Upload
dinhcong
View
235
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Kombinatorna optimizacija� GRAFOVI I MRE�E �
Milan Stanojevi¢
Laboratorija za operaciona istraºivanja �Jovan Petri¢�
Fakultet organizacionih nauka, Beograd
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Sadrºaj predavanja
1 Grafovi i mreºeOsnovni pojmovi
2 Optimizacija na mreºamaProblem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Sadrºaj predavanja
1 Grafovi i mreºeOsnovni pojmovi
2 Optimizacija na mreºamaProblem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Graf
Graf je formalan, ali svestran alat matemati£kog modeliranja.
Veliki broj realnih sistema se mogu modelirati pomo¢u grafa.
Na primer:
Svi tipovi mreºa: putne, energetske, telekomunikacione,vodovodi, gasovodi, ...VLST (mikro£ipovi, elektronski ure�aji, ...)Odnosi i uticaji izme�u entiteta, ...
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
De�nicija grafa
Graf je ure�en par (V ,E ), gde su:
V � skup £vorova (eng. Vertices) (npr. V = {1, 2, . . . , v}),E ⊆ {(i , j) |i ∈ V , j ∈ V } � skup grana (eng. Edges).
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
De�nicija grafa
Graf je ure�en par (V ,E ), gde su:
V � skup £vorova (eng. Vertices) (npr. V = {1, 2, . . . , v}),E ⊆ {(i , j) |i ∈ V , j ∈ V } � skup grana (eng. Edges).
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
De�nicija grafa
Graf je ure�en par (V ,E ), gde su:
V � skup £vorova (eng. Vertices) (npr. V = {1, 2, . . . , v}),E ⊆ {(i , j) |i ∈ V , j ∈ V } � skup grana (eng. Edges).
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Gra�£ka prezentacija grafa
Graf G = (V ,E ) gde su, na primer:
V = {1, 2, 3, 4}E = {(1, 2) , (2, 1) , (1, 3) , (2, 3) , (2, 4) , (4, 3)}
moºemo predstaviti gra�£ki:
1
2
3
4
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Usmereni/neusmereni grafovi
Ako za neki graf G = (V ,E ), za svaku granu (i , j) ∈ E vaºi dapostoji i grana (j , i) ∈ E , tada takve grafove zovemoneusmereni.
Alternativno, za ovakve grafove moºemo de�nisati skup grana:
E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .
Grafovi za koje ova osobina ne vaºi, zovu se usmereni.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Usmereni/neusmereni grafovi
Ako za neki graf G = (V ,E ), za svaku granu (i , j) ∈ E vaºi dapostoji i grana (j , i) ∈ E , tada takve grafove zovemoneusmereni.
Alternativno, za ovakve grafove moºemo de�nisati skup grana:
E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .
Grafovi za koje ova osobina ne vaºi, zovu se usmereni.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Usmereni/neusmereni grafovi
Ako za neki graf G = (V ,E ), za svaku granu (i , j) ∈ E vaºi dapostoji i grana (j , i) ∈ E , tada takve grafove zovemoneusmereni.
Alternativno, za ovakve grafove moºemo de�nisati skup grana:
E ⊆ {{i , j} |i ∈ V , j ∈ V } .
Grafovi za koje ova osobina ne vaºi, zovu se usmereni.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Gra�£ka prezentacija neusmerenog grafa
Graf G = (V ,E ) gde su, na primer:
V = {1, 2, 3, 4}E = {(1, 2) , (2, 1) , (2, 3) , (3, 2) , (2, 4) , (4, 2)}
moºemo predstaviti gra�£ki na standardan na£in:
1
2
3
4
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Gra�£ka prezentacija neusmerenog grafa
Isti graf G = (V ,E ) se moºe de�nisati druga£ije:
V = {1, 2, 3, 4}E = {{1, 2} , {2, 3} , {3, 4}}
i gra�£ki se predstaviti jednostavnije:
1
2
3
4
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
�vorovi i grane usmerenog grafa
Ako postoji grana e = (i , j) ∈ E usmerenog grafa G = (V ,E ),tada kaºemo:
Grana e polazi iz £vora i i zavr²ava u £voru j ,
Ako grana e2 polazi iz istog £vora u kome grana e1 zavr²ava,tada grana e2 sledi granu e1,
Broj grana koji zavr²ava u nekom £voru i zove se ulazni
stepen £vora i ,
Broj grana koji polazi iz nekog £vora i zove se izlazni stepen
£vora i .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
�vorovi i grane neusmerenog grafa
Ako postoji grana e = {i , j} ∈ E neusmerenog grafa G = (V ,E ),tada kaºemo:
�vorovi i i j su susedni i predstavljaju krajnje ta£ke grane e,
�vor i i grana e su incidentni ako i ∈ e,
Dve grane e1 i e2 su susedne ako su incidentne sa istim£vorom,
Broj grana koje su incidentne nekom £voru i zove se stepen
£vora i .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Slede¢i i prethodni £vorovi
Skup £vorova koji slede £vor i se ozna£avaΓ(i) = {j | (i , j) ∈ E},Skup £vorova koji prethode £voru j se ozna£avaΓ−1(j) = {i | (i , j) ∈ E}.
Primer:
2
1 3
4
5
Za prikazani graf: Γ(3) = {4, 5}, Γ−1(3) = {1, 2}
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Slede¢i i prethodni £vorovi
Skup £vorova koji slede £vor i se ozna£avaΓ(i) = {j | (i , j) ∈ E},Skup £vorova koji prethode £voru j se ozna£avaΓ−1(j) = {i | (i , j) ∈ E}.
Primer:
2
1 3
4
5
Za prikazani graf: Γ(3) = {4, 5}, Γ−1(3) = {1, 2}
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Potpun graf
Za graf G = (V ,E ) se kaºe da je potpun ako∀i , j ∈ V , i 6= j ,∃ (i , j) ∈ E .
Primer:
2
1
3 4
5
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Potpun graf
Za graf G = (V ,E ) se kaºe da je potpun ako∀i , j ∈ V , i 6= j ,∃ (i , j) ∈ E .
Primer:
2
1
3 4
5
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Put
Put izme�u dva zadata £vora s i t, s, t ∈ V je niz grana za kojevaºi:
Prva grana polazi iz £vora s,
Svaka slede¢a grana sledi prethodnu granu iz niza (je susednaprethodnoj grani � ako je graf neusmeren),
Poslednja grana zavr²ava u £voru t.
Primer:
((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))
Alternativno, put se moºe predstaviti nizom £vorova:
(s, 1, 4, 8, 3, t)
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Put
Put izme�u dva zadata £vora s i t, s, t ∈ V je niz grana za kojevaºi:
Prva grana polazi iz £vora s,
Svaka slede¢a grana sledi prethodnu granu iz niza (je susednaprethodnoj grani � ako je graf neusmeren),
Poslednja grana zavr²ava u £voru t.
Primer:
((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))
Alternativno, put se moºe predstaviti nizom £vorova:
(s, 1, 4, 8, 3, t)
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Put
Put izme�u dva zadata £vora s i t, s, t ∈ V je niz grana za kojevaºi:
Prva grana polazi iz £vora s,
Svaka slede¢a grana sledi prethodnu granu iz niza (je susednaprethodnoj grani � ako je graf neusmeren),
Poslednja grana zavr²ava u £voru t.
Primer:
((s, 1) , (1, 4) , (4, 8) , (8, 3) , (3, t))
Alternativno, put se moºe predstaviti nizom £vorova:
(s, 1, 4, 8, 3, t)
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Elementarni put
Elementarni put je onaj put koji kroz sve £vorove prolazi najvi²ejednom.
Primer:
2
1 3
4
5
Put (1, 2, 3, 4, 5) jeelementaran.
2
1 3
4
5
Put (1, 3, 4, 2, 3, 5)nije elementaran
po²to kroz £vor 3 prolazi dvaputa.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Elementarni put
Elementarni put je onaj put koji kroz sve £vorove prolazi najvi²ejednom.
Primer:
2
1 3
4
5
Put (1, 2, 3, 4, 5) jeelementaran.
2
1 3
4
5
Put (1, 3, 4, 2, 3, 5)nije elementaran
po²to kroz £vor 3 prolazi dvaputa.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Kontura
Kontura je elementarni put koji po£inje i zavr²ava u istom £voru.
Primer:
2
1 3
4
5
Put (2, 3, 4, 2) je kontura.
Putevi (3, 4, 2, 3) i (4, 2, 3, 4) predstavljaju istu konturu.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Kontura
Kontura je elementarni put koji po£inje i zavr²ava u istom £voru.
Primer:2
1 3
4
5
Put (2, 3, 4, 2) je kontura.
Putevi (3, 4, 2, 3) i (4, 2, 3, 4) predstavljaju istu konturu.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Kontura
Kontura je elementarni put koji po£inje i zavr²ava u istom £voru.
Primer:2
1 3
4
5
Put (2, 3, 4, 2) je kontura.
Putevi (3, 4, 2, 3) i (4, 2, 3, 4) predstavljaju istu konturu.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf 2
1
3
4
5
6
7
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf 2
1
3
4
5
6
7
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf 2
1
3
4
5
6
7
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf 2
1
3
4
5
6
7
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Hamiltonova kontura
Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve £vorove nekoggrafa.
Primer: Za graf 2
1
3
4
5
6
7
Put (1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 1) je jedna Hamiltonova kontura zadatoggrafa.
Na primer, put (1, 2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) je tako�e jednaHamiltonova kontura.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Povezan graf
Neusmeren graf je povezan, ako za svaka dva £vora i , j ∈ V
postoji put koji ih povezuje.
Usmeren graf je povezan, ako za svaka dva £vora i , j ∈ V
postoji put koji ih povezuje, pri £emu se usmerenja granazanemaruju.
U slu£aju da nije povezan, za graf kaºemo da je nepovezan.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Primer povezan / nepovezan graf
2
1
3
4
5
6
Povezan graf
2
1
3
4
5
6
Nepovezan graf
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Presek grafa (neprecizna de�nicija)
Presek grafa je skup grana £ijim uklanjanjem graf postajenepovezan.
Presek grafa (precizna de�nicija)
Za neusmeren graf G = (V ,E ) i zadati podskup £vorova W ⊂ V ,presek grafa δ(W ) je podskup grana takvih da im je jedan £vor uskupu W , a drugi u skupu V \W . Drugim re£ima
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W } .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Presek grafa (neprecizna de�nicija)
Presek grafa je skup grana £ijim uklanjanjem graf postajenepovezan.
Presek grafa (precizna de�nicija)
Za neusmeren graf G = (V ,E ) i zadati podskup £vorova W ⊂ V ,presek grafa δ(W ) je podskup grana takvih da im je jedan £vor uskupu W , a drugi u skupu V \W . Drugim re£ima
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W } .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Primer presek grafa
Presek grafa
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }
2
1
3
4
5
6
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Primer presek grafa
Presek grafa
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }
W2
1
3
4
5
6
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Primer presek grafa
Presek grafa
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }
2
1
3
4
5
6
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
Primer presek grafa
Presek grafa
δ(W ) = {{i , j} ∈ E | i ∈W , j ∈ V \W }
2
3
4
5
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Stablo
Neusmeren graf G = (V ,E ) je stablo ako vaºe bar dve od slede¢etri tvrdnje:
1 Graf G ne sadrºi ni jednu konturu.2 Graf G sadrºi ta£no |V | − 1 grana.3 Graf G je povezan.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Stablo
Neusmeren graf G = (V ,E ) je stablo ako vaºe bar dve od slede¢etri tvrdnje:
1 Graf G ne sadrºi ni jednu konturu.2 Graf G sadrºi ta£no |V | − 1 grana.3 Graf G je povezan.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Osobine stabla1 Dodavanjem grane u stablo dobija se kontura.2 Udaljavanjem grane iz stabla dobija se nepovezan graf.3 Izme�u svaka dva £vora u stablu postoji ta£no jedan put.
Primer:
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Mreºa
Kada se elementima grafa (£vorovima i/ili granama) dodeleneke vrednosti, on se naziva teºinski graf.
Povezan teºinski graf se naziva mreºa.
Primer: Putna mreºa je zadata grafom, a vrednosti predstavljajuudaljenosti izme�u klju£nih ta£aka (npr. raskrsnica, gradova i sl.)
B
V
D
S
15
18
20
25
12
10
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Mreºa
Kada se elementima grafa (£vorovima i/ili granama) dodeleneke vrednosti, on se naziva teºinski graf.
Povezan teºinski graf se naziva mreºa.
Primer: Putna mreºa je zadata grafom, a vrednosti predstavljajuudaljenosti izme�u klju£nih ta£aka (npr. raskrsnica, gradova i sl.)
B
V
D
S
15
18
20
25
12
10
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Vrednosti koje se dodeljuju elementima grafa mogu imati razli£ituprirodu i tuma£enje.
Vrednosti koje se dodeljuju granama, mogu predstavljati npr.:
duºinu,
teºinu,
kapacitet,
pouzdanost, ...
Vrednosti koje se dodeljuju £vorovima, mogu predstavljati npr.:propusnost,
zna£aj,
uticaj, ...
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Vrednosti koje se dodeljuju elementima grafa mogu imati razli£ituprirodu i tuma£enje.
Vrednosti koje se dodeljuju granama, mogu predstavljati npr.:
duºinu,
teºinu,
kapacitet,
pouzdanost, ...
Vrednosti koje se dodeljuju £vorovima, mogu predstavljati npr.:propusnost,
zna£aj,
uticaj, ...
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Osnovni pojmovi
De�nicije
Vrednosti koje se dodeljuju elementima grafa mogu imati razli£ituprirodu i tuma£enje.
Vrednosti koje se dodeljuju granama, mogu predstavljati npr.:
duºinu,
teºinu,
kapacitet,
pouzdanost, ...
Vrednosti koje se dodeljuju £vorovima, mogu predstavljati npr.:propusnost,
zna£aj,
uticaj, ...
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Optimizacija na mreºama
Zadaci optimizacije na mreºama predstavljaju u poslednjevreme naj£e²¢e optimizacione probleme.
Tako�e, oni spadaju i u najteºe i najvi²e prou£avane problemesada²njice.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Sadrºaj predavanja
1 Grafovi i mreºeOsnovni pojmovi
2 Optimizacija na mreºamaProblem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje najkra¢eg puta izme�u dva zadata £vora u mreºi
Zadat je graf G = (V ,E ) i skup vrednosti (duºina, teºina)koje odgovaraju svakoj grani C = {(cij) | (i , j) ∈ E}.Zadati su £vorovi s ∈ V i t ∈ V :
s � po£etni £vor (Start);t � krajnji £vor (Target).
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje najkra¢eg puta izme�u dva zadata £vora u mreºi
Duºina puta
Duºina puta jednaka je zbiru duºina grana koje tom putupripadaju.
Formalno
P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))
L(P) =∑p∈P
cp
Problem najkra¢eg puta
Potrebno je odrediti put od £vora s do £vora t £ija je duºinanajmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje najkra¢eg puta izme�u dva zadata £vora u mreºi
Duºina puta
Duºina puta jednaka je zbiru duºina grana koje tom putupripadaju.
Formalno
P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))
L(P) =∑p∈P
cp
Problem najkra¢eg puta
Potrebno je odrediti put od £vora s do £vora t £ija je duºinanajmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje najkra¢eg puta izme�u dva zadata £vora u mreºi
Duºina puta
Duºina puta jednaka je zbiru duºina grana koje tom putupripadaju.
Formalno
P = ((s, i1) , (i1, i2) , . . . , (ir , t))
L(P) =∑p∈P
cp
Problem najkra¢eg puta
Potrebno je odrediti put od £vora s do £vora t £ija je duºinanajmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam
O(|E | |V |)
3 Dajkstrin algoritam
O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam
O(|E | |V |)
3 Dajkstrin algoritam
O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam
O(|E | |V |)
3 Dajkstrin algoritam
O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam
O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam
O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam O(|V |2)
J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema najkra¢eg puta
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Belmanov algoritam O(|E | |V |)3 Dajkstrin algoritam O(|V |2) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Dajkstrin1algoritam je specijalizovan algoritam za nalaºenjenajkra¢eg puta od jednog zadatog £vora (s) do svih ostalih.
Svakom £voru se dodeljuje oznaka d(j) koja predstavljaudaljenost £vora j od po£etnog £vora, koja moºe bitiprivremena ili trajna.
Kada je oznaka £vora j trajna, oznaka d(j) predstavljanajmanju udaljenost od po£etnog £vora do £vora j .
Sa S ⊆ V ¢e biti obeleºen skup £vorova kojima su dodeljenetrajne oznake, a sa Q ⊆ V privremene (S ∩ Q = ∅,S ∪ Q = V ).
1Edsger Wybe Dijkstra (1930 � 2002).Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Dajkstrin1algoritam je specijalizovan algoritam za nalaºenjenajkra¢eg puta od jednog zadatog £vora (s) do svih ostalih.
Svakom £voru se dodeljuje oznaka d(j) koja predstavljaudaljenost £vora j od po£etnog £vora, koja moºe bitiprivremena ili trajna.
Kada je oznaka £vora j trajna, oznaka d(j) predstavljanajmanju udaljenost od po£etnog £vora do £vora j .
Sa S ⊆ V ¢e biti obeleºen skup £vorova kojima su dodeljenetrajne oznake, a sa Q ⊆ V privremene (S ∩ Q = ∅,S ∪ Q = V ).
1Edsger Wybe Dijkstra (1930 � 2002).Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Dajkstrin1algoritam je specijalizovan algoritam za nalaºenjenajkra¢eg puta od jednog zadatog £vora (s) do svih ostalih.
Svakom £voru se dodeljuje oznaka d(j) koja predstavljaudaljenost £vora j od po£etnog £vora, koja moºe bitiprivremena ili trajna.
Kada je oznaka £vora j trajna, oznaka d(j) predstavljanajmanju udaljenost od po£etnog £vora do £vora j .
Sa S ⊆ V ¢e biti obeleºen skup £vorova kojima su dodeljenetrajne oznake, a sa Q ⊆ V privremene (S ∩ Q = ∅,S ∪ Q = V ).
1Edsger Wybe Dijkstra (1930 � 2002).Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Dajkstrin1algoritam je specijalizovan algoritam za nalaºenjenajkra¢eg puta od jednog zadatog £vora (s) do svih ostalih.
Svakom £voru se dodeljuje oznaka d(j) koja predstavljaudaljenost £vora j od po£etnog £vora, koja moºe bitiprivremena ili trajna.
Kada je oznaka £vora j trajna, oznaka d(j) predstavljanajmanju udaljenost od po£etnog £vora do £vora j .
Sa S ⊆ V ¢e biti obeleºen skup £vorova kojima su dodeljenetrajne oznake, a sa Q ⊆ V privremene (S ∩ Q = ∅,S ∪ Q = V ).
1Edsger Wybe Dijkstra (1930 � 2002).Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
U po£etku ¢e samo £vor s imati trajnu oznaku sa vredno²¢u 0(duºina najkra¢eg puta od £vora s do njega samog), a ostali£vorovi privremene oznake sa vredno²¢u ∞.
U svakoj iteraciji Dajkstrinog algoritma odre�uje se duºinanajkra¢eg puta (tj. trajna oznaka) od po£etnog do nekog£vora grafa.
Radi lak²eg rekonstruisanja puta, svakom £voru osimpo£etnom pridruºuju se i oznake p(j) koje predstavljaju £vorkoji ¢e u na�enom putu prethoditi £voru j .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
U po£etku ¢e samo £vor s imati trajnu oznaku sa vredno²¢u 0(duºina najkra¢eg puta od £vora s do njega samog), a ostali£vorovi privremene oznake sa vredno²¢u ∞.
U svakoj iteraciji Dajkstrinog algoritma odre�uje se duºinanajkra¢eg puta (tj. trajna oznaka) od po£etnog do nekog£vora grafa.
Radi lak²eg rekonstruisanja puta, svakom £voru osimpo£etnom pridruºuju se i oznake p(j) koje predstavljaju £vorkoji ¢e u na�enom putu prethoditi £voru j .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
U po£etku ¢e samo £vor s imati trajnu oznaku sa vredno²¢u 0(duºina najkra¢eg puta od £vora s do njega samog), a ostali£vorovi privremene oznake sa vredno²¢u ∞.
U svakoj iteraciji Dajkstrinog algoritma odre�uje se duºinanajkra¢eg puta (tj. trajna oznaka) od po£etnog do nekog£vora grafa.
Radi lak²eg rekonstruisanja puta, svakom £voru osimpo£etnom pridruºuju se i oznake p(j) koje predstavljaju £vorkoji ¢e u na�enom putu prethoditi £voru j .
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Algoritam1 Inicijalizacija:
Podeliti £vorove na one sa trajnim i one sa privremenimoznakama: S ← {s}; Q ← V \ {s};Dodeliti po£etne oznake: d(s)← 0; d(j)←∞, j ∈ Q;Postaviti po£etni £vor za teku¢i: i ← s.
2 Svim £vorovima koji slede teku¢i £vor, a imaju privremenuoznaku, dodeliti nove oznake:
d(j)← min {d(j), d(i) + cij} , j ∈ Γ(i) ∩ Q
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Algoritam3 Od svih £vorova sa privremenim oznakama:
izabrati onaj sa najmanjom vredno²¢u:
u ← argminj∈Q
d(j)
proglasiti tu oznaku za trajnu:
S ← S ∪ {u} , Q ← Q\ {u}
evidentirati prethodni £vor: p(u)← i
postaviti taj £vor za teku¢i: i ← u
4 Ako je Q 6= ∅ i¢i na korak 2. U suprotnom KRAJ.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Re²enje
Na kraju algoritma, svi £vorovi ¢e imati trajne oznake d(j).Ove vrednosti predstavljaju duºine najkra¢ih puteva od £vora s
do £vora j (tj. vrednost re²enja).
Sastav puteva (tj. re²enje) se moºe lako odrediti za svaki £vor,prate¢i �unazad� oznake za prethodni £vor p(j).
U zadacima, u oznakama £vorova, trajne oznake ¢e bitiobeleºene sa �+�, a privremene sa ���.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Dajkstrin algoritam
Re²enje
Na kraju algoritma, svi £vorovi ¢e imati trajne oznake d(j).Ove vrednosti predstavljaju duºine najkra¢ih puteva od £vora s
do £vora j (tj. vrednost re²enja).
Sastav puteva (tj. re²enje) se moºe lako odrediti za svaki £vor,prate¢i �unazad� oznake za prethodni £vor p(j).
U zadacima, u oznakama £vorova, trajne oznake ¢e bitiobeleºene sa �+�, a privremene sa ���.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
Dajkstrin algoritam � primer
Odrediti najkra¢i put od £vora s do £vora t.
1 4
52
s t3
2
8
3
5
3
2
4
3
4
0
4 9
106
3 119
s
s
1
1
23
3
Duºina najkra¢eg puta od s do t je: 4 + 2 + 4 = 10.Sastav najkra¢eg puta (re²enje) je: ((s, 1) , (1, 3) , (3, t)).
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Sadrºaj predavanja
1 Grafovi i mreºeOsnovni pojmovi
2 Optimizacija na mreºamaProblem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Zadat je neusmereni povezan graf G = (V ,E ) i skupvrednosti (teºina, duºina) koje odgovaraju svakoj graniC = {(cij) | {i , j} ∈ E}.
Razapinju¢e stablo � de�nicija
Razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) je podgraf tog grafa kojisadrºi sve £vorove V tog grafa i stablo je.
Drugim re£ima:S = (V ,E
′) je razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) akko
E′ ⊆ E i S je stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Zadat je neusmereni povezan graf G = (V ,E ) i skupvrednosti (teºina, duºina) koje odgovaraju svakoj graniC = {(cij) | {i , j} ∈ E}.
Razapinju¢e stablo � de�nicija
Razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) je podgraf tog grafa kojisadrºi sve £vorove V tog grafa i stablo je.
Drugim re£ima:S = (V ,E
′) je razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) akko
E′ ⊆ E i S je stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Zadat je neusmereni povezan graf G = (V ,E ) i skupvrednosti (teºina, duºina) koje odgovaraju svakoj graniC = {(cij) | {i , j} ∈ E}.
Razapinju¢e stablo � de�nicija
Razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) je podgraf tog grafa kojisadrºi sve £vorove V tog grafa i stablo je.
Drugim re£ima:S = (V ,E
′) je razapinju¢e stablo grafa G = (V ,E ) akko
E′ ⊆ E i S je stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje minimalnog razapinju¢eg stabla
Teºina (duºina) razapinju¢eg stabla
Teºina razapinju¢eg stabla jednaka je zbiru teºina grana kojetom stablu pripadaju.
Formalno
S =(V ,E
′)
L(S) =∑l∈E ′
cl
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Potrebno je odrediti razapinju¢e stablo £ija je teºina najmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje minimalnog razapinju¢eg stabla
Teºina (duºina) razapinju¢eg stabla
Teºina razapinju¢eg stabla jednaka je zbiru teºina grana kojetom stablu pripadaju.
Formalno
S =(V ,E
′)
L(S) =∑l∈E ′
cl
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Potrebno je odrediti razapinju¢e stablo £ija je teºina najmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Nalaºenje minimalnog razapinju¢eg stabla
Teºina (duºina) razapinju¢eg stabla
Teºina razapinju¢eg stabla jednaka je zbiru teºina grana kojetom stablu pripadaju.
Formalno
S =(V ,E
′)
L(S) =∑l∈E ′
cl
Problem minimalnog razapinju¢eg stabla
Potrebno je odrediti razapinju¢e stablo £ija je teºina najmanja.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam
O(|E | log |V |)
3 Primov algoritam
O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam
O(|E | log |V |)
3 Primov algoritam
O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam
O(|E | log |V |)
3 Primov algoritam
O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam
O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam
O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam O(|E |+ |V | log |V |)
J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Re²avanje problema minimalnog razapinju¢eg stabla
Metode re²avanja:1 Simpleks metoda2 Kraskalov algoritam O(|E | log |V |)3 Primov algoritam O(|E |+ |V | log |V |) J
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam
Primov algoritam je proºdrljiva (halapljiva, greedy) procedurakonstruisanja razapinju¢eg stabla dodavanjem po jednog £vora(i odgovaraju¢e grane) do tada konstruisanom stablu.
Ozna£imo sa U skup £vorova i sa P skup grana koje su donekog trenutka uklju£eni u stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam
Primov algoritam je proºdrljiva (halapljiva, greedy) procedurakonstruisanja razapinju¢eg stabla dodavanjem po jednog £vora(i odgovaraju¢e grane) do tada konstruisanom stablu.
Ozna£imo sa U skup £vorova i sa P skup grana koje su donekog trenutka uklju£eni u stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam
Algoritam1 Inicijalizacija: izabrati proizvoljan £vor u ∈ V i dodati ga u
skup U = {u}; P = ∅.2 Izme�u svih grana M = {{i , j} | {i , j} ∈ E , i ∈ U, j ∈ V \U},
tj. grana £iji jedan £vor pripada formiranom stablu, a drugi jevan njega izabrati onu sa najmanjom teºinom. Drugim re£ima:
{v , u} ← argmin{i ,j}∈M
cij
3 �vor u i granu {v , u} dodati stablu: U ← U ∪ {u},P ← P ∪ {{v , u}}.
4 Ponavljati korake 2 i 3 sve dok se ne doda svih |V | £vorova uU, odnosno |V | − 1 grana u P . Dobijeni graf S = (U,P)predstavlja minimalno razapinju¢e stablo.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Odrediti minimalno razapinju¢e stablo grafa:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Primov algoritam:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Re²enje:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
Grafovi i mreºeOptimizacija na mreºama
Problem najkra¢eg putaProblem minimalnog razapinju¢eg stabla
Primov algoritam � primer
Re²enje:
1 2 3
64
7 98
5
10 3
76 9 12
129
2
8 5
68
10 4
4
Teºina (duºina) minimalnog razapinju¢eg stabla je:7 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 10 + 4 = 41.
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija
LabOI
KRAJ
Hvala na paºnji!
Milan Stanojevi¢ Kombinatorna optimizacija