KIINTEAN AINEEN FYSIIKKA763343a

766330a-01763333a

Erkki Thuneberg

Fysiikan laitos

Oulun yliopisto

2018

Jarjestelyja

Kurssin verkkosivu onhttps://www.oulu.fi/tf/kaf/index.html

Verkkosivulta loytyy luentomateriaali (tama moniste),harjoitustehtavat ja myohemmin myos harjoitustehtavienratkaisut. Katso sielta myos mahdolliset muutoksetluento- ja harjoitusaikoihin.

Aikataulut 2018

Luennot: ti 10-12 ja ke 10-12, 9.1.-14.2., lisaksi to 10-128.2 ja 15.2., sali L8.

Harjoitukset: to 8-10 ja pe 10-12, 11.1.-2.3., sali IT112

Paatekoe: 26.03.2018

Harjoitusassistentit: Matti Ulkuniemi, Niina Makinen

Kurssiin kuuluvat oleellisena osana laskuharjoitukset,joiden tehtavat laitetaan kurssin verkkosivulle pianvastaavan luennon jalkeen. Maaraaikaan mennessanaytetyista tehdyista harjoituksista saa yhdenarvosanapykalan korotuksen loppuarvosanaan. (Eipisterajoja, jokainen tehtava vaikuttaa paitsi ettaloppuarvosana pyoristetaan kokonaisluvuksi.)Korostettakoon etta nama lisapisteet ovat vain pieni lisasiihen hyotyyn, joka laskuharjoitusten tekemisesta onkurssin asian ymmartamiselle ja siten tenttimenestykselle.

1. JohdantoTaman kurssin tarkoituksena on antaa perustiedotkiintean aineen fysiikasta (solid state physics). Jotkuttutkittavat asiat ovat varsin samanlaisia myos nesteissa.Taman takia on alettu kayttaa termia “condensed matterphysics”. Tama sisaltaa seka kiinteat aineet etta nesteet,joissa molemmissa atomit jatkuvasti vuorovaikuttavattoistensa kanssa. Termista kaytetaan suomennoksia“tiiviin aineen fysiikka” tai “kondensoidun materianfysiikka”.

Tiiviin aineen fysiikka on fysiikan suurin osa-alue. Silla ontavaton merkitys yhteiskunnallemme, silla tekniikanedelleen jatkuva nopea kehitys perustuu olennaisestitiiviin aineen ominaisuuksien ymmartamiseen. Tama eikuitenkaan ole ainoa syy tiiviin aineen fysiikanopiskeluun. Nahdakseni yhta tarkeaa on se, etta tiiviissaaineessa esiintyy monia fysikaalisesti mielenkiintoisiailmioita.

Tiiviin aineen ominaisuudet ovat seurausta suurestamaarasta (∼ 1023) hiukkasia ja niiden valisistavuorovaikutuksista. Tallaiseen “monen kappaleenongelmaan” ei ole mitaan yleista ratkaisumenetelmaa.Sen sijaan on olemassa suuri joukko erilaisialikimaaraismenetelmia ja malleja. On aina helpoin lahtealiikkeelle mahdollisimman yksinkertaisesta mallista. Jostama ei auta ymmartamaan tutkittavaa ilmiota, pyritaanvahan korjaamalla saamaan aikaan parempi malli, jasitten taas parempi, kunnes saavutetaan riittavatarkkuus. Tata menetelmaa soveltamalla voidaan hyvinmonet tiiviin aineen ominaisuudet ymmartaa. Ainakuitenkin jaa jaljelle ongelmia, jotka ovat aivan liianvaikeita ratkaistavaksi.

Kurssit “Atomifysiikka 1”, “Kiintean aineen fysiikka” ja“Ydin- ja hiukkasfysiikka” tutustuttavat eri aihepiireihin,jossa kvanttimekaniikalla on olennainen asema.Kvanttimekaniikka on erityisen olennainen monissa tiiviinaineen fysiikan ilmioissa. Ongelmana on se, ettakvanttimekaniikkaa ei ole opittu tassa vaiheessa kunnolla.Siksi monien asioiden kovin syvallinen ymmartaminen eijuuri ole mahdollista. Lisaksi on valtettava monimutkaistamatematiikkaa. Koska kiintean aineen fysiikalla onkuitenkin suuri merkitys, on tasta huolimatta tarkeaantaa jonkinlainen perustieto tasta tavattoman laajastaalasta. Tiiviin aineen fysiikasta syvemmin kiinnostuneillesuositellaan kvanttimekaniikan opiskelun jalkeensyventavaa kurssia “Kondensoidun materian fysiikka”.

Esitiedot

Kurssilla oletetaan tunnetuksi perustiedotkvanttimekaniikasta siina laajuudessa, kun on saatukurssilla “Atomifysiikka 1”. Myos sahkomagnetismin ja“Aaltoliike ja optiikka” kurssit ovat hyodyllisia joissainkohdissa. Lampooppi on tarkeaa monissa tiiviin aineenilmioissa. Jotta nama kohdat tulisivat ymmarrettya

1

paremmin suositellaan jatkokurssiksi “Termofysiikkaa”.

Sisallysluettelo

• 1. johdanto

• 2. kiderakenne

• 3. hilavarahtelyt

• 4. elektronirakenne

– 4.1 vapaaelektronimalli

– 4.2 elektroni jaksollisessa potentiaalissa

– 4.3 johteet ja eristeet

– 4.4 metallit

– 4.5 puolijohteet

– 4.6 sahkomagneettisen sateilyn ja kiinteanaineen vuorovaikutus

– 4.7 elektroni-elektroni-vuorovaikutus

• 5. kokeellisia menetelmia

• 6. magnetismi

• 7. suprajohtavuus

• 8. lopuksi

Kirjoja

• Monisteet.

– tama moniste. Suppea, mutta kattaa tassakurssissa vaaditut asiat.

– V. Lantto, Materiaalifysiikan perusteet,luentomoniste (1997). Teknillisen tiedekunnanmateriaalifysiikan kurssin moniste.

• Yleiskirjat. Tassa kurssissa kasitellaan kiinteaaolomuotoa hieman laajemmin kuin naissa.

– R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics ofAtoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles.

– J. Brehm and J. Mullin, Introduction to theStructure of Matter.

– M. Alonso and E. Finn, Fundamental UniversityPhysics III. Kurssi kasittaa myos joitain patkiaosasta II.

• Kiintean olomuodon kirjat. Paljon laajempia kuintarvitaan tassa kurssissa.

– C. Kittel, Introduction to Solid State Physics.Perinteinen kokeellispainotteinen oppikirja,taman kurssin olennaisin osa loytyy, muttapaljon muutakin.

– H.M. Rosenberg, The Solid State. Teknillisessatiedekunnassa kaytetty kirja, vaikuttaa sopivallatasolla olevalta.

– M. Marder, Condensed matter physics. Moderniteoreettispainotteinen, oppikirjanakondensoidun materian fysiikan kurssilla(763628S), ylittaa selvasti taman kurssinvaatimukset.

– N. Ashcroft ja D. Mermin, Solid state physics(AM). Selkea teoreettispainotteinen vanhempioppikirja, ylittaa selvasti taman kurssinvaatimukset.

Kiitokset

Kiitan Jani Halista monista korjauksista tahanmonisteeseen.

Merkintoja ja vakioita

a/bc = abc laskujarjestyssaanto tassa monisteessa

h, Planckin vakio, useammin esiintyyh = h/2π = 1.054× 10−34 Js

e = 1.602× 10−19 C, alkeisvaraus, elektronin varauksenitseisarvo

kB = 1.380× 10−23 J/K, Boltzmannin vakio

NA = 6.022× 1023 1/mol, Avogadron vakio

u = (0.001 kg/mol)/NA = 1.660× 10−27 kg,atomimassayksikko

ε0 = 8.854× 10−12 C2/Nm2, sahkovakio (tyhjionpermittiivisyys)

µ0 = 4π × 10−7 N/A2 = 4π × 10−7 T2m3/J,magneettivakio (tyhjion permeabiliteetti)

me = 9.109× 10−31 kg, elektronin massa, useimmitenmerkitty vain m:lla

1 eV= 1.602× 10−19 J

E ,E, sahkokentta

E, energia

B, magneettikentta (virallinen nimi “magneettivuontiheys”)

H, magnetoiva kentta (virallinen nimi “magneettikentanvoimakkuus”)

U , 1) elektronin potentiaalienergia U = −eV , 2) kiteenmuodostumislampo

µ, 1) Fermi-taso (103), 2) magneettisen momentin (109)itseisarvo, µ = |µ|.Z, 1) todennakoisyyden normalisointivakio (32), 2)alkuaineen valenssi, sivu 18.

exp(x) = ex, coshx = 12 (ex + e−x), sinhx = 1

2 (ex − e−x),tanhx = 1/ cothx = sinhx/ coshx.

2

a∗, a:n kompleksikonjugaatti 2. KiderakenneKiinteat aineet muodostuvat atomeista. Atomien valillaon vuorovaikutuksia, joiden seurauksena on tietyissaoloissa kiintea aine. Kiinteassa aineessa atomit ovat useinjarjestyneet saannolliseen jarjestykseen. Tallaista ainettakutsutaan kiteiseksi (crystalline).

Tunnelointimikroskoopilla (scanning tunnelingmicroscope, sivu 31) saatu atomiresoluution kuvaNbSe2-pinnasta. Lahinaapuriatomien valimatka on 0.35nm. (http://www.pma.caltech.edu/GSR/condmat.html)

Kuvassa kaksi kvartsikidetta (SiO2).

Useat kiteiset aineet esiintyvat tietyissa muodoissa, joissatasaiset pinnat kohtaavat toisensa tietyilla vakiokulmilla.Tallaiset muodot voidaan ymmartaa atomienjarjestaytymisen pohjalta.

Kuvassa kaksi kalsiittikidetta (CaCO3), joilla pinnat ovatsamoissa kulmissa.

Kiinteat kappaleet ovat useimmiten monikiteisia. Tamatarkoittaa etta ne koostuvat useista eri suuntiin olevista

3

yhteenliittyneista kiteista. Yksittaisessa kiteessa voi ollaesim. ∼ 1018 atomia, kun koko makroskooppisessakappaleessa on ∼ 1023 atomia.

Kuvassa naytteita joissa erikokoisia rikkikiisukiteita(FeS2).

Yleisesti kiintean aineen rakenne voi olla tavattomanmonimutkainen. Vaikka se olisikin muodostunutrakenneyksikoista, joissa on samat atomit, siina eivalttamatta ole saannollisesti toistuvaa rakennetta.Esimerkki tallaisesta aineesta on lasi, joka muodostuuSiO2-yksikoista. Tallaista ainetta kutsutaan amorfiseksi.

Tutkitaan ideaalista tapausta, jossa jatetaan kaikki kiteenepataydellisyydet huomiotta. Tallaisen kiteen kuvausvoidaan jakaa kahteen osaan.

1) joukkoon atomeja (tai mita tahansa kuvia), jokamuodostaa kiteessa toistuvan objektin. Tata sanotaankannaksi (basis).

2) avaruuden pistejoukko, joihin kaikkiin paikkoihin kantaon asetettava (vain siirtamalla, ei kaantamalla), jottasaataisiin koko kide muodostettua. Tallainen pistejoukkoesitetaan muodossa

r = n1a1 + n2a2 + n3a3. (1)

Tassa n1, n2 ja n3 ovat kokonaislukuja. Vektoreita a1, a2

ja a3 kutsutaan alkeisvektoreiksi. (Niiden taytyy ollalineaarisesti riippumattomia.) Pistejoukkoa (1) kutsutaanBravais-hilaksi ja sen pisteita hilapisteiksi.

a1

a2

a3

Kuvan mukaista alkeisvektorien maaraamaa koppiakutsutaan alkeiskopiksi.

+ =

hila + kanta = kide

Kuvassa esimerkki kahdessa ulottuvuudessa.

a1

a2

a'1

a'2

Alkeisvektorien valinta ei ole yksikasitteista. Oheisessakuvassa alkeisvektoreina voidaan kayttaa myos a′1 ja a′2.Myos niiden avulla saadaan lausuttua kaikki hilapisteet.

a1

a2

a'2

alkeiskoppi

yksikkökoppi

a'1

Tietyissa symmetrisissa hiloissa on alkeisvektorien sijastakaytannollisempaa kayttaa suorakulmaisesti valittujavektoreita (vaikka ne eivat virittaisikaan koko hilaa).Niiden maaraamaa koppia kutsutaan yksikkokopiksi.Yksikkokopin sivujen pituuksia kutsutaan hilavakioiksi.

2.1 Esimerkkeja kiderakenteistaNaissa kuvissa pallot kuvaavat atomiytimien paikkoja.Koko kide saadaan toistamalla kuvattua yksikkoa.

a a

a

Yksinkertaisessa kuutiollisessa (simple cubic) rakenteessakaikki sivut ovat yhta pitkia ja kulmat suoria.

a

Tilakeskeisessa kuutiossa (tkk, engl. body centered cubic,bcc) on lisaksi yksi piste kuution keskella.

4

a

Pintakeskeisessa kuutiossa (pkk, engl. face centered cubic,fcc) on yksinkertaiseen kuutiolliseen rakenteeseen lisattypisteet tahkojen keskelle.

Timanttirakenteessa on lisatty pisteita pintakeskeiseenkuutiolliseen rakenteeseen siten, etta ne ovat neljanlahinaapuripisteen muodostaman tetraedrin keskella.Tama rakenne esiintyy mm. piilla (kaikki atomit Si).Lahisukuinen rakenne on sinkkivalkkeella ZnS, jossa jokatoinen atomi on Zn (esim. keltaiset ylla olevassa kuvassa).

Natriumkloridirakenne on kuutiollinen, jossa Na- jaCl-atomit vuorottelevat. Tama voidaan nahda myospkk-hilana, jossa kanta muodostuu yhdesta NaCl-parista.

Pintakeskeinen kuutiollinen rakenne muodostaa ns. tiiviinpakkauksen: jos pinotaan kovia kuulia, saavutetaanpkk-hilassa maksimaalinen pakkaustiheys. Alla oleva kuvapyrkii havainnollistamaan kuinka pkk-hila muodostuutiiviisti pakatuista tasoista.

a

Vaihtoehtoinen tiiviin pakkauksen rakenne onheksagonaalinen tiivis pakkaus (htp, engl. hexagonal closepacking, hcp). Se muodostuu samanlaisista tasoista kuinylla, mutta ne on aseteltu eri kohdille. Ideaalisessa(kovien pallojen) tapauksessa c =

√8/3 a.

a

c

Pkk- ja htp-pakkausten ero voidaan esittaa oheisellakuvalla. Kun kuulien paalle laitetaan kolmas kerros, setulee pkk:ssa kahdessa alemmassa kerroksessa avoimiksijaaneisiin kohtiin c. Htp:ssa kuulat tulevat samoillekohdille a kuin alimmassa kerroksessa.

Molemmat tiiviit pakkaukset ovat yleisia rakenteitaerityisesti alkuainemetalleille. Jos atomit kayttaytyisivatkuin kovat pallot, niille olisi yhdentekevaa onko niidenjarjestys pkk vai htp. Atomit kuitenkin valitsevat jommankumman, esim. Al, Ni ja Cu ovat pkk ja Mg, Zn ja Coovat htp. Htp:ssa lisaksi suhde c/a poikkeaa jonkin verrankovien pallojen arvosta 1.63. Varsin suuri poikkeamaesiintyy sinkilla (Zn), jolla c/a = 1.86.

Tiiviiden pakkausten lisaksi myos tilakeskeinenkuutiollinen hila on yleinen alkuaineilla, mm. K, Cr, Mn,Fe. Yksinkertaista kuutiollista rakennetta ei juuri esiinnykiteissa. Natriumkloridirakenne voidaan ymmartaa silla,etta atomien koko on hyvin erilainen: suurienkloori-ionien valiin mahtuu sopivasti pienet natriumionit.Timanttirakenne vastaa varsin harvaa pakkausta. Seesiintyy aineilla, jotka pyrkivat sitoutumaan neljaanlahinaapuriin siten, etta kaikki naapurit ovat samassakulmassa toisiinsa nahden (109.5).

Useilla materiaaleilla kiderakenne on monimutkaisempikuin edella esitellyt. Oheinen kuva esittaa kvartsinkiderakennetta (itse kide on kuvassa edella).

Malli kvartsin (SiO2) kiderakenteesta. Pallot esittavathappiatomeja, piiatomit (ei naytetty kuvassa) sijaitsevatjokaisen O4-tetraedrin keskella. Bravaishilan kantamuodostuu kolmesta tetraedrista (esim A, B ja C).

5

SiO2 esiintyy usein myos amorfisessa muodossa (lasi).Tarkastelemalla kvartsin monimutkaista kiderakennettavoi ehka ymmartaa, etta jaahdytettaessa nopeasti sulaaSiO2:ta, atomit eivat ehdi jarjestya vaan jaavatepajarjestyneeseen muotoon.

Kiteet voidaan luokitella perustuen niiden symmetriaan.Kide on aina symmetrinen siirroissa hilavektorin verran.(Siis kun kidetta siirretaan hilavektorin (1) verran,lopputulos on identtinen alkuperaisen kanssa.) Sen lisaksikiteella voi olla mm. kierto- ja heijastussymmetrioita. Onosoitettu, etta eri perusteilla kiteet voidaan jakaa 7kidejarjestelmaan, 14 hilatyyppiin, 32 kideluokkaan ja 230avaruusryhmaan.

Monet kiteiden ominaisuudet ovat riippuvaisia kiteensymmetriasta. Esimerkiksi kuutiollisessa ionikiteessanegatiivisesti ja positiivisesti varattujen ionien painopisteyhtyy, ja siksi materiaalin sahkoinen dipolimomenttihaviaa (esim. NaCl). Jos symmetria on pienempi(esimerkiksi suorakulmaisen sarmion), negatiivisesti japositiivisesti varattujen ionien painopiste saattaa olla eri.Tallaista materiaalia, jolla on nollasta poikkeavasahkoinen dipolimomentti, sanotaan ferroelektriseksi.

Toinen tapaus on etta dipolimomentti haviaatasapainotilassa. Nain on esim. oheisessa mallikuvassa,jossa negatiiviset varaukset ovat tetraedrin kulmissa japositiivinen tetraedrin keskella.

Jos tallaista materiaalia puristetaan nuolen suunnassa,eivat varausten painopisteet enaa yhdy, ja syntyysahkoinen polarisaatio. Tallaista materiaalia sanotaanpietsoelektriseksi. Ilmio toimii myos toisin pain: kunpietsoelektrinen kide laitetaan sahkokenttaan, muuttaa semuotoaan. Mm. ylla kuvattu kvartsi on pietsoelektrinen,mutta ilmion tarkempi selittaminen siina on hankalaamonimutkaisesta kiderakenteesta johtuen.

Kiderakenteeseen liittyva ominaisuus on myoskahtaistaittavuus. Kahtaistaittavissa materiaaleissavalonsateen kulkunopeus riippuu valon polarisaatiosta(sahkokentan suunnasta). Taman takia valo jakautuukahteen eri sateeseen.

Kuvassa kahtaistaittavuus kahdessa kalsiittikiteessa(CaCO3).

2.2 HilatasotHilapisteiden kautta kulkevia tasoja kutsutaanhilatasoiksi. Kuvassa on esitetty muutamia eri hilatasoja.

d

Hilatasojen suuntia merkitaan usein Millerin indekseilla.Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitutaan kuutiolliseenhilaan, missa vektorit a1, a2 ja a3 kiinnitetaanyksikkokopin sarmien mukaan. Tarkastellaan hilatasoa,joka kulkee pisteiden 3a1, 1a2 ja 2a3 kautta.Muodostetaan kertoimista kaanteisluvut: 1

3 , 1 ja 12 . Jotta

saataisiin kokonaisluvut kerrotaan nama 6:lla. Tallointason Millerin indeksit ovat (263). Tata tasoa vastaankohtisuoraa suuntaa merkitaan kayttamalla samojalukuja kulmasuluissa, [263].

a1

3a1

2a3

(263)a

3

a2

yksikkö-

koppi

Jos hilataso ei leikkaa jotain akselia, vastaa se tapausta,missa leikkauspiste menee aarettoman kauas. Tamankaanteisluvuksi tulkitaan 1

∞ = 0.

Tarkastellaan yksinkertaista kuutiollista rakennetta.Voidaan osoittaa, etta vierekkaisten samansuuntaistenhilatasojen valinen etaisyys d saadaan Millerin indeksista(hkl) kaavalla

d =a√

h2 + k2 + l2, (2)

missa a on hilavakio (yksikkokopin sivun pituus).Tarkastellaan muita kuutiollisia rakenteita vahanmyohemmin.

6

(100) (110) (111)

Oheisessa kuvassa on esitetty kolme usein esiintyvaahilatasoa. Huomaa etta kuutiollisen hilan symmetrianvuoksi tasot (010) ja (001) ovat samanlaisia tason (100)kanssa. Myos tasot (011), (101) ja (110) ovat keskenaansamanlaisia.

2.3 Kiderakenteen kokeellinenmaarittaminenKiderakenne voidaan maarata kokeellisesti kayttaensateilyn diffraktiota kiteesta. Jos sateilyn aallonpituus λon samaa suuruusluokkaa kuin atomien etaisyydetkiteessa, syntyy diffraktiokuvio, josta atomien jarjestysvoidaan paatella.

Aaltoliikkeen yleista teoriaa kasitellaan eri kurssilla.Oletetaan etta seuraava Huygensin periaate on tuttu: kunaalto saapuu johonkin pisteeseen, synnyttaa se ns.toisioaallon, joka lahtee pisteesta kaikkiin suuntiin.Syntyva kokonaisaalto saadaan summana toisioaalloista.Taman mukaan aallot etenevat rintamina, joissa kaikkienaaltojen vaihe on sama. Muissa suunnissa toisioaallotkumoavat toisensa.

aaltorintama

toisioaalto

Huygensin periaatteen mukaan heijastuksessa tasaisestapinnasta on tulevan aallon ja heijastuneen aallon kulmatsamat. AC=BD

θ θ

A

B

D

C

Tarkastellaan nyt heijastusta kidetasoista.

d

θ θ

d sin θ

Heijastuksissa perakkaisista hilatasoista eroaa kuljettumatka 2d sin θ:n verran. Heijastuneet aallot ovat samassavaiheessa, jos tama etaisyys on aallonpituuden λmonikerta. Voimakkaalle sironnalle saadaan siis Bragginehto

2d sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, . . . (3)

Kun tama ehto on voimassa, ovat kaikista hilan pisteistasironneet aallot samassa vaiheessa ja vahvistavat toisiaan.

Kaikkien heijastusten saamiseksi on kaytava kaikkikidetasot lapi.

Jotta Braggin piikkeja nahtaisiin, taytyy aallonpituudenλ olla lyhyempi kuin kaksi kertaa hilatasojen etaisyys, 2d.Kaytannossa λ ≈ 0.02 nm - 1 nm. Voidaan kayttaa erisateilylajeja.

• sahkomagneettinen sateily. Vaadittu aallonpituus onrontgenalueella,

E = hν, ν =c

λ⇒ E =

ch

λ. (4)

Tassa E on energia, h Planckin vakio, ν taajuus, cvalon nopeus, λ aallonpituus. Esimerkiksirontgenputkessa, jossa kuparinen kohtio, saadaan ns.karakteristista sateilya vastaten Kα-siirtymaaenergioilla 8027 ja 8047 eV. Naita vastaavaksiaallonpituudeksi saadaan 0.154 nm.

• neutronit.

E =p2

2m, p =

h

λ⇒ E =

h2

2mλ2. (5)

Tassa m on neutronin massa ja p liikemaara.

• elektronit. Kaavat (5) patevat myos elektroneille.Matalaenergiset elektronit eivat juuri tunkeudukiteen sisaan, joten niilla saadaan tietoa vainpinnasta. Korkeilla energioilla saadaan tietoa myoskiteen sisalta.

Sirontamittaukset voidaan suorittaa monella eri tavalla.Useimmissa menetelmissa kaytetaan sateilya, jossa onvain yksi aallonpituus, esim. karakteristinenrontgensateily. Jotta sironnat saataisiin mitattua,yksikiteella on seka kidetta etta havaitsinta kierrettavasopiviin suuntiin. Vaikka havaitsimena kaytettaisiinvalokuvauslevya, saadaan sille heijastuksia vain tietyillakiteen asennoilla.

θ

2θ

Röntgen-putki

havaitsin

kide

etsitään heijastuksia tämän suuntaisista tasoista

7

Toinen vaihtoehto on kayttaa pulverinaytetta, jossa onkiteita satunnaisesti kaikissa eri asennoissa.

Rontgendiffraktio ja scanning electron micrograph (SEM)materiaalista (C6H5C2H4NH3)2SnI4, joka on tehtyohutfilmitransistoria varten. Heijastukset on identifioitukoodilla (hkl), joka saadaan kertomalla Millerinindeksissa olevat luvut n:lla, joka esiintyy Bragginkaavassa (3). Lahde:researchweb.watson.ibm.com/journal/rd/451/mitzi.html

Heijastuksen sammuminen

Tarkastellaan heijastusta tkk-hilan (100)-tasoista.Yksinkertaisesta kuutiollisesta hilasta (hilavakio a)saadaan heijastukset kun

2a sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, . . . (6)

Tahan verrattuna tkk:ssa ovat ylimaaraiset tasot kunkintason valissa. Naista lisatasoista syntyvat heijastuksetovat vastakkaisissa vaiheissa paatasoista syntyvienaaltojen kanssa kun n = 1, tai yleisemmin kun n onpariton. Sanotaan etta tkk:ssa nama heijastukset ovatsammuneet.

a

θ θ

Vastaavaa sammumista ei tapahdu heijastuksissa(110)-tasoista koska nama tasot ovat samat tkk:ssa jayksinkertaisessa kuutiollisessa hilassa. Eri heijastuksiatutkimalla on pystytty identifioimaan lukuistenmateriaalien kiderakenteet.

Rontgensironnalla voidaan tutkia myos suuriamolekyyleja, mm. DNA. Naista muodostetaan ensinkiteita. Mittaamalla diffraktiosuunnat voidaankiderakenne ja atomien asemat molekyylissa selvittaa.

2.4 Kiintean aineen sidosvoimatOlisi mielenkiintoista teoreettisesti ymmartaa esim.kiinteiden aineiden hilarakenne. Periaatteessa tama onhelppoa. Otetaan Schrodingerin yhtalo elektroneille jaytimille, maarataan naiden ominaisarvot ja funktiot,jolloin alimman energiatilan ratkaisun pitaisi antaamateriaalin hilarakenne.

Pyritaan arvioimaan mita vaatisi selvittaa teoreettisestiesim. alumiinin hilarakenne. Oletetaan etta elektroninaaltofunktion yhdessa ulottuvuudessa voi diskretoidakymmenella pisteella.

xx1

x10

Ψ(x)

Jotta voitaisiin ratkaista ero tkk:n ja htp:n valilla onlaskettava minimissaan noin 10 atomia. Jokaisessaatomissa on 13 elektronia jotka kukin liikkuvat kolmessaulottuvuudessa. Ominaisarvo on siis laskettava matriisillejonka dimensio on 1010×13×3 = 10390 ja jossa on siis 10780

elementtia. Tama ylittaa monin verroin kaikkienmaailman tietokoneiden yhteenlasketun keskusmuistin.

Paatellaan siis, etta monien asioiden laskeminenperusperiaatteista lahtien on kaytannossa mahdotonta.Sen sijaan on turvauduttava erilaisiinlikimaaraismenetelmiin. Naita on kehitetty valtava maaraeri tarkoituksiin sopivia ja niiden avulla voidaanymmartaa lukuisia ilmioita. Tassa kurssissa tarkastellaanniista vain yksinkertaisimpia. Pidan hammastyttavana,etta joidenkin asioiden laskemisen mahdottomuudestahuolimatta kondensoidun aineen fysiikasta tiedetaanhyvin paljon.

Kiinteiden aineiden sidosvoimien kvantitatiivinenkasittely ei juuri onnistu yksinkertaisin menetelmin. Siksimainitaan vain lyhyesti paatyypit.

Lyhyilla etaisyyksilla kahden atomin valinen voima onaina repulsiivinen. Tama johtuu suureksi osaksi Paulinkieltosaannosta, joka estaa useampaa kuin yhta elektroniaolemasta samassa tilassa. Myos elektronien valinenCoulombin repulsio on olennainen. Suuremmillaetaisyyksilla voimat ovat usein attraktiivisia.

8

r00

E(r)

Kuvassa on hahmoteltu kahden atomin valinenpotentiaalienergia niiden etaisyyden r funktiona.

Kovalentti sidos. Attraktiivinen voima johtuu siita ettaatomit pareittain jakavat keskenaan osan elektroneistaan.Koska elektronit paasevat liikkumaan laajemmallaalueella, niiden kineettinen energia alenee. (Perustilassaon epamaaraisyysperiaatteen mukaan liikemaara p ∼ h/d,missa d on liikkumavali, ja kineettinen energiaEkin = p2/2m. Toisaalta Paulin kieltosaanto saattaa estaaenergian alenemisen. Palataan tahan myohemminharjoitustehtavana.)

Metallisidos. Suuri joukko atomeja jakaa osanelektroneistaan niin etta ne paasevat liikkumaan kokokiteen lapi. Perustelu muuten samanlainen kuinkovalentilla sidoksella.

Ionisidos. Joissain yhdisteissa esim. NaCl, Na luovuttaalahes kokonaan uloimman elektroninsa klooriatomille.Tassa tapauksessa attraktiivinen voima aiheutuuCoulombin potentiaalista. Kahden ionin (varaukset n1e jan2e) valinen potentiaalienergia on

E12 =1

4πε0

n1n2e2

|r1 − r2|. (7)

NaCl-kiteessa yhdella Na+-ionilla on kuusi Cl−-ionialahinaapureina. Yhden lahinaapurisidoksen energia on

Ep1 = − 1

4πε0

e2

R, (8)

missa R on lahinaapurietaisyys. Seuraavaksi lahimpanaon Na+-ioneja, joita on 12 kpl ja etaisyys d =

√2R.

6 kpld = R

12 kpld = 2 R

Na+Cl-

tutkitaantämän

naapureita

8 kpld = 3 R

Yhden Na+ ionin vuorovaikutusenergia muiden ionienkanssa saadaan summaamalla vuorovaikutusenergiatkaikilla etaisyyksilla oleviin naapureihin. Taksi energiaksisaadaan

Ep = − e2

4πε0R

(6− 12√

2+

8√3− . . .

)= − e2α

4πε0R. (9)

Tassa α on sulkujen sisalla esiintyva summa, jotakutsutaan Madelungin vakioksi. Sen arvo riippuu hilastaja on tassa tapauksessa α = 1.7476.

Jotta voitaisiin paasta eteenpain, on keksittava jokumuoto repulsiiviselle voimalle. Yksinkertaisuuden vuoksioletetaan lauseke

Ep,repulsive =βe2

4πε0Rn. (10)

Kokonaispotentiaaliksi saadaan

Ep(R) = − e2

4πε0

(α

R− β

Rn

). (11)

1 2 3 4 RR0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

EpHΑe24ΠΕ0R0L

Oheinen kuva esittaa potentiaalia (11) kun n = 9 jaR0 = (nβ/α)1/(n−1). Osapotentiaalit (8) ja (10) onesitetty katkoviivoilla.

Etsimalla energian (11) minimi saadaan β = αRn−1/n jaenergia

Ep = − αe2

4πε0R

(1− 1

n

). (12)

Koko kiteen sidosenergia U on tamavastakkaismerkkisena kerrottuna NaCl-parien maaralla N

U =Nαe2

4πε0R

(1− 1

n

). (13)

Tama on yhtapitava mitatun muodostumislammonkanssa kun valitaan n = 9.4, mika lienee uskottava arvo.Huomaa etta repulsiivisen osuuden vaikutussidosenergiaan on pieni ∼ 10%.

Vetysidos. Vedylla on vain yksi elektroni. Kun vetyliittyy esimerkiksi happiatomiin, siirtyy paaosa elektroninaaltofunktiosta hapelle ja vedylle jaa positiivinen varaus.Talla varauksella se voi vetaa puoleensa jotain kolmattaatomia, mista syntyvaa sidosta molekyylien valillekutsutaan vetysidokseksi. Tama sidos on tarkea mm.jaassa.

Van der Waals -vuorovaikutus. Tama antaa heikonattraktion myos varauksettomien atomien valille. Idea:elektronien kiertoliikkeesta johtuen varauksettomatatomit ovat varahtelevia sahkoisia dipoleja. Hetkellinendipolimomentti toisessa atomissa synnyttaa sahkokentan,joka polarisoi toisen atomin, jolloin niiden valillavaikuttaa dipoli-dipoli-voima. Vuorovaikutus riippuu

9

etaisyydesta kuten 1/r6 ja on olennainen mm.jalokaasuatomien valilla.

Oheisessa taulukossa on annettu joidenkin kiinteidenaineiden sulamislampotilat (normaalipaineessa), joista voipaatella sidosten vahvuutta. Taulukon valiviivatjaottelevat aineet edella lueteltujen sidostyyppienmukaisesti.

aine sulamislampotila (K) kiderakenneSi 1683 timanttiC (4300) timantti

GaAs 1511 sinkkivalkeSiO2 1670

Al2O3 2044Hg 234.3Na 371 tkkAl 933 pkkCu 1356 pkkFe 1808 tkkW 3683 tkk

CsCl 918NaCl 1075H2O 273He -Ne 24.5 pkkAr 83.9 pkkH2 14O2 54.7

Hiilella on timantin lisaksi toinen muoto, grafiitti. Tassakukin hiiliatomi muodostaa kovalenttisen sidoksen kolmenlahinaapurin kanssa, jolloin muodostuu tasoja. Tasojenvaliset voimat ovat van der Waals -tyyppia ja heikkoja,joten tasot paasevat helposti liukumaan toistensa suhteen.Grafiitista irrotettua yhta tasoa kutsutaan grafeeniksi.

Kuvassa grafiitin malli jossa pallot esittavat hiiliatomeja(Wikipedia)

Kovalentti sidos muodostuu usein juuri tiettyynsuuntaan. Kovalenttiset kiteet ovat kovia, mutta hauraita,ts. ne murtuvat kovasta iskusta. Metallisidos eiolennaisesti riipu suunnasta. Siksi metalliatomit voivatliukua toistensa ohi mutta sidos silti pitaa. Tasta syystametalleja voidaan muovata esimerkiksi takomalla.

3. HilavarahtelytTutkitaan atomien heilahtelua tasapainoasemiensaymparilla. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastellaan aluksiyksiulotteista atomiketjua. Oletetaan heilahtelunamplitudi pieneksi. Talloin voidaan olettaa, etta atomiinkohdistuvat voimat ovat verrannollisia poikkeamiinlahinaapurietaisyyksissa. Tama malli on ekvivalentti senkanssa, etta atomit olisi kytketty toisiinsa jousilla.

n

ξn-1 ξ

n+1ξn

a

tasapaino

epätasapaino

n+1n-1

xna

Tasapainotilassa atomit ovat tasavalein a, eika niihinkohdistu voimia. Merkitaan atomin n paikkaatasapainossa xn = na. Epatasapainotilassa atomi n onpaikassa xn = na+ ξn, missa ξn on siis atomin npoikkeama tasapainoasemastaan. Atomiin n vaikuttaaoikealta puolelta atomista n+ 1 voima

K(ξn+1 − ξn), (14)

missa K on jousivakio ja ξn+1 − ξn on atomien n ja n+ 1valisen jousen venyma. Vasemmalta puolelta atomistan− 1 vaikuttava voima on

−K(ξn − ξn−1). (15)

Tassa etumerkki tulee siita, etta voima on negatiiviseensuuntaan, jos ξn > ξn−1. Muodostetaan Newtoninliikeyhtalo ja laskemalla voimat yhteen saadaan

Md2ξndt2

= K(ξn+1 − ξn)−K(ξn − ξn−1)

= K(ξn+1 − 2ξn + ξn−1), (16)

missa M on atomin massa.

Pyritaan ratkaisemaan yhtalo (16) yritteella

ξn(t) = Aei(kna−ωt). (17)

Tarkastellaan tata yritetta hieman.

Yrite (17) on kompleksinen, silla eiφ = cosφ+ i sinφ.Oikea fysikaalinen ratkaisu on tulkittava tamankompleksisen ratkaisun reaaliosana:

ξfysikaalinenn = Reξn (18)

= (ReA) cos(kna− ωt)− (ImA) sin(kna− ωt).

Syy kompleksisen yritteen kayttoon on, etta silloin eitarvitse erikseen kirjoittaa sini- ja kosinifunktioita, vaanmolemmat sisaltyvat erikoistapauksina kompleksiseenyritteeseen (17). Kaikki laskut voitaisiin yhta hyvin tehdakayttaen vain reaalista yritetta (18), mutta silloin netulisivat pidemmiksi.

10

Toiseksi huomioidaan, etta na ≈ xn on atomin nx-koordinaatti (koska oletetaan ξn a). Yrite (17) onsiten muotoa Aei(kx−ωt). Tama kuvaa aaltoa, jonkaaaltoluku on k ja kulmataajuus ω. Palautetaan mieliinmiten nama liittyvat aallonpituuteen λ,varahtelytaajuuteen ν ja aallon nopeuteen v:

k =2π

λ, ω = 2πν, v =

ω

k= λν. (19)

Aallon nopeuden pystyy parhaiten paattelemaankirjoittamalla yrite (17) muotoon f(x− vt).Sijoittamalla yrite (17) liikeyhtaloon (16) ja kumoamallayhteiset tekijat saadaan

−Mω2 = K(eika − 2 + e−ika) = −4K sin2 ka

2. (20)

Tassa on kaytetty kaavoja eix = cosx+ i sinx ja12 (1− cosx) = sin2 x

2 [tai vaihtoehtoisesti huomattu

eix − 2 + e−ix = (eix/2 − e−ix/2)2]. Kaavasta (20) voidaanratkaista kulmataajuus

ω = ±2

√K

Msin

ka

2. (21)

Tama ns. dispersiorelaatio on esitetty alla olevassakuvassa.

ω

ω = ck

k

a

π

M

K

0

2

Tarkastellaan erikseen eri aaltoluvun k arvoja. (Tapausω < 0 ei tuo mitaan uutta, joten tutkitaan jatkossa vaintapausta ω ≥ 0).

1) 0 < k π/a. Tama voidaan myos kirjoittaa λ a, eliaallonpituus on paljon suurempi kuin vierekkaistenatomien etaisyys toisistaan. Aalloissa aineen tiheysvaihtelee. Siksi ne voidaan tulkita aaniaalloiksi kiinteassaaineessa. Talla alueella dispersiorelaatio (21) voidaanapproksimoida lineaarisella riippuvuudella

ω = ck, (22)

missa c = a√K/M tulkitaan aanen nopeudeksi.

2) k ∼ π/a. Tassa alueessa aallonpituus on samaasuuruusluokkaa kuin hilavakio a. Kulmataajuus laheneemaksimiarvoa ωmax = 2

√K/M . Tassa alueessa aallon

nopeus v = ω/k (19) poikkeaa arvosta c. Vastaavaailmiota valolle (etenemisnopeuden riippuvuuttaaallonpituudesta eli valon varista) kutsutaan dispersioksi.Tasta johtuu ω:n ja k:n valisen relaation (21) nimi.

3) k < 0. Nama ratkaisut vastaavat negatiiviseenx-suuntaan kulkevia aaltoja. Ottaen nama mukaanvoidaan piirtaa seuraava kuva.

ω

k

a

πa

π

M

K

0

2

-

ω = ck

4) |k| > π/a. Tama alue ei johda mihinkaan uuteenratkaisuun. Tama voidaan nahda kirjoittamalla ratkaisu(17) aaltoluvulle k + (2π/a). Todetaan etta ξn(t) ontaysin sama kuin aaltoluvulle k. Alla oleva kuva pyrkiiselventamaan, etta samat ξn:t voidaan saada useammallak:lla. Aaltoluvut voidaan siis aina rajata valille |k| ≤ π/a.

ξn

x

a

Saadut tulokset osoittavat, etta kidevarahtelyt eivat olemahdollisia tietyn taajuuden ylapuolella. Kaytannossatama taajuus on kuitenkin hyvin korkea,νmax = ωmax/2π ∼ 1013 Hz. Esimerkiksi ihmisenkuulemien aaltojen maksimitaajuus on n. 20000 Hz.Kuuloalueella lineaarinen approksimaatio (22)dispersiorelaatiolle on taysin riittava.

Kaksiatominen kanta

Oletetaan etta hilassa on kanta, johon kuuluu kaksierimassaista atomia

ηn-1 ξ

n+1ξn

ηn

a tasapaino

epätasapaino

nM

1M2 n n+1n-1

Samoin kuin edella, naille voidaan kirjoittaa liikeyhtalot

M1d2ξndt2

= K(ηn − 2ξn + ηn−1)

M2d2ηndt2

= K(ξn+1 − 2ηn + ξn). (23)

Tehdaan yritteet

ξn(t) = A1ei(kna−ωt)

ηn(t) = A2ei(kna−ωt). (24)

11

Sijoittamalla ja kumoamalla yhteiset tekijat saadaan

−M1ω2A1 = −2KA1 +K(1 + e−ika)A2

−M2ω2A2 = K(1 + eika)A1 − 2KA2. (25)

Jotta talla olisi nollasta poikkeava ratkaisu, taytyykerroindeterminantin havita,

det

(M1ω

2 − 2K K(1 + e−ika)K(1 + eika) M2ω

2 − 2K

)= 0. (26)

Tasta saadaan

M1M2ω4 − 2K(M1 +M2)ω2 + 4K2 sin2 ka

2= 0, (27)

joka voidaan ratkaista

ω2 =K

M1M2

[M1 +M2 ±

√M2

1 +M22 + 2M1M2 cos(ka)

].

(28)

Kaava (28) antaa kaksi eri ratkaisua. Nama ratkaisut onhahmoteltu kuvassa. Toinen ratkaisuista, jota kutsutaanakustiseksi haaraksi, on samantyyppinen kuin saatiinedella identtisten atomien ketjussa (21). Taman lisaksisaatavaa toista ratkaisua kutsutaan optiseksi haaraksi.

ω

k

a

πa

π 0-

akustinen

haara

optinen

haara

Optisessa haarassa erityyppiset atomit varahtelevattoisiaan vastaan, kun taas akustisessa haarassa varahtelytovat samansuuntaisia (ainakin pienilla k π/a).

Optisen haaran taajuudet ν ovat luokkaa 1013 Hz. Tamavastaa sahkomagneettisen sateilyn infrapuna-aluetta.Erityisesti ionikiteissa optinen haara kytkeytyyvoimakkaasti sahkomagneettisen sateilyn kanssa, koskasateilyn sahkokentta ajaa vastakkaisvarauksisia ionejavastakkaisiin suuntiin. Tasta seuraa sateilyn voimakasabsorptio optisen haaran taajuuksilla.

Hilavarahtelyt kolmessa ulottuvuudessa

Ylla on tarkasteltu yksiulotteista kidetta. Kolmessaulottuvuudessa on otettava huomioon etta varahtelytvoivat olla kolmeen eri suuntaan. Tasta aiheutuu, ettaedella tarkastellut varahtelymoodit yleisessa tapauksessajakautuvat kolmeksi. Lisaksi kaikki varahtelymooditriippuvat aallon etenemissuunnasta kiteessa, mitakuvastaa aaltovektori k = (2π/λ)k. Tietyissaerityissuunnissa varahtelymoodit voidaan jakaa kahteen

poikittaisen (transverse) varahtelyn ja yhteen pitkittaisen(longitudinal) varahtelyn moodiin. Oheinen kuva esittaakuviteltua tilannetta missa esim. TA1 = transverseacoustic mode 1 jne.

ω

k

a

πa

π 0-

TA1TA2

LA

LO

TO2

TO1

Hilavarahtelyjen kvanttiteoria

Tarkastellaan hilavarahtelyjen yhta moodia: kiinnitetaanjokin arvo aaltovektorille k ja valitaan jokin mahdollisistavarahtelysuunnasta (jota kuvaa jokin indeksi s).Jokaisella moodilla (k, s) on jokin tietty kulmataajuus ω,milla se varahtelee. Varahtely on harmonista silla

ξfysikaalinenn (29)

= Re(Aeikan) cos(ωt) + Im(Aeikan) sin(ωt).

Voidaan siis sanoa, etta jokainen moodi muodostaaharmonisen varahtelijan. Kuhunkin varahtelymoodiinliittyy energia E = Ekin + Epot, joka muodostuu atomienyhteenlasketuista kineettisista ja sidosten (=jousien)potentiaalienergioista.

Edella tarkasteltiin hilavarahtelyja klassisen mekaniikanmukaan [lahtien Newtonin liikeyhtalosta (16)]. Siinavarahtelyjen amplitudi A voi olla mielivaltainen. Sitenmyos moodin energialla voi olla mielivaltainenei-negatiivinen arvo.

Kun siirrytaan kvanttimekaniikkaan, edellinen lasku onmuuten voimassa, mutta moodin energia voi saada vaintiettyja diskreetteja arvoja. Atomifysiikan kurssissajohdettiin, etta harmonisen varahtelijan mahdollisetenergia-arvot ovat

Ej = hω(j + 12 ), j = 0, 1, 2, 3, . . . (30)

Tassa h = h/2π = 1.0545× 10−34 Js. Alinta energiaaE0 = 1

2 hω kutsutaan nollapiste-energiaksi.

E

0

1

2

3

2

5

2

ħω

ħω

ħω

ħω

7

2

12

Kaava (30) patee myos hilavarahtelymoodeihin. Talla onolennainen vaikutus moniin kiteiden ominaisuuksiin.Tarkastellaan tassa lampokapasiteettia. Tassa onolennaista etta kiteen tasmallista varahtelytilaa ei voidatietaa. Sen asemesta lasketaan todennakoisyyksia eritiloille. Lyhyt johdanto todennakoisyyslaskuun on esitettyliitteessa A.

Harmonisen varahtelijan lampokapasiteetti

Otetaan lahtokohdaksi Gibbsin jakauma. Tama johdetaantermofysiikan kurssissa, ja siita on kerrottu myos liitteessaA. (Termofysiikan kurssissa samaa jakaumaa on kutsuttuBoltzmannin jakaumaksi.) Gibbsin jakauma sanoo, ettajos meilla on joukko tiloja, joiden energiat ovat Ej , niintasapainossa tilan j esiintymistodennakoisyys on

pj =1

Ze−βEj . (31)

Tassa Z on normalisointitekija, joka maaraytyy ehdosta,etta kaikkien tilojen yhteenlaskettu todennakoisyys onyksi: ∑

j

pj = 1⇔ Z =∑j

e−βEj . (32)

Vakio β taas

β =1

kBT, (33)

missa T on absoluuttinen lampotila jakB = 1.380658× 10−23 J/K Boltzmannin vakio.

æ

æ æ æ

ò

ò

òò

àà

àà

0 D 2D 3DE0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0p j

Kuva on esimerkki tilojen todennakoisyyksistajarjetelmassa, missa on nelja energiatilaa tasavalein(energiavali ∆). Ympyrat kuvaavat tilojentodennakoisyyksia matalassa ja neliot korkeassalampotilassa suhteessa lampotilaan ∆/kB , jota vastaavattodennakoisyydet on merkitty kolmioilla.

Sovelletaan jakaumaa (31) harmoniseen varahtelijaan.Saadaan

Z =∑j

e−βEj = e−βhω/2∞∑j=0

e−βhωj

= e−βhω/2∞∑j=0

(e−βhω

)j= e−βhω/2

1

1− e−βhω, (34)

missa viimeisessa vaiheessa on kaytetty geometrisensarjan lauseketta. Energian odotusarvon laskemiseksijohdetaan ensin kateva kaava

〈E〉 =∑j

Ejpj =1

Z

∑j

Eje−βEj = − 1

Z

d

dβ

∑j

e−βEj

= − 1

Z

dZ

dβ. (35)

Soveltamalla tata harmoniseen varahtelijaan (34) saadaanpienella laskulla energiaksi

〈E〉 =hω

2+

hω

eβhω − 1. (36)

Tama tulos on esitetty kuvassa jatkuvalla viivalla.

0 Ñ Ω

kB

2 Ñ Ω

kB

T

Ñ Ω

2

Ñ Ω

3 Ñ Ω

2

2 Ñ Ω

XE\

Tulos voidaan ymmartaa seuraavasti. Matalassalampotilassa, T hω/kB, harmoninen varahtelija onperustilassaan (alimmassa energiatilassa). Talloinenergian odotusarvo on sama kuin perustilan energia,〈E〉 = 1

2 hω. Korkeassa lampotilassa, T hω/kB, useatvarahtelijan tilat ovat mahdollisia, ja keskimaarainenenergia lahestyy termista energiaa, 〈E〉 ≈ kBT , mika onesitetty kuvassa katkoviivalla.

Lampokapasiteetti maaritellaan keskimaaraisen energianderivaattana lampotilan suhteen,

C =d〈E〉dT

. (37)

Lampokapasiteetti kuvaa kuinka paljon lampoenergiaa onjarjestelmaan tuotava, etta sen lampotila nousisi tietyllamaaralla. Kaavasta (36) saadaan laskemalla harmonisenvarahtelijan lampokapasiteetti

C =d〈E〉dT

=h2ω2

kBT 2

eβhω

(eβhω − 1)2

=h2ω2

4kBT 2 sinh2 hω2kBT

. (38)

Tama on esitetty seuraavassa kuvassa jatkuvalla viivalla.

13

0 Ñ Ω

kB

2 Ñ Ω

kB

T

kB

2

kB

C

Suurissa lampotiloissa, joissa kBT > hω, onlampokapasiteetti lahes vakio, C ≈ kB. Klassisen fysiikanmukaan C on vakio, C ≡ kB (katkoviiva), mika saadaanrajalla h→ 0. Matalissa lampotiloissa, joissa kBT hω,lahestyy lampokapasiteetti voimakkaasti nollaa. Tamavoidaan ymmartaa siten, etta kun terminen energia kBTon pieni verrattuna perustilan ja ensimmaisen viritetyntilan energiaeroon hω, pysyy viritetyn tilantodennakoisyys viela pienena eika varahtelija siten otavastaan energiaa lampotilan nostosta huolimatta.Nostettaessa lampotilaa korkeammaksi myos ylemmatenergiatilat tulevat mahdollisiksi, kun terminen energiakBT alkaa olla samaa suuruusluokkaa kuin alinviritysenergia hω.

Sovelletaan edellista tulosta hilavarahtelyihin. Kaikkeinyksinkertaisin malli kiintean aineen varahtelyille olisi ettakaikki atomit varahtelisivat samalla taajuudella ω.Tallaisia varahtelymoodeja on kaikkiaan 3N kappaletta,missa N on atomien lukumaara hilassa. Tekija 3 tuleesiita, etta atomit voivat varahdella kolmeen toisiaanvastaan kohtisuoraan suuntaan. Tallaista malliakutsutaan Einsteinin malliksi. Einsteinin mallissalampokapasiteetti on sama kuin yhdella harmonisellavarahtelijalla paitsi etta se pitaa kertoa moodienlukumaaralla 3N . Siis korkeissa lampotiloissa varahtelijatnoudattavat klassista tulosta ja lampokapasiteettiC ≈ 3NkB. Matalissa lampotiloissa (T < hω/kB) taaslampokapasiteetti on pienentynyt ja lahenee nollaa kunT → 0.

Kokeellisesti on havaittu, etta monien kiteidenlampokapasiteetti korkeissa lampotiloissa lahestyyklassista arvoa C ≈ 3NkB, mutta pienenee matalammissalampotiloissa. Einstein osoitti mallillaan, etta tamalampotilariippuvuus voidaan selittaa kvanttimekaniikastalahtien.

Kehittyneempi malli on ns. Debyen malli. Siina otetaanhuomioon, etta kiteessa yhden varahtelytaajuuden sijastaesiintyy monia eri taajuuksia, kuten olemme jo edellajohtaneet [kaava (21)]. Kun lampotila on niin korkea, ettakBT > hωmax noudattavat kaikki varahtelijat klassistatulosta ja lampokapasiteetti C ≈ 3NkB. Matalissalampotiloissa, joissa kBT hωmax, on osa varahtelijoista“jaatynyt” koska niiden energia on niin korkea, etta neeivat virity. Ne eivat siten vaikuta lampokapasiteettiin.Vain niilla moodeilla, joiden varahtelytaajuus on pieni (kon pieni), on vaikutusta lampokapasiteettiin matalissa

lampotiloissa.

0 QD 2 QDT

3 N kB

2

3 N kB

C

Kuvassa on Debyen mallin mukainen lampokapasiteetti,joka varsin hyvin kuvaa monia kiinteita aineita. SuurettaΘD ≈ hωmax/kB kutsutaan Debyen lampotilaksi.Alkuaineilla se on tyypillisesti noin muutama satakelvinia.

aine Debyen lampotila (K)C (timantti) 1860

Na 150Al 394Si 625Fe 420Cu 315Hg 100

NaCl 321

Fononit

Hilavarahtelyista puhuttaessa kaytetaan usein kasitettafononi (phonon). Puhutaan esim. tapauksesta, jossamoodi (k, s) on tilassa j, ts. moodin energiaE = hω(j + 1

2 ). Tasmalleen sama asia voidaan ilmaistasanomalla, etta moodissa on j kappaletta fononeja.Fononeista voidaan puhua kuin ne olisivat hiukkasia,vaikka oikeasti tarkoitetaan vain eri varahtelytiloja. Esim.yhden fononin energia on hω. Koko hilan varahdysenergiakirjoitetaan

E =∑k

∑s

hωk,s(jk,s +1

2), (39)

missa jk,s on moodissa (k, s) olevien fononien lukumaara.Energian odotusarvo (36) tulkitaan etta fononienlukumaaran odotusarvo on

〈j〉 =1

eβhω − 1, (40)

mika on erikoistapaus ns. Bose-Einstein-jakaumasta.

Fononit ovat analogisia sahkomagneettisen kentankvanteille, fotoneille (photon). (Nimi “fononi” ontarkoituksella vaannetty fotonista.) Yhden fotonin energiaon hν = hω. Fotoniin voidaan liittaa myos liikemaarap = hk. Jos uskotaan tata analogiaa, voidaan myosfononiin liittaa liikemaara p = hk. Fononikasite on katevatutkittaessa mm. lammonjohtavuutta. Fononit kuljettavat

14

energiaa korkeammasta lampotilasta matalampaan pain.Kun fononit tormaavat esim. epapuhtausatomeihin, nesiroavat eri suuntiin ja energiavirta heikkenee.

4. ElektronirakenneLahdetaan tutkimaan kiintean aineenelektronirakennetta. Kerrataan aluksi yhden atominelektronirakennetta. Atomiytimen positiivinen varausmuodostaa elektroneille Coulombin potentiaalin, joka onkuvattu oheisessa kuvassa.

1s

2s2p

energ

ia

2 tasoa6 tasoa

energiatasot

2 tasoa

Elektronit ovat tietyilla energia-arvoilla, joista kuvassa onpiirretty kolme alinta vastaten orbitaaleja 1s, 2s ja 2p.Paulin kieltosaannon mukaan kahdella elektronilla ei voiolla kaikkia samoja kvanttilukuja. Koska elektronilla onspin, joka saa kaksi arvoa (± 1

2 ), voi 1s-orbitaalille mennakaksi elektronia. Samoin 2s orbitaalille. Koska 2porbitaaleja on 3, voi niille menna yhteensa 6 elektronia.

Jatkossa kaytetaan seuraavaa energiatason maaritelmaa:Paulin kieltosaannon mukaan jokaiselle energiatasollemenee enintaan yksi elektroni. Siis kuvan mukaisesti1s-orbitaalia vastaten on kaksi energiatasoa ja2p-orbitaaleja vastaten on 6 energiatasoa. Usein kahdellatai useammalla energiatasolla on sama energia. Talloinsanotaan etta tasot ovat degeneroituneita.

Atomin perustilassa elektronit tayttavat sen energiatasotjarjestyksessa pienimman energian tasosta lahtien. Tamanperusteella voidaan mm. selittaa alkuaineiden jaksollinenjarjestelma.

Tarkastellaan seuraavaksi mita energiatasoille tapahtuukun atomit muodostavat kiintean aineen. Alla olevassakuvassa on tarkasteltu kolmea eri energian energiatasoa,joita on merkitty a, b ja c:lla.

a

bc energia

15

Kun kaksi atomia tuodaan lahekkain, madaltuu niidenvalissa oleva energiavalli. Vaikka elektronintunneloituminen viereiselle atomille on mahdollista, eisita juuri tapahdu tasolla a, silla siita nahtynaenergiavalli on viela liian korkea. Tama on tarkea tulos:atomin alimmat energiatasot pysyvat muuttumattominasidoksia muodostettaessa.

Tasolla b elektronien tunneloituminen on merkittavaa.Elektronit nailla tasoilla osallistuvat sidoksenmuodostamiseen. Tasolla c paasevat elektronit taysinvapaasti liikkumaan molekyylissa.

Atomien yhdistyessa elektronitasot jarjestyvat uudelleen.Kahden atomin yhdisteessa jokaista yhden atominenergiatasoa vastaa kaksi eri energialla olevaa tasoa.Naiden tasojen energiaero on sita suurempi mitavoimakkaampaa elektronien tunneloituminen atomienvalilla on. Neljan atomin ketjussa jokainen atominenergiataso on jakautunut neljaan. Kiinteassa aineessa onhyvin suuri joukko atomeja yhdessa, N ∼ 1023. Talloinsaadaan yksittaisten energiatasojen sijasta energiakaistojaeli energiavoita. Siis sallitut energia-arvot muodostavatkaistoja. Niiden valeissa on kiellettyja energia-arvoja,joita kutsutaan energiaraoiksi tai energia-aukoiksi.Joissain tapauksissa kaistat menevat paallekkain, jolloinenergiarakoja ei jaa.

Kiinteassa aineessa elektronit tayttavat energiakaistatpienimmasta energiasta lahtien. Sita kaistaa, joka tayttyyvain osittain kutsutaan johtavuuskaistaksi. Metalliensahkonjohtokyky perustuu tallaisen kaistanolemassaoloon, silla taydet kaistat eivat johda sahkoa,kuten pian tullaan tutkimaan tarkemmin. Jos kaikkikaistat ovat joko taynna tai tyhjia, on kyseessa eriste.

Metallien johtavuuskaistassa olevia elektroneja kutsutaanjohtavuuselektroneiksi. Nama elektronit paasevatliikkumaan varsin vapaasti metallikappaleen lapi.Seuraavassa pyritaan tarkastelemaan niidenominaisuuksia tarkemmin.

4.1 Vapaaelektronimalli

Kvanttimekaniikkaa

Tarkastellaan aluksi elektronia yhdessa ulottuvuudessa.Elektronin tilaa kuvaa aaltofunktio ψ(x). Tama funktiomaaraytyy Schrodingerin yhtalosta

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2+ U(x)ψ(x) = Eψ(x). (41)

Tassa m on elektronin massa, U(x) elektroninpotentiaalienergia ja E elektronin kokonaisenergia. Tassaoletetaan, etta yhtalo (41) on perusteltu aiemmissakursseissa. Huomautetaan ainoastaan, etta joskirjoitetaan liikemaaralle

p = −ih d

dx, (42)

niin yhtalon (41) vasemman puolen ensimmainen termivoidaan kirjoittaa

p2

2mψ. (43)

Tassa ψ:n kerroin on hiukkasen kineettinen energiaEkin = p2/2m ja Schrodingerin yhtalo (41) voidaan sitentulkita lausumaksi E = Ekin + U .

Muistutetaan viela aaltofunktion fysikaalinen tulkinta:|Ψ(x)|2 on todennakoisyystiheys. Se kuvaatodennakoisyytta, etta mittausta tehdessa hiukkanenloytyy paikasta x.

Yleisemmin minka tahansa suureen O odotusarvo 〈O〉voidaan laskea kaavasta

〈O〉 =

∫ψ∗(x)Oψ(x)dx. (44)

Esimerkiksi liikemaara

〈p〉 =

∫ψ∗(x)

(−ih d

dx

)ψ(x)dx (45)

tai potentiaalienergia

〈U〉 =

∫ψ∗(x)U(x)ψ(x)dx =

∫|ψ(x)|2U(x)dx. (46)

Naissa kaavoissa on oletettu, etta ψ(x) on normalisoitu∫|ψ(x)|2dx = 1. (47)

Jos aaltofunktio ψ ei alun perin ole normalisoitu, voidaanse normalisoida jakamalla normalisaatiointegraalinI =

∫|ψ(x)|2dx neliojuurella,

ψ(x) =1√Iψ(x). (48)

Vapaat hiukkaset

Seuraavassa tutkitaan vapaata elektronia, ts. tapaustajossa U(x) ≡ 0. (Voitaisiin myos valita jokin muu vakiokuin nolla, mutta talla ei ole olennaista vaikutustatuloksiin.) Tassa tapauksessa saa Schrodingerin yhtalomuodon

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x). (49)

Ratkaistaan tama yritteella

ψ(x) = Aeikx. (50)

[Huom. paikkariippuvuuden osalta on yrite samanlainenkuin hilavarahtelyilla (17). Aikariippuvuutta ei tassatarvita.] Sijoittamalla yrite yhtaloon (49) saadaan setoteutumaan kun

E =h2k2

2m. (51)

16

Tietaen E = Ekin = p2/2m saadaan lisaksi liikemaaralle

p = hk. (52)

Muistaen kaavan k = 2π/λ (19) voidaan tama kirjoittaamyos muotoon p = h/λ, minka de Broglie ensimmaisenaesitti vuonna 1924.

Oletetaan seuraavaksi, etta hiukkanen onkin rajoitettuliikkumaan vain tietylla valilla 0 < x < L. Luonnollinenreunaehto valin paissa olisi, etta aaltofunktion taytyyhavita,

ψ(0) = ψ(L) = 0. (53)

(Tama vastaa tapausta jossa potentiaali U(x) sallitunalueen ulkopuolella on aareton.)

xn=1

n=2

n=3

L0

E

Yritteen (50) sijasta onkin nyt katevampi kayttaa

ψ(x) = A cos(kx) +B sin(kx). (54)

Sijoittamalla todetaan, etta myos tama toteuttaa yhtalon(49).

Reunaehdosta ψ(0) = 0 seuraa A = 0. Reunaehtoψ(L) = 0 vaatii, etta B sin(kL) = 0. Jotta tama saataisiintoteutettua siten etta ψ(x) 6≡ 0, taytyy kL = πn, missan = 1, 2, 3, . . .. Siis

k =nπ

L. (55)

Kolme alinta funktiota on piirretty edella olevaan kuvaan.Todetaan ehdon (55) tarkoittavan, etta valiin L mahtuutasamaara puolia aallonpituuksia.

Kolmiulotteinen tapaus

Yleistetaan edellinen tulos kolmeen ulottuvuuteen.Kolmessa ulottuvuudessa Schrodingerin yhtalo (41) saamuodon

− h2

2m

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)+ U(x, y, z)ψ = Eψ. (56)

Sen ratkaisu on aaltofunktio ψ(x, y, z), joka siis riippuukaikista kolmesta koordinaatista. Myoskaan yhtaloa (56)ei perustella tassa mutta huomautetaan, etta joskirjoitetaan liikemaaran x-komponentille

px = −ih ∂

∂x, (57)

ja vastaavasti y ja z-komponenteille, voidaan myoskinyhtalon (56) vasemman puolen ensimmainen termikirjoittaa muotoon (43).

Tarkastellaan nyt elektronia, joka voi vapaasti liikkuakuution muotoisen laatikon sisapuolella.

L

L

L

yx

z

Yleistamalla yksiulotteisesta tapauksesta voidaan nytarvata, etta ratkaisu olisi

ψ(x, y, z) = A sinn1πx

Lsin

n2πy

Lsin

n3πz

L, (58)

missa n1, n2 ja n3 ovat positiivisia kokonaislukuja.[Harjoitus: totea etta ψ toteuttaa yhtalon (56) ja haviaakaikilla kuution seinilla.]

Kaavasta (56) saadaan energiaksi

E =π2h2

2mL2(n2

1 + n22 + n2

3). (59)

Tasta voidaan myos paatella liikemaaran komponenteiksi

px =πhn1

L, py =

πhn2

L, pz =

πhn3

L. (60)

Energiatasojen tiheys

Pyritaan seuraavaksi maaraamaan niiden tasojen maara,joiden energia on pienempi kuin joku annettu energia E.Tallaisten tasojen n1, n2 ja n3 toteuttavat yhtalon

n21 + n2

2 + n23 <

2mL2E

π2h2 = κ2. (61)

Piirretaan avaruus jonka akselit ovat n1, n2 ja n3. Tassaavaruudessa ehto (61) tarkoittaa pisteita, jotka ovatensimmaisessa oktantissa κ-sateisen pallopinnan sisalla.

n2

n1

n3

(1,3,1)

Tutkitaan rajaa jossa laatikon koko on suuri. Talloinpisteet ovat hyvin tiheassa pallon sateeseen nahden(κ 1). Pisteiden maara Np(E) voidaan talloin arvioidasuoraan kappaleen tilavuudesta

Np(E) =1

8

(4

3πκ3

)=

√2m3V

3π2h3 E3/2, (62)

17

missa kuution tilavuus V = L3.

Halutaan seuraavaksi laskea energiatasojen maara.Talloin pitaa ottaa huomioon, etta elektronilla on spin 1

2 .Se tarkoittaa, etta kukin aaltofunktio (58) muodostaakaksi tasoa, joille kummallekin mahtuu yksi elektroni.Maaritellaan energiatasojen maara n(E) lisaksi tilavuuttaV kohti. Edelliseen verrattuna n(E) = 2Np(E)/V ja siis

n(E) =2√

2m3

3π2h3 E3/2. (63)

Maaritellaan energiatasojen tiheys

g(E) =dn

dE=

√2m3

π2h3

√E. (64)

Tassa siis “tiheys” tarkoittaa energiatasojen maaraaenergiavalia kohti. (Lisaksi muistetaan etta tasotlasketaan myos tilavuutta V kohti.) Niiden tasojen maara,jotka ovat energiavalilla (E,E + dE), saadaan laskemallag(E)dE. Tama on verrannollinen energian neliojuureen.

dn

dE

E

Energiaa E alempien tasojen maara (63) saadaan takaising:n integraalina

n(E) =

∫ E

0

g(E)dE =2√

2m3

3π2h3 E3/2. (65)

Oletetaan, etta elektronien tiheys on ne(lukumaara/tilavuus). Nama tayttavat energiatasotalhaalta lukien johonkin tiettyyn energiaan asti. Tataenergiaa kutsutaan Fermi-energiaksi ja merkitaan εF.

dn

dE

E

εF

täydet tasot

tyhjät tasot

Ehdosta ne = n(εF) saadaan kaavan (65) avullamaarattya εF:

εF =h2

2m

(3π2ne

)2/3. (66)

Edellinen on tasmallisesti totta vain absoluuttisessanollalampotilassa. Kun lampotila on suurempi, on osaelektroneista virittynyt korkeamman energian tasoihin.Elektronien jakauma voisi olla oheisen kuvan mukainen.

dn

dE

E

E

kBT

µ

1

0.5

0

täydet tasot

täyttö

tod

en

nä

kö

isyys

tyhjät tasot

osittain

täytetyt tasot

Tassa tasot, joiden energia on lahella Fermi-energiaa, ovatosittain tayttyneet. Jakauma poikkeaa olennaisestinollalampotilan jakaumasta energiavyohykkeessa, joka ontermisen energian kBT suuruusluokkaa. Suurenergisettasot, joilla E − εF kBT , ovat edelleen tyhjia jamatalaenergiset tasot, joilla εF − E kBT , ovat taynna.Energiaa, jolla tayttotodennakoisyys on tasan 1/2,kutsutaan Fermi-tasoksi ja merkitaan µ.Nollalampotilassa µ = εF. (Taman ns. Fermi-jakaumantasmalliseen muotoon palataan myohemmin.)

Sovellus johtavuuselektroneihin

Sovelletaan vapaiden elektronien teoriaa metallienjohtavuuskaistassa oleviin elektroneihin. Ensiksi halutaantietaa Fermi-energian suuruusluokka. Oletetaan ettakustakin atomista tulee johtavuuskaistaan Z elektronia,joka luku on arvioitu seuraavassa taulukossa muutamillealkuaineille. Kun tiedetaan aineen tiheys, voidaan laskeajohtavuuselektronitiheys ne, ja Fermi-energia saadaankaavasta (66).

Z εF (eV) TF (104 K)Na 1 3.2 3.8Cu 1 7.0 8.2Fe 2 11.1 13.0Al 3 11.7 13.6Pb 4 9.5 11.0

Todetaan etta Fermi-energiat ovat varsin suuriaverrattuna termiseen energiaan huoneen lampotilassa,joka on kBT = 0.025 eV. Fermi-jakauman pyoristyminenhuoneen lampotilassa on siksi varsin vahaista.Vaihtoehtoinen tapa nahda tama on maaritellaFermi-lampotila TF kaavalla

TF =εFkB. (67)

Se on oleellisesti sama asia kuin Fermi-energia muttalausuttuna lampotilayksikoissa. Verrattuna huoneenlampotilaan nama ovat suuria, suuruusluokkaa 10 000 K,joten Fermi-jakauman pyoristyminen huoneenlampotilassa on varsin vahaista.

18

Fermi-pinta

Edella johdettiin, etta elektronitasot ovat tayttyneetFermi-energiaan (66) asti. Energia riippuu aaltovektoristakaavan E = h2k2/2m (51) mukaan. VastatenFermi-energiaa, on myos k:lla arvo, johon asti tasot ontaytetty:

kF =(3π2ne

)1/3, (68)

jota kutsutaan Fermi-aaltoluvuksi.

ħ2k2

2mE =

k

εF

kF

Lisaksi maaritellaan Fermi-liikemaara ja Fermi-nopeuskaavoilla

pF = hkF, vF =pF

m. (69)

Laskemalla saadaan suuruusluokat kF ∼ 1010 1/m javF ∼ 106 m/s.

Kun ajatellaan kolmiulotteista avaruutta jonka akselitovat kx, ky ja kz, ovat taynna olevat tasot kF-sateisenpallon sisalla. Pallon pintaa sanotaan Fermi-pinnaksi.

kx ky

kz

4.2 Elektroni jaksollisessa potentiaalissaEdella tutkittiin vapaita elektroneja, joita sittenkaytettiin mallina metallin johtavuuselektroneille.Vapaaelektronimallissa oletettiin, etta potentiaali haviaa.Todellisuudessa ionit aiheuttavat aina paikasta riippuvanpotentiaalin U(x), mita tapausta nyt tutkitaan.

Kiteisessa aineessa potentiaalin U(x) huomioonottaminen on suhteellisen helppoa, koska silla on erittainmerkittava symmetria. Tutkitaan yksiulotteista tapausta,jossa hilavakio on a. Talloin

U(x+ a) ≡ U(x). (70)

Toisin sanoen, U(x) on jaksollinen funktio, jonka jakso ona. Tama tarkoittaa, etta meidan tarvitsee tietaapotentiaali vain yhdessa alkeiskopissa, niin sittenjaksollisuuden (70) perusteella tiedamme sen kokokiteessa.

Tehtavana on nyt ratkaista Schrodingerin yhtalo

− h2

2m

d2ψ(x)

dx2+ U(x)ψ(x) = Eψ(x). (41)

Tassa on merkittavana apuna Blochin teoreema. Se sanooetta aaltofunktio ψ(x) voidaan kirjoittaa muotoon

ψ(x) = eikxu(x), u(x+ a) = u(x). (71)

Tama on kahden tekijan tulo. Naista u on jaksollinenfunktio, jonka jakso on a. Eksponenttiosa ei olea-jaksollinen, silla

eik(x+a) = eikaeikx 6= eikx. (72)

Nahdaan siis etta ψ(x) ei ole jaksollinen, mutta |ψ(x)| on.

Blochin teoreemalle voidaan esittaa erilaisia enemman taivahemman uskottavia todistuksia. Yritetaan tassaseuraavaa. Sijoitetaan muoto (71) Schrodingerin yhtaloon.Pienella laskulla saadaan

− h2

2m

d2u

dx2− ih2k

m

du

dx+ U(x)u =

(E − h2k2

2m

)u. (73)

Tama yhtalo on a-jaksollinen. Toisin sanoen, jos seratkaistaan yhdessa alkeiskopissa, saadaan ratkaisukaikkialla. Nahdaan siis etta Blochin muoto (71) onainakin mahdollinen. Taydellisessa todistuksessavaadittaisiin lisaksi, etta nain saadaan todella kaikkiratkaisut.

Blochin muoto voidaan nahda yleistyksena vapaanelektronin aaltofunktiosta (50): kidepotentiaalinvaikutuksesta eksponentiaaliosa on kerrottavaa-jaksollisella osuudella u(x). Tutkitaan liikemaaranodotusarvoa tassa tilassa.

Edella todettiin, etta liikemaaraa kuvaa operaattori (42).Kvanttimekaniikan periaatteiden mukaan sen odotusarvosaadaan laskemalla integraali

〈p〉 =

∫ψ∗(x)

(−ih d

dx

)ψ(x)dx. (74)

Sijoittamalla ja olettamalla normalisointi∫|u|2dx = 1

saadaan

〈p〉 = hk +

∫u∗(x)

(−ih d

dx

)u(x) dx. (75)

Tassa ensimmainen termi on vapaaelektronimallinliikemaara (52). Jalkimmainen on korjaus, joka tuleejaksollisesta potentiaalista. Ensimmaista termiakutsutaan kideliikemaaraksi. Joissain tapauksissa sitavoidaan kayttaa liikemaaran tavoin unohtaenjalkimmainen termi.

Energiakaistat

19

Vapaan elektronin energia riippuu aaltovektorista k kuten

E =h2k2

2m. (51)

Tarkastellaan paapiirteittain miten tama muuttuu kunlisataan jaksollinen potentiaali (70). Vaitetaan ettamuutos on suurin aaltovektorin arvoilla

k =nπ

a, n = ±1,±2, . . . (76)

Arvoja (76) kutsutaan vyohykerajoiksi, ja niiden valiinjaavia alueita Brillouinin vyohykkeiksi.

k

E

π/a−π/a 0 2π/a−2π/a

energiakaista

energiarako

ensimmäinen Brillouinin vyöhyke

Perustellaan tama kayttaen hyvaksi Braggin kaavaa(d→ a)

2a sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, . . . (3)

Kun tarkastellaan sirontaa kohtisuoraan suuntaan(θ = π/2), saadaan 2a = nλ, mika on sama ehto kuin ylla(76).

a

Tama voidaan tulkita siten, etta kun sironta tapahtuukahdesta perakkaisesta ionista, ovat sironneet aallotsamassa vaiheessa. Tama tarkoittaa etta elektroninaaltofunktio ei olekaan eteneva (∝ eikx) vaan siinasekoittuvat vastakkaisiin suuntiin etenevat aallot (eikx jae−ikx). Naista muodostuu kaksi seisovaa aaltoa, jotkaovat esim. cos(kx) ja sin(kx).

λ = 2a

x

ψ

U

sinkxcoskx

x

x

|ψ|2

Jos ionit (attraktiivinen potentiaali) on keskittynytpisteisiin x = na, on cos(kx):lla alempi energia kuin

sin(kx):lla, koska se on keskittynyt naihin pisteisiin.Muistutetaan etta potentiaalin U(x) odotusarvo on

〈U〉 =

∫|ψ(x)|2U(x)dx. (77)

Muilla k:n arvoilla kuin (76) on vapaiden elektronienmalli varsin hyva approksimaatio. Nain syntyvat tasojenenergiat E(k) on hahmoteltu kaavan (76) jalkeisessakuvassa. Nahdaan etta syntyy energiakaistoja ja niidenvaliin energiarakoja.

Tiukan sidoksen likimaaraismenetelma

Ajatellaan seuraavaa yksinkertaistettua kuvaa Blochinaaltofunktiosta (71). Meilla on jokin yhden atominelektronitasoa kuvaava aaltofunktio φ(x). Kun tallaisetatomit muodostavat kiteen, ajatellaan funktio u(x)summana φ-funktioista, jotka ovat kunkin atominkohdalla x = na. Blochin vaihetekija eikx ≈ eikan sittenkertoo kunkin atomin φ:n tekijalla eikan.

a

xu(x)

φ(x) φ(x-a) φ(x-2a) φ(x-3a) ...

ψ(x):nvaihetekijä

atomienpaikat

eika

1 ei2ka

ei3ka

...

Kirjoitetaan

ψ(x) =∑n

eiknaφ(x− na). (78)

Tassa siis funktio φ(x) on siirretty paikkoihin na,kerrottu vaihetekijalla eikna ja sitten kaikki laskettuyhteen. Tarkistetaan ensin, etta ψ on Blochin muotoa(71). Kirjoitetaan

ψ(x) = eikx∑n

e−ik(x−na)φ(x− na). (79)

Tasta identifioidaan

u(x) =∑n

e−ik(x−na)φ(x− na), (80)

ja tarkastetaan onko se jaksollinen, kuten pitaisi.

u(x+ a) =∑n

e−ik(x+a−na)φ(x+ a− na)

=∑n

e−ik(x−(n−1)a)φ(x− (n− 1)a) = u(x), (81)

missa viimeinen vaihe saadaan muuttamallasummausindeksi n = n′ + 1. Blochin muoto (71) siis tulitodettua.

20

Lasketaan energian odotusarvo tilassa (78) kaavasta

Ek =

∫ψ∗(x)Hψ(x)dx∫ψ∗(x)ψ(x)dx

. (82)

Tassa

H = − h2

2m

d2

dx2+ U(x), (83)

on sama energiaa kuvaava operaattori, joka onSchrodingerin yhtalossa (41). Kaavan (82) nimittaja ottaahuomioon, etta aaltofunktio ψ (78) ei ole normalisoitu,vert. (48). Sijoitetaan ψ ja merkitaan∫

φ∗(x)Hφ(x)dx = −α∫φ∗(x± a)Hφ(x)dx = −β∫

φ∗(x)φ(x)dx = 1. (84)

Oletetaan muut matriisielementit nolliksi, esim.∫φ∗(x± 2a)Hφ(x)dx ≈ 0∫φ∗(x± a)φ(x)dx ≈ 0. (85)

Nain siksi etta kun atomit ovat kauempana toisistaan,niiden aaltofunktioiden tulo on kaikkialla pieni.

Jaksollisuudesta seuraa mm.∫φ∗(x+ na)Hφ(x+ na)dx = −α

(86)

ja vastaavasti muille suureille. Saadaan

Ek = −α− β(eika + e−ika) = −α− 2β cos(ka). (87)

Nahdaan etta energia-arvot muodostavat energiakaistan.Kaistan leveys on 4β ja −α on kaistan keskikohdanenergia. Toistettaessa sama eri atomitiloille, saadaanhyvin samantapaisia energiakaistoja ja energiarakojaniiden valiin kuin hahmoteltiin edella.

k

E

π/a−π/a 0 2π/a−2π/a

energiarako

energiakaista

Aikariippuvuus kvanttimekaniikassa

Pyrimme seuraavaksi tarkastelemaan dynamiikkaa eliajasta riippuvia ilmioita. Talloin aaltofunktio ψ(x, t)riippuu seka paikasta x etta ajasta t. Tama maaraytyyajasta riippuvasta Schrodingerin yhtalosta

ih∂ψ

∂t= Hψ. (88)

Tassa H on Hamiltonin operaattori, joka yhdellehiukkaselle on

H = − h2

2m

∂2

∂x2+ U(x). (89)

Oletamme etta yhtalo (88) on perusteltu muualla.Todetaan tassa vain lyhyesti sen yhteys edellakayttamaamme ajasta riippumattomaan Schrodingerinyhtaloon (41), joka voidaan lyhyemmin kirjoittaa muotoon

Hφ = Eφ. (90)

Oletetaan etta meilla on yhtalon (90) ratkaisu φ(x) jollainannetulla energialla E. Etsitaan ajasta riippuvan yhtalonratkaisua muodossa

ψ(x, t) = e−iωtφ(x), (91)

missa ω on kulmataajuus. Nahdaan helposti etta tamatoteuttaa yhtalon (88) kun

E = hω. (92)

Siis tasoon energialla E liittyy aikariippuvuuskulmataajuudella ω = E/h.

[Aiemmin relaation (92) on vaitetty patevan fotoneille jafononeille (39). Nyt vaitetaan, etta se toimii myoselektroneille. Tama on esimerkki“aalto-hiukkas-dualismista”: sahkomagneettisellesateilylle ja hilavarahtelyille, joiden aluksi ajateltiinolevan vain varahtelya, on tullut hiukkasominaisuuksia.Elektroneille, joita aluksi ajateltiin hiukkasina, on tullutaalto-ominaisuuksia.]

Elektronin liike hilassa

Edella selvitettiin etta elektronit kayttaytyvat kuinaallot, joilla on aaltovektori k ja kulmataajuus ω = E/h.Nama aallot ovat taysin delokalisoituja, eli ne ulottuvatperiaatteessa x = −∞:sta x = +∞:aan. Jos halutaanmuodostaa lokalisoitunut aalto, pitaa muodostaaaaltopaketti, jossa on mukana useampia aaltolukuja, esim.valilla (k −∆k, k + ∆k). Tallainen paketti liikkuuryhmanopeudella

v =dω

dk, (93)

kuten toivottavasti on osoitettu aaltoliikkeen kurssilla.Jos ei, katso liite B.

Usein ryhmanopeus (93) riippuu k:sta. Talloinaaltopaketin muoto muuttuu ajan kuluessa, ja

21

ryhmanopeus on tulkittava jonkinlaiseksikeskimaaraiseksi nopeudeksi.

Sovelletaan ryhmanopeutta (93) elektroneihin. Kayttaenω = E/h saadaan elektronin etenemisnopeudeksi

v =1

h

dE

dk. (94)

Oletetaan etta elektroniin vaikuttaa voima F . Tamantekema tyo Fv dt on sama kuin energian muutosdE = (dE/dk)dk. Kayttaen kaavaa (94) saamme

hdk

dt= F. (95)

Voima F voi aiheutua esimerkiksi sahkokentasta E , jolleF = −eE . Tassa −e on elektronin varaus.

Yhtalot (94) ja (95) ovat varsin tuttuja kun ajatellaanhk = mv ja E = h2k2/2m. Niiden sisalto on nyt kuitenkintoinen koska E(k) poikkeaa vapaan hiukkasenlausekkeesta (51).

2π/a

k

E

π/a−π/a 0−2π/a

k

v

Oheisessa kuvassa on hahmoteltu v kaavasta (94). Siellamissa vapaaelektronimalli on hyva, patee v ≈ hk/m,mutta vyohykerajoilla (76) nopeus haviaa, v → 0.

Tutkitaan elektronia kun siihen vaikuttaa vakio voima F .Kaavan (95) mukaan aaltoluku k = k0 + Ft/h kasvaatasaisesti alkuarvostaan k0 lahtien. Jos elektroni onenergiakaistan alareunan tuntumassa, kayttaytyy se lahessamoin kuin vapaa elektroni. Esimerkiksi levosta lahtien(v = 0, k0 = 0) nopeus kasvaa tasaisesti voiman suuntaan.Tilanne on toinen energiakaistan ylareunan tuntumassa.Kun k lahestyy vyohykerajaa k = π/a, nopeus pieneneek:n kasvaessa. Tama voidaan ymmartaa siten, ettaelektroni alkaa sirota vastakkaiseen suuntaan.Kvanttimekaniikka mahdollistaa, etta elektroni voisamaan aikaan olla liikkumassa eri suuntiin. Tassatapauksessa v on tulkittava aaltopaketin keskimaaraiseksinopeudeksi. Kaavasta (75) nahtyna tulee liikemaaranjalkimmainen termi oleelliseksi. Perustelematta asiaa sentarkemmin, vaitetaan etta k:n arvot k = ±π/a ovatfysikaalisesti samat (samaan tapaan kuin kidevarahtelyilla|k| > π/a ei tuo fysikaalisesti uusia tiloja). Siksi k:nsaavuttaessa vyohykerajan k = π/a se hyppaakin arvoon

k = −π/a. Tasta k voi jatkaa kasvamistaan kaavan (95)mukaisesti. Elektronit eivat siten hyppaa kaistaltatoiselle, vaan pysyvat samassa kaistassa sikali kunsahkokentta ei ole hyvin suuri. Jos sahkokentta on suuri,voi tapahtua hyppyja myos energiaraon yli kaistaltatoiselle. Tata kutsutaan Zener-tunneloinniksi.

k

k0

k1

E0

E1

E

Tutkitaan mielivaltaista energiakaistaa. Energiakaistanpohjassa energia riippuu neliollisesti k:sta, jolloin voidaankirjoittaa

E ≈ E0 +h2(k − k0)2

2m∗(96)

missa m∗ on vakio, jota kutsutaan efektiiviseksi massaksi.Yleisesti sen arvo ei ole sama kuin elektronin massan,mutta usein se on samaa suuruusluokkaa. Vastaavastivoidaan kirjoittaa energiakaistan huipun lahella.Merkittavin ero on etta siella m∗ on negatiivinen.

Alueessa, missa efektiivisen massan approksimaatio onvoimassa, saadaan kaavoista (94) ja (95) liikeyhtaloksi

m∗dv

dt= F. (97)

Tama on kuin Newtonin liikeyhtalo, mutta m∗ voi ollamyos negatiivinen.

Blochin varahtely

Ideaalisessa periodisessa potentiaalissa seuraava prosessivoi tapahtua. Kuten edella oletetaan vakio voima F . Kunhiukkanen lahtee liikkeelle levosta k = v = 0, kasvaak = Ft/h tasaisesti. Aluksi myos nopeus kasvaa.Lahestyttaessa k = π/a:ta nopeus alkaa kuitenkinpieneta. Saavuttaessaan vyohykerajan k = π/a hyppaa karvoon k = −π/a. Tasta k jatkaa kasvamistaan kaavan(95) mukaisesti. Jonkin ajan kuluttua hiukkanen palaalepoon k = v = 0, jonka jalkeen kierros alkaa alusta.Vastaava prosessi voi tapahtua myos ylemmissaenergiakaistoissa.

2π/a

k

x

E

π/a−π/a 0−2π/a

22

Nahdaan etta kierroksen aikana hiukkasen nopeus on yhtakauan aikaa negatiivinen kuin positiivinen. Siis kierroksenlopuksi myos hiukkanen palaa lahtopisteeseensa x. Toisinkuin vapaalle hiukkaselle, jonka vakio sahkokentta saakiihtymaan rajatta, hiukkanen jaksollisessa potentiaalissasiis jaa heilumaan edestakaisin lahtopisteensalaheisyyteen. Tata ilmiota kutsutaan Blochinvarahtelyksi. Se on todellinen ilmio, joka on havaittukokeellisesti keinotekoisilla jaksollisilla potentiaaleilla.(Esim. atomit voimakkaan laservalon muodostamassapotentiaalissa). Sita ei kuitenkaan havaita elektroneilletavallisissa kiteissa. Miksi ei, palataan siihen myohemmin.

Energiatasojen tiheys

Edella laskettiin vapaiden elektronien energiatasojentiheys (64). Kun otetaan jaksollinen potentiaalihuomioon, syntyy energiakaistoja. Yhden kaistan tasojentiheys voisi olla oheisen kuvan kaltainen.

dn

dE

E

Emax

Emin

4.3 Johteet ja eristeetKiinteiden aineiden sahkonjohtokyky vaihtelee suuresti.Taman perusteella kiinteat aineet jaetaan johteisiin elimetalleihin, puolijohteisiin ja eristeisiin. Nama erotvoidaan suureksi osaksi selittaa aineidenenergiakaistarakenteen avulla. Perussaanto on, ettajohteissa jokin energiakaista on vain osaksi taytetty.Eristeissa taas ylimman tayden kaistan ja alimman tyhjankaistan valissa on energiarako. Asian tarkempi perustelutehdaan vasta myohemmin.

E

tyhjäkaista

täysikaista

E

µosaksi

täyttynytkaista

eriste johde

energiarako

Tarkastellaan esimerkiksi natriumia. Natriumatomissaovat tasot 1s, 2s ja 2p taynna ja tasoista 3s toisessa onelektroni. Kun se muodostaa kiteen, voisivat senenergiakaistat olla oheisen kuvan mukaiset.

E

täydetkaistat

tyhjäkaista

osaksitäyttynytkaista

1s

2s

2p

3s

3p

dn

dE

(Kuvan energia-asteikko on epalineaarinen, oikeastialempien tasojen valit ovat paljon suuremmat.)

Vastaten atomin energiatasoja, ovat kaistat 1s, 2s ja 2ptaynna. Kaistaan 3s mahtuisi kaksi elektronia jokaiseltaatomilta mutta elektroneja tahan kaistaan riittaa jokaatomilta vain yksi. Siksi 3s-kaista on vain puoleksitaynna. Taman takia natrium on johde. (Todellisuudessakaistat 3s ja 3p menevat paallekkain, mika ei muutaedellista paatelmaa.)

Natriumista seuraava alkuaine jarjestysluvussa onmagnesium. Siina molemmissa 3s-tasoissa on elektroni.Periaatteessa tama voisi olla eriste, koska 3s-kaista on nyttaysi. Kuitenkin 3s ja 3p kaistat menevat paallekkain.Taman takia kumpikaan kaista ei ole taynna jamagnesium on johde.

E E

3s

3p

dn

dE

Eristeissa on merkittava energiarako taysien ja tyhjienkaistojen valilla. Esimerkiksi timantti ja SiO2 ovateristeita

E

johtavuus-kaista

valenssi-kaista

dn

dE

puolijohdeeriste

E

tyhjäkaista

täysikaista

dn

dE

Puolijohteissa on myos energiarako, mutta se onsuhteellisen pieni, niin etta lampotilan vaikutuksesta osaelektroneista on virittynyt ylempaan kaistaan. Tyypillisiapuolijohteita ovat pii ja germanium. Ohessa energiaraonarvoja. Muistutetaan viela etta huoneen lampotilassa

23

kBT = 0.025 eV.

Eg (eV)C (timantti) 5.5

Si 1.12Ge 0.67

InSb 0.17GaAs 1.4NaCl 9.0Al2O3 9.9SiO2 11

4.4 MetallitTutkitaan metallia. Edella todettiin etta elektronitjohtavuuskaistassa liikkuvat suurella nopeudella ∼ vF .Tasapainotilassa on kuitenkin yhta todennakoista, ettaelektronit liikkuvat vastakkaisiin suuntiin tasoissa k ja−k. Siksi tasapainossa ei ole nettovirtausta.Sahkovirrantiheys j = 0.

k

π/a−π/a 0

µ

E

k

π/a−π/a 0

E

virtaukset oikealle javasemmalle kumoavat

nettovirtaus oikealle

Jotta metallissa olisi sahkovirta, j 6= 0, taytyy joissaintasoissa k ja −k olla eri miehitys. Tilanne sahkoajohtavassa metallissa on hahmoteltu oheisessa oikeanpuoleisessa kuvassa, missa oikealle liikkuvat elektronitasoton miehitetty korkeampaan energiaan asti kuinvasemmalle liikkuvat. (varoitus: kuva on vahvastiliioiteltu.) Pyritaan perustelemaan tama kuvaseuraavassa.

Edella todettiin etta voima F = −eE saa k:n kasvamaanajan mukana. Samalla todettiin etta tama johtaa siihen,etta ennen pitkaa elektroni ajautuu kohti vyon reunaa,missa tapahtuu Braggin heijastus. Tama kuva eikuitenkaan toteudu todellisissa metalleissa. Syyna tahanovat poikkeamat ideaalisesta jaksollisesta potentiaalista.

• atomien lampoliike

• kiteen epataydellisyydet: puuttuvat, ylimaaraiset javieraat atomit, dislokaatiot

Naista aiheutuu, etta elektroni siroaa paljon ennemminkuin se saavuttaa vyohykerajan (76).

Elektronit voivat sirota tyhjiin tasoihin, jotka ovatsamalla tai alemmalla energialla. Vakio ulkoinen voima jasironta synnyttavat tilanteen, jossa elektronien jakaumaei enaa muutu ajan kuluessa.

k

π/a−π/a

E

sironta

F = -eE

Tutkitaan sahkonjohtavuutta yksinkertaisella Drudenmallilla. Oletetaan etta elektroni siroaa keskimaarin ajanτ kuluessa. Tata kutsutaan relaksaatioajaksi. Oletetaanetta sironta tapahtuu satunnaiseen suuntaan, jolloinelektronin keskimaarainen nopeus heti sironnan jalkeenon nolla. Talloin yhden elektronin keskimaaraistaliikemaaraa p = mv voidaan kuvata yhtalolla

dp

dt= −p

τ− eE. (98)

Tama on Newtonin liikeyhtalo, jossa oikealla puolella onsahkokentasta aiheutuva voima F = −eE seka sirontaakuvaava termi −p/τ . Nahdaan etta termi −p/τ pienentaakeskimaaraista liikemaaraa, ja tahan pienenemiseenkuluvaa aikaa kuvaa relaksaatioaika τ . (harjoitustehtava)

Etsitaan yhtalon (98) ratkaisua missa keskimaarainenliikemaara ei muutu, dp/dt = 0. Tasta saadaan elektroninkeskimaaraiseksi nopeudeksi v = p/m = −eτE/m. Tamasynnyttaa sahkovirrantiheyden j = −enev. (Virrantiheyson virta jaettuna sita vastaan kohtisuoralla pinta-alalla,jonka lapi virta kulkee. On hyva tarkastaa, etta laaduttasmaavat kaavassa j = −enev:[j] = A/m

2= C/s m2, [e] = C, [ne] = 1/m3, [v] = m/s.)

Nain saadaan

j = σE, (99)

missa

σ =e2neτ

m. (100)

Huomataan ensimmaiseksi, etta kaava (99) on Ohminlaki: virta riippuu lineaarisesti sahkokentasta. Ohmin laintutumpi muoto V = RI saadaan kun meilla on johdejonka pituus on L ja poikkipinta-ala A. Talloin virtaI = Aj ja jannite johdon paiden valilla V = LE . Nainollen resistanssi R = L/σA. Suure σ on johtavuus ja senkaanteisluku ρ = 1/σ on resistiivisyys.

Johtavuuden kaava (100) johdettiin tassa varsinyksinkertaisesti. Sama tulos saavutetaan tarkemmallalaskulla, jossa otetaan huomioon elektronienFermi-jakauma seka se, etta sironta voi tapahtuaainoastaan tyhjiin tasoihin.

Taulukossa on annettu joidenkin metallien mitatutresistiivisyydet ja niista lasketut relaksaatioajatlampotilassa T = 273 K.

24

ρ (10−8Ω m) τ (10−14 s)Na 4.2 3.2Cu 1.56 2.7Fe 8.9 0.24Al 2.45 0.80Pb 19.0 0.14

Kvalitatiivisesti resistiivisyyden riippuvuus lampotilastaon alla olevan kuvan tyyppia.

T (K)

ρ

00

Huoneen lampotilassa on hilavarahtelyista aiheutuvaresistiivisyys dominoiva. Se haviaa vahitellen laskettaessalampotilaa kohti absoluuttista nollapistetta. Matalissalampotiloissa kiteen virheet ovat maaraavia, silla niistaaiheutuva resistiivisyys on lampotilasta riippumaton.Saantoa etta kummastakin lahteesta tulevatresistiivisyydet voidaan laskea yhteen, ρ = ρ1 + ρ2,kutsutaan Mathiessenin saannoksi. Suprajohtavassametallissa on lisaksi matalissa lampotiloissa muutossuprajohtavaan tilaan, jota tarkastellaan myohemmintassa kurssissa.

Alla olevissa kuvissa on esitetty mitattuja kuparinresistiivisyyksia eri lampotiloissa.

200 400 600 800T HKL

1

2

3

4

5

6

Ρ HΜW cmL

æ æ

æ

æ

0 10 20 30 40T HKL0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030Ρ HΜW cmL

Taydet kaistat ja aukot

Edella tarkasteltiin miten elektronit kuljettavatsahkovirtaa osaksi taytetyssa energiakaistassa. Tamanperustella voidaan myos ymmartaa miksi taysienergiakaista ei johda. Taydessa kaistassa on aina yhtapaljon positiiviseen kuin negatiiviseenkin suuntaan

kulkevia elektroneja, joten nettovirtaus haviaa.

On olemassa vaihtoehtoinen tapa ajatella sahkon kulkuaosaksi taytetyssa energiakaistassa. Taytettyjen tasojenasemasta voidaan tarkastella niita tasoja, joissa ei oleelektroneja. Tallaisia puutuvia elektroneja kutsutaanaukoiksi. Tama tarkastelutapa on hyodyllinen erityisestisilloin, kun energiakaista on melkein taynna.

Kuten edella, tarkastellaan tapausta, jossa elektroneihinvaikuttaa voima, joka ajaa niita suuremmille k:n arvoille.Talloin aukot kayttaytyvat kuvan mukaisesti.

k

π/a−π/a

Eaukot

F = -eE

Tassa tapauksessa aukoilla v = (1/h)dE/dk onkeskimaarin negatiivinen, eli ne liikkuvat negatiiviseenx-suuntaan. Siihen nahden etta kaista olisi taysi, liittyyaukkoihin positiivinen varaus. Siis positiiviseenx-suuntaan liikkuvien negatiivisten varausten(elektronien) asemesta voidaan ajatella sahkovirranmuodostuvat negatiiviseen x-suuntaan liikkuvistapositiivisesti varatuista aukoista.

Elektronien lampokapasiteetti

Edella tutkittiin hilavarahtelyista aiheutuvaalampokapasiteettia. Taman lisaksi myos elektronitvaikuttavat lampokapasiteettiin. Periaatteessa voisijohtavuuselektroneista aiheutua samaa suuruusluokkaaoleva lampokapasiteetti kuin hilavarahtelyistakin.Kuitenkin huoneen lampotilassa T TF . Tasta aiheutuuse, etta vain hyvin pieni osuus elektroneista (≈ T/TF ) onvirittynyt. Taman takia on elektronien lampokapasiteettihyvin pieni, ja voidaan usein olettaa nollaksi.

Lammonjohtavuus

Lammonjohtavuus κ maaritellaan kaavalla

jQ = −κdTdx, (101)

missa jQ on lampovirrantiheys (laatu W/m2) kunlampotila T riippuu paikasta x. (Miinusmerkki tulee siitaetta energiavirta on kohti matalampaa lampotilaa.)

Edella mainittiin hilavarahtelyista (fononeista) aiheutuvalammonjohtavuus, joka esiintyy seka eristeissa ettajohteissa. Johteissa taman lisaksi myosjohtavuuselektronit kuljettavat lampoa. Taman takiametallien lammonjohtavuus on usein merkittavasti

25

suurempi kuin eristeiden. Perustelematta asiaatarkemmin, mainitaan etta metallien lammonjohtavuuson aika hyvin verrannollinen niiden sahkonjohtavuuteen σniin etta

κ ≈ π2k2BT

3e2σ. (102)

Tata riippuvuutta kutsutaan Wiedemann-Franz-laiksi.

Fermi-jakauma

Edella on puhuttu Fermi-jakaumasta. Katsotaan sitahieman tasmallisemmin. Fermi-jakauma antaaelektronitasojen tayttotodennakoisyyden tasapainotilassa.Todennakoisyys f(E) riippuu tason energiasta E.Jakauma on esitetty kuvassa.

-4 kBT -2 kBT 0 2 kBT 4 kBT E - Μ

12

1

f

Kaikki matalan energian tasot ovat taynna,f(µ− E kBT ) = 1. Kaikki korkean energian tasot ovattyhjia, f(E − µ kBT ) = 0. Jakaumassa on kaksiparametria: absoluuttinen lampotila T , ja energia µ. µ:takutsutaan Fermi-tasoksi tai kemialliseksi potentiaaliksi. µon se energia, jolla tayttotodennakoisyys on tasan 1/2. Semaaraytyy yleensa siita etta elektronien tiheys ne ontiedetty.

Fermi-jakauma voidaan myos esittaa kaavana,

f(E) =1

e(E−µ)/kBT + 1. (103)

Tama johdetaan termofysiikan kurssilla ja lyhyesti myosliitteessa A.

4.5 PuolijohteetEdella mainittiin etta puolijohteissa energiarako on pieni,ja siksi lampoliike virittaa elektroneja sen yli.

Oheisessa kuvassa pisteet esittavat elektroneja, jotka ovatvirittyneet valenssikaistan ylaosasta johtavuuskaistanalaosaan. Valenssikaistassa taas on aukkoja eli puuttuviaelektroneja. Kuten edella perusteltiin, sekajohtavuuskaistan elektronit etta valenssikaistan aukotaiheuttavat saman suuntaisen sahkovirran.

johtavuus-

kaista

valenssi-

kaista

E F = -eE

j = -ennvn + enpvp

q*= -e

q*= +e

vn

vp

⇒

Samoin kuin metalleissa, varauksenkuljettajienkeskimaarainen nopeus on verrannollinen sahkokenttaan.Kirjoitetaan tama erikseen elektroneille (indeksi ntarkoittaen negatiivista varausta) ja aukoille (indeksi ptarkoittaen positiivista varausta),

vn = −eBnE, vp = eBpE, (104)

missa kertoimia Bn ja Bp sanotaan liikkuvuuksiksi(mobility). (vn:n lauseke on sama kuin edella kirjoitettiinmetallin tapauksessa, paitsi etta Bn:n sijasta kirjoitettiinτ/m.)

Kun elektronien lukumaaratiheys on nn ja aukkojen np,saadaan virrantiheys

j = −ennvn + enpvp = e2(nnBn + npBp)E. (105)

Tasta saadaan johtavuudeksi

σ = e2(nnBn + npBp). (106)

Puolijohteissa sahkonjohtokyky riippuu voimakkaastilampotilasta, silla nn ja np riippuvat olennaisestilampotilasta.

Puolijohteiden ominaisuuksia voidaan muuttaa lisaamallasopivia epapuhtauksia. Tarkastellaan esimerkiksi piita taigermaniumia, joilla on nelja valenssielektronia atomiakohti. Korvataan yksi atomi fosforilla tai arseenilla (P,As), joilla on viisi elektronia uloimmalla kuorella. Naintuleva viides elektroni joutuu siirtymaanjohtavuuskaistalle. Epapuhtausatomille jaa nyt kuitenkinpositiivinen varaus e, joka vetaa tata elektronia puoleensa.Taman seurauksena muodostuu elektronille energiatasoja,jotka ovat samankaltaisia kuin elektronilla vetyatomissa.Olennaisena erona on etta vetyatomissa elektroni liikkuutyhjiossa mutta epapuhtausatomia kiertava elektroniliikkuu puolijohdeatomien muodostamassa taustassa.Yksinkertaisimmillaan tama tausta otetaan huomioonsiten etta 1) kiertavan elektronin massan paikalla onpuolijohteen johtavuuskaistan efektiivinen massa ja 2)positiivisen varauksen e synnyttama potentiaali onheikentynyt puolijohdemateriaalin suhteelliselladielektrisyysvakiolla. Naista tekijoista johtuen on sidotuntason energia vain jonkin verran johtavuuskaistanalareunan alapuolella. (harjoitustehtava)

Ajatellaan etta epapuhtauksia on useita. Naistaaiheutuvat ylimaaraiset elektronit asettuvat tasoille, jotkasyntyvat juuri johtavuuskaistan alapuolelle. Namapaasevat helposti virittymaan johtavuuskaistaan, missa ne

26

osallistuvat sahkonkuljetukseen. Tallaista puolijohdettasanotaan negatiivisen tai n-tyypin puolijohteeksi.

johtavuus-

kaista

epäpuhtaus-

tasot

valenssi-

kaista

n-puolijohde

E

p-puolijohde

E

Vastaavasti voidaan kayttaa epapuhtauksia joilla onvahemman kuin nelja elektronia ulkokuorella, esimerkiksialumiini tai gallium (Al, Ga). Nama synnyttavat juurivalenssikaistan ylapuolelle sidottuja aukkotasoja. Nevoivat tayttya elektroneilla, jolloin syntyy vapaastiliikkuvia aukkoja. Tallaista puolijohdetta sanotaanpositiivisen tai p-tyypin puolijohteeksi.

Puhtaassa puolijohteessa Fermi-taso on suunnilleenenergiaraon puolessa valissa, silla elektronien maarajohtavuuskaistassa on sama kuin aukkojen maaravalenssikaistassa. N-puolijohteessa Fermi-taso onnollalampotilassa johtavuuskaistan ja epapuhtaustasojenvalissa. Lampotilan noustessa se laskee kunepapuhtaustasojen elektronit virittyvatjohtavuuskaistaan.

puhdas p-puolijohde

E E

n-puolijohde

E

µ

µ

µ

Samojen periaatteiden mukaan Fermi-tasop-puolijohteessa on epapuhtaustasojen tuntumassa.

N-p-liitos

Muodostetaan rajapinta n- ja p-puolijohteiden valille.Koska elektronien Fermi-taso on korkeampin-puolijohteella, virtaavat elektronit n-tyypista p-tyypinpuolelle. P-tyypin puolelle muodostuu siksi negatiivinenvaraus ja n-tyypin puolelle jaa positiivinen varaus. Tamanostaa suhteellista p-tyypin potentiaalia. Tasapainosaavutetaan silloin, kun molempien puolijohteidenFermi-tasot ovat samat. Nain ollen sama Fermi-jakaumapatee koko jarjestelmassa.

E E

f

n

p

E

µ

Vastaava potentiaaliero syntyy minka tahansa kahden erijohteen valille, ja sita kutsutaan kontaktipotentiaaliksi.Tata on yksityiskohtaisemmin tarkasteltu liitteessa C.

Kytketaan liitokseen ulkoinen jannite V , joka onnegatiivinen n-puolella. Jannitteen maaritelman mukaann-puolen elektronien energiat nousevat talloin U = −eV :nverran. Tasta johtuen paasevat n-tyypin elektronitvirtaamaan p-puolelle. Samoin paasevat p-puolen aukotvirtaamaan n-puolelle.

E

jännite päästösuuntaan (U > 0)

E

U

0

np

-

n

+

p

Jos jannite kytketaan vastakkaissuuntaan, voisivat virratolla vastakkaissuuntaiset. Nyt kuitenkin p-tyypinjohtavuuskaistalla on vain hyvin vahan elektroneja jan-tyypin valenssikaistalla hyvin vahan aukkoja, jotenvirta on hyvin pieni.

-

E

E

U

jännite estosuuntaan (U < 0)

0

n

n

+

p

p

Paatellaan etta liitos toimii tasasuuntaajana, koskavastakkaisilla jannitteilla saadaan eri virta.

Muodostetaan yksinkertainen malli. Tarkastellaan vainelektroneja, aukkojen kayttaytyminen saadaananalogisesti. Elektronien virtaus p→n riippuu ainoastaanelektronien maarasta p-tyypin johtavuuskaistassa. Tastaaiheutuva virta −I0 on siten riippumaton potentiaalistaU . Elektronien virtaus n→p riippuu niiden elektronienmaarasta n-tyypin johtavuuskaistassa, joiden energia

27

ylittaa p-tyypin johtavuuskaistan alareunan energian.Koska Fermi-jakauma tassa alueessa on verrannollineneksponenttifunktioon (harjoitustehtava), on naistaaiheutuva virta I1(U) = I1(0)eU/kBT . Kokonaisvirta onnaiden summa. Ottaen huomioon, etta tasapainossaU = 0 taytyy kokonaisvirran havita, saadaan

I(U) = I0[eU/kBT − 1]. (107)

U

I

-I0

N-p-liitoksen sovellutuksia

Ylla tarkasteltua n-p-liitosta kaytetaan elektroniikassavirran tasasuuntaamiseen (missa vaihtovirta muunnetaantasavirraksi). Hieman monimutkaisempaa komponenttia,jossa on kaksi lahekkaista rajapintaa (esim. n-p-n)kutsutaan bipolaaritransistoriksi. Se on tarkeakomponentti elektroniikassa, silla sita voidaan kayttaasignaalien vahvistamiseen: pienella virralla”kantaan”(joka on kytketty keskella olevaan ohueenpuolijohteeseen) voidaan ohjata suurempaa virtaa jokakulkee molempien liitosten lapi.

Tarkastellaan viela edella kuvatun diodin p-puolta.Paastosuunnassa sinne tulee ylimaarin elektronejan-puolelta. Tasapainossa taas virrankuljetus p-tyypissatapahtuu suurimmaksi osaksi aukkojen avulla. Muutosnaiden valilla tapahtuu rekombinaation kautta, jossaelektroni putoaa johtavuuskaistalta valenssikaistallaolevaan aukkoon. Tassa vapautuu energia ≈ Eg, joka voiemittoitua sahkomagneettisena sateilyna. Tata kaytetaanhyvaksi loistediodissa (light emitting diode, LED) jadiodilaserissa.

ħω ≈

E g

E

rekombinaatio p-puolijohteessa

N-p-liitosta kaytetaan myos aurinkokennossa taiyleisemmin valokennossa. Valokennossa on tarkoitus ottaatalteen sahkomagneettisen sateilyn energia ja muuttaa sesahkovirraksi ja jannitteeksi. Kuneristeeseen/puolijohteeseen osuu sateily, jonka kvantin

energia hω ylittaa energiaraon Eg, virittyy elektronejavalenssikaistasta johtavuuskaistaan. Nama elektronitliikkuvat satunnaisesti johtavuuskaistassa, kunnes nejonkin ajan kuluttua rekombinoituvat aukkojen kanssa,jolloin energia muuttuu takaisin sateilyksi. Jos kuitenkinvirittyminen on tapahtunut n-p-liitoksen p-puolella,saattaa elektroni satunnaisesti liikkuessaan joutuan-puolelle. Taalla se ei enaa voi rekombinoitua (koskasiella ei ole aukkoja) eika se helposti paase palaamaanp-puolelle (jos elektronin energia on alempi kuin p-puolenjohtavuuskaistan alareunan energia). Nain n-puolellesyntyy negatiivinen varaus, joka saa aikaan jannitteen jasahkovirran ulkoisessa piirissa.

E

aurinkokennon toimintaparisto latautuu

E

U

0

np

-

n

+

p

ħω

Heterorakenne

Heterorakenteella tarkoitetaan tapausta, jossa erimateriaaleja on yhdistetty siten, etta sama hilarakennesailyy. Tama on mahdollista vain jos materiaalienhilavakiot ovat lahella toisiaan. Jos nain ei olisi, eihilarakenne rajapinnassa olisi saannollinen. Paljontutkittu tapaus on GaAs ja AlAs. Ga ja Al ovatjaksollinen jarjestelman ryhmasta 13 ja As ryhmasta 15.(Vahnemmassa kirjallisuudessa puhutaan ryhmista III jaV.) Yhdisteet ovat puolijohteita. Molemmilla onsinkkivalkerakenne (sivu 5). Niiden hilavakiot ovat lahessamat: GaAs 563 pm, AlAs 562 pm.

Erilaisia heterorakenteita voidaan valmistaa kayttaenmolekyylisuihkuepitaksiaa (molecular beam epitaxy,MBE). Kaaviokuvassa on esitetty alusta jolle kidekasvatetaan. Atomi- tai molekyylisuihkut saadaan aikaanlammittamalla kutakin lahdetta sopivasti. Kiteenkasvamista seurataan elektronidiffraktion avulla, jollavoidaan havaita jaksottainen vaihtelu sen mukaan onkopaallimmainen atomikerros vajaa vai taysi. Hoyrystystapahtuu ultratyhjiossa.

28

alusta

höyrystimet

sulkijat

havaitsinelektronilähde

ultra

tyh

jiöka

mm

io

GaAs ja AlAs poikkeavat toisistaan energiaraoiltaan.Esim. Ga0.7Al0.3As:ssa Eg = 1.82 eV kun taas GaAs:ssaEg = 1.42 eV. Voidaan tehda kiteita jossa on esim. n1

kerrosta GaAs, sitten n2 kerrosta AlAs, sitten n3 kerrostaGaAs, jne. Naissa energiarako vaihtelee vastaavasti.

E

x

Tassa esim. johtavuuskaistaan muodostuu suorakaiteenmuotoinen kuoppapotentiaali x-suuntaiselle elektronienliikkeelle. Riippuen lisaaineistuksesta (doping) siirtyvatelektronit materiaalilta toiselle kuten n-p-liitoksessa.Tama saa energiakaistat siirtymaan muttaenergiakaistojen reunat myos taipuvat (katso liite C).

E

µ

x

µ

Oheisessa kuvassa on piirretty kuinka johtavuuskaistataipuu pienemman energiaraon puolijohteessa. Siitaaiheutuva potentiaali seka kaksi alinta energiatasoa onesitetty suurennettuna. Jos Fermi-taso on naiden valissa,on matalissa lampotiloissa ainoastaan alempi naistaelektroneille mahdollinen. Talloin liitokseen syntyykaksiulotteinen elektronikaasu. Tama tarkoittaa, etta liikex suuntaan on rajattu alimman energiatason mukaiseksi.Liike kohtisuoriin y- ja z-suuntiin taas on oleellisestisamanlainen kuin vapaalla elektronikaasulla.

Yleisemmin puhutaan kaksi- tai yksiulotteisistajarjestelmista kun liike yhdessa tai kahdessaulottuvuudessa on taysin maaratty, jolloin keskitytaantutkimaan vain jaljella olevia vapausasteita.

Edella kuvatulla tavalla voidaan toteuttaa mm. seuraavarakenne. Johtava kerros muodostuu heterorakenteensisalle. Kerroksen johtavuutta voidaan saataa rakenteenpinnalle tehdyilla elektrodeilla, joilla voidaan saadaaikaan kapea johtava kanava. On havaittu etta tallaisessa

kanavassa konduktanssi G = I/V = 1/R on kvantittunut:muutettaessa elektrodien jannitetta konduktanssi pyrkiiasettumaan arvoon, joka on kokonaisluku kertaa 2e2/h.

porttielektrodit2-ulotteinen

elektronikaasujohtamaton

alue

kapea

johtava

kanava

Johtavuus puolijohdeheterorakenteessa porttijannitteenfunktiona. [kuva: B. J. van Wees et al, Phys. Rev. Lett.60, 848 (1988).]

4.6 Sahkomagneettisen sateilyn jakiintean aineen vuorovaikutusKiintean aineen energiakaistarakenteen avulla voidaanymmartaa myos monia optisia ilmioita. Tarkastellaanensin yleisesti sahkomagneettisen sateilyn absorptiota.Oletetaan etta sateilyn kulmataajuus on ω, jolloin senfotonin energia on E = hω. Tama voi absorboituamateriaan jos sen elektroneilla on kaksi energiatasoaenergioilla E1 ja E2 siten etta hω = E2 − E1. Lisaksiehtona on etta ennen absorptiota alemmassa tasossa onelektroni ja ylempi taso on tyhja. Fotonin absorptiossaelektroni siirtyy alemmasta energiatasosta ylempaan,jolloin fotonin energia muuttuu elektronin energiaksi. Josmyos ylemmassa tasossa olisi aluksi elektroni, absorptio eiolisi mahdollinen, koska Paulin kieltosaanto estaalopputilan.

Tarkastellaan ensin eristeita. Naissa on energiarako Egvalenssikaistan (= ylin taytetty kaista) jajohtavuuskaistan (= alin tyhja kaista) valissa. Jottafotoni voisi absorboitua, taytyy sen energian ollasuurempi kuin energiarako, hω > Eg. Tata pienemmillafotonin energioilla materiaali on lapinakyva. Nakyva valovastaa energioita valilla 1.7 eV:sta (punainen) 3.1 eV:iin(violetti). Taulukosta sivulla 24 nahdaan etta timantilla,ruokasuolalla (NaCl), korundilla (Al2O3) ja kvartsilla(SiO2) energiarako on suurempi kuin 3.1 eV, joten neovat lapinakyvia koko nakyvan valon alueella. Sama pateemonille muille eristemateriaaleille.

29

E

eriste jossa epäpuhtausia

E

absorptio

eriste

täysi kaista

tyhjä kaista

ħω ħω

absorptio

Epapuhtaudet voivat aiheuttaa absorptiota eristeissa. Josjoku aallonpituus absorboituu voimakkaasti, nayttaamateriaali vastakkaisvariselta. Esimerkiksi korundissa voiolla kromiepapuhtauksia. Ne aiheuttavat absorptionvihrealla alueella, jolloin materiaali nayttaa punaiselta.Tama tunnetaan rubiinina. Toisentyyppiset epapuhtaudetaiheuttavat korundissa eri vareja, jolloin sita kutsutaansafiiriksi. Kuvassa variton ja kaksi epapuhtauksienvarjaamaa kvartsikidetta.

Elektronien lisaksi myos hilavarahtelyt aiheuttavatabsorptiota. Tama absorptio on hilavarahtelyjentaajuuksilla eli infrapuna-alueella.

Metalleissa johtavuuselektroneilla on suuri vaikutusoptisiin ominaisuuksiin. Johtavuuselektronienvaikutuksesta sahkomagneettinen sateily ei tunkeudusyvalle johteen sisaan. Siis metallit ovatlapinakymattomia. Nakyvan valon alueella kuitenkin vainpieni osuus sateilyn energiasta absorboituu. Suurin osasateilysta heijastuu takaisin metallin pinnasta. Tastaaiheutuu metallin kiilto, siis etta puhdas metallipintaheijastaa siihen kohdistuvan valon. Pienessa maarinmetalleissa valoa myos absorboituu samaan tapaan kuineristeissa, kun elektroni siirtyy alemmalta kaistaltaylemmalle. Esimerkiksi kuparin (Cu) ja kullan (Au)kellertava vari syntyy siita etta violetin paan fotonitabsorboituvat elektronin virittyessa Fermi-tasonalapuolisesta d-elektronikaistasta johtavuuskaistaan.

Elektronin viritetty tila voi purkautua sateilyn emissiona.Tassa elektroni siirtyy ylemmasta tasosta 2 alempaantyhjaan tasoon 1, ja vapautuva energia synnyttaa fotoninenergialla hω = E2 − E1. Elektronin viritetty tila voikuitenkin purkautua myos muuta kautta, esimerkiksi

useamman fotonin kautta tai synnyttamalla fononeja.Esimerkkeja tasta ovat seuraavat. Fluoresenssi:emittoituva valiton sateily, jonka taajuus on pienempikuin absorboituvan sateilyn. Selitetaan siten, ettavirittynyt elektroni palaa lahtotilaansa kahdessavaiheessa, joista toinen havaitaan emittoituvana sateilyna.Fosforenssi: viivastynyt emissio koska virittynyt elektroniensin siirtyy pitkaikaiseen tasoon (loukkuun), josta sepaasee palaamaan alkutasoonsa vasta pitkahkon ajankuluttua.

Kun materiaalia sateilytetaan ultravioletti- tairontgenalueella, saadaan tietoa myos sisemmistaelektronikuorista. Talloin syntyy vapaita elektroneja,joiden kineettinen energia

Ekin = hω − Eb, (108)

missa Eb on fotonin absorboineen elektronin sidosenergia.Saatava fotoelektronien kineettisen energian jakauma(kiintealla hω) voisi olla kuvan mukainen. Suurinmahdollinen kineettinen energia saadaan, kun emittoituvaelektroni lahtee Fermi-tasolta.

intensiteetti

Fermi-taso

Ekin

4.7 Elektroni-elektroni-vuorovaikutusKoko kaistarakenteen kasittely edella on perustunutyksittaisen elektronin liikkeeseen ionien muodostamassapotentiaalissa. Toistaiseksi ei elektronien valisestaCoulombin vuorovaikutuksesta ole puhuttu juuri mitaan.Taman vuorovaikutuksen mukaan ottaminen on yksifysiikan keskeisia ongelmia. (Ongelman numeeristaratkaisua arvioitiin edella sivulla 8.) Mitaan yleistaratkaisua ei tahan monen kappaleen ongelmaan ole,ainoastaan suuri joukko erilaisia likimaaraismenetelmia.

Kaikeksi onneksi elektroni-elektroni-vuorovaikutus einayta muuttavan mitaan niista paatuloksista joita onesitetty edella. Erityisesti kiteiden energiakaistarakennesailyy, vaikka sita kuvaavat parametrit (esim. efektiivinenmassa) muuttuvatkinelektroni-elektroni-vuorovaikutusten takia.

30

5. Kokeellisia tutkimusmenetelmiaEdella oli jo puhetta diffraktiosta kiderakenteentutkimuksessa seka spektroskopiasta energiarakenteentutkimuksessa. Tassa muutamia uudehkojatutkimusmenetelmia.

Tunnelointimikroskoopilla (scanning tunnelingmicroscope) tarkoitetaan ohutta metallista neulaa, jotavoidaan liikuttaa tutkittavan pinnan laheisyydessa.Parhaassa tapauksessa neulan karki on sellainen, etta yksiatomi on ulompana kuin muut. Neula tuodaan allenanometrin etaisyydelle johtavasta tutkittavastapinnasta, ja niiden valille kytketaan jannite. Elektronitpaasevat tunneloitumaan karjen ja naytteen valilla, jostasyntyva sahkovirta voidaan mitata. Virta riippuueksponentiaalisesti neulan ja pinnan valisestaetaisyydesta. Rekisteroimalla virta samalla kun neulaakuljetetaan pinnan suuntaisesti, saadaan virtakuvapinnasta. Parhaassa tapauksessa saavutetaan atomitasonresoluutio (kuva sivulla 3).

neulan

kärki

tutkittava

pinta

Olennaista laitteen toiminnalle on miten liikuttaa neulaavarinattomasti atomimittakaavassa.

pie

tsokid

e

piets

okide

pietsokidenäyte

neula

Pietsokide muuttaa muotoaan kun se asetetaansahkokenttaan. Kolmella pietsokiteella voidaan ohjataneulaa kaikissa suunnissa.

Laheista sukua tunnelointimikroskoopille onatomivoimamikroskooppi (atomic force microscope). Siinaohutta karkea painetaan heikosti pintaa vastaan. Samallakun liikutaan pinnan suuntaisesti, luetaan karjentukivarren taipuma. (Harjoitustehtavana arvioitiinkahden atomin valiseen voimaan liittyva jousivakio.Neulaa painetaan saman suuruusluokan jousivakiolla.)Atomivoimamikroskooppi soveltuu myos eristeidentutkimiseen.

6. MagnetismiAloitetaan tarkastelemalla magnetismiin liittyvia suureita.Magneettinen momentti µ maaritellaan virtasilmukassakiertavana virtana I kertaa silmukan pinta-ala A:µ = IA. Magneettisen momentin suunta on virtasilmukantasoa vastaan kohtisuorassa. Magneettiseen momenttiinliittyy ulkoisessa magneettikentassa B energia

Em = −B · µ. (109)

Tarkastellaan elektronin rataliiketta atomissa.Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan ympyraliike sateella rja nopeudella v, mutta lopputulos (111) on yleisempi.Ajatellaan kiertavan elektronin muodostavan virranI = −eν, jossa taajuus ν = v/2πr. Magneettiseksimomentiksi saadaan

µ = −1

2evr = − e

2mL, (110)

missa kulmaliikemaara L = mrv. Saatu tulos voidaankirjoittaa vektorimuodossa

µ = − e

2mL. (111)

Siis elektronien rataliikkeeseen liittyy magneettinenmomentti, joka on verrannollinen kulmaliikemaaraan. Senlisaksi elektronilla on sisaiseen liikkeeseen liittyvakulmaliikemaara S, jota kutsutaan spiniksi. Myos spiniinliittyy magneettinen momentti

µ = −g e

2mS, (112)

missa g-tekija g = 2.002319304364 ≈ 2. (Tama arvovoidaan ymmartaa kvanttielektrodynamiikan teorianavulla, johon ei tassa menna.)

Tarkastellaan elektronin energiatasoja atomissa, joka onmagneettikentassa. Kvanttimekaniikan mukaan L:n jaS:n komponentti magneettikentan suunnassa voi saadavain diskreetteja arvoja. Kun valitaan z-akseli kentansuuntaan, patee

Lz = mlh, Sz = msh, (113)

missa

ml = 0,±1,±2, . . . ,±l, ms = ±1

2. (114)

Talloin magneettinen energia (109) voi saada arvot

Em = (ml + gms)µBB, (115)

missa on maaritelty Bohrin magnetoniµB = eh/2m = 9.274× 10−24 J/T. Seuraavassarajoitutaan tapaukseen l = 0, jota vastaavat energiatasotja µz-arvot on esitetty kuvassa.

31

B ≠ 0

+µB

B -µB

µz

-µB

B +µB

Em Em

B = 0

Kun B = 0, ovat elektronin energiatasot kahdestidegeneroituneet. Magneettikentassa nama eroavatenergialla 2µBB. Nahdaan etta tama energia-ero onyleensa varsin pieni silla µB = 5.8× 10−5 eV/T, siisyhden teslan kentassa (joka on jo hyvin iso kentta, maanmagneettikentta < 65 µT) energiaero ∼ 10−4 eV.

Tarkastellaan nyt muutamia erikoistapauksia kiinteidenaineiden magnetismista.

Eriste

Tutkitaan puhdasta eristemateriaalia. Siina kaikki kaistatovat taynna tai tyhjia. Taydessa kaistassa elektronienkakki magneettiset tilat ovat yhtalailla taynna, jotenniiden magneettiset momentit kumoavat toisensa. Tasta(ja siita etta eristeen energiarako on paljon suurempi kuinEm) seuraa, etta elektronien spineista ja rataliikkeesta eisynny magneettista momenttia. Pieni magneettinenmomentti syntyy kuitenkin siita, etta magneettikenttahieman muuttaa elektronien kiertonopeutta aineenatomeissa. Tutkimatta asiaa tarkemmin todetaan, ettatasta aiheutuu heikko diamagnetismi, missa magneettinenmomentti on vastakkaiseen suuntaan kuin ulkoinenkentta.

Paramagneettinen ioni

Tutkitaan eristeessa olevaa yhta epapuhtausatomia.Oletetaan etta atomilla tayden kuoren lisaksi on yksielektroni, jolla on vain spiniin liittyva magneettinenmomentti, µz = ±µB ja energia Em = ∓µBB. Naidenkahden tilan todennakoisyys lampotilassa T noudattaaGibbsin jakaumaa (31), jonka mukaan tilojentodennakoisyydet ovat

p =1

Ze−βEm =

1

Ze±βµBB , (116)

missa Z = eβµBB + e−βµBB ja β = 1/kBT . Talloinsaadaan magneettisen momentin odotusarvoksi

〈µz〉 =µBe

βµBB − µBe−βµBB

eβµBB + e−βµBB

= µB tanhµBB

kBT. (117)

Kaytannossa µBB kBT . Koska tanhx ≈ x kun x 1,saadaan

〈µz〉 =µ2

BB

kBT. (118)

Magnetoituma M maaritellaan kappaleen magneettisenamomenttina tilavuutta kohti. Magneettinensuskeptibiliteetti χ maaritellaan kaavalla

M = χB

µ0. (119)

Merkitaan nioni:lla ionien maara tilavuutta kohti niinsaadaan M = nioni〈µz〉 ja kaavoista (118) ja (119)

χ =µ0µ

2Bnioni

kBT. (120)

Tama riippuu lampotilasta kuten 1/T , mika on Curienlaki.

Johtavuuselektronit

Vapaiden elektronien energiatasojen tiheys g(E) (64)laskettiin edella. Kun elektronit ovat magneettikentassa,siirtyvat energiatasot joilla magneettinen momentti on“ylos” (↑: µz = +µB) alemmaksi energiassa. Vastaavastitasot joissa magneettinen momentti on “alas” siirtyvatylemmaksi energiassa. Tasta seuraa, etta kummassakintapauksessa energiatasojen tiheydet ovat siirtyneet,

dn↑dE

=1

2g(E + µBB)

dn↓dE

=1

2g(E − µBB). (121)

Tasapainotilassa nama tasot tayttyvat kuvan mukaisesti

dn

dE

E

µB

B

µB

B

µz = +µ

B

µz = -µ

B

εF

Kokonaismagnetoituma saadaan laskemalla kaikkientaytettyjen tasojen magneettiset momentit,

M = µB

∫ εF

−µBB

dn↑dE

dE − µB

∫ εF

µBB

dn↓dE

dE (122)

Kuvasta voi paatella, etta tama vastaa vaaleammallavarjostetun alueen pinta-alaa. Laskemalla kaavasta taipaattelemalla geometrisesti saadaan

M ≈ µB 2µBB1

2g(εF)

= µ2Bg(εF)B, (123)

kun µBB εF. Tasta saadaan suskeptibiliteetiksi

χ = µ0µ2Bg(εF) =

3µ0µ2Bne

2εF. (124)

32

Tassa on viimeisessa muodossa on kaytetty kaavaag(εF) = 3ne/2εF, jonka voi johtaa kaavoista (64) ja (66).Saatua efektia kutsutaan Paulin paramagnetismiksi. Se onoleellisesti riippumaton lampotilasta.

On kiinnostavaa verrata kaavoja (120) ja (124). Olettaennioni ∼ ne, on ionien paramagnetismi tekijalla∼ εF/kBT ∼ 100 suurempi. Paulin paramagnetismi onvarsin heikko ilmio, χ ∼ 10−5.

Jotta saataisiin kasitys χ:n suuruuden merkityksesta,muistetaan sahkoopista, etta magneettikentta B syntyysummana magnetoivasta kentasta H ja magnetoitumastaM :

1

µ0B = H +M . (125)

Silloin kun nayte ei ole paikalla (M = 0) saadaan tastaB = µ0H, joka voidaan ymmartaa ulkoisenamagneettikenttana, joka syntyy esimerkiksi kelassakulkevasta virrasta. Kun nayte tuodaan paikalle, H eimuutu (olettaen kentat paikasta riippumattomiksi).Talloin saadaan kaavoista (119) ja (125)

B =µ0H

1− χ. (126)

Nahdaan etta B:n muutos on pieni, kun χ 1.

Edella mainittu diamagnetismi (joka esiintyy sekaeristeissa etta metalleissa) on samaa suuruusluokkaa kuinPaulin paramagnetismi, mutta se onvastakkaissuuntainen, χ ∼ −10−5, joten niidenyhteisvaikutus voi metallista riippuen olla kummanmerkkinen tahansa.

Ferromagnetismi

Ferromagnetismissa atomaariset magneettiset momentitovat jarjestaytyneet samansuuntaisiksi. Tasta aiheutuvamagnetoituma on yleisesti paljon suurempi kuin dia- taiparamagnetismissa. Ferromagnetismia esiintyy joissakinalkuainemetalleissa ja yhdisteissa ns. Curie-lampotilan Tcalapuolella.

materiaali Tc (K) tyyppiFe 1043 ferromagneettiCo 1388 ferromagneettiNi 627 ferromagneettiCr 311 antiferromagneetti

NiO 600 antiferromagneettiFe3O4 (magnetiitti) 853 ferrimagneetti

Ferromagneetissa atomaariset magneettiset momentitovat suuntautuneet saman suuntaisiksi. Esiintyy myosantiferromagnetismia, missa atomaariset momentit eriatomeilla ovat vastakkaiset (esim. joka toisennikkeliatomin momentti on “ylos” ja joka toisen “alas”NiO:ssa). Ferrimagneeteissa on myos erisuuntaisiamomentteja, mutta ne ovat erisuuret eivatka siten kumoatosiaan. Keskitytaan jatkossa vain ferromagnetismiin.

Tuntusi luonnolliselta ajatella, etta ferromagnetismijohtuisi atomaaristen momenttien valisestamagneettisesta vuorovaikutuksesta, joten arvioidaan sita.Magneettisen momentin µ synnyttaman kentanvoimakkuus B ∼ µ0µ/4πr

3. Kahden etaisyydella a ∼ 0.3nm olevan spinin magneettinen vuorovaikutusenergia onsiten suuruusluokkaa µ0µ

2B/4πa

3. Tama vastaa termistaenergiaa 0.02 kelvinin lampotilassa. Tama on aivan liianheikko vuorovaikutus selittamaan ferromagnetismia.

Ainoa ja luonnollinen selitys ferromagnetismille on, etta seaiheutuu samoista syista kuin esim. kovalentti sidos. Tatasanotaan vaihtovuorovaikutukseksi (exchange interaction).Olennaiset ainekset siina ovat Coulombin vuorovaikutuselektronien valilla ja Paulin kieltosaanto, joka estaa kahtaelektronia olemasta samassa energiatasossa. (Huomaaetta Coulombin vuorovaikutus ei riipu elektronienspineista, joten spin tulee mukaan ainoastaan Paulinkieltosaannon kautta. Sana “vaihto” tulee siita ettaPaulin kieltosaanto voidaan ilmaista aaltofunktionsymmetriana elektronien paikkoja vaihdettaessa.)

Ferromagnetismin syntymekanismia voidaan valaista sillamiten elektronit jarjestyvat yksinaisessa atomissa (siisatomissa jonka lahella ei ole muita atomeja). Tata onkasitelty atomifysiikan kurssilla ja siksi tassa vainlyhyesti. Atomissa on orbitaaleja, jotka tayttavatjarjestyksessa 1s, 2s, 2p jne. joihin vastaavasti mahtuu 2,2, 6 jne. elektronia. Heliumissa 1s orbitaalilla on kaksielektronia, joiden spinit (Paulin kieltosaannon mukaan)ovat vastakkaiset, ja heliumatomin spin on siten nolla.Sama patee berylliumiin, jonka nelja elektronia tayttavatorbitaalit 1s ja 2s. 2p-orbitaalien tayttaminen tapahtuuniin etta spin on niin iso kuin Paulin kieltosaanto sallii(tama tunnetaan ensimmaisena Hundin saantona). Siiskuuden ja seitseman elektronin atomissa elektronitasettuvat niin etta p-orbitaalien elektronien spinit ovatsaman suuntaiset. (Kahdeksan elektronin atomissakolmella p-elektronilla on spin samaan suuntaan muttayksi joutuu olemaan vastakkaiseen suuntaan. Entayhdeksan ja kymmenen elektronin tapauksessa?) Joselektronit eivat vuorovaikuttaisi keskenaan, voisivatp-orbitaalit tayttya missa jarjestyksessa tahansa sillakaikilla on sama energia (olettaen etta ulkoista kenttaa eiole). Voidaan osoittaa etta p-elektroninen valisestaCoulombin repulsiosta aiheutuva energia on pienempisilloin kun elektronien spinit ovat samaan suuntaan.(Kvantitatiivisen teorian tekeminen tasta edellyttaisiPaulin kieltosaannon tarkempaa tutkimusta monenelektronin tapauksessa, johon ei tassa haluta menna.)Vaitetaan siis etta tietyissa tapauksissa elektronien spinitasettuvat samansuuntaisiksi johtuen Paulinkieltosaannosta ja elektronien valisesta Coulombinrepulsiosta.

Kiinteassa aineessa atomit ovat jatkuvassa kosketuksessa.On ilmeista etta samantyyppinen vaihtovuorovaikutuskuin atomissa voi toimia myos vierekkaisten atomien

33

elektronien valilla, ja siten synnyttaa ferromagneettisentilan.

Ferromagneettiset alueet

Vaikka magneettisella vuorovaikutuksella ei ole merkitystaferromagneettisen jarjestyksen synnylle atomitasolla, onsilla kuitenkin suuri vaikutus laajemmassa mittakaavassa.

B

B

M

M

Vasemman puoleisessa kuvassa koko kappale onmagnetoitunut tasaisesti, ts. M ei ole paikan r funktio.Tasta aiheutuu kappaleen ulkopuolelle merkittava kentta,johon liittyy energiatiheys B2/2µ0. Oikealla puolellakappale on jakautunut neljaan alueeseen (domain).Kussakin alueessa magnetoituma on vakio. Alueidenvalilla on rajapinta, jossa M(r):n suunta kaantyy.Rajapinnassa energiatiheys on suurentunut koskavaihtovuorovaikutusenergia ei ole minimissaan. Toisaaltakappaleen ulkopuolisen kentan energia on pienentynyt.Suurissa kappaleissa ulkopuolisen kentan energia onmaaraavampi, joten niissa magnetoituma on pilkkoutunutalueiksi. Pienissa kappaleissa tilanne on painvastainen,joten ne muodostuvat vain yhdesta alueesta.

H

M

epäpuhtauksia

Kun kappale asetetaan ulkoiseen magneettikenttaan,pyrkivat kentan suuntaiset alueet kasvamaan, jakappaleelle tulee nollasta poikkeavakokonaismagnetoituma. Aluerajat eivat kuitenkaan paaseliikkumaan vapaasti, vaan ne jaavat kiinni materiaalinepahomogeenisuuksiin. Taman takia magnetoituma M eiole magnetoivan kentan H yksikasitteinen funktio, vaansiina esiintyy hystereesia.

B = μ0(M+H) ≈ μ0M

Bjäännös

H

erisuuntaisiaalueita

yksialue

Muistutetaan viela, etta yksinkertaisimmassa tapauksessaH on suoraan verrannollinen sahkovirtaan kelassa, jokasynnyttaa ulkoisen kentan. (Katso sahkomagnetisminkurssi).

Kun magnetoiva kentta poistetaan, jaa kappaleeseenyleisesti nollasta poikkeava jaannoskentta. Hyvallakestomagneetilla tama on mahdollisimman suuri.Kestomagneetilta siis edellytetaan, etta aluerajojen liikeolisi mahdollisimman vahaista. Tama saadaan aikaantekemalla materiaalista tahallisesti epahomogeenista.

34

7. SuprajohtavuusSuprajohtavuudella tarkoitetaan ilmiota, jossa sahkoajohtavan materiaalin sahkovastus haviaa tietynlampotilan alapuolella.

T00

Tc

sähkövastus

Suprajohtavuuden esiintyminen

• useissa metallisissa alkuaineissa: Al, Nb, Sn, (eikuitenkaan magneettisissa metalleissa, esim. Fe, Co,Ni, eika jalometalleissa Cu, Ag, Au)

• useissa metalliseoksissa, esim. Nb-Ti

• joissakin yhdisteissa: Nb3Ge, MgB2, Y-Ba-Cu-O jne.

Lampotilaa jonka alapuolella suprajohtavuus esiintyykutsutaan kriittiseksi lampotilaksi, Tc. Seuraavassataulukossa on lueteltu kriittisia lampotiloja.

materiaali Tc (K) µ0Hc(T = 0) (mT)Al 1.196 9.9Hg 4.15 41In 3.40 29.3Pb 7.19 80.3Nb 9.25

Nb3Ge 23MgB2 39

YBa2Cu306+x 98Tl2Ca2Ba2Cu3010 125

Aareton johtavuus

Normaalitilaisessa metallissa sahkovirta j onverrannollinen sahkokenttaan E:

j = σE (99).

Kuten jo edella todettiin, suprajohteissa σ = 1/ρ→∞.

Meissner-ilmio

Aaretonta johtavuutta perustavampi suprajohteidenominaisuus ilmenee, kun normaalitilainen metalli on ensinmagneettikentassa ja sitten se jaahdytetaan supratilaan.Havaitaan, etta magneettikentta poistuu naytteesta,supratilassa B ≡ 0. Tata kutsutaan Meissner-ilmioksi.

normaalitilainen

metalli kentässä

sitten jäähdytetään

Tc:n alle

Kriittinen kentta

Meissner-ilmio esiintyy vain, jos magnetoiva kentta H eiole liian suuri. Havaitaan, etta normaali- ja supratilanvalilla on olotilanmuutos kriittisessa kentassa Hc, jonkalampotilariippuvuus on suurin piirtein

Hc(T ) = Hc(0)

[1−

(T

Tc

)2]. (127)

suprajohtava

tila

normaalitila

T

Tc

Hc(0)

H

Pysyvat virrat ja vuon kvantittuminen

Asetetaan normaalitilainen rengas magneettikenttaanjoka on kohtisuorassa renkaan tasoa vastaan. Kun sejaahdytetaan Tc:n alapuolelle, poistuu magneettikenttasuprajohteen sisalta, mutta renkaan lapi kulkeemagneettivuo. Kun ulkoinen kentta poistetaan, jaa tamamagneettivuo muuttumattomaksi. Renkaaseen on siisindusoitunut pysyva virta I, joka pitaa yllamagneettikenttaa B. Lisaksi renkaan lapi kulkevamagneettivuo Φ =

∫da ·B on kvantittunut: se on

monikerta vuokvantista

Φ0 =h

2e= 2.07× 10−15 Wb. (128)

B

I

Maan magneettikentta ∼ 50 µT synnyttaa yhdenvuokvantin renkaaseen, jonka sade on ∼ 4 µm.

Toisen lajin suprajohtavuus

35

Joillakin suprajohteilla on normaali- ja Meissner-tilanvalissa ns. sekatila.

normaalitila

sekatila

Meissner-tila T

Tc

Hc2

Hc1

H

Hc

Sekatilassa magneettikentta B osittain tunkeutuusuprajohteeseen. Kentta on keskittynyt vuoviivoille. Yksivuoviiva vastaa yhta vuokvanttia Φ0. Ohessatunnelointimikroskooppikuva vuoviivoista, jotkamuodostavat hilan. (NbSe2, T = 4.2 K ja B = 1 T, lahde:http://dpmc.unige.ch/gr fischer/).

Huomaa kuvan mittakaava 300× 300 nm2. Yksittaisetatomit ovat paljon tiheammassa kuin vuoviivat, eivatkaerotu kuvassa.

Suprajohtavuuden teoria

Suprajohtavuus voidaan ymmartaa BCS-teorian avulla,jonka J. Bardeen, L. Cooper ja R. Schrieffer kehittivat1957. Se koostuu kahdesta osasta.

1) Hilavarahtelyt aiheuttavat elektronien valilleattraktiivisen vuorovaikutuksen. Joissain tapauksissatama on voimakkaampi kuin Coulombinvuorovaikutuksesta aiheutuva repulsio.

2) Attraktiivisen vuorovaikutuksen takia elektronitmuodostavat heikosti sidottuja pareja. Nama paritkayttaytyvat kuten bosonit (katso termofysiikan kurssi).Erityisesti Paulin kieltosaanto ei koske niita, vaan suurijoukko pareja voi olla tasmalleen samassa paritilassa.Tosin sanoen kaikilla pareilla voi olla sama yhteinenkahden hiukkasen aaltofunktio ψ(r1, r2). Koska suurimaara pareja (∼ 1023) on samassa tilassa, sanotaan tatatilaa makroskooppiseksi aaltofunktioksi.

Makroskooppiseen aaltofunktioon liittyy, ettaelektroneille syntyy energiarako Fermi-energialle. Toisinkuin kiteen periodisesta potentiaalista aiheutuvaenergiarako (sivu 20), suprajohteen energiarako voi olla

epasymmetrinen niin, etta se on korkeammalla energiallayhteen suuntaan liikkuvilla elektroneilla kuinvastakkaissuuntaan liikkuvilla.

-pF pFpx

-D

-2D

D

2D

Ε - Μ

Kuvassa varjostetulla energia-alueella olevat elektronitkulkevat oikealle synnyttaen sahkovirran. Toisin kuinnormaalitilaisessa metallissa (sivu 24), ne eivat voi sirotavastakkaiseen suuntaan koska siella ei ole tiloja samallaenergia-alueella. Matalassa lampotilassa tilat ε− µ > 0ovat tyhjia ja eivat siten aiheuta sahkovirtaa. Nainsyntyy havioton virta, joka voidaan myos tulkitamakroskooppisen aaltofunktion virtaavaksi tilaksi.

Vuon kvantittuminen arvoon nΦ0 (n kokonaisluku)suprajohtavassa renkaassa on seuraustamakroskooppisesta aaltofunktiosta ψ(r1, r2) ∝ eiφ, jossavaihe φ muuttuu 2πn verran kun kierretaan rengas.

Josephsonin ilmio

φ1 φ2

suprajohde 1 suprajohde 2

ohut eristekerros

Tutkitaan kahta suprajohdetta, joiden valilla elektronitpaasevat tunneloitumaan ohuen eristekerroksen lapi.Liitoksen lapi kulkee virta, joka riippuu aaltofunktionvaiheista φ1 ja φ2 liitoksen eri puolilla kuten

I = I0 sin(φ2 − φ1). (129)

Kun liitoksen yli kytketaan vakiojannite V , muuttuuvaihe-ero φ2 − φ1 kuten φ2 − φ1 = ωt, missa

ω =2eV

h(130)

(Taman voi tulkita relaationa E = hω, missa E = 2eV onenergia, joka liittyy yhden parin siirtymiseen puoleltatoiselle.) Sijoittamalla kaavaan (129) nahdaan, etta virtavarahtelee taajuudella (130). Koska taajuus voidaanmitata tarkasti, tata voidaan kayttaa jannitestandardina.Esimerkiksi jannite 0.1 mV vastaa taajuuttaν = ω/2π ≈ 48 GHz.

36

8. LopuksiTama paattaa kiintean aineen fysiikan kurssin. Tassamuutama kokoava huomio.

Fysiikassa, ja kiintean aineen fysiikassa erityisesti,pyritaan ensin muodostamaan havaituille ilmioillemahdollisimman yksinkertainen malli. Jos tama ei oleriittava, tarkennetaan mallia vahitellen. Samalla kunmallin tarkkuus lisaantyy, lisaantyy kuitenkin myosmallin monimutkaisuus.

Aluksi tarkasteltiin ideaalisia kiteita, ja myos ensimmaisetmallit perustuivat niihin. Tarkempi tutkiskelu kuitenkinosoitti, etta monissa ilmioissa poikkeamat ideaalisestarakenteesta ovat olennaisia. (Esim. metalliensahkonjohtavuus, puolijohteet, ferromagneettiset alueet.)

Suuri osa tarkasteluista tehtiin olettaen, etta elektronienvalilla ei ole vuorovaikutusta. Kuitenkin seuraavissaasioissa elektroni-elektroni-vuorovaikutus on olennainen:kovalentti sidos, ferromagnetismi ja suprajohtavuus.

LiitteetA. TodennakoisyyslaskentaaFysiikassa tulee usein vastaan tapauksia, joissa ei voidavarmuudella maarittaa jonkin suureen arvoa. Useinkuitenkin voidaan paatella todennakoisyyksia suureen eriarvoille. Tarkastellaan tapausta jossa mahdolliset suureenarvot ovat diskreetteja, x1, x2, . . . , xn, joita on nkappaletta. Todennakoisyytta etta saadaan arvo xjmerkitaan pj , missa j = 1, 2, . . . , n. Todennakoisyydetnormalisoidaan niin etta kaikkien mahdollisuuksienyhteenlaskettu todennakoisyys on yksi. Kaavana tama on

n∑j=1

pj = p1 + p2 + . . .+ pn = 1. (131)

Esimerkiksi nopan heitossa mahdollisia arvoja xj ovat 1,2, 3, 4, 5 ja 6. Ideaalisessa nopassa kaikkitodennakoisyydet pj (j = 1, . . . , 6) ovat yhta suuret,jolloin pj = 1/6 on sama kaikille j. Tata kutsutaantasajakaumaksi. Viilatussa nopassa todennakoisyydetvoivat olla eri suuria, esim. p1 = 0.13,p2 = p3 = p4 = p5 = 0.17 ja p6 = 0.23.

Maaritellaan suureen x odotusarvo 〈x〉 kaavalla

〈x〉 =

n∑j=1

xjpj , (132)

siis kukin mahdollinen arvo xj kerrotaan sentodennakoisyydella ja lasketaan nama yhteen. Esimerkiksiideaaliselle nopalle saadaan tasta 〈x〉 = 3.5 ja yllamainitulle viilatulle nopalle 〈x〉 = 3.75. Tasajakaumassaodotusarvo on sama kuin keskiarvo 1

n

∑nj=1 xj .

Edella tarkasteltiin diskreettia jakaumaa. Oletetaan ettameilla onkin muuttuja x, joka voi saada mita tahansareaaliarvoja jollain valilla x1 < x < x2. Tallaisellemuuttujalle maaritellaan todennakoisyystiheys p(x), mikatarkoittaa etta x:n arvo valilla (x, x+ dx) esiintyytodennakoisyydella p(x)dx. Todennakoisyystiheydentaytyy olla normitettu niin etta kokonaistodennakoisyyson yksi, siis ∫ x2

x1

p(x)dx = 1. (133)

Tama siis vastaa diskreetin jakauman kaavaa (131).Vastaten kaavaa (132) maaritellaan jatkuvan muuttujan xodotusarvo 〈x〉 kaavalla

〈x〉 =

∫ x2

x1

xp(x)dx. (134)

Voidaan maaritella myos mielivaltaisen funktion f(x)odotusarvo

〈f(x)〉 =

∫ x2

x1

f(x)p(x)dx. (135)

37

Gibbsin jakauma vastaa seuraavaan kysymykseen. Millatodennakoisyydella fysikaalinen jarjestelma on tilassa j,kun se on termisessa tasapainossa ympariston kanssa,joka on lampotilassa T . Gibbsin jakauman mukaan tilantodennakoisyys

pj =1

Ze−Ej/kBT , (136)

missa Ej on tilan j energia, T on absoluuttinen lampotilaja kB = 1.380658× 10−23 J/K on Boltzmannin vakio. Zon normalisointivakio, joka maaraytyy ehdosta (131).

Energian odotusarvon laskeminen Gibbsin jakaumassa onesitetty kaavassa (35).

Gibbsin jakauma perustellaan termofysiikan kurssissa.Varsin suora johto loytyy myos kirjasta R.P. Feynman,Statistical physics, luku 1.1. Mainitaan tassa lyhyestipaaperiaatteet, joihin Gibbsin jakauman johto perustuu.Merkitaan tutkittavan fysikaalisen jarjestelmanenergiatiloja ψj , missa j on indeksi, joka kay lapi kaikkitilat. Tilan ψj energia on Ej .

järjestel-

mä

ympäristö

energia

Oletetaan etta jarjestelma on kytketty ymparistoon.Ympariston tiloja merkitaan ψymp,k, missa tilatluetteloidaan indeksilla k, ja tilan energia on Eymp,k.Kutsutaan jarjestelmaa ja sen ymparistoa kokonaisuutena“suureksi jarjestelmaksi” (SJ). Suuren jarjestelman tilatovat tulomuotoa sen osien tiloista, ψSJ,j,k = ψjψymp,k.Suuren jarjestelman tilojen energia onESJ,j,k ≈ Ej + Eymp,k, kun oletetaan etta jarjestelman jasen ympariston valiseen vuorovaikutukseen liittyvaenergia on pieni. Energian sailymisen mukaan ESJ,j,k onvakio = ESJ. Siksi liittyen jarjestelman tilaan j, vainsellaiset ympariston tilat ovat mahdollisia joidenEymp,k = ESJ,j,k − Ej = vakio− Ej . Esimerkein voidaanosoittaa, etta jos ymparisto on suuri, riippuu sen tilojenmaara γ (sopivalla energiavalilla) eksponentiaalisestiympariston energiasta, γ ∝ exp(βEymp), missa β on jokinvakio. Olettaen kaikki suuren jarjestelman mahdollisettilat yhta todennakoisiksi paatellaan tasta, ettatutkittavan jarjestelman tilan j todennakoisyys onsuoraan verrannollinen sita vastaavaan ympariston tilojenmaaraan, siis

pj ∝ γ ∝ eβEymp ∝ eβ(vakio−Ej) ∝ e−βEj . (137)

Lopuksi olisi osoitettava miten kerroin β on yhteydessalampotilaan T . Tama voidaan tehda soveltamallajakaumaa (137) johonkin tunnettuun lampomittariin.Naista helpoiten on teoreettisesti hallittavissaideaalikaasulampomittari, jossa lampotila paatellaanideaalikaasun tilanyhtalosta

PV = NkBT. (138)

Tassa P on kaasun paine, V tilavuus ja Nkaasumolekyylien lukumaara. Tasta sovelluksesta voidaanpaatella β:lle lauseke β = 1/kBT .

Fermi-jakauma vastaa seuraavaan kysymykseen, olettaenetta elektronien valiset vuorovaikutukset ovatmerkityksettomia. Milla todennakoisyydellaenergiatasossa, jonka energia on E, on elektroni, kunjarjestelma on termisessa tasapainossa lampotilassa T .Fermi-jakauman mukaan taso on tyhjatodennakoisyydella p0 = 1− f ja tasossa on elektronitodennakoisyydella p1 = f , missa

f =1

e(E−µ)/kBT + 1(139)

ja µ on Fermi-tason energia. Kaavasta (132) saadaan ettatason miehityksen odotusarvo on sama kuin f .

Fermi-jakauma voidaan johtaa seuraavasti. Tutkitaankahta tilaa. Tilassa 1 elektroni on tutkittavassajarjestelmassa tasossa, jonka energia on E. Toisessatilassa, jota merkitaan nollalla, elektroni on poistunuttasta tasosta. Tilaa 0 varten oletetaan etta jarjestelma onkytketty ymparistoon, joka pystyy ottamaan vastaanelektronin. Ymparisto siis toimii elektronivarastona.Merkitaan elektronin energiaa ymparistossa µ:lla.Sovellettaessa Gibbsin jakaumaa tiloihin 0 ja 1, saadaantodennakoisyys p0 = (1/Z) exp(−βµ) sille etta elektronion ymparistossa ja todennakoisyys p1 = (1/Z) exp(−βE)sille etta elektroni on jarjestelmassa. Kaavasta (131)saadaan Z = exp(−βE) + exp(−βµ). Sieventamallasaadaan edella vaitetty tulos: p0 = 1− f , p1 = f ja f(139).

Kun jarjestelma ei ole aivan pieni, on siina moniaelektroneja ja tasoja. Talloin oletus ulkopuolisestaelektronivarastosta ei ole enaa tarpeellinen, silla muutenergiatasot toimivat kuten ne muodostaisivatelektronivaraston.

B. RyhmanopeusTarkastellaan aaltoa

ξ(x, t) = A sin(kx− ωt) = A sin(k(x− ω

kt)). (140)

Piirtamalla tata eri ajanhetkilla todetaan etta se eteneenopeudella

vvaihe =ω

k, (141)

mita kutsutaan vaihenopeudeksi. Usein esiintyy tapausjossa kulmataajuus ω riippuu lineaarisesti aaltoluvusta,ω = vakio× k. Talloin vaihenopeus vvaihe = vakio. Toisinsanoen, kaikki aallot liikkuvat samalla nopeudellariippumatta niiden taajuudesta tai aallonpituudesta.

Usein kuitenkin esiintyy dispersiota, eli taajuudenriippuvuus aaltovektorista ω(k) on monimutkaisempifunktio kuin lineaarinen riippuvuus. Tassa tapauksessa

38

vaihenopeus (141) ei ole vakio, ja siten eri taajuiset aallotliikkuvat eri nopeuksilla. Tutkitaan tarkemmin tapaustajossa on yhdistetty kaksi eri aaltoa, joiden aaltoluvutk ± δk ovat lahella tosiaan. Saadaan

ξ = A cos[(k+δk)x−(ω+δω)t]+A cos[(k−δk)x−(ω−δω)t].(142)

Kayttaen trigonometrisia kaavoja tama voidaan kirjoittaa

ξ = 2A cos(kx− ωt) cos(δkx− δωt). (143)

Tassa lyhytaaltoisen aallon (λ = 2π/k) amplitudi onmoduloitu pitkaaaltoisella aallolla (λ = 2π/δk), ts. seesittaa sarjaa aaltopaketteja joiden valilla on vain pientaaaltoilua.

x

ξvryhmä

vvaihe

Nyt moduloivan aallon nopeus antaa aaltopaketinnopeuden, jota kutsutaan ryhmanopeudeksi,

vryhma =δω

δk≈ dω

dk. (144)

C. KontaktipotentiaaliTarkastellaan johtavasta materiaalista koostuvaakappaletta. Elektronien energiatasot kappaleessa ovattayttyneet keskimaarin Fermi-tasoon µ asti. Kahdessatoisistaan eristetyssa varausneutraalissa kappaleessaFermi-tasot µ1 ja µ2 ovat yleisesti erisuuret, jos kappaleetovat eri materiaalista. Tarkastellaan esimerkiksi tapaustaµ1 > µ2. Kun nama kappaleet yhdistetaan sahkoisestitoisiinsa, virtaa kappaleesta 1 elektroneja kappaleeseen 2(koska ne siten paasevat alempaan energiaan). Tama saaaikaan kappaleessa 2 negatiivisen varauksen jakappaleeseen 1 jaa positiivinen varaus. Nama varauksetovat keskittyneet kappaleiden rajapintaan alla olevankuvan osoittamalla tavalla. (Sahkoopista tiedetaan ettajohtavassa kappaleessa varaustiheys on nollasta poikkeavavain kappaleen pinnalla.) Tasta varaustiheydesta ρ(r)aiheutuu sahkokentta E(r) ja sahkoinen potentiaali V (r)sahkoopista tuttujen kaavojen

∇ · E =ρ

ε0, E = −∇V (145)

mukaan. Sahkoisesta potentiaalista V aiheutuuelektronille potentiaali U , joka on elektronin varauskertaa V , siis U = −eV . Olettamalla etta materiaalienrajapinnassa varaustiheydet ja potentiaalit riippuvat vain

rajapintaa vastaan kohtisuorasta koordinaatista x,saadaan edella olevia kaavoja yhdistelemalla

d2U(x)

dx2=

e

ε0ρ(x). (146)

Tasta voidaan paatella etta U(x) on kvalitatiivisestioheisen kuvan mukainen.

x

kappale 2kappale 1

+

-

ρ

x

U

Todetaan etta elektronien virtauksen takia elektronienpotentiaalienergia kappaleessa 2 kasvaa (kappaleeseen 1verrattuna). Tama potentiaali taytyy lisata elektronienenergiaan. Siten kaikki luvussa “Elektronirakenne”esitetyt elektronienergiat (energiakaistat, epapuhtaustasotja Fermi-taso) nousevat energiassa ylemmaksi kappaleessa2. Elektroneja virtaa kappaleeseen 2 niin kauan kunnessen Fermi-taso on noussut samalle energialle kuinkappaleessa 1, jolloin saavutetaan tasapainotilanne(elektronien virtaukset molempiin suuntiin kumoavattoisensa). Potentiaalin U eroa kappaleissa 1 ja 2kutsutaan kontaktipotentiaaliksi. Ylla olevasta U(x):nkuvasta voidaan myos ymmartaa energiakaistojentaipuminen rajapinnan lahella.

D. Sahkomagneettisen sateilyn spektri

punainenokvihreäsinvioletti38

0

45

0

49

5

57

0

59

0

62

0

75

0

näkyvän valon spektri ja sen likimääräinen jaottelu väreihin, aallopituudet (nm)

(kuva editoitu wikipediasta 1 2) Kuvan varit ovat suuntaaantavia silla kolmivarinaytto tai -tulostus ei pystytarkasti tuottamaan spektrivareja.

39