Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas · PDF fileKonsep Dasar Statistik dan Probabilitas Pengendalian Kualitas Statistika Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII October 7,

Konsep Dasar Statistik dan ProbabilitasPengendalian Kualitas Statistika

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

October 7, 2015

Ayundyah (UII) Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas October 7, 2015 1 / 33

Tujuan

Mahasiswa dapat memahami pentingnya ilmu statistik dalam kualitas

Mahasiswa mampu memahami berbagai distribusi probabilitas(normal, hipergeometrik, eksponensial, weibull, poisson, dan binomial)

mahasiswa dapat memahami konsep dasar probabilitas

mahasiswa dapat menerapkan ilmu statistik dan probabilitas dalamkualitas


Statistik sebagai alat dalam kualitas

Sejak awal perkembangan kualitas, para praktisi telahmemperdebatkan pentingnya metode-metode statistik dalammencapai kualitas yang memuaskan.

Tanpa statistik, maka penggambaran penyelesaian mengenai dataakan menjadi sumber malapetaka dalam penerapannya pada berbagaikasus.

konsep penting lainyya adalah variasi atau penyimpangan yangmembahas mengenai tidak adanya dua hal yang sama secarasempurna


Distribusi Probabilitas

Fungsi distribusi probabilitas merupakan rumusan matematika yangberhubungan dengan nilai-nilai karakteristik dengan probabilitas kejadianpada populasiRata-rata dari distribusi probabilitas disebut nilai yang diharapkan


ada dua macam jenis distribusi

1 Continous (untuk data variabel)apabila karakteristik yang diukur dapat membicarakan berbagai nilai(ketepatan pengukuran proses), distribusi probabilitasnya disebutdistribusi probabilitas kontinu. Ada berbagai bentuk distribusiprobabilitas yang biasa digunakan, misalnya distribusi probbailitasnormal, distribusi probabilitas exponensial, dan distribusi probabilitasWeibull.

2 Diskret (untuk data atribut)Apabila karakteristik yang diukur hanya membicarakan nilai - nilaitertentu (misalnya 0,1,2,3), distribusi probabilitasnya disebut dengandistribusi probabilitas diskret. Sebagai contoh, distribusi untukbanyaknya kesalahan pada sampel yang berisi 5 unit merupakandistribusi probabilitas diskret karena kesalahan hanya 0, 1, 2, 3, 4,atau 5. Distribusi probbailitas yang dipakai ada 2 yaitu Poisson danBinomial.


Distribusi Probabilitas Normal

Rumus umum untuk Distribusi Probabilitas Normal:

y =1

σ√

2πe−

(X−µ)2

2σ2

dimana:e = 2,718π = 3,14µ = rata-rata populasiσ = deviasi standar populasi


Contoh

Sebagai contoh, dari pengalaman proses masa lalu disimpulkan bahwawaktu pemadaman bola lampu listrik mengikuti distribusi normal. Sampelyang diuji sebanyak 50 unit bola dengan rata-rata hidup 60 hari dandeviasi standarnya 20 hari. Berapakah kemungkinan bila lampu dapathidup setelah 100 hari ?


Distribusi Probabilitas Eksponensial

Fungsi distribui probabilitas eksponensial adalah

y =1

µe−X

µ


Contoh

Sebagai contoh, waktu antara kegagalan yang berurutan dari suatu alatdiukur dan menghasilkan histogram yang menyerupai distribusieksponensial. rata-rata waktu antara kegagalan tersebut adalah 100 jam.berapakah probabilitas waktu antara dua kegagalan yang berurutan darialat tersebut paling tidak 20 jam ?


Distribusi Probabilitas Weibull

Fungsi Distribusi Weibull adalah:

f (x ; θ, β) =β

θβxβ−1e−( x

θ)β

dengan α =1

θβdimana:α = parameter skalaβ = parameter bentuk



Kurva distribusi Weibull ini akan bervariasi tergantung pada nilai-nilainumerik parameternya.

yang terpenting adalah parameter bentuk β yang menunjukkan modelkurva.

apabila β = 1, 0, maka fungsi Weibull turun sampai denganeksponensial dan apabila β = 3, 5 (dan α = 1 dan γ = 0), Weibullmendekati distribusi normal.


Distribusi Probabilitas Poisson

Apabila probabilitas terjadinya p dari suatu peristiwa adalah konstan untuksetiap n percobaan yang tidak tergantung, probabilitas terjadinya c pada npercobaan adalah

f (c, np) =(np)ce−np

c!

dimana:n = banyanya percobaanp = probabilitas terjadinyac = banyaknya kejadian


Distribusi Probabilitas Poisson

distribusi probabilitas poisson juga dapat membuat perkiraan atauprediksi

distribui poisson digunakan dalam menghitung probabilitas yangberkaitan dengan prosedur pengambilan sampel.

Contoh,Suatu produk sebanyak 300 unit dihasilkan dimana terdapat 2% kesalahan atau kerusakan. Secara acak diambil 40 unit yang dipilihdari 300 unit tersebut sebagai sampel.Berdasarkan tabel distribusipoisson dapat dilihat bahwa nilai np = 40(0,02)=0,8 dengan berbagaivariasi nilai c seperti tabel di bawah ini


Latihan

1 The length of life X, in hours, of an item in a machine shop has aWeibull distribution with α = 0.01 and β = 2. What is theprobability that it fails before eight hours of usage?

2 During a laboratory experiment, the average number of radioactiveparticles passing through a counter in 1 millisecond is 4. What is theprobability that 6 particles enter the counter in a given millisecond?


Jawaban

1 The cumulative distribution function for the Weibull distribution isgiven by

F (x) = 1− e−αxβ

for α, β > 0, danx ≥ 0sehingga

P(X < 8) = F (8) = 1− e−(0,01)82 = 1− 0, 527 = 0, 473

2 Using the Poisson distribution with x = 6 and λt = 4 we have,

p(6; 4) =e−446

6!= 0, 104


Distribusi Probabilitas Binomial

Apabila kondisi pada distribusi Poisson tidak dapat ditemukan, makadistribusi binomial mungkin dapat diterapkan. Apabila probabilitasterjadinya p dari suatu peristiwa konstan pada setiap n percobaan yangbersifat tidak tergantung, maka probabilitas dari c kejadian dalam npercobaan tersebut adalah

n!

c!(n − c)!pcqn−c

dimana :q = 1 - p


Dalam praktek, asumsi bahwa probabilitas terjadinya bersifat konstanberalasan apabila ukuran banyaknya populasi sekurang-kurangnya 10 kaliukuran banyaknya sampel. Distribusi binomial juga dapat digunakan untukmembuat perkiraan atau prediksi.Sebagai contoh, suatu produk terdiri dari 100 unit diserahkan olehpemasok yang telah menguji kualitasnya dan diketahui terdapat 5 %kesalahan. Secara acak diambil 6 unit sebagai sampel dari 100 unit produktersebut. Probabilitas berbagai sampel tersebut tampak seperti Tabel dibawah ini


Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi yang bersifat diskret lainnya adalah distribusi hipergeometrikyang digunakan apabila asumsi pada distribusi poisson dan binomial tidakdapat ditemukan, diskret uniform atau semua nilai memiliki probabilitasyang sama dan multinomial atau apabila dua atau lebih parameterdiobservasi dalam sampel tersebut.Distribusi Probabilitas Hipergeometrik terjadi apabila populasi terbatasdan sampel yang diambil secara acak dilakukan tanpa pengembalianataupenggantian.


Rumusan hipergeometrik disusun dengan tiga kombinasi, yaitu kombinasitotal, kombinasi ketidaksesuaian, dan kombinasi kesesuaian, dandiformulasikan dengan

P(d) =CD

dCN−D

n−d

CNn

dimana:P(d) = Probabilitas dari d unit yang tidak sesuai pada ukuran sampel nCN

n = Kombinasi semua unitCD

d = kombinasi unit-unit ketidaksesuaianCN−D

n−d = Kombinasi unit-unit yang sesuaiN = Banyaknya unit yang dihasilkan (populasi)n = banyaknya unit dalam sampelD = banyaknya unit ketidaksesuaian dalam populasid = banyaknya unit ketidaksesuaian dalam sampelN - D = banyaknya unit sesuai dalam populasin - d = banyaknya unit sesuai dalam sampel


Rumusan tersebut dicapai dari penerapan definisi probabilitas,perkalian sederhana, dan kombinasi - kombinasinya.

Pembilang adalah cara atau hasil pencapaian unit-unit yangtidaksesuai atau hasil pencapaian unit-unit yang sesuai, dan penyebutadalah cara atau hasil yang mungkin secara kesuluruhan.

Simbol - simbol yang digunakan dapat diubah agar lebih tepatdigunakan dalam pengendalian kualitas


Contoh

Contoh, 9 unit produk yang dihasilkan terdapat 3 unti yang mengalamiketidaksesuaian. Berapak probabilitas satu unit yang tidak sesuai pada 4unit sampel yang diambil secara acak ?Dari contoh tersebut tampat bahwa N = 9, D = 3, n = 4, dan d = 1.Sehingga,

P(1) =C 3

1C9−3

4−1

C 94

= 0, 476

Dengan cara yang sama maka P(0) = 0,119, P(2)= 0,357, dan P(3)=0,048. Sehingga jumlah probabilitasnya pasti sama dengan 1.


Latihan

1 Lots of 40 components each are deemed unacceptable if they contain3 or more defectives. The procedure for sampling a lot is to select 5components at random and to reject the lot if a defective is found.What is the probability that exactly 1 defective is found in the sampleif there are 3 defectives in the entire lot?

2


Jawaban

1 Using the hypergeometric distribution with n = 5, N = 40, k = 3,and x = 1, we find the probability of obtaining 1 defective to be

P(1) =C 3

1C40−3

5−1

C 405

= 0, 3011


Konsep Dasar Probabilitas

Probabilitas mempunyai sejumlah persamaan, seperti kemungkinan,kesempatan, kecenderungan, dan sebagainya.

Probabilitas memang menunjukkan kemungkinan terjadinya sutauperistiwa. Apabila peristiwa A dapat terjadi pada Na hasil dari Nkemungkinan dengan kesempatan yang sama, maka probabilitasperistiwa tersebut adalah:

P(A) =Na

N

dimana:P(A) = probabilitas peristiwa A akan terjadiNa = banyaknya hasil dari peristiwa AN = banyaknya hasil yang mungkin terjadi.

Definisi tersebut dapat digunakan apabila banyaknya hasil diketahuiatau banyaknya hasil ditemukan melalui percobaan.


7 teorema probabilitas

Probabilitas ditunjukkan dengan angka antara 1,000 dan 0,000 di mananilai 1, merupakan kepastian bahwa peristiwa akan terjadi dan nilai 0adalah kepastian bahwa perstiwa tidak akan terjadi.


Teorema 2

Teorema 2Apabila P(A) adalah probabilitas bahwa peristiwa A akan terjadi,kemudian probabilitas bahwa A tidak akan terjadi adalah 1,000 - P(A).


Teorema 3

Apabila A dan B adalah dua peristiwa yang bersifat mutually exclusive,sehingga probabilitas bahwa peristiwa A atau peristiwa B akan terjadimerupakan jumlah probabilitas masing-masing.P(A atau B) = P(A)+P(B)Mutually exclusive berarti terjadinya satu peristiwa membuat peristiwa laintidak akan terjadi.Sebagai contoh, apabila dari tigas pemasok, X, Y, dan Z terdapat produkyang mempunyai kesalahan dan tidak adalah sebagai berikut:


Dari 261 unit produk, probabilitas produk yang ditawarkan oleh pemasokX atau Z adalah:P(X atau Z)= P(X) + P(Z) = 53

261 + 77261 = 0, 498 Probbailitas produk

yang salah dari pemasok X atau produk yang sesuai dari pemasok Z adalahP(ks. X atau k.Z) = 3

261 + 75261 = 0, 299

Probabilitas produk yang ditawarkan pemasok Z atau produk yang tidaksesuai dari pemasok X atau produk yang sesuai dari pmasok Y adalah:P(ks. X atau k.Y) = 77

261 + 3261 + 125

261 = 0, 785 = 0, 299


Teorema 4

Apabila peristiwa A dan B tidak bersifat mutually exclusive sehinggaprobabilitas peristiwa A atau B atau keduanya ditentukan dengan :P(A atau B keduanya)= P(A)+P(B)-P(keduanya)Dari 261 unit produk tersebut, probabilitas produk yang ditawarkan olehpemasok X atau produk yang mengalami ketidaksesuaian adalah:P(X atau ks. atau keduanya) = P(X) + P(ks.) - P(X dan ks)= 53

261 + 11261 −

3261 = 0, 785 = 0, 234


Teorema 5

Jumlah probabilitas peristiwa-peristiwa dari situasi yang ada sama dengan1


Teorema 6

Apabila A dan B merupakan dua peristiwa yang bersifat independen, makaprobabilitas keduanya A dan B terjadi merupakan hasil dari probabilitaskeduanya.


Teorema 7

Apabila A dan B merupakan dua peristiwa yang saling tergantung(dependen), probabilitas keduanya A dan B terjadi adalah:P(A dan B) = P(A) x P(B—A)


Documents

Konsep Dasar Statistik dan Probabilitas · PDF fileKonsep Dasar Statistik dan Probabilitas Pengendalian Kualitas Statistika Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII October 7,