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Kompetenzorientierter Mathematikunterricht
Logisch-deduktiv strukturieren
Eine kognitive Herausforderung(Am Beispiel der Elementargeometrie)
H. Freudigmann
2009
1
Inhalte strukturieren – Wie ?
Lernen Begründen Problemlösen Kommunizieren
Überfachliche Kompetenzbereiche imBildungsplan 2004
Lernen (von Verfahren)
Denken (Inhalte ?)
Gekennzeichnet durch
Anwenden (von Sätzen)
Sprechen,Schreiben,Zeichnen,
Hören
2A Einführung
„Natürliche“ Strukturierung der Mathematik
Einzigartig für die Mathematik:
Mathematik kann man axiomatisch-deduktiv ordnen
Das ist mehr als z.B. den Pythagoras zu kennen.
Das betrifft das „Ganze“ der Mathematik, ihren Kern.
3A Einführung
Beispiel - Kompetenzstufen
4
A
B
C
D
Stufe 1: Parallelgramm, weil es so „aussieht“.
Stufe 2: Parallelogramm, weil Eigenschaften benannt und geprüft werden, z.B. durch nachmessen.
A Einführung
5
P●
A
B
C
D
Stufe 3: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Punktspiegelung
Stufe 4: Definierende Eigenschaften werden nachgewiesen. Beweismittel: Satz vom Wechselwinkel.
A
B
C
D
α1
α3
α2
Beispiel - Kompetenzstufen
A Einführung
Beispiel - Kompetenzstufen
6
A
B
C
D
Stufe 5: Zielgerichtetes, strukturiertes Vorgehen.
„Ich will Parallelität nachweisen, muss also argumentieren mit: S.v.Stufenwinkel, S.v.Wechselwinkel, Kongruenzsätzen,S.v.Parallelogramm, Strahlensätze, S.d.Pythagoras (?), . .
A Einführung
7
Geometrie –Wissenschaftliche Bedeutung
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Empirie
Induktiver Weg zur Wahrheit
Denken
Deduktiver Weg zur Wahrheit
Welche Wahrheit ? Was ist Wahrheit ?
Ist die Winkelsumme im Dreieck wirklich 360° ?
Begründungsbasis I
8B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Die anschauliche Verwendung von Kongruenzabbildungenund ihrer Eigenschaften bilden die erste Begründungs-basis der Schulgeometrie am Anfang der Klasse 7.
Wenn Winkel achsen- oder punktsymmetrisch liegen, dann sind sie gleich weit.Wenn Strecken achsen- oder punktsymmetrisch liegen,dann sind sie - gleich lang - parallel.
Begründungsbasis II Nebenwinkelsatz Scheitelwinkelsatz Stufenwinkelsatz² Wechselwinkelsatz² Satz von der
Mittelsenkrechten ²
9B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
S.v.d. Winkel-halbierenden²
S.v. gleichschenkligen Dreieck²
Satz vom Parallelogramm²
S.v.d. Mittelparallelen
im Dreieck ²Satz und Kehrsatz
Logische Struktur beim Schließen von I auf II
10B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
AchsensymmetriePunktsymmetrie Verschiebung
S.v.d.Mittelsenkr.S.v.d.Winkelhalb.
S.v.Scheitelw. S.v.Stufenw.
S.v.gleichsch.Drei S.v.Wechselw.
S.v.Parallelogr. ;S.v. Mittelparallele im Dreieck
Logische Struktur: Erste Beweise mit II
11B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
S.v.d.Mittelsenkr.S.v.d.Winkelhalb.
S.v. UmkreisS.v.Inkreis
S.v.Stufenw. S.v.Wechselw.
S.v.gleichschenkl.Dreieck
Winkelsummeim Dreieck
S.d.Thales
Zusätzliche Begründungsbasis:Kongruenzsätze
12
A´
C´
B´
AB
C
x
x
x
Beweis mit KGS einfach
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Man braucht eine Auswahl von Beweismitteln
R
P D C
BA
Q
Gesamtübersicht: Geometrie
13B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
I Abbildungen bzw. Symmetrie
II Stufenwinkel, . . . .
III Winkelsumme, Thales, . . . .
IV KGS Kongruenzgeometrie Zentrische Streckung
Strahlensätze Ähnliche Dreiecke
Kompetenzen Begründen - Probleme
lösen
14
Die Kompetenzen Begründen (deduktiv denken) und Probleme lösen (Sätze anwenden) haben gemeinsame Wurzeln.
Problem:Zeige a = b
S.v. gleichschenkligen Dreieck
S.v. Mittelsenkrechten
Kongruenzsätze
S.v. Parallelogramm
S.d. PythagorasB Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Kompetenzen Begründen - Probleme
lösen
15
Problem:Zeige α=β
S.v. gleichschenkligen Dreieck
S.v. Stufenwinkel
S.v. Wechselwinkel
S.v. Parallelogramm
Kongruenzsätze
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Kompetenzen Begründen - Probleme
lösen
16
Problem:Zeige α║β
S.v.d.zentrischen Streckung
S.v. Stufenwinkel
S.v. Wechselwinkel
S.v. Parallelogramm
Strahlensatz (Umkehrung)
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Ähnlichkeitssätze
Kompetenzen Begründen - Probleme
lösen
17
Problem:Zeige a:b = x:y
Ähnlichkeitssätze
S.v.d. zentrischen Streckung
Strahlensätze
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Grundlegende Zusammenhänge
18B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Gleiche Winkelweiten
Gleiche Streckenlängen
Parallelität
Streckenver-hältnisse
S.v.gleichsch. Dreieck
Stufen-Wechselwinkel S.v.Parallelogramm
Strahlensätze
Vergleiche:Beweisen
mit Vektoren
Im Unterricht: Beweismittel offenlegen
19
S.v. Stufenwinkel 1
g║h → α = βS.v.Wechselwinkel
2
g║h ← α = β
S.v.Wechselwinkel 1
g║h → α = β
S.v.Scheitelwinkel
α = β
S.v. Nebenwinkel
α + β = 180°
S.v. Stufenwinkel 2
g║h ← α = β
Das Beweisen und Probleme lösen zum Thema machen.Anleitung: Wie beweist man (löst man Probleme) ?Beweismittel (Problemlösemittel) sind präsent.
Beweis-mittelpräsentaufPlakaten
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
Hohe Kompetenzstufe:Strategisches Denken
20
A
B
P
Mh
g
Zeige: AP = BP
A
B
P
M
g
B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
A
B
P
M h
g
Gibt esKongruente Dreiecke ?
Gibt es gleich-schenkligeDreiecke ?
Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)
21B Strukturierung: Begründen und Problemlösen
1 (Material S. 12 – 16) a) Welche Beweismittel der Elementargeometrie sollen den Schülern in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils zur Verfügung stehen ?b) Wie stellt sich der deduktive Zusammenhang dieser Beweismittel dar ?(Zum Beispiel: Werden z.B. die KGS anschaulich oder mittels Kongruenzabbildungen begründet ? )
2 (Material S. 23-24)Über welche Strategien für das Beweisen und Problemlösen in der Elementargeometrie sollen die Schüler in den Klassenstufen 6 (7, 8, 9, 10) jeweils verfügen ?
Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte
22
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben.Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben.
C Umsetzungsbeispiele
Logisch nicht befriedigend:
Unklar beleiben:Wie ist Mittelsenkrechte festgelegt ?Wie wird sie verwendet ? (Was ist der Sinn des Begriffs?
Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte
23
Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist.
Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.
Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von AB.
C Umsetzungsbeispiele
Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte
24
Definition: Zu einer Strecke AB heißt eine Gerade m Mittelsenkrechte, wenn sie durch die Mitte von AB verläuft und zu AB orthogonal ist.Satz 1: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B liegt, dann hat P von A und von B den gleichen Abstand.
C Umsetzungsbeispiele
Beweis: m ist Symmetrieachse von AB. P liegt auf m (Voraussetzung)A und B liegen symmetrisch; AP und BP liegen symmetrisch.Symmetrische Strecken sind gleich lang.
Beweismittel: a)Die MS einer Strecke ist Symmetrieachse der Strecke.b)Symmetrisch liegende Strecken sind gleich lang. m
P
B
A
Im Unterricht: Die Mittelsenkrechte
25
Satz 2: Wenn ein Punkt P von zwei Punkten A und B den gleichen Abstand hat, dann liegt P auf der Mittelsenkrechten m von A und B.
C Umsetzungsbeispiele
Beweis mit Kontrainduktion: Liegt Q nicht auf m, dann AQ≠BQ QR + RB > QB (Dreiecksungleichung) und RA = RBDeshalb QR + RA > QB, Deshalb AQ > BQ.
Diese Begründung ist nur mit erheblichen formalen Abstrichen in der Schule zu leisten.
m
P
B
A
R
Q
Im Unterricht: Umkreismittelpunkt
26C Umsetzungsbeispiele
Satz 1: Wenn U der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC ist, dann hat U von allen drei Ecken A, B, C denselben Abstand.
U
C
BA
Welche Sätze werden verwendet ?a)P auf m → AP = B oder / undb) AP = BP → P auf m
Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb
Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)Aus AU = BU und AU = CU folgtAU = BU = CU.
Begründungs-kompetenz
Kommunikations-kompetenz
Im Unterricht: Umkreismittelpunkt
27C Umsetzungsbeispiele
Satz 2: In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenk- rechten in einem gemeinsamen Punkt.
U
C
BA
Welche Sätze werden verwendet ?a)P auf m → AP = B oder / undb) AP = BP → P auf m
Beweis: U sei Sch.p. von mc und mb
Da U auf mc liegt, ist AU = BU (a)Da U auf mb liegt, ist AU = CU (a)Daher BU = CUDaher liegt U auf ma (b)
Begründungs-kompetenz
Kommunikations-kompetenz
28
Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)3 (Material S. 27 – 30)Am Beispiel Mittelsenkrechte / Satz vom Umkreis:Welches Niveau streben wir bei der Ausprägung der Begründungskompetenz an im Hinblick auf- die Formulierung der Sätze ? - die genaue Identifizierung der verwendeten Beweismittel ? - die schriftliche Dokumentation einer Begründung / eines Beweises ?
Winkelsumme schülerzentriert 1
29
70° 40°
1.Berechne möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel
2.Beschrifte möglichst viele in der Figur vorkommende Winkelmit α, β, γ.
α β
γ
3. Wie kann man nachweisen, dass α+β+γ = 180° ist ?
C Umsetzungsbeispiele
Winkelsumme schülerzentriert 2
30C Umsetzungsbeispiele
S.v. Stufenwinkel 1
g║h → α = βS.v.Wechselwinkel
2
g║h ← α = β
S.v.Wechselwinkel 1
g║h → α = β
S.v.Scheitelwinkel
α = β
S.v. Nebenwinkel
α + β = 180°
S.v. Stufenwinkel 2
g║h ← α = β
4.Wie beweist man die Behauptung mit den angegebenen Sätzen ?
Beliebiges Dreieck
Winkelsumme Viereck
31
A B
C
D
βα
δ1
δ
γ
δ2
δ2´´ β´
α´
Kein Wechsel der Beweisstrategie !
δ wird in δ1 und δ2 aufgeteilt. δ2 = δ2´ und α = α´ und β = β´ (Wechselwinkel an Parallelen)Ecke C: δ2 + γ + β = 180° . Ecke D: α +δ1 = 180° α + β + γ + δ = 360°
C Umsetzungsbeispiele
Blick über den Tellerrand
32
M1
M2
c1
c2
S
P
T
Q
Abbildung 1
lNeue Abituraufgaben in Holland (seit 2002) zur Überprüfung der Begründungs- und Problemlöse-Kompetenz.Beweismittel: Begründungsbasis I, II, III
Frage 1 (5 Punkte)Beweise, dass die Punkte P,Q und S auf einem Kreis liegen.
C Umsetzungsbeispiele
33
Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)
4 (Material S. 35 – 36)Bis zu welchem Niveau streben wir Aufgaben zur Begründungskompetenz und Problemlösekompetenz in Klassenarbeiten an ? Welche Aspekte sind für die Bewertung relevant ?
Logik-Lehrplan
34D Logik-Lehrplan
Bildungsplan 2004 (unter Begründen) elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden
Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden
in mathematischen Kontexten Vermutungen entwickeln, formulieren und untersuchen.
gleichartige Strukturen erkennen, verallgemeinern und spezialisieren
Logik-Lehrplan 1
35D Logik-Lehrplan
Der Schüler
1a. weiß, dass ein math. Satz die Form „Wenn [A], dann [B] “ b. kann zwischen „für alle“ und „es gibt“ –Aussagen unterscheiden c. versteht den logischen Gehalt eines Satzes
2a. kann zu einem Satz die Umkehrung bilden. b. weiß, dass von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die Wahrheit der Umkehrung geschlossen werden kann.
3a. kann den Umfang einer Definition bestimmen. b. kann zwischen Ober- und Unterbegriff unterscheiden.
4. kennt die Bedeutung eines Beispiels / eines Gegenbeispiels.
5. kann lokal deduktiv denken.
Logik-Lehrplan 2
36D Logik-Lehrplan
Der Schüler
6. kennt die Beweismethode der Kontraposition.
7. Kennt die Beweismethode „Beweis durch Widerspruch“.
8. kennt den Unterschied zwischen mathematischer Wahrheit und naturwissenschaftlicher Wahrheit
Das ist in der Schule kaum zu leisten:
37
Fachkonferenz: Arbeitsauftrag(Vorschlag)
5 (Material S. 37 – 40)Welche Aspekte eines Logik-Lehrplanes wollen wir im Mathematikunterricht fördern und einfordern ? Was erwarten wir jeweils in welcher Klassenstufe ?