KONSEP DAN HUKUM PROBABILITAS

STIMIK ASIA Statistika Probabilitas Arif Kamar Bafadal Modul 2

Konsep dan Hukum Probabilitas

KONSEP DAN HUKUM PROBABILITAS

Referensi :Walpole, RonaldWalpole. R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye,

K. 1996. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Prentice Hall. London.

Halaman-1


Konsep dan Hukum Probabilitas 2




Ruang Sampel Dan Perisriwa 4

Perhatikan hasil peluang berikut:Hitung peluang :

P(A) !

n(A) = 4n(S) = 7p(A) = 4/7

Hitung peluang :

P(B) !

n(B) = 4n(S) = 7p(B) = 4/7




P(AUB) !

n(AUB) = 6n(S) = 7p(AUB) = 6/7

Hitung peluang :

P(AB) !

n(AB) = 2n(S) = 7p(AB) = 2/7




P(AUB) !=p(A) + P(B) - P(AB) =(4/7) + (4/7) – (2/7)= 6/7





Contoh Kasus

• Sebuah perusahaan akan membuka 2 cabang baru. Peluang didirikan di Malang adalah 70%, peluang didirikan di Jember adalah 60%, peluang didirikan di Malang dan Jember adalah 50%.

• Hitung peluang kedua cabang dibuka di Bondowoso?????????????



Solusi

• Bagi menjadi 2 peristiwa :• A = peristiwa didirikan di Malang• B = peristiwa didirikan di Jember• Maka ruang sampel pendirian cabang adalah : (AB,

AB,AB, AB)AB = Malang, JemberAB = Malang, Bukan JemberAB = Bukan Malang, JemberAB = Bukan Malang, Bukan Jember ( Bondowoso boleh

kan ..)


1010/9/01

Diagram Venn di bawah terbagi atas 4 daerah :1 = Keduanya di Malang2 = Satu di Malang, satu di Jember3 = Keduanya di Jember4 = Keduanya tidak di Malang dan atau JemberP(daerah 4) = P (A U B)’

A B1 3 42



Hitung P(AUB)’

• P(AUB)’ = 1 – P(AUB)Ingat ada hukum : P(A)+P(A’) = 1, sehingga P(A’) = 1 – p(A)

• P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)• P(AUB) = 70% + 60% – 50% = 80%• P(AUB)’ = 1 – 80% = 20%• Peluang kedua cabang didirikan di Bondowoso

adalah 20%



Dengan cara yang sama, hitung probabilitas :• Kedua cabang di Malang?

P(Malang dan Jember) = 50%, sedangkan P(Malang) = 70%. P(Malang) diartikan bisa ada satu cabang di Malang atau kedua cabang di Malang. P(satu cabang di Malang) = P(Malang dan Jember) = 50%, maka P(Kedua cabang di Malang) = 70% - 50% = 20%

A B1 3 42

• P(A) = 70% meliputi daerah 1 (kedua cabang di Malang) dan daerah 2 (salah satu cabang di Malang)

• P(daerah 2) = 50%, maka P(daerah 1) = 70%-50%=20%



Dengan cara yang sama, hitung probabilitas :

• Kedua cabang di Jember ?Jawaban : 10%

• Minimal salah satu cabang di Malang?Jawaban : 70%

• Minimal salah satu cabang di Jember?Jawaban : 60%

• Minimal salah satu cabang di Bondowoso?Jawaban : 20%



Perhitungan probabilitas secara komputasi dengan generating random number











PELUANG BERSYARAT

Lowongan kerja menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebanyak 100 orang

• Jumlah pelamar 10.000 orang. Berapa peluang bisa menjadi PNS?

• Jawaban : 100 / 10.000 = 1%



• Ujian saringan sebanyak 4 tahap (Administratif, Tes Potensi Akademik, Tes Kompetensi, Tes Wawancara)

• Peserta yang lulus hingga sebelum Tes Wawacara adalah 200 orang

• Peluang menjadi PNS dengan syarat sudah lulus hingga sebelum Tes Wawacara adalah 100 / 200 = 50%



TIPE PEKERJAANTempat Kerja

Indoor Outdoor Total

Alat Kerja

Tanpa Laptop 10 25 35

Dengan Laptop 60 5 65

Total 70 30 100

Dosen, Administrasi

Peternak, Petani, Pencopet (??)



A = Bekerja indoorB = Alat kerja dengan laptop

A B10 60 5

25

Indoor, tanpa laptop

Indoor, dengan laptop

Outdoor, dengan laptop

Outdoor, tanpa laptop



HITUNG PELUANG

• P(A) ?(10+60) / 100 = 70/100

• P(B) ?(60+5) / 100 = 65/100

• P(AB) ?60 / 100

• P(AUB) ?(10 + 60 + 5) / 100 = 75/100



HITUNG PELUANG BERSYARAT

• Apabila sifat pekerjaannya indoor, berapa peluang bekerja dengan laptop ? Bisa ditulis P(B|A) ….P(B|A) = 60 / (10+60) = 60/70

• Apabila sifat pekerjaannya indoor, berapa peluang bekerja tanpa laptop ? Bisa ditulis P(B’|A) ….P(B’|A) = 10 / (10+60) = 10/70



HITUNG PELUANG BERSYARAT

• Apabila sifat pekerjaannya harus menggunakan laptop, berapa peluang tempat bekerja besifat indoor ? Bisa ditulis P(A|B)P(A|B) = 60 / (60+5) = 60/65

• Apabila sifat pekerjaannya harus menggunakan laptop, berapa peluang tempat bekerja besifat outdoor ? Bisa ditulis P(A’|B)P(A’|B) = 5 / (60+5) = 5/65











HUKUM PROBABILITAS TOTAL

• Berdasarkan gambar di samping maka dapat dihitung peluang A adalah :



PELUANG BERSYARAT

• Peluang A dengan syarat B :

• Maka peluang A irisan B :



HUBUNGAN PELUANG BERSYARAT DENGAN TOTAL PROBABILITAS

• Peluang A :

• Peluang bisa dinyatakan :





BENTUK UMUMHUKUM PROBABILITAS TOTAL

• Apabila dalam ruang sampel terdiri atas peristiwa A, B1, B2, B3 dan B4 dan A beririsan dengan B1, B2, B3 dan B4 maka peluang A adalah :



PEMBENTUKAN TEOREMA BAYES

• Peluang B dengan syarat A bisa dihitung dari persamaan (2-18)

• Sementara peluang A irisan B bisa dihitung dengan (2-19)




• Gantikan hubungan pada (2-19) dengan (2-18), maka peluang B dengan syarat A bisa dihitung :

• Dari perhitungan probabilitas total menggunakan peluang bersyarat, diperoleh peluang A :




• Hasil subtitusi dari probabilitas total menggunakan peluang bersyarat terhadap (2-20) diperoleh teorema Bayes :



KASUS

• Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang pak Ali terpilih 0,30, peluang pak Banu terpilih 0,50 sedangkan peluang pak Cokro terpilih 0,20. Kalau pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,80. Bila pak Banu atau pak Cokro terpilih maka peluang kenaikan iuran secara berurutan adalah 0,10 dan 0,40. Seseorang merencanakan masuk menjadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan mengetahui bahwa iuran telah naik. Berapakah peluang pak Cokro terpilih menjadi ketua?



PENYELESAIAN

• Beberapa peristiwa bisa dituliskan :• A = orang terpilih menaikkan iuran• B1 = pak Ali terpilih• B2 = pak Banu terpilih• B3 = pak Cokro terpilih• Peluang pak Cokro terpilih dengan syarat iuran

koperasi naik adalah : P(B3|A). Maka ini bisa dihitund dengan pendekatan aturan Bayes.



PENYELESAIAN

• Dengan Peluang B3 dengan syarat A bisa dihitung :

A)P(BA)P(BA)P(BA)P(BA)|P(B

321

33

• P(B1A) = P(B1).P(A|B1) = (0,30)(0,80) = 0,24• P(B2A) = P(B2).P(A|B2) = (0,50)(0,10) = 0,05• P(B3A) = P(B3).P(A|B3) = (0,20)(0,40) = 0,08• Maka

22.037.008.0

08.005.024.008.0A)|P(B3



PENYELESAIANDengan cara yang sama :

• Peluang pak Ali terpilih dengan syarat telah terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,24/0,37 = 0,65 atau 65%

• Peluang pak Banu terpilih dengan syarat telah terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,05/0,37 = 0,14 atau 14%

• Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik, hasil ini menunjukkan bahwa kemungkinan besar bukan pak Cokro yang sekarang menjadi ketua koperasi tersebut



EVALUASI

• Bila iuran koperasi ternyata tidak naik, berapa peluang bahwa pak Cokro yang terpilih?



JAWABAN EVALUASI• Peluang pak Cokro yang terpilih dengan syarat situasi yang

terjadi adalah iuran koperasi tidak naik adalah : • P(B3|A’)• Maka • P(B1A’) = P(B1).P(A’|B1)

= (0,30)(1-(0,80)) = (0,30(0,20) = 0,06• P(B2A’) = P(B2).P(A’|B2)

= (0,50)(1-(0,10)) = (0,50)(0,90)=0,45• P(B3A’) = P(B3).P(A’|B3)

= (0,20)(1-(0,40)) = (0,20)(0,60)=0,12



JAWABAN EVALUASI

• Peluang B3 dengan syarat A’ bisa dihitung :

)A'P(B)A'P(B)A'P(B)A'P(B)A'|P(B

321

33

• Peluang pak Cokro terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah 19%

19.063.012.0

12.045.006.012.0)A'|P(B3



JAWABAN EVALUASIDengan cara yang sama :

• Peluang pak Ali terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,06/0,63 = 0,10 atau 10%

• Peluang pak Banu terpilih dengan situasi tidak terjadi kenaikan iuran koperasi adalah : 0,45/0,63 = 0,71 atau 71%

• Sehingga bila ternyata iuran koperasi naik, maka peluang terbesar untuk ketua yang terpilih adalah pak Ali

• Sedangkan bila ternyata iuran koperasi tidak naik, maka peluang terbesar untuk ketua yang terpilih adalah pak Banu





LATIHAN-01

• Suatu tes kejujuran yang diberikan kepada seorang tersangka memiliki kehandalan 90% apabila orang tersebut bersalah dan 99% bila orang tersebut tidak bersalah. Dengan kata lain, 10% dari yang bersalah dinyatakan tidak bersalah oleh tes ini dan 1% dari yang tidak bersalah dinyatakan bersalah. Apabila si tersangka adalah bagian dari 5% orang yang bersalah dan tes menyatakan dia bersalah. Berapa peluang orang tersebut bersalah?



LATIHAN-02





LATIHAN-03• Pada suatu acara outbound berkumpul beberapa peserta dari

berbagai suku antara lain : Jawa, Sunda, Madura dan Bugis dengan proporsi masing-masing sebanyak 40%, 30%, 20% dan 10%. Saat acara makan disediakan menu masakan bersayur dan tidak. Peluang mengambil masakan bersayur pada peserta dari Sunda adalah 80%, sedangkan untuk Jawa, Madura dan Bugis memiliki peluang masing-masing 70%, 15% dan 20%.

• Seorang peserta sedang mengambil makanan dari menu tidak bersayur, hitung peluang bahwa peserta tersebut berasal dari suku Sunda?

• Seorang peserta sedang mengambil makanan dari menu bersayur, hitung peluang bahwa peserta tersebut berasal dari suku Madura?



• Independent Events– Two events are independent if one may occur

irrespective of the other

– Event A and B are independent if and only if P[AB] = P[A] P[B]

Independence and Multiplication Rule



• Example:– A1 = sample contains Pb P[A1] = 0.32

– A2 = sample contains Hg P[A2] = 0.16

– sample contains both P[A1A2] = 0.10

– What is the probability of a sample contains Pb will also contains Hg?




• Answer P[A2|A1] = P[A1A2] / P[A1]

= 0.10/0.32 = 0.31 P[A2] = 0.16

A1 and A2 are not independent Independent if

P[A2|A1] = P[A2]




• Let A1, A2, A3, …, An be a collection of events which partition S.

• Let B be event such that P[B] 0• For any events Aj, j = 1,2,3,…,n then

Bayes’ Theorem

n

iii

jjj

APABP

APABPBAP

1

][]|[

][]|[]|[



• Example– Distribusi tipe golongan

darah dalam satu daerah adalah :

• type A = 41%• type B = 9%• type AB = 4%• type O = 46%

• Pada kondisi darurat terdapat peluang kesalahan dalam menentukan tipe golongan darah– tipe O teridentikasi A = 4%– tipe A teridentikasi A = 88%– tipe B teridentikasi A = 4%– tipe AB teridentikasi A = 10%

LATIHAN-04



• Seseorang mengalami kecelakaan lalu lintas dan tipe golongan darahnya teridentifikasi tipe A. Berapa peluang bahwa ini adalah tipe darah yang benar?

Bayes’ Theorem



• Kasus ini akan menghitung Seseorang mengalami kecelakaan lalu lintas dan tipe golongan darahnya teridentifikasi tipe A. Berapa peluang bahwa ini adalah tipe darah yang benar?

• Beberapa peristiwa bisa dinyatakan :A : Golongan darah AB : Golongan darah BAB : Golongan darah AB O : Golongan darah OTA : Seseorang teridentifikasi golongan darah A

Bayes’ Theorem



Bayes’ Theorem

TA

OABB

A OTAABTA

BTAATA

TA = (ATA) (BTA) (ABTA ) (OTA )



• Akan dihitung peluang tipe golongan darah A dengan syarat hasil identifikasi darah adalah A atau P[A|TA] =?

• Diketahui : P[A] = 0.41 P[TA|A] = 0.88 P[B] = 0.09 P[TA|B] = 0.04 P[AB] = 0.04 P[TA|AB] = 0.10 P[O] = 0.46 P[TA|O] = 0.04

Bayes’ Theorem



• Pergunakan hubungan peluang bersyarat

• Bagaimana menghitung P[ATA] dan P[TA] ?? P[ATA] = P[TA|A] P[A] = (0.88)(0.41) = 0.36 P[TA] = P[ATA] + P[BTA] + P[ABTA] + P[OTA]

Bayes’ Theorem

][][]|[

TAPTAAPTAAP



P[TA] = P[ATA] + P[BTA] + P[ABTA] + P[OTA] = P[TA|A] P[A] + P[TA|B] P[B] + P[TA|AB] P[AB] + P[TA|O] P[O] = (0.88)(0.41) + (0.04)(0.09) + (0.10)(0.04) + (0.04)(0.46) = 0.39

• Hasil akhir P[A|TA] = 0.36/0.39 = 0.92

Bayes’ Theorem



LATIHAN-05• An economist believes that during periods of high economic

growth, the U.S. dollar appreciates with probability 0.70; in periods of moderate economic growth, the dollar appreciates with probability 0.40; and during periods of low economic growth, the dollar appreciates with probability 0.20. During any period of time, the probability of high economic growth is 0.30, the probability of moderate growth is 0.50, and the probability of low economic growth is 0.20. Suppose the dollar has been appreciating during the present period. What is the probability we are experiencing a period of high economic growth?



• Our partition consists of three events: high economic growth (event H), moderate economic growth (event M), and low economic growth (event L). The prior probabilities of the three states are P(H) 0.30, P(M) 0.50, and P(L) 0.20. Let A denote the event that the dollar appreciates. We have the following conditional probabilities: P(A | H) 0.70, P(A | M) 0.40, and P(A | L) 0.20.



• Consider 3 special cards below

Example of Conditional Probability: 3 Cards Trick

Randomized& draw oneblue

redblueblue

redred blue

?

Probability of blue bottom = ?

Probability of red bottom = ?



• Probability of blue top faces: P[blue top] = 3/4 • Probability of blue bottom: P[blue bottom] = 1/2• Probability of a card having blue bottom face given

blue top face: P[blue bottom|blue top] = (1/2)/(3/4) = 2/3





Top

Botto

m

Blue Red

Blue

Red 1/6 2/6

1/62/6 1/2

1/2

1/2 1/2 1total

total




blue top

red top

3/6

3/6

blue bottom

blue bottom

red bottom

red bottom

2/3

1/3

2/3

1/3

3/6 x 2/3 = 2/6

3/6 x 1/3 = 1/6

3/6 x 2/3 = 2/6

3/6 x 1/3 = 1/6

P[A] P[B|A] P[AB]

Documents

KONSEP DAN HUKUM PROBABILITAS