Embed Size (px)
Citation preview
Öklid Uzayında
DiferansiyelGeometriProf. Dr. Salim Yüce
5. BaskıGüncellenmiş
Prof. Dr. Salim Yüce
ÖKLİD UZAYINDA DİFERANSİYEL GEOMETRİ
ISBN 978-605-318-812-4DOI 10.14527/9786053188124
Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© 2020, PEGEM AKADEMİ
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ'ye aittir. Anı-lan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan ki-taplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.
Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazar-lara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.
1. Baskı: Şubat 2017, AnkaraGüncellenmiş 5. Baskı: Nisan 2020, Ankara
Yayın-Proje: Şehriban TürlüdürDizgi-Grafik Tasarım: Müge ÇetinKapak Tasarım: Pegem Akademi
Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited ŞirketiÇetin Emeç Bulvarı 1314.Cadde No:37/A-B
Çankaya / ANKARA0312 472 58 55
Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 46661
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]
WhatsApp Hattı: 0538 594 92 40
BEŞİNCİ BASKIYA ÖN SÖZ
Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan başta sevgili annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim
bu kitabın gerçek yazarlarıdır. Bu nedenle hepsinin adına bu kitabı annem Ayşe YÜCE ve babam Muzaffer YÜCE’ye ithaf ediyorum.
Ayrıca, başta 15 Temmuz şehitlerimiz olmak üzere vatan uğruna canlarını feda eden, bizler huzur içinde yaşayalım diye
sevdiklerini yetim bırakan tüm şehitlerimize ve halen görev yapan güvenlik kuvvetleri personelimize selam olsun.
Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği bölümlerinde zorunlu ders olarak ve bazı mühendislik bölümlerinde servis dersi olarak okutulan “Analitik Geomet-ri” derslerine yardımcı olması amacı ile hazırlanmıştır.
Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde, Afin ve Öklid uzayları ve koordinat sistemleri tanıtılmış, ayrıca 3, 4, 7 boyutlu uzaylarda vektörel ve karma çarpım ile bunların geometrik yorumları verilmiş; ikinci bölümde, koordinat dönüşümleri ile R2 ve R3 duzaylarında dönme kavramı ele alınmış; üçüncü bölümde, 3-bo-yutlu uzayda doğrunun analitik incelenmesi yapılmış; dördüncü bölümde, uzayda düzlem kavramı ve düzlemlerin birbirine göre durumları lineer denklem sistemi-nin çözümünün irdelenmesi kullanılarak incelenmiş; beşinci bölümde, genel ko-nikler ve altıncı bölümde ise kuadrikler verilmiştir. Yedinci bölümde, özel yüzey-ler tanıtılarak bazıları için Matlab çizimleri verilmiş; sekizinci bölümde, Projektif düzlem ve Projektif uzayda Analitik Geometri bilgileri yeniden ele alınmıştır.
Ayrıca, Analitik Geometrinin temeli olan Lineer Cebir bilgileri Ek-A bölü-münde; bazı bölümlerin Analitik Geometri derslerinde verilen R2 düzleminde doğru kavramı Ek-B bölümünde ve merkezil konikler (çember, elips, hiperbol, parabol) Ek-C bölümünde verilmiştir. Ayrıca kitabın Ek bölümlerinin, liselerde okutulan Analitik Geometri derslerine yardımcı olunması da amaçlanmıştır.
Kitabın her bölümünün içerisinde konuların daha iyi anlaşılması amacıyla örnekler çözülmüş ve bazı bölüm sonlarında ise alıştırmalar verilmiştir. Ayrıca bölüm dizinleri, bölümler arasında bağlantılar kurularak hazırlanmıştır. Örneğin, genel konik ve genel kuadriklerin merkezil hale getirilmesinde üçüncü bölümde anlatılan eksenlerin ötelenmesi ile döndürülmesi veya Ek-A kısmında anlatılan bir matrisin özdeğer ve özvektörleri kullanılmıştır.
iv Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
Kitabın yazımının gerçeklemesinde emeği geçen Mücahit AKBIYIK, Esra ERKAN, G. Yeliz ŞENTÜRK ve G. Kemal NALBANT nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim. Ayrıca, belki de tüm akademik hayatımın başlangıcı sayabileceğim Matematik sevdamın başlamasına vesile olan lise Mate-matik öğretmenim Sayın Şükrü ADIGÜZEL ile akademik hayatımın her nokta-sında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na emekleri için de teşekkür ederim.
2020
İLK SÖZ
Kitabımı, bu ülke için canlarını feda eden tüm 15 Temmuz şehitlerimiz nezdinde
mesai arkadaşım Prof. Dr. İlhan VARANK kardeşime ithaf ediyorum.
Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Jeoloji Mühendisliği bölümlerinde lisans ve lisansüstü düzeyde okutulan “Diferansiyel Geometri” derslerinin kaynak kitabı olacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Bu kitap sadece Öklid uzayı üzerine inşa edilmiştir. planlanan bir sonraki kitapta ise sadece Manifoldların incelenmesi düşünülmektedir.
Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde temel kavram olarak Afin ve Öklid uzayları tanıtılmış; ikinci bölümde, diferansiyellenebilir fonksiyonlar, tanjant vektör-vektör alanı, yöne göre türev, kovaryant türev, Lie operatörü, kotanjant vektör, 1 form, diferansiyel formlar, gradient-divergens-rotasyonel fonksiyonlar ve türev dönüşümü verilmiş; üçüncü bölümde, 2 veya 3 veya n-boyutlu Öklid uzaylarında ve Minkowski 3-uzayında eğriler teorisi incelenmiş, ayrıca özel eğriler ve özel eğri çiftleri verilmiş; dördüncü bölümde, n-boyutlu Öklid uzayında hiperyüzeyler ile 3-boyutlu Öklid uzayında yüzeyler teorisi incelenmiş ve ayrıca yüzey üzerindeki eğrilerin eğrilikleri ile yüzeyin eğrilikleri arasında bağıntılar elde edilmiştir. Beşinci bölümde ise yüzeylerin dönüşümleri, global özellikleri, yüzeyler üzerinde formlar ve Gauss Bonnet teoremi üzerinde durulmuş; altıncı bölümde özel yüzeyler incelenmiş ve her biri için matlab çizimleri verilerek örneklendirilmiştir.
Bunlara ek olarak her bölüm içerisinde konulara özel sorular çözülmüş ve konu sonunda da alıştırmalar verilmiştir. En önemlisi de yedinci ve son bölüm olan “Maple Uygulamaları” bölümünde kitap içerisinde anlatılan bazı geometrik formüller için kodlar verilmiştir.
Kitabın tüm metnini titizlikle okuyarak yapıcı uyarı ve önerilerinde bulunan Prof. Dr. Ertuğrul ÖZDAMAR Hocama, ayrıca kitabın yazımını gerçekleyen Yrd. Doç. Dr. Nurten (BAYRAK) GÜRSES, Arş. Gör. G. Yeliz ŞENTÜRK, Arş. Gör. Esra ERKAN, ve doktora öğrencim G. Kemal NALBANT ile MAPLE kodlarını yazan Yrd. Doç. Dr. Mutlu AKAR nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim.
vi Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU'na emekleri için teşekkürlerimi sunarım.
Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan sevgili annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabın gerçek yazarlarıdır.
Prof. Dr. Salim Yüce
Yıldız Teknik Üniversitesi
İÇİNDEKİLERBeşinci Baskıya Ön Söz ...................................................................................................... iiiİlk Söz .....................................................................................................................................v
1. BÖLÜM
AFİN UZAY VE ÖKLİD UZAYI
1.1 Afin Uzay ......................................................................................................................21.2 Öklid Uzayı .....................................................................................................................6Alıştırmalar 1.1 ...................................................................................................................11
2. BÖLÜM
DİFERANSİYELLENEBİLİR FONKSİYONLAR
2.1 k–yıncı Sınıftan Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar ................................................14Alıştırmalar 2.1 ...................................................................................................................212.2 Tanjant Vektörler ve Tanjant Uzaylar ........................................................................222.3 Vektör Alanları ve Vektör Alanlarının Uzayı ...........................................................252.4 Yöne Göre Türev ...........................................................................................................28 2.4.1 Yöne Göre Türevin Geometrik Yorumu...........................................................30 2.4.2 Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı Yönündeki Türevi ................362.5 Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevi ...............402.6 Lie Operatörü ...............................................................................................................46Alıştırmalar 2.2 ...................................................................................................................562.7 Kotanjant Vektör ve 1-Form .......................................................................................592.8 Diferansiyel Operatör (d Operatörü) ........................................................................61Alıştırmalar 2.3 ...................................................................................................................672.9 Gradient, Divergens ve Rotasyonel Fonksiyonlar ....................................................68 2.9.1 Gradient Fonksiyonu ..........................................................................................68Alıştırmalar 2.4 ...................................................................................................................70 2.9.2 Divergens Fonksiyonu ........................................................................................71 2.9.3 Rotasyonel Fonksiyon ........................................................................................72Alıştırmalar 2.5 ...................................................................................................................742.10 Türev Dönüşümü........................................................................................................75 2.10.1 Türev Dönüşümünün Geometrik Yorumu .................................................82 2.10.2 Türev Dönüşümünün Matrisi .......................................................................872.11 Diferansiyel Formlar ..................................................................................................92
viii Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
2.11.1 Alterne (Dış, Kutupsal, Anti-Simetrik) Çarpım .........................................92 2.11.2 Alterne Çarpımın Determinantla Tanımlanması .......................................98 2.11.3 Dış Türev ..........................................................................................................99Alıştırmalar 2.6 .................................................................................................................1082.12 Dönüşümün Diferansiyel-Formlara Uygulanması ..............................................110
3. BÖLÜM
EĞRİLER TEORİSİ
3.1 Eğri Tanımı .................................................................................................................1183.2 Hız Vektörü .................................................................................................................1213.3 Skalar Hız Fonksiyonu ve Skalar Hız .......................................................................1233.4 Parametre Değişimi ...................................................................................................1253.5 E3 Öklid Düzlemde Eğriler Teorisi ..........................................................................133 3.5.1 Düzlemde Eğrilerin Eğriliği ............................................................................134 3.5.2 Açı Fonksiyonları ..............................................................................................138 3.5.3 Düzlemsel Eğriler İçin Frenet Formülleri ......................................................141 3.5.4 Öklid Düzleminde Özel Eğriler ......................................................................145 3.5.5 Toplam İşaretli Eğrilik ......................................................................................150 3.5.6 Kapalı Bir Eğrinin Dönme İndeksi .................................................................152Alıştırmalar 3.1 .................................................................................................................1543.6 E3 Öklid Uzayında Eğriler Teorisi ............................................................................155 3.6.1 Birim Hızlı Eğriler İçin Frenet Formülleri ve Eğrilikler ..............................155 3.6.2 Özel Düzlemler .................................................................................................161 3.6.3 l ve x Eğriliklerinin Geometrik Yorumu ...................................................163 3.6.4 Birim Hızlı Olmayan Eğriler İçin Frenet Formülleri ve Eğrilikler .............168Alıştırmalar 3.2 .................................................................................................................1723.7 R1
3 Minkowski Uzayında Frenet Formülleri ve Eğrilikler ...................................1763.8 E3 Öklid Uzayında Özel Eğriler ................................................................................178 3.8.1 Küresel Eğriler ...................................................................................................178 3.8.2 Oskülatör Küre ..................................................................................................179 3.8.3 Helisler (Eğilim Çizgileri) ................................................................................188Alıştırmalar 3.3 .................................................................................................................191 3.8.4 İnvolüt (Basıt) ve Evolüt (Mebsut) Eğri Çifti ................................................192 3.8.5 Bertrand Eğri Çifti ............................................................................................193 3.8.6 Bezier Eğrileri ....................................................................................................197
İçindekiler ix
3.8.6.1 Lineer Bézier Eğrisi ..............................................................................198 3.8.6.2 Kuadratik Bézier Eğrisi ........................................................................199 3.8.6.3 Kübik Bézier Eğrisi ...............................................................................199 3.8.6.4 Bernstein Polinomunun Özellikleri ...................................................199 3.8.6.5 Bézier Eğrisinin Matris Formu ...........................................................203 3.8.6.6 Bézier Eğrisinin Türevleri ...................................................................205 3.8.6.7 E3 Öklid Uzayında Bézier Eğrileri İçin Serret-Frenet Elemanları ......................................................................2093.9 E3 Öklid Uzayında Bir Eğrnin Küresel Göstergeleri ..............................................218Alıştırmalar 3.4 .................................................................................................................2233.10 Bağ Formları .............................................................................................................2243.11 E4 Öklid Uzayında Eğriler Teorisi ..........................................................................228 3.11.1 E4 Öklid Uzayında Eğriler ve Frenet Formülleri ......................................228 3.11.2 E4 Öklid Uzayında Eğriler İçin Parametre Değişimi ...............................2313.12 En Öklid Uzayında Eğriler Teorisi ..........................................................................235 3.12.1 Serret–Frenet Vektörleri ..............................................................................235 3.12.2 Bir Eğrinin Oskülatör Hiperdüzlemleri .....................................................238 3.12.3 Frenet Formülleri ve Eğrilikler ...................................................................239 3.12.4 Küresel Eğrilikler ve Oskülatör Küre .........................................................246 3.12.5 İnvolüt (Basıt) ve Evolüt (Mebsut) Eğri Çifti ............................................253 3.12.6 Bertrand Eğri Çifti ........................................................................................254 3.12.7 Eğilim Çizgileri (Helisler) ...........................................................................254 3.12.8 Yüksek Mertebeden Eğriliklerin Harmonik Eğrilikler Cinsinden İfadesi .............................................................................................................260 3.12.9 Eğilim Çizgileri İçin Diğer Karakterizasyon .............................................261
4. BÖLÜM
E3 ÖKLİD UZAYINDA YÜZEYLER TEORİSİ
4.1 Kapalı Denklem Yardımıyla Yüzey ve Yüzeyin Teğet Vektörü .............................2684.2 E3 Öklid Uzayında Parametrik Yüzey ......................................................................273Alıştırmalar 4.1 .................................................................................................................281 4.2.1 Yüzey Üzerinde Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar ve Eğri ........................283 4.2.2 Yüzeylerde Yönlendirme ..................................................................................2884.3 Yüzeyler Üzerinde Şekil Operatörü (Weingarten Dönüşümü) ............................289 4.3.1 E3 Öklid Uzayında Bir Parametrik Yüzeyin Şekil Operatörünün Matrisinin Hesabı .............................................................................................2924.4 Gauss Dönüşümü .......................................................................................................300
x Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
4.5 Gauss Dönüşümü ve Şekil Operatörü Arasındaki İlişki .......................................3024.6 Temel Formlar ............................................................................................................3024.7 Normal Eğrilik ............................................................................................................3054.8 Asli (Asal) Eğrilik ve Umbilik Nokta .......................................................................3094.9 Eğrilik Çizgisi (Asli Eğri) ..........................................................................................3174.10 Gauss Eğriliği ve Ortalama Eğrilik .........................................................................3224.11 Asimptotik Doğrultu ve Eşlenik Doğrultular .......................................................3324.12 Christoffel Sembolleri ..............................................................................................3394.13 Yüzey Üzerinde Eğriler Teorisi ...............................................................................341 4.13.1 Yüzey Üzerinde Geodezik Eğriler ..............................................................341Alıştırmalar 4.2 .................................................................................................................346 4.13.2 Yüzeyler Üzerinde Eğriliklerin Geodezik ve Normal Eğriliği ................350 4.13.3 Yüzey Eğrisinin Darboux Çatısı .................................................................354Alıştırmalar 4.3 .................................................................................................................3564.14 Dupin Göstergesi ......................................................................................................357 4.14.1 E3 Uzayında Bir Yüzeyin Noktalarının Sınıflandırılması ........................3574.15 Yüzeyler Üzerinde Gauss Anlamında Kovaryant Türev ......................................358 4.15.1 Gauss Denkleminin Kürseel Göstergelere Uygulanması ........................3614.16 Yüzeylerin Global Özellikleri ..................................................................................3624.17 Yüzeyler Üzerinde Form Hesaplamaları ve Özel Denklemler ............................365Alıştırmalar 4.4 .................................................................................................................3734.18 Yüzey Üzerinde Yöne Göre Türev ve Lie Operatörü ............................................3744.19 Yüzey Üzerinde Diferansiyel Formlar....................................................................3804.20 Yüzey Dönüşümleri ..................................................................................................385 4.20.1 Yüzey Dönüşümünün Türev Dönüşümü ..................................................386 4.20.2 Türev Dönüşümünün Matris İfadesi ..........................................................388 4.20.3 Yüzey Üzerinde İzometri .............................................................................3934.21 Yüzey Dönüşümleri Altında Formların İncelenmesi ..........................................398Alıştırmalar 4.5 .................................................................................................................4014.22 İntegral Geometri .....................................................................................................402 4.22.1 Yüzey Alanları ...............................................................................................402 4.22.2 Diferansiyel Formların İntegrali .................................................................403 4.22.3 Stokes Teoremi ..............................................................................................406 4.22.4 Gauss Bonnet Teoremi .................................................................................409Alıştırmalar 4.6 .................................................................................................................416
İçindekiler xi
5. BÖLÜM
E3 ÖKLİD UZAYINDA ÖZEL YÜZEYLER
5.1 Minimal Yüzeyler .......................................................................................................4185.2 Paralel Yüzeyler ..........................................................................................................4215.3 Möbiüs Şeridi ..............................................................................................................4265.4 Klein Şişesi ..................................................................................................................4265.5 Dönel Yüzeyler ...........................................................................................................4275.6 Regle Yüzeyler .............................................................................................................429 5.6.1 Regle Yüzey Örnekleri ......................................................................................430 5.6.2 Regle Yüzeyin Teğet Düzlemi ..........................................................................434 5.6.3 Regle Yüzeyin Özellikleri .................................................................................435 5.6.4 Regle Yüzey Üzerinde Otonormal Çatı Alanları ...........................................437 5.6.4.1 Regle Yüzeyin Geodezik Çatısı ve Geodezik Frenet Formülleri ................................................................437 5.6.4.2 Regle Yüzeyin Geodezik Çatısı ile Küresel Gösterge Eğrisinin Frenet Çatısı Arasındaki İlişki ...........................................443 5.6.4.3 Regle Yüzey Üzerinde Ortonormal N, ,T e" ,Çatısı .....................444 5.6.5 Regle Yüzeyin Global Özellikleri ....................................................................445 5.6.5.1 Striksiyon Eğrisi ....................................................................................445 5.6.5.2 Regle Yüzeyin Açılabilirliği .................................................................4465.7 Tor Yüzeyi ....................................................................................................................4505.8 Bézier Yüzeyi ...............................................................................................................450 5.8.1 Bézier Yüzeylerinin Türevleri ..........................................................................451
6. BÖLÜM
En ÖKLİD UZAYINDA YÜZEYLER TEORİSİ
6.1 Dik Koordinat Sisteminde Kapalı Denklem Yardımıyla Hiperyüzey Tanımı ....................................................................................................454 6.1.1 Hiperyüzeylerde Yönlendirme ........................................................................457 6.1.2 Hiperyüzeyler Üzerinde Geodezik Eğriler ....................................................457 6.1.3 Hiperyüzeyler Üzerinde Şekil Operatörü (Weingarten Dönüşümü) .........459 6.1.4 Gauss Dönüşümü ..............................................................................................460 6.1.5 Temel Formlar ...................................................................................................461 6.1.6 Şekil Operatörünün Cebirsel Değişmezleri ...................................................461 6.1.6.1 Asli Eğrilikler, Asli Doğrultular ..........................................................461
xii Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
6.1.6.2 Gauss Eğriliği ........................................................................................464 6.1.6.3 Ortalama Eğrilik ...................................................................................466 6.1.6.4 Eğrilik Çizgisi (Asli Eğri) .....................................................................467 6.1.7 Hiperyüzeylerin Global Özellikleri ................................................................469 6.1.7.1 Hiperyüzeyler için Euler Teoremi ......................................................470 6.1.8 Dupin Göstergesi ..............................................................................................472 6.1.9 Hiperyüzeyler Üzerinde Gauss Anlamında Kovaryant Türev ....................473 6.1.10 Bazı Hiperyüzeyler ve Eğrilikler ...................................................................474 6.1.10.1 Hiperdüzlem .....................................................................................474 6.1.10.2 Hiperküre...........................................................................................476 6.1.10.3 Hipersilindir ......................................................................................4796.2 En Öklid Uzayında Parametrik 2-Yüzey ..................................................................481 6.2.1 En Öklid Uzayında Regüler 2-Yüzey...............................................................481 6.2.2 En Öklid Uzayında Parametrik 2-Yüzey Üzerinde Fonksiyonlar ve Eğri ......................................................................................................................489 6.2.3 Yüzeyler Üzerinde Eğrilerin Geodezik ve Normal Eğriliği .........................490 6.2.4 En Öklid Uzayında Parametrik 2-Yüzeyin Teğet Düzlemi ..........................491 6.2.5 En Öklid Uzayında Yüzey Üzerinde Metrikler ..............................................492 6.2.6 Yüzey Dönüşümleri ..........................................................................................493 6.2.7 En Öklid Uzayında Yüzey Alanı ......................................................................498
7. BÖLÜM
MAPLE UYGULAMALARI
7.1 Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar İçin Maple Uygulamaları .............................502 7.1.1 Tanjant Vektörü Yönünde Türev .....................................................................502 7.1.2 Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı Yönündeki Türevi ..............504 7.1.3 Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevi ..............................................................................................505 7.1.4 Gradient Fonksiyonu ........................................................................................506 7.1.5 Divergens Fonksiyonu ......................................................................................507 7.1.6 Rotasyonel Fonksiyon ......................................................................................508 7.1.7 Bir Dönüşümün Diferansiyeli .........................................................................5097.2 Eğriler Teorisi İçin Maple Uygulamalar ..................................................................5107.3 Yüzeyler İçin Maple Uygulamalar ............................................................................525
Kaynaklar ...........................................................................................................................533Dizin ...................................................................................................................................537
Bu bölümde, Afin uzaylar ve Öklid uzayları ele alındı. Her iki uzay da, bir vektör uzayı ile ilişkilendirilmiş nokta kümeleridir. Böyle bir ilişkilendirme sonucunda, vektör uzaylarının özellikleri yardımıyla nokta uzayları ve o uzaylardaki geometrik biçimler incelendi.
1. BÖLÜM
AFİN UZAY VE ÖKLİD UZAYI
1.1 Afin Uzay
Tanım 1.1 (Afin uzay):
A Q! bir küme ve ,V R reel sayılar cismi üzerinde n-boyutlu bir vektör uzayı olsun. Eğer
:, ,
f A A VP Q f P Q PQ
"
"
#
=^ ^h h
fonksiyonu,
A1) , ,P Q R Ad6 için
, , ,f P Q f Q R f P R+ =^ ^ ^h h h (veya PQ QR PR+ = )
A2) ,P A Vd d6 6a için PQ a= olacak şekilde bir tek Q Ad vardır.
özelliklerini sağlıyorsa A kümesine V vektör uzayı ile birleşen n-boyutlu bir Afin Uzay denir. Ayrıca A1) ve A2) özelliklerine ise afin aksiyomlar adı verilir.
Örnek 1.1
V Rn
= (vektör uzayı) ve A Rn
= (sıralı n-lilerin kümesi) olmak üzere A Rn
= kümesi V R
n= vektör uzayı ile birleşen bir afin uzaydır. Gösteriniz.
Çözüm
:, ,
fP Q f P Q Q PPQ OQ OP
R R Rn n n
"
"
#
= = - = -^ ^h hfonksiyonunu tanımlayalım.
A1) PQ QR PR+ = olduğunu göstereceğiz.
, , ,f P Q f Q R Q P R Q R P f P RPQ QR PR+ = + = - + - = - = =^ ^ ^h h h
A2) , , ..., , , , ...P p p p A VR Rn n
n n1 2 1 2d da a a a= == =^ ^h h için
, , ... , , ...q p q p q pPQ n n n1 1 2 2 1 2a a a= - - - =^ ^h h olmak üzere
; , , ...,q p i n1 2i i ia= + = bulunur. O hâlde verilen ia ve pi için qi ler de tektir.
Bu durumda Rn sıralı n-lilerin kümesi, Rn standart vektör uzayı ile birleşen
n-boyutlu bir afin uzaydır.
2 Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri
Afin Uzay ile Vektör Uzayının Karşılaştırılması
• V vektör uzayında 00a a a+ = + = olacak şekilde bir 0 vektörü varken afin uzayda benzer özelliğe sahip bir nokta yoktur.
• V vektör uzayının elemanları vektörler iken V ile birleşen A afin uzayının elemanları bir kümenin sıradan elemanlarıdır. Bu nedenle A afin uzayının elemanlarına noktalar denir. Bilindiği gibi elemanları nokta diye adlandırılan bir küme uzay adını alır.
Afin Aksiyomlardan Elde Edilen Sonuçlar
• boyV=boyA
• A1) aksiyomu gereğince; afin uzayda iki nokta bir vektör belirtir.
• A2) aksiyomu gereğince; afin uzayda bir nokta seçilirse uzaydaki her nokta bir vektör belirtir.
Tanım 1.2 (Afin Çatı):
V,n -boyutlu bir vektör uzayı ve A,V vektör uzayı ile birleşen bir afin uzay olsun.
, , ...P P P An0 1 d noktaları için , ...,P P P P P Pn0 1 0 2 0$ . vektör sistemi V vektör
uzayının bir bazı ise , , ...P P Pn0 1" , kümesine A afin uzayının bir afin çatısı denir.
P0 noktasına çatının başlangıç noktası, , , ...P P Pn1 2 noktalarına da afin çatının uç
noktalarıdenir.
Teorem 1.1
A,Vvektöruzayıilebirleşenn-boyutlubirafinuzayolsun.Aafinuzayındabellibir P A0 d noktasıtespitedildiğindebaşlangıçnoktasıP0olanbirafinçatıvardır.
İspat
boyV=n olmak üzere V vektör uzayının bir bazı , ..., n1 2a aa" , olsun. A afin
uzayında P0 noktasını tespit edelim. Böylece A2) afin aksiyomu gereğince
, i nP P 1i i0 # #a= olacak şekilde bir tek P Ai d noktası vardır. O hâlde
, , ...,P P P An1 2 d noktaları elde edilir. ia" , sistemi V vektör uzayının bir bazı
Afin Uzay ve Öklid Uzayı 3
