Kombinatorika - vezbe

*

*

*

KOMBINATORIKA

Vebe

*

Vebe 1

Osnovna prebrojavanja

*

*

*

1. Koliko ima permutacija skupa {1, ... , n} u kojima:

(a) 1 i 2 su susedi;

(b) 1 i 2 nisu susedi;

(c) 1 stoji ispred 2 (ne mora neposredno);

(d) izmeu 1 i 2 stoji tano k brojeva?

2. Na koliko naina se n osoba mogu rasporediti za okrugli sto, ako se dva rasporeda u kojima svaka osoba ima istog suseda s desne strane ne razlikuju?

3. Koliko razliitih delitelja ima broj 1000?

*

5. Na koliko naina mogu da se poreaju u niz n nula i k jedinica, tako da nikoje dve jedinice ne budu susedne?

6. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko naina se moe izabrati k knjiga, tako da nikoje dve nisu od njih nisu susedne?

4. (a) Ako su p1, p2, ... , pn razliiti prosti brojevi i k1, k2, ... , kn prirodni brojevi, koliko delitelja ima broj

(b) Koji prirodni brojevi imaju neparan broj delitelja?

*

p1 p2 ... pn ?

k1

k2

kn

*

8. Na polici se nalazi n knjiga. Na koliko naina se moe izabrati k knjiga, tako da izmeu svake dve izabrane knjige stoji bar l knjiga?

7. Za okruglim stolom kralja Artura sedi n vitezova, pri emu je svaki u svai sa svoja dva suseda. Na koliko naina se moe izabrati k vitezova, tako da nikoja dva nisu u svai?

9. Koliko reenja ima jednaina x + y + z 0 (mod 3) u skupu {1, 2, ... , 3n}?

10. Koliko reenja ima jednaina x1 + x2 + ... + xk = n u skupu: (a) Z+ {0}; (b) Z+ ?

*

*

11. S koliko nula se zavrava 1000! ?

Osim njih, postoji jo n "poprenih" puteva. Na koliko razliitih naina moe da se stigne iz A u B ako nema vraanja unatrag i prelaenja istom deonicom dva ili vie puta?

Sl. 1.

*

12. Iz mesta A u mesto B vode (sl. 1):

(a) 2 puta; (b) 3 puta; (c) k puteva.

A

B

B

A

n

n

n

B

A

...

k

*

13. Kvadrat n n podeljen je horizontalnim i vertikalnim linijama na n2 jedininih kvadrata. Koliko na toj mrei ima:

(a) pravougaonika;

(b) kvadrata

ija su temena vorovi mree i ije su stranice paralelne linijama mree?

(c)* Koliko ima kvadrata ija su temena vorovi mree?

*

1

2

n

2

1

n

1

2

n

2

1

n

*

14. Na pravoj a uoene su take A1, ... , Ap, a na njoj paralelnoj pravoj b take B1, ... , Bq. Posmatraju se sve dui Ai Bj, i = 1, ... , p, j = 1, ... , q. Ako se nikoje tri ne seku u jednoj taki, koliko ima taaka preseka?

15. Na svakoj stranici kvadrata ABCD dato je po n (n 0) taaka. Koliko ima trouglova ija su temena uoene take ili temena kvadrata?

12. Na koliko naina se k domina formata 1 2 moe postaviti na oznaenu traku 1 n, tako da svaka domina pokriva dva susedna kvadrata?

*

*

13. Na koliko naina se na 1. red ahovske table mogu rasporediti 8 belih figura: 1 kralj, 1 dama, 2 topa, 2 lovca i 2 skakaa, tako da su ispunjeni sledei uslovi:

1o lovci su raznobojni (jedan na belom, drugi na crnom polju);

2o kralj je izmeu topova (ne mora neposredno) ?

*

a

b

c

d

e

f

g

h

1

2

3

4

5

6

7

8

a

b

c

d

e

f

g

h

1

2

3

4

5

6

7

8

*

14. Na krunici je uoeno n, n 4, taaka od kojih je jedna obojena crveno, dok su sve ostale crne. Posmatraju se svi mnogouglovi upisani u krunicu ija su temana neke od uoenih taaka. Kojih ima vie, onih kod kojih je jedno teme crveno ili onih ija su sva temena crna?

15. Na koliko naina se iz niza 1, 2, ... , 2n mogu izabrati tri razliita broja koja obrazuju aritmetiku progresiju?

16. Koliko najvie ima permutacija skupa {1, 2, ... , n}, takvih da su svaka dva broja susedna u najvie jednoj permutaciji?

*

*

17. Odrediti maksimalan broj poskupova skupa od n elemenata, takvih da je presek svaka dva neprazan.

18.* Da li za svaki prirodan broj n postoji permutacija a1 ... an brojeva 1, ... , n, takva da za svaki par ai, aj njihova aritmetika sredina nije jednaka nijednom broju koji stoji izmeu njih?

*

*

Vebe 2

Binomna i polinomna formula

*

*

1. Dokazati identitete:


(b)


*

n

i

i = 1

n

(d) i2

= n (n + 1) 2n 2 ;

m

i

i = 0

k

n

k i

m + n

k

(a)

=

;

i = 0

n

2n

n

.

=

n

i

2

n

i

i = 0

n

(a)

3i

= 4n ;

n

i

i = 1

n

(b)

= n 2n 1 ;

i

n

i

i = 0

n

(c)

= n 2n 1 ;

(i + 1)

n

i

i = 1

n

i + 1

1

n + 1

1

(e)

= (2n + 1 1) .

n

i

i = 1

n

(a)

= 0 ;

( 1)i i

n

i

i = 1

n

i + 1

( 1)i

n + 1

1

(b)

=

.

*

*


(a) algebarski; (b) kombinatorno.

5. Dokazati identitet

( 1)k za n = k

0 za n > k

n

n

n + 1

n

n + k

n

n + k + 1

n + 1

(a)

+

+ ... +

=

;

n

0

n + 1

1

n + k

k

n + k + 1

k

(b)

+

+ ... +

=

.

n

i

i

k

n

k

n k

i k

=

4. Dokazati identitet

i = k

n

n

i

i

k

( 1)i

=

*

Paskalov trougao

*

0

0

2

0

2

1

2

2

3

0

3

1

3

2

3

3

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

1

0

1

1

*

nivo

2. Suma brojeva na i-tom nivou = 2i

*

n = 0

1

2

3

4

5

1

1

3

3

10

1

1

5

5

10

4

1

1

4

6

1

1

2

1

1

1

k = 0

1

2

3

1 = 20

2 = 21

4 = 22

8 = 23

16 = 24

32 = 25

n

k

n

k

0

0

n

k

1.

= broj puteva od do

*

8.* Koji od trinoma (1 + x2 x3)100 i (1 x2 + x3)100 ima vei koeficijent uz x20 u svom razvoju?

6. Dokazati da za polinomne koeficijente vai identitet

7. Odrediti koeficijent uz x5 u razvoju trinoma (1 + x + x2 )8 .

*

p

p

p

p

(x1 + x2 + ... + xn ) x1 + x2 + ... + xn

(mod p) .

9. Ako je p prost broj, a x1, ... , xn celi brojevi, dokazati da je

n n (mod p) .

p

10. (Fermat) Ako je p prost broj, a n ceo broj, dokazati da je

n

i1 i2 ... ik

n 1

i1 1 i2 ... ik

n 1

i1 i2 1 ... ik

n 1

i1 i2 ... ik 1

=

+

+ ... +

.

*

Vebe 3

Formula ukljuenja-iskljuenja

*

*

1. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 106 koji nisu deljivi ni sa jednim od brojeva: (a) 2, 3, 5; (b) 4, 6, 8?

2. Koliko ima celih brojeva u skupu {1, 2, ... , 103} koji su deljivi sa 3, a nisu deljivi ni sa 5, ni sa 7?

3. Koliko ima prirodnih brojeva koji su delitelji bar jednog od brojeva 1040 i 2030?

4. Koliko ima brojeva u skupu:

(a) {1, 2, ... , 104};

(b) {103, 103 + 1, ... , 104}

koji nisu ni potpuni kvadrati, ni potpuni kubovi?

*

*

5. Na koliko naina se slova a, a, a, b, b, b, c, c, c, mogu poreati u niz, tako da:

(a) nikoja 3 uzastopna slova nisu jednaka;

(b)* nikoja 2 uzastopna slova nisu jednaka?

6. Na koliko naina se mogu poreati u niz 3 Engleza, 3 Francuza i 3 Nemca, tako da:

(a) nikoja 3 sunarodnika nisu susedna;

(b)* nikoja 2 sunarodnika?

7. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih da je ai i za svako i{1, 2, ... , n}?

8. Koliko ima permutacija a1 a2 ... an skupa {1, 2, ... , n}, takvih da je ai = i za tano k, 0 k n, elemenata i{1, 2, ... , n}?

*

*

)

deranman (besporedak, rastroj)

9. Dokazati da za broj deranmana Dn vae identiteti:

(a) Dn = (n 1) (Dn 1 + Dn 2 ) ;

(b) Dn = n Dn 1 + (1)n .

11. Koliko ima permutacija skupa {1, 2, ... , n}, n 2, u kojima i + 1 ne stoji neposredno iza i za svako i{1, 2, ... , n 1}?

12. Na koliko naina se polja ahovske table mogu obojiti sa 8 razliitih boja, tako da se u svakoj vrsti pojavljuju sve boje i u svakoj koloni svaka dva susedna polja su razliito obojena?

10. Dokazati da je Dn paran broj ako i samo ako je n neparan.

*

1!

1

2!

1

+

n!

1

+ (1)n

Dn = n! (1

...

i = 0

n

i!

1

= n!

(1)i

*

13. Odrediti broj celobrojnih reenja jednaine

x1 + x2 + x3 = 15

ako je:


x1 + x2 + x3 = 15

ako je 0 x1 5, 0 x2 6, 0 x3 7.


x1 + x2 + x3 = 28

ako je 3 x1 9, 0 x2 8, 7 x3 17.

(b) x1 1, x2 2, x3 3.

(a) x1 0, x2 0, x3 0;

*

*

17. Dokazati da za Stirlingove brojeve 2. vrste S(m, n) vai:

16. Dokazati da je broj celobrojnih reenja jednaine

x1 + x2 + ... + xn = r

gde je 1 xi k, jednak

18. Ako je n k 1, dokazati da je

S (n, k) = S (n 1, k 1) + k S (n 1, k) .

*

n

2

(a) S (n, n 1) =

;

n

3

n

4

(b) S (n, n 2) =

+ 3

.

n

i

i = 0

n

r ki 1

n 1

( 1)i

.

*

A

X

B

Y

Z

19. Odrediti broj najkraih puteva iz A u B na mrei

(a) koji prolaze kroz X i Z;

(b) koji prolaze kroz X i ne prolaze kroz Z;

(c) koji ne prolaze deonicom XY;

(d) koji ne prolaze kroz bar jedan od vorova X i Z ?

*

*


(a) koji ne prolaze ni kroz jedan od odseaka CD, EF, GH, IJ ;

(b) koji prolaze kroz tano dva od odseaka CD, EF, GH, IJ .

*

A

B

G

C

E

H

D

F

I

J

*


ako su odseci CD, DE i DF uklonjeni.

22. Na koliko naina se vorovi figura na slici mogu obojiti sa n boja, tako da su svaka dva susedna vora razliito obojena.

*

A

B

C

E

D

F

(a)

(b)

(c)

*

Vebe 4

Rekurentne relacije

*

*

*

1. Reiti rekurentne relacije:

(a) an = 3an 1 2an 2 , a0 = 2, a1 = 3;

(e) an 7an 1 + 15an 2 9an 3 = 0 , a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3.

(c) 2an = an 1 + an 2 , a0 = 0, a1 = 1;

(d) an = 2(an 1 an 2) , a0 = 1, a1 = 1;

(b) an 6an 1 + 9an 2 = 0 , a0 = 2, a1 = 3;


(c) an 2an 1 = 32n , a0 = 1 ;

(b) an = 3an 1 4n , a0 = 2 ;

(d) an 2an 1 = 32n 4n , a0 = 1 .

1

2

(a) an = an 1 3 , a0 = 2 (3 + 3 ) ;

*

*


(b) an 4an 1 + 4an 2 = 2n , a0 = 0, a1 = 3 .

(a) an + an 1 2an 2 = 2n 2 , a0 = 0, a1 = 0 ;

(a) an an 1 = 1010 , a0 = 1, an > 0 ;


4. Reiti rekurentnu relaciju

an = pan 1 + q , a0 = r .

an 2

an 1

an

an 1

2

=

1

4

, a0 = , a1 = 1 .

(b)

*

*

6. Reiti sisteme rekurentnih relacija:

7. Odrediti vrednost determinante An reda n, ako su p i q konstante razliite od nule.

(a) an + 2an 1 4bn 1 = 0

bn + 5an 1 7bn 1 = 0

a1 = 4 , b1 = 1 ;

(b) an = an 1 bn 1

bn = an 1 + 3bn 1

a0 = 1 , b0 = 5 .

p + q

pq

1

0

0

0

0

p + q

1

0

pq

p + q

1

0

p + q

pq

0

0

0

0

p + q

p + q

.

.

.

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

0

0

0

0

0

pq

0

0

0

0

1

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

An =

*

8. Na koliko naina se traka 1 n moe "parketirati" ploicama 1 1 i 1 2?

*

n

(c)

i

;

(b)

i

;

(a)

;

(d)*

i

?

9. Na koliko naina se traka 2 n moe "parketirati" ploicama:

n

*

2,2056

2,2056 0,6655i

f (x) = x3 2x2 1

2

3

1

6

172 + 12 177

3

172 + 12 177

3

3

8

x1 =

+

+

2

3

1

12

172 + 12 177

3

172 + 12 177

3

3

4

x2, 3 =

i 3

2

1

6

172 + 12 177

3

172 + 12 177

3

3

8

*

*

10. Ako je Fn n-ti Fibonaijev broj, gde je

Fn = Fn 1 + Fn 2 F0 = 0 , F1 = 1 ,

dokazati da za svako n 1 vae identiteti:

(a) F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2 1 ;

(b) F2 + F4 + ... + F2n = F2n + 1 1 ;

(c) F1 + F3 + ... + F2n 1 = F2n ;

(d) F1 F2 + F3 ... + ( 1)n + 1 Fn = ( 1)n + 1 Fn 1 + 1 .

11. Ako su m i n prirodni brojevi, n 2, dokazati da je:

(a) Fm + n = Fm Fn 1 + Fm + 1 Fn ;

(c) ( Fn , Fn + 1 ) = 1 .

(b) Fn + 1 Fn 1 Fn = (1)n ;

2

*

*

12. Odrediti vrednost determinante An reda n

13. Koliko ima bijekcija f : {1, 2, ... , n} {1, 2, ... , n}, takvih da je

| f (i) i | 1

za svako i {1, 2, ... , n} ?

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

.

.

.

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

.

An =

*

14. Na koliko delova dele ravan n (n 1) krunica ako se svake dve seku i nikoje tri ne prolaze kroz istu taku?

15. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai {0, 1, 2}, u kojima nikoje dve jedinice nisu susedne?

16. Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai {0, 1, 2}, u kojima nikoje dve nule i nikoje jedinice nisu susedne?

17.* Krug je podeljen na n (n 1) iseaka kao na slici. Na koliko naina se iseci mogu obojiti sa k (k 3) boja, tako da svaka dva susedna iseka budu razliito obojena?

*

1

2

3

n

n 1

.

.

.

.

.

.

.

*

18.* Koliko ima nizova a1a2 ... an, gde ai {0, 1, 2, 3}, u kojima se svaka dva susedna elementa razlikuju tano za 1?

19.* Koliko ima nizova a1a2 ... a2n , gde ai {1, 1}, koji zadovoljavaju sledea dva uslova:

*

20.* (red pred kasom) Pred praznom bioskopskom kasom stoji 2n osoba od kojih n ima 0,5 eura, a preostalih n 1 euro. Ulaznica kota 0,5 eura. Na koliko naina tih 2n osoba mogu formirati red, tako da nema zastoja pri plaanju. (Svaka osoba moe da kupi ulaznicu i, ako ima 1 euro, dobije kusur.)

i = 1

2n

10

ai = 0 ;

i = 1

k

20

ai 0 za k = 1, 2, ... , 2n 1 ?

*

22.* Na krunici je dato 2n (n 1) taaka. Na koliko naina se one mogu spojiti sa n tetiva, tako da se nikoje dve ne seku?

21.* Na koliko naina se moe postaviti n 2 levih i n 2 desnih zagrada da bi se oznaio redosled mnoenja u proizvodu a1a2 ... an ? Na primer, za n = 4 ((a1 a2) a3)a4, (a1 a2) (a3 a4) itd.

*

Vebe 5

Generativne funkcije

*

*

1. Odrediti generativne funkcije za sledee nizove:

(a) ai =

1 0 i n

0 i n

(c) ci = (1)i i = 0, 1, ...

(b) bi = 1 i = 0, 1, ...

(d) di = i (i 1) i = 0, 1, ...

(e) ei =

m fiksno i = 0, 1, ...

(f) fi =

R

*

m

i

i

*

2. Odrediti generativne funkcije za sledee nizove:

(a) (ai) = (1, 1, ... )

(b) (bi) = (1, k, k2, ... , kn, ... )

(c) (ci) = (1, 2, 3, ... , n, ... )

(d) (di) = (0, 1, 2, 3, ... , n, ... )

(e) (ei) = (0, 12, 22, 32, ... , n2, ... )

(f) ( fi ) = (0, 13, 23, 33, ... , n3, ... )

*

*

3. Odrediti broj naina da se 10 jednakih slatkia podeli trojici deaka tako da nijedan deak ne dobije vie od 4 slatkia.

4. Odrediti broj naina da se 40 jednakih kuglica rasporede u 7 razliitih kutija, tako da u kutiji 1 bude bar 3, a najvie 10 kuglica.

5. Odrediti broj naina da se 100 jednakih stolica razmeste u 4 razliite prostorije, tako da u svakoj prostoriji bude 10, 20, 30, 40 ili 50 stolica.

6. Koliko ima 4n-elementnih multi-podskupova multi-skupa

M = {(3n) x, (3n) y, (3n) z},

ako nN ?

*

7. Koliko ima 3n-elementnih multi-podskupova multi-skupa

M = {n x1, n x2, ... , n xm},

ako n, mN i n, m 3?

8. Nai broj celobrojnih reenja jednaine

x + 3y + 5z = 100

ako je x 0, y 1, z 1.

9. Koliko ima celih brojeva izmeu 0 i 1010 1 iji je zbir cifara jednak 48?

Documents

Kombinatorika - vezbe