KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I - Mathematik … · Mathematik macht Freu(n)de Trigonometrie, I Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann modellhaft mittels einer Gerade

Mathematik macht Freu(n)de Trigonometrie, I

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

1. Aufgabenstellungen

Aufgabe 1.1. Erkläre, warum die beiden dargestellten Dreiecke ähnlich zueinander sind und be-rechne die fehlenden Seitenlängen x und y.

x

11

1428

y

10

α

β

α

β

Aufgabe 1.2. Um die Breite von schmalen Fugen zu messen, kann ein Messkeil verwendet werden:

10 mm

42 mm

250 mm

Berechne die Breite der abgebildeten Fuge.

Aufgabe 1.3.

w x

h

z y

·α β

γδ

sin(α) = sin(β) = sin(γ) = sin(δ) =

cos(α) = cos(β) = cos(γ) = cos(δ) =

tan(α) = tan(β) = tan(γ) = tan(δ) =

Datum: 20. April 2017.

1


Aufgabe 1.4. Vom dargestellten Dreieck sind a = 7 cm und b = 4 cm bekannt.Berechne die Länge von c und hc, die Winkel α und β sowie den Flächeninhalt A.

Aufgabe 1.5. Vom dargestellten Dreieck sind α = 65◦ und hc = 22 m bekannt.Berechne die Länge von a, b und c, den Winkel β sowie den Flächeninhalt A.

Aufgabe 1.6. Vom dargestellten Dreieck sind die Längen der Seiten x und y bekannt. Gib eineFormel zur Berechnung des Winkels β an.

β =

Aufgabe 1.7.

Ein Tennisspieler trifft beim Aufschlag den Ballin einer Höhe von 2,3 m im Punkt A genau überder Mitte der Grundlinie. Er visiert den PunktB (Mitte der Aufschlaglinie) an. Um nicht insNetz zu gehen, muss der Ball das Netz in einerHöhe von mindestens 1 Meter (über dem Boden)überqueren.

2


Die Flugbahn des Tennisballes beim Aufschlag kann modellhaft mittels einer Gerade beschriebenwerden.

Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Aufschlag über das Netz geht.

Aufgabe 1.8. Von einer neuen Parkanlage sieht man die Spitze des 51 m hohen Stadtturmsunter dem Höhenwinkel α = 38,2◦.

Berechnen Sie, um wie viel Meter man sich dem Stadtturm entlang der Strecke PF nähern muss,damit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist.

1.1DiebeidenDreieckehabenzweigemeinsameWinkel,dahermussauchderdritteWinkelinbeidenDreieckenüberein-stimmen(γ=180◦−α−β).DieSeitenlängenbetragenx=5undy=22.

1.21,68mm1.3sin(α)=

h

z,sin(β)=

h

y,sin(γ)=

x

y,sin(δ)=

w

z

cos(α)=w

z,cos(β)=

x

y,cos(γ)=

h

y,cos(δ)=

h

z

tan(α)=h

w,tan(β)=

h

x,tan(γ)=

x

h,tan(δ)=

w

h1.4c=8,062...cm,hc=3,472...cm,α=60,25...◦,β=29,74...◦,A=14cm2

1.5a=52,05...m,b=24,27...m,c=57,43...m,β=25◦,A=631,8...m2

1.6β=arccos(xy

)1.7BeimNetzhatderBalleineHöhevonrund0,80m.DerBalllandetalsoimNetz.1.8PB=52,47m

3


2. Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei parallele Geraden werden von einer dritten Gerade geschnitten:

==

α

Der gleiche Winkel α kommt noch drei Mal in der Skizze vor. Zeichne diese Winkel ein. DerartigeWinkel nennen wir Parallelwinkel oder Z-Winkel.

Erkläre anhand der Skizze, warum die Winkelsumme in jedem Dreieck 180◦ beträgt.

Konstruiere ein Dreieck mit Winkeln α = 40◦ und β = 60◦.Begründe, warum die Lösung nicht eindeutig ist.Ist der dritte Winkel γ in jeder Lösung gleich groß?

Zwei Dreiecke heißen zueinander ähnlich, wenn sie dieselben Winkel haben:Schreibweise: ∆ABC ∼ ∆A′B′C ′

4


α α

γ

γ

ββ

c c′

b

b′

a

a′

A B

C

A′ B′

C ′

Zwei verschiedene Dreiecke enthalten beide die Winkel α und β.Erkläre, warum die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sein müssen.

Beispiel 2.1. Miss die Seitenlängen der beiden oben dargestellten Dreiecke ab.

a = a′ =

b = b′ =

c = c′ =

Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Seitenlängen erkennen?

Das ist kein Zufall! Tatsächlich kann man beweisen, dass in ähnlichen Dreiecken die entsprechendenSeitenlängen im selben Verhältnis zueinander stehen:

(1) a′

a= b′

b= c′

c= k (= 2 im obigen Beispiel)

Ein geometrischer Beweis dafür befindet sich in Abschnitt 5.Zusammengefasst: In ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel gleich groß, während dieentsprechenden Seitenlängen um den gleichen Faktor k gestreckt (k > 1) oder gestaucht (k < 1)werden. Sind die entsprechenden Seitenlängen gleich lang (k = 1), nennt man die Dreiecke nicht nurähnlich, sondern auch kongruent.

5


Beispiel 2.2. Die beiden dargestellten Dreiecke sind ähnlich zueinander:

313

5

12

a

b

·

·

Berechne die fehlenden Seitenlängen a und b.

Lösung. Anhand der Winkel finden wir die einander entsprechenden Seiten (markiere sie mit dreiunterschiedlichen Farben):

5↔ 3 12↔ a 13↔ b

Wir berechnen die fehlenden Seitenlängen:35 = a

12 =⇒ a = 12 · 35 = 7,2

35 = b

13 =⇒ b = 13 · 35 = 7,8

�

Beachte beim Aufstellen der Gleichung, dass die im Zähler stehenden Seiten stets aus dem gleichenDreieck stammen, und im Nenner stets die dazu entsprechenden Seiten aus dem anderen Dreieckstehen.

Wir formen die erste Gleichung in (1) folgendermaßen um:a′

a= b′

b⇐⇒ a′ · b = b′ · a ⇐⇒ a′

b′= a

b

Beschreibe anhand der Skizze, was die in ähnlichen Dreiecken geltende Gleichung

a′

b′= a

b

c c′

b

b′

a

a′

aussagt. Gib weitere Beispiele solcher Gleichungen an.

6


3. Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Betrachte die folgenden rechtwinkligen Dreiecke:

·

c

ab

α

c′

a′b′

α

·

Erkläre, warum das Verhältnis von je zwei Seitenlängen im kleinen Dreieck gleich groß wie dasVerhältnis der beiden entsprechenden Seitenlängen im großen Dreieck ist, z.B.:

a

c= a′

c′,

b

c= b′

c′,

a

b= a′

b′.

Das Verhältnis zweier Seiten hängt also nur davon ab, wie groß der Winkel α ist, aber nicht davon,wie groß man das rechtwinklige Dreieck zeichnet. Kennt man den Winkel α, kann man die zugehö-rigen Seitenverhältnisse a

c, bcund a

bdurch eine Konstruktion näherungsweise, aber auch rechnerisch

beliebig genau bestimmen.

Derartige Übersetzungstabellen gab es bereits vor ca. 2000 Jahren1. Heutzutage benötigen wir keineTabellenbücher mehr, am Taschenrechner stehen dafür die drei Winkelfunktionen Sinus sin , Cosinuscos und Tangens tan zur Verfügung. Je nachdem welches Seitenverhältnis man bestimmen möchte,ist eine andere Winkelfunktion notwendig:

Im rechtwinkligen Dreieck haben die drei Seiten spezielle Bezeichnungen. Die dem rechten Win-kel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Umauch die Katheten unterscheiden zu können, erhalten diese die Bezeichnungen Gegenkathete undAnkathete:

α

c

ab

·

β

Kathete a liegt gegenüber von α=⇒ „Gegenkathete von α“

Kathete b liegt am Winkel α an=⇒ „Ankathete von α“

Beachte, dass es im rechtwinkligen Dreieck nicht die Gegenkathete und die Ankathete gibt, sonderndass die Bezeichnungen vom Winkel abhängen, von dem aus die Seiten betrachtet werden.1 Sehnentafel des Ptolemäus [3]

7


Erkläre, welche Seite im obigen Dreieck die Gegenkathete von β und welche die Ankathete vonβ ist.

i) Die Winkelfunktion Sinus übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis von Ge-genkathete zu Hypotenuse:

Winkel αGegenkathete von α

Hypotenuse = sin(α)Sinus Sprechweise: „Sinus von α“

ii) Die Winkelfunktion Cosinus übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis vonAnkathete zu Hypotenuse:

Winkel αAnkathete von α

Hypotenuse = cos(α)Cosinus Sprechweise: „Cosinus von α“

iii) Die Winkelfunktion Tangens übersetzt jeden Winkel in das zugehörige Seitenverhältnis vonGegenkathete zu Ankathete:

Winkel α Gegenkathete von αAnkathete von α = tan(α)Tangens Sprechweise: „Tangens von α“

Zusammengefasst gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck die folgenden Gleichungen:

α

c

ab

·

β

sin(α) = a

c, cos(α) = b

c, tan(α) = a

b.

Beispiel 3.1. Im oben dargestellten rechtwinkligen Dreieck sind der Winkel α = 35◦ sowie dieSeitenlänge a = 4 cm bekannt. Berechne die Länge der beiden anderen Seiten.

Erkläre zunächst, warum diese Angaben ausreichen, um die Seitenlängen undWinkel des Dreieckseindeutig festzulegen. Wie würdest du das Dreieck konstruieren?

8


Lösung. Aus Sicht des Winkels α ist a die Gegenkathete. Das Seitenverhältnis der Gegenkathete azur Hypotenuse c kann mit Hilfe der Sinusfunktion bestimmt werden:

sin(α) = a

c

c · sin(α) = a

c = a

sin(α) = 4 cmsin(35◦) ≈ 6,97 cm

Erkläre, warum jede der folgenden drei Möglichkeiten, um die Seitenlänge b zu berechnen, korrektist:

b =√c2 − a2, b = c · cos(α), b = a

tan(α)

�

Erkläre, warum sin(α)cos(α) = tan(α) gilt.

Überprüfe mit dem Taschenrechner folgende Werte der Winkelfunktionen:

sin(30◦) = 12 , sin(60◦) =

√3

2 , cos(30◦) =√

32 , cos(60◦) = 1

2

Erkläre anhand des nebenstehenden gleichseitigen Dreiecks mit Sei-tenlänge 2, warum kein Taschenrechner zur Berechnung der Wertenotwendig gewesen wäre.

9


Wir haben gesehen, dass sin(30◦) = cos(60◦) und sin(60◦) = cos(30◦) gilt.Erkläre, anhand des folgenden Dreiecks, warum allgemein sin(α) = cos(90◦ − α) gilt:

α

c

ab

·

Wie groß ist der dritte Winkel?

Erkläre, warum sin(45◦) = cos(45◦) = 1√2gilt.

10


Von einem Kreis mit Radius 1 („Einheitskreis“)zeichnen wir nur ein Viertel und wählen amKreisbogen einen Punkt P .

Ausgehend von P konstruieren wir ein recht-winkliges Dreieck: Die Hypotenuse ist die Streckevon P zum Kreismittelpunkt, die Katheten wer-den senkrecht und waagrecht wie nebenstehendeingezeichnet.

i) Erkläre, warum die Länge der senkrechten Kathete stets sin(α) beträgt, unabhängig davonwo am Kreisbogen der Punkt P gewählt wird.

ii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P auf den Winkel α hat.Wie groß bzw. klein kann der Winkel α sein?

iii) Erkläre, welchen Einfluss die Position von P auf die Länge der senkrechten Kathete – alsosin(α) – hat. Wie lang bzw. kurz kann die senkrechte Kathete sein?

iv) Erkläre, warum sin2(α) + cos2(α) = 1 gilt. sin2(α) ist die Kurzschreibweise für sin(α) · sin(α)

Wir haben gesehen, dass es für jedenWinkel α zwischen 0◦ und 90◦ genau einen zugehörigen Sinuswertsin(α) zwischen 0 und 1 gibt. Umgekehrt können wir für jede Zahl zwischen 0 und 1 genau einenWinkel zwischen 0◦ und 90◦ angeben, dessen Sinuswert die gegebene Zahl ist. Diese umgekehrteZuordnungsaufgabe übernimmt die sogenannte inverse Winkelfunktion Arcussinus:

α = arcsin(12

)= 30◦

sin(α) = 12

Arcussinus Sprechweise: „Arcussinus von 12“

Die zugehörige Funktion am Taschenrechner ist sin−1 und kann über 2nd sin erreicht werden.Auch für Cosinus und Tangens existieren analog die Umkehrfunktionen Arcuscosinus und Arcu-stangens.

11


Beispiel 3.2. Im folgenden rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenlängen b = 4 cm und c = 5 cmbekannt. Berechne die Winkel α und β.

α

c

ab

·

β

Erkläre zunächst, warum diese Angaben ausreichen, um die Seitenlängen undWinkel des Dreieckseindeutig festzulegen. Wie würdest du das Dreieck konstruieren?

Lösung. Aus Sicht des Winkels α ist b die Ankathete und c die Hypotenuse. Daher gilt

cos(α) = b

c

α = arccos(b

c

)≈ 36,87◦

Erkläre, warum die folgenden Möglichkeiten β zu berechnen beide korrekt sind:

β = 90◦ − α, β = arcsin(b

c

)

�

4. Skizzen im Sand

Der Legende nach wurde der griechische Mathematiker Archimedes 212 v. Chr. während der Erobe-rung von Syrakus im zweiten punischen Krieg getötet: Archimedes war gerade dabei mathematischeSkizzen im Sand zu studieren, als er von einem römischen Soldaten unterbrochen wurde. Angeblichsoll er zum Soldaten genervt gesagt haben:

„Störe meine Kreise nicht!“

Es waren der Legende nach seine letzten Worte. . . [2]

12


Im Folgenden sind Formeln und Lehrsätze, die du bestimmt aus der Unterstufe kennst, im Sandskizziert worden. Kannst du sie wiedererkennen?

a

b

a

a

a

b

b

b

a

b b

a

a

b a

a

b

ba

b

a

b

a

b

a

b

b

a

α

α

β

β

13


Beispiel 4.1. Der Wind hat die Beschriftungen einiger Skizzen weggeblasen. Beschrifte alle Seitenund Winkel, und gib gleich langen Seiten bzw. gleichen großen Winkeln den selben Namen.

1)

c

abc

a

b

2) a a

3)60◦

4)

5. Geometrischer Beweis des Strahlensatzes

Theorem 5.1 (Strahlensatz). Werden zwei von einem Punkt C ausgehende Strahlen von zwei par-allelen Geraden geschnitten, so gilt:

1) a

a′= b

b′= c

c′

2) a

a′ − a= b

b′ − b

Erkläre anhand des Strahlensatzes folgende Aussage:„Bei zwei ähnlichen Dreiecken stehen einander entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältniszueinander.“

14


Beweis des Strahlensatzes nach Euklid (≈ 300 v. Chr.) [1].

Erkläre, warum die Dreiecke 4ABA′ und 4ABB′ den gleichen Flächeninhalt besitzen:

Erkläre, warum die Dreiecke 4A′BC und 4AB′C den gleichen Flächeninhalt besitzen:

15


i) Erkläre, warum b · hb = a · ha gilt.

ii) Erkläre, warum b′ · hb = a′ · ha gilt.

iii) Folgere, dass a

a′= b

b′gilt.

Um b/b′ = c/c′ zu zeigen, verschieben wir das kleine Dreieck so parallel, dass der Eckpunkt A imEckpunkt A′ zu liegen kommt:

Erkläre, warum nun die Gleichung b

b′= c

c′folgt.

16


Für den zweiten Teil des Strahlensatzes betrachten wir den Kehrwert der Brüche:a′ − aa

= a′

a− a

a︸︷︷︸=1

= b′

b− b

b= b′ − b

b

Bildet man den Kehrwert auf beiden Seiten, erhält man den zweiten Teil des Strahlensatzes:a

a′ − a= b

b′ − b�

6. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 6.1. Eine geradlinige Straße hat eine konstante Steigung von 12%.

1) Berechne den Steigungswinkel ϕ.2) Welchen Höhenunterschied h überwindet ein Fahrzeug, wenn es

2 km fährt?3) Welche Strecke a legt es in horizontaler Richtung zurück, wenn

es 750 m fährt? Wie lang dauert die Fahrt bei einer konstantenGeschwindigkeit von 30 km/h?

Steigung:

h

a= 12% = 0,12

Aufgabe 6.2. Pac-Man ist ein Videospiel, das 1980 veröffentlicht wurde. Die SpielfigurPac-Man muss Punkte in einem Labyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird.

– Veranschaulichen Sie cos(α) in der Abbildung.

– Berechnen Sie den Flächeninhalt von Pac-Man mit Ra-dius 1 cm und α = π

5 rad.

17


Aufgabe 6.3.

Aufgabe 6.4. Von zwei ähnlichen Dreiecken mit Seitenlängen (11, 14, x) bzw. (10, 28, y) sinddie beiden fehlenden Seitenlängen gesucht. Vergleiche die Aufgabenstellung mit Aufgabe 1.1 undbegründe warum es auch eine zweite Lösung gibt.

6.11)ϕ≈6,84◦2)h≈238m3)a≈745m,t=90s6.2A=4

5·π=2,513...cm2

6.326,89...%,tan(α)=v

w,sin(α)=v

u,lneu≈584mm6.4NebenderZuordnung(x,11,14)↔(5,y,28)mitderLösung(10,11,14)↔(5,22,28)ausAufgabe1.1istohne

vorgegebeneSkizzeaberauchdieZuordnung(x,11,14)↔(10,28,y)mitLösung(3,92...,11,14)↔(10,28,35,63...)möglich.EsgibtkeineweitereLösung:DadiebekanntenSeitenlängennichtimgleichenVerhältniszueinanderstehen,isteineZuordnungx↔ynichtmöglich.EineZuordnungx↔28führtzueinerSeitenlängey,diekürzerals14seinmüsste.WegenderDreiecksungleichungmussyjedochlängerals18sein.

Literatur

[1] Euclid: Euclid’s Elements. ≈ 300 BC[2] Pickover: Archimedes to Hawking: laws of science and the great minds. Oxford University Press Inc., 2008[3] Scriba ; Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer-Verlag Berlin, 2001

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