1

Jon Vislie, 24..april  ECON 2200 – vår 2007  

Konsumenttilpasning  Jeg gir her hovedtrekkene i grunnmodellen for konsumentens tilpasning og vil kort nevne hvilke implikasjoner noen utvidelser vil ha. Sentrale elementer i en modell for konsumentens tilpasning er: 

• Budsjettbetingelse eller mulighetsområde • Preferanser eller nyttefunksjon • Tilpasningsformål  og  ”strategisk  type”;  her  antar  vi  at  konsumenten 

opptrer som prisfast kvantumstilpasser i alle markeder. • Formålet  vårt:  Etablere  beslutningsregler  for  en  representativ 

husholdning  eller  konsument  som  opptrer  rasjonelt (maksimeringsatferd – gjøre det beste for seg selv gitt omgivelsene.) 

 1. Budsjettbetingelsen og mulighetsområdet (HV: kap 2)  La en konsumkombinasjon være gitt  som:  1 2( , )c c c= , med  to varer; hver   og oppfattes som en kontinuerlig variabel. Videre er inntekt og priser gitt som  , alle eksogene, med en budsjettbetingelse gitt ved  

0ic ≥

1 2, ,m p p

 + ≤1 1 2 2(1) p c p c m  

 Denne gir mulighetsområdet eller budsjettmengden, med gitt inntekt og gitte priser.  Siden vi kan velge  ikke å bruke hele  inntekten, har vi med svakt ulikhetstegn  i  (1). Mulighetsområdet er skravert i figuren under.    

Enh av vare2

2

mp

1

mp

Enh av vare 1

 

2

Budsjettlinjens skjæringspunkt med de aksene er hhv. Det maksimale antall enheter av vare 1 (vare 2) en kan skaffe seg ved å bruke hele inntekten kun på vare 1 (vare 2).   Endring av budsjettlinja (lik randa til mulighetsområdet). Noen egenskaper: 

• Den er fallende • Med stigningstall avledet fra: Langs budsjettlinjen er  1

2 12 2

m pc c

p p= − ⋅ . Dette gir 

2 1 2

1 2 1

,dc p dc p

meddc p dc p

= − − = 1

2

  som  angir  markedsbytteforholdet  mellom  de  to 

varene; antall enheter av vare 2 per enhet av vare 1; dvs. det antall enheter av vare  2  én  enhet  av vare  1  er verdsatt  til. Dette kalles  alternativkostnaden  = opportunity cost. 

• Om priser og inntekt multipliseres med faktoren k; ingen endring. • Om prisen på vare 1 øker, budsjettlinjen blir brattere. • Om  inntekten  øker  for  konstant  prisforhold;  parallellforskyvning  av 

budsjettlinja. • Om begge prisene øker prosentvis like mye; samme som en nedgang i inntekt.  • Med andre ord: Kun er realinntekt og realpris betyr noe. 

 2. Preferanser (HV: kap 3) Preferansene er etablert ved at konsumenten er  i  stand  til på en konsistent måte å rankere forskjellige godekombinasjoner – for å kunne komme opp med ”hva som er best” eller beste valg, uavhengig av hva som er mulig. Innfør det som kalles en preferanseordning, gitt ved symbolet  , som er et uttrykk for ”minst like bra som”, eller ”svakt preferert for” og definert over alle mulige valg. Vi skal tenke oss at konsumenten alltid kan avgjøre om en kombinasjon er bedre enn eller like bra som en annen. Betrakt  to  vilkårlige  godekombinasjoner  c  og  c’  (hver  kombinasjon  er  en  kurv bestående av ulike mengder av de to varene).  Konsumenten kan alltid avgjøre om c foretrekkes strengt framfor c’ ( ), eller at de er like gode – indifferente – gitt som 

'c cc c′∼ , eller om  c′  foretrekkes strengt framfor 

c; dvs.  . c c′ Preferanseordningen antas å oppfylle noen aksiomer: 

• Kompletthet: Kan alltid avgjøre om  'c c  eller  'c c . • Refleksivitet:  c c ; enhver godekombinasjon er minst like god som seg 

selv. • Transitivitet:  Tre  godekombinasjoner  c,c’  og  c’’,  slik  at  om 

' 'c c og c c '' , da er  ''c c  

Hvis  'c c  og  'c c , da må  ; dvs. likeverdige eller indifferente. 'c c∼

3

Vi  kan  da  samle  sammen  alle  godekombinasjoner  som  er  indifferente  til  en indifferenskurve.  Langs  en  slik  kurve  har  vi  alle  de  godekombinasjoner  som  er likeverdige; slike kurver kan ikke skjære hverandre, gitt våre aksiomer.   Hvis vi har  rene goder, skal vi  tegne dem som  fallende kurver, og seinere skal  jeg argumentere med at de er krummet mot origo slik som vist  i  figuren under  (andre eksempler er gitt i kap 4). Hvis vi i tillegg aksepterer et aksiom om ikke‐metning (gir monotone preferanser) og krav til kontinuitet, kan vi tegne enhver indifferenskurve som en ”tynn”, fallende kurve i godediagrammet, med preferanseretning som peker mot nord‐øst – utover, og som er krummet mot origo:  

1U 0U

   Alle  godekombinasjoner  langs  indifferenskurven    er  strengt  bedre  enn  alle kombinasjoner langs indifferenskurven  . 

1U0U

 La oss innføre en rankeringsfunksjon U  som oppfyller følgende krav:  

• Hvis  , da er 'c c∼ ( ) ( ')U c U c=  • Hvis  , da er   'c c ( ) ( ')U c U c>

 Vi  har  samme  nyttenivå  langs  en  indifferenskurve;  dvs.  0

1 2( , )U U c c= ,  der  hvert argument representerer et gode; slik at U selv er voksende i hvert argument. (Vi antar også at den er pen og deriverbar.)  Siden  mer  av  et  gode  gir  høyere  nytte,  vil  en  nytteindifferent godekombinasjonsendring  innebære  mer  at  ett  gode  og  mindre  av  ett  annet.  En indifferenskurve er med andre ord  fallende. Vi antar også at den er krummet mot origo. 

4

Begrunnelse: Fra  0 0 01 2 2 2 1 1 2 1( , ) ( ; ) ( , ( ; ))U U c c c c c U U U c c c U 0= ⇒ = ⇒ = . 

Deriver  mhp.  .  Vi  finner: 1c1

2

2 2

1 2 1 1

0 0Uc

Uc

U U dc dcc c dc dc

∂∂

∂∂

∂ ∂= + ⋅ ⇒ = − <∂ ∂

;  dvs. 

indifferenskurven  er  fallende.  Tallverdien  av  dette  stigningstallet  definerer  den 

marginale  substitusjonsbrøk1  som 1

2

2

1

:Uc

Uc

dcMSB

dc

∂∂

∂∂

− = = >0  .  Den  marginale 

substitusjonsbrøk angir noe om det subjektive bytteforholdet – hvor mange enheter av vare 2 konsumenten maksimalt er villig til å gi opp for å få én enhet til av vare 1. Krummingen  er  begrunnet  ved  at MSB  avtar med  voksende mengde  av  vare  1; stigningstallet blir slakere jo mer vi konsumerer av vare 1.  3. Nytte (HV: kap 4) Det  er  etablert  en  rankeringsfunksjon  som oversetter våre valg  i henhold  til vår preferanseordning. Vi har ikke sagt hva denne er. Vi kan kalle den en nyttefunksjon. 

U

Denne omdanner våre preferanser med hensyn til rankering til en funksjon med de egenskapene  vi  har  vist  over.  Det  er  ikke  noe  her  som  skulle  tilsi  at  selve funksjonsverdien har noen mening. Vi sier at vi har valgt en ordinal nytteskala; bare rankering – at noe er bedre enn noe annet – er viktig, ikke hvor mye bedre. Det siste krever  en målbar  eller  kardinal  nytteskala  som  også  er  nødvendig  når  vi  skal  foreta interpersonelle sammenlikninger. Ved en ordinal skala er vi bare opptatt av de egenskaper ved nyttefunksjonen som bevares selv ved en monotont stigende transformasjon av vår opprinnelig skala. (Om vår rankering kan sammenfattes  i  funksjonen  , vil den også kunne sammenfattes ved hjelp av den stigende transformasjonen 

U( ), ( ) 0F U med F U′ > .)  

Uansett,  det  som  er  viktig  er  selve  rankeringen.  Slike  egenskaper  ved nyttefunksjonen  som  bevares  om  vi  foretar  en  slik  transformasjon,  kaller  vi  en kartegenskap. Indifferenskartet selv er upåvirket; det eneste som skiller er ”tallet” på indifferenskurven. Viktig  her: MSB  er  en  kartegenskap,  og det  er MSB  som  er  av betydning for oss.  Preferansene  til  konsumenten  representeres  derfor  ved  hjel  av  nyttefunksjonen 

  som  vi  antar  er  tilstrekkelig  deriverbar,  og  foreløpig,  at  den  har  positive 

partielle  deriverte  av  første  orden: 1 2( , )U c c

0j

Uc∂

>∂

  for  j=1,2. Nyttefunksjonen  er  et  nyttig 

redskap for å sammenfatte grunnleggende preferanser.   Hvorfor  er  MSB  en  kartegenskap?  La  oss  gå  fra  nytteskalaen    til 

.  Viser  at  grensenytten  ikke  er  en  kartegenskap  siden 1 2( , )U c c

*1 2( ( , )) 0U F U c c med F ′= >

1 Vi definerer MSB annerledes enn hva Hal Varian gjør. 

5

*

1 1

UF

c c∂ ′= ⋅∂ ∂

U∂  påvirkes av transformasjonen. Men MSB er upåvirket siden vi jo har 

at 

*

1 1*

2 22

U UF

c cU UU Fc cc

∂ ∂′∂ ∂

= =∂ ∂∂ ′∂ ∂∂

1

Uc∂∂ . 

 Helningen  til  en  indifferenskurve  er  derfor  upåvirket  av  en  monotont  stigende transformasjon av den opprinnelige nytteskalaen.  4. Rasjonelle valg: Nyttemaksimering gitt budsjettbetingelsen (HV: kap 5) Vi  leter nå etter den konsumkombinasjonen  for konsumenten  som er  løsningen på problemet:    

1 2( , ) 1 2 1 1 2 2( , )c cMax U c c gitt p c p c m+ =  

 (Vi  skriver budsjettbetingelsen  som  likhet – all  inntekt brukes  siden det kun  er  én periode og pga. ikke‐metning.) La  oss  avsette  budsjettbetingelsen  i  en  figur med  indifferenskurver  som  oppfyller våre  betingelser.  Anta  at  MSB  blir  veldig  stor  når  konsumet  av  vare  1  blir tilstrekkelig  lavt,  samtidig  som MSB  går  mot  null  når  konsumet  av  vare  2  blir tilstrekkelig lavt. Da kan vi være  (nesten) sikre på at en  rasjonell konsument vil kjøpe noe av begge varene. Dann derfor Lagrangefunksjonen, med λ  som Lagrangemultiplikator:  

[ ]λ= − + −1 2 1 1 2 2(2) ( , )L U c c p c p c m  

 Løsningen må oppfylle:  

λ

λ

∂ ∂− = − =

∂ ∂∂ ∂

− = − =∂ ∂

− + =

11 1

22 2

1 1 2 2

(3 ) 0

(3 ) 0

(3 )

L Ui p

c c

L Uii p

c c

iii p c p c m

 

 som er  tre  likninger eller betingelser  til å  fastlegge  1 2( , , )c c λ . Nå skal  ikke vi bruke Lagrangemultiplikatoren mer,  så  vi  kan  like  godt  eliminere den.  (3‐i,ii)  gir  oss  at: 

1

1 2

U Uc

p pλ

∂ ∂∂ ∂= = 2c ,  som  vi  kan  tolke  som  at  nytteøkning  per  krone  den  samme  for  alle 

6

varer. (Dette er ikke en kartegenskap!) Eller vi kan skrive den siste likheten ∂ ∂∂ ∂=1 2

1 2

U Uc c

p p 

som  

∂∂

= =∂

∂

* *1 2

* * 111 2 * *

1 2 2

2

( , )

(4) ( , )( , )

U c cpc

MSB c cU c c pc

  

 Hva  er  tolkningen?  Det  subjektive  bytteforholdet  er  lik  markedsbytteforholdet. Hvorfor  gir  denne  den  optimale  konsumkombinasjonen,  gitt  budsjettbetingelsen? Hvis  vi  tar  utgangspunkt  i  en  godekombinasjon  for  hvilken  MSB  er  større  enn prisforholdet, vil det antall enheter konsumenten maksimalt er villig til å gi opp av vare 2 for å få en marginal enhet til av vare 1, overstige det antall enheter av vare 2 en må gi opp i markedet når en ønsker å kjøpe en enhet til. Vi  kan  illustrere  tilpasningen  i  en  figur,  der  vi  sette  sammen  indifferenskartet  og budsjettlinjen  i  en  og  samme  figur. Med  den  gitte  inntekten  og  de  gitte  prisene 

(egentlig den gitte realinntekten,  for eksempel  i enheter av vare 2, 2

mp

, og det gitte 

realprisforholdet eller relativprisen på vare 1  1

2

pp

), vil konsumenten ønske å kjøpe (og 

vil  faktisk  gjøre  det  under  antakelsen  om  prisfast  kvantumstilpasning) godekombinasjonen  , slik som vist i figuren under. * *

1 2( , )c c 

2c

*2c

c c *1 1

 

7

(Vi kan  alternativt  til Lagrange  løse ved  innsetting:  Sett  inn  for  12 1

2 2

pmc cp p

= − ⋅   fra 

budsjettbetingelsen  i  11 2 1 1 1

2 2

( , ) ( , ) : ( ).pmU c c U c c V cp p

= − ⋅ =   Deriver  denne  funksjonen 

med  hensyn  på    og  sett  den  deriverte  lik  null: 1c* 11

1 2 2 1 2 2

( ) ( ) 0pU U U UV cc c p c c p∂ ∂ ∂ ∂′ = + ⋅ − = − ⋅ =∂ ∂ ∂ ∂

1p . Første  ledd angir nytteøkning per enhets 

marginale  økning  i  forbruket  av vare  1. Andre  ledd  angir produktet  av det  antall enheter  av  vare  2  vi må  gi  opp  (bytte  bort)  i markedet  om  vi  ønsker  å  kjøpe  en ytterligere enhet av vare 1, multiplisert med den tilhørende nytteendring per enhets marginale endring i forbruket av vare 2.)     5. Etterspørselsfunksjonene (HV: kap 6) Tangeringsbetingelsen  (4)  og  budsjettbetingelsen  (3‐iii)  gir  oss  to  betingelser  til  å bestemme etterspørselsfunksjonene:  

− = =

− = =

11 1 1 2 1

2 2

12 2 1 2 2

2 2

(5 ) ( , , ) ( , )

(5 ) ( , , ) ( , )

E E

E E

p mi c c p p m c

p pp m

ii c c p p m cp p

 

 Det vi er opptatt av er å klarlegge en del egenskaper ved disse funksjonene  5.1. Virkning på etterspørsel av endring i inntekten m  Ved  en  parallellforskyvning  av  budsjettlinjen  (for  uendrede  priser),  vil  vi  kunne samle  sammen  alle  tilpasnings‐  eller  tangeringspunkter  i  det  vi  kan  kalle Engelkurver  eller  inntekts‐substitumalen.    Den  presise  sammenhengen  mellom 

etterspurt mengde av en vare og inntekten er gitt ved den inntektsderiverte  icm∂∂ eller 

inntekts‐ eller Engelelastisiteten i

i

cci

i mi m

cmEc m

Δ

Δ

∂= ⋅ ≈

∂ som (tilnærmet) prosentvis endring 

i etterspurt kvantum per prosentenhets endring i inntekt.  

• Ved  fullverdige  (normale)  varer,  har  vi  positiv  samvariasjon mellom inntekt og etterspurt mengde 

• Inferiøre eller mindreverdige varer; negativ samvariasjon 

• Ved å se på en vares budsjettandel  i ii

p cm

α = , vil de varene som oppviser 

en  positiv  samvariasjon  mellom  budsjettandel  og  inntekt,  kalles luksusvarer:  Se  på 

10

: : : :i

i i i

E

El m El p m El c m El m m E 1iα== =

= + − = − .  Med 

andre  ord,  varer med  inntektselastisitet  større  enn  én  klassifiserer  vi 

8

som luksusvarer. (Slike varer vil utgjøre en voksende andel av budsjettet ettersom inntekten øker.)  

 5.2. Virkning på etterspørsel av prisendring  Varierer vi prisen på vare 1, vil budsjettlinjen rotere rundt skjæringspunktet med  ‐aksen. En høyere (lavere) pris på vare 1, gjør budsjettlinjen brattere (slakere). Varierer vi prisen på vare 1, kan vi samle sammen alle tangeringspunktene til en kurve som kalles ”the offer curve” eller sammenhengen mellom etterspørselen etter de to varene og prisen på vare 1. 

2c

Vi kan  se på prisderiverte eller priselastisiteter. Hold prisen på vare 2 konstant og hold også inntekten fast. Da vil vi kunne beregne   

• Den direkte prisderiverte eller den direkte priselastisiteten som hhv.  1

1

cp∂∂ og 

111

1 1

1p cec p

∂= ⋅

∂.  (Tilsvarende  for  vare  2.)  Det  normale  er  at  det  er  en  negativ 

sammenheng  mellom  etterspurt  mengde  av  en  vare  og  prisen  på vedkommende  vare.  En  slik  sammenheng  komme  til  syne  i  den  inverse etterspørselssammenhengen, som vi kan skrive som  ( )i ip c . Denne kan tolkes som  den  marginale  betalingsvilje  (MBV)  for  vare  i  ved  kvantum  ,  som illustrert i figuren under: 

ic

 

( )i ip c

0( )iMBV c

0ic ic

  Denne kurven kan utsettes  for  skift om  inntekten  endres  eller om prisen på andre varer endres. (Noen spesielle goder er slik at etterspørselen stiger med prisen – såkalte Giffen‐goder.)  

9

Vi  sier  at  vare  1  er  uelastisk  i  etterspørselen dersom utlegget  til  vare  1  selv samvarierer  positivt  med  prisen  på  vare  1.  Og  motsatt,  om  utlegget  selv synker når prisen øker, sier vi at etterspørselen er elastisk. Elasitisiter  1 1 1 2( , , )p c p p m⋅  med hensyn på  1p . Dette gir:  

11

1 1 1 1 1 1 1 11

1

: : : 1e

El p c p El p p El c p e= =

= + = + . 

Vi ser at  1 1 1 11 11 11: 1 0El p c p e om e e= + > − = <11

 ‐ uelastisk etterspørsel  og    ‐  elastisk  etterspørsel. Hvis 110 om e< − > 11 1e = − ,  har  vi  nøytralelastisk etterspørsel; samlet utlegg til varen er den samme uansett pris.  Typiske nødvendighetsvarer er uelastiske, mens luksusvarer er elastiske.  

 • Den  kryssprisderiverte  eller  krysspriselastisiteten  viser  hvordan 

etterspørselen  eter vare 1 påvirkes av  endringer  i prisen på vare 2, gitt ved 1

12 1 22 1

:c eller e El c p 2 1

2

p cp c p∂

= = ⋅∂ ∂

∂ . En kan klassifisere forbindelsen mellom goder 

ved  fortegnet  på  den  kryssderivert;  er  den  positiv  kan  vi  klassifisere  de  to varene  som  substitutter  (høyere pris på vare 2  fører  til økt etterspørsel etter vare 1); er den derimot negativ, kan vi si at de to varene er komplementære i etterspørselen.  Er  den  kryssderiverte  lik  null,  er  de  uavhengige  i etterspørselen. 

 5.3. Slutskysammenhengen (HV: kap 8 – forvirrende) En prisøkning på vare 1 kan splittes opp  i en substitusjonseffekt og  i en  inntektseffekt. Dette skyldes det faktum at: 

• Når  vare  1  stiger  i  pris,  vil  den  bli  relativt  dyrere,  og  vi  har  en  endring  i tilpasningen  som  følge  av  prisvridningen  –  bort  fra  den  relativt  dyrere  og over mot den relativt billigere. 

• Mulighetsområdet  snevres  inn;  realinntekten  eller  kjøpeevnen  (i  enheter  av vare 1) går ned. Vi blir fattigere; dette betyr en nedgang i etterspørselen etter normale goder. 

 Overgangen fra det opprinnelige tilpasningspunktet A i figuren på neste side til det nye tilpasningspunktet B, kan nå separeres i to effekter: 

• En  substitusjonseffekt  (prisvridningseffekt),  som  rendyrker endring  i  relativ pris for gitt nyttenivå; dette er overgangen fra A til D 

• En  inntektseffekt,  som  skyldes  at mulighetsområdet  (budsjettmengden) blir endret når prisen på vare 1 øker. Denne effekten ivaretas av overgangen fra D til B. 

   

10

D A

Vare 2

B

Vare 1

 

Med to goder, vil den direkte substitusjonseffekten – dvs. for den vare hvis relative pris har økt, være negativ, men substitusjonseffekten for den andre varen da må være positiv.  I  togodetilfellet  er derfor varene  substitutter, målt  etter  fortegnet på kryss‐substitusjonseffekten. Denne konklusjonen følger av antakelsen om avtakende MSB – indifferenskurver som krummer mot origo. Substitusjonseffekten  er  større  jo mindre krummet  indifferenskurvene  er  (jo  lettere de to varene kan substituere hverandre). Substitusjonseffekten fremkommer ved at vi gir  en  hypotetisk  inntektskompensasjon  for  prisøkningen  slik  at  samme  nyttenivå som i utgangspunktet kan opprettholdes.  Inntektseffekten  fremkommer når vi  tar  tilbake denne  inntektskompensasjonen – vi rendyrker,  til  det  nye  prisforholdet,  det  faktum  at  prisøkningen  har  gjort  oss fattigere.  Budsjettlinjen  til  den  nye  relativprisen  parallellforskyves  innover  til  den tangerer det nye tilpasningspunktet B.  Hvis  begge  varene  er  normale  med  positive  inntektsderiverte  eller inntektselastisiteter  (Engelelastisiteter),  da  vil  inntektseffekten  være  negativ  for begge varer.  Dermed har vi følgende konklusjon:  Hvis varene  er  fullverdige  i  etterspørselen, vil vi helt  sikkert ha  at  etterspørselen  etter den varen  som  er  blitt  relativt  dyrere,  vil  gå  ned.  (”The  Law  of Demand”.)  Substitusjons‐  og inntektseffekten  trekker  i  samme  retning.  For  den  vare  som  er  blitt  relativt  billigere,  vil substitusjonseffekten være positiv, mens inntektseffekten er negativ – nettoeffekten er dermed usikker.  

11

(Hvis vare  1  er mindreverdig, kan  inntektseffekten være  så  sterk  at  etterspørselen etter  den  vare  som  er  steget  i  pris,  går  opp  –  Giffen  case.  Med  andre  ord: Mindreverdighet er nødvendig for Giffen‐tilfellet.)  Vi skal nå vise hvordan vi formelt kan utlede det som kalles Slutskysammenhengen eller Slutskylikningen. Det er denne som ligger bak oppsplittingen i en substitusjons‐ og en inntektseffekt av en prisendring.  Fra  tidligere  har  vi  de  ordinære  etterspørselsfunksjonene    og 

. 1 1 1 2( , , )c c p p m=

2 2 1 2( , , )c c p p m= Spørsmål 1: Hva er lavest utgift eller levekostnad en kan nå et bestemt nyttenivå til?  På samme måte som  i produsenttilpasning, der vi utledet kostnadsfunksjonen som det  laveste  samlede  faktorutlegg  en  kunne  produsere  en  helt  bestemt produktmengde til, er konsumentens problem nå å finne den godekombinasjon som gir et helt bestemt nyttenivå til så lav samlet utgift som mulig.  La  på  samme  måter  som  vi  definerte  kostnadsfunksjonen  for  en  produsent,  oss definere  , som utgiftsfunksjonen. (Denne 

har samme tolkning som en kostnadsfunksjon, der det gitte nyttenivået erstatter den gitte produktmengden; u er en konstant.) 

1 2 1 2( , , ) ( , )i ii

p p u Min p c gitt U c c uΨ = ∑ =

 Den  utgiftsminimerende  godekombinasjonen,  gitt  at  vi  skal  oppnå  det  bestemte nyttenivået, med gitte priser, finner vi ved hjelp av Lagranges metode:     [ ]1 1 2 2 1 2( , )L p c p c U c c uμ= + − −   Sammen med bibetingelsen som sier at vi skal være på en gitt indifferenskurve, må den utgiftsminimerende godekombinasjonen oppfylle:  

μ

μ

∂ ∂− = −

∂ ∂∂ ∂

− = −∂ ∂

11 1

22 2

(6 ) 0

(6 ) 0

L Ui p

c c

L Uii p

c c

=

= 

 Kvantumsløsningen på dette problemet lar vi generelt representeres ved det vi kaller de  kompenserte  etterspørselsfunksjoner  eller Hicks’  etterspørselsfunksjonene. Disse  svarer helt  til  de  betingede  faktoretterspørselsfunksjonene  i  produsenttilpasningen.  De skrives  her  som:  ,  og  slik  at  den minimerte  utgiften  eller 

levekostnaden er ganske rett fram 1 1 2 2 1 2( , , ) ( , , )h p p u og h p p u

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )p p u p h p p u p h p p uΨ = ⋅ + ⋅ .  

12

En egenskap vi vil gjøre bruk av er hvordan denne minimerte utgiften varierer med en pris. Vi legger merke til at  

1 21 1 2 1 2 1 1 2

1 1 1

( , , ) ( , , )h h

h p p u p p h p p up p p∂Ψ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂

 

 fordi  vi  må  ha  at  bibetingelsen  må  holde:  .  Deriver denne med hensyn på 

1 1 2 2 1 2( ( , , ), ( , , ))U h p p u h p p u u=

1p  og husk at u selv er en konstant, og bruk av (6i‐ii)  

μ μ μ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = + = +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦1 2 1 1 2 2 1

1 21 1 2 1 1 1 1 1

10

U h U h p h p h h hp p

c p c p p p p p2  

 

(Tilsvarende vil  2 1 22

( , , )h p p up∂Ψ

=∂

.) 

Med indifferenskurver slik vi har antatt; eller avtakende MSB, må vi ha  0i

i

hp∂

≤∂

 i det 

generelle  tilfellet  (=  0  om  vi  har  rettvinklede  indifferenskurver),  og  <  0  om  de  er endelig krummet som vi har antatt.   

1. resultat: Den direkte substitusjonseffekten av en prisøkning er negativ siden  0i

i

hp∂

≤∂

.   

(Se overgangen fra punkt A til D  i figuren på side 10; kompensert etterspørsel etter vare 1 synker når prisen på vare 1 øker og vi holder oss på samme indifferenskurve.)  

2.resultat: Med to goder, må derfor  0j

i

hfor j ì

p∂

≥ ≠∂

 

 Med  en  inntekt m  og  til  prisene  1 2( , )p p ,  vil  konsumenten maksimere  nytte, med løsning gitt ved de ordinære etterspørselsfunksjonene i (5i‐ii). Anta at det maksimale nyttenivået som oppnås med   er u.  1 2( , , )m p p Sett nå at vi tildeler konsumenten en  inntekt slik at  1 2( , , )m p p u= Ψ . Det må bety at de  mengdene  av  de  to  varene  vi  som  nyttemaksimerende  konsument  vil  kjøpe  er akkurat  lik  de  utgiftsminimerende  mengdene  av  de  to  varene  gitt  at  vi  skal  oppnå nyttenivået u. Dermed må:  

− = Ψ

− = Ψ1 1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 2 1 2 1 2

(7 ) ( , , ) ( , , ( , , ))

(7 ) ( , , ) ( , , ( , , ))

i h p p u c p p p p u

ii h p p u c p p p p u 

 Ta utgangspunkt i en av de sammenhengene vi har i (7i‐ii): Deriver sammenhengen for vare i mhp. prisen på vare j: 

13

∂ ∂ ∂ ∂Ψ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ = + ⋅ ⇔ = − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂(8) i i i i i i i

j jj j j j j j

h c c c c c hc c

p p m p p m p picm 

 Den siste sammenhengen er Slutskylikningen; der virkningen på etterspørselen etter 

vare  i  av  en  endring  i  prisen  på  vare  j  ( i

j

c )p∂∂

  kan  splittes  i  to  effekter: 

Substiusjonseffekten (SE), gitt ved  i

j

hp∂∂

, og inntektseffekten (IE), gitt ved  ij

ccm∂

− ⋅∂

. 

Som påpekt tidligere er SE en bevegelse langs en indifferenskurve, mens IE forteller at når vare  j øker marginalt i pris med én krone, vil realinntekten gå ned med  jc ; dvs. det antall enheter vi i utgangspunktet kjøper av vare j, som er blitt dyrere. Den lavere realinntekten  gjør  konsumenten  fattigere,  og  etterspørselen  etter  vare  i per  enhets endring i realinntekten, endres i henhold til den inntektsderiverte.   Vi kan også skrive denne om på elastisitetsform:  

α∂ ∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − ⋅ ⋅ = −∂ ∂ ∂ ∂

(9) j j j j ji i i ij ij ij ij j i

i j i j i i

p p p p cc h c m m cc e S S

c p c p c m m m c mE  

 der   er vare i’s Cournotelastitistet mhp. pris  j;   er Slutskyelastisiteten for vare i mhp.  prisen  på  vare  j,  mens    er  vare  i’s  inntektselastisitet. 

ije ijS

iE jα   er  vare  j’s 

budsjettandel.  Vi ser spesielt at  i ii

i i

c h cc

p pi

m∂ ∂

= − ⋅∂

∂ ∂ ∂ eller  ii ii i ie S Eα= −  som bekrefter 

”The Law of Demand”.   6. Selvetterspørsel (HV: kap. 9) Vi kan utvide modellen over til å se på en problemstilling der inntekten ikke er gitt, men avhengig av prisene.  Her skal jeg gi et riss av tre anvendelser av denne modellen: 

• Kortsiktige virkninger på eksport/import av endringer i ”terms of trade” • Tilbud av arbeid • Intertemporal tilpasning  

  6.1. Virkning for en liten åpen økonomi av økte eksportpriser Et liten åpen økonomi har på et gitt tidspunkt en gitt mengde tilgjengelig av to varer. La disse  varemengdene  være    slik  vi  har  tegnet dette punktet  som  ett  av 

mange mulig for en produksjonsmulighetskurve for økonomien: 

01x og x

02

 

14

2 2,c x *

2c 0

2x

0 01 1 2 2p x p x R+ =

c *1

01x c 1 1, x

    Til gitte priser på verdensmarkedet er nasjonalinntekten  0 0

1 1 2 2 :p x p x R+ =  som vi kan bruke til å kjøpe varer for konsum. Budsjettbetingelsen (BB) er  , slik vi har  tegnet den  inn  i  figuren. Den må  selvsagt gå gjennom vårt  initiale beholdning (endowment  i HV) eller produksjonspunkt. Muligheten  for  internasjonalt varebytte til gitte priser, viser at valgmulighetene utvides! (Om vi måtte være sjølforsynt, måtte vi ta til takke med det vi selv produserte.) 

1 1 2 2p c p c R+ =

 Anta at  landets preferanser er sånn at vi velger et konsumpunkt på BB over  (og  til venstre  for)  produksjonspunktet,  dvs.  .  Da  er  landet  nettoetterspørrer (importør) av vare 2 og nettotilbyder (eksportør) av vare 1. Med kun én periode må vi ha:  port  lik verdi av  import.  (Motsatt om vi har et konsumpunkt slik at landet er nettoeksportør av vare 2.)  

* * *1 2( , )c c c=

0 01 1 1 2 2 2( ) (p x c p c x− = − ;)  verdi av eks

2

 Problemstillinger: 

• Tilgangen  av  eksportvaren  øker; dvs.    går  opp:01x 1 1 1 2( )p x c p cΔ − Δ = Δ ;  eller 

 1 1 2 2 1 1p c p c p xΔ + Δ = Δ• Økt  tilgang  av  den  importkonkurrerende  varen;  . 

. 2 0xΔ >

1 1 2 2 2 2p c p c p xΔ + Δ = Δ(Hvis begge varer er normale eller fullverdige, vil en økt produksjon – tilgang ‐ av en vare, føre til økt etterspørsel etter begge varer.)  • Endring  i  bytteforholdet  eller  ”terms  of  trade”.  Hvis  eksportprisen  stiger 

relativt til importprisen (når vi eksporterer vare 1), vil BB bli brattere. Hva vi skje nå? En prisøkning vil gjøre eksportvaren relativt dyrere. I tillegg, og det er 

15

det  nye  her,  inntekten  endres  også!  I  vår  tidligere  modell  for konsumenttilpasning, var  inntekten gitt  lik m. Her er  inntekten  selv bestemt av prisene (og tilgangen på de to varene). 

  

Vare 2 2c 0

2x

1c 01x Vare 1

  Vi har illustrert virkningen av en økning i eksportprisen i figuren over. En økning i prisen på vare 1 (den varen landet i utgangspunktet eksporterer), fører til en endring i BB  –  gjennom produksjonspunktet  – den  roterer  i dette punktet,  og  i urviserens retning – BB blir brattere. Vi oppnår høyere nytte – motsatt av hva vi ville ha fått om importprisen hadde økt.  For de gitte prisene og det gitte produksjonspunktet, vet vi at optimal tilpasning 

er gitt ved  1

2 2

: U pMSBU p

= = 1 , med  :jj

UUc∂

=∂

 og  01 1 2 2

0R p x p x= + , slik at  

1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , )c c p p R og c c p p R= = . Når eksportprisen øker, vil det her skje flere ting. 

Husk med gitt inntekt, m, er Slutskylikningen:  i ij

j jIESE

c h c icp p m∂ ∂ ∂

= − ⋅∂ ∂ ∂

 .  

16

Når prisen på vare 1 her øker, vil vi, når vi antar at begge varene  er  fullverdige  i etterspørselen, må vi se på den totalderiverte – det skjer flere ting på en gang – ikke bare en partiell økning i en pris:  

0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 1

Re

(10 ) ( )

IE RIESlutsky SEal IE

dc c c h c c h cRi c xdp p R p p R R p R

+−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂− = + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1x c    

0 02 2 2 2 2 2 21 1 1 1

1 1 1 1 1

Re

(10 ) ( )

IE RIESlutsky SEal IE

dc c c h c c h cRii c x x cdp p R p p R R p R

++

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂− = + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2  

 der  den  ”reelle”  inntektsendringen  gir  endringen  i  verdi  av  den  initiale produktmengden; kalles endowment income effect hos HV. (Om  vare  1  er  mindreverdig,  vil  vi  nå  helt  sikkert  få  en  fallende etterspørselssammenheng,  i motsetning  til  hva  tilfellet  var  ved  gitt  inntekt  –  der mindreverdighet var nødvendig for ”Giffen case”.)   I tillegg til de vanlige effektene får vi en realinntektseffekt som følge av at den varen vi  eksporterer  i  bytte  for  import  blir  verdsatt  høyere.  Dette  gir  en  ytterligere inntektseffekt;  verdien  av  vår  initiale  produktmengde  endres.  Det  er  jo  denne effekten norsk økonomi nyter godt av nå.    I figuren under ser vi på en økning i prisen på vare 1:BB blir brattere.  

Vare 2

G B A D

Vare 1

 

17

SE er bevegelsen langs den høyest oppnåelige (opprinnelige) indifferenskurven, men til høyere relativ pris på vare 1; gitt ved bevegelsen fra A til B. Dette leder, isolert til at forbruket av vare 1 går ned, mens forbruket av vare 2 går opp.  Overgangen fra B til D kan vi tolke som den opprinnelige (negative inntektseffekten) – etterspørselen etter begge varer om de er normale går da ned.  Den nye effekten er tatt vare på ved overgangen fra D til G, den nye inntektseffekten som skyldes at eksportvaren (vare 1) kaster mer av seg på verdensmarkedet eller at nasjonalinntekten øker. Vår produksjon blir mer verdt.  Når  prisen  på  vare  1  øker  og  vi  er  nettoeksportør  av  vare  1,  da  vil substitusjonseffekten trekke i retning av lavere konsum av vare 1, samtidig som den samlede inntektseffekten trekker i retning av høyere konsum av vare 1 om vare 1 er normal eller fullverdig. Vi kan ikke si eksakt hva som vil skje med konsumet av vare 1 om prisen øker.  Hva  vil  skje med  den  andre  varen?  Jo,  etterspørselen  etter  vare  2  vil,  om  den  er fullverdig, helt sikkert øke.   6.2. Tilbud av arbeid Vi  skal  nå  se  på  en  ytterligere  anvendelse  av  dette  apparatet  –  nemlig  tilbud  av arbeid, eller speilbildet, etterspørsel etter fritid. La konsumenten ha arbeidsinntekt og en arbeidsfri  inntekt eller  stønad. Lønna per time er w, mens stønaden i kroner er S. Disponibel inntekt er dermed:  , der N er  arbeidstid.  Med  konsumenten  sitter  også  på  en  ressurs,  nemlig  tid,  som  har alternative eller konkurrerende anvendelser – fritid (F) eller arbeid. 

wN S+

La samlet  tid  til disposisjon være T, slik at  T N F= + .   Det viktige her er at denne tiden  verdsettes.  Disponibel  inntekt  brukes  i  sin  helhet  til  konsum;  dvs. budsjettbetingelsen er:  pc wN S= + . Setter vi  inn  fra  tidsbudsjettet;  , kan vi skrive budsjettbetingelsen som: 

N T F= −

(11)S

pc wF wT S wT pp

+ = + = + ⋅   

der    er verdien av konsumentens  ressurser. Vi kan derfor kalle wT :R wT S= +   for den fulle inntekten. Denne angir den totale verdien av den tiden konsumenten har til rådighet; for eksempel 168 timer per uke. Fritid har en pris etter hva den alternativt vil kaste av seg som arbeidstid. (Opportunity cost = alternativkostnaden.)     

18

c

w Sc Tp p

= +

Sp

 Anta  at  ( , )SMSB T w

p p< .  Dette  betyr  at  det  antall  enheter  av  konsumvaren 

konsumenten må ha  i kompensasjon for å være villig til å avstå en time fritid (dvs. jobbe  en  time mer  fra  en  situasjon uten  jobb),  er  lavere  enn det  antall  enheter  av konsumvaren som en times jobb i arbeidsmarkedet vil gi. Det lønner seg med andre 

or å jobbe! Husk at  ( , )UFFU

U gittc c

U dcMSB c FU dF

∂∂∂

=∂

= = = − .  

(Om vi skulle ha  ( , )S wMSB Tp p

≥ , da vil det ikke være incentiver til å ta jobb!) 

 Med våre forutsetninger vil optimal tilpasning være kjennetegnet ved:  

  (12) ( , ) F

c

U wMSB c FU p

= =        Tangeringsbetingelse 

  (11) :pc wF wT S R+ = + =     Budsjettbetingelse  Disse to gir oss etterspørselsfunksjonene, og dermed arbeidstilbudsfunksjonen:  

     ( , , ) ( , , )

(13)( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

c c p w R c p w wT SF F p w R F p w wT S N p w R T F p w R

= = +⎧⎨ = = + ⇒ = −⎩

 Anta  at  begge  goder  er  normale;  etterspørselen  etter  de  to  varene  samvarierer 

positivt med inntekten; og spesielt har vi at  0 0c FogS S∂ ∂

> >∂ ∂

.  

 Hva blir virkningen på tilpasningen av økt lønn? Ved totalderivasjon, finner vi:  

19

(14 ) F Fh hdF F F R F F Fi F Tdw w R w w R R w R

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂N  

(14 ) 0c ch hdc c c R c c cii F T Ndw w R w w R R w R

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂>  

 

der  0Fhw

∂<

∂ og  0ch

w∂

>∂

. 

 Vi har dermed: 

• For etterspørselen etter fritid har en lønnsøkning to effekter som trekker i hver sin  retning: Negativ  substitusjonseffekt –  fritid blir  relativt dyrere når  lønna øker, og etterspørselen etter fritid går ned, eller tilbudet av arbeid går opp. 

• En  positiv  inntektseffekt  som  er  større  jo mer  en  jobber  –  denne  trekker  i retning av økt etterspørsel etter fritid, eller mindre tilbuds av arbeid. 

 To motstridende  effekter  som  vil  variere med  lønn  og med  arbeidstid. Mange empiriske  undersøkelser  viser  at  substitusjonseffekten  av  en  lønnsøkning dominerer, og arbeidstilbudskurven er stigende. Men den kan bende bakover for høye nok lønninger. 

 

w

N

  (Ulike grupper reagerer forskjellig på en lønnsøkning.)   Legg merke  til  at  økt marginalskatt  på  arbeidsinntekt  kan  analyseres  som  en nedgang  i  lønna. Hva blir virkningen av økt skatt på arbeidstilbudet? Det er  to motstridende  effekter, og det  er  ikke åpenbart at  lavere  skatt på arbeidsinntekt skulle føre til økt arbeidstilbud.   

 

20

6.3. Intertemporal tilpasning (HV: kap. 10) Denne  tilnærmingen  viser  også  fleksibiliteten  i modellverktøyet  –  vi  kan  la  en vare  være  konsum  i  sin  alminnelighet  i  en  period,  og  på  den  måten  se  på varebytte over tid – opplåning eller sparing. Betrakt  en  konsument  med  preferanser  over  konsum  i  to  perioder,  gitt  ved 

 med vanlige egenskaper, der   er konsum i periode t. La prisen på være lik én.  

1 2( , )U c c tc

Definer  21 2

1 2

( , ) dc UMSB c cdc U

= − = 1  som et subjektivt avkastningskrav: Hvor mye mer 

konsum må jeg ha i neste periode for å være villig til å avstå en enhet konsum i dag (spare en enhet ytterligere i dag)?  Anta at konsumenten har en inntektsstrøm, med   i periode t.  tmVed å operere i et lånemarked med rente r, har vi følgende: Konsummulighetene i periode  2  er:  2 2 1 1

1.

(1 ) ( )sparing i per

c m r m c= + + ⋅ − .  Ved  å  skrive  om  denne,  får  vi: 

21 11 1

cc mr r

+ = ++ +

2m , nåverdi av konsum lik nåverdi av inntekt. 

 Eller ved å multiplisere med 1 r+ :   

1 2 1(15) (1 ) (1 )r c c r m m+ ⋅ + = + ⋅ + 2    der vi kan oppfatte   som markedsprisen på konsum i periode 1 i enheter av konsum i periode 2. BB skrevet som sluttverdi, med prisen på konsum satt lik én. Legg merke til at den fulle inntekten, høyre side i (15), avhenger av prisen på konsum i 1.periode. Vi kan tegne disse sammenhengene i en figur. 

(1 )r+

 

1 1,c m

2 2,c m 2m

Helning lik (1 )r− +

1m

  

21

Gjennom  inntektspunktet  har  vi  tegnet  en  indifferenskurve  slik  at 1 2( , ) 1MSB m m r< + ;  det  subjektive  avkastningskravet  av  sparing  er mindre  enn 

den avkastningen en oppnår i markedet. Jo mer krummet en indifferenskurve er, jo mer utålmodig er konsumenten – i den forstand  at  en  da må  ha mye  ekstrakonsum  i  2.periode  for  å  kompensere  for sparingen  eller  konsumunnlatelse  i  1.periode.  (På  forelesningen  så  vi  på  en motsatt situasjon – en student – som låner (negativ sparing) i 1.periode.)   Optimal  tilpasning  vil med  våre  antakelser  være  i  et  punkt  der  det  spares  i 1.periode, med  konsum  lavere  enn  inntekten  i  1.periode,  for  så  å ha  et høyere konsum i 2.peride enn inntekten.  Tilpasningen er kjennetegnet ved:  

11 2 1 2 1 2

2

(16) ( , ) 1 & (15) (1 ) : (1 )UMSB c c r r c c R r m mU

= = + + + = = + +  

 Dette gir oss etterspørselsfunksjonen  

1 1

2 2

( , )(17)

( , )c c r Rc c r R=⎧

⎨ =⎩ 

 Hva skjer når renta (eller prisen på konsum i 1.periode) øker?  Når renta stiger, vil det på samme måte som  i vår  tidligere modell, skje  to  ting: Konsum i 1.periode blir relativt dyrere, samtidig som den fulle inntekten R øker. Ved totalderivasjon og ved å bruke Slutskylikningen, finner vi:  

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1(18) ( )

sparingSE SE

dc c c h c c h cR c m m cdr r R r r R R r R

− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂= + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + − ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1  

 Om  konsum  i  hver  periode  er  fullverdig,  ser  vi  at  om  det  er  negativ  sparing  i 1.periode,  opplåning,  vil    gå  ned  når  renta  øker.  Dette  gjelder  de  fleste  av studentene i dag; lav løpende inntekt i 1.periode og opplåning (negativ sparing). En renteøkning er ikke til deres fordel.  

1c

 For dem med høy inntekt i 1. periode og lav i 2. periode, med sparing i dag, vil en renteøkning gi to effekter som går i hver sin retning – slik det kanskje er for eldre mennesker.