26
KONSEP DASAR PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks) Dra. Noeryanti, M.Si 1.

KONSEP DASAR PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks )

  • Upload
    gratia

  • View
    152

  • Download
    12

Embed Size (px)

DESCRIPTION

KONSEP DASAR PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks ). Dra. Noeryanti, M.Si. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

KONSEP DASAR PROBABILITAS(SSTS 2305 / 3 sks)

Dra. Noeryanti, M.Si

1.

Pengantar:

Materi yang akan dibahas dalam pokok bahasan disini

merupakan dasar dari materi teori probabilitas secara

keseluruhan, yang meliputi beberapa pengkajian tentang

percobaan, hasil suatu percobaan, ruang sampel dan kejadian.

Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan

munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan

menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat

daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan

perkalian.

2

3

Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini,

mahasiswa diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori

Probabilitas secara benar.

2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan

yang berkaitan dengan hasil percobaan, ruang sampel,

kejadian, permutasi, kombinasi, dan menghitung titik

sampel

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

4

Daftar Isi Materi:

• Percobaan, Ruang Sampel &

Kejadian

• Menghitung Titik Sampel

5

1.1. Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian

• Data : Semua informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk

aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran.

• Percobaan (Eksperimen): Suatu proses pengumpulan data yang

menunjukan adanya variasi di dalam hasil nya. (proses ini diulang-

ulang dlm kondisi yg sama, dan menghasilkan data)

• Ruang Sampel (S): Kumpulan semua hasil eksperimen. Dan tiap-tiap

unsur dlm ruang sampel S disebut Titik Sampel

• Kejadian (event): Himpunan bagian dari ruang sampel S.

• Ruang Sampel Diskrit : Ruang sampel dimana banyaknya elemen

berhingga atau dpt dihitung sesuai dg bilangan cacah.

• Ruang Sampel Kontinu : Ruang sampel yang memuat semua

bilangan dalam suatu interval

6

Contoh (1.1):

Percobaan: Pelemparan sepasang dadu (merah dan putih)

Hasil : Pasangan ( i , j ); i = titik yg tampak dari dadu merah

j = titik yg tampak dari dadu putih

Ruang Sampel ( S): kumpulan pasangan ( i , j ) dengan

i = 1, 2, … 6 dan j = 1, 2, …., 6

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4)

S

, (6,5), (6,6)

2( ) 6

36

n S

unsur

Misalnya kita tertarik pada kejadian jumlah titik dadu yang tampak adalah

7, dan kejadian adanya titik kedua dadu sama, maka

7

Kita misalkan:

A = kejadian jumlah ttk yg tampak adalah 7

B = kejadian bahwa titik kedua dadu sama

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

Contoh(1.2):

Percobaan: Dalam dua minggu 4 pasien diberi obat. Sembuh dan

tidaknya pengobatan pasien dicatat.

Hasil : Semua pasangan yg mungkin dari ke 4-pasien.

Misalnya, K = kesuksesan dalam pengobatan dan

G = kegagalan dalam pengobatan

Ruang Sampel(S): kumpulan semua pasangan dari hasil eksperimen

8

Misalnya:

Kejadian A = semua pasien akan sembuh

Kejadian B = ada 50% lebih pasien yg sembuh

• Jika menyatakan banyaknya komponen yang muncul dalam

kejadian tersebut

maka:

,

, , ,

, , , , ,

, , ,

KKKK

KKKG KKGK KGKK GKKK

S KKGG KGKG KGGK GKKG GKGK GGKK

KGGG GKGG GGKG GGGK

GGGG

4( ) 2

16

n S

unsur

, , , ,KKKK KKKG KKGK KGKK GKKK

KKKK

( )n S

( ) 1n A

( ) 5n B

9

Contoh(1.3):

Percobaan: terdiri atas lantunan uang logam, bila muncul sisi muka

akan dilakukan lantunan untuk kedua kalinya. Tetapi jika

lantunan pertama diperoleh sisi belakang, lantunan kedua

akan digulirkan sebuah dadu.

Guna mencatat semua unsur dalam ruang sampel S yang

memberikan informasi terbanyak, sebaiknya mencacat secara

bersistem menggunakan diagram pohon seperti gambar 1.1

Hasil : Semua pasangan (i,j), yang muncul pada lantunan

pertama dan lantunan kedua.

Ruang Sampel(S): dari gambar (1.1) diperoleh

{ , , 1, 2, 3, 4, 5, 6}S MM MB B B B B B B

10

Hasil kedua

M

B

1

2

3

4

5

6

Titik Sampel

MM

MB

B1

B2

B3

B4

B5

B6

Hasil pertama

M

B

Gambar (1.1). Diagram pohon untuk contoh (1.3)

11

Definisi (1.1):

Komplemen suatu kejadian A terhadap ruang sampel S, adalah

himpunan yang semua unsur S yang tidak termasuk dalam A.

Dinyatakan dengan

Contoh(1.4):

cA

Dalam contoh (1.3).

Misalnya ,A = kejadian munculnya titik sampel yang sama

= {MM}

Maka

Jika B = {hasil pertama sisi belakang} = {B1, B2, B3, B4, B5, B6},

maka

{ , 1, 2, 3, 4, 5, 6}cA MB B B B B B B

{ , }cB MM MB

12

Definisi (1.2):

Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan “A B”, adalah

kejadian yang memuat semua unsur yang termasuk dalam A,

atau B, atau sekaligus kedua- keduanya.

Contoh(1.5):

Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e }

A B = { a, b, c, d, e } dan B A = { a, b, c, d, e }

disini A B = B ADefinisi (1.2):

Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan “A B”, , adalah kejadian

yang unsurnya termasuk dalam A, dan B.

13

Contoh(1.6):

Misalkan A dan B seperti pada contoh (1.5)

A B = {b, c} dan B A = {b, c}

disini A B = B A

Definisi (1.3):

Dua kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila “A

B= ”, yaitu bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.

Contoh(1.7):

Misalkan A = {a, e, i, o, u} dan B = {r, s, t}

A B =

yaitu A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan, jadi tidak

mungkin muncul serentak.

14

1.2. Menghitung Titik Sampel

Teorema (1.1):

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam -cara, dan setiap

cara pada operasi ke-2 dapat dilakukan dalam -cara, maka

kedua operasi tersebut secara bersama-sama dapat dilakukan

dalam

-cara.

Aturan perkalian ini dapat diperluas sehingga mencangkup banyak

(=k) operasi.

Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan

munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan

menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat

daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan

perkalian.

1n

2n

1 2(n )(n )

15

Contoh(1.8):

Suatu perusahaan perumahan menawarkan untuk calon pembeli

menyajikan beberapa pilihan rumah gaya luar berbentuk

tradisional, spanyol, kolonial dan modern, bertempat di daerah

pusat kota, pantai,dan bukit. Ada berapa banyak pilihan

seseorang pembeli dapat memesan rumah?

Jawab:

= 4; =3

Jadi banyaknya pilihan untuk memesan rumah = ( )( ) = (4)(3)

= 12 macam

• Dapat pula dinyatakan seperti diagram pohon pada Gambar

(1.2)

1n 2n

2n1n

16

Modern

Spanyol

Kolonial

Tradisional

Bukit

Pantai

Pusat Kota

Bukit

Pantai

Pusat Kota

Bukit

Pantai

Pusat Kota

Bukit

Pantai

Pusat Kota

Gambar (1.2). Diagram pohon untuk contoh (1.8)

17

Contoh(1.9):

Seorang langganan ingin memasang telepon dan ia dapat memilih dari

10 warna dekorasi, 3 pilihan panjang kawat sambungan dan 2 jenis

telepon yang diputar atau yang pakai tombol. Ada berapa banyak pilihan

jika seseorang akan memasang telepon tersebut di atas?

Jawab:

= 10; =3; = 2

Jadi banyaknya pilihan jika seseorang akan memasang telepon adalah

( )( )( ) = (10)(3)(2) = 60 macam pilihan

1n 2n

2n1n

3n

3n

18

Definisi (1.4):

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu

kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya

Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k-

elemen dinyatakan dengan simbol atau atau P (n, k)

; Didefinisikan: o! = 1

nkPn kP

Pn k

n!; k n

(n k)!

Contoh(1.10):

untuk n=4 dan k=3 , diperoleh

4 34

244 3

P!

( )!

19

Contoh(1.11):

Ada berapa permutasi yang dapat dibentuk dari himpunan yang

mempunyai 3 anggota yang berlainan.

Jawab:

Misalnya himpunan tersebut adalah H = {a, b, c}

Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Ada 6

susunan yang berlainan. atau

Permutasi yang dapat dibuat adalah = (3)(2)(1) = 6 (susunan yang

berlainan)

Teorema (1.2):

Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berbeda adalah n!

(dibaca n-faktorial)

20

Teorema (1.3):

Banyaknya permutasi n-obyek berlainan yang disusun melingkar

adalah (n-1)!

Contoh(1.12):

Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja

bundar.

Jawab:

Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E

Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini adalah

4! = 24 susunan

21

Teorema (1.4):

Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berlainan jika diantaranya

berjenis pertama, berjenis ke-2, …. ,berjenis ke-k adalah kn1n

2n

1 2 1 2P

n n ,n ,...,nk k

n!

n ! n !...n !

Contoh(1.12):

Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja

bundar.

Jawab:

Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E

Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini

adalah 4! = 24 susunan

22

Contoh(1.13):

Berapa banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam

penyelenggaran pelatihan kerja, untuk 3 penceramah dalam 3

pertemuan bila ke-3nya bersedia memberikan pelatihan setiap hari

selama 5-hari kerja?

Jawab:

Dalam hal ini n=5 dan k=3, permutasi yang dapat dibentuk

adalah

Jadi banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran

pelatihan kerja tersebut adalah 60 macam susunan

5 35 5

5 4 3 605 3 2

! !P ( )( )( )

( )! !

23

Definisi(1.5):

Suatu himpunan bagian yang terdiri dari k elemen yang

diperoleh dari suatu himpunan dengan n elemen disebut suatu

Kombinasi dari n elemen setiap kali diambil k elemen.

Diberi simbol sebagai:

Dengan rumus:

ataun kn n

C C , C(n,k) k k

n kn k

P n!C

k! k!(n k)!

Teorema (1.5):

Banyaknya kombinasi dari n-obyek yang berlainan bila diambil

sebanyak r-sekaligus adalahn n!

r r!(n r)!

24

Catatan:

Dari satu kombinasi dapat disusun k! permutasi, ini berarti bahwa

jumlah permutasi yang diperoleh dari semua kombinasi, sama

dengan k! kali jumlah kombinasinya.

Jadi atau

Teorema (1.6):

Banyaknya cara menyekat suatu himpunan dari n-obyek dalam r-

sel, masing-masing berisi unsur dalam sel-pertama, dalam

sel ke-2, … , dalam sel ke-r adalahrn1n 2n

1 21 2 1 2

rr r

n n!dimana n n n ... n

n ,n ,...n n ! n !...n !

!

! k! !n k

n kP n

Ck (n k)

n k n kP k! C

25

Contoh(1.14):

Berapa banyaknya cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar

hotel, jika tersedia 1 kamar mempunyai 3 tempat tidur sedangkan 2

kamar lainnya mempunyai 2 tempat tidur?

Jawab:

Jumlah seluruh sekat adalah cara

Contoh (1.15) :

Berapa kombinasi dari 4 huruf ABCD, jika diambil 3 huruf ?

Jawab :

Untuk n=4 dan k=3 diperoleh

7 7!210

3,2,2 3!2!2!

4 34! 4!

43! (4 - 3) ! 3! 1!

C

26

Kombinasi Permutasi

ABC ABC ACB BAC BCA CAB CBA

ABD ABD ADB BAD BDA DAB DBA

ACD ACD ADC CAD CDA DAC DCA

BCD BCD BDC CBD CDB DBC DCB

Tabel 1.1. tabel 4 3C

Keterangan:

AB, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA adalah kombinasi-kombinasi yang

sama (lihat baris pertama)