KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR

DERS ÖĞRETMENİ:

MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...

LİNEER CEBİR

• MATRİSLER

• DETERMİNANTLAR

tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir.

TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;

N a ij

......

::::::

......

::::::

......

......

21

21

222221

111211

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

mnmjnn

inijii

nj

nj

i. satır

j. sütun

Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.

A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ijelemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir.

elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.

n* m aij

.A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları;

elemanlarına da j. sütun elemanları denir.

aaaa inij2i1i,,,

aaaa mjijj2j1,,,

a ij

B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)

B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi) . . . . . . . . . . . .

Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)

A matrisi satır matrisine bağlı olarak,

m

2

1

B

.

.

B

B

A= [aA= [aijij]]m x n =m x n = şeklinde şeklinde gösterilir.gösterilir.

Satır MatrisSatır Matris

TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her satırına, matrisinin her satırına, satır matrisisatır matrisi denir.denir.

• A1 :1.satır matrisi• A2 : 2.satır matrisi• ...• ...• An : n.satır matrisi

mn

n

n

n

mm a

aa

A

a

aa

A

a

aa

A....

,......,....

,....

2

1

2

12

12

2

1

21

11

1

A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.

Sütun MatrisSütun Matris

TanımTanım: : A= [aA= [aijij]]m x nm x n matrisinin her sütununa, matrisinin her sütununa, sütun matrisisütun matrisi denir. denir.

Kare MatrisKare Matris

Tanım:Tanım: n x n tipindeki A= [a n x n tipindeki A= [aijij]]m x nm x n matrisine, n. basamaktan matrisine, n. basamaktan kare kare

matrismatris denir denir..

matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.

51

43

Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir.

Sıfır MatrisiSıfır Matrisi

matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.

32000

000

x

TanımTanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisisıfır matrisi denir ve denir ve OO harfi ile gösterilir. harfi ile gösterilir.

Asal Köşegen , Yedek KöşegenAsal Köşegen , Yedek Köşegen

Tanım :Tanım : A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisine akare matrisine a1111,a,a2222,a,a3333,...,a,...,annnn elemanlarının elemanlarının

oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, asal köşegenasal köşegen; a; an1n1,a,a(n-1)2(n-1)2,...,a,...,a1n 1n terimlerinin terimlerinin

oluşturduğu köşegene, oluşturduğu köşegene, yedek köşegenyedek köşegen denir. denir.

a11,a22,a33 : asal köşegen

a31,a22,a13 :yedek köşegen

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Yedek köşegen Asal köşegen

Köşegen MatrisKöşegen Matris

Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki kare matrisinde asal köşegen üzerindeki

elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, matrise, köşegen matrisköşegen matris denir. denir.

matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.

000

040

003

Skalar MatrisSkalar Matris

matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.

50

05

Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]n x n n x n köşegen matrisinde aköşegen matrisinde a1111 = a = a2222 = a = a3333 ...= a ...= annnn = k ise, = k ise,

(k (k R) bu matrise, R) bu matrise, skalar matrisskalar matris denir. denir.

Birim MatrisBirim Matris

Tanım:Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları

sıfır olan kare matrise, sıfır olan kare matrise, birim matrisbirim matris denir. n x n tipindeki bir denir. n x n tipindeki bir birim matrisbirim matris IInn ile gösterilir. ile gösterilir.

matrisi , 4.sıradan bir birim matrisidir. I4 ile gösterilir.

1000

0100

0010

0001

4I

(asal köşegen)

Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİİKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ

ÖRNEK:ÖRNEK:

2

4

y

xBveA

52

235

ba

bab

a

olmak üzere, A = B ise kaçtır ?y

x

Tanım:Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrislereşit matrisler denir. denir.

(i, j) M x N için, aij = bij [aij]m x n = [bij]m x n

52

235

ba

bab

a

=

2

4

y

x matrislerinineşitliğinden,

ÇÖZÜMÇÖZÜM : A = B

5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan

5a = 22

5b = 2 52b = 22

5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa;

bulunur.24

8

22

2)2(3

2

23

b

b

bb

bb

ba

ba

y

x

?x

ise 21

016

241-

01yx :Örnek

3232

xx yx

5 x 102x 4y- x

6y x:Çözüm

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİMATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ

Tanım:Tanım: A= [a A= [aijij]]m x n m x n ve B= [bve B= [bijij]]m x n m x n matrisleri verilmiş olsun.matrisleri verilmiş olsun.

A + B = [aA + B = [aijij]]m x n m x n + [b+ [bijij]]m x nm x n= A= [a= A= [aij+ ij+ bbijij]]m x nm x n matrisine, matrisine, A ve B A ve B

matrislerinin toplamı denir.matrislerinin toplamı denir.

O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.

ÖRNEK:ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B

matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.Buna göre;

m+1 = n+1 p-2 = 2 m = n p = 4

3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 k = 2

m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.

?z)y,(x, ise

2

1

4

5

x

1

2-

:Örnek

z

y

3z z52-

-2y -1y1

6 x 24- x:Çözüm

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ

1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.

AB BA

için, matrisleri bB veaA ijij

mxnmxn

2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.

olur. C B)(A C)(BA

için, matrisleri cC , bB , aA ijijij

mxnmxnmxn

3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.

olur.A A0

için, matrisleri 0,0 aA mxnij

mxn

4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,

matrisidir.

mxnijaA

mxnija-A-

A+(-A) = mxn 0

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi

6-54

312-A

65-4-

3-1-2

Örneğin:Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi,

matrisidir.

mxna ij

A A - a ij mxn

mxna ij

A

Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine ,

matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.

İKİ MATRİSİN FARKI

Tanım : matrislerinin farkı, bB , aA ijij mxnmxn

mxnmxn ijij b-a (-B) A B-A olur.ba

ijij mxn

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI

bulunur. 312

96

14

3-23. k.A :ÇözümÇözüm

matrisinik.A

3k vematrisi 14

3-2 :ÖrnekÖrnek

sayısı için

bulalım.

Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.

C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denirÖrneğin: k=5 bir reel skalar dır.

Skalarla Çarpmanın Özellikleri

Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun.

Her ve mxnijaA için matrisleri bB ij mxn

1. k.(A+B) = k.A + k.B

2. (k1+ k2).A = k1.A + k2.A

3. k1.(k2.A) = (k1.k2).A

?232

101).4(

13-2-

021-3. :Örnek

32112114

467

8128

404

39-6-

063- :Çözüm

x

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ

nxpjkmxnij ba B A

babababac nkink22ik1i1jk

n

1jijik

.......

mxpikcC

BAC nxpmxnmxp.

Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2.

matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.

olmak üzere; elemanları

toplamıyla bulunan matrisine A ve B

matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde

gösterilir.

10

43B

03

12AÖrnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı

bulalım.

Çözüm:

129

96

1.04.30.03.3

1.14.20.13.2

10

43 .

03

12A.B

03

318

0.11.03.12.0

3.12.03.42.3

03

12 .

14

03B.A

Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

22. . A A O ve B O ve B O olduğu halde, A . B = O olabilir. O olduğu halde, A . B = O olabilir.

12

12A

22

11Bve olup;

00

00

2222

2222.BA dır.

11.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B .Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B B . A B . A

33. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde . A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır.yutan elemandır.

44. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.

5.5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]p x r p x r olmak üzere ;olmak üzere ;

A.(B .C) = (A .B) . C dir. A.(B .C) = (A .B) . C dir.

6.6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.

a.a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği; dağılma özelliği;

A = [aA = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p , C = [c, C = [cjkjk]]n x p n x p olmak üzere ;olmak üzere ;

A.(B +C) = A .B + A . C dir.A.(B +C) = A .B + A . C dir.b.b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği; dağılma özelliği;

A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,

(A +B) C . = A .C + B . C olur.(A +B) C . = A .C + B . C olur.

7.7. A = [a A = [aijij]]m x n m x n ve B = [bve B = [bjkjk]]n x p n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.

(k.B)=(k.A).B dir.(k.B)=(k.A).B dir.

8.. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.

Örnek: veriliyor.A.B=B.C

olduğunu gösterelim.

41

13C ,

14

31B ,

46

23A

22

11 .11

2222

1111

14

31 .

46

23A.B

2 2

1 1 . 11

22 22

11 11

4 1

1 3 .

4 6

2 3A.C

O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir.

Çözüm:

KARE MATRİSİN KUVVETİ

Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. kN+ olmak üzere

A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.

A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.

A.A-1 = A-1.A =In dir.

Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri

1. olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin

çarpma işlemine göre tersi varsa, 1-1- A . k

1 k.A)(

0-Rk

1-11- A.BA.B)(

dc

baA

ac

bd

bcad

1A 1

2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri,

ve ise; 1A 1B

3. ise, dır.

Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.1A

BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)

Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları

sütun haline getirmekle elde edilen matrisine

A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir.

mxnijaA

nxmjia

65

14

23

AA dT

612

543A matrisinin transpozu,

Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;

1. 2. 3.A)(A TT TT BAB)A( TT A.k)A.k(

Teorem: ve matrisleri için,

dir.

mxnijaA nxpjkbB

TTT A.B)B.A(

Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir.T11T )A()A(

..,543

211. bulalımmatrisleriniABiseBA TT

.

52

41

31

543

211... dirABiçinABBA

T

TTTTT

Örnek:Örnek:

Çözüm:Çözüm:

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal

1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.

2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir.

3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir.

TATATA 1A

Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;

Örnek:

064

603

430

,53

32BA matrislerinin hangisinin

simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.

Çözüm:

53

32A simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.

064

603

430

B matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.

Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.

DETERMİNANTLAR

Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir.

Örneğin; A=[7] matrisi için dir.

a11A a11

A

7A

Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı

aaaa

2221

1211A

aaaaaaaa

211222112221

1211 ..A dir.

)......(A

tııdeterminan matrisinin A ibiçimindek 33:

231231133221332211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaaa

aa

aaaaaaaaaaa

aaa

a

Tanım

. )......(211233113223312213

diraaaaaaaaa

82

63AÇözüm:

82

63A:Örnek

olduğuna göre , yı hesaplayalım. A

3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur.

ım.hesaplayal yı A göre, olduğldu

4-50

012

301-

A :Örnek

bulunur. 34)000()0304(

2.0).4()1.(5.00.1.30.0.03.5.2)4.(1).1(

4-50

012

301-

A:Çözüm

MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)

Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir.

ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir.

a ij

ijM

ijji

ij M.)1(A a ij

Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun.

olmak üzere,

3M

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

A 3M

ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.

131312121111AAAdet(A) aaa RM:D 3

Örnek: determinantını hesaplayalım.29992997

30033001A

1a3a

3a1a

29992997

30033001A

A

Çözüm: 3000=a dersek, olur.

Buna göre, açılımını yapalım:

=(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.

DETERMİNANT FONKSİYONU

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.

ile tanımlı

fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir.

aaa

n

nn2n1n

n22221

n11211

M

aaaaaa

olmak üzere

n1n112121111A...AAAdet(A) aaa RM:D 3

A

Örnek: değerini bulalım.4231

1210

1011

0201

A

431

110

111

.)1.(2

423

121

101

.)1.(1A 42

Çözüm:

A = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16

bulunur.

A

DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

TAA A karesel matris ise, dir.

0-R cb,a,

111

cba

c22b2a

A

0A

determinantı verilmiş olsun.

Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

043

01-4

02-4

A =0 dır.

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

aaaaaaaaa

332211

33

2322

131211

..

00

0A (Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)

6ba

d c 6

dc

ba ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer

değiştirmiştir.)

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

dc

kbkaAk.

dc

baA ise olur.

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

kbdkac

ba

dc

ba

dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra

eklenmiştir.)

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

cbacba

cba zyx

A

333

222

111

Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;

cbacba

cbacbacba zyx

A

333

222

333

222

111

olur.

8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır.

9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.

4dc

baA 7

tz

yxBve 287.4.. BABA

BABA .. 10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için, dir.

EK MATRİS

Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş

olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A

matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.

nnijaA

*

TijA

aaaaaaaaa

A

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

T

A

332313

322212

312111

333231

232221

131211

matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma

göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.

Örneğin;

Ek(A) , matrisek için matrisi A

ac

bd

dc

ba

İşaretleri değişir. Yerleri değişir.

Ek Matris Özelliği

Yukarıdaki özelliği, A=

dc

bamatrisi için gösterelim:

adbc

bcad

adbdcdcd

ababbcad

ac

bd

dc

ba

0

0.

=(ad-bc) dııIA '.10

012

A .IA.Ek(A)=Ek(A).A=

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:

0ATeorem: A matrisi olan bir matris olmak üzere,

A

AEkA )(1

‘dır.

İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:

A

AEkA

AAAEkAAAEk

AAAEkAAAEkAA

)(

.)(..)(

..)(..)(..

1

11

111

814

312

201

A matrisinin tersini bulalım.

olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.

Örnek:

Çözüm:)det(

)(1

A

AEkA

olur.

1-1-6

104-

2211-

det(A)

Ek(A) A halde, O bulunur.olarak

1-1-6

104-

2211-

Ek(A) dıırvarA , olduğlduğu 01

814

312

201

)det(

1-

1-

A

dıır bc-ad

1

det(A)

Ek(A) A

; ise 0 bc- ad det(A) , matrisinde dc

ba:Sonuç

1-

ac

bd