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1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben ) , , ( z y x ) 0 ( ), 0 ( i i q p Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und die Kräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität) ) , , ( z y x p p p Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird ) , , ( 3 2 1 q q q Gleichungen ) ( ), ( t q t p i i Die Kräfte sind bekannt

Klassische Mechanik

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Klassische Mechanik. Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen ( Koordinaten und Impulsen ) beschrieben. Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Klassische Mechanik

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines

Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben

),,( zyx

)0(),0( ii qp

Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und die Kräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität)

),,( zyx ppp

Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird

),,( 321 qqq

Gleichungen )(),( tqtp ii

Die Kräfte sind bekannt

Page 2: Klassische Mechanik

2 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Newtonsche Gleichung

Newtonsche Gleichung

zyx fzmfymfxm ,,

z

Uf

y

Uf

x

tzyxUf zyx

,,

),,,(

Potentielle Kraft

Konservative Kraft – Potentielle Energie ist Zeitunabhängig

)(tUU

Fr m zyx zyx eeer

Potential

Differentialgleichung zweiter Ordnung, r(t) Unbekannte Funktion

F=mg

U=mgx

Beschleunigung

Kraft

x

mgxU

mgdx

dUf x

v

Page 3: Klassische Mechanik

3 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kinetische Energie

Kinetische Energie

)(2

1

2

1

2

1 22222 zyxmmmT vr

xmdxxdtxmdtxdt

dxmdtx

dt

dmdt

dt

dTdT )2(

2

1)(

2

1 2

dAdxfdxxm x

dUdxdx

dUdxf x

dAdT

dUdT EconstUT

U(0)

Wegen der Newtonschen Gleichung

Mechanische Arbeit der Kraft f auf dem Weg dx = Zuwachs der kinetischen Energie

U(dx)

f

x(dt)=dx

x(0)=0

Mechanische Arbeit = - Änderung der potentiellen EnergieSumme der kinetischen und

potentiellen Energie ist konstant

Page 4: Klassische Mechanik

4 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lagrange - Funktion

UTL

UmL 2

2

1r

),,()(2

1 222 zyxUzyxmL

Lagrange Funktion (nichtrelativistische klassische Mechanik)

Kinetische Energie

Potentielle Energie

Page 5: Klassische Mechanik

5 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Generalisierte Koordinaten

zyx zyx eeer

),...,( 1 nqqxx

zi

ii

yi

ii

xi

ii

qq

zq

q

yq

q

xeeer

),...,( 1 nqqzz

),...,()(2

11 nqqUqqmL jiij

),...,( 1 nqqyy

zyx qq

zq

q

yq

q

xeeer i

ii

ii

i

φ

x

y

sinRx

cosRy

yx RR eer )sin()cos(

cos2

1 22 mgRmRL

jijijijiij q

z

q

z

q

y

q

y

q

x

q

x

n <= 3

Zwei gleiche Indizes fett geschrieben - Summe

Page 6: Klassische Mechanik

6 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Wirkungsintegral und Hamiltonsches Prinzip

)(tqq ii

dtqqqqLwt

nn0

0

11 )...,,...,(

0w

)(tqq ii

)()( tqtq ii

f

x(t0) = x0

x(0)=0

t0

x0

)(tx

dtmgxxmwt

0

0

2 )(2

1

Wirkungsintegral

Der eigentliche Weg

Der Wirkungsintegral hat einen Extremwert wenn q dem eigentlichen Weg gleich ist

Beliebige Zeitfunktion

Jede kleine Variation des q(t) ergibt in erster Ordnung δw = 0.

Page 7: Klassische Mechanik

7 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lagrange Gleichungen

dtqq

Lq

q

Lw

t

0

0

ii

ii

dtqq

L

dt

dq

q

Ldt

dt

qd

q

Ldtq

q

Ltttt

ii

ii

i

ii

i

0000

0000

)(

dtqq

L

dt

d

q

Lw

t

iii

0

0

0

ii q

L

q

L

dt

d

t0

q0

)(tq

Wir variieren die q(t)

δq(t0) = δq(0) = 0

0

ii q

L

q

L

dt

d

Lagrange Gleichungen

Page 8: Klassische Mechanik

8 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lagrange Gleichungen (Beispiel)

0

ii q

L

q

L

dt

d

Lagrange Gleichungen φ

cos2

1 22 mgRmRL

0

LL

dt

d

0sin gR

Page 9: Klassische Mechanik

9 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Hamiltonsche Gleichungen

),...,()(2

11 nqqUqqmL jiij

0

ii q

L

q

L

dt

d

ii q

Lp

ii q

Lp

0),,( iii qqqf

0),,( iii qppf 0),,( iii qpqf

jjjjjj qmqmqmp iiii 2

1

2

1

Lagrange-Gleichung - differentialgleichung zweiter Ordnung

Wir versuchen aus LG zwei Gleichungen erster Ordnung herzuleiten…

Kanonischer Impuls wird definiert

),...,( 1 ni ppfq

Es ist möglich die Lagrange Funktion als Funktion von Impulsen und Koordinaten darzustellen

0),,( iii qppf Hat die Form Es fehlt noch… 0),,( iii qpqf

),( ii qpLL

Page 10: Klassische Mechanik

10 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Hamiltonsche Gleichungen (2)

ii q

Lp

ii q

Lp

ii

ii

qq

Lq

q

LL

iiii qpqpL

iiiiii qpqpqp )(

iiiiii pqqpqpL )(

LqpH ii i

ii

i dp

Hq

dq

Hp

,

0),,( iii qpqf Definition – Kanonischer Impuls

Erste Gleichung

Wir leiten die zweite Gleichung her…

Variieren wir Lagrange-Funktion

Wir definieren die Hamiltonsche Funktion

Hamiltonsche Gleichungen

Page 11: Klassische Mechanik

11 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Physikalische Bedeutung der Hamiltonschen Funktion

),...,()(2

11 nqqUqqmL jiij

ii q

Lp

LqpH ii

jjqmp ii

Tqqmqp 2 ijijii

EUTUTTH )(2

zmpympxmp zyx ,,

ijij zqyqxq 321 ,,

und ergibt

Definition des Impulses

Definition der Hamiltonschen Funktion

Zweifache kinetische Energie

Hamiltonsche Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar

Für die Kartesische Koordinaten gilt:

und

Daraus folgt

Kanonische Impulse sind den gewöhnlichen Impulsen gleich

Page 12: Klassische Mechanik

12 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Poisson-Klammer

i iiii q

v

p

u

p

v

q

uvu,

t

FHF

dt

dF

,

Zwei Funktionen der Kanonischen Impulse und Koordinaten

Eine nicht explizit Zeitabhängige Funktion F dynamischer Variablen p und q ändert Ihren Wert nicht wenn [F, H] = 0

F ist dann eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße)

0, HHGesamtenergie bleibt erhalten

)(xHH 0, Hpx

Impulskomponente bleibt erhalten wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt

Page 13: Klassische Mechanik

13 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lineare Vektoralgebra

E ,,; ff

CE ;,; ff

Addition

Multiplikation mit einer komplexen Zahl

Assoziativgesetz, Distributivgesetz

00...11 inn ff Linearunabhängige Vektoren (Definition)

Ein Vektorraum mit nicht mehr als M linearunabhängigen Vektoren ist M-dimensional

Vektoren VektorraumFolgendes wird definiert:

Addition ist kommutativ

Page 14: Klassische Mechanik

14 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Vektoralgebra (Skalarprodukt)

C),( gf Skalarprodukt (Innenprodukt) ist eine komplexe Zahl. Es gilt:

*),(),( fggf

),(),( gfgf

),(),( * gfgf

0,,),( 222 ff

1),( ff

0),( gf

Norm = 1, normierter Vektor

orthogonale Vektoren

Ein Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt definieren wir hier als Hilbert-Raum

λ = Norm

Page 15: Klassische Mechanik

15 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Darstellung des Vektors in einer Basis

Mff ,...,1 M Linearunabhängige Vektoren eines M-dimensionalen Raums bilden eine Basis

MM fcfc ...11 Jeder Vektor dieses Raums kann als lineare Kombination der Basisvektoren dargestellt werden

0,1;),( jiiiijji ff Eine orthonormale Basis

),( ii fc

1...),(22

1 Mcc

Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden

Für einen normierten Vektor φ gilt

zyx eee,,

zyx ezeyexr

ijjiee

rex x

1222 zyx

Page 16: Klassische Mechanik

16 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Operator

E gfgfA ,,ˆ Operator (Abbildung)

gAfAgfA ˆˆ)(ˆ

fAfA ˆ)(ˆ

Linearer Operator

fABfBA ˆˆˆˆ

BAABBA ˆ,ˆˆˆˆˆ

Zwei Operatoren sind nicht immer miteinander vertauschbar

Kommutator

Operator Vektor

Page 17: Klassische Mechanik

17 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Hermitesche Operatoren und Eigenwert

),ˆ()ˆ,( fAfA ist adjungiert von

A A

AA ˆˆ ist selbstadjungiert (ähnlich wie hermitesch)

A

nnn fafA ˆ Eigenwert Problem

Eigenwert

Eigenfunktion

Die Menge aller Eigenwerte eines Operators bildet sein Spektrum

Das Spektrum kann diskret oder kontinuierlich sein

Wenn mehrere Eigenvektoren demselben Eigenwert entsprechen, dann ist dieser Eigenwert entartet

Page 18: Klassische Mechanik

18 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Eigenschaften Hermitescher Operatoren

nnn fafA ˆ

Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell

nnnnnn affafAf ),()ˆ,(

nnnnnn afAfffAa )ˆ,(),ˆ(*

Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal

nnn fafA ˆ

mmm fafA ˆ

),()ˆ,( nmnnm ffafAf

),()ˆ,( mnmmn ffafAf

),(),ˆ( *nmmnm ffaffA

),()ˆ,( nmmnm ffafAf

),)((0 nmmn ffaa ),(0 nm ff

Beweis:

Beweis:

Konjugation

Konjugation

am ist reell

Page 19: Klassische Mechanik

19 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kommutierende Operatoren

Einen Operator nennt man Observable wenn seine Eigenvektoren eine orthonormale Basis darstellen.

Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie wenigstens eine Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bilden

Wenn zwei oder mehr Operatoren kommutieren und es gibt keinen weiteren Operator der mit ihnen kommutiert, bilden sie einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren. Diese Operatoren haben eine eindeutige Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bildet.Die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Page 20: Klassische Mechanik

20 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Darstellung in einer Basis und Operator

BasisvektorenGrundformen

= 5X + 4X + 1X

= 5X + 8X + 3X

Der Operator A erkennt die Grundformen und ändert ihren Anteil

Jede beliebige Form kann auf die Grundformen zerlegt werden

A

Mit 1 multiplizieren

Mit 2 multiplizieren

Mit 3 multiplizieren…

Regel der Abbildung „A“

Page 21: Klassische Mechanik

21 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Eigenwert

Basisvektoren(Grundformen)

1

3

Eigenwert Eigenvektor

A

A

So werden die Basisvektoren abgebildet:

Mit 1 multiplizieren

Mit 2 multiplizieren

Mit 3 multiplizieren…

Regel der Abbildung „A“

Page 22: Klassische Mechanik

22 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kommutierende Operatoren

Zur Darstellung von Formen in Farbe brauchen wir mehr

Basisvektoren: 1

1

1

Entartung des Eigenwerts „1-Viereck“Die Angabe die Formen reicht nicht aus um einen Basisvektor zu definieren

Blau

Wir führen einen anderen Operator ein, der die Farben erkennt

Rot

Der neue Operator B kommutiert mit dem Operator A und hat identische Eigenvektoren

Gelb

Mit zwei Eigenwerten ist ein Basisvektor eindeutig definiert (1-Viereck, Blau)

A

A

A

B

B

B

Die zwei Operatoren bilden einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

Page 23: Klassische Mechanik

23 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Postulate der Quantenmechanik

Zustand eines Teilchens (Systems) wird durch einen normierten Vektor aus dem Hilbert Raum aller Zustände beschrieben

Wenn zwei Vektoren sich nur durch die Konstante eiφ (Phase) unterscheiden, stellen sie den gleichen Zustand dar.

Falls ein System sich in den Zuständen f1 und f2 befinden kann, ist c1 f1 + c2 f2 auch ein möglicher Zustand dieses Systems

if ifEin Vektor Zustandsvektor

gfgf ),(

BracKet

Dirac Notation

Jedem Ket Vektorif entspricht ein Bra Vektor if

Page 24: Klassische Mechanik

24 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Dirac-Notation

gfgf ),(Dirac Notation

ff *

),(),( * ffff

gAfgAfgfA ˆ)ˆ,(),ˆ( Für hermitesche Operatoren gilt

Page 25: Klassische Mechanik

25 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Darstellung in Basis

Darstellung des Vektors in einer Basis

Mff ,...,1

MM fcfc ...11

Mff ,...,1

MM fcfc ...11

ijji ff ),(

),( ii fc

ijji ff

ii fc

MM ffff ...11

i

ii ffI

Mathematische Notation

Dasselbe in Dirac Notation

Einheitsoperator

Zerlegung mit Basisvektoren

Basisvektoren sind orthonormal

Dann gilt…

Page 26: Klassische Mechanik

26 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Darstellung in Basis

r

),,( zyx

Md

d

1

ji

jjii ffAffA,

ˆˆ

Mcc *1*

MMM

M

ac

aa

1

111

A

Mcc *1*

Mc

c

1 A

MMM

M

ac

aa

1

111

MM fcfc ...11Einheitsoperatoren

Matrix Form

Bra Vektor wird durch eine Spaltenmatrix dargestellt

Ket Vektor wird durch eine Zeilenmatrix dargestellt

Operator wird durch eine quadratische Matrix dargestellt

Page 27: Klassische Mechanik

27 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Messgrößen und Observablen

Jeder Messgröße (dynamischer Variable) ist ein Operator (Observable) zugeordnet.

HFi

HF ˆ,ˆ,

)ˆ,ˆ(),( iiii xpFxpF

rprp ˆ,ˆ,

jiji qpi

qp ˆ,ˆ,

ijji qp , ijji iqp ˆ,ˆ

Pissson Klammer Kommutator

Zu klassischen Koordinaten und Impulsen sind Operatoren zugeordnet

Klassische dynamische Variablen lassen sich als Funktionen von p und x darstellen

Page 28: Klassische Mechanik

28 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Messergebnisse und Eigenwerte

Das Ergebnis der Messung einer dynamischen Variable ist ein Eigenwert der zugeordneten Observable.

Wenn die Observable diskretes Spektrum hat, geben die Messungen entsprechender Größe diskrete Werte.

iii uauA ˆ

2)( ii uaW

Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert ai zu messen

MM ucuc ...11

22)( iii cuaW 1...

22

1 Mcc

Die Eigenvektoren einer Observable bilden eine Basis. Deswegen kann man schreiben:

Und es gilt:

Für einen Vektor mit Norm = 1 gilt:

Page 29: Klassische Mechanik

29 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Reduzierung des Wellenpakets

iii uauA ˆ

Annahme: Ein System befindet sich in dem Zustand:

iu

Die Messung der Variable A gibt dann ganz sicher das Ergebnis ai

Annahme: Das System befindet sich in dem Zustand

Die Messung der Variable A gibt Ergebnis ai. Die Messung überführt das System in den neuen Zustand:

iu ii uuP ˆ

P

Pui ˆ

ˆ

Projektor

Page 30: Klassische Mechanik

30 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Reduzierung des Wellenpakets

FormX

P

PFormX

ˆ

ˆ

2FormXW

FormX

1W

Wahrscheinlichkeit dass eine Messung auf φ die FormX gibt

Durch die Messung wird der Zustand des Systems in einen Eigenzustand der Observable übeführt

Anfangszustand

Messergebnis

Page 31: Klassische Mechanik

31 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kommutierende Observablen

Zu den dynamischen Variablen A und B sind zwei Observablen zugeordnet

BA ˆ,ˆ

Wenn die Observablen kommutieren, gibt es wenigstens eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren

inmminm baabaA ,,ˆ

inmninm babbaB ,,ˆ

Dann gibt es einen Zustand inm ba ,

in welchem die Messung der Variable A immer das Ergebnis am und die Messung der Variable B immer das Ergebnis bn gibt. - Die Ergebnisse hängen von Reihenfolge der Messungen nicht ab - Die Observablen A und B sind kompatibel.

Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Basisvektoren im Fall von Entartung. Entartung ist ein Zeichen dafür dass es noch andere Operatoren gibt, die mit A und B kommutieren. A und B stellen keinen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

Page 32: Klassische Mechanik

32 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kommutierende Observablen

RotFormX ,

1W 1W

Das System befindet sich in dem gemeinsamen Eigenzustand zweier kommutierenden Operatoren

Die Messungen geben immer die gleichen Ergebnisse, „rot“ und „FormX“

Das Messergebnis ist im voraus bestimmt

Page 33: Klassische Mechanik

33 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nichtkommutierende Observablen

Wenn die Observablen nich kommutieren, haben sie keine gemeinsamen Eignvektoren. Die Variablen können nicht durch wiederholte Messungen genau bestimmt werden

2FormXW

2, iFormXRotW

2, jRotFormYW Die zwei Operatoren (Form-

und Farbenerkennung) kommutieren hier nicht. Sie haben keine gemeinsamen Eigenzustände. Jede Messung überführt das System in den Eigenzustand der (zu der Messgröße zugeordneten) Observable.Die Messergebisse können nicht präzise vorausgesagt werden.

Page 34: Klassische Mechanik

34 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schrödinger Gleichung

Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben

)(ˆ)( tHtdt

di

Hamiltonoperator ist eine Observable. Sie ist der Gesamtenergie des Systems zugeordnet.

t

Partielle Differentialgleichung

Kennen den Zustand eines Systems in t = t0, dann können wir die Zeitenwicklung des Systems berechnen.

QM Determinismus. Zeitenwicklung ist bestimmt wenn wir das System alleine lassen, d.h. keine Messungen auf dem System durchführen.

Page 35: Klassische Mechanik

35 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Wellenfunktion

Koordinate ist eine Observable. Deren Eigenvektoren bilden eine Basis.

000ˆ xxxx

dxxx

dxxx

dxxW2

xx )( xx )(*

2)( ii uaW

iii uuI

dxxxW2

00 )( dxxxI

dxW2

I (Einheitsoperator)

Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der Umgebung von x befindet

Wir definieren die Wellenfunktion

Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der dx Umgebung von x befindet

Wellenfunktion ist Ket Vektor in Koordinatendarstellung

Spektrum ist kontinuierlich

Für diskrete Eigenwerte gilt:1) W(ai) – Wahrscheinlichkeit dass eine Messung einen bestimmten Wert ai gibt2) I – Einheitsoperator3) Vektoren sind Orthonormal (Die Norm=1)

Die entsprechende Formel im Fall des kontinuierlichen Spektrums W(x0) -Wahrscheinlichkeit dass sich Teilchen im Bereich (x0, x0 + dx) befindet.Die Norm ist mit Dirac‘scher Delta Funktion definiert

jiji uu ,

)( 2121 xxxx

Page 36: Klassische Mechanik

36 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Koordinatenoperator

212211 ˆˆˆˆˆ dxdxxxxxxIxIx

Matrixelement des Operators x in Koordinatendarstellung

)( 2121 xxxx xxxx ˆ

dxxxxdxdxxxxxxdxdxxxxxx )()()()()(ˆ *

2122211*

212211

Eigenwert-Gleichung

Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung

)(),( 2* xxxx

Es gilt auch:

Und:

Definition der Wellenfunktion

Finden wir den Koordinatenoperator

in Koordinatendarstell

ung

Page 37: Klassische Mechanik

37 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit

)(ˆ)( 0tHtdt

di

)()()()()()( ttdt

dt

dt

dttt

dt

d

)(ˆ)( 0tHtidt

d HttHtidt

d ˆ)()(ˆ)(

0)(ˆ)()(ˆ)(1

)()( tHttHti

ttdt

d

Schrödinger Gleichung und die WahrscheinlichkeitDie Norm des Vektors ändert sich nicht. Wahrscheinlichkeit für Gesamtraum bleibt 1.

Schrödinger Gleichung für Ket Vektor Schrödinger Gleichung für Bra Vektor

H ist hermitesch

Beweis

1)()()( *2 dxxxdxxxdxx

Rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus dass sich das Teilchen irgendwo in gesamtem Raum befindet

Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit wenn man Schrödinger Gleichung anwendet?

Page 38: Klassische Mechanik

38 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Wichtige Operatoren in Koordinatendarstellung

xipx

ˆ

xx ˆ

),,,()(2

1 222 tzyxUpppm

H zyx

),,,()(2

ˆ2

2

2

2

2

22

tzyxUzyxm

H

ijji iqp ˆ,ˆ

Klassisch

),ˆ,ˆ,ˆ()ˆˆˆ(2

1ˆ 222 tzyxUpppm

H zyx

Quantenmechanisch

Quantenmechanisch

Koordinatenoperator

Impulsoperator

Hamiltonfunktion/Operator

KoordinatendarstellungEs gilt

Page 39: Klassische Mechanik

39 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung

)(ˆ)( tHtdt

di dxxxI

),(),(ˆ),( txtxHtxdt

di ),,,()(

2),(ˆ

2

2

2

2

2

22

tzyxUzyxm

txH

Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung

Multiplizieren wir die beiden Seite der Gleichung mit dem unitären Operator (Die rechte Seite zweimal…).

211221 )(ˆ)( dxdxxtxxHxdxxtxdt

di

2112221 ),(),(ˆ),( dxdxxtxtxHxxdxxtxdt

di

1111 ),(),(ˆ),( dxxtxtxHdxxtxdt

di

)( 2121 xxxx

Koordinaten und Zeit sind hier unabhängige Variablen. Es gilt nicht x=x(t)

wie in klassischer Mechanik

Page 40: Klassische Mechanik

40 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lösung der Schrödinger Gleichung

),(ˆ),( txHtxdt

di ),,,()(

2

2

2

2

2

22

tzyxUzyxm

H

)(tUU

)()(),( xttx

)(ˆ)()()( xHttdt

dxi

)(ˆ)(

1)(

)(

1xH

xt

dt

d

ti

Finden wir die Lösung für den Fall:

Wir können die Raumkoordinaten und Zeit trennen

)()(/ xt

Potentialenergie hängt nicht explizit von der Zeit ab

Page 41: Klassische Mechanik

41 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lösung der Schrödinger Gleichung

)(ˆ)(

1)(

)(

1r

r

Ht

dt

d

ti

nEtdt

d

ti )(

)(

1

)(ˆ)(

1xH

xEn

n

nti E

cet n ,)(

)()(ˆ,, xExH innin

)(),( ,/

, xcetx intiE

inn

Die koordinatenhängige Gleichung ist das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators. Die Konstante En ist daher die Gesamtenergie des Systems.

Die linke Seite hat nur Zeit als Variable, die rechte nur Koordinaten. Zeit und Raumkoordinaten sind in QM unabhängig. Beide Seiten sind daher Konstanten (En), sonst wären sie nicht immer und überall gleich.

Die Zeitabhängige Gleichung hat die einfache Lösung

Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Funktionen im Fall von Entartung. Entartung ist vorhanden wenn es andere Operatoren gibt die mit dem Hamiltonoperator kommutieren

Die Gesamtlösung hat die Form

Page 42: Klassische Mechanik

42 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitentwicklung eines Systems

)(),( ,/

, xcetx intiE

inn

Finden wir die Zeitentwicklung eines Systems im Zustand beschrieben mit der Wellenfunktion φ(x) in t=0

)()(ˆ,, xExH innin

)(, xin sind die Eigenfunktionen der Hamiltonoperators in Koordinatendarstellung. Diese Funktionen bilden eine Basis. Deswegen gilt:

inin

inin

inin cdxxxcx ,,

,,

,, )()(

Lösung der Schrödinger Gleichung

)()(,

,,in

inin xcx

dxxxc ininin )()(,*,,

)(),(,

,/

, in

intiE

in xectx n

In Dirac Notation:

Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden

Durch Vergleich (2) mit (1) bekommen wir:

(1)

(2)

Page 43: Klassische Mechanik

43 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Stationäre Zustände

in

intiE

in xectx n

,,

/, )(),( 0

)()(),(2

,00

2tConstxctx

iii

iii

tiE xcetx )(),( ,00/10

Messung der Koordinate 1. EnergiemessungE=E0

2. EnergiemessungE=E0

Ab der 1. Energiemessung befindet sich das System im Eigenzustand des Operators H. In dem Zustand ändert sich nur die Phase das Zustandsvektors. Das hat als Folgen: 1) alle physikalischen Eigenschaften des Systems bleiben konstant. 2) jede nachfolgende Energiemessung gibt immer dasselbe Ergebnis – den gleichen Eigenwert. Aus den Gründen nennt man die Eigenzustände des Hamiltonoperators stationäre Zustände

Zeitenwicklung

Keine Zeitenwicklung2),( txBetrag der Wellenfunktion

Page 44: Klassische Mechanik

44 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ein Test für Stabilität (Nyquist)

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

)(

)()(

DQ

DPDAOL

)(

)()(

DM

DLDT

)(1 zT

)()(

1

1

)(

)()(

zMzLzQ

zPzAF

Verstärkung mit RK

Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil

Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben

)(

)()(

zM

zLzT

Page 45: Klassische Mechanik

45 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Die komplexe Analyse

)(zf

az

afzfaf

az

)()(lim)('

a

z

)sin(cos yiyeee xiyxz

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2

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az

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az

zhzf

p

iezz izzLog )log()(

Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z

Ableitung wird definiert

Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert

Im

Re

Einige Wichtige analytische Funktionen

Cauchy‘sche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung

Definition, Polstelle p-ter Ordnung

Page 46: Klassische Mechanik

46 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)sin(cos yiyeee xiyxz

dzaz

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2

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az

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PNdzzf

zf

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2

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PNdzzfLogdz

d

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2

1

PN 2

z1 f(z1)

z2

f(z2)z3

f(z3)

Cauchy

Einige Definitionen

Nullstelle

PolstelleEs folgt:

Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ

Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z

Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ

Page 47: Klassische Mechanik

47 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)(

)()(

)(

)(1)(1

zM

zLzM

zM

zLzT

0

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z3

1+T(z3)

Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0

Page 48: Klassische Mechanik

48 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

1+T(z) T(z)

Page 49: Klassische Mechanik

49 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist‘scher Test

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

z1

T(z1)

z2

T(z2)

-1

Kreis um 0 mit R=1

Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein