Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetik di Sekitar Kawat Berarus … · 2020. 5. 4. · Analisis Komputasi Analisa Komputasi dalam bentuk perancangan flowchart (d iagram alir) sebagai

Jurnal ILMU DASAR, Vol.19 No. 1, Januari 2018 :23-28 23

Journal homepage: https://jurnal.unej.ac.id/index.php/JID

Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetik di Sekitar Kawat Berarus Listrikdengan Metode Analitik dan Komputasi

Comparation of Magnetic Flux Cases Solution in Around Electrified Wirebetween Analytical and Computational Methods

Ali Warsito*, Ady E.P HaningJurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana

*E-mail: [email protected]

ABSTRACTHave analyzed comparative analytical and numerical computation solutions in the case ofmagnetic flux to the circular loop of radius R as far apart as H around the current I in the wire. Theaim is to know how the methods used have an accurate solutions calculated based on relative errorvalue. The analytical method use taking concept of polar coordinates and the computationalmethod using the function of analytic equations modified based on Simpson and Monte Carlomethod. Both methods are aprroaches in numerical integration.After test with variation ofcombination of R=0.1 and 0.2 and H=0.1 and 0.2, the Simpson and Monte Carlo indicate theintegration value corresponding to the exact or analytical solution value, the relative error value ofthe Simpson method range from 0,004% - 0,017% and the relatif error value for Monte Carlomethod range from 0.056% - 3.4296%.

Keywords: magnetic flux, analytical, simpson, monte carlo, relative error

PENDAHULUAN

Fluks magnetik adalah keadaan dimanasejumlah garis kuat medan magnetik tertentumenembus suatu luas permukaan tertentu.Timbulnya medan magnetik bisa diakibatkanoleh beberapa sebab, seperti adanya arus listrikyang mengalir pada suatu kawat ataupunkehadiran dari suatu benda magnetik. Gejalafluks magnetik diamati dengan mengukurjumlah induksi medan magnetik yangmenembus suatu luas permukaan tertentu.Sebagian besar peralatan elektronik yang kitajumpai dalam kehidupan sehari-hari kita,bekerja pada prinsip fluks magnetik. Salah satucontoh adalah transformator, yang prinsipkerjanya didasarkan pada fenomena fluksmagnetik.

Dalam kajian fisika listrik magnet(electromagnetics / electrodynamics), fluksmagnetik (Φ) dapat diselesaikan denganmetode analitik yang sudah umum untukmendapatkan solusi sejatinya (exact solution).Metode analitik adalah metode penyelesaiansecara matematis dengan rumus-rumus aljabaryang sudah baku (Munir,2013). Cara yang laindapat digunakan untuk menyelesaikanpersamaan fluks magnetik adalah denganmenggunakan komputasi fisika.

Komputasi fisika adalah integrasi antarasains dan kemampuan komputer secara efektifuntuk menyelesaikan kasus-kasus fisismemanfaatkan metode numerik dan bahasa

pemrograman (Warsito, 2009). MenurutChapra (2011) metode numerik adalah teknikyang digunakan untuk memformulasikanmasalah matematis sehingga dapat diselesaikandengan operasi aritmatika dan logika. Karenaperhitungan menggunakan komputer berbasispada sistem digital sehingga metode numerikseringkali dikenal sebagai matematikakomputer (komputasi). Terdapat beberapaalternatif dalam metode komputasi yang bisadipakai untuk mencari solusi masalah nilaiawal, diantaranya seperti metode diferensiasidan metode integrasi. Metode integrasinumerik secara khusus dipakai untuk mencaripendekatan jawaban kasus. Metode integrasisendiri terdiri dari beberapa metode antara laintrapezoida rule (kaidah trapesium), metodeSimpson 1/3 dan 3/8 dengan tingkat kesalahan(error) yang berbeda untuk masing – masingmetode.

Metode lain yang lebih kompleks dan biasadigunakan dalam pemodelan fisika adalahmetode Monte Carlo. Metode Monte Carlomenggunakan prinsip membangkitkan bilanganacak (random generator) dengan batasan nilaiawal dan akhir untuk mencari pendekatanjawaban dari kasus.

Dalam penelitian ini akan dicari solusiuntuk menentukan nilai fluks magnetik total disekitar kawat berarus pada permukaan luasanberbentuk lingkaran menggunakan metodekhusus analitik dan metode komputasi numerik

24 Komparasi Solusi Kasus Fluks … (Warsito, dkk)

(Simpson & Monte Carlo) danmembandingkan hasil dari metode anailitik dankomputasi serta menghitung nilai error relatifdari metode komputasi terhadap metodeanalitik dalam menghitung nilai fluks magnetikdi sekitar kawat berarus.

Fluks MagnetikJika dalam suatu ruang terdapat medan magnet,jumlah garis gaya yang menembus permukaandengan luas tertentu bisa berbeda-beda,tergantung pada kuat medan magnet dan sudutantara medan magnet dengan vektorpermukaan. Fluks magnetik mengukur jumlahgaris gaya yang menembus suatu permukaan.Fluks magnetik didefinisikan sebagai berikut.= ∫ ⃗ . ⃗ (1)= cosdengan adalah sudut antara vektor ⃗ dan⃗.Dimana: B= induksi magnetik (Wb/m2); A= luasan bidang (m2);Φ = fluks magnetik (Wb)

Gambar 1. Fluks magnetik menyatakan jumlahgaris gaya yang menembuspermukaan dalam arah tegak lurus(Abdullah, 2006)

Jika arah medan magnet sejajar dengan bidang,maka = 90° dan fluks magnetik bernilai 0.Jika arah medan magnet tegak lurus denganbidang, maka = 0° dan fluks magnetikbernilai (maksimum) (Serway, 2004).

Metode SimpsonDi dalam kalkulus, integral adalah satu dari duapokok bahasan yang mendasar disampingturunan (derivative). Integral mempunyaibanyak terapan dalam bidang sains danrekayasa.Integral digunakan untuk memperolehsolusi analitik dan eksak dengan menggunakanintegral tak-tentu maupun integral tentu.Integral tak-tentu dinyatakan sebagai:∫ ( ) = ( ) + (2)Solusinya, F(x), adalah fungsi menerussedemikian sehingga F'(x) = f(x), dan C adalahsebuah konstanta. Persoalan integrasi numerikialah menghitung secara numerik integral tentu

yang dalam hal ini a dan b batas-batasintegrasi, f adalah fungsi yang dapat diberikansecara eksplisit dalam bentuk persamaanataupun secara empirik dalam bentuk tabelnilai.

Aturan Simpson diperoleh denganmengambil integral di bawah fungsi polinomialberpangkat empat dan tiga. Metode Simpsonyang digunakan terdiri dari dua, yaitu Simpson1/3 dan Simpson 3/8. Aturan Simpson 1/3diperoleh dari fungsi polinomial pangkat 2yang terbentuk dari 3 titik data yang tersebardengan interval yang sama. Sedangkan aturanSimpson 3/8 diperoleh dari fungsi polinomialpangkat 3 yang terbentuk dari 4 titik data yangtersebar dengan interval yang sama.

Dalam penelitian metode yang dipakaiadalah metode Simpson 1/3 diperoleh darifungsi polinomial pangkat 2 disubtitusi kepersamaan integral= ∫ ( ) ≅ ∫ ( ) (3)Jika a dan b diketahui adalah x0dan x2 dan f2(x)diperolehpersamaan berikut:≅ [ ( ) + 4 ( ) + ( )] (4)dimana, ℎ = ( ) . Simpson 1/3 dapatdituliskan menjadi:≅ ( − ) ( ) ( ) ( ) (5)dengan, a = x0, b = x2, dan x1 = titik tengahantara a dan b.

Metode Monte CarloMetode Monte Carlo adalah salah satu metodematematika dengan penyelesaian secaranumerik untuk menyelesaikan kasus dengansimulasi yang menggunakan bilangan acak.Metode ini muncul pada tahun 1940-an yangdipakai untuk mempelajari multiplikasineutron, hamburan, dan keperluan dibidangnuklir lainnya. Stanislav Ulam, Jhon vonNeumann dan Enrico Fermi menggagas danmenyetujui Monte Carlo sebagai metode untukpenyelesaian praktis dari kasus, yang kemudiandiikuti dengan diterbitkannya jurnal olehMetropolis dan Ulam (Murthy, 2000).

Metode Monte Carlo juga dapat digunakanuntuk menghitung nilai integral. Umumnyasebuah fungsi f(x) dapat dicari denganmenghitung luas daerah dibawah kurva, yaitudengan mengalikan nilai batas integral (a,b)dan nilai rata-rata fungsi .Secara matematisdituliskan :∫ ( ) = ( − )〈 〉 (6)Untuk menghitung nilai rata-rata dapatdilakukan dengan cara :

























〈 〉 = ∑ ( ) (7)Dimana perhitungan nilai rata-rata inimemanfaatkan pembangkitan bilangan acakdan N adalah jumlah pengulangan yangdigunakan (DeVries, 1984).∫ ( ) ≈ ∑ ( ) (8)

Ide dasar dari Monte Carlo adalah tidakmengevaluasi integrasi pada tiap titik padasejumlah besar titik-titik integrasi, tetapi hanyamengambil beberapa titik acak pada sumbuabsis, sebagai pengganti dari titik integrasi.(Warsito, 2005).

METODEAnalisis AnalitikKasus yang akan dicari solusinya adalah sebagaiberikut:Sebuah lingkaran dengan diameter d dan jari-jari Rdi letakkan dekat dengan kawat panjang yang di aliriarus listrik I. Jarak antara kawat dan lingkaranadalah H. Tentukan Fluks magnetik pada lingkaranyang berada dekat dengan kawat yang dialiri aruslistrik tersebut. Ilustrasi dari kasus dapat dilihat padaGambar 2.

Gambar 2. Kasus Fluks Magnetik pada luasanberbentuk lingkaran

Fluks magnetik yang menembus luasanpermukaan benda berbentuk lingkaran dapatdiselesaikan menggunakan persamaan dasar untukmencari fluks magnetik dan analisa integralmatematis untuk menghitung luasan suatu bidangdengan menggunakan sistem koordibat polar. Solusiyang di gunakan dapat dilihat pada Gambar 3.

Gambar 3. Solusi Analitik

= . ....(9)= ...(10)

dimana nilai = + ℎℎ = − −=sehingga : = + − −= + − −= + −

...(11)Dengan subtitusi persamaan (9) dan (10) kepersamaan (1). Diperoleh := ∬ . .

...(12)subtitusi persamaan (11) ke persamaan (12).Diperoleh:= ∬ ( ),, ...(13)Persamaan (13) diselesaikan menggunakanSoftware Wolfram Mathematica 10.3, menjadi= 2π∫....(14)= − ( ) 1 + − [ + ] ...(15)Analisis KomputasiAnalisa Komputasi dalam bentuk perancanganflowchart (diagram alir) sebagai alur logika danalgoritma sebagai landasan dalam menuliskansintaks program. Procedure dalam program sesuaidengan metode-metode yang digunakan untukanalisa komputasi. Secara umum flowchartpenelitian yang dilakukan adalah Gambar 4.

Gambar 4. Flowchart penelitian

HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil Pengujian Solusi AnalitikPenyelesaian secara analitik diperoleh duabentuk solusi yang dapat digunakan. Namun,solusi analitik yang digunakan untukpenyelesaian kasus ini menggunakan tinjauanluasan pada sistem koordinat polar untukmenghitung integral dari luasan lingkarandengan jarak tertentu dari kawat berarus.Dengan mengambil irisan pada titik sejauh rdari pusat lingkaran, kemudian dengan

Mulai Hitung nilaiΦ

TampilkanΦ& errorStop

Masukkannilai

batas∫

Hitung nilaierror relatif









= . ....(9)= ...(10)









Masukkannilai

batas∫










= . ....(9)= ...(10)









Masukkannilai

batas∫



mengubah integrasi ke dalam bentuk koordinatpolar (r, ) sehingga bentuk integrasi luasannyaseperti pada persamaan (9). Penentuan nilaimedan magnetik disekitar kawat menggunakanpersamaan (10) dan (11) sehingga untukmenghitung nilai fluks magnetik dengansubtitusimasuk ketiga persamaan tersebut kepersamaan untuk mencari nilai fluks magnetik,diperoleh seperti pada persamaan (12).

Persamaan (13) yang digunakan adalahbentuk integrasi lipat dua. Persamaan tersebutdiintegralkan terhadap sudut terlebih dahulu,kemudian baru diintegralkan terhadap jari-jarir. Penyelesaian solusi dengan persamaan (13)ini tidak dapat diselesaikan secara analitiksehingga penyelesaian dilakukan denganmenggunakan softwareWolfram Mathematica10.3. Diperoleh persamaan (14) kemudiandisederhanakan menjadi persamaan (15).Solusi ini sebagai solusi eksak (solusi sejati)untuk pendekatan nilai dari solusi analitik yangdipakai untuk menyelesaikan kasus ini.Sedangkan untuk pembuatan program dengansolusi analitik, menggunakan persamaan (14).

Solusi analitik lain yang juga telah diujimenggunakan konsep dasar perhitungan luasanlingkaran yang diperoleh dari integral kelilinglingkaran itu sendiri. Sehingga untukmendapatkan luasan lingkaran dengan caramenghitung keliling lingkaran dari jari-jariyang terkecil (nilai batas bawah integrasi)hingga jari-jari yang terbesar (nilai batas atasintegrasi). Solusi ini merupakan pendekatansederhana yang dilakukan secara numerik.

Analisis analitik yang dilakukan agar dapatdiketahui apakah hasil dari solusi yangdigunakan memiliki nilai presisi dan akurasiyang baik atau tidak diperlukan sebuah nilaistandar yang dapat dipakai sebagai hasilpembanding atau dapat dipercayai sebagaisebuah nilai kebenaran. Dengan demikiandigunakan solusi pembanding untukmenghitung nilai fluks magnetik disekitarkawat berarus pada luasan berbentuk lingkaran,yaitu dengan terlebih dahulu meninjau fluksmagnetik pada luasan berbentuk persegi danmelakukan perbandingan grafis.

Pengambilan data secara analitik maupundalam pendekatan menggunakan komputasiselanjutnya dilakukan dengan cara mengubah-ubah nilai jari-jari lingkaran dengan R=0,1 dan0,2 m serta jarak lingkaran dari kawat H=0,1dam 0,2 m. Sedangkan kuat arus (i) dibuattetap sebesar 10 A.

Hasil perhitungan fluks magnetik denganmengggunakan solusi analitik dapat dilihatpada Tabel 1.

Tabel 1. Hasil perhitungan Fluks Magnetikmenggunakan solusi analitik

Analitik (ϕ)( x 10-7Wb)

Pembanding(ϕ)

( x 10-7 Wb)

Error Mutlak(x 10-7 )

3,36544185 3,44964259 0,084200742,15495531 2,17648215 0,021526849,59498620 10, 10727009 0,512283896,73088371 6,89928517 0,16840146

Perhitungan fluks magnetik dengan solusianalitik memperoleh hasil yang lebih kecil jikadibandingkan dengan hasil dari solusipembanding secara grafis. Dari hasil yangdiperoleh pada tabel diatas, dapat dikatakanbahwa solusi analitik yang dibuat ini dapatdipakai untuk perhitungan nilai fluks magnetikserta dalam pendekatan secara komputasi.

Secara teori, fluks yang diperoleh akanlebih kecil ketika jarak luasan dari lingkaran(H) dibuat semakin besar. Sedangkan jika jari-jari luasan dibuat semakin besar, maka nilaifluks yang menembus bidang akan semakinbesar nilainya. Dari hasil yang diperoleh,diketahui bahwa nilai fluks magnetik yangperoleh memiliki sifat fisi yang sama denganteori.

Komparasi Solusi Analitik dan KomputasiMetode komputasi yang digunakan untukmenghitung nilai fluks magnetik total padaluasan adalah metode Simpson dan MonteCarlo. Program yang dipakai untuk pengujiansolusi ini dibuat dengan menggunakan fungsif(x) yang diperoleh dari solusi analitik sertabeberapa deklarasi yang disesuaikan terhadapbentuk fungsi yang dipakai pada program.Pengujian program juga dibuat sama denganpengujian secara analitik dengan nilai batasbawah integral dimulai dari 0 dan nilai batasatas integral sesuai dengan nilai masukan jari-jari R. Sedangkan rogram pendekatan denganmetode Monte Carlo dimulai denganpembangkitan bilangan acak dengan jumlahtitik sampel sebanyak N sehingga dapatmerepresentasikan nilai luasan yangsebenarnya. Jangkauan bilangan acak yangdibangkitkan adalah sesuai dengan nilai batasdari integral itu sendiri.

Hasil pengujian program saat programdijalankan dapat dilihat pada Gambar 5.



Gambar 5. Hasil running program metodeSimpson

Gambar 5 menampilkan hasil pengujianprogram dengan menggunakan metodeSimpson. Setelah memasukan nilai batasbawah dan batas atas integral serta nilai jarakluasan dari kawat H. Maka program akanmenghitung secara otomatis dan pada tampilanhasil running program dapat dilihat nilai hasilintegrasi, nilai flux magnetik total dan errorrelatif. Pengujian dilakukan seperti yang telahdijelaskan dan diperoleh hasil nilai fluksmagnet sebagai berikut.Tabel 2. Hasil Perhitungan Fluks Magnetik

dengan metode SimpsonAnalitik (ϕ)( x 10-7 Wb)

Simpson (ϕ)( x 10-7 Wb)


3,36544185 3,36485173 0,000590122,15495531 2,15459393 0,000361389,59498620 9,59544329 0,000457096,73088371 6,72970346 0,00118025

Pada Tabel 2 hasil pengujian programmenggunakan metode komputasi Simpsonmenunjukkan bahwa pendekatan secaraintegrasi simpson mendekati hasil yang telahdiperoleh secara analitik. Dari hasil ini dapatdihitung nilai error mutlak dari programterhadap nilai eksak secara analitik dandiperoleh nilai error mutlak yang kecil.Sehingga hasil pendekatan dengan metodeSimpson dapat diterima serta dapat dikatakanbahwa program yang dibuat telah berfungsidengan baik. Sedangkan pengujian programdengan menggunakan metode Monte Carlodapat dilihat pada Gambar 6.

Gambar 6. Hasil running program metodeMonte Carlo

Tampilan hasil pengujian program denganmetode Monte Carlo seperti pada gambar 6.Pengujian dilakukan sama seperti yangpengujian metode Simpson dan analitik. Hasilpengujian nilai fluks magnetik dengan metodeMonte Carlo secara keseluruhan dapat dilihatpada Tabel 3.Tabel 3. Hasil perhitungan Fluks Magnetik

dengan metode Monte Carlo(N=10000)


Monte Carlo(ϕ)

(x 10-7 Wb)

ErrorMutlak(x 10-7)

3,36544185 3,36733332 0,00189147

2,15495531 2,11808640 0,03686891

9,5949862 9,47173540 0,12325080

6,73088371 6,50003752 0,23084619Hasil yang ditampilkan pada Tabel 3 ini

adalah hasil yang diambil secara acak karenapada setiap perulangan pengujian programakan menampilkan hasil pengujian yangberbeda. Dalam setiap pengulangan, hasil yangmuncul selalu mendekati nilai yangdimasukkan dalam Tabel 3.

Pengujian program pendekatan integrasidengan metode Monte Carlo menggunakanjumlah titik acak sebanyak 10.000 titik jugamemperoleh hasil yang mendekati dengan nilaiperhitungan menggunakan metode analitik.Namun, jika dilihat pada hasil diatas nilaipendekatan yang diperoleh masih sedikitberbeda dengan nilai solusi eksak kasus. Nilaierror mutlak terhadap nilai eksak secaraanalitik pada setiap variasi nilai masukkansedikit meningkat ketika nilai input menjadilebih besar.Analisis Hasil dan ErrorKesalahan absolut (Et) adalah nilai sebenarnya(x)dikurangi nilai pendekatan ( ̅ ), dinyatakandengan (Warsito, 2005):= − ̅ (16)

Sedangkan perhitungan nilai error relatif.Menggunakan nilai kesalahan absolut dibagidengan nilai sebenarnya dan di kalikan dengan100%. Dapat dilihat pada persamaan (Chapra,2014) berikut:= ̅ × 100% (17)

Perhitungan nilai error relatif dipakai untukmembandingkan hasil solusi secara analitikyang diperoleh antara solusi pembanding dan








3,36544185 3,36485173 0,000590122,15495531 2,15459393 0,000361389,59498620 9,59544329 0,000457096,73088371 6,72970346 0,00118025






Monte Carlo(ϕ)

(x 10-7 Wb)

ErrorMutlak(x 10-7)

3,36544185 3,36733332 0,00189147

2,15495531 2,11808640 0,03686891

9,5949862 9,47173540 0,12325080













3,36544185 3,36485173 0,000590122,15495531 2,15459393 0,000361389,59498620 9,59544329 0,000457096,73088371 6,72970346 0,00118025






Monte Carlo(ϕ)

(x 10-7 Wb)

ErrorMutlak(x 10-7)

3,36544185 3,36733332 0,00189147

2,15495531 2,11808640 0,03686891

9,5949862 9,47173540 0,12325080







solusi pertama dan kedua sertamembandingkan nilai kesalahan dari masing-masing metode komputasi yang digunakan.

Dari hasil perhitungan nilai fluks magnetiksecara analitik dan metode komputasi diatas,dapat dihitung nilai error relatif dari setiapmetode pendekatan yang digunakan pada Tabel4.Tabel 4. Hasil perhitungan Error relatif

menggunakan metode Simpson danmetode Monte Carlo

Nilai Masukkan Simpson (%) Monte Carlo(%)R=0,1m;H=0,1m 0,017537771 0,056202724R=0,1m;H=0,2m 0,016772534 1,710889772R=0,2m;H=0,1m 0,004763615 1,284533374R=0,2m;H=0,2m 0,017537920 3,429656490

Perbandingan nilai error relatif denganmenggunakan metode simpson dan MonteCarlo pada Tabel 4 memakai hasil analitiksebagai pembanding untuk membandingkannilai pendekatan menggunakan program. Hasilpada Tabel 4 menunjukkan bahwa hasilpendekatan nilai fluks magnetik menggunakanmetode Simpson memiliki nilai yangmendekati hasil dari solusi analitik dengan nilaierror relatif berkisar antara 0,004763615 % -0,017537920 %. Sedangkan untuk hasilpendekatan dengan metode Monte Carlodiperoleh perhitungan nilai error relatif padakisaran 0,056202724 % - 3,429656490%.

Metode komputasi baik Simpson maupunMonte Carlo terbukti memiliki hasil yangakurat dengan error relatif dibawah 5%. Secarakomputasi hasil ini sudah sangat baik. Errorpendekatan nilai flux magnetik denganmenggunakan metode Monte Carlo terlihatsedikit lebih besar dibanding dengan metodeSimpson. Hal tersebut dapat dipahami karenaMetode Simpson menggunakan dasar formulasiyang sudah stabil, sementara metode MonteCarlo memanfaatkan bilangan acak yang dalamprosesnya menyimpan potensi hasil yang jugaacak.

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan,dapat disimpulkan bahwa fluks magnetik padaluasan berbentuk lingkaran di sekitar kawatberarus dapat dicari dengan solusi analitik padapersamaan (8). Hasil perhitungan dengan i =10A dan variasi kombinasi nilai R=0,1 dan 0,2

serta H=0,1 dan 0,2 berturut-turut adalah3,36544185 x 10-7 Wb; 2,15495531 x 10-7 Wb;9,59498620 x 10-7 Wb; 6,73088371 x 10-7Wb.Hasil implementasi persamaan (7) padaprogram komputasi numerik menggunakanmetode Simpson dengan variasi kombinasidiatas berturut-turut adalah 3,36485173 x 10-7Wb; 2,15459393 x 10-7 Wb; 9,59544329 x 10-7Wb; 6,72970346 x 10-7 Wb. Sedangkan denganmetode Monte Carlo hasilnya berturut-turutadalah 3,36733332 x 10-7 Wb; 2,11808640 x10-7 Wb; 9,47173540 x 10-7 Wb; 6,50003752 x10-7 Wb. Nilai error relatif pada variasikombinasi menggunakan metode Simpsonberturut – turut adalah 0,017537771%;0,016772534 % ; 0,004763615 %;0,017537920 %. Sedangkan dengan metodeMonte Carlo berturut-turut adalah 0,056202724%; 1,710889772 %; 1,284533374 %;3,429656490 %. Dari hasil pengujian dan nilaierrorrelatif diketahui bahwa nilai pendekatankomputasi simpson lebih mendekati nilai eksakdibanding dengan pendekatan Monte Carlo.

DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, M. 2006. Diktat Kuliah Fisika DasarII. FMIPA-ITB : Bandung.

DeVries, P. L. 1994. A First Course inComputational Physics. John Wiley &Sons, Inc. : New York.

Chapra, S.C., &R.P. Canale. 2014. NumericalMethods for Engineers 7th Edition.McGraw-Hill Education : New York.

Munir, R. 2013. Metode Numerik. Informatika :Bandung.

Murthy, K.P.N. 2000. An Introduction forMonte Carlo Simulations in StatisticalPhysics. Indira Gandhi Centre for AtomicResearch : Kalpakkam.

Satriawan, M.. 2012. Fisika Dasar.http://mirza.staff.ugm.ac.id/fisdas/FisdasbookI.pdf. Diakses tgl 16 Juni 2016

Serway, R.A., &J.W. Jewet. 2008. Physics forScientists and Engineers 6th Edition.Thomson Brooks/Cole : New York.

Soegeng, R. 1996. Komputasi Numerik denganTurbo Pascal. ANDI : Yogyakarta

Spiegel, M.R., S. Lipschutz, &J. Liu. 2009.Mathematical handbook of Formulas andTables 3rd Edition. McGraw-Hill : NewYork.

Warsito, A. 2009. Fisika Komputasi. ModulBahan Ajar Fisika FST Undana.

Documents

Komparasi Solusi Kasus Fluks Magnetik di Sekitar Kawat Berarus … · 2020. 5. 4. · Analisis Komputasi Analisa Komputasi dalam bentuk perancangan flowchart (d iagram alir) sebagai