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Inhalt
Vorwort
Theorie
1 Lehrplaninhalte 1
2 Erstellen von Klausuren 2
2.1 Inhaltliche Zusammenstellung ........................................................................................ 2
2.2 Genereller Aufbau .......................................................................................................... 3
2.3 Punkteverteilung ............................................................................................................. 6
2.4 Zeitbedarf ........................................................................................................................ 6
3 Bewerten von Klausuren 7 Praxis
Lineare Gleichungssysteme 11
Analytische Geometrie
Klausur 1 Ermittlung verschiedener Lagebeziehungen .......................................................... 16
Klausur 2 Bestimmen von Winkeln und Abständen .............................................................. 22
Klausur 3 Geometrische Körper, Aufstellen von Lotgeraden, Projektionen in Ebenen ........ 30
Analysis
Klausur 1 Fortführung der Differenzialrechnung ................................................................... 38
Klausur 2 Integralrechnung .................................................................................................... 43
Klausur 3 Analysieren von Graphen und Funktionen ............................................................ 48
Klausur 4 Wachstum und rekonstruierter Bestand ................................................................. 55
Stochastik
Klausur 1 Binomialverteilung ................................................................................................. 63
Klausur 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Hypothesentest ................................................ 71
Vorwort
Liebe Kollegin, lieber Kollege,
der vorliegende Band möchte Sie beim Erstellen von Klausuren für das Fach Mathematik in der Kursstufe in Baden-Württemberg unterstützen. Dazu werden zunächst im Theorieteil einige wichtige und grundsätzliche Hinweise und Tipps gegeben, die folgende Bereiche umfassen:
• Überblick über die Lehrplaninhalte der Kursstufe und den benötigten Zeitbedarf für die verschiedenen Themenbereiche
• Relevante Aspekte beim Erstellen von Klausuren wie Punkteverteilung, Zeitbedarf und inhaltlicher Aufbau unter Berücksichtigung der Anforderungs- und Kompetenzbereiche
• Hinweise zum Bewerten von Klausuren wie das Erstellen eines Erwartungshorizonts und der Umgang mit verschiedenen Fehlerarten
Sämtliche Aspekte werden dabei anhand von Beispielen aus der Unterrichtspraxis verdeut-licht.
Im Anschluss daran finden Sie eine Auswahl an 10 Klausuren geordnet nach den Themen-gebieten Lineare Gleichungssysteme, Analytische Geometrie, Analysis und Stochastik. Diese Musterklausuren können Sie entweder direkt als Kopiervorlagen verwenden oder ent-sprechend abändern und an Ihre Bedürfnisse anpassen. Dazu stehen Ihnen die Muster-klausuren auch als Word-Dokumente zum Download auf unserer Webseite zur Verfügung. Da alle Klausuren auf den gleichen Zeitbedarf (90 min) und die gleiche Gesamtpunktzahl (30 VP) ausgelegt sind, können einzelne Aufgaben leicht untereinander ausgetauscht werden.
Als Orientierung zur Bewertung (Korrektur) schließt sich an jede Klausur ein Erwartungs-horizont an. Zu Beginn jedes Erwartungshorizonts werden in einem Infokasten die Schwer-punktsetzung, das Verhältnis von Pflicht- und Wahlteilaufgaben sowie die Aufgabentypen der jeweiligen Klausur kurz beschrieben. In den darauf folgenden inhaltlichen Anforderungen sind die zugehörigen Kompetenz- und Anforderungsbereiche für die Teilaufgaben aufgeführt. Eine zusätzliche Kommentierung (kursiv) erläutert die Bepunktung der einzelnen Teilschritte. Bei manchen Teilaufgaben gibt es zudem Hinweise auf den Umgang mit unvollständigen bzw. fehlerhaften Schülerlösungen.
Ich hoffe, dieser Band bietet Ihnen eine wertvolle Unterstützung für das Erstellen und die Korrektur der Klausuren in der Oberstufe.
Peter Bunzel
Theorie6
STARK Verlag � Klausuren
2.3 Punkteverteilung
Für die Umrechnung von Verrechnungspunkten (VP) in Notenpunkte kann man sich von An-fang an an der Abitur-Skala orientieren (siehe unten). Dies hat den Vorteil, dass die Schüler rechtzeitig an die im schriftlichen Abitur gültige Skala gewöhnt werden. Allerdings ist der Bereich von 10 VP (von 60 VP), bei dem es 0 Notenpunkte gibt, dabei relativ groß.
VP 60 – 57 56 – 54 53 – 51 50 – 48 47– 45 44 – 42 41– 39 38 – 36
Note (Abitur-Skala) 15 14 13 12 11 10 9 8
35 – 33 32 – 30 29 – 27 26 – 23 22 – 19 18 –15 14 –11 10 – 0
7 6 5 4 3 2 1 0
Für die Klausuren bietet sich daher auch die Möglichkeit, zunächst mit einer „großzügigeren“ Verteilung zu beginnen und diese dann im Laufe der Zeit in zunehmendem Maße an die Abitur-Skala anzupassen.
Hier sind drei Vorschläge für Bewertungsschlüssel für Klausuren mit 30 VP gegeben:
VP Note (Abi-Maßstab)
VP Note (kleiner Sockel)
VP Note (lineare Skala)
30 – 28,5 15 30 – 28,5 15 30 – 28,5 15
28 – 27 14 28 – 26,5 14 28 – 26,5 14
26,5 – 25,5 13 26 – 24,5 13 26 – 24,5 13
25 – 24 12 24 – 23 12 24 – 22,5 12
23,5 – 22,5 11 22,5 – 21 11 22 – 20,5 11
22 – 21 10 20,5 – 19,5 10 20 –18,5 10
20,5 –19,5 9 19 –17,5 9 18 –16,5 9
19 –18 8 17–15,5 8 16 –14,5 8
17,5 –16,5 7 15 –14 7 14 –12,5 7
16 –15 6 13,5 –12 6 12 –10,5 6
14,5 –13,5 5 11,5 –10,5 5 10 – 8,5 5
13 –11,5 4 10 – 8,5 4 8 – 6,5 4
11– 9,5 3 8 – 6,5 3 6 – 4,5 3
9 –7,5 2 6 – 5 2 4 –2,5 2
7– 5,5 1 4,5 – 3 1 2 – 0,5 1
5 – 0 0 2,5 – 0 0 0 0
2.4 Zeitbedarf
Da die Klausuren in der Oberstufe als Hinführung zur Abiturprüfung dienen, kann man sich beim geplanten Zeitbedarf an der Abiturprüfung orientieren. Entsprechend ergibt sich als Faustregel: 1 Verrechnungspunkt (VP) entspricht einem Zeitbedarf von 4,5 Minuten. Dies ergibt sich aus der maximalen Punktzahl von 60 VP im Abitur und der Bearbeitungszeit von 270 Minuten. Bei einer Klausur über 90 Minuten sollten also abiturähnliche Aufgaben im Umfang von 20 VP angemessen sein. Da die Punktzahl etwas klein ist, um Teilleistungen entsprechend zu würdigen, sind die Klausurvorschläge in diesem Buch auf eine Gesamtpunktzahl von 30 VP angelegt.
Theorie 7
STARK Verlag � Klausuren
Dies sind nur Anhaltswerte. Es ist immer von der Unterrichtssituation abhängig, wie langsam oder schnell die Schüler sind. Bei einer Klausur sind die Themenbereiche meist einge-schränkt. Daher können sich die Schüler beim Lernen auf einen kleineren Bereich kon-zentrieren und müssten in der Klausur tendenziell schneller sein als im Abitur. Andererseits sind die geprüften Themenbereiche meistens noch relativ neu. Deshalb fehlt es noch etwas an Gewöhnung und die Bearbeitungsgeschwindigkeit ist noch nicht so hoch wie bei der Ab-schlussprüfung.
3 Bewerten von Klausuren
Als Orientierung und um die Korrektur zu erleichtern, ist es sinnvoll, bereits beim Zusam-menstellen der Klausur einen Erwartungshorizont zu erstellen. In diesem können die Ver-rechnungspunkte (VP) pro Teilaufgabe dann nochmals in eine kleinschrittigere Bepunktung der nötigen Lösungsschritte unterteilt werden. Dabei sollten nur halbe und ganze VP für die Teilschritte vergeben werden (vgl. auch die Musterlösung im unten aufgeführten Beispiel). Auch empfiehlt es sich, eine Präzisierung der geforderten Lösung anhand von Vermerken zu den einzelnen Lösungsschritten vorzunehmen und evtl. mögliche alternative Lösungswege in Betracht zu ziehen. Im unten aufgeführten Beispiel ist diese Kommentierung in kursiver Schrift gegeben. Diese Vorgaben ermöglichen dann eine gute Orientierung bei der Korrektur der Schüler-lösungen. Beim Abgleich von Schülerlösung und Erwartungshorizont im Hinblick auf Vollständigkeit und Logik der präsentierten Lösung lässt sich somit einfacher die Höhe des Punktabzugs bestimmen. Bei der Bewertung von Rechenfehlern ist es insgesamt nicht ratsam, pauschal für jeden Rechenfehler eine bestimmte Anzahl von VP abzuziehen, weil dies im Extremfall dazu führen kann, dass ein an sich richtiger Lösungsweg bei mehreren kleinen Rechenfehlern mit keinen bzw. nur ganz wenigen VP bewertet wird (siehe Schülerlösung 2 im Beispiel). Umgekehrt kann es dazu führen, dass eine Lösung mit einem schweren, den Charakter der Aufgabe ver-ändernden Fehler noch relativ viele VP bringt (vgl. Schülerlösung 1 im Beispiel).
Beispiel
Aufgabenstellung
Lösen Sie die Gleichung 2x xe 5 4e .− = 3 VP
Musterlösung
Umformung (alles auf eine Seite bringen) 0,5 VP 2x xe 4e 5 0− − =
Substitution 0,5 VP x
2u eu 4u 5 0
=− − =
Theorie8
STARK Verlag � Klausuren
Lösen der quadratischen Gleichung 1 VP 24 4 4 5 4 6
1/2 2 2
1 2
u
u 5; u 1
± + ⋅ ±= =
= = −
Rücksubstitution 0,5 VP x
xe 5 x ln 5
e 1 keine Lösung= ⇒ =
= − ⇒
Angabe der einzigen Lösung 0,5 VP
Schülerlösung 1
2x x
ln 52 ln 4
e 5 4e2x ln 5 x ln 4
2x x ln 4 ln 5x (2 ln 4) ln 5
x −
− =− = ⋅
− ⋅ =⋅ − =
=
Schülerlösung 2
2
2x x
x
2
4 4 4 5 4 61/2 2 2
1 2
e 4e 5 0u e
u 4u 5 0
u
u 5; u 1
± + ⋅ ±
− − ==
+ − =
= =
= =
x
xe 5 x ln 5e 1 x ln1 0
= ⇒ == ⇒ = =
Würde man die Schülerlösungen nur anhand der Zahl der Rechenfehler bewerten, dann würde Schülerlösung 1 (1 Umformungsfehler in der 2. Zeile) mit mehr VP bewertet werden als Schülerlösung 2 (mehrere Vorzeichenfehler in den Zeilen 3, 4 und 5). Betrachtet man jedoch die Schwere der Fehler und vergleicht die durchgeführte Rechnung mit den erforderlichen Schritten in der Musterlösung, dann lässt sich Schülerlösung 1 noch mit maximal 0,5 VP –1 VP bewerten (für die „korrekte“ Folgerechnung), während Schüler-lösung 2 2 VP – 2,5 VP erhält (alle wesentlichen Schritte sind vorhanden und die Rechenfehler sind nur „leichte“ Fehler).
Darüber hinaus können schwerwiegende und gehäufte Verstöße gegen sprachliche Richtig-keit oder gegen die äußere Form zu einem zusätzlichen Abzug von 1 bis 2 Notenpunkten führen.
Generell ist es für eine bessere Vergleichbarkeit sinnvoll, bei der Korrektur aufgabenweise vorzugehen. Es kann zudem hilfreich sein, zunächst mit den „vermutlich leistungsstärksten“ Schülern zu beginnen, um sich einen Überblick vom allgemeinen Leistungsniveau zu ver-schaffen.
Analysis – Klausur 2 43
STARK Verlag � Klausuren
Name: Datum: VP-Pflichtteil:
/ 13
Pflichtteil
1 Berechnen Sie das Integral
2
0
(1 sin(2x)) dx.π
−∫ 3 VP
2 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x + 2 ⋅ e3x + 1. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F(0) = 0. 3 VP
3 Gegeben sind die Funktionen f und g mit 1 22
f (x) x= und 51 2
8 2g(x) x .= − +
Zeigen Sie, dass sich die beiden Graphen in zwei Punkten orthogonal schneiden. 4 VP
4 Gegeben sind die Schaubil-der einer Funktion f und einer Stammfunktion F von f.
4.1 Ordnen Sie C und K den entsprechenden Funktionen zu und begründen Sie Ihre Antwort. 1,5 VP
4.2 Bestimmen Sie das Integral
0
1
f (x) dx.−∫ 1,5 VP
Analysis – Klausur 244
STARK Verlag � Klausuren
Name: Datum: VP-Wahlteil:
/ 17
Wahlteil
5 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g. f (x) = x ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 4); ihr Graph ist C. g (x) = x ⋅ (x – 1) ⋅ (x – 4); ihr Graph ist K.
5.1 Geben Sie die Nullstellen der beiden Funktionen an. Skizzieren Sie mithilfe der Nullstellen die beiden Graphen. 5 VP
5.2 Die beiden Graphen schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. 3 VP
6 Für jedes a > 0 ist eine Funktion gegeben durch fa (x) = – x ⋅ (x – 2a); ihr Graph ist Ka.
6.1 Zeigen Sie, dass jeder Graph Ka einen Hochpunkt Ha besitzt. Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts Ha an. 3 VP
6.2 Für jedes a > 0 werden durch Ha die Parallelen zu den Koordinatenachsen gelegt. Diese Parallelen und die Koordinatenachsen legen ein Rechteck fest. Skizzieren Sie den Graphen und das Rechteck für a = 2. Bestimmen Sie den Inhalt des Rechtecks für allgemeine Werte von a. Das allgemeine Rechteck wird durch Ka in zwei Teilflächen zerlegt. Bestimmen Sie das Verhältnis der beiden Teilflächen. 6 VP
Bearbeitungszeit: 90 min Gesamtpunktzahl:
/ 30 VP
Analysis – Klausur 2 45
STARK Verlag � Klausuren
ERWARTUNGSHORIZONT
Info Dieser Klausurvorschlag für die Analysis beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit der Integralrechnung. Lediglich in Aufgabe 3 muss kein Integral berechnet werden. Bei allen Aufgaben handelt es sich um innermathematische Aufgaben. Der Pflichtteil ist nur geringfügig kleiner als der Wahlteil. Aufgabe 6 des Wahlteils behandelt eine Funktionen-schar.
Inhaltliche Anforderungen
1 Berechnen des Integrals AFB I K4 VP
( )2
1 1 122 2 2 20
01 1
2 2 2 2
(1 sin(2x)) dx x cos(2x) cos( ) 0 cos(0)
1
ππ
π
π π
⎡ ⎤− = + = + π − +⎣ ⎦
= − − = −
∫
3
Die Berechnung von cos( ) 1π = − und cos(0) 1= gibt jeweils 0,5 VP.
2 Bestimmen der allgemeinen Stammfunktion AFB I K4 VP
1 22 3x 12 3
F(x) f (x) dx x e C+= = + +∫ 1
Berechnen von F(0) 0,5
2 13
F(0) e C= ⋅ +
Berechnen der Konstanten durch Verwenden der Bedingung 1
2 23 3
F(0) 0 e C 0 C e= ⇒ ⋅ + = ⇒ = −
Angabe der gesuchten Stammfunktion 0,5
1 2 22 3x 12 3 3
F(x) x e e+= + −
3 Bestimmen gemeinsamer Punkte AFB I,
AFB II K2 VP
5 5 51 12 2 2 21/22 8 2 8 2
f (x) g(x)
x x x 0 x 4 0 x 2
== − + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ±
Es gibt also zwei gemeinsame Punkte.
1,5
Bedingung für Orthogonalität 0,5
Bei orthogonalem Schnitt muss das Produkt der Steigungen der Funktionen an der Schnittstelle –1 sein.
Ableitungen: 14
f '(x) x; g '(x) x= = − 0,5
Steigungen: 12
f '(2) 2; g '(2) f '(2) g '(2) 1= = − ⇒ ⋅ = − 0,5
Schlussfolgerung 1
An der Stelle x = 2 sind die Graphen orthogonal. Jeder der beiden Graphen ist symmetrisch zur y-Achse, daher schnei-den sich die beiden Graphen auch an der Stelle x = –2 orthogonal.
Analysis – Klausur 246
STARK Verlag � Klausuren
4.1 Zuordnung mit Begründung AFB II K2,
K5 VP
K hat an der Stelle x ≈ 0,4 eine waagrechte Tangente. 0,5
C schneidet an dieser Stelle die x-Achse. 0,5
Daher ist C das Bild der Ableitungsfunktion von F. C gehört zu f; K gehört zu F.
0,5
4.2 Bestimmen des Integrals mithilfe der Abbildung K4 1,5
00
11
f (x) dx [F(x)] F(0) F( 1) 1 0 1−−
= = − − = − =∫
Jeder Rechenschritt wird mit 0,5 VP bewertet.
5.1 Angabe der Nullstellen; keine Begründung erforderlich AFB I K4 VP
Nullstellen von f: x1 = 0; x2 = 2; x3 = 4 0,5
Nullstellen von g: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 4 0,5
Skizzieren der beiden Graphen AFB II 4
Anmerkung: Die Nullstellen sollten exakt eingezeichnet werden. Da aber nur eine Skizze verlangt ist, genügt es, für jeden Graphen zwei geeignete Funktionswerte auszurechnen und die entsprechenden Punkte einzu-zeichnen (Tabellen von Funktions-werten sollen nicht ausgerechnet werden). Die Extrempunkte müssen nicht genau eingezeichnet werden, aber sie sollten in etwa an der rich-tigen Stelle liegen.
Jeder korrekte Graph wird mit 2 VP bewertet.
5.2 Berechnen des Flächeninhalts K2 0,5
„obere Funktion“: 2 3 2f (x) x (x 2) (x 4) x (x 6x 8) x 6x 8x= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − + = − +
„untere Funktion“: 2 3 2g(x) x (x 1) (x 4) x (x 5x 4) x 5x 4x= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − + = − +
0,5
4 42
0 04 64 321 3 2
3 3 30
A (f (x) g(x)) dx ( x 4x) dx
x 2x 32
= − = − +
⎡ ⎤= − + = − + =⎣ ⎦
∫ ∫
2
Eine Berechnung einzelner Teilflächen ist nicht nötig. Die Fläche kann mit einem Integral bestimmt werden.
Analysis – Klausur 2 47
STARK Verlag � Klausuren
6.1 Nachweis der Hochpunkte durch Rechnung AFB II K2, K4
VP
2 'a a''a
f (x) x (x 2a) x 2ax f (x) 2x 2a
f (x) 2
= − ⋅ − = − + ⇒ = − += −
1
Extrempunkt(kandidaten): 'af (x) 2x 2a 0 x a= − + = ⇒ = 0,5
Wegen ''af (a) 2 0= − < liegt ein Hochpunkt vor. 1
Angabe des Hochpunkts 0,5
2 2a af (a) a (a 2a) a H (a a )|= − ⋅ − = ⇒
Alternative: Nachweis der Hochpunkte über verbale Begründung Bestimmen muss man die Koordinaten dennoch
2af (x) x (x 2a) x 2ax= − ⋅ − = − +
Jede der Funktionen ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 2. Das zugehörige Schaubild ist eine nach unten geöffnete Parabel (vom Grad 2), da der Vorfaktor von x2 negativ ist.
6.2 Skizze des Rechtecks für a = 2 AFB II, AFB III
2
H2(2 | 4)
Berechnen des Flächeninhalts des Rechtecks 1
Grundseite des Rechtecks: g = a; Höhe: h = a2 Flächeninhalt: AR = a3
Berechnen der Teilflächen 2
a a2
1 a0 0
a1 1 23 2 3 3 33 3 30
A f (x) dx ( x 2ax) dx
x ax a a a
= = − +
⎡ ⎤= − + = − + =⎣ ⎦
∫ ∫
1 32 R 1 3
A A A a= − = 0,5
Berechnen des Verhältnisses 0,5
A1 : A2 = 2 : 1 (unabhängig von a)
