Název školy Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380

Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0374Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK

Číslo a název klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Autor Ing. Pavel Novotný

Číslo materiálu VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_17

Název Komplexní čísla – algebraický tvar

Druh učebního materiálu Prezentace

Předmět Matematika

Ročník 4

Tématický celek Komplexní čísla

Anotace Algebraický tvar komplex. čísel a zobrazení v Gaussově rovině. Početní operace s kompl. čísly

Metodický pokyn Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)

Klíčová slova Komplexní číslo, Gaussova rovina, komplexně sdružené číslo

Očekávaný výstup Žáci jsou schopni provádět početní operace s komplexními čísly a zobrazovat je v Gaussově rovině komplexních čísel

Datum vytvoření 5.7.2012

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

- jsou to všechna čísla, která lze zobrazit v pravoúhlé souřadné soustavě, tzv. Gaussově rovině komplexních čísel, která je tvořena reálnou osou x (Re x) a imaginární osou y (Im y)

Re x

Im y

z = a + bi

a

b

- algebraický tvar komplexního čísla: z = a + bi

a – reálná část k.č.b – imaginární část k.č.

i – imaginární jednotka

- uspořádaná dvojice čísel [a,b] představuje kartézské souřadnice komplexního čísla v rovině

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

- komplexně sdružené číslo k číslu z = a + bi je číslo = a – bi

Re x

Im y

z = a + bi

a

b

= a – bi – b

- čísla z a jsou osově souměrné podle osy x

- absolutní hodnota k.č. - |z| je vzdálenost k.č. od počátku souřadného systému

| z |

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

- sčítání a odčítání k.č. se provádí po částech, podobně i při násobení k.č. reálným číslem

(6 + 5i) + (3 – 3i) = 6 + 3 + (5 – 3)i = 9 + 2i

(6 + 5i) – (3 – 3i) = 6 – 3 + (5 + 3)i = 3 + 8i

3.(6 + 5i) = 18 + 15i

- při násobení a dělení se využívá pravidla i2 = - 1

(3 + 2i).(4 – 5i) =

(6 + 3i).(6 – 3i) =

12 – 15i + 8i – 10i2 = 12 – 7i – 10.(– 1) = 22 – 7i

36 – 18i + 18i – 9i2 = 36 – 9.(– 1) = 45

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

- dělení se provádí tak, že se přepíše do tvaru zlomku a rozšíří se komplexně sdruženým číslem ke jmenovateli

- umocňování se provádí stejným způsobem jako u jiných číselných oborů pro n є N

n - krát

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Příklad 1: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla a číslo zakreslete do Gaussovy roviny

a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (2 + 3i)2 b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 + 2i)

a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (5 + 3i)2 == 12 + 16i – 6i – 8i2 – (25 + 30i + 9i2) = = 12 + 16i – 6i + 8 – 25 – 30i + 9 = 4 – 20i

b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 +2i) == (8 – 6i + 4i – 3i2).(-2 + 2i) = (11 – 2i).(-2 + 2i) =

= – 22 + 22i + 4i – 4i2 = – 18 + 26i

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Příklad 1: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla a číslo zakreslete do Gaussovy roviny

a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (2 + 3i)2 b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 + 2i)

Re x

Im y

z1 = 4 – 20i

z2 = – 18 + 26i 26

- 18

- 20

4

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Příklad 2: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Příklad 2: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla