LYS

TÜREV

KONU ÖZETLİ

ÇÖZÜMLÜ

SORU BANKASI

ANKARA

İÇİNDEKİLERTürev .......................................................................................................................1

Sağdan Ve Soldan Türev .......................................................................................4

Türev Alma Kuralları .............................................................................................7

fn(x) in Türevi ...................................................................................................... 12

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi.............................................................. 16

Bileşke Fonksiyonun Türevi ............................................................................... 21

Logaritma Fonksiyonun Türevi ......................................................................... 25

Üstel Fonksiyonun Türevi .................................................................................. 29

Türevde Zincir Kuralı ......................................................................................... 33

Ters Fonksiyonun Türevi .................................................................................... 37

Kapalı Fonksiyonun Türevi ................................................................................ 41

Parametrik Fonksiyonun Türevi ....................................................................... 45

Mutlak Değer Fonksiyonun Türevi ................................................................... 48

Yüksek Mertebeden Türev ................................................................................. 51

Logaritmik Türev Alma ...................................................................................... 54

00 Ve 3

3 Belirsizliği .............................................................................................. 60

Türevin Geometrik Yorumu .............................................................................. 65

Artan Ve Azalan Fonksiyonlar .......................................................................... 77

Ekstremum Noktalar .......................................................................................... 82

2. Türevin Geometrik Yorumu Ve Dönüm Noktaları .................................... 89

1. Türev Ve 2. Türev İle İlgili Grafik Soruları .................................................. 92

Maksimum Ve Minimum Problemleri ........................................................... 101

Türevin Fiziksel Anlamı ................................................................................... 108

Asimptotlar ........................................................................................................ 110

Türe

vin

Tanı

mı

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

1

TÜREV

● f: A → R ye bir fonksiyon ve

x, x0 ! A olsun

( ) ( )

limf x x xf x f x

'x x0

0

0

0= -

-

"` j

limitinin değerine f fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi denir ve f x'

0` j şek-

linde gösterilir.

VEYA

● ( ):A R f x A R"1 fonksiyonu ve-

rilsin. Bağımsız değişken olan x in değişim miktarı xT , bağımlı değiş-ken olan y nin değişim miktarı

( )y f x x f xT T= + -` j olsun.

limxy

x 0T

T

"T reel sayı değerine f(x)

fonksiyonunun x noktasındaki türe-vi denir.

● Türev , ( ),y f xdx

dyl l şeklinde gösteri-

lir.

● x – x0 = h olsun

x → x0 iken x – x0 → 0,

h → 0 olur.

( )( ) ( )

limf xh

f x h f x

h0 0

0 0=

+ -

"l

elde edilir.

ÖRNEK – 1

f(x) = x2

fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini bulunuz.

ÇÖZÜM

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

lim

lim

lim

lim

fx

f x f

fxx

fx

x x

f x

33

3

339

33

3 3

3 3 6

x

x

x

x

3

3

2

3

3

:

=-

-

=--

=-

- +

= + =

"

"

"

"

l

l

l

l

ÖRNEK – 2

f(x) = x2 + 4 olduğuna göre

( ) ( )

limh

f h f1 1

h 0

+ -

"

limitinin değeri kaçtır?

ÇÖZÜM

( ) ( )

( )

lim

lim

lim

lim

h

h f

hh h

hh h

h

1 4 1

2 1 4 5

2

2 2

h

h

h

h

0

2

0

2

0

2

0

+ + -

+ + + -

+

+ =

"

"

"

"

ÖRNEK – 3

y = f(x) fonksiyonunun x = –2 apsisli noktasındaki türevi k – 12 dir.

( ) ( )

limh

f h f

2

2 220

h 0

- + - -=

"

olduğuna göre k kaçtır?

ÇÖZÜM

f′(–2) = k – 12 verilmiş

( ) ( )

ü › ›

( )

( )

lim

tan

h

f h f

T revin m ndan

f

f

2 22 20

2 2 20

2 10

h 0:

:

- - -=

- =

- =

"

l

l

k – 12 = 10

k = 22

ÖRNEK – 4

( ) ( )

limx

f x f

16

46

x 4 2-

-=

"

olduğuna göre f′(4) kaçtır?

ÇÖZÜM

Verilen ifadeyi düzenleyelim( ) ( )

( ) ( )

lim

lim

x

f x f

x

x

f x f

4

4

41 6

4

4

81 6

x

x

4

4

:

:

-

-

+=

-

-=

"

"

Türevin tanımından

( ) .

( )

f

f

481 6

4 48

'

'

=

=

ÖRNEK – 5

f(2x) = (2x + 1)$(2x – 1)

olduğuna göre

fı(1) kaçtır?

ÇÖZÜM

f(2x) fonksiyonunu f(x) fonksiyo-nuna dönüştürelim.

x yerine x2

yazalım.

f(x) = (x + 1)$(x – 1) = x2 – 1

elde edilir.

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

lim lim

lim lim

fx

x f

xx

fx

x xx

11

1 1

11 0

11

1 11 2

x x

x x

1

2

1

2

1 1

:

=-

- -=

-- -

=-

- += + =

" "

" "

l

l

ÖRNEK – 6

f: R+ j {0} → R

f′(x) = x x x 13+ + -

olduğuna göre

( ) ( )

lim uf u f1 1

u 0

+ -

"

limitinin değeri kaçtır?

ÇÖZÜM

Türevin tanımından

( ) ( )( ) .

( )

( )

lim uf u f

f dir

f

f

1 11

1 1 1 1 1

1 2

u 0

+ -=

= + + -

=

"l

l

l

ÖRNEK – 7

f: R+ → R

( )f x x=

fonksiyonunun herhangi bir x de-ğeri için türevini bulunuz.

ÇÖZÜM

( )( ) ( )

( )

( )

(

( )

lim

lim

lim

lim

lim

lim

f xh

f x h f x

hx h x

h x h x

x h x x h x

h x h x

x h x

h x h x

h

x h x

x

1

2

1

h

h

h

h

h

h

0

0

0

0

0

0

:

:

:

:

=+ -

=+ -

=+ +

+ - + +

=+ +

+ -

=+ +

=+ +

=

"

"

"

"

"

"

l

` j

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

6

1. ( ) ,

, ≤f x

x x

x x

3

3

>2

3= *

olduğuna göre f′(4) kaçtır?

A) 16 B) 8 C) 64

C) 48 E) 12

2. ( ), ≥

,f x

x x x

x x

2 2

3 2 2<

2

=+

+*

olduğuna göre f′(0) + f′(3) kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 10 E) 11

3. ( ),

, ≤f x

x k x

x x

2 1

4 3 1

>2

=+

+*

f(x) fonksiyonu x = 1 noktasında türevli olduğuna göre k kaçtır?

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

4. ( )f xx

x3

1 4=-+ -

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f(x) fonksiyonunun tü-revsiz olduğu doğal sayı değerleri toplamı kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

5. ( )

,

, ≥f x

x x x

x x

1 2

21 2

<3

=

+ +

+

Z

[

\

]]

]]

olduğuna göre

f′(3) + f′(2+) – f′(2–) + f′(0)

işleminin sonucu kaçtır?

A) –11 B) –6 C) 3

D) 6 E) 10

6. ( ), ≥

,f x

ax x

bx x

3 1

2 1<3=

+

-*

fonksiyonu x = 1 noktasında tü-revli olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

A) –17 B) –13 C) –10

D) 6 E) 21

7. ( )

,

,

,

f x

a x

a cx x

bx x x

2

2

2 2

<

>2

= + =

-

Z

[

\

]]]

]]

fonksiyonu x = 2 noktasında türev-li olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?

A) 21 B) 14 C) 0

D) 23- E) –3

8. ( )

, ≤

, ≤

,

g x

x x x

x x

xx

3 2 1

3 2 1 2

23

2

<

>

2

=

+

-

+

Z

[

\

]]]

]]]

fonksiyonunun kaç farklı değeri için türevi yoktur?

A) 3 B) 1 C) 5 D) 4 E) 2

9. ( )f x x 923= -

fonksiyonunun türevli olduğu en geniş tanım aralığı nedir?

A) (–3, 3) B) [–3, 3]

C) R – {–3, 3} D) R

E) {–3, 3}

10. y

y = f(x)

x–3 31 5

Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun türevsiz olduğu noktaların apsisle-ri toplamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 6

11. ( )f xx x x4 5

33 2

=- -

fonksiyonunun türevsiz olduğu noktalar kaç tanedir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

12.

x

y

–3–2

3 4 65

Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun (–3, 6) aralığında türevli olduğu kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

1. B 2. E 3. C 4. E 5. A 6. C 7. D 8. E 9. C 10. B 11. D 12. C

Yüks

ek M

erte

bede

n Tü

rev

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

51

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREV

● f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta türevleri de tanımlı olmak üzere

● ( )f xdx

dy=l (1. türev)

● ( )f xdx

d y2

2

=ll (2. türev)

● ( )f xdx

d y3

3

=lll (3. türev)

.

.

.

● ( )f xdx

d y( )nn

n

= (n. türev)

ÖRNEK – 1

f(x) = e2x

olduğuna göre f(20)(x) değeri ne-dir?

ÇÖZÜM

( )

( )

( )

( )

f x e

f x e

f x e

f x e

2

2

2

x

x

x

x

2

2

2 2

3 2

=

=

=

=

l

ll

lll

O hâlde f(20)(x) = 220$e2x

ÖRNEK – 2

( ) lnf x x=

olduğuna göre f(40)(–1) değeri kaç-tır?

ÇÖZÜM( )

( )

( )

( ) !

( )!

( ) !

( )!

( ) !

lnf x x

f x x

f xx

f xx x

f xx x

f xx x

f xx

f

1

1

2 2

6 3

24 4

39

1 39

( )

( )

( )

( )

2

3 3

44 4

55 5

4040

40

h

=

=

=-

= =

=-=-

= =

=-

- =-

l

ll

lll

ÖRNEK – 3

f(x) = x17

olduğuna göre f(15)(1) değeri kaç-tır?

ÇÖZÜM

( )

( )

( )

( )

( )

( ) !

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

f

17

17 16

17 16 15

17 16 15 3

1 17 16 15 3 12

17

( )

( )

17

16

15

14

15 2

15

:

: :

: : :

: : : :

: : : : :

g

g

=

=

=

=

=

= =

l

ll

lll

ÖRNEK – 4

( ) sinf x x3=

olduğuna göre f2

( )26 re o değeri

kaçtır?

ÇÖZÜM( )

( )

( )

( )

( )

( )

sin

cos

sin

cos

sin

sin

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

( )

( )

2

3

4 4

26 26

:

:

:

:

:

h

=

=

=-

=-

=

=-

l

ll

lll

O hâlde

sinf2

32

33( )26 26 26:

r r=- =e o

ÖRNEK – 5

( ) cosf x e xx :=

olduğuna göre f(4)(x) in f(x) türün-den eşiti nedir?

ÇÖZÜM( )

( )

( )

( ) ( )

( )

cos

cos sin

sin

sin cos

cos

f x e x

f x e x e x

f x e x

f x e x x

f x e x

2

2

4( )

x

x x

x

x

x4

:

: :

:

:

:

=

= -

=-

=- +

=-

l

ll

lll

O hâlde f(4)(x) = –4f(x)

ÖRNEK – 6

y x x x2 5 16 4= - + +

olduğuna göre y(4)(0) değeri kaç-tır?

ÇÖZÜM

( )

( )

( )

( )

( )

y x x x

y x x x

y x x x

y x x

y

6 8 5

30 24

120 48

360 48

0 48

( )

( )

5 3

4 2

3

4 2

4

= - +

= -

= -

= -

=-

l

ll

lll

ÖRNEK – 7

( ) cosf t t42=

olduğuna göre ( )

dt

d f t2

2

nedir?

ÇÖZÜM

( )

( )

( )

( )

cos

cos sin

sin

cos

f t t

dt

df tt t

dt

df tt

dt

d f tt

4

2 4 4 4

4 8

32 8

2

2

2

: :

:

:

=

=-

=-

=-

ÖRNEK – 8

( )f x ax x bx x3 2 16 4 2= - + + +

( )

( )

f

f

1 12

1 62

=-

- =-

l

ll

olduğuna göre a + b toplamı kaç-tır?

ÇÖZÜM

( )

( )

( )

( )

f x ax x bx

f x ax x b

f a b

f a b

6 12 2 2

30 36 2

1 6 12 2 2 12

1 30 36 2 62

5 3

4 2

= - + +

= - +

= - + + =-

- = - + =-

l

ll

l

ll

a b

a b

6 2 2

30 2 26

+ =-

+ =-

(Denklemlerin çözümünden)

a = –1 ve b = 2 bulunur.

a + b = 1

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

52

1. siny x2=

olduğuna göre dx

d y10

10

ifadesinin

x4r

= için değeri kaçtır?

A) 23 B) –210 C) –28

D) 4 E) 0

2. f(x) = x100

olduğuna göre f(100)(x) ifadesinin eşiti nedir?

A) 1000 B) 1 C) 0

D) 100 E) 100!

3. y = e–3x

olduğuna göre y(4)(0) değeri kaç-tır?

A) 81 B) 27 C) 35 D) 37 E) 1

4. f(x) = (x – 1)2

fonksiyonu veriliyor.

dx

d fdxdf

62

22

+ =e o

olduğuna göre x değeri kaç olabi-lir?

A) 4 B) 1 C) 2 D) –1 E) –4

5. ( ) lnf x x=

olduğuna göre f(24)(1) değeri kaç-tır?

A) –22! B) 24 C) 24!

D) 23 E) –23!

6. ( )

dx

d x x5

5 5 4-

ifadesinin eşiti nedir?

A) 5! B) 4! C) 5 D) 4 E) 0

7. ( ) lnf x x x x3:= -

olduğuna göre ( ) ( )f x x f x:+ll lll ifa-

desinin eşiti nedir?

A) x2- B) –12x C) 0

D) x6 E) 12

8. f(x) = 5x

olduğuna göre f(50)(0) ifadesinin eşiti nedir?

A) 1 B) 0 C) ln5

D) 50 E) ( )ln5 50

9. f(x) = x4 – mx3 + nx2 – px + 1

fonksiyonunun x = 1 de üç katlı bir kökü olduğuna göre m + n + p top-lamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 14 D) 22 E) 36

10. P(x) = x3 + (a + 1)x2 + (b – 1)x – 2

polinomu (x + 1)2 ile tam bölünebil-diğine göre a kaçtır?

A) –1 B) 1 C) 0 D) –2 E) 2

11. P(x) polinom fonksiyondur.

( ) ( )P x P x x12 4+ = +ll lll

P(0) = 3 , P(–1) = –3

olduğuna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 6 D) 7 E) 10

12. sinx t2=

cosy t2=

parametrik fonksiyonları veriliyor.

Buna göre dx

d y2

2

nin eşiti aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) tan t1 2+ B) tan t2

C) cos t2 D) cosec t23

E) sec t23-

1. B 2. E 3. A 4. C 5. E 6. A 7. B 8. E 9. C 10. A 11. B 12. E

Türe

vin

Geo

met

rik Y

orum

u

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

65

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

● y = f(x) fonksiyonunun x = x0 nok-tasındaki türevi; aynı fonksiyona (x0, f(x0)) noktasından çizilen teğe-tin eğimidir.

● Bir fonksiyonun herhangi bir nokta-sında fonksiyona sadece bir tane teğet çizilebiliyorsa fonksiyonun o noktada türevi vardır.

● Teğet çizilemiyorsa ya da birden fazla teğet çizilebiliyorsa fonksiyo-nun o noktada türevi yoktur.

y

xx0

y0

y = f(x)

y = mx + n

Teğet doğru

Normal doğru

a

tanE im m f x€ 0a= = = l` j

Teğet doğru denklemi

( )y y m x x0 0- = -

Normalin doğru denklemi

( )y y m x x1

0 0- =- -

ÖRNEK – 1

f x x x6 123= - +` j

eğrisinin x = 2 noktasındaki teğeti-nin eğimi kaçtır?

ÇÖZÜM

m f

f x x

f

2

3 6

2 6

2

=

= -

=

l

l

l

`

`

`

j

j

j

O hâlde eğim m = 6 dır.

ÖRNEK – 2

f x x x kx3 74 2= - + +` j

eğrisine x = 1 noktasından çizilen teğetin eğimi –4 olduğuna göre k kaçtır?

ÇÖZÜM

m f

f x x x k

f k

k

k

1 4

4 6

1 2

2 4

2

3

= =-

= - +

=- +

- + =-

=-

l

l

l

`

`

`

j

j

j

ÖRNEK – 3

f x x mx 12=- + +` j

parabolüne A(3, y0) noktasından çizilen teğeti x ekseni ile pozitif yönde 45° açı yaptığına göre m de-ğeri kaçtır?

ÇÖZÜM

,

tan

tan

E im f

f x x m

f m

m

m

3 45

2

3 2 3 45 1

1

7

6

€ °

°:

= =

=- +

=- + =

- + =

=

l

l

l

`

`

`

j

j

j

ÖRNEK – 4

sin cosf x x x8 4= -` j

eğrisinin x4r

= noktasındaki teğet

doğru denklemi nedir?

ÇÖZÜM

Teğet doğru denklemi

y y m x x0 0- = -` j

, ,

sin cos

sin cos

cos sin

cos sin

x y f x m f x

y f

f

f x x x

f

m f

y x

y x

4

48

44

4

42 1

8 8 4 4

48 8

44 4

4

48

1 84

8 2 1

0 0 0 0

0

0

: :

:

: : : :

r

r r r

rr r

r r r

r

r

r

= = =

= = -

= - =

= +

= +

= =

- = -

= - +

l

l

l

l

`

e

e

e

e

e

e

`

e

e

`

e

o

o

o

j

o

j

o

o

o

o

j

o

ÖRNEK – 5

xy x y xy y2 3 2 2 03 2 2- + + + =

eğrisine x = 0 noktasından çizilen nor-malin denklemi nedir?

ÇÖZÜM

,m F x yF y

F xT = =-l

l

l`

``

jjj

mxy x xy

y xy y

3 2 6 2

4 3T 2 2

3 2

=-- + +

- +

Verilen denklemde x yerine 0 yaz-dığımızda y değerini buluruz.

y

y

2 2 0

1

+ =

=-

,m F 0 10 0 0 2

1 0 31T = - =-

- + +- - +

=-l` j

Normalin Denklemi

y y m x x

y x

y x

1

11

1 0

1

T0 0- =- -

- - =--

-

= -

` `

`

j j

j

ÖRNEK – 6

ln cosf x x=` `j j

eğrisine x0 = 0 noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?

ÇÖZÜM

, ,

y y m x x

x y f m f0 0 0

0 0

0 0

- = -

= = = l

`

` `

j

j j

ln cos

ln

cossin

y

y

y

f x xx

m f

0

1

0

0 0

0

0

0

=

=

=

=-

= =

l

l

` `

`

j j

j

y x

y

0 0 0

0

- = -

=

` j

AÇIK UÇLU SORULAR

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

72

1. f x x x5 22= - +` j

parabolüne x = 1 noktasından çizi-len teğetin denklemi nedir?

(y = –3x + 1)

2. y esin x3=

fonksiyonunun x = r noktasındaki normalinin eğimi kaçtır?

31d n

3. y x mx 202= - +

eğrisine x eksenini kestiği nokta-lardan çizilen teğetlerin birbirine dik olması için m nin pozitif değeri kaçtır?

(9)

4. y x mx n2= - +

parabolünün x = –1 noktasındaki teğetin denklemi y = 2x – 1 olduğu-na göre n kaçtır?

(0)

5.

d

f(x)

y

30

x

, 1 2_ i

Yukarıda verilen d doğrusu f(x) fonk-siyonuna x = 1 noktasında teğettir.

g x f x43=` `j j

olduğuna göre g(x) in x41

= nokta-

sındaki teğetinin eğimi kaçtır?

24 3-_ i

6. cosx t t=

siny t t=

parametrik denklem ile verilen y = f(x) eğrisine t

2r

= noktasından

çizilen teğetin denklemi nedir?

yx2

2rr

=- +d n

7. x y1 1 1+ =

eğrisine x = 2 noktasından çizilen teğet denklemi x eksenini hangi noktada keser?

(4)

8. y x x3 12= - +

eğrisinin y = –x + 1 doğrusuna en yakın noktası nedir?

(1, –1)

9. f x x x11 13= - +` j

fonksiyonunun hangi noktaların-daki teğetleri y + x + 1 = 0 doğru-suna diktir?

(2, –13) ve (–2, 15)

10. f x x x x m k2 5 13 2= - + + - +` j

eğrisinin x eksenine paralel olan teğetlerin değme noktalarının ap-sisleri toplamı kaçtır?

32d n

11. y f(x)

–2 4

2

4

g(x)

x

g(x) doğrusu f(x) fonksiyonuna x = 4 noktasında teğettir.

Buna göre (gof)(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

94d n

12. f x x g x x2 4 2 22 2+ = - + +` ` `j j j

fonksiyonu veriliyor.

g′(2) = 4 olduğuna göre f(x) fonksi-yonunun x = 4 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

(–4)

Asi

mpt

otla

r

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

111

ÖRNEK – 3

( )f xx mx

x

2 8

2 72

=+ +

+

eğrisinin düşey asimptotunun ol-maması için m nin alacağı tamsayı değerleri ne olmalıdır?

ÇÖZÜM

2x2 + mx + 8 = 0

denkleminin reel kökü olmamalıdır. Yani T < 0 dır.

› › .

m

m

m olmal d r

4 2 8 0

64

8 8

<

<

< <

2

2

: :-

-

O halde m nin alacağı tamsayı de-ğerleri;

(–7, –6, . . ., 5, 6, 7)

YATAY ASİMPTOT

( )( )

( )y f x

P x

Q x= =

şeklindeki fonksiyonlarda

● ( ) ( )lim limf x a ve f x bx x

= =" "3 3-

● a ve b reel sayı oluyorsa

y = a ve y = b doğrularına yatay asimptot denir.

● y

x

a

●

x

y

b

Şekilden görüleceği gibi yatay asimptot eğriyi kesebilir.

ÖRNEK – 4

( )f xx x

x x

4 1

2 5 72

2=- + +

- -

eğrisinin yatay asimptotunu bulu-nuz.

ÇÖZÜM

limx x

x x

4 1

2 5 72

x 2

2

- + +

- -=-

"3

olduğundan y = –2 yatay asimptottur.

ÖRNEK – 5

limx

x x

1

3 4 5x 2

3

+

- -"3

eğrisinin yatay asimptotunu bulu-nuz.

ÇÖZÜM

limx

x x

1

3 4 5x 2

33

+

- -=

"3

olduğundan eğrinin yatay asimptotu yoktur.

ÖRNEK – 6

f(x) = 3x + 1

eğrisinin yatay asimptotunu bulu-nuz.

ÇÖZÜM

lim

lim

3

3 331 0

xx

xx

1

1

3=

= = =

"

"

3

3

33

+

-

+ -

O hâlde y = 0 doğrusu (x - ekseni) yatay asimptottur.

ÖRNEK – 7

( ) ( )f x a b x bx

x21

4= - + +

-

eğrisinin yatay asimptotu –4 oldu-ğuna göre a + b toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM

(Payda eşitlersek)

( )( ) ( )

f xx

a b x a b x b

1

3 4 22

=-

- + - + + -

elde edilir.

Yatay asimptotun olabilmesi için

a – b = 0 ve b a1

3 44

+ -=-

olması gerekir.

Denklem çözülürse

a = –4 ve b = –4 bulunur.

O hâlde a + b = –8 dir.

● Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotların kesim noktasıdır.

ÖRNEK – 8

yxx

410 8

=-

+

fonksiyonunun simetri merkezi nedir?

ÇÖZÜM

● Düşey asimptot

x – 4 = 0

x = 4

● Yatay asimptot

limxx

410 8

x -

+"3d n = 10

O halde simetri merkezi (4, 10)

ÖRNEK – 9

y = xx

11-

+

eğrisinin simetri merkezi y = 3x + k doğrusu üzerinde oldu-ğuna göre k kaçtır?

ÇÖZÜM

● Düşey asimptot

x – 1 = 0

x = 1

● Yatay asimptot

limxx

11

x -+

"3

y = 1

O halde simetri merkezi (1, 1) noktası y = 3x + k doğrusu üzerinde olduğu-na göre

1 = 3$1 + k

k = –2

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

BİD

ER

S Y

AY

INC

ILIK

114

1. ynx kmx 3=

+-

eğrisinin düşey ve yatay asimptot-

ları (4, –6) olduğuna göre mk kaç-

tır?

A) 31 B)

32- C)

23-

D) 32 E)

23

2. Asimptotları x = 2, y = –3 doğruları olan ve y eksenini y = 1 noktasında kesen f(x) fonksiyonunu aşağıda-kilerden hangisi olabilir?

A) yxx

23

=-+ B) y

xx

23

=--

C) yx

x2

3 2=

-- - D) y

xx

23

=-

E) yx

x2

3=--

3. ( )f xxk

816=

-+ eğrisinin simetri mer-

kezi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (8, 0) B) (8, 2)

C) (–1, 0) D) (–1, 2)

E) (2, –1)

4. yxx

3 12 12

=-- eğrisi ile y = mx + 2 doğ-

rusu ,H21 4e o noktasına göre simetrik

iki noktada kesişiyor.

Buna göre m kaçtır?

A) 4 B) –1 C) 9 D) –3 E) –2

5. a ve b sıfırdan farklı reel sayılardır.

( ) tanf xa

xxb

12

13

=++

--e o fonksiyonu-

nun yatay asimptotu y = –3 doğrusu-dur.

Buna göre b nin a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) a B) a3

C) a + 3

D) –3a E) –3 + a

6. yxx

2 64 8

=+-

fonksiyonu ile bu fonksiyonun yatay asimptotu aynı noktada kesişiyor.

Buna göre kesiştikleri noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

A) 2 B) 23 C) 4

D) 21- E)

25

7.

x

y

2

Yukarıdaki grafik aşağıdaki fonksi-yonların hangisiyle çizilebilir?

A) y xx 2

=+ B) y

xx

2=-

C) y xx2 2

=- D) y

xx

22

=-+

E) yxx

22

=+-

8.

–2 1 4

f(x)

x

y

2

Yukarıdaki grafik

( )( ) ( ) ( )

f xx x a x

16

2 2 82 :=

+ + - fonk-

siyonuna ait olduğuna göre a kaç-tır?

A) –2 B) 41 C) 2

D) 81 E) –1

1. D 2. C 3. A 4. E 5. D 6. B 7. C 8. E