Upload
siska-oktarina-sisbob
View
188
Download
17
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Makalah Persamaan Diferensial
Citation preview
BAB IIIKlasifikasi Persamaan Diferensial
Orde-PertamaOleh:
Siska Oktarina (10130306) absen 3 lbr 1
Marfiana Nursanti (10130183) absen 37 lbr 2
BENTUK STANDAR DAN BENTUK DIFERENSIAL
Bentuk Standar dari persamaan diferensial orde-pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah
(3.1)
di mana turunan muncul hanya di sisi kiri dari (3.1). Banyak, walaupun tidak semua, persamaan diferensial orde-pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui penyelesaian secara aljabar dan menetapkan sama dengan sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan.
),( yxfy
y
y),( yxf
Sisi kanan dari (3.1) dapat selalu dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya .
Dengan demikian (3.1) menjadi
,
yang ekuivalen dengan bentuk diferensial
(3.2)
),( ),( yxNdanyxM
),(/),(/ yxNyxMdxdy
0),(),( dyyxNdxyxM
PERSAMAAN-PERSAMAAN LINEAR
Perhatikan sebuah persamaan diferensial dalam bentuk standar (3.1). Jika dapat dituliskan sebagai (yang artinya, sebagai fungsi dari x dikalikan y, ditambah satu lagi fungsi dari x), persamaan diferensial tersebut adalah linear. Persamaan diferensial orde-pertama dapat selalu dituliskan sebagai
(3.3)
persamaan-persamaan linear dikerjakan dalam Bab 6.
),( yxf)()(),( xqyxpyxf
)()(' xqyxpy
PERSAMAAN-PERSAMAAN BERNOULLI
Suatu persamaan diferensial Bernoulli adalah persamaan dalam bentuk
(3.4)di mana n melambangkan suatu bilangan real. Ketika n = 1 atau n = 0, persamaan Bernoulli akan tereduksi menjadi persamaan linear. Persamaan-persamaan Bernoulli dikerjakan dalam Bab 6.
nyxqyxpy )()('
PERSAMAAN-PERSAMAAN HOMOGEN
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk standar (3.1) adalah homogen jika
(3.5)
Untuk setiap bilangan real t. Persamaan-persamaan homogen dikerjakan dalam Bab 4.
Catatan: Dalam kerangka umum persamaan diferensial, istilah “homogen” memiliki arti yang sama sekali berbeda (lihat Bab 8). Arti yang dimaksudkan di atas hanya berlaku dalam konteks persamaan diferensial orde-pertama.
),(),( yxftytxf
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DAPAT DIPISAHKAN
Perhatikan suatu persamaan diferensial dalam bentuk diferensial (3.2). Jika (fungsi dari x saja) dan (fungsi dari y saja), persamaan diferensial tersebut dapat dipisahkan, atau memiliki variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Persamaan-persamaan yang dapat dipisahkan, dikerjakan dalam Bab 4.
)(),( xAyxM )(),( yByxM
PERSAMAAN-PERSAMAAN EKSAK
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk diferensial (3.2) adalah eksak jika
Persamaan-persamaan eksak dikerjakan dalam Bab 5 (di mana akan diberikan definisi yang lebih tepat terhadap pengertian “eksak”).
x
yxN
y
yxM
),(),(
Soal-soal dengan Penyelesaian
3.1. Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh yang memiliki bentuk (3.1) dengan
3.2. Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh
Atau yang memiliki bentuk (3.1) dengan
02 yyx
y xyy /2
xyyxf /),( 2
xyeye xx sin2
y
xeyey
xyeyexx
xx
sin
sin2
xeyeyxf xx sin),(
3.3 Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Persamaan ini tidak dapat dipecahkan secara aljabar untuk , dan tidak dapat dituliskan dalam bentuk standar.
3.4 Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk diferensial.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh
(1)
)/sin()( 5 xyyy
y
xyyy )1(
y
2
2
y
yxy
yxyy
xyyy2
atau
yang merupakan bentuk standar dengan
Persamaan-persamaan diferensial yang dapat diasosiasikan dengan (1) memiliki jumlah yang tak terhingga. Empat diantaranya adalah :
a) Ambillah . Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
2/)(),( yyxyxf
2),(,),( yyxNyxyxM
22 )(),(
),(
y
yx
y
yx
yxN
yxM
0)()( 2 dyydxyx
b) Ambillah . Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
c) Ambillah . Maka
yx
yyxNyxM
2
),(,1),(
22 )/(
1
),(
),(
y
yx
yxyyxN
yxM
0)1(2
dyyx
ydx
2),(,
2),(
2yyxN
yxyxM
22 )2/(
2/)(
),(
),(
y
yx
y
yx
yxN
yxM
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
d) Ambillah
. Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
022
2
dyy
dxyx
2
2
2),(,),(
x
yyxN
x
yxyxM
222
2
/
/)(
),(
),(
y
yx
xy
xyx
yxN
yxM
02
2
2
dyx
ydx
x
yx
3.5 Tuliskan persamaan diferensial dalam bentuk diferensial .
Persamaan ini memiliki bentuk diferensial dalam jumlah yang tidak terbatas. Salah satunya adalah
yang dapat dituliskan dalam bentuk (3.2) sebagai
(1)
xydxdy //
dxx
ydy
0)1( dydxx
y
Dengan mengalikan (1) dengan x, kita memperoleh
(2)
sebagai bentuk diferensial kedua. Dengan mengalikan (1) dengan , kita memperoleh
(3)
sebagai bentuk diferensial ketiga. Masih banyak lagi bentuk diferensial yang bisa diturunkan dari (1) dengan mengalikan persamaan tersebut dengan berbagai fungsi x dan y lainnya.
0)( dyxdxy
y/1
011
dyy
dxx
3.6 Tuliskan persamaan diferensialdalam bentuk standar.
Persamaan ini dalam bentuk diferensial. Kita menulisnya ulang sebagai
yang memiliki bentuk standar
atau
0123 2 dyyxdxxy
dxxydyyx 312 2
12
32
yx
xy
dx
dy
12
3'
2
xy
xyy
3.7 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut berbentuk linear:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
xeyxy sin'
xeyxy sin'
5'y
xyy 2'
0' 5 xyy
yyxy '
yexyy x'
0' y
xy
(a) Persamaan ini linear; disini dan
(b) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku sin y.
(c) Persamaan ini linear; disini dan .
(d) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(e) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(f) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(g) Persamaan ini linear. Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai dengan dan
.
(h) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
xxp sin)( xexq )(
0)( xp 5)( xq2y5y2
1
y
0)(' yexy x xexxp )(0)( xq
y/1
3.8 Tentukan apakah ada diantara persamaan-persamaan diferensial dalam soal 3.7 yang merupakan persamaan Bernoulli.
Semua persamaan yang linear adalah persamaan Bernoulli dengan . Selain itu, tiga diantara persamaan yang tidak linear, (e), (f), dan (h), juga demikian. Tuliskan ulang sebagai ; ini memiliki bentuk (3.4) dengan , , dan . Tuliskan ulang (f) sebagai
Ini memiliki bentuk (3.4) dengandan
. . Tuliskan ulang (h) sebagai dengan
0n
)(e 5' xyy 0)( xp xxq )( 5n
2/111' y
xy
xy
xxqxp /1)()(
2/1n 1' xyy
1dan )(,0)( n xxqxp
3.9 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut ini homogen:
a)
b)
c)
d)
x
xyy
'
x
yy
2
'
y
xyx
xyey
y
x
sin
2'
22
3
2
'x
yxy
a) Persamaan ini homogen, karena
b) Persamaan ini tidak homogen, karena
),(, yxf
x
xy
tx
xyt
tx
txtytytxf
yxfx
yt
tx
yt
tx
tytytxf ,,
2222
c) Persamaan ini homogen, karena
d) Persamaan ini tidak homogen, karena
),(sin
2
sin
2
sin
2,
22
/
2222
2
22
/
yxf
yx
yx
xye
yx
ytxt
xyet
tytx
tytx
etytxtytxf
yx
y
x
tytx
),(,32
2
33
22
3
2
yxfxt
ytx
xt
tyxt
tx
tytxtytxf
3.10 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan:
a)
b)
c)
a) Persamaan diferensial ni dapat dipisahkan; disini
0sin 2 dyyxdx
0222 dyyxdxxy
01 ydydxxy
2)(),(dan sin)(),( yyByxNxxAyxM
b) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan dalam bentuk yang diberikan, karena bukan fungsi dari x saja. Tapi jika kita membagi kedua sisi dari persamaan ini dengan , kita memperoleh persamaan
, yang dapat dipisahkan. Di sini,
(c) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan , karena
, yang bukan merupakan fungsi dari x saja.
2),( xyyxM
22 yx
0)1()/1( dydxx
1)(dan /1)( yBxxA
xyyxM 1),(
3.11 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut adalah eksak:
a)
b)
a) Persamaan ini adalah eksak; disini
, dan .
b) Persamaan ini tidak eksak. Disini
; sehingga dan
03 32 dyxyydxx
02 dyyxydx
32 ),(,3),( xyyxNyxyxM 23// xxNyM
0/,/ xNxyM
xNyM //
2),(dan ),( yyxNxyyxM
3.12 Tentukan apakah persamaan diferensial adalah eksak.
Istilah “eksak” hanya memiliki definisi untuk persamaan- persamaan dalam bentuk diferensial, bukan bentuk standar . Persamaan diferensial yang diberikan memiliki banyak bentuk diferensial. Salah satu bentuk tersebut diberikan dalam Soal 3.5, Pers. (I), sebagai
Di sini,
xyy /'
01 dydxx
y
1),(,/),( yxNxyyxM
x
N
xy
M
01
dan persamaan ini tidak eksak. Bentuk diferensial kedua untuk persamaan diferensial yang sama diberikan dalam Pers. (3) dari Soal 3.5 sebagai
Di sini
dan persamaan ini eksak. Jadi, suatu persamaan diferensial tertentu memiliki banyak bentuk diferensial, beberapa diantaranya mungkin eksak.
011
dyy
dxx
yyxNxyxM /1),(,/1),(
x
N
y
M
0
3.13 Buktikan bahwa suatu persamaan yang dapat dipisahkan selalu eksak.
Untuk suatu persamaan diferensial yang dapat dipisahkan,
Jadi,
Karena , persamaan diferensial ini eksak.
).(),(dan )(),( yByxNxAyxM
0
)(),(dan 0
,
x
yB
x
yxN
y
xA
y
yxM
xNyM //
3.14 Suatu teorema persamaan diferensial orde-pertama menyatakan bahwa jika kontinu dalam sebuah segiempat
,maka terdapat suatu interval disekitar dimana soal nilai-awal memiliki solusi unik.
Soal nilai-awal memiliki dua solusi dan .
Apakah hasil ini melanggar teorema tersebut?
Tidak, disini, dan dengan demikian, tidak eksis di titik 0.
yyxfyxf /,dan ),(byyaxx 00 ,:
0x 00; ,' yxyyxfy
0)0(; 2' yyy0ydan xxy
yyxf 2),( yf /
Soal-soal Tambahan
Dalam Soal 3.15 hingga 3.25. tuliskan persamaan – persamaan diferensial yang diberikan dalam bentuk standar.
3.15.
3.16 .
3.17.
3.18.
0' 2 yxy
'' yxye x
xyyy sin' 23
1'cos' yyxy
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
xe yy '
2'6'5' 2 yyxyy
02 dyydxyx
0
dydxyx
yx
0
dyyx
yxdx
02 dyedxye xx
0 dxdy
Dalam Soal 3.26 hingga 3.35, persamaan-persamaan diferensial diberikan dalam bentuk standar dan diferensial. Tentukan apakah persamaan-parsamaan dalam bentuk standar bersifat homogen dan/atau linear, dan, jika tidak linear, apakah merupakan persamaan Bernoulli; tentukan apakah persamaa-persamaan dalam bentuk diferensial, diberikan sebagaimana tertulis dalam soal, bersifat tidak dapat dipisahkan dan/atau eksak.
3.26.
3.27.
3.28.
0;' dyxydxxyy
01
;' dyy
xdxxyy
01;1' dydxxyxyy
3.29.
3.30.
3.31.
3.32 .
3.33.
3.34.
3.35.
0;'2
2
2
2
dydxy
x
y
xy
0;' 222
2
dyydxxy
xy
02;2
' 2 dyxxydxx
yy
0;' 32232
2
dyyyxdxxyyyx
xyy
0)(;' 22222
2
dyyyxdxxy
yyx
xyy
01
;' 2233 dyxy
dxyxxyyxy
02;2'222
dyedxxexyexxyy xxx