Nikola Olexová

Kombinatorika

Kombinatorika alebo kombinatorická matematika alebo kombinatorická analýza je súčasť diskrétnej matematiky, ktorá študuje (spravidla) konečné množiny objektov, ktoré vyhovujú zadaným kritériám a zaoberá sa najmä "počítaním" objektov v týchto množinách a rozhodovaním, či isté "optimálne" objekty a množiny objektov vôbec existujú .

Jedným z najvýznamejších kombinatorikov nedávnej doby bol Gian-Carlo Rota , ktorý pomohol sformalizovať kombinatoriku začiatkom šesťdesiatych rokov.

Produktívny riešiteľ rôznych problémov Paul Erdös pracoval hlavne na extremálnych problémoch.

Samotný predmet štúdia kombinatoriky možno vyjadriť na základe pojmu konfigurácie :

Nech A a B sú dve konečné množiny. Ľubovoľné zobrazenie množiny Ado množiny B, vyhovujúce určitým podmienkam, ktorých charakter dopredu nie je určený (v tejto definícii), sa nazýva konfigurácia.

Kombinatorika skúma otázky existencie, vytvárania a vyčíslenia (t.j. určenia počtu) konfigurácií, pričom sa často vyčísľujú nie samotné konfigurácie, ale iba im zodpovedajúce triedy ekvivalencie.

Príkladom konfigurácií sú -variácie -kombinácie -permutácie

Kombinatorické pravidlo súčtu

Ak sa dá množina M rozložiť na niekoľko navzájom disjunktných podmnožín, teda

a pre platí , tak počet prvkov množiny M možno získať ako súčet počtov prvkov všetkých podmnožín, teda

kde znamená počet prvkov podmnožiny .

Kombinatorické pravidlo súčinu Ak máme vybrať prvok a prvok , počet všetkých možností výberu dvojíc je . (Je to počet všetkých prvkov karteziánskeho súčinu .)

Variácie Variácie k-tej triedy z n prvkov bez opakovania: sú usporiadané k-

tice vytvorené z n prvkov, pričom sa žiadny prvok v k-tici neopakuje, t.j. z n prvkov vyberáme k, záleží na ich poradí a prvky sa neopakujú.

Variácie k-tej triedy z n prvkov s opakovaním sú usporiadané k-tice vytvorené z n prvkov a prvky sa môžu v k-tici ľubovoľne opakovať t. j. z n prvkov vyberáme k, záleží na ich poradí a prvky sa opakujú.

Permutácie Premutácie n prvkov bez opakovania sú usporiadané n-tice

vytvorené z n prvkovej množiny, t. j. z n prvkov vyberáme n, záleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

Premutácie s opakovaním n je počet prvkov uvažovanej množiny. Z toho n1 je 1. druhu, n2 je 2. druhu, ... nk je k-teho druhu, pričom n1+n2+...+nk=n . Každé usporiadanie prvkov nazývame permutáciou s opakovaním.

 

Kombinácie

Kombinácie k-tej triedy z n prvkov bez opakovania sú ľubovoľné k-prvkové podmnožiny n prvkovej množiny, t.j. z n prvkov vyberáme k, nezáleží na poradí prvkov a prvky sa neopakujú.

 Kombinácie k-tej triedy z n prvkov s opakovaním sú ľubovoľné skupiny k-prvkov z n prvkov, t.j. z n prvkov vyberáme k, nezáleží na poradí prvkov v skupine a prvky sa môžu opakovať.  

 

Základné vlastnosti kombinačných čísel platí:

1.

2.

3.  

Pascalov trojuholník Pascalov trojuholník je schéma kombinačných čísel, ktorú môžeme

rýchlo zapísať takto: krajné čísla sú 1 a každé ďalšie číslo v schéme sa rovná súčtu čísel bezprostredne nad ním.

Binomická veta platí:

  Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n.

Binomický rozvoj má sčítancov. Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:

Polynomická vetaNech a je reálne číslo. Potom pre ľubovoľné

kde suma ide cez všetky nezáporné t-tice pre ktoré platí