30

Med počitnicami so se otroci drsali po zamrznjenem jezeru. Gašper se je drsal z enega konca jezera na drugega, Zala pa je skušala narediti čim več piruet.

RAZMISLIMO

– Kaj v geometriji ponazarjajo ledena ploskev in sledi na njej?

Ravnina, premica, dalj ica, točkaOSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTIOSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTI

Gladina zamrznjenega jezera predstavlja ravnino. Ravne sledi, ki jih za seboj puščajo drsalci, so modeli premic, presečišče dveh sledi pa ponazarja točko. Model za točko je tudi luknjica v ledu, ki jo naredijo drsalke. Na ledu lahko vidimo tudi modele poltrakov in daljic. Poltraki so ravne črte, na eni strani omejene z začetno točko, daljice pa na obeh straneh omejene ravne črte.

Ravnina je ravna ploskev, ki se nikjer ne konča. Zato cele ravnine ne moremo prikazati. Ponazorimo jo z modeli. Pri matematiki ravnino ponazorimo z ravno ploskvijo in jo označimo z velikimi pisanimi črkami: P , R , S …

Premica je ravna, na obeh straneh neomejena črta. O njej lahko rečemo, da je neskončno tanka in neskončno dolga. Označimo jo z malimi črkami: a, b, p, r …

Točka je osnovni geometrijski element. Točke ne moremo izmeriti, ker nima ne dolžine ne širine. Lahko določimo samo njeno lego. Točko ponazarjamo s križcem, črtico ali majhnim krožcem. Označimo jo z velikimi tiskanimi črkami: A, B, C …

Grški matematik Evklid, ki je živel pred več kot 2000 leti, je razkril skrivnosti o točkah, premicah in ravninah. Dejal je:»Točka je tisto, kar nima delov.Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino.«

31

Poltrak je del premice, ki je na eni strani omejen s točko, imeno-vano izhodišče, na drugi strani pa se nadaljuje v neskončnost. Poltrak označimo z malimi tiskanimi črkami: k, h, t … Označiti moramo tudi izhodišče.

Del premice, ki je omejen z dvema točkama, je daljica. Premica p je nosilka daljice PR. Točki P in R sta krajišči daljice PR. Daljici lahko izmerimo dolžino. Dolžino daljice označimo z dvema navpičnima črtama |PR|.

Točka O razdeli premico p na poltraka h in k. Poltraka imata izhodišče v točki O.

Na poltraku lahko puščico tudi izpustimo.

Skozi eno točko lahko narišemo nešteto premic. Skozi dve točki lahko narišemo veliko črt, vendar samo eno premico. Točki P in R ležita na premici p. Rečemo lahko tudi, da gre premica p skozi točki P in R.

Manca je po risalnem listu raztresla makova zrna. Nasula je toliko zrn, da je popolnoma prekrila risalni list.

Ali lahko ugotovimo, koliko točk leži na ravnini, če risalni list predstavlja model ravnine, makovo zrno pa točko?

1. ZGLED

2. ZGLED

32

Makovih zrn na listu je zelo zelo veliko. Če se risalni list ne bi nikjer končal, bi potrebovali neskončno veliko makovih zrn, da bi z njimi prekrili list. Lahko rečemo: na ravnini leži neskončno mnogo točk.

Opišimo lego označenih točk glede na premico oziroma ravnino.

Točke T, V in Z ležijo na premici s. Krajše zapišemo T ∈ s, V ∈ s, Z ∈ s. Točka V leži med točkama Z in T.Točka U ne leži na premici s; U ∉ s.

Točka A leži na ravnini R , A ∈ R .Točka B leži na ravnini R , B ∈ R .Točka C ne leži na ravnini R , C ∉ R .

Narišimo daljico MN, ki je enako dolga kot daljica EF.

S šestilom odmerimo Razdaljo prenesemo na poltrak. Označimo drugo krajiščedaljico EF. Konico šestila zapičimo daljice. v izhodišče poltraka.

Dolžini daljic EF in MN sta enaki: |EF| = |MN|. Daljici, ki imata enaki dolžini, sta skladni: EF ≈ MN. Skladnost daljic lahko preverimo s prosojnim papirjem, ravnilom in šestilom.

Vsaka premica, poltrak, daljica ali ravnina je sestavljena iz točk.

3. ZGLED

4. ZGLED

Daljici, ki sta enako dolgi, sta skladni.Skladni daljici sta enako dolgi.

33

1. V ravnini izberi štiri točke v različnih legah. Razišči, koliko premic lahko narišemo skozi štiri točke.

2. Na premici izberi 1, 2, 3, 4, 5 ... točk in razišči, koliko poltrakov nastane v vsakem primeru. Odgovore prikaži v preglednici.

Število točk Število poltrakov

3. Izberi tri točke na premici, tri točke pa pod premico. Poveži z daljicami vse dane točke. Koliko je daljic? Na premici označi še eno točko in postopek načrtovanja daljic ponovi. Koliko je daljic?

IZZIV

1. Izdelaj model ravnine, premice in nekaj modelov točk.a) Polagaj modele točk na ravnino, pod ravnino in nad ravnino. Skiciraj prikazane situacije.b) Premica naj leži na ravnini. Modele točk položi tako, da ležijo na ravnini ali pa

na premici. Skiciraj prikazane situacije.

2. Točki M in N upodobi v zvezek s križci. Skozi točki nariši premico. Označi jo s črko z.

3. Slika prikazuje ravnino in premico p, ki leži na njej. Sliko preriši v zvezek in nariši še:

a) točko A, A ∈ pb) točko B, ki leži na ravnini R , B ∈R ; B ∉ pc) točko C, C ∉R .

4. V zvezek s krožci upodobi točke G, H, K, L in M. Točki G in K poveži s krivo črto, točki K in M pa z ravno črto.a) Kaj ti ponazarja list v zvezku?b) Ali lahko na ta list narišeš še nekaj točk? Koliko?c) Kaj imata skupnega črti, ki si ju narisal?

5. Jernej je opazoval sliko in zapisal nekaj trditev. Katera trditev ni pravilna?

(A) K ∉ b (B) M ∈ a (C) S ∈ a (Č) T ∉ b (D) K ∉ a

34

6. Nariši točke M, N in P.a) Koliko premic lahko narišeš skozi točko M?b) Koliko premic lahko poteka skozi točki N in P?c) Koliko premic lahko narišeš skozi vse tri točke hkrati?

7. Izjave zapiši krajše.a) Točka C leži na premici m.b) Točka D leži na premici p, točka E pa ne. c) Točka G leži na ravnini R .

8. Na sliki je premica p, ki prebada dano ravnino v točki T. Ugotovi, katere od danih točk:

a) ležijo na ravnini R ,b) ne ležijo na ravnini R ,c) ležijo na ravnini R in na premici p,č) ne ležijo niti na ravnini R niti na premici p.

9. Nariši točko D in tri poltrake k, l in m z izhodiščem v točki D.

10. Koliko poltrakov določa točka A in koliko točka N?

11. Nariši premico t. Nariši točki M in K tako, da velja M ∈ t in K ∉ t. Nariši še poltrak l, ki ima izhodišče v točki M in gre skozi točko K. Ugotovi, kateri izjavi

sta napačni. (A) Na sliki je ena daljica. (Č) Na sliki sta označeni dve točki. (B) Na sliki sta dve premici. (D) Na sliki je en poltrak. (C) Na sliki so trije poltraki.

12. Nariši daljico s krajiščema P in R ter daljico TZ. Izmeri njuni dolžini.

13. Nariši daljico KL, tako da bo KL ≅ UV.

14. Narisan je pravokotnik. Zapiši pare skladnih daljic. Izmeri vse daljice.

*

35

15. Na ravnini sta narisani premici p in s.a) Kaj je presečišče premic p in s?b) Katera premica je daljša?c) Koliko poltrakov je narisanih?č) Kateri poltrak je najkrajši?

16. Popravi napačne izjave. (A) Z ∈ t (B) Točka K je izhodišče poltraka g. (C) Premica t in poltrak g se sekata. (Č) Premica t gre skozi točko P. (D) Premica t gre skozi točki S in Z. (E) PS ≅ MK (F) Premica t je nosilka daljice PS.

17. Oglej si sliko in odgovori.

a) Koliko premic je narisanih in katere?b) Koliko daljic je narisanih in katere?c) Davor pravi, da je premica s nosilka daljice MP. Ima prav?

Dve premici v ravnini36

Učenci 6. b razreda so izdelovali plakate.

RAZMISLIMO

– Kakšne medsebojne lege dveh premic, ki ležita v isti ravnini, so učenci prikazali na plakatih?

Metka je prikazala premici a in b, ki se sekata. Premici sta sečnici. Premici a in b imata eno skupno točko. Točka M leži na premici a in tudi na premici b. Je presečišče obeh premic.

Juretu list papirja predstavlja ravnino. List je dvakrat prepognil tako, da sta nastali črti, ki se sekata pravokotno. Črti ponazarjata pravokotni premici. Sekata se v točki T. Pravokotnost dveh premic krajše zapišemo p ⊥ r. Pravokotnost označimo tudi na sliki s posebnim znakom.

Žan opazuje sled, ki jo puščajo za seboj sani. Sled ponazarja dve vzporedni premici. Vzporednici se nikjer ne sekata. Krajše zapišemo: u ‖ v.

M ∈ aM ∈ b

p ⊥ r

Pravokotnost preverjamo z geotrikotnikom.

u ‖ v

Dve premici v ravnini sta lahko vzporednici in nimata nobene skupne točke. Če imata eno skupno točko, sta sečnici. Sekata se lahko tudi tako, da sta pravokotni druga na drugo.

37

Skozi točko R narišimo pravokotnico na premico s. Koliko premic lahko narišemo?

p ⊥ s

Pravokotnico na premico s skozi točko R narišemo z geotrikotnikom in nato označimo pravokotnost in novo premico p. Narišemo lahko natanko eno premico.

Narisani sta premica t in točka G, ki ne leži na tej premici. Narišimo vzporednico u premici t skozi točko G.

u ‖ t

Z geotrikotnikom narišemo vzporednico skozi točko G in jo označimo.

1. Razišči, v koliko točkah se lahko sekajo štiri premice.

2. Nariši premico p in na njej izberi točko A. Skozi to točko nariši pravokotnico n na dano premico. Na premici n izberi točko B in skozi to točko nariši pravokotnico k na premico n. Nadaljuj na isti način tako, da dobiš pet premic. Kaj nastane? Opiši medsebojno lego premic in jo zapiši krajše.

1. ZGLED

2. ZGLED

IZZIV

18. Odgovori z DA ali NE.a) Ali sta dve navpični premici vedno vzporedni?b) Ali sta dve vodoravni premici vedno vzporedni?c) Ali sta lahko dve vodoravni premici pravokotni?č) Ali lahko navpična premica leži na vodoravni ravnini?

19. Nariši:a) premici d in e, ki se sekata v točki G,b) premici f in g, ki se ne sekata,c) premici a in b, ki se sekata v točki B in sta pravokotni.

3838383838383838

20. Ugotovi, ali sta premici sečnici.a) b) c)

21. Katera trditev ni pravilna? (A) b ⊥ c

(B) b ‖ a (C) a ‖ b (Č) c ⊥ a (D) a ⊥ b

22. Sliko preriši v zvezek. Skozi točke K, H in P nariši pravokotnice na premico r.

a) Kar si narisal, zapiši krajše.b) Kakšna je medsebojna lega premic, ki si jih narisal?

23. Nariši premico d ter točki A in B (A ∈ d, B ∉ d). Skozi točki A in B nariši pravokotnici a in b na premico d. Kakšna je medsebojna lega premic a in b?

24. Sliko preriši v zvezek. Skozi točke A, B in C nariši vzporednice a, b, c premici u.

25. Narisan je petkotnik. Preriši ga v zvezek.

a) Daljicama AE in BC nariši nosilki a in b.b) Opiši medsebojno lego obeh nosilk.c) Skozi oglišče E nariši pravokotnico p na premico b.č) Zapiši krajše medsebojno lego premic a, b in p.

26. Nariši pravokotnik in mu označi oglišča s črkami A, B, C in D. Nariši še daljico DB.a) Nosilki daljice DB nariši vzporednici t in r skozi točki C in A. b) Skozi točki B in D nariši pravokotnici p in v na nosilko daljice DB.c) Kakšen lik omejujejo deli premic t, r, p in v?

Razdalja39

Razdalja med dvema točkamaRazdalja med dvema točkama

Pia in Damjan sta izmerila razdaljo med hrastom in brezo. Merila sta večkrat, vendar nista dobila vedno enakega rezultata.

RAZMISLIMO

– Zakaj Pia in Damjan nista izmerila vsakič enake dolžine?

Pia in Damjan sta morala pri merjenju paziti, da sta meter popolnoma raztegnila, saj drugače nista izmerila prave razdalje. Ugotovila sta, da je razdalja od hrasta do breze 8 metrov in 3 decimetre.Lego hrasta in breze označimo s točkama B in H, razdaljo med njima pa krajše zapišemo d(B, H).

Razdalja med točkama B in H je dolžina najkrajše črte, ki povezuje točki B in H. Najkrajša črta med točkama pa je daljica. Razdalja med točkama d(B, H) je torej enaka dolžini daljice |BH|, kar krajše zapišemo: d(B, H) = |BH| = 8 m 3 dm.

Dolžine daljic lahko označimo tudi z malimi črkami: a, b, c …

Razdalja med točkama A in B je dolžina daljice AB ; d(A, B ) = |AB|.

Dolžine daljic zapišimo na tri načine.

|AB| = d(A, B) = a = 6 dm|BC| = d(B, C) = b = 1,5 dm|CD| = d(C, D) = c = 5,1 dm|DA| = d(D, A) = d = 3 dm

ZGLED

40

27. Čim bolj natančno izmeri dolžino daljic. Meritve zapiši v zvezek. Kateri daljici sta skladni? Katera daljica je najdaljša?

28. Na premici p nariši daljico DE, če je |DE| = 4,2 cm. Pomagaj si s šestilom.

29. a) Oceni razdalje med točkami in oceno primerjaj s sošolci. Ste vsi dobili enake rezultate?b) Koliko različnih daljic določajo te štiri točke? Zapiši jih.

30.

a) Oceni dolžino stranic trikotnika na sliki.b) Izmeri dolžine stranic.c) Za koliko milimetrov se razlikujeta tvoja ocena in meritev?

41

Razdalja med točko in premicoRazdalja med točko in premico

Anja, Blaž, Cirila in Dani tekmujejo, kdo bo prvi pritekel do žoge.

RAZMISLIMO

– Ali imajo otroci enake možnosti za zmago?

– Kje si bi izbral startno mesto, da bi bil najbliže žogi?

– Koliko je žoga oddaljena od startne črte?

Otroci so razporejeni vzdolž ravne črte, vendar so različno oddaljeni od žoge, zato nimajo enakih možnosti za zmago. Najbliže žogi stoji Blaž.

Situacijo predstavimo z risbo v merili 1 : 100. Premica p naj predstavlja startno črto, točka T žogo, točke z začetnicami imen pa položaj otrok.

Vidimo, da so razdalje med točko T in točkami na premici različne. Od izbranih točk je točki T najbližja točka B. Pravzaprav je točka B bliže od katerekoli druge točke, ki bi si jo izbrali na premici. Tej najkrajši možni razdalji rečemo kar razdalja med točko in premico. Zanjo je značilno, da je enaka dolžini daljice, ki je pravokotna na premico p. Izmerimo razdaljo in jo zapišemo: d(T, p) = d(T, B) = 5,9 cm. Žoga je od startne črte oddaljena 5,9 m.

d(T, A) = 6,4 cmd(T, B) = 5,9 cmd(T, C) = 6,2 cmd(T, D) = 6,4 cm

Razdalja točke T od premice p je enaka dolžini daljice med točko

in presečiščem pravokotnice s premico. Krajše zapišemo: d(T , p).

Narišimo točko D, ki je 2 cm oddaljena od premice v.

Na premici v si izberemo točko F. Skozi točko F z geotrikotni-kom narišemo pravokotnico na premico v. Na pravokot-nici odmerimo 2 cm. Dobimo točko D. Naloga ima dve rešitvi. Narišemo lahko še D´.

1. ZGLED

42

Narišimo eno od premic u, ki je 17 mm oddaljena od točke K.

Narišemo poltrak z izhodiščem v točki K. Na poltraku odmerimo 1,7 cm. Dobimo točko L. Skozi točko L narišemo pravokotnico u na poltrak.

1. Nariši čim več točk, ki so od premice s oddaljene 24 mm. Koliko točk si narisal? Lahko narišeš še kakšno točko?

2. Nariši čim več premic, ki so od točke T oddaljene 24 mm. Koliko premic si narisal? So premice vzporedne?

2. ZGLED

IZZIV

31. Oceni razdaljo med premico in točko ter jo izmeri. V katerem primeru si najteže ocenil razdaljo?a) b) c)

32. Nariši premico v. Na njej nariši točko F, zunaj nje pa točko E. Izmeri d(F, v) in d(E, v).

33. Izmeri dolžine daljic s skupno točko T. Katera je najkrajša? Določi d(T, r).

34. a) Nariši premico p in točko M, če velja d(p, M) = 2,3 cm.b) Nariši veliko takih točk, ki so 2,3 cm oddaljene od premice p.

35. Nariši poltrak h z izhodiščem H. Na poltraku nariši s šestilom daljico HK, če je |HK| = 4 cm. V točki K nariši pravokotnico p na poltrak h. Zapiši razdaljo med premico p in točko H.

43

Razdalja med vzporednima premicamaRazdalja med vzporednima premicama

Aleks je na železniški postaji opazoval vlake. Ocenil je, da meri razdalja med tračnicama približno 1,5 metra.

RAZMISLIMO

– Kako lahko določimo razdaljo med tračnicama?

Tračnici predstavljata dve vzporedni premici. Označimo ju s črkama t in z. Razdaljo med njima določimo podobno kot razdaljo med točko in premico. Iščemo torej dve točki, vsako na svoji premici, ki sta med seboj najmanj oddaljeni. Taki točki sta krajišči daljice, ki je pravokotna na obe premici.

Narišemo pravokotnico na premici t in z. Pravokotnica preseka premici v točkah T in Z. Dolžina daljice TZ predstavlja razdaljo med premicama t in z, kar zapišemo: d(t, z).|TZ| = d(t, z)Dolžina daljice TZ na risbi je 1,5 cm. Ker je risba premic narisana v merilu 1 : 100, je razdalja med tračnicama 1,5 m.

Razdalja med tračnicama mora biti zelo natančno dolo-čena, saj imajo vse lokomotive in vagoni enako razdaljo med kolesi – 1435 mm.

Kolikšna pa je razdalja med premicama, ki nista vzporedni? Nevzporedni premici se sekata. Torej je najkrajša razdalja med njima kar 0.

Razdalja med vzporednima premicama je enaka dolžini daljice, ki je pravokotna na obe premici.Razdaljo med premicama t in z krajše zapišemo d(t, z).

44

Narišimo premico f, ki bo 12 mm oddaljena od premice g.

Narišemo pravokotnico p na premico g. Na pravokotnici odmerimo razdaljo 12 mm. Dobimo točko R. Skozi točko R narišemo vzporednico f premici g. Taka premica je tudi na drugem bregu premice g.

1. Nariši točko, ki je od premice a oddaljena 14 mm, od premice b pa 1 cm. Ali dobiš več takih točk? Največ koliko?

2. Koliko različnih premic, ki so enako oddaljene od dane točke, lahko narišemo? Razišči njihovo medsebojno lego.

ZGLED

Ploskev, ki nastane med dvema vzporednicama, imenujemo pas.

IZZIV

36. Nariši vzporedni premici v in u. Izmeri razdaljo d(v, u).

37. Kolikšna je razdalja med premicama, ki nista vzporedni?

38. Nariši premico t in točko Z, ki je 2,8 cm oddaljena od premice t. Skozi točko Z nariši vzporednico r premici t. Zapiši razdaljo med premicama.

39. Izmeri razdalje med pari vzporednih premic (širino pasov).

40. Nariši premici, če velja d(a, b) = 1,4 cm. Kakšna je medsebojna lega premic a in b?

41. Nariši premico r, ki bo od premice b oddaljena 1,5 cm.

45

1. a) Nariši točko Z, ki ne leži na premici a.b) Nariši točko R, če velja R ∈ a.

2. Nariši točko D, ki je 2,3 cm oddaljena od premice d.

3. Izmeri:a) razdaljo med točkama P in L,b) |KP|.

1. Nariši: a) premico r, ki gre skozi točko M,b) točko N, če je N ∈ h,c) premico p, če je p ‖ r in N ∈ p.

2. a) Nariši premico v, ki je 1 cm 7 mm oddaljena od točke T.b) Ali lahko narišeš še kakšno tako premico?

3. Izmeri:a) razdaljo točke A od premice s,b) d(B, u),c) d(s, t).

1. Nariši skozi točko A:a) premico t, ki je vzporedna premici s,

kar se zapiše ,b) premico m, ki je pravokotna na premico p,

kar se zapiše .

2. a) Nariši premico p, če je d(P, p) = 1,4 cm.b) Nariši še kakšno tako premico, če je mogoče. c) Koliko takih premic lahko narišeš?

3. Izmeri:a) d(C, v) b) d(t, r) c) d(t, A)č) V nalogi b) in c) si dobil enako razdaljo. Razloži, zakaj.

5–6,5zadovoljivo

7–8,5dobro

9–10,5zelo dobro

11–12super

OSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTI – PREIZKUSI SEPREIZKUSI SE