𝑛+1

𝑆′𝑔 𝛥𝑡𝑃𝑔 − 𝛥𝑡𝑃𝑜 + 𝑏𝑔𝑛+1𝑆𝑔

𝑛 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑔 (5.24)

El segundo término está dado por la ecuación (5.21) y 𝛥𝑡𝑅𝑠 se expresa así:

𝛥𝑡𝑅𝑠 = 𝑅𝑠′𝛥𝑡𝑅𝑜 donde 𝑅𝑠

′ =𝑅𝑠

𝑛+1 − 𝑅𝑠𝑛

𝑃𝑜𝑛+1 − 𝑃𝑜

𝑛

121

Es igualmente apropiado expandir el segundo término del lado izquierdo de la ecuación (5.23) así

𝛥𝑡 𝑅𝑠𝜙𝑆𝑜

𝐵𝑜 = (𝑅𝑠𝑏𝑜)𝑛𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑜 + 𝜙𝑆𝑜

𝑛+1𝛥𝑡 𝑅𝑠𝑏𝑜

Usando la definición

𝑅𝑠𝑏𝑜 ′ =

(𝑅𝑠𝑏𝑜)𝑛+1 − (𝑅𝑠𝑏𝑜)𝑛

𝑃𝑜𝑛+1 − 𝑃𝑜

𝑛

Las ecuaciones de diferencias para aceite y agua están de nuevo dadas por la ecuación (5.5), donde 𝑙 = 𝑜, 𝑤 y la

ecuación (5.21) o (5.22) es usada para el lado derecho. La aproximación diferencial para la ecuación del gas puede escribirse así

Δ[𝑇𝑔 Δ(𝑃𝑔𝑛+1 − 𝛾𝑔𝑧)]𝑖 + Δ[𝑅𝑠𝑇𝑜 Δ(𝑃0

𝑛+1 − 𝛾𝑜𝑧)]𝑖

=1


𝑆𝑔

𝐵𝑔+ 𝑅𝑠

𝑆𝑜

𝐵𝑜

𝑖

+ (𝑅𝑠𝑄𝑜)𝑖 + 𝑄𝑔𝑖 (5.25)

Donde:

Δ[𝑅𝑠 𝑇𝑜 Δ(𝑃0𝑛+1 − 𝛾𝑜𝑧)]𝑖

= 𝑅𝑠 𝑇𝑜 𝑖+1 2

[𝑃𝑜𝑖+1− 𝑃𝑜𝑖

− 𝛾𝑜 𝑖+1 2

(𝑧𝑖+1 − 𝑧𝑖)]

+ 𝑅𝑠 𝑇𝑜 𝑖−1 2

[𝑃𝑜𝑖−1− 𝑃𝑜 𝑖

− 𝛾𝑜 𝑖−1 2

(𝑧𝑖−1 − 𝑧𝑖)] (5.26)

Una formulación alternativa de la ecuación del gas se obtiene si la ecuación del aceite es multiplicada por 𝑅𝑠 y

deducida de la ecuación de Gas. Puede hacerse con la ecuación diferencial o la ecuación de diferencias con el mismo resultado (Ver ejercicio 5.2).

5.2.3 Otras formulaciones del Método SS

Por brevedad, sólo consideraremos flujo bifásico.

Formulación sin términos explícitos de gravedad. La definición de pseudopotenciales Φw , Φn (Ver Sección 2.4.3 del

Capítulo 2) es

Φ𝑙 = 𝑑𝑃

𝛾𝑙

𝑃

𝑃0

− 𝑧 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.27)

Transformando la ecuación (5.1a) en

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑙𝛾𝑙

𝜕Φ𝑙

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 + 𝑞𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.28)

La cual puede aproximarse mediante las siguientes ecuaciones de diferencias:

ΔT𝑙ΔΦ𝑙𝑛+1

𝑖

=1

Δ𝑡𝛥𝑡 𝑉𝑝

𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑖

+ 𝑄𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.29)

Donde

𝑇𝑙 𝑖+1 2 = (𝜆𝑙𝛾𝑙) 𝑖+1 2

𝐴 𝑖+1 2

Δ𝑥 𝑖+1 2

122

El lado derecho debe expandirse en términos de los valores de Φ𝑙 . Debido a que 𝛥𝑡Φ𝑙 = 𝛥𝑡𝑃𝑙 𝛾 𝑙 donde 𝛾 𝑙 es la

𝛾𝑙 promedio en el intervalo de tiempo 𝑛 a 𝑛 + 1, obtenemos


𝐵𝑙 = 𝛾 𝑙 𝜙𝑆𝑙

𝑛𝑏′𝑙 + 𝑏𝑙𝑛+1𝑆𝑙

𝑛𝜙′ 𝛥𝑡Φ𝑙

+ 𝛾 𝑙 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1𝑆′𝑙 𝛥𝑡Φ𝑛 − 𝛥𝑡Φ𝑤 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.30)

Asumimos aquí que

𝛥𝑡𝜙 ≃ 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑜 ≃ 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑤

Lo cual es una buena aproximación si 𝑃𝑐 es pequeño comparado a cambios en la presión de yacimiento. En la forma

matricial, esta formulación se convierte en:

𝑻𝚽𝒏+𝟏 = 𝑫 𝚽𝒏+𝟏 − 𝚽𝒏 + 𝑸

Donde la matriz 𝑫 tiene elementos definidos por la ecuación (5.30).

La conversión entre Φ𝑙 y 𝑃𝑙 se logra mejor estableciendo correspondencia

Φ𝑙 ↔ 𝑑𝑃

𝛾𝑙= 𝑃 𝑙(𝑃𝑙)

En forma tabular, debido a que para cualquier 𝑧, Φ𝑙 = 𝑃 𝑙(𝑃𝑙) − 𝑧

Formulación en términos de 𝑃, 𝑆. Escogiendo 𝑃𝑛 , 𝑆𝑤 como variables dependientes. Las ecuaciones (5.1) son

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑤

𝜕𝑃𝑛


𝜕𝑧

𝜕𝑥 −

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑤

𝜕𝑃𝑐

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑤

𝐵𝑤 + 𝑞𝑤

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑛

𝜕𝑃𝑛

𝜕𝑥− 𝛾𝑛

𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

(1 − 𝑆𝑤)

𝐵𝑛 + 𝑞𝑛 (5.31)

Ahora, al expandir el lado derecho de las anteriores ecuaciones con la suposición 𝜙𝑛+1 = 𝜙𝑛 + 𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑤 y usando

la relación

𝛥𝑡𝑃𝑤 = 𝛥𝑡𝑃𝑛 − 𝛥𝑡𝑃𝑐 = 𝛥𝑡𝑃𝑛 − 𝑃′𝑐𝛥𝑡𝑆𝑤

Donde

𝑃′𝑐 = 𝑑𝑃𝑐 𝑑𝑆𝑤

Entonces:

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑤

𝐵𝑤 = 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝜙𝑆𝑙

𝑛𝑏′𝑤 𝛥𝑡𝑃𝑛 − 𝑃′𝑐𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑆𝑤𝑛𝑏𝑤

𝑛+1𝜙′𝛥𝑡𝑃𝑛

𝛥𝑡 𝜙𝑆𝑛

𝐵𝑛 = − 𝜙𝑏𝑛 𝑛+1𝛥𝑡𝑆𝑤 + 1 − 𝑆𝑤

𝑛 𝜙𝑛𝑏′𝑛 + 𝜙′ 𝛥𝑡𝑃𝑛

De manera similar el término 𝜆𝑤𝜕𝑃𝑐

𝜕𝑥 puede expresarse como 𝜆𝑤𝑃′𝑐

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑥. Si ordenamos las incógnitas como se

indica en el siguiente vector

𝑃 = 𝑃𝑛1, 𝑆𝑤1

, … , 𝑃𝑛 𝑖, 𝑆𝑤𝑖

, … , 𝑃𝑛𝑁, 𝑆𝑤𝑁

𝑇

123

Podemos escribir la aproximación por diferencias finitas regresivas para la ecuación (5.31) otra vez en la forma de la ecuación (5.13).

La matriz 𝑫 tiene bloques 𝑫𝒊 con elementos

𝑑11 =𝑉

∆𝑡 𝑆𝑤

𝑛 𝜙𝑛𝑏′𝑤 + 𝜙′𝑏𝑤𝑛+1

𝑑12 =𝑉

∆𝑡[ 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1 + 𝜙𝑆𝑤 𝑛𝑏𝑤𝑃′𝑐]

𝑑21 =𝑉

∆𝑡[ 1 − 𝑆𝑤

𝑛 𝜙𝑛𝑏′𝑛 + 𝜙′𝑏𝑛𝑛+1 ]

𝑑22 =𝑉

∆𝑡 − 𝜙𝑏𝑛 𝑛+1 (5.32)

Y la matriz 𝑻 tiene bloques

𝑻𝒊+

𝟏 𝟐

=

𝑇𝑤 𝑖+1 2

𝑇𝑤𝑃′𝑐 𝑖+1 2

𝑇𝑛 𝑖+1 2

0 𝑻𝒊 = − 𝑇

𝑖+12

+ 𝑇𝑖−

1 2 (5.33)

(Note la estructura asimétrica de la matriz 𝑻, opuesta a la matriz simétrica obtenida en la ecuación (5.16). esta

formulación es aplicable también para 𝑃𝑐 ≡ 0, caso en el cual 𝑃′𝑐 ≡ 0. Formulaciones equivalentes pueden

escribirse en cualquier otro par de 𝑃 y 𝑆 o variables equivalentes (Ejercicio 5.3 y 5.4).

5.3 MÉTODO IMPLÍCITO PRESIONES - EXPLÍCITO SATURACIONES (IMPES) Este método surgió en el trabajo de Sheldon et al. (1959), y Stone y Gardner (1961). Su idea básica es obtener una sola ecuación de presión mediante una combinación de las ecuaciones de flujo. Luego que la presión se haya determinado en el tiempo, las saturaciones son actualizadas explícitamente. Un procedimiento numérico similar ha sido desarrollado también para las ecuaciones de Navier-Stokes donde es conocido como el ―método de la variable primitiva‖ (Fox y Deardoff, 1972). El método IMPES fue propuesto también por autores soviéticos (Danilov et al., 1968). Daremos primero una derivación estándar de las ecuaciones IMPES – Trifásico, como se encuentra en Breitenbach et al. (1969) y Coats (1968). Seguido de esto se presentaran algunas variaciones del método. 5.3.1. Método IMPES para flujo trifásico

Las ecuaciones de diferencias finitas, discretizando la ecuación (5.1) pueden ser escritas en términos de 𝑃𝑜 y las

saturaciones como

Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑜 − Δ𝑃𝑐𝑜𝑤 − 𝛾𝑤Δ𝑧)] = 𝐶1𝑝𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝐶1𝑙𝛥𝑡𝑆𝑙

𝑙

+ 𝑄𝑤

Δ[𝑇𝑜 (Δ𝑃𝑜 − 𝛾𝑜Δ𝑧)] = 𝐶2𝑝𝛥𝑡𝑃𝑜 + 𝐶2𝑙𝛥𝑡𝑆𝑙

𝑙

+ 𝑄𝑜

Δ[𝑇𝑔 (Δ𝑃𝑜 + Δ𝑃𝑐𝑜𝑔 − 𝛾𝑔Δ𝑧)] + Δ[𝑅𝑠𝑇𝑜 (Δ𝑃𝑜 − 𝛾𝑜Δ𝑧)] = 𝐶3𝑝𝛥𝑡𝑃𝑔 + 𝐶3𝑙

𝛥𝑡𝑆𝑙

𝑙

+ 𝑅𝑠𝑄𝑜 + 𝑄𝑔

La suposición básica del Método IMPES es que la presión Capilar en los términos de flujo del lado izquierdo de las

ecuaciones, no cambian con el paso de tiempo. Entonces los términos involucrados Δ𝑃𝑐𝑜𝑤 y Δ𝑃𝑐𝑜𝑔 pueden ser

evaluados implícitamente en el anterior (n-ésimo) nivel de tiempo y también 𝛥𝑡𝑃𝑤 = 𝛥𝑡𝑃𝑜 = 𝛥𝑡𝑃𝑔 . Podemos, por

ende, denotar 𝑃𝑜 por 𝑃 y escribir

124

Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑛𝑐𝑜𝑤 )] = 𝐶1𝑝𝛥𝑡𝑃 + 𝐶1𝑤𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑤

Δ[𝑇𝑜 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑜Δ𝑧)] = 𝐶2𝑝𝛥𝑡𝑃 + 𝐶2𝑜𝛥𝑡𝑆𝑜 + 𝑄𝑜

Δ[𝑇𝑔 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑔Δ𝑧 + Δ𝑃𝑛𝑐𝑜𝑔 )] + Δ[𝑅𝑠𝑇𝑜 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑜Δ𝑧)]

= 𝐶3𝑝𝛥𝑡𝑃 + 𝐶3𝑔

𝛥𝑡𝑆𝑔 + 𝐶3𝑜𝛥𝑡𝑆𝑜 + 𝑅𝑠𝑄𝑜 + 𝑄𝑔 (5.34)

Donde los coeficientes 𝐶 se encuentran de las expansiones (5.7), etc:

𝐶1𝑝 =𝑉

∆𝑡 𝜙𝑆𝑤 𝑛𝑏′𝑤 + 𝑆𝑤

𝑛𝑏𝑤𝑛+1𝜙′

𝐶1𝑤 =𝑉

∆𝑡 𝜙𝑏𝑤 𝑛+1

𝐶2𝑝 =𝑉

∆𝑡 𝜙𝑆𝑜

𝑛𝑏′𝑜 + 𝑆𝑜𝑛𝑏𝑜

𝑛+1𝜙′

𝐶2𝑜 =𝑉

∆𝑡 𝜙𝑏𝑜

𝑛+1

𝐶3𝑝=

𝑉

∆𝑡 𝑅𝑠

𝑛 𝜙𝑆𝑜 𝑛𝑏′𝑜 + 𝑆𝑜

𝑛𝑏𝑜𝑛+1𝜙′ + 𝜙𝑆𝑔

𝑛𝑏′𝑔 + 𝑆𝑔

𝑛𝑏𝑔𝑛+1𝜙′ + 𝜙𝑏𝑜𝑆𝑜

𝑛+1𝑅′𝑠

𝐶3𝑔=

𝑉

∆𝑡 𝜙𝑏𝑔

𝑛+1 𝐶3𝑜

=𝑉

∆𝑡 𝑅𝑠

𝑛 𝜙𝑏𝑜 𝑛+1 (5.35)

Ahora deseamos combinar las tres ecuaciones (5.34) de tal manera que todos los términos con 𝛥𝑡𝑆𝑙 desaparezcan.

Esto se logra multiplicando la ecuación del agua por 𝐴, la ecuación del gas por 𝐵 y sumando las tres ecuaciones. El

lado derecho de la ecuación resultante es

𝐴𝐶1𝑝 + 𝐶2𝑝 + 𝐵𝐶3𝑝 𝛥𝑡𝑃 + −𝐴𝐶1𝑤 + 𝐶2𝑜 + 𝐵𝐶3𝑜 𝛥𝑡𝑆𝑜 + −𝐴𝐶1𝑤 + 𝐵𝐶3𝑔

𝛥𝑡𝑆𝑔

Y 𝐴 y 𝐵 se encuentran de

−𝐴𝐶1𝑤 + 𝐶2𝑜 + 𝐵𝐶3𝑜= 0

−𝐴𝐶1𝑤 + 𝐵𝐶3𝑔= 0

Lo cual da

𝐵 = 𝐶2𝑜 (𝐶3𝑔− 𝐶3𝑜

)

𝐴 = 𝐵𝐶3𝑔𝐶1𝑤

(5.36)

Entonces la ecuación de la presión será

Δ[𝑇𝑜 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑜Δ𝑧)]𝑖 + 𝐴𝑖Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑤Δ𝑧)]𝑖+ 𝐵𝑖Δ[𝑅𝑠𝑇𝑜 Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑜Δ𝑧 + 𝑇𝑔 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑔Δ𝑧)]𝑖

= 𝐶2𝑝 + 𝐴𝐶1𝑝𝐵𝐶3𝑝 𝑖𝛥𝑡𝑃 + 𝐴𝑖Δ[𝑇𝑤 Δ𝑃𝑛

𝑐𝑜𝑤 ]𝑖 − 𝐵𝑖Δ[𝑇𝑔 Δ𝑃𝑛𝑐𝑜𝑔 ]𝑖 + 𝑄𝑜 + 𝐴𝑖𝑄𝑤

+ 𝐵𝑖(𝑅𝑠𝑄𝑜 + 𝑄𝑔)𝑖 (5.37)

Esta es una ecuación en diferencias finitas del tipo obtenida de una ecuación parabólica simple y puede escribirse como

𝑻𝑷𝒏+𝟏 = 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 + 𝑮 + 𝑸

125

Donde 𝑻 es una matriz tridiagonal y 𝑫 es una matriz diagonal. En este caso el vector 𝑮 incluye los términos de

gravedad y capilaridad. Luego que la solución de presión es obtenida, las saturaciones son actualizadas explícitamente sustituyendo los

resultados en las primeras en las primeras dos ecuaciones (5.34). Cuando 𝑺𝒊𝒏+𝟏

se conozca, se calculan las nuevas

presiones capilares 𝑷𝒄𝒐𝒘𝒏+𝟏 y 𝑷𝒄𝒐𝒈

𝒏+𝟏, las cuales se usan explícitamente en el siguiente nivel de tiempo.

Como para el Método SS, muchos de los coeficientes en el lado derecho están en el nivel de tiempo desconocido y

es necesaria la iteración. Note que los factores de multiplicación 𝑨 y 𝑩 deben actualizarse durante la iteración. Es

fácil derivar los casos especiales para flujo bifásico. 5.3.2 Otras derivaciones del Método IMPES Variables Diferentes. Cualquier formulación de SS puede usarse como punto de partida para IMPES. Los

coeficientes 𝑨 y 𝑩 serán ligeramente diferentes dependiendo de la selección de las variables dependientes. Por

ejemplo, considere la formulación SS en 𝑃 y 𝑆 para flujo bifásico (Sección 5.2.3).

Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑐)𝑛+1] = 𝑑11𝛥𝑡𝑃 + 𝑑12𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑤

Δ[𝑇𝑛 (Δ𝑃 − 𝛾𝑛Δ𝑧)𝑛+1] = 𝑑21𝛥𝑡𝑃 + 𝑑22𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑛 (5.38)

Para obtener un 𝑨 que elimine los términos 𝛥𝑡𝑆𝑤 se multiplica la primera ecuación por 𝑨 y luego se suman.

Resulta 𝑨 = −𝑑22 𝑑12 y la inspección de la ecuación muestra que 𝑑12 siempre será positiva siempre que

𝑃′𝑐 ≤ 0, así que el proceso pueda llevarse a cabo.

La solución IMPES ahora consta de dos pasos:

a) Con 𝑃𝑐 evaluada explícitamente, resolver 𝑷𝒏+𝟏, implícitamente de la siguiente ecuación:

−𝑑22 𝑑12 Δ[𝑇𝑤 Δ𝑃𝑛+1] + Δ[𝑇𝑛 Δ𝑃𝑛+1]= −𝑑22 𝑑12 𝑑11 + 𝑑21 𝛥𝑡𝑃 − 𝑑22 𝑑12 𝑄𝑤 + 𝑄𝑛 − 𝑑22 𝑑12 Δ[𝑇𝑤(𝛾𝑤Δ𝑧+ Δ𝑃𝑐

𝑛)] + Δ𝑇𝑛𝛾𝑛Δ𝑧 (5.39)

b) Resolver explícitamente para 𝛥𝑡𝑆𝑤 , por ejemplo, de la ecuación del agua:

𝛥𝑡𝑆𝑤 = 1 𝑑12 −𝑑11𝛥𝑡𝑃 − 𝑄𝑤 + Δ𝑇𝑤 Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑐𝑛 (5.40)

Uso directo de las ecuaciones de flujo fraccional. La manera más directa de obtener una formulación de IMPES es mediante la forma ―hiperbólica‖ de las ecuaciones de flujo derivadas en el capítulo 2 (Sección 2.5.2). Para mayor

claridad, consideramos flujo bifásico con 𝜙 = constante y sin fuentes y sumideros. Entonces la ecuación de la

presión en la forma diferencial se obtiene de la ecuación (2.94):

𝑏𝑛

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑤

𝜕𝑃


𝜕𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝑃𝑐

𝜕𝑥 + 𝑏𝑤

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑛

𝜕𝑃

𝜕𝑥− 𝛾𝑛

𝜕𝑧

𝜕𝑥

= 𝜙 𝑏𝑛𝑆𝑤

𝜕𝑏𝑤

𝜕𝑡+ 𝑏𝑤 (1 − 𝑆𝑤 )

𝜕𝑏𝑛

𝜕𝑡 (5.41)

Donde 𝑃 = 𝑃𝑛 . Discretizamos los términos de flujo como es usual y aproximamos 𝜕𝑏 𝜕𝑡 mediante 𝑏′ 𝛥𝑡 𝛥𝑡𝑃.

Finalmente, 𝑏𝑛 y 𝑏𝑤 se aproximan con 𝑏𝑛𝑛+1 y 𝑏𝑤

𝑛+1. Esta opción lleva a ecuaciones de diferencias idénticas a la

ecuación (5.39) como se muestra abajo. Las manipulaciones indicadas anteriormente resultan en

𝑏𝑛𝑛+1Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑐

𝑛)] + 𝑏𝑤𝑛+1Δ[𝑇𝑛 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑛Δ𝑧)]

=𝑉𝑝∆𝑡

𝑏𝑛𝑛+1𝑆𝑤

𝑛𝑏′𝑤 + 𝑏𝑤𝑛+1 1 − 𝑆𝑤

𝑛 𝑏′𝑤 𝛥𝑡𝑃 (5.42)

126

Ahora, para 𝜙 igual a una constante, obtenemos de la ecuación (5.32)

𝑨 = −𝑑22 𝑑12 = 𝑏𝑛𝑛+1 𝑏𝑤

𝑛+1

Y es ahora fácil verificar que la ecuación (5.39) es idéntica a la ecuación (5.42). Debería ser obvio ahora cómo

proceder con la derivación del IMPES desde las ecuaciones de tres fases expresadas en términos de 𝑃, 𝑆𝑤 , 𝑆𝑔 , etc.

(Ejercicio 5.5). En IMPES, no usamos la ecuación de saturación (2.95), conocida como la ―ecuación de flujo fraccional‖. Como veremos en la sección 5.6, el uso de esta ecuación conlleva al método de solución secuencial.

5.4 ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS IMPES Y SS

En las dos secciones anteriores, derivamos los métodos SS e IMPES sin ninguna referencia al tratamiento de no linealidades involucradas o la existencia de solución. En esta sección examinaremos las propiedades de estos métodos en su forma básica cuando todos los coeficientes en las ecuaciones de diferencias son evaluados en el nivel de tiempo anterior. El primer análisis de convergencia del Método SS fue presentado para flujo bifásico por Douglas (1960), Later, Coats (1968) analizó la estabilidad de ambos métodos y Sheffield (1969) discutió la existencia de solución para el método SS. 5.4.1 Estabilidad

Hay dos posibles limitaciones de estabilidad las cuales pueden analizarse independientemente. La primera viene del tratamiento explícito de las variables primarias. Debido a que el Método SS trata todas las variables primarias explícitamente, en este aspecto es incondicionalmente estable. Sin embargo, el método IMPES trata la Presión Capilar explícitamente y por ende tiene un límite de estabilidad dependiendo de la magnitud de

𝑑𝑃𝑐 𝑑𝑆 .

La segunda limitación resulta del tratamiento explícito de las transmisibilidades, las cuales son las no linealidades involucradas más fuertes. Puesto que este tratamiento es idéntico para ambas formulaciones (IMPES y SS) existe un límite de estabilidad. Por simplicidad, trataremos solo el caso bifásico. El desarrollo para tres fases se bosqueja en el Ejercicio 5.6. Nuestro análisis sigue Coats (1968).

5.4.1.1 Estabilidad con respecto a 𝑃𝑐

Para este análisis, asumiremos que 𝑑𝑃𝑐 𝑑𝑆 y las transmisibilidades son constantes y por simplicidad, también

ignoramos los efectos gravitacionales. Estabilidad del Método IMPES. Consideraremos el método IMPES para flujo incompresible. Bajo las suposiciones

anteriores las ecuaciones (5.38) pueden escribirse como:

𝑇𝑤Δ2𝑃𝑛+1 =

𝑉𝑝∆𝑡

𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑇𝑤𝑃′𝑐Δ2𝑆𝑤

𝑛 + 𝑄𝑤 (5.43𝑎)

𝑇𝑛Δ2𝑃𝑛+1 = −

𝑉𝑝

∆𝑡𝛥𝑡𝑆𝑤 − 𝑄𝑛 (5.43𝑏)

Denotar ahora los errores en 𝑆𝑤 y 𝑃 como 𝑒1 y 𝑒2 :

𝑒1𝑛 = 𝑆𝑤

𝑛 − 𝑆𝑤 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜𝑛 𝑒2

𝑛 = 𝑃𝑛 − 𝑃𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜𝑛

Como se mostró en el Capítulo 3 (Sección 3.2.3) los errores 𝑒1 y 𝑒2 satisfacen las ecuaciones de diferencia (5.43a) y

(5.43b), siempre que ignoremos los errores de truncamiento. Las ecuaciones de error resultantes son:

𝑇𝑤Δ2𝑒2

𝑛+1 =𝑉𝑝

∆𝑡𝛥𝑡𝑒1 + 𝑇𝑤𝑃′𝑐Δ

2𝑒1𝑛 (5.44𝑎)

127

𝑇𝑛Δ2𝑒2

𝑛+1 = −𝑉𝑝∆𝑡

𝛥𝑡𝑒1 (5.44𝑏)

Sumando las ecuaciones (5.44) y resolviendo para 𝑒2𝑛+1 resulta el error en la ecuación de Presión como

Δ2𝑒2

𝑛+1 = 𝑇𝑤 𝑇𝑛 + 𝑇𝑤 𝑃′𝑐Δ2𝑒1

𝑛+1 (5.45)

Siguiendo el análisis de estabilidad de Series de Fourier (Capítulo 3, Sección 3.2.3), buscando 𝑒1 en la forma

𝑒𝑙𝑖𝑛 = 𝜉𝑙

𝑛 exp −1𝛼𝑙𝑖 𝑙 = 1,2

Donde 𝛼𝑙 = 𝑚𝑙𝛥𝑥, 𝑚𝑙 > 0. Suprimiendo el subíndice 𝑖 podemos escribir

Δ2𝑒𝑙 = −𝛾𝑙𝑒𝑙

Donde

𝛾𝑙 = 4 sin2𝛼𝑙

2

La sustitución de esta en la ecuación (5.45) da

𝑒2𝑛+1 = 𝑃′

𝑐 𝑇𝑤 𝑇𝑇 𝛾1 𝛾2 𝑒1𝑛 (5.46)

Donde 𝑇𝑇 = 𝑇𝑛 + 𝑇𝑤 .

La sustitución de 𝑒2𝑛+1 en la ecuación (5.44b) resulta en

𝑒1𝑛+1 = 𝑒1

𝑛 𝑇𝑤𝑇𝑛

𝑇𝑇𝑃′

𝑐𝛾1

∆𝑡

𝑉𝑝− 1 = 𝑒1

𝑛𝜉1

La condición 𝜉1 < 1 lleva a

∆𝑡 <1

2

𝑉𝑝

𝑃′𝑐

𝑇𝑤𝑇𝑛𝑇𝑇

(5.47)

Aquí hemos usado el hecho que 𝑃′𝑐 < 0, 𝛾𝑙 > 0 y 𝑚𝑎𝑥 𝛾𝑙 < 4. Es fácil ver que si 𝑒1 está limitado, 𝑒2 también

estará limitada de acuerdo a la ecuación (5.46). La condición (5.47) debe satisfacerse para todos los puntos 𝑖 y

cualquier saturación 𝑆𝑤 .

Por consiguiente, para una malla regular obtendremos la siguiente condición de estabilidad:

∆𝑡 <1

2∆𝑥2 min

𝑖 𝜙𝑖

𝑘𝑖

1

max𝑆𝑤

𝑃′𝑐

min𝑖 ,𝑆𝑤

𝜇𝑛

𝑘𝑟𝑛+

𝜇𝑤

𝑘𝑟𝑤 (5.48)

Ahora investigaremos el papel de la compresibilidad en la estabilidad del método IMPES. Para este propósito

definiremos 𝑇 𝑙 = 𝐵𝑙𝑇𝑙 y escribiremos la equivalente a la ecuación (5.43) como:

𝑇 𝑤Δ2𝑃𝑛+1 = 𝐶𝑤𝑝 𝛥𝑡𝑃 + 𝐶𝑠𝛥𝑡𝑆𝑤 + 𝑇 𝑤𝑃′𝑐Δ

2𝑆𝑤𝑛 (5.49𝑎)

𝑇 Δ2𝑃𝑛+1 = 𝐶𝑛𝑝 𝛥𝑡𝑃 + 𝐶𝑠𝛥𝑡𝑆𝑤 (5.49𝑏)

128

Donde

𝐶𝑙𝑝 =𝑉𝑝∆𝑡

𝑆𝑙𝑏′𝑙𝐵𝑙 𝐶𝑠 =𝑉𝑝∆𝑡

Aplicando el método de estabilidad de Fourier, obtenemos las ecuaciones para los errores 𝑒1 y 𝑒2

𝐶𝑠𝑒1𝑛+1 + 𝑇 𝑤𝛾2 + 𝐶𝑤𝑝 𝑒2

𝑛+1 = 𝐶𝑠 + 𝑇 𝑤𝑃′𝑐𝛾1 𝑒1

𝑛 + 𝐶𝑤𝑝 𝑒2𝑛 (5.50𝑎)

𝐶𝑠𝑒1𝑛+1 − 𝑇 𝑛𝛾2 + 𝐶𝑛𝑝 𝑒2

𝑛+1 = 𝐶𝑠𝑒1𝑛 − 𝐶𝑛𝑝 𝑒2

𝑛 (5.50𝑏)

Con el fin de encontrar los factores de amplificación, debemos escribir las ecuaciones en forma matricial. Así,

𝑨𝒆𝒏+𝟏 = 𝑪𝒆𝒏 (5.51)

Y

𝒆𝒏+𝟏 = 𝑨−𝟏𝑪𝒆𝒏 = 𝑩𝒆𝒏

Después de algunas manipulaciones matriciales (Ejercicio 5.6), encontramos que

𝑩 =𝟏

𝑮𝑻 𝑮𝑻 +

𝑮𝒏

𝑪𝒔𝑪𝒑𝒄 (𝑮𝒘𝑪𝒏𝒑 + 𝑮𝒏𝑪𝒘𝒑)

𝑪𝒑𝒄 𝑪𝒘𝒑 + 𝑪𝒏𝒑

Donde

𝐺𝑙 = 𝑇 𝑙𝛾2 + 𝐶𝑙𝑝 𝐺𝑇 = 𝐺𝑛 + 𝐺𝑛

𝐶𝑝𝑐 = 𝑇 𝑤𝑃′𝑐𝛾1

La estabilidad requiere que max𝑖 𝜆𝑖 < 1 donde 𝜆𝑖 son los valores propios de 𝑩 (Capítulo 3, Sección 3.2.3.3). Los

valores propios se obtienen resolviendo 𝑩 − 𝝀𝑰 = 𝟎 lo cual resulta

𝜆1,2 =1

2𝐺𝑇 𝑋 ± 𝑋2 − 4𝑌 (5.52)

Donde

𝑋 = 𝐺𝑇 + (𝐶𝑝𝑐 𝐺𝑛) 𝐶𝑠 + 𝐶𝑤𝑝 + 𝐶𝑛𝑝

𝑌 = 𝐺𝑇 + (𝐶𝑝𝑐 𝐺𝑛) 𝐶𝑠 𝐶𝑤𝑝 + 𝐶𝑛𝑝 − 𝐺𝑤𝐶𝑛𝑝 + 𝐺𝑛𝐶𝑤𝑝 𝐶𝑝𝑐 𝐶𝑠 (5.53)

Debido que la compresibilidad de los fluidos a condiciones de yacimiento es pequeña (𝑏′𝑤 , 𝑏′𝑛 ≪ 1), la

condición 𝐶𝑛𝑝 , 𝐶𝑤𝑝 ≪ 𝐶𝑠 mantendrá 𝑌 ≪ 𝑋 en la ecuación (5.52), debido a que todos los términos de 𝑌 están

multiplicados por alguna compresibilidad. Por ende, el valor propio dominante de 𝑩 es

𝜆1 =1

2𝐺𝑇 𝑋 ± 𝑋2 − 4𝑌 ≃

1

𝐺𝑇

𝑋 − 𝑌 𝑋

Note que para 𝐶𝑤𝑝 = 𝐶𝑛𝑝 = 0, la ecuación anterior da la condición de estabilidad 𝑋 𝐺𝑇 < 1, la cual lleva a la

condición de estabilidad previamente derivada (Ecuación (5.47)). El valor de (𝑋 𝐺𝑇 ) que da esta condición es

negativo.

129

Por ende, cuando buscamos la solución de

1

𝐺𝑇

𝑋 − 𝑌 𝑋 < 1

Podemos hacer la aproximación 𝑋 𝐺𝑇 ≃ −1 en el primer término:

𝑋 − 𝑌 𝐺𝑇

𝐺𝑇 < 1 (5.54)

Resolver esta desigualdad en general es difícil; sin embargo, considerar un caso especial cuando solo la fase no

mojante es compresible y 𝐶𝑤𝑝 = 𝐶𝑝 , 𝐶𝑛𝑝 = 0. Podemos entonces utilizar de nuevo el hecho que esa solución es

cercana al caso incompresible y por ende

𝑋

𝐺𝑇≃

1

𝐺𝑇 𝐺𝑇 +

𝐺𝑛

𝐺𝑇𝐶𝑝𝑐 ≃ −1

Entonces podemos evaluar 𝑌 de la Ecuación (5.53) como

𝑌 ≃ −𝐺𝑇𝐶𝑝 − 𝐺𝑛 𝐶𝑝𝑐 𝐶𝑠 𝐶𝑝 ≃ 𝐺𝑇𝐶𝑝

Y la solución de la ecuación (5.54) da, para negativos 𝑋 − 𝑌 𝐺𝑇 ,

𝐺𝑛

𝐺𝑇

𝐶𝑝𝑐

𝐶𝑠< 2 1 +

𝐶𝑝

𝐺𝑇

La cual después de sustitución y aproximación 𝐺𝑙 ≃ 𝑇 𝑙𝛾2 finalmente da el máximo valor de 𝛾2 → 1

∆𝑡 < 𝑉𝑝

1

2 𝑃′𝑐

𝑇 𝑤𝑇 𝑛𝑇 𝑇

+𝑆𝑤𝑏′𝑤𝐵𝑤

𝑇 𝑇

(5.55)

Es evidente que el límite de estabilidad se ha incrementado comparado a la ecuación (5.47), pero el mejoramiento es en la mayoría de los casos insignificante. El análisis de estabilidad para flujo trifásico sigue las mismas líneas pero llega a ser algo más complicado aún para el caso incompresible (Coats, 1968). Aquí resumimos los resultados finales del análisis para flujo trifásico incompresible.

Si denotamos 𝑒1, 𝑒2 y 𝑒3 como los errores en 𝑆𝑤 , 𝑃 y 𝑆𝑔 , y definimos 𝛾𝑙 , 𝑙 = 1,2,3 en consecuencia, obtenemos

después manipulaciones considerables (Ejercicio 5.6)

∆𝑡 < 4𝑉𝑝

𝛾1 𝑃′𝑐𝑜𝑤 𝑇𝑤

𝑇𝑜 + 𝑇𝑔

𝑇𝑇+ 𝛾3 𝑃

′𝑐𝑜𝑔 𝑇𝑔

𝑇𝑜 + 𝑇𝑤𝑇𝑇

+1𝑇𝑇

𝑋

(5.56)

Donde

𝑋 = 𝛾1 𝑃′𝑐𝑜𝑤 𝑇𝑤 𝑇𝑜 + 𝑇𝑔 − 𝛾3 𝑃

′𝑐𝑜𝑔 𝑇𝑔 𝑇𝑜 + 𝑇𝑤

2+ 4 𝑃′

𝑐𝑜𝑤 𝑃′𝑐𝑜𝑔 𝑇𝑤

2𝑇𝑔2𝛾1𝛾3

Puede verificarse fácilmente para las regiones donde dos fases están fluyendo, la expresión anterior se reduce a la ecuación (5.47). El análisis de sistemas trifásicos compresibles resultaría en expresiones complicadas. Sin embargo, podemos ver de la analogía con el caso bifásico discutido antes que la suma de la compresibilidad relaja el límite de estabilidad ligeramente. Para propósitos prácticos el límite de estabilidad derivado para el caso incompresible debería usarse aún cuando el sistema es compresible.

130

Estabilidad del Método SS. Debido a que el método SS trata 𝑃𝑐 implícitamente, es incondicionalmente estable

respecto a las variables primarias. Esto puede probarse fácilmente mediante el análisis de Fourier (Ejercicio 5.7). 5.4.1.2 Estabilidad con respecto a Transmisibilidades Para propósitos de este análisis, asumiremos flujo bifásico incompresible con presión capilar cero y fuerzas gravitacionales. Como mostramos anteriormente, ambos métodos (IMPES y SS) son idénticos en ese caso. En un término de flujo típico

𝑢𝑖+1 2 = 𝑇𝑖+1 2 (𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖)

Necesitamos evaluar el coeficiente de transmisibilidad no lineal 𝑇 en algún punto del espacio y el tiempo. Mientras

todas las opciones sean discutidas en detalle en la Sección 5.5, consideraremos corriente arriba en espacio, explícito en la ponderación de tiempo, por ejemplo:

𝑇𝑖+1 2 = 𝑇𝑖𝑛

Si el flujo es desde 𝑖 a 𝑖 + 1

𝑇𝑖+1 2 = 𝑇𝑖+1𝑛

Si el flujo es desde 𝑖 + 1 a 𝑖

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el flujo es en la dirección del eje positivo de x. entonces las ecuaciones de flujo son

𝑇𝑙 𝑖−1𝑛 (𝑃𝑖−1 − 𝑃𝑖)

𝑛+1 + 𝑇𝑙 𝑖𝑛(𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖)

𝑛+1 =𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑙

𝑛+1 − 𝑆𝑙𝑛 𝑙 = 𝑛, 𝑤 (5.57)

Aunque es posible analizar esta ecuación, es más conveniente considerar el sistema equivalente de ecuaciones

(2.84) y (2.91). Para un caso 1D, la solución de (2.84) es trivial 𝑢𝑇 = 𝑄𝑇 𝐴 y solamente tenemos que considerar

la ecuación de saturación

−𝑢𝑇 ∙ ∇𝑓𝑤 = −𝑢𝑇


∇𝑆𝑤 = 𝜙𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡+ 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

La discretización de esta ecuación para un bloque que no tiene una fuente da

−𝑄𝑇 𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑤

𝑖

𝑆𝑤𝑖−


𝑖−1

𝑆𝑤𝑖−1

𝑛

=𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑤

𝑛+1 − 𝑆𝑤𝑛 𝑖 (5.58)

Donde el concepto de ponderación corriente arriba se expresa tomando las saturaciones explícitamente corriente arriba. Esta forma del lado izquierdo es conservativa y por consiguiente preferible a otras discretizaciones tales como


𝑖−1 2

𝑆𝑤𝑖− 𝑆𝑤 𝑖−1

𝑛

Es fácil mostrar en este simple caso que el tratamiento de 𝑆𝑤 en la ecuación (5.58) es exactamente equivalente al

tratamiento de 𝑇𝑤 en la ecuación (5.57) (Ejercicio 5.8).

El error ahora satisface la ecuación (Despreciando variaciones en 𝑑𝑓𝑤 𝑑𝑆𝑤 ):


𝑒𝑖 − 𝑒𝑖−1 𝑛 =

𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑒𝑛+1 − 𝑒𝑛 𝑖

Siguiendo el análisis de estabilidad de Fourier encontramos

𝑒𝑖𝑛 = 𝜉𝑖

𝑛 exp( −1𝛼𝑖) 𝛼 = 𝑚Δ𝑥

131

Y luego de la sustitución se obtiene la expresión

𝜉 = 1 + 𝐶 exp − −1𝛼𝑖 − 1 (5.59)

Donde

𝐶 = 𝑄𝑇


Δ𝑡

𝑉𝑝 𝑖

Para encontrar 𝜉 , expresamos 𝜉 en forma compleja como 𝜉 = 𝑎 + −1𝑏 y obtenemos

𝜉 2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 1 − 4𝐶(1 − 𝐶) sin2𝛼

2

La condición de estabilidad 𝜉 < 1 da para sin2 𝛼 2 ≃ 1

0 < 𝐶 1 − 𝐶 <1

2

Lo que lleva a la condición 𝐶 < 1 ,

∆𝑡 <𝑉𝑝


𝑄𝑇

(5.60)

Esta desigualdad tiene una interpretación física simple. Puede ser escrita como

∆𝑡𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑤

𝑢𝑇

𝜙< ∆𝑥 (5.61)

Hemos dividido por 𝐴𝜙.

De la teoría de Buckley-Leverett sobre desplazamiento bifásico encontramos que el término de la izquierda es la velocidad de avance de una superficie de saturación constante:

𝑢𝑇

𝜙


< 𝜕𝑥

𝜕𝑡 𝑆𝑤 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

= 𝑢𝑠

(Craft and Hawkins, 1959, p369). Luego la condición de estabilidad puede expresarse como

𝑢𝑠∆𝑡 < ∆𝑥 (5.62)

Lo cual significa que el frente de invasión puede avanzar una distancia de un bloque de la malla por cada paso de tiempo o el rendimiento específico a través de cualquier bloque por paso de tiempo debe ser menor que su volumen poroso. Este límite de estabilidad es conocido en la literatura de dinámica numérica de fluidos (Richtmyer and Morton, 1967, p.304). 5.4.2 Existencia y unicidad de Solución 5.4.2.1 El Método SS

Consideraremos las ecuaciones bifásicas SS

𝑻 − 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 = −𝑹𝒏 + 𝑸 (5.63)

En el resto de esta sección, asumiremos que el problema tiene condiciones de frontera de no flujo las cuales son

discretizadas mediante la técnica de ―Reflexión‖. En consecuencia, si un punto 𝑖 + 1 está fuera de la frontera,

132

ajustamos 𝑇𝑖+1 2 = 0 y 𝑇𝑖 = − 𝑇𝑖−1 2 en la ecuación (5.17). Por simplicidad, también suponemos la

compresibilidad de la roca igual a cero. Entonces podemos escribir la matriz 𝑫 como

𝑫𝒊 = 𝑫𝒔𝒊 + 𝑫𝑩𝒊 = −𝑉𝑝Δ𝑡

𝑏𝑤

𝑛+1𝑆′𝑤 −𝑏𝑤𝑛+1𝑆′𝑤

−𝑏𝑛𝑛+1𝑆′𝑤 𝑏𝑛

𝑛+1𝑆′𝑤 +

𝑉𝑝Δ𝑡

𝑆𝑤

𝑛𝑏′𝑤 0

0 𝑆𝑛𝑛𝑏′𝑛

(5.64)

Ahora, podemos probar los siguientes resultados:

Teorema 1. Sea 𝑆′𝑤 < 0, 𝑏′𝑤 > 0, 𝑏′𝑛 > 0 . Entonces la ecuación (5.63) tiene una única solución.

Demostración: La matriz 𝑻 es simétrica, diagonalmente dominante con elementos negativos en la diagonal y

elementos positivos fuera de la diagonal. Esto implica que 𝑻 es negativa semidefinida. La matriz 𝑫𝒔 también tiene

una fila de suma cero, pero no es simétrica. Bajo las suposiciones hechas al menos un elemento de 𝑫𝑩𝒊 es

positivo. Por ende la matriz 𝑨 = 𝑻 − 𝑫 tiene una fuerte dominancia diagonal en al menos una fila. Además, 𝑨 tiene

al menos una subdiagonal llena y una superdiagonal llena y es fácil mostrar que 𝑨 es irreducible. Luego 𝑨 es no

singular (Varga, 1962; Apéndice A.3.2). Notar que si 0 < 𝑆𝑤𝑐 < 𝑆𝑤 < 𝑆𝑤𝑚𝑎𝑥 < 1, 𝑨 será estrictamente

diagonalmente dominante y la no se requiere la reducción. La suposición de la compresibilidad es esencial para la unicidad, como se indica en el siguiente teorema.

Teorema 2. Sea 𝑆′𝑤 < 0, 𝑏′𝑤 = 𝑏′𝑛 = 0. Entonces la solución de la ecuación (5.63) existe solamente si

𝐵𝑤 𝑄𝑤 𝑖

𝑖

+ 𝐵𝑛 𝑄𝑛 𝑖

𝑖

= 0

Y se determina hasta una constante aditiva.

Demostración: En el caso incompresible la matriz 𝑫𝑩 es cero y por consiguiente todas las filas de la matriz 𝑨 tienen

sumas cero. Debido a que todos los elementos en la diagonal son negativos y los elementos fuera de la diagonal son

positivos, se cumple (Apéndice, A.3.6), que 𝑨 es singular. Multiplicar cada ecuación de fase mojante por 𝑩𝒘, cada

ecuación de fase no mojante por 𝑩𝒏 y denotar la matriz resultante como 𝑨 = 𝑻 − 𝑫 . Es fácil ver que 𝑨 es

simétrica. Las simetría y las filas de sumas cero de 𝑻 implican que

𝑇𝑃 𝑙𝑖

𝑖

= 𝑇 𝑃 𝑙𝑖

𝑖

= 0 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.66)

Para cualquier vector 𝑷. Aquí 𝑇 𝑃 𝑙𝑖

denota que el resultando de multiplicar la i-ésima fila de 𝑻 para la fase 𝒍 por el

vector 𝑷. Porque

𝑫 𝒔𝒊=

𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡𝑆′𝑤𝑖

−1 11 −1

Esto sostiene que

𝑫 𝒔𝑷 𝑙𝑖

𝑖𝑖

= 0

Para cualquier 𝑷, también implica que

|𝑅𝑘𝑙𝑖

𝑖𝑖

= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑃𝑘 (5.67)

Si ahora escribimos las ecuaciones (5.63) como

133

𝑻 − 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 = −𝑹 𝒏 + 𝑸 (5.68)

Las sumamos u usamos los resultados anteriores, encontraremos que la ecuación (5.65) debe mantenerse si existe solución.

Por otro lado, es fácil mostrar que cada menor principal de orden 𝑁 − 1, donde 𝑁 es el orden de 𝑨, es

diagonalmente dominante irreducible y por ende el rango de 𝑨 es 𝑁 − 1. Esto prueba que la condición (5.65)

también es suficiente. Debido a que obviamente cualquier vector constante 𝑷 = 𝑪 satisface la ecuación (5.68),

todas las soluciones tiene la forma 𝑷 = 𝑷𝟏 + 𝑪 donde 𝑷𝟏 es una solución particular.

Físicamente la ecuación (5.65) representa la conservación de masa de un sistema incompresible. La constante indeterminada representa una referencia de presión arbitraria, debido a que en un sistema incompresible el nivel de presión es inmaterial. Podemos derivar ahora algunas relaciones útiles las cuales son extensiones directas de los resultados dados en el capítulo 3 (Sección 3.7.1).

Primero, podemos definir el residual al nivel 𝑛 + 1 como

𝑹𝒏+𝟏 = 𝑻 − 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 + 𝑹𝒏 = 𝑸 (5.69)

Entonces de la ecuación (5.66) obtenemos el siguiente resultado: Teorema 3. Solución de la ecuación (5.63), si existe, satisface

𝑅𝑛+1𝑙𝑖

𝑖

= − 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 𝑙𝑖

=

𝑖

𝑸𝒍𝒊

𝒊

Donde el término dentro de la segunda sumatoria representa la parte de la fase 𝑙 del i-ésimo elemento del vector.

El siguiente teorema da la relación entre la matriz 𝑫 y los errores de balance de materiales. Primero, definimos un

vector 𝑫𝑺 como

𝑫𝑺𝒍𝒊

𝒏,𝒏+𝟏 =𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑙𝑏𝑙

𝑛+1 − 𝑆𝑙𝑏𝑙 𝑛 𝑖 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.70)

Note que 𝚫𝒕𝑫𝑺 es un vector de ―cambio de masa‖, y la ecuación (5.70) es una extensión directa de la ecuación

(3.172). Entonces el error de balance de materiales en un paso de tiempo es por definición

𝑬𝒍 = 𝑫𝑺𝒍𝒊

𝒏,𝒏+𝟏

𝑖

+ 𝑸𝒍𝒊

𝒊

(5.71)

Ahora, del teorema 3 el siguiente resultado se obtiene directamente: Teorema 4. Solución de la ecuación (5.63), si existe, satisface

𝑬𝒍 = 𝑫𝑺𝒍𝒊

𝒏,𝒏+𝟏

𝑖

− 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 𝑙𝑖

𝒊

𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.72)

Este teorema prueba rigurosamente nuestra previa afirmación que las derivadas temporales definidas por la ecuación

(5.3) conservarán la masa, porque en ese caso 𝑫 𝑷𝒏+𝟏 − 𝑷𝒏 = 𝑫𝑺𝒍𝒊

𝒏,𝒏+𝟏. De otro lado, la ecuación (5.72)

puede dar 𝑬𝒍 = 𝟎 accidentalmente aún para un operador que no es conservativo. Por consiguiente, 𝑬𝒍 no debería

usarse para medir la convergencia cuando se solucionan las ecuaciones. En vez de eso, uno podría usar una norma, tal como

𝑬𝒍 = 𝑬𝒍𝒊

𝒊

134

El análisis para un flujo trifásico es bastante análogo. Sin embargo, las matrices 𝑻 y 𝑫 generalmente no son

diagonalmente dominantes debido a los términos adicionales fuera de la diagonal representando la transferencia de

masa entre las fases aceite y gas. Sheffield (1969) mostró 𝑨 no es singular para 𝚫𝒕 suficientemente pequeño,

pero esta demostración parece estar en un error. La prueba correcta explicada en el ejercicio 5.9 muestra que las

ecuaciones SS para tres fases tienen una única solución si 𝚫𝒕 satisface la siguiente condición

Δ𝑡 𝑏 − 𝑎 < 𝑉𝑝𝑆𝑜

𝐵𝑜𝑅′𝑠 (5.73)

Donde 𝑎 y 𝑏 son constantes exactas. Note que la existencia de solución para el caso sin transferencia de masa no

requiere una condición en Δ𝑡.

Generalizaciones de los teoremas 3 y 4 son también sencillas, con la definición del tercer elemento de 𝑫𝑺 (En el

caso trifásico 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔) como

𝑫𝑺𝒈𝒊

𝒏,𝒏+𝟏 =𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑔𝑏𝑔

𝑛+1− 𝑆𝑔𝑏𝑔

𝑛+ 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠

𝑛+1 − 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠 𝑛

𝑖 (5.74)

5.4.2.2 El Método IMPES

Las propiedades de IMPES pueden analizarse de la misma manera que para el método SS. Debido a que las ecuaciones de IMPES pueden obtenerse a partir de las del Método SS por manipulaciones algebraicas luego de

arreglar los términos 𝑃𝑐 , todos los teoremas enunciados previamente son válidos también para IMPES. Esto puede

también ser demostrado directamente. Las ecuaciones de IMPES bifásico, antes de su reducción a una ecuación sencilla, son:

𝑅𝑤 𝑖= Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑛 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑐)]𝑖 −

𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑤

𝑛𝑏′𝑤𝛥𝑡𝑃𝑛 + 𝑏𝑤

𝑘 𝛥𝑡𝑆𝑤 𝑖

= 𝑄𝑤 𝑖

𝑅𝑛 𝑖= Δ[𝑇𝑛 (Δ𝑃𝑛 − 𝛾𝑛Δ𝑧)]𝑖 −

𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑛

𝑛𝑏′𝑛𝛥𝑡𝑃𝑛 + 𝑏𝑛

𝑘𝛥𝑡𝑆𝑤 𝑖

= 𝑄𝑛 𝑖

Donde hemos asumido de nuevo 𝛥𝑡𝑃𝑛 = 𝛥𝑡𝑃𝑤 y 𝜙 es constante; 𝑏𝑙𝑘

denota una aproximación a 𝑏𝑙𝑛+1

.

La ecuación de balance de materiales en diferencias finitas (Teorema 3), se obtiene fácilmente con una simple adición de todas las ecuaciones para una fase dada:

𝑏𝑛𝑛+1Δ[𝑇𝑤 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑤Δ𝑧 − Δ𝑃𝑐

𝑛)] + 𝑏𝑤𝑛+1Δ[𝑇𝑛 (Δ𝑃𝑛+1 − 𝛾𝑛Δ𝑧)]

=𝑉𝑝

∆𝑡 𝑏𝑛

𝑛+1𝑆𝑤𝑛𝑏′

𝑤 + 𝑏𝑤𝑛+1 1 − 𝑆𝑤

𝑛 𝑏′𝑤 𝛥𝑡𝑃 (5.42)

𝑅𝑙𝑖

𝑖

= − 𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑙

𝑛𝑏′𝑙𝛥𝑡𝑃𝑛 + 𝑏𝑙

𝑘𝛥𝑡𝑆𝑙

𝑖

= 𝑄𝑙𝑖

𝑖

𝑙 = 𝑤, 𝑛

Obviamente, cuando 𝑏𝑙𝑘 = 𝑏𝑛

𝑛+1, los términos en la segunda sumatoria se convierten en 𝑫𝑺𝒍𝒊, definido por la

ecuación (5.70) y el Teorema 4. Los teoremas 1 y 2 pueden obtenerse de la misma manera. 5.4.3 Convergencia

Debido a que todas las aproximaciones que hemos usado son consistentes con las ecuaciones diferenciales, la

convergencia resulta (para Δ𝑡 suficientemente pequeños) de la estabilidad (Capítulo 3, Sección 3.2.3). Sin embargo,

esto es cierto sólo cuando el problema diferencial es planteado apropiadamente y el operador lineal. Estas condiciones generalmente no se satisfacen y por ende la convergencia no se asegura automáticamente. Daremos un ejemplo en la siguiente sección, cuando un esquema diferencial muy razonable convergerá con una solución errónea.

135

5.5 TRATAMIENTO DE NO LINEALIDADES

Las no linealidades de la ecuación 5.20 aparecen en matrices T y D y implícitamente también en el vector R. Un elemento típico de la matriz podría ser denotado para discusiones futuras como:

𝑇𝑙 = 𝑇𝑙 𝑓1 𝑃1 , 𝑓2 𝑆𝑤 = 𝐺𝐶𝑓1𝑓2 (5.75)

Donde GC es la parte constante de la transmisilidad,𝑓1 = 1𝜇𝐵 , y 𝑓2 = 𝑘𝑟𝑙 . Las Funciones f1 y f2 pueden ser

aproximadas en diferentes niveles de tiempo y en diferentes formas entre los puntos de la malla, generalmente como

𝑇𝑙 𝑖+1

2 𝑛+1 ≅ 𝑇𝑙 𝑓1𝑖1

𝑘1 , 𝑓2𝑖2𝑘2

Donde𝑖 ≤ 𝑖1 , 𝑖2 ≤ 𝑖 + 1 𝑛 ≤ 𝑘1, 𝑘2 ≤ 𝑛 + 1

El problema de la aproximación del nivel 𝑖 + 12 en el espacio coordinado que se conoce como el problema de

ponderación. El problema de aproximación de el nivel en el tiempo n+1 es el problema de solución o linealización local del conjunto de ecuaciones no lineales. Una situación similar existe en la aproximación de la matriz D. Todas las no linealidades en la ecuación (5.20) pueden ser dividas en dos grupos: a) No linealidades débiles. Todas las variables que son función de la presión de una fase solamente puede ser

consideradas no linealidades débiles. Estas incluyen 𝐵𝑙𝑛+1 , 1

𝐵𝑙

′, 𝑅𝑠 , 𝛾𝑙

𝑛+1 y 𝜇𝑙

𝑛+1. Un ejemplo real de las

funciones que depende de la presión se presentan en el capítulo 2 (Fig. 2.4). El efecto de las no linealidades débiles depende del grado del cambio de la presión y desaparece en los problemas en los que la presión se mantiene constante. Por lo general esto es satisfactorio incluso en el caso de variación de la presión para evaluar las funciones

que dependen de la presión un paso atrás, por ejemplo, como una función de 𝑃𝑡𝑛 en vez de 𝑃𝑡

𝑛+1. También, la

aproximación del nivel i+1/2 no es crítico; e.g., podemos usar:

𝑓1𝑖+1/2 ≅1

2 𝑓1𝑖 + 𝑓1𝑖+1

b) No linealidades fuertes. Los coeficientes que dependen de la saturación o la presión capilar, por ejemplo, krl y S

‘w,

son llamados no linealidades fuertes. La no linealidad debido a la filtración de gas tiene un carácter especial y se tratará por separado. Ejemplos de funciones kr y Pc son encontradas en el capítulo 2. Se deduce de la ecuación (5.10) que la no linealidad debido a S

‘w, desaparece si Pc es una función lineal de saturación, pero no cierto si es de

kr. Por tanto kr, introduce la no linealidad principal en la ecuación (5.20). La discusión en esta sección es ilustrada por resultados numéricos obtenidos con dos problemas de prueba, los cuales son descritos a continuación.

Problema de Prueba No 1 El primer problema de prueba es el problema de inyección de agua incompresible con presión capilar cero (problema Buckley-Leveret). La función kr están dadas por Fig. 2.9 y los otros datos son (cf. Coats, 1968; y Todd et al., 1972): L=1000ft, Bw=Bn=1, μw= μn=1 cp, k=300 md, Φ=0,2. La fase no mojante se produce a x=L a la una tasa de 426.5 ft

3/día y la fase mojante es inyecta en x=0 a la misma tasa. El yacimiento es horizontal con una area transversal de

10 000 ft2 y una saturación inicial constante Swi=0,16. Donde el valor Pc finito debe ser usado por el método SS, la

función cero Pc fue aproximado por una función lineal Pc definida por Pc=0.1 a Sw=0,16 y Pc=0 a Sw=0,8. Este valor pequeño de la presión capilar no tiene influencia en la solución.

Problema de Prueba No 2 El segundo problema es el problema petróleo-gas compresible el problema incluye filtración de gas, con las funciones no lineales dadas en el capítulo 2 (Fig.2.10). Los otros datos son (McCreary, 1997): L=135ft, k=20 md, Φ=0,04. Las densidades a condiciones estándar son ρw STC=60 lb/ft

3 y ρo STC=0,05 lb/ft

3. La fase mojante se produce a

x=L a la tasa de 2810 ft3/día a condiciones estándar. El yacimiento es una columna vertical con una área transversal

de 5 414 929 ft2, saturación inicial constante Sw=0,99. La presión inicial de equilibrio está dada por la gravedad con

Pw=1750 psia en el tope de la columna.

136

Fig 5.1. Ponderación de la convergencia del punto medio – Problema casi hiperbólico. Problema de prueba

No 1, t=1500 días.

Fig. 5.2. Solución con el punto medio de la ponderación para Pc diferentes. Problema de Prueba No. 1, Δx=L/40, Δt=10 días, t=1500 días.

5.5.1 Ponderación de las Transmisibilidades

Las fórmulas de ponderación se refieren al valor de krl i+1/2 a Swi y Sw i+1. La aproximación, que parece ser más apropiada desde el punto de vista de análisis numérico,

𝑘𝑟𝑙 𝑖+1/2 =1

2 𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖 + 𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖+1 (5.76)

puede ser llamado ―ponderación del punto medio‖ y este es de segundo orden. Una formula alternativa puede ser definida como,

𝑘𝑟𝑙 𝑖+1/2 = 𝑘𝑟𝑙 1

2 𝑆𝑤𝑖 + 𝑆𝑤𝑖+1 (5.77)

Aunque ambas aproximaciones son de segundo orden, como se muestra después de esta sección, que producen resultados erróneos. Esto se muestra en Fig. 5.1 para la solución numérica del problema de Buckley-Leverett. Los valores pequeños de Pc usado con los resultados de la ecuación SS en un problema casi hiperbólico con verdadera solución muy cerca a la solución Buckley-Leverett, mostrada en la Fig. 5.1 por la línea solida. Sin embargo, con el refinamiento de la malla, la solución numérica usa el esquema de ponderación (eqn. (5.76)) converge a una realidad diferente, solución irreal. Este comportamiento es una consecuencia de la naturaleza hiperbólica de la ecuación. En el caso solamente hiperbólico (Pc=0) el problema diferencial no se plantea propiamente y no tiene única solución. La ponderación del punto medio a una solución la cual es matemáticamente posible, pero incorrecto físicamente. Donde la magnitud de P

‘c es aumentado, (el nivel de Pc es inmaterial), los resultados abordan la solución físicamente correcta (Fig. 5.2).

137

Sin embargo, la P‘c a la cual esto sucede puede ser más que el valor actual para el problema considerado; casi,

depende de los espacios de la malla. Por esta razón, el esquema utilizado es la ―ponderación aguas arriba‖, definida por:

𝑘𝑟𝑙 𝑖+1/2 = 𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑖 + 1

𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖+1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖 + 1 𝑎 𝑖 (5.78)

La dirección de flujo está dada por el signo de

∆𝛷𝑙 𝑖+1/2 = 𝑃𝑙 𝑖+1 − 𝑃𝑙 𝑖 − 𝛾𝑙 𝑖+1/2 𝑧𝑖+1 − 𝑧𝑖

El flujo es de i a i+1 si ∆𝛷 < 0 y viceversa. Esta fórmula proporciona solamente una aproximación de primer orden.

Tood et al. (1972) propuso una aproximación asimétrica de segundo orden que utiliza dos puntos aguas arriba:

𝑘𝑟𝑙 𝑖+1/2 =

1

2 3𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖 − 𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖−1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑖 + 1

1

2 3𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖+1 − 3𝑘𝑟𝑙 𝑆𝑤𝑖+2 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖 + 1 𝑎 𝑖

(5.79)

Donde la formula (5.79) se considera en términos de la ponderación de las saturaciones (como se hizo anteriormente para el análisis de estabilidad, ecuación (5.58)); resulta que esto es equivalente para aproximaciones de segundo orden propuestas para ecuaciones convención-difusión por Price et al. (1966). Porque la ecuación (5.79) involucra un proceso de extrapolación, es esencial limitar los valores calculados a los valores aceptables físicamente, i.e., 0≤kr≤1. Comparación de las dos fórmulas arriba se muestra en la Fig. 5.3. Ambos métodos convergen a la respuesta correcta. La formula de segundo orden aguas arriba está dada frente a los desplazamientos más nítida que la fórmula de un solo punto.

Fig. 5.3 Comparación de formulas de ponderación aguas arriba. Problema de Prueba No.1, Δx=L/40, Δt=10 días, t=1500 días (por Settari y Aziz, 1975).

Una evaluación crítica de la diferenciación de aguas arriba para problemas de flujo de fluidos es proporcionada por Raithby (1976). 5.5.1.1 Errores de truncamiento y Discusión Los errores de truncamiento son mejor analizados con la forma hiperbólica de la ecuación como lo hemos hecho en la Sección 5.4.1. El operador que se aproxima se denota por:

𝐴𝑆𝑤 = −𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑥− 𝐶𝑤

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡= 0 (5.80)

138

Donde

𝐶𝑤 =ф

𝑢𝑇𝑓𝑤′

Una diferencia del operador de aproximación A en el punto xi es denotado por L(Swi) y el error de truncamiento de L

es definido como е=𝐴𝑆𝑤 (xi) – L(Swi). La derivación de los errores de truncamiento están dados por Settari y Aziz

(1975). Si denotamos 𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑥 = 𝑆 ′ y

𝜕𝑆𝑤𝜕𝑡

= 𝑆 .; los resultados finales del análisis linealizado son:

𝑅𝑚 = −∆𝑡

2𝑆 ′ . +

∆𝑡2

3𝑆 ′ .. +

∆𝑥2

6𝑆 ′′′ + 0(∆3) (5.81)

Fórmula para ambos puntos medios,

𝑅𝑢 = −∆𝑡

2+ 𝐶𝑤

∆𝑥

2 𝑆 ′ . +

∆𝑡2

3𝑆 ′ .. +

∆𝑥∆𝑡

2𝑆 ′′ . +

∆𝑥2

6𝑆 ′′′ + 0(∆3 (5.82)

Para la ponderación del punto único, y

𝑅2𝑢 = −∆𝑡

2𝑆 ′ . +

∆𝑡2

3𝑆 ′′ .. −

∆𝑥2

3𝑆 ′′′ + 0 ∆3 (5.83)

Para el segundo punto de la fórmula aguas arriba. Todas las tres expresiones corresponden a aproximación explicita de krl en tiempo. El problema de ponderación es un buen ejemplo de un problema el análisis del error de truncamiento solo puede ser Los errores de truncamiento de las fórmulas del punto de medio y dos puntos aguas arriba difieren solamente en el

coeficiente del término ∆𝑥2, pero su rendimiento es muy diferente. El hecho de que la ponderación de aguas arriba

es superior a la de mayor ponderación del punto medio también se ha observado en la solución de las ecuaciones Navier-Stokes (Runchal y Wolfstein, 1969; Hirt, 1968). Para la solución de problemas prácticos, la selección está entre la ponderación de solo un punto y dos-puntos aguas arriba. Tenga en cuenta que el término de primer orden en la ecuación (5.82) tiene dos partes de signo opuesto (donde Cw>0). Por lo tanto el término de primer orden desaparecerá cuando

∆𝑡 = 𝐶𝑤𝑖∆𝑥

El cuál es exactamente el límite de estabilidad para transmisibilidades explicitas aguas arriba (ecuación 5.60). Esto es conocido para ecuaciones hiperbólicas; e.g., la ecuación de diferencia centrada da una solución exacta para un

problema lineal si ∆𝑡 = 𝐶𝑤∆𝑥 (Von Rosenberg, 1969). En general:

Los errores de truncamiento con transmisibilidades explicitas arriba serán minimizadas por el uso de el máximo paso de tiempo estable.

La ponderación de dos puntos aguas arriba es más precisa, pero no tiene la ―cancelación del error‖ propiamente. Tiene una ventaja adicional de reducir el fenómeno indeseado llamado ―efecto de la malla de orientación‖ en problemas multidimensionales (Capitulo 9). El esfuerzo computacional es el mismo que para ponderación del punto único si las krl son tratadas en tiempo explícitamente. En el caso de el tratamiento semi- implícito de krl (o tratamiento implícito de la ecuación. (5.80), el uso de este método aumenta el ancho de banda de la matriz en problemas multidimensionales. 5.5.2 Aproximación de las transmisibilidades en el tiempo

La aproximación del nivel de tiempo parece ser crucial para la estabilidad de las ecuaciones de diferencias finitas. La aproximación explícita, por ejemplo T

n+1 ≈ T(f2

n) es únicamente estable condicionalmente como es mostrado en la

sección 5.4.12; y por lo tanto, esto impone una limitación en tamaño y el paso de tiempo. Los problemas de estabilidad se convierten en severos especialmente en la simulación de flujo multidimensional alrededor de un solo pozo, donde las altas velocidades de flujo son alcanzadas debido a la convergencia del flujo hacia el pozo. Esta fue esta aplicación (simulación cónica) en la cual el problema de estabilidad fue identificado (Welge y Weber, 1964). Esto ha sido demostrado ya que el problema de estabilidad es un resultado del tratamiento explícito de las transmisibilidades (Blair and Weinaug, 1969) y varios métodos de manipulación de este problema están ahora disponibles, involucrando aproximaciones linealizadas (MacDonald y Coats, 1970; Letkeman y Ridings, 1970; Sonier et al, 1973) como las no linealizadas (Nolen y Berry, 1972; Robinson, 1971) para la transmisibilidades completamente implícitas. Mostraremos en esta sección que la mayoría de estos métodos están cercanamente relacionados al método de Newton para la solución de ecuaciones no lineales.

139

El tratamiento de los términos de producción es parte integral de estos métodos. Los métodos de producción deben ser aproximados en la misma manera que las transmisibilidades internas de los bloques, con el fin de mantener la estabilidad cuando las saturaciones cambian cerca de pozos productores. El tratamiento de los términos de producción es discutido en la sección 5.7 En el resto de la sección, asumiremos un solo punto, en ponderación aguas arriba para el espacio aproximado de krl, ecuación (5.78). Cuando empezamos la consideración T y D en diferentes niveles de tiempo, es neces ario introducir una nueva notación para el vector definido previamente por la ecuación (5.18). Escribimos

𝑅𝑚𝑘 = 𝑇𝑚𝑃𝑘 − 𝐷𝑚 𝑃𝑘 − 𝑃𝑛 − 𝐺𝑚 (5.84)

Donde la m que aparece superescrita en el lado derecho denota el nivel de tiempo en el cual los coeficientes son evaluados. En esta notación podemos escribir la ecuación (5.20) con los coeficientes evaluados en el tiempo m como

𝑇𝑚 − 𝐷𝑚 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛 = −𝑅𝑚𝑛 + 𝑄 (5.85)

Además de que la diferenciación de los niveles de tiempo es necesaria cuando nosotros discutimos el tratamiento de una matriz D, es también requerida en el nivel de tiempo n+1. De los dos métodos básicos de solución (SS y IMPES), únicamente el método SS se puede acomodar para el tratamiento implícito de la matriz T. El método IMPES por definición asume el tratamiento explícito de Pc y las saturaciones en la matriz T. Sin embargo, un IMPES implícito análogo conocido como el método SEQ será discutido en la sección 5.6 Para aclarar, trataremos en esta sección únicamente el método SS con presiones como las variables dependientes. Sin embargo, haremos comentarios cuando cualquier tratamiento difiera de otras variables seleccionadas. 5.5.2.1 Algunos Métodos Básicos (a) Transmisibilidades Explicitas Como fue mostrado antes, la aproximación

Tn+1

≈ T(f2n) (5.86)

Es únicamente estable condicionalmente. Esto es demostrado en la figura 5.4 donde las soluciones para el problema del examen No. 1 obtenido con pasos de tiempo diferentes son mostrados en comparación con la solución exacta. Note que en este caso la velocidad de avance frontal es aproximadamente 0,5 ft/día y la estabilidad límite de la ecuación (5.62) es delta t aproximadamente 50 días los cuales están en un acuerdo con los resultados numéricos.

Fig. 5.4 Estabilidad de el método SS con transmisibilidades explicitas para el problema de prueba No 1 a

t=1500 días (por Settari y Aziz, 1975).

En lugar de usar Pn en la ecuación (5.86), uno puede extrapolar la presión y saturación de los dos pasos de tiempo

previos por ejemplo calcular

𝑃𝑘 = 𝑃𝑛 +∆𝑡𝑛+1

∆𝑡𝑛 𝑃𝑛 − 𝑃𝑛−1

Y el uso de T (fk2). Esto provee únicamente un leve mejoramiento en estabilidad (Note que los resultados mostrados

en la figura 5.4 son además válidos para el método IMPES Pc ≈ 0 para este caso).

140

(b) Iteración simple sobre una matriz T Un método para resolver la ecuación (5.20) con Tn+1 puede ser escrito como

𝑇(𝑣) − 𝐷 𝑃(𝑣+1) − 𝑃(𝑣) = −𝑅(𝑣)(𝑣)

+ 𝑄 𝑣 = 0,1, … ; 𝑃(0) = 𝑃(𝑛) (5.87)

Donde T

(v)=T(f

(v)2). Esto ha sido hallado a través de experimentos numéricos que la ecuación (5.87) converge para

∆t< ∆tcr es la estabilidad límite para la aproximación explícita (ecuación 5.86). Durante el proceso iterativo, las saturaciones oscilan con el decrecimiento de la amplitud si ∆t< ∆tcr , y con el incremento de la amplitud si ∆t> ∆tcr. En el caso tardío, las oscilaciones pueden ser amortiguadas por el uso del promedio ponderado de T

(v) pero los métodos

de este son imprácticos. (a) Transmisibilidades Implícitas Linealizadas El método en su forma original la formulación (MacDonald y Coats, 1970; Letkeman y Ridings,1970) consiste en la

extrapolación 𝑇𝑙 por la aproximación de primer orden para 𝑓2𝑛+1 de la siguiente manera:

𝑇𝑙𝑛+1 ≅ 𝑇𝑙 𝑓2

𝑛 +𝜕𝑇 𝑙

𝜕𝑃𝑐 𝑃𝑐

𝑛+1 − 𝑃𝑐𝑛 (5.88)

Donde

𝜕𝑇𝑙

𝜕𝑃𝑐= 𝐺𝐶𝑓1

𝑑𝑓2

𝑑𝑆𝑤 𝑑𝑆𝑤

𝑑𝑃𝑐

es la derivada con respecto al punto aguas arriba. Extrapolar estas transmisibilidades s se introducen en TP y los

términos no lineales son linealizados. Por ejemplo, la parte no lineal de un término típico de TP, 𝑇𝑙 𝑖+1/2𝑛+1 𝑝𝑙 𝑖+1 −

𝑝𝑙 𝑖𝑛+1, es linealizado por la siguente suposición

𝑝𝑙 𝑖+1 − 𝑝𝑙 𝑖 𝑛+1 𝜕𝑇 𝑙


𝑛+1 − 𝑃𝑐𝑛 ≅ 𝑝𝑙 𝑖+1 − 𝑝𝑙 𝑖

𝑛 𝜕𝑇𝑙


𝑛+1 − 𝑃𝑐𝑛 (5.89)

Ahora vamos a demostrar que este método de linealización puede ser interpretado como la primera iteración del método de Newton para la ecuación con transmisibilidades implícitas. Con m=n+1, la ecuación (5.85) será

𝑅𝑛+1𝑛+1 = 𝑇𝑛+1𝑃𝑛+1 − 𝐷𝑛+1 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛 − 𝐺𝑛+1 = 𝑄 (5.90)

y el método de Newton clásico porque es un proceso iterativo definido por:

𝑫𝑹(𝑣) 𝑷 𝑣+1 − 𝑷 𝑣 = −𝑹(𝑣)(𝑣)

+ 𝑸 𝑣 = 0,1, … ; 𝑷 0 = 𝑷 𝑛 (5.91)

Donde DRN Nes la matriz de Jacobi de R(P).

Supongamos ahora que D y γl son constantes y examinan la matriz de Jacobi. Por definición, los elementos de DR

son derivadas parciales del vector R. En la notación anteriormente introducida, el elemento de bloque de DR en la fila

i y columna j constará de derivadas 𝜕𝑅𝑙 𝜕𝑃𝑘𝑗 , donde l,k=w,n:

𝜕𝑅𝑤𝑖

𝜕𝑝𝑤𝑗

𝜕𝑅𝑤𝑖

𝜕𝑝𝑛𝑗

𝜕𝑅𝑛𝑖

𝜕𝑝𝑤𝑗

𝜕𝑅𝑛𝑖

𝜕𝑝𝑛𝑗

Ahora ya se puede ver que la matriz DR solo puede tener elementos diferentes de cero en las ubicaciones de las tres diagonales del bloque de la matriz T (notar que esto no es cierto cuando se utiliza el peso corrientes arriba tipo dos

puntos). Bajo las suposiciones anteriores, las derivadas de 𝛾𝑙 y las derivadas de DP dan de nuevo la matriz D.

El i-esimo elemento del vector TP-G puede ser escrito como

−𝑇𝑙 𝑖−1/2 𝑝𝑙 𝑖 − 𝑝𝑙 𝑖−1 − 𝛾𝑙∆𝑧 𝑖−1/2 + 𝑇𝑙 𝑖+1/2 𝑝𝑙 𝑖+1 − 𝑝𝑙 𝑖 − 𝛾𝑙∆𝑧 𝑖+1/2 (5.92ª)

141

o de una forma compacta como

− 𝑇∆ф 𝑙 𝑖−1/2 + 𝑇∆ф 𝑙 𝑖+1/2 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.92b)

Los tres elementos diferentes de cero para una típica fila de la matriz DR se pueden derivar diferenciando la

ecuación (5.92) tres veces respecto a 𝜌𝑙𝑖−1,𝜌𝑙 y 𝜌𝑙𝑖+1

. Usando el los pesos corrientes arriba para las

transmisibilidades a partir del flujo desde i hasta i+1, las derivadas se pueden escribir como

𝜕

𝜕𝑝𝑘 𝑖+1 𝑇∆∅ 𝑙 𝑖+1/2 − 𝑇∆ф 𝑙 𝑖−1/2 = 𝛿𝑘𝑙𝑇𝑙 𝑖+1/2

𝜕

𝜕𝑝𝑘 𝑖 𝑇∆∅ 𝑙 𝑖+1/2 − 𝑇∆ф 𝑙 𝑖−1/2 = 𝛿𝑘𝑙𝑇𝑙 𝑖+1/2 + 𝑇′𝑙 𝑖+1/2

𝜕𝑃𝑐𝑖

𝜕𝑝𝑘𝑙− 𝛿𝑘𝑙𝑇𝑙 𝑖−1/2

𝜕

𝜕𝑝𝑘 𝑖−1 𝑇∆∅ 𝑙 𝑖+1/2 − 𝑇∆ф 𝑙 𝑖−1/2 = 𝛿𝑘𝑙𝑇𝑙 𝑖−1/2 + 𝑇′𝑙 𝑖−1/2

𝜕𝑃𝑐𝑖

𝜕𝑝𝑘𝑙 𝑘 = 𝑛, 𝑤

Donde se ha usado la definición

𝑇′𝑙 𝑖+1/2 = ∆ф𝑙 𝑖+1/2𝜕𝑇 𝑙 𝑖+1/2

𝜕𝑃𝑐𝑖 (5.93)

Se denota que las derivadas de 𝑇𝑙estan son con respecto a al valor corrientes arriba de la presión capilar. Además,

es sencillo observar que

𝜕𝑃𝑐

𝜕𝑝𝑘=

1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 𝑛−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 𝑤

Ya que 𝑃𝑐 = 𝑃𝑛 − 𝑃𝑤 . Los elementos de DR contienen términos de la matriz T-D y hasta cuatro términos

adicionales 𝑇𝑙en una fila.

Luego de reunir todos los términos es sencillo ver que la matriz DR puede ser escrita como:

DR=T+T’-D (5.94)

Donde 𝑇 es una matriz compuesta de de 𝑇𝑙 . La forma de 𝑇 generalmente depende de la dirección del flujo. En un

caso especial, en el cual el flujo va en la dirección en donde i aumenta para los puntos de las celdas en ambas

fases, 𝑇 será una matriz triangular inferior con valores diferentes de cero solo en la diagonal principal y en la sub-

diagonal. Si los elementos de la diagonal de la matriz 𝑇 para la fila se denota como 𝑇𝐶𝑖 y el elemento subdiagonal

por 𝑇𝑋𝑖 la matriz será

𝑻𝑪𝟏

𝑻𝑿 𝟐 𝑻𝑪𝟐

𝑻𝑿𝒊 𝑻𝑪𝒊

𝑻𝑿𝑵 𝑻𝑪𝑵

142

Donde

𝑻𝑿𝒊 = 𝑇 ′

𝒘 𝑇 ′𝒘

𝑇 ′𝒏 𝑇 ′

𝒏 𝒊−

𝟏

𝟐

(5.95)

Las derivadas 𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑃𝑐 y los términos de ∆ф en la ecuación (5.93) se pueden evaluar a diferentes niveles de tiempo 𝑚 y

𝑘 y la matriz 𝑇 se denotara como 𝑇𝑛𝑘 análogamente con la definición de 𝑅 (ecu.5.84).

Para el método clásico de Newton con tangentes, 𝑘 y 𝑚 están ambos en el nivel de la iteración anterior, por ejemplo,

𝑇 = 𝑇(𝑛)(𝑛)

y 𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑃𝑐 son tangentes en 𝑃(𝑛). Se supone luego que solamente una iteración de newton (ecu.5.91) se

llevara a cabo por paso de tiempo, 𝑃(𝑙) = 𝑃𝑙+1, entonces con respecto a la ecuación (5.94) se obtiene la ecuación

𝑇𝑛 + 𝑇𝑛′𝑛 − 𝐷 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛 = −𝑅𝑛

𝑛 + 𝑄 (5.96)

La cual es la matriz del método linealizado (ecu.5.89). Por lo tanto tenemos el resultado de que: El método linealizado (5.89) es la primera iteración del método clásico de Newton. Los resultados numéricos para este método se muestran en la figura 5.5. El método maneja aproximadamente el doble de estabilidad que el método explicito. De recordarse, que el problema unidimensional discutido, no es la manera mas estricta desde el punto de vista de la estabilidad.

Figura 5.5 Estabilidad del método SS implícito linealizado para la evaluación del problema No. 1 para

𝑡 = 1500 𝑑𝑖𝑎𝑠.

TCi=-TXi+1 i=1,…, N-1

TCN=0

143

Figura 5.6 Estabilidad del método SS tangente semi-implícito para la evaluación del problema No. 1 para

𝑡 = 1500 𝑑𝑖𝑎𝑠.

En una dimensión la estabilidad de las ecuaciones explicitas ocurre cuando el frente de saturación avanza una celda por paso de tiempo. En problemas multidimensionales (especialmente con un solo pozo), la inestabilidad de las ecuaciones explicitas ocurre a pasos de tiempo mucho menores y el mejoramiento de usar el método linealizado (ecu.5.96) es mucho mayor que el indicado por los resultados mostrados en la figura 5.5. (d) El método semi-implícito de Nolen y Berry (1972)

Estos autores mantienen la no linealidad en las expresiones (5.89). Si suponemos que las derivadas en 𝑇 se evalúan

aun en el nivel n, la formulación de la matriz del método es

𝑇𝑛 + 𝑇𝑛′𝑛+1 − 𝐷 𝑃(𝑛+1) − 𝑃𝑛 = −𝑅(𝑣)

(𝑣)+ 𝑄 (5.97)

La cual representa un sistema de ecuaciones no lineales. La no linealidad 𝑇𝑛𝑛+1(𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛) se resolvió por la

iteración de Newton por Nolen y Berry (1972). Esto es equivalente ala iteración del lado izquierdo de la (ecu.5.89) como sigue:

𝑝𝑙 𝑖+1 − 𝑝𝑙 𝑖 𝑣+1

𝜕𝑇𝑙


𝑣+1 − 𝑃𝑐

𝑛 = 𝑃𝑙 𝑖+1 − 𝑃𝑙 𝑖 𝑣 𝜕𝑇𝑙


𝑣+1 − 𝑃𝑐

𝑣

+ 𝑝𝑙 𝑖+1 − 𝑝𝑙 𝑖 𝑣+1 − 𝑃𝑙 𝑖+1 − 𝑃𝑙 𝑖

𝑣 𝜕𝑇𝑙


(𝑣)− 𝑃𝑐

𝑛

+ 𝑃𝑙 𝑖+1 − 𝑃𝑙 𝑖 𝑣 𝜕𝑇 𝑙


(𝑣)− 𝑃𝑐

𝑛 𝑣 = 0,1,2, … (5.98)

Inmediatamente de observa las siguientes propiedades del método anterior:

1. Si 𝑃(0) = 𝑃𝑛 y solamente una iteración (ecu.5.98) se lleva a cabo, el método de Berry Y Nolen se convierte en el

método implícito linealizado (5.96).

2. Si las funciones 𝐾𝑛𝑙 𝑆𝑤 son lineales y el método de Nolen y Berry da la solución de las ecuaciones

completamente implícitas. Notar que la segunda conclusión no se mantiene para el método linealizado.

El tratamiento de las derivadas 𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑃𝑐 es crucial para la convergencia de las ecuaciones en ecu. 5.98. Esto se

demuestra en las figuras 5.6 y 5.7. La primera figura muestra los resultados con un método de tangente, cuando 𝜕𝑇𝑖

𝜕𝑃𝑐

es una tangente de 𝑃𝑛 . En este caso las iteraciones comienzan a divergir para ∆𝑡 = 100 𝑑𝑖𝑎𝑠.

144

Se obtienen mejores resultados cuando la derivada es aproximadamente la secante entre 𝑃𝑛 y un estimativo

razonable de 𝑃𝑛+1 denotado por 𝑃𝑘

𝜕𝑇 𝑙

𝜕𝑃𝑐≅

𝑇𝑙 𝑆𝑤𝑘 −𝑇𝑙 𝑆𝑤

𝑛

𝑆𝑤𝑘 −𝑆𝑤

𝑛 𝑑𝑆𝑤

𝑑𝑃𝑐 (5.99)

Figura 5.7 Estabilidad del método SS secante semi-implícito (𝜕𝑆𝑤 = 0.5) para la evaluación del problema

No. 1 para 𝑡 = 1500 𝑑𝑖𝑎𝑠.

(e) El método completamente implícito Todos los métodos discutidos hasta ahora solo usaron alguna clase de aproximación para las ecuaciones completamente implícitas

𝑇𝑛+1 − 𝐷𝑛+1 𝑃(𝑛+1) − 𝑃𝑛 = −𝑅𝑛+1𝑛 + 𝑄 (5.100)

Estas ecuaciones también se pueden resolver por el método de Newton. Usando la notación ya introducida, el método de la tangente se puede escribir como

𝑇 𝑣 + 𝑇 𝑣 ′ 𝑣

− 𝐷 𝑃 𝑣+1 − 𝑃 𝑣 = −𝑅 𝑣 𝑣

+ 𝑄

𝑣 = 0,1,2, … ; 𝑃(0) = 𝑃(𝑛) (5.101)

Los resultados numéricos para las transmisibilidades completamente implícitas se muestran en la figura 5.8.

El desarrollo es muy análogo cuando las ecuaciones son formuladas en 𝜌 y 𝑆, y la forma de la matriz 𝑇 es

fácilmente deducida a partir de la matriz 𝑇 dada en la sección 5.2.3. Las derivadas son tomadas son tomadas

directamente respecto a 𝑆𝑤 preferiblemente que 𝑃𝑐 .

Figura 5.8 Estabilidad del método implícito para la evaluación del problema No. 1 para 𝑡 = 1500 𝑑𝑖𝑎𝑠.

145

5.5.2.2 Discusión de los métodos Básicos

Es más sencillo ver a partir de la forma de la matriz 𝑇 que, aunque 𝑇 no es simétrica la ecuación 5.66 se mantiene. A

partir de esto se sigue que para todos los métodos formulados, los teoremas 3 y 4 de la sección 5.4.1.2 se mantienen y por lo tanto estos métodos satisfacen el balance de materia. La estabilidad puede ser investigada de la misma manera en la que se investigo para el caso de las transmisibilidades explicitas de la sección 5.4.1.2. Un análisis de estabilidad como este muestra que para los tres métodos (linelizado, semi-implícito y completamente implícito) son incondicionalmente estables. Un análisis de estabilidad no-lineal más refinado del método linealizado fue realizado por Peaceman (1977). Mostro que este

método tienen una limitante de estabilidad, dependiendo del 𝑓𝑤 , pero este método no impone ninguna restricción

significativa en la practica. También es necesario investigar la convergencia del proceso iterativo de los métodos semi-implícitos y completamente implícitos. El tratamiento teórico del método de Newton se torno muy complicado para sistemas de ecuaciones (Ortega y Rheinboldt, 1970) y las condiciones para la convergencia, existencia y unicidad de la solución

no son fácilmente establecidos para problemas prácticos. Las condiciones esenciales son que la función 𝑅𝑖𝑛+1

tiene

derivadas de segundo orden continuas y la matriz jacobiana DR tiene inversa, y se utilizan con frecuencia en

problemas prácticos. Notar que siempre se tiene un buen valor inicial para arrancar la iteración, lo cual es resultado del paso de tiempo previo. Una rápida tasa de convergencia es crucial para una confiabilidad practica del método completamente implícito al igual que para el método semi-implícito, debido a que la iteración necesita aproximadamente la misma cantidad de trabajo que para la solución de un solo paso de tiempo para cualquier método linealizado. Este comentario se basa en la suposición de que cada iteración por el método de Newton se resuelve con el mismo grado de exactitud que las soluciones de las ecuaciones linealizadas. Siendo este siempre el caso, cuando un método directo es usado para la solución de matrices de ecuaciones linealizadas, la relación de trabajo puede ser más favorable para el método de Newton cuando se usa un método iterativo, ya que las ecuaciones para cada iteración de Newton requieren que sean resueltas solamente en el ultimo caso (Nolen Y Berry). 5.5.2.3 Comparación de los métodos para el tratamiento implícito de las transmisibilidades) Un examen de los resultados presentes en esta sección muestran que la estabilidad aumenta con el aumento de la implicibilidad del método, a medida que hay un traslado de un tratamiento explicito a uno completamente implícito. Sin embargo, esta mejora se obtiene a expensas de mayores errores de truncamiento. El error de truncamiento linealizado da lo siguientes errores (Settari y Azis, 1975). Para el método linealizado y semi-implicito

𝑅 = −3

2∆𝑡 + 𝐶𝑤

∆𝑥

2 𝑆 ′ . +

4∆𝑡2

3𝑆 ′ .. +

2∆𝑥∆𝑡

3𝑆 ′′ . +

∆𝑥2

6𝑆 ′′′ + 0 ∆3 (5.102)

Para un método completamente implícito

𝑅 = ∆𝑡

2+ 𝐶𝑤

∆𝑥

2 𝑆 ′ . +

∆𝑡2

6𝑆 ′ .. +

∆𝑥2

6𝑆 ′′′ + 0 ∆3 (5.103)

En comparación con el error del método explicito (ecu.5.82), el método implícito tiene siempre errores mas grandes. Este siempre fue señalado desde un principio por Mac Donald y Coats (1970). El método linealizado una cancelación del error parcial como se vio en la figura 5.5, mientras que los errores del método implícito se incrementan

monotonicamente con ∆𝑡.

Es posible formular otros métodos similares, por ejemplo, el método linealizado basado en el esquema de segundo orden de Newton fue investigado por Settari y Azis (1975). Todos los resultados disponibles condujeron a la siguiente observación: A medida que un método sea más implícito, la estabilidad mejora, pero los errores de truncamiento aumentan. Finalmente, se discute brevemente los métodos de secante, ya introducidos por la ecuación 5.99. Si la secante se escoge razonablemente, el método de la secante tiene una mejor tasa de convergencia que el correspondiente

método de la tangente (Ortega y Rheinboldt, 1970, capitulo 10).Idealmente el cambio de saturación ∆𝑆𝑤 = 𝑆𝑤𝑘 −

𝑆𝑤𝑛 debe predecirse para cada punto. Ya que esto es complicado, usualmente se usa una secante constante, la cual

es calculada a partir del cambio de viscosidad máximo.

146

Los métodos de la secante fueron comparados con los métodos de la tangente por Settari y Aziz (1975). El mejoramiento para el método linealizado fue insignificante y la tasa de convergencia para el método de Newton también fue relativamente insensible a la elección de la secante. Solamente el método semi-implícito de Nolen y Berry se beneficio del uso de las secantes. Para la solución práctica de problemas multidimensionales, se recomienda el método linealizado. Las ecuaciones completamente implícitas tienen grandes errores de truncamiento, pero es sensible a la elección de las secantes, lo que lo hace menos confiable cuando los cambios de saturación no se pueden predecir (flujo regresivo etc).

5.5.3 No linealidad debido a la función 𝑷𝒄

Cuando la función 𝑆𝑤 = 𝑓(Pc) no es lineal, los elementos de la matriz D se tornan implícitos: 𝐃 = 𝐃𝐧+𝟏 . Se

considerara para una mayor claridad el flujo incompresible con 𝜌𝑤 , 𝜌𝑛 como las variables dependientes. En este

caso el i-esimo bloque de la matriz D para el método SS con 𝜌𝑤 , 𝜌𝑛 como variables dependientes es

𝐷𝑖𝑛+1 =

𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑆𝑤

′ 𝑛+1 −1 11 −1

(5.104)

La no linealidad debido a 𝑆𝑤 también se introduce en la matriz 𝑇, su efecto en este termino es, sin embargo,

pequeño y no será considerado. De manera que 𝑆𝑤 satisfaga la ecuación (5.10), algún método iterativo debe ser

usado para resolver las transmisibilidades implícitas, las iteraciones en D deben ser subiteraciones de este método

iterativo. De tal manera que esta discusión se mantenga corta, solamente se considerara el método linealizado. a) Iteración simple

Basados en la iteración de 𝑃(𝑣), la derivada de 𝑆𝑤 se actualiza como

𝑆𝑤′(𝑣)

=𝑆𝑤 𝑃𝑐

(𝑣) −𝑆𝑤 𝑃𝑐

𝑛

𝑃𝑐(𝑣)

−𝑃𝑐𝑛

(5.105)

Si la correspondiente matriz D se denota como 𝐃(𝐯) , el esquema iterativo para el método linealizado (5.96) debe ser

escrito como

𝑇𝑛 + 𝑇𝑛′𝑛 − 𝐷(𝑣) 𝑃 𝑣+1 − 𝑃𝑛 = −𝑅𝑛

𝑛 + 𝑄

𝑣 = 0,1,2, … ; 𝑃(0) = 𝑃(𝑛) (5.106)

Este método converge para pequeños pasos de tiempo, pero su estabilidad puede ser aun menor que la estabilidad

de las ecuaciones con respecto a las transmisibilidades explicitas, dependiendo de la función Pc . También la derivada

𝑆𝑤 debe ser continua de tal manera que el método converja completamente. Numéricamente significa que el método

requiere una interpolación de segundo orden si la función Pc esta dada de la forma mostrada en la tabla.

b)Iteración de Newton

Análogamente con la ecuación 5.7 se define el vector 𝐷𝑆𝑛 ,(𝑣) por

𝐷𝑆𝑛 ,(𝑣) =𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑆𝑙

(𝑣)− 𝑆𝑙

𝑛 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (5.107)

Luego el método de Newton considerando 𝐷𝑛+1 la única no-linealidad, es

𝑇𝑛 + 𝑇𝑛′𝑛 − 𝐷 𝑣 𝑃 𝑣+1 − 𝑃 𝑣 = −𝑅𝑛

𝑛 − 𝑇𝑛 + 𝑇𝑛′𝑛 𝑃 𝑣 − 𝑃𝑛

+ 𝐷𝑆𝑛 ,(𝑣) + 𝑄 𝑣 = 0,1, … ; 𝑃(0) = 𝑃(𝑛) (5.108)

Donde 𝑆𝑤𝑖 en 𝐷(𝑣) es tangente en 𝑆𝑤 ,(𝑣)

, preferiblemente que una pendiente secante.

El método (5.108) no converge siempre (Peaceman, 1967, Settari y Aziz, 1975). Cuando la función 𝑆𝑤 tiene

derivadas muy pequeñas al final del intervalo, el método de Newton no converge (Ostrowski, 1973). c) Método modificado de Newton De tal forma de conservar la convergencia el método de Newton debe ser modificado. Una solución a este problema,

propuesto por Peaceman (1967), es hacer la iteración inversa, tratando 𝑆𝑤 como la variable principal. Este alcance

se discute en detalle por Settari y Aziz (1975) y aquí solo se presenta una breve discusión.

147

Después de que se resuelve la V-esima iteración de la ecuación (5.108), se denota la presión capilar como

𝑃𝑐(𝑐)

= 𝑃𝑛(𝑣+1)

− 𝑃𝑤(𝑣+1)

Y se calcula 𝑆𝑤 ,(𝑣+1)

como

𝑆𝑤 𝑖(𝑣+1)

= 𝑆𝑤 𝑖(𝑣)

+ 𝑆𝑤 𝑖′(𝑣)

𝑃𝑐(𝑐)

− 𝑃𝑐(𝑣)

𝑖

𝑖 = 1, … , 𝑁 (5.109)

Luego se redefine la presión capilar como

𝑃𝑐 𝑖(𝑣+1)

= 𝑓 𝑆𝑤 𝑖𝑣+1 (5.110)

Y se ajusta una de las presiones de fase para satisfacer (ecuación sin numero) Este método converge rápidamente para la mayoría de los problemas, y no hay necesidad de iterar.

En conclusión, se discute el tratamiento de la linealidad de Pc con diferentes variables dependientes. Cuando ρ y Pc

son usadas como variables, el tratamiento es muy análogo y el método definido por la ecuación (5.109) y (5.110) es apropiado. Cuando ρ y S son usadas, entonces para este caso simple la matriz D toma la forma

𝐷𝑖𝑛+1 =

𝑉𝑝∆𝑡

0 10 −1

Y no maneja la no-linealidad de Pc . Esto también explica la rápida convergencia de la iteración modificada anterior,

ya que corresponde al uso de 𝑆𝑤 como una de las variables dependientes.

5.5.4 Filtración de gas

En problemas de flujo con gas en solución, el gas libre se linera de la solución si la presión disminuye por debajo del punto de burbuja. Debido a que la viscosidad del gas es muy pequeña, su movilidad es alta y el gas fluye hacia la parte de arriba (se filtra) con velocidades relativamente altas. Problemas serios de estabilidad parecen en el caso de

la coordenada vertical o inclinada, tan pronto la fase de gas se hace móvil (𝐾𝑟𝑜 > 0).

Problemas similares existen en otros casos donde el gas fluye debido a la influencia de la gravedad. Esta inestabilidad se debe esencialmente al tratamiento explicito de las transmisibilidades, y se acentúa por las grandes diferencias en las densidades de aceite y gas y la más fuerte no-linealidad de las funciones dependientes de la presión para el gas. El primer método para controlar esta no-linealidad (Coats, 1968b) fue desarrollado antes de que la importancia del tratamiento implícito de los coeficientes fuera reconocido. Más adelante, un método similar pero más simple fue propuesto (Mc Creary,1971). Varios investigadores han mostrado que el uso de un método linealizado o semi implícito también resuelve el problema de inestabilidad asociado con filtración de gas.

148

Figura 5.9 Comparación de los tres métodos para el problema de la filtración de gas de McCreary, problema

de evaluación No 2.

Para ilustrar esto se mostrará la comparación de los resultados del método linealizado (5.96) con los resultados de los métodos de Coats y McCreary, reportados en McCreary (1971), para el problema de prueba No 2. Las

saturaciones calculadas por los tres métodos para un tiempo seleccionado 𝑡 = 900 𝑑𝑖𝑎𝑠 se muestran en la figura

5.9. La línea solida representa la solución de referencia calculada por McCreary usando pasos de tiempo muy pequeños y transmisibilidades explicitas. Obviamente el método linealizado da una solución mucho más exacta que los otros dos métodos. Esto es especialmente cierto en zonas de aceite, donde la saturación de gas es un poco mayor que la saturación critica a la cual el gas comienza a fluir. La característica común de los métodos de Coats y

McCreary es que estos restringen la movilidad del gas indiferentemente de la relación 𝐾𝑟𝑛 = 𝑓(𝑆𝑤 ), en la cual se

permite el desarrollo de altas saturaciones de gas en la zona de aceite. Esto es especialmente cierto en el método de McCreary. La estabilidad del método linealizado para este problema fue mas o menos el mismo para Coats, mientras que el método de McCreary permitía el uso de pasos de tiempo del doble de largos. Sin embargo, en vista de la pobre exactitud del método de McCreary, su ganancia de estabilidad se hace poco significativa. Por lo tanto, el uso del método linealizado se recomienda preferiblemente en comparación de los otros métodos. Sin embargo, los resultados de Nolen y Berry (1972) se deben tener en cuenta en donde mostraron que el método semi-implícito puede ser superior a otros métodos para algunos problemas complejos.

5.6 MÉTODO DE SOLUCIÓN SECUENCIAL (SEQ)

En la sección 5.4 hemos visto que los métodos IMPES y SS explicito tienen una estabilidad bastante limitada debido al tratamiento explicito de las transmisibilidades. Esto puede aliviarse por medio del tratamiento implícito de coeficientes para el método SS. La idea del método SEQ es mejorar la estabilidad del método IMPES incorporando un tratamiento implícito de saturaciones, pero sin resolver simultáneamente para presiones y saturaciones. Un esquema como este fue formulado por primera vez por MacDonald y Coats (1970), pero su uso no fue reportado hasta mucho después por Spillette et al. (1973), Coats et al. (1974) y Coats (1976). El método SEQ consiste en dos pasos. El primer paso es obtener una solución implícita de presión exactamente de la misma forma como en el método IMPES. El segundo paso es una solución implícita para las saturaciones usando transmisibilidades implícitas linealizadas. Por tanto, el método puede ser visto (y derivado) en dos formas; como una ―división‖ del método SS con transmisibilidades implícitas linealizadas, o como una aproximación implícita a la ecuación de saturación (flujo fraccional) (ec. 2.95). 5.6.1 Método SEQ para flujo bifásico.

Permítanos presentar el método SEQ considerando un caso simple con 𝐶𝑅 = 0 y ∆𝑧 = 0. Las ecuaciones SS (ecs.

5.11) con transmisibilidades implícitas linealizadas pueden ser escritas en la siguiente forma:

149

𝑇𝑙𝑖−

12

𝑛 𝑝𝑖−1 − 𝑝𝑖 𝑙𝑛+1 − 𝑇𝑙

𝑖+12

′ 𝑆𝑤𝑛+1 − 𝑆𝑤

𝑛 − + 𝑇𝑙𝑖+

12

𝑛 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 𝑙𝑛+1 + 𝑇𝑙

𝑖+12

′ 𝑆𝑤𝑛+1 − 𝑆𝑤

𝑛 +

=𝑉𝑝∆𝑡

𝑏𝑙𝑛+1∆𝑡𝑆𝑙 + 𝑆𝑙

𝑛𝑏𝑙′∆𝑡𝑝𝑙 + 𝑄𝑙

𝑛 + 𝑄𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑙𝑝

′ ∆𝑡𝑝𝑙 (5.111)

Donde para flujo de 𝑖 hasta 𝑖 + 1

𝑇𝑙𝑖+1/2

′ = 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 𝑙𝑛𝜕𝑇𝑙𝑖+1/2

𝜕𝑆𝑤𝑖

𝑄𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 y 𝑄𝑙𝑝

′ ∆𝑡𝑝𝑙 son las contribuciones implícitas a la producción con respecto a 𝑆𝑤 y 𝑝𝑙 respectivamente. Los

subíndices + y – en los términos 𝑆𝑤𝑛+1 − 𝑆𝑤

𝑛 denotan valores corriente arriba. En este primer paso del método

SEQ los términos 𝑇𝑙′ y 𝑄𝑙𝑤

′ son despreciados y las ecuaciones para las dos fases son combinadas como para el

método IMPES con ∆𝑡𝑝𝑤 = ∆𝑡𝑝𝑛 = ∆𝑡𝑝 para obtener una única ecuación de presión en 𝑝 = 𝑝𝑛 :

𝐵𝑤 𝑖𝑛+1𝑇𝑤 𝑖−1/2

𝑛 + 𝐵𝑛 𝑖𝑛+1𝑇𝑛 𝑖−1/2

𝑛 𝑝𝑖−1 − 𝑝𝑖 𝑛+1 + 𝐵𝑤 𝑖

𝑛+1𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 + 𝐵𝑛 𝑖

𝑛+1𝑇𝑛 𝑖+1/2𝑛 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖

𝑛+1

= 𝑉𝑝∆𝑡

𝑆𝑤𝑛𝐵𝑤

𝑛+1𝑏𝑤′ + 1 − 𝑆𝑤

𝑛 𝐵𝑛𝑛+1𝑏𝑛

′ + 𝑄𝑤𝑝′ 𝐵𝑤

𝑛+1 + 𝑄𝑛𝑝′ 𝐵𝑛

𝑛+1 𝑝𝑛+1 − 𝑝𝑛 𝑖

+ 𝐵𝑤 𝑖𝑛+1 𝑇𝑤 𝑖−1/2

𝑛 𝑝𝑐𝑖−1− 𝑝𝑐𝑖

𝑛

+ 𝑇𝑤 𝑖+1/2 𝑝𝑐𝑖+1

− 𝑝𝑐𝑖 𝑛 + 𝑄𝑤𝐵𝑤

𝑛+1

+ 𝑄𝑛𝐵𝑛𝑛+1 (5.112)

Esta es una ecuación parabólica y la expresión dentro de {} en el lado derecho representa la compresibilidad total 𝐶𝑇

para el bloque (note que el termino 𝑄𝑙𝑝′

contribuye a 𝐶𝑇 y puede posiblemente hacerlo negativo).

Después de resolver la ecuación (5.112), podemos resolver la ecuación de saturación implícita (IMPES) (e.g., ec.

(5.40)) y llamar al resultado 𝑆𝑤∗ . Sin embargo, no es necesario realizar este paso (ver ec. (5.115) abajo).

Ahora podemos derivar una ecuación de saturación implícita partiendo de la ec. (5.111) y utilizando la solución de presión obtenida:

𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 𝑝𝑖−1 − 𝑝𝑖

𝑛+1 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖

𝑛+1

=𝑉𝑝∆𝑡

𝑏𝑤∗ 𝑆𝑤

∗ − 𝑆𝑤𝑛 + 𝑆𝑤

𝑛𝑏′∆𝑡𝑝 + 𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 𝑝𝑐𝑖−1

− 𝑝𝑐𝑖 𝑛

+ 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 𝑝𝑐𝑖+1

− 𝑝𝑐𝑖 𝑛

+ 𝑄𝑤𝑛

+ 𝑄𝑤𝑝′ 𝑝𝑛+1 − 𝑝𝑛 𝑖 (5.113)

Donde 𝑏∗ es el valor para 𝑏𝑛+1 para el paso de presión.

La sustitución de la ec. (5.113) en (5.111) escrita para 𝑙 = 𝑤 provee la ecuación para el segundo paso del método

SEQ:

−𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 ∆𝑡𝑆𝑤 − + 𝑇𝑤 𝑖+1/2

𝑛 ∆𝑡𝑆𝑤 + + 𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 ∆𝑡𝑃𝑐𝑖−1

− 𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2

𝑛 ∆𝑡𝑃𝑐𝑖+ 𝑇𝑤 𝑖+1/2

∆𝑡𝑃𝑐𝑖+1

=𝑉𝑝∆𝑡


𝑛+1 − 𝑆𝑤∗ 𝑖 + 𝑄𝑤𝑤

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖 (5.114)

Esta ecuación contiene los términos implícitos con respecto a los cambios de saturación y presión capilar sobre los

pasos de tiempo. Los términos ∆𝑡𝑃𝑐 aparecen aquí debido a que los pasos IMPES asumen 𝑃𝑐𝑛+1 = 𝑃𝑐

𝑛 . Es

importante incluir para la estabilidad los términos 𝑃𝑐 en este paso (Spillete et al., 1973). La ecuación (5.114) puede

ser reordenada en términos de ∆𝑡𝑆𝑤 únicamente:

−𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 ∆𝑡𝑆𝑤 − + 𝑇𝑤 𝑖+1/2

𝑛 ∆𝑡𝑆𝑤 +

+ 𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 𝑃𝑐𝑖−1

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖−1− 𝑇𝑤 𝑖−1/2

𝑛 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛

𝑛𝑃𝑐𝑖′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖

+ 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 𝑃𝑐𝑖+1

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖+1

= 𝑉𝑝∆𝑡

𝑏𝑤∗ + 𝑄𝑤𝑤

′ 𝑖∆𝑡𝑆𝑤𝑖

− 𝑉𝑝∆𝑡


∗ − 𝑆𝑤𝑛

𝑖 (5.115)

150

Donde el valor del último término puede obtenerse de la ec. (5.113) sin computar 𝑆𝑤∗ . La ecuación (5.115) puede ser

escrita en forma matricial así:

𝑇𝑠′ + 𝑇𝑃𝑐

′ − 𝐷𝑠 ∆𝑡𝑆𝑤 = 𝑅𝑠 5.116

Donde 𝑇𝑠′ y 𝑇𝑃𝑐

′ son las matrices tridiagonales de los términos de flujo implícito debido a cambios en la permeabilidad

y presión capilar sobre el paso de tiempo y 𝐷𝑠 es la matriz de acumulación diagonal. La parte de la ecuación debido

a los cambios de 𝑘𝑟 tiene un carácter hiperbólico, y la parte debido a cambios de 𝑃𝑐 tiene un carácter parabólico.

Esto será obvio después cuando consideremos la derivación de la ecuación de flujo fraccional. La solución de la ec. (5.112) da las nuevas presiones y la solución de la ec. (5.116) las nuevas saturaciones en forma secuencial. Ambos pasos requieren la solución de una matriz de ecuaciones del mismo tamaño. Por lo tanto, el trabajo para un paso de tiempo con el método SEQ es aproximadamente dos veces el trabajo con el método IMPES, independiente de la dimensionalidad del problema. Esto hace el método SEQ más rápido comparado con el método SS en problemas 2-D y 3-D (ver Capitulo 9). Permítanos ahora analizar el cálculo implícito de saturación (5.116) en detalle. Primero, recordemos que el paso del IMPES satisface el mismo el balance de materia (Sección 5.4.2.2). Si sumamos ahora la ec. (5.115), todos los términos de transmisibilidad en el lado izquierdo se cancelaran. La ecuación resultante es:

0 = 𝑉𝑃

∆𝑡𝑏𝑤

∗ 𝑆𝑤𝑛+1 − 𝑆𝑤

∗ 𝑖

+ 𝑄𝑤𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 𝑖

𝑖

𝑖𝑖

Ya que 𝑏𝑤𝑛+1 = 𝑏𝑤

∗ , esta puede ser escrita así:

0 = 𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑏𝑤𝑆𝑤 𝑛+1 − 𝑏𝑤𝑆𝑤 ∗ 𝑖 + ∆𝑡𝑄𝑤 𝑖

𝑖

(5.117)

𝑖

Donde hemos denotado con ∆𝑡𝑄 la contribución implícita a la tasa de producción 𝑄. La ecuación (5.117) es una

ecuación de balance de materia para las contribuciones implícitas del flujo de la fase mojante. Por lo tanto, el cálculo en el paso de tiempo total es conservativo para la fase mojante.

El cambio de 𝑆𝑤 de 𝑆𝑤∗ a 𝑆𝑤

𝑛+1 también ocasiona cambios en los flujos y acumulación de la fase no mojante. El

cambio en el término de acumulación es − 𝑉𝑃 ∆𝑡 𝑏𝑛∗ 𝑆𝑤

𝑛+1 − 𝑆𝑤∗ , el cual se obtiene de la ec. (5.115)

multiplicándola por 𝑎𝑖 = −𝑏𝑛∗/𝑏𝑤

∗ 𝑖 . Por tanto ajustar la solución de la fase mojante de acuerdo con la ec. (5.115)

es equivalente a resolver la siguiente ecuación para la fase no mojante:

−𝑎𝑖𝑇𝑤 𝑖−1/2′ ∆𝑡𝑆𝑤 − + 𝑎𝑖𝑇𝑤 𝑖+1/2

′ ∆𝑡𝑆𝑤 +

+ 𝑎𝑖 𝑇𝑤 𝑖−1/2𝑛 𝑃𝑐𝑖−1

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖−1− 𝑇𝑤 𝑖−1/2

𝑛 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛

𝑛𝑃𝑐𝑖′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖

+ 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 𝑃𝑐𝑖+1

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖+1

= −𝑉𝑃

∆𝑡𝑏𝑛


∗ 𝑖 + 𝑎𝑖𝑄𝑤𝑤 𝑖′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖

=𝑉𝑃

∆𝑡𝑏𝑛


∗ 𝑖 + ∆𝑡𝑄𝑛𝑖 (5.118)

Esto puede también ser visto como sigue: Ya que el segundo paso de SEQ trata el flujo como incompresible, cualquier cambio en el flujo de interbloque de la fase mojante debe ser balanceado por un cambio contrario en la fase

no mojante de un volumen de yacimiento base. Por ejemplo, el ajuste del flujo 𝑞𝑖+1/2, en unidades de yacimiento,

puede ser obtenido de la ec. (5.115):

∆𝑡𝑞𝑖+1/2 =1

𝑏𝑤 𝑖∗ 𝑇𝑤 𝑖+1/2

′ ∆𝑡𝑆𝑤 + + 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑛 𝑃𝑐𝑖+1

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖+1− 𝑃𝑐𝑖

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖

Esta tiene dos partes: una debido a la permeabilidad relativa y la otra debido a al cambio de la presión capilar. Cada cambio en el flujo es balanceado independientemente por un término correspondiente en la ec. (5.118), si esta

ecuación es dividida por 𝑏𝑛∗ para obtener unidades de volumen de yacimiento. Similarmente, los términos de

acumulación están también balanceados.

151

El balance de materia para la fase no mojante se obtiene ahora sumando las ecs. (5.118) para cada bloque. Para hacer esto, debemos considerar la dirección de flujo. Para flujo de izquierda a derecha (en la dirección de incremento de i), obtenemos

− 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖

𝑁−1

𝑖=1

𝑇𝑤𝑖+

12

′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖+ 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖

𝑁−1

𝑖=1

𝑇𝑤𝑖+

12

′ 𝑃𝑐𝑖′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖

− 𝑃𝑐𝑖+1′ ∆𝑡𝑆𝑤𝑖+1

= 𝑉𝑃𝑖

∆𝑡 𝑏𝑛𝑆𝑛 𝑛+1 − 𝑏𝑛𝑆𝑛 ∗ 𝑖 + ∆𝑡𝑄𝑛𝑖

𝑁

𝑖=1

5.119

𝑁

𝑖=1

El lado derecho de esta ecuación es la expresión de balance de materia, y por tanto la suma del lado izquierdo debe ser igual a cero. Desafortunadamente, esto está garantizado solo para flujo incompresible. Por tanto: El paso implícito del método SEQ no satisface en forma general el balance de materia de la fase no mojante. El error

es proporcional a la variación areal de 𝑏𝑛/𝑏𝑤 .

La anterior deficiencia del método SEQ fue señalado por primera vez por Coats et al. (1974). Los errores de balance de materia son normalmente despreciables para sistema aceite-agua, pero puede ser bastante importante para sistemas gas-agua, y especialmente para sistemas de tres fases, donde los errores también dependen de las

variaciones de 𝑅𝑠.

Una segunda deficiencia del método recae en el tratamiento de los términos de producción. Es necesario para la estabilidad incluir términos de producción implícitos en el segundo paso (saturación). Nuevamente, ya que este paso es incompresible, lo suma de los cambios implícitos en las tasas de producción debe ser cero en un volumen base de yacimiento:

𝐵𝑤∆𝑡𝑄𝑤𝑖+ 𝐵𝑛∆𝑡𝑄𝑛 𝑖

= 0

Entonces, si la tasa de una fase esta prescrita, no será mantenida después del paso implícito. Este problema puede ser resuelto solo por iteración, durante la cual la tasa usada en el paso IMPES ingresa como la tasa prescrita menos el cambio implícito durante la última iteración. En nuestra experiencia, dos iteraciones son generalmente suficientes, pero los tiempos de cómputo aumentan muy proporcionalmente con el número de iteraciones, y el método se torna menos atractivo. 5.6.2 Otras Formas y Derivaciones

(a) La derivación anterior del paso implícito de saturación puede repetirse comenzando con la ecuación de de fase no

mojante (ec. (5.111)). La ecuación resultante tendrá coeficientes basados en derivadas de 𝑇𝑛 . El método satisfará el

balance de materia de la fase no mojante, pero no el de la fase mojante. (b) Es fácil observar que la formulación secuencial puede ser derivada para otros tratamientos implícitos de

transmisibilidades como se discutió en la sección 5.5.2. Por ejemplo, un método secuencial completamente

implícito requerirá iteraciones como 𝑇𝑤𝑛 + 𝑇𝑤

′ ∆𝑡𝑆𝑤 = 𝑇𝑤𝑛+1. No se ha reportado en la literatura experiencia con

estos métodos hasta el momento. Es interesante notar que sin presión capilar, la estructura de la matriz 𝑻′ −

𝑫𝒔 = 𝑻𝒔′ − 𝑫𝒔 es tal que puede ser transformada en una matriz triangular reordenando términos desconocidos.

Esta es una consecuencia de la ponderación aguas arriba. Entonces las ecuaciones se pueden resolver punto por punto en lugar de simultáneamente, incluso si las transmisibilidades son completamente implícitas (Watts, 1972).

(c) Los anteriores puntos de observación al hecho que el paso de saturación implícito es una aproximación de las ecuaciones de flujo fraccional. En efecto, SEQ puede ser derivado directamente de las ecuaciones presentadas en el capítulo 2 (Sección 2.5.2). En la sección 5.4.1.2, hemos dado una aproximación a la forma simple de la ecuación de saturación

−𝒖. ∇𝑓𝑤 = ∅𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡+ 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

Con transmisibilidades explicitas como en la ecuación (5.58). Esta ecuación por tanto representa el primer paso del método SEQ y puede ser escrita como

152

𝑄𝑇 𝑓𝑤 𝑖′ 𝑆𝑤𝑖

− 𝑓𝑤 𝑖−1′ 𝑆𝑤 𝑖−1

𝑛

=𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑆𝑤 𝑖

∗ − 𝑆𝑤 𝑖𝑛 + 𝑄𝑤

𝑛 − 𝑓𝑤 𝑖𝑛 𝑄𝑇

Para el paso completamente explicito podemos escribir la misma ecuación implícitamente:

𝑄𝑇 𝑓𝑤 𝑖′ 𝑆𝑤𝑖

− 𝑓𝑤 𝑖−1′ 𝑆𝑤 𝑖−1

𝑛+1

=𝑉𝑝𝑖


𝑛+1 − 𝑆𝑤 𝑖𝑛 + 𝑄𝑤

𝑛+1 − 𝑓𝑤 𝑖𝑛+1𝑄𝑇

Restando estas dos ecuaciones se obtiene:

𝑄𝑇 𝑓𝑤 𝑖′ 𝑆𝑤 𝑖

𝑛+1 − 𝑆𝑤 𝑖𝑛

𝑖− 𝑓𝑤 𝑖−1

′ 𝑆𝑤 𝑖𝑛+1 − 𝑆𝑤 𝑖

𝑛 𝑖−1

=𝑉𝑝𝑖


𝑛+1 − 𝑆𝑤 𝑖∗

𝑖+ ∆𝑡𝑄𝑤 (5.120)

La cual es la ec. (5.115) para este caso simplificado. Note que aquí la transmisibilidad es (desde que 𝑄𝑇 = 𝑇𝑛 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2∆ф𝑖+1/2 de la solución de la ecuación de presión):

𝑇𝑤 𝑖+1/2′ = 𝑇𝑛 + 𝑇𝑤 𝑖+1/2𝑓𝑤 𝑖

′ ∆ф𝑖+1/2 (5.121)

Mientras que la transmisibilidad usada en la ecuación (5.115) es

𝑇𝑤 𝑖+1/2′ =

𝑑𝑇𝑤

𝑑𝑆𝑤∆ф𝑖+1/2 (5.122)

5.6.3 Resultados Numéricos

En esta sección se presenta una comparación de los métodos SEQ y SS. Algunos de los resultados son de Ko (1977) y los resultados adicionales han sido generados por Ko y los autores.

Todos los resultados obtenidos con aproximación de punto aguas arriba, y 𝑃𝑐 = 0 para el problema Buckley-

Leverett. Note que no es necesario usar un valor diferente de cero con el método SEQ como fue el caso en el método SS. Primero notemos que los resultados para el caso donde las transmisibilidades son tratadas explícitamente son idénticas con los resultados obtenidos por el método IMPES, como el método SEQ en realidad se reduce al IMPES (el paso 2 es omitido). Como se mencionó anteriormente, cualquier método SEQ puede ser codificado para incluir el IMPES como una opción. Todas las no linealidades debidas a las transmisibilidades son manejadas por el método implícito linealizado el cual corresponde a una iteración con el método de Newton como se discutió en la sección 5.5. La figura 5.10 muestra los resultados para el problema Buckley-Leverett resuelto por el método tangencial y la figura 5.11 muestra los resultados para el método chord. Para un periodo mayor de tiempo el método chord es más estable. La diferencia en estabilidad entre el método de la tangente y chord no es tan grande como el mostrado en las figuras 5.6 y 5.7 para el método SS con tratamiento semi-implícito de transmisibilidades. La mayor estabilidad del método chord está

acompañada por un gran espacio de errores de truncamiento como se indica en los resultados para ∆𝑡 = 25 𝑑í𝑎𝑠. Ko (1977) también ha presentado resultados para varios métodos de manejo de no linealidad debido a la presión

capilar. El estudió estos métodos en el problema de prueba No. 1 con presión capilar alta. La 𝑃𝑐 usada fue obtenida

multiplicando la presión capilar de la figura 2.9 por un factor de 10. La solución de referencia fue computada usando el método IMPES con un paso de tiempo pequeño. La figuras 5.12 a 5.14 muestran las soluciones a 1500 días

obtenida usando 𝑃𝑐 explicita y 𝑃𝑐 implícita usando la pendiente del método tangencial y chord sobre 𝑃𝑐′. En todos

los casos, las transmisibilidades fueron manejadas por el método de la pendiente tangencial. Los resultados mostraron que:

(a) el tratamiento explicito de 𝑃𝑐 conlleva a problemas de estabilidad; y

(b) el método de la pendiente de chord da mejores resultados que el método tangencial.

Sin embargo, cuando es usado el método chord en las transmisibilidades, el método tangencial de manejo de 𝑃𝑐 es

preferible a el método de pendiente chord. Esta opción (chord para T, tangencial para 𝑃𝑐 ) también fue reportado por

Spillette et al. (1973), pero sin justificación.

153

Los resultados bidimensionales usando el método SEQ serán reportados en el capítulo 9 (Sección 9.8).

FIG. 5.10 Estabilidad del método SEQ con transmisibilidades linealizadas con pendiente tangencial. Problema

de prueba No. 1.

FIG. 5.11. Estabilidad del método SEQ con transmisibilidades linealizadas con pendiente chord, 𝛿𝑆𝑤 = 0.32,

Problema de prueba No. 1.

FIG. 5.12. Estabilidad del método SEQ con tratamiento explicito de 𝑃𝑐 para el problema de prueba No. 1

modificado con alto 𝑃𝑐 .

154

FIG. 5.13. Estabilidad del método SEQ con tratamiento de pendiente tangencial de 𝑃𝑐 para el problema de

prueba No. 1 modificado con alta 𝑃𝑐 .

FIG. 5.14. Estabilidad del método SEQ con tratamiento de pendiente chord de 𝑃𝑐 para el problema de prueba

No. 1 modificado con alta 𝑃𝑐 .

5.6.4 Método SEQ para Flujo Trifásico

El enfoque secuencial ofrece incluso más variedad en flujo trifásico. Permítanos primero considerar el caso usual cuando, in el paso implícito, resolvemos simultáneamente para dos cambios de saturación. Derivación del método. Como hemos visto, uno puede llegar a diferentes definiciones de coeficientes dependiendo en como las ecuaciones son derivadas. Mientras esto no es generalmente importante para flujo bifásico, este no es el caso para flujo trifásico. Por ejemplo, la definición de acuerdo con la ec. (5.122) puede causar problemas de estabilidad en una situación de tres fases.

Los ajustes implícitos a las tasas entre bloques denotadas por ∆𝑡𝑞𝑙 deben satisfacer:

∆𝑡𝑞𝑤 + ∆𝑡𝑞𝑜 + ∆𝑡𝑞𝑔 = 0 (5.123)

Independientemente en cada frontera de bloque. Los cambios ∆𝑡𝑞𝑙 son expresados como:

∆𝑡𝑞𝑙 = 𝑇𝑙𝑛+1 − 𝑇𝑙

𝑛 ∆ф𝑙 ≅ 𝑇𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑇𝑙𝑔

′ ∆𝑡𝑆𝑔 (5.124)

Donde hemos escogido ∆𝑡𝑆𝑤 y ∆𝑡𝑆𝑔 como variables. Ya que estos dos son independientes, las definiciones de 𝑇𝑙′

deben satisfacer:

155

𝑇𝑙𝑤′

𝑙

= 0 𝑦 𝑇𝑙𝑔′

𝑙

= 0 5.125

Las cuales son obtenidas de la ec. (5.124) estableciendo ∆𝑡𝑆𝑔 = 0 y ∆𝑡𝑆𝑤 = 0, respectivamente. El problema

ahora es definir dos de, decir 𝑇𝑙𝑤′

de tal manera que el tercero definido por la ec. (5.125) es también físicamente

razonable. Las definiciones que satisfacen la ec. (5.125) son obtenidas de la forma de flujo fracción de 𝑞𝑙 :

𝑞𝑙 = 𝑞𝑇

𝜆𝑙

𝜆𝑇= 𝑞𝑇𝑓𝑙

Donde 𝑞𝑙 , 𝑞𝑇 son tasas volumétricas de flujo (en unidades de volumen de yacimiento). Por lo tanto:

𝑇𝑙𝑤′ = 𝑞𝑇𝑓𝑙𝑤

′ 𝑇𝑙𝑔′ = 𝑞𝑇𝑓𝑙𝑔

′ (5.126)

Donde

𝑓𝑤𝑤′ =

1

𝜆𝑇 𝑘

𝑘𝑟𝑤′

𝜇𝑤−

𝜆𝑤

𝜆𝑇𝜆𝑇𝑤

′ 𝑓𝑤𝑔′ = −

𝜆𝑤

𝜆𝑇2 𝜆𝑇𝑔

′

𝑓𝑜𝑤′ =

1

𝜆𝑇 𝑘

𝑘𝑟𝑜𝑤′

𝜇𝑜−

𝜆𝑜

𝜆𝑇𝜆𝑇𝑤

′ 𝑓𝑜𝑔′ =

1

𝜆𝑇 𝑘

𝑘𝑟𝑜𝑔′

𝜇𝑜−

𝜆𝑜

𝜆𝑇𝜆𝑇𝑔

′

𝑓𝑔𝑤′ = −

𝜆𝑔

𝜆𝑇2 𝜆𝑇𝑤

′ 𝑓𝑔𝑔′ =

1

𝜆𝑇 𝑘

𝑘𝑟𝑔′

𝜇𝑔−

𝜆𝑔

𝜆𝑇𝜆𝑇𝑔

′ (5.127)

Y

𝜆𝑇𝑤

′ = 𝑘 𝑘𝑟𝑤′

𝜇𝑤+

𝑘𝑟𝑜𝑤′

𝜇𝑜 𝜆𝑇𝑔

′ = 𝑘 𝑘𝑟𝑜𝑔′

𝜇𝑜+

𝑘𝑟𝑔′

𝜇𝑔

Ya que 𝑘𝑟𝑤 = 𝑓 𝑆𝑤 y 𝑘𝑟𝑔 = 𝑓 𝑆𝑔 . Deberíamos notar que:

𝑘𝑟𝑜𝑙′ ≡

𝜕𝑘𝑟𝑜

𝜕𝑆𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑔

Los derivados en las ecs. (5.127) deben ser evaluados a la saturación aguas arriba (p.ej., cualquier i o i+1 para transmisibilidades a i+½) para cada fase. Note que ec. (5.127) también satisfará la ec. (5.125) para cada caso de flujo

contracorriente. Debemos observar ahora que la formula (5.121) es un caso especial de la ec. (5.127) y también que la ec. (5.122) se obtiene de la ec. (5.127) despreciando el cambio en la movilidad total. Las ecuaciones de saturación pueden ser expresadas en forma matricial de la ec. (5.116); sin embargo, ahora los elementos son matrices de 2 x 2.

Un método diferente de cálculo de flujos implícitos fue usado por Coats (1976). El define 𝑇𝑙𝑚′

usando cu

erdas en la ecuación de flujo fraccional entre las saturaciones 𝑆𝑙𝑛

y una estimación 𝑆𝑙𝑘

de 𝑆𝑙𝑛+1

. Por ejemplo, si 𝑆𝑤 y

𝑆𝑔 son desconocidos,

𝑇𝑙𝑤′ = 𝑞𝑙 𝑆𝑤

𝑘 , 𝑆𝑔𝑛 − 𝑞𝑙 𝑆𝑤

𝑛 , 𝑆𝑔𝑛 𝑆𝑤

𝑘 − 𝑆𝑤𝑛 (5.128)

Donde nuevamente, 𝑆𝑙𝑘

y 𝑆𝑙𝑛

deben ser valores aguas arriba. Por ejemplo, si el agua fluye de 𝑖 a 𝑖 + 1 y gas en la

dirección opuesta, entonces:

𝑞𝑤 𝑖+1/2= 𝑞𝑤 𝑆𝑤 𝑖

, 𝑆𝑔𝑖+1 𝑞𝑔𝑖+1/2

= 𝑞𝑔 𝑆𝑤𝑖, 𝑆𝑔𝑖+1

156

Si en lugar decidimos resolver las ecuaciones de aceite y agua, debemos determinar la saturación de aceite aguas

arriba y escribir la ec. (5.128) para 𝑞𝑤 y 𝑞𝑜 .

La ventaja de la ec. (5.128) es que iterando estos coeficientes (sin resolver la ecuación de presión) se obtiene una formulación secuencial con transmisibilidades completamente implícitas. Variaciones del método SEQ. Las variaciones del método básico dado anteriormente son posibles entre estas líneas:

(a) Manejo de transmisibilidades implícitas en el paso de saturación. Las transmisibilidades pueden ser manejadas por un método tangencial (como se indica en la ec. (5.127) o por un método chord (ec. 5.128)). El tratamiento completamente implícito por medio de actualización de enlaces en la ec. (5.128) incrementa la estabilidad pero

también el trabajo de computación por paso de tiempo. El tratamiento explicito de ∆Ф en la matriz 𝑻′ lleva a términos

no lineales que involucran el producto de saturación y derivadas de presión capilar. (b) Escoger las ecuaciones a ser resueltas en el paso de saturación afectara el balance de materia, el cual no será satisfactorio para el tercer paso. Mientras las dos ecuaciones son resueltas simultáneamente, esta opción tiene un pequeño efecto en la estabilidad del método.

(c) Las ecuaciones de saturación pueden ser desacopladas resolviendo primero implícitamente para ∆𝑡𝑆𝑤 , seguido

por una actualización de 𝑆𝑔 . Esto involucra resolver tres grupos de ecuaciones del mismo tamaño lo cual es así más

rápido que resolver simultáneamente para 𝑆𝑤 y 𝑆𝑔 , pero esto sufre algunas pérdidas de estabilidad como resultado

del desacoplamiento de saturaciones. Otra posibilidad, sugerida por Coats (1976a) es resolver simultáneamente para presiones y saturaciones de gas implícitas, seguido por una actualización de la saturación de agua implícita. Tal esquema elimina los errores del

balance de materia asociados con las variaciones de 𝑅𝑠, el cual puede ser bastante importante para problemas como

inyección de gas en yacimientos subsaturados (Stright et al., 1977) o inyección de vapor (Coats, 1976a). Como lo

reportó Coats, la solución simultanea de 𝑃 y 𝑆𝑔 es más estable que la solución simultanea de para 𝑆𝑤 y 𝑆𝑔 para la

mayoría de de problemas de simulación de aceites negros, en los cuales la mayor fuente de inestabilidad son las

interacciones gas-aceite y aceite-agua. Solo en el caso de interacciones gas-agua es el método superior 𝑆𝑤 − 𝑆𝑔 .

5.6.5 Discusión

Hemos presentado las formas básicas del método SEQ para flujo bifásico y trifásico y hemos discutido las distintas posibles variaciones. En general, un acercamiento secuencial requiere menor esfuerzo computacional que la solución simultanea, pero esto produce ecuaciones que no son conservativas para todas las fases y no son tan estables como las ecuaciones SS. En nuestra experiencia, el método SEQ está mejor ubicado para problemas de dificultad

―intermedia‖ la cual no puede ser resuelta con transmisibilidades explicitas y/o 𝑃𝑐 , pero no requiere el tratamiento

completamente implícito. La evaluación de varias formas de SEQ esta aun incompleta en este escrito.

5.7 TRATAMIENTO DE TERMINOS DE PRODUCCION

Hemos visto, en la Sección 3.4 del capítulo 3, que para flujo monofásico, las condiciones de frontera pueden ser representadas convenientemente como términos de fuente/sumidero en las ecuaciones. Este concepto es también directamente aplicable a flujo multifásico. Las condiciones actuales de frontera son multidimensionales, y varios aspectos de este tratamiento pueden ser solo experimentados en un arreglo 2-D. Por esta razón, el tratamiento detallado de las condiciones de frontera esta pospuesto para el Capitulo 9 (Sección 9.4). Aquí, solo discutiremos los aspectos unidimensionales del caso cuando los términos de producción representan flujo a través la cara del bloque (Fig. 5.15). El caso cuando un término de producción representa un pozo dentro de un bloque relativamente largo requiere el uso de métodos descritos en el Capitulo 7 (Sección 7.7), para contar con el alto nivel de aproximación envuelto. Sin embargo, una vez esto está hecho, las ecuaciones para los términos de producción pueden ser tratadas en la misma forma como se describe aquí.

Fig. 5.15. Flujo desde las fronteras.

157

5.7.1 Forma Diferencial y Condiciones de Frontera

El flujo de todas las fases a la salida de un medio poroso es asumido para satisfacer la Ley de Darcy:

𝑞𝑙 = −𝜆𝑙 𝜕𝑝𝑙


𝜕𝑧

𝜕𝑥 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (5.129)

Donde 𝑞𝑙 es la tasa de flujo por unidad de área en unidades de volumen de yacimiento.

Entonces, si las presiones y saturaciones en la frontera son conocidas, estas ecuaciones pueden ser usadas para

definir 𝑞𝑙 . El problema de especificar condiciones de frontera es distribuir la tasa sin conocer la solución.

Efectos de frontera. Suponga que ha arreglado las condiciones de frontera en flujo bifásico de agua-aceite

especificando 𝑞𝑤 y 𝑞𝑜 . Es fácil ver que en presencia de presión capilar, la condición de flujo fraccional

𝑞𝑤

𝑞𝑜=

𝜆𝑤 𝜕𝑝𝑤𝜕𝑥

− 𝛾𝑤𝜕𝑧𝜕𝑥

𝜆𝑜 𝜕𝑝𝑜𝜕𝑥

− 𝛾𝑜𝜕𝑧𝜕𝑥

Puede ser satisfecha por más de una combinación de 𝑆𝑤 , 𝜕𝑝𝑤 𝜕𝑥 y 𝜕𝑝𝑜 𝜕𝑥 . Esto muestra que la solución de las

ecuaciones de flujo multifásico no está determinada suficientemente por la especificación de 𝑞𝑤 y 𝑞𝑜 . La condición

adicional requerida se obtiene considerando la física del flujo en la frontera. Físicamente, el flujo simultáneo de dos

fases en la salida puede tomar lugar solo si la presión capilar decrece al valor de presión capilar 𝑃𝑐𝑜 fuera del medio

poroso, o al valor más cercano posible. Este valor puede ser la 𝑃𝑐 en el pozo o en una fractura, etc. y es

generalmente cerca a cero. Este fenómeno es llamado el efecto de salida (o de frontera) (Collins, 1961; Sección

6.10). La saturación al final de la salida debe alcanzar el valor 𝑆𝑤𝑜 correspondiente a 𝑃𝑐𝑜 , antes que la segunda fase

pueda fluir. La figura 5.16 muestra esto para dos tipos de curvas de 𝑃𝑐 , asumiendo 𝑃𝑐𝑜 = 0. Si comenzamos con

Fig. 5.16. Definición de 𝑆𝑤𝑜 para dos curvas diferentes de 𝑃𝑐 .

Las condiciones donde solo se produce aceite, la saturación de agua incrementará en la salida, pero después no

fluirá hasta que 𝑆𝑤 llegue a 𝑆𝑤𝑜 .

Después del avance del agua, la saturación en la frontera permanece constante. Se encontró una investigación

detallada de cambios de saturación y presión cerca de la frontera en Collins (1961) para flujo linear y en Settari y Aziz (1974a) para flujo radial. Las ecuaciones apropiadas son también derivadas por Sonier et al. (1973). Este

análisis muestra que la saturación tiene un gradiente diferente de cero en la salida, el cual sr vuelve infinito si 𝑘𝑟𝑜 en

𝑆𝑤𝑜 es cero (curva 2 en la fig. 5.16). La figura 5.17 muestra el resultado del cálculo 1-D de saturaciones cercanas al

pozo para diferentes condiciones. Estos resultados son expresados coordenadas adimensionales de 𝑆𝑤 y 𝜉 = 𝑟 𝑟𝑤 𝑐 donde 𝑐 = −𝑞𝑜/2𝜋𝑘 y 𝑞𝑜 < 0 para producción. Las siguientes conclusiones pueden ser dibujadas de

estos resultados:

1. La zona influenciada por el efecto de salida decrece con el incremento de 𝑞𝑜 y 𝑞𝑤 𝑞𝑜 .

158

2. La extensión de la zona es generalmente del orden de pulgadas o menor y por tanto puede ser despreciado a escala de yacimiento. Sin embargo, la zona de influencia puede ser larga cuando el flujo es dominado por fuerzas capilares (flujo de imbibición).

Similarmente, una condición física en la entrada de la frontera requiere que el gradiente de saturación sea cero para inyección simultánea de dos fases. En simulación de yacimientos, el efecto de salida es una regla que se desprecia y el gradiente de saturación igual a

cero se asume también para la frontera de producción. Asumir 𝜕𝑆𝑤 𝜕𝑥 = 0 hace a la solución única, pero diferente

de la solución verdadera. Esto se muestra en la Fig. 5.18, donde las líneas discontinuas representan la solución

obtenida usando 𝜕𝑆𝑤 𝜕𝑥 = 0. Note que esta solución produce dos presiones en la frontera y la presión verdades

se encuentra entre estos dos valores. Esta simplificación anterior de los efectos de frontera es adecuada para la mayoría de los problemas de yacimientos. Las posibles excepciones son yacimientos apretados con presiones capilares bastante altas y yacimientos fracturados, en los cuales el flujo capilar es importante para transferir masa entre las fisuras y la matriz.

Fig. 5.17. Saturación en la salida en un flujo radial 1-D (De Settari y Aziz, 1974a).

Fig. 5.18. Distribución de presión y saturación calculada en el pozo con y sin el efecto de salida (De Settari y

Aziz, 1974a).

Condiciones prescritas. Las condiciones actuales impuestas en la frontera de producción son una de las siguientes: (a) Tasa de flujo de una fase (usualmente aceite)

159

(b) Tasa de liquido (aceite + agua) (c) Tasa total (aceite + agua + gas) (d) Presión constante en la frontera.

Las primeras tres condiciones son de hecho mas limitaciones que condiciones de frontera; esto se ve mejor en dos dimensiones en el Capitulo 9 (Sección 9.4.1). Las tasas anteriores pueden ser impuestas ya sea en términos de volumen en condiciones/tiempo de yacimiento, o en volumen/tiempo STC (equivalente a una tasa de masa). Ya que

las tasas 𝑄𝑙 en ecuaciones diferenciales están siempre en volumen/tiempo STC, lo anterior debe ser convertido

usando valores de 𝐵𝑡 y 𝑅𝑠 para las condiciones de corriente en la frontera.

5.7.2 Discretización de Condiciones de Frontera 5.7.2.1 Condiciones de tasa

La discretización de la ec. (5.129) en la frontera 𝑖 = 1 da

𝑄𝑙 = −𝐴 𝑘𝑘𝑟𝑙

𝐵𝑙𝜇𝑙

1

1

∆𝑥1+

12

𝑝𝑙2− 𝑝𝑙1

− 𝛾𝑙1+

12

𝑧2 − 𝑧1

= −𝑇𝑄𝑙1∆Φ𝑙1+1/2

(5.130)

Donde la diferencia de presión fue aproximada entre los puntos de grid 1 y 2. Esta ecuación tiene la misma forma como los términos para tasa de flujo interbloque excepto que la transmisibilidad

𝑇𝑄𝑙𝑖 es diferente de 𝑇𝑙1+1/2 porque es evaluado a el punto 𝑖 en lugar de a una formula de ponderación aguas arriba.

Podemos ahora considerar varias formas posibles de especificar tasas de producción:

(a) Tasa de aceite especificada 𝑄 = 𝑄𝑜 en unidades STC. Ya que

𝑄𝑜 = −𝑇𝑄𝑜∆Φ𝑜

Tenemos

𝑄𝑤 =𝑇𝑄𝑤∆Φ𝑤

𝑇𝑄𝑜∆Φ𝑜𝑄𝑜

𝑄𝑔 =𝑇𝑄𝑔∆Φ𝑔

𝑇𝑄𝑜∆Φ𝑜𝑄𝑜 (5.131)

(b) Tasa de líquido especificada 𝑄𝐿 en unidades STC. Ya que

𝑄𝐿 = 𝑇𝑄𝑜∆Φ𝑜 + 𝑇𝑄𝑤∆Φ𝑤

𝑄𝑙 =𝑇𝑄𝑙∆Φ𝑙

𝑇𝑄𝑜∆Φ𝑜 + 𝑇𝑄𝑤∆Φ𝑤𝑄𝐿 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (5.132)

(d) Tasa total especificada en unidades de yacimiento (tasa de porosidad). La tasa de porosidad es

𝑄𝑉𝑇 = 𝐵𝑙

𝑙

𝑇𝑄𝑙∆Φ𝑙

Y las tasas individuales (STC) serán

𝑄𝑙 =𝑇𝑄𝑙∆Φ𝑙

𝐵𝑙𝑙 𝑇𝑄𝑙∆Φ𝑙𝑄𝑉𝑇 (5.133)

Es fácil ver como modificar estas formulas en caso que las tasas sean especificadas en RC como opuesto a unidades STC y vice versa.

Todas las tres formulaciones muestran que las tasas 𝑄𝑙 las cuales son requeridas en las ecuaciones de diferencias

finitas, deben estar distribuidas de acuerdo con la diferencia de transmisibilidades y de potencial. Debido a que estas

160

ecuaciones como la ec. (5.133) deben ser incorporadas en la matriz de ecuaciones, las diferencias potenciales deben

ser evaluadas explícitamente, por ejemplo., ∆Φ = ∆Φ𝑛

o alguna estimación ∆Φ𝑅

de ∆Φ𝑛+1

.

Sin embargo, el tratamiento de TQ debe ser consistente con el tratamiento de transmisibilidades entre bloques en la técnica de solución usada. Estos puntos discutidos abajo. La tasa de cálculo de acuerdo con las ecuaciones (5.131) a (5.133) es llamada a veces ‗asignación de producción de acuerdo a los potenciales‘. Esta formulación es correcta, pero puede causar problemas de estabilidad, especialmente

cuando uno trata de iterar en ∆Φ para obtener ∆Φ𝑛+1

en las formulas.

Un procedimiento simplificado puede obtenerse asumiendo:

∆Φ𝑜 = ∆Φ𝑤 = ∆Φ𝑔 (5.134)

Tal suposición se justifica si las fuerzas capilares son pequeñas y 𝛾𝑙 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0 o despreciable. Este método,

llamado ‗asignación de acuerdo a las transmisibilidades‘ da las siguientes equivalencias a las ecuaciones (5.131) a (5.133):

𝑄𝑤 =𝑇𝑄𝑤

𝑇𝑄𝑜𝑄𝑜 𝑄𝑔 =

𝑇𝑄𝑔

𝑇𝑄𝑜𝑄𝑜 (5.135)

Para producción de aceite especificada,

𝑄𝑙 =𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑜 + 𝑇𝑄𝑤𝑄𝐿 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (5.136)

Para tasa total de liquido especificada, y

𝑄𝑙 =𝑇𝑄𝑙

𝐵𝑙𝑙 𝑇𝑄𝑙𝑄𝑉𝑇 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (5.137)

Para tasa total en unidades de yacimiento. Permítanos ahora considerar brevemente la implementación del ‗efecto de salida‘. Suponga que la producción de

aceite es especificada en un sistema aceita-agua y 𝑆𝑤1 < 𝑆𝑤𝑜 inicialmente (Fig. 5.19a). Entonces de acuerdo a la

discusión en la Sección 5.7.1, 𝑄𝑤 = 0. Cuando la saturación del primer bloque alcanza el valor de 𝑆𝑤𝑜 , ocurre un paso de agua (Fig. 5.19b). Desde este momento, la saturación de este bloque permanece constante y

esta es la condición que determina la tasa de producción de agua. La condición de saturación constante puede ser impuesta fácilmente. Si las ecuaciones están escritas en términos de 𝑃𝑜 y 𝑆𝑤 , la ecuación de fase agua para el bloque de producción es simplemente reemplazada por la ecuación:

𝑆𝑤1 = 𝑆𝑤𝑜 (5138𝑎)

En caso que 𝑃𝑜 y 𝑃𝑤 sean usadas, la ecuación de fase agua es reemplazada por:

𝑃01 − 𝑃𝑤1 = 𝑃𝑐 𝑆𝑤𝑜 (5138𝑏)

La tasa de producción de agua,𝑄𝑤 , para satisfacer la condición anterior es entonces determinada sustituyendo la

solución en la ecuación de agua en una forma similar a las saturaciones computadas en el método IMPES.

161

Fig. 5.19. Perfil de saturación antes (a) y después (b) del paso de agua.

Debido a que Sw1 es la saturación promedio del bloque, la saturación actual en la frontera será en nuestro caso mayor que Sw1 como se muestra en la Fig. 5.19a. Entonces este método predecirá un mayor tiempo que el actual del paso del agua. El mejoramiento (aparte del decrecimiento del tamaño del bloque) es posible por el cálculo de saturación Sw1 como un promedio de la solución analítica sin el bloque frontera, basado en el qw/qo computado de Sw2 (asumido a estar más allá de la zona influenciada por el efecto de salida). 5.7.2.2 Condiciones de Presión En el manejo con condiciones de presión, es ilustrativo considerar ambos tipos de malla punto distribuido y bloque centrado. Para simplicidad, omitiremos los términos de gravedad.

Fig. 5.20. Especificación de la presión en las fronteras. (a), Malla de punto distribuido; (b), malla de bloque

centrado.

En una malla de punto distribuido, Fig. 5.20a, la presión de solo una de las fases puede ser especificada, y las tasas de producción de las otras fases estar definidas en relación a la tasa de este de esta fase. Si escogemos presión de aceite, entonces la ecuación de aceite es reemplazada por

P01=Psf (Presion en la cara de formacion) (5.139) y la tasa de aceite resultante puede ser calculada de la ecuación para este punto:

1022

11)( Sobo

t

VpPPTQo sf

Entonces las tasas de agua y gas son determinadas de la formula (5.135):

oQTQ

TQQo

2

1 l = w,g (5.140)

Las tasas Qw y Qg son entonces usadas en las ecuaciones diferenciales apropiadas, para resolver Sw1 y Sg1. Si queremos considerar el efecto de salida, el enfoque es bastante similar al cual fue descrito anteriormente para el caso de tasa especificada. Antes del paso de agua, las condiciones serán P01 = Psf, Qw = 0. Después del paso, P01 =

Psf, y 𝑃𝑤 = 𝑃𝑠𝑓 − 𝑃𝑐 𝑆𝑤𝑜 , por ejemplo, ambas presiones están arregladas. Las tasas son entonces obtenidas

sustituyendo la solución en las ecuaciones diferenciales apropiadas. La ecuación de gas se maneja en la misma forma. Permítanos considerar la malla de bloque centrado (Fig. 5.20b). Las tasas de todas las fases están dadas por:

𝑄𝑙 = 𝑇𝑙1 2 𝑃𝑙1 − 𝑃𝑙𝑠𝑓 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (5.141)

donde el coeficiente 𝑇𝑙1 2 representa la transmisibilidad entre el primer centro de bloque y la frontera. En este caso la

consideración del efecto de salida basado en la saturación 𝑆𝑤1 no es recomendable, a menos que algún tipo de

162

integración descrita en la sección previa sea desarrollada. En la mayoría de casos podemos asumir que 𝑃𝑙𝑠𝑓 = 𝑃𝑠𝑓

para todas las fases. La expresión (5.141) se incorpora fácilmente en la matriz de ecuaciones, adicionando 𝑇𝑙1 2 al

término diagonal y 𝑇𝑙1 2 𝑃𝑠𝑓 al vector del lado derecho. Las tasas son entonces obtenidas sustituyendo la solución

𝑃𝑙1 de vuelta en la ec. (5.141).

La ec. (5.141) también puede ser usada para un pozo localizado en un nodo 𝑖 interior. En este caso está escrita

como:

𝑄𝑙 = 𝑊𝐼𝑙 𝑃𝑙1 − 𝑃𝑤𝑓 (5.142)

donde 𝑃𝑤𝑓 es la presión de pozo fluyendo y 𝑊𝐼𝑙 es el índice de productividad para la fase 𝐼 que puede ser

calculado del índice de productividad para una fase para el pozo y 𝑘𝑟𝑙 𝜇𝑙𝐵𝑙 en el pozo.

5.7.2.3 Aproximación del Tiempo en Condiciones de Frontera Generalmente, el tratamiento de condiciones de frontera deben ser consistentes con o mas implícito que el tratamiento de saturaciones y transmisibilidades. Por ejemplo, para un método IMPES, las condiciones de tasa (5.135) serán explicitas:

𝑄𝑙 = 𝑄𝑙𝑛+1 =

𝑇𝑄𝑙𝑛

𝑇𝑄𝑜𝑛 𝑄𝑜 𝑙 = 𝑤, 𝑔

Mientras la condición de presión (5.141) tendrá un término de presión implícita:

𝑄𝑙 = 𝑄𝑙𝑛+1 = 𝑇𝑙1 2 𝑃𝑙1

𝑛+1 − 𝑃𝑠𝑓 = 𝑇𝑙1 2 𝑃𝑙1𝑛 − 𝑃𝑠𝑓 + 𝑇𝑙1 2

∆𝑡𝑃𝑙1

La cual puede ser escrita como:

𝑄𝑙𝑛+1 = 𝑄𝑙

𝑛 + 𝑄𝑙𝑝′ ∆𝑡𝑃𝑙1 (5.143)

Para un método SS con transmisibilidades implícitas linealizadas, las tasas deben también ser tratadas implícitamente para la condición de tasa,

𝑄𝑙 = 𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑜 𝑛

+ 𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑜 𝑤

′

∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑜 𝑔

′

∆𝑡𝑆𝑔 𝑄𝑜

o


𝑛 + 𝑄𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑙𝑔

′ ∆𝑡𝑆𝑔 (5.144)

Las derivadas en expresiones de este tipo pueden ser evaluadas en diferentes formas. Podemos asumir por ejemplo,

que 𝑇𝑄𝑜 no cambia sobre el paso de tiempo; entonces:

𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑜 𝑤

′

≅(𝑇𝑄𝑙)𝑤

′

𝑇𝑄𝑜𝑛 (5.145)

Tales aproximaciones pueden ser usadas cuando la tasa de una fase esta especificada. Cuando la tasa tota esta especificada, las derivadas como

𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑙𝑙 𝑤

′

= 𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑇 𝑤

′

No se pueden simplificar en la forma de la ec. (5.145) debido a que la condición de tasa total en el nivel 𝑛 + 1 no

sería satisfecha necesariamente. En este caso, uno puede usar la formula (5.127) listada en la Sección 5.6.4:

𝑇𝑄𝑙

𝑇𝑄𝑇 𝑤

′

=1

𝑇𝑄𝑇 𝑇𝑄𝑤 𝑤

′ −𝑇𝑄𝑤

𝑇𝑄𝑇

𝑇𝑄𝑇 𝑤′ . 𝑒𝑡𝑐.

163

La cual tiene la propiedad de

𝑄𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 = 𝑄𝑙𝑔

′ ∆𝑡𝑆𝑔

𝑙

= 0

𝑙

Las condiciones de presión deben ser tratadas implícitamente por cada método ya que todas las tasas son variables. La expresión más general es:


𝑛 + 𝑄𝑙𝑤′ ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑙𝑔

′ ∆𝑡𝑆𝑔 + 𝑄𝑙𝑝′ ∆𝑡𝑃 (5.146)

Donde algunos o todos los términos implícitos deben ser cero. EJERCICIOS Ejercicio 5.1

Muestre que para Pc →0 el método SS se convierte en singular. Resumen de la solución Un elemento típico de la matriz D es

𝐃𝐢 = 𝐃𝐩𝐢 + 𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑆wi

′ bw −bw

−bn bn = 𝐃𝐩𝐢 + 𝐃𝐬𝐢

Donde 𝐃𝐩𝐢 contiene los términos de compresibilidad. Dividiendo ambas ecuaciones en i por 𝑆wi

′ obtenemos

𝐓 − 𝐃 𝐩 − 𝐃 𝐬 𝐏𝐧+𝟏 − 𝐏n = −𝐑 𝐧 (A)

Donde los elementos de 𝐃 𝐬 son 𝐃 𝐬𝐢 = 𝐃𝐬𝐢/ 𝑆wi ′ . Donde max 𝑃𝑐

′ → 0, 𝐓 , 𝐃 𝐩 → 0, Rn y (A) se reduce a un problema

singular.

−𝐃 s 𝐏𝐧+𝟏 − 𝐏n = 0 (B)

EJERCICIO 5.2

Derivar la forma alternativa de la ecuación de gas para el método SS comenzando con: a. Las ecuaciones de diferencias (5.25) y (5.26). b. Ecuaciones diferenciales (5.2a)

Parte a. Partiendo de la ecuación de gas, la aproximación por diferencias para el gas puede ser escrita como: (Ec

5.25)

giios

o

os

g

g

pt

io

n

oosig

n

gg

QQRB

SR

B

SV

t

zpTRzpT

)(1

)()( 11

Donde:

∆ es el operador de diferencias.

Tg es la diferencia finita de la transmisibilidad para la fase gas.

pg es la presión de la fase gas.

الg es la densidad del gas en términos de presión distancia.

Rs es la relación gas aceite.

To es la diferencia finita de transmisibilidad para la fase aceite.

po es la presión de la fase aceite.

∆t es el incremento de tiempo.

Vp es el volumen poroso.

Sg es la saturación de gas.

So es la saturación de aceite.

Bg factor volumétrico del gas.

Bo factor volumétrico del aceite.

Qo es la rata de flujo de aceite.

Qgi es la rata de gas en el bloque i.

164

Ahora tenemos que: (Ec. 5.26)

)()(

)()()(

12/112/1

12/112/1

iioioioiios

iioioioiiosiooos

zzppTR

zzppTRzpTR

Luego asumimos que Rsi+1/2 en la ecuación 5.26 es expresado como:

n

sisi

n

si

n

sisisi RRRRRR )(2

1)(

2

1112/1

(A) Expandiendo los términos en la ecuación de gas como:

st

n

oooot

n

soost

ooo

n

sooo

n

sooos

RSbSbRSbR

zpTRzpTRzpTR

1)()()(

)()()(

Donde:

Φ es la porosidad.

bo es el recíproco del factor volumétrico de formación. Después restamos la ecuación para petróleo multiplicada por Rs

n:

giist

n

ooggt

t

i

ooo

n

sggg

QRSbSbV

zpTRzpT

1)()(

)()(

(B) En donde:

2/11

2/11

))()((2

1)(

iooosisi

iooosisi

ooo

n

szpTRR

zpTRRzpTR

Parte b. Expandimos los términos en la ecuación 5.2a como:

t

RSbSb

tR

Sbt

Xx

z

x

p

x

R

x

z

x

p

xR

x

z

x

pR

x

soooos

oooo

os

oo

osoo

os

)(

)(

Donde:

Λo es la transmisibilidad del aceite- Esto nos da la ecuación de gas en la forma:

165

gs

oogg

oo

os

g

g

g

qt

RSbSb

t

x

z

x

p

x

R

x

z

x

p

x

)(

(C) Con Λg que es la transmisibilidad del gas. Si el segundo término del lado izquierdo de (C), es aproximado por discretización, la ecuación de diferencias finitas es idéntica con (B).

2/12/12

1

2

1

i

oo

os

i

oo

os

x

z

x

p

x

R

x

z

x

p

x

R

Ejercicio 5.3

(a) Formule las ecuaciones diferenciales del método de solución simultánea (SS) para

Flujo en dos fases en términos de wncwn PPPyPPP

Ecuación General

l

l

lll q

B

S

tx

zy

x

P

x

1

n

l

l

n

l

l

l

lt

B

S

B

S

B

S

1

l

lt

l

l

B

S

tB

S

t

1

Multiplicando a ambos lados XA *

xA

t

B

S

X

XAyZP

l

*

*2

Siendo la transmisibilidad T

x

AT

Entonces lo podemos reescribir como:

l

lp

tll

B

SV

tZyPT

1

n

ll

t

n

l

l

lt

BBS

B

S

166

1

n

ll

nn

lBB

S

lt

n

l

t

n

l

n

l

l

t

nn

l SBB

SB

S

11

11

Derivando las variables de la ecuación anterior

wnc

c

l

nw

l

l

l

PPP

p

sS

PPP

dedependeporosidadlaqueasumimos

p

P

Bb

2

1

1

Ahora podemos escribir la ecuación general como:

nw

n

l

n

lwnl

n

lll

nn

llll PPbSPPSbPbSt

VZyPT 11

2

1

Para la fase mojante en función de la presión capilar y la presión promedio ( PyPc )

)(2

1

2

PPP

PPP

PPPP

PPP

PPP

PPP

cw

cw

wcw

nw

nw

wnc

QPPbSPPSbPbSt

VZyPT nw

n

w

n

wwnw

n

www

nn

wwww

11

2

1

QPbSPSbPPbSt

VZyPPT n

w

n

wcw

n

wcw

nn

wwcw

11

2

1)(

2

1)(

2

1

167

QPbSbSPSbbSt

VZyPPT w

nn

w

n

w

n

wcw

n

ww

nn

wwcw

2

1

2

1

2

1)(

2

1 11

Fase no mojante

)(2

1

2

)(

cn

cn

cncn

wn

nw

wnc

PPP

PPP

PPPP

PPP

PPP

PPP

QPPbSPPSbPbSt

VZyPT nn

n

n

n

nnnn

n

nnn

nn

nnnn

11

2

1

QPbSPSbPPbSt

VZyPPT n

n

n

ncn

n

ncn

nn

nncn

11

2

1)(

2

1)(

2

1

QPbSbSPSbbSt

VZyPPT n

n

n

nn

nn

ncn

n

wn

nn

nncn

11

2

1

2

1

2

1)(

2

1

PdPdZyPPT

PdPdZyPPT

c

n

ncn

c

n

wcw

2221

1

1211

1

)(2

1

)(2

1

1

22

1

21

1

12

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

n

nn

nn

n

n

n

wn

nn

n

nn

w

n

w

n

w

w

n

ww

nn

w

bSbSd

SbbSd

bSbSd

SbbSd

ii

ii

i

dd

ddD

2221

1211

Los que se puede observar en los coeficientes de la matriz D es que los términos (d11 y d21 ) que están asociados a cambios en la presión capilar (∆Pc) están asociados a un cambio en de saturación(S

´).

168

2

1

2

1

2

1

0

0

ni

wi

i

T

T

T

NN

ii

i

TT

TTT

TT

T

2

1

2

1

2

1

2

11

1

b) Formule las ecuaciones diferenciales del método de solución simultánea (SS) para

Flujo en tres fases en términos de cogcowogwo PyPpySySp ,,,,

Partiendo de la ecuación general

l

lp

tll

B

SV

tZyPT

1

n

ll

t

n

l

l

lt

BBS

B

S

1

n

ll

nn

lBB

S

lt

n

l

t

n

l

n

l

l

t

nn

l SBB

SB

S

11

11

169

PARA LA FASE AGUA

Haciendo las derivadas de las variables

cowow

wocow

cow

w

w

w

w

w

PPP

PPP

p

sS

p

P

Bb

1

cow

n

w

n

ww

n

w

n

w

n

o

n

w

n

w

n

w

n

wcowow

cow

n

w

n

wo

n

w

n

wcoww

n

wcoww

n

w

n

ow

n

w

n

w

wt

w

n

w

n

wcoww

n

www

n

w

n

w

wt

t

n

w

n

wwt

n

wwt

n

w

n

w

wt

PbSSbbSPbSbSt

VZyPPT

PbSPbSPSbPbSPbSB

S

PbSPSbPbSB

S

bSSbbSB

S

111

111

11

11

)(

PARA LA FASE ACEITE

Derivando

)1(

1

gwo

cow

o

cog

g

o

o

o

o

SSS

p

sS

p

sS

p

P

Bb

170

cogg

n

ocoww

n

oo

n

o

n

gww

n

gw

n

ooo

o

n

o

n

gwcogg

n

ocoww

n

ooo

n

gw

n

o

ot

t

n

o

n

gwgwt

n

oot

n

gw

n

o

ot

PSbPSbPbSSbSSt

VZyPT

PbSSPSbPSbPbSSB

S

bSSSSbbSSB

S

111

111

11

11(

11

111

PARA LA FASE GAS

Derivando

ocogg

ogcog

o

ss

cog

g

g

g

g

g

PPP

PPP

P

RR

p

sS

p

P

Bb

1

st

n

o

o

t

n

o

n

gwgwt

n

o

n

sot

n

gw

n

s

t

n

g

n

ggt

n

ggt

n

g

n

o

os

g

g

t

st

n

o

o

o

ot

n

s

g

g

t

o

os

g

g

t

RB

S

bSSSSbRbSSR

bSSbbSB

SR

B

S

RB

S

B

SR

B

S

B

SR

B

S

1

11

11

1

111

os

n

gwo

o

n

o

n

gw

n

scogg

n

o

n

scoww

n

o

n

soo

n

gw

nn

s

g

n

g

n

gcogg

n

ggg

n

g

n

o

os

g

g

t

PRSSb

PbSSRPSbRPSbRPbSSR

PbSPSbPbSB

SR

B

S

1

111

11

1

11

171

os

n

gwo

o

n

o

n

gw

n

scogg

n

o

n

scoww

n

o

n

soo

n

gw

nn

s

o

n

g

n

gcog

n

g

n

gcogg

n

gog

n

g

n

cogg

n

g

n

o

os

g

g

t

PRSSb

PbSSRPSbRPSbRPbSSR

PbSPbSPSbPbSPbSB

SR

B

S

1

111

111

1

11

coww

n

o

n

s

os

n

gwo

n

o

n

gw

n

so

n

gw

nn

s

n

g

n

g

n

g

n

cogcogg

n

o

n

s

n

g

n

gg

n

gg

n

g

n

ooosgcogog

PSbR

PRSSbbSSRbSSRbSbS

PPSbRbSSbbS

t

V

ZyPTRZyPPT

1

111

111

111

()(

Ejercicio 5.4

Formule las ecuaciones de dos fases en términos de presión y masa de la fase mojante expresada como: a. Moles por unidad de volumen b. Densidad total

𝜕

𝜕𝑥 𝜆 𝑙

𝜕𝑃 𝑙


𝜕𝑧

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆 𝑙

𝐵 𝑙 + 𝑞𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛

𝑃𝑐 = 𝑃𝑛 − 𝑃𝑤 𝑆𝑤 + 𝑆𝑛 = 1

Método SS para flujo bifásico

1


𝑆𝑙

𝐵𝑙 = 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙

𝑛+1

− 𝜙𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑛

𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 ≃

1


𝑆𝑙

𝐵𝑙

Podemos ahora escribir las aproximaciones en diferencias finitas para la ecuación como:

[Δ𝑇𝑙 Δ(𝑃𝑙𝑛+1 − 𝛾𝑙𝑧)]𝑖 =

1


𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑖

+ 𝑄𝑙 𝑖 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (1)

Donde:

Δ𝑇 Δ(𝑃 − 𝛾𝑧)] ≡ Δ𝑇Δ𝑃 − Δ𝑇 Δ𝛾𝑧 ≡ 𝑇𝑖+

1 2

[𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖 − 𝛾𝑖+

1 2

(𝑧𝑖+1 − 𝑧𝑖)] + 𝑇𝑖−

1 2

[𝑃𝑖−1 − 𝑃𝑖

−𝛾𝑖−

1 2

(𝑧𝑖−1 − 𝑧𝑖)]

𝑉𝑝 𝑖= 𝜙𝑖 𝐴𝑖 Δ𝑥𝑖 = 𝑉𝑖 𝜙𝑖 , 𝑇𝑖+

1

2

= 𝜆𝑖+

1

2

𝐴

𝑖+1 2

Δ𝑥𝑖+

1 2

y 𝑄𝑙 𝑖 son las tasas de inyección/producción del bloque.

Expansión de las aproximaciones de las derivadas temporales.


𝐵𝑙 = 𝑆𝑙

𝑛 𝛥𝑡 𝜙

𝐵𝑙 +

𝜙

𝐵𝑙 𝑛+1

𝛥𝑡𝑆𝑙 = 𝑆𝑙𝑛 𝜙𝑛 𝛥𝑡

1

𝐵𝑙 +

𝜙

𝐵𝑙 𝑛+1

𝛥𝑡𝑆𝑙 + 𝑆𝑙𝑛 1

𝐵𝑙𝑛+1 𝛥𝑡𝜙

Expansión de la derivada en el tiempo


𝐵𝑙 = (𝜙𝑆𝑙)

𝑛𝑏′𝑙 𝛥𝑡𝑃𝑙 + 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1𝑆′𝑙 𝛥𝑡𝑃𝑛 − 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑏𝑙

𝑛+1𝑆𝑙𝑛 𝜙′ ½ 𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝛥𝑡𝑃𝑛 (2)

172

Con las expansiones dadas en la Ecuación (2), la ecuación (1) puede escribirse como:


𝑛+1

=𝑉

∆𝑡( (𝜙𝑆𝑙)

𝑛𝑏′𝑙 + 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1𝑆′𝑙 + 1/2𝑏𝑙

𝑛+1𝑆𝑙𝑛 𝜙′ )𝛥𝑡𝑃𝑛 +

𝑉


𝑛𝑏′𝑙 + 𝜙𝑏𝑙 𝑛+1𝑆′𝑙

+ 1/2𝑏𝑙𝑛+1𝑆𝑙

𝑛 𝜙′ )𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑄𝑙 𝑖

a. Moles por unidad de volumen:

𝑄𝑙 𝑖=

𝑉

∆𝑡=

𝑣. 𝑛

∆𝑡


𝑛+1

=𝑉




𝑉




𝑛 𝜙′ )𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑣. 𝑛

∆𝑡

b. Densidad Total


𝑛+1

=𝑉




𝑉




𝑛 𝜙′ )𝛥𝑡𝑃𝑤 + 𝑚𝜌𝑙

∆𝑡

Ejercicio 5.5

Formular el método IMPES para flujo en tres fases en términos de po , Sw, Sg mediante (a) Partiendo de las ecuaciones SS (b) Discretizando las ecuaciones derivadas en el Ejercicio 2.3. Resumen de la solución

(a) La ecuación se obtiene a partir de la ecuación 5.37 sustituyendo ∆Pcow=𝑃𝑐𝑜𝑤′ ∆𝑆𝑤 etc. En la práctica, se calcula Pc

a cada paso de tiempo y se puede evaluar el término ∆𝑃𝑐𝑛 directamente.

(b) Partiendo de la ecuación (D) del ejercicio 2.3, discretice como

∆ To ∆𝑝𝑜𝑛+1 − 𝛾𝑜∆𝑧 + 𝑏𝑜 𝑏𝑤 𝑛+1∆ Tw ∆𝑝𝑜

𝑛+1 − 𝛾𝑤∆𝑧 + 𝑏𝑜 𝑏𝑔 𝑛+1

∆ Tg(∆𝑝𝑜𝑛+1 − 𝛾𝑔∆𝑧)

=𝑉

∆𝑡 𝑆𝑜

𝑛 ∅𝑏𝑜 ′ +

𝑏𝑜2

𝑏𝑔 𝑛+1

∅𝑛+1𝑅𝑠′ ] + 𝑆𝑤

𝑛 𝑏𝑜

𝑏𝑤 𝑛+1

∅𝑏𝑤 ′ + 𝑆𝑔𝑛

𝑏𝑜

𝑏𝑔 𝑛+1

∅𝑏𝑔 ′ ∆𝑡𝑝𝑜 + 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑃𝑐

(A) Después de resolver (A), sustituya en la ecuación de agua para obtener ∆𝑡𝑆𝑔 .

Ejercicio 5.6

Derive el límite de estabilidad de IMPES con respecto a Pc en flujo trifásico. Sabiendo que:

coggo

cogog

cowwo

PPP

PPP

PPP

Ecuación general para fluido incompresible (método IMPES)

n

wcwwt

pn

w SPTSt

VPT 212

173

En función de los contactos, para los tres fluidos

)(

)(

12

12

12

12

wtgt

pn

o

wt

p

gt

pn

o

n

gcogggt

pn

g

n

wcowwwt

pn

w

SSt

VPT

St

VS

t

VPT

SPTSt

VPT

SPTSt

VPT

Los errores están sujetos a una variable

g

w

o

Se

Se

Pe

3

1

2

Remplazando

)( 31

12

3

2

3

1

2

2

1

2

1

1

2

2

eet

VeT

eTPet

VeT

ePTet

VeT

tt

pn

o

n

gcogt

pn

g

n

cowwt

pn

w

mmlml eyTeT 2 gwol ,, 3,2,1m

2sin4 2 m

my

Eliminando los términos lte se llega a las ecuaciones:

n

T

cogn

go

T

wcowpnpey

T

PeyTT

T

TP

t

Ve

t

V3311

1

1 )(

n

T

gcogpn

T

wcowpnnpe

T

TP

t

Vey

T

TP

t

Vee

t

V313

1

3

1

1

Expresando esto en forma matricial nn Bee 1

da

)(

1

31

31

wo

T

g

cog

p

T

gw

cow

T

gw

cog

T

wwcow

p

pTT

T

TPy

t

V

T

TTPy

T

TTPy

T

TTPy

t

V

V

tB

Los valores propios µi de B=(bij) son

174

21122211

2

221122112,1 42

1bbbbbbbb

El máximo valor de |µ| es obtenido del radical

xTTTPyTTTPyTV

tgowcowwogcog

Tp

)()(2

1 13

22

31

2

31 4)()( gwcogcowwogcoggowcow TTPPyyTTTPyTTTPyx

La restricción|µ|<1 da

xTTTPyTTTPy

TVt

gowcowwogcog

Tp

)()(

4

13

EJERCICIO 5.7

Demostrar que el método SS es incondicionalmente estable con respecto a las primeras variables. Por simplicidad, asumirlo incompresible para flujo en dos fases. Usando el análisis de estabilidad linealizada, las ecuaciones son localmente linealizadas asumiendo que ∆(T∆p) = T∆

2p, etc. Ignorando la fuerzas de gravedad.

nwtntw

pn

nn

wwtntw

pn

ww

qppSt

VpT

qppSt

VpT

'12

'12 )(

En donde:

Tw es la diferencia de transmisibilidad para la fase agua.

pw es la presión de la fase agua.

Sw‘ es la primera derivada de la saturación de la fase agua.

pn es la presión al tiempo n.

qn es el caudal al tiempo n.

∆2 es el operador de diferencia para la segunda derivada de espacio.

El error satisface que:

)( 12

1

2

2

12

1

1

2

eeCeT

eeCeT

tt

n

n

tt

n

w

(B) En donde:

e1n+1

es el error de la solución aproximada para el tiempo n+1.

C es una constante arbitraria. C = -VpS

‘w/∆t > 0. Desde que ∆

2e1 = 1الe1

en+1

= Ben

Donde e = [e1,e2]T

11

22

2121 )(

ww

nn

nwnwTT

TT

TTTTC

CB

(C) El máximo valor propio de B es:

175

12112

12

nwwn

wn

TTTTC

TTC

EJERCICIO 5.8

Demostrar que la ecuación diferencial (5.58) es equivalente a la ecuación (5.57)

Estabilidad con respecto a transmisibilidades Se asume flujo bifásico incompresible con presión capilar y fuerzas gravitacionales cero. Donde, 𝑢𝑖+1 2 = 𝑇𝑖+1 2 (𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖) Para un flujo típico.

Se evalúa el coeficiente de transmisibilidad no lineal (T) para algún punto en espacio y tiempo. Se considera corriente arriba en espacio, explicito en la ponderación del tiempo. 𝑇𝑖+1

2 = 𝑇𝑖

𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑖 + 1

𝑇𝑖+1

2 = 𝑇𝑖+1

𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑖 + 1 𝑎 𝑖

Se asume que el flujo es en la dirección del eje x positivo entonces las ecuaciones de flujo son:

𝑇𝑙𝑖−1𝑛 𝑃𝑖−1 − 𝑃𝑖

𝑛+1 + 𝑇𝑙𝑖𝑛 𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖

𝑛+1 =𝑉𝑝𝑖

∆𝑡 𝑆𝑙

𝑛+1 − 𝑆𝑙𝑛 𝑙 = 𝑛, 𝑤 Ecuación 5.57

Entonces se consideran dos ecuaciones del capítulo 2 en el cual hablan de formas alternativas para ecuaciones de flujo multifasico.. Las ecuaciones son (EC.2.84) y (2.91)

∇. 𝑢𝑇 = − 𝑞𝑛 + 𝑞𝑤 = −𝑞𝑡 Ecuación 2.84

La ecuación 2.84 es para un caso incompresible donde todos los términos de compresión son iguales a cero.

−∇. 𝜆𝑑𝑃𝑐

𝑑𝑆𝑤 − 𝑢𝑇

𝑑𝑓𝑤

𝑑𝑆𝑤+ ∆𝛾∇𝑍

𝑑𝜆

𝑑𝑆𝑤 . ∇𝑆𝑤 = ∅

𝛿𝑆𝑤

𝛿𝑡+ 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇 Ecuación 2.91

La ecuación 2.91 es una fórmula para casos especiales para solucionar esta ecuación es necesario solucionar primero la ecuación 2.84 para ut Entonces partiendo de: ∇. 𝑢𝑇 = − 𝑞𝑛 + 𝑞𝑤 = −𝑞𝑡 Ecuación 2.84

La ley de Darcy se puede escribir como: 𝑢𝑤 = −𝜆𝑤 ∇𝑃𝑤 − 𝛾𝑤∇𝑍 𝑢𝑛 = −𝜆𝑛 ∇𝑃𝑛 − 𝛾𝑛∇𝑍 Donde:

𝜆𝑙 =𝐾𝐾𝑟

𝜇 𝑙 l=n,w Ecuación 2.85

Es la movilidad de la fase l. la anterior ecuación puede ser combinada para obtener la ecuación de flujo fraccional. 𝑢𝑤 = 𝑀𝑢𝑛 + 𝜆𝑤 ∇𝑃𝑐 + ∆𝛾∇𝑍 Ecuación 2.86 Donde,

𝑀 =𝜆𝑤

𝜆𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 ∗

∆𝛾 = 𝛾𝑤 − 𝛾𝑛

𝑢𝑤 = 𝑢𝑇 − 𝑢𝑛

Entonces al reemplazar esto en la ec.2.86 da:

176

𝑢𝑛 =1

1+𝑀 𝑢𝑇 − 𝜆𝑤 ∇𝑃𝑐 + ∆𝛾∇𝑍 Ecuación 2.87

Se sustituye la ecuación 2.87 en la ecuación de conservación 2.82 asumiendo incompresibilidad con la definición de los coeficientes de flujo fraccional y la proporción de mobilidad com:

𝑓𝑛 =𝜆𝑛

𝜆𝑤 + 𝜆𝑛 𝑓𝑤 =

𝜆𝑤

𝜆𝑤 + 𝜆𝑛

𝜆 =𝜆𝑤𝜆𝑛

𝜆𝑤 − 𝜆𝑛

−∇. 𝑃𝑛𝑢𝑛 = ∅𝛿

𝛿𝑡

𝑃𝑛 1 − 𝑆𝑤 + 𝑞𝑛 Ecuación 2.82

La ecuación resultante al reemplazar es:

∇ 𝑓𝑛𝑢𝑡 − 𝜆 ∇𝑃𝑐 + ∆𝛾∇𝑍 = ∅𝛿𝑆𝑤

𝛿𝑡− 𝑞𝑛 Ecuación 2.90

Varios de esos términos se pueden expresar en términos de la saturación:

∇𝑃𝑐 =𝑑𝑃𝑐

𝑑𝑆𝑤∇𝑆𝑤

∇. 𝑓𝑛𝑢𝑇 = 𝑢𝑇 . ∇𝑓𝑛 + 𝑓𝑛∇. 𝑢𝑇 = 𝑢𝑇


∇𝑆𝑤 − 𝑓𝑛𝑞𝑇

∇ 𝜆∆𝛾∇𝑍 = ∆𝛾∇𝑍∇𝜆 = ∆𝛾∇𝑍𝑑𝜆

𝑑𝑆𝑤∇𝑆𝑤

Se puede asumir que ∇𝑍 no esta en función de la posición,


= −𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑤

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑓𝑤 + 𝑓𝑛 = 1

−𝑞𝑛 + 𝑓𝑛𝑞𝑇 = 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

Se sustituye lo anterior en la ecuación 2.90 y da:

−∇. 𝜆𝑑𝑃𝑐

𝑑𝑆𝑤∇𝑆𝑤 − 𝑢𝑡


+ ∆𝛾∇𝑍𝑑𝜆


𝛿𝑆𝑤

𝛿𝑡+ 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

Para un caso de 1D la solución de la ecuación 2.84 es de poca importancia por lo que se considerara la ecuación de saturación teniendo en cuenta las ecuaciones ya escritas.

−𝑢𝑇 . ∇𝑓𝑛 = −𝑢𝑇


∇𝑆𝑤 = ∅𝛿𝑆𝑤

𝛿𝑡+ 𝑞𝑤 − 𝑓𝑤𝑞𝑇

Se trabaja la Ecuación. 5.57 para un punto en el grid sin una fuente dada. − 𝑇𝑤 − 𝑇𝑛

𝑖+12 𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖 = 𝑢𝑇𝑖+1

2 = 𝑢𝑇𝑖−1

2 = 𝑢𝑇

Usando esta ecuación, la ecuación de la fase mojante es:

− 𝑇𝑤

𝑇𝑤 + 𝑇𝑛 𝑖+1

2

𝑢𝑡 + 𝑇𝑤

𝑇𝑤 + 𝑇𝑛 𝑖−1

2

𝑢𝑇 =𝑉𝑝𝑖

∆𝑡∆𝑡𝑆𝑤𝑖

Usando la fase mojante de la corriente arriba en posición en Tl , esto es:

−𝑢𝑇 𝑓𝑤𝑖 − 𝑓𝑤𝑖−1 =𝑉𝑝𝑖

∆𝑡∆𝑡𝑆𝑤𝑖

La cual es equivalente a la ecuación 5.58, que es lo que se desea demostrar.

177

−𝑄𝑇 𝑑𝑓𝑤

𝑑𝑆𝑤 𝑖𝑆𝑤𝑖 −

𝑑𝑓𝑤

𝑑𝑆𝑤 𝑖−1

𝑆𝑤 𝑖−1 𝑛

=𝑉𝑝 𝑖

Δ𝑡 𝑆𝑤

𝑛+1 − 𝑆𝑤𝑛 𝑖 Ecuación 5.58

Ejercicio 5.9

Derivar un conjunto de condiciones suficientes para la existencia de una única solución para las ecuaciones para tres fases de SS. (Sugerencia: encuentre la condición bajo la cual todas las filas de (-T+D) son diagonalmente dominante;

use la formulación del ejercicio 5.2) Solución:

Las ecuaciones para cada una de las fases son:

Fase Agua:

∆𝑇𝑤 ∆𝑃𝑤 − 𝛾𝑤∆𝑧 =𝑉

∆𝑡∆𝑡 ∅

𝑆𝑤

𝐵𝑤 + 𝑄𝑤𝑖 =

𝑉𝑝

∆𝑡∆𝑡

𝑆𝑤

𝐵𝑤 + 𝑄𝑤𝑖

Si consideramos el término que relaciona el cambio con el tiempo se tiene:

∆𝑡 𝑆𝑤

𝐵𝑤 = 𝑆𝑤∆𝑡

1

𝐵𝑤 +

1

𝐵𝑤 ∆𝑡𝑆𝑤 (A)

Definiendo los siguientes términos:

𝑏𝑤´ =

∆𝑏𝑤

𝑑∆𝑃𝑤→ ∆𝑏𝑤 = 𝑏𝑤

´ ∆𝑃𝑤

𝑆𝑤´ =

∆𝑆𝑤

𝑑∆𝑃𝑐𝑜𝑤→ ∆𝑆𝑤 = 𝑆𝑤

´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑤

Reemplazando los términos anteriores en la ecuación (A)

∆𝑡 𝑆𝑤

𝐵𝑤 = 𝑆𝑤𝑏𝑤

´ ∆𝑃𝑤 + 𝑏𝑤𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑤

∆𝑡 𝑆𝑤

𝐵𝑤 = −𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑤 + 𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑜 + 𝑆𝑤

𝑛𝑏𝑤´ ∆𝑃𝑤

Por lo tanto la ecuación general para la fase agua, quedaría:

∆𝑇𝑤 ∆𝑃𝑤 − 𝛾𝑤∆𝑧 =𝑉𝑝

∆𝑡 −𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑤 + 𝑏𝑤

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑜 + 𝑆𝑤

𝑛 𝑏𝑤´ ∆𝑃𝑤 + 𝑄𝑤𝑖 (1)

Fase Petróleo:

∆𝑇𝑜 ∆𝑃𝑜 − 𝛾𝑜∆𝑧 =𝑉

∆𝑡∆𝑡 ∅

𝑆𝑜

𝐵𝑜 + 𝑄𝑜𝑖 =

𝑉𝑝

∆𝑡∆𝑡

𝑆𝑜

𝐵𝑜 + 𝑄𝑜𝑖

Si consideramos el término que relaciona el cambio con el tiempo se tiene

∆𝑡 𝑆𝑜

𝐵𝑜 = 𝑆𝑜∆𝑡

1

𝐵𝑜 +

1

𝐵𝑜 ∆𝑡𝑆𝑜 (B)

Definiendo los siguientes términos:

𝑏𝑜´ =

∆𝑏𝑜

𝑑∆𝑃𝑜→ ∆𝑏𝑜 = 𝑏𝑜

´ ∆𝑃𝑜

𝑆𝑜´ = − 𝑆𝑤

´ + 𝑆𝑔´ → ∆𝑆𝑜 = − ∆𝑆𝑤 + ∆𝑆𝑔

𝑆𝑤´ =

∆𝑆𝑤

𝑑∆𝑃𝑐𝑜𝑤→ ∆𝑆𝑤 = 𝑆𝑤

´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑤

𝑆𝑔´ =

∆𝑆𝑔

𝑑∆𝑃𝑐𝑜𝑔→ ∆𝑆𝑔 = 𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑔

178

Reemplazando en la ecuación (B) se tiene:

∆𝑡 𝑆𝑜

𝐵𝑜 = 𝑆𝑜

𝑛𝑏𝑜´ ∆𝑃𝑜 + 𝑏𝑜

𝑛+1 −𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑤 − 𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑜 − ∆𝑃𝑔

∆𝑡 𝑆𝑜

𝐵𝑜 = 𝑏𝑜

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑤 − 𝑏𝑜

𝑛+1 𝑆𝑤´ − 𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑜 + 𝑏𝑜𝑛+1𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑔 + 𝑆𝑜𝑛𝑏𝑜

´ ∆𝑃𝑜

La ecuación general para la fase de petróleo es:

∆𝑇𝑜 ∆𝑃𝑜 − 𝛾𝑜∆𝑧 =𝑉𝑝

∆𝑡 𝑏𝑜

𝑛+1𝑆𝑤´ ∆𝑃𝑤 − 𝑏𝑜

𝑛+1 𝑆𝑤´ − 𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑜 + 𝑏𝑜𝑛+1𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑔 + 𝑆𝑜𝑛𝑏𝑜

´ ∆𝑃𝑜 + 𝑄𝑜𝑖 (2)

Fase Gas:

∆𝑇𝑔 ∆𝑃𝑔 − 𝛾𝑔∆𝑧 + ∆𝑅𝑠𝑇𝑜 ∆𝑃𝑜 − 𝛾𝑜∆𝑧 =𝑉𝑝

∆𝑡∆𝑡

𝑆𝑔

𝐵𝑔+ 𝑅𝑠

𝑆𝑜

𝐵𝑜 + 𝑅𝑠𝑄𝑜𝑖 + 𝑄𝑔𝑖

Realizando el mismo procedimiento para el caso del término que varia con el tiempo para la ecuación anterior, se tiene:

∆𝑡 𝑆𝑔

𝐵𝑔+ 𝑅𝑠

𝑆𝑜

𝐵𝑜 = −𝑏𝑔

𝑛+1𝑆𝑔´ ∆𝑃𝑜 + 𝑏𝑔

𝑛+1𝑆𝑔´ ∆𝑃𝑔 + 𝑅𝑠

´ 𝑆𝑜𝑏𝑜 𝑛 + 𝑆𝑔

𝑛𝑏𝑔´ ∆𝑃𝑔

Entonces la ecuación para la fase gaseosa es:

∆𝑇𝑔 ∆𝑃𝑔 − 𝛾𝑔∆𝑧 + ∆𝑅𝑠𝑇𝑜 ∆𝑃𝑜 − 𝛾𝑜∆𝑧 = −𝑏𝑔𝑛+1𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑜 + 𝑏𝑔𝑛+1𝑆𝑔

´ ∆𝑃𝑔 + 𝑅𝑠´ 𝑆𝑜𝑏𝑜

𝑛 + 𝑆𝑔𝑛𝑏𝑔

´ ∆𝑃𝑔 + 𝑅𝑠𝑄𝑜𝑖 + 𝑄𝑔𝑖 (3)

Después de plantear las tres ecuaciones para el flujo de tres fases se observa que la matriz D y –T son:

−𝑻 =

𝑇𝑤 0 0

0 𝑇𝑜 0

0 𝑅𝑇 𝑇𝑔

𝑫 =𝑉𝑝

∆𝑡

−𝑏𝑤𝑛+1𝑆𝑤

´ 𝑏𝑤𝑛+1𝑆𝑤

´ 0

𝑏𝑜𝑛+1𝑆𝑤

´ −𝑏𝑜𝑛+1 𝑆𝑤

´ − 𝑆𝑔´ −𝑏𝑜

𝑛+1𝑆𝑤´

0 −𝑏𝑔𝑛+1𝑆𝑔

´ 𝑏𝑔𝑛+1𝑆𝑔

´

+

𝑆𝑤𝑛𝑏𝑤

´ 0 0

0 𝑆𝑜𝑛𝑏𝑜

´ 0

0 𝑅𝑠´ 𝑆𝑜𝑏𝑜

𝑛 𝑆𝑔𝑛𝑏𝑔

´

Definiendo lo siguiente:

𝑅𝑇𝑖+1/2 =1

2 𝑅𝑠 𝑖+1 − 𝑅𝑠 𝑖 𝑇𝑜 𝑖+1/2

𝑎 = 𝑅𝑇 = −𝑅𝑇𝑖+1/2 + 𝑅𝑇𝑖−1/2

𝑏 = −𝑅𝑇𝑖+1/2 + 𝑅𝑇𝑖−1/2 ≥ 𝑎

Entonces, las condiciones necesarias para que se cumpla que la matriz (-T+D) sea diagonalmente dominante son:

𝑆𝑔´ > 0

𝑆𝑤´ < 0

𝑅𝑠´ > 0

Bajo estas condiciones, el término que no cumple con la dominancia de la matriz es la tercera fila y la segunda columna, por lo tanto:

𝑉𝑝

∆𝑡 𝑏𝑔𝑆𝑔

´ + 𝑆𝑔𝑏𝑔´ ≥

𝑉𝑝

∆𝑡 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠

´ − 𝑆𝑔𝑏𝑔´ + 𝑎 + 𝑏 = 𝐴 + 𝑏 (C)

Debido a que 𝑆𝑔𝑏𝑔´ ≥ 0, este término puede ser ignorado en la parte izquierda de la ecuación. Considerando primero

que A>0, se tiene

𝑏𝑔𝑆𝑔´ < 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠

´ + 𝑎∆𝑡

𝑉𝑝 (D)

179

Ahora si sustituimos la ecuación (D) en la ecuación (C), se tiene que:

∆𝑡 𝑏 − 𝑎 < 𝑉𝑝𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠´ (E)

Para el caso en el que A<0, se llega a la misma condiciones, (Ecuación E). Puede observarse que la ecuación E es suficiente pero no necesaria para la existencia de solución.

180

CAPITULO 6

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE BLOQUE TRIDIAGONAL

6.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo consideraremos la solución de las ecuaciones de la matriz resultante de la discretización en una sola

dimensión, y ecuaciones de flujo en dos y tres fases. El problema particular de interés aquí es la solución simultánea

requerida para más de una incógnita en cada punto de la malla. El enfoque de la solución simultánea para los

resultados en flujo de dos fases con dos incógnitas por cada punto de la malla y para las tres incógnitas en flujos de

tres fases por cada punto de la malla. Las ecuaciones más generales para flujos en tres fases pueden ser escritas

como:

Donde,

(6.2)

(6.3 a, b)

(6.4 a, b)

C1 y b1 se definen de una manera similar.

181

Notamos en la ecu (6.1) puede ser obtenida a partir de la ecua (4.2) mediante la sustitución de cantidades escalares

con las matrices o los vectores adecuados. Las ecuaciones para un punto en general de la malla i toma la forma:

Para las condiciones o condiciones limites periódicos obtenemos una matriz de la forma ecua. (4.6) con elementos

escalares reemplazados en matrices 3x3. Esta analogía entre los problemas de una sola fase y multifásico muestra

que al menos algunos de los métodos presentados en el capítulo 4 pueden ser extendidos para la solución del

problema considerado aquí. En muchos problemas prácticos las matrices ci, ai, y bi no están llenas y un tiempo de

computadora puede ser mejorada mediante el aprovechamiento de los ceros en estas matrices.

6.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Un análisis detallado (con algoritmos computacionales) de todos los métodos disponible no servirá a nuestros

objetivos. En su lugar se presentará una discusión general de varios métodos y luego presentar algunos programas

claves en el Apéndice B.

6.2.1 Extensión del Algoritmo de Thomas

Esta es una extensión del algoritmo de Thomas para la ecua. (6.1). La ecuación es de la forma conocida como cuasi-

tridiagonal por Schechter (1960) y el bloque-tridiagonal por Varga (1962). También es discutido por Richtmyer y

Morton (1967). Escribimos

Donde W y Q están definidas por

Las relaciones para encontrar wi y qi se obtienen igualando el bloque de elementos de WQ a los elementos

correspondientes de A.

182

Las ecuaciones resultantes son

Notamos que wi debe ser no singular y su inversa es requerida. Una vez conocidas wi y qi, la solución puede ser

obtenida por la primera solución de eliminación hacia adelante

Esto se logra por

La solución de los vectores puede ser computada desde

Por eliminación hacia atrás. Esto se logra con

Observe de nuevo que en este algoritmo wi-1

son necesarias y estas matrices no deben ser singulares. Una

factorización ligeramente diferente de A es presentada por Schechter (1960). Muchas versiones de este algoritmo

son posibles. Douglas et al. (1959) han presentado un algoritmo para problemas en dos fases (bi-tridiagonal) y Von

Rosenberg (1969) ha presentado algoritmos para problemas de dos y tres fases (tridiagonal). La principal diferencia

de los algoritmos de Douglas et al. y Von Rosenberg, comparado con este algoritmo es que las operaciones de la

matriz son expandidas en términos de la matriz de elementos. En consecuencia, es más fácil de aprovechar

sistemáticamente los ceros que aparecen en este formulación. En el proceso de factorización que hemos elegido los

elementos diagonales de Q para ser la matriz idéntica I. Esta es sólo una de muchas posibilidades para nosotros. Por

183

ejemplo, para el caso de submatrices 2x2, Weinstein et al. (1970) muestran que prefieren la forma en la que las

matrices de identidad se sustituyen por las matrices de la forma

Esta opción da lugar a matrices wi que son triangulares inferiores. Esta forma afirma que tienen un menor error de

redondeo.

Plenamente probados los programas de bi-tridiagonal y tri-tridiagonal los problemas se presentan en el Apéndice B.

6.2.2 Uso de los Métodos para Matrices Banda

La matriz A es una matriz de banda y cualquiera de los métodos desarrollados para las matrices de banda puede ser

utilizado. Sin embargo, estos métodos no serán tan eficaces para la ecu. (6.1) como los métodos descritos en la

sección anterior, porque el algoritmo de banda trata a todos los ceros dentro de la banda como no-ceros.

Vamos a presentar un análisis completo de las matrices de banda en el capítulo 8.

184

CAPITULO 7

FLUJO DE UN FLUIDO EN DOS DIMENSIONES

7.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se extenderán las ideas presentadas en el capítulo 3 a la solución de varios de los problemas de simulación de yacimientos que incluye el flujo de un solo fluido en dos dimensiones del espacio. Algunos nuevos problemas y métodos que sólo son importantes en dos dimensiones (2D) serán presentados aquí. Todas estas ideas se extenderán a la solución de problemas multifasicos en el capítulo 9 y a problemas en tres dimensiones en el capítulo 11. A pesar de que ya se han introducido muchas técnicas para manejar los problemas prácticos de simulación de yacimientos, hasta ahora estas técnicas se han sido aplicadas sólo en situaciones muy idealizadas en una sola dimensión. Este es el primer capítulo en el que podemos empezar a discutir los detalles de algunos modelos prácticos para yacimientos de gas, y yacimientos de petróleo por encima del punto de burbuja. Las técnicas numéricas que están muy relacionadas con las ecuaciones diferenciales parciales para un flujo en dos dimensiones también son presentadas. Algunas de las técnicas que se pueden ser aplicadas a las ecuaciones de la matriz resultante de la aproximación de diferencias finitas de las ecuaciones diferenciales parciales, serán discutidas en el próximo capítulo.

7.2 CLASIFICACION DE LOS PROBLEMAS 2-D

Todos los yacimientos reales son, por supuesto, en tres dimensiones, es sin embargo posible en muchas situaciones prácticas asumir que el flujo en una de las tres direcciones de coordenadas es insignificante en comparación con el flujo en las otras dos direcciones. Hay tres clases de problemas que pueden ser manejados de esta manera. Estos problemas y los modelos matemáticos asociados se describen a continuación. 7.2.1 Problemas Areales (x-y)

En yacimientos delgados de gran extensión areal con frecuencia es posible suponer que los gradientes de presión y por lo tanto el flujo en la dirección z es insignificante en comparación con el flujo en las otras dos direcciones. Pequeños cambios en el espesor vertical se pueden acomodar al permitir el bloque de espesor Δz y la elevación h como funciones de x y y. Un bloque típico del modelo de área se muestra en la fig. 7.1.

Para un caso de este tipo de la ecuación de flujo general se puede escribir como (ver ecuaciones 2.35, 2.42, 2.43, 2.44, 2.48, 2.51 y 2.53):

𝜕

𝜕𝑥 ∆𝑧𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 ∆𝑧𝜆𝑌

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑦 ≡ ∆𝑧𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ ∆𝑧𝑞 (7.1)

Donde,

𝑝 𝑥, 𝑦 =1

∆𝑧 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧

∆𝑧

0

Los coeficientes 𝜆𝑋, 𝜆𝑌 𝑦 𝛽 dependerán de la ecuación diferencial parcial resuelta. Por ejemplo, si tenemos en

cuenta la ecuación 2.42, entonces,

𝜆𝑋 =𝑘𝑥

𝜇𝐵

185

𝜆𝑌 =𝑘𝑦

𝜇𝐵

Y

𝛽 = 𝜙𝑐𝑓

𝐵𝑜 + 𝜙𝜊𝑐𝑅

𝐵

Donde las propiedades de los yacimientos deben ser definidas como promedios sobre el espesor (véase la definición de la presión utilizada anteriormente). El símbolo γ utilizado en los términos gravitacionales se definen por:

𝜌𝑔

𝑔𝑧= 𝑌

Y los términos de gravedad son idénticamente cero si las coordenadas x y y están en el plano horizontal. Obviamente, los coeficientes λx, λy y β pueden ser funciones de x, y, t y p mientras que 𝛾 es una función de p. Por lo

tanto, en general, el problema es no lineal, a pesar de que la no linealidad en este caso es más bien débil. 7.2.2 Problemas de la sección transversal (x-z)

Si en lugar de descuidar el flujo en la dirección vertical, el flujo en una de las dos direcciones horizontales se descuida, el modelo resultante se denomina transversal. Este tipo de modelo puede ser usado para los casos en que el flujo es predominantemente en la dirección vertical y una de dos direcciones horizontales. Si optamos por escribir las ecuaciones coordenadas x- z, entonces pequeñas variaciones en la dirección y pueden explicarse usando una variable de espesor Δy para cada bloque. Un bloque típico para este tipo de modelo se muestra en la figura 7.2. Una ecuación típica para los problemas de la sección transversal se obtiene mediante la sustitución de y por z, λY por λZ y Δz por Δy en la ecuacion 7.1:

𝜕

𝜕𝑥 ∆𝑦𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑧 ∆𝑦𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑧 = ∆𝑦𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ ∆𝑦𝑞 (7.2)

Donde

𝑝 𝑥, 𝑧 =1

∆𝑦 𝑝(

∆𝑦

0

𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦

𝜆𝑋 =𝑘𝑥

𝜇𝐵

𝜆𝑌 =𝑘𝑦

𝜇𝐵

Y

𝛽 = 𝜙𝑐𝑓


𝐵

Si la coordenada x es verdaderamente horizontal y su ∆y es constante, la ecuación se simplifica a:

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾 = 𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞 (7.3)

186

7.2.3 Problemas de un solo pozo (r-z)

Una de las aplicaciones importantes de las ecuaciones de flujo de fluidos a los problemas de la ingeniería de petróleos está en el campo de pruebas de pozos. En los pozos de aceite y gas se realizan pruebas para determinar su productividad. La mayoría de las pruebas involucran la producción de un pozo en una secuencia de tasas de flujo constantes y la observación de la presión de fondo durante el período de prueba. Una comparación de los datos de prueba con la teoría permite predecir los datos básicos del yacimiento y por lo tanto la productividad del pozo. Este tema se discute más detalladamente por Matthews y Russell (1967), en un manual publicado por la Junta de Conservación de Recursos de Energía de Alberta (ERCB, 1975), y por Earlougher (1977).

La mayor parte de la teoría y la prueba se basa en el supuesto de flujo radial unidimensional de una sola fase con algunos supuestos adicionales que linealizan la ecuación diferencial parcial (véase el capítulo 2). Para los casos en que el flujo es en dos dimensiones o cuando las ecuaciones no pueden ser linealizadas, no es práctico o posible obtener soluciones analíticas. Aquí es donde un modelo de computadora con coordenadas r - z se pueden utilizar para analizar bien los datos de prueba. Un típico bloque con coordenadas r - z es mostrado en la figura 7.3. Una ecuación con coordenadas r - z pueden ser obtenidos fácilmente a partir de la ecuación 7.2:

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆𝑅

𝜕𝑝

𝜕𝑟+ 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝑟 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑧 = 𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞 (7.4)

Donde

𝑝 𝑟, 𝑧 =1

2𝜋 𝑝(

2𝜋

0

𝑟, 𝑧, 𝜃)𝑑𝜃

𝜆𝑟 =𝑟

𝜇𝐵

𝜆𝑍 =𝑘𝑧

𝜇𝐵

Y

𝛽 = 𝜙𝑐𝑓


𝐵

187

(Véase la sección 7.10.2 para una transformación en la derivación de las coordenadas.)7.4 está escrita para un ángulo de un radián, que debe tenerse en cuenta en la definición de q. 7.2.4 Comentarios sobre modelos bidimensionales

Una revisión de las ecuaciones presentadas anteriormente pone de manifiesto que un modelo único podría ser desarrollado para manejar todos los tres casos. También la forma de las ecuaciones que se presenta es muy general, y con las definiciones adecuadas de los coeficientes de estas ecuaciones representan a diversos problemas de flujo de fluidos en el capítulo 2. En la siguiente sección vamos a mostrar cómo los términos de las ecuaciones 7.1 a 7.4 puede ser discretizados. Todos los problemas 2-D son simplificaciones de la realidad. Este hecho debe tenerse en mente mientras que los resultados de la simulación están siendo interpretados. El carácter 3-D es tenido en cuenta parcialmente para diversos espesores en tercera dimensión. Estrictamente hablando, las dos ecuaciones de flujo unidimensional con espesor variable en la tercera dimensión no son correctos, pero constituyen una buena aproximación, siempre que la variación de espesor no sea mayor.

7.3 Discretización de las ecuaciones de flujo.

En esta sección obtendremos diferentes aproximaciones que representan varias situaciones de flujo monofásico en 2D. La condición para la estabilidad del método explícito también será discutida. 7.3.1 Aproximaciones por diferencias

Consideremos primero la discretización de la ecuación 7.1 en detalle sobre la malla de la figura 7.4. Un bloque típico de la figura. 7.4 se muestra en la figura. 7.5. La notación utilizada es una extensión directa de la utilizada en el capítulo 3 (sección 3.5). El término del flujo en la dirección x se aproxima por una aplicación del operador dado en la ecuación 3.117. Después de multiplicar a través de Δxi Δyj la aproximación por diferencias finitas se puede escribir como:

∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗

𝜕

𝜕𝑥 ∆𝑧𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑥 ≃ ∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥 𝑝 − 𝛾𝑕

≡ 𝑇𝑋 𝑖+12 𝑗 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 − 𝛾𝑖+1 2 𝑕𝑖+1 − 𝑕𝑖 𝑗 + 𝑇𝑋 𝑖−1 2 𝑗

𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 − 𝑦𝑖+1 2 𝑕𝑖+1 − 𝑕𝑖 𝑗 (7.5)

188

Los términos de transmisibilidad son definidos por:

𝑇𝑋 𝑖+1 2 𝑗= 𝜆𝑋 𝑖+1/2 𝑗

Δ𝑦𝑗Δ𝑧 𝑖+1/2 𝑗

∆𝑥𝑖+1/2= 𝜆𝑋 𝑖+1/2 𝑗

A 𝑖+1/2 𝑗

∆𝑥𝑖+1/2 (7.6𝑎)

𝑇𝑋(𝑖−1 2) 𝑗

= 𝜆𝑋(𝑖−1/2)𝑗

A 𝑖−1 2 𝑗

∆𝑥𝑖+

12

7.6𝑏

Los términos de Δxi+1/2 Y Δxi-1/2 están definidos por:

∆𝑥𝑖+1/2 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

∆𝑥𝑖−1/2 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

Y

∆𝑥𝑖 =1

2 ∆𝑥𝑖+1/2 + ∆𝑥𝑖−1/2 (7. .8)

Utilizando una notación similar se puede escribir a la aproximación de la derivada y como:

∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗

𝜕

𝜕𝑦 ∆𝑧𝜆𝑌

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑦 ≃ ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑌 𝑝 − 𝛾𝑕

≡ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+

12 𝑝𝑗+1 − 𝑝𝑗 − 𝛾𝑗 +1 2 𝑕𝑗+1 − 𝑕𝑗 𝑖

+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−

12 𝑝𝑗−1 − 𝑝𝑗 − 𝑦𝑗−1 2 𝑕𝑗−1 − 𝑕𝑗 𝑖

(7.9)

Donde,

𝑇𝑌𝑖,𝑗 +1/2 = 𝜆𝑌𝑖 ,𝑗+1/2

∆𝑥𝑖Δ𝑧𝑖 ,𝑗+1/2

∆𝑦𝑗 +1/2= 𝜆𝑌𝑖,𝑗 +1/2

A𝑖 ,𝑗+1/2

∆𝑦𝑖+1/2 (7.10)

𝑇𝑌𝑖,𝑗−1/2 = 𝜆𝑌𝑖 ,𝑗−1/2

A𝑖 ,𝑗−1/2

∆𝑦𝑗−1/2 7.11

La aproximación por diferencias finitas para la ecuación (7.1) en el punto i, j puede ser escrito en una forma compacta como:

∆𝑇∆(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗 =𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗

∆𝑡∆𝑖𝑝𝑖𝑗 + 𝑄𝑖𝑗 (7.12)

Donde

∆𝑇∆(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗 ≡ ∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥 𝑝 − 𝛾𝑕 + ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗

(7.13)

(7.7)

189

∆𝑖𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 − 𝑝𝑖𝑗

𝑛 (7.14)

𝑉𝑖𝑗 = ∆𝑧𝑖𝑗 ∆𝑥𝑖∆𝑦𝑗 7.15

𝑄𝑖𝑗 = 𝑞𝑖𝑗 𝑉𝑖𝑗 (1.16)

En la ecuación 7.12, no se ha especificado los niveles de tiempo. Por el método de diferencia hacia adelante (explícito) el lado izquierdo se evalúa en el nivel de tiempo n y la aproximación de diferencia hacia atrás (implícito) es evaluada en el nivel de tiempo n+1. En el lado derecho de la ecuación 7.12 el término βij debe ser evaluado por un

régimen que conserva la materia (ver ecuaciones. 3,173 y 3,174). Una aproximación es:

𝛽 = 𝜙 𝑛𝑐𝑓

𝐵𝑜 +𝜙𝑜𝑐𝑅

𝐵𝑛+1 𝑖𝑗

(7.17)

Notamos de qué términos de la ecuación 7.17 debe ser evaluado en el nivel n+1, incluso para el método explícito. Por el método de Crank-Nicolson el lado izquierdo de la ecuación 7.12 se evalúa en el nivel n+1/2 por los medios

siguientes:

∆𝑇∆(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗𝑛+1/2

=1

2 ∆𝑇∆(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗

𝑛 +1

2 ∆𝑇∆(𝑝 − 𝛾𝑕) 𝑖𝑗

𝑛+1 (7.18)

Debe quedar claro de la discusión anterior que las aproximaciones para el modelo de sección 7.12 puede escribirse de manera exactamente igual a las mismas que para el modelo de área (7.1)

Como se discutió en detalle en el capítulo 3 (sección 3.6) los problemas relacionados con las coordenadas cilíndricas deben ser manejados de forma ligeramente diferente. Los límites de los bloques para el cálculo del volumen de bloques son elegidos por (ver fig. 7.6):

𝑟𝑖+1/2 =


2

ln 𝑟𝑖

2 + 1

𝑟𝑖2

1/2

(7.19)

𝑍𝑘+1/2 =1

2 𝑍𝑘 + 𝑍𝑘+1 (7.20)

La aproximación por diferencias finitas para la ecuación 7.4 La aproximación por diferencias finitas para la ecuación se puede escribir en la forma de la ecuación 7.12 con la siguiente definición para el operador en el lado izquierdo:

∆𝑇∆ 𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑘 ≡ ∆𝑟𝑇𝑅∆𝑟 𝑝 − 𝛾𝑕 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧(𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑘 (7.21)

Donde,

𝑇𝑅 𝑖+1/2 ,𝑘 = 4𝜋 𝑟𝑖+1 2

2 ∆𝑧𝑘


2 𝜆𝑅 𝑖+1 2 ,𝑘 (7.22)

𝑇𝑍𝑖 ,𝑘+1 2 = 𝜋 𝑟𝑖+1 2

2 − 𝑟𝑖−1 2 2

Δ𝑧𝑘+1 2 𝜆𝑍𝑖 ,𝑘+1 2 (7.23)

190

Otras transmisibilidades(𝑇𝑅(𝑖−1 2) ,𝑘

𝑦 𝑇𝑍𝑖 ,𝑘−1 2 ) están definidas de una forma similar. El volumen del bloque (i,k)

es dado por

𝑉𝑖𝑘 = π∆zk ri+1 2 2 − ri−1 2

2 (7.24)

Y Qik es la producción de θ=2π. Vemos que con las definiciones apropiadas de las transmisibilidades, los limites de los bloques y los volúmenes del bloque, las aproximaciones en diferencias finitas son de forma idéntica para la forma areal, para los modelos transversales y radiales. Por esta razón la mayor parte de la discusión a seguir de estará relacionada con el modelo de áreas. Nosotros, sin embargo, señalaremos las diferencias importantes cuando sea apropiado. 7.3.2 Estabilidad de los esquemas diferenciales

La aproximación explícita para el modelo de área puede ser obtenida por expansión de la ecuación 7.12 y reuniendo términos:

𝑇𝑋 𝑖−1 2 ,𝑗𝑃𝑖−1,𝑗𝑛 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 𝑃𝑖 ,𝑗−1 2

𝑛 − 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 + 𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑗 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+1 2 −𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗

∆𝑡 𝑃𝑖𝑗

𝑛 + 𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑗 𝑃(𝑖+1 2),𝑗 𝑛

+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+1 2 𝑃𝑖,𝑗+1 2 − 𝑑𝑖𝑗 =𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗

∆𝑡𝑃𝑖𝑗

𝑛+1 (7.25)

Donde dij contiene todas las fuentes y los términos de gravedad. En la ecuación anterior Pijn+1

en el lado derecho es la única incógnita βij puede ser evaluada en el nivel de tiempo n. El manejo de la no linealidad introducida por β ha sido discutido en el Capítulo 3 (Sección 3.7.2.1). Así vemos que no hay nada difícil sobre computar Pij

n+1 de los

valores de Pijn para todos los valores de i y j. Sin embargo, como se esperaba, el método explícito es sólo

condicionalmente estable. La condición de estabilidad puede ser fácilmente obtenida utilizando el concepto o ecuaciones diferenciales de tipo positivo (véase el Capítulo 3, Sección 3.7.2.1). El problema de la condición resultante correspondiente a la condición (3.179) para problemas unidimensionales es:

𝑚𝑎𝑥𝑖,𝑗 ,𝑛 ∆𝑡

𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 + 𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑗 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+1 2 ≤ 1 (7.26)

las condiciones correspondientes para los problemas 1-D Como se muestra en el capítulo 3, el límite de estabilidad (7.26) La condición anterior es más restrictiva que hace que el método explicito sea práctico para la mayoría de los casos. Una condición similar se puede escribir para los modelos de la sección radial y transversal. Los métodos implícito y de Crank-Nicholson, por supuesto, incondicionalmente estables para la versión linealizada de la ecuación de flujo.

7.4 CONDICIONES LÍMITE

El estado inicial del yacimiento (condiciones iníciales) y la interacción del yacimiento con el entorno debe ser conocido antes de que se pueda modelar.

En muchas situaciones importantes un conocimiento detallado de estas condiciones es insuficiente y un buen juzgamiento ingenieril es necesario para obtener estimaciones razonables. Las condiciones de contorno se requieren en los pozos y en el límite exterior del yacimiento. Estas condiciones limite puede ser de tres tipos: (1) tasa de flujo especificado en la frontera, (2) ausencia de flujo en la frontera, y (3) la presión especificada en la frontera. Excepto para el estudio de un solo pozo en los sistemas de coordenadas cilíndricas, los pozos deben ser tratados como línea de Dirac o fuentes puntuales. Este enfoque es necesario porque el radio del pozo es generalmente pequeño comparado con el tamaño de un bloque en el muestreo de áreas y estudios transversales.

191

La especificación de la presión en la frontera puede ser manejada de una manera sencilla como se discutió en el capítulo 3. En esta sección vamos a discutir los límites a través del cual se especifica cero o un caudal infinito. También muestran que el flujo y sin condiciones de contorno de flujo puede ser tratada de la misma manera mediante la sustitución de las condiciones de contorno actuales por las condiciones de frontera de Neumann homogéneo (sin flujo) y la introducción de la corriente dentro o fuera del sistema a través de la fuente. Figuras 7.7 y 7.8 muestran las condiciones de contorno típico de muestreo de áreas y de modelos de un solo pozo. Ahora vamos a considerar los límites de flujo y no flujo en detalle.

Cuando no hay flujo a través de una frontera (T2 en las figuras 7.7 y 7.8) el componente del vector de velocidad normal a la superficie de frontera debe ser cero. Los componentes de la velocidad adecuada se obtienen tomando el producto punto (vector) de la velocidad de Darcy con el vector normal n:

𝑘

𝜇 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑕 . 𝑛 = 0 𝑜𝑛 Γ2 (7.27)

En la simulación de yacimientos las fronteras suelen aproximarse por los limites de los bloques que son paralelos a una de las co-direcciones de las coordenadas. Por tanto, en los modelos areales (x – y).

𝑘𝑥

𝜇 𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑥 = 0 (7.28)

Para todos los limites que son normales a la dirección x y

𝑘𝑦

𝜇 𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑦 = 0 (7.29)

Para todos los limites que son normales a la dirección y.

7.4.2 Limites de Flujo

Cuando algunas tasas de flujo cruzan un límite se especifica que (T1 y T3 en las Figuras 7.7 y 7.8) la componente normal del vector velocidad en el límite debe ser igual a esta tasa de flujo:

𝑘

𝜇 ∇𝑝 − 𝛾∇𝑕 . 𝑛 = 𝑞 Γ (7.30)

Y la tasa de flujo total a través de un límite es el valor integrado de q en la ecuación 7.30 sobre el límite. Por

ejemplo, sobre el limite T3 de la Fig. 7.8 la tasa de flujo total es:

𝑞T = q Γ dΓ1

Γ (7.31)

Si el límite actual se extiende por más de un bloque de la malla y si no se especifica el total del caudal, este flujo debe ser distribuido, de manera adecuada, sobre los límites de los bloques. Este problema se tratará en la próxima sección donde se discuten las diferencias finitas o forma discretizada de las condiciones limite.

192

7.4.3 Discretización de las condiciones limite

Como ejemplo, consideremos un punto (i, k) en el límite vertical de una malla de la sección transversal, como se

muestra en la figura. 7.9. Si el flujo a través de la frontera es cero, entonces se puede aproximar mediante la expresión de segundo orden.

𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖−1

2 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 (7.32)

En este enfoque completo simétricamente las propiedades se asumen sobre xi y el método es conocido como ―técnica de reflección‖. Se conserva la simetría y el orden de aproximación de las ecuaciones en diferencias finitas. El flujo dentro o fuera del sistema puede explicarse por dos enfoques diferentes. Una de ellas es asumir que el límite del bloque (1-4) está aislado y hay un término fuente/sumidero con la fuerza apropiada en la ecuación diferencial. Otro enfoque consiste en asumir el término fuente/sumidero como cero y la fuerza del gradiente de presión en el límite del bloque, 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑥𝑖

toma un valor que hace que la cantidad correcta de líquido a fluir fuera del límite.

Estos dos enfoques aparentemente diferentes pueden llegar a ser idénticos a nivel de diferencias finitas, como se muestra a continuación. Consideremos la siguiente forma simplificada de la ecuación 2.35 o la ecuación 7.3:

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧 =

𝜕

𝜕𝑡 ∅

𝐵 + 𝑞 (7.33)

Ahora vamos a aplicar el método de integrar para la obtención de aproximaciones finitas discutido brevemente en el capítulo 3 (sección 3.2.1.2) en la ecuación anterior. Integración sobre el volumen de los rendimientos del bloque (i, k)

∆𝑦 𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧

Ω

𝑑𝑥𝑑𝑧 = ∆𝑦 𝜕

𝜕𝑡Ω

𝜙

𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑧 + Δ𝑦 𝑞 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 (7.34)

Ω

El lado izquierdo de la ecuación (7.34) se puede convertir en una integral de línea usando el teorema de Green (por ejemplo, Morse y Freshbach, 1953, pp. 34 y 803).

Δ𝑦 𝜆𝑍𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑥 − 𝜆𝑥

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑧 =

Γ

∆𝑦 𝜕

𝜕𝑡Ω

𝜙

𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑧 + Δ𝑦 𝑞𝑑𝑥𝑑𝑧 (7.35)

Ω

La línea integral sobre I puede ser dividida en cuatro partes que consisten de los cuatro lados de la sección transversal del bloque en el plano x,z. Las derivadas δp/δz y δp/δx puede suponerse constantes a lo largo de cada una de estas partes y puede ser aproximada por diferencias finitas. Las siguientes aproximaciones se obtienen si se sigue este enfoque:

𝜆𝑍𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑥 =

1

2

𝜆𝑍𝑘+1 2 𝑥𝑖+1 2 − 𝑥𝑖

𝑍𝑘+1 − 𝑍𝑘 𝑝𝑘+1 − 𝑝𝑘 (7.36)

193

− 𝜆𝑋𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑧 =

3

2

𝜆𝑋𝑖+1 2 𝑍𝑘+1 2 − 𝑍𝑘−1 2

𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖 𝑝𝑖+1 − 𝑖 (7.37)

𝜆𝑍𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑥 =

4

3

𝜆𝑍𝑘−1 2 𝑥𝑖+1 2 − 𝑥𝑖

𝑍𝑘 − 𝑍𝑘−1 𝑝𝑘−1 − 𝑝𝑘 (7.38)

𝜆𝑋𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑧

= 0 𝑖𝑓 𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0 (7.39𝑎)

= 𝑞𝑥 𝑧 𝑑𝑧, 𝑖𝑓 𝜕𝑝

𝜕𝑥≠ 0 (7.39𝑏)

1

4

1

4

donde Δyqx es la tasa de flujo por unidad de longitud en la frontera (1-4) del bloque i,k

𝑞𝑥 𝑍 = − 𝜆𝑋𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝑥1

(7.40)

Si el caudal se explica por la especificación de la ecuación (7.39b), entonces el último término de la ecuación (7.35) debe ser cero y la tasa de flujo total a través de la frontera de la ecuación (7.39) puede escribirse como:

𝑄 𝑖𝑘 = ∆𝑦 𝑞𝑥 𝑍 𝑑𝑧 (7.41)1

4

Sin embargo, si la ecuación (7.39a) se utiliza a continuación, el caudal total del bloque es:

Qik = Δ𝑦 𝑞 𝑥, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 (7.42)Ω

Estas dos ecuaciones proporcionan interpretaciones alternativas de la condiciones de frontera de fuente singular. 𝑄𝑖𝑘

y 𝑄𝑖𝑘 deben ser iguales, ya que representan la producción globalizada del bloque (j, k). A nivel de diferencias finitas,

donde q(x, z) y qx(z) deben ser asumidos constantes dentro de un bloque en las ecuaciones. (7.41) y (7.42), no hay

ninguna diferencia entre las dos interpretaciones de las condiciones de contorno. Esto proporciona la justificación

necesaria para el uso de la ecuación (7.39a) en todos los trabajos de simulación de yacimientos. El primer término en

el lado derecho de la ecuación (7.34) puede aproximarse por:

∆𝑦 𝜕

𝜕𝑡Ω

∅

𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑧 ≃ 𝑥𝑖+1 2 − 𝑥𝑖 𝑍𝑘+1 2 − 𝑍𝑘−1 2 ∆𝑦

𝜕

𝜕𝑡 ∅

𝐵 (7.43)

Que es el mismo término de la ecuación correspondiente (7,33) multiplicado por el volumen de bloque correcto. Escribamos ahora el estándar de aproximación por diferencias finitas para la ecuación (7.33) utilizando la notación utilizada en la sección 7.3.

𝑇∆𝑝 𝑖𝑘 =𝑉𝑖𝑘

∆𝑡𝛽𝑖𝑘∆𝑝𝑖𝑘 + 𝑄𝑖𝑘 (7.44)

Donde, ∆𝑇∆𝑝 𝑖𝑘 = ∆𝑥𝑇𝑋∆𝑋𝑝 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑝

= 𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑘 𝑝𝑖+1 − 𝑝𝑖 𝑘 + 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑘 𝑝𝑖−1 − 𝑝𝑖 𝑘 + 𝑇𝑍𝑖 ,𝑘+1 2 𝑝𝑘+1 − 𝑝𝑘 𝑖

+ 𝑇𝑍𝑖 ,𝑘−1 2 𝑝𝑘−1 − 𝑝𝑘 𝑖 (7.45)

𝑇𝑋 𝑖+1 2 ,𝑘 = 𝜆𝑋(𝑖+1 2),𝑘

∆𝑦(𝑧𝑘+1 2 − 𝑧𝑘−1 2 )

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 (7.46)

𝑇𝑋 𝑖−1 2 ,𝑘 = 𝜆𝑋(𝑖−1 2),𝑘

∆𝑦 𝑧𝑘+1 2 − 𝑧𝑘−1 2

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 (7.47)

𝑇𝑍𝑖 ,𝑘+1 2 = 𝜆𝑍𝑖 ,𝑘+1 2

∆𝑦 𝑥𝑖+1 2 − 𝑥𝑖−1 2

𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘 (7.48)

194

𝑇𝑍𝑖 ,𝑘−1 2 = 𝜆𝑍𝑖 ,𝑘−1 2

∆𝑦 𝑥𝑖+1 2 − 𝑥𝑖−1 2

𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1 (7.49)

Las definiciones anteriores se aplican a un bloque completo dentro del yacimiento En comparación con la ecuación (7.36) a (7.39), vemos que la forma general (7.44) también podría utilizarse para el bloque de la frontera (i, k), siempre que se tenga:

𝑇𝑋𝑖−1 2 = 0 𝑌 𝑥𝑖−1 2 = 𝑥𝑖 (7.50)

Las modificaciones de la expresión general (7.44) para los otros limites, se obtienen fácilmente, siguiendo el procedimiento anterior. El único problema sin resolver con respecto a las condiciones de frontera es el problema de la asignación de caudales Qik a cada bloque cuando se especifica la tasa flujo total Qt de varios bloques. Este problema se encuentra en secciones transversales del modelo de un solo pozo con varios bloques. La solución más simple es distribuir el caudal de acuerdo a la transmisibilidad del bloque:

𝑄𝑘 =𝑇𝑘

Σ𝑇𝑘𝑄𝑇 7.51

Donde Tk es una transmisibilidad adecuadamente definida. Este problema se hace más complejo para el flujo multifásico y será considerado nuevamente en el capítulo 9 en mayor detalle.

7.5 CONDICIONES INICIALES

Para los yacimientos vírgenes es razonable suponer que el gradiente de presión en el depósito se debe a la presión hidrostática del líquido:

𝑑𝑝

𝑑𝑕= 𝑦

La simulación de un yacimiento de una sola fase, es por supuesto, posible para cualquier distribución de presión

inicial dada.

7.6 TRATAMIENTO NO LINEAL

Los métodos descritos en el capítulo 3 (Sección 3.7.2) para el manejo de los términos no lineales se pueden aplicar directamente a problemas de dos dimensiones. No es necesaria la discusión sobre este tema en este momento.

7.7 TRATAMIENTO DE LOS POZOS INDIVIDUALES

La presión en un grid point prevista durante la simulación de yacimientos es la presión media del bloque que rodea a éste. Si un pozo está ubicado en un grid block entonces la presión en el pozo no se puede suponer como la presión del bloque. Esto es particularmente cierto cuando el tamaño del grid block que contiene el pozo es grande y/o la velocidad de flujo del pozo es grande. Una predicción precisa de la presión es posible para los problemas de un solo pozo por el uso de las coordenadas r-z como se discutió en la sección 7.2.3. En el muestreo de áreas y los modelos

transversales se requieren técnicas especiales para el cálculo de la presión y de la presión del bloque predicha por el modelo. Un enfoque razonable para la solución de este problema es asumir que el flujo alrededor del pozo es de una dimensión en la dirección radial (en coordenadas cilíndricas). Soluciones analíticas para flujo unidimensional de una fase y sus aplicaciones se discuten en detalle en Matthews y Russel (1967) y del manual ERCB (1975). Vamos a discutir aquí algunos procedimientos prácticos para el cálculo y la presión de pozo pwf del bloque Pij en un modelo de áreas. La extensión de estas ideas a otros sistemas es sencilla. El concepto de radio de drenaje es particularmente conveniente para resolver este problema. Este concepto, originalmente introducido por Aronofsky y Jenkins (1954), se analiza en detalle en el Manual ERCB (1975). El radio de drenaje es definido por:

𝑝𝑎𝑣 − 𝑝𝑤𝑓

𝑝𝑖𝑞𝐷= ln

𝑟𝑑𝑟𝑤

(7.52)

Esto es que el radio que fuerza la solución de la anterior ecuación de estado estable coincide con la solución transiente. Para un yacimiento finito y cerrado con radio exterior re, tenemos:

195

ln𝑟𝑑𝑟𝑤

=1

2 ln 𝑡𝐷 + 0.809 𝑠𝑖 𝑡𝐷 ≤

1

4 𝑟𝑒𝑟𝑤

2

(7.53)

Y

𝑟𝑑 = 0.472𝑟𝑒 𝑠𝑖 𝑡𝐷 ≥1

4 𝑟𝑒𝑟𝑤

2

(7.54)

Donde,

𝑡𝐷 =𝑘𝑡

∅𝜇𝑐𝑟𝑤2 (7.55)

𝑞𝐷 =𝑝𝑆𝑇𝐶𝑍𝑇𝑄𝑆𝑇𝐶𝜇

2𝜋𝑇𝑆𝑇𝐶𝑝𝑎𝑣𝑘∆𝑧𝑝𝑖 (7.56)

Para un flujo de gas, y

𝑞𝐷 =𝐵𝑄𝑆𝑇𝐶

2𝜋𝑘∆𝑧𝑝𝑖 (7.57)

Y para un flujo de líquido. La conversión de las cantidades anteriores a las unidades de campo es discutida con detalle en el Manual ERCB (1975). El radio equivalente del bloque de la figura. 7.10 se puede calcular:

𝑟𝑒 = ∆𝑥∆𝑦 𝜋 (7.58)

El procedimiento anterior hace uso de la solución analítica para la tasa de producción constante de un yacimiento cilíndrico cerrado con flujo en una dimensión.

Esto proporciona una aproximación razonable para bloques cuadrados o bloques rectangulares donde Δx ≈ Δy. Para los bloques de otras formas analíticas las soluciones están disponibles y pueden ser utilizados para predecir así la presión (ver ERCB, 1975). También es posible modificar la ecuación (7,52) para incluir el daño , y los efectos inerciales-turbulentos (alta velocidad) no considerados por la Ley de Darcy:

𝑝𝑎𝑣 − 𝑝𝑤𝑓

𝑝𝑖𝑞𝐷= ln

𝑟𝑑𝑟𝑤

+ 𝑆 + 𝐷𝑄𝑆𝑇𝐶 (7.59)

En la ecuación anterior S es el daño, y D es el factor de inercia del flujo turbulento que es importante solo en el flujo de gas.

En las fórmulas anteriores se indica que el radio de drenaje se vuelve constante durante un tiempo suficientemente grande. Esto corresponde al pseudo estado estacionario cuando la presión disminuye a un ritmo constante en todas las partes del bloque y la ecuación (7.52) puede ser reescrita como:

𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝑎𝑣 −𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧 ln

𝑟𝑒𝑟𝑤

−3

4 (7.60)

Donde, ya que se supone que el bloque está cerrado, la presión del medio se puede obtener por balance de materia:

𝑝𝑎𝑣 = 𝑝𝑖 −𝑞𝑡

𝜋𝑟𝑒2∆𝑧∅𝑐𝑎𝑣

196

La ecuación (7.60) proporciona la presión del pozo en términos de la presión promedio Pav y la tasa Q en unidades de volumen de yacimiento. La relación entre Pav y Pij se considera hacia el final de esta sección. Para las condiciones de yacimiento típicas, el tiempo para alcanzar el estado estacionario es del orden de horas o días, mientras que los intervalos de tiempo típicos utilizados en la simulación de varios días a unos meses. Dado que la tasa simulada debe ser constante al menos durante un intervalo de tiempo, la presunción del estado seudoestable está justificada usualmente. Las excepciones son simulaciones de comportamiento de corto tiempo, como por ejemplo en las pruebas de pulso. Otros métodos menos rigurosos basados directamente en el estado estacionario también están disponibles. Van Poollen y compañía (1968) obtuvo de las ecuaciones, ya sea para el estado seudoestable para un yacimiento cerrado, o asumiendo el estado estable para el flujo incompresible con flujo en la frontera exterior. Ya que el primer caso lleva a la ecuación (7.60) obtenida anteriormente, vamos a considerar el caso de flujo incompresible. La presión media entre rw y re:

𝑃𝐴𝑉 = 𝑝𝑟𝑑𝑟

𝑟𝑒

𝑟𝑤

𝑟𝑑𝑟𝑟𝑒

𝑟𝑤

=2

𝑟𝑒2 − 𝑟𝑤

2 𝑝𝑟𝑑𝑟 (7.61)

𝑟𝑒

𝑟𝑤

Mientras que la distribución de la presion en el estado estable está dado por:

𝑃 = 𝑝𝑓𝑤 + 𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧ln

𝑟

𝑟𝑤 (7.62)

Sustituyendo la ecuación (7,62) en la ecuación (7.61) y la integración, se obtiene:

𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝑎𝑣 −𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧 𝑟𝑒2 − 𝑟𝑤

2 𝑟𝑒

2 ln𝑟𝑒𝑟𝑤

−𝑟𝑒

2 − 𝑟𝑤2

2 (7.63)

Para volver re >> rw esta fórmula se simplifica a:

𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝑎𝑣 + 𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧 ln

𝑟

𝑟𝑤−

1

2 (7.64)

Para la frontera de flujo en el estado estable la presión es dada por la ecuación (7.62):

𝑝𝑒 = 𝑝𝑤𝑓 +𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧ln

𝑟

𝑟𝑤 (7.65)

Las ecuaciones (7.60) (7.63) y (7.64) se muestran en la figura 7.10. Esta figura puede ser usada para estimar

rápidamente la Pwf calculando primero:

𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧ln

𝑟𝑟𝑤

(Lo cual es igual a Pe – Pwf para las ecuaciones (7.63) y (7.64)), y luego encontrar la Pwf de

𝑝𝑤𝑓

= 𝑝𝑎𝑐

−∝ 𝑄𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑟𝑤

2𝜋𝜆Δ𝑧

Donde α es obtenida de la figura 7.11. Esta figura también muestra los errores usando la formula aproximada (7.64),

la cual no debería ser usada si re/rw < 3.

Las dos fórmulas (7.60) y (7.64), aunque derivadas de dos presunciones extremas, sólo se diferencian por la constante restada del término logarítmico. En una situación real, la producción de un pozo resultara tanto en la disminución de la presión como en el flujo a través de los límites de bloque, y la presión actual que corresponderá a la fórmula general

𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝑎𝑣 − 𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧 ln

𝑟

𝑟𝑤− 𝑐 (7.66)

Donde 1/2 ≤ c ≤3/4. Kumar (1977) muestra cómo c es influenciado por la fuerza del influjo en la frontera. El estado estacionario también puede ser representado por dejar c = f (t).

197

Hasta ahora se han presentado tres relaciones entre pav presión promedio y presión del pozo pwf. Es natural preguntarse si pav es igual a la presión del bloque pij. Este es en realidad el procedimiento de uso común en la mayoría de los simuladores. Sin embargo, Peaceman (1977) ha demostrado, mediante soluciones numéricas y analíticas, que pav ≠ pij, bajo condiciones de flujo en estado estable. Para una malla cuadrada, la relación adecuada entre pwf y pij basada en el trabajo de Peaceman, puede expresarse en la forma de la ecuación (7.66) como:

𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝐼𝐽 − 𝑄

2𝜋𝜆Δ𝑧 ln

𝑟

𝑟𝑤− 1.037 (7.67)

Este problema requiere mayor investigación para revelar cual es el mejor procedimiento, en particular cuando la

presunción del flujo en estado estable cerca del pozo no es valida.

Ideas estrechamente relacionadas con las desarrolladas para el tratamiento de los acuíferos se discutirán en el

Capítulo 9.

Otra fórmula para Pwf se puede derivar de las transmisibilidades de diferencias finitas para el bloque (i,j). Podemos

definir la diferencia de presión promedio entre el punto (ij) y sus vecinos por:

198

𝑄 = ∆𝑃 ΣT = p − pij ΣT

= TXi+1 2 pi+1 − pi + TXi−1 2 pi−1 − pi j+ TYj−1 2 pj−1 − pj + TXj+1 2 pj+1 − pj i

(7.68)

Donde,

ΣT = TX(i+1 2),j + TX(i−1 2),j + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗 +1 2 + 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 (7.69)

Ahora supongamos que la p es la presión en el radio rb de un circulo representado en el área mostrada en la Fig. 7.12. Note que el radio rb esta dado por:

𝑟𝑏 = ∆𝑥𝑖+1 2 + ∆𝑥𝑖−1 2 ∆𝑦𝑗+1 2 + ∆𝑦𝑗−1 2 𝜋 (7.70)

Es diferente del radio re mostrado en la Fig. 7.10. Ahora podemos utilizar la fórmula de flujo radial para expresar:

𝑄 = 𝑝 − 𝑝𝑤𝑓 2𝜋𝜆Δ𝑧

ln 𝑟𝑏𝑟𝑤

= 𝑝 − 𝑝𝑤𝑓 𝑊𝐼𝜆 (7.71)

Donde WI es el coeficiente de productividad del pozo relativo a rb. Este coeficiente podrá ser modificado para tener en cuenta las perforaciones parciales, estimulación de pozos o el factor de daño. Las ecuaciones (7.71) y (7.68) pueden ser resueltas para obtener:

𝑝𝑖𝑗 − 𝑝𝑤𝑓 = 𝑄1 −

𝑊𝐼𝜆𝑇

𝑊𝐼= 𝑄/𝑇𝑊

Esta ecuación difiere de las ecuaciones (7.63) o (7.64) en que se toma en cuenta no sólo la permeabilidad alrededor del pozo (a través de WI), sino también las variaciones de permeabilidad entre los distintos puntos de la malla alrededor del pozo. Sin embargo, la aproximación es válida sólo si WI < ∑T/λ.

7.8 ECUACIONES EN FORMA DE MATRIZ

La ecuación discretizada para cualquiera de los modelos de dos dimensiones implícitas discutidas en las secciones anteriores de este capítulo se puede escribir en la forma:

𝑐𝑖𝑗 𝑝𝑖−1,𝑗𝑛+1 + 𝑎𝑥𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗

𝑛+1 + 𝑏𝑖𝑗 𝑝𝑖+1,𝑗𝑛+1 + 𝑔𝑖𝑗 𝑝𝑖,𝑗−1

𝑛+1 + 𝑎𝑦𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 + 𝑓𝑖𝑗 𝑝𝑖 ,𝑗+1

𝑛+1 + 𝜑𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑑𝑖𝑗 (7.73)

Donde los coeficientes cij, αxij, bij, gij, αyij,fij, φij y dij dependen del tipo de modelo y el método de discretización. Por

ejemplo, el muestreo de áreas (x-y) con la aproximación hacia atrás para la derivada del tiempo (ecuación 7.12) es:

𝑐𝑖𝑗 = −𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 7.74

𝑏𝑖𝑗 = −𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑗 7.75

𝑔𝑖𝑗 = −𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 7.76

𝑓𝑖𝑗 = −𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+1 2 7.77

𝑎𝑥𝑖𝑗 = 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 + 𝑇𝑋(𝑖+1 2),𝑗 = − 𝑐𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 7.78

199

𝑎𝑦𝑖𝑗 = 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 + 𝑇𝑌𝑖,𝑗+1 2 = − 𝑔𝑖𝑗 + 𝑓𝑖𝑗 7.79

𝜑𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗

Δ𝑡 7.80

𝑑𝑖𝑖𝑗 = −𝑄𝑖𝑗 + 𝜑𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗𝑛 (7.81)

También encontramos conveniente definir:

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑥𝑖𝑗 + 𝑎𝑦𝑖𝑗 + 𝜑𝑖𝑗 (7.82)

Estas ecuaciones pueden ser escritas en forma de matriz mediante la selección de algunos ordenamientos de las incógnitas. El orden natural es la de ordenar las incógnitas por líneas en la dirección x del grid comenzando con la línea para j = 1. Entonces, el vector desconocido es:

𝑝𝑛+1 𝑇 = 𝑝1.1 , 𝑝2.1, 𝑝3.1, 𝑝4.1,𝑝5.1, 𝑝1.2 , … , 𝑝5.6 𝑛+1

(7.83)

Y la ecuación de la matriz puede ser escrita como:

𝐴𝑃𝑛+1 = 𝑑 (7.84)

En el próximo capítulo vamos a considerar una solución directa y los métodos iterativos para la ecuación (7.84). En la siguiente sección de este capítulo se presentan algunos métodos para obtener aproximaciones a la solución de vector P. Estos métodos están estrechamente relacionados con la forma de la ecuación diferencial parcial y por esta razón se presentan en este capítulo.

200

7.9 METODOS ESPECIALES PARA PROBLEMAS 2-D

Los métodos que se discuten aquí son de dos tipos. Un tipo de métodos denominados métodos alternando explícitamente la dirección (ADE) que no implican cálculos de la matriz y reducen el problema a una forma similar a la forma de las ecuaciones diferenciales explícitas. Los métodos de ADE, son, sin embargo, incondicionalmente estables (para problemas lineales) en contraste con el método explícito clásico. El segundo tipo de métodos denominado alternando implícitamente la dirección (IDA) implican la solución de ecuaciones de matrices tri-diagonales y están relacionados con el método clásico implícito de Crank-Nicolson.

Los métodos ADE y ADI producen un conjunto de ecuaciones diferenciales que son mucho más fáciles de resolver que la ecuación matricial presentada en la sección anterior. Esta simplificación es, por supuesto, obtenida a expensas de una reducción en la precisión y la estabilidad. La aplicación práctica de estos métodos se limita a una sola fase y de los problemas de flujo monofásico y problemas multifásico relativamente simples. 7.9.1 Alternando explícitamente la dirección (ADE)

Durante las primeras etapas del desarrollo de las computadoras digitales, las máquinas eran relativamente lentas y con la memoria central muy limitada. Esto brindó una motivación considerable para el desarrollo de aproximaciones de diferencia explícita estable de ecuaciones diferenciales parciales de interés práctico. El libro de Saul'jev (1964) proporciona un tratamiento integral de las diversas formas del método de ADE. Más información sobre estos métodos para dos problemas de dimensiones es proporcionado por Larkin (1964) y Barakat y Clark (1966), y la aplicación de estos métodos para simulaciones de yacimientos de gas es discutido por Quon y compañia (1966) y Carter (1966). El método tiene algunas ventajas evidentes sobre el método explícito estándar. El punto de partida para el desarrollo de métodos de ADE puede ser la fórmula de diferencia implícita hacia atrás o la fórmula de Crank-Nicolson implícita. Sea u y v dos aproximaciones a la solución de la ecuación diferencial (ecuación 7.12) con el lado de la mano izquierda evaluado a un nivel de tiempo indeterminado. En aras de mantener nuestro simple discusión, vamos a suponer que las coordenadas X y Y están en el plano horizontal, y por lo tanto los terminos de gravedad desaparecen. Podemos escribir la aproximación diferencial (7.12) como:

𝜑𝑖𝑗 Δ𝑡𝑝𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 𝑝𝑖−1,𝑗 − 𝑝𝑖 ,𝑗

𝑛+𝑙1+ 𝑇𝑋 𝑖+1 2 ,𝑗 𝑝𝑖+1,𝑗 − 𝑝𝑖,𝑗

𝑛+𝑙2+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 𝑝𝑖,𝑗−1 − 𝑝𝑖.𝑗

𝑛+𝑙3

+ 𝑇𝑌𝑖,𝑗 +1 2 𝑝𝑖,𝑗+1 − 𝑝𝑖 .𝑗 𝑛+𝑙4

(7.85)

Donde para el estándar de aproximación por diferencias hacia atrás:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + 𝑙4 = 1

Y

Δtpijn+1 = 𝑝𝑖𝑗

𝑛+1 − 𝑝𝑖𝑗𝑛

Por ordenamiento estándar de las incógnitas, la ecuación se hace explícita con sólo una incógnita por ecuación (7,85) si I1=I3=1, e I2=I4=0. Es facil ver que en lugar de comenzar los cálculos a partir de la parte inferior de la esquina izquierda (Fig. 7.4) podríamos comenzar con una de las otras tres esquinas con escogiendo diferentes valores de l. Las aproximaciones a las ecuaciones diferenciales obtenidas de esta manera se pueden escribir como:

Aproximación 1: 𝑙1 = 𝑙3 = 1, 𝑙2 = 𝑙4 = 0

𝜑𝑖𝑗 𝛥𝑡𝑣𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 𝑣𝑖−1,𝑗 − 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛+1+ 𝑇𝑋 𝑖+1 2 ,𝑗 𝑣𝑖+1,𝑗 − 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 𝑣𝑖,𝑗−1 − 𝑣𝑖 .𝑗

𝑛+1

+ 𝑇𝑌𝑖,𝑗+1 2 𝑣𝑖 ,𝑗+1 − 𝑣𝑖 .𝑗 𝑛

(7.86)

Aproximación 2: 𝑙1 = 𝑙3 = 0, 𝑙2 = 𝑙4 = 0

𝜑𝑖𝑗 Δ𝑡𝑢𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑇𝑋(𝑖−1 2),𝑗 𝑢𝑖−1,𝑗 − 𝑢𝑖 ,𝑗

𝑛+ 𝑇𝑋 𝑖+1 2 ,𝑗 𝑢𝑖+1,𝑗 − 𝑢𝑖 ,𝑗

𝑛+1+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗−1 2 𝑢𝑖 ,𝑗−1 − 𝑢𝑖 .𝑗

𝑛

+ 𝑇𝑌𝑖 ,𝑗+1 2 𝑢𝑖 ,𝑗+1 − 𝑢𝑖 .𝑗 𝑛+1

(7.87)

Cada uno de las dos aproximaciones introduce errores. Sin embargo, estos errores son compensados parcialmente por la aplicación de las ecuaciones (7.86) y (7.87) para los intervalos de tiempo alternos.

201

El uso de ambas ecuaciones para cada paso de tiempo y luego promediando los resultados, también ha sido considerado por Larkin (1964):

𝑤𝑖𝑗𝑛+1 =

𝑢𝑖𝑗𝑛+1 + 𝑣𝑖𝑗

𝑛+1

2

En donde 𝑤𝑖𝑗𝑛+1 es una aproximación nueva para 𝑝𝑖𝑗

𝑛+1 y con este esquema 𝑤𝑖𝑗𝑛 debe ser usado en lugar de

𝑣𝑖𝑗𝑛+1 y 𝑢𝑖𝑗

𝑛+1 en las ecuaciones (7.86) y (7.87).

Otras dos aproximaciones se obtienen mediante la selección de los siguientes valores de l, los valores en la ecuación (7,85): Aproximación 3

𝑙1 = 𝑙4 = 0

𝑙2 = 𝑙3 = 1

Aproximación 4

𝑙2 = 𝑙3 = 0

𝑙1 = 𝑙4 = 1

Es evidente que se puede utilizar diferentes combinaciones de las cuatro aproximaciones. También es posible desarrollar sistemas similares, comenzando con el método de Crank-Nicolson en lugar de la ecuación (7.85). Los métodos de este tipo encuentran poca utilidad en los estudios de simulación de yacimientos donde computadoras modernas con grandes núcleos están disponibles. Por esta razón, no vamos a presentar un examen detallado.

7.9.2 Alternando implícitamente la dirección (IDA) y métodos relacionados

La Solución de dos problemas de simulación tridimensional de yacimientos puede ser reducido a la solución de problemas en una simulación de yacimientos en una dimensión. Dado que ya sabemos cómo resolver ecuaciones para un matriz tridiagonal, ninguna técnica nueva es necesaria para la solución de los problemas de simulación de yacimientos considerados en este capítulo. Los métodos de este tipo también se conocen en la literatura con nombres como Splitting up (Marchuk, 1975), los métodos de paso fraccional (Yanenko, 1971) y métodos de una dimensión localizada (Mitchell, 1969). Los métodos IDA fueron introducidos por Peaceman y Rachford (1955) y Douglas (1955) y desarrollados posteriormente por estos y muchos otros investigadores. Los métodos IDA que se discutirán aquí se denominan a veces métodos ADI no iterativos para distinguirlos de los métodos de IDA para la solución de las ecuaciones de la matriz por iteración (véase el capítulo 8). Vamos a mostrar en esta sección cómo estos métodos se pueden aplicar a la solución de problemas de flujo de una sola fase en dos dimensiones.

Método de Peaceman-Rachforf (1955): Consideremos la siguiente aproximación por diferencias hacia atrás para el problema de muestreo de áreas.

ΔxTXΔxpijn+1 + ΔyTYΔypij

n+1 = φij pijn+1 − pij

n + Q (7.88)

Si queremos reducir este problema a la solución de un sistema unidimensional, solo uno de los términos en el lado izquierdo de la ecuación (7.88) puede ser evaluado a nivel de tiempo indeterminado. Esto produce un proceso de dos pasos. El primer paso de este procedimiento es:

ΔxTXΔxpij∗ + ΔyTYΔypij

∗ = Vijβij pij

∗ − pij∗

1 2 Δt + Qij (7.89)

Donde pij∗ es una solución intermedia, que puede considerarse como una aproximación de p

ijn+1

La ecuación (7.89) puede resolverse para todos los puntos del grid considerando incógnitas para un solo valor de j (o una línea en x del grid) a la vez y utilizando el algoritmo de Thomas del Capítulo 4. Como se muestra por Douglas (1961) el uso de la ecuación (7.89) solo en los resultados de un método de estabilidad limitada. Con el fin de obtener

202

un método incondicionalmente estable, se introduce la segunda etapa, que consiste en la aproximación implícita del segundo término en el lado izquierdo de la ecuación (7.88).


n+1 = Vijβij pij

∗ − pij∗

1 2 Δt + Qij (7.89)

La ecuación (7.90) puede ser resuelta para todos los puntos de la red, considerando incognitas para un solo valor i ( o una línea en y del grid) a la vez. Las incógnitas a lo largo de cada línea del grid tienen una ecuación matricial con una matriz de coeficientes tridiagonal. El anterior procedimiento en dos fases donde las ecuaciones (7.89) y (7.90) se utilizan alternativamente es incondicionalmente estable. Con el fin de eliminar la solución indeterminada de estas dos ecuaciones es necesario eliminar la solución intermedia de esas dos ecuaciones. Para la ecuación de difusión lineal en un rectángulo, la ecuación resultante es correcta a nivel local de segundo orden en el tiempo y el espacio y puede ser vista como una perturbación del método de Crank-Nicolson (Douglas, 1961). Este tipo análisis muestra que los coeficientes de los términos no lineales y la fuente deben ser evaluados en el nivel n de tiempo para el método de ADI. Briggs y Dixon (1968) han discutido la aplicación de este método a los problemas de simulación de yacimientos. Ellos encuentran que este método produce resultados oscilatorios a grandes intervalos de tiempo. Este comportamiento es una característica del procedimiento de Crank-Nicolson (NC) puesto que el método IDA es una perturbación del método NC. Método de Douglas (1962). Ya que el método de Rachord Peacemanand (1955) resulta ser una perturbación de la

aproximaión Nicolson, debería ser posible desarrollar un método de dirección alterna directamente de la aproximación de Crank-Nicolson en lugar de la aproximación diferencial hacia atrás. La solución intermedia puede ser obtenida de la siguiente ecuación:

1

2ΔxTXΔx(pij

∗ +pijn ) + ΔyTYΔypij

∗ = φij (pijn+1 − pij

n ) + Qij (7.91)

y la solución definitiva en el nuevo nivel de tiempo es:

1

2ΔxTXΔx(pij

∗ +pijn ) + ΔyTYΔy(pij

n+1 − pij∗ ) = φij (pij

n+1 − pijn ) + Qij (7.92)

Este método es una perturbación del Método Crank-Nicilson y es equivalente al Método de Peaceman-Rachord en un rectángulo. Desde un punto de vista computacional, es más conveniente sustituir la ecuación (7.92) por una ecuación que se obtiene restando las dos ecuaciones anteriores:

1

2ΔyTYΔypij

n+1 −1

2ΔyTYΔypij

n ) = φij (pijn+1 − pij

∗ ) (7.93)

Durante los problemas de dos dimensiones este no tiene ninguna ventaja real sobre el Método de Peaceman-Rachford. Para problemas en tres dimensiones la ventaja real la tiene el Método de Douglas. Método Douglas y Rachford (1956). Estos dos métodos son perturbaciones del método de Crank-Nicolson. Una perturbación de la aproximación es la diferencia proporcionada por el siguiente esquema:


n = φij (pij∗ − pij

n ) + Qij (7.94)

ΔyTYΔypijn+1 − ΔyTYΔypij

n = (pijn+1 − pij

∗ ) (7.95)

Los coeficientes no lineales dependientes del tiempo, deben ser evaluados en el nivel n + 1 de tiempo para este método.

División o localmente unidimensional (LD) métodos. Vamos a definir

𝐹𝑖𝑗𝑛 =

ΔTΔp𝑖𝑗𝑛 − 𝑄𝑖𝑗

𝑉𝑖𝑗 𝛽𝑖𝑗 (7.96)

203

Entonces, la solución para el problema de muestreo de áreas en esta sección pueden obtenerse en el siguiente esquema:

Δ𝑥𝑇𝑋Δ𝑥𝜉𝑛 +1 2

= 2𝜑𝑖𝑗 𝐹𝑖𝑗𝑛 − 𝜉𝑛+1 2 (797)

Δ𝑦𝑇𝑌Δ𝑦𝜉𝑛 +1 2

= 2𝜑𝑖𝑗 𝜉𝑛+1 − 𝜉𝑛+1 2 7.98

𝑝𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑝𝑖𝑗

𝑛 + Δ𝑗𝜉𝑛+1 (7.99)

Este método también es un perturbación de la de Crank-Nicolson(marchuk 1975, p.147). Otras variaciones de este enfoque son discutidas por Marchuk 81.975) y Mitchell (1969). Es evidente que la aplicación de la ecuación (7.97) debe ser por las líneas en x del grid y la (7,98) para las líneas y del grid. Esto muestra la similitud de este procedimiento para el método de ADI. Métodos Corrector-Predictor. Debemos primero prever la solución en el nivel n+(1/2) de tiempo utilizando el siguiente procedimiento de dos pasos:

Δ𝑥𝑇𝑋Δ𝑥𝑝𝑖𝑗∗ = 2𝜑𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗

∗ − 𝑝𝑖𝑗𝑛 + 𝑄𝑖𝑗

𝑛+1 2 7.100

Δ𝑦𝑇𝑌Δ𝑦𝑝𝑖𝑗𝑛+1 2

= 2𝜑𝑖𝑗 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 2

− 𝑝𝑖𝑗∗ (7.101)

La solución para el nivel de tiempo n+1 es obtenida de:

𝑝𝑖𝑗𝑛+1 = 𝑝𝑖𝑗

𝑛 +1

2𝜑𝑖𝑗 Δ𝑇Δ𝑝𝑖𝑗

𝑛+1 2 − 𝑄𝑖𝑗

𝑛+1 2 7.102

Este enfoque se analiza un detalle por Marchuk (1975, p162) También resulta ser una perturbación del método de Crank-Nicolson.

7.9.3 Comparación de métodos

Coast y Terhune (1966) proporcionan una comparación de los métodos ADE e IDA para la ecuación de difusión estándar:

𝜕2𝑈

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑦2+ 𝑞 =

𝜕𝑈

𝜕𝑡

Estos autores señalan que la ADE no mantiene condiciones de no-flujo en las fronteras exteriores para el grid de bloque centrado, y esto causa errores en el balance de materia. Coast y Terhune también encontraron que el método de ADI era considerablemente más exacto que el método de ADE y que solamente requerían un 60% más de trabajo. Una comparación más reciente de la misma ecuación fue proporcionada por Sheffeld (1970). El definió un método de

"línea de Saul'jev" que equivale a los dos pasos utilizando la ecuación (7.85), con ∆T/2. En el primer paso, 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 2

en

el lado izquierdo se sustituirá por 𝑝𝑖𝑗𝑛+1 2

y los parámetros son𝑙1 = 𝑙2 = 𝑙3 =1

2, 𝑙4=0.

En el segundo paso, se calcula 𝑝𝑖𝑗

𝑛 con los siguientes parámetros 𝑙1 = 𝑙2 = 𝑙4 = 1, 𝑙3 = 0 . Así, ambos pasos son

resueltos por líneas en la dirección x, pero en orden alterno para j. Sheffield comparó este método con el método Saul‘jev (alternando el uso de las ecuaciones (7.86) y (7.87)) e IDA. IDA fue superior a la línea Saul‘jev por un problema con el grid cuadrado, pero la Linea Saul‘jev fue mucho mejor para un problema con el grid alargado. El método de punto Saul‘jev fue menos preciso en ambos casos. Este resultado es típico de los métodos de IDA. Este método no realiza bien los problemas con los coeficientes de anisotropía (producidos por la red alargada o el contraste grande en kx y ky). El mismo comportamiento también es compartido por métodos iterativos IDA que convergen muy lentamente para este tipo de problemas (véase el capítulo 8, fig. 8.19). No ha habido ningún interés en los métodos ADE o ADI en la literatura reciente.

204

7.10 CONSTRUCCION DEL GRID

7.10.1 Grid irregular en 2-D

La motivación para el uso de la red irregular es la de nuestro deseo de obtener una buena definición por el uso de pequeños incrementos en los lugares donde los gradientes de presión se espera que sean grandes y use grandes incrementos en otras partes. Un enfoque natural es la construcción de redes irregulares en ambas direcciones y superponerlas. Esto resultará en un grid con incrementos Δx y Δy, que ya se ha utilizado en este capítulo. Figura 7.14 da un ejemplo de un Grid areal, refinado alrededor de los pozos. Otro ejemplo típico es un grid rz radial con incrementos variables en la dirección radial. Este tipo de grid irregular se utiliza de forma rutinaria en la simulación de yacimientos. La descripción del grid es simple y el esfuerzo de programación es de aproximadamente la misma que para un grid regular.

Sin embargo, es fácil ver que ese grid estándar no es óptimo por lo que se refiere al número de puntos de red necesario para cubrir el dominio. Por ejemplo, el grid de la figura 7.14 también es refinado en el círculo de área "A", donde un grid grueso pareciera ser suficiente. Con el fin de obtener más grid óptimos, uno tiene que utilizar grid composicionales, como se muestra en la figura. 7.15. Tales esquemas de perfeccionamiento del grid fueron estudiadas por Ciment (1971) y Ciment y Sweet (1973). Lamentablemente, las aproximaciones diferenciales resultantes son más complejas, y su forma no es la misma para todos los puntos del grid. Por esta razón, el refinamiento local del grid no ha sido ampliamente usado en la simulación de yacimientos. Observamos a este respecto, que los sistemas de grid, tales como el triangular, son más adecuados para el refinamiento del grid local que para el grid rectangular. Para obtener información adicional sobre el refinamiento del grid ver Kafka (1968), Osher (1970), Browning et al. (1973) y Girault (1974). En conclusión, observamos que el uso del grid irregular disminuye la precisión de la aproximación a O(Δx)+O(Δy) a menos que se empleen técnicas especiales.

205

7.10.2 Uso de un grid curvilíneo

Aunque la mayoría de los problemas del yacimiento se pueden simular los grids rectangulares, hay muchos casos en que la forma del yacimiento se presta más naturalmente a un sistema de coordenadas. Por ejemplo, una sección transversal con una inclinación considerable puede ser descrita mejor por el grid que se muestra en la figura. 7.16b en lugar del que se muestra en la figura. 7.16a. Del mismo modo, un flujo areal en un patrón de cinco lugares repetidos puede ser descrita mejor por la cuadrícula en la figura. 7.17b que sigue las líneas de corriente mejor que por un grid rectangular (fig. 7.17a). Sistemas curvilíneos coordenados son comunes en hidrodinámica clásica. En la simulación de yacimientos, la utilización del grid curvilíneo fue estudiado por diversos autores para aplicaciones de flujo multifásico (Hirasaki y O'Dell, 1970; Sonier y Chaumet, 1974, Robertson y Woo, 1976). Sin embargo, el concepto es igualmente aplicable, y más fácil de entender, para flujo de una sola fase y por lo tanto serán tratados aquí. Observaciones específicas relativas al flujo multifásico se dará en el capítulo 9 (sección 9.7).

Ahora vamos a resumir brevemente la transformación de las ecuaciones en coordenadas curvilíneas. Los detalles se pueden encontrar en libros sobre análisis tensor, por ejemplo, McConnell (1957), Aris (1962) y Sokolnikoff (1951). Vamos a considerar dos sistemas de coordenadas: un sistema rectangular x, y, que denotaremos aquí como (y

1, y

2),

y un sistema de coordenadas general (x1, x

2). Los dos sistemas están relacionados por las ecuaciones:

Las funciones f

i definen la transformación del sistema de coordenadas. La forma de la ecuación diferencial en las

coordenadas x depende de estas funciones. El nuevo sistema de coordenadas será bien definido si el determinante de la transformación es distinto de cero, es decir,

206

El operador de una de las condiciones de flujo se puede escribir utilizando la suma de

Esto se puede expresar en la coordenada x, como:

Donde g es el determinante de la gij tensor métrico,

Y g son las componentes del tensor métrico conjugado, que puede ser calculada como g=G, donde G son lo cofactores de g en la matriz G. También se puede expresar más convenientemente como (McConnell, 1957)

Que no requiere funciones inversas f

i

En general, el operador A en la forma (7.104) consiste en términos de la derivada cruzada. Sin embargo, estos términos se Desaparecer para una clase importante de sistemas de coordenadas, llamado ortogonales.

207

Un sistema de x

i se llama ortogonal si las curvas coordenadas son ortogonales entre si en todas partes (figura 7.18)

Cualquier sistema ortogonal tiene las siguientes propiedades importantes: 1. La condición necesaria y suficiente para un sistema sea ortogonal es

2. Si el sistema es ortogonal, entonces

Por lo tanto, para un sistema ortogonal al operador A sería:

Tenga en cuenta que el en el desarrollo de lo anterior hemos asumido λ como una función escalar de x. El análisis se complica más cuando se considera el carácter tensorial de K (en λ). Un ejemplo de un sistema ortogonal es el polar (o en 3D cilíndrico) donde x

1 = r, x

2 = 0. La transformación se muestra en el ejercicio 7.1 y resulta en términos de

dirección r dicho antes para la ecuación (7.4). La discretización de las ecuaciones de conservación en la forma de (7.104) o (7.110) son desarrolladas con rigor por Hirasaki y O'Dell (1970). Cuando el sistema es ortogonal, las transmisibilidades pueden ser calculadas a partir de conceptos geométricos intuitivos, definidos en la figura. 7.19:

208

Ya que, en general, T=λA/ΔL, donde A es un área transversal y L la distancia entre ΔL puntos del grid, se puede escribir inmediatamente:

Donde las cantidades pertinentes se definen en la figura.

Del mismo modo, el volumen poroso se define como:

Este enfoque fue utilizado por Sonier y Chaumet (1974), que además despreciaron la diferencia entre 𝐴(𝑖+1 2),𝑗 ; 𝐴𝑖,𝑗+1 2 y Aij. El moldeamiento de las diferencias finitas de los problemas de conducción de calor en

general y los sistemas coordenados curvilíneos ortogonales también es considerado por Schneider y compañía (1975). Como hemos visto anteriormente, las ecuaciones (7.111) y (7.112) sólo se aplican si el grid se deriva de un sistema de coordenadas ortogonales. (1975)Una forma conveniente de definir tal grid es a través de la solución de la distribución de flujo potencial con las fuentes y sumideros localizados en los pozos. Como es bien sabido, líneas equipotenciales y líneas de corriente de la solución son ortogonales entre sí (Lam, 1932). Posibles soluciones para muchas configuraciones de los pozos han sido publicadas (Muskat, 1937, Morel-Seytoux, 1966). El flujo actual en el yacimiento no seguirá las líneas de flujo potencial, debido a la posible solución se basa en la hipótesis de la permeabilidad y porosidad constante y flujo incompresible. Esto es de ninguna consecuencia, sin embargo, ya que la suposición de flujo potencial sólo se utiliza para la construcción del grid y no se opone al modelo numérico de simulación de flujo en el dirección perpendicular a las líneas del grid, que son las líneas de corriente del flujo potencial. Esto es un contraste con el modelo llamado ―tubo de Flujo‖ en el que desprecia la corriente de flujo cruzado entre las líneas.

209

El método de construcción de un rejilla que acabamos de describir ha sido sugerido por Sonier y Chaumet (1974), en la relación con la simulación de areas de flujo multifásico, pero puede ser utilizado igualmente bien para cualquier configuración de yacimiento. Un análisis más detallado de las redes curvilíneas se encuentra en Hirasaki y O'Dell (1970). Estos autores muestran que los errores importantes pueden producirse cuando un yacimiento inclinado es modelado arealmente por bloques, como se muestra en la figura 7.20a. Esto es porque el área de sección transversal en el término transmisibilidad se calcula de forma incorrecta. El grid debe ser construido de tal manera que las superficies coordenadas coinciden con la parte superior e inferior del yacimiento. Como se muestra por estos autores, este enfoque dará pequeños errores, aun cuando los términos de la derivada cruzada son despreciados por un grid que no es ortogonal, siempre y cuando todas las distancias se miden por la superficie y perpendicular a él (fig. 7.20b). Un grid que es aproximadamente ortogonal se puede construir de forma numérica, gráfica o por medio de una computadora analógica (Karplus, 1958). Uno de los problemas asociados con el grid es el cálculo correcto de las permeabilidades direccionales. Cuando la permeabilidad no es isotrópica, el tratamiento correcto requieren los términos los términos de las derivadas cruzadas, incluso si el grid es ortogonal. La deducción de los términos de la transmisibilidad es considerada en el ejercicio 7.2 para el caso del valor principal del tensor de permeabilidad kx y ky en las direcciones de las coordenadas cartesianas. La magnitud de la derivada cruzada es proporcional a (Kx-ky), pero el efecto de descuidar este término parece que no ha sido estudiada en la literatura. Como consecuencia, el uso del grid curvilíneo no se recomienda para problemas de un solo pozo de sección cruzada, donde la estratificación en capas es a menudo presente. Líneas del grid, en este caso debe seguir capas geológicas. En este tipo de problemas, el beneficio del grid curvilíneo sería pequeño, porque el patrón de flujo actual estará muy lejos de los flujos potenciales y grandes errores se introducirán a menos que los términos de las derivadas cruzadas se incluyan en las ecuaciones en diferencias finitas. Por otra parte, el grid curvilíneo puede ser muy eficaz en una situaciones areales ya que aporta beneficios adicionales para el flujo multifásico (Capítulo 9. Sección 9.7).

7.11 CONCLUSIONES DEL CAPITULO

Los contenidos abordados en este capítulo son importantes para el desarrollo de capítulos posteriores. Aunque el

flujo en una sola fase es de uso limitado en simulación, varias técnicas de flujo multifásico generan una serie de ecuaciones de tipo monofásico (IMPES, SEQ). La ecuación de presión monofásica es también resuelta en problemas miscibles y composicionales.

Por supuesto, las ecuaciones que describen los problemas monofásicos no son propias de la mecánica de yacimientos, y en consecuencia, existe abundante literatura en otras áreas relacionadas con su solución numérica, aunque no serían adecuadas, el lector debe ser consciente que ideas desarrolladas en otros avances de la física y la ingeniería pueden resultar productivas en la simulación de yacimientos.

210

CAMBIO DE COORDENADAS DE UN GRID CARTESIANO A UN GRID CURVILÍNEO (COORDENADAS POLARES)

Ejercicio 7.1 Expanda el término de la izquierda en términos de coordenadas polares (r-θ)

∇ λ ∇p − γ∇z = β∂p

∂t+ q … . (1)

7.1.1 Conceptos

La función fi definen la transformación del sistema Coordenado

xi = f i y1, y2 para i = 1,2.. … (2)

El nuevo sistema de coordenadas puede ser definido si el determinante de la transformación (Jacobiano) es diferente de cero:

𝜕𝑥𝑟

𝜕𝑦𝑠 =

𝜕𝑥1

𝜕𝑦1

𝜕𝑥2

𝜕𝑦1

𝜕𝑥1

𝜕𝑦2

𝜕𝑥2

𝜕𝑦2

≠ 0 … (3)

Si esto es así, la transformación se puede realizar.

El operador A, es el encargado de definir los nuevos valores en sistema curvilíneo para un grid que anteriormente es cartesiano.

𝐴 =𝜕

𝜕𝑦𝑖 𝜆

𝜕

𝜕𝑦𝑖 ≅

𝜕

𝜕𝑦1 𝜆𝜕

𝜕𝑦1 +𝜕

𝜕𝑦2 𝜆𝜕

𝜕𝑦2 … (4)

Expresando el operador A en coordenadas xi :

𝐴 ≅1

𝑔

𝜕

𝜕𝑥 1 𝑔𝑔11𝜆𝜕

𝜕𝑥 1 +𝜕

𝜕𝑥 2 𝑔𝑔22𝜆𝜕

𝜕𝑥 2 +𝜕

𝜕𝑥 1 𝑔𝑔12𝜆𝜕

𝜕𝑥 2 +𝜕

𝜕𝑥 2 𝑔𝑔21𝜆𝜕

𝜕𝑥 1 … (5)

Donde:

g es el determinante del tensor métrico gij

𝑔𝑖𝑗 =𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥 𝑗… (6)

𝑔 = 𝑔𝑖𝑗 . . (7)

𝑔𝑖𝑗 son los componentes del tensor métrico conjugado, los cuales pueden ser calculados como

𝑔𝑖𝑗 =𝐺𝑖𝑗

𝑔 . . (8)

Donde 𝐺𝑖𝑗 son los cofactores de 𝑔𝑖𝑗 en la matriz 𝑔𝑖𝑗

211

También pueden ser expresados más convenientemente (Mc Connell, 1957):

𝑔𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑦𝑘 . . (9)

Esta no requiere la función inversa de fi

El operador A envuelve los términos de la derivada. Sin embargo, estos términos podrían desaparecer para una importante clase de sistemas coordenados, llamado ortogonal.

Un sistema xi es llamado ortogonal si:

1. 𝑔𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 . . (10)

2. 𝑔𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 𝑔 = 𝑔11𝑔22𝑔33 𝑔𝑖𝑖 =1

𝑔𝑖𝑖 . . (11)

Para un sistema ortogonal A:

𝐴 ≡1

𝑔

𝜕

𝜕𝑥𝑖 𝑔𝑔𝑖𝑖𝜆

𝜕

𝜕𝑥𝑖 … (12)

𝐴 ≡1

𝑔

𝜕

𝜕𝑥1 𝑔𝑔11𝜆𝜕

𝜕𝑥1 +𝜕

𝜕𝑥2 𝑔𝑔22𝜆𝜕

𝜕𝑥2 . . (13)

7.1.2 Análisis Matemático

Notación

Sistema Rectangular: x,y equivale a y1, y

2

Sistema Curvilíneo equivale a x1, x

2

1. De acuerdo al sistema curvilíneo:

𝑥1 = 𝑟 𝑥2 = 𝜃

212

y1 = x = x1 cos x2 … . (14) y2 = y = x1sin x2 … . (15)

2. Verificar si es viable realizar el cambio de coordenadas

𝑔𝑖𝑗 =𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑘

𝜕𝑥 𝑗 . . (16)

𝑔 = 𝑔𝑖𝑗 … (17)

𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 1 𝑦 2 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑔𝑖 ,𝑗 = 𝑔1,1 𝑔1,2

𝑔2,1 𝑔2,2 … (17)

Posición 𝑔1,1:

𝑔1,1 = 𝜕 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜕𝑟

2

+ 𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝑟

2

= 𝑐𝑜𝑠𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 2 = 1 … (18)

Posiciones : 𝑔1,2 𝑦 𝑔2,1

𝑔1,2 𝑦 𝑔2,1 = 𝜕 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜕𝑟

𝜕 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜕𝜃 +

𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝑟

𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝜃

𝑔1,2 𝑦 𝑔2,1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∗ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 … . (19)

Posición 𝑔2,2:

𝑔2,2 = 𝜕 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜕𝜃

2

+ 𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝜕𝜃

2

𝑔2,2 = (−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)2 + (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑟2 . . (20)

3. Observe el determinante:

𝑔𝑖 ,𝑗 = 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2(𝜃) 0

0 𝑟2 ∗ (𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 ) = 𝑟2 … (21)

213

Como el determinante es diferente de cero, la conversión se puede hacer.

4. Ahora se aplican las condiciones:

Teniendo en cuenta que los coeficientes 𝐺𝑖𝑗 son los elementos conjugados de la matriz 𝑔𝑖𝑗 , se tiene que:

𝐺𝑖 ,𝑗 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 0

0 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 . . (22)

𝐺1,1 = 𝑔2,2 ; 𝐺2,2 = 𝑔1,1 (23)

Donde 𝐺𝑖 ,𝑗 es equivalente a las posiciones 𝑔𝑖 ,𝑗 de la inversa de la matriz y g el valor del determinante

𝑔1,1 =1

1= 1; 𝑔2,2 =

1

𝑟2 (24)

Aplicando lo anterior y reemplazando en la al factor A de conversión,

𝐴 ≡1

𝑟2 𝜕

𝜕𝑟 𝑟2(1)𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝑟 𝑟2(0)𝜆

𝜕

𝜕𝜃 +

𝜕

𝜕𝜃 𝑟2(0)𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝜃 𝑟2(1

𝑟2 )𝜆𝜕

𝜕𝜃 … (25)

𝐴 ≡1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝜃 𝑟(1

𝑟2 )𝜆𝜕

𝜕𝜃 … (26)

𝐴 ≡1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝜃

1

𝑟𝜆

𝜕

𝜕𝜃 … (27)

𝐴 ≡1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

1

𝑟2 𝜕

𝜕𝜃 𝜆

𝜕

𝜕𝜃 … (28)

Finalmente,

1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆

𝜕

𝜕𝑟 +

1

𝑟2 𝜕

𝜕𝜃 𝜆

𝜕

𝜕𝜃 = β

∂p

∂t+ q … 29

En fin, la expansión que plantea el ejercicio hace referencia a un cambio de coordenadas de un sistema ortogonal a un sistema curvilíneo en coordenadas polares.

Ejercicio 7.2 Derive la Expansión de: ∇ 𝜆∇𝛿Φ para un sistema de coordenadas cartesianas rotado por un ángulo θ

a los ejes principales del tensor 𝜆.

Considere dos sistemas: ―x, y‖ y ―X, Y‖; además, asuma que los ejes principales de 𝜆 están en las direcciones X y

Y.

214

1. Se desarrolla el gradiente en las direcciones de los ejes principales (X,Y)

∇ 𝜆∇𝛿Φ = 𝜆𝑥

𝜕Φ

𝜕𝑋 +

𝜕

𝜕𝑌 𝜆𝑦

𝜕Φ

𝜕𝑌 . . (1)

2. Se define la transformación de las coordenadas

x = Xcos θ + Ysen θ … (2)

y = Xsen θ + Ycos θ … (3)

Donde:

Aplicando regla de la cadena para calcular las derivadas en ―x‖ y ―y‖ para las derivadas externas e internas:

𝜕

𝜕𝑋=

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑋+

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑋= cos θ

𝜕

𝜕𝑥+ sen θ

𝜕

𝜕𝑦 … (4)

𝜕

𝜕𝑌=

𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑌+

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑌= −sen θ

𝜕

𝜕𝑥+ cos θ

𝜕

𝜕𝑦… (5)

Teniendo en cuenta el potencial:

𝜕Φ

𝜕𝑋=

𝜕Φ

𝜕𝑥 𝜕x

𝜕𝑋+

𝜕Φ

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑋= cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑥+ sen θ

𝜕Φ

𝜕𝑦… (6)

215

𝜕Φ

𝜕𝑌=

𝜕Φ

𝜕𝑦 𝜕y

𝜕𝑌+

𝜕Φ

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑌= −sen θ

𝜕Φ

𝜕𝑥+ cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑦… (7)

3. Aplicando lo calculado anteriormente en la ecuación 1.

∇ 𝜆∇𝛿Φ = cos θ 𝜕

𝜕𝑥+ sen θ

𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑥cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑥 + 𝜆𝑥sen θ

𝜕Φ

𝜕𝑦

+ −sen θ 𝜕

𝜕𝑥+ cos θ

𝜕

𝜕𝑦 −𝜆𝑦sen θ

𝜕Φ

𝜕𝑥 + 𝜆𝑦cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑦 … (8)

∇ 𝜆∇𝛿Φ = 𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑥cos2 θ + 𝜆𝑦sen2 θ

𝜕Φ

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑥sen2 θ + 𝜆𝑦cos2 θ

𝜕Φ

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑥sen θ cos θ − 𝜆𝑦 sen θ cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑦

+ 𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑥sen θ cos θ − 𝜆𝑦 sen θ cos θ

𝜕Φ

𝜕𝑥 … (9)

Agrupando términos semejantes:

𝜆𝑥𝑥 = 𝜆𝑥cos2 θ + 𝜆𝑦sen2 θ … (10)

𝜆𝑦𝑦 = 𝜆𝑥sen2 θ + 𝜆𝑦cos2 θ… (11)

𝜆𝑥𝑦 = 𝜆𝑦𝑥 = 𝜆𝑥sen θ cos θ − 𝜆𝑦 sen θ cos θ = 𝜆𝑥 − 𝜆𝑦 sen θ cos θ … (12)

Y sustituyendo:

∇ 𝜆∇𝛿Φ = 𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑥𝑥

𝜕Φ

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑥𝑦

𝜕Φ

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑦𝑥

𝜕Φ

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑦𝑦

𝜕Φ

𝜕𝑦 … (13)

216

CAPITULO 8

SOLUCION DE ECUACIONES MATRICIALES PENTADIAGONALES

8.1 INTRODUCCION

Algunos de los problemas discutidos en el capitulo anterior para dos dimensiones en un flujo de una sola fase pueden ser escritas de la siguiente manera:

𝜕

𝜕𝑥 λX

𝜕𝑈

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 λY

𝜕𝑈

𝜕𝑦 − 𝑞 + 𝑃

𝜕𝑈

𝜕𝑡 (8.1)

Donde λX, λY, q y P son funciones arbitrarias de x y y para problemas lineales. Para problemas no lineales algunos de estos coeficientes pueden también depender además de U. Las condiciones de los límites para la mayoría de los problemas en simulación de yacimientos son del tipo de Neumann, por ejemplo,

𝜕𝑈

𝜕𝑛= 0 (8.2)

Donde n es la dirección normal de la superficie del límite.

“figura 8.1a Ordenamiento estándar por filas (ó exponente i).

FIG. 8.1b Orden estándar por columnas (ó exponente j)”

217

Como fue discutido en el anterior capitulo, la discretización de los valores de los límites resultaron un problema en una determinada ecuación de diferencia finita de la siguiente forma

𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗−1𝑛 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛 + 𝑎𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗𝑛 + 𝑏𝑖𝑗 𝑢𝑖+1,𝑗

𝑛 + 𝑓𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗 +1𝑛 = 𝑑𝑖𝑗 (8.3)

La forma de la matriz de la ecuación de diferencias finitas depende del sistema de enmallado y del esquema usado para el orden de las ecuaciones. Para un enmallado uniforme como la mostrada en la figura 8.1 (a,b), los coeficientes están definidos por:

𝑔𝑖𝑗 = − ∆𝑥

∆𝑦 λ𝑌𝑖,𝑗−1/2

𝑐𝑖𝑗 = − ∆𝑥

∆𝑦 λ𝑋

𝑖−12 ,𝑗

𝑎𝑖𝑗 = − 𝑔𝑖𝑗 +𝑓𝑖𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 + 𝜑𝑖𝑗

𝑏𝑖𝑗 = − ∆𝑥

∆𝑦 λ𝑋

𝑖+12 ,𝑗

𝑓𝑖𝑗 = − ∆𝑥

∆𝑦 λ𝑌𝑖,𝑗+1/2

𝑑𝑖𝑗 = −∆𝑥∆𝑦𝑞𝑖𝑗 +𝜑𝑖𝑗 𝑢𝑖𝑗𝑛−1

𝜑𝑖𝑗 = ∆𝑥∆𝑦

∆𝑡 𝑃𝑖𝑗

Figura 8.2a. Forma de la matriz A para un orden estándar por las filas mostradas en la figura 8.1a.

Las entradas que son distintas de cero están indicadas por x. Por ejemplo, estas entradas para la novena fila: (i=3, j=2) son g3,2 ; c3,2 ; a3,2 ; b3,2 ; f3,2

Esto será conveniente usarlo después para poder definir también: 𝑎𝑥𝑖𝑗 = −(𝑐𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )

𝑎𝑦𝑖𝑗 = −(𝑔𝑖𝑗 + 𝑓𝑖𝑗 )

Notamos que si ∆x=∆y=h y P=λX=λY=1, los coeficientes toman los siguientes valores:

𝑔𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 = −1

218

𝑎𝑖𝑗 = 4 +𝑕2

∆𝑡

𝜑𝑖𝑗 =𝑕2

∆𝑡

Figura 8.2b. Forma de la matriz A para un ordenamiento estándar por columnas mostradas en la figura 8.1b.

Las entradas distintas de cero están indicadas por x. Por ejemplo, estas son las entradas para la decima fila: (i=3, j=2) son g3,2 ; c3,2 ; g3,2 ; a3,2 ; f3,2; b3,

La interpretación de los coeficientes en la ecuación (8.3) para un enmallado irregular han sido discutidas en detalle en el capitulo anterior. El ordenamiento estándar (Price y Coats, 1974) o natural de las incógnitas se obtiene si las incógnitas son ordenadas por líneas (filas ó columnas). Estos ordenamientos son mostrados en la Figura 8.1 y 8.1b (numerados de 1 a 24 puntos sobre la malla) y la forma de las matrices resultantes son mostradas en la figura 8.1a y 8.2b, respectivamente. La forma de las dos matrices muestra que el ordenamiento por columnas (dirección más corta) resulta ser en una matriz de ancho de banda pequeño. La matriz mostrada en la Fig. 8.2b muestra que la matriz puede ser dividida en un bloque de forma tridiagonal con bloques dentro de esta siendo la matriz de 6x6 (ó I x I) y el numero de filas en cada bloque de 4 (ó J). Similarmente, en la Fig. 8.2b podemos ver que las submatrices son de 4x4 (ó JxJ) y el número de filas de cada bloque son 6 (ó I). Notamos que todos los elementos de una misma fila tienen el mismo subíndice. Esta conveniente anotación fue introducida por Stone (1968) y Dupont et. Al (1968) y ha sido usada por muchos investigadores incluyendo a Settari y Aziz (1973). La solución para resolver la matriz puede ser escrita como:

Au=d (8.4)

219

Donde A es la banda de las matrices mostradas en las Figuras. 8.2. Para el ordenamiento mostrando en la figura

8.1b la forma del bloque tridiagonal es:

(8.5)

Donde Ai es una matriz tridiagonal de 4x4 y Ci y Bi son matrices diagonales de 4x4. La versión de la matriz del algoritmo de Thomas es discutida en el Capitulo 4 y puede ser aplicado aquí, pero esto resulta ser relativamente un ineficiente proceso para este problema, básicamente sería el equivalente a la eliminación de la banda.

Fig. 8.3 Red formada por más de un rectángulo

La matriz A de la figura 8.2 fue obtenida para una red donde la región es un rectángulo, por ejemplo, el número de

puntos del enmallado (grid points) en cada fila es I y en cada columna es J. Para una red del tipo como la mostrada en la figura 8.3 la forma resultante de la matriz será como se muestra en la figura 8.4. La matriz para este caso tiene un ancho de banda variable.

220

Figura 8.4 Forma de la matriz A para el ordenamiento mostrado en la Figura 8.3

Esto es posible para desarrollar métodos muy eficientes cuando las matrices sobre la diagonal son iguales entre sí y las matrices sobre la subdiagonal también sean iguales entre si. Un ejemplo de esto, es el método de la reducción de pares e impares y de la factorización desarrollada por Buzbee (1970). Sin embargo, métodos como este tipo no han encontrado su uso en la simulación de yacimientos cuando se tienen problemas difíciles de solucionar.

En este Capítulo consideraremos varios métodos para solucionar ecuaciones para varios tipos de matriz A. Hacia el

final de este capítulo serán proporcionadas algunas pautas acerca de la selección de un método adecuado para un problema dado. Nosotros nos limitaremos nuestra discusión a métodos de aplicabilidad general.

8.2 MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN

8.2.1 Factorización LUPara el tipo de matrices que son de interés en la simulación de yacimientos, es posible el

factor de una matriz de forma triangular inferior y superior como fue hecho para la matriz tridiagonal en el Capitulo 4. Esto muchas veces se refiere a la factorización LU (ver ecuación (4.7)). La principal desventaja de esta propuesta es que los ceros dentro de la bandas son tratados como distintos de cero y L + U es generalmente más completa que A, además esta no tiene una banda tan ancha. Para ser más precisos, las entradas distintas de cero en L + U son confinadas para la inversa de A. La inversa es

definida por la posición de los que están a la derecha del primer elemento diferente de cero en cada fila y debajo del primer elemento distinto de cero de cada columna. (Geroge and Liu, 1975).

El algoritmo para la descomposición LU puede ser derivada en la misma manera como derivamos el algoritmo de Thomas en el Capitulo 4, por ejemplo, multiplicando LU e igualando estos elementos con los elementos de A. Esto es muy engorroso. Por eso en vez de esto, la descomposición LU puede ser vista simplemente como una formalización de la clásica eliminación Gausiana (Faddeev and Faddeeva, 1963) realizada en la inversa de A. A

causa de su fundamental role, este proceso (a menudo llamado ―eliminación de banda‖) será descrita en detalle.

Considerar una matriz A de NxN con un ancho de banda B=2M+1. Esto significa que si A={aij} en la notación

estándar de una matriz, entonces

aij = 0 si |j – i| > M

221

Por ejemplo, para la matriz de la figura 8.2b, M=4. Las eliminaciones consisten en operaciones para transformar una

matriz de filas en una matriz triangular superior.

Por consiguiente el primer paso es formar la matriz A(1)

con ceros en la primera columna que esta debajo de la

diagonal principal:

𝑎𝑖𝑗(1)

= 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎1𝑗 𝑎𝑖1

𝑎11 j = 1,…, M+1

Para filas i = 2,…, M+1 (8.6)

𝑎𝑖𝑗(1)

=𝑎𝑖𝑗(1)

de otra manera

Si el proceso anteriormente descrito es continuado para la segunda y las posteriores ó subsiguientes columnas, la forma de la matriz A

(k-1) después el paso (k-1) será como se muestra en la figura 8.5 (izquierda). Entonces el paso

Késimo

esta definido por:

𝑎𝑖𝑗(𝑘)

= 𝑎𝑘𝑗(𝑘−1)

− 𝑎𝑘𝑗(𝑘−1)

𝑎𝑖𝑘(𝑘−1)

/𝑎𝑘𝑘(𝑘−1)

j = k,…, min (k + M, N)

Para filas i = k+1,…, min (k + M, N)

𝑎𝑖𝑗(𝑘)

= 𝑎𝑖𝑗(𝑘−1)

en otros lugares (8.7)

Figura 8.5. Izquierda: Matriz A(k-1)

después de los pasos k-1; Derecha, matriz A(N-1)

después de los pasos N-1.

Después del paso N-1, la matriz A es transformada a A(N-1)

=U. Nótese que nosotros no tenemos explícitamente formada la matriz L. En vez de eso, realizamos las mismas manipulaciones sobre el vector d de el lado derecho, en realidad calculamos g=L

-1d. Esto se hace calculando una secuencia de vectores d

(k) junto con A

(K) como

𝑑𝑖(1)

= 𝑑𝑖 − 𝑑1 𝑎𝑖1

𝑎11 i = 2,…, M+1

𝑑𝑖(1)

=𝑑𝑖 en otros lugares

: (8.7)

𝑑𝑖(𝑘)

= 𝑑𝑖(𝑘−1)

− 𝑑𝑖(𝑘−1)

𝑎𝑖𝑘(𝑘−1)

/𝑎𝑘𝑘(𝑘−1)

222

Para i= k +1,…, min (k+M,N)

𝑑𝑖(𝑘)

= 𝑑𝑖(𝑘−1)

en otros lugares

Entonces d(N-1)

=g y la solución final es obtenida resolviendo

Uu = g (8.9)

El trabajo necesario en términos de multiplicación de números es

𝑊 = 𝑁 − 2𝑀 + 1 [(𝑀 + 1)2 + 𝑀 +𝑀 𝑀−1 2𝑀−1

3+ 𝑀 𝑀 − 1 + 𝑀 + 2 −2 𝑀 − 9 (8.10)

Tal como se deriva en el ejercicio 8.1. Existen numerosas variantes de este proceso básico. Sólo unos pocos que son de importancia y prácticos se describen brevemente:

(a) Soluciones repetidas con una matriz constante. Si se desean resolver varios sistemas de Au=d donde sólo d es diferente, la eliminación hacia adelante se necesita llevar a cabo una sola vez, con tal que la banda inferior sea guardada. Si en la etapa K de los elementos de la banda inferior de la columna k no son reemplazados por ceros

entonces a continuación son precisamente los elementos necesarios para las operaciones definidas por la ecuación (8.8). Estos se logra si la ecuación (8.7) se lleva a cabo a partir de j=k+1. Las diferentes soluciones para d son entonces obtenidas por repetición de la aplicación de las ecuaciones (8.8) y (8.9). (b) Pivoteo. Obviamente, el proceso requiere que el elemento Akk

(k-1) de la diagonal sea diferente de cero.

Para minimizar los errores de redondeo, estos elementos deben ser lo más grandes posibles. Pivoteo significa que sobre cada etapa de eliminación buscamos la cantidad de elementos más largos dkk

(k-1), dk+1

(k-1), … y después

intercambiamos la fila con el mayor elemento de la fila k para maximizar el elemento diagonal. Además el pivoteo puede ser necesario para matrices mal condicionadas, esto usualmente no es requerido para generar matrices en simulación de yacimientos. Para detalles teóricos relacionados a los errores de redondeo, ver Wilkinson (1963). (c) La precisión de la solución puede ser incrementada mediante el cálculo de el vector residual R=Au-d y la

solución de una corrección A u=R como es descrito en (a). Esto es raramente necesario.

(d) Es posible llevar a cabo el proceso descrito anteriormente por columnas y no por filas, ó reducir la matriz a una diagonal en vez de una matriz de forma triangular superior. Tales métodos pueden resultar como un ahorro de almacenamiento de memoria en algunos casos. (e) Para una matriz simétrica uno puede utilizar una forma diferente del algoritmo de eliminación para hacer provecho y su simetría. Para matrices grandes el trabajo requerido es cercano a la mitad del trabajo requerido por el algoritmo estándar. (ver sección 4.2.3 del capítulo 4 y el ejercicio 8.2). Muchos algoritmos para la eliminación de la banda están disponibles en la literatura. Thurnau (1963) ha publicado uno de estos algoritmos con pivoteo en la columna. Esto, sin embargo, se comprobó que la columnas o fila con pivoteo es innecesario para los problemas de simulación de yacimientos. En el apéndice B es presentado un programa ―GBAND‖ para la solución de las ecuaciones de las bandas sin pivoteo. Este programa es basado en un algoritmo desarrollado por Gruska and Poliak (1967). Los algoritmos para las variables de un ancho de banda de matrices simétricas han sido publicadas por Jennings (1971) y Wilson (1975). Otros algoritmos se pueden encontrar en Schawarz (1968) y Wilkinson and Reinsch (1971).

8.2.2 Ordenamiento de Ecuaciones

Como se mencionó anteriormente, la forma de la matriz depende del ordenamiento de las incógnitas. En esta sección presentaremos una breve descripción de algunos de los esquemas comunes de ordenamiento. Varios esquemas de ordenamiento han sido discutidos por Woo (1973), Price y Coats (1974), y McDonald y Trimble (1977). Algunos de estos esquemas son presentados en las figuras 8.6 a la 8.8 con los coeficientes de las matrices resultantes. En la siguiente sección mostraremos como uno puede tomar ventaja del ordenamiento para ahorrar tiempo y almacenamiento en el computador.

8.2.3 Técnicas para matrices dispersas.

Ya hemos visto que las matrices que surgen en los problemas de simulación de yacimientos son tales que la mayoría de los elementos son ceros. Tales matrices son conocidas como matrices dispersas y ellas surgen en una amplia gama en áreas de aplicación (Rose y Willoughby, 1972).

En esta sección algunas técnicas consideradas aprovechan las características de una matriz dispersa. Estos son dos pasos que hacen que se involucre la aplicación de técnicas para una matriz dispersa (Woo, 1973)

1. Ordenar ecuaciones para reducir el tamaño de la inversa de A

223

2. Solucionar las ecuaciones resultantes mediante el uso de una eficiente eliminación Gausiana ó un algoritmo de factorización que eviten la operación sobre los cero.

Hemos visto en la anterior sección como la inversa de A cambia con el ordenamiento de las ecuaciones. Muchas

estrategias para reducir la inversa de la matriz han sido revisadas por Cuthill (1972), George (1973) y Price and Coats (1974). Para una matriz simétrica positiva se define (n+1) x (n+1),

Figura 8.6 a . Ordenamiento en 2D.

Figura 8.6 b. Matriz A para un ordenamiento en 2D.

A, George ha mostrado que con una factorizacion simetrica estandar y ordenamiento estandar O(n4) todas las

operaciones aritméticas son requeridas, y el almacenamiento es requerido O(n3). Al re-ordenar las ecuaciones,

George muestra que la misma factorizacion estandar puede ser lograda en operaciones O(n3) con sólo situaciones

de almacenamiento O(n2log2n).

Este resultado un tanto sorprendente nos da la motivacion para el ordenamiento de las ecuaciones de una matriz para reducir el trabajo y el almacenamiento.

La matriz A ha sido considerada aquí como diagonalmente dominante y asimetrica con una simetria a la matriz frecuencia M (Todd, 1962). La matriz frecuencia M es definida por

mij = 1 if aij ≠ 0

mij = 0 if aij = 0

224

Figura 8.7 a. Ordenamiento 4D.

Figura 8.7 b. Matriz A para el ordenamiento en 4D.

225

Figura 8.8 a. ciclo-2 ordenamiento.

Figura 8.8 b. Matriz A para el ordenamiento de 2-ciclos.

Price y Coats (1974) han demostrado que para las matrices de este tipo el trabajo requerido por la eliminación de

Gaussiana es

𝑾 = 𝑾𝒊 + 𝟏 𝟐 + 𝑾𝒊 𝑵𝒊=𝟏 (8.11)

y los correspondientes requisitos de almacenamiento mínimo son:

𝑆 = 𝑊𝑖𝑁𝑖=1 (8.12)

226

Donde N es el número total de incógnitas y wi es el número de entradas diferentes de cero en la i-ecima fila para la diagonal de la derecha, en la i-ecima etapa de eliminación. Los esquemas de ordenamiento son seleccionados para

reducir el trabajo mediante la siguiente reducción 𝑊𝑖2𝑁

𝑖=1 . Tales esquemas son llamados esquemas de

ordenamiento para la escasez de conservación y pueden ser divididos en dos caleses. (1) Esquemas de matriz bandeada, y (2) esquemas de ordenamiento pseudo-optimo.

Esquemas de matriz bandeada: los esquemas a este nivel de rendimiento con una matriz con entradas restringidas diferentes de cero a una banda relativamente estrecha de una de las diagonales (parte superior izquierda hacia abajo a la derecha, o hacia la derecha superior a la inferior izquierda). En esta sección se resumirán los resultados presentados por Price y Coats (1974). Para problemas de dos dimensiones podemos reescribir la ecuación (8.10) para el trabajo de la eliminación gaussina estándar en términos del número total de los puntos del enmallado en la dirección x(i) y el número total de los puntos del enmallado en la dirección y(j). Desde N=IJ y M=J la siguiente aproximación es válida para grandes I y J (J<I):

𝑊1 ⋍ 𝐼𝐽3 (8.13)

el requisito del almacenamiento correspondiente es

𝑆1 = 𝐼𝐽2 (8.14)

para la D2 se muestra en la figura 8.6 y para grandes I y J el trabajo y almacenamiento requerido son:

𝑊2 = 𝐼𝐽3 −𝐽4

2 (8.15)

y

𝑆2 = 𝐼𝐽2 −𝐽3

3 (8.16)

Para I=J este esquema requiere medio d etrabajo y dos tercios de almacenamiento como del ordenamiento estandar.

Para el ordenamiento D4 de la figura 8.7 para grandes I y J son:

𝑊3 =𝐼𝐽3

2−

𝐽4

4 (8.17)

𝑆3 =𝐼𝐽2

2−

𝐽3

6 (8.18)

para I=J este esquema requiere un cuarto de trabajo y un tercio de almacenamiento del ordenamiento estandar. Los estimados para el ordenamiento del ciclo 2 de la Figura 8.8 son:

𝑊4 =𝐼𝐽3

2 (8.19)

𝑆4 =𝐼𝐽3

2 (8.20)

Esto es claro que el esquema de la diagonal 4 proporciona grandes ventajas. Price and Coast han computado la relacion W3/W1 para varios valores de I y J (sin asumir la amplitud de I, J). Estos resultados son las bases para la Figura 8.9, las cuales muestan la posible mejora utilizando el ordenamiento de la diagonal 4 como una función de I y la relacion I/J. Note que la mejora es notable cuando J=I, es decir para un enmallado cuadrado.

Habiendo resumido los resultados, ahora mostraremos en detalle la implementacion del ordenamiento de la diagonal 4. Esto será tambien ayuda a clarificar la sencilla idea detrás de todos los metodos de ordenamiento.

Empezando con la matriz de la figura 8.7b, observamos la ecuacion de la matriz puede ser particionada como

𝑨𝒖 = 𝑨𝟏 𝑨𝟐

𝑨𝟑 𝑨𝟒

𝒖𝟏

𝒖𝟐 =

𝒅𝟏

𝒅𝟐 (8.21)

Donde A1 y A4, son diagonal, y A2 y A3 son matrices dispersas. Como un primer paso, realizan la eliminacion hacia adelante sobre la media mitad de A, que transformaran A3 en una matriz nula, es decir

227

𝐴 = 𝐴1 𝐴2

0 𝐴4 𝑑

= 𝑑1

𝑑2

Note que A1 y A2 y d1 no cambiaron, mientras que A4 ha sido cambiado en una matriz 𝑨𝟒

Figura 8.9. comparacion de trabajo para D4 y ordenamiento estandar.

Para nuesto ejemplo, la estructura de la matriz 𝑨 es mostrada en la figura 8.10, donde las entradas resultantes desde el llenado son denotados por circulos. Esto es importante para notar que el maximo ancho de banda de la matriz A4 es el mismo como para el de la matriz original A. Nosotros podemos ahora resolver la ecuación para la media parte

inferior.

𝐴4 𝑢2 = 𝑑2

(8.22)

Independientemente mendiante una eliminacion de banda estandar. Despues u2 de que ha sido obtenido, u1 puede

ser computado facilmente por la sustitucion hacia atrás.

𝑈1 = 𝐴1−1𝑑1 − 𝐴1

−1𝐴2𝑈2 (8.23)

Ya que A1 es diagonal. De esta manera, hemos reducido el problema del tamaño de la matriz mediante un

ordenamiento adecuado en la mitad. Esto se ve facilmente desde la ecuacion (8.13) para la eliminación de banda ya que el trabajo de la mitad de las incognitas serán reducidas mediante un factor de dos para un ancho de banda constante de una matriz.

Aunque es no aparente desde nuestro ejemplo, la matriz A4 tendrá una ancho de banda variable para una amplia I y J con el maximo igual a el ancho de banda de la matriz original. Esto causa además una reducción en el trabajo y esta reducción es amplia para I = J.

228

Figura 8.10. matriz transformada para ordenamiento D4.

Para un amplio I=J este fenomenobrinda otro factor de 2 en la reduccion del trabajo, la relación de trabajo general

tiende a 1 / 4. el ahorro de almacenamiento se deduce de la misma manera.

Esquemas de ordenamiento pseudo-optimo: PRICE y COATS (1974) han considerado tres regímenes descritos por TINNEY y WALKER (1967) para la optimización de la matriz dispersa por eliminación gaussiana. Aunque estos esquemas se consideran más eficientes que los esquemas de matriz bandeada. Price y Coats han demostrado que aunque un ahorro sustancial en el trabajo de más de D4 son posibles para i = j, lo mismo no es cierto cuando I es 2J o 3J. Estos esquemas presentan considerables problemas de programación.

Este tipo de esquemas requieren una fuerte investigación y no serán considerados en este libro. Algunas publicaciones son: Brayton et al. (1970), Gustavson y Hachtel (1973), Woo et al. (1973) y Gustavson (1975).

8.3 MÉTODOS ITERATIVOS.

A menudo es más económico en términos de trabajo de computador y almacenamiento hacer problemas por métodos iterativos en lugar de una técnica de eliminación directa. En esta sección se proporcionan los conceptos básicos de los métodos iterativos y algunos de los métodos seleccionados. Existen algunos excelentes libros que tratan este tema y por esta razón no serán tratados en detalle. Los libros de Varga (1962) Wachspress (1966) y de Young (1971) son de especial interés para el lector.

Los métodos que se consideran pueden ser divididos en dos categorías amplias: (1) punto iterativo, y (2) bloque iterativo. Métodos de punto iterativo no implican cálculos de matrices y su aplicación a los problemas de simulación de yacimientos se limita a los casos relativamente simples. Los métodos de bloque iterativo involucran la solución simultánea de un bloque de ecuaciones que son fáciles de resolver. Aunque solo el método de bloque iterativo requiere cálculos de la matriz. Ambos métodos deben ser escritos en forma de matriz para su análisis. Algunos resultados básicos de la teoría de los métodos iterativos se presentaran antes de discutir los métodos actuales. Vamos a considerar una ecuación de matriz de la forma.

Au = d (8.24)

229

Donde el coeficiente de la matriz A puede ser asumido de la forma de la ecuación (8.5). Algunos esquemas iterativos para este problema puede ser expresado como.

𝑢𝑣+1 = 𝐵𝑢𝑣 + 𝑏 (8.25)

Donde la matriz B y el vector b dependerán de la solución del problema y el método de iteración. Si B es independiente de v entonces el esquema iterativo es llamado estacionario.

Un esquema de iteración es convergente si.

lim𝑣→𝛼 𝑢𝑣 = 𝑢 (8.26)

Donde u es la solución exacta de la ecuación (8.24) obviamente es necesario (pero no suficiente) para la convergencia de un esquema que se cumpla la condición.

𝑢 = 𝐵𝑢 + 𝑏 (8.27)

Ahora bien, definimos el error en la diversas etapas de iteración como.

휀𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑢 (8.28)

Restando la ecuación 8.27 de la 8.25 y sustituyendo en la ecuación 8.28 vemos que:

휀𝑣+1 = 𝐵휀𝑣 (8.29)

En términos del error del vector inicial e(0)

휀𝑣 = 𝐵𝑣휀𝑜 (8.30)

Con el fin que la ecuación 8.25 sea convergente ƹ(v)

debe acercarse a 0 por arbitrario ƹ(0)

esto implica que ∥ 𝐵𝑣 ∥ debe acercarse a cero (cf. Apéndice A).

Teorema: esquema de iteracion

𝑢𝑣+1 = 𝐵𝑢𝑣 + 𝑏 (8.31)

Converge si y solo si

𝜌 𝐵 < 1

La tasa de convergencia tambien se relaciona con 𝜌 𝐵 . La relación de la norma del error de el nivel (v9 en el nivel

(0) se obtiene de la ecuacion 8.30.

∥휀𝑣∥

∥휀𝑣∥≤∥ 𝐵𝑣 ∥ (8.32)

Y ∥ 𝐵𝑣 ∥sirve como una comparacion de lo sdiferentes metodos iterativos.

Definicion (Vargas, 1962,p.62): sean B1 Y B2 dos matrices entonces si para algunos enteros positivos v, ∥ 𝐵1𝑣 ∥< 1.

entonces

𝑅 𝐵1𝑣 = −𝑙𝑛 ∥ 𝐵1

𝑣 ∥ 1/𝑣 =−𝑙𝑛 ∥ 𝐵1

𝑣 ∥

𝑣

Es la tasa promedio para la convergencia de v iteraciones de la matriz B1. Si

𝑅 𝐵1𝑣 < 𝑅 𝐵1

𝑣

Entonces B2 es iterativamente más rápida que B1 para v iteraciones.Otro resultado util es el que se indica en el teorema:

230

Teorema (Vargas, 1962, p. 67): Para una matriz convergente B

lim𝑣⟶𝛼

𝑅 𝐵𝑣 = −𝑙𝑛𝜌 𝐵 = 𝑅𝛼(𝐵)

Donde 𝑅𝛼(𝐵) es la asintota de la tasa de convergencia. Un colorario del resultado anterior es el siguiente:

Para algunos enteros positivos v para cada ∥ 𝐵𝑣 ∥< 1

𝑅𝛼 𝐵 ≥ 𝑅 𝐵𝑣

8.3.1 Metodo De Jacobi

La i-ésima ecuacion en 8.3 puede ser reorganizado de la forma.

𝑢𝑖𝑗𝑛 = −

1

𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑗 𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗−1𝑛 + 𝑏𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗+1

𝑛 + 𝑓𝑖𝑗 𝑢𝑖+1,𝑗𝑛 + 𝑑𝑖𝑗 (8.33)

Donde los terminos conocidos en el mismo nivel de tiempo y las condiciones de origen se han combinado en la forma matricial de estas ecuaciones tambien incluye valores de frontera conocidos de u. Ya que todos los terminos u en la ecuación se encuentran en el nivel n, no vamos a escribir este exponente en la mayoria de la discusion a seguir. Ya que no conocemos todos los valores de u en el lado derecho de la ecuacion 8.33 es natural para tratar el esquema de la siguiente iteracion.

𝑢𝑖𝑗𝑣+1 = −

1


𝑣 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗−1𝑣 + 𝑏𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗+1

𝑣 + 𝑓𝑖𝑗 𝑢𝑖+1,𝑗𝑣 + 𝑑𝑖𝑗

𝑣 = 0,1,2, … (8.34)

Este es el metodo de Jacobi.

La iteracion comienza con (v=0) y asumiendo algunos valores de u(0)

y continua hasta:

∥ 𝑢𝑣+1 − 𝑢𝑣 ∥< 𝑒 (8.35)

Donde e es la tolerencia aceptable. Un criterio de convergencia diferente puede ser definido como:

∥𝑢𝑣+1−𝑢𝑣∥

∥𝑢𝑣∥< 𝑒 (8.36)

desafortunadamente el anterior criterio puede ser engañoso ya que no se indica como fue calculada en realidad la solución que corresponde a la ecuación original. Si 𝜌 𝐵 es solo ligeramente inferior a la unidad, entonces el cambio

de u(v)

entre dos iteraciones sera muy pequeño, aunque esta lejos de u. otro enfoque es considerar el vector residual y ver si cumple:

∥ 𝐴𝑢𝑣 − 𝑑 ∥< 𝑒 (8.37)

este criterio tambien puede fallar si la matriz esta mal condicionada para los problemas transitorios un valor conveniente de los vectores fijos se obtiene a partir de:

𝑢𝑜 = 𝑢𝑛−1

la matriz B de iteracion para el metodo Jacobi puede ser derivada por escrito.

𝐴 = 𝐷 − 𝐿 − 𝐻

donde D es la matriz diagonal que contiene los elementos de la diagonal de A, L y H son estrictamente inferior y superior de matrices triangulares.Ahora podemos escribir la ecuacion 8.24 como:

𝐷 − 𝐿 − 𝐻 𝑢𝑛 = 𝑑 (8.38)

231

y la ecuacion 8.33 como:

𝑢𝑛 = 𝐷−1 𝐿 + 𝐻 𝑢𝑛 + 𝐷−1𝑑 (8.39)

el metodod de Jacobi en forma de matriz es:

𝑢𝑣+1 = 𝐷−1 𝐿 + 𝐻 𝑢𝑣 + 𝐷−1𝑑 (8.40)

O

𝑢𝑣+1 = 𝐵𝐽𝑢𝑣 + 𝑏

donde BJ= D-1

(L + H). los valores propios de esta matriz puede ser expresada en términos de los elementos de D, H y L para algunos casos simples para ver si 𝜌 𝐵 < 1 (ejercicio 8.3)

8.3.2 Metodo de Gauss-Seidel

Este método difiere del método de Jacobi sólo en el hecho de que los valores más recientes disponibles de la U se

utilizan en la banda derecha de la ecuación 8.34. Por ejemplo, si usamos orden natural 𝑈𝑖−1𝑣+1 y 𝑈𝑗−1

𝑣+1 se sabe cuando

estamos resolviendo para 𝑈𝑖𝑗𝑣+1. Por lo tanto, podemos escribir.

𝑢𝑖𝑗𝑣+1 = −

1


𝑣+1 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗−1𝑣+1 + 𝑏𝑖𝑗 𝑢𝑖 ,𝑗+1

𝑣+1 + 𝑓𝑖𝑗 𝑢𝑖+1,𝑗𝑣+1 + 𝑑𝑖𝑗

𝑣 = 0,1,2, … (8.42)

Este metodo es mas facil de programar que el metodo de Jacobi y su tasa de convergencia es tambien mas rapida. El proceso de iteracion comienza y termina exactamente de la misma manera y forma que el metodo de Jacobi.

La ecuación puede ser escrita en la forma de la ecuacion 8.25

𝑢𝑣+1 = 𝐵𝐺𝑆𝑢𝑣 + 𝑏 (8.43)

Donde 𝐵𝐺𝑆 = 𝐷 − 𝐿 −1𝐻. SI 0 < 𝜌 𝐵𝐽 < 1, entonces 𝑅𝛼 𝐵𝐺𝑆 > 𝑅𝛼 𝐵𝐽 (Stein-Rosenberg Teorema; Varga, 1962,

p.70).

8.3.3 Metodo de Relajacion (SOR)

El metodo de Gauss-Seidel ecuacion 8.42, no hace uso de el valor de 𝑈𝑖𝑗𝑣 en la informatica 𝑈𝑖𝑗

𝑣+1 si designamos

𝑈𝑖𝑗𝑣+1 para calcular la ecuacion 8.42 como 𝑈𝑖𝑗

∗(𝑣+1)entonces una posible mejora en el proceso de iteración se puede

obtener mediante la ponderación de:

𝑢𝑖𝑗𝑣+1 = 1 − 𝜔 𝑢𝑖𝑗

𝑣 + 𝜔𝑢𝑖𝑗∗(𝑣+1)

(8.44)

Ahora podemos preguntarnos: ―¿es posible encontrar un factor de ponderación w de modo que la tasa de convergencia de este método es mejor que la del método de Gauss-Seidel?‖ A fin de responder esta pregunta la ecuación 8.44 debe estar escrita en función de la ecuación 8.25

𝑢𝑣+1 = 𝐵𝑆𝑂𝑅𝑢𝑣 + 𝑏 (8.45)

Donde

𝐵𝑆𝑂𝑅 = 𝐷 − 𝜔𝐿 −1 1 − 𝜔 𝐷 + 𝜔𝐻 (8.46)

la tasa de convergencia de el metodo SOR depende de el valor de w y de la ordenacion de las incognitas. Todos los ordenamientos considerados en este capitulo se llaman consistentes (para una discusion detallada de esta propiedad ver Varga, 1962 y Young 1971). Para un optimo ordenamiento consistente el valor de w es denotado como wb y se obtiene por:

232

𝝎𝒃 =𝟐

𝟏+ 𝟏−𝝆𝟐 𝑩𝑱

= 𝟏 + 𝝆𝑩𝑱

𝟏+ 𝟏+𝝆𝟐 𝑩𝑱

𝟐

(8.47)

Tambien

𝜌 𝐵𝐺𝑆 = 𝜌2 𝐵𝐽 (8.48)

Varga (1962, p. 112) proporciona la siguiente estimacion de la asintota de la tasa de convergencia.

𝑹𝜶 ≃ 𝟖 𝑹𝜶𝑩𝑱 𝟏/𝟐

(8.49)

Las matirces de 2-ciclos ocurren naturalmente en muchos problemas de simulacion de yacimientos( ver Fig. 8.7b), la

mejora en la tasa de convergencia respecto a los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel se complica cuando 𝜌 𝐵𝐽 es

cercano a 1. Se considera por ejemplo un caso donde 𝜌 𝐵𝐽 = 0.9999 entonces

𝑅𝛼 𝐵𝐽 ≃ 0.0001

𝑅𝛼 𝐵𝐺𝑆 ≃ 0.0002

𝑅𝛼 𝐵𝑆𝑂𝑅 ≃ 0.0283 (𝑐𝑜𝑛 𝜔𝑏

Los resultados anteriores indican que el método de Gauss-Seidel requiere aproximadamente 100 veces el número de iteraciones que requiere el método SOR para una precisión comparable.

En la práctica es a menudo difícil encontrar el valor óptimo de w la Figura 8.11 muestra cómo 𝜌 𝐵𝑆𝑂𝑅 se ve afectado

por el valor de w. Esta figura muestra que la sobre-estimación de w por una pequeña cantidad no es tan mala como la subestimación de w por una cantidad similar.

Figura 8.11. radio espectral de 𝑩𝑺𝑶𝑹

233

Un valor óptimo aproximado de W puede ser obtenido de algunos de los métodos descritos en los libros de Varga (1962), Reid (1966), y Hageman y Kellogg (1968).

Uno de los métodos más comunes utilizados para la estimación de W, es el método de alimentación. En este método

de iteraciones se realizan con w = 1 (Gauss-Seidel) y la relación de los elementos correspondientes de 𝛿(𝑣+1) y en

donde 𝛿(𝑣)

𝜹𝒗 = 𝒖𝒗+𝟏 − 𝒖𝒗 (8.50)

Para un gran número de iteraciones esta proporción se aproxima a 𝜌 𝐵𝐺𝑆 y puede ser utilizado en la ecuación 8.47 para estimar 𝜔𝑏 . Particularmente una variación del método de alimentación consiste en iteraciones con una sub-

óptima 𝜔 para encontrar el 𝜔𝑏 . Este método se describe a continuación (Young, 1971):

𝛿(𝑣)es definido por la ecuacion 8.50 y

𝜃𝑣 =∥ 𝛿𝑣+1 ∥𝛼/∥ 𝛿𝑣 ∥𝛼 (8.51)

Entonces el radio espectral de la matriz Jacobi puede ser estimado por:

𝜌𝐵𝐽 ≃ 𝜃 + 𝜔 − 1 / 𝜔𝜃1/2 (8.52)

Donde 𝜔 es el valor estimado de 𝜔𝑏 utilizados en la generación de 𝑈𝑣 y 𝜃 es el valor estabilizado de 𝜃 de la ecuación

8.51 si 𝜔 ≥ 𝜔𝑏 entonces el valor 𝜃𝑣 oscilara. En este caso 𝜔 debe ser reducido hasta que converja 𝜃𝑣 .

Wachspress (1966, p. 109) ha dado tres métodos prácticos para el cálculo de W y también analiza las ventajas y desventajas de estos métodos. El tercer método propuesto por Wachspress debe ser considerado cuando los dos métodos descritos anteriormente demuestran ser insuficientes.

8.3.4 Método SOR línea y bloque

El poder real del método SOR para la simulación de yacimientos se encuentra en su aplicación como una línea de SOR (LSOR) o bloquear SOR (BSOR) método. el método puede ser desarrollado escribiendo la matriz A de la forma de la ecuación 8.5. Veamos un ejemplo sencillo

𝐴1 𝐵1 0𝐶2 𝐴2 𝐵2

0 𝐶3 𝐴3

𝑢1

𝑢2

𝑢3

=

𝑑1

𝑑2

𝑑3

(8.53)

SOR ahora se puede aplicar a elementos del bloque de la siguiente manera.

El primer paso para resolver 𝑈1𝑣+1

𝐴1𝑈1∗ = −𝐵1𝑢2

𝑣 + 𝑑1 (8.54a)

𝑈1𝑣+1 = 𝜔𝑢1

∗ + 1 − 𝜔 𝑢1𝑣 (8.54b)

Seguido por el calculo de 𝑈2𝑣+1

𝐴2𝑈2∗ = −𝐶2𝑢1

𝑣+1 − 𝐵2𝑢3𝑣 + 𝑑2 (8.55a)

𝑈2𝑣+1 = 𝜔𝑢2

∗ + 1 − 𝜔 𝑢2𝑣 (8.55b)

Y finalmente 𝑈3𝑣+1 es calculado por

𝐴3𝑢3∗ = −𝑐3𝑢2

𝑣+1 + 𝑑3 (8.56a)

𝑈3𝑣+1 = 𝜔𝑢3

∗ + 1 − 𝜔 𝑢3𝑣 (8.56b)

Para este ejemplo en particular, el proceso de arriba involucra la solución de tres ecuaciones de matrices tridiagonales para cada iteración. La generalización de este método para ecuaciones con más de tres celdas debe ser obvia.

234

Como cada partición de la matriz A corresponde a una fila de variables desconocidas, esta fila es resuelta simultáneamente durante la iteración, lo cual le da este nombre al método. El valor óptimo del parámetro ωb de cada iteración puede ser estimado por métodos descritos por el método de SOR. El método de SOR es una forma más general del método de LSOR. Este involucra la consideración de más de una celda (dice 2 o 3 como un bloque simple). La convergencia de las propiedades del método de SOR mejora. En tanto, el tamaño del bloque involucrado en la eliminación directa es aumentado, pero el trabajo para desarrollar cada paso de iteración también aumenta. Estos métodos pueden ser eficientes cuando el problema permite el ahorro de todos los bloques invertidos (en nuestro ejemplo la matriz inversa Ai

-1) en la memoria del computador.

Finalmente resaltamos que las celdas del método de SOR pueden ser escogidas arbitrariamente y no tienen que ser organizadas por líneas o planos aunque esto es usualmente la elección más conveniente. 8.3.5 Métodos de Corrección Aditiva

Estos métodos están basados en la idea de que la aplicación de alguna corrección aditiva a los valores calculados por cada esquema iterativo en algún nivel de iteración (ѵ) puede acelerar la convergencia del esquema de iteración. Hay varios métodos derivativos para el factor de corrección aditivo y estos son discutidos en los papers por Poussin (1968), Watts (1971, 1973), Azis y Settari (1972) y Settari y Azis (1973). Los dos papers escritos por los autores de este libro incluyen una discusión de Poussin y los métodos de Watts. Aunque este enfoque básico es aplicable a cualquier esquema de iteración, las ventajas de este enfoque han sido demostradas únicamente cuando es aplicado a alguna forma del método de SOR. Watts o método 1DC. El método más simple para encontrar la corrección aditiva que es debido a Watts (1971). Esto

será referido aquí como el método de corrección unidimensional (1DC) por razones que se harán más claras más tarde. Asumamos que hemos obtenido la solución u

(ѵ) después de ѵ iteraciones con LSOR. Nuestro objetivo es aplicar una

corrección a u(ѵ)

por lo que el valor es ―más cercano‖ a la solución en algún sentido. Este valor corregido puede entonces ser usado como el punto de inicio para la iteración (ѵ+1). La corrección es aplicada como:

jij (v)

ij

(vc) uu i=1,2,…., I (8.57)

j=1,2,…., J

Por ejemplo un valor diferente de corrección es agregado a los elementos a lo largo de cada celda en la dirección x. La formulación con líneas escogidas en la dirección y es completamente análogo. Las ecuaciones para j son derivadas por forzar la suma de los residuales a lo largo de toda la celda en la dirección

x a ser cero cuando (vc)u es sustituida en la ecuación residual para u

(ѵ) :

ij

v

jiij

v

jiij

v

ijij

v

jiijijij dufubuaucug

)(

1,

)(

,1

)()(

,1

(v)

1-ji,

(v)R (8.58)

La condición sobre los residuales puede ser escrita como:

I

J1,2,....,j para 1

)( 0i

vc

ijR (8.59)

Lo que resulta en la siguiente ecuación para el vector de corrección α:

J 1,2....,j g 11

)(

x

j

x

j

x

jj

x

jj

x

j Rfh (8.60)

Donde

I

1

ijij )cb(i

ij

x

j ah

Y similarmente sobre escribir ―x‖ sobre las otras variables indica la sumatoria de las mismas varias para todo i. Por ejemplo:

I

1

i

ij

x

j gg

Las ecuaciones para α (ecuación 60) puede ser escrita en forma de matriz como:

xx RS (8.61)

Donde

xSes una matriz simétrica tridiagonal donde:

x

j

x

j fg 1

235

La matriz Sx

está definida positiva. Por lo tanto la ecuación (8.61) tiene una única solución. El procedimiento para usar este método es el siguiente: 1. Desarrollar l iteraciones con LSOR o algún otro esquema iterativo 2. Calcular el valor de α con la ecuación (8.61) 3. Aplicar la corrección por la ecuación (8.56) para el último valor de u. 4. Ir al paso (1) y repetir este proceso hasta que se obtenga la convergencia. Nótese que aunque la dirección de líneas para la corrección residual es arbitraria, su elección afectará la convergencia. Por ejemplo, con LSOR es natural (y mejor) usar la misma dirección de líneas para corrección como para la iteración LSOR. Método de corrección para dos dimensiones. Este método es descrito en detalle por Aziz y Settari (1972) y Settari y Aziz (1973). Es una extensión natural del método previo e involucra dos vectores de corrección α y β.

j

.

.

.

2

1

j

.

.

.

2

1

(8.62)

Y la solución corregida para cada punto del grid es obtenido de:

J1,2,....,j

I1,2,....,i uu (v)

ij

(vc)

jjij

(8.63)

Las ecuaciones apropiadas por α y β son derivadas de forzar la suma de los residuales para cada línea en ambas direcciones a cero simultáneamente. Esto resulta en una complicada matriz de ecuaciones para α y β. Una aproximación adecuada es obtenida al resolver dos sistemas independientes de ecuaciones:

xx RS (8.64)

yy RS (8.65)

Donde una celda arbitraria de la segunda puede ser escrita como:

c 11

)( y

ii

y

ii

y

ii

y

i Rbh (8.66)

Donde:

J

1

ijij )fa(j

ij

y

i gh

Y sobre escribir ―y‖ indica la sumatoria sobre j. Notemos que dos sistemas de ecuaciones tridiagonales (8.64) y (8.65) deben ser resueltos para obtener los vectores de corrección. El método aproximado dado por estas ecuaciones se convierten en exactos para un problema elíptico, por ejemplo si P=0 en la ecuación (8.1). Otros métodos.

Una generalización de los métodos de arriba, donde la corrección está hecha sobre las regiones de forma arbitraria, es postulada y formulada en Settari y Aziz (1973). Por ejemplo, uno de esos métodos (Método Slot) fue propuesto por Poussin (1968) y está basado en la idea de forzar la suma de los residuales a cero sobre una región en dos dimensiones (SLOT). No presentaremos detalles de este método aquí; sin embargo, compararemos este con otros métodos en la parte final del capítulo.

236

8.3.6 Métodos Iterativos Implícitos de dirección alternativa (ADI)

Una clase de métodos conocido como métodos no iterativos de dirección alternativa ya han sido discutidos en el capítulo anterior. Estos métodos están cercanamente relacionados a la forma de ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección presentamos algunos métodos de dirección alternativa que pueden ser aplicados a las ecuaciones de diferencias finitas de la forma de la ecuación (8.25). Estos métodos son discutidos en varios libros (por ejemplo Varga, 1962; Wachspress, 1966; Ames, 1969; Young, 1971); aquí únicamente presentamos una breve discusión del método original de Peaceman y Rachford (1955) y un método relacionado. Re escribamos la ecuación 8.3 por la separación de la contribución aij de los dos espacios derivativos:

jiijijjiijijijijjiijijijjiij duufuayugubuxau 1,,1,1 1-ji,c (8.67)

Donde todos los coeficientes tienen el mismo significado como el dado antes en la ecuación (8.3). Note que c, b, g y f

serán negativas mientras que xa

, ya

y

serán valores positivos. Además nótese que el nivel de tiempo para todo los términos u es el nivel desconocido y dij contiene todo en la parte derecha. Más adelante cuando escribamos ecuaciones en forma de matriz incluiremos además las contribuciones de los límites con dij. Es fácil ver que el lado izquierdo de la ecuación (8.67) puede ser escrito en forma de matriz como la ecuación (8.4) pero en este paso la matriz A es separada en tres partes correspondientes a los tres términos de los tres sistemas de paréntesis cuadrados en la parte izquierda de la ecuación (8.67):

)( VHu = d (8.68)

Figura 8.12. Matriz H de la ecuación (8.68) cuando el ordenamiento por celdas es utilizado. Valores de entrada

diferentes de cero son indicados por X. Por ejemplo, estas entradas para la décima celda son C3,2; ax3,2;b3,2

237

Donde H contiene todas las contribuciones de la matriz A de la ecuación (8.4) del término )/(/ xUXx

, V, contiene todas las contribuciones de la matriz A del término

)/(/ yUYy

y contiene las contribuciones del tiempo derivativo. Si el ordenamiento estándar mostrado en la figura 8.1 a es

usado entonces H y V tomarán las formas de la figuras 8.12 y 8.13, respectivamente mientras que es una

matriz diagonal conteniendo a .ij Además, si el ordenamiento mostrado en la figura 8.1 b es utilizado la matriz V

toma valores de la forma mostrada en la figura 8.14. Es claro de estas figuras que (1) es una ecuación de la forma:

kHu (8.69)

Podrían ser resueltas por una aplicación repetida de algunos algoritmos de solución de matrices tridiagonales, y (2) es una ecuación de la forma:

kVu

(8.70)

Figura 8.13. Matriz V de la ecuación (8.68) cuando el ordenamiento por celdas es utilizado. Valores de entrada

diferentes de cero son indicados por X. Por ejemplo, estas entradas para la décima celda son g3,2;

ay3,2;f3,2

Reducirá la forma de la ecuación (8.69) como es mostrado por la figura 8.14 si el vector u desconocido es reorganizado por columnas (Figura 8.1 b). Motivado por estas observaciones podemos escribir las ecuaciones (8.68) como (Varga, 1962):

duVrIurIH ).2

1(.)

2

1(

(8.71 a)

238

O

duHrIurIV ).2

1(.)

2

1(

(8.71 b)

Donde r es algún escalar positivo que será discutido más adelante. Ambas ecuaciones pueden ser resueltas fácilmente. Si nosotros definimos:

2

11 HH

(8.72 a)

y

2

11 VV

(8.72 b)

Luego podemos escribir los siguientes procesos iterativos para la solución de la ecuación (8.4):

duVIruIrH vvv )(

1

)1()1(

1 ).(*)( (8.73 a)

...2,1,0

).()( *

1

)1()1()1(

1

v

duHIruIrV vvv

(8.73 b)

Figura 8.14. Matriz V de la ecuación (8.68) cuando el ordenamiento por columnas es utilizado. Valores de entrada

diferentes de cero son indicados por X. Por ejemplo, estas entradas para la décima celda son g3,2;

ay3,2;f3,2

Donde u (0)

es una aproximación arbitraria del vector solución u y r (v)

son parámetros de iteración escogidos para acelerar la convergencia del proceso iterativo. Este es el método de Peaceman y Rachford (1955). La Ecuación (8.73 a) es resuelta primero por consideraciones desconocidas para cada línea en la dirección x. El resultado final de este paso es u*. Después de completar este paso (llamado barrido) alteramos la dirección en la cual las variables

desconocidas son ordenadas y ahora resolvemos para

)1( vude la ecuación (8.73 b) al considerar las variables

desconocidas a lo largo de la línea en la dirección y. Este proceso es continuado hasta que se obtiene la convergencia. El pode de estos métodos puede únicamente ser alcanzado por el uso de una secuencia de

parámetros r(m)

en un ciclo y repetir los ciclos hasta que

)(vuconverge a u. Este es el punto donde la mayoría tiene

239

problemas al aplicar los métodos, ¿cuál es el número óptimo de iteraciones en un ciclo que haga que los parámetros del ciclo sean óptimos? Hay muchos métodos prácticos para la selección de los parámetros de iteración y muchos de estos se encuentran en los libros que tratan los métodos ADI mencionados anteriormente. Hay dos procedimientos de uso común. Estimación de los parámetros de iteración por el método de Peaceman – Rachford Sea a el más bajo valor límite para los valores propios de V y b el valor máximo límite para los valores propios de H. El procedimiento es el siguiente:

1. Estimar los valores a, b y calcular c=a/b

2. Encontrar el entero más pequeño M tal que (0,414)2M

≤ c

3. Calcular r(m)

como: Mmcb 2/)12().( (m)r

donde m=1,2,….,M (8.74)

4. Estimar la tasa asintótica de convergencia de:

)2/(1

)2/(1

1

12)(

M

M

c

cLn

MADIR

Estimación de parámetros por el método de Washspress (1962)

1. Estimar a, b y calcular c= a/b

2. Encontrar el entero más pequeño M tal que: (0,172)M-1

≤ c

3. Calcular r(m)

como: )1/()1().( Mmcb(m)r donde m=1,2,….,M donde M>2(8.75)

4. Estimar la tasa de convergencia asintótica de: 2

)1/()2/1(

)1/()2/1(

1

12)(

M

M

c

cLn

MADIR

El método de Wachspress (1962) es considerado superior para la mayoría de problemas. En muchos casos prácticos es difícil estimar los valores de a y b. Para tales casos el valor más grande de r

(m) es seleccionado cerca a 1 y los

parámetros distribuidos en una secuencia geométrica: r

(1) = rmín r

(M)=rmáx

1/1

min

max

)(

)1(

M

m

m

r

r

r

r

1-M1,2,...,m

El método de arriba al igual que la ecuación (8.75) se basan en el trabajo de Wachspress (1962) con rmín=a y rmáx=b. El valor final más bajo de la secuencia y M son seleccionados por prueba y error (Peaceman, 1966). Hay muchas otras versiones de los métodos ADI pero no serán discutidos aquí. El lector interesado debe consultar las referencias mencionadas anteriormente. Aquí presentamos únicamente un de los otros esquemas que es una variante del método Peaceman-Rachford discutido anteriormente (Varga, 1962).

240

duDrHuDrV

duDrVuDrH

vvv

vvv

(*))1(

1

)1()1(

1

)()1(

1

(*))1(

1

).().(

).().(

(8.76)

Donde D es una matriz diagonal que contiene (axij + ayij). La forma de arriba del método ADI fue propuesta por

Wachspress y Habetler (1960). Otra forma de este método que es utilizada con frecuencia en simulación de

yacimientos (Varga, 1962, p. 242) está dada por las siguientes ecuaciones:

duHDruDrV

duVDruDrH

vvv

vvv

(*))1()1()1(

)()1((*))1(

).().(

).().(

(8.77)

En el método de arriba ⅀ no está distribuida de forma simétrica entre los dos lados como lo estaba en el caso de la

ecuación (8.76). Las generalizaciones de esta forma para flujo multifásico son de uso común para la simulación de yacimientos (Capítulos 10 y 11). Los parámetros de iteración para este esquema pueden ser seleccionados por el mismo procedimiento que fue descrito anteriormente por el método Peaceman-Rachford. Björdammen y Coats (1969) han sugerido que rmin puede ser estimado de: rmin =mínimo valor sobre el grid de

Yx

XyJ

Xy

YxI

2

22

2

2

22

2

)(

)(1)2(

,

)(

)(1)2(

(8.78 a)

rmax= 1

para )./()/( yxYxyX

Para problemas de una sección en dos dimensiones donde

)/()/( zxZxzX ellos recomiendan

rmin =mínimo valor sobre el grid de

Xz

ZxI

2

22

2

)(

)(1)2(

Y rmax = 2

La elección de rmax = 2 aparece de forma de ser empírica. En el cálculo de rmin los puntos para los cuales ZYX o ,

es cero deben ser excluidos. En ambos casos los parámetros son distribuidos geométricamente entre los valores máximos y mínimos como los mostrados anteriormente. El número de parámetros pueden ser predichos por el método de Wachspress (1962) por el cálculo del mínimo entero M, que satisface

max

min1)172,0(r

rM

241

8.3.7 Métodos fuertemente implícitos

Como fue discutido anteriormente la ecuación en forma de matriz (8.4) puede ser resuelta por eliminación directa por la factorización de A dentro del producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. En general L no tendrá elementos ceros dentro de la diagonal principal para la diagonal correspondiente a la diagonal de valores f en la figura 8.2 a. Similarmente la matriz U no tendrá elementos cero en su diagonal principal para la diagonal correspondiente a la diagonal de valores g en la figura 8.2 a. en el proceso de eliminación de cada uno de los elementos de U deben ser

calculados y almacenados para utilizarlos después. Como indicó Stone (1968) para cada punto del grid aproximadamente I+J tales elementos deben ser calculados lo cual hace que el proceso de eliminación sea lento para grandes valores de I y J. La idea básica de los procedimientos fuertemente implícitos (SIP) es alterar A para que la factorización de la matriz

alterada es más fácil y usar esta matriz alterada define un esquema de iteración para la solución de la ecuación (8.4). Vamos a considerar la ecuación (8.4): Au=d Y al adicionar Nu a ambos lados, y adicionar y sustraer Au del lado derecho cedería

(A+N).u=(A+N).u-(Au-d) (8.79)

Figura 8.15. Forma de la matiz U para el método de Stone. Las entradas diferentes de cero son indicadas por x. Por

ejemplo, estas entradas por para la décima cela son 1; b3,2; f3,2

Stone (1968) ha propuesto un método para encontrar N tal que A+N es fácilmente factorizado dentro de un producto LU, tal que L y U tienen únicamente tres elementos diferentes de cero para cada celda mostrada en la Figura 8.15 y 8.16 para el grid de la figura 8.1 a. Los elementos de las matrices L y U pueden ser calculados recursivamente de

)1/( 1, jiijij bgg

242

)1/( ,1 jiijij fcc

jiijjiijjiijijij bcfgfcaa ,11,,1

ijjiijijij abgbb /)( 1,

ijjiijijij afcff /)( ,1 (8.80)

Donde α es un parámetro de iteración a ser discutido más tarde. Nosotros podemos ahora escribir un procedimiento de iteración usando ecuación (8.79) como

d)-(Au-N).u+(A=N).u+(A (v)(v)1)(v

(8.81)

Figura 8.16. Forma de la matiz L para el método de Stone. Las entradas diferentes de cero son indicadas por x. Por

ejemplo, estas entradas por para la décima cela son g3,2; c3,2; a3,2

Desde el punto de vista computacional es mejor escribir la ecuación (8.81) en forma residual, veamos

dAuR vv )()(

(8.82)

)()1()1( vvv uu (8.83)

Y reescribir la ecuación (8.81) como

)()1().( vv RNA (8.84)

ó

)()1(. vv RLU (8.85)

Los elementos de L y U son calculados de la ecuación (8.80). La solución de (8.85) es obtenida por definición de un vector ѵ por lo cual

Lѵ= - R(v)

(8.86)

243

Los elementos del vector pueden ser computados por una sustitución hacia adelante. Desde las ecuaciones (8.85) y (8.86), vemos que

𝑈𝛿(𝑣+1) = 𝑢 (8.7)

Y esta ecuación puede ser usada para computar 𝑈𝛿(𝑣+1) mediante la sustitución hacia atrás.

Stone (1968) recomienda el uso de una secuencia de iteraciones de parámetros en un ciclo. Estos parámetros están geométricamente espaciados entre 0 y αmax, donde

1 −∝max = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑖𝑑 𝑑𝑒

𝜋2

2𝐼2 1+(∆𝑥)2𝜆𝑌

(∆𝑦 )2𝜆𝑋 ,

𝜋2

2𝐽2 1+(∆𝑦 )2𝜆𝑋

(∆𝑥)2𝜆𝑌 8.88

La iteración de parámetros son computados desde

1 −∝𝑚 = 1 −∝𝑚𝑎𝑥 𝑚

(𝑀−1) 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑀 − 1 8.89

Donde M es el número de parámetros por ciclo. Stone (1968) recomienda el uso mínimo de 4 parámetros, donde

cada es utilizado dos veces por ciclo (Section 10.3.3, Capitulo 10). Note que el lado derecho de las ecuaciones (8.77) y(8.88) son lo mismo.

En cada iteración, los elementos de las matrices L y U y el vector u puede ser obtenido en una forma recursiva de acuerdo a el ordenamiento de los desconocidos (en nuestro caso en el orden de incremento de i para filas j=1,2,…J).

Los elementos de 𝛿 son entonces obtenidos en el orden inverso. En la aplicación práctica del procedimiento

anterior, el ordenamiento de las ecuaciones es cambiado para cada iteración. Este cambio en el ordenamiento consiste en llevar a cabo los cálculos descritos anteriormente en el orden inverso para j permitiendo al mismo tiempo la variación de i de la misma manera. Por tanto la iteración para números impares,

i = 1,2,…,I

para cada valor de j en el orden

j = 1,2,…,J

y para iteraciones de i de números pares es permitido para incrementar como,

i = 1,2,…,I

pero esto es hecho para cada valor de J en el orden inverso

j = J, J-1,…,1

Esta inversión en la dirección es importante para el método de convergencia en algunos casos y puede ser implementada sin una codificación por separado para un número de iteraciones. Además, esto es también posible usando más de dos diferentes ordenamientos variando la dirección de i también.

Letkeman (1976) ha presentado un método similar que proporciona un método diferente de alteración A en orden para obtener una fácil factorización LU. Para algunos problemas Letkeman afirma que sus métodos son superiores a los métodos de Stone`s.

8.3.8 Otros métodos

En un libro de este tipo no es posible proveer aun una discusión breve de todos los métodos disponibles para la solucion de de la eqn. (8.4). Los métodos presentados en esta sección son usados para problemas de simulación de yacimientos. En esta sección la selección de otro método pueden ser aplicados a problemas de simulación de yacimientos bajo ciertas condiciones que están mencionadas.

Todos los métodos iterativos discutidos hasta ahora son de esta forma

244

𝑢(𝑣+1) = 𝐵𝑢(𝑣) + 𝐾 ( 8.90)

Este proceso puede ser generalizado por el uso de la solución para varios niveles previos de iteración. Esto es realizado por escrito

𝑢 𝑣 = 𝐵𝑢 𝑣−1 + 𝐾 𝑣 = 1,2 …. y 𝑣(0) arbitrario

𝑢 𝑣 = 𝑏𝑣𝑢(𝑣) + 𝑏𝑖 ,𝑣𝑢

(𝑖)𝑣−1𝑖=0 ( 8.91)

Usualmente solo uno o dos términos de la sumatoria son requeridos. Diferentes enfoques para la selección de los valores de b en la ecuación anterior dan lugar a diferentes métodos. Estos incluyen el método de Lanczos (1950-1952), minimizando el numero de iteraciones, gradientes conjugados y mas pronunciado descenso ( Wachspress, 1966; Engeli et al., 1959; Faddeev and faddeeva, 1963).

Otra clase de método basado en un enfoque similar a la usada por Stone (1968) ha sido proporsionado por Meijerink y Van der VOrst (1977).

Llaman a estos métodos descomposición incompleta LU y combinan algunos de estos métodos con métodos de gradiente conjugado. El resultado es impresionante para matrices simetricas. Enfoques de este tipo son dignos de estudios detallados.

8.3.9 COMPARACIÓN DE MÉTODOS ITERATIVOS.

Settari y aziz (1973) compararon LSOR, ADI, SIP y LSOR con varios sistemas de corrección. El resultado fue presentado por siete diferentes problemas. En esta sección nosotros resumimos sus resultados y proporcionamos una comparación con algunos métodos recientes. El método ADI usado aquí esta dado por la eqn. (8,76).

LOS PROBLEMAS DE LA PRUEBA

Los problemas de la prueba utilizados son extensiones de aquellos usados por Stone (1968). En todo caso un grid uniforme de 31x31 es considerado en una unidad cuadrada.

Problema No. 1

KX=XY=1

P=0

Condiciones de frontera homogéneos Neumann.

245

FIG 8.17. Descripción de problemas No. 3 (después Stone, 1968). q4,4=1.0; q15,16=-1,83 ; q4,28=0,5 ; q28,28=-0,27 ; q24,5=0,6.

Problema No. 2

KX=1 KY=0,01

P=0

Condiciones de frontera homogénea Neumann.

Problema No. 3 ( ver figura.8.17)

KX=KX=1 en región A

KX=1 KY=100 en región B

KX=100 KY=1 en región c

KX=KY=0 en región D


Problema No. 4

KX (1+1/2),j=0,01 KX (30+1/2),j = 1,0

KY i,1+1/2=0,01 KY i,30+1/2=1,0

Con variación lineal entre los valores anteriores. ( como un campo puede ser asociado con problemas en la geometría cilíndrica)

P=0


Problema No. 5

KX=KY=100 en dos regiones rectangulares delimitadas por i=6,20, j=7,16 y i,j=23,29

246

KX=KY=1 P=0


Problema No. 6

KX y KY como en el problema No.3 salvo que ahora la región B esta limitada por i=15,29 y j=3,17

P=0

Condiciones de frontera homogénea Neumann

Problema No. 7

KX y KY como en el problema No. 3

P=100


Figura 8,18 a 8,24 presenta una comparación de varios métodos iterativos para los siete problemas descritos anteriormente. En esta figura IIRIIα es el Iα norma del vector residual dividido por la suma de las fuentes, y n es el equivalente al número de iteraciones de LSOR basado en las relaciones de trabajo dadas en la tabla 8,1. Los resultados para cada problema están resumidos a continuación;

FIG.8,18. Resultado de la prueba para el problema No. 1 (por parte de settari y aziz 1973).

247

FIG.8,19 resultado de la prueba para el problema No.2 (por parte de settari y aziz 1973).

Problema No.1 (fig. 8,18)

Porque el coeficiente del campo es uniforme, en el resultado de IDC casi no mejora con respecto a LSOR, y 2DC mejora relativamente solo un poco. Porta tanto, ambos son más lentos que LSOR en términos del tiempo computacional.ADI es el mejor, seguido por SIP.

Problema No.2 (Fig. 8.19.) Como se esperaba, 1DC( usado en la dirección x) es mas eficiente, 2DC logra El mismo resultado absoluto, sin embargo, con más tiempo computacional. ADI es el más lento. Este problema ilustra la dificultad encontrado con ADI por problemas anisotrópicos.

FIG. 8.20. resultado de la prueba para el problema No3(por parte de settari y aziz 1973).

248

Problema No. 3 (Fig.8.20) Este es el primer problema de heterogeneidad. Entretanto 1DC no mejora LSOR,una mejora notable es obtenida cuando 2DC es usado con LSOR acercándolo a SIP. Este ejemplo demuestra que la correcion usando particiones por línea en una dirección es no saticfactoria para completar casos generales. La corrección SLOT fue también aplicada en este caso con cada una de las subregiones homogéneas tomadas como una partición. El método 2DC mantiene una rata de convergencia comparable con SIP. El método de Letkeman (1976) expone la mejor convergencia para este problema.

FIG.821. . Resultado de la prueba para el problema No.4 (por parte de settari y aziz 1973).

Problema No.4 (Fig.8.21) La situación es esencialmente igual al problema No.3 ecepto que ADI y LSOR tiene un mejor comportamiento en este caso a diferencia del problema No. 3. Esto es explicado por el hecho que la variación de los coeficientes es mucho mas suave en el problema No. 4 que en el problema No 3. IDC de nuevo no da ninguna mejora. Problema No 5 (Fig. 8.22) Como se espera, el método SLOT de poussin (1968) es muy eficiente para este problema pero 2DC es aun mejor. Todos los otros métodos (incluido SIP) son más lentos. Note que 1DC da mejor resultado que LSOR.

249

FIG. 8.22. Resultado de la prueba para el problema No. 5 (por parte de settari y aziz 1973).

Problema No.6 (Fig.8.23) Este problema muestra que 2DC es eficiente también para problemas con dirichlet condision de frontera y compite con éxito con SIP.


Problema No.7 (Fig. 8.24) Este es otro variante del problema No. 3 y rendimientos similares resultan , excepto para ADI (eqn.8,76) con rendimientos com mucho mejores resultados, teniendo la mejor rata de convergencia para el problema.

Ninguno de los métodos de la prueba es claramente superios a todos los otros casos. Sin embargo, SIP y 2DC parecen ser mas utiles para problemas difíciles como son 3,5 y 6.

Una comparación de técnicas iterativas para algunos yacimientos con problemas auténticos estan dados por Traylor y Sheffield (1971). Estos autores compararon varios métodos para la solucion de la presión de la ecuación de IMPES en dos dimensiones.

250

Sus resultados confirman conclusiones basadas en nuestros propios resultados presentados anteriormente y vuelven a mostrar que no hay ningún método iterativo que sea mejor para todos los problemas. Ellos encontraron que SIP obtiene mejores resultados para problemas con áreas, mientras LSOR y método de jacobi para bloques semi-iterativos eran los mejores para problemas de secciones trasversales.


8.3.10 Consideraciones practicas en el uso de métodos iterativos

La aplicación eficiente de los métodos iterativos es una cuestión de experiencia y en muchos casos requiere experimentación numérica. Nosotros vamos a discutir algunos aspectos de los problemas que son importantes desde un punto de vista práctico.

Este es el primer y único capitulo donde los métodos iterativos son discutidos en detalle; por esta razón, algunos de los comentarios hechos aquí se aplican en la solución de ecuaciones pentadiagonales derivados de las aplicaciones de IMPES o SEQ para problemas de multifase (chapter 9), y para problemas en tres dimensiones (chapter 11 ). Estos también es discutido en la sección 8,4 y 8,5.

TABLA 8.1 TASAS DE TRABAJO USADAS PARA LA COMPARACION DE DIFERENTES METODOS ITERATIVOS

METODO TASA DE TRABAJO

LSOR 1

SLOT-LSOR 1 1

1DC-LSOR 1·3

2DC-LSOR 1·5

SIP 2

ADI 2

Letkeman 4·3

(a) Muchos métodos iterativos pueden ser formulados como una línea (o en general bloque) de métodos iterativos y estos deberían ser usados siempre en cualquier forma. En el método LSOR, la dirección de las líneas pueden tener una gran influencia sobre la tasa de convergencia para problemas heterogéneos. La dirección apropiada puede ser estimada analíticamente si la región de interés es aproximada a un rectángulo con contantes λX y λY y las tasas de convergencia son calculadas y compradas para el problema idealizado. Con más frecuencia, la mejor dirección es determinada directamente con la comparación de corridas usando ambas direcciones. Note que los parámetros óptimos de iteración deberían ser también diferentes para cada dirección. Por ejemplo, para LSOR, nosotros sólo necesitamos predecir el ωb para cada caso sin resolver el problema realmente y entonces seleccionar la dirección qeu de mayor ωb.

251

Como regla general, las líneas deberían ser escogidas en la dirección de mayores transmisibilidades. Por ejemplo, la mejor opción de líneas para problemas cross-sectional (y 3-D) es casi siempre en la dirección vertical. (b) Para una dirección dada de líneas, estas tienen dos posibles direcciones de barrido. En muchos casos, alternando la dirección de barrido mejora la convergencia. Esta técnica es bien conocida como SIP, pero debería ser aplicada con otros métodos. La dirección de barrido llega a ser particularmente importante para ecuaciones de carácter hiperbólico tal como la ecuación de saturación implícita del método SEQ (ver capítulos 5 y 9). En cada caso el barrido debería ser aplicado la dirección de flujo. (c) La dirección de las líneas en LSOR pueden también ser cambiadas después de cada iteración. Entonces cambiando la dirección de barrido y la dirección de las líneas se tienen cuatro posibilidades. Ninguna experiencia es reportada en la literatura con estos métodos, sin embargo, estos podrían ser de valor en algunos problemas. (d) Otra variación para los métodos SOR se obtiene por el cambio de orden de los puntos, líneas o bloques. Esta idea es relacionada al método de Hopscotch (ver Goulay, 1970; Gourlay & McGuire, 1971). De nuevo no hay experiencias reportadas en la literatura para problemas de simulación de yacimientos. Young (1971) provee varias versiones de SOR y métodos relacionados. (e) Un caso especial de BSOR en donde dos líneas son consideradas (2LSOR) tiene algunas ventajas sobre la línea única LSOR bajo ciertas condiciones. (Parter, 1959, 1961; Varga, 1962). (f) La experiencia con métodos ADI muestra que la distribución de parámetros entre rmin y rmax y su orden no es crítica y la convergencia puede ser optimizada al ajustar rmin solamente. (de hecho, los dos métodos, (8.74) y (8.75), dan valores de r

(m) agrupados a los finales opuestos del rango) Coats (1968) recomienda el uso de una secuencia

geométrica con 4-5 parámetros para problemas con rmin≥0,01 y 6-8 parámetros si rmin≈0,0001-0,001.

Las mismas observaciones aplican a los parámetros de SIP, como es evidenciado por Steen y Farouq Ali (1971) y Suarez y Farouq Ali (1976), quienes fallaron al no encontrar ninguna regla general para la selección de los parámetros SIP. (g) Cuando se estima el parámetro optimo de iteración por ensayo y error, la tasa de convergencia asintótica (aproximada por la tasa promedio de convergencia después la convergencia llega a ser asintótica) para cada conjunto de parámetros debería ser calculada. En muchos casos esta es realmente satisfactoria al observar el comportamiento de la norma del vector residual ∥ 𝑅 ∥ despues fijar un número suficientemente largo de iteraciones,

como una función de los parámetros de iteración, y determinar el parámetro optimo desde el mínimo de esta curva. Ejemplos de cada curva generada por diferentes métodos aplicados a los problemas 3 y 4 de la sección previa están en la figura 8.25. Note que para los métodos basados en LSOR para el problema Nº 4, las curvas son del mismo tipo de la curva teórica del radio espectral como una función de ω (figura 8.11). Este carácter no es mostrado por la curva del método LSOR para el problema Nº 3. Aquí la convergencia es tan lenta que incluso después de 80 iteraciones el rango asintótico no es alcanzado. El optimo ω en este caso es, de hecho, 1.93, pero a 80 iteraciones este valor podría dar los peores resultados que cualquier otro valor ω<ωb. Por eso la estimación de ωb para problemas con convergencia lenta es más difícil. Eso aplica igualmente a los métodos descritos en la sección 8.3.3, que también convergen lentamente. La convergencia de ADI es mostrada como una función del parámetro mínimo rmin en una secuencia geométrica de seis parámetros calculados por la ecuación (8.75) entre a=rmin y b=rmax=1. Esta curva también muestra un mínimo diferente.

252

FIG. 8.25. Determinación de los parámetros óptimos de iteración por ensayo y error usando

plots de ∥ 𝑹 ∥ para un número fijo de iteraciones.

(h) La suposición inicial es también importante para la convergencia. Una mala suposición inicial puede aumentar el número de iteraciones en la fase inicial antes de que el comportamiento asintótico sea alcanzado. La sensibilidad de SIP para la etapa inicial era reportada por Traylor y Sheffield (1971). La sensibilidad de la etapa inicial y/o una mala elección de la dirección de barrido puede ser observada en la solución del ejercicio 8.4. La etapa inicial es menos importante cuando los métodos de corrección son usados, porque la aplicación de la corrección elimina el valor promedio de mayor error inicial. (i) Los criterios para la convergencia son usualmente basados en la experiencia. El monitoreo de la convergencia es usualmente acompañada por el material de balance (aunque el material de balance en si no garantiza convergencia). Una aproximación práctica de este tipo es discutida por Traylor y Sheffield (1971). Una aproximación más deseada es relacionar el criterio de convergencia con el error de truncamiento desde la solución con verdadera exactitud no podría ser mejorada por debajo del nivel de errores de truncamiento. Esta aproximación (Brandt, 1977) no ha sido reportada en los datos de libros de simulación. 8.3 Comparación de métodos iterativos y directos

Tanto los métodos directos como los iterativos tienen sus ventajas y desventajas. La principal desventaja de los métodos directos es el gran almacenamiento requerido, el cual aumenta proporcionalmente al número de ecuaciones. También, los métodos directos pueden sufrir desde errores de redondeo por sus problemas multifasicos. La principal ventaja de los métodos directos es su confiabilidad. Un método directo debería solucionar un problema heterogéneo tan fácil como uno homogéneo, y el trabajo y almacenamiento requeridos dependerán solamente del método usado. Las corridas de ensayo con necesarias para optimizar la solución técnica. La principal desventaja de los métodos iterativos es la sensibilidad al iniciar la solución y los parámetros de iteración (los cuales son también un problema dependiente). Por muchos problemas de convergencia de algunos métodos iterativos estos son tan lentos que su uso llega a ser completamente impráctico. Por una elección apropiada de un método iterativo y parámetros asociados a la iteración, esta resolverá un problema dado iterativamente. Sin embargo, los procesos de selección pueden ser de larga duración y costosos. Po otro lado, los métodos iterativos generalmente requieren un muy pequeño almacenamiento en adición de los coeficientes de las diferentes ecuaciones y por eso pueden ser fácilmente aplicados a sistemas muy extensos. La comparación del trabajo para resolver el problema Nº1, sección 8.3.9, por LSOR y métodos directos está en la figura 8.26.El problema fue resuelto usando diferentes tamaños de grid del rango de 21 x 21 a 41 x 41, y la

253

localización de fuentes y sumideros fue interpolada al punto de grid más cercano. El ω óptimo fue determinado para cada grid. El trabajo se reporto en CDC 66000CPU en segundos. La curva para eliminación con ordenamiento natural fue dricada desde tiempos cronometrados por el ordenamiento D4 y la figura 8.8. Note que para grandes I=J el trabajo de los métodos directos aproxima O(I

4) mientras que para

métodos este es solamente O(I3). Por lo tanto, la eliminación directa con el ordenamiento D4 es más rápido para

grids pequeños y LSOR es rápido para grandes grids. El cruce de puntos depende del nivel de tolerancia aceptado. Para una tolerancia de 10

-5, LSOR llega a ser más

rápido para aproximadamente un grid de 58x58, mientras que para una tolerancia de 10-4

este llega a ser competitivo con el ordenamiento D4 para grid de 44x44. La figura 8.25 también muestra que para el problema considerado como ordenamiento natural nunca compite con LSOR. Esta figura podría también ser usada para estimar el comportamiento de los métodos iterativos y directos para otros problemas presentados en la sección 8.3.9.

FIG. 8.26 Comparación de métodos directos (D4 y ordenamiento natural) con LSOR

Algunos resultados de Price y Coats (1974) para ser presentados en el capítulo 11 (sección 11.2.5) también indican un cruce de puntos entre métodos iterativos y directos. Para una simulación de un problema de un yacimiento típico cuando I>J, la eliminación directa con el ordenamiento D4 seria competitiva con métodos iterativos proporcionados J>38 para sistemas completos sin bloques inactivos. Cuando el número de bloques inactivos es considerable, el esquema D4 puede competir con los métodos iterativos para valores mucho más grandes de J (aproximadamente 70).

Woo et al. (1973) y Price and Coats (1974) han presentado algunos límites de comparación de los métodos iterativos y directos para problemas prácticos de yacimiento. Las comparaciones son difíciles para generalizar porque el trabajo para un método iterativo dado depende del número de iteraciones, los cuales a su vez dependen de:

(1) Tolerancia aceptable para la convergencia (2) Naturaleza del problema (heterogeneidad, forma, etc), y (3) Para problemas dependientes del tiempo un time step size.

254

En general, grandes pasos de tiempo disminuye la diagonal dominante de la matriz y por lo tanto resulta un incremento en el número de iteraciones requerido. También, el número de iteraciones depende del cambio de la solución entre pasos de tiempo. Por ejemplo, en yacimientos con sostenimiento de presión, el número de iteraciones por paso de tiempo disminuirá significativamente después del periodo transiente inicial y el mismo efecto será claro después de cada tasa de cambio.

Todo de las comparaciones presentadas por Price y Coats (1974) son problemas tridimensionales y serán discutidos en el capítulo 11.

Woo et al. (1973) ha considerado varios problemas de simulación de yacimientos de varias dificultades y aplicando a varios métodos iterativos y directos a estos. Los problemas considerados incluyen simulación areal, cross sectional y coning. El número de ecuacones resueltas en varios casos con rangos desde 100 hasta 2500. Los métodos directos son unsados con ordenamiento natural y ordenamiento D4. Ellos también aplican al esquema de ordenamiento pseudo-optimo para ambos ordenamiento natural y ordenamiento D4. Este esquema de ordenamiento óptimo está basado en una modificación del criterio de Markowitz (1957) y este involucra el pivoteo a lo largo de las diagonales. Los métodos iterativos considerados son LSOR, LSOR con IDC y SIP.

Las conclusiones importantes basadas en este trabajo son:

1. El ordenamiento D4 puede ser significativamente mejorado para grid casi cuadrados por el uso del criterio modificado de Markowitz. 2. Las técnicas de matriz dispersa son más confiables y generalmente más rápidas que los métodos iterativos considerados.

Otras comparaciones de métodos iterativos y directos están disponibles en la literatura; sin embargo, estas resultan ser difíciles para comparar debido a las pruebas diferentes. Como un ejemplo, Brandon (1974) encuentra que para un buen comportamiento parabolico del problema, la eliminación directa y SIP son mejores para grid de 5x5, pero Gauss-Seidel con la dirección alterna de barrido será mejor para grid de 15x15.

En la práctica, los métodos directos son siempre los preferidos para pequeños a medianos sets de ecuaciones, resultando desde 2D cross sectional o grid radial. Los métodos iterativos llegan a ser eventualmente rápidos para matrices grandes desde grandes problemas areales o 3D (serán considerados en el capítulo 11). Para tales problemas, los métodos directos también plantean serios problemas de almacenamiento.

8.5 COMENTARIOS

La literatura sobre la solución de ecuaciones de matrices es ya extensa y rápidamente expandida. Es este capítulo nosotros hemos discutido en detalle solamente los métodos que han sido aplicados con éxito a la simulación de yacimientos. Muchos de estos y otros métodos son discutidos en libros editados por Reid(1971), Rose y Willoughby (1972), y Bunch y Rose (1976).

La investigación más reciente se empeña en el área de métodos directos, los cuales involucran el renacimiento del método ―tearing‖ de Kron (1963). (Harary, 1971; Ledet y Himmelblau, 1970). Métodos de este tipo, también llamados ―métodos marching‖, son rápidos (por ejemplo, el método propuesto por Shacham y Kehat (1976) requieren trabajo de O(I

3) para I=J), pero ellos son incondicionalmente inestables con respecto al redondeo de errores (Bank, 1976).

Eisensat et al. (1976) discute el método de aumento de la eficiencia la eliminación gaussiana para tomar ventaja dentro de la dotación.

E el área de métodos iterativos, Nicolaides (195) y Brandt (1977) sugirieron métodos iterativos multi nivel los cuales son generalizaciones de los métodos de corrección discutidos en la sección 8.3.5. El trabajo para estos métodos afirmó ser óptimo. (Es decir, proporcional al número de incógnitas). El estudio también se lleva a cabo en métodos semi-iterativos, conjugación de gradientes (Vinsome, 1976) y métodos relacionados con SIP (Letkeman, 1976).

255

EJERCICIOS

Ejercicio 8.1.

Deduzca el trabajo requerido por una eliminación Gaussiana estándar para una matriz A, cuando:

a. A es una matriz completa.

b. A es una matriz pentadiagonal resultante de ecuaciones diferenciales finitas 2-D.

Esquema de solución.

a) El número de multiplicaciones o divisiones para eliminar la primera columna es

𝑁 − 1 𝑁 − 𝑁 − 1 = 𝑁2 − 1

Para la segunda columna

𝑁 − 2 𝑁 − 1 + 𝑁 − 2 = (𝑁 − 1)2 − 1

etc. El trabajo total hacia delante es por lo tanto

𝑊𝐹 = (𝑖2 − 1)

𝑁

𝑖=1

(𝐴)

Ya que

𝑖2 =𝐼 𝐼 + 1 (2𝐼 + 1)

6 (𝐵)

𝐼

𝑖=1

El trabajo es

𝑊𝐹 =𝑁 𝑁 + 1 2𝑁 + 1

6− 𝑁 (𝐶)

El trabajo para sustitución hacia atrás es

𝑊𝐵 = 𝑖 =𝑁(𝑁 + 1)

2

𝑁

𝑖=1

(𝐷)

Por consiguiente el trabajo total es

𝑊 =𝑁 𝑁 + 1 2𝑁 + 1

6+

𝑁 𝑁 − 1

2 (𝐸)

b) Para una matriz bandeada, el trabajo para eliminar y sustituir la última fila M es

𝑊𝑀 = (𝑖2 + 𝑖 − 1)

𝑁

𝑖=1

=𝑀 𝑀 + 1 2𝑀 + 1

6+

𝑀 𝑀 − 1

2

Y para el resto

𝑊 = (𝑀 + 1)2 + 𝑀

𝑁−𝑀

𝑖=1

= (𝑁 − 𝑀) (𝑀 + 1)2 + 𝑀

Por consiguiente el trabajo total es

𝑊 =𝑀 𝑀 + 1 2𝑀 + 1

6+

𝑀 𝑀 − 1

2+ 𝑁 − 𝑀 𝑀 + 1 2 + 𝑀 (𝐹)

256

Esta fórmula ignora el hecho que durante la eliminación de la primera fila M hay un espacio incompleto por

llenar. Si este es tomado dentro de la cuenta, el trabajo es ligeramente inferior, es decir

𝑊 = 𝑁 − 2𝑀 + 1 (𝑀 + 1)2 + 𝑀 +𝑀 𝑀 + 1 2𝑀 + 1

3+ 𝑀 𝑀 − 1

+(𝑀 + 2)2 − 𝑀 − 9 (𝐺)

Esta fórmula está dada por Price and Coats (1974) (ligeramente incorrecta).

Ejercicio 8.2.

a. Formular un algoritmo para la descomposición simétrica de una matriz bandeada con un ancho de banda

arbitrario.

b. Deduzca el trabajo requerido y compárelo con el trabajo para una eliminación estándar como función del

ancho de banda.

Esquema de solución

a) Para una matriz S con ancho de banda 𝐵 = 2𝑀 + 1, 𝐒 = 𝐖𝐖𝐓 donde,

𝑊 =

𝑊11

𝑊21 𝑊22

𝑊31 𝑊32 𝑤33

. . .𝑊𝑀+1,1 𝑊𝑀+1,2 .

. . .

. . . . . . 𝑊𝑁𝑁

𝑊𝑇 =

𝑊11 𝑊21 𝑊31 . 𝑊𝑀+1,1 . .

𝑊22 𝑊32 .

𝑤33 .

. .. .

. .𝑊𝑁𝑁

Por comparación de términos, los elementos de W son:

𝑊𝑖𝑗 =1

𝑊𝑗𝑗 𝑆𝑖𝑗 − 𝑤𝑖𝑟

𝑗−1

𝑟=𝐽

𝑤𝑗𝑟 𝐽 = max 1, 𝑗 − 𝑀 ; 𝑗 = 1, … . , 𝑖 − 1 (𝐴)

𝑊𝑖𝑖 = 𝑆𝑖𝑖 − 𝑤𝑖𝑟2

𝑖−1

𝑟=1

2

𝐼 = max 1, 𝑖 − 𝑀 (𝐵)

257

Para todo 𝑖 = 1, … . . , 𝑁

b) Para una matriz llena, el trabajo para obtener elementos de la fila i-nésima por (A) y (B) es

𝑖 + 𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 + ⋯ =𝑖 𝑖 + 1

2=

1

2 𝑖2 + 𝑖

Y el trabajo para la sustitución hacia atrás es 2i, entonces tenemos que resolver 𝑾𝑻𝒈 = 𝒅 𝒚 𝑾𝒖 = 𝒈

El trabajo total es por lo tanto,

𝑊𝑠 =1

2 𝑖2 +

1

2 𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 2

𝑁

𝑖=1

𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑊𝑠 = 1

2 𝑁 𝑁 + 1 2𝑁 + 1

6+

𝑁 𝑁 + 1

2 + 𝑁 𝑁 + 1 (𝐶)

Para una matriz bandeada, el trabajo para obtener la primera fila M es,

1

2𝑖(𝑖 + 1)

𝑀

𝑖=1

Para las entradas restantes

1

2 𝑀 + 1

𝑁

𝑖=𝑀+1

𝑀 + 2

Y el trabajo para la sustitución hacia atrás es dos veces

𝑖 + 𝑁 − 𝑀

𝑀

𝑖=1

𝑀 + 1

Por lo tanto

𝑊𝑠 =1

2 𝑀 𝑀 + 1 2𝑀 + 1

6+

𝑀 𝑀 + 1

2+ 𝑁 − 𝑀 𝑀 + 1 𝑀 + 2

+ 𝑀 𝑀 + 1 + 2 𝑁 − 𝑀 𝑀 + 1 (𝐷)

Comparando (C) y (D) con el orden estándar 𝑒𝑞𝑠. 𝐸 𝑦 𝐹 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜 8.1 ver que 𝑊𝑠

𝑊→

1

2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑁 →

∞. para un arreglo N, la descomposición asimétrica llega a ser más eficiente con incrementos en M, como

se ilustra en la siguiente tabla para 𝑁 = 1 𝑦 𝑁 = 100.

𝑴 𝑵 = 𝟏𝟎 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎

𝑾 𝑾𝒔 𝑾 𝑾𝒔

1 46 66 496 696

2 94 106 1084 1186

3 150 148 1860 1768

5 270 230 3960 3200

10 - - 12220 8250

20 - - 39940 23800

258

Ejercicio 8.3

Encontrar los valores propios de la matriz jacobiana.

𝐁𝐉 = 𝐃−𝟏 𝐋 + 𝐇 𝑦𝑜𝑢𝑛𝑔 1971 , 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 4.6

Solución

En álgebra lineal, los vectores propios o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que,

cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian

su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A

menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios.

En el caso de la matriz de Jacobi, sus valores y vectores propios toman una forma especial. Así pues sea λo un

cierto valor propio de la matriz de Jacobi J y sea 𝑐 = (𝑐𝑜 , 𝑐1, … , 𝑐𝑁−1) el correspondiente vector propio. Por la

definición de valor y vector propios esto significa que se cumple la igualdad:

𝐽𝑐 = λ𝑜𝑐 𝑐 ≠ 0

Equivalente al siguiente sistema:

𝑎𝑜𝑐𝑜 + 𝑏𝑜𝑐1 = λ𝑜𝑐𝑜

𝑏𝑜𝑐𝑜 + 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐2 = λ𝑜𝑐1

………………𝑏𝑖−1𝑐𝑖−1 + 𝑎𝑖𝑐𝑖 + 𝑏𝑖𝑐𝑖+1 = λ𝑜𝑐𝑖

……………………𝑏𝑁−3𝑐𝑁−3 + 𝑎𝑁−2𝑐𝑁−2 + 𝑏𝑁−2𝑐𝑁−1 = λ𝑜𝑐𝑁−2

𝑏𝑁−2𝑐𝑁−2 + 𝑎𝑁−1𝑐𝑁−1 = λ𝑜𝑐𝑁−1

(𝐴)

Evidentemente, 𝑐𝑜 no puede ser 0. En caso contraario, de la primera ecuación de (A) se obtendría que 𝑐1 = 0 y

de la segunda ecuación 𝑐2 = 0 y así sucesivamente de manera que se obtendría 𝑐𝑖 = 𝑐2 = ⋯ = 𝑐𝑁−1 = 0, lo que

contradiría la definición misma de vector propio, el cual debe ser distinto de 0.

También, si se multiplica (o divide) el vector 𝑐 por algún número α (distinto de 0), entonces la igualdad (A) se

cumplirá también para el vector 𝑐 = 𝛼𝑐 = (𝛼𝑐0 , 𝛼𝑐1, … , 𝛼𝑐𝑁−1). Por esto es que se puede considerar 𝑐0 = 1 (ya

que si 𝑐0 ≠ 1 se puede pasar al vector 1

𝑐0𝑐 . Así es que el sistema (A) toma la forma:

𝑎𝑜 + 𝑏𝑜𝑐1 = λ𝑜

𝑏𝑜 + 𝑎1𝑐1 + 𝑏1𝑐2 = λ𝑜𝑐1

……………………𝑏𝑁−3𝑐𝑁−3 + 𝑎𝑁−2𝑐𝑁−2 + 𝑏𝑁−2𝑐𝑁−1 = λ𝑜𝑐𝑁−2

𝑏𝑁−2𝑐𝑁−2 + 𝑎𝑁−1𝑐𝑁−1 = λ𝑜𝑐𝑁−1

(𝐵)

De la primera ecuación se obtendrá:

𝑐1 =1

𝑏𝑜λ𝑜 −

𝑎𝑜

𝑏𝑜

De la segunda:

𝑐2 =1

𝑏𝑜𝑏1λ𝑜

2 −𝑎1 + 𝑎𝑜

𝑏𝑜𝑏1λ𝑜 +

𝑎𝑜𝑎1

𝑏𝑜𝑏1−

𝑏𝑜

𝑏1

Etcétera.

Es así que de las primeras N-1 ecuaciones de (B) se deduce que el vector 𝑐 tiene la forma:

𝑐 = 1, 𝑃1 λ𝑜 , 𝑃2 λ𝑜 , … , 𝑃𝑁−1 λ𝑜 (𝐶)

259

Con componentes que resultan ser números que se expresan mediante el valor propio λ𝑜 de la matriz J en

forma polinomial, siendo la componente 𝑐𝑗 el polinomio 𝑃𝑗 λ𝑜 de grado j respecto de λ, evaluado en λ𝑜 .

Recuerde que el coeficiente de la máxima potencia λ del polinomio 𝑃𝑗 λ es igual a 𝑏𝑜𝑏1 …𝑏𝑗−1 −1

≠ 0.

La última de las secciones de (B) entonces puede escribirse como:

𝑏𝑁−2𝑃𝑁−2 λ𝑜 + 𝑎𝑁−1𝑃𝑁−1 λ𝑜 − λ𝑜𝑃𝑁−1 λ𝑜 = 0 (𝐷)

En la parte izquierda de esta ecuación aparece un polinomio de grado N (cuyo término de máxima potencia se

obtiene del sumando λ𝑜𝑃𝑁−1 λ𝑜 ) respecto de λ, evaluado en λ𝑜 , lo que quiere decir que λ𝑜 es raíz del

polinomio:

𝑄𝑁 λ = λ𝑃𝑁−1 λ + 𝑎𝑁−1𝑃𝑁−1 λ − 𝑏𝑁−2𝑃𝑁−2 λ (𝐸)

De grado N, con todos sus coeficientes expresables mediante 𝑎𝑜 , 𝑎1, … , 𝑎𝑁−1 , 𝑏𝑜 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑁−2, es decir, son

conocidos.

El polinomio 𝑄𝑁 tiene N raíces, cada una de las cuales es un valor propio de la matriz J. Puesto que dos

polinomios que tienen las mismas raíces pueden diferir a lo más en un factor constante, entonces 𝑄𝑁 (salvo un

factor constante) es igual al polinomio característico, cuyas raíces por definición son valores propios de la matriz

J.

Ejercicio 8.4

Considere estado-estable, flujo bidimensional, en el sistema mostrado a continuación, descrito por:

𝐾𝑥

𝜕2𝑃

𝜕𝑥2 + 𝐾𝑦

𝜕2𝑃

𝜕𝑦2 = 0 (𝐴)

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿𝑥

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿𝑦

Solucione la matriz de la ecuación por LSOR con diferentes condiciones iníciales y diferentes direcciones de las

líneas y barrido. Considere el caso de 𝐾𝑥 ≈ 𝐾𝑦 𝑦 𝐾𝑥 ≫ 𝐾𝑦 , 𝐿𝑥 ≈ 𝐿𝑦 𝑦 𝐿𝑥 ≫ 𝐿𝑦 y la combinación de estos.

Solución

𝐾𝑥

𝜕2𝑃

𝜕𝑥2 + 𝐾𝑦

𝜕2𝑃

𝜕𝑦2 = 0

260

Expresado en diferencias finitas

𝐾𝑥

𝑃𝑖+1,𝑗 − 2𝑃𝑖,𝑗 + 𝑃𝑖−1,𝑗

∆𝑥 2 + 𝐾𝑦

𝑃𝑖,𝑗+1 − 2𝑃𝑖,𝑗 + 𝑃𝑖,𝑗−1

∆𝑦 2 = 0 (𝐴)

Sea

𝐴𝑥 =𝐾𝑥

∆𝑥 2

𝐵𝑦 =𝐾𝑦

∆𝑦 2

Por lo tanto (A) toma la siguiente forma:

𝐴𝑥𝑃𝑖+1,𝑗 + 𝐴𝑥𝑃𝑖−1,𝑗 + 𝐵𝑦𝑃𝑖 ,𝑗+1 + 𝐵𝑦𝑃𝑖,𝑗−1 − 2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 𝑃𝑖,𝑗 = 0 (𝐵)

Sea itera+1, la iteración actual a la que se hallan los valores de presión, e itera la iteración anterior cuyos

valores de presión son conocidos porque ya fueron calculados, la ecuación (B) toma la forma:

𝐴𝑥𝑃𝑖+1,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 + 𝐴𝑥𝑃𝑖−1,𝑗

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 − 2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 𝑃𝑖,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 = 𝐵𝑦𝑃𝑖 ,𝑗+1

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 + 𝐵𝑦𝑃𝑖,𝑗−1𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1

Para el cálculo de las presiones en la primera columna, j=1, la matriz resultante es:

−2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 𝐴𝑥

𝐴𝑥 −2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 𝐴𝑥

. . .. . .

. . .. . .


𝐴𝑥 −2 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦

𝑃1,1

𝑃2,1

𝑃3,1

𝑃4,1

𝑃5,1

𝑃6,1

𝑃7,1

𝑃8,1

=

−𝐴𝑥𝑃𝐿 − 𝐵𝑦(𝑃1,2 + 𝑃𝑆)

−𝐵𝑦(𝑃2,2 + 𝑃𝑆).....

−𝐵𝑦(𝑃𝑛 ,2 + 𝑃𝑆)

Para el cálculo de las presiones en la segunda columna, j=2, la matriz resultante es:



. . .. . .

. . .. . .



𝑃1,2

𝑃2,2

𝑃3,2

𝑃4,2

𝑃5,2

𝑃6,2

𝑃7,2

𝑃8,2

=

−𝐴𝑥𝑃𝐿 − 𝐵𝑦(𝑃1,3 + 𝑃1,1)

−𝐵𝑦 (𝑃2,3 + 𝑃2,1).....

−𝐵𝑦(𝑃𝑛 ,3 + 𝑃𝑛 ,1)

El procedimiento es análogo para las demás columnas hasta completar las n columnas. Por lo tanto, la matriz

resultante del último cálculo de presiones para la iteración itera+1 en la columna n, es:



. . .. . .

. . .. . .



𝑃1,𝑗

𝑃2,𝑗

𝑃3,𝑗

𝑃4,𝑗

𝑃5,𝑗

𝑃6,𝑗

𝑃7,𝑗

𝑃𝑛 ,𝑛

=

−𝐴𝑥𝑃𝐿 − 𝐵𝑦(𝑃1,𝑗+1 + 𝑃1,𝑗−1)

−𝐵𝑦(𝑃2,𝑗+1 + 𝑃2,𝑗−1).....

−𝐵𝑦(𝑃𝑆 + 𝑃𝑛 ,𝑛−1)

261

Una vez se tienen los valores de cada punto o nodo del sistema a una iteración itera+1, se continua con la siguiente

iteración hasta que

𝑃𝑖,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 − 𝑃𝑖 ,𝑗

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 ≤ 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

SUPOSICIONES:

1. LX = Ly

i=1,2,3,…, n

j=1,2,3,…,n

El trabajo requerido para la solución de cada matriz tridiagonal por el método de Thomas viene dado por:

𝑊 =1

2 𝑁 𝑁 + 1 + 2𝑁 + 1

6+

𝑁 𝑁 + 1

2+ 𝑁 − 𝑀 𝑀 + 1 𝑀 + 2

+ 𝑀 𝑀 + 1 + 2 𝑁 − 𝑀 𝑀 + 1

Sea M=3 (número de bandas)

𝑊 = 18𝑁 − 32

Para las n columnas, el trabajo total sería

𝑊𝑇 = 𝑁 18𝑁 − 32 (𝐷)

En este caso particular, el trabajo está dado por la ecuación anterior (D) tomando un barrido vertical de abajo

hacia arriba (de arriba hacia abajo el trabajo es el mismo) en dirección perpendicular a la dirección horizontal de

flujo.

Aunque como regla general se recomienda que el barrido sea en la dirección del flujo, para éste caso, el barrido

horizontal puede presentar problemas en la convergencia, debido a que el ejercicio estipula que no hay

variación con respecto a y.

Si se considera KX = Ky y Δx=Δy, la ecuación de las matrices tiridiagonales se reduce a

𝑃𝑖+1,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 + 𝑃𝑖−1,𝑗

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 − 4𝑃𝑖,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 = 𝑃𝑖,𝑗+1

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 + 𝑃𝑖,𝑗−1𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1

Sin embargo el trabajo requerido corresponde al mismo.

262

Para el caso KX ≫ Ky, la caída de presión en la dirección j o y, es despreciable y el flujo y caída de presión se

presentaría en la dirección i. En este caso, las operaciones y el trabajo se reducen.

2. LX ≫ Ly

i=1,2,3,…, N

j=1,2,3,…,R

- Barrido vertical

En este caso se operan R matrices NxN, por lo tanto el trabajo viene dado por:

𝑊𝑇 = 𝑅 18𝑁 − 32 (𝐸)

- Barrido horizontal

En este caso se operan N matrices RxR, por lo tanto el trabajo viene dado por:

𝑊𝑇 = 𝑁 18𝑅 − 32 (𝐹)

Se tiene que (E) > (F)

Por lo tanto se recomienda desarrollar las operaciones bajo un barrido horizontal, cuyo trabajo requerido es

menor. De lo contrario (barrido vertical) se espera convergencia, pero el tiempo y trabajo es mayor al realizar

operaciones resolviendo pocas matrices NxN a muchas matrices de dimensión RxR.

Si se tiene en cuenta la permeabilidad en x y y, el análisis es análogo al ejercicio anterior:

Si se considera KX = Ky y Δx=Δy, la ecuación de las matrices tiridiagonales se reduce a

𝑃𝑖+1,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 + 𝑃𝑖−1,𝑗

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 − 4𝑃𝑖,𝑗𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1 = 𝑃𝑖,𝑗+1

𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 + 𝑃𝑖,𝑗−1𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 +1

Sin embargo el trabajo requerido corresponde al mismo.

Para el caso KX ≫ Ky, la caída de presión en la dirección j o y, es despreciable y el flujo y caída de presión se

presentaría en la dirección i. En este caso, las operaciones y el trabajo se reducen.

263

CAPITULO 9

FLUJO MULTIFASICO EN DOS DIMENSIONES.

9.1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo trata de flujo multifásico en dos dimensiones. Ya que todas las formulaciones y técnicas importantes necesarias para la simulación de yacimientos ya se han desarrollado en el capítulo 5 de este capítulo se tratan principalmente con algunos temas prácticos relacionados con modelos de dos dimensiones (2-D). Algunas de las nuevas ideas que se discuten aquí, incluyen el tratamiento de la producción y la inyección, la simulación de acuíferos, pozos y la interacción de problemas de conicidad de yacimientos. Estos temas son más típicos de los problemas multidimensionales y no puede ser discutido en una sola dimensión (1-D) del yacimiento. Debido a que la simulación de problemas en 2-D es muy común en la práctica, hay muchos aspectos relacionados con la ingeniería de yacimientos que están asociados con la simulación de problemas reales 2-D. En el extremo, se podría decir, que casi todos los problemas de ingeniería de yacimientos tienen algunas características únicas que deben reflejarse en el modelo numérico para ese problema. Es, sin embargo, el objetivo de este capítulo (y este libro en general), para cubrir esta área, a excepción de algunos temas especiales que son esenciales desde el punto de vista de los cálculos numéricos. Algunos de discusión de estos temas se incluyen en el capítulo 12.

9.2 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS 2-D.

Ya que todos los depósitos físicos reales son tridimensionales, toda formulación del problema matemático en dos dimensiones, representa una simplificación (esto es, por supuesto, aún más cierto de una formulación de dimensiones). Es importante entender claramente las suposiciones hechas en cada caso de manera que las limitaciones del modelo puede ser apreciado. La simulación de los yacimientos en 2-D es bastante común. En muchos casos, los modelos de 2-D le dará la información adecuada, y el costo de un 2-D en lugar de una simulación 3-D es mucho menor. Como se discutió en el capítulo 7, existen tres tipos básicos de los modelos de 2-D. Pasaremos a describir estos modelos para el caso de varias fases. 9.2.1 Problemas de Área (x-y)

La mayoría de los depósitos tienen un espesor que es pequeño en comparación con su extensión de área. Estos depósitos parecen "mantas" (Coats et al., 1971) y es natural que los representen por una red de área de dos dimensiones, se muestra esquemáticamente en la figura. 9.1. Los modelos de área no pueden simular el flujo en dirección vertical y debe asumir las propiedades uniformes, sin el flujo en la dirección-z. El 3-D es característico del problema, sin embargo, ha mantenido parcialmente en el modelo mediante la definición del espesor Δz y h de elevación en función de x & y. Todas las características y variables tales como S y P son también funciones de x & y solo por lo que representan los promedios integral (media sobre el espesor de la formación Δz).

Fig. 9.1 Representación de un depósito por una red de área.

Con esto en mente, podemos escribir las ecuaciones de flujo de dos fases, como:

𝜕

𝜕𝑥 𝛥𝑧𝜆𝑋𝑙

𝜕𝑝𝑙


𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝛥𝑧𝜆𝑌𝑙

𝜕𝑝𝑙

𝜕𝑦− 𝛾𝑙

𝜕𝑕

𝜕𝑦

264

= 𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 + 𝑞𝑙 𝛥𝑧 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (9.1)

Donde:

𝑆 𝑥, 𝑦 = 0

𝛥𝑥 𝑆 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑙 𝛥𝑧, 𝑒𝑡𝑐.

𝜆𝑋𝑙 = 𝐾𝑥

µ𝑙

∗ 𝐾𝑟𝑙

𝐵𝑙 & 𝜆𝑌𝑙 =

𝐾𝑦

µ𝑙

∗ 𝐾𝑟𝑙

𝐵𝑙

La asunción uniforme de las propiedades (completa la mezcla vertical) es válido, si el grosor Δz es pequeña comparada con el espesor de la zona de transición. Cuando este no es el caso, las propiedades de roca K y P debe ser modificadas de acuerdo con el grado de segregación vertical de los fluidos para simular correctamente el flujo entre los bloques. Los métodos de cálculo de estas pseudo-funciones (también llamado "equilibrio vertical" o funciones de EV), que son diferentes de las propiedades de las rocas de laboratorio, se discuten en el capítulo 12. Las aplicaciones típicas de los modelos de simulación de muestreo de áreas son de 3-D con los problemas de VE y el estudio de barrido de áreas. 9.2.2 Problemas sección-cruz (x-z)

Este tipo de modelo puede representar un yacimiento, donde el flujo vertical es importante, pero el flujo horizontal es predominantemente en una dirección (Figura 9.2) que elegimos ser la dirección (x). Descuidamos el flujo en la dirección (y), la cuenta de la variación de las propiedades en la dirección (y) en la definición de espesor Δy y otras variables en función de x y z.

Fig. 9.2 Representación de un depósito por una red sección-cruz.

Esto significa que todas las propiedades y las variables son promedios en la dirección y, y las ecuaciones diferenciales parciales para el flujo se puede escribir como:

𝜕

𝜕𝑥 𝛥𝑦𝜆𝑋𝑙

𝜕𝑝𝑙


𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑧 𝛥𝑦𝜆𝑍𝑙

𝜕𝑝𝑙

𝜕𝑧− 𝛾𝑙

𝜕𝑕

𝜕𝑧

= 𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 + 𝑞𝑙 𝛥𝑦 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (9.2)

Tenga en cuenta que en este caso la segregación vertical de los fluidos puede ser simulado correctamente, y por lo tanto las funciones krl y Pc deben ser las propiedades de la roca. Sin embargo, cuando el espesor de la zona de transición es pequeño comparada con el tamaño del bloque vertical, las pseudo-funciones dentro del intervalo de Δz debe ser considerado (Capítulo 12). Un uso típico de la formulación sección-cruz es para la generación de pseudo-funciones para su uso en los modelos de muestreo de áreas y para el estudio de la eficiencia de barrido vertical de los procesos de desplazamiento. 9.2.3 Problemas de Pozo-sencillo (r-z)

Las saturaciones y presiones cambian más rápidamente alrededor de los pozos. A menudo se desea obtener una solución detallada de los movimientos de agua y/o gas hacia la producción de los pozos. Técnicas de solución para los problemas de los pozos individuales suelen denominarse "problemas de conicidad". Debido a que el flujo de cerca de un pozo siempre es tridimensional en coordenadas cartesianas, no puede ser aproximada por cualquiera de las formulaciones de 2-D discutido anteriormente.

265

Fig. 9.3 Representación de un depósito por una rejilla en coordenadas cilíndricas.

El enfoque aquí es natural, se asume que el flujo es simétrico alrededor del pozo, y el uso de coordenadas cilíndricas con el eje z es idéntico con el eje del pozo (Fig. 9.3). Este modelo supone que el dominio de la solución es simetría axial y todas las propiedades de las rocas, así como condiciones de contorno son funciones de r, z y t solamente. Por otra parte, las condiciones iníciales (y las fuerzas de gravedad), también debe mantener esta simetría que implica que el eje z debe ser vertical. Después de la transformación de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas (véase el Capítulo 7, Sección 7.10), obtenemos:

1

𝑟 𝜕

𝜕𝑟 𝑟𝜆𝑅𝑙

𝜕𝑝𝑙

𝜕𝑟− 𝛾𝑙

𝜕𝑕

𝜕𝑟 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍𝑙

𝜕𝑝𝑙

𝜕𝑧− 𝛾𝑙

𝜕𝑕

𝜕𝑧

= 𝜕

𝜕𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 + 𝑞𝑙 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (9.3)

La ecuación (9,3) está escrita para un sector angular de θ=1 radián y debe multiplicarse por 2π para obtener los volúmenes correctos. Además, todas las propiedades deben estar en promedio en la dirección angular. Como regla general, los modelos de simulación de la conicidad son sólo para una pequeña parte de un yacimiento (equivalente a unas pocas cuadras de una red de área) y la comunicación de la parte seleccionada con el resto de la reserva deberá estar representada por las condiciones de frontera (flujo a través de las fronteras exteriores). Las aplicaciones típicas de un modelo sencillo de simulación de pozos incluyen conicidad de agua, conicidad de gas y pruebas de pozos. 9.2.4 Comentarios generales

(a) Al escribir las ecuaciones de flujo, se suponía que la permeabilidad de kx, ky, kz son los ejes principales

del tensor de permeabilidad. En el caso de pozo sencillo, el uso de kr también implica kx = ky = kr (véase el Capítulo 2, Sección 2.3.1). (b) Se han mantenido los términos de gravedad, en algunos casos en los que normalmente es cero, por

ejemplo, γl (∂h/∂x) En la ecuación (9.2) y γl (∂h/∂r) en la ecuación (9.3). Esto es porque estos términos pueden ser distintos de cero, en la cooperación curvilínea o inclinada, en general los sistemas de coordenadas.

9.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN Y SU COMPARACIÓN

9.3.1 Discretización en 2-D

Los métodos para discretización y solución de las ecuaciones desarrolladas en 1-D en el capítulo 5, se pueden aplicar directamente a los problemas 2-D y 3-D. La única diferencia es en los términos adicionales que incluyen el flujo en las direcciones adicionales que se consideran. Considere las ecuaciones 2-D (9.1). Unos típicos elementos de diferencia finita se muestran en la figura. 9.4.

266

Fig. 9.4 Un elemento típico de una red de área.

Tenga en cuenta que Δx, se define como:

𝛥𝑥𝑖 = 1

2 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =

1

2 𝛥𝑥𝑖+1/2 + 𝛥𝑥𝑖−1/2 (9.4)

Y una definición similar se utiliza para Δy (Capítulo 3, Sección 3.5). El flujo límite en la dirección x ahora es discretizado de la misma manera que para un caso de 1-D (Ecuación (5.6)). Después de multiplicar la ecuación Δxi Δyj obtenemos:

𝛥𝑥𝑖𝛥𝑦𝑗 𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑋𝑙

𝜕𝑝𝑙


𝜕𝑕

𝜕𝑧 ≃ 𝛥𝑥𝑇𝑋𝑙𝛥𝑥 𝑝𝑙 − 𝛾𝑙𝑕

≡ 𝑇𝑋𝑙 𝑖+1/2 ,𝑗 𝑃𝑙𝑖+1 − 𝑃𝑙𝑖 − 𝛾𝑙𝑖+1/2 𝑕𝑖+1 − 𝑕𝑖 𝑗

+ 𝑇𝑋𝑙 𝑖−1/2 ,𝑗 𝑃𝑙𝑖−1𝑃𝑙𝑖𝛾𝑙𝑖−1/2 𝑕𝑖−1 − 𝑕𝑖 𝑗 (9.5)

La transmisibilidad de la fase 𝑙 es:

𝑇𝑋𝑙 𝑖+1/2 ,𝑗 = 𝜆𝑋 𝑖+1/2 ,𝑗 𝐴 𝑖+1/2 ,𝑗

𝛥𝑥𝑖+1/2= 𝜆𝑥 𝑖+1/2 ,𝑗

𝛥𝑦𝑗 𝛥𝑧 𝑖+1/2 ,𝑗

𝛥𝑥𝑖+1/2 (9.6)

La dirección (y) esta en términos análogos:

𝛥𝑦𝑇𝑌𝑙𝛥𝑦 𝑝𝑙 − 𝛾𝑙𝑧 ≡ 𝑇𝑌𝑙𝑖 ,𝑗 +1/2 𝑝𝑙𝑗 +1 − 𝑝𝑙𝑗 − 𝛾𝑙𝑗 +1/2 𝑕𝑗+1 − 𝑕𝑗 𝑖

+ 𝑇𝑌𝑙𝑖 ,𝑗−1/2 𝑝𝑙𝑗 −1 − 𝑝𝑙𝑗 − 𝛾𝑙𝑗 −1/2 𝑕𝑗−1 − 𝑕𝑗 𝑖 (9.7)

Dónde:

𝑇𝑌𝑙𝑖 ,𝑗+1/2 = 𝜆𝑌𝑖 ,𝑗+1/2 𝛥𝑥𝑖𝛥𝑧𝑖 ,𝑗 +1/2

𝛥𝑦𝑗 +1/2 (9.8)

Ahora, la ecuación en diferencias finitas se puede escribir en una forma compacta como:

𝛥𝑇𝑙𝛥 𝑝𝑙 − 𝛾𝑙𝑕 𝑖𝑗 = 𝛥𝑥𝑇𝑋𝑙𝛥𝑥 𝑝𝑙 − 𝛾𝑙𝑕 + 𝛥𝑦𝑇𝑌𝑙𝛥𝑦 𝑝𝑙 − 𝛾𝑙𝑕 𝑖𝑗

= 𝑉𝑖𝑗

𝛥𝑡 𝛥𝑡 𝜙

𝑆𝑙

𝐵𝑙 𝑖𝑗

+ 𝑄𝑙𝑖𝑗 𝑙 = 𝑤, 𝑛 (9.9)

267

Cuando el volumen de bloque asociado es:

𝑉𝑖𝑗 = 𝛥𝑧𝑖𝑗 𝛥𝑥𝑖 𝛥𝑦𝑗 (9.10)

Y Qij es la fuente total de plazo para el bloque. Las ecuaciones de diferencias finitas para la ecuación. (9,3) son formalmente iguales. Como se discutió en detalle en el capítulo 3 (Sección 3.6) los límites por categorías para el cálculo del volumen son elegidos por (Fig. 9.5):

𝑟𝑖+1/2 = 𝑟𝑖+1

2 − 𝑟𝑖2

ln 𝑟𝑖+12 /𝑟𝑖

2

1/2

𝑧𝑘+1/2 = 1

2 𝑧𝑘 + 𝑧𝑘+1 .

Fig. 9.5 Un elemento típico de la red cilíndrica.

Y las transmisibilidades TR y TZ para este caso son:

𝑇𝑅𝑙 𝑖+

12 ,𝑘

= 4𝜋𝑟𝑖+1/2

2 ∆𝑧𝑘

𝑟𝑖+1/22 − 𝑟2

𝜆𝑅𝑙 𝑖+1/2 ,𝑘 (9.11)

𝑇𝑍𝑙𝑖 ,𝑘+1/2 = 4𝜋𝑟𝑖+1/2

2 − 𝑟𝑖−1/22

∆𝑧𝑘+1/2𝜆𝑍𝑙𝑖 ,𝑘+1/2 (9.12)

El volumen del bloque es:

𝑉𝑖𝑘 = 𝜋∆zk ri+

12

2 − ri−

12

2 (9.13)

Las ecuaciones 5.5 y 9.9 son similares pero tienen diferencias en algunos términos (left-hand -side). La ecuación 9.9 puede ser escrita en cualquier forma derivada de la matriz en el capitulo 5, las diferencias se derivan de la forma de la matriz T (y T’ para los métodos de transmisibilidad implícitos). Para el método SS la matriz T deberá ser una diagonal de 5 bloques, mientras para el método IMPES, T será una diagonal de 5. Estas comparaciones y resultados

se ven el (capitulo 5, sección 5,4.2) igualmente validos en 2D debido a la simetría de los coeficientes, sin embargo los limites de estabilidad serán diferentes. 9.3.2 Estabilidad de los métodos IMPES y SS en dos dimensiones.

La estabilidad con respecto a Pc, obstaculiza nuestra derivada y limita la estabilidad del método IMPES para un flujo

incompresible. En un análisis lineal, nosotros escribimos el equivalente de la ecuación 5.43 como:

𝑇𝑤∆2𝑝𝑛+1 =𝑉

∆𝑡 ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑇𝑤𝑃´𝑐∆

2𝑆𝑤𝑛 + 𝑄𝑤 (9.14𝑎)

𝑇𝑤𝑛 ∆2𝑝𝑛+1 = −𝑉𝑝

∆𝑡 ∆𝑡𝑆𝑤 + 𝑄𝑛 (9.14𝑏)

Donde:

𝑇1∆2𝑝 ≡ 𝑇𝑡𝑋𝑙∆𝑥

2 𝑝 + 𝑇𝑌𝑙 ∆𝑦2𝑝 (9.15𝑎)

268

𝑇𝑤 𝑃′𝑐∆2𝑆𝑤 ≡ 𝑇𝑋𝑤𝑃′𝑐 ∆𝑥

2 𝑆𝑤 + 𝑇𝑌𝑤 𝑃′𝑐 ∆𝑦2 𝑆𝑤 (9.15𝑏)

Con esta notación, se reescribe la ecuación para los errores e1, e2 en la forma de la ecuación 5.44. La combinación de estas ecuaciones es dada por:

𝑇𝑛 ∆2 𝑒2𝑛+1 + 𝑇𝑤∆2 𝑒2

𝑛+1 = 𝑇𝑤 𝑃′𝑐 ∆2 𝑒1𝑛 (9.16)

Ahora se busca una solución de la forma:

𝑒𝑘𝑖𝑗𝑛 = 𝑒𝜉𝑘𝑖𝑗

𝑛 𝑒 −1𝛼𝑥𝑘 𝑖 𝑒 −1𝛼𝑦𝑘 𝑗 𝑘 = 1.2

Donde:

𝛼𝑥𝑘 = 𝑚𝑥𝑘 ∆𝑥 𝛼𝑦𝑘 = 𝑚𝑦𝑘 ∆𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑥𝑘 , 𝑚𝑦𝑘 > 0

Suprimiendo los índices i y j

𝑇𝑙∆2𝑒2 = −𝛾𝑙2 𝑒2 𝑙 = 𝑤, 𝑛 𝑇𝑤 ∆2 𝑒1 = −𝛾𝑤1 𝑒1

Donde ahora γlk es una suma dada por

𝛾𝑙𝑘 = 𝑇𝑋𝑡4 sin2𝛼𝑥𝑘

2+ 𝑇𝑌𝑙4 sin2

𝛼𝑦𝑘

2 𝑙 = 𝑤, 𝑛 𝑘 = 1.2 (9.17)

Sustituyendo la ecuación 9.16 dada la generalización de la ecuación 5.46

𝑒2𝑛+1 = 𝑃𝑐

′ 𝛾𝑤1

𝛾𝑤2 + 𝛾𝑤2 𝑒1

𝑛 (9.18)

Sustituyendo la ecuación anterior en 5.44

𝛾𝑛2𝑒2𝑛+1 = −

𝑉𝑝

∆𝑡 𝑒1

𝑛+1 − 𝑒1𝑛

Dado el factor de amplificación para el error e1 como:

𝜉1 = 𝑃𝑐′𝛾𝑤1

𝛾𝑛2

𝛾𝑤2 + 𝛾𝑛2

∆𝑡

𝑉𝑝− 1

Se muestra una restricción en Δt, cuando los resultados serán (sin

2) los términos de la ecuación 9.17 son llevados a

1 (Coats, 1969), entonces la condición de rendimiento será l ξ l <1

∆𝑡 <1

2

𝑉𝑝

𝑃𝑐′

𝑇𝑤 𝑇𝑛

𝑇𝑤 + 𝑇𝑛

(9.19)

Donde:

𝑇𝑙 = 𝑇𝑋𝑙 + 𝑇𝑌𝑙

La cual es la generalización de la ecuación (5.47). Esta ecuación es un caso especial de la condición general derivada por Coats. Una importante consecuencia de (9.19) es Δx y Δy son diferentes, y la estabilidad es controlada por un pequeño tamaño de malla. Esto se ve reescribiendo la ecuación (9.19) usando las ecuaciones (9.6) y (9.8) como:

∆𝑡 <1

2

𝑉𝑝

𝑃𝑐′

1

𝑇𝑤+

1

𝑇𝑛 ≤

𝑉𝑝

∆𝑧 ∆𝑦∆𝑥

+∆𝑥∆𝑦

min

𝜇𝑤

𝑘𝑟𝑤+

𝜇𝑛

𝑘𝑟𝑛

𝑃𝑐′

(9.20)

La anterior ecuación se aplica flujo en un sistema x/y. en contraparte para un problema cross-sectional puede esta dado por el intercambio de Δy y Δz:

269

∆𝑡 <𝑉𝑝

∆𝑦 ∆𝑧∆𝑥

+∆𝑥∆𝑧

min

𝜇𝑤

𝑘𝑟𝑤+

𝜇𝑛

𝑘𝑟𝑛

𝑃𝑐′

(9.21)

Se asume entonces si queremos simular el rendimiento de un yacimiento con un modelo areal con dimensiones de la malla Δx y ΔyA y espesor Δz; con un modelo cross-sectional de dimensiones Δx y Δzc y espesor Δy. Usualmente, Δx ≈ Δy, pero Δz < Δz, si kx ≈ ky = k, obtenidas en (9.20) y (9.21)

𝑅 =∆𝑡𝑐𝑟𝑜𝑠𝑠

∆𝑡𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙= 2

𝑘∆𝑧𝑐2

𝑘𝑧∆𝑥∆𝑦𝐴

𝑘

𝑗 (9.22)

Donde K es el numero de bloques verticales en el modelo cross-sectional y J es el numero de bloques en la dirección Y del modelo areal. Se asumió en la ecuación (9.20) que Δz = K Δzc y en la ecuación (9.21) Δy = K ΔyA. El radio R es pequeño frecuentemente, por ejemplo, si Δz = 10ft, Δx = Δy = 1000ft, k = 10 kz y K= J, donde se obtuvo R = 0.002.esto conduce al siguiente comentario: El límite de estabilidad la cual no es importante para un modelo areal puede forzar time steps muy pequeños en un modelo cross-sectional (o 3D). El límite de estabilidad es una falla considerable del método IMPES. Por otro lado, el método SS es

incondicionalmente estable con respecto a Pc. La generalización del caso 1D para flujo en tres fases es realizado por definición:

𝑇𝑙 = 𝑇0 + 𝑇𝑤 + 𝑇𝑔

En 9.19 Estabilidad con respecto a las transmisibilidades. Es posible extender fácilmente los resultados en 1D. Comenzamos con la saturación de forma 2D en la ecuación 5.58

−𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑠

𝑄𝑥 𝑆𝑤𝑖 − 𝑆𝑤𝑖 𝑗𝑛 + 𝑄𝑦 𝑆𝑤𝑗 − 𝑆𝑤𝑗 𝑙

𝑛 =

∆𝑝

∆𝑡(𝑆𝑤

𝑛+1 − 𝑆𝑤𝑛 )𝑖 (9.23)

Donde Qx y Qy están relacionadas con la velocidad total de Darcy

𝑄𝑥 = 𝑢𝑥∆𝑧 ∆𝑦 𝑄𝑦 = 𝑢𝑦∆𝑧 ∆𝑥

El análisis hecho por FOURIER en el capitulo 5 (Sección 5.4) puede repetirse con el resultado

𝐶 =𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑠

∆𝑡

∆𝑝(𝑄𝑥 + 𝑄𝑦) < 1 (9.24)

Siguiendo la estabilidad de condición:

∆𝑡 ≤𝑉𝑝

𝑑𝑓𝑤𝑑𝑆𝑠

(𝑄𝑥 + 𝑄𝑦) (9.25)

El resultado de la ecuación 9.25 podría se expresado en términos de la velocidad de avance de flujo frontal, en analogía con el caso 1D, se asume la velocidad de una línea de saturación constante en el plano x-y dada por:

𝑢𝑥𝑠 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑠𝑤

= 𝑢𝑥


𝑢𝑦𝑠 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑠𝑤

=𝑢𝑦

∅


Se rescribe la ecuación 9.25 como:

∆𝑡 𝑢𝑥𝑠

∆𝑥+

𝑢𝑥𝑠

∆𝑦 =

𝑙𝑥∆𝑥

+ 𝑙𝑦

∆𝑦 ≤ 1 (9.26)

Donde lx y ly son la distancia de avance el frente en x y dirección en y.

270

Para comparación, el caso 1D se escribe como:

𝑙𝑥∆𝑥

≤ 1 (9.27)

Es obvio que el límite de estabilidad en 2D es siempre menor que en el correspondiente caso 1D, y puede ser fácilmente demostrado por comparación de estabilidad de los simuladores de pozo en 1D y 2D. Debido a que Δz es usualmente pequeño, el limite de estabilidad en 2D puede ser drásticamente reducido si es considerable que ocurra flujo vertical (sección 5.5 del capitulo 5). 9.3.3 Comparación de varios métodos de solución y requerimientos computacionales

Hay cuatro tipos básicos de métodos de solución: IMPES, método SS explicito (con respecto a las transmisibilidades), secuencial (SEQ), y el método SS implícito. La selección del método más eficiente para un problema dado depende de dos factores básicos:

a) El trabajo necesario para obtener la solución de la diferencia de ecuaciones en un time step. Esto depende del tamaño del grid, del método mismo y el algoritmo usado para resolver las ecuaciones algebraicas.

b) El limite de estabilidad y por consiguiente el máximo tamaño de time step que puede ser usado para un método dado. Esto depende del tipo de problema a ser solucionado. Note que la precisión de los requerimientos pueden también limitar el máximo tamaño del time step.

9.3.3.1 Trabajo por Time Step y Almacenamiento

Para comparar el trabajo por time step, w, se considera un grid 2D rectangular de I y J puntos, y se asume que el trabajo es consumido en la solución de las ecuaciones de la matriz. Primero asumimos que la solución es obtenida por la eliminación directa con el trabajo estimado,

W=CB2N (9.28)

Donde B es el ancho de banda, N el total de números desconocidos y C es una constante que depende de la eficiencia de programación. Entonces podemos computar el trabajo para los cuatro métodos. Esta comparación para el flujo bifásico es presentado en la tabla 9.1 y para el flujo trifásico en la tabla 9.2 donde asumimos para ambos casos que I >=J. la ultima columna es dada por el trabajo del radio en relación al trabajo por el método IMPES y se

pueden hacer importantes observaciones:

a) El trabajo depende principalmente en la dimensión mas pequeña de (J), esto es frecuentemente conveniente para compara el trabajo por grid block y el time step, el cual en W, = WTs/IJ. entones W, = J2,

i.e., donde el simulador desarrollara un problema de una malla de 50 X 15 cuatro veces más rápido que una malla de 25 X 10.

b) El desarrollo por el método SS es mucho más largo y es el mismo para las versiones explicito e implícito. Por tanto, la formulación del SS es requerida por la inestabilidad de Pc, esto puede hacerse implícitamente

sin un significativo aumento en el tiempo de corrida. c) El método secuencial (SEQ) es 3-4 veces más rápido que el método SS. Esto es significativo porque el

método SEQ elimina Pc y la inestabilidad del IMPES. d) El trabajo del IMPES es independiente del número de fases, mientras para SS y SEQ el número de fases

incrementa dramáticamente el problema. El problema de tres fases requiere 3 a 4 veces mas de trabajo por time step que para dos fases, esto se mostro en el desarrollo por los métodos SS y SEQ.

e)

En general, el trabajo para el método SS aumenta para 3 fases (desarrollo de ecuaciones diferenciales). Por esta razón, el método tipo de SS tiende a no encontrar una solución rápida para un sistema de 3 ecuaciones. Un análisis similar puede hacerse para un buen almacenamiento.

271

De nuevo el método SS exige un almacenamiento al aumentar el número de fases. Se asume un almacenamiento requerido para toda la franja, la aproximación del almacenamiento S requerido para el flujo de 2 y 3 fases esta en la tabla 9.3 y 9.4.

Las estimaciones de WTS y S dados aquí son basadas en algunas simplificaciones de hipótesis. Esto no se hizo teniendo en consideración simetrías y el uso de técnicas las cuales son más eficientes que una eliminación estándar. Las estimaciones relativas para WTS continúan siendo acertadas para diferente orden de ecuaciones y serán diferentes para matrices grandes en las cuales una eficiencia directa o métodos interactivos se aproximaran CN

3

(Capitulo 8). No obstante, nuestra comparación ilustra una relación de tres medos diferentes y observamos el almacenamiento que nos interesa.

9.3.3.2 Eficiencia total

La eficiencia total depende sobre el trabajo requerido por time step y el numero total de time step necesario para alcanzar la solución final, i.e., el trabajo total es dado por W = WTs x Numero de time steps requeridos.

El número de pasos de tiempo necesario para simular un problema determinado depende de la estabilidad del método para el problema dado. En general, es imposible predecir el número de pasos de tiempo necesario sin algunos experimentos numéricos o la experiencia con problemas similares. Por lo tanto, sólo puede darse orientaciones generales aquí.

272

la mayoría de los problemas de muestreo de áreas son tratable por el método de IMPES. La velocidad y bajo los requisitos básicos del método IMPES permitirme el uso de un gran número de bloques. Los problemas de la sección transversal con Pc baja pueden ser resueltos por el método de IMPES. Con Pc de gran tamaño o un grid, el método SEQ es más eficiente que el método IMPES. Para la mayoría de los problemas de la

sección transversal, el método de la SEQ será lo suficientemente estable y no más rápido que el método de la SS. Sin embargo, los problemas difíciles, como la inyección de gas en una o tres problemas de fase puede exigir el método de la SS. Por último, para un solo pozo los problemas de la linealizada método SS implícita ofrece una mejor fiabilidad. Algunos autores (spillette et al., 1973) afirman que el método de la SEQ se puede utilizar como base para los simuladores de propósito general. Nuestra experiencia es nos permite decir que la estabilidad de la SEQ método es ligeramente inferior en comparación con el método de la SS para problemas relativos. Además, el hecho de que el método de la SEQ no puede cumplir con rigor de balance de materiales puede ser cuestionable en algunos casos. Sin embargo, cuando se proceda, el método de la SEQ se traducirá en un ahorro considerable sobre el método de la SS. Por último, la eficiencia de la simulación puede ser optimizada mediante el uso de la formulación implícita sólo cuando sea necesario y por la resolución de las ecuaciones de forma explícita en otra parte. Esta idea es relativamente fácil de implementar por una combinación de la SEQ y el método IMPES (MacDonald y los abrigos, 1970), pero su aplicación resulta difícil cuando el método se incluye SS (Set 1974).

9.4 CONDICIONES FRONTERA

Las cuestiones de la representación adecuada de las condiciones de frontera han recibido un análisis teórico relativamente bajo en la literatura de la ingeniería de petróleos. Las condiciones de contorno para problemas típicos de la hidrología se examinan a fondo por Bear (1972).

En la simulación de yacimientos, el flujo de entrada y salida del sistema se produce sólo en las fronteras, tales como los límites exteriores de la reserva y en los límites de los pozos. Esta última debe ser idealizada como la línea de Dirac o de fuentes puntuales, en las simulaciones de la sección transversal de área y porque el radio del pozo es muy pequeño en comparación a el grid. El límite bien, sin embargo, puede ser representado correctamente en un modelo muy sencillo. Es costumbre en la simulación de yacimientos para representar el flujo a través de todas las fronteras de fuente / sumidero utilizar términos y condiciones para sustituir el límite actual de Neuman homogéneo (sin flujo), condiciones de contorno en toda la frontera. Hemos demostrado en el capítulo 7 (sección 7.4.3) que este enfoque es equivalente, al nivel de diferencias finitas, a la discretización de las condiciones de contorno original y nos permite tratar todas las fronteras (es decir, las fronteras exteriores y así) en el misma manera. Por lo tanto, los términos de origen en las ecuaciones (9,1) a (9,3) será siempre singular (Dirac) funciones que se definirán de tal manera de representan las condiciones de contorno real. 9.4.1 Formulación diferencial

Las condiciones de contorno para las ecuaciones (9,1) a (9,3) se obtienen como una extensión del caso monofásico discutido en el capítulo 7, sección 7.4. Para el flujo monofásico, especificando el caudal a través de la frontera da una formulación con una solución única. Para el flujo multifase, la situación es más complicada y el caudal de todas las fases deberá ser indicado, aunque no son necesariamente independientes. Como se discutió en el capítulo 7, hay dos tipos básicos de fronteras (véanse las figuras 7.7 y 7.8):

1. Frontera cerrada (𝛤2 ) no hay flujo de cualquier fase a través de una frontera cerrada, el producto de la velocidad de

Darcy y el vector normal n se desvanecen:

𝑞𝑖=𝜆𝑙 𝛻𝑃𝑖 − 𝜸𝒊𝛁𝒉 . 𝒏 = 𝟎, 𝒍 = 𝟎, 𝒘, 𝒈 𝒐𝒏 𝜞𝟐 (9.29)

Donde n es la normal a la frontera y 𝜆𝑙 = 𝑘𝑘𝑟𝑙 /𝜇𝑡es la capacidad de transmisión entre la dirección de la normal.

Tenga en cuenta que el gradiente de potencial debe anularse sólo si la fase en particular es móvil en (𝜆𝑙 >0) la

frontera. la ecuación (9.29) está escrito en términos de 𝜆𝑙 en las condiciones de reserva este no incluye el factor

volumétrico de formación Bi. 2. Fronteras abiertas al flujo (𝛤1) y (𝛤3). En este caso, las tasas de flujo 𝑞𝑙 al cruzar la frontera son especificadas. El flujo

en unidades de reserva es:

273

𝜆𝑙 𝛻𝑝𝑙 − 𝛾𝑙∇h . n = ql Γ ΓΓ1, Γ2 (9.30)

En la frontera 𝛤3, donde se inyectan los líquidos, las tasas de flujo para cada fase son controladas y por lo tanto

conocidas. en el caso de la inyección real, por lo general sólo una fase que se inyecta, o la composición de la mezcla se sabe. Asimismo, la inyección representa a menudo la influencia de las partes de un depósito más allá del límite elegido Γ. en este caso, el límite de la inyección se divide generalmente en zonas donde se inyecta una sola fase. En ambos casos, el saber la cantidad es la tasa total de 𝑄𝑡𝑖 para un límite dado 𝛤3 representa un pozo o de una zona de

inyección. Por lo tanto, mientras ecuación 𝑞𝑙(𝛤) (9.30). No se sabe, se puede especificar

𝑄𝑙 = 𝑞𝑙𝛤3

𝛤 𝑑𝛤 𝑙 = 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑎 (9.31)

Esta ecuación es un obstáculo más que una condición de borde. Una situación diferente existe en la frontera 𝛤𝑙 ,

donde los fluidos se producen normalmente en el pozo. En esta distribución de la frontera de las fases no pueden ser controladas: de hecho, la distribución de fluidos de producción es el principal resultado de esto, por ejemplo, una simulación de la conicidad. La condición impuesta, que de nuevo es un obstáculo más que una condición de borde, es el Especificado tasa total de flujo de petróleo del pozo.

𝑄𝑙𝑜 = 𝑞𝑜𝛤1

𝛤 𝑑𝛤 (9.32)

O rata de liquito total

𝑄𝑇𝐿 = (𝑞𝑜 + 𝑞𝑤 )𝛤1

(9.33)

O rata de fluido total

𝑄𝑇𝐿 = (𝑞𝑜 + 𝑞𝑤 + 𝑞𝑔)𝛤1

(9.34)

También, se puede expresar para especificar las tasas a las condiciones estándar, en lugar del yacimiento. El problema de la asignación de condiciones de contorno 𝑞𝑙(z) para la producción o los límites de la inyección, por lo

tanto dos aspectos posibles:

1. En un punto dado en la frontera, el caudal debe ser distribuido entre las fases. Este problema ha sido discutido en detalle en el capítulo 5, sección 5.7

2. El flujo de cada fase deben ser distribuidos a lo largo de la frontera La distribución correcta debe, por supuesto, cumplir la ley de Darcy. Podemos escribir, por ejemplo, para el caso de velocidad del líquido total especificada

𝑞𝑙(𝛤)

𝑞𝑜(𝛤)=

𝜆𝑙 𝑑𝑝𝑙

𝑑𝑛− 𝛾𝑙

𝜕𝑕𝜕𝑛

𝛤1

𝜆𝑜 𝑑𝑝𝑙

𝑑𝑛− 𝛾𝑜

𝜕𝑕𝜕𝑛

𝛤1

𝑙 = 𝑤, 𝑔 (9.35)

Y

𝑄𝑇𝐿= 𝜆𝑤 𝑑𝑝𝑤

𝑑𝑛− 𝛾𝑤

𝜕𝑕

𝜕𝑛 + 𝜆𝑙

𝑑𝑝𝑜

𝑑𝑛− 𝛾𝑜

𝜕𝑕

𝜕𝑛

𝛤𝑙

𝑑𝛤 (9.36)

Por lo tanto, las presiones y las saturaciones en la frontera son conocidas, estas ecuaciones se pueden utilizar para definir 𝑞𝑙 . El problema es definir las condiciones límite en la distribución de los caudales sin saber la solución.

9.4.2 condiciones de compatibilidad y sus limitaciones

La distribución de las tasas a lo largo de la frontera no siempre es arbitraria. Por ejemplo, para una buena producción, la presión en la frontera debe ser la misma que la presión en el pozo. la distribución de presión en el pozo, puede ser calculada a partir de las ecuaciones de flujo multifásico en tuberías verticales, determinando la

274

distribución de la producción a lo largo de la frontera perforada. Este requisito de la compatibilidad debe ser tenido en cuenta sobre todo en las seccionales y los problemas de la conicidad y se discuten con más detalle en la sección 9.8 Del mismo modo, la compatibilidad de las presiones que determinan el flujo entre la matriz y la fractura en un yacimiento fracturado. Condiciones de este tipo pueden también producirse en los límites de la inyección, en estos casos las condiciones de contorno se utilizan para darse cuenta la influencia del resto del sistema, por lo tanto no se simula, ya que las condiciones de contorno para un modelo se determinan a partir de la simulación de una mayor porción. Una restricción de un tipo diferente es a menudo importante en la práctica, cuando tiene una buena producción sujeta a un determinado ritmo y una mínima presión de flujo en el fondo del pozo. Este caso es una combinación de la tasa y las condiciones límite de presión. 9.4.3 Formulación en diferencias finitas 9.4.3.1 ecuaciones en diferencias de los puntos fronterizos El manejo de puntos de la frontera el manejo de las condiciones de contorno en la ecuación de diferencias finitas es exactamente como en un solo flujo de fase. Como se discutió en detalle en el capítulo section7.4 (7), los límites que se supone que no hay flujo y la corriente se explican por los términos fuente. Las ecuaciones de los puntos de la frontera de nuevo se pueden escribir en la forma (9,9), si los coeficientes son convenientemente modificados. Por ejemplo, para el caso de la figura 7.9, es suficiente para definir:

𝑇𝑋𝑙𝑖−1/2 = 0 𝑋𝑖−

12

= 𝑋𝑖

Figura 9.6 representación de los pozos en los diferentes tipos de grids. (a) Single well

(b) Cross-section (c) areal

Y utilizar de nuevo las ecuaciones de los tipos de (9,6) y (9,8) para calcular 𝑇𝑋𝑙 y 𝑇𝑍𝑙 .

Pasamos ahora a la cuestión de determinar los términos fuente 𝑞𝑙 en un punto límite determinado. Esto es

completamente análoga al caso 1-D discutido en la sección 5.7 (capítulo 5), una vez que los términos de la transmisibilidad han sido adecuadamente definidas.

275

Consideremos en primer lugar de producción a través de una cara de un solo bloque (i, k), como se muestra en la figura 9.6 (a). Esto puede representar un límite y para un modelo de conicidad o una frontera a través del cual hay un movimiento de fluido. Entonces podemos discretizar la ecuación. (9.30) como en el caso 1-D

𝑄 = −𝜆𝑋𝑙𝑖

∆𝑧∆𝑦

∆𝑥𝑖+1/2 𝑝𝑙𝑖+1 − 𝑝𝑙𝑖 − 𝛾𝑙𝑖+1/2 𝑕𝑖+1 − 𝑕𝑖 − 𝑇𝑄𝑙𝑖∆𝜙𝑙𝑖+1/2 (9.37)

Para dentro de la grid, ya sea en las secciones transversales (Fig. 9.6B) o el modelo de áreas (Fig. 9.6c), el caudal puede ser expresado como:

𝑄𝑙 = −𝑊𝐼 l ∆Ф𝑙 = −𝑇𝑄𝑙∆Ф𝑙 (9.38)

Donde W saber que l = rlkk / l

es un coeficiente de movilidad, representante de la zona alrededor del pozo,

y ∆Ф es la diferencia de presión entre la presión del flujo de agujeros de fondo y la presión de la media de la W

coeficiente block.The es proporcional al índice de productividad del pozo consuetudinario, pero no incluye el efecto de la movilidad de fluidos. La ecuación (9.38) para la fase de aceite se convertirá en el índice de productividad familiar ecuación

𝑄𝑜 = 𝑃𝐼∆Ф𝑜

Si la presión del bloque está cerca de la presión al que el radio de drenaje del bien y si Sw= Swc y Mx = 0. El WI coeficiente puede ser calculado a partir de PI por medio de 𝑜 𝑆𝑤𝑐, 𝑆𝑔 = 0 y, si es necesario, que representa el

tamaño de bloque (que puede ser menor que el radio de drenaje). Esto puede hacerse utilizando métodos descritos en la sección 7.7 (el capítulo 7). Una vez que hemos definido los términos de la transmisibilidad TQ (9.37) o (9.38) las distintas opciones y los métodos para la distribución de la tasa considerada en el capítulo 5 se pueden aplicar directamente. 9.4.3.2 Distribuciones de la producción entre los bloques

De la fórmula para la distribución de la producción entre los bloques se obtiene de la fórmula de un solo bloque por la suma de los bloques. En una muestra de simulación de la sección o la conicidad, el bien normalmente penetrar una columna de bloque y se puede escribir para el caso de la tasa total de QRR

𝑄𝑙𝑘 =(𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙)𝑘∆Ф𝑙𝑘

(𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙)𝑘∆Ф𝑙𝑘𝑙𝑘𝑄𝑇𝑇 (9.39)

Para el método de la distribución de potencial:

𝑄𝑙𝑘 =(𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙)𝑘

(𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙)𝑘𝑙𝑘𝑄𝑇𝑇 (9.40)

Para el método de asignación de transmisibilidad. Es preciso reconocer que la ecuación (9,40) supone no sólo que el gradiente de saturación es cero (i, e., gradiente de potencial igual para todas las fases), sino también el gradiente de potencial igual para todas las capas. Por lo tanto, la asignación de movilidad puede dar resultados erróneos en el caso de la heterogeneidad vertical grande, especialmente cuando no existen capas intercomunicadas (Nolen y Berry, 1972) Ninguno de los métodos anteriores reconoce la condición de compatibilidad en el caso del flujo en el pozo. Mientras que la solución rigurosa a este problema se da en la sección 9.8, vamos a describir aquí un procedimiento de aproximación que pueden ser utilizados con éxito across-secctional y modelos 3D. Consideremos de nuevo una columna vertical de bloques de producción. Suponemos ∆𝜙𝑙𝑘 = ∆𝜙𝑙𝑘 = 𝑝𝑘

𝑤 − 𝑝𝑒𝑘 donde

𝑝𝑒𝑘 se conoce y 𝑝𝑘𝑤 es la presión en el pozo. La caída de presión en el pozo puede ser aproximada por la densidad

en cabeza, lo que da la condición de compatibilidad, como:

)41.9()( 2/11 k

w

k

w

k zpp

Donde 𝜌 es la densidad media. Entonces, las tasas pueden ser expresadas en términos de 𝑝𝑘

𝑤 , que es la presión del pozo perforado en el bloque superior (k=K). La tasa total es por lo tanto:

276

𝑄𝑇𝑇 = (𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙)𝑘 𝑝𝑘𝑤 − 𝑝𝑒𝑘 + 2/1 mz𝑘−1

𝑚=𝑘 𝑙𝑘 (9.42)

La ecuación se puede resolver por 𝑝𝑘

𝑤 y después (9.41) dará 𝑝𝑘𝑤 y ∆𝜙𝑘para cada capa para la determinación de 𝑄𝑙𝑘 :

= 𝐵𝑡𝑇𝑄𝑙 𝑘 𝑝𝑘

𝑤 − 𝑝𝑒𝑘 (9.43) La ecuación (9.42) debe ser resuelta mediante la presión en un tiempo conocido n, y por lo tanto 𝑃𝑘

𝑤 = 𝑃𝑘𝑤𝑛 . El

tratamiento explicito en la ecuación (9.43) introduce inestabilidad y por lo tanto las tasas deben ser tratadas implícitamente:

𝑄𝑙𝑘 = 𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙 𝑘 𝑃𝑘𝑤𝑛 − 𝑃𝑒𝑘

𝑛 + 𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙 𝑘(𝑃𝑒𝑘𝑛+1 − 𝑃𝑒𝑘

𝑛 )

= 𝑄𝑙𝑘𝑛 + 𝑄𝑙𝑃

′ ∆𝑙𝑃𝑒𝑘 (9.44)

Esta ecuación es satisfactoria cuando la transmisibilidad puede tratarse de forma explícita. Sin embargo la tasa total del pozo no se mantendrá con la ecuación (9.44). La desviación con respecto a la tasa prevista es proporcional a los cambios de presión sobre un paso de tiempo y si la tasa se requiere con más precisión, se debe utilizar algún procedimiento iterativo. Con un tratamiento implícito de la transmisibilidad, las tasa también deben incluir términos implícitos con respecto a ∆𝑙𝑆𝑙, como se discutió en la sección 5.7 (capitulo 5).

9.5 CONDICIONES INÍCIALES

La usual condición inicial de un yacimiento fue primero tratada en la literatura por Muskat en 1949, es el estado de equilibrio estático en el cual la velocidad de todas las fases son cero. Entonces las presiones son funciones únicamente de z y

𝑑𝑝 𝑙

𝑑𝑧= 𝛾𝑙 𝑙 = 𝑜, 𝑤, 𝑔 (9.5)

Debido a las diferencias entre la fuerza gravitacional y la fuerza capilar de los fluidos segregados (Fig. 9.7).

FIG. 9.7. Saturación Inicial y distribución de la presión en el yacimiento

Si esto es asumido algunas curvas de presión capilar y saturación crítica son aplicadas para la fase de producción y también pueden ser usadas para el estado en equilibrio, entonces la presión y la distribución de la saturación está determinada únicamente por la especificación de una presión y dos saturaciones de referencia: 𝑆𝑤

𝑟 > 𝑆𝑤𝑐 a una

profundidad 𝑍𝑜𝑤 en la zona de transición aceite-agua, y 𝑆𝑔𝑟 > 𝑆𝑔𝑐 para 𝑍𝑜𝑔 en la zona de transición aceite-gas.

277

En la zona de transición ambas fases son móviles. Teniendo en cuenta que la condición (9.45) se aplica sólo cuando la fase es móvil. Por ejemplo, para elevaciones superiores a 𝑍𝑤𝑐 en la Fig. 9.7, la saturación del agua es 𝑆𝑤𝑐 y por

tanto 𝑃𝑐𝑜𝑤 = 𝑃𝑐𝑜𝑤 (𝑆𝑤𝑐 ). Por lo tanto el agua en esta zona seguirá el gradiente de densidad del aceite como es

mostrado en la figura por una línea discontinua. Del mismo modo, cuando la saturación de agua llega a 𝑆𝑤𝑚𝑎𝑥 y por

consiguiente 𝐾𝑟𝑜 = 0 el gradiente de presión del aceite sigue el gradiente del agua. Sin embargo, esto no es generalmente valido para asumir algunas saturaciones criticas finitas para la fase de aceite en la zona de agua formada por un acuífero natural, donde 𝑆𝑤 = 1. La distribución de saturaciones mostrada por la línea discontinua en

la parte izquierda de la Fig. 9.7, podría resultar para producciones anteriores por un empuje de agua en el fondo del yacimiento, seguido por periodos de cierre. En el modelo de diferencias finitas, es habitual para calcular 𝑃𝑐𝑘 = 𝑃𝑐(𝑍𝑘) y luego definir 𝑆𝑤𝑘 = 𝑆𝑤 (𝑃𝑐𝑘 ). Esto no tiene

en cuenta un promedio sobre el grosor de un block. En el caso extremo de que 𝑃𝑐 → 0 entonces podría conducir a un

error en el volumen inicial en lugar de hasta 𝑉𝑝

2 (𝑆𝑤𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑤𝑐 ). Esto es ilustrado en la Fig. 9.8, donde el promedio

real de la saturación para el block es mostrado por la línea punteada. En la mayoría de los casos este error no es grave debido a grandes incertidumbres en la definición de los volúmenes del lugar del yacimiento. Cuando sea necesario, el promedio se debe hacer mediante la definición de pseudo-funciones para cada capa y en el espesor de la misma, y estas funciones también deben ser utilizadas en la simulación de flujo, por lo menos durante el período inicial. De esta forma, la simulación de flujo horizontal también será coherente con el promedio de las saturaciones. El concepto de pseudo-funciones será discutido en el capítulo 12.

FIG. 9.8. Discretización de las condiciones iníciales.

9.6 SIMULACIÓN DE ACUÍFEROS

Para la producción de petróleo de muchos yacimientos, la fuente de energía es de un acuífero adyacente. El acuífero puede ser siempre simulado por su inclusión en la grid computacional. Porque sólo hay una sola fase de flujo en el acuífero, una grid gruesa puede ser utilizada, como se muestra en la Fig. 9.9.

FIG. 9.9. De una grid que cubre el yacimiento y el acuífero.

Este tratamiento aumenta considerablemente el número de grid blocks necesarios, incluso cuando un grid grueso se utiliza en el acuífero. El aumento del tiempo de ejecución y almacenamiento son sólo rara vez justificados, porque el acuífero no suele ser tan bien definido como el yacimiento. Ya que el acuífero causa la afluencia del agua al yacimiento, su influencia puede ser simulada restringiendo el grid para el yacimiento y definiendo adecuadamente la afluencia de agua en los bloques que están sobre el límite del acuífero del yacimiento. (También es posible extender el grid de modo que los bloques del límite se encuentren en el acuífero; Abrigos (1968).)

278

Tres métodos de cálculo de flujo del acuífero son descritos a continuación: (a) Acuífero „Pot‟. Si el acuífero es relativamente pequeño y esta cerradas las fronteras, este estará en equilibrio

aproximadamente con el yacimiento en todo momento. Por lo tanto, el flujo se produce sólo cuando la presión en los límites del acuífero cambia, por ejemplo.

𝑄𝐴 = −𝑐𝑉𝑝𝐴𝜕P

𝜕𝑡 (9.46)

Donde QA es la rata de entrada en unidades de yacimiento volumen/día, c es la compresibilidad total (agua y roca) en

el acuífero (𝑐 = 𝑐𝑤 + 𝑐𝑅), VpA el volumen poroso del acuífero, y 𝑃 es la presión promedio en el límite

acuífero/yacimiento (asumiendo que puede ser igual a la presión promedio del acuífero 𝑃 𝐴).

En la forma de diferencias finitas, (9.46) se convierte en:

𝑄𝐴𝑖𝑗𝑛+1 = −𝑐𝑉𝑝𝐴𝑖𝑗

(𝑃𝑛+1−𝑃𝑛 )𝑖𝑗

∆𝑡 (9.47)

Donde 𝑃 ha sido reemplazada por la presión 𝑃𝑖𝑗 del bloque y 𝑉𝑝𝐴𝑖𝑗 es la parte del 𝑉𝑝𝐴 esta ‗pertenece‘ al bloque ij del

yacimiento. Por ejemplo, 𝑉𝑝𝐴𝑖𝑗 puede ser definido en el caso áreal como:

𝑉𝑝𝐴𝑖𝑗 = 𝑉𝑝𝐴𝐴𝑖𝑗

𝐴𝑖𝑗

=∝𝑖𝑗 𝑉𝑝𝐴 (9.48)

Donde 𝐴𝑖𝑗 es el área de entrada al acuífero por el bloque (ij) y la sumatoria se extiende a todos los bloques con flujo

al acuífero. En un yacimiento heterogéneo, esto puede ser mejor para distribuir el flujo de acuerdo a las transmisibilidades. (b) Acuífero Infinito en Estado-Estable. (Schilthuis, 1936; Katz y otros. 1963) En este modelo asumen que las presiones en el límite exterior del acuífero no cambian. Entonces la rata de flujo es calculada como:

𝑄𝐴 = 𝐶𝐴(𝑃𝐴 𝑖

− 𝑃 ) (9.49)

Donde 𝑃𝐴(𝑖)

es la presión en el límite exterior del acuífero y se asume que esta es constante.

En la forma de diferencias finitas, nosotros la definimos análogamente con (9.48) 𝐶𝐴𝑖𝑗 = 𝐶𝐴 ∝𝑖𝑗 donde ∝𝑖𝑗 es un

coeficiente que distribuye el flujo entre los bloques, y dejando 𝑃 =1

2(𝑃𝑛+1 + 𝑃𝑛)𝑖𝑗 para el intervalo de tiempo desde

tn hasta t

n+1. Entonces:

𝑄𝐴𝑖𝑗𝑛+1 = 𝐶𝐴𝑖𝑗 𝑃𝐴

(𝑖)− 𝑃𝑖𝑗

𝑛 −1

2𝐶𝐴𝑖𝑗 𝑃

𝑛+1 − 𝑃𝑛 𝑖𝑗 (9.50)

(C) Acuífero en Estado Inestable. Los dos métodos descritos arriba representan casos extremos. Para el pot del

acuífero, el influjo no depende del nivel de presión (la presión promedio del acuífero 𝑝 𝐴 sigue la presión 𝑝 ). Para el

acuífero en estado estable, 𝑝 𝐴 no cambia: 𝑝 𝐴 = 𝑝𝐴(𝑖)

. En realidad, la tasa de influjo está entre estos extremos y se

puede obtener resolviendo la ecuación de flujo transitorio para el acuífero. Este método ha sido desarrollado por Van Everdingen y Hurst (1949), y Hurst (1958) para cálculos analíticos, y permite el cálculo de QA(t) en algunos casos

sencillos. Se pueden obtener soluciones analíticas para dos casos básicos de caída de presión constante (𝑝 𝐴(𝑖 )

- 𝑝 ) o

tasa constante QA (conocidos generalmente como los casos de presión terminal constante y tasa terminal constante). Se puede escoger entre expresar los resultados utilizando ―funciones de influencia‖ QI(t) y PI(t) como se muestra a continuación:

𝑊(𝑡) = 𝑄𝐴(𝑡) = 𝑄𝐼(𝑡)(𝑃𝐴 𝑖

− 𝑃 )𝑡

0 (9.51)

Para el caso de presión constante 𝑃 , y

𝑃𝐴(𝑖)

− 𝑃 (𝑡) = 𝑃𝐼(𝑡)𝑄𝐴 (9.52)

Para el caso de tasa constante QA. Las funciones QI y PI dependen de la geometría y propiedades del acuífero. Por

ejemplo en la sección 7.7 (capitulo 7) se explicó una solución aproximada de la ecuación (9.52) para el caso de un acuífero cilíndrico con radio externo re. Se han tabulado funciones de influencia para muchos otros casos (Katz y

otros., 1963; Katz y Coats, 1968). Teniendo en cuenta que 𝑃 y QA son variables para un acuífero real, la solución

correcta se debe obtener usando el principio de superposición junto con el balance de materia efectuado en el yacimiento (Van Everdingen y Hurst, 1949). Carter y Tracy (1960) propusieron un método simplificado, ideal para

279

aplicar en computadora. Este método emplea la función de influencia de la tasa terminal PI (t) y conduce a la

expresión

𝑄𝐴𝑖𝑗𝑛+1 =∝𝑖𝑗 𝑎 𝑡 + 𝑏 𝑡 (𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛)𝑖𝑗 (9.53)

Donde a(t) y b(t) son funciones de PI(t) y flujo entrante acumulado W(t) (ver ejercicio 9.1 para la definición de a y b). Fetkovich propuso (1971) un enfoque simple, aplicable a cualquier acuífero finito. En este método, la tasa de flujo de entrada durante el paso de tiempo n se calcula a partir de la ecuación de la tasa:

∆𝑡𝑛𝑄𝐴𝑖𝑗𝑛+1 = ∆𝑡𝑛 ∝𝑖𝑗 𝐽𝐴

𝑛(𝑃 𝐴𝑛 − 𝑃𝑖𝑗

𝑛+1 (9.54)

Donde 𝑃 𝐴

𝑛 es la presión del acuífero promedio en el tiempo 𝑡𝐴

𝑛 y J

n es el índice de productividad del acuífero. Después

de que se termina el paso de tiempo, se calcula el flujo de entrada acumulado Wn+1

, y se actualiza 𝑃 𝐴𝑛 +1

usando la

ecuación de balance de materia sobre el acuífero. Fetkovich muestra que uno pueden usar las ecuaciones de estado pseudo-estable o estado estable obtenidas en el capítulo 7, sección 7.7 para definir JA durante un paso de tiempo incluso cuando el comportamiento del acuífero es transitorio. Así, este método es completamente análogo al tratamiento de pozos individuales en el capítulo 7 y mediante una buena elección de la función de tasa (9.54) se pueden abarcar todos los tres tipos de comportamientos de acuíferos descritos anteriormente.

9.7 SIMULACIÓN DE ÁREAS Y LOS PROBLEMAS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

En esta sección, veremos algunas técnicas especiales, la mayoría de las cuales son problemas comunes en las áreas y las secciones transversales. 9.7.1 Uso de Grid Curvilíneo

El grid curvilíneo se ha tratado en detalle en la sección 7.10.2 (Capitulo 7). El tratamiento aplica igualmente a flujo multifásico. Sonier y Chaumet (1974) reportaron el uso de grid curvilíneo ortogonal para simulación áreal. Ellos sugirieron que la distribución de flujo (potencial) en estado estable en una sola fase con pozos fuentes o sumideros se podrían usar para desarrollar líneas equipotenciales y stream lines (líneas de flujo), y estas líneas se podrían usar para definir un grid ortogonal. Esto resulta en un grid con mayor definición alrededor de los pozos, los cuales en cambio pueden requerir tratamiento implícito de las transmisibilidades. Un grid de este tipo es conveniente en el estudio de desplazamientos áreales en patrones de sumideros, cuando se puede construir fácilmente la grid. Tales grid darán predicciones precisas de avance en el tiempo y la presión del pozo con menos grid blocks que una grid cartesiana con una grid convencional refinada irregularmente alrededor del pozo. De acuerdo con Robertson and Woo (1976), un beneficio adicional de la grid curvilínea es que esta reduce los efectos de orientación de la grid. (Ver sección 9.7.3). Para la simulación de un campo entero con un gran número de pozos separados arbitrariamente, la construcción de la grid es más difícil. Porque el número de blocks que pueden ser utilizados están normalmente limitados por las limitaciones del computador, esta grid curvilínea es rara vez utilizada y los detalles del flujo en los alrededores del pozo son obtenidos por los métodos discutidos en la siguiente sección. Hirasaki y O‘Dell (1970) discuten el caso más general de un yacimiento en tres dimensiones (3D) de un yacimiento con dip y espesor variable. Ellos muestran que grandes errores pueden ocurrir, si las transmisibilidades son calculadas para tamaños de block que se proyectan en plano horizontal y el espesor es medido en la dirección vertical. La solución correcta puede obtenerse utilizando siempre grid curvilíneo y el operador diferencial general incluye los términos de las derivadas transversales.

En la práctica, se obtienen buenos resultados con coordenadas cartesianas orientadas a lo largo del plano del yacimiento si el ángulo de inclinación es pequeño o aproximadamente constante, como se muestra en la figura 9.10 (izquierda). Para casos con ángulo de inclinación y espesor variables como se muestra en la figura 9.10 (derecha), puede ser construida una malla aproximadamente ortogonal proyectando un plano cartesiano areal construido en el plano promedio y luego construyendo una malla vertical perpendicular al plano real. La malla vertical construida de esta manera puede ser usada para modelos de sección transversal o para proveer la dirección en la cual el espesor en los bloques es determinado en modelos áreales. En todos los casos las ecuaciones 7.111 pueden ser usadas para calcular las transmisibilidades conociendo todas las dimensiones áreales medidas a lo largo de las superficies y los ∆z perpendiculares a ellas, más que en las direcciones horizontal y vertical. Hirasaki y O‘Dell (1970) también mostraron los errores asociados al usar coordenadas distorsionadas en el plano areal (Fig. 9.11). Tal malla aporta una manera de acomodación conveniente de alineamiento de pozos, fallas y fracturas. Ellos mostraron que despreciar el término de derivada transversal causa grandes errores para θ≥15º.

280

Consecuentemente, esta malla debería ser usada con ecuaciones diferenciales convencionales solamente para ángulos pequeños θ<5º.

Fig. 9.11. Sistema de coordenadas distorsionadas

9.7.2. Tratamiento de pozos individuales

Debido a que el tamaño de bloque es grande comparado con el radio del pozo, un modelo areal o de sección transversal no puede predecir saturaciones y presiones en el pozo sin un tratamiento especial. 9.7.2.1. Predicción de presión de pozo

En problemas de flujo de una sola fase la presión de fondo fluyendo pwf puede ser predicha desde la presión de bloque pij teniendo en cuenta el flujo radial dentro del área del bloque. Ecuaciones apropiadas para esto fueron desarrolladas en el capítulo 7, sección 7.7.

El mismo análisis aplica igualmente para flujo multifásico si Q es la tasa total en unidades de yacimiento y es una movilidad total representativa.

𝜆𝑇 = 𝑘

𝐾𝑟𝑜

𝜇𝑜+

𝐾𝑟𝑤

𝜇𝑤+

𝐾𝑟𝑔

𝜇𝑔

Las tasas para fases individuales son entonces distribuidas como se explica en la sección 9.4. Las ecuaciones (7.60), (7.63), (7.64) o (7.72) son útiles cuando es necesario simular un pozo produciendo en contra de una presión de fondo fija Pw (condición de límite de presión). La tasa desconocida Ql

n+1 es expresada de acuerdo a esas ecuaciones como:

𝑄𝑙𝑛+1 = 𝐶𝑙(𝑝𝑤𝑓 − 𝑃𝑤𝑓

𝑛+1) (9.55)

La cual puede ser fácilmente implementada incluyendo Clpwf en el vector Q y modificando el elemento diagonal correspondiente de la matriz T.

El principal problema al aplicar la fórmula 9.55 es obtener el valor correcto de la movilidad 𝜆𝑇 , la cual debe tenerse

en cuenta para los cambios de saturación de la vecindad del pozo y en general no puede ser determinado desde las saturaciones promedio del bloque. En la sección siguiente, introduciremos métodos para predecir saturaciones en el pozo (o distribución de tazas) a partir de las saturaciones del bloque. Algunos de ellos pueden ser también usados

para obtener la correcta presión de pozo, y pueden ser así vistos como métodos para la determinación de 𝜆𝑇 .

9.7.2.2 Manejo de Producción en Flujo Multifásico

La producción relativa de cada fase (WOR, GOR) depende de las saturaciones en el pozo. Debido a que la saturación Slij es un volumen promedio del bloque, el WOR y GOR calculados son usualmente demasiado grandes cuando son basadas en movilidades calculadas a partir de Slij. Tales cálculos conducen a predicciones optimistas de tasa de recobro de aceite. Este problema es común en simulaciones de 2D y de 3D. Hay muchos métodos los cuales pueden ser usados para obtener predicciones realistas. La idea común es obtener relaciones para comportamiento de conificación de pozo como función de la saturación promedio del bloque Sav = Sij (y posiblemente algunos otros parámetros). El método entonces difiere por las técnicas usadas para predecir el comportamiento cónico. El resultado puede ser usado en el modelo de yacimiento de dos maneras: a. Definiendo las curvas de permeabilidad pseudorelativa que son diferentes de las curvas para flujo dentro del

yacimiento. Estas curvas son entonces usadas para la distribución de la producción. El cambio de las curvas de permeabilidad pseudorelativa depende de los procesos de desplazamiento. Un ejemplo se muestra en la figura 9.12. Para manejo de agua en el fondo la curva de pseudo Krw estará sobre la curva de yacimiento (curva 1, Fig. 9.12). Sin embargo, para la conducción de agua en el borde, la pseudo-curva estará debajo de la curva de la

281

roca (curva 2), debido a que el agua no invadirá los bloques en la periferia (Stright, 1973). Este concepto de pseudo-funciones se discute en el capítulo 12.

Figura 9.12 Permeabilidades Pseudo-relativas para un pozo

b. Desarrollando correlaciones de WOR (GOR) como un función de Sav. Aunque cada pozo podría tener una

correlación única, es posible frecuentemente desarrollar correlaciones generales con parámetros como espesor de la formación etc. (Stight, 1973; Blades y Staright, 1975).

Obviamente, los dos métodos de expresión de comportamiento de conificación son equivalentes. Ahora discutiremos brevemente tres tipos de métodos para obtener esas correlaciones, las cuales también representan tres niveles de sofisticación. (a) Correlaciones de conificación Analítica.

La correlación clásica de Sbocinski y Cornelius (1965), la cual sólo predice el tiempo de ruptura han sido extendidos por Bournazel y Jeanson (1971), Telkov (1971) y Cotin (1971) para predecir WOR. Sin embargo, estas correlaciones generalmente no son confiables hasta que hay suficiente historia para calibrarlas con el comportamiento del campo. Un método de este tipo fue también propuesto por Chappelear e Hirasaki (1976). Su método tiene la forma de una ecuación empírica, la cual es cuadrática en el corte de agua y concuerda adecuadamente con resultados de algunos estudios de modelos de conificación.

(b) Correlaciones basadas en simulación de conificación

Aunque incluso las mejores correlaciones analíticas tienen un número de suposiciones simplificadas, las correlaciones para problemas prácticos son usualmente desarrolladas desde simulaciones desde simulaciones de conificación 2D. El volumen total de poro del modelo de conificación debería al volumen de poro del correspondiente bloque areal. El flujo entrante en el modelo de cono puede ser determinado aproximadamente desde una simulación areal con curvas de kr de yacimiento o estimado desde pseudo-curvas para el pozo. Estas tasas cambiarán cuando las pseudo-curvas propias sean usadas y así las correlaciones deberían ser iterativamente actualizadas hasta que ambos modelos predigan el mismo comportamiento de WOR y GOR. En la mayoría de los casos, la sensibilidad de las correlaciones para la tasa del flujo de entrada es pequeña y las iteraciones no son necesarias.

(c) Modelo de Acoplamiento de un pozo (Conificación) con el modelo de yacimiento

Este es el más riguroso, pero también la aproximación más costosa. El trabajo de Akbar et al. (1974) describe el uso de un simulador radial 1-D acoplado con un modelo areal 2-D. Mientras que esta aproximación da una distribución de presión razonable, no es válida para predecir la conificación debido a que la dimensión vertical es despreciada. Mrosovsky y Ridings (1974) desarrollaron una técnica para acoplamiento de modelos radiales 2D con modelo de yacimiento 3D (o 2D). Este procedimiento predice tanto la presión como las saturaciones del pozo. La técnica incluye iteraciones entre los dos modelos durante un paso de tiempo para obtener el flujo de entrada correcto en el modelo de conificación. Tales enfoques pueden ser demasiado costosos.

9.7.3 Fenómeno de Orientación de la malla

Considere la simulación del desplazamiento en patrón de cinco puntos. Debido a la simetría, la malla puede ser orientada en dos caminos como muestra la figura 9.13, los cuales son llamados malla diagonal y paralela. Debido a que el elemento más pequeño de la simetría es la mitad del la malla diagonal se debería usar este para mejor eficiencia computacional.

282

Fig. 9.13. Definición de Malla paralela (a) y diagonal (b).

Sin embargo, se ha encontrado que bajo ciertas condiciones, las dos orientaciones de la malla suministraran repuestas bastantes diferentes y se han llamado el fenómenos de la orientación del malla. Si se simula la inducción de un solo pozo, los contornos de saturación se verán como se muestras sistemáticamente en la figura 9.14 a y b. Estas dos soluciones son incorrectas debido a que el frente debería ser esencialmente radial hasta que mueve suficientemente cerca de los pozos productores.

Fig. 9.14. Contornos de saturación calculados alrededor de pozos inyectores en malla diagonal (a) y malla

paralela (b).

Para tiempos tempranos los dos perfiles de saturación obtenidos numéricamente son casi idénticos cuando se rotan con el sistema de coordenadas. Es obvio que la irrupción predicha se dará en un tiempo menor que el esperado para la malla paralela y la diagonal este tiempo será mayor que el esperado. El hecho importante, fue reportado por Coats et al (1974), y confirmado por muchos otros, es que la solución de las diferencias finitas converge en dos resultados diferentes para las dos orientaciones de la malla a medida que se refina la malla. Esto indica que el fenómeno no puede ser solo por resultado de errores de truncamiento (un ejemplo similar se discutido en capitulo 5, Sección 5.5.1). Las forma característica de diamante de los frentes de saturación fue señalada primero por Todd et al. (1972). Estos autores encontraron poco efecto de orientación en desplazamiento miscible con una relación de movilidad entre 1 y 10 (desfavorable) y demostraron que la medición de dos puntos aguas arriba de la permeabilidad relativa reduce el efecto, pero la solución aún converge a dos diferentes resultados. El trabajo de Todd et al. (1972) y Spivak et al. (1977) indica que el efecto de orientación es relativamente suave para aplicaciones de inyección de agua. Sin embargo, Coats et al. (1974) han mostrado que el efecto puede ser grande para simulación de desplazamiento con vapor con una tasa de movilidad altamente desfavorable. El problema es aun mas grave para simulación de desplazamiento miscible, donde los resultados son inaceptables aun para tasas de movilidad moderados (Settari et al., 1997). 9.7.3.1 Factores que afectan el efecto de orientación.

En general, el efecto de orientación se incrementa cuando se incrementa la altura del frente de saturación y es más grande para el desplazamiento tipo pistón (Fig. 9.15). La forma del frente depende de las curvas de kr y la tasa de movilidad.

283

Fig. 9.15. Dependencia del efecto de la orientación en las características del flujo fraccional.

Por otro lado, el efecto de orientación decrece con los términos cómo dispersión (presión capilar y gravedad en flujo miscible y dispersión física en desplazamiento miscible), el cual tiende a suavizar el frente (Fig. 9.16). En la solución de problemas miscibles, el error de orientación se incrementa cuando se incrementa la tasa de movilidad desfavorable y disminuye cuando incrementa la dispersión. El efecto es casi cero para unitaria o favorable tasa de movilidad.

Fig. 9.16. Dependencia del efecto de la orientación en los términos de dispersión.

La extensión de los problemas en los efectos de orientación en la sección trasversal son difíciles de evaluar porque este tendría que ser obtenido con la comparación de soluciones analíticas. Sin embargo, creemos que el efecto de la orientación es de hecho beneficioso para aproximaciones estándar de las diferencias finitas. Uno de las preocupaciones principales in los problemas de sección trasversal es la simulación correcta de UNDERRUN O OVERRIDE. Debido a la dispersión numérica (error de truncamiento), a veces es necesario usar un gran número de blocks en dirección vertical para obtener la precisión requerida (Fig 9.17). el efecto de orientación del grid resulta en un flujo preferencial a lo largo de la línea del grid que en este caso contrarresta la MEZCLA vertical causada por la dispersión numérica.

Fig. 9.17 Efecto de la dispersión numérica en la sección trasversal en un problema de inyección de gas.

9.7.3.2 técnicas para eliminar el efecto de la orientación

El origen del efecto de la orientación puede ser mostrado por el siguiente argumento heurístico: Considere inyección de agua en un yacimiento de aceite y asuma que usamos un método implícito en transmisibilidades. Entonces la saturación de agua en cualquier grid block puede incrementar por encima del valor irreducible solo cuando una de las transmisibilidades para este bloque se convierte en un valor diferente de cero. Como primer paso solo la saturación en el bloque de inyección puede cambiar. En el segundo paso, la saturación de agua se vuelve móvil en los dos puntos adyacentes, etc., como se muestra en la fig. 9.18. El frente de la saturación de agua móvil se propaga como una línea recta diagonalmente con relación al sistema coordenado. Tal forma es obtenida cuando el efecto de orientación es muy fuerte (ver Coats et al. (1974)). La razón para esto es que la movilidad del agua en el punto (i,j) puede resultar en movilidad (i+1,j) y (i,j+1) pero no en (i+1,j+1) en el siguiente paso. Esta es la consecuencia de usar la formula de diferencias finitas de cinco puntos. Aparentemente el problema no puede ser satisfactoriamente solucionado a menos que los puntos de la diagonal (esquina) sean incluidos en la formulación. Esto es justificado por recientes investigaciones discutidas a continuación.

284

Fig. 9.18 Propagación de movilidad con transmisibilidades explicitas.

Holloway et al. (1975) propuso un método en cual corrige los términos de flujo que son calculados, que presenta para el flujo diagonal. Esto unido con el ponderado de dos puntos upstream da como resultado una reducción el efecto de la orientación. Esto método no parecen ser una solución completa. La mayor parte de la mejora resulta del ponderado de los dos puntos upstream de Todd et al. (1972). Sin embargo, esto es solo una mejora de segundo orden. Y aunque es evidente cuando el efecto de la orientación es leve, falla para condiciones muy graves, como se muestra para el desplazamiento miscible por Settari et al. (1977). Esto también confirmado por Holloway et al. (1975), quien no fue capaz de eliminar el efecto de orientación del grid para un problema de inyección de gas. Soluciones libres del efecto de orientación pueden ser obtenidas por cualquier variación o aproximación de nueve puntos de diferencias finitas. Aproximaciones variables han sido mostradas que son efectivas para desplazamiento miscible por Settari et al. (1977) y para desplazamiento inmiscible por Spivak et al. (1977). Un método de diferencias finitas usando aproximación de nueve puntos fue desarrollado por Yanosik y McCracken (1976). Debe notarse que esta formulación es similar a la aproximación de variaciones usada por Chapeau. Cuando es necesario simular desplazamientos inestables con una aproximación convencional de cinco puntos, el uso de grid paralelos da más resultados realistas tanto de vapor (Coats et al. 1974) y desplazamiento miscible (Settari et. al. 1977). Una alternativa fue sugerida por Robertson y Woo (1976) quien sustenta que el uso de grid curvilíneas (ver capitulo 7, Sección 7.10) elimina efectos de orientación para desplazamiento miscible. Sin embargo, ellos no sustentaron su reclamo por mostrando convergencia de la solución numérica a la solución verdadera.

9.8 SIMULACIÓN DE PROBLEMAS DE SINGLE-WELL

El principal problemas solucionando problemas de single-well es la estabilidad de las ecuaciones de diferencias finitas. A causa de el grid radial diseñado en el modelo, el volumen de poro de los bloques usualmente varia por muchos orden de magnitud entre el bloque mas pequeño y el más grande en el radio externo. Desde que la estabilidad de las ecuaciones con tratamiento explicito de transmisibilidades (sección 9.3.2) será contralado por el tamaño de bloque más pequeño, este método usualmente requerirá el uso de imprácticos deltas de tiempos pequeños. Esto fue demostrado experimentalmente por primera vez por Welge y Weber (1964). Como se demostró por Blair y Weinaug (1969), el tratamiento implícito de transmisibilidades (discutido en el capítulo 5, sección 5.5.2) es necesariamente para este tipo de problema. De hecho, todos los métodos para tratamiento implícito de transmisibilidades discutidos en el Capitulo 5 han sido desarrollados para soluciones de problemas de conicidad. Además de estos métodos, el método secuencial discutido en la sección 5.6 (capitulo 5) también pueden ser usados. 9.8.1 Tratamiento de los términos de producción (modelo de pozo)

El tratamiento de los términos de producción es particularmente importante. Spivak y Coats (1970) han mostrado que solo los tratamientos implícitos de los términos de producción resultan en varias veces incrementa su estabilidad cuando las transmisibilidades son tratadas explícitamente. Las transmisibilidades en los términos de producción pueden ser tratados implícitamente como se describe en la sección 5.7.2 (capitulo 5). Además cuando la producción es de varias capas, el tratamiento también debería satisfacer las correctas caídas de presiones en el wellbore (condiciones de compatibilidad, cf. Sección 9.4.2). las ecuaciones para los términos de producción también son llamados un ―modelo de pozo‖ (Chappelear y Rogers, 1974). El modelos de pozo más simple es obtenido cuando las solo las ratas son distribuidas de acuerdo con la movilidad (ecuación 9.40). Nolen y Berry (1972) investigaron el error causado por esta simplificación comparada con la

285

asignación de la producción correcta de acuerdo con la ecuación (9.39) para el problema de Blair y Weinaug (1969), ellos encontraron que los errores son pequeños a menos que el pozo sea completado a través de zonas de muy baja permeabilidad. Ellos también reportaron que la evaluación explicita de Δφ en (9.39) causo problema de estabilidad, los cuales son eliminados incluyendo un modelo simplificado que consiste en una columna adicional de bloques representando el wellbore con muy altas transmisibilidad vertical. Chappelear y Rogers (1974) presentaron un modelo de pozo, basado en las ecuaciones. (9.41) y (9.43), con la ecuación de la rata (9.43) tratado

implícitamente como:

𝑄𝑙𝑘𝑛+1 = 𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙 𝑘

𝑛 𝑝𝑘𝑤 − 𝑝𝑒𝑘

𝑛 + 𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙 𝑠 𝑛 𝑝𝑘

𝑤 − 𝑝𝑒𝑘𝑛+1 ∆𝑙𝑆 + 𝐵𝑙𝑇𝑄𝑙 𝑘

𝑛 ∆𝑙𝑝𝑒𝑘

Tanto 𝑝𝑘

𝑤 como el término no lineal de esta ecuación son iterativamente recalculadas hasta satisfacer la rata

establecida. Sonier et al. (1973) propuso un modelo de pozo el cual tiene en cuenta la condición de compatibilidad a través de la ecuación (9.41), pero también simula el efecto outlet (cf. Capitulo 5, sección 5.7) sin embargo, su tratamiento de la condición outlet no es una parte integral de el régimen de diferencias finitas y iteraciones requeridas. Un modelo de pozo consistente con la discretización de las ecuaciones, fue presentado por Settari y Aziz (974ª). Este modelo maneja rigurosamente tanto el flujo en el wellbore y el efecto outlet y este es descrito a continuación. El uso de la distribución de puntos grid con grid apunta a que el radio del pozo proporciona un medio natural para incluir el modelo de pozo en las ecuaciones de diferencias finitas. En lo que sigue, suprimiremos el subíndice i del punto del grid (i, k) al wellbore y considerar por simplicidad únicamente flujo en dos fases. 9.8.1.1 Modelo de Pozo para el Centro del Pozo (Distribución de Puntos en el Grid)

Primero considere la distribución de la ratas de una bloque en capa k. antes de avanzar, i.e., si Swk< Swo el agua de producción es cero, Qwk=0. Después del avance, la condición es Swk=Swo, o, si la ecuaciones son solucionadas en términos de presiones,

𝑝𝑜𝑘 − 𝑝𝑤𝑘 = 𝑃𝑐𝑘 = 𝑃𝑐(𝑆𝑤𝑜 ) (9.56)

La ecuación para la fase agua para el punto k después del avance es remplazada por la ecuación. (9.56). después la solución ha sido obtenido, el agua de producción puede ser encontrado por sustituir la solución en la ecuación original de diferencias finitas para este punto. Acorde a la definición del residuo por ecuación. (5.18), este puede ser escrita como

𝑄𝑤𝑘𝑛+1 = 𝑅𝑤𝑘

𝑛+1 (9.57)

Desde

𝑄𝑜𝑘𝑛+1 = 𝑅𝑜𝑘

𝑛+1 (9.58)

La solución será satisfecha, en el caso de específica producción total de crudo,

𝑄𝑜𝑘𝑛+1 =

𝑅𝑜𝑘

𝑅𝑜𝑘𝑘 𝑛+1

𝑄𝑇𝑜 (9.59)

𝑄𝑤𝑘𝑛+1 = 0 Si Swk < Swo (9.60)

𝑄𝑤𝑘𝑛+1 = 𝑄𝑜𝑘

𝑛+1 𝑅𝑤𝑘

𝑅𝑜𝑘 𝑛+1

Si Swk = Swo

Estas dos ecuaciones dan la distribución de rata en lugar de la ecuación (9.39). Ahora vamos a considerar producción de varias capas. La presión en el wellbore p debe obedecer las ecuaciones de flujo multifásico en tuberías. Flujo vertical en tubería es discutido, entre otros, por Govier y Aziz (1972). Descuido del efecto de la energía cinética, la caída de presión total puede ser expresada como:

𝑑𝑝𝑤 = 𝐻𝑔𝑑𝑧 + 𝑑𝑝𝑓 (9.61)

286

Donde Hg dz es el termino de cabeza hidrostática y dpf es la caída de presión de fricción. El término de fricción puede ser expresado como:

𝑑𝑝𝑓 = 𝑄𝑜𝑤𝐹𝑓

Donde 𝑄𝑜

𝑤 es la rata fluyendo de aceite en el wellbore y Ff es función de la fricción el cual puede ser calculado por uno de los métodos conocidos. Ecuación (9.61) se puede ahora discretizar como:

𝑝𝑘+1 2 𝑤 = 𝑝𝑘+1

𝑤 − 𝑝𝑘𝑤 = 𝐻𝑔𝑘+1 2 𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘 + 𝐹𝑓𝑘+1 2 𝑄𝑜𝑘+1 2

𝑤 (9.62)

Esta relación remplaza la aproximación (9.41) en la distribución de puntos del grid, la presión en los puntos del grid

en el pozo es asumida a ser la misma que la presión en el wellbore, i.e. pk = 𝑝 𝑘𝑤. Usando esto, podemos solucionar

(9.62) para 𝑄𝑜𝑤 :

𝑄𝑜𝑘+1 2 𝑤 =

1

𝐹𝑓𝑘 +1 2 𝑝𝑘+1 − 𝑝𝑘 − 𝐻𝑔𝑘+1 2 𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘 (9.63)

La ecuación de balance de materia en el wellbore ahora puede ser escrita como (Fig. 9.19)

𝑄𝑜𝑘+1 2 𝑤 − 𝑄𝑜𝑘−1 2

𝑤 + 𝑄𝑜𝑘𝑛+1 = 0 (9.64)

Donde 𝑄𝑜 𝑘𝑛 +1 es la rata de producción desde la capa k.

Fig. 9.19. Combinación de ecuaciones del Wellbore con la ecuación de reservorio.

La ecuación de diferencias finitas (9.58) para el bloque de producción k puede se escrita como:

𝑞𝑜𝑟 + 𝑞𝑜𝑧𝑘 +12

− 𝑞𝑜𝑧𝑘 −12

− 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 = 𝑄𝑜𝑘𝑛+1 (9.65)

Donde la rata de flujo interbloque qor y qoz son definidas en la Fig. 9.19 y qoac es el termino de acumulación. Usando

(9.64) podemos eliminar 𝑄𝑜𝑘𝑛+1 de (9.65) como se muestra en la Fig 9.19, la ecuación resultante puede ser escrita

como:

𝑞𝑜𝑟 + 𝑞 𝑜𝑧𝑘 +12

+ 𝑞 𝑜𝑧𝑘 −12

− 𝑞𝑜𝑎𝑐𝑐 = 0 (9.66)

287

Donde:

𝑞 𝑜𝑧𝑘 +12

= 𝑞𝑜𝑧𝑘 +12

+ 𝑄𝑜𝑘+1

2 𝑤

Porque el Qo expresado como en (9.63) son de la misma forma como el termino de flujo vertical, ecuación. (9.66) el cual incluye el modelo de pozo puede ser obtenida de (9.65) simplemente por omitir el término de producción y modificando la transmisibilidad y gravedad en el término de flujo vertical como sigue a continuación:

(a) Remplace T Zo por T Zo + 1

Ff= T Zo + TW

(b)

(c) Remplace γo por γo

+ T W

TZo+ T W Hg

Únicamente el bloque productor del tope tendrá el término de producción, el cual será la producción total de petróleo Qto como se muestra en la figura 9.19. La margen de producción puede ser calculada de (9.57) y (9.58) después de haber obtenido las soluciones. Los términos TW y Hg dependen de tasas desconocidas y en teoría requieren repetición. La dependencia sin embargo es débil y la repetición no se necesita en la práctica. El modelo descrito tiene las siguientes propiedades: 1- El único término de producción que aparece en las ecuaciones es el total de la producción Qto. 2- Tanto el efecto de salida como presión de caída del pozo son satisfechos rigurosamente. 3- El buen modelo no afecta la estructura de las ecuaciones. 4- Los términos buenos automáticamente son tratados implícitamente en la misma manera que interbloqueo las

posibilidades de trasmisión, y la tasa total es siempre satisfecha. El modelo es extendido al flujo de tres fases especificando la producción de gas así:

Donde Sgo es la saturación de gas reduce la presión capilar gas- petróleo a un mínimo. Cuando la presión del fondo del pozo es específica en vez de tasada, en la ecuación para la producción óptima del petróleo el bloque K será reemplazado por la ecuación:

Pok = Pwf

En el caso de producción total de líquido la formulación requiere repetición, porque Qto no está corregido. 9.8.1.2 El modelo correcto para la rejilla del bloque central

Considere ahora el caso de un bloque central de la malla o un buen completado de columnas interiores de bloques. En ambos casos la presión óptima será diferente del bloque de presión como se indica en la ecuación (9.55). El método convencional de producción allocation el cual restringe el efecto de salida debería ser usado debido al gran largo del bloque. La condición de compatibilidad puede ser fácilmente implementada cuando la producción optima contra la presión especificada del fondo del pozo. Si la presión 𝑃𝑘

𝑤 al máximo de producción del bloque es conocida,𝑃𝑘

𝑤 puede ser calculada para todas las capas a partir de (9.62) usando las tasas de tiempos anteriores.

Las tasas son entonces calculadas independientemente para cada capa. Si usamos la notación de la ecuación (9.55) la tasa implícita tratada seria:

𝑸𝒍𝒌𝒏+𝟏 ≅ 𝑪𝒍𝒌

𝒏 𝑷𝒌𝒘 − 𝑷𝒍𝒌

𝒏 − 𝑪𝒍𝒌𝒏 ∆𝒍 𝑷𝒍𝒌 + 𝑪𝒍𝒌 `𝒔 𝑷𝒌

𝒘 − 𝑷𝒍𝒌𝒏 ∆𝒍𝑺𝒘𝒌

= 𝑸𝒍𝒌𝒏 + (𝑸𝒍𝒌 )`𝑷∆𝒍𝑷𝒍𝒌 + (𝑸𝒍𝒌 )`𝑺 ∆𝒍𝑺𝒘𝒌 (9.67)

Donde Clk es una transmisión entre el bloque central y el pozo para un problema de conicidad con la malla centrada en el bloque, o un coeficiente de producción en el caso de un buen localizado dentro del bloque. Cuando una tasa constante es especificada, el mismo método podría ser usado si la presión desconocida 𝑃𝑘

𝑤es

constantemente cargada para dar la tasa prescrita. Con un algoritmo ajustable, este procedimiento es estable y

288

usualmente requiere solo dos repeticiones. Un método alternativo es el de tratar 𝑃𝑘𝑤 como un desconocido en (9.67)

y agregar la tasa de la ecuación al sistema. Este aproximamiento ha sido usado para la buena simulación de la fase-singular del gas por Coats y es también discutida por Trimble y McDonald. La ecuación adicional es obtenida por la suma de (9.67):

𝑷𝒌𝒘 𝑪𝒐𝒌 + 𝑸𝒐𝒌 `∆𝒍 𝑷𝒐𝒌 + 𝑸𝒐𝒌 `∆𝒍 𝑺𝒘𝒌

= 𝑸𝑻𝒐 − 𝑪𝒐𝒌 ∆𝑷𝒌+

𝟏𝟐

𝒘

𝒌−𝟏

𝒎=𝒌

− 𝑷𝒐𝒌𝒏

𝒌𝒎𝒂𝒙

𝒌=𝒌+𝟏

(9.68)

Donde ∆𝑷

𝒌+𝟏

𝟐

𝒘 𝑒n el lado correcto puede ser calculado con (9.62). Ademas sabemos que podemos resolver el

problema por una matriz. Conveniente usar la ecuación descrita anteriormente para eliminar 𝑃𝑘𝑤 como un

desconocido en cada una de las ecuaciones que contienen 𝑸𝟏𝒌𝒌+𝟏. Debido a que (9.68) contiene ∆𝒕𝒑 𝒚 ∆𝒕𝑺𝒘 para todos

los bloques productores, esta operación resulta ser el relleno de la matriz para tal ecuación para cualquier bloque productor tendrá un 0 de coeficiente para todos los bloques desconocidos K = K,…., Kmax si Kmax - K > 1, la

estructura alterada de la matriz puede incrementar el ancho de la banda para ciertos ordenadores desconocidos y requiere modificaciones de algoritmos para métodos repetitivos. Un ejemplo para cualquier método lineal con líneas en dirección z, la línea que contiene no puede ser resuelta por el algoritmo de Thomas, porque el ancho de la banda de la sub-matriz es 2 (Kmax - K) + 1 9.8.2 COMPARACIÓN DE ESTABILIDAD Y EFICIENCIA DE VARIOS TRATAMIENTOS DE TRANSMISIBILIDAD.

Diversos autores estudiaron los métodos para el tratamiento implícito de coeficientes para las dos fases del problema usado por Blair y Weinaug (1969).

Fig. 9.20 Sensibilidad de paso del tiempo de los modelos de Letkeman y Ridings, Nolen

y Berry para el problema de Blair y Weinaug.

La información completa es encontrada en Settari y Aziz (1974). Letkeman y Ridings (1970). Nolen y Berry (1972) además de otras obtenidas de resultados para este problema usando diferentes versiones del método SS. Letkeman y Ridings usan P, S para la formulación con transmisibilidades lineares implícitas, Nolen y Berry usaron la misma formulación con linealización y tratamientos semi-implicitos. Settari y Aziz usaron la formulación Po, Pw con las iteraciones de Newton en la transmisibilidad de la matriz y el modelo bien descrito en la sección 9.8.1.1. Todos los autores encontraron el modelo estable para los pasos en 100 días. Los resultados del tiempo y pasos son mostrados en la figura 9.20 y 9.21. Los resultados de la tabla 9.21 fueron obtenidos con una de las repeticiones de Newton y por esto son equivalentes al tratamiento linealizado. La lenta sensibilidad del tiempo-pasos del modelo de Settari y Aziz es atribuido al buen tratamiento descrito anteriormente en la sección 9.8.1.1. La gran diferencia en los resultados obtenidos por los 3 trabajos con esencialmente el mismo método de linealizacion no son muy confiables. El modelo de Letkeman y Ridings tiene una gran sensibilidad en pazos de tiempo. La linealizacion de Nolen y Berry da unas oscilaciones de saturación para ∆𝑡 = 100 dias, mientras el modelo de Settari y Aziz da una solución parcial.

289

Fig. 9.21 Sensibilidad de paso del tiempo de los modelos de Settari y Aziz, para el problema de Blair y

Weinaug

Esto muestra que el desempeño de un simulador puede ser fuertemente influido por pequeñas diferencias en la implementación del método (mirar sección 9.8.3) y el buen modelo. La viabilidad de la iteración de Newton. Settari (1973) estudió la viabilidad del método de Newton comparado con el método de linealizacion. Sin embargo el método de Newton permite el uso práctico de pasos de tiempo ilimitados, el número de repeticiones requeridos para la convergencia de un incremento de un paso de tiempo, como el paso de tiempo es incrementado y aproximadamente igual al número de pasos de tiempo más cortos uno podría tomar el método de linealizacion para alcanzar el mismo tiempo.(Tomemos como ejemplo el método de Newton que con un paso de tiempo de 150 días requiere de 3 repeticiones, mientras que el método de linealizacion requiere 3 repeticiones en 50 días). Debido al tiempo truncado en errores de la solución implícita completa puede ser demasiado larga , una mejor solución por la misma cantidad de tiempo invertido en el computador es usualmente obtenida con el método de linealizacion y más corto en pasos de tiempo que el método de Newton con mas pasos de tiempo. La truncación de errores puede ser controlada seleccionando el tamaño de paso de tiempo de tal modo que la saturación máxima cambie con el paso del tiempo y no exceda un valor dado de usualmente 5-10%. COMPARACIÓN DE LOS MODELOS SS Y SEQ No hay comparación disponible en la literatura entre estos dos modelos. Veamos unos resultados obtenidos con algunos modelos comerciales. La figura 9.22 muestra la comparación de los tres modelos para el problema de Blair y Weinaug. El modelo SS está basado en a P, S formulación con la malla centrada del bloque y la distribución convencional de la producción.

Fig. 9.22 Comparación de los modelos SS y SEQ para el problema de Blair y Weinaug

290

El modelo SEQ es la modificación del modelo SS con transmisibilidades para la saturación de la ecuación calculada de acuerdo con las ecuaciones (5.127). La línea marcada en el modelo SEQ II fue obtenido con un modelo descrito por Coats (1976), el cual usa la ecuación 5.128 para calcular las transmisibilidades e incorporarlas en el modelo descrito en el sección 9.8.1.2. Ambos modelos secuenciales dan ligeramente menos WOR que el modelo SS. La figura 9.23 muestra la sensibilidad del modelo SEQ I en el paso del tiempo. Nótese que mientras el WOR es más suave para pasos de tiempo arriba de 75 días, el correr con 100 días muestra signos de algunos problemas en la estabilidad.

Fig. 9.23 Sensibilidad de paso del tiempo del modelo SEQ I

Ko (1977) también ha representado los resultados para este problema con un modelo secuencial. Su modelo es similar al modelo de Settari y Aziz (1974) e incluye el modelo de la sección 9.8.1.1, modificado para el caso secuencial. Los resultados de sus cálculos son suaves para ∆𝑡 para más de 100 días, pero el paso del tiempo es

más largo que aquel mostrado en la figura 9.23. Ko también hallo que en aplicaciones bidimensionales la estabilidad mejora al decrecer los términos no lineales que envuelven el producto de saturación y los derivados de la presión capilar. 9.8.3 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

Tratamiento en las curvas en coeficientes de transmisibilidad. Alguna discusión de este problema está en la sección 5.5 (capitulo 5). Es usualmente suficiente para usar las tangentes de curvas obtenidas de Kr, las tablas que serán desmenuzadas constantemente si la interpolación lineal es usada. Cuando las curvas apropiadas son usadas, podrían ser tomadas en la dirección del cambio de saturación esperado. Esto es particularmente importante cuando la saturación alcanza el valor al cual una de las fases es inmóvil (en un sistema 0-w; Sw=Swc ó S=1-Soirr). Considerando el caso del agua desplazando petróleo. Si Sw=Sc, la cadena de Krw debería ser tomada como distinto de cero, mientras que S alcanza el valor máximo, la decantación de K debe tomarse como cero (9.24) Ajuste de la decantación a cero en el S impide rebasamiento S porque no puede cambiar. Si la decantación de K se establece en cero en el S de la transmisibilidad del agua sería tratada explícitamente en ese momento con una posible pérdida correspondiente de la estabilidad. Un problema similar se plantea cuando la saturación está cerca de los valores límites. Coats (1976) sugirió un método de computación de curvas el cual previene el rebasamiento y donde Chappelear y Rogers (1974) describe el tratamiento de las curvas para el flujo de gas cerca de Sgc.

291

Fig. 9.24 Manejo de laderas de las curvas de K en los extremos

Manejando el rebasamiento. Este problema está relacionado con la selección de los pasos de tiempo y el tratamiento de las curvas discutidas anteriormente. Esto puede ser eliminado por el decrecimiento de los pasos de tiempo, pero esto puede no ser muy práctico. Chappelear y Rogers (1974) discutieron la selección de los pasos de tiempo con respecto al rebasamiento. Un pequeño rebasamiento puede ser tolerado, alternativamente la saturación puede ser reajustada al valor correcto, el cual incurrirá en un balance material del error. Algunas otras consideraciones prácticas son discutidas por Trimble y McDonald (1976). Su énfasis fue en el incremento de la fiabilidad la cual es conseguida por el tratamiento implícito de las variables que son tratadas implícitas normalmente (tal como la presión dependiente de las propiedades de los fluidos) y el uso de la iteración de Newton. Esto debe ser reconocido que su fiabilidad es ganada a expensas del incremento computacional por pasos de tiempo y de la implicidad óptima del modelo que dependen del problema resuelto.

9.9 OBSERVACIONES FINALES

Muchas ideas desarrolladas en este capítulo son comunes a varios tipos de problemas de 2D y también son extendidas directamente a problemas en 3D y otros tipos de problemas que no han sido discutidos en este libro. La división del material en las secciones 9.7 y 9.8 fue escogida para reflejar situaciones típicas. Por ejemplo, el modelo de pozo tratado en la sección 9.8.1 es igualmente importante para secciones de corte y para simulaciones en 3D como para los casos de poso sencillo. La misma observación fue aplicada a muchas secciones del capitulo 12. La tendencia actual en la simulación está hacia modelos de fines generales que pueden manejar problemas de muchos tipos. Spillette declaro de cómo un simulador puede basarse en secuencias de formulas. Sin embargo, por otro lado, problemas donde se dificulta la variación de la eficiencia máxima no pueden ser llevados a cabo por un método sencillo. EJERCICIO 9.1

Derivar la ecuación 9.53 por el método Carter-Tracy para el cálculo de la afluencia del agua. Esquema de la solución Para un acuífero infinito rodeado por un yacimiento cilíndrico de radio 𝑟𝑒 la ecuación que describe las dimensiones

puede ser escrita como:

∆𝑝 = 𝑝𝐴(𝑖)

− 𝑝 𝑡𝐷 =𝑄𝐴

𝐵𝑃𝐼 𝑡𝐷

Donde

𝑡𝐷 = 𝑡6.328𝑘

∅𝑐𝑟𝑒2 𝐵 = 1.1191∅𝑐𝑕𝑟𝑒

2

c= compresibilidad total k= permeabilidad h= grosor del acuífero Carter y Tracy mostraron que la influencia en el influjo acumulativo puede ser aproximadamente expresada como:

𝑊 𝑡𝑛+1 − 𝑊 𝑡𝑛 = 𝐵∆𝑝𝑛+1 − 𝑊 𝑡𝑛 𝑃𝐼′ 𝑡𝐷

𝑛+1

𝑃𝐼 𝑡𝐷𝑛+1 − 𝑡𝐷

𝑛𝑃𝐼′ 𝑡𝐷𝑛+1

(𝑡𝐷𝑛+1 − 𝑡𝐷

𝑛)

292

Esta ecuación puede ser escrita en la forma de la ecuación (9.53) con:

𝑎 =𝐵∆𝑝𝑛 − 𝑊𝑛𝑃𝐼′𝑛+1

𝑃𝐼𝑛+1 − 𝑡𝐷𝑛𝑃𝐼′𝑛+1

∆𝑡𝐷∆𝑡

𝑏 =𝐵

𝑃𝐼𝑛+1 − 𝑡𝐷𝑛𝑃𝐼′𝑛+1

∆𝑡𝐷∆𝑡

293

CAPITULO 10

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE BLOQUE PENTADIAGONAL

10.1 INTRODUCCIÓN

En el capitulo 6 se mostró como pueden extenderse los métodos del capitulo 4 para matrices tridiagonales y así resolver sistemas de ecuaciones tridiagonales. En este capitulo se presenta un tratamiento parecido para la extensión de los métodos del capitulo 8 para matrices pentadiagonales y así resolver sistemas de ecuaciones pentadiagonales. Se consideran tanto los métodos directos como los métodos iterativos. La forma más general en la cual puede expresarse un sistema de L ecuaciones diferenciales parciales a resolverse es:

t

UPq

Y

UY

YX

UX

x

K

lKKlK

K

lK

K

lK

l, K = 1, 2, 3,……..L (Ec. 10.1)

De donde la re expresión de esta ecuación hasta algún término limite, indica la sumatoria de todos los valores inferiores a este termino limite, por ejemplo, para L=3:

X

UX

xX

UX

xX

UX

xX

UX

xlll

KlK

33

22

11

l = 1, 2, 3 (Ec. 10.2)

Para muchos de los problemas que se presentan, los coeficientes λXlk, λYlk, βlk ó Plk pueden ser cero. Esto se puede ver fácilmente si se compara la ecuación 10.1 con, por ejemplo, la ecuación 9.3. Puede notarse también que para un flujo de dos fases se indica solamente que l, k= 1, 2. Los términos adicionales relacionados a las fuerzas de la gravedad se desprecian debido a que ellos solo complican la expresión. Análogamente a la ecuación 8.3, las ecuaciones para un solo ―grid point‖ puede escribirse como:

ijjin

jijn

jjn

jjin

jjin

ij dubufiuaiugiuc 11111,,1

(Ec. 10.3)

La dimensionalidad de Uijn dependerá del numero de ecuaciones diferenciales parciales a resolverse

simultáneamente (es decir, de L), y del numero de fases que se van a manejar simultáneamente. Todos los coeficientes tendrán un número de LxL sub-matrices. En las simulaciones de aceite negro, L valdrá al menos 3 para el método SS y 2 para el método SEQ. Por ejemplo, para el método SS, las sub-matrices serán de 3x3 para flujo de tres fases, y de 2x2 para el flujo de dos fases. La expresión para este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como:

dAu (Ec. 10.4)

Por ejemplo, cuando se utiliza un ordenamiento natural como el que se muestra en la figura 8.1, la matriz A tomará la forma mostrada en la figura 8.2. Sin embargo, ahora cada termino X en la figura 8.2 representa una sub-matriz de 2X2 o de 3X3 según el numero de fases que se este considerando.

294

El vector U para un ordenamiento natural con elementos ubicados en la dirección X se define como:

3,1

2,2

2,1

1,2

1,1

.

.

.

.

u

u

u

u

u

u (Ec. 10.5)

Y los elementos de Uij contienen valores de la variable dependiente en el ―grid point‖ (i, j) para todas las fases, es decir, que para L=3:

(Ec. 10.6) El vector d en la ecuación 10.4 se define de forma similar.

10.2 MÉTODOS DIRECTOS

La forma de la ecuación 10.4 es la misma forma de la ecuación 8.4, excepto por el factor de que ahora todos los elementos de la matriz A son sub-índices de 2X2 o de 3X3 en vez de escalares. Esto significa que todos los métodos directos de la sección 8.2 del capitulo 8 se pueden aplicar directamente a la ecuación 10.3 simplemente reemplazando las operaciones escalares en el proceso de eliminación por operaciones matriciales. Como las sub-matrices pueden contener un numero significativo de ceros en ubicaciones estratégicas, los algoritmos de solución pueden desarrollarse tomando ventaja de esta propiedad. Como se indicó en el capitulo 6, existen muchas formas de hacer el proceso de descomposición y algunas de ellas son mejores que otras, sobretodo en lo concerniente a errores de redondeo. Actualmente, no se tiene una comparación real del trabajo requerido para los diferentes esquemas de ordenamiento. Hasta que estas comparaciones existan, pueden seguirse utilizando las aproximaciones presentadas en el capitulo 8. Estas estimaciones son validas para flujo multifasico, siempre y cuando se reemplace I por IL y J por JL, y se aproximen valores exactos para grandes I y J (Ejercicio 10.1). Esto implica particularmente que las relaciones asintóticas para los ordenamientos D4 y estándar (figura 8.9) también son validas en problemas de flujo multifasico.

10.3 MÉTODOS ITERATIVOS

La discusión general de los métodos iterativos presentada en la sección 8.3.3 del capitulo 8, se aplica directamente a la solución de un sistema de ecuaciones pentadiagonal. Existen sin embargo, muchas posibilidades de solución diferentes a la ecuación 8.5. Por ejemplo, los métodos de punto iterativo discutidos anteriormente se pueden generalizar con el fin de reemplazar las operaciones escalares por operaciones con sub-matrices. La discusión detallada de este problema seria, sin embargo, solo de interés académico, ya que los métodos de punto iterativo se tornan imprácticos en los problemas de simulación de yacimientos. La extensión de métodos de bloque iterativo para el manejo de la ecuación 10.3 si tienen una gran importancia practica. En particular, los SOR (BSOR), ADI y SIP son los más usados.

ij

ij

ij

u

u

u

u ij

3

2

1

295

10.3.1 Método BSOR: Consideremos un ejemplo simple correspondiente al ejemplo de la ecuación 8.52 para flujo

bifásico. Puede aplicarse el procedimiento descrito en la sección 8.3.4 del capitulo 8 directamente para que notemos que en cada línea habrá una ecuación de la forma:

iii duA (Ec. 10.7)

Y que puede resolverse; donde Ai son ahora las matrices tridiagonales que requieren los métodos discutidos en el capítulo 6. Este método se describe también en las obras de Bjordammen y Coats (1969). Así, en principio, la extensión del método BSOR para problemas de flujo multifásico es lo más adecuado. La dificultad real se da en la estimación de Wb. En vista de que no existen resultados publicados, los siguientes ítems dan una base para intuir algunos argumentos y aplicarlos: 1. Cuando se usa el método de solución simultánea, con la presión de cada fase como las variables dependientes,

el término Wb se predice mediante los mismos métodos que para el flujo de una sola fase. Sin embargo, los valores de este parámetro de iteración pueden diferir marcadamente de los valores de predicción óptimos para problemas de flujo en una sola fase (capitulo 8). Para problemas de flujo en dos fases, Bjordammen y Coats (1969) encontraron el valor de W=1 como el más optimo (Método de Gauss-Seidel).

2. Cuando se resuelven ecuaciones simultaneas para dos saturaciones, el valor de Wb puede tender a 1 debido al carácter hiperbólico de las ecuaciones. La tasa de convergencia es sensible a la dirección de barrido. Como se puede ver en la sección 5.6.3 del capítulo 5, cuando Pc=0 y el flujo se da en una única dirección, las ecuaciones de saturación pueden ordenarse de manera tal que la matriz de coeficientes sea triangular. Un sistema como ese puede resolverse directamente mediante iteraciones por sustituciones progresivas o regresivas. Esta sustitución corresponde a un barrido de Gauss-Seidel en la dirección apropiada, lo cual sugiere que el valor de Wb tiende a 1, aun en el caso más general.

3. Cuando se tienen ecuaciones simultaneas para una presión y una saturación, el termino Wb probablemente estará entre los valores de los ítems 1 y 2. También es posible utilizar valores diferentes de W en las ecuaciones para fases distintas. Se espera que el valor de Wb para la ecuación de saturación tienda a 1, mientras que este mismo parámetro Wb puede estar entre 1 y 2 para la ecuación de presión. No existen resultados disponibles en la literatura para esta aproximación. En muchos casos se requiere suponer el valor de W hasta alcanzar un valor muy aproximado al óptimo. Woo y Emanuel (1976) obtuvieron gran éxito con el método LSOR cuando lo aplicaron en conjunto con una corrección unidimensional (1DC). Sin embargo, su artículo no da suficientes detalles al respecto, y aun así es de mucho valor.

10.3.2 Método Iterativo ADI: Los métodos iterativos ADI se discutieron en la sección 8.3.6 del capítulo 8. Los

elementos de las matrices V y H, por ejemplo, en la ecuación 8.73ª ahora son sub-matrices de 2X2 o 3X3 dependiendo del número de ecuaciones que pretendan resolverse simultáneamente. Para todas las líneas, en cada barrido, puede resolverse una matriz de ecuaciones tridiagonal de la forma de la ecuación 10.7. La elección de un conjunto optimo de parámetros de iteración y la elección del número de iteraciones de un ciclo es algo complejo de realizar. Douglas (1959) aplico una forma generalizada del método de Peaceman y Rachford (1955) para la solución simultanea de dos ecuaciones diferenciales parciales. El método de Douglas (1959) se obtiene mediante la generalización de la ecuación (8.77). La forma de la ecuación es exactamente la misma y ahora todas las matrices tienen LXL sub-matrices como elementos. Con el ordenamiento de U dado por la ecuación 10.5, las ecuaciones ADI pueden escribirse como:

duVDruDrH vvv 1*1

.

duHDruDrV vvv *111

(Ec. 10.8)

10.3.3 El Método SIP: Weinstein (1970) mostró como el método SIP propuesto por Stone (1968) para una única

ecuación diferencial parcial también podía aplicarse a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Igualmente, la extensión del método SIP discutida en la sección 8.3.7 del capítulo 8 también es adecuada para otros procedimientos iterativos. Los elementos de la ecuación 8.80 ahora son sub-matrices de 2X2 o 3X3 y la división puede reemplazarse por una inversión matricial. Weinstein muestra detalles sobre el algoritmo, y establece qué tanta ventaja pueden llegar a tener los ceros presentes en las sub-matrices. Los parámetros iterativos se seleccionan mediante el procedimiento discutido en la sección 8.3.7 del capítulo 8. Las ecuaciones 8.88 y 8.89 se usan por defecto debido a que se observa que el factor λXlk puede sustituirse por λYlk, etc. Se recomienda el uso de 4 a 10 parámetros en un ciclo. Si esto causa alguna divergencia, el termino (1-αmax) en la ecuación 8.88 debe multiplicarse por un factor de 2 a 20. Por otra parte, si la convergencia es lenta, el termino (1-

296

αmax) debe dividirse por un factor de 2 a 20. Estos parámetros son convenientes para problemas de flujo incompresible. Para problemas de flujo compresible, debe adicionarse a la secuencia un nuevo parámetro igual a la unidad. El uso de los mismos parámetros dos veces no es aconsejable, ni para las ecuaciones de una sola fase (capitulo 8), ni para los problemas de flujo multifasico. Así, un parámetro solo puede usarse una vez en un ciclo. Cambiando el número y la secuencia de los parámetros, se puede influir en las propiedades de convergencia del método. Se reportaron observaciones similares por Suarez y Farouq Ali (1976) basados en las pruebas que ellos desempeñaron en problemas de flujo bifásico homogéneo y heterogéneo. 10.3.4 Comparación de los Métodos Iterativos: Actualmente no existen resultados disponibles de la aplicación de

todos los métodos iterativos importantes a un conjunto específico de problemas. Bjordammen y Coats (1969) presentaron una comparación de los métodos ADI y SOR. Para problemas típicos de mantenimiento de presión agua-aceite (modelos areales), ellos encontraron que el ADI iterativo requerido era solamente del 45% al 75% del trabajo requerido por el método LSOR (usando W=1). Sin embargo, se encontró que el método LSOR era ligeramente mejor que el ADI en la simulación de un problema de flujo cruzado en una sección gas-aceite. Weinstein presentó comparaciones de los métodos ADI y SPI para tres problemas de flujo bifásico y también para tres problemas de flujo trifásico. Los tres problemas de flujo bifásico fueron: (1) una sección cruzada incompresible gas-aceite, (2) una sección cruzada con empuje por gas en solución, y (3) una conificacion radial agua-aceite. Los tres problemas de tres fases fueron: (1) el mantenimiento de presión, (2) el modelo de laboratorio de un sistema con empuje por gas en solución, y (3) un campo con empuje por gas en solución. Basado en sus pruebas, el autor concluyó que el método SIP requirió de un esfuerzo de cómputo significativamente menor que el método iterativo ADI para resolver estos problemas. Igualmente se estableció que, para problemas con altas relaciones de transmisibilidad en dos direcciones, el método ADI no converge en muchos casos, mientras que el método SIP si lo hace. Pero, cabe recordar también que, el algoritmo del método SIP requiere de más cálculos por iteración que el método ADI. Sin embargo, para problemas complejos, el método SIP es el más adecuado debido a que requiere pocas iteraciones. Estas conclusiones son consistentes con los resultados reportados en el capítulo 8 para ecuaciones sueltas (ver por ejemplo, la figura 8.20). Estos resultados, de forma más detallada, están disponibles en la sección 8.3.9 del capítulo 8, allí se dan más indicaciones.

10.4 COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS DIRECTOS E ITERATIVOS

Debido a la ausencia de publicaciones sobre la comparación de resultados de los métodos directos y los métodos iterativos, podemos solamente establecer que muchas de las ideas discutidas en la sección 8.4 del capítulo 8 suelen ser aplicadas también en problemas de flujo multifásico.

10.5 OBSERVACIONES FINALES.

Para simulación de problemas de yacimientos relativamente fáciles la solución simultánea de ecuaciones de flujo usualmente no es necesaria y el contenido de este capítulo no es relevante. Para problemas difíciles donde las ecuaciones deben ser resueltas simultáneamente, se ha logrado un éxito razonable con SIP y LSOR con IDC. Resultados detallados de la experiencia con métodos iterativos aun no se han publicado. La eliminación directa con ordenamiento D4 parece ser superior a todos los métodos iterativos para la mayoría de problemas prácticos, siempre que haya suficiente capacidad de almacenamiento disponible. Es necesario más trabajo en varios métodos iterativos para problemas prácticos de simulación de yacimientos. Ejercicio 10.1.

Deducir el trabajo necesario para una matriz de bloques pentadiagonal con bloques de L x L. Resumen de la Solución El ancho de banda de la matriz A de tamaño LN x LN es (2M+L) L+L-1 (o bloques de 2M+1) y la ecuación (8.11) nos da:

297

WW

LLLLLLLL

ML

MNMLMLMNL

MLMLMLMLML

MLMLMLMLML

LLMN

LLL

LLMLMN

MLMLMNL

iiMLML

LMLLML

LMLLMLW

ML

i

MN

i

MN

i

MN

i

L

)1(2

)1(

6

)12)(1(

2

)1(2*

1

2

1

6

12)1(

3

1

6

12)1(

1...21

}11...1

1...212{

1

11

...21

1

2

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Donde W es el mismo trabajo deducido en el ejercicio 8.1 (Eq F), sustituyendo ML por M y NL por N y W ecuación

es un término de orden inferior, quiere decir que WLW como N y M aumentan con un L fijo.

298

CAPITULO 11

INTRODUCCION

Hasta ahora en este libro, hemos demostrado que el modelo de una sola fase y los modelos de flujo multifásico se pueden extender de una dimensión a dos dimensiones.

Como veremos en este capítulo, la extensión de estos modelos en tres dimensiones no introduce nuevos conceptos. La relación entre una sola fase, unos-modelos tridimensionales y modelos multifasicos tridimensionales, se muestran al pasar del capítulo 3 al capítulo 5. De forma similar, dos problemas multifase tridimensionales fueron discutidos en el capítulo 9, ampliando las ideas presentadas en el capítulo 5 y 7. Las ecuaciones de la matriz resultante de estos modelos también se han discutido a partir de las ecuaciones de la matriz tridiagonal resultante de la fase única de flujo unidimensional, en el capítulo 4 el bloque de las ecuaciones de la matriz tridiagonal resultante de un flujo multifase unidimensional en el capítulo 6, la ecuación de la matriz pentadiagonal resultante de la fase de un solo flujo bidimensional en el capítulo 8 y el bloque de la ecuación de la matriz pentadiagonal resultante de flujo multifásico de dos dimensiones en el capítulo 10. El material en los capítulos 3-10 se estableció por lo tanto lo que hay que pasar de una sola fase, a tres fases y de una dimensión a varias dimensiones.

Por esta razón, no es necesario discutir los problemas tridimensionales en este tipo de detalle presentado por problemas de una y dos dimensiones.

En este capítulo vamos a mostrar cómo las ideas presentadas hasta ahora se pueden ampliar fácilmente para manejar los problemas tridimensionales. Esto no implica que en tres dimensiones los problemas en simulación son fáciles de resolver. Por el contrario, en la solución práctica de tres dimensiones pueden haber serias dificultades. Algún aspecto importante de problemas de simulación en tres dimensiones será discutido en este capítulo.

Muchos de los problemas tridimensionales pueden ser aproximados de manera adecuada por modelos bidimensionales a través de los conceptos de pseudo-funciones que serán tratados en el capítulo siguiente. Algunos aspectos generales de los problemas tridimensionales son considerados por Aziz (1968).

11.2 FLUJO DE UNA SOLA FASE

11.2.1 Ecuación básica y Discretización.

La ecuación diferencial general parcial para la segunda fase de un solo flujo tridimensional en coordenadas cartesianas se expresa como:

𝜕

𝜕𝑥 𝜏𝑥

𝜕𝑝

𝜕𝑥−

𝛾𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜏𝑦

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜏𝑧

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑧 = 𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞 (Ec. 11.1)

Una adecuada selección de:

𝜏𝑋, 𝜏𝑌, 𝜏𝑍, 𝛽

g y q de la ecuación anterior pueden representar a varios modelos de flujo de gas o de líquido como se discutió en el capítulo 2.

La ecuación de flujo también puede ser escrito en coordenadas cilíndricas cuando detallamos flujo tridimensional en torno a un pozo se va a investigar (ejercicio 2). Con el fin de mantener el breve debate, sólo las ecuaciones en coordenadas cartesianas se consideran aquí.

299

Por analogía con la ecuación 2 a aproximación por diferencias finitas para la ecuación 1 es:

∆𝑇∆ 𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑗𝑘 =𝑉𝐼𝐽𝐾 𝛽𝐼𝐽𝐾

∆𝑡∆𝑖𝑝𝑖𝑗𝑘 + 𝑄𝑖𝑗𝑘

𝑖 = 1,2, … , 𝐼

𝑗 = 1,2, … , 𝐽 (Ec.11.2)

𝑘 = 1,2, … , 𝑘

Donde:

∆𝑇∆ 𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑗𝑘 = ∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥 𝑝 − 𝛾𝑕 + ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦 𝑝 − 𝛾𝑕 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧 𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑗𝑘 (Ec.11.3)

𝑉𝑖𝑗𝑘 = ∆𝑋𝐼 + ∆𝑌𝐽 + ∆𝑍𝐾

𝑄𝑖𝑗𝑘 = 𝑉𝑖𝑗𝑘 𝑞𝑖𝑗𝑘

El primer término en el lado derecho de la ecuación. (11.3) se puede escribir de forma expandida como:

∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥 𝑝 − 𝛾𝑕 𝑖𝑗𝑘 = 𝑇𝑋 𝑖+

12 𝑖,𝑗 ,𝑘

𝑃𝑖+1 − 𝑃𝑖 − 𝛾𝑖+

12 𝑕𝑖+1 − 𝑕𝑖 𝑖𝑗𝑘 + 𝑇𝑋

𝑖−12 𝑗 ,𝑘

𝑃𝑖−1 − 𝑃𝑖 − 𝛾𝑖−

12 𝑕𝑖−1 − 𝑕𝑖 𝑖𝑗𝑘

Las definiciones de los términos segundo y tercero en el lado derecho de la ecuación 11.3 se puede escribir inmediatamente por analogía con la ecuación anterior, los coeficientes para el caso cilíndrico se consideran en el ejercicio 11.1.

Cuando todos los términos de la ecuación 11.2 se expanden y los coeficientes de 𝑃𝑖𝑗𝑘 se toman, la ecuación

resultante puede escribirse en el siguiente formulario sin los subíndices i, j, k que son suprimidos:

𝑍𝑃𝑘−1 + 𝑔𝑃𝑗−1 + 𝑐𝑃𝑖−1 + 𝑎𝑝 + 𝑏𝑃𝑖+1 + 𝑓𝑃𝑗+1 + 𝑠𝑃𝑘+1 = 𝑑 (Ec.11.4)

Esta ecuación diferencial puede ser descrita para cada punto de la cuadrícula y las ecuaciones resultantes pueden ser tomadas y expresadas en forma de matriz, como:

𝐴𝑝 = 𝑑 (Ec.11.5)

Hay siete incógnitas en una ecuación diferencial de un punto interior, por lo tanto, la matriz contiene siete diagonales como se muestra en la figura 11.1. Para este caso, los puntos (i, j, k) de la red están ordenados en una secuencia tal que se extendió por primera (i = 1, 2 .... i), j segundo (j = 1,2 ... . J), y k última (K = 1,2 ..... K). Los elementos del vector para este ordenamiento son:

(Ec.11.6) Es posible resolver la ecuación 11,5 por métodos directos e iterativos. Estos métodos son extensiones directas de los métodos presentados en el capítulo 8. Algunas de las técnicas más importantes son consideradas a continuación.

300

En la sección 7.9 (capítulo 7) se consideran algunos métodos especiales para problemas bidimensionales conocidos como IDA y los métodos de ADE. Ambos tipos de métodos pueden fácilmente extenderse a problemas tridimensionales.

Sin embargo, la aplicación de métodos de ADE para problemas de simulación 3-D es de poca importancia práctica y no se considerarán. Relativamente los problemas 3-D pueden ser resueltos por la falta de métodos iterativos ADI que se analizan a continuación.

Como en el capítulo 7, considere la aproximación por diferencias con versiones anteriores de la ecuación. 11,1 sin los términos de la gravedad. La ecuación resultante puede escribirse como:

∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥𝑃𝑛+1 + ∆𝑦𝑇𝑋∆𝑦𝑃𝑛+1 + ∆𝑧𝑇𝑋∆𝑧𝑃

𝑛+1 = 𝜑 𝑝𝑛+1 − 𝑝𝑛 + 𝑄 (Ec. 11.7)

A fin de mantener la notación tan simple como sea posible los subíndices i, j, k han sido suprimidos, cuando se procede en este capítulo.

La extensión directa de la Peaceman y Rachford (1995), el método para este problema resulta ser sólo condicionalmente estable, incluso para el problema lineal (Douglas, 1961). Algunos métodos que están incondicionalmente estables para el problema lineal se dan a continuación para la ecuación. (11,7).

Douglas y Rachford. (1956) método. El método está definido por las siguientes ecuaciones:

∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥𝑃∗ + ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃𝑛 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃

𝑛 = 𝜑 𝑝∗ − 𝑝𝑛 + 𝑄

∆𝑦𝑇𝑋∆𝑦𝑃∗∗ = ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃𝑛 + 𝜑 𝑝∗∗ − 𝑝∗

∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃𝑛+1 = ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃

𝑛 + 𝜑 𝑝𝑛+1 − 𝑝∗∗ (Ec. 11.8)

Este método es una perturbación de la aproximación hacia atrás de la diferenciación.

Brian (1961) método. Brian utilizó un enfoque de extrapolación para desarrollar un método que es una perturbación del método de Crank-Nicolson:

∆𝑥𝑇𝑋∆𝑥𝑃∗ + ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃𝑛 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃

𝑛 = 2𝜑 𝑃∗ − 𝑃𝑛 + 𝑄

∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃∗∗ = ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃𝑛 + 2𝜑 𝑝∗∗ − 𝑝∗

∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃𝑛+1/2 = ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃

𝑛 + 2𝜑 𝑝𝑛+1/2 − 𝑝∗∗

𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 2(𝑃𝑛+1

2 − 𝑃𝑛) (Ec. 11.9)

Douglas (1962) método. Douglas desarrollo un método ADI, directamente de la aproximación de Crank-Nicolson. Una forma de este método que es conveniente para los cálculos es la siguiente:

1

2 ∆𝑋𝑇𝑋∆𝑋 𝑃∗ + 𝑃𝑛 + ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦𝑃𝑛 + ∆𝑧𝑇𝑍∆𝑧𝑃

𝑛 = 𝜑 𝑃∗ − 𝑃𝑛 + 𝑄

1

2 ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑦(𝑃∗∗ − 𝑃𝑛) = 𝜑 𝑃∗∗ − 𝑃∗

1

2 ∆𝑧𝑇𝑌∆𝑧(𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛) = 𝜑(𝑃𝑛+1 − 𝑃∗∗) (Ec. 11.10)

Este método es otra perturbación del método de Crank-Nicolson. La evaluación de los términos no lineales debe estar en el nivel n +1 para el método de Douglas Rachford y n +1 / 2 nivel para la orden de los dos métodos. Debido a que en lugar de un uso práctico limitado de estos problemas de métodos, para la simulación de yacimientos que no serán objeto a tratar. 11.2.3 Métodos directos de solución

La aplicación eficaz de eliminación directa con el estándar pedido se muestra en el punto Fig.11.1 requiere que los puntos sean ordenados en el menor de la primera dirección.

301

Por lo tanto, si

𝐼 ≥ 𝐽 ≥ 𝐾 Los puntos deben ser ordenados en primer lugar en la dirección seguida por k J y I, para reducir al mínimo el trabajo. Si se observan estas reglas, el máximo ancho de banda para el estándar pedido será JK y el trabajo y las estimaciones de almacenamiento para grandes I, J y K (Price y Coats, 1974)

𝑊1 = 𝐼𝐽3𝐾3 (Ec. 11.11)

𝑆1 = 𝐼𝐽2𝐾2 (Ec. 11.12)

Para 2-matrices cíclicas alternando punto de ordenar los rendimientos

𝑊4 =𝐼𝐽3𝐾3

2 𝑆4 =

𝐼𝐽2𝐾2

2

Por ejemplo, el orden dado por la ecuación. (11,6) es óptimo si i <j <k. Otros planes discutidos en el capítulo 8 también podría extenderse a problemas tridimensionales. Por ejemplo, la alternancia de líneas diagonales D4 régimen, se convierte en un régimen de alternancia plano diagonal. Este plan ha sido discutido por Price y Coats (1974) y aquí se resumen sus resultados:

Sea m representan un plano diagonal donde todos los puntos de la cuadrícula en el plano satisfacen

𝑖 + 𝑗 + 𝑘 = 𝑚 𝑚 = 3,4, … , 𝑀 and 𝑀 = 𝐼 + 𝐽 + 𝐾

Si M es incluido en el plano entonces deben ser elegidos en el orden

3,5,7, … , 𝑀 − 1,4,6,8, … , 𝑀

Si M es impar, entonces la orden debe ser

3,5,7, … . 𝑀, 4,6 … . , 𝑀 − 1

Los puntos en un plano m deben ser numerados en orden decreciente de k y para cada valor de la constante k en orden decreciente de J y el aumento de i, i siempre> j> k. El trabajo y las estimaciones de almacenamiento de tres casos se resumen en el cuadro 11.1. Esta tabla también ofrece una comparación de los pedidos y el nivel D4 pedidos

Los valores de f para D4 pedidos varían entre 0-171 y 0-5. A fin de presentar los resultados de la tabla 11.1. Gráfica, es necesario introducir algunas suposiciones adicionales. Para el segundo caso en la tabla se supone que j = k. Entonces la relación puede ser escrita como:

𝑓 = 0.5 −14

40𝑟

Donde r = i / j (desde i-j> k para este caso, r> 2). Ahora podemos representar las relaciones de trabajo para problemas tridimensionales como lo hicimos para el caso de dos dimensiones en la figura 8.8 Sin embargo, para problemas tridimensionales de cada uno de los tres casos de la tabla 11.1 deben considerarse por separado.

Las estimaciones de trabajo para ordenar D4 y comparación con el estándar de pedido, sobre la base de Price y Coats (1974).

302

Caso Aproximación para el caso D4 relación de trabajo de D4 a la norma de pedidos, f

I=J= K

I-J > K

I=J,J=IK

Los resultados se muestran en la figura. 11,2 discusiones en esta sección se aplican a las ecuaciones en coordenadas cartesianas. Resultados similares, con algunas diferencias importantes, se pueden desarrollar para la casos de coordenadas cilíndricas (Ejercicio 11.2).

Relación de trabajos para los diferentes tipos de problemas tridimensionales

Tres clases de métodos iterativos han alcanzado diferentes niveles de éxito en la solución de problemas tridimensionales. Estos son:

BSOR (o LSOR) con o sin corrección, (2) ADI iterativo, y el problema SIP. A (3), la breve descripción de estos métodos sigue

BSOR y métodos relacionados con:

Varias opciones están abiertas en el uso de BSOR para problemas tridimensionales. Se podría considerar la aplicación directa de LSOR. Las líneas deben ser elegidas para minimizar el valor óptimo de W.

El valor mas pequeño de WB generalmente da resultados si las líneas son tomadas en el sentido de la mayor transmisibilidad, como para problemas bidimensionales ( véase la sección 8.3.9, capitulo 8). Esta es casi siempre la dirección vertical.

BSOR también podría ser utilizada por considerar incognitas en un solo plano a la vez.

Vamos a recoger todos los valores de Pij para un determinado valor de k en un vector de pk. Entonces, el vector p dado por la ecuación. (11,6) puede escribirse como

303

(Ec. 11.5))

(Ec. 11.6)

(Ec. 11.7)

Esto es similar en forma a la ecuación. (8.52), excepto que ahora son submatrices Ak pentadiagonal. La forma de Ak dependerá de la ordenación de los datos conocidos en un plano como en el caso de problemas bidimensionales (capítulo 8, secciones 8.1 y 8.2). Las ecuaciones, por ejemplo, si se utiliza orden natural, Ak tendrá la forma mostrada en las figuras .8.12.

La ecuación para el cálculo de (v 1) el nivel de iteración de (v) por el método de BSOR, que resuelve incógnitas de un plano al mismo tiempo, puede escribirse como:

𝐴𝑘𝑃𝑘∗ = −𝐶𝑘𝑃𝑘−1

𝑣+1 − 𝐵𝑘𝑃𝑘+1(𝑣)

+ 𝑑𝑘 (Ec. 11.18a)

𝑃𝑘(𝑣+1)

= 𝑤𝑃𝑘∗ + (1 − 𝑤)𝑃𝑘

(𝑣) (Ec.11.18b)

𝐾 = 01,2, …𝐾

Siempre que: 𝑃0 = 𝑃𝑘+1 = 0

Esta ecuación se obtiene en analogía directa con la ecuación. (8.54). Porque por encima de las ecuaciones se resuelven de forma repetitiva, es muy importante para resolver el problema de la matriz en la ecuación. (11.18a) de

304

manera eficiente. Cualquiera de los métodos directo y rápido considerados en el punto 8.2 (capítulo 8) se puede aplicar aquí. Si, además, las matrices obtenidas después del pase hacia adelante, de la eliminación se almacenan sólo la sustitución.

Es necesario retroceder en la segunda y sucesivas iteraciones. Este enfoque es posible con la eliminación estándar, así como de los regímenes de ordenación y es esencial para el uso eficiente de BSOR.

El valor óptimo de w puede ser calculado por los métodos descritos en el capítulo 8 (sección 8.3.3). BSOR con planos verticales usando D4 pedido de la ecuación. (11.8A) se ha utilizado para problemas de simulación por Wattenbarger y Thurnau (1976). También han aplicado este método con dos correcciones tridimensionales (2DC) y encontró que el uso de 2DC era necesario para obtener buena convergencia en los problemas heterogéneos.

11.2.4.2 Método Iterativo ADI: Como en el caso de problemas bidimensionales (Sección 8.3.6, Capítulo 8) Hay muchas versiones de los métodos iterativos ADI que se puede utilizar para problemas tridimensionales. La ecuación de la matriz (11,5) como resultado de una fórmula de siete puntos de diferencia (11.2) puede escribirse como:

𝑋 + 𝑌 + 𝑍 + 𝑝 = 𝑑 (Ec. 11.19)

Donde los elementos de X resultan de ∆𝑥𝑇𝑋∆𝑋𝑃 , los elementos de Y resultan de ∆𝑦𝑇𝑌∆𝑌𝑃, los elementos de Z

resultan de ∆𝑧𝑇𝑌∆𝑧𝑃, y los elementos del resultado de la sumatoria de la derivada temporal. Por un adecuado

ordenamiento de p cualquiera de X, Y o Z puede transformarse en una matriz de bloque diagonal con cada bloque se convierte en una matriz tridiagonal 𝐼 × 𝐼 , 𝐽 × 𝐽 , 𝐾 × 𝐾 .

Ahora podemos generalizar cualquiera de los métodos iterativos ADI discutidos en el capítulo 8. Por ejemplo, un método correspondiente a la modificación de Varga del método Peaceman-Rachford (eqn. 8.77) puede escribirse como:

𝑋 + + 𝑟 𝑣+1 𝐷 𝑝∗ = 𝑟(𝑣+1)𝐷 − 𝑌 − 𝑍 𝑝(𝑣) + 𝑑

𝑌 + + 𝑟 𝑣+1 𝐷 𝑝∗∗ = 𝑟(𝑣+1)𝐷 − 𝑍 𝑝(𝑣) − 𝑋𝑝∗ + 𝑑

𝑍 + + 𝑟 𝑣+1 𝐷 𝑝(𝑣+1) = 𝑟(𝑣+1)𝐷𝑝𝑣 − 𝑋𝑝∗ − 𝑌𝑝∗∗ (Ec. 11.20)

Como en el caso de problemas bidimensionales D es una matriz diagonal que contiene la suma de los elementos de la diagonal de X, Y, y Z.

Douglas (1962) propuso otro método (Varga, 1962, p. 244) que pueden ser modificados para los sistemas parabólicos y es expresado como:

𝑋 + + 𝑟(𝑣+1)𝐷 𝑝∗ = 𝑟(𝑣+1)𝐷 − 𝑋 − 2𝑌 − 2𝑍 𝑝(𝑣) + 2𝑑

𝑌 + + 𝑟 𝑣+1 𝐷 𝑝∗∗ = 𝑟 𝑣+1 𝐷 − 𝑋 − 𝑌 − 2𝑍 𝑝 𝑣 − 𝑋𝑝∗ + 2𝑑

𝑍 + + 𝑟(𝑣+1)𝐷 𝑝(𝑣+1) = 𝑟(𝑣+1)𝐷 − 𝑋 − 𝑌 − 𝑍 𝑝(𝑣) − 𝑋𝑝∗ − 𝑌𝑝∗∗ + 2𝑑 (Ec. 11.21)

El método anterior se reduce al método Douglas (1962) cuando Σ = 0 (ecuaciones elípticas) y D = I.

Hay muy poco en la literatura sobre la selección de los parámetros de la iteración de estos métodos. Una aproximación razonable es ampliar la ecuación (8.77) para la estimación de rmin y el cálculo de los parámetros en una secuencia geométrica entre rmin y rmáx = 1 a 2. La ecuación para rmin es (Weistein et al., 1969):

rmin= minimo sobre la malla de

𝜋2

2𝐼2 1+𝜌1 ,

𝜋2

2𝐽2 1+𝜌2 ,

𝜋2

2𝐾2 1+𝜌3 (Ec. 11.22)

Dónde

𝜌1 =𝜆𝑌

𝜆𝑋 Δ𝑥

Δ𝑦

2

+𝜆𝑍

𝜆𝑋 Δ𝑥

Δ𝑧

2

305

𝜌2 =𝜆𝑋

𝜆𝑌 Δ𝑦

Δ𝑥

2

+𝜆𝑍

𝜆𝑌 Δ𝑦

Δ𝑧

2

𝜌3 =𝜆𝑋

𝜆𝑍 Δ𝑧

Δ𝑥

2

+𝜆𝑌

𝜆𝑍 Δ𝑧

Δ𝑦

2

Los valores de ρp=0 y ∞ (p= 1, 2 ,3) no deben ser considerados en la evaluación del mínimo.

11.2.4.3. El Método SIP Este método ya ha sido discutido para flujo monofásico bidimensional en el capítulo 8 (sección 8.3.7) y para flujo bidimensional multifasico en el capítulo 10 (sección 10.3.3). La extensión de SIP a los problemas tridimensionales fue propuesto por Weinstein et al. (1969). Como en el caso de problemas bidimensionales A es modificada por la N tal que A + N es factorizable en L y matrices U que son dispersos y de la forma indicada en las figuras. 11,3 y 11,4. La ecuación (11,5) puede ser escrita en forma residual:

𝐴 + 𝑁 𝛿 𝑣+1 = 𝐿𝑈 𝛿 𝑣+1 = −𝑅 𝑣 (Ec. 11.23)

Donde,

𝑅 𝑣 = 𝐴𝑝𝑣 − 𝑑 (Ec. 11.24a)

𝛿 𝑣+1 = 𝑝 𝑣+1 − 𝑝 𝑣 (Ec. 11.24b)

Las expresiones de los elementos de L y U se desarrollan de una manera similar al procedimiento utilizado en la sección 8.3.7 (capítulo 8). El algoritmo final según lo informado por Weinstein et al. (1969) es:

𝑧𝑖𝑗𝑘 = 𝑧𝑖𝑗𝑘 1 + 𝛼 𝑏𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1 + 𝑓𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1 −1

𝑔𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑗𝑘 1 + 𝛼 𝑠𝑖 ,𝑗−1,𝑘 + 𝑏𝑖 ,𝑗−1,𝑘 −1

𝑐𝑖𝑗𝑘 = 𝑐𝑖𝑗𝑘 1 + 𝛼 𝑠𝑖−1,𝑗 ,𝑘 + 𝑓𝑖−1,𝑗 ,𝑘 −1

𝐴𝑖𝑗𝑘 = 𝑧𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1

𝐶𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖 ,𝑗−1,𝑘

𝐺𝑖𝑗𝑘 = 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑓𝑖−1,𝑗 ,𝑘

𝑊𝑖𝑗𝑘 = 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑖−1,𝑗 ,𝑘

𝑇𝑖𝑗𝑘 = 𝑧𝑖𝑗𝑘 𝑓𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1

𝑈𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑖,𝑗−1,𝑘

𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 + 𝛼 𝐴𝑖𝑗𝑘 + 𝐶𝑖𝑗𝑘 + 𝐺𝑖𝑗𝑘 + 𝑊𝑖𝑗𝑘 + 𝑇𝑖𝑗𝑘 +𝑈𝑖𝑗𝑘 − 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖−1,𝑗 ,𝑘 − 𝑔𝑖𝑗𝑘 𝑓𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1 − 𝑧𝑖𝑗𝑘 𝑠𝑖,𝑗 ,𝑘−1

𝑏𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘−1 𝑏𝑖𝑗𝑘 − 𝛼 𝐴𝑖𝑗𝑘 + 𝐶𝑖𝑗𝑘

𝑓𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘−1 𝑓𝑖𝑗𝑘 − 𝛼 𝑇𝑖𝑗𝑘 + 𝐺𝑖𝑗𝑘

𝑠𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘−1 𝑠𝑖𝑗𝑘 − 𝛼 𝑊𝑖𝑗𝑘 + 𝑈𝑖𝑗𝑘 (Ec. 11.25)

306

Fig. 11.3. Matriz L

Después de que los elementos de L y U son calculados, el vector v se obtiene a partir de

𝐿𝑣 = −𝑅 𝑣 (Ec. 11.26)

Solucion por Sustitucion hacia adelante

𝑣𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘−1 𝑅𝑖𝑗𝑘

(𝑣) − 𝑧𝑖𝑗𝑘−1𝑣𝑖 ,𝑗 ,𝑘−1 − 𝑔𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑖 ,𝑗−1,𝑘 − 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑣𝑖−1,𝑗 ,𝑘 (Ec. 11.27)

El vector δ se obtiene de

𝑼𝜹 = 𝒗 (Ec. 11.28)

Solucion por sustitucion hacia atras

𝛿𝑖𝑗𝑘(𝑣+1) = 𝑣𝑖𝑗𝑘 − 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝛿𝑖+1,𝑗 ,𝑘

(𝑣+1)− 𝑓𝑖𝑗𝑘 𝛿𝑖 ,𝑗 +1,𝑘

(𝑣+1)− 𝑠𝑖𝑗𝑘 𝛿𝑖 ,𝑗 ,𝑘+1

(𝑣+1) (Ec.11.29)

Fig. 11.4 Matriz U

Las ecuaciones (11.25), (11.27) y (11.29) constituyen el algoritmo 3-D SIP siempre que se tenga

𝑧𝑖𝑗1 = 𝑠𝑖𝑗𝑲 = 0 𝑖 = 1,2, … . , 𝐼 𝑗 = 1,2, … . , 𝐽

𝑔𝑖1𝑘 = 𝑓𝑖𝑱𝑘 = 0 𝑖 = 1,2, … . , 𝐼 𝑘 = 1,2, … . , 𝐾

307

𝑐1𝑗𝑘 = 𝑠𝑰𝑗𝑘 = 0 𝑗 = 1,2, … . , 𝐽 𝑘 = 1,2, … . , 𝐾

El algoritmo puede ser más generalizado mediante el uso de diferentes valores de los parámetros de la iteración en cada dirección. El algoritmo generalizado ha sido presentado por Weinstein et al. (1969), pero sin resultados reportados con esta forma de SIP.

Como en el caso del 2-D SIP, Weinstein, recomendó que la anterior orden de incógnitas se utilizará para las iteraciones impares y para las iteraciones pares de esta secuencia para ser cambiado a lo siguiente:

𝑖 = 1,2, … . , 𝐼

𝑗 = 𝐽, 𝐽 − 1, … . . ,1

𝑘 = 𝐾, 𝐾 − 1, …… ,1

El cambio de secuencia mejora la tasa de convergencia. El uso de otros ordenamientos independientes (dos son posibles en este caso) no es necesario de acuerdo a Weinstein et al. (1969).

Los parámetros de iteración se calculan mediante el establecimiento de la parte derecha de la ecuación. (11.22), igual a (1-αmax) y utilizando la ecuación (8,89) para calcular αm. En general, el número de parámetros por ciclo (M) es de entre 4 y 10, si la secuencia calculada anteriormente, causa divergencia, (1-αmax), calculado debe ser multiplicado por un factor de 2-10, y si las iteraciones convergen pero poco a poco, se debe dividir por un factor de 2-10.

11.2.5 Comparación de Métodos

En las secciones 9.2.2 a 9.2.4 hemos discutido tres clases de métodos: (1) no iterativo ADI, (2) directo, y (3) iterativo. A primera vista, los métodos no iterativos ADI pueden parecer atractivos para la simulación de yacimientos, debido a su simplicidad y la cantidad relativamente pequeña de trabajo informático requerido por etapa. Esto, sin embargo, no siempre es el caso. Pruebas reales con el método indican que pequeños pasos de tiempo injustificados pueden ser usados (Briggs y Dixon, 1968) Cuando la matriz eqn (11.5) debe ser solucionada, se puede elegir entre un método directo o un método iterativo. Para los problemas lo suficientemente grandes seleccionar un método iterativo requiere menos trabajo. El punto de transición depende de la elección de los métodos que se cuenta y el criterio de convergencia para el método iterativo.

Price and Coats (1974) presentan resultados que pueden ser de valor para decidir el método a ser utilizado. Vamos a presentar un resumen de sus resultados aquí. Parte de la discusión también se aplica a problemas bidimensionales discutido en los capítulos 8 y 10.

El trabajo de un método iterativo puede ser expresado como

𝑊𝑖𝑡 = 𝑐𝑁𝑖𝐼𝐽𝐾 (Ec. 11.30)

Donde c es el número de multiplicaciones y divisiones por iteración por la red de bloques y Ni es el número de iteraciones necesarias para la convergencia. El trabajo de los métodos directos puede ser aproximado por la expresión

𝑊 = 𝑓𝐼 𝐽𝐾 3 (Ec. 11.31)

Donde el coeficiente f = 1 para el orden natural y se encuentra entre 0-17 y 0-5 para ordenamiento D4

La relación de trabajo puede ser aproximado por

𝑊

𝑊𝑖𝑡=

𝑓 𝐽𝐾 2

𝑐𝑁𝑖=

𝑓𝑤2

𝑐𝑁𝑖 (Ec. 11.32)

donde w=JK es la amplitud de banda nominal de la matriz (w=J para problemas bidimensionales). La amplitud de banda crítica, wc, en el cual W=Wit es

𝑤𝑐 = 𝑐 𝑁𝑖 𝑓 1 2 (Ec. 11.33)

308

Por ejemplo, este valor de wc para un problema de dos dimensiones se muestra como el punto de cruce en la figura 8.26. Esta cruzada sobre el punto, obviamente depende de los métodos utilizados y la tolerancia aceptable para los métodos iterativos. Métodos directos con ordenamiento estándar por lo general no puede competir con los métodos iterativos para la solución de problemas tridimensionales.

Sin embargo, Price and Coats muestra que con D4 ordenar los métodos directos requieren menos trabajo que los métodos iterativos para muchos problemas prácticos.

Es posible obtener una estimación aproximada de wc de la ecuación. (11.33) mediante el cálculo de f de la fórmula en la tabla de 11,1 o de la fig. 11.2. El valor de la constante C se puede estimar a partir de la tabla 11.2, donde para fines de comparación de los valores de esta constante para problemas bidimensionales también se proporcionan.

El número de iteraciones necesarias para la convergencia es una función fuerte del problema que se resuelve, el método utilizado y la tolerancia aceptable.

Price and Coats (1947) han comparado ADI iterativo, LSOR. SIP y eliminación directa con ordenamiento D4 para tres problemas prácticos tridimensionales. Encontraron el régimen D4 a ser

muy competitivo con los métodos iterativos, y más rápido que los métodos iterativos para sistemas completos (sin bloques inactivos), con anchos de banda nominal de hasta 38. Para la mayoría de los problemas de simulación práctica por lo general hay un gran número de bloques inactivos.

TABLA 11.2

Número de multiplicaciones y divisiones por ITERACIÓN por cuadrícula PUNTO DE VARIOS

Métodos iterativos (de PRICE AND COATS, 1974)

Metodo Iterativo

Valor de c

Problemas bidimensionales

Problemas tridimensionales

SIP 24 37

ADI 19 28

LSOR 9 11

Para tales casos, se encontró el régimen de D4 es más rápido para la banda de ancho nominal mayor que 72. Los métodos directos se hacen más eficientes para los problemas de los que es difícil obtener los parámetros de iteración bueno, con tal capacidad suficiente de almacenamiento básico de equipo esté disponible.

11.3 FLUJO MULTIFASICO

11.3.1 Métodos de Solución Básicos y Sus Exigencias de Trabajo

Los métodos de solución presentados en el capítulo 5 (IMPES, SS y SEQ) se extienden a tres dimensiones de la misma manera como lo hemos hecho en el capítulo 9 para problemas 2-D. La única diferencia es los términos de flujo adicional de la tercera dimensión espacial. Los requisitos de trabajo por intervalo de tiempo, aumentará en 3-D exactamente como en 2-D cuando se va de IMPES al método SS. Si suponemos que la ecuación. (9.28) da la estimación del trabajo, entonces para I≥J≥K

309

podemos obtener las estimación 3-D que figuran en los cuadros 9.1 y 9.2, si multiplicamos B and N por K y WTS por K

3. Por lo tanto, las relaciones de trabajo en relación con el trabajo para IMPES son los mismos para problemas 2-D

y 3-D.

De ello se deduce inmediatamente que la relación de trabajo para problemas 3-D y 2-D tienen misma I y J es

𝑊3𝐷

𝑊2𝐷= 𝐾3 (Ec. 11.34)

i.e., el trabajo se incrementa con la tercera potencia del número de capas. Del mismo modo, podemos deducir los requisitos de almacenamiento multiplicando los valores en los cuadros 9.3 y 9.4 por K

2. Por lo tanto, de un método

directo,

𝑆3𝐷

𝑆2𝐷= 𝐾2 (Ec. 11.35)

El análisis anterior es válido sólo cuando el mismo método para resolver las ecuaciones de la matriz se utiliza para todos los casos. En la práctica esto no suele ser el caso.

Por ejemplo, en el caso del método SEQ para flujo de tres fases, la ecuación de la presión puede ser resuelta por un método directo y la ecuación de la saturación por un método iterativo. Esto puede ser más eficaz que resolver ambas ecuaciones por directo o iterativo. Las relaciones de trabajo WSEQ/WIMPES serán diferentes de los indicados en los cuadros 9.1 y 9.2.

Como otro ejemplo, un problema que será resuelto por LSOR en dos dimensiones puede ser solucionado con mayor eficacia por BSOR en 3-D. La tasa mejorada de convergencia entonces conducirá a una proporción de trabajo diferente de eqn. (11.34). Wattenbarger and Thurnau (1976) informaron que si los planos verticales se utilizan para BSOR, entonces la relación de trabajo para un 3-D y 2-D de problemas areales se resuelve por el método de IMPES es

𝑊3𝐷

𝑊2𝐷= 𝐶𝐾 (Ec. 11.36)

Donde C ≈ (2-12 a 2-5) N3D/N2D y N es el número de iteraciones necesarias para resolver el problema. La relación de N3D/N2D será cercana a 1 para los problemas homogéneos y aumenta para problemas heterogéneos.

11.3.2 Métodos para resolver las ecuaciones de la matriz

11.3.2.1 Métodos de solución La única diferencia entre la matriz para problemas 3-D en lugar de problemas 2-D es que las matriz 3D es un bloque con siete diagonales en comparación con el bloque de cinco diagonales. Todos los métodos que se indican en la Sección 11.2 se extienden para manejar los problemas de flujo multifásico exactamente igual como los métodos del capítulo 8 se ampliaron en el capítulo 10. Por ejemplo, los detalles de la ecuación. (11.20) para las dos fases, de tres dimensiones las ecuaciones SS dadas por Coats et al. (1967).. La extensión a un flujo de tres se obtiene mediante una simple sustitución de los elementos de p en la ecuación. (11,6) y d por sub-vectores de la forma (véase la ecuación 10.6)):

𝑃𝑖𝑗𝑘 =

𝑃1𝑖𝑗𝑘

𝑃2𝑖𝑗𝑘

𝑃3𝑖𝑗𝑘

(Ec. 11.37)

y la sustitución de todos los elementos de todas las matrices de 3 * 3 sub-matrices. Este procedimiento es completamente análogo al procedimiento utilizado en los capítulos 5,9 y 10.

Los detalles del algoritmo de SIP para problemas multifasicos tridimensionales están disponibles en la literatura (cf. Weinstein et al., 1969; Suarez and Farouq Ali, 1976).

11.3.2.2 Comparación de Métodos Las comparaciones presentadas en la sección 11.2.5 son válidas para problemas multifasicos solucionados por el método de IMPES y para problemas de dos fases solucionados por los métodos SEQ. La aplicación del método SS a problemas de dos o tres fases y la aplicación del método SEQ a problemas de tres fases los sistemas de producción de ecuaciones con matrices de bloque estructurado. Para estos problemas, la literatura no da la comparación sistemática de los métodos que puedan guiar al usuario. Hay que utilizar toda la

310

información disponible para problemas bidimensionales (capítulos 8 y 10) y de problemas de una sola fase tridimensionales (sección 11.2.5), a fin de hacer una selección.

11.4 CONCLUSIONES

Problemas en 3 dimensiones pueden resultar de alto gasto computacional y humano por el trabajo requerido. Por esta razón siempre hay que tratar de reducir los problemas tridimensionales a 2 dimensiones, con el fin de poderse llevar a cabo su solución. Otro método para simplificar el esfuerzo requerido fue estudiado por Watts and Huang (1976).

EJERCICIOS

EJERCICIO 11.1 Demostrar la ecuación en coordenadas cilíndricas a partir de la ecuación cartesiana en 3 dimensiones.

𝜕

𝜕𝑥 𝜆𝑋

𝜕𝑝

𝜕𝑥− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝜆𝑌

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑧 = 𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞

(A)

Donde:

𝜆𝑥 =𝑘𝑥

𝜇𝐵; 𝜆𝑦 =

𝑘𝑦

𝜇𝐵 ; 𝜆𝑧 =

𝑘𝑧

𝜇𝐵 ; 𝛾 =

𝜌𝑔

𝑔𝑐 ; 𝛽 = 𝜙

𝑐𝑓

𝐵𝑜+ 𝜙

𝑐𝑟

𝐵

Para convertir el sistema cartesiano a cilíndrico es necesario hacer unas suposiciones.

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 𝑧 = 𝑧

Entonces:

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑔 = 𝑖, 𝑗, 𝑘 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 0 0

0 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃) 00 0 1

𝑔 = 𝑟2

𝑔1,1 =𝐺1,1

𝑔= 1 ; 𝑔2,2 =

𝐺2,2

𝑔=

1

𝑟2

𝑔1,2 = 𝑔1,3 = 𝑔2,1 = 𝑔2,3 = 𝑔3,1 = 𝑔3,20

Reemplazando los términos en la ecuación de coordenadas cartesianas.

𝜆𝑋 = 𝜆𝑅 ; 𝜆𝑌 = 𝜆𝑇 ; 𝜆𝑍 = 𝜆𝑍

1

𝑟 𝑟𝜆𝑅

𝜕𝑝

𝜕𝑟− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑟 +

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝜃 𝜆𝑇

𝜕𝑝

𝜕𝜃− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝜃 +

𝜕

𝜕𝑧 𝜆𝑍

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝛾

𝜕𝑕

𝜕𝑧 = 𝛽

𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑞

1. Derivar la forma de las diferencias finitas de las transmisibilidades.

311

𝑇𝑅 𝑖+

1

2 ,𝑗 ,𝑘

= 𝛼𝑗𝑟𝑖+1/2𝐿 ∆𝑧𝑘

(𝑟𝑖+1−𝑟𝑖)𝜆𝑅

𝑖+1

2 ,𝑗 ,𝑘

(B)

(C)

(D)

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

𝛼𝑗 =1

2 𝛼

𝑗 +1

2

+ 𝛼𝑗−

1

2

; ∆𝑧𝑘 =1

2 ∆𝑧

𝑘+1

2

+ ∆𝑧𝑘−

1

2

(E)

𝑟𝑖+1/22 =

𝑟𝑖+12−𝑟𝑖

2

ln 𝑟𝑖+1𝑟𝑖

2 ; 𝑟𝑖+1/2

𝐿 =𝑟𝑖+1−𝑟𝑖


(F)

Así el volumen es:

EJERCICIO 11.2

Investigar el uso de métodos directos para ecuaciones en 3 dimensiones (coordenadas cilíndricas) .considerar

Si se denota NR, NY NZ los números de los puntos en las direcciones r,Ɵ y z .

Si la geometría del problema, es similar a la figura, es decir, que no se cierra en dirección al eje de Ɵ se dice que, no

existe diferencia para solucionar el caso en coordenadas cilíndricas o cartesianas

Ahora, si la geometría de la figura es como la que se ve a continuación:

312

El acoplamiento entre j=1 y j = NY , no incrementa el ancho de banda, solamente si la dirección j es ordenado como segundo. Así los puntos podrían ser numerados en el orden

i,j,k si NR≤NZ

k,j,i si NZ ≤NR

Para orden D4 es necesario que NY sea par, de lo contrario las submatrices A1 y A4 no podrían ser diagonales.

En la que la figura a continuación, demuestra la manera en que se lee la información de la matriz, bajo este esquema.

313

CAPITULO 12

TOPICOS ESPECIALES

12.1 INTRODUCCION.

Este capítulo discute los métodos diseñados para la manipulación de varios problemas especiales, los cuales no han sido discutidos en otra parte, pero frecuentemente surgen en prácticas de simulación. Estos incluyen el uso de pseudo-funciones que no se comportan como sistemas de aceite negro simulando el yacimiento por modelos de aceite negro y otras técnicas especiales. Una característica común de muchas de estas técnicas es que intentan un grado de aproximación para problemas complejos reduciendo o simplificando el problema por medio de la utilización de hipótesis idóneas. Para el ejemplo de equilibrio vertical (VE) las técnicas reducen un problema de 3-D a uno de 2-D bajo condiciones apropiadas. Técnicas de este tipo son empleadas donde: a) Hipótesis de los métodos de aproximación son validas y estas usan los resultados para ahorrar costos

computacionales.

b) Los costos de la simulación usando un modelo más riguroso es prohibido y simplificar los modelos

puede aun producir alguna información útil, o

c) Los modelos rigurosos no están disponibles.

12.2 PSEUDO-FUNCIONES.

La simulación en tres dimensiones de flujo en yacimientos, o la resolución detallada del flujo cercano a pozos individuales en modelos de 2-D o 3-D puede requerir un gran número de bloques. Tales simulaciones pueden ser muy costosas y frecuentemente están más allá de la capacidad disponible del computador. El concepto de pseudo funciones es una técnica práctica que permite consideraciones aproximadas para: (a) flujo en la vertical o en la dirección normal de buzamiento en modelos areales en dos dimensiones, o (b) en flujo radial cerca a los pozos en modelos de yacimientos de dos o tres dimensiones. La simplificación sugerida es lograda reemplazando las relaciones de permeabilidades relativas y presiones capilares con las pseudo-relaciones de modo que considera un uso aproximado de los detalles omitidos en los modelos de yacimiento. Con el fin de obtener las relaciones de permeabilidad pseudo-relativa y presiones pseudo-capilares en los sistemas son usados modelos analíticos y numéricos simplificados. En esta sección el concepto será ilustrado por la presentación de Coast et al. (1971.a) del uso de equilibrio vertical en la simulación de yacimientos en dos y tres dimensiones. Esto será desarrollado por una breve discusión de esas extensiones y de otros tipos de pseudo-funciones. 12.2.1 Coats (1971a) Modelo Equilibrio Vertical.

En un yacimiento de gran extensión areal en relación con su espesor suele ser razonable asumir que el equilibrio es establecido instantáneamente en la dirección vertical (las fuerzas viscosas son despreciables) y los cálculos de flujo necesitan ser realizados únicamente en áreas de dos dimensiones. Esto se conoce como la suposición de equilibrio vertical (VE). El modelo simple de VE es obtenido si las fuerzas capilares también son despreciables. Esta hipótesis es particularmente adecuada para yacimientos de gas-agua y estos resultados para segregación gravitacional completa. Esto no, sin embargo, implica que la interface fluido-fluido sería horizontal a través del yacimiento, ya que ninguna suposición de equilibrio está hecha en la dirección horizontal.

Fig. 12.1. Distribución vertical del fluido debido al equilibrio gravitacional.

314

Consideremos un corte vertical a través de un bloque sencillo de un yacimiento horizontal homogéneo de dos fases agua-gas. Si la presión capilar en la zona de transición es pequeña (es decir menos del 10 % del espesor del yacimiento) podemos asumir que en el equilibrio gravitacional los fluidos pueden ser completamente segregados como se muestra en la Fig. 12.1

Para simular esta distribución en un modelo areal 2-D, las propiedades promedio 𝑆𝑤 , 𝑃𝑐

y 𝐾𝑟𝑙 , son definidas, de tal

manera que los flujos corregidos y la masa de los líquidos son obtenidos. Por tanto la saturación de la profundidad

promedio 𝑆𝑤 , es definida por

∅ 𝑆𝑤 𝑕 = ∅ 𝑧 𝑆𝑤 𝑧 𝑑𝑧

𝑕

0 (12.1)

Donde ∅ es la porosidad promedio usada en un modelo areal. Para la constante ∅ la saturación inicial 𝑆𝑤𝑖 es (ver

Fig. 12.1a)

𝑆 𝑤𝑖 =

𝑆𝑤𝑐 𝑍𝑐𝑖 + 𝑕 −𝑧𝑐𝑖

𝑕 (12.2)

Si el contacto gas-agua (GWC) crece para 𝑧𝑐(𝑧𝑐 < 𝑧𝑐𝑖 ) al saturacion promedio es (ver Fig. 12.1b)

𝑆 𝑤 =

𝑆𝑤𝑐 𝑍𝑐+ 1−𝑆𝑔𝑐 𝑍𝐶𝑖 −𝑍𝑐 + ( 𝑕 −𝑧𝑐)

𝑕 (12.3)

Si en lugar el contacto gas-agua cae por debajo de esta la localizacion inicial (𝑍𝑐 > 𝑍𝑐𝑖 ) el promedio de la saturacion

es encontrado por (ver Fig. 12.1c)

𝑆 𝑤 =

(𝑆𝑤𝑐 𝑍𝑐+ 𝑕 −𝑧𝑐)

𝑕 (12.4)

Si Z=0 es seleccionanda como plano de referencia para un sistema areal de dos dimensiones, entonces las presiones en este plano son usadas para aclacular el flujo entre bloques del plano horizontal. Desde que tengamos asumido que la presion capilar es cero, las presiones de agua y gas pueden ser iguales en los contactos gas-agua (Zc):

𝑃𝑤𝑐 = 𝑃𝑔𝑐 (12.5)

En alguna posicion Z las presiones en dos fases son:

𝑃𝑤 𝑍 = 𝑃𝑤𝑐 + ϒ𝑤 𝑍 − 𝑍𝑐 (12.6𝑎)

𝑃𝑔 𝑍 = 𝑃𝑔𝑐 + ϒ𝑔 𝑍 − 𝑍𝑐 (12.6𝑏)

La diferencia en las dos presiones en el plano de referencia esta dada por

𝑃𝑔 0 − 𝑃𝑤 0 = 𝑃 𝑐 = 𝛥ϒ𝑍𝑐 (12.7)

Donde 𝛥ϒ = ϒ𝑤 − ϒ𝑔. Coats et al. (1971a ) hace referencia a la diferencia de presion en la ecuación anterior como ―

presion pseudo-capilar‖, aun cuando esto no tiene

Fig. 12.2. Un ejemplo de la presión pseudo-capilar (de Coats et al. 1971)

315

Nada que ver con fuerzas capilares. Sustituyendo para 𝑍𝑐 de la ecuacion (12.7) en la ecuacion. (12.3) y (12.4) se

produce:

𝑆 𝑤 = −

(1 − 𝑆𝑤𝑐 − 𝑆𝑔𝑐 )𝑃 𝑐

𝑕𝛥ϒ+

(1 − 𝑆𝑔𝑐 )𝑍𝑐𝑖

𝑕 𝑍𝑐 < 𝑍𝑐𝑖 (12.8)

Y

𝑆 𝑤 = 1 −

(1 − 𝑆𝑤𝑐 )𝑃 𝑐𝑕𝛥ϒ

𝑍𝑐 < 𝑍𝑐𝑖 (12.9)

Un ejemplo de la presion pseudo-capilar calculada por la relacion anterior para 𝑕 = 300 𝑓𝑡, 𝑆𝑤𝑐 = 0.15, 𝑆𝑔𝑐 =

0.25, 𝑍𝑐𝑖 = 100 𝑓𝑡 𝛥ϒ = 0.38 𝑝𝑠𝑖 𝑓𝑡 es mostrada en la Fig. 12.2

Las permeabilidades pseudo-relativas son derivadas de los requisitos para que el flujo horizontal entre los bloques calculados usando permeabilidades pseudo-relativas sean iguales al flujo actual integrado sobre el espesor h,i.e.,

𝑕𝑘 𝑘 𝑟𝑙 (𝑆 𝑤) = 𝐾 𝑍

𝑕

0

𝐾𝑟𝑙 𝑆𝑤 𝑑𝑧 (12.10)

Donde k y krl son la permeabilidad horizontal y relativa para usar en cálculos 2D VE. Para k constante:

𝑘𝑟𝑤 =

𝑘𝑟𝑤𝑟𝑔 𝑧𝑐𝑖 − 𝑧𝑐 + 𝑕 − 𝑧𝑐𝑖

𝑕 𝑧𝑐 < 𝑧𝑐𝑖 12.11

𝑘𝑟𝑤 =

𝑕 − 𝑧𝑐

𝑕 𝑧𝑐 > 𝑧𝑐𝑖 12.12

Donde 𝑘𝑟𝑤𝑟𝑔 es 𝑘𝑟𝑤 a la saturación de gas residual 𝑆𝑔𝑐 .

Usando las ecuaciones (12.3) y (12.4) 𝑧𝑐 puede ser eliminado de las relaciones de arriba para obtener:

𝑘𝑟𝑤 =

𝑘𝑟𝑤𝑟𝑔 𝑆𝑤

1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐 +

𝑘𝑟𝑤𝑟𝑔 𝑧𝑐 1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐 − 𝑕 + 𝑆𝑔𝑐𝑧𝑐𝑖

𝑕 1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐

+ 𝑕 − 𝑧𝑐𝑖 1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐

𝑕 1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐 𝑧𝑐 < 𝑧𝑐𝑖 12.13

Y

𝑘𝑟𝑤 =

𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑐

1 − 𝑆𝑤𝑐 𝑧𝑐 > 𝑧𝑐𝑖 12.14

Similarmente

𝑘𝑟𝑔 =

𝑘𝑟𝑔𝑐𝑤

1 − 𝑆𝑔𝑐 − 𝑆𝑤𝑐 1 −

𝑆𝑔𝑐𝑧𝑐𝑖

𝑕− 𝑆𝑤

𝑧 < 𝑧𝑐𝑖 12.15

Y

𝑘𝑟𝑔𝑐𝑤

1 − 𝑆𝑤𝑐 1 − 𝑆𝑤

𝑧 > 𝑧𝑐𝑖 12.16

Donde 𝑘𝑟𝑔𝑐𝑤 es 𝑘𝑟𝑔 en la saturación de agua crítica 𝑆𝑤𝑐 .

La figura 12.3 muestra un ejemplo de las curvas de permeabilidad pseudo-relativas junto con las curvas de roca para

el caso h=300 ft, 𝑧𝑐𝑖 = 100 ft, 𝑆𝑔𝑐 = 0.25, 𝑆𝑤𝑐 = 0.15, 𝑘𝑟𝑤𝑟𝑔 = 0.4 y 𝑘𝑟𝑔𝑐𝑤 = 0.9. Note que las pseudo-funciones

316

dependen solo de los puntos finales de las curvas de roca (no en su forma) y la posición inicial del contacto 𝑧𝑐𝑖 . Por lo

tanto, puede ser diferente para llegar al grid block en yacimientos de grandes relieves verticales.

Figura 12.3. Un ejemplo de la permeabilidad pseudo-relativa y la correspondiente curva de roca (de Coats el al.,

1971) Coats et al. (1971a) muestra como este enfoque podría ser usado para acomodar la estructura y estratificación del yacimiento. La aplicabilidad práctica de este enfoque depende de la rapidez con la cual las perturbaciones de equilibrio en la dirección vertical se disipan en comparación con la tasa de movimiento en las direcciones horizontales. Coats et al. (1971a) ha desarrollado un grupo de dimensiones, cuyo valor es proporcional al grado de validez de la suposición VE. Ningún valor crítico de este criterio está disponible en esta fecha. 12.2.2 Otras Pseudo-funciones

Generalización del concepto VE. Las ecuaciones (12.1) y (12.10) pueden ser usadas para desarrollar las funciones VE cuando la distribución de fluido vertical es dada por el equilibrio de las fuerzas de gravedad y capilaridad. Coats (1967) presentó tal método para el caso cuando la capilaridad de la zona de transición no es despreciable. Ellos también presentaron un criterio para determinar cuando su enfoque provee una buena representación del desplazamiento de fluidos en yacimientos. Este enfoque es particularmente importante para la simulación de flujo agua-aceite en yacimientos con buena comunicación vertical. Martin (1968) ha proporcionado una base teórica sólida para las peudo-funciones VE demostrando como las ecuaciones de flujo tridimensional pueden ser reducidas a ecuaciones bidimensionales. Esto se logra a través de la integración parcial de las ecuaciones. Las relaciones de Martin incluyen el equilibrio gravedad-capilaridad en la dirección vertical y, para el caso de dos fases con una capilaridad en la zona de transición despreciable, se reducen a las ecuaciones presentadas en la sección anterior. Las funciones VE generalizadas en formaciones homogéneas son función solo del contacto del fluido inicial y las curvas de roca 𝑃𝑐 y 𝑘𝑟 . En un medio heterogéneo, estas funciones también dependen de la estratificación (Φ(z), k(z))

y pueden ser diferentes para llegar al areal block. a. Pseudo-funciones para el desplazamiento en yacimientos estratificados controlados por fuerzas viscosas. Hearn

(1971) ha desarrollado un procedimiento para calcular las curvas de permeabilidad pseudo-relativa para usar en la simulación de inyección de agua en yacimientos estratificados. En esta aproximación la viscosidad en vez de gravedad y fuerzas capilares se determina la distribución de fluido en la dirección vertical. Este modelo es basado en el trabajo de Hiatt (1958) y Warren y Cosgrove (1964), y es válido solo cuando los gradientes de presión en la viscosidad vertical son despreciables comparados con los gradientes horizontales. El modelo de Hearn supone flujo incompresible con desplazamiento pistón que tiene lugar de forma independiente en cada capa. Hawthorne (1974) ha demostrado que el modelo de Hearn puede ser modificado para incluir la influencia de la presión capilar.

b. Pseudo.funciones dinámicas. Los modelos analizados hasta ahora no son aplicables para yacimientos que no

alcanzan las condiciones de equilibrio debido a la poca comunicación vertical, extensos flujos verticales, cambios en la tasa de flujo, etc. Aunque incluso en el caso general, en principio, el yacimiento puede ser descrito en 2-D, la determinación exacta de pseudo-funciones apropiadas requerirá la solución completa en 3-D. Esto no es una situación deseable, ya que la solución del problema en 3-D es lo que estamos tratando de evitar a través del uso

317

de pseudo-funciones. En tal situación, las pseudo-funciones para un block dado variarían con el tiempo y serían diferente para cada conjunto de condiciones simuladas. Como una aproximación a esto, Jacks et al. (1973) ha desarrollado un procedimiento para calcular esas pseudo-funciones ‗dinámicas‘ de simulación transversal en 2D. Estas funciones son aplicables en una amplia gama de condiciones de flujo y saturaciones de fluido inicial y pueden ser dependientes del espacio y del tiempo. Las pseudo-funciones dinámicas son derivadas de detallados estudios de simulación en sección transversal y vertical, de yacimientos bajo condiciones que son esperadas durante las simulaciones de modelos areales. Los resultados de los estudios de la sección transversal son procesados para producir la profundidad promedio de las saturaciones de fluidos y los valores de la permeabilidad pseudo-relativa. Kyte y Berry (1975) ha mejorado el procedimiento para permitir el cálculo de la presión pseudo-capilar dinámica y compensar las diferencias entre tamaños de grid usados y los modelos areales y transversales.

c. Pseudo-funciones para pozos individuales. Como se discutió en el capítulo 9, sección 9.7.3, la predicción real del

rendimiento del pozo en un modelo areal requiere la modificación de la función 𝑘𝑟𝑙 , las cuales pueden ser

también denominadas pseudo-funciones. Además de los métodos discutidos en el capítulo 9, Emmanuel y Cook (1974) mostró como un modelo transversal puede ser usado para generar pseudo-curvas. Woods y Khurana (1977) ha ampliado este procedimiento por medio de la integración parcial de las ecuaciones de flujo para incluir la conicidad del agua en modelos de yacimientos tridimensionales. Su enfoque no asume equilibrio vertical; representa las fuerzas viscosas y la geometría del flujo el cual domina el rendimiento del pozo. Las pseudo-funciones son derivadas de los resultados de simulaciones con un modelo de conicidad bidimensional. El desarrollo es restringido a flujo de dos fases.

12.3 TUBOS DE CORRIENTE Y MODELOS RELACIONADOS

Los modelos de tubos de corriente son anteriores a la llegada de la tecnología de la simulación. Ellos pueden ser usados para cálculos manuales de los patrones de desplazamiento en 2-D. El yacimiento está dividido en ‗tubos de corriente‘ basado en un campo de presión conocida o estimada y es asumido que no hay flujo transversal entre los tubos. Entonces el desplazamiento a lo largo de cada tubo puede ser calculado separadamente y así el problema en 2-D es reducido a un número de problemas en 1-D. El cálculo es riguroso solo si el flujo en los límites del tubo es idéntico con el flujo en las líneas y las líneas no cambian con el tiempo. Modelos de este tipo han sido propuestos por Muskat (1937), Fay y Prats (1951), Hurst (1953), Higgins y Leighton (1962, 1962a), Hauber (1964), Patton et al. (1971) y Le Blanc (1971). Modelos tempranos fueron designados para cálculos manuales pero el modelo de Higgins y Leighton y modelos posteriores son orientados por computador. El modelo más general es el de Le Blanc. Cuando la distribución de presión es descrita por la ecuación de estado estable (tipo Laplace), el enfoque de los tubos de corriente es riguroso. Este es el caso de flujo incompresible en una fase. A través del uso de potencial o pseudo-presión como se discutió en el capítulo 2, los modelos de tubos de corriente también pueden manejar efectos gravitacionales y variaciones de densidad y viscosidad con presión. El modelo también puede ser usado rigurosamente para el desplazamiento miscible con la relación de la unidad de movilidad. En situaciones más complejas, los tubos de corriente son aun determinados de la solución potencial, y porque ya no corresponden a las líneas de corriente, el modelo es solo una aproximación a la solución del problema. La distribución de líneas de corriente puede ser determinada por métodos analíticos o numéricos. Las soluciones analíticas están disponibles para una variedad de patrones de pozos (Muskat, 1937, Morilla-Seytox, 1996). Las técnicas numéricas para solucionar ecuaciones elípticas se discuten en numerosos textos. Una vez se han definido los tubos de corriente, la distribución de la saturación o concentración a lo largo de las líneas de corriente puede ser calculada de nuevo por los métodos analíticos o numéricos. El uso de los modelos de tubo de corriente se restringe a los patrones de dos dimensiones y los problemas que aproximadamente cumplen las hipótesis de simplificación antes mencionados. Patton et al. (1971) presenta una interesante aplicación de esta técnica para la predicción del rendimiento de la inundación del polímero. Un tratamiento detallado de este tema está más allá del alcance de este libro.

12.4 SIMULACIÓN DE PROBLEMAS DE PUNTO DE BURBUJA INCONSTANTE

La presión del punto de burbuja Pb de un aceite subsaturado es la presión en la cual la primera burbuja del gas evoluciona mientras que se disminuye la presión (fig. 12.4). Ésta es también la presión en la cual todo el gas en un sistema gas- líquido es disuelto (o entra en la solución) cuando la presión se aumenta. Claramente para P>Pb la proporción gas-aceite en solución Rs debe ser constante. Sin embargo, si el suficiente gas se suministra continuamente mientras que se aumenta la presión, la fase del aceite seguirá saturada a lo largo de las curvas de hinchamiento demostradas por las líneas discontinuas en fig. 12.4. En las ecuaciones de flujo trifásico desarrollados en el capítulo 5, fue asumido que las curvas únicas de Rs y de Bo se pueden utilizar en todas partes en el yacimiento. Esto es verdad si por ejemplo la presión disminuye por todas partes durante la vida del yacimiento. Hay, sin embargo, varios casos donde este supuesto no se cumple.

318

Considere un yacimiento originalmente subsaturado con las condiciones iníciales dadas por el punto A en fig. 12.5. Si la presión se reduce por debajo del punto original 𝑃𝑏1 de la presión de burbuja, el gas libre va a evolucionar.

Suponga que la presión del yacimiento es aumentada por la inyección del agua que comienza en el punto B. debido a la migración vertical del gas, un bloque en la parte inferior del yacimiento tendrá una saturación de gas más baja y por lo tanto el punto de burbuja de la mezcla en este bloque𝑃𝑏2

Fig. 12.4. Presión punto de burbuja y curvas de hinchamiento

será inferior que el punto de burbuja original 𝑃𝑏1, y la represurizacion puede llevar a las condiciones indicadas en el

punto C. En contraste, un boque hacia la parte superior del yacimiento con una saturación de gas más grande puede seguir la protuberancia de la curva por encima del punto de burbuja original del punto D con 𝑃𝑏3 > 𝑃𝑏1.

La inyección del gas en yacimientos subsaturados también dará lugar a diversos puntos de burbuja en diversas partes del yacimiento. Finalmente, incluso en los yacimientos vírgenes el punto de burbuja aumenta con la profundidad y esta variación no puede ser ignorada por los yacimientos de gran espesor. La simulación de la variación del punto de burbuja requiere un manejo especial de la ecuación de los gases. Steffensen y Sheffield (1973), Kazemi (1975) y Thomas et al. (1976) presentaron los métodos actuales para manejar el problema tratando el punto de burbuja

Fig. 12.5. Cambio del punto de burbuja con el inverso de los cambios de presión.

como una variable en los términos de la acumulación solamente. Stright et al. (1977) presentó un tratamiento completamente implícito que es descrito más abajo. Es conveniente utilizar la presión de saturación, Ps, como variable en lugar del punto de burbuja. La presión de saturación de una celda de cómputo se define como la presión del bloque si hay gas libre en el bloque, y es el punto de burbuja de la fase de aceite si la celda es subsaturada. Entonces los sostenimientos siguientes: a) P≥Ps

b) Si P>Ps, entonces Sg=0 c) Si Sg>0, entonces P=Ps

319

Estas relaciones demuestran que el Ps y el Sg son variables mutuamente exclusivas; es decir que ambas no pueden cambiar de forma independiente. Las propiedades del aceite son definidas por P y Ps a través de la protuberancia de la curva y la compresibilidad del aceite sobre el punto de burbuja.

Rs=f(Ps) Bo=f(P,Ps) Considere la expansión de la diferencia finita de la transferencia de masa el término 𝜕 𝜕𝑡 (So Bo Rs) en la ecuación

del gas:

∆𝑡 𝑆𝑜𝐵𝑜𝑅𝑠 = 𝐵𝑜𝑅𝑠 𝑛+1 𝑆𝑜𝑛+1 − 𝑆𝑜𝑛 + 𝑆𝑜𝑛 (𝐵𝑜𝑅𝑠)𝑛+1 − (𝐵𝑜𝑅𝑠)𝑛 (12.17) Donde

(𝐵𝑜𝑅𝑠)𝑘 = 𝐵𝑜 𝑃𝑘 , 𝑃𝑠𝑘 𝑅𝑠 𝑃𝑠𝑘 (12.18)

Para simplificar, la compresibilidad de la roca se asume como cero. El segundo término en la expansión es una función del cambio de la presión y del cambio de la presión de saturación:

∆𝑡 𝐵𝑜𝑅𝑠 = 𝑓 ∆𝑡𝑃, ∆𝑡 , 𝑃𝑠 (12.19) Puesto que la expansión de este término depende de los cambios desconocidos en P y la Ps, la técnica de la solución debe ser iterativa. Stright et al. (1977) ignora ∆𝑡𝑃𝑠para la primera iteración ampliando la eqn. (12.17) como

∆𝑡 𝑆𝑜𝐵𝑜𝑅𝑠 = (𝐵𝑜𝑅𝑠)𝑛∆𝑡𝑆𝑜 + 𝑆𝑜

𝑛𝐵’𝑜𝑅𝑠𝑛∆𝑡𝑃 (12.20)

Donde

𝐵’𝑜 = (𝐵𝑜 𝑃𝑛 + ∆𝑝, 𝑝𝑠𝑛 − 𝑏𝑜(𝑝𝑛 , 𝑝𝑠

𝑛) /∆𝑝 (12.21)

Los resultados de la primera iteración son denotados por 𝑝(1), 𝑆𝑜(1)

, 𝑆𝑔(1)

. Ahora hay varias posibilidades que pueden

dar lugar a un cambio en la presión de saturación:

a. 𝑝(1) < 𝑝𝑠𝑛 , en este caso 𝑝𝑠

𝑛+1 = 𝑝𝑛+1 y 𝑆𝑔 aumenta por la evolución de gas.

320

Fig. 12.6. Método para modelar la presión de saturación variable (de Straight et al., 1977).

b. 𝑝(1) ≥ 𝑝𝑠𝑛 y 𝑆𝑔

(1)> 0 en este caso algunos (o todos) de gas disponible puede ser disuelto y 𝑝𝑠 puede aumentar

hasta 𝑝𝑛+1.

c. 𝑆𝑔(1)

< 0, en este caso la 𝑝𝑠 se debe reducir para obtener 𝑆𝑔𝑛+1 = 0.

La situación pasada puede se resultado de la mezcla que cuando el flujo está en la dirección de 𝑅𝑠 creciente, Las

posibilidades restantes representan los casos en que la presión de saturación no cambia. Caso (a) éste es el tratamiento estándar para los yacimientos producidos bajo presión decreciente. Stright et al. (1977) da dos expansiones equivalentes que se aproximan a la pendiente del acorde entre n y n+1 (véase Fig. 12.6a).

Caso (b): la celda puede o no puede volverse saturada dependiendo de 𝑆𝑔 1

y 𝑃 1 . La presión 𝑃∗, en el cual el gas

libre esta predicho por 𝑆𝑔 1

disuelto (i.e. la presión del punto de burbuja), pude ser determinada del siguiente calculo.

A esta presión, 𝑆𝑔∗ = 0, 𝑆𝑜

∗ = 1 − 𝑆𝑤 1

y la condición para la conservación del la fase aceite está dada por:

𝑏𝑜∗𝑆𝑜

∗ = 𝑏𝑂 1

𝑆𝑜 1

(12.22)

Similarmente, el total de gas en la celda después de la primera iteración es:

𝑏𝑜 1

𝑅𝑠𝑛𝑆𝑜

1 + 𝑏𝑔

1 𝑆𝑔

1 (12.23)

Y si todo el gas esta disuelto, entonces esto debe ser igual a 𝑏𝑜

∗𝑅𝑠∗𝑆𝑜

∗. Utilizando la ecuación (12.22) tenemos:

𝑅𝑠∗ =

𝑏𝑜 1

𝑅𝑠𝑛𝑆𝑜

1 +𝑏𝑔

1 𝑆𝑔

1

𝑏𝑜 1

𝑆𝑜 1 (12.24)

El cual determina la predicción del punto de burbuja 𝑃∗. Hay ahora dos posibilidades:

321

1. Si 𝑃(1) < 𝑃∗, entonces solamente parte del gas puede estar disuelto y 𝑃𝑠𝑛+1 = 𝑃𝑛+1. La presión 𝑃(1) entonces

sirve como una buena aproximación para 𝑃𝑠𝑛+1, y la saturación 𝑆𝑔

(1) Es recalculada para tener en cuenta el gas

disuelto:

𝑆𝑔(1)

≅ 𝑆𝑔(1)

− 𝛿𝑆𝑔 = 𝑆𝑔(1)

− 𝑅𝑠 𝑃 1 𝑏𝑜 𝑃

1 , 𝑃 1 − 𝑅𝑠 𝑃𝑛 𝑏𝑜 𝑃

𝑛 , 𝑃𝑠𝑛 𝑆𝑜

𝑛/𝑏𝑔(1)

(12.25)

La expansión de la ecuación (12.17) es escrita como:

∆𝑡 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠 = 𝑏𝑜 1

𝑅𝑠 1 𝑆𝑜

𝑛+1 − 𝑆𝑜𝑛 + 𝑆𝑜

𝑛 [∆(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠 + (𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃` (𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛)] (12.26)

Donde, acordando con la figura 12.6b

∆(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠 = [𝑏𝑜 𝑃𝑛 , 𝑃𝑛 𝑅𝑠 𝑃

𝑛 − 𝑏𝑜(𝑃𝑛 , 𝑃𝑠𝑛)𝑅𝑠(𝑃𝑠

𝑛)]

(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃` = [𝑏𝑜 𝑃

𝑛 , 𝑃𝑛 𝑅𝑠 𝑃 1 − 𝑏𝑜(𝑃𝑛 , 𝑃𝑛)𝑅𝑠(𝑃𝑠

𝑛)]/(𝑃 1 − 𝑃𝑛)

2. Si 𝑃(1) > 𝑃∗, todo el gas disponible se disolverá y la presión de saturación no alcanzara la presión de bloque,

𝑃𝑠𝑛+1 < 𝑃𝑛+1. Entonces partimos 𝑆𝑔

𝑛+1 = 0, 𝛿𝑆𝑔 = −𝑆𝑔𝑛 y el cambio de la presión de saturación es determinada

asumiendo que 𝑃𝑠𝑛+1 ≅ 𝑃∗. ahora la expansión toma la forma de:

∆𝑡 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠 = 𝑏𝑜 𝑃 1 , 𝑃∗ 𝑅𝑠 𝑃

∗ 𝑆𝑜𝑛+1 − 𝑆𝑜

𝑛 + 𝑆𝑜𝑛 [∆(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠 + (𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠

` 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑛 + (𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃` 𝑃𝑛+1 − 𝑃𝑠

𝑛+1 ]

(12.27) Donde, acordando con la figura 12.6c

∆(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠 = [𝑏𝑜 𝑃𝑛 , 𝑃𝑛 𝑅𝑠 𝑃

𝑛 − 𝑏𝑜(𝑃𝑛 , 𝑃𝑠𝑛)𝑅𝑠(𝑃𝑠

𝑛)]


∗, 𝑃∗ 𝑅𝑠 𝑃∗ − 𝑏𝑜(𝑃𝑛 , 𝑃𝑛)𝑅𝑠(𝑃𝑠

𝑛)]/(𝑃∗ − 𝑃𝑛)


(1), 𝑃∗ − 𝑏𝑜(𝑃∗, 𝑃∗)𝑅𝑠(𝑃∗)]/(𝑃 1 − 𝑃∗)

Caso (c): este caso puede ser manipulado por el algoritmo del caso (b). Observe que las ecuaciones (12.22) a

(12.24) predicen un decremento en el punto de burbuja cuando 𝑆𝑔 1

es negativo.

Para todos los casos, la ecuación para la segunda iteración puede ser escrita en una forma común:

∆𝑡 𝑆𝑜𝑏𝑜𝑅𝑠 = (𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑘∆𝑡𝑆𝑜 + 𝑆𝑜𝑛 [(𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃

` ∆𝑡𝑃 + 𝑏𝑜𝑅𝑠)𝑃𝑠` ∆𝑡𝑃𝑠 + 𝑅 (12.28)

Donde R es un término explicito. El termino R y el coeficiente depende del estado de la celda predicha por la primera iteración. El método descrito usualmente converge en dos iteraciones. El tratamiento para los términos de acumulación es suficiente los modelos areales o 3D. Para aplicaciones de conicidad, es necesario para la estabilidad incluir los términos implícitos con respecto a 𝑃𝑠 en términos de flujo incluyendo 𝑅𝑠. Estos términos remplazan los coeficientes

implícitos con respecto a ∆𝑡𝑆𝑔 en la ecuación de gas sin cambiar la estructura de la ecuación. Los términos de

producción implícitos también deben ser modificados de la misma manera. En conclusión, vale la pena señalar que el mismo problema computacional surge en la simulación de inundaciones de vapor y yacimientos geotérmicos. Aquí las dos variables limitadas por la relación de fases son el punto de saturación y temperatura del bloque.

12.5 SIMULACIÓN DE SISTEMAS NO DESCRITOS POR EL MODELO DE ACEITE NEGRO

Algunos procesos toman lugar en yacimientos que no son descritos por modelos de aceite negro debido a que las suposiciones básica sobre las cual esos modelos están basados no son validas. Sin embargo, ellos frecuentemente pueden ser descritos por ecuaciones más generales para sistemas multicomponentes incluyendo la transferencia de masa convectiva y dispersiva. Si nosotros consideramos solamente las fases de aceite y gas, cada una consiste de componentes hidrocarburos N, las ecuaciones generales son (Bird et al., 1960):

322

−∇ 𝜌𝑜𝜔𝑜𝑖𝜇𝑜 + 𝜌𝑔𝜔𝑔𝑖𝜇𝑔 + ∇ ∅𝑆𝑜𝜌𝑜𝐾𝑜𝑖∇𝜔𝑜𝑖 + ∅𝑆𝑔𝜌𝑔𝐾𝑔𝑖∇𝜔𝑔𝑖 =𝜕

𝜕𝑡 ∅𝑆𝑜𝜌𝑜∇𝜔𝑜𝑖 + ∅𝑆𝑔𝜌𝑔∇𝜔𝑔𝑖 + 𝑞𝑖 (12.29)

i=1,….N

Aquí 𝜔𝑜𝑖 y 𝜔𝑔𝑖 son la fracción de masa de componente i en las fases de gas y aceite y 𝐾𝑙𝑖son los tensores de los

coeficientes de dispersión. Las ecuaciones suplementarias familiares de las relaciones de dos fases

𝜇𝑙 = 𝜆𝑙 ∇𝑃𝑙 − 𝛾𝑙∇𝑧 𝑃𝑐 = 𝑃𝑔 − 𝑃𝑜 𝑆𝑜 + 𝑆𝑔 = 1 (12.30)

Limitantes de las fracciones de masa

𝜔𝑜𝑖 = 1

𝑁

𝑖=1

𝜔𝑔𝑖 = 1

𝑁

𝑖=1

12.31

Y las ecuaciones que describen la transferencia de masas entre fases

𝜔𝑔𝑖

𝜔𝑜𝑖≡ 𝐾𝑖 = 𝑓 𝑃𝑖 , 𝜔𝑖 𝑖 = 1, ………𝑁 12.32

Donde 𝜔𝑖 es la fracción del componente i en la mezcla de dos fases, y 𝐾𝑖 son las constantes de equilibrio entre fases

(Katz et al., 1959), también llamados valores K o coeficientes de partición. Las fases de densidades y viscosidades dependen de una manera compleja de la composición de cada fase, y la composición de la fase depende de la composición total y presión (la temperatura es asumida constante durante toda la discusión). De la ecuación (12.29) a la (12.32) es un sistema de 2𝑁 + 6 ecuaciones y de 2𝑁 + 6 de incógnitas

𝜔𝑜𝑖 , 𝜔𝑔𝑖 , 𝜇𝑜 , 𝜇𝑔 , 𝑃𝑜 , 𝑃𝑔 , 𝑆𝑜 , 𝑆𝑔 . Es fácil ver como esta formulación puede ser extendida a flujo de tres fases.

Dos simplificaciones de la ecuación general el cual lleva comúnmente al uso de modelos discutidos más adelante. 12.5.1 Simulación de Desplazamiento Miscible

El desplazamiento miscible es obtenido cuando dos o más componentes fluyen en una sola fase. Algunos ejemplos son, el desplazamiento del aceite a través de un solvente, y el transporte de sal, polímeros o contaminantes en el agua. Esos procesos son descritos en la ecuación de convección-difusión y tiene aplicaciones en muchas aéreas incluyendo miscibles, en yacimientos de inyección de polímeros y químicos y modelos de contaminación del aire y agua. Considere dos componentes, aceite y solvente, el cual son miscibles en toda proporción, si nosotros asumimos que a) Los componentes del fluido y roca son incompresibles y b) No hay cambio de volumen debido la mezcla de componentes, entonces el balance de componente general

puede ser simplificado a (Peaceman y Rachford, 1962; Lantz, 1970; Settari et al., 1977)

−∇. μ = ∇ k

μ ∇P − γ∇z = q (12.33)

∇. ∅K∇C − ∇. μC = ∅∂C

∂t+ Cq q 12.34

Aquí μ es la velocidad darcy en una sola fase, K es el tensor de dispersión el cual contribuye a la difusión molecular y

a la dispersión hidrodinámica, C es la concentración volumétrica del solvente in situ y Cq es la concentración de la

fuente/sumidero (Cq es igual a la concentración de entrada para pozos inyectores y Cq = C para pozos productores).

La viscosidad mezcla μ y densidad 𝜌 son dadas por:

𝛾 = 𝛾𝑜 1 − 𝐶 + 𝛾𝑠𝐶 12.35 μ = f μo , μs , C 12.36

La ecuación (12.35) es consecuencia de la suposición anterior (a). La función de viscosidad (12.36) es usualmente expresada por un logaritmo o una regla de mezclas (Peaceman y Rachford , 1962; Settari et al., 1977). Una ecuación similar puede ser derivada para sistemas multicomponentes. Su tratamiento es complicado debido a la interacción de los coeficientes de dispersión. (Whitaker, 1967; Bear, 1972; Sigmund, 1976). 12.5.1.1 soluciones de ecuaciones de convección-difusión La solución directa de estas ecuaciones presenta dos dificultades. La primera, comúnmente para todas las ecuaciones de este tipo, es que la solución numérica del flujo convectivo debe ser muy exacta de modo que los

323

errores numéricos (llamado dispersión numérica) no cubran el efecto de dispersión físico. Los métodos numéricos tienden a cualquiera de las soluciones suaves dadas con una gran dispersión numérica o soluciones que son exactas solamente para un pequeño espaciado de la grilla y variables para grillas gruesos. Este problema ha sido estudiado extensivamente en la literatura numérica de la dinámica de fluidos (eg Van Leer, 1977; Forester, 1977). En la literatura petrolera, estas ecuaciones han sido resueltas por diferencias finitas así como métodos variacionales. Una revisión del tema es presentado por Settari et al., (1977). El segundo problema es más característico para aplicaciones de yacimientos. En algunos procesos miscibles, la

relación de la movilidad M=µo/µs, es altamente desfavorable (M=10-100). Esto debe causar problemas de orientación

en la malla como se discutió en el Capitulo 9, Sección 9.7.3. Con M suficientemente alta, el flujo puede comenzar a

ser físicamente inestable, resultando en una ―viscous fingering‖ del desplazamiento a través del aceite. Tal flujo

puede ser simulado, como lo demostró Peaceman y Rachford (1962) y Settari et al. (1977). Sin embargo, resolviendo

la estructura fina del flujo requiere una malla fina, la cual puede ser tanto indeseable como poco práctico para una

simulación de yacimientos a gran escala.

12.5.1.2 Simulación de desplazamiento miscible usando simuladores inmiscibles Este es una fuerte motivación para el desarrollo de métodos los cuales pueden simular un desplazamiento miscible usando simuladores de aceite negro convencionales (tipo-𝛽). Además de generalizar el uso de modelos de aceite

negro y las dificultades asociadas con la solución directa de la ecuación miscible, algunas mezclas de fluidos pueden ser miscibles o inmiscibles (dos fases) dependiendo de la concentración y la presión. Por lo tanto el flujo del yacimiento debe cambiar de inmiscible a miscible y viceversa, de ahí que no puede ser descrito por la ecuación (12.33) y (12.34). La analogía básica de miscible-inmiscible fue establecida por Lantz (1970). Él mostro que para un campo de

dispersión constante, k, el flujo miscible pudo ser rigurosamente modelada por la ecuación de flujo inmiscible. Si la

fase inmiscible es denotada por ―w‖ y ―n‖, luego la analogía de variables es:

𝜇𝑤 = 𝜇𝑜

𝜇𝑛 = 𝜇𝑠

𝑆𝑛 = 𝐶

Lantz mostró que el flujo de la masa miscible puede ser representado por el flujo de masa inmiscible y la dispersión

del flujo puede ser representado por el flujo capilar.

Para 𝜇𝑠 = 𝜇𝑜 = 𝜇(𝑖. 𝑒. , 𝑀 = 1), la analogía requerida

𝑘𝑟𝑤 = 𝑆𝑤 (12.37a)

𝑘𝑟𝑛 = 𝑆𝑛 (12.37b)

Y

𝑃𝑐 =∅𝐾𝜇

𝑘𝑙𝑛

1−𝑆𝑤

𝑆𝑤 (12.38)

Las permeabilidades relativas son proporcionales a la saturación, porque el flujo de dos fases tiene la misma

velocidad. Cuando M≠1, 𝑘𝑟𝑖 y 𝑃𝑐 , comienza una fuerte función de viscosidades la cual deben, para grandes M, causa

problemas de estabilidad.

Todd and Londstaff (1972) tuvieron presente a un enfoque más práctico. Ellos mostraron que un modelo empírico

puede dar predicciones realistas del rendimiento miscible sin tener que resolver la estructura fina del flujo. Las

permeabilidades relativas en su modelo son siempre definidas por la ecuación (12.37). Sin embargo, la eficacia de

las viscosidades y densidades en el bloque de la malla son definidas por reglas de mezclas empíricas, las cuales

reflejan las propiedades promedio efectivas de los fluidos por encima del bloque. La mezcla depende de la tasa de

dispersión. Si la tasa de dispersión es alta, los líquidos dentro de un bloque se pueden considerar totalmente

mezclados y sus propiedades se determinan por la regla de las mezclas (12.35) y (12.36). Por otro lado, si la

324

dispersión es pequeña, la zona mezclada podría ser insignificante comparando el tamaño del boque y las

propiedades eficaces del aceite y solvente estas deben estar cercanas a las de componentes puros. Todd y

Longstaff (1972) han sugerido el siguiente modelo para viscosidades eficaces 𝜇𝑜𝑒 , 𝜇𝑠𝑒 en el caso general:

𝜇𝑤 = 𝜇𝑜𝑒 = 𝜇𝑜1−𝑤𝜇𝑤 (12.39 a)

𝜇𝑛 = 𝜇𝑠𝑒 = 𝜇𝑠1−𝑤𝜇𝑤 (12.39b)

Donde w es el parámetro de mezcla y µ es viscosidad mezcla completa. Note que 𝜇𝑙𝑒 = 𝜇𝑙 para w=0 y 𝜇𝑙𝑒 = µ para

w=1.

Las densidades eficaces son obtenidas como sigue. Dejando 𝜇 = 𝑓 𝜇𝑜 , 𝜇𝑠 , 𝐶 = 𝑆𝑤 ser la regla de la viscosidad para

la mezcla completa, y define las saturaciones eficaces, 𝑆𝑙𝑒 , con esta regla para satisfacer las relaciones siguientes

con 𝜇𝑙 determinado por (12.39):

𝜇𝑤 = 𝑓 𝜇𝑜 , 𝜇𝑠 , 𝑆𝑤𝑒

𝜇𝑛 = 𝑓 𝜇𝑜 , 𝜇𝑠 , 1 − 𝑆𝑛𝑒

En otras palabras, 𝑆𝑙𝑒 son las saturaciones para cada regla de la mezcla completa produciendo la mezcla parcial de

viscosidades.

La eficacia de las densidades son ahora obtenidas de:

𝛾𝑤 = 𝛾𝑜𝑒 = 𝛾𝑜𝑆𝑤𝑒 + 𝛾𝑠 1 − 𝑆𝑤𝑒 (12.40a)

𝛾𝑛 = 𝛾𝑠𝑒 = 𝛾𝑜 1 − 𝑆𝑛𝑒 + 𝛾𝑠𝑆𝑛𝑒 (12.40b)

Este modelo fracasa por un bajo poder de mezcla en la regla cuando M=1. Para este caso, a la regla análoga a

(12.39) es propuesta:

𝛾𝑤 = 1 − 𝑤 𝛾𝑜 + 𝑤𝛾 (12.41a)

𝛾𝑛 = 1 − 𝑤 𝛾𝑠 + 𝑤𝛾 (12.41b)

El mayor problema en la aplicación de esta líneas de programa en la sección del apropiado parámetro de mezcla w.

Todd and Longstaff (1972) usaron w=2/3 que concuerda con los experimentos del laboratorio, pero ellos

recomendaron w=1/3 para la aplicación en campo. Warner (1997) dio algunos análisis los cuales sugirieron el uso de

w=0.8.

12.5.2 Simulación de efectos composicionales

Un caso especial importante de la ecuación general es obtenido de ignorar el transporte disperso en un sistema multicomponente. Este es llamado el modelo composicional. Usualmente, el agua es tratada como un componente separado presente solo en la fase agua y se asume que no hay transferencia de masa entre el agua y el aceite o la fase gas (Van-Quy et al., 1972; Nolen, 1973). Un modelo composicional reduciría el modelo de aceite negro si se asume que los hidrocarburos se componen solo

de dos componentes, aceite y gas, solo estando entre la fase liquido y gas. Las propiedades composicionales puede

que sean derivadas de las propiedades de aceite negro y viceversa (ejercicio 12.1)

12.5.2.1 Modelo composicional Lo más difícil en simular el flujo composicional es la eficacia de la predicción del comportamiento PVT de la mezcla completa. Hasta la fecha la mejor predicción de los métodos son basados en modificaciones y extensiones de la ecuación de estado de Redlich-Kwong (Wilson, 1969, Soave, 1972; Peng y Robinson, 1976) y ellos tienen un lento cómputo, porque la solución es usualmente obtenida iterativamente. Los Intentos para mejorar la eficiencia del tratamiento PVT en el simulador son discutidos por Fussell y Yanosik (1976), Kazemi et al. (1997) y Fussell y Fussell (1977). Más simuladores composicionales son basados sobre la extensión de método de IMPES. Esto se logro por el tratamiento de las fracciones de los componentes másicos explícitos en términos de flujo, y esto resulta una limitación en la estabilidad. Para la mayoría de los problemas en coordenadas cartesianas, esta limitación es menos restrictiva que la limitación resultando del tratamiento explícito de las transmisibilidades de la fase. Sin embargo cuando esto es necesario para tratar la transmisibilidad implícita, la restricción de la estabilidad con respecto a las

325

fracciones de los componentes másicos hace que comience un problema. Experiencia con modelos de flujo implícito composicional no ha sido reportada en la literatura hasta estos días. 12.5.2.2 Simulación de los efectos composicionales usando el modelo de aceite negro Varios métodos para aproximar el modelamiento de los efectos composicionales en un simulador han sido presentados. La ventaja principal de este acercamiento es que, cuando es aplicable, tarda mucho menos tiempo de cálculo que un tratamiento completamente completo. Spivak y Dixon (1973) presentaron un método para tratamiento de un yacimiento gas condensado asumiendo que los

condensados y el gas pueden representar dos pseudo componentes. El componente de gas seco fue asumido que

existe solamente en la fase gas y el ―condensado‖, el cual es liquido a condiciones estándar fue permitido que

existiera en fase gas y liquido a condiciones de yacimiento. Transferencia total entre fases fue determinada por el

líquido contenido de la fase gas, definida como

𝑟𝑠 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜

𝑉𝑔𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑜 𝑆𝑇𝐶

= 𝑓(𝑝) (12.42)

Así, 𝑟𝑠, es análogo a 𝑅𝑠 y la formulación es idéntica a la formulación del modelo de aceite negro si el rol del

hidrocarburo de la fase del gas y del líquido se intercambian.

Cook et al. (1974) presenta un método que representa los efecto composicionales durante la inyección de gas en

yacimientos de aceite volátil o gas condensado. En este modelo, las propiedades 𝑏𝑜 , 𝑏𝑔 , 𝑅𝑠 𝑜 𝑟𝑠 , 𝜇𝑜 , 𝜇𝑔 , 𝜌𝑜 𝑦 𝜌𝑔 son

correlacionadas con el parámetro Gi, representando ―la acumulación de gas inyectado que invade la celda‖. El obtuvo

la correlación requerida para un simulador composicional de inyección de gas en 1-D. Porque las correlaciones

fueron encontradas para ser independiente de la posición de la rejilla, Cook et al. (1974) luego aplico esta función en

modelos multidimensionales.

Henry (1976) mostró que asumiendo las propiedades de los fluido para ser función de Gi solamente según lo

propuesto por Cook et al. (1974) esto no es válido cuando los valores de K son función de la composición (modelo de

Cook et al. Asumió solamente K=f(p)). Consecuentemente, usando el modelo de tipo beta modificado no se

recomienda cuando los cambios grandes en la composición se anticipan.

12.6 DEPENDENCIA DE LA HISTORIA DE LAS FUNCIONES DE SATURACIÓN.

La histéresis de la presión capilar y permeabilidades relativas es particularmente importante para una correcta

simulación en situaciones de participación de flujo reversible, tal como ciclos de gas y estimulación a vapor (cf.

Cutler and Rees, 1970; Land, 1968; Evrenos and Comer, 1969; Dandona y Morse, 1973). Una descripción física del

fenómeno siguiendo un modelo numérico es presentada aquí.

12.6.1 Modelo fisico de Histéresis.

La construccion de un modelo fisico apartir de los datos experimentales de histeresis fue discutida por Evrenos y Comer (1969a ) y Killough (1976). (nuestra exposicion es basada en el trabajo de Killough con detalles adiccionales.) Consideremos primero la histeresis capilar en un sistema w-n. Como se muestra en la figura. 12.7, las tres curvas primarias pueden ser consideradas: (a) esta la curva de drenaje primario.

326

Fig. 12.7. Histéresis Capilar

( b) Es llamada curva de imbibicion pendular, y (c) es la curva de drenaje secundario. Estas curvas son obtenidas cuando el desplazamiento en una u otra direccion es llevado a cabo completamente para valores residuales de presion. Estas curvas son por lo tanto llamadas curvas de coordenadas. Si el proceso de drenaje es invertido antes de que 𝑆𝑤 llegase a 𝑆𝑤𝑐 , 𝑃𝑐 seguira un tipo de curva (d) ver fig. 12.8

(izquierda). Similarmente, si el proceso de imbibicion primaria es invertido, la nueva 𝑃𝑐 seguira una curva del tipo (e)

como se muestra en la fig 12.8. Las observaciones experimentales indican que los puntos fianles de estas curvas de exploración son la saturacion residual. Otra situación se produce si un proceso de exploración, originándose en la curva de drenaje principal en el punto A es de nuevo invertido. (Fig.12.8, derecha). En tal situación una nueva curva de análisis es generada la cual alcanza el límite de la curva en el punto de partida A. Similarmente si se inicia en la curva de imbibición, las curvas de exploración de drenaje irán hacia 𝑆𝑤𝑐 y las curvas de imbibición tocan el punto B (Fig 12.8, izquierda).

El comportamiento descrito anteriormente es válido sólo cuando el sistema ha sido ya objeto de un desplazamiento de un drenaje completo y por lo tanto todos los ciclos de drenaje siguen la curva (c) de la fig. 12.7. Sin embargo, si

Fig. 12.8. Curvas de exploración 𝑃𝑐 . Izquierda, el cambio inicia en los límites de las curvas; derecha, el cambio inicia

en una curva exploratoria.

el proceso de drenaje primario es invertido, la imbibición que se muestra en la curva de análisis tenderá

hacia una saturación 𝑆𝑛𝑐∗ < 𝑆𝑛𝑐 (fig. 12.9). Esto se debe por que la saturación residual de la fase seca

depende del máximo de la saturación de la fase seca 𝑆𝑛𝑚𝑎𝑥 alcanzado previamente en un ciclo de

drenaje, e incrementándose con 𝑆𝑛𝑚𝑎𝑥 .

Tal comportamiento es consistente con un modelo de histéresis de permeabilidad relativa que será

discutido a continuación.

Una típica curva de histéresis 𝐾𝑟𝑛 es mostrada en la fig. 12.10. La saturación residual 𝑆𝑛𝑐∗ en un ciclo de

imbibición es causado por el desplazamiento de la fase seca debido al avance de la fase húmeda.

327

Fig 12.9. Curva de exploración 𝑃𝑐 empezando en la curva de drenaje primaria

Figura 12.10. Modelo de histéresis para 𝑘𝑟𝑛

Ha sido determinado experimentalmente que 𝑆𝑛𝑐

∗ = 𝑓 𝑆𝑛𝑚𝑎𝑥 y cuando otro cambio de imbibición a drenaje ocurre, 𝑘𝑟𝑛

seguirá la curva de imbibición hasta que 𝑆𝑛 alcance el máximo histórico de la saturación de la fase seca, 𝑆𝑛𝑚𝑎𝑥 . Para

saturaciones de la fase seca mayores a este máximo, 𝑘𝑟𝑛 sigue la curva de drenaje. Asi de acuerdo a este modelo

𝑆𝑛𝑐 = 𝑓 𝑆𝑤

𝑚𝑎𝑥 = 1 − 𝑆𝑤𝑐 Un modelo similar puede ser formulado para 𝑘𝑟𝑤 , pero la dependencia de los residuos de la saturación de la fase

seca es usualmente mucho menor. 12.6.2 Tratamiento numérico de Histéresis

Los modelos numéricos intentan reproducir cualitativamente el comportamiento descrito anteriormente del conocimiento de las curvas de imbibición y drenaje únicamente. Killough (1976) propuso las siguientes ecuaciones para la exploración de las curvas de 𝑃𝑐 :

Para la curva (d) (Fig. 12.8):

𝑃𝑐 𝑆𝑤 = 𝑃𝑐𝑐 𝑆𝑤 − 𝐹 𝑆𝑤 𝑃𝑐

𝑐 𝑆𝑤 − 𝑃𝑐𝑏 𝑆𝑤 (12.43)

Donde

𝐹 =

1𝑆𝑤 − 𝑆𝑤

𝐴 + 휀−

1휀

1𝑆𝑤

𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑤𝐴 + 휀

−1휀

12.44

328

𝑃𝑐𝑐 𝑆𝑤 y 𝑃𝑐

𝑏 𝑆𝑤 son valores de 𝑃𝑐 a 𝑆𝑤 de las coordenadas de las curvas (c) y (b), 𝑆𝑤𝐴 es la saturación en el punto de

cambio y 휀 es un parámetro que afecta la forma de la curva. Similarmente, la curva (e) es aproximada por:

𝑃𝑐 𝑆𝑤 = 𝑃𝑐𝑏 𝑆𝑤 + 𝐹 𝑆𝑤 𝑃𝑐

𝑐 𝑆𝑤 − 𝑃𝑐𝑏 𝑆𝑤 (12.45)

Donde

𝐹 =

1𝑆𝑤

𝐵 − 𝑆𝑤 + 휀−

1휀

1𝑆𝑤

𝐵 − 𝑆𝑤 + 휀−

1휀

12.46

El segundo cambio de la curva (curva (f) de la fig. 12.8, parte derecha) es determinado por:

𝑃𝑐 𝑆𝑤 = 𝑃𝑐𝑏 𝑆𝑤 + 𝐹∗ 𝑆𝑤 𝑃𝑐

𝑐 𝑆𝑤 − 𝑃𝑐𝑏 𝑆𝑤 (12.47)

Donde

𝐹 =

1𝑆𝑤

∗ − 𝑆𝑤𝐶 + 휀

−1휀

1𝑆𝑤

𝐴 − 𝑆𝑤𝐶 + 휀

−1휀

12.48

La saturación desconocida 𝑆𝑤𝐶 en el punto C es determinada de la condición de que las curvas (d) y (f) se unen en 𝑆𝑤

∗ .

Esto da que 𝐹∗ = 1 − 𝐹 el cual puede ser resuelto para 𝑆𝑤𝐶 .

El caso representado en la figura 12.9 es manejado con las mismas ecuaciones, pero las coordenadas de las curvas

𝑃𝑐𝑐 y 𝑃𝑐

𝑏 son transformadas (normalizadas) a 𝑃𝑐𝑐 y 𝑃𝑐

𝑏 de modo que cubren el intervalo (𝑆𝑤𝑐 , 1 − 𝑆𝑛𝑐∗ ). Observar que la

curva de drenaje primaria no es usada. La saturación atrapada 𝑆𝑛𝑐∗ es calculada por la ecuación desarrollada por

Land (1968a):

𝑆𝑛𝑐∗ =

𝑆𝑛𝐴

1 + 1

𝑆𝑛𝑐−

1 1 − 𝑆𝑤𝑐

𝑆𝑛𝐴

12.49

Las curvas intermedias 𝑘𝑟 son calculadas por la interpolación incluyendo un parámetro de forma λ:

𝑘𝑟𝑛 𝑆𝑛 = 𝑘𝑟𝑛𝑎 𝑆𝑛

𝐴 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛𝑐

∗

𝑆𝑛𝐴 − 𝑆𝑛𝑐

∗

𝜆

12.50

Donde 𝑘𝑟𝑛

𝑎 es obtenida de la curva (a).

Fig. 12.11. Histéresis de 𝑘𝑟𝑔 de acuerdo con Coats (1976a)

329

Un modelo similar de la histéresis 𝑘𝑟𝑛 fue sugerido por Coats (1976). Su modelo trata el 𝑘𝑟𝑔 en un sistema de o-g y

también considera la saturación de gas crítica 𝑆𝑔𝑐𝑟 en el ciclo de drenaje. La curva experimental de drenaje obtenida

en presencia de 𝑆𝑤𝑐 primero se normaliza como 𝑘 𝑟𝑔 = 𝑓 𝑆 𝑔 , donde

𝑘 𝑟𝑔 = 𝑘𝑟𝑔 𝑘𝑟𝑔𝑟𝑜 = 𝑓 𝑆 𝑔 (12.51𝑎)

𝑆 𝑔 =

𝑆𝑔 − 𝑆𝑔𝑐𝑟

1 − 𝑆𝑜𝑐 − 𝑆𝑤𝑐 − 𝑆𝑔𝑐𝑟 (12.51𝑏)

Donde 𝑆𝑜𝑐 es la saturación residual del aceite en el ciclo de drenaje y el 𝑘𝑟𝑔𝑟𝑜 es 𝑘𝑟𝑔 en 𝑆𝑜𝑐 (fig. 12.11).

La saturación de gas residual actual 𝑆𝑔𝑐 ∗ se calcula en función de la saturación de gas máxima alcanzada

𝑆𝑔𝐴 ∶

𝑆𝑔𝑐∗ = 𝑆𝑔𝑐

𝑆𝑔𝐴

1−𝑆𝑤𝑐 −𝑆𝑜𝑐 (12.52)

Cuando la saturación disminuye del 𝑆𝑔𝐴 al 𝑆𝑔 < 𝑆𝑔

𝐴 , una saturación residual efectiva es calculada por

𝑆𝑔𝑐𝑒𝑓𝑓

= 𝜔𝑆𝑔𝑐∗ + (1 − 𝜔)𝑆𝑔𝑐𝑟 12.53)

Donde

𝜔 =𝑆𝑔

𝐴−𝑆𝑔

𝑆𝑔𝐴−𝑆𝑔𝑐

∗ (12.54)

Entonces 𝑘𝑟𝑔 se obtiene de la eqn. (12.51.a) en función de

𝑆 𝑔 =

𝑆𝑔 − 𝑆𝑔𝑐𝑒𝑓𝑓

1 − 𝑆𝑤𝑐 − 𝑆𝑜𝑐 − 𝑆𝑔𝑐𝑟 12.55)

Cuando se utiliza este procedimiento mientras que el 𝑆𝑔 está aumentando, 𝜔 será cero, 𝑆𝑔𝑒𝑓𝑓

= 𝑆𝑔𝑐𝑟 , y 𝑘𝑟𝑔 seguirá la

curva original del drenaje. Si el 𝑆𝑔 está disminuyendo, 𝜔 aumentará a 1 y 𝑆𝑔𝑐𝑒𝑓𝑓

aumentará hacia 𝑆𝑔𝑐 ∗ . Cuando el 𝑆𝑔

alcanza el 𝑆𝑔𝑐∗ , 𝑘𝑟𝑔 = 𝑘𝑟𝑔 = 0 (punto B).

Otro modelo, propuesto por Evrenos y Comer (1969a), es limitado debido al forma analítica supuesta de permeabilidades relativas. La histéresis de la permeabilidad relativa del aceite en flujo trifásico puede ser explicada usando datos bifásicos dependientes de la historia en los modelos trifásicos de 𝑘𝑟𝑜 discutidos en el capítulo 2, sección 2.7.

12.7 SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS

La estructura de los poros de las rocas reservorio es muy compleja. Según lo discutido por Warren y Root (1963), la porosidad de muchos yacimientos se puede poner en dos clases: (a) La porosidad primaria, que está altamente interconectada y se puede correlacionar con la permeabilidad. Ésta sería entonces la porosidad de las rocas homogéneas, tales como las areniscas. (b) Porosidad secundaria formada por fracturas, los canales de solución o vacíos de vugular en medio de los poros. Esta porosidad es el producto de movimientos geológicos y de procesos químicos. Aunque no contenga generalmente una fracción grande de las reservas del hidrocarburo, afecta en gran medida el flujo. Puesto que las ecuaciones diferenciales usadas en la simulación asumen propiedades continuas (incluida la porosidad y permeabilidad), que no son terminantemente aplicables a un sistema de doble porosidad. Las fracturas aisladas pueden ser modeladas por una fila de los bloques de la rejilla con ∅=1 (espacio vacío) y una permeabilidad

adecuada (Craft y Hawkins, 1959, P. 188). Sin embargo, con un promedio de la porosidad y de la permeabilidad en grandes bloques grandes que contienen varias fracturas puede dar resultados engañosos porque el carácter del flujo en las fracturas y en la matriz es diferente. Un sistema de doble porosidad es generalmente idealizada de acuerdo a la fig. 12.12. Aquí el medio poroso es representado por los bloques aislados de la matriz de porosidad primaria conectados por un sistema regular de fracturas. Los bloques de la matriz tienen más de la porosidad y la permeabilidad relativamente pequeña. Porque la presión caída de presión a través del sistema es dictada por la permeabilidad de las fracturas, que es alta, el

330

mecanismo principal de producción de los bloques de la matriz es la imbibición capilar o drenaje gravitacional y expansión del volumen con la presión declinando. Por otro lado, aunque la capacidad del poro de las fracturas es pequeña, su conductividad a el flujo es alta; por lo tanto la mayor parte del flujo ocurre en los fracturas. Debido a la baja Pc, el flujo en fracturas se puede asumir para ser segregado completamente. En algunos casos, la convección natural puede también estar en un importante mecanismo en fracturas verticales (Peaceman, 1976).

Fig. 12.12 Idealización del yacimiento fracturado

Métodos para simular sistemas de doble porosidad han sido propuestos por varios autores (Kleppe y Morse, 1974;

Yamamoto et al., 1971; Asfari y Witherspoon, 1973; Kazemi et al., Rossen, 1977, y otros). Kazemi et al. (1976)

asume que el sistema de fracturas puede ser representado por una serie continua y describe el flujo en las fracturas

por la ecuación de balance de masa, que incluye términos de representación para el flujo, acumulación en las

fracturas y transferencia de masa de los bloques de la matriz a las fracturas.

En adición, desde los bloques de la matriz no están interconectados, ellos escriben la ecuación de balance de masa

para los bloques de la matriz, que implique solo acumulación, los bloques pueden contener varias bloques de matriz

(por ejemplo, el elemento de la fig. 12.12 se puede considerar para ser un solo bloque de cómputo). Rossen (1977)

usa el mismo enfoque, pero en vez de solucionar simultáneamente para los bloques de la matriz, incluye la

transferencia de masa como términos implícitos de la producción. Así, los yacimientos fracturados pueden ser

modelados por las técnicas desarrolladas por yacimientos continuos. La característica adicional es la presencia de

términos dependientes del tiempo distribuidos de la fuente/reducción que representa para un cambio de fluido entre

las fracturas y la matriz.

12.8 CONTROL AUTOMÁTICO CON EL INTERVALO DEL TIEMPO

La selección manual del intervalo de tiempo durante el estudio de la simulación puede ser frustrante, en casos particulares donde la tasa del pozo cambia drásticamente durante una corrida del simulador. La selección apropiada de paso de tiempo debe asegurar: (a) estabilidad de la solución, y (b) un tiempo aceptable del error de truncamiento. Ambos requerimientos pueden ser, por lo menos cualitativos, relacionado con la tasa de cambio de la presión y de las saturaciones en el yacimiento. Cuanto más rápidos son los cambios, más pequeños son los intervalos de tiempo que debe ser utilizad. Por ejemplo el intervalo de tiempo durante una simulación a un solo pozo puede variar de 0,01

días inmediatamente después de un cambio grande de la tasa a varios meses en que el yacimiento esta cerca a la depleción. El procedimiento de la selección automática del intervalo de tiempo ha sido sugerido por ODEs (Carnahan et al., 1969, p. 363; Byrne and Hindmarsh, 1975). Una desventaja común de estos métodos es que dan lugar generalmente a aumentos significativos en tiempo de cómputo. Consecuentemente, la simulación de yacimientos usualmente emplee controles empíricos. Para métodos tipo IMPES, uso de un intervalo de tiempo estable más grandes también dará los errores de truncamiento más pequeños (vea Capitulo 5, sección 5.5.2). Aunque el intervalo de tiempo máximo estable puede ser estimado de la ecuación presentada en el capítulo 5 y 9, la experiencia demuestra que la estabilidad esta mantenida cuando el cambio de saturación máximo sobre la rejilla se guarda debajo de un límite dado DSLM para cada intervalo de tiempo. El valor de DSLIM es típicamente 5-10%, pero es algo dependiente del problema. El mismo tipo de control es empleado para los métodos SS y SEQ. El límite de ∆ tSt también controla el error de truncamiento. Por esta razón, el control de intervalo de tiempo puede también emplee un límite DPLIM sobre el cambio máximo de presión sobre el paso de tiempo (Todd et al., 1972). Un algoritmo de control automático del intervalo de tiempo se puede escribir como sigue:

331

a. Computar

𝐷𝑆𝑀𝐴𝑋𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 ∆𝑡𝑆𝑙𝑖𝑗𝑘𝑛

𝐷𝑃𝑀𝐴𝑋𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 ∆𝑡𝑃𝑙𝑖𝑗𝑘𝑛

b. Calcular ∆𝑡𝑛+1 como

∆𝑡𝑛+1 = 𝑚𝑖𝑛 ∆𝑡𝑠,∆𝑡𝑝

Donde

∆𝑡𝑠 = ∆𝑡𝑛𝐷𝑆𝐿𝐼𝑀

𝐷𝑆𝑀𝐴𝑋𝑛

∆𝑡𝑝 = ∆𝑡𝑛𝐷𝑃𝐿𝐼𝑀

𝐷𝑃𝑀𝐴𝑋𝑛

El algoritmo mantendrá el cambio de la saturación y la presión cerca de DSLIM y de DPLIM. Debido al actual cambio no son lineares, los valores límites se podían exceder considerablemente con predicho ∆t. Este puedo ser prevenido agregando el paso siguiente: c. Después del intervalo de tiempo n+1 es completado, calcular DSMAX

n+1, DPMAX

n+1. El paso de tiempo es

aceptable si

DSMAXn+1

≤ C1 DSLIM DPMAXn+1

≤ C2 DPLIM

Donde C1 y C2 son mayores que uno. Si no, calcule ∆t* como ∆𝑡∗ = 𝑚𝑖𝑛 ∆𝑡𝑠 , ∆𝑡𝑝 , donde

∆𝑡𝑠 = ∆𝑡𝑛+1 𝐷𝑆𝐿𝐼𝑀

𝐷𝑆𝑀𝐴𝑋 𝑛+1 ∆𝑡𝑝 = ∆𝑡𝑛+1 𝐷𝑃𝐿𝐼𝑀

𝐷𝑃𝑀𝐴𝑋 𝑛+1

Sistema ∆𝑡𝑛+1 de ∆𝑡∗ y resuelve la ecuación para el paso de tiempo n+1. Esto asegura que el cambio máximo no se exceda C1DSLIM o C2 DPLIM. El procedimiento de este tipo puede ser introduciendo constantes adicionales y supervisando variables importantes adicionales (e.g., cantidad de sobredisparo, Todd et al., 1972; Chappelear y Rogers, 1974).

12.9 CONCLUSIONES

Además de los temas presentados en este capitulo, hay otras diversas técnicas que pueden ser importantes para el

desarrollo o aplicación de modelos en casos especiales. De esto, se podría hacer una mención de varias versiones

de los métodos característicos (también conocidos como seguimiento de puntos, partículas en celdas, etc.)

Las referencias pueden ser encontradas, por ejemplo, Harlow y Amsden (1971), Roache (1972), Hirt et al. (1974), y

Settari et al. (1977). Una aplicación para inundación de polímeros flotantes esta dado por Vela et al. (1976).

Ejercicio 12.1

Obtenga la relación entre la densidad del tanque, 𝑅𝑠 y propiedades composicionales de un sistema de dos

componentes.

Solución Denote 𝑤𝑜1 , 𝑤𝑔1 la fracción de masa del componente aceite y 𝑤𝑜2 , 𝑤𝑔2 componente del gas en aceite y fases gas, y

𝑚𝑜 , 𝑚𝑔 las masas de los componentes.

Entonces:

332

𝑤𝑔1 = 0 𝑤𝑔2 = 1 𝐾1 = 0 (A)

𝑤𝑜2 =𝑚𝑔

𝑚𝑜+𝑚𝑔 𝑤𝑜1 =

𝑚𝑜

𝑚𝑜+𝑚𝑔 (B)

Usando

𝐵𝑜 =𝑉𝑜∗𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶

𝑚𝑜, 𝑉𝑜 =

𝑚𝑜+𝑚𝑔

𝜌𝑜, 𝑅𝑠 =

𝑉𝑔𝑆𝑇𝐶

𝑉𝑜𝑆𝑇𝐶=

𝑚𝑔∗𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶

𝑚𝑜∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 ,

Obtenemos

𝑤𝑜1 =𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶

(𝜌𝑜𝐵𝑜)

𝑤𝑜2 = 𝑤𝑜1 ∗ 𝑅𝑠 ∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶

𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶= 𝑅𝑠 ∗ 𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 /(𝜌𝑜𝐵𝑜)

𝐾2 = 1/𝑤𝑜2

Usando ecuación (2.12), 𝑤𝑜1 , 𝑤𝑜2 y 𝐾2 puede ser expresada atreves de densidades de tanque y 𝑅𝑠:

𝑤𝑜1 =𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶

(𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 +𝑅𝑠∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 ) (C)

𝑤𝑜2 =𝑅𝑠∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶

(𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 +𝑅𝑠∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 ) (D)

𝐾2 =𝜌𝑜𝑆𝑇𝐶 +𝑅𝑠∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶

𝑅𝑠∗𝜌𝑔𝑆𝑇𝐶 (E)

Estas ecuaciones se escriben con constantes apropiadas para unidades de ingeniería.

333

CAPÍTULO 13

CONSIDERACIONES PRÁCTICAS

En este capítulo se referirá brevemente a algunas de las cuestiones prácticas que deben considerarse en la fase de

cuando uno está listo para escribir o usar un programa de simulación. El tratamiento será breve y se pretende dar al

lector una idea de los pasos a seguir y las decisiones que deben hacerse. Un tratamiento detallado de estos temas

está más allá del alcance de este libro.

13.1 DESARROLLO DEL PROGRAMA

13.1.1 Desarrollo del modelo matemático

Este paso consiste en escribir el sistema de ecuaciones en derivadas parciales diferenciales y relaciones auxiliares, y se trata en su mayoría en el capítulo 2. El modelo matemático puede representar, por supuesto, sólo los fenómenos que se han incluido en la formulación de las ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, este paso requiere el conocimiento de los procesos físicos que tienen lugar en el yacimiento y su importancia relativa. Este conocimiento es a menudo incompleto para un yacimiento en particular, sin embargo, se observa que la mayoría de los procesos del yacimiento pueden ser descritos por uno de los diferentes modelos básicos, como por ejemplo, el modelo de petróleo negro, que ha sido tratado en este libro. La elección del modelo matemático, determina la clase de problemas que pueden ser simulados, utilizando un programa basado en ese modelo en particular. Así, los modelos de simulación de yacimientos pueden ser clasificados de varias maneras según sus características y capacidades: (a) Tratamiento de PVT

1. Modelos de aceite negro (o modelos de gas,

véase Spivak y Dixon, 1973).

2. Modelos composicionales.

3. Modelos de fase individual (por ejemplo,

gas).

(b) Tratamiento de flujo en medios porosos

1. Convencionales (Ley de Darcy)

2. Modelos extendidos de la Ley de Darcy para

calcular efectos de alta velocidad.

3. Modelos de medios porosos fracturados.

(c) Masa y transferencia de calor

1. Modelos de flujo inmiscible (aceite negro).

2. Modelos de flujo miscible.

3. Modelos isotérmicos.

4. Modelos térmicos (vapor y combustión in

situ).

5. Otros modelos especiales (inyección

química, etc.)

(d) Geometría

1. Modelos de una dimensión.

2. Modelos de dos dimensiones (areal, corte

transversal y radial).

3. Modelos tridimensionales.

(e) Sistema de coordenadas

1. Cartesiano.

2. Cilíndrico.

3. Esférico.

4. Curvilíneo general.

(f) Tratamiento de facilidades de superficie

1. Modelo de yacimiento único.

2. Yacimiento + flujo en el wellbore.

3. Yacimiento + wellbore + facilidades de

superficie.

334

Esta clasificación es bastante arbitraria, y su propósito es mostrar la variedad de modelos existentes. Varias

características pueden ser combinadas en un modelo simple (en particular, las características de

dimensionalidad [d]).

13.1.2 Desarrollo del modelo numérico

El desarrollo de adecuadas técnicas numéricas (modelos numéricos) ha sido nuestro principal objetivo en este libro. También hemos analizado las limitaciones de las diversas técnicas y proporcionado orientaciones en cuanto a su aplicabilidad para los diferentes problemas a lo largo de todo el texto. Algunos de los puntos importantes en el diseño de un modelo numérico son: 1. Elección de la discretización espacial (5 puntos o 9 puntos) y el manejo de no linealidades en el espacio.

2. Elección del método para el flujo multifásico (IMPES, SEQ o SS).

3. Aproximación del tiempo y tratamiento de la no linealidad en el tiempo.

4. Técnicas de solución de ecuaciones algebraicas.

5. Tratamiento de pozos individuales.

6. Diseño de los controles del tiempo de ejecución.

13.1.3 Desarrollo del modelo de computadora (programa)

El programador debe tener en cuenta varias consideraciones cuando se está desarrollando un programa de simulación, en particular, que un programa es utilizado frecuentemente por los demás. Algunas de las consideraciones importantes son:

1. Velocidad de corrida (eficiencia del código).

2. La utilización óptima del almacenamiento disponible (esta preocupación se ha subsanado en parte

recientemente por la introducción de "almacenamiento virtual" en los ordenadores).

3. Conveniencia de input/output (I/O) características para el usuario.

4. La portabilidad del programa.

5. Facilidad de Re-inicialización.

6. Mensajes de diagnóstico.

Muchas de estas consideraciones plantean demandas contradictorias. Por ejemplo, la optimización del tiempo de

corrida está, casi siempre, en conflicto con la minimización de la esencia. Un buen programa de simulación está

basado siempre en un compromiso de solución (Kernighan y Plauger, 1974).

Los programas más modernos están escritos en el lenguaje FORTRAN y por lo tanto, haremos uso de este

lenguaje en los ejemplos que se discutirán en este capítulo.

13.1.3.1 Eficiencia de programación La velocidad de corrida de un código (parte de un programa) pueden verse seriamente afectada por la programación ineficiente. Algunos métodos particularmente útiles para aumentar la eficiencia del programa serán discutidos a continuación. Uso de múltiples subíndices. Siempre que sea posible el uso de subíndices simples (vectores) sobre matrices

para problemas de dos y tres dimensiones se recomienda hacerlo. Por ejemplo, consideremos el siguiente

ejemplo trivial:

(a) DIMENSION SW(10, 10, 10), SO(10, 10, 10), SG(10, 10, 10)

DO 100 I = 1, NX

DO 100 J = 1, NY

DO 100 K = 1, NZ

SO(I,J,K) = 1. - SW(I,J,K) - SG(I,J,K)

100 CONTINUE

Dado que el compilador traduce subíndices múltiples en un único subíndice (digamos M), el cálculo

𝐌 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝐊 − 𝟏 + 𝟏𝟎 ∗ 𝐉 − 𝟏 + 𝐈

Se realizará internamente en cada paso a través del bucle.

El mismo bucle puede ser codificado como sigue:

(b) DIMENSION SW(1000), S0(1000), SG(1000) M = O

DO 100 I = 1, NX

DO 100 J = 1, NY

DO 100 K = 1, NZ

M = M + 1

SO(M) = 1. - SW(M) - SG(M)

100 CONTINUE

En este caso, sólo una adición es necesaria para obtener el subíndice. Para lograr una reducción en el trabajo de

la computadora se realiza la codificación del bucle de la siguiente manera:

335

(c) NXYZ=NX*NY*NZ DO 100M = 1, NXYZ

SO(M) = 1. - SW(M) - SG(M)

100 CONTINUE

Este incremento guarda y el control sobre las variables de bucle I y J (total NX * NY + veces NX). Un código aún

más rápido puede ser obtenido por 'unscrolling' del bucle (Schaefer, 1973).

Incluso cuando es necesario para utilizar bucles anidados (I, J, K) en cualquier orden, el cálculo de M como se

muestra en (b) que se puede hacer por el costo de poco más de una adición por paso. Aunque la mayoría de los

compiladores tienen la capacidad de optimizar los subíndices múltiples, su eficiencia de optimización puede ser

seriamente degradada cuando se compilan subrutinas de gran tamaño. (ver Schaefer, 1973, para una visión

general de la optimización del compilador.). Por lo tanto, se recomienda que los subíndices de las variables sean

usados siempre que sea posible.

Manejo de las funciones tabuladas. La mayoría de las propiedades físicas (propiedades de los fluidos y de las

rocas, etc.) son presentadas en forma de tablas. Los valores de una variable dependiente para un valor arbitrario

de la correspondiente variable independiente son encontrados por interpolación entre los datos tabulados. Este

proceso, llamado también "table look-up‖ requiere la búsqueda de argumentos en la tabla (variable

independiente). Varios algoritmos de búsqueda son analizados por Knuth (1973), él muestra que para un

pequeño número de datos secuenciales la búsqueda es la más eficiente, mientras que para grandes tablas de

búsqueda binaria es óptima. Para las tablas con 10-20 entradas, el "table look-up‖ es recomendado (Knuth, 1973,

Sección 6.2.1). La eficiencia del "table look-up‖ mejora en gran medida si los argumentos pueden ser igualmente

espaciados. Entonces, la búsqueda del mejor dato, sólo requiere de una multiplicación sin importar el número de

entradas.

Subrutinas en modo secuencial y binario para "table look-up‖ están incluidas en el Apéndice B. Estas rutinas

asumen que la tabla de los argumentos está en orden creciente, pero puede estar arbitrariamente espaciados.

Uso de subrutinas. Llamar a una subrutina requiere una cierta cantidad de tiempo ya que el ―book-keeping‖

interno se incrementa con el número de argumentos transferidos. Las llamadas frecuentes de subrutinas (e.g.

dentro de un bucle), se debe evitar. Por ejemplo, es mejor duplicar el código "table look-up‖ siempre que sea

necesario, a tener que llamar una subrutina. Cuando es necesario llamar una subrutina con frecuencia, los

argumentos deben ser pasados a través de los bloques en común, en lugar de la lista de argumentos. Algunos

aspectos del desarrollo de las subrutinas son discutidos por Cody (1974).

El uso de input/output (I/O). Siempre que sea posible, sin formato, a diferencia de formato, los I/O deben ser

usados. Esto es importante en los archivos usados para leer y escribir los restart y archivos scratch (auxiliares).

El tiempo requerido para ejecutar una declaración I/O (con formato o no), es una función del número de

elementos de la lista I/O. Si A es una matriz que será escrita sobre un scratch para usar en el futuro, esto se

puede hacer de la siguiente manera:

a) DIMENSION A(1000)

NB = 850

WRITE (6) (A(I), I = 1, NB)

WRITE representa a 850 elementos de datos. El mismo resultado puede ser obtenido por:

b) DIMENSION A(1000)

WRITER (6) A

lo que representa la información de un dato y se ejecutará mucho más rápido. Tenga en cuenta que aquí también

hemos escrito 150 palabras adicionales de A que no son requeridas, en consecuencia el tamaño del registro de

output también ha incrementado

Miscelánea

1. Evite la aritmética mixta (es decir, conversiones de ENTERO a REAL).

2. Reemplazar 2 * A por A + A.

3. La multiplicación es más rápida que la división en la mayoría de las máquinas, por lo tanto reemplace A

/ 2 por A*0,5 etc.

4. Utilice A * A en lugar de A**2.

5. Eliminar todas las expresiones constantes de los bucles.

336

La mayoría de los compiladores son capaces de optimizar algunos de los puntos anteriores, pero siempre es

mejor hacer esto a nivel del código fuente. Como regla general, se debe prestar mucha atención a la parte del

programa que es ejecutada más veces. Un mayor análisis de la optimización de FORTRAN puede ser

encontrado en Larson (1971).

Un incremento en la velocidad puede ser realizado por la optimización de la máquina. Por ejemplo, el segmento

del programa que realiza la mayor parte del trabajo puede ser codificado para utilizar la capacidad de

procesamiento paralelo de la máquina o puede ser codificada en lenguaje de máquina. El procesamiento en

paralelo (Fernbach, 1973) puede aumentar la velocidad en proporción al número de procesadores utilizados,

pero no todos los algoritmos son susceptibles de este enfoque.

La codificación en lenguaje de máquina en comparación a la traducción del compilador puede aumentar la

velocidad hasta en 2-3 veces.

13.1.3.2 Optimización de Almacenamiento.

Los requerimientos de almacenamiento puede ser reducidos a:

1. Matrices equivalentes que almacenan información temporal en otras matrices.

2. Uso de variables en un bloque común para variables locales (auxiliares) que son utilizadas solo dentro

de una subrutina.

3. Recalcular los valores en repetidas ocasiones en lugar de almacenarlos.

4. La superposición de las partes del núcleo durante la ejecución. Normalmente, el núcleo ocupado por el

código binario de subrutinas utilizado para inicializar el simulador puede ser superpuesto después que la

inicialización se ha completado.

5. En algunos equipos es posible especificar el tamaño de los buffers I/O de modo que sean más

pequeños que el valor predeterminado.

6. El disking interno (escritura y lectura desde un scratch). Esto puede ser necesario, por ejemplo, cuando

el uso de la eliminación Gaussiana para una matriz de gran ancho de banda requiere más que los

núcleos disponibles.

7. Asignación dinámica de almacenamiento durante la ejecución.

Casi todos los pasos anteriores reducirán la velocidad de corrida. El uso del almacenamiento virtual incrementará

sólo el tiempo de ejecución moderadamente en comparación con la ejecución del mismo programa en el núcleo,

pero el tiempo de residencia (es decir, el tiempo total transcurrido desde que el trabajo está activo) se incrementa

varias veces debido al I/O interno entre el almacenamiento virtual y el núcleo.

13.1.3.3 Características orientadas al usuario Algunas de las características importantes para un buen simulador son:

1. Opciones para suprimir o ampliar la impresión en cualquier tiempo dado.

2. Opciones para leer datos de diferentes maneras para que un mínimo de datos sea requerido.

3. Codificación para comprobar los datos de entrada por consistencia y para garantizar que los datos sean

físicamente significativos. Esta característica es particularmente útil en el "debugging‖ (depuración) de

datos.

4. Capacidad de Re-start (comenzar nuevamente).

También es útil para poder mostrar los resultados en forma gráfica (diagramas de impresora y / o mapas).

Obviamente, no hay límite al número de características opcionales que pueden ser incluidos en un solo programa

y la decisión es de nuevo una cuestión de compromiso.

13.1.3.4 Portabilidad del programa Con el fin de minimizar los problemas creados por las diferencias entre los compiladores, el programador debe evitar el uso de las características de FORTRAN que son exclusivas de un compilador determinado. Algunas reglas útiles son:

1. Evite el uso de caracteres especiales para nombres de variables.

2. Utilice un máximo de seis caracteres para los nombres de variables.

3. Utilice declaraciones Hollerith cuando se trata de literales, y en el almacenamiento de los literales utilizar

sólo las combinaciones A4.

4. No exceda de 132 posiciones de impresión en las declaraciones de formato de salida.

5. Evite el uso de todas las operaciones de bits (como el enmascaramiento, etc.)

6. Evite el código en lenguaje de máquina y el uso de características especiales I/O (tales como el buffer

I/O en CDC o ASYNCHRONEOUS I/O en el equipo de IBM).

337

Una vez más, el último requisito, en particular, es el conflicto con la consideración de la velocidad del programa,

como se comentó anteriormente (véase Aird et al., 1977).

13.2 USO DEL PROGRAMA

Un uso típico de un programa de simulación es el diseño de un proyecto de recuperación de petróleo. Esto se

llama un estudio de simulación y es por lo general previsto en una serie de pasos que se resumen a

continuación. Muchas de las preguntas deben ser resueltas durante un estudio muy estricto junto con los pasos

involucrados en el desarrollo del programa (Secciones 13.1.1 y 13.1.2), pero desde un punto de vista diferente.

En primer lugar se resumen los pasos que suelen ser necesarios y luego se discuten algunos de ellos con más

detalle. Como el lector podrá apreciar, después de leer esta sección, la aplicación de la tecnología de la

simulación es más un arte que una ciencia y por tanto, las recomendaciones dadas aquí siempre deben ser

analizadas a la luz de un problema particular a la mano (Coats, 1969).

13.2.1 Pasos involucrados en un estudio de simulación

Un estudio típico incluirá los siguientes pasos:

(a) Definir el problema de ingeniería de yacimientos y los objetivos técnicos y económicos del estudio.

(b) Reunir todos los datos disponibles y decidir si datos adicionales serán necesarios.

(c) Interpretar los datos geológicos y petrofísicos disponibles.

(d) Analizar el comportamiento PVT de los fluidos involucrados.

(e) Seleccionar el tipo de simulador que será usado y diseñar el modelo (es decir, las dimensiones, el grid, el

método de solución, etc.)

(f) Ajustar los parámetros del modelo según el ―history matching‖ actual del yacimiento.

(g) Predecir el comportamiento futuro bajo diferentes condiciones para lograr los objetivos del estudio.

(h) Interpretar los resultados, hacer recomendaciones, editar los archivos de salida (output) y, reportar.

Aunque los pasos anteriores son bastante típicos, estos pueden variar ampliamente de un problema a otro. Los

estudios de simulación varían desde una simple corrida en un equipo personal, hasta simulaciones para las

grandes empresas que requieren el uso de varios modelos y grandes programas especiales. Además, la

dirección del estudio puede cambiar a medida que nosotros tengamos una mejor comprensión del proceso de

depleción que está siendo modelado y la importancia relativa de los distintos parámetros. Esto puede requerir no

solo un cambio en la dimensionalidad y el tipo de modelo utilizado, sino también, puede indicar la necesidad de

más datos de campo o de laboratorio. Estos aspectos son analizados por Coats (1969), y se puede revisar en los

papers que describen los estudios de simulación. Papers por McCulloch et al. (1969), Weaver (1972) y Dandona

and Morse (1975) son buenos ejemplos de aplicaciones para modelos de aceite negro.

Ahora discutiremos brevemente los pasos indicados anteriormente, con la excepción de (e) y (f), que serán

tratados en las secciones siguientes.

Paso (a): Es importante que las preguntas que serán resueltas por la simulación estén claramente definidas. El

enfoque del estudio depende en una manera esencial de estos objetivos. Las preguntas de naturaleza

"económica" son por lo general del tipo:

¿Cuál es el mejor esquema de recuperación para el yacimiento? ¿Cuál es la tasa de producción óptima? ¿Cuál es el espaciamiento óptimo entre los pozos? ¿La perforación infill es económica? En otras situaciones las preguntas de ―viabilidad‖ pueden tener una respuesta:

¿Un cierto proceso trabajará dentro de un rango razonable de los parámetros de control? Preguntas de tipo ―remedial‖ también pueden ser formuladas: ¿Cuál es la causa de un problema operacional y, puede este ser corregido? Paso (b): La recolección de datos podría necesitar mucho tiempo para los grandes yacimientos. Los datos

disponibles deben ser revisados para la integridad y fiabilidad. Todos los datos sospechosos deben ser ajustados

si es el caso, o descartados.

338

Paso (c): Los datos geológicos y petrofísicos disponibles son utilizados para construir un ―modelo geológico‖ del

yacimiento que defina la estructura, la profundidad, la porosidad y permeabilidad, la estratificación, fallas, y otras

características físicas del yacimiento. La ―representación geológica‖ del yacimiento es muy importante y con

frecuencia es re-evaluada más adelante durante el proceso de history match. Los métodos utilizados para

elaborar los datos geológicos para la simulación son descritos por Harris (1975).

Paso (d): El análisis PVT mostrará si los fluidos deben ser representados composicionalmente, o si pueden ser representados por un sistema de aceite negro. Los modelos composicionales son mucho más complejos que los modelos de aceite negro descritos en este libro. Todos los datos deben ser verificados y ajustados. Paso (e): Ejecutar el modelo para predecir el comportamiento futuro, es una parte relativamente sencilla del

estudio. Para los campos que se están acercando a su depleción, se debe tener cuidado para simular

correctamente las prácticas reales de funcionamiento, tales como la instalación de bombas y compresores, y los

trabajos de reacondicionamiento (workover). Algunos de estos pueden requerir de programación especial.

Paso (f): La interpretación de los resultados puede incluir algunos cálculos adicionales, como por ejemplo los

cálculos de balance de materiales en las instalaciones de procesamiento (facilidades de superficie), los cálculos

de tuberías, y con frecuencia los análisis económicos. La edición de los archivos de salida (output) para la

presentación de informes es necesaria porque los resultados obtenidos son generalmente voluminosos y estos

deben ser condensados. Sin embargo, todos los datos y resultados generados deben mantenerse para futuras

referencias, por ejemplo, en una unidad de almacenamiento (disk). Esto es particularmente importante en los

casos en que una futura actualización del estudio es prevista.

13.2.2 Selección y Diseño del Modelo

La construcción del modelo numérico de un yacimiento es una de las zonas ―grises‖, donde el arte y la ciencia de la simulación se encuentran. El ―mejor‖ modelo del yacimiento es el modelo más simple que representa realmente todos los aspectos importantes del proceso físico de interés. Sin embargo, debido a las grandes limitaciones de conocimiento del yacimiento y los parámetros de los fluidos, a menudo hay una tendencia a utilizar un modelo más sofisticado al que es realmente necesario. Siempre es útil primero ver si el uso de un método analítico o un modelo de computadora simple responderán la pregunta. Este estudio preliminar por lo general se traducirá en una mejor comprensión del problema. Cuando un estudio de simulación es necesario, varios factores deben ser considerados en la selección y el

diseño del modelo, tales como los siguientes:

Clase de respuesta requerida;

exactitud de la respuesta requerida;

incertidumbre en la definición del yacimiento;

incertidumbre en los datos de campo disponibles para la simulación;

incertidumbre en las propiedades de las rocas y los fluidos;

comprensión del proceso físico actual (modelo matemático);

errores inherentes a las suposiciones hechas en el desarrollo del modelo numérico; y

errores de truncamiento.

Muchos de estos factores son difíciles de cuantificar, y, en consecuencia, el razonamiento para la selección y el

diseño del modelo para un yacimiento será diferente en cada caso. Ahora vamos a discutir algunos de los

aspectos más importantes en detalle.

13.2.2.1 Dimensionalidad del modelo Desde el tiempo del ordenador y las necesidades de almacenamiento aumentan drásticamente con el número de dimensiones, la dimensión más pequeña posible, deber ser utilizada. Los modelos de un solo bloque (single-block) y los modelos unidimensionales (1-D) pueden ser tratados

analíticamente en ciertos casos. A menudo, los simuladores de 1-D son utilizados para estimar unas altas

idealizaciones, por ejemplo, para yacimientos con una descripción conocida muy limitada, y en la simulación de

experimentos de laboratorio. Los modelos (1-D) pueden ser también adecuados en situaciones donde

únicamente la sensibilidad de respuestas para ciertas variables, es de interés.

Los modelos 2-D son adecuados bajo una variedad de condiciones. Yacimientos con buena comunicación

vertical puede ser por lo general representados por un modelo areal 2-D utilizando el concepto de equilibrio

vertical (VE) (véase el Capítulo 12). El comportamiento de un pozo puede ser estudiado en dos dimensiones por

coordenadas radiales en la mayoría de los casos. Las excepciones son los pozos cerca de los límites del

339

yacimiento o cerca de los contactos de los fluidos horizontales, donde las suposiciones de simetría no son

razonables. Muchos yacimientos pueden ser estudiados satisfactoriamente observando una parte típica del

yacimiento, modelado generalmente en 2-D. Estos llamados modelos ―window‖ son mucho menos costosos que

grandes estudios tridimensionales. Un ejemplo clásico es la simulación de un cuarto de cinco espacios por un

modelo areal 2-D.

Las preguntas de dimensionalidad adecuada y los errores asociados son discutidos por Coats (1969) y Price

(1971). Ejemplos de estudios de corte transversal de yacimientos son proporcionados en los papers de

McCulloch et al. (1969) y DesBrisay et al. (1975). Por último, hacemos notar que con frecuencia un estudio de

simulación implica el uso de varios modelos. Un ejemplo típico es el uso de un modelo 2-D de una sección

transversal para generar curvas de VE y/o un modelo 2-D radial para generar curvas de conificación de los

pozos, usado en conjunto con un modelo areal 2-D. Un ejemplo de un estudio progresivo desde 1-D a 3-D se

encuentra en Spivak et al. (1975).

El tratamiento de acuíferos también debe ser considerado al seleccionar la dimensionalidad del modelo.

13.2.2.2 Tratamiento de los fluidos del yacimiento Una vez más, la representación más sencilla consistente con los objetivos del estudio debe ser utilizada. En la representación del modelo de black oil, el tiempo de corrida de los métodos SS (solución simultánea) y SEQ (solución secuencial) se incrementa considerablemente cuando aumenta el número de fases, pero no presenta cambios en el método IMPES (Capítulo 9, Sección 9.3.3). Por lo tanto, la eliminación de una fase que es inamovible en el modelo puede, en algunos casos resultar en ahorros significativos. Cuando los efectos de la composición son importantes, pueden ser con frecuencia aproximados por un simulador

de black oil. Debido a que los simuladores composicionales son generalmente más caros para correr, dará como

resultado un ahorro considerable. Los enfoques de este tipo son aplicados a yacimientos de petróleo y gas

condensado. El desplazamiento miscible también puede ser tratado por un modelo black oil. Hemos discutido

estas técnicas en el capítulo 12.

13.2.2.3 Selección del Grid Las siguientes son guías aproximadas para el diseño del grid: (a) La orientación del grid debe ser, si es posible, a lo largo de la orientación de la permeabilidad conocida. En

los problemas de la sección transversal, el modelo de capas debe seguir las capas geológicas.

(b) La definición del grid debe ser mayor en las áreas de interés y/o cuando la solución se espera que cambie

rápidamente. Bloques más pequeños se requieren generalmente alrededor de los pozos.

(c) La definición del grid debe ser mayor en las zonas de heterogeneidad, si se requieren respuestas precisas.

(d) Los cambios grandes y bruscos en el tamaño del grid introducen grandes errores de truncamiento. Deben

ser evitados en la construcción de un grid irregular.

(e) En una simulación areal, todos los pozos deben estar separados por varios bloques, si el efecto de los

patrones de los pozos, la perforación infill, etc., serán estudiados.

La regla más importante es, sin embargo, que siempre que sea posible, la definición necesaria del grid debe ser

determinada por un estudio de sensibilidad del grid. Tal cantidad de estudios para realizar una serie de corridas

de simulación con un aumento en la definición del grid hasta que los resultados calculados, no cambian dentro

de la precisión requerida. Los estudios de sensibilidad del grid, son especialmente importantes para el flujo

multifásico Son desarrollados comúnmente para problemas de corte transversal para determinar el número

mínimo de capas necesarias.

En simulaciones areales y 3-D, el tamaño del problema es a menudo demasiado grande para llevar a cabo un

experimento de refinamiento del grid. En tales casos, la sensibilidad del grid puede ser estudiada en una

pequeña parte seleccionada del yacimiento.

En muchos casos, la exactitud de la solución no puede ser determinada porque el tamaño del grid está

restringido por las limitaciones del ordenador, o por factores de costo. Sólo en casos simples puede el error de

truncamiento espacial ser determinado mediante la comparación con las soluciones exactas.

Los errores de truncamiento se denominan a menudo ―dispersión numérica‖ (Lantz, 1971) y son de particular

importancia en la simulación de desplazamiento miscible, los fenómenos composicionales y otros problemas que

requieren una alta precisión. Las técnicas convencionales de diferencias finitas son a menudo inadecuadas en

estas situaciones porque el número requerido de bloques es excesivamente grande. En tales casos, los modelos

especiales que deben ser usados no se discutirán en este libro (punto-rastreo, variacional).

340

13.2.2.4 Selección del Método de solución y la técnica para resolver las ecuaciones algebraicas.

Cuando una opción (de IMPES, SEQ o SS) está disponible, el método más económico de la solución debe ser seleccionado. Esto involucra algunas pruebas de la estabilidad mediante corridas con un conjunto típico de datos. Como se discutió en el capítulo 9 (Sección 9.3.3), la evolución desde el IMPES a SEQ y luego SS aumenta drásticamente el tiempo de ejecución por cada paso de tiempo. En la práctica, la velocidad es expresada en términos de tiempo/grid bloque/tiempo con el fin de eliminar la influencia del tamaño del grid. Debido a que la estabilidad también se incrementa cuando se tienen más métodos implícitos, la mejor eficiencia

global se logra generalmente mediante IMPES para problemas ―fáciles‖ y por SS (con transmisibilidades

implícitas) para los problemas ―difíciles‖. La elección de la técnica para la solución de la matriz de ecuaciones es

también crítica. Como se discutió en el capítulo 8 (secciones 8.3 y 8.4) y en los capítulos 10 y 11, los métodos

directos son los preferidos para problemas pequeños y los métodos iterativos para problemas más grandes. Los

métodos iterativos también pueden ser más rápidos cuando es necesario iterar (actualizar los coeficientes)

dentro de un lapso de tiempo la solución. Con los métodos iterativos, esta actualización puede hacerse durante

el proceso de solución con sólo una pequeña disminución en la tasa de convergencia, mientras que para los

métodos directos, el trabajo aumenta en proporción con el número de iteraciones necesarias por lapso de

tiempo.

Aparte de las consideraciones anteriores de optimizar la velocidad de corrida, la decisión será influenciada por el

tipo de estudio a realizar. Para un problema donde se requiere sólo un número limitado de corridas, puede ser

más económico utilizar un método más implícito y una técnica de eliminación directa por su fiabilidad. Por otro

lado, para un gran estudio con un número de corridas de ajuste histórico (history match), puede ser útil optimizar

al mismo tiempo el carácter implícito del método y la técnica de solución.

13.2.2.5 Selección de los intervalos de tiempo y los parámetros de control del tiempo de corrida. El tamaño del intervalo de tiempo debe ser seleccionado para garantizar tanto la estabilidad y precisión. El primer requisito se refiere al máximo tamaño estable del intervalo de tiempo para el tamaño del grid. Por ejemplo, para el método de IMPES esta relación está dada por la ecuación (5.60), y por la ecuación (9.25) cuando la estabilidad está limitada por transmisibilidades. El máximo intervalo de tiempo que se puede utilizar es proporcional al tamaño del grid también para los otros métodos de solución. Por lo tanto, con el perfeccionamiento del grid el costo de una corrida de computadora aumentará más de lo indicado por el radio del grid, ya que el intervalo de tiempo también debe ser disminuido. En la práctica, tanto la estabilidad como la precisión pueden ser obtenidas por una selección automática del

intervalo de tiempo utilizando métodos descritos en el capítulo 12.

Los parámetros de control que deben ser seleccionados pueden incluir la máxima presión y cambios de

saturación por intervalo de tiempo, las tolerancias de convergencia, el máximo número de iteraciones, el número

de iteraciones entre las actualizaciones de los coeficientes, etc. Su selección será diferente de un caso a otro y

algunas experimentaciones pueden ser necesarias para minimizar el tiempo de corrida. En general, la tolerancia

debería ser ―más estricta‖ cuando el problema es más difícil de resolver.

13.2.3 Ajuste Histórico (History Matching)

El ajuste histórico es una parte importante de cualquier estudio. Los ajustes del modelo de predicción con la interpretación histórica del yacimiento, constituyen la única prueba práctica de la validez de un modelo de computadora de yacimiento. El history matching consiste en ajustar los parámetros del modelo (como la permeabilidad, la porosidad, etc) hasta que los resultados calculados para el período histórico sean ―cercanos‖ a los datos históricos. La información histórica puede ser de varios tipos. Para un programa de producción dado, los datos de ajuste por lo general son los siguientes: WOR y GOR; Presiones promedio o presiones en pozos de observación; Pozos de observación; o Presión de fondo fluyendo (𝑃𝑤𝑓 ).

En los casos en que un pozo está produciendo a una taza total constante o una presión constante, la variable de

ajuste puede ser tomada como la tasa de aceite.

Los datos de ajuste menos frecuente son: Tiempo de ruptura; y la presión transitoria durante una prueba draw-down o build-up (Chain et al., 1976).

El proceso de ajuste histórico lleva mucho tiempo, a veces es frustrante, y por lo general representa una gran

parte del costo de un estudio. El ajuste histórico generalmente es realizado manualmente por un ajuste de datos

a través de un procedimiento de prueba y error. Se ha dedicado considerable esfuerzo de investigación a la

automatización de este proceso mediante el uso de la ―simulación inversa‖. En este procedimiento se resuelven

las ecuaciones para los valores de los parámetros seleccionados del yacimiento, de modo que las diferencias

341

entre los resultados calculados y el comportamiento observado se reduzcan al mínimo (Coats et al., 1970; Dupuy

et al., 1971; Slater y Durrer, 1971, Thomas y Hellums, 1972, Chen et al., 1974, Carter et al., 1974; Chavent et al.,

1975; Gavalas et al., 1976, Wasserman y Emanuel, 1976; Bishop et al., 1976). Sin embargo, en la etapa actual

de desarrollo estas técnicas son de uso limitado para los problemas prácticos, excepto en problemas simples,

como yacimientos de una sola fase (gas).

La regla general en el manual del ajuste histórico es cambiar los parámetros que tienen la mayor incertidumbre y

también la más grande influencia en la solución. La sensibilidad de la solución para algunos de los parámetros es

frecuentemente establecida durante el proceso del ajuste histórico en sí. No hay reglas rápidas y estrictas sobre

cómo proceder en cada caso concreto. Los siguientes consejos pueden ser útiles:

a) El ajuste de la presión promedio es afectado por los volúmenes de fluido in place, el tamaño del acuífero y el

grado de comunicación entre el yacimiento y el acuífero Sin embargo, un deficiente ajuste del WOR y el

GOR, también causará un mal ajuste para la presión promedio.

b) La presión del draw-down es afectada por la permeabilidad horizontal y por los efectos del daño (skin).

c) El WOR y el GOR dependen principalmente del draw-down (es decir, una vez más de la permeabilidad),

pero también de la posición de los contactos de fluidos, y el espesor de la zona de transición (que depende

de la PC). La forma de las curvas después de ruptura depende de las curvas de permeabilidad relativa, pero

el tiempo de ruptura depende principalmente de los puntos extremos de estas curvas (end points), es decir,

las permeabilidades efectivas con sólo una de las fases fluyendo. En estudios areales y 3-D, los modelos no

pueden aproximar con precisión un ajuste al comportamiento individual del pozo sin el tratamiento especial

discutido en el capítulo 9 (sección 9.7). En tales casos, el ajuste consiste en encontrar las pseudo-funciones

adecuadas. Los estudios de este tipo pueden ser complementados por el ajuste individual del rendimiento

del pozo para mejorar la exactitud de la descripción del yacimiento.

d) El ajuste del tiempo de ruptura es una de las tareas más difíciles. Los tiempos de ruptura son sensibles a los

errores de truncamiento (dispersión numérica) y su ajuste exacto requiere de grid más finos de lo que

normalmente sería necesario.

La calidad del ajuste y por lo tanto el grado de confianza que podemos tener en el modelo depende

sustancialmente de la cantidad de datos históricos disponibles para el ajuste. Con datos insuficientes (por

ejemplo, si los datos de presión no están disponibles), un ajuste puede ser obtenido con diferentes sets de

descripciones del yacimiento. Por otro lado, cuando grandes cantidades de datos están disponibles, un intento

fallido para un ajuste, indicará que algunas de las suposiciones básicas realizadas durante el desarrollo del

modelo tienen que ser revisadas (estructura geológica, el comportamiento PVT, extensión del yacimiento,

presencia de acuíferos, etc.) En algunos casos, un ajuste exitoso también puede indicar errores en los datos.

En la mayoría de las simulaciones de petróleo negro, la presión y la tasa (WOR, GOR) suelen ser necesarios

para obtener un buen ajuste. Aun cuando un buen ajuste se ha obtenido con un conjunto de datos históricos, no

hay garantía de que el modelo se ajustará con los datos históricos adicionales, sin ajustar los parámetros del

yacimiento. Por lo tanto, es importante utilizar la cantidad máxima disponible de datos en el proceso de ajuste.

Obviamente, la fiabilidad de las predicciones del rendimiento futuro también depende de la cantidad de datos

disponibles para el ajuste. Aún con un buen ajuste histórico, la fiabilidad de las predicciones disminuye cuando

miramos más y más lejos. Por tanto, es beneficioso ―actualizar‖ un estudio de simulación después de un período

de tiempo para un ajuste, con los nuevos datos históricos. Esto normalmente se traducirá en un ajuste de las

predicciones para periodos futuros.

Las técnicas de ajuste histórico también puede ser utilizadas para interpretar los datos de laboratorio (por

ejemplo, Archer y Wong, 1973).

13.3 CONCLUSIONES

Considerable experiencia práctica en ingeniería de yacimientos y simulación computacional es necesaria para

aprovechar al máximo la tecnología de simulación de yacimientos.

Debido al hecho de que las suposiciones están involucradas en varias etapas del proceso del desarrollo del

modelo y las ecuaciones de flujo sólo pueden ser resueltas aproximadamente, es necesario usar un buen criterio

de ingeniería en la realización de estudios de yacimientos y en la interpretación de los resultados obtenidos.

342

APÉNDICE A

REVISIÓN DEL ALGEBRA DE MATRICES

A.1 INTRODUCCIÓN

Este apéndice tiene por objeto proporcionar una revisión de las propiedades de los vectores y matrices que son

esenciales para un estudio de simulación de yacimientos. Muchos libros excelentes están disponibles sobre este

tema y deben ser consultados para un mejor entendimiento de los conceptos introducidos aquí. En particular, los

libros de Bellman (1960), Pease (1965) y Lancaster (1969) se recomiendan para estudios posteriores.

La siguiente sección de este apéndice contiene algunos conceptos básicos y definiciones. Esto es seguido por

una sección dedicada a importantes teoremas fundamentales para la simulación de yacimientos.

A.2 CONCEPTOS BÁSICOS

A.2.1 Campo

DEFINICION: Un campo, 𝐹, es una colección de números en el que las operaciones de suma, resta,

multiplicación y división, excepto por cero, siempre son posibles y dan un elemento único del campo. Tenga en

cuenta que los números reales forman un campo, mientras que los números reales positivos no (ya que la resta

no siempre es posible).

A.2.2 Vector

DEFINICIÓN: Un vector es un conjunto de 𝑛 números de 𝐹 dispuestos en un orden definido. Los números así

dispuestos son llamados los elementos o componentes del vector. La norma de ordenación de un vector es:

𝑥 =

𝑥1

𝑥2...𝑥𝑛

𝑥𝑖 ∈ 𝐹 (A.1)

donde el símbolo , significa un ―miembro de‖. Los mismos elementos cuando se escribe en una fila, forman la

transpuesta de 𝑥:

𝑥𝑇 = 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛

donde 𝑛 es la dimensión de 𝑥 o 𝑥𝑇

DEFINICIÓN: Dos vectores se dice que son iguales, si sus correspondientes componentes son iguales.

Sean 𝑥 y 𝑦 dos vectores con 𝑛 elementos cada uno del campo 𝐹. Sean 𝛼 y 𝛽

dos escalares del campo 𝐹. Entonces tenemos

DEFINICIÓN: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 𝑖 = 1, …𝑛

y

DEFINICIÓN: 𝑧 = 𝛼. 𝑥 𝑧𝑖 = 𝛼. 𝑥𝑖 𝑖 = 1, …𝑛

343

Las siguientes propiedades pueden ser derivadas de estas dos definiciones:

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (Conmutativa) (A.2)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (Asociativa) (A.3)

𝑥 + 0 = 𝑥 (0 es el vector nulo) (A.4)

𝑥 + −𝑥 = 0 (-x es el negativo de x) (A.5)

𝛼 𝛽𝑥 = 𝛼𝛽 𝑥 (Asociativa) (A.6)

𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 (Distributiva) (A.7)

𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 (Distributiva) (A.8)

𝛼𝑥 = 𝑥𝛼 (conmutativa) (A.9)

𝛼𝑥 = 𝑥 si α=1 (A.10)

A.2.3 Espacios vectoriales lineales

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial lineal es un conjunto de vectores, 𝑆, de forma que:

(1) la suma de dos vectores de 𝑆 es también un miembro de 𝑆, y

(2) el producto de cualquier escalar 𝜶 con un miembro de 𝑆 está también en 𝑆. El espacio vectorial lineal es

generado por el campo 𝐹 cuando los elementos de todos los vectores en 𝑆 y escalares 𝜶 son del campo 𝐹.

DEFINICION: Un conjunto 𝑗 de vectores 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑗 es linealmente independiente en el campo 𝐹 si no existe un

conjunto de escalares 𝛼1 , 𝛼2, … , 𝛼𝑗 de el campo 𝐹, no todos cero, tal que

𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑗 𝑥𝑗 = 0 (A.11)

De lo contrario los vectores se dice que son linealmente dependientes.

Tenga en cuenta que si una solución a (A.11) existe con 𝛼𝑖 ≠ 0, a continuación,

𝑥𝑖 = −1

𝛼𝑖

𝛼𝑘𝑥𝑘𝑗𝑘=1,𝑘≠𝑖 (A.12)

En la ecuación. (A.12) 𝑥𝑖 se expresa como una combinación lineal de otros vectores en el conjunto, por lo que no

es linealmente independiente de estos vectores.

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial lineal es de dimensión 𝑘 si contiene al menos un conjunto de 𝑘 vectores

linealmente independientes (con exclusión de vectores nulos), pero no contiene un conjunto de 𝑘 + 1 vectores

linealmente independientes.

DEFINICIÓN: El conjunto de 𝑘 vectores linealmente independientes de un espacio vectorial, 𝑆, de dimensión 𝑘

es una base para 𝑆. Tenga en cuenta que todos los otros vectores, en 𝑆 puede estar formado por una

combinación lineal de vectores base.

A.2.4 Sistema de ecuaciones lineales. Matrices

El sistema de ecuaciones lineales

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗𝑛𝑗=1 = 𝑘𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (A.13)

344

puede escribirse como

𝐴𝑥 = 𝑘 (A.14)

Donde 𝑥, 𝑘 son vectores 𝑛-dimensionales y 𝐴 es una matriz cuadrada (𝑛𝑥𝑛) de números con 𝑛 filas y 𝑛

columnas:

𝐴 =

𝑎11::

𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛::

::

::

𝑎𝑛2 … . 𝑎𝑛𝑛

La operación de 𝐴𝑥 está definida de manera que los resultados en el sistema de ecuaciones están dados por

(A.13). También podemos expresar 𝐴 como

𝐴 = 𝑎𝑖𝑗

la diagonal principal de 𝐴 es el conjunto de elementos sobre el recorrido diagonal desde la parte superior

izquierda a la esquina inferior derecha. La matriz es llamada diagonal, si

𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗 (A.16)

y una matriz se llama la matriz identidad, 𝐼, si

𝑎𝑖𝑗 = 01

𝑖 ≠ 𝑗𝑖 = 𝑗

(A.17)

Una matriz 𝐵 con elementos de tal manera que 𝑏𝑖𝑗

𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para todo 𝑖 y 𝑗 (A.18)

se llama la transpuesta de 𝐴, 𝐴𝑇. La matriz nula, 0, tiene cero elementos.

DEFINICIÓN: La suma de dos matrices 𝐴, 𝐵, 𝐶 es una matriz con los elementos

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑗 = 1, … , 𝑛 (A.19)

donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son todas matrices nxn.

DEFINICIÓN: El producto de un escalar 𝛼 con la matriz 𝐴 es una matriz 𝐶 con elementos

𝑐𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗 (A.20)

DEFINICIÓN: El producto de matrices 𝐴 y 𝐵 es una matriz 𝐶 definida por

𝐶 = 𝐵𝐴 𝑐𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑘𝑎𝑘𝑗𝑘 (A.21)

Tenga en cuenta que en general 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

DEFINICIÓN: Matrices 𝐴 y 𝐵 conmutan si

𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 (A.22)

DEFINICIÓN: La inversa de 𝐴 (si existe) es una matriz 𝐴−1 definida por

𝐴−1𝐴 = 𝐼 (A.23)

Las siguientes propiedades pueden derivarse de las definiciones anteriores

𝐴 + 𝐵 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 (A.24)

𝐴 𝑥 + 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 (A.25)

∝ 𝐴𝑥 = 𝛼𝐴 𝑋 = 𝐴 𝛼𝑋 = (𝐴𝑥)𝛼 (A.26)

345

(𝐴𝑥)𝑇 = 𝑥𝑇𝐴𝑇 (A.27)

𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 (A.28)

𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (A.29)

𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 (A.30)

0𝐴 = 𝐴0 = 0 (A.31)

𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴 (A.32)

𝐴−1𝐴 = 𝐴𝐴−1 = 𝐼 (A.33)

(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 (A.34)

(𝐴𝐵𝐶 … )−1 = (…𝐶−1𝐵−1𝐴−1) (A.35)

A.2.5 determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un número denotado por det (A). Para una matriz 2 x 2

𝐴 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22 det 𝐴 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21

Para una matriz arbitraria 𝐴,

det 𝐴 = 𝑎𝑖𝑘𝑎𝑖𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝑎𝑘𝑗 𝑎𝑘𝑗

𝑛

𝑘=1

para cualquier fila 𝑖 o cualquier columna 𝑗. En la ecuación anterior 𝑎𝑖𝑘 , es el cofactor de 𝑎𝑖𝑘 ,

𝑎𝑖𝑘 = (−1)𝑖+𝑘det(𝑀𝑖𝑘 )

y 𝑀𝑖𝑘 , es la matriz 𝑛 − 1 × (𝑛 − 1) obtenida mediante la eliminación de la fila 𝑖th

y la columna 𝑘th. Este es el menor de 𝑎𝑖𝑘 .

DEFINICIÓN: La matriz 𝐴 es singular si det (A) = 0.

A.2.6 valores propios y vectores propios

Una vector 𝑥𝑖 que satisface

𝐴𝑥𝑖 = 𝜆𝑖𝑥𝑖

se llama autovector de 𝐴, y el escalar 𝜆𝑖 es el correspondiente autovalor.

La ecuación característica de una matriz 𝐴 (n n) es

det 𝐴 − 𝜆𝑖 = 0

El factor determinante es un polinomio en 𝜆 de grado 𝑛. Las raíces de la

346

ecuación característica son los autovalores de 𝐴.

DEFINICION: el radio espectral de 𝐴 es

𝜌 𝐴 = 𝑚𝑎𝑥 𝜆𝑖

A.2.7 Normas de vectores y matrices

Una norma de un vector x es un número real, denotado por 𝑥 que satisface las condiciones siguientes (a)

𝛼𝑥 = 𝛼 𝑥

(b) 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥 + 𝑦

(c) 𝑥 ≥ 0 𝑥 = 0

La norma 𝑝de un vector, denotado por está definido por

𝑥 𝑝 = 𝑥𝑖 𝑝

𝑖

1𝑝

𝑝 ≥ 1

Tres normas frecuentemente usadas son:

𝑙1: 𝑥 1 = 𝑥𝑖

𝑖

𝑙2: 𝑥 2 = 𝑥𝑖2

𝑖

12

𝑙∞: 𝑥∞ = 𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖

Una norma matriz es un número real que satisface las correspondientes condiciones (a), (b) y (c), y, además, la

siguiente condición es también satisfecha:

(d) 𝐴 𝐵 ≥ 𝐴𝐵

Una norma matriz es consistente con el vector norma si cumple

(e) 𝐴𝑥 ≤ 𝐴 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥𝑥 ≠ 0

Si la igualdad en (e) tiene por lo menos un 𝑥 ≠ 0, entonces la norma matriz se dice estar subordinada a la norma

de vectores.

Las normas de la matriz de 𝐴 subordinada para las normas l1, l2, y l, de 𝑥 son

𝐴 1 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑖𝑘

𝑛

𝑖=1

𝐴 2 = 𝜌 𝐴𝑇𝐴 1

2

𝐴 ∞ = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑖𝑘

𝑛

𝑘=1

Algunas propiedades de las normas

1. 𝑥 − 𝑦 ≥ 𝑥 − 𝑦 donde x y y son vectores

2. 𝐴 ≥ 𝜌 𝐴 para cualquier norma de matriz A

3. 𝐴 2 = 𝜌 𝐴 si A es una matriz simétrica

4. 1

𝐴−1 ≤ 𝜆 ≤ 𝐴 Donde A es una matriz no singular, y 𝜆 es cualquier eigenvalor de A.

347

A.2.8 Definiciones adicionales

NOTA: 𝐴 es una matriz 𝑛𝑥𝑛 y todos los vectores tienen 𝑛 elementos, a menos

se especifique lo contrario.

1. El producto interno (o escalar) de dos miembros 𝑥 y 𝑦 de un espacio vectorial

se define por

𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Tenga en cuenta que 𝑥, 𝑥 = 𝑥 22

2. La matriz 𝐴 es ortogonal si

𝐴−1 = 𝐴𝑇

3. La matriz 𝐴 es diagonal dominante si

𝑎𝑖𝑗 ≥ 𝑎𝑖𝑗 𝑛𝑗=1𝑗≠𝑖

= 𝛼𝑖 para todo 𝑖

y estrictamente diagonal dominante si la desigualdad objetiva es válida para todos los 𝑖.

4. La matriz 𝐴 es tridiagonal si

𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 − 𝑗 > 1

5. La matriz es un bloque diagonal, si

𝐴 =

𝐵1

𝐵2

. 𝐵𝑘

Donde cada 𝐵𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑘) es una matriz cuadrada. 𝐵𝑖 no son necesariamente del mismo orden.

6. La matriz 𝐴 es triangular superior si es

𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑖 > 𝑗

y triangular inferior si

𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑗 > 𝑖

7. La matriz 𝐴 es irreducible si no existe una permutación transformación

𝑃𝐴𝑃−1

Por lo cual 𝐴 se reduce a la forma

𝑆 0𝑅 𝑄

donde 𝑆 y 𝑄 son sub-matrices cuadradas de orden S y Q, respectivamente, con 𝑠 + 𝑞 = 𝑛, y 0 es una matriz

nula sxq.

348

La matriz de permutación 𝑃 tiene un elemento distinto de cero en cada fila y columna y todos estos elementos

son unos.

8. La matriz 𝐴 es irreductiblemente diagonal dominante si es irreducible y en diagonal dominante, con

𝑎𝑖𝑖 > 𝛼𝑖 , por lo menos un 𝑖

9. Matrices 𝐴 y 𝐵 son similares si

𝐵 = 𝑇−1𝐴𝑇

y 𝑇 es no singular. La operación anterior en 𝐴 se llama transformación de semejanza. Matrices semejantes tienen

el mismo eigenvalor.

10. Dos vectores 𝑋 y 𝑌 son ortogonales si 𝑥, 𝑦 = 0

Vectores ortogonales son linealmente independientes.

11. 𝐴 es definida positiva si

𝑥, 𝐴𝑥 > 0 para todo 𝑥 ≠ 0

y 𝐴 es semidefinida positiva si

𝑥, 𝐴𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 𝑦

= 0 para al menos un 𝑥 ≠ 0

A.3 ALGUNOS TEOREMAS FUNDAMENTALES

NOTA: 𝐴 es una matriz 𝑛𝑥𝑛 real.

A.3.1

Una matriz simétrica tiene 𝑛 valores propios reales y 𝑛 autovectores ortogonales entre sí .

A.3.2

Si 𝐴 es estrictamente diagonalmente dominante o irreductible, entonces 𝐴 no es singular.

Si, además todos los elementos de la diagonal de 𝐴 son positivos, entonces la parte real del autovalor de 𝐴

también es positivo (Varga, 1962, p. 22).

A.3.3

Si 𝐴 es simétrica y estrictamente diagonal dominante o irreductiblemente diagonal dominante, con entradas

diagonales de reales positivos, entonces 𝐴 es definida positiva.

A.3.4

Sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑥 = 𝑘 tienen una solución única, si det (A) ≠ 0.

A.3.5

Si 𝐴 es estrictamente o irreductiblemente dominante diagonalmente, 𝐴𝑥 = 𝑘 tiene una única solución.

349

A.3.6

Si 𝐴 es una matriz real tal que 𝑎𝑖𝑖 ≥ 0 y 𝑎𝑖𝑗 ≤ 0 para 𝑖 ≠ 𝑗 entonces 𝐴 es singular si y sólo si

𝑎𝑖𝑗𝑛𝑗=1 = 0 𝑖 = 1, … , 𝑛

(Taussky, 1949).

A.3.7

𝐴𝑥 = 𝑘 tiene una solución única si 𝐴 es definitiva positiva.

A.3.8 (Faddeeva, 1959, p. 60)

lim𝑚→∞ 𝐴 𝑚 = 0 𝜌 𝐴 < 1

A.3.9 (Faddeeva, 1959, p. 61)

lim𝑚→∞ 𝐴 𝑚 = 0 𝐴 < 1

donde 𝐴 es cualquier norma de 𝐴.

350

APENDICE B

Sub thomas()

Dim A(1), B(1), C(1), X(1), Q(1001), G(1001) As Double

Dim WI As Double

Dim N As Integer

WI = A(1)

G(1) = D(1) / WI

For I = 2 To N

Q(I - 1) = B(I - 1) / WI

WI = A(I) - C(I) * Q(I - 1)

G(I) = (D(I) - C(I) * G(I - 1)) / WI

Next

X(N) = G(N)

For I = 2 To N

J = N - I + 1

X(J) = G(J) - Q(J) * X(J + 1)

Next

End Sub

Sub tanga()

Dim A(1), B(1), C(1), D(1), X(1), BETA(100), GAMMA(100), CHI(100)

Dim NM1 As Double

Dim ICIRC As Double

Dim N As Integer

NM1 = N - 1

CHI(1) = 0

BETA(1) = -1

351

CHI(2) = D(1) / B(1)

BETA(2) = A(1) / B(1)

For I = 2 To NM1

CHI(I + 1) = (D(I) - A(I) * CHI(I) - C(I) * CHI(I - 1)) / B(I)

BETA(I + 1) = -(A(I) * BETA(I) + C(I) * BETA(I - 1)) / B(I)

Next

If ICIRC = 0 Then GoTo 40

For I = 2 To NM1

GAMMA(I + 1) = -(A(I) * GAMMA(I) + C(I) * GAMMA(I - 1)) / B(I)

Next

AA = CHI(N) / (1 + GAMMA(N))

BB = BETA(N) / (1 + GAMMA(N))

UX = A(N) - C(N) * GAMMA(MN1)

CC = (D(N) - C(N) * CHI(NM1)) / UX

DD = (B(N) - C(N) * BETA(NM1)) / UX

X(1) = (AA - CC) / (BB - DD)

X(N) = (BB * CC - AA * DD) / (BB - DD)

For I = 2 To NM1

X(I) = CHI(I) - BETA(I) * X(1) - GAMMA(I) * X(N)

40 AA = CHI(N)

BB = BETA(N)

CC = (D(N) - C(N) * CHI(NM1)) / A(N)

DD = (B(N) - C(N) * BETA(NM1)) / A(N)

X(1) = (AA - CC) / (BB - DD)

X(N) = (BB * CC - AA * DD) / (BB - DD)

For I = 2 To NM1

X(I) = CHI(I) - BETA(I) * X(I)

Next

End Sub

352

Sub INVERT(A)

Dim A(3, 3)

For I = 1 To 2

IP1 = I + 1

For J = IP1 To 3

A(J, I) = A(J, I) / A(I, I)

For K = IP1 To 3

A(J, K) = A(J, K) - A(J, I) * A(I, K)

Next

continue

A(3, 1) = A(2, 1) * A(3, 2) - A(3, 1)

A(2, 1) = -A(2, 1)

A(3, 2) = -A(3, 2)

A(3, 3) = 1 / A(3, 3)

A(2, 3) = -A(2, 3) * A(3, 3) / A(2, 2)

A(2, 2) = 1 / A(2, 2)

A(1, 3) = -(A(1, 2) * A(2, 3) + A(1, 3) * A(3, 3)) / A(1, 1)

A(1, 2) = -A(1, 2) * A(2, 2) / A(1, 1)

A(1, 1) = 1 / A(1, 1)

A(3, 1) = A(2, 1) * A(3, 2) - A(3, 1)

A(1, 1) = A(1, 1) + A(1, 2) * A(2, 1) + A(1, 3) * A(3, 1)

A(2, 1) = A(2, 2) * A(2, 1) + A(2, 3) * A(3, 1)

A(3, 1) = A(3, 3) * A(3, 1)

A(1, 2) = A(1, 2) + A(1, 3) * A(3, 2)

A(2, 2) = A(2, 2) + A(2, 3) * A(3, 2)

A(3, 2) = A(3, 2) * A(3, 3)

Return

End Sub

353

Sub BITRI()

Dim A(N, 4), B(N, 4), C(N, 4), D(N, 2), X(N, 2)

Dim XAMDA(101, 4), GAMMA(101, 2)

For I = 1 To N

BETA1 = A(I, 1)

BETA2 = A(I, 2)

BETA3 = A(I, 3)

BETA4 = A(I, 4)

If I = 1 Then GoTo 20

BETA1 = BETA1 - C(I, 1) * XAMDA(I - 1, 1) - C(1, 2) * XAMDA(I - 1, 3)




20 XMI = BETA1 * BETA4 - BETA2 * BETA3

XMIR = 1 / XMI

DELTA1 = D(I, 1)

DELTA2 = D(I, 2)


DELTA1 = DELTA1 - C(I, 1) * GAMMA(I - 1, 1) - C(I, 2) * GAMMA(I - 1, 2)

DELTA2 = DELTA2 - C(I, 3) * GAMMA(I - 1, 1) - C(I, 4) * GAMMA(I - 1, 2)

30 GAMMA(I, 1) = (BETA4 * DELTA1 - BETA2 * DELTA2) * XMIR

GAMMA(I, 2) = (BETA1 * DELTA2 - BETA3 * DELTA1) * XMIR

If I = N Then GoTo 10

XAMDA(I, 1) = (BETA4 * B(I, 1) - BETA2 * B(I, 3)) * XMIR




10 Next

X(N, 1) = GAMMA(N, 1)

X(N, 2) = GAMMA(N, 2)

NPI = N + 1

354

For K = 2 To N

I = NP1 - K

X(I, 1) = GAMMA(I, 1) - XAMDA(I, 1) * X(I + 1, 1) - XAMDA(I, 2) * X(I + 1, 2)

X(I, 2) = GAMMA(I, 2) - XAMDA(I, 3) * X(I + 1, 1) - XAMDA(I, 4) * X(I + 1, 2)

Next

End Sub

Sub TRITRI()

Dim A(N, 9), B(N, 9), C(N, 9), D(N, 3), X(N, 3)

Dim XAMDA(1001, 9), GAMMA(101, 3), BETA(9), THETA(9)

For I = 1 To N

IM1 = I - 1

L = -2

For ii = 1 To 3

L = L + 3

BETA(L) = A(I, L)

BETA(L + 1) = A(I, L + 1)

BETA(L + 2) = A(I, L + 2)


BETA(L) = BETA(L) - C(I, L) * XAMDA(IM1, 1) - C(I, L + 1) * XAMDA(IM1, 4) - C(I, L + 2) * XAMDA(IM1, 7)

BETA(L + 1) = BETA(L + 1) - C(I, L) * XAMDA(IM1, 2) - C(I, L + 1) * XAMDA(IM1, 5) - C(I, L + 2) * XAMDA(IM1,

8)

BETA(L + 2) = BETA(L + 2) - C(I, L) * XAMDA(IM1, 3) - C(I, L + 1) * XAMDA(IM1, 6) - C(I, L + 2) * XAMDA(IM1,

9)

20 DELTA1 = D(I, 1)

DELTA2 = D(I, 2)

DELTA3 = D(I, 3)


DELTA1 = DELTA1 - C(I, 1) * GAMMA(IM1, 1) - C(I, 2) * GAMMA(IM1, 2) - C(I, 3) * GAMMA(IM1, 3)

355



30 THETA(1) = BETA(5) * BETA(9) - BETA(6) * BETA(8)

THETA(2) = BETA(6) * BETA(7) - BETA(4) * BETA(9)








XMI = THETA(1) * BETHA(1) + THETA(2) * BETA(2) + THETA(3) * BETA(3)

XMIR = 1 / XMI

GAMMA(I, 1) = (THETA(1) * DELTA1 + THETA(4) * DELTA2 + THETA(7) * DELTA3) * XMIR



If I = N Then GoTo 10

L = -2

L = L + 3

IP3 = ii + 3

IP6 = ii + 6

XAMDA(I, L) = (THETA(ii) * B(I, 1) + THETA(IP3) * B(1, 4) + THETA(IP6) * B(I, 7)) * XMIR

XAMDA(I, L + 1) = (THETA(ii) * B(I, 2) + THETA(IP3) * B(1, 5) + THETA(IP6) * B(I, 8)) * XMIR

XAMDA(I, L + 2) = (THETA(ii) * B(I, 3) + THETA(IP3) * B(1, 6) + THETA(IP6) * B(I, 9)) * XMIR

40

10 X(N, 1) = GAMMA(N, 1)

X(N, 2) = GAMMA(N, 2)

X(N, 3) = GAMMA(N, 3)

356

NP1 = N + 1

For K = 2 To N

I = NP1 - K

IP1 = I + 1

X(I, 1) = GAMMA(I, 1) - XAMDA(I, 1) * X(IP1, 1) - XAMDA(I, 2) * X(IP1, 2) - XAMDA(I, 3) * X(IP1, 3)



Next

Return

End Sub

Sub Gband()

Dim A(1), D(1), X(1)

IERR = 0

For I = 1 To N

IE = M

If (1 + M - N) Then

IE = N - 1

IEAUX = M

End If

If (I - M) Then

IEAUX = 1

IE1 = IE + IEAUX

End If

MBIG = IE

J1 = J + IE1

J2 = J1

If (IFRST > 0) Then GoTo 27

If (Abs(A(J)) - EPS) Then

IERR = IERR + 1

357

End If

27 If (MBIG) Then

For JO = 1 To MBIG

End If

S = A(J1) / A(J)

If (IFRST > 0) Then GoTo 35

For K = 1 To MBIG

J1K = J1 + K

JK = J + K

A(J1K) = A(J1K) - A(JK) * S

Next

35 continue

IAUX = JO + 1

D(IAUX) = D(IAUX) - D(I) * S

IE = M

If (IAUX + M - N) Then

IE = N - IAUX

IAUX = M

End If

If (IAUX - M) Then

IEAUX = IAUX

IE1 = IE + IEAUX

End If

J1 = J1 + IE1

Next

J = J2 + 1

Next

J = J - M - 1

NP1 = N + 1

For IINV = 1 To N

I = NP1 - IINV

IE = M

358

If (1 + M - N) Then

IE = N - 1

MBIG = IE

End If

X(I) = D(I)

If (MBIG) Then

For K = 1 To MBIG

IK = I + K

K = J + K

X(I) = X(I) - X(IK) * A(JK)

Next

X(I) = X(I) / A(J)

End If

IE = M

If (I + M - NP1) Then

IE = NP1 - I

IEAUX = M

End If

If (I - 1 - M) Then

IEAUX = I - 1

IE1 = IE + IEAUX

End If

J = J - IE1 - 1

continue

Next

Return

End Sub

Sub tabse()

Dim X(1), Y(1)

359

If (XX < X(1)) Then GoTo 99

I = 1

100 I = I + 1

If (I > N) Then GoTo 98

If (XX > X(I)) Then GoTo 100

YY = Y(I - 1) + (Y(I) - Y(I - 1)) * (XX - X(I - 1)) / (X(I) - X(I - 1))

Return

99 YY = Y(1)

XX = CELL(1, 1)

Return

98 YY = Y(N)

XX = CELL(1, 1)

Return

End Sub

Sub TABBIN()

Dim X(1), Y(1)

If (XX < X(1)) Then GoTo 99

If (I > N) Then GoTo 98

N1 = 1

N2 = N

NDIF = N2 - N1

If (NDIF = 1) Then GoTo 20

NH = NDIF / 2 + N1

If (XX < X(NH)) Then GoTo 10

N1 = NH

GoTo 100

10 N2 = NH

360

20 YY = Y(N1) + (Y(N2) - Y(N1)) * (XX - X(N1)) / (X(N2) - X(N1))

Return

99 YY = Y(1)

CELL(5, 5) = XX

Return

98 YY = Y(N)

CELL(5, 5) = XX

Return

End Sub

361

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Khalid Aziz