KOMPLETTERING AV MA1202

Versionsdatum: 2012-06-13

LINJÄR ANPASSNING

2

2

LINJÄR ANPASSNING

82 xy

VAD HETER DENNA LINJE?

EKVATIONSSYSTEM MED 3 OBEKANTA

34314

3058

726

zyx

zyx

zyx

34314

3058

726

zyx

yzx

zyx

34)3058(314

7)3058(26

zzxx

zzxx

Omskrivning av rad 2

Insättning i rad 1 & 3

EKVATIONSSYSTEM MED 3 OBEKANTA

34)3058(314

7)3058(26

zzxx

zzxx

3490152414

76010166

zzxx

zzxx

3901138

760922

zx

zx

931138

67922

zx

zx

5

1

z

x 3y

5

3

1

z

y

x

KORT OM KOMPLEXA TAL

N Naturliga tal (0), 1, 2, 3, 4... De positiva heltalen

Z Hela tal Alla hela tal, positiva (Z+) som negativa (Z-)

Q Rationella tal kan skrivas som en kvot mellan två hela tal (Nämnaren ≠ 0)

Irrationella tal Det irrationella talet π t ex har ett exakt värde som inte kanuttryckas med ett ändligt tal och anges därför vanligenungefärligt, approximativt, med 3,14.

R Reella tal De rationella och de irrationella talen tillsammans. Mot varje punkt på tallinjen svarar ett reellt tal.

C Komplexa tal Tal sammansatt av en reell och en imaginär del. Dessa tal har kommit till för att vi skall få ett svar på frågan: Hur mycket är ?1

KORT OM KOMPLEXA TAL

12 x1x

ix

KORT OM KOMPLEXA TAL

biaz Komplext tal z

Realdel Imaginärdel

Re z = aIm z = b

i kallas imaginära enheten och har egenskapen i² = -1

KORT OM KOMPLEXA TALiz 2

iz 2

iz 2

iz iz 23

KORT OM KOMPLEXA TALSkriv som ett imaginärt tal 25

i525

baab

ii 55)1(25)1(25

KORT OM KOMPLEXA TALLös ekvationen xx 18453 2

045183 2 xx

01562 xx

1593 x

63 x

)16(3 x

ix 63

POTENSER

EXPONENTIALFUNKTIONEREtt kapital på 100000 kronor har på fem år vuxit till 190000 kronor.

1,9^(1/5) = 1,13697448881

a) Låt x vara förändringsfaktorn och ställ upp en ekvation.

b) Hur många procents årlig ränta motsvarar detta?

190000100000 5 x

9,15 x

5

1

9,1x 137,1x

Svar: C:a 13,7 % årlig ränta

LOGARITMER

yx 10x kallas för 10-logaritmen för y

1000103 10-logaritmen för 1000 = 3

31000lg

yx lg

LOGARITMER

yx 10 yx lg

LOGARITMERLös ekvationen 10x = 18

Exakt

1810 x

18lgxEtt närmevärde med tre decimaler

255,1xlg(18) = 1,2552725051

LOGARITMLAGARNA

Jämför:

LOGARITMLAGARNA

3lg2lg)32lg()6lg(

lg(6) = 0,778151250384

lg(2)+lg(3) = 0,778151250384

Kontroll med räknare:

LOGARITMLAGARNA

2lg12lg)6lg()2/12lg(

lg(6) = 0,778151250384

lg(12)-lg(2) = 0,778151250384

Kontroll med räknare:

LOGARITMLAGARNA

)6lg(36lg 3

lg(6^3) = 2,33445375115

3 × lg(6) = 2,33445375115

Kontroll med räknare:

LOGARITMER

Lös ekvationen 5x = 8

8lg5lg x

8lg5lg x

5lg

8lgx

lg(8)/lg(5) ≈ 1,292

EXPONENTIALFUNKTIONERAnders sätter in 4000 kr på ett bankkonto med fast ränta. Efter fem århar beloppet vuxit till 4640 kr.

a) Beräkna räntesatsen

46404000 5 x

16,15 x

5

1

16,1x

Svar: Årsräntan är 3 %

03,1x

EXPONENTIALFUNKTIONERAnders sätter in 4000 kr på ett bankkonto med fast ränta. Efter fem århar beloppet vuxit till 4640 kr.

b) Efter hur många år har beloppet fördubblats?

Svar: Beloppet fördubblas efter c:a 23,5 år.

800003,14000 x

203,1 x

2lg03,1lg x

2lg03,1lg x

03,1lg

2lgx lg(2)/lg(1,03) = 23,4497722504

SKALA

Alla sträckor i bilden till höger är dubbelt så stora i den till vänster.

Längdskalan är Skala 1:2

Areaskalan är Skala 1:4

Volymskalan är Skala 1:88

1

2

1

2

13

33

2

1

4

1

2

1

2

12

22

SKALA

Alla sträckor i bilden till höger är dubbelt så stora i den till vänster.

Längdskalan är Skala 1:2

Areaskalan är Skala 1:4

Volymskalan är Skala 1:8

Varje sträcka är dubbelt så lång i den högra figuren

Varje area är fyra gånger så stor i den högra figuren

Volymen av den högra figuren är åtta gånger större än den vänstra.

LIKFORMIGHET MED BEVIS

KONGRUENS

KONGRUENS

AVSTÅNDSFORMELN

AVSTÅNDSFORMELN

Har du sett denna formel förut?

Jo, det är ju Pythagoras sats i ny skepnad

AVSTÅNDSFORMELN

MITTPUNKTSFORMELN

22

4

2

13

x

02

0

2

)3(3

y

Mittpunkten är vid (2,0)

STANDARDAVVIKELSE

STANDARDAVVIKELSE

Ibland ser man grekinskans lilla sigma σ i stället för s som symbol förStandardavvikelse.

NORMALFÖRDELNING

NORMALFÖRDELNING

Ibland ser man grekinskans ”lilla sigma” σ i stället för s som symbol förStandardavvikelse.

NORMALFÖRDELNING

NORMALFÖRDELNING

MODELLERING

MODELLERING

MODELLERING

MODELLERING

1. Tryck STAT + ENTER

2. Mata in x-värdena i L1-kolumnen

3. Mata in y-värdena i L2-kolumnen

4. Nu skall det se ut så här

MODELLERING

5. Tryck 2ND + QUIT

6. Tryck STAT + CALC + ExpReg + ENTER

7. Nu bör det se ut så här:

8. Tryck ENTER

9. Nu bör det se ut så här:

10. Den sökta ekvationen:xy 575,0539