KI2141 2010 SIK Part02 Tehnik dan Aplikasi Teori Kuantum

7/29/2019 KI2141 2010 SIK Part02 Tehnik dan Aplikasi Teori Kuantum

1/25

1. Tehnik dan Aplikasi Teori Kuantum

Untuk mengetahui sifat bagi sebuah partikel, perlu dicari penyelesaian persamaan Schrodingernya.

Terutama Penyelesaian bagi gerak partikel untuk gerak translasi, rotasi dan vibrasi.

Energi bagi suatu partikel disimpan dalam bentuk gerak translasi, vibrasi dan rotasi ini. Ini yangmenjadi dasar bagi kita untuk mencari penyelesaian fungsi gelombang yang sesuai dengan

gerakan bagi persamaan Schrodingernya.

1.1. Gerak Translasi

Persamaan Umum Schrodinger bagi partikel bebas adalah:

2m

d2

dx2=E

Atau dalam bentuk yang sederhana

H=E dengan H=2

2m

d2

dx2

Penyelesaian umum bagi persamaan Schrodinger tersebut adalah:

k=AeikxB eikx dengan EK=

k22

2m

Dan dengan hubungan

ekx=cosxi sin x

Makak=A e

ikx+B eikx

=A(cos kx+ isin kx )+B(cos kxi sin kx)=(A+B)cos kx+(AB)i sin kx

Dengan melihat keadaan fisik yang sesungguhnya maka akan dapat ditentukan penyelesaian

khususnya seperti pada kuliah terdahulu.

Beberapa yang harus menjadi perhatian:

Kondisi batas harus diperhatikan dalam mencari penyelesaian persamaan Schrodinger.

Fungsi gelombang harus ternormalisasi

Penyelesaian akan memberikan sifat kuantisasi.

Terdapat sifat ortogonal bagi fungsi gelombang yang saling menghilangkan.

Rochliadi/KI2141-2010-SIK-Part02_TehnikDanAplikasiTeoriKuantum.odt/Page 1 of 25


2/25

1.2. Gerak bagi suatu partikel dalam kotak 2 dimensi atau lebih..

Bila partikel berada dalam suatu kotak dua dimensi dengan ukuranL1 pada arahx danL2 pada arah

y maka persamaan Schrodinger menjadi;

2

2 m 2

x22

y 2 =E Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger 2 dimensi ini maka perlu dilakukan pemisahan

variabel (Separation Variable).

1.3. Metoda Separasi

Persamaan fungsi gelombang klasik dan juga persamaan Schrodinger merupakan persamaan diferensialparsial. Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger 2 atau 3 dimensi dilakukan dengan menggunakan

metoda separasi.

Suatu persamaan u(x,t) dapat dipisahkan menjadi suatu persamaan dalam fungsix, dan dalam fungsi t.

u (x , t)=X(x)T(t)

Misal untuk persamaan gelombang

2u x , t

x2=

1

v2

2 u x , t

t2

Dengan mensubtitusi akan diperoleh

Ttd2Xx

dx2

=1

v2

Xxd2Tt

dt2

Bila dibagi u x ,t=XxTt akan diperoleh

1

Xx d

2Xxdx

2=

1

v2

Tt

d2

Ttdt

2

Terlihat bahwa bagian kiri Persamaan merupakan fungsi darix saja dan sisi kanan merupakan fungsi dari

t. Karena kedua variabel merupakan variabel yang independent (bebas) kedua persamaan dapatdivariasikan secara bebas. Keduanya bernilai sama bila pada setiap variasix dan tdengan nilai

persamaannya merupakan suatu konstantaK. Dengan cara ini maka dapat diperoleh


2


3/25

1

Xx

d2Xx

dx2

=K

Dan

1

v2Tt

d2Tt

dt2

=K

Konstata K adalah konstanta separasi dan dapat ditentukan kemudian. Persamaan kemudian dapat ditulis

ulang menjadi

d2Xx

dx2

KXx=0

Dan

d2

Tt

dt2

K v2Tt=0

Persamaan dan dikenal sebagai persamaan diferensial biasa. Kedua persamaan adalah persamaan linear,

dan koefisien yang terkait pada variabel merupakan suatu konstanta. Persamaan terakhir ini dapat

diselesaikan dengan mudah.

NilaiKpada persamaan dan akan ditentukan. Saat ini tidak diketahui apakah bernilai positif, negatif atau

Nol.

Asumsi bila K=0Hasil integrasi persamaan dan akan memberikan

Xx=a1xb1

Dan

Tt=a2 tb2

a dan b adalah konstanta integrasi dan dapat dicari dengan memperhatikan kondisi batas, yaitu.

u 0, t=X0Tt=0

Dan

u l , t=XlTt=0

Karena Tt tidak bernilai nol dapat semua t, maka tentunya

X0=0 dan Xl=0

Untuk K0

d2

y

dx2k2y (x)=0

d2 y

dx2=k2y x

Dengan kmerupakan konstanta. Dan merupakan pangkat dua agar hargaKselalu pasti > 0. Solusi umum

untuk persamaan diferensial linear dengan konstanta yang sisi kanannya bernilai nol memiliki solusidalam bentuk y x =e

x , dengan merupakan konstanta yang akan ditentukan kemudian. Denganini maka Persamaan menjadi


3


4/25

2k2y x=0

Ini dapat dipenuhi bila2 2( )k atau ( )y x bernilai nol. Karena ( ) 0y x = adalah penyelesaian

trivial maka 2k2=0 sehingga

k =

Jadi terdapat 2 buah solusi yaitu ( ) kxy x e= dan ( ) kxy x e=Solusi umum persamaan akhirnya adalah

1 2( )kx kxy x c e c e= +

Untuk 0K yang besarnya0V = fungsi gelombang menjadi

{ }1/2

' ' 2ikx ikxA e B e k mE = + =h


7


8/25

Fungsi gelombang yang lengkap adalah fungsi gelombang untuk partikel yang bergerak ke kanan,

partikel yang dipantulkan, fungsi gelombang pada barrier yang amplitudonya berubah dan fungsi

gelombang partikel yang berpropagasi setelah melewati barirer. Semua fungsi gelombang ini

harus kontinue pada daerah-daerah batasnya. Yaitu pada 0x = dan x L= dan harus menjadicatatan bahwa nilai 0e . Maka berlaku aturan batas.

' 'L L ikL ikLA B C D Ce De A e B e + = + + = +

Kemiringan pada boundaries juga harus bersifat kontinu maka;

' 'L L ikL ikL

ikA ikB C D

Ce De ikA e ikB e

=

=

Terdapat 4 buah persamaan dan 6 konstanta yang tidak diketahui. Jika partikel bergerak dari kirike kanan, maka tidak akan ada partikel yang bergerak ke arah kiri pada daerah di sebelah kanan

barrier. Dengan demikian maka harga ' 0B = .


8


9/25

Keboleh jadian suatu partikel bergerak ke arah sumbu x positif pada sisi sebelah kiri dari barrier

akan proporsional dengan2

A dan kebolehjadian partikel bergerak ke arah kanan dari barrier

adalah2

'A . Rasio perbandingan kedua ini yang disebut kebolehjadian probabilitas.

( )12

116 (1 )

L Le eT

= +

Dengan /E V = . Plot dari fungsi diatas dapat dilihat pada Gambar Berikut.

Untuk barier yang lebar dan memiliki energi tinggi ( 1L ? ) persamaan di atas memilikibentuk yang lebih sederhana yaitu,

( ) 216 1 LT e =

Kebolehjadian transmisi berkurang secara eksponensial sejalan dengan bertambahnya ketebalan

barrier. Partikel dengan massa yang keci akan lebih mudah mengalami efek tunneling

dibandingkan dengan partkel yang lebih besar. Tunneling sangat memiliki peran yang besar pada elektron dan muon, dibandingkan dengan

partikel yang berat seperti proton.


9


10/25


10


11/25

1.7. Gerak Vibrasi

Sebuah partikel akan mengalami gerakan harmonik bila partikel tersebut memiliki gaya balik

(restoring force) yang besarnya setara dengan gerakan yang terkait dengan posisinya

(displacement) yang besarnya adalah

F kx= Dengan kadalah konstanta gaya yang menunjukkan besarnya kekakuan dari pegas, makin besar

nilai kmaka makin kaku pegas tersebut.

Gaya berkaitan dengan energi potensial melalui hubungandV

Fdx

= sehingga besarnya

potensial yang terkait dengan gaya ini adalah

21

2V kx=

Dengan demikian ungkapan persamaan Schrodinger bagi partikel yang mengalami gerak harmonik

adalah

2 22

2

1

2 2

dkx E

m dx

+ =

h

Bentuk potensial energi bagi osilator harmonik adalah

Bagaimana hubungan antara k dengan bentuk kurva ?

1.8. Tingkat energi

Syarat batas yang harus dipenuhi saat menyelesaikan persamaan Schrodinger bagi osilator

harmonik adalah 0 pada x = = , dengan syarat batas ini akan diperoleh bahwa tingkat

energi yang diperbolehkan adalah:1

( ) 0,1, 2,...

2v

kE v v

m

= + = =

h


11


12/25

Pada energi potensial harmonik, selisih tiap tingkat energi adalah sama dan besarnya adalah h

dengan ( )1/2

/k m = . Pada keadaan energi terendahpun sebuah sistem dalam osilatorharmonik akan memiliki besar energi tertentu (tidak berharga nol).

1.9. Bentuk persamaan fungsi gelombang suatu partikel yang terperangkap dalam osilator

harmonik.

Persamaan gelombang yang merupakan penyelesaian dari suatu partikel dalam suatu osilator

harmonik akan mengikuti bentuk,

polinomial dalam fungsi Gausian dengan bentuk lonceng( ) ( ) ( )xx N = Bentuk persamaannya adalah;

2

1/42

/2( ) ( ) yv v vx

x N H y e ymk

= = = h

Nadalah merupakan fungsi normalisasi, ( )vH y adalah suatu fugnsi polinomial Hermit yang

besarnya adalah;


12


13/25

Polinomial hermit adalah merupakan penyelesaian untuk persamaan diferensial dengan bentuk

" '2 2 0v v vH y H v H + =

Sifat dari polinomial hermit adalah

2

1/2

0 jika '

' 2 ! jika 'vy dy v v

v v v v vH H e

=

= Misal untuk 0v = bentuk persamaan fungsi gelombang adalah

2

2 2

/20 0

/2

0

( ) y

x

x N e

N e

=

=

Besarnya kerapatan-kebolehjadian untuk fungsi gelombang dengan 0v = adalah2 22 2 /

0 0( )xx N e

=


13


14/25

Bentuk kurva ternormalisasi dan distribusi kebolehjadian untuk tingkat energi terendah dan

tingkat tereksitasi yang pertama bagi osilator harmonik.

Lima fungsi pertama yang ternormalisasi bagi persamaan fungsi gelombang osilator harmonik


14


15/25

Distribusi kebolehjadian bagi 5 tingkat energi pertama dan keadaan tingkat energi ke 20. Terlihat

bahwa kebolehjadian akan membesar pada daerah titik balik osilator harmonik.

Beberapa catatan untuk fungsi gelombang osilator harmonik;

Besarnya nilai fungsi Gausian akan dengan cepat menuju nol saat displacement bertambah,

sehingga fungsi gelombang akan bernilai nol pada displacement yang jauh.

Fungsi eksponen 2y adalah sebanding dengan 2 1/2( )x mk , sehingga fungsi gelombangakan semakin cepat bernilai nol bila massa semakin besar atau pegas semakin kaku.

Bila v semakin besar, polinomial Hermit akan semakin besar pada displacement yang besar,sehingga fungsi gelombang makin besar sebelum bagian dari fungsi Gausian meredam fungsi

gelombang. Akibatnya fungsi gelombang akan makin melebar dengan bertambahnya v .

1.10. Gerak Rotasi dua dimensi (partikel dalam cincin)

Suatu partikel dengan massa m bergerak mengikuti suatu lingkaran dengan radius r pada suatubidang-xy, akan memiliki energi total yang sama dengan energi kinetiknya, karena 0V = padasemua daerah gerak dari partikel.


15


16/25

Besarnya momentum sudut bagi suatu partikel yang bergerak melingkat pada radius r di bidangxy adalah merupakan suatu vektor sebesarJ.

Untuk keadaan ini berlaku2 / 2E p m= .

Dari mekanika klasik, besarnya momentum sudut zJ adalah zJ pr= , sehingga energi dapatdiungkapkan sebagai

2 2/ 2zJ mr , karena2mr adalah moment inersia, I, dari partikel yang

bergerak pada lintasannya, maka

2

2

zJEI

=

Karenaz

rJ

=

h, dan dari hubungan de Broglie, /p h = , diperoleh bahwa momentum

sudut pada sumbuzadalah,

z

hrJ

=

Persamaan tsb menunjukkan bahwa makin pendek panjang gelombang partikel yang bergerak

maka makin besar pula momentum sudut yang dimiliki oleh partikel tersebut.

Dubungan de Broglie ini juga memberikan impiklasi bahwa momentum sudut secara otomatisakan terkuantisasi. Terlihat bahwa bila aspek ini tidak terpenuhi maka fungsi gelombang akan

musnah seperti yang tergambarkan pada gambar berikut. Panjang gelombang yang diizinkan

akhirnya adalah

2

l

r

m

= , dengan lm , merupakan bilangan kuantum sudut.


16


17/25

Bila 0lm = maka ini berkaitan dengan = . Ini berarti suatu panjang gelombang yang takterhingga dan memiliki tinggi yang tetap pada semua harga . Akibatnya momentum sudutmenjadi terbatas pada

2 2

l lz

m hr m hhrJ

r = = =

Maka nilai lm yang diperbolehkan adalah,

0, 1, 2,....z l lJ m m= = h

Nilai positif menunjukkan bahwa rotasi adalah clockwise seputar sumbu-z sedangkan nilai negatif

adalah rotasi yang counter clock wise. Besarnya energi juga menjadi

2 22

2 2

lz mJEI I

= =h

Fungsi ternormalisasi untuk adalah

1/2( )

(2 )

l

l

im

m

e

=


17


18/25


18


19/25

Insert info from page 299-300


19


20/25

1.11. Gerak rotasi 3 dimensi : partikel dalam bola

Model bagi suatu partikel dengan massa m yang bergerak bebas pada suatu permukaan boladengan jari jari sebesar r diperlukan agar rotasi suatu molekul dan keadaan elektron dalam atomdapat dipelajari.

Syarat batas bagi fungsi gelombang dengan keadaan ini harus memiliki lintasan dalam gerak kearah lateral maupun longitudinal selalu memenuhi kondisi batas secara siklis.

Kondisi yang memenuhi syarat batas kondisi siklis. (Gambar 1)

Gambar 1. Fungsi gelombang bagi partikel yang bergerak pada

permukaan suatu bola harus memenuhi 2 syarat batas, dan ini akan

memunculkan 2 buah bilangan kuantum bagi keadaan momentum

sudutnya.

Fungsi gelombang bagi partikel yang bergerak pada permukaan suatu bola harus memenuhi 2

kondisi batas siklis. Hal ini akan mengakibatkan munculnya 2 buah bilangan kuantum untuk

momentum sudut.

Fungsi Hamiltonian bagi gerak pada 3 dimensi adalah:

2 2 2 22 2

2 2 2

2H V

m x y z

= + = + +

h

Simbol adalah simbol untuk jumlah dari 3 turunan orde dua dan dikenal sebagaiLAPLACIAN, dibaca del kuadrat atau nabla kuadrat.

Bagi suatu partikel yang bergerak secara bebas pada permukaan suatu bola akan berlaku 0V = ,sehingga partikel tersebut akan bergerak secara bebas. Selain itu besarnya r akan selalu tetap.

Pada partikel yang bergerak bebas pada permukaan bola, fungsi gelombang akan merupakan

fungsi dari colatitude, , dan azimuth, .

Persamaan Schrodinger akhirnya adalah

22

2

E

m

=h

Penyelesaian persamaan diferensial parsial dilakukan dengan menggunakan metoda separasi

variabel. Dengan menganggap bahwa fungsi gelombang memiliki harga r yang tetap maka.


20


21/25

( , ) ( ) ( ) =

adalah fungsi dalam dan adalah fungsi . Fungsi Laplacian bagi koordinat polar adalah

2

2 22 22 1r r r r = + +

2 adalah operator LEGENDRIAN

22

2 2

1 1sin

sin sin

= +

Gambar 2. Sistem koordinat polar, bagi suatu benda yang bergerak

pada permukaan suatu bola maka posisi hanya ditentukan oleh

colatitude, , dan azimuth, .

Karena r bernilai konstant maka persamaan Schodinger menjadi,

2

2

1 2mE

r =

h

Diketahui bahwa 2I mr= , maka

2 2I E = =h

Untuk memerika apakah persamaan dapat dipisahkan maka dilakukan substitusi = :2

2 2

1 ( ) 1 ( )sin

sin sin

+ =

Karena masing-masing fungsi dan merupakan suatu fungsi dengan 1 variabel, maka

persamaan diferensial partsial menjadi turunan yang lengkap:


21


22/25

2

2 2sin

sin sin

d d d

d d d

+ =

Dengan pembagian oleh dan dikalikan dengan 2sin dan dilakukan penyusungan ulangakan diperoleh

22

2

1 sinsin sin 0

d d d

d d d

+ + =

Suku sebelah kiri hanya tergantung pada dan suku sisanya hanya tergantung pada .Akibatnya persamaan dapat dipisahkan menjadi;

22 2 2

2

1 sindan sin sinl l

d d dm m

d d d

= + =

Syarat batas siklik akan memunculkan bilangan kuantum kedua, l, dan persamaan yang keduaakan memunculkan bilalan kuantum ketiga, lm . Besarnya lm dibatasi oleh harga l. Keterkaitan

antara lm denganl mengikuti.

0, 1, 2, 3,.... , 1,....,ll m l l l = =

Nilai bilangan kuantum momentum orbital sudut, l, adalah positif, dan untuk setiap harga l akan

terdapat 2 1l+ bilangan kuantum magetik, lm .

Besarnya energi partikel tersebut adalah;

2

( 1) 0,1, 2,....2

E l l lI

= + =h


22


23/25


23


24/25

Energi dari partikel yang berotasi secara klasik berkaitan dengan momentum sudut J yaitu2

2

JE

I= karena besarnya energi adalah terkuantisasi maka dapat di pastikan bahwa besarnya

momentum sudut juga akan terkuantisasi, secara;

{ }1/2

( 1) 0,1, 2,...besar momentum sudut l l l = + =h

Momentum sudut dalam arah sumbu , 1, 2,....l lm m l l l = = h

Gambar 3. Orientasi momentum sudut yang diperbolehkan untuk l=2

Gambar 4. Representasi lain dari orientasi momentum sudut.


24


25/25

25

Documents

KI2141 2010 SIK Part02 Tehnik dan Aplikasi Teori Kuantum