Đề tài:

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀNGHIỆM SUY RỘNG CỦA

PHƯƠNG TRÌNH LOẠI ELLIPTIC

1

MỤC LỤC1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo và tích phân

Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Không gian Ck(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Không gian Lp(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Không gian L∞(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Không gian Sobolev 13

2.1 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Không gian Hk0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Nghiệm suy rộng của phương trình loại elliptic 20

3.1 Các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán biên

khi a(x) ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Tính giải được của các bài toán biên trong trường

hợp tổng quát của a(x) . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm trong lý thuyết độ đo và tích phân Lebesque

Ta nhắc lại một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết độ đo và tíchphân Lebsque:

Cho (Ω,O) là không gian đo được, A ⊂ Ω.

χA : Ω −→ R

x 7−→ χA(x) =

1, nếu x ∈ A0, nếu x /∈ A

χA được gọi là hàm đặc trưng của A.

Một hàm số f xác định trên A ∈ O được gọi là hàm đơn giản nếu f đođược và chỉ nhận một số hữu hạn những giá trị hữu hạn.

Giả sử f(A) = α1, α2, . . . , αn ⊂ R.

Đặt Ai = x ∈ A | f(x) = αi, i = 1, 2, . . . , n, thì các tập Ai đo được,

đôi một rời nhau và A =n⋃i=1

Ai. Lúc đó

f =n∑i=1

αiχAi

Ngược lại, nếu f có dạng này với các tập Ai đo được, rời nhau,n⋃i=1

Ai = A

thì f sẽ là một hàm đơn giản trên A.

Định lý 1 (Cấu trúc hàm đo được). Mỗi hàm số f đo được trên một tậpΩ ∈ O đều là giới hạn của một dãy (fn)n∈N những hàm đơn giản trên A:f = lim

n→∞fn.

Nếu f ≥ 0 trên Ω thì ta có thể chọn các fn để cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 vớimọi n ∈ N.

Xét một không gian với độ đo (Ω,O, µ).

2

Định nghĩa 1. Giả sử f là một hàm đơn giản không âm xác định trên tập

hợp A ∈ O. Lúc đó f có dạng: f =n∑i=1

α1χAi, với các tập Ai đo được, rời

nhau vàn⋃i=1

Ai = A,αi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n.

Ta định nghĩa tích phân của hàm f đối với độ đo µ trên tập A là tổngn∑i=1

αiµAi, và viết ∫A

fdµ =n∑i=1

αiµAi

Giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyếntính những hàm đặc trưng.

Định nghĩa 2. Xét f là hàm đo được không âm xác định trên A. Theođịnh lí cấu trúc hàm đo được thì tồn tại một dãy hàm đơn giản, không âm(fn)n, đơn điệu tăng sao cho lim

n→∞fn = f .

Tích phân của hàm f trên A được định nghĩa∫A

fdµ = limn→∞

∫a

fn.

limn→∞

∫a

fn tồn tại và được xác định một cách duy nhất không phụ thuộc vào

cách chọn dãy hàm (fn)n.

Định nghĩa 3. Giả sử f : A −→ R = R ∪ ±∞ là hàm đo được bất kì.Lúc đó f+ = max(f, 0), f− = −min(f, 0)là hai hàm đo được không

âm. Đặt f = f+ − f−, nếu∫A

f+(x)dµ−∫A

f−(x)dµ không có dạng vô định

(∞−∞) thì ta định nghĩa∫A

f(x)dµ =

∫A

f+(x)dµ−∫A

f−(x)dµ

1.2 Không gian Ck(Ω)

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và Ωlà bao đóng của Ω. Ta ký hiệu Ck(Ω) (k = 0, 1, 2 . . .) là tập các hàm có đạohàm đến cấp k trong Ω và chúng có thể thác triển liên tục lên Ω.Ck

0 (Ω) là tập các hàm trên Ck(Ω) có giá compact trên Ω.

3

Ta đưa vào Ck(Ω) chuẩn

‖f‖Ck(Ω) =∑|α|≤k

maxx∈Ω|Dαf(x)|, (1)

trong đó α = (α1, . . . , αn) được gọi là đa chỉ số là vector với các tọa độ

nguyên không âm, |α| = α1 + · · ·+ αn, Dαf =

∂α1+···+αnf

∂xα11 . . . ∂xαn

n.

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tấtcả đạo hàm của chúng đến cấp k.

Tập Ck(Ω) với chuẩn (1) là một không gian Banach.Giả sử ω(x) là một hàm khả vi vô hạn trong Rn, không âm, bằng 0 với

|x| ≥ 1 và thỏa mãn ∫Rn

ω(x)dx =

∫|x|≤1

ω(x)dx = 1 (2)

trong đó |x| =√

(x21 + · · ·+ x2

n). Chẳng hạn ta có thể lấy

ω(x) =

Ce− 1

1−|x|2 , 0 ≤ |x| < 1

0, |x| ≥ 1

trong đó hằng số C > 0 được chọn sao cho (2) được thực hiện.Giả sử h là một số dương tùy ý. Hàm

ωh(x) =1

hnω(x/h)

được gọi là nhân trung bình hóa (có bán kính h). Nhân này có các tínhchất:

i) ωh(x) ∈ C∞(Rn), ωh(x) ≥ 0 trong Rn;

ii) ωh(x) ≡ 0 với |x| ≥ h;

iii)

∫Rn

ωh(x)dx = 1;

iv) Với đa chỉ số α tùy ý, |α| ≥ 0, và với tất cả x ∈ Rn

|Dαωh(|x|)| ≤Cαhn+|α| ,

trong đó Cα là một hằng số dương không phụ thuộc h.

4

Một tập E ⊂ Ω được gọi là trong nghiêm ngặt đối với Ω, và được kí hiệuE ⊂⊂ Ω, nếu E ⊂ Ω.

Bây giờ với h > 0 ta xét hàm

fh(x) =

∫Ω

f(y)ωh(|x− y|)dy, x ∈ Rn

=1

hn

∫Ω

f(y)ω

(|x− y|h

)dy

Hàm fh(x), h > 0, được gọi là hàm trung bình (hay hàm trung bình hóahay hàm điều chỉnh) đối với f(x). Từ tính chất i) của nhân trung bình hóa,với h > 0 và f ∈ C0(Ω) = C(Ω) ta thấy fh(x) ∈ C∞(Rn).

Ta kí hiệu Lploc(Ω) = u : Ωđo được−−−−→Lebsque

C | u ∈ Lp(U), với mọi tập con đo

được U ⊂⊂ Ω

Định lý 2. Nếu f ∈ Ck(Ω) thì với Ω′ ⊂⊂ Ω ta có:

‖fh − f‖Ck(Ω′) → 0, khi h→ 0

Chứng minh. Với h đủ bé (nhỏ hơn khoảng cách giữa các biên ∂Ω′ và ∂Ωcủa Ω′,Ω) nhờ các tính chất i), ii), iii) của nhân trung bình hóa, với x ∈ Ω′,ta được

|fh(x)− f(x)| =

∣∣∣∣∣∣∣∫

|x−y|<h

f(y)ωh(|x− y|)dy − f(x)

∫|x−y|<h

ωh(|x− y|)dy

∣∣∣∣∣∣∣≤ max|x−y|≤h

|f(x)− f(y)|∫

|x−y|<h

ωh(|x− y|)dy

= max|x−y|≤h

|f(y)− f(x)|.

Vì f(x) liên tục đều trên Ω nên

‖fh − f‖C0(Ω) → 0, khi h→ 0 (3)

5

Với x ∈ Ω′, với h đủ bé ta có:

Dαxfh(x) =

∫Ω

f(y)Dαxωh(|x− y|)dy

= (−1)|α|∫Ω

f(y)Dαyωh(|x− y|)dy

=

∫Ω

Dαy f(y).ωh(|x− y|)dy, |α| ≤ k.

Từ đây và (3) ta thu được điều phải chứng minh.

Định nghĩa 4. Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểmmà hàm đó khác không. Ký hiệu là supp.

1.3 Không gian Lp(Ω).

Định nghĩa 5. Cho một tập Ω khác trống và không gian độ đo (Ω,O, µ)trong đó µ là độ đo xác định trên σ-đại số O các tập con của Ω. Với p ≥ 1ta kí hiệu Lp(Ω, µ) là tập hợp các hàm đo được trên Ω sao cho |f |p khả tích

(tức là

∫Ω

|f |pdµ < +∞). Nếu Ω là một tập đo được (theo nghĩa Lebesque)

trong Rn, và µ là độ đo Lebesque thì ta ký hiệu gọn là Lp(Ω).

Hai hàm f và g thuộc Lp(Ω) được gọi là tương đương nhau nếu chúngbằng nhau hầu khắp nơi trên Ω.

Trong Lp(Ω), ta quy ước hai hàm bằng nhau khi chúng tương đươngnhau.

Với quy ước trên, không gian Lp(Ω) với chuẩn

‖f‖Lp(Ω) =

∫Ω

|f(x)|pdx

1/p

là một không gian Banach.

Định lý 3. Nếu f ∈ L1(Ω), thì với mọi ε > 0 tồn tại một hàm liên tụcϕ(x) ∈ C(Ω) với giá compact sao cho∫

Ω

|f(x)− ϕ(x)|dx < ε

6

Chứng minh. Giả sử ban đầu Ω là miền bị chặn. Từ định nghĩa tích phânLebsque suy ra f là giới hạn trong L1(Ω) của một dãy các hàm đơn giảnkhả tổng1 Mỗi hàm đơn giản khả tổng trong Ω lại là giới hạn trong L1(Ω)của một dãy các hàm đơn giản nhận một số hữu hạn giá trị. Thật vậy, nếuϕ(x) = aj trên tập hợp Aj thì∫

Ω

ϕ(x)dx =∞∑j=1

ajµ(Aj).

Do đó:

limn→∞

∫Ω

|ϕ(x)− ϕN(x)|dx = 0

ở đó ϕN(x) = aj trên Aj đối với j ≤ N và ϕN(x) = 0 trên Aj nếu j > N .

Như vậy, tập hợp các hàm có giá compact nhận một số hữu hạn giá trịlà trù mật trong không gian L1(Ω). Bởi vì mỗi hàm đơn giản là một tổ hợptuyến tính của các hàm chỉ nhận hai giá trị 0 và 1, nên ta có thể coi mỗihàm ϕN(x) cũng chỉ nhận hai giá trị này.

Bây giờ giả sử ϕ(x) = 1 đối với x ∈ M và ϕ(x) = 0, x /∈ M , ở đóM là một tập đo được bị chặn. Do định nghĩa độ đo Lebesque với mỗiε > 0 ồn tại một tập đóng F và một tập mở G sao cho F ⊂ M ⊂ G và|µ(F )− µ(G)| < ε.

Cố định ε > 0 và các tập hợp F,G. Đặt

ϕε(x) =ρ(x,Rn\G)

ρ(x,Rn\G) + ρ(x, F )

ở đó ρ(x,A) là khoảng cách từ x đến tập hợp A.

Như vậy ϕε(x) = 0 nếu x ∈ Rn\G và ϕε(x) = 1 nếu x ∈ F . Hàmϕε(x) liên tục do hàm khoảng cách ρ(x,A) liên tục khi A đóng. Hơn nữa0 ≤ ϕε(x) ≤ 1. Do đó∫

Ω

|ϕε(x)− ϕ(x)|dx =

∫G\F

|ϕε(x)− ϕ(x)|dx ≤ µ(G\F ) < ε.

Như vậy, một hàm khả tổng lấy hai giá trị có thể xấp xỉ được trongL1(Ω) bởi một hàm liên tục với giá compact.

1Hàm đo được f(x) được gọi là khả tổng trên Ω hay f(x) ∈ L1(Ω), nếu có một dãy fk(x)∞1 các hàmđơn giản xác định trên Ω hội tụ đều tới f , sao cho tồn tại giới hạn lim

k→∞

∫Ω

fkdµ =∫Ω

fdµ.

7

Từ các lí luận trên ta rút ra kết luận của định lí cho trường hợp miềnΩ bị chặn. Trong trường hợp miền Ω không bị chặn, đặt f(x) = 0 ngoài Ωvà coi rằng f ∈ L1(Rn). Bây giờ giả sử fR(x) = f(x) đối với |x| < R vàfR(x) = 0 với |x| ≥ R. Khi đó∫

Rn

|f(x)− fR(x)|dx =

∫|x|>R

|f(x)|dx→ 0, khi R→∞.

Hàm fR(x) thuộc L1(x : |x| < R) và triệt tiêu khi |x| > R. Theo chứngminh trên, với mỗi ε > 0 tồn tại một hàm liên tục ϕR(x) sao cho ϕR(x) = 0với |x| > R + 1 và

‖fR(x)− ϕR(x)‖L1(Rn) < ε.

Do đó, với R đủ lớn ta có ‖f(x)−ϕR(x)‖L1(Rn) < 2ε. Định lí được chứngminh.

Định lý 4. Giả sử Ω là một miền trong Rn. Tập tất cả các hàm liên tụctrong Ω với giá compact trù mật trong không gian Lp(Ω).

Chứng minh. Ta chứng minh định lí cho trường hợp miền Ω bị chặn. Trườnghợp miền Ω không bị chặn được suy ra từ trường hợp Ω bị chặn và các lậpluận như trong phần cuối chứng minh định lí (3).

Giả sử f ∈ Lp(Ω). Đặt

fk(x) =

f(x), nếu |f(x)| < k

0, nếu |f(x)| ≥ k

Khi đó ∫Ω

|fk(x)− f(x)|pdx→ 0 khi k →∞. (4)

Thật vậy, ta có: ∫Ω

|f(x)|pdx =∞∑j=0

∫Ωj

|f(x)|pdx,

Ωj = x ∈ Ω, j < |f(x)| < j + 1

Bởi vậy, với mọi ε > 0, tồn tại một số k, sao cho∫Ω|fk(x)− f(x)|pdx < εp

8

từ đó nhận được (4).

Vì hàm fk bị chặn nên nó khả tổng. Do vậy, từ định lí (4) suy ra tồn tạimột hàm liên tục trong miền Ω với giá compact gk(x), sao cho

∫Ω|fk(x) −

gk(x)|dx < εp21−pk1−p. Bởi vì |fk(x)| < k, nên ta luôn coi |gk(x)| ≤ k. Vớinhững x mà |gk(x)| > k, ta thay g(x) bởi k.signgk(x). Do đó ta có∫

Ω

|fk(x)− gk(x)|pdx ≤∫Ω

|fk(x)− gk(x)||fk(x)− gk(x)|p−1dx

≤ 2p−1kp−1∫Ω

|fk(x)− gk(x)|dx < εp.

Từ đó ta rút ra bất đẳng thức∫Ω

|f(x)− gk(x)|pdx

1/p

≤

∫Ω

|fk(x)− gk(x)|pdx

1/p

+

∫Ω

|f(x)− fk(x)|pdx

1/p

.

Do đó

∫Ω

|f(x)− gk(x)|pdx

1/p

≤ 2ε. Định lí được chứng minh.

Định lý 5 (Tính khả li). Giả sử p ≥ 1 và Ω là một miền thuộc Rn. Tồntại một tập con đếm được các phần tử của không gian Lp(Ω), sao cho baotuyến tính của nó trù mật trong Lp(Ω).

Chứng minh. Giả sử R là một số hữu tỉ nào đó, x ∈ Rn. Kí hiệu Q(x,R)là hình hộp:

Q(x,R) = y ∈ Rn : |yi − xi| < R, i = 1, . . . , n

Giả sử f ∈ Lp(Ω) và ε > 0. Đặt f(x) = 0 với x /∈ Ω và xét f như mộthàm thuộc Lp(Rn). Chọn R đủ lớn, sao cho∫

Rn\Q(0,R)

|f(x)|pdx < εp.

9

Theo các định lí (3) và (4), tồn tại một hàm gR liên tục trong Q(0, R) saocho ∫

Q(0,R+1)

|f(x)− gR(x)|pdx < εp.

Bởi vì hàm gR liên tục trên Q(0, R + 1), nên nó liên tục đều trên Q(0, R).Do vậy, tồn tại một số δ sao cho

|gR(x)− gR(y)| < εR−n/p, x ∈ Q(0, R), y ∈ Q(0, R), |x− y| < δ.

Lấy δ = R√n2−N với N là một số nguyên nào đó để δ đủ nhỏ. Chia

hình hộp Q(0, R) thành các hình hộp nhỏ không giao nhau có độ dài cạnhlà R2−N và xét tập hợp S bao gồm các hàm đặc trưng χj(x) của các hìnhhộp này với mọi N . Đặt h(x) =

∑j

gR(xj)χj(x), ở đó xj là tâm các hình

hộp nhỏ. Khi đó

|gR(x)− h(x)| = |gR(x)− gR(xj)| < εR−n/p

nếu x thuộc vào hình hộp với tâm là xj. Ta có∫Q(0,R)

|gR − h|pdx ≤ εp.

Đặt gR(x) = 0, h(x) = 0 đối với x ∈ Rn\Q(0, R), ta nhận được∫Rn

|f(x)− h(x)|pdx

1/p

≤

∫Q(0,R)

|f(x)− h(x)|pdx

1/p

+

∫Rn\Q(0,R)

|f(x)|pdx

1/p

≤

∫Q(0,R)

|f(x)− gR(x)|pdx

1/p

+

∫Q(0,R)

|gR(x)− h(x)|pdx

1/p

+

∫Rn\Q(0,R)

|f(x)|pdx

1/p

≤

∫Q(0,R+1)

|f(x)− gR(x)|p

1/p

+

∫Q(0,R)

|gR(x)− h(x)|pdx

1/p

+

∫Rn\Q(0,R)

|f(x)|pdx

1/p

≤ 3ε.

10

Do vậy, tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các hàm χj trù mật trong Lp(Ω).Định lí được chứng minh.

Định lý 6. Giả sử f là một hàm xác định trên Rn và bằng 0 bên ngoàimiền Ω. Khi đó, nếu f ∈ Lp(Ω), 1 ≤ p <∞ thì fh ∈ Lp(Ω), ‖fh‖p ≤ ‖f‖pvà lim

h→0+‖fh − f‖p = 0.

Chứng minh. Giả sử f ∈ Lp(Ω), 1 < p < ∞. Với p′ =p

p− 1, do bất đẳng

thức Hoder ta có:

|fh(x)| =

∣∣∣∣∣∣∫Rn

f(y)ωh(|x− y|)dy

∣∣∣∣∣∣≤

∫Rn

ωh(|x− y|)dy

1/p

∫Rn

ωh(|x− y|)|f(y)|pdy

1/p

=

∫Rn

ωh(|x− y|)|f(y)|pdy

1/p

Giả sử η > 0. Do định lí (4), tồn tại hàm φ ∈ C0(Ω) sao cho ‖f−φ‖p <η

3.

Sử dụng định lý Fubini, ta có:

∫Ω

|φh(x)|pdx ≤∫Rn

∫Rn

ωh(|x− y|)|f(y)|pdydx

=

∫Rn

|f(y)|pdy∫Rn

ωh(|x− y|)dx = ‖f‖pp (5)

Suy ra ‖fh − φh‖p <η

3.

Mà

|φh(x)− φ(x)| =

∣∣∣∣∣∣∫Rn

ωh(|x− y|)(φ(y)− φ(x))dy

∣∣∣∣∣∣≤ sup|x−y|<ε

|φ(y)− φ(x)| (6)

11

Vì φ liên tục đều trên Ω nên vế phải của (6) dần đến 0 khi ε→ 0+. Mà

suppφ compact nên bằng cách chọn ε đủ bé ta có thể có ‖φh−φ‖ <η

3. Với

ε ấy ta được ‖fh − f‖ < η, từ đó ta có điều phải chứng minh.

1.4 Không gian L∞(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn. Giả sử f(x) là một hàm đođược trên Ω và bị chặn hầu khắp nơi trong Ω. Khi đó tồn tại một hằng sốC sao cho

|f(x)| ≤ C (7)

với hầu khắp x ∈ Ω. Kí hiệu cận dưới đúng của tập các số C thỏa mãn (7)là ess sup

x∈Ωf(x).

Ký hiệu L∞(Ω) là tập hợp các hàm f(x) đo được trên Ω và bị chặn hầukhắp trong Ω.

Ta trang bị cho L∞(Ω) chuẩn ‖f‖L∞(Ω) = ess supx∈Ω

f(x). Lúc đó ta có

L∞(Ω) với chuẩn này là một không gian tuyến tính định chuẩn.

Định lý 7. L∞(Ω) là một không gian đầy đủ.

Chứng minh. Giả sử fj(x)∞j=1 là một dãy Cauchy trong L∞(Ω). Khi đó

với mỗi ε > 0 tồn tại một số nguyên N(ε) sao cho

‖fk − fl‖L∞(Ω) ≤ ε, k ≥ N(ε), l ≥ N(ε).

Kí hiệu Ek,l = x ∈ Ω: |fk(x)− fl(x)| > ‖fk − fl‖L∞(Ω), E =∞⋃

k,l=1Ek,l.

Do mỗi Ek,l có độ đo không, nên E có độ đo không. Từ đó

|fk(x)− fl(x)| ≤ ‖fk − fl‖L∞(Ω)

với mọi x ∈ Ω\E và mọi k, l ≥ N(ε). Vậy với mỗi x ∈ Ω\E, fj(x)∞j=1 là

một dãy số Cauchy, nên nó hội tụ tới một số thực f(x). Với mỗi x ∈ E,đặt f(x) = 0. Cho l→∞ trong công thức trên ta nhận được

|fk(x)− f(x)| ≤ ε (8)

với mọi x ∈ Ω\E và mọi k ≥ N(ε). Do đó fk − f ∈ L∞(Ω).Mặt khác fk ∈ L∞(Ω), nên f = fk − (fk − f) thuộc L∞(Ω).Từ (8) ta có:

‖fk − f‖L∞(Ω) ≤ ε

với mọi k ≥ N(ε). Từ đây ta nhận được fk∞k=1 hội tụ đến hàm f trongkhông gian L∞(Ω). Định lí được chứng minh.

12

2 Không gian Sobolev

2.1 Đạo hàm suy rộng

Cho Ω là một miền không nhất thiết bị chặn trong Rn.Giả sử α = (α1, . . . , αn) là một vector với các thành phần nguyên không

âm. Hàm fα(x) ∈ L2loc(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α trong miền

Ω của hàm f(x) ∈ L2loc(Ω) nếu đối với hàm tùy ý g(x) ∈ C |α|0 (Ω) ta có đẳng

thức: ∫Ω

f(x)Dαg(x)dx = (−1)|α|∫Ω

fα(x)g(x)dx (9)

Nhận xét:

a) Đạo hàm riêng suy rộng (nếu có) của một hàm là duy nhất. Thật vậy,giả sử fα1 và fα2 là hai đạo hàm suy rộng của f(x). Khi đó:∫

Ω

(fα1 − fα2 )g(x)dx = 0

Nhưng fα1 − fα2 ∈ L2loc(Ω), suy ra fα1 − fα2 = 0 hầu khắp nơi trên Ω, hay

fα1 = fα2 hầu khắp nơi trên Ω.

b) Nếu f(x) ∈ C |α|(Ω) thì theo công thức Ostogradski ta có:∫Ω

f(x)Dαg(x)dx = (−1)|α|∫Ω

fα(x)g(x)dx

với hàm tùy ý g(x) ∈ C|α|0 (Ω). Có nghĩa là hàm f(x) có đạo hàm suy

rộng fα(x) bằng Dαf(x). Đặc biệt, nếu f là hàm hằng (hầu khắp nơi)trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tùy ý fα(x) = 0, |α| > 0.

c) Nếu g(x) là hàm trơn thì đạo hàm∂|α|g

∂xα11 . . . ∂xαn

nkhông phụ thuộc vào

thứ tự lấy vi phân, cho nên với công thức (9) và sự duy nhất của đạohàm suy rộng, ta có thể khẳng định đạo hàm suy rộng cũng không phụthuộc vào thứ tự lấy vi phân.

d) Nếu các hàm fi(x), i = 1, 2 có đạo hàm suy rộng Dαfi thì hàm c1f1+c2f2

với ci là các hằng số, cũng có đạo hàm suy rộng:

Dα(c1f1 + c2f2) = c1Dαf1 + c2D

αf2.

13

Ví dụ 1. Hàm f(x) = |x1| trên Ω = |x| < 1 có các đạo hàm suy rộng

cấp một∂f

∂x1= signx1,

∂f

∂xi= 0, i = 2, . . . , n. Thật vậy, với hàm tùy ý

g(x) ∈ C10(Ω) ta có:∫

Ω

|x1|∂g

∂x1dx =

∫Ω+

x1∂g

∂x1dx−

∫Ω−

x1∂g

∂x1dx,

trong đó Ω+ = Ω ∩ x1 > 0, Ω− = Ω ∩ x1 < 0. Theo công thứcOstrogradski (x1g = 0 trên ∂Ω và với x1 = 0):∫

Ω

|x1|∂g

∂x1dx = −

∫Ω+

gdx+

∫Ω−

gdx = −∫Ω

signx1.gdx

Do đó đạo hàm suy rộng theo x1 của hàm |x1| tồn tại và bằng hàmsignx1.

Với i ≥ 2 ta có:∫Ω

|x1|∂g

∂xidx =

∫Ω+

x1∂g

∂xi−∫

Ω−

x1∂g

∂xi= 0 = −

∫Ω

0.gdx

=

∫Ω+

|x1|∂

∂xi(g)−

∫Ω−

|x1|∂

∂xi(g)

nên hàm |x1| có đạo hàm suy rộng theo xi, i = 2, . . . , n, bằng 0.

Ví dụ 2. Hàm f(x) = signx trong |x| < 1 có đạo hàm suy rộng cấp

một∂f

∂xi= 0, i = 2, . . . , n, nhưng không có đạo hàm suy rộng

∂f

∂x1.

Chứng minh. Sự tồn tại∂f

∂xi, i = 2, . . . , n được chứng minh hoàn toàn

tương tự như chứng minh ở ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh không có đạo

hàm suy rộng∂f

∂x1. Thật vậy, nếu tồn tại hàm h ∈ L2

loc(Ω) là đạo hàm

suy rộng của f theo x1 thì với g(x) tùy ý thuộc C10(Ω) ta có:∫

Ω

hgdx = −∫Ω

(signx1)∂g

∂x1dx = −

∫Ω+

∂g

∂x1dx+

∫Ω−

∂g

∂x1dx

= 2

∫Ω∩x1=0

gdx2 . . . dxn.(10)

14

Do (10) h = 0 (hầu khắp nơi) trên Ω. Thật vậy, đặt vào (10) một hàmtùy ý g(x) ∈ C1

0(Ω) bằng 0 trên Ω− ta được∫

Ω+

hgdx = 0, tức là h = 0

(hầu khắp nơi) trên Ω+. Một cách tương tự ta được h = 0 (hầu khắpnơi) trên Ω−. Như vậy với hàm tùy ý g(x) ∈ C1

0(Ω) ta có∫Ωhgdx = 0,

tức là∫

Ω∩x1=0g(x)dx2 . . . dxn = 0, điều này không thể xảy ra với hàm

tùy ý g(x) ∈ C10(Ω).

Vậy không tồn tại đạo hàm suy rộng∂f

∂x1.

e) Nếu hàm f(x) ∈ L2loc(Ω) có đạo hàm suy rộngDαf = F còn hàm F (x) có

đạo hàm suy rộng DβF = G thì tồn tại đạo hàm suy rộng Dα+βf = G.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử g(x) ∈ C |α+β|0 (Ω). Vì Dβg ∈ C |α|0 (Ω) nên∫

Ω

fDα+βgdx = (−1)|α|∫Ω

DαfDβgdx

= (−1)|α|∫Ω

FDβgdx

= (−1)|α|+|β|∫Ω

DβFgdx

= (−1)|α+β|∫Ω

Ggdx.

f) Nếu hàm f(x) có đạo hàm suy rộng Dαf trên Ω và f(x) = c (hầu khắpnơi) trên Ω′ ⊂ Ω thì Dαf = 0 (hầu khắp nơi) trên Ω.

g) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng Dαf được xác định ngayđối với cấp |α| không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tương ứngtồn tại. Các đạo hàm cấp thấp có thể không tồn tại.

Ví dụ 3. Xét hàm f(x) = ϕ1(x) + ϕ2(x) trên Ω = |x| < 1, trong đóϕi(x) = signxi, i = 1, 2. Với ví dụ 2 ta thấy f(x) không có đạo hàm suy

rộng∂f

∂x1và

∂f

∂x2. Song tồn tại đạo hàm suy rộng

∂2f

∂x1∂x2.

15

Chứng minh. Thật vậy giả sử g(x) ∈ C20(Ω) là một hàm tùy ý. Ta có∫

Ω

∂2g

∂x1∂x2fdx =

∫Ω

ϕ1(x)∂2g

∂x1∂x2dx+

∫Ω

ϕ2(x)∂2g

∂x1∂x2dx

Ngoài ra∫Ω

ϕ1(x) · ∂2g

∂x1∂x2dx = −

∫Ω∩x1<0

∂2g

∂x1∂x2dx+

∫Ω∩x1>0

∂2g

∂x1∂x2dx = 0

Tương tự ta có: ∫Ω

ϕ(x2) ·∂2g

∂x1∂x2dx = 0

Nên ∫Ω

f∂2g

∂x1∂x2dx = 0 =

∫Ω

0.gdx,

tức là đạo hàm suy rộng∂2f

∂x1∂x2tồn tại và bằng 0.

2.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 6. Giả sử k là một số nguyên không âm. Không gian SobolevHk(Ω) gồm những hàm f ∈ L2(Ω) sao cho Dαf ∈ L2(Ω) với đa chỉ số tùyý α, |α| ≤ k.

Nếu thay L2(Ω) bằng L2loc(Ω) thì ta có không gian Hk

loc(Ω). Với k = 0 taquy ước:

H0(Ω) = L2(Ω), H0loc(Ω) = L2

loc(Ω)

Rõ ràng Hk(Ω) và Hkloc(Ω) là các không gian tuyến tính. Ta đưa vào Hk(Ω)

tích vô hướng

〈f, g〉Hk(Ω) =∑|α|≤k

∫Ω

DαfDαgdx (11)

và chuẩn tương ứng là

‖f‖Hk(Ω =

∑|α|≤k

∫Ω

|Dαf |2dx

1/2

(12)

16

Nhận xét: Từ định nghĩa của không gian Hk(Ω) cùng với các tính chất củađạo hàm suy rộng, ta rút ra một số nhận xét sau:

a) Nếu Ω′ ⊂ Ω và f ∈ Hk(Ω) thì f ∈ Hk(Ω′).

b) Nếu f ∈ Hk(Ω), α(x) ∈ Ck(Ω) thì af ∈ Hk(Ω). Ta có thể tínhDα(af), |α| ≤k theo quy tắc lấy vi phân thông thường đối với tích hai hàm.

Định lý 8. Hk(Ω) là không gian Hilbert.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Hk(Ω) với chuẩn (12) là đầy đủ.Giả sử fm,m = 1, 2, . . . là dãy cơ bản tùy ý các phần tử của Hk(Ω)

theo chuẩn (12), tức là ‖fs− fm‖2Hk(Ω) =

∑|α|≤k

∫Ω|Dαfs−Dαfm|2dx→ 0 khi

m, s→∞.Suy ra với α thỏa mãn |α| ≤ k ta có:∫

Ω

|Dαfs −Dαfm|2dx→ 0, khi m, s→∞ (13)

Với α = 0 ta được∫Ω

|fs − fm|2dx→ 0, khi m, s→∞ (14)

Mà L2(Ω) đầy đủ nên từ (14) ta khẳng định tồn tại một hàm f ∈ L2(Ω)sao cho dãy fm, m = 1, 2, . . . hội tụ trong L2(Ω) đến f , và từ (13) với αtùy ý, |α| ≤ k tồn tại các hàm fα ∈ L2(Ω) sao cho dãy Dαfm, m = 1, 2, . . .hội tụ đến fα trong L2(Ω).

Vì mỗi hàm fm(x) có các đạo hàm suy rộng Dαfm, |α| ≤ k nên

〈fm, Dαg〉L2(Ω) = (−1)|α|〈Dαfm, g〉L2(Ω), |α| ≤ k,

với hàm tùy ý g ∈ Ck0 (Ω). Cho m→∞, ta được

〈f,Dαg〉L2(Ω) = (−1)|α|〈fα, g〉ta suy ra fα = Dαf . Như vậy, f ∈ Hk(Ω). Mặt khác:

‖fm − f‖2Hk(Ω) =

∑|α|≤k

∫Ω

|Dαfm −Dαf |2

=∑|α|≤k

〈Dαfm −Dαf,Dαfm −Dαf〉L2(Ω)

=∑|α|≤k

(〈Dαfm, Dαfm〉 − 〈Dαfm, D

αf〉 − 〈Dαf,Dαfm〉

+ 〈Dαf,Dαf〉)

17

Suy ra ‖fm−f‖2Hk(Ω) → 0 khi m→∞. Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 9 (Sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa). Giả sửΩ là một miền trong không gian Rn, Ω′ là miền con của Ω sao cho khoảngcách giữa Ω′ và ∂Ω bằng d > 0. Khi đó, đối với 0 < h < d và x ∈ Ω′, ta có:

(Dαf)h(x) = Dαfh(x).

trong đó f ∈ Lp(Ω), fh là trung bình hóa.

Chứng minh. Do 0 < h < d và x ∈ Ω′, và hàm f(x− yh

) ∈ C∞0 (Ω) đối với

x ∈ Ω′, nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta nhận được

Dαfh(x) = Dαx

1

hn

∫Rn

ω(x− yh

)f(y)dy

=1

hn

∫Ω

(−1)|α|Dαyω(

x− yh

)f(y)dy

=1

hn

∫Ω

ω(x− yh

)Dαy f(y)dy = (Dαf)h(x)

Định lí được chứng minh.

Định lý 10. Cho f ∈ Hk(Ω), fh(x) là hàm trung bình đối với f thì đối vớimiền con tùy ý Ω′, Ω′ ⊂⊂ Ω thì ta có:

limh→0‖fh − f‖Hk(Ω) = 0

Chứng minh. Từ định lí (9), ta có:

‖fh − f‖Hk(Ω′) =

∑|α|≤m

∫Ω′

|Dα(fh − f)|pdx

1/p

=

∑|α|≤m

∫Ω′

|(Dαf)h −Dαf |pdx

1/p (15)

Đặt vα = Dαf . Từ định lí (6) suy ra∫Ω′

|(vα)h − vα|pdx→ 0, khi h→ 0

18

Từ đây và (15) ta nhận được

‖fh − f‖Hk(Ω′ → 0, khi h→ 0

Định lí được chứng minh.

Định lý 11. Giả sử dãy (un)n các phần tử của không gian Hk(Ω) bị chặn:‖un‖Hk(Ω) ≤ C, C = const. Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong khônggian Lp(Ω) tới một hàm u(x) khi n → ∞. Khi đó (un)n hội tụ yếu trongkhông gian Lp(Ω) tới hàm u(x) ∈ Hk(Ω) và ‖u‖Hk(Ω) ≤ C.

Chứng minh. Ta có:∫Ω

ϕ(x)Dαuj(x)dx = (−1)|α|∫Ω

uj(x)Dαϕ(x)dx

ở đó ϕ(x) ∈ C∞0 (Ω). Điều này kéo theo dãy Dαuj(x)∞j=1 hội tụ yếu trong

Lp(Ω) tới hàm vα(x). Ta có:∫Ω

ϕ(x)vα(x)dx = (−1)|α|∫Ω

u(x)Dαϕ(x)dx, ∀ϕ(x) ∈ C∞(Ω).

Do đó đạo hàm suy rộng Dαu(x) tồn tại và bằng vα(x). Hơn nữa,

‖Dαu(x)‖pLp(Ω) ≤ limj→∞

∫Ω

|Dαu(x)|p−2Dαu(x)Dαuj(x)dx

≤ ‖Dαu(x)‖p−1Lp(Ω) lim

j→∞supj‖Dαuj(x)‖Lp(Ω)

Từ đó nhận được u ∈ Hk(Ω), ‖u‖Hk(Ω) ≤ C. Định lí được chứng minh.

Định lý 12 (Tính trù mật). Cho Ω là một miền trong Rn. Giả sử biên∂Ω ∈ Ck. Khi đó tập hàm C∞(Ω) trù mật khắp nơi trong Hk(Ω).

Định lý 13 (Tính tách được). Giả sử Ω là một miền với ∂Ω ∈ Ck. Khiđó, không gian Hk(Ω) tách được.

2.3 Không gian Hk0 (Ω)

Định nghĩa 7. Không gian Hk0 (Ω) là bao đóng của C∞0 (Ω) trong chuẩn

của không gian Hk(Ω). Với C∞0 (Ω) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạnvà có giá compact trên Ω.

19

Định lý 14. Giả sử u(x) ∈ Hk(Ω) và suppu(x) = clx ∈ Ω | u(x) 6=0 ⊂⊂ Ω. Khi đó u(x) ∈ Hk

0 (Ω).

Chứng minh. Giả sử fh(x) là trung bình hóa của hàm f(x). Bởi vì fh(x)khả vi vô hạn và có giá compact, hơn nữa fh(x)→ f(x) trong không gianHk(Ω) khi h → 0. Từ đó nhận được điều khẳng định của định lí. Định líđược chứng minh.

3 Nghiệm suy rộng của phương trình loại elliptic

3.1 Các bài toán biên

Trong một miền bị chặn Ω ⊂ Rn cho phương trình elliptic cấp hai:

L(u) = k(x)∆u+n∑i=1

∂k

∂xi

∂u

∂xi− a(x)u = f(x) (16)

trong đó các hệ số k(x), a(x) thực và thỏa mãn điều kiện a(x) ∈ C(Ω),

k(x) ∈ C1(Ω), k(x) ≥ k0 > 0 ∀x ∈ Ω; ∆u =n∑i=1

∂2(u)

∂x2i

. Số hạng tự do f(x)

và hàm u(x) có thể coi là hàm số phức.(16) có thể được viết gọn lại như sau:

L(u) = div(k(x)∇u)− a(x)u = f(x)

với

∇u = (∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn).

Định nghĩa 8. Bài toán biên thứ nhất (hay bài toán Dirichlet) đối vớiphương trình (16) là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (16) vàđiều kiện biên:

u|∂Ω = ϕ(x) (17)

Định nghĩa 9. Bài toán biên thứ ba đối với phương trình (16) là bài toántìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (16) và thỏa mãn điều kiện(

∂u

∂n+ σ(x)u

)∣∣∣∣∂Ω

= ϕ(x) (18)

với σ(x) ∈ C(∂Ω) và ϕ(x) là những hàm đã cho.

Ta coi σ(x) ≥ 0. Nếu σ(x) ≡ 0 thì bài toán biên thứ ba được gọi là bàitoán biên thứ hai (hay là bài toán Neuman).

20

3.2 Nghiệm suy rộng

Định nghĩa 10. Hàm u(x) ∈ H1(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bàitoán Dirichlet đối với phương trình (16) và f ∈ L2(Ω) nếu u(x) thỏa mãnthỏa mãn đồng nhất thức tích phân∫

Ω

(k(x)∇u∇v + auv)dx = −∫Ω

fvdx (19)

đối với mọi hàm v ∈ H10(Ω) và thỏa mãn điều kiện

u|∂Ω = ϕ(x) (20)

Ký hiệu ∇u =

(∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn

).

Đẳng thức (20) được hiểu là sự bằng nhau trong L2(Ω).

Định nghĩa 11. Hàm u(x) ∈ H1(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bàitoán biên thứ ba đối với phương trình (16) khi f ∈ L2(Ω), ϕ ∈ L2(∂Ω) nếuu(x) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân∫Ω

(k(x)∇u∇v + auv)dx+

∫∂Ω

k(x)σ(x)uvds = −∫Ω

fvdx+

∫∂Ω

k(x)ϕ(x)vds

(21)trong đó v ∈ H1(Ω) bất kỳ.

Nhận xét: Khi định nghĩa nghiệm suy rộng, hàm v trong các đồngnhất thức (19) va (21) đã được giả thiết là phức. Tuy nhiên cũng có thể coilà các hàm thực. Thật vậy, xét trong (19) nếu hàm u ∈ H1(Ω) thỏa mãnvới mọi v ∈ H1

0(Ω) phức thì nó thỏa mãn với mọi hàm thực v ∈ H10(Ω).

Ngược lại nếu u ∈ H1(Ω) thỏa mãn (19) với mọi hàm thực v ∈ H10(Ω). Khi

đó đẳng thức xảy ra với mọi hàm phức v = Rev + iImv thuộc H10(Ω) vì nó

đã đúng với Rev và Imv.

3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán biên khia(x) ≥ 0

Ta chỉ xét bài toán biên trong trường hợp các điều kiện thuần nhất (tứchàm ϕ đồng nhất bằng 0). Khi đó, các đồng nhất thức tích phân (19) và(21) chuyển thành ∫

Ω

(k(x)∇u∇v + auv = −∫Ω

fvdx (19’)

21

và ∫Ω

(k∇u∇v + auv)dx+

∫Ω

kσuvds = −∫Ω

fvdx (21’)

Định lý 15. Nếu a(x) ≥ 0 trong Ω thì với mọi f ∈ L2(Ω) bài toán biênthứ nhất (khi ϕ ≡ 0) có nghiệm suy rộng duy nhất u. Hơn nữa

‖u‖H10 (Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω) (22)

trong đó C > 0 là hằng số, không phụ thuộc vào f .

Chứng minh. Vì a(x) ≥ 0 trong Ω nên trong không gian H10(Ω) ta có thể

đưa vào một tích vô hướng mới (tương đương với tích vô hướng thôngthường 〈u, v〉 =

∫Ω

(∇u∇v + uv)dx) như sau:

〈u, v〉H10 (Ω) =

∫Ω

(k∇u∇v + auv)dx (23)

Với tích vô hướng này thì đồng nhất thức (19’) trở thành

〈u, v〉H10 (Ω) = −〈f, v〉L2(Ω) (24)

Ta có ∣∣〈f, v〉L2(Ω)∣∣ ≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω)

≤ C‖f‖L2(Ω)‖v‖H10 (Ω)

với C > 0 là hằng số, không phụ thuộc vào f và v.Như vậy, với f ∈ L2(Ω) cố định thì 〈f, v〉L2(Ω) là phiếm hàm tuyến tính

bị chặn và có chuẩn không vượt quá C‖f‖L2(Ω) đã được cho trên H10(Ω),

v ∈ H10(Ω).

Nhờ định lí Rietz ta nhận được sự tồn tại duy nhất hàm F1 ∈ H10(Ω) sao

cho −〈f, v〉L2(Ω) = 〈F1, v〉H10 (Ω) và ‖F1‖H1

0 (Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω), nghĩa là F1 = u

thỏa mãn (24).

Định lý 16. Nếu a(x) ≥ 0 trên Ω và một trong hai hàm a(x) hay σ(x)không đồng nhất bằng không thì với f ∈ L2(Ω) bất kì, bài toán biên (16),(18) có nghiệm suy rộng duy nhất u. Hơn nữa

‖u‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω)

trong đó C > 0 là hằng số, không phụ thuộc f .

22

Chứng minh. Giả sử a(x) ≥ 0 trong Ω và hoặc a(x) ≡ 0 hoặc σ(x) ≡ 0.Khi đó, trong H1(Ω), ta xét chuẩn tương đương với chuẩn thông thườngsau đây:

〈u, v〉H1(Ω) =

∫Ω

(k∇u∇v + auv)dx+

∫∂Ω

kσuvds

và đồng nhất thức (21’) được biểu diễn lại dưới dạng:

〈u, v〉H1(Ω) = −〈f, v〉L2(Ω) (25)

Vì f ∈ L2(Ω) cho trước nên phiếm hàm −〈f, v〉L2(Ω) được cho trên H1(Ω)là bị chặn: ∣∣〈f, v〉L2(Ω)

∣∣ ≤ ‖f‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω)‖v‖H1(Ω)

với C > 0 là hằng số, không phụ thuộc vào f và v. Theo định lí Rietz, tồntại hàm F2 ∈ H1(Ω) và

〈f, v〉L2(Ω) = −〈F2, v〉H1(Ω).

Ngoài ra, F2 là duy nhất, ‖F2‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω).

Do đó, trong H1(Ω) tồn tại duy nhất hàm u = F2 thỏa mãn đồng nhấtthức (25).

3.4 Tính giải được của các bài toán biên trong trường hợp tổngquát của a(x)

Trong trường hợp tổng quát của a(x) , cũng đã có một số kết quả vềtính giải được của các bài toán biên. Song các chứng minh lại khá dài vàphức tạp. Tôi chỉ nêu các kết quả chính. Để nắm được các kết quả này thìcần có một số khái niệm cơ bản sau:

Định nghĩa 12. Hàm u(x) 6= 0 được gọi là hàm riêng của bài toán biênthứ nhất đối với toán tử L = div(k(x)∇) − a(x) nếu tồn tại số λ sao chohàm u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) thỏa mãn bài toán:

Lu = λu, x ∈ Ω

u|∂Ω = 0

Số λ được gọi là giá trị riêng (tương ứng với hàm riêng u(x)).

23

Tương tự, hàm u(x) 6= 0 được gọi là hàm riêng của bài toán biên thứ ba(thứ hai) đối với toán tử L nếu tồn tại số η sao cho u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)thỏa mãn:

L(u) = ηu, x ∈ Ω(∂u

∂n+ σ(x)u

)∣∣∣∣∂(Ω)

= 0

Rõ ràng, ứng với mỗi hàm riêng là một giá trị riêng duy nhất. Điều ngượclại không đúng. Mặt khác, vì nếu u(x) là hàm riêng thì Cu(x) (C là hằngsố khác không) cũng là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng đó nên ta cóthể coi ‖u‖L2(Ω) = 1.

Định nghĩa 13. Hàm u(x) ∈ H10(Ω), u(x) 6= 0 được gọi là hàm riêng suy

rộng của bài toán biên thứ nhất đối với toán tử L nếu tồn tại số λ sao chohàm u thỏa mãn với mọi v ∈ H1

0(Ω):∫Ω

(k∇u∇v + auv)dx = −∫Ω

uvdx

Số λ được gọi là giá trị riêng suy rộng (tương ứng với hàm riêng suy rộngu(x)).

Ta có thể coi ‖u‖L2(Ω) = 1.

Định nghĩa 14. Hàm u(x) 6= 0, u(x) ∈ H1(Ω), được gọi là hàm riêng suyrộng của bài toán biên thứ ba (hoặc thứ hai) đối với toán tử L nếu tồn tạisố λ (giá trị riêng tương ứng với u(x)) sao cho hàm u(x) thỏa mãn với mọiv ∈ H1(Ω) đồng nhất thức sau đây:∫

Ω

(k∇u∇v + auv)dx+

∫∂(Ω)

kσuvds = −λ∫Ω

uvdx

Ta cũng coi ‖u‖L2(Ω) = 1.

Nhận xét: Nếu u(x) là hàm riêng suy rộng của các bài toán biên và λlà giá trị riêng suy rộng tương ứng thì đối với bài toán biên thứ nhất thêmgiả thiết u(x) ∈ H1(Ω), và bài toán biên thứ ba (thứ hai) thêm giả thiếtu(x) ∈ H1(Ω), khi đó u(x) sẽ là hàm riêng suy rộng của các bài toán biêntương ứng.

Một số kết quả chính của sự tồn tại nghiệm suy rộng của các bài toánbiên được thể hiện trong những định lí sau:

24

Định lý 17. Nếu số 0 không là giá trị riêng của các bài toán biên (16)-(17)và (16)-(18) thì với mọi f ∈ L2(Ω) các bài toán biên tương ứng có một vàchỉ một nghiệm suy rộng u(x). Hơn nữa

‖u‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω),

trong đó C là hằng số dương, không phụ thuộc vào f .

Định lý 18. Giả sử số 0 là giá trị riêng của bài toán biên thứ nhất hoặcthứ ba (thứ hai) đối với toán tử L. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán(16)-(17) và (16)-(18) tồn tại nghiệm suy rộng khi các điều kiện biên thuầnnhất (ϕ = 0) là 〈f, up〉L2(Ω) = 0 với mọi up là các hàm riêng suy rộng củabài toán tương ứng ứng với giá trị riêng bằng 0. Tồn tại duy nhất nghiệmu của bài toán (16)-(17) và (16)-(18) (khi ϕ = 0) trực giao với tất cả cáchàm riêng này:

〈u, up〉L2(Ω) = 0 và ‖u‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω)

trong đó C là hằng số, không phụ thuộc f . Hơn nữa, một nghiệm bất kì biểudiễn được dưới dạng tổng của nghiệm này với tổ hợp tuyến tính nào đó củaup.

Định lý 19. Điều kiện cần và đủ để bài toándiv(k(x)∇u) = f∂u

∂n

∣∣∣∣∂Ω

= 0

có nghiệm suy rộng là ∫Ω

fdx = 0

Với điều kiện này bài toán có nghiệm suy rộng duy nhất u thỏa mãnđiều kiện

∫Ωudx = 0 và có đánh giá

‖u‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω),

trong đó C > 0 là hằng số không phụ thuộc f . Hơn nữa, nghiệm suy rộngbất kì ũ của bài toán này đều biểu diễn được dưới dạng

ũ = u+ C1, C1 là hằng số.

25

Tài liệu

[1] Phạm Ngọc Thao (CB), Giáo trình Toán đại cương, phần II: Giải tích,NXB Đại học quốc gia Hà Nội 1998.

[2] Lương Hà, Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân, Huế 1997.

[3] Nguyễn Hoàng - Lê Văn Hạp, Giáo trình Giải tích hàm, Huế, 2002.

[4] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, phần II, NXBĐHSP, 2006.

[5] Nguyễn Minh Chương (CB), Phương trình đạo hàm riêng, NXBGD2000.

[6] Adams A.R.R, Sobolev space, Academic Press New-York San FraciscoLondon,1975.

[7] Lawrence C. Avans, Partial Differential Equations,volume 19, Ameri-can Mathematiclal Society.

26