Szum, sygnał, filtracjaw jądrowej spektrometrii

amplitudowo-czasowej

Kazimierz Korbel

+ t

Vi (-t ) V

i (t )

hopt

(t )

Tm- t 0

+ t

Vi (t )

Tm

Vi (-t )

hopt

(t )

- t 0

SZUM, SYGNAŁ, FILTRACJA W JĄDROWEJ SPEKTROMETRII AMPLITUDOWO-CZASOWEJ

KAZIMIERZ KORBEL

WYDAWNICTWA AGH KRAKOW 2011

KU 0418 pozycja wydawnictw naukowychAkademii Górniczo-Hutniczej im. S. Staszica w Krakowie

© Wydawnictwa AGH, Kraków 2011ISBN 978-83-7464-419-8

Redaktor Naczelny Wydawnictw AGH: Jan Sas

Komitet Naukowy Wydawnictw AGH:Tomasz Szmuc (przewodniczący)Marek CapińskiJerzy KlichWitold K. KrajewskiTadeusz SawikMariusz Ziółko

Recenzenci: dr hab. inż. Marek Idzikdr hab. inż. Janusz Marzec

Autor: Kazimierz KorbelAGH Akademia Górniczo-HutniczaWydział Fizyki i Informatyki Stosowanejal. A. Mickiewicza 3030-059 Kraków

Druk wykonano z plików dostarczonych przez autora publikacji.

Projekt okładki i strony tytułowej według pomysłu autora publikacji: Bernadeta Zielińska

Redakcja Wydawnictw AGHAl. Mickiewicza 30, 30-059 KrakówTel. 12 617 32 28, tel/faks 12 636 40 38e-mail: redakcja@wydawnictwo.agh.pl

www.wydawnictwo.agh.edu.pl

Spis treści

Słowo wstępne ................................................................................................. 5

1. Wprowadzenie ........................................................................................... 7

2. Sygnały i ich źródła..................................................................................... 15

2.1. Impulsowe komory jonizacyjne ................................................................ 172.1.1. Płaska komora jonizacyjna .................................................................... 182.1.2. Komora z siatką Frischa ......................................................................... 212.1.3. Cylindryczna komora jonizacyjna ......................................................... 232.2. Licznik proporcjonalny ............................................................................. 262.3. Detektory półprzewodnikowe ................................................................... 272.3.1. Detektor z polem jednorodnym (PIN).................................................... 282.3.2. Detektory półprzewodnikowe typu ostrego złącza ................................ 312.4. Krzemowe detektory dryfowe ................................................................... 362.5. Licznik scyntylacyjny ............................................................................... 40

3. Źródła szumów ........................................................................................... 473.1. Szum termiczny ........................................................................................ 483.2. Szum śrutowy ............................................................................................ 563.3. Szum generacyjno-rekombinacyjny .......................................................... 623.4. Szumy fotoemisji i emisji wtórnej ............................................................ 663.5. Szum nadmiarowy .................................................................................... 703.6. Szumowe schematy zastępcze .................................................................. 76

4. Dopasowany filtr optymalny .................................................................... 89

5. Tryby odczytu detektorów ....................................................................... 111

6. Suboptymalne, stacjonarne filtry pasywne ............................................. 125

6.1. Filtr typu CR-RC ....................................................................................... 1266.2. Filtr typu CR-(RC)2 ................................................................................... 1346.3. Filtry R-C wyższych rzędów .................................................................... 1386.4. Filtry R-C skompensowane indukcyjnością.............................................. 1416.5. Filtry typu (CR)2-(RC)n ............................................................................. 145

6.6. Filtry typu DL-RC ..................................................................................... 1496.7. Skutki odstępstw od założeń idealizujących ............................................. 1576.8. Układ wymiany biegunów ........................................................................ 164

7. Filtry aktywne RC ..................................................................................... 1697.1. Układ z dodatnim sprzężeniem zwrotnym ................................................ 1707.2. Układy z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym ...................... 1807.3. Układy z pojedynczym ujemnym sprzężeniem zwrotnym ....................... 1857.4. Filtry typu „(DL)-(OP.INT)” .................................................................... 195

8. Filtry niestacjonarne ................................................................................. 2058.1. Konfiguracja z prefiltrem „CR” ................................................................ 2128.2. Konfiguracja z prefiltracją na zwartej linii opóźniającej .......................... 2158.3. Konfiguracja z prefiltrem quasigaussowskim ........................................... 2198.4. Filtr niestacjonarny z podwójnym kluczowaniem .................................... 224

9. Filtry transwersalne .................................................................................. 2339.1. Filtry transwersalne z liniami opóźniającymi ........................................... 2349.2. Filtry transwersalne z przyrządami CTD .................................................. 240

10. Filtry cyfrowe w spektrometrach promieniowania jądrowego ........... 247

Dodatek A. Twierdzenie Ramo-Shockleya .................................................... 261

Dodatek B. Twierdzenie Wienera-Chinczyna ............................................... 265

Dodatek C. Twierdzenie Parsevala .............................................................. 269

Dodatek D. Wariancja szumów w dziedzinie czasu ...................................... 271

Dodatek E. Twierdzenia Campbella-Francisa ............................................... 275

Dodatek F. System filtracji wzmacniacza ORTEC 450 ................................ 279

Dodatek G. Metoda wskaźników szumowych. Gouldinga ........................... 283

Dodatek H. Przykład obliczeń filtru Buttterwortha 3-go rzędu...................... 289

3

Słowo wstępne

Nowa książka Kazimierza Korbla Szum, sygnał, filtracja w jądrowej spektrometrii amplitudowo-czasowej jest nie tylko kolejnym opracowaniem fundamentalnych problemów elektroniki jądrowej, ale stanowi ona unikalne potraktowanie tych zagadnień, w oparciu o elementy teorii sygnałów i teoretyczne opisy zjawisk szumowych w przyrządach półprzewodnikowych, wypracowane w trakcie wieloletniego prowadzenia wykładów dla kolejnych pokoleń studentów fizyki jądrowej w Akademii Górniczo-Hutniczej. Nie będzie przesadą stwierdzenie, że nie da się znaleźć porównywalnej pozycji w aktualnej literaturze światowej.

Elektronika jądrowa obejmuje wiele zagadnień z różnych dziedzin, począwszy od fizyki detektorów promieniowania jonizującego, poprzez narzędzia matematyczne teorii sygnałów wykorzystywane do ekstrakcji istotnych informacji z sygnałów generowanych w detektorach, a skończywszy na obwodach i układach elektronicznych. Te ostatnie przeszły przez kolejne fazy rozwoju elektroniki, od lamp elektronowych, poprzez tranzystory dyskretne, do układów scalonych wielkiej skali integracji. Niezależnie od technologii elementów elektronicznych, ze zjawiskami fizycznymi, na których oparte jest ich działanie, są związane procesy fluktuacji statystycznych, nazywane w elektronice szumami.

Ze względu na statystyczny charakter sygnałów otrzymywanych z detektorów promieniowania elektronika jądrowa wypracowała szereg unikalnych metod analizy, pozwalających wydobyć możliwie wiele informacji z rejestrowanych sygnałów, którym nieodłącznie towarzyszą zjawiska szumowe. Można powiedzieć, że w dziedzinie detekcji promieniowania jonizującego nie ma łatwych pomiarów, a fundamentalnym ograniczeniem pozostaje zawsze stosunek sygnału do szumu, który, w zależności od mierzonej wielkości, manifestuje się ograniczoną rozdzielczością energetyczną, czasową lub pozycyjną. Moje obserwacje zmagań z szumami w aparaturze detekcyjnej, od spektrometru opartego na pojedynczym detektorze po współczesne eksperymenty fizyki cząstek elementarnych, zawierające dziesiątki milionów indywidualnych elementów detekcyjnych, pokazują, że dla wielu eksperymentatorów szumy pozostają ciągle zjawiskami niezrozumiałymi. Książka stanowi kolejny istotny wkład autora w oswajanie samego pojęcia szumów i pokazywanie, że zjawiska te mają swoje źródło

4

w fundamentalnych procesach fizycznych i można je opisać formalnie na równi z sygnałem.

Książka stanowi unikalne połączenie podstaw teoretycznych analizy sygnałów i zagadnień związanych z praktycznymi realizacjami układów elektronicznych. Takie podejście odzwierciedla fakt, że autor w swojej bogatej działalności naukowej uprawiał elektronikę w sposób praktyczny. Dlatego też na każdy algorytm formalny patrzy on przez pryzmat możliwej realizacji praktycznej. Oczywiście, możliwości realizacji zmieniają się wraz z rozwojem technologii elektronicznych i ich dostępnością, co nie umyka uwadze autora.

Do kogo jest adresowana prezentowana książka? Myślę, że grono potencjalnych czytelników jest bardzo szerokie, od studentów i doktorantów do osób zajmujących się profesjonalnie projektowaniem i konstruowanie systemów elektronicznych dla potrzeb spektrometrii amplitudowej i czasowej. Wraz z rozwojem i dostępnością techniki specjalizowanych układów scalonych coraz powszechniejsze staje się raczej konstruowanie aparatury detekcyjnej specyficznej dla danego zastosowania, niż kupowanie aparatury dostępnej komercyjnie. Powody po temu są zarówno techniczne jak i ekonomiczne. Wykorzystanie techniki specjalizowanych układów scalonych wymaga natomiast sięgnięcia do podstawowych analiz teoretycznych i modeli przyrządów półprzewodnikowych.

Postęp w dziedzinie szybkich przetworników analogowo-cyfrowych i cyfrowego przetwarzania sygnałów otwiera możliwości realizacji licznych pomysłów z zakresu filtrów cyfrowych, które przez lata pozostawały w sferze koncepcji teoretycznych ze względu na ograniczenia pojawiające się przy próbach realizacji praktycznych. Dlatego też polecam to opracowanie również dla osób, które zajmują się pomiarami promieniowania jonizującego, ale deklarują nieznajomość elektroniki, myśląc o elektronice w kategorii mniej lub bardziej skomplikowanych obwodów elektrycznych.

Odniesienia do wcześniejszych opracowań K. Korbla można znaleźć we wszystkich rozprawach doktorskich traktujących o problemach związanych z detekcją promieniowania, które powstały w środowisku krakowskim w ciągu ostatnich dwudziestu lat. Jestem przekonany, że nowe opracowanie będzie mieć jeszcze szerszy zasięg.

Kraków, 2011 Władysław Dąbrowski

5

1. Wprowadzenie

Spektrometryczny system pomiarowy można traktować jako pewien szcze-gólny przypadek systemu komunikacyjnego, którego zadaniem jest przesyłanie (transmisja) i odbiór (recepcja) sygnałów w obecności zakłóceń szumowych i indukowanych. Wydaje się zatem właściwym zapożyczyć szereg pojęć i zależ-ności podstawowych z ogólnej teorii komunikacji statystycznej [1], pomocnych przy formułowaniu uogólniających stwierdzeń i ułatwiających korzystanie z za-awansowanej literatury przedmiotu.

W najbardziej ogólnym ujęciu zagadnienia przedmiotem transmisji i recepcji może być dowolnego typu zaburzenie (elektryczne, akustyczne, optyczne, ter-miczne itd.). Jeśli zaburzenie takie niesie pożądaną informację zwane jest sygnałem1), jeśli natomiast takiej informacji nie zawiera, stanowi ono składową niepożądaną, określaną mianem szumów lub tła.

Zachowując nadal ogólność rozważań dopuszczamy iż sygnał może mieć cha-rakter zarówno deterministyczny jak i stochastyczny, natomiast szum, rozumia-ny jako rezultat procesów fluktuacyjnych, ma charakter stochastyczny. Zauważ-my, że wprowadzone równolegle z pojęciem szumu określenie tło ma szersze znaczenie obejmujące obok zakłóceń typu stochastycznego także zakłócenia o cha-rakterze deterministycznym.

W terminach teorii komunikacji statystycznej sygnał opisany jest zależnością funkcyjną

),,()( tsAtS S (1.1)

w której AS jest miarą mocy sygnału tj. determinuje skalę amplitudową zaś s(t) stanowi znormalizowany kształt sygnału. Parametr określany mianem epoka, wiąże przebieg czasowy sygnału z przyjętym dowolnie układem współrzędnych. Podaje on odległość czasową wybranego, zdefiniowanego funkcyjnie punktu przebiegu sygnału od początku przyjętego układu odniesienia czasowego, który z kolei odpowiada momentowi rozpoczęcia pomiaru. Często stosowanymi synoni-

1) Na użytek niniejszej monografii zwać go będziemy sygnałem informacyjnym

6

mami pojęć pomiar oraz czas pomiaru są określenia obserwacja i odpowiednio czas obserwacji. Będą one, jako równoważne, używane w dalszej partii wykładu.

Na rysunku 1.1 przedstawiono wzajemne relacje między przebiegiem sygnału s(t), epoką oraz okresem obserwacji Tm.

Symbolem w formule (1.1) oznaczono ogólnie wszelkie parametry de-skryptywne sygnału jak np. długość impulsu, częstotliwość repetycji i inne.

Według własności parametru sygnały dzielimy na dwie kategorie: sygnały koherentne, dla których epoka przyjmuje wartość stałą, sygnały niekoherentne, dla których jest zmienną losową.

Jeśli, w szczególnym przypadku, za referencyjny punkt przebiegu sygnału przyjąć jego początek i związać z nim układ współrzędnych, epoka = 0, wobec czego sygnał będzie zaliczany do kategorii sygnałów koherentnych. Tego rodzaju przypadki będą miały miejsce w pomiarach rozkładów amplitudowych w syste-mach spektrometrycznych promieniowania jądrowego.

Usystematyzujmy z kolei pojęcia związane z procesem recepcji sygnału.W procesie tym dokonywana jest ocena sygnału według założonych, ściśle zdefi-niowanych kryteriów testowania. Umownie wyróżnia się dwa sposoby takiej oceny określane odpowiednio mianem detekcji 2) i ekstrakcji sygnału.

Ocena realizowana w procesie detekcji ma na ogół charakter jakościowy i sprowadza się do stwierdzenia czy w okresie obserwacji na tle szumów pojawia się oczekiwany sygnał względnie / oraz czy wykazuje on określoną cechę lub zbiór cech znamionowych. W polu naszych zainteresowań będzie dominować tzw. detekcja binarna, w wyniku której uzyskujemy w odpowiedzi ocenę typu „TAK” lub „NIE”. Tego rodzaju układy detekcji binarnej wchodzą właśnie z reguły

2) „ Detekcja” w znaczeniu ugruntowanym w radiometrii w konwencji statystycznej teorii komunikacji traktowana jest jako generacja sygnału informacyjnego.

7

Rys. 1.1. Sygnał, epoka i czas obserwacji

Tm

xs ( t )

t

w skład standardowych zestawów radiometrycznych jako progowe dyskryminatory amplitudy impulsów.

W procesie ekstrakcji dokonywana jest ocena ilościowa. Polega ona, mówiąc ogólnie, na estymacji wielkości opisujących sygnał. W zakresie potrzeb spektro-metrii amplitudowej i czasowej dotyczy ona odpowiednio amplitudy impulsu oraz jego odległości od przynależnego repera czasowego, wyznaczanej w skojarzonych pomiarach ich współrzędnych czasowych Operacje te realizowane są w warunkach konkretnych relacji między sygnałem i szumem. Wynika stąd nieokreśloność war-tości estymowanych parametrów. Zilustrowano ją poglądowo na rysunku 1.2 a i b, ukazującym fragmenty typowego, obciążonego szumem, informacyjnego impulsu napięciowego.

a) b)Rys. 1.2. Ilustracja nieoznaczoności estymacji amplitudy i współrzędnej czasowej typowego impulsu napięciowego a) pełny przebieg impulsu b) przebieg „czoła” impulsu V – dyspersja amplitudy T – dyspersja czasowa TAP – czas aparaturowy VPROG – napięcie progowe układu (dyskryminatora) odbioru informacji czasowej

O ile nieokreśloność (rozmycie) amplitudy impulsu wynika wprost z addy-tywności sygnału informacyjnego i szumu to nieokreśloność „współrzędnej cza-sowej” impulsu zależy nadto od stromości przebiegu impulsu na założonym pozio-mie „odczytu” układu odbioru informacji czasowej (time pick-off circuit) [2], [3].

Nieokreśloności te wyrażane są bądź to jako średnie odchylenia standardowe (V, T) bądź jako pełne szerokości na połowie wysokości (FWHM) rozkładów wartości mierzonych parametrów, uzyskanych w pomiarach dostatecznie licznego ich zbioru .

Detekcja i ekstrakcja nie stanowią alternatywnych operacji procesu recepcji sygnału i mogą być dokonywane równocześnie, przy czym odpowiedź detektora

8

w tak złożonym systemie recepcji warunkuje (akceptuje względnie wzbrania) działanie ekstraktora. Przykładem systemu recepcji z dwoma detektorami binar-nymi i jednym ekstraktorem jest konwencjonalny, wielokanałowy analizator ampli-tudy wyposażony w dwa wspomagające dyskryminatory poziomu dolnego i górne-go.

W sferze spektrometrii impulsów elektrycznych, zarówno amplitudowej jak i czasowej, problem ekstrakcji zawęzimy do sytuacji, w której sygnał jest zde-terminowany strukturalnie tj. funkcja s(t) opisująca przebieg czasowy impulsów, ma ściśle zdefiniowaną postać analityczną a parametrem podlegającym estymacji (pomiarowi) jest amplituda AS względnie czas aparaturowy TAP, zaś towarzyszą-cy sygnałowi szum jest białym szumem gaussowskim. Załóżmy nadto, że impulsy ciągu sygnałowego są identyczne, skończone i wzajemnie na siebie nie zachodzą.

Z addytywności sygnału i szumu wynika rozmycie (dyspersja) amplitudy ob-ciążonego szumem sygnału, równe wartości średniego odchylenia standardowego szumu N (tożsamej z wartością średniokwadratową napięcia szumów Vsz rms).

Błąd względny pomiaru amplitudy, zdefiniowany jako względne odchylenie standardowe V wyraża stosunek N i AS

S

N

A

V

A S

rmssz

S

NV

(1.2)

Według bardziej rozpowszechnionego sposobu notacji wartość średnio-kwadratową napięcia szumów oznacza się symbolem „N” (Noise) a amplitudę impulsu symbolem „S” (Signal). Wygodniejszym w praktyce okazało się jednak stosowanie innej wielkości charakteryzującej dokładność pomiaru, a stanowiącej odwrotność względnego odchylenia standardowego i oznaczanej symbolami SNR (Signal to Noise Ratio) względnie S/N.

VN

SSNR

1 (1.3)

Idealny ekstraktor nie wprowadzający żadnych dodatkowych uchybów pomia-ru, dokonuje estymacji wartości wyznaczanego parametru z dokładnością uwarun-kowaną stosunkiem sygnału do szumu na jego wyjściu. Dla zwiększenia precyzji pomiaru konieczne jest zatem opracowanie metod i układów optymalizujących wzajemną relację sygnału i szumu.

Prowadzone w tym kierunku studia doprowadziły do ogólnej konkluzji, wed-ług której prawie każda statystycznie optymalna procedura pomiaru amplitudy impulsów sygnałów skażonych addytywnie gaussowskim szumem białym, mieści się w klasie pomiarów koherentnych, sprowadzających się do obliczenia całki ważonej [4],[5]

9

dttstNtSG )()()(�

(1.4)

W realnych warunkach pomiaru granice całkowania przyjmują wartości skończone, równe odpowiednio 0 oraz Tm, zakładając że początek pomiaru po-krywa się ściśle z początkiem mierzonego impulsu, a czas pomiaru obserwacji wynosi Tm.

Operację opisaną formułą (1.4) można zrealizować instrumentalnie na dwa równoważne sposoby. Pierwszy posługuje się zespołem bloków funkcjonalnych wykonujących sekwencyjnie mnożenie i całkowanie zgodnie z relacją formuły (1.4). Uwzględniając, że funkcja S(t) w rozważanym przypadku upraszcza się do postaci

)()( tsAtS m (1.5)

nie trudno zauważyć iż wyrażenie (1.4) reprezentuje funkcję korelacji wzajemnej między „zaszumionym” sygnałem wejściowym a jego nieskażonym przebiegiem czasowym. Pomiar dokonywany tą metodą zwany jest przeto pomiarem korela-cyjnym

Alternatywna metoda opiera się na wykorzystaniu techniki filtracji przy pomocy liniowego filtru stacjonarnego. Filtr tego rodzaju o przepustowości wid-mowej zapewniającej osiągnięcie maksymalnej wartości stosunku sygnału do szumu nosi miano dopasowanego filtru optymalnego. Na gruncie przedstawionej dalej analizy teoretycznej wykażemy zasadność wprowadzonej nazwy, oraz ogólną słuszność podanej uprzednio bez dowodu zależności (1.4).

Finalnym celem systemu spektrometrii amplitudowej jest wyznaczenie roz-kładu amplitud analizowanego ciągu impulsów. Zadanie to spełnia wyspecjalizo-wany blok wielokanałowego analizatora amplitudy (MCA) dokonujący na bieżąco pomiaru amplitudy kolejnych impulsów ciągu i rejestrujący wyniki pomiaróww swej pamięci histogramującej. Dla racjonalnego wykorzystania możliwości tego bloku pożądane jest dostosowanie dynamiki badanego ciągu impulsów do nomi-nalnego zakresu pomiarowego analizatora.. Niezbędne jest zatem odpowiednie (re-gulowalne) wzmocnienie sygnału.

Wzmocnienie i filtracja stanowią podstawowe operacje kondycjonowania sygnału tj. jego uzdatniania do ekstrakcji zeń pożądanej informacji; w rozważa-nym tu przypadku – wartości amplitud impulsów. W praktycznej realizacji, jak to ukazano na rysunku 1.3, obie te funkcje pełni przedwzmacniacz (preamplifier) we-spół z impulsowym wzmacniaczem kształtującym (shaping amplifier), zawierają-cym kaskadę stopni wzmacniających z wtrąconymi – celowo rozmieszczonymi – ogniwami filtrów górno- i dolno-przepustowych [6].

10

W spektrometrii czasowej wpływ szumu na nieoznaczoność współrzędnej czasowej impulsu (TAP) manifestuje się tzw. efektem drżenia (jitter). Jego mecha-nizm objaśnił już częściowo rysunek 1.2 b). Rysunek 1.4 przedstawia istotny dla opisu tego efektu fragment impulsu podlegającego pomiarowi

Dla odbioru informacji o pojawieniu się impulsu stosowane są różne techniki [4], [2]. Najprostsza, tzw. technika dyskryminacji na czole (Leading Edge Tech-nique), posługuje się prostym dyskryminatorem progowym. Z chwilą osiągnięcia przez analizowany impuls poziomu równego napięciu progowemu (VPR) dyskrymi-natora, generuje on standardowy impuls, którego krawędź wiodąca jest nośnikiem informacji czasowej. Stanowi ją tzw. czas aparaturowy (machine time) opóźnio-ny względem rzeczywistego początku impulsu zwanego czasem zdarzenia (event time). W powołanej tu najprostszej realizacji odległość czasowa obu tych współ-rzędnych zależy zarówno od amplitudy impulsu jak i czasu jego narastania, a za-leżności tej nadano miano efektu wędrowania (walk effect). Bardziej zaawanso-wane techniki są wolne od tego uzależnienia. Każda z nich obciążona jest jednak efektami szumowymi i wymaga wsparcia ze strony układu kondycjonującego.

11

detektor

wzmacniacz wstępny

wzmacniaczkształtujący

wielokanałowy analizator amplitudy

kondycjoner sygnalu

Rys. 1.3. Najprostsza konfiguracja spektrometru amplitudowego

VPR

2T

TAP

2V

Rys. 1.4. Ilustracja wpływu szumów na dyspersję czasu aparaturowego T

Porządkując uwidocznione na rysunku 1.4 relacje parametrów szumowych V, T i stromości przebiegu sygnału otrzymujemy związek określający dyspersję cza-su aparaturowego T.

AP

STdt

tdVV

T )(

(1.6)

Wyznacza ona bezwzględną niepewność (błąd) estymacji czasu TAP. W praktyce spektrometrii czasowej częściej korzysta się z jej odwrotności, którą można traktować jako wskaźnik jakości pomiaru, oznaczany akronimem SLNR (SLope-to-Noise Ratio – Stosunek nachylenia do szumu)

N

SL

VSLNR

rmssz

TdttdV

AP

S

)(

(1.7)

Spektrometria czasowa, mówiąc najogólniej, zajmuje się pomiarami relacji cza-sowych między dwoma zdarzeniami. W sferze jądrowej spektrometrii czasowej dotyczy ona ciągu par impulsów: pomiarowego i referencyjnego 3) [7][8], formowa-mych w dwu równoległych torach sygnałowych. Tor pomiarowy tworzą – jak to ukazuje rysunek 1.5 – konwencjonalny kondycjoner zawierający przedwzmacniacz

i wzmacniacz kształtujący, uzupełniony układem odbioru informacji czaso-wej (LED). Konfiguracja toru referencyjnego zależy od rodzaju pomiaru. W przypadku pomiarów dwudetektorowych jest ona identyczna jak w torze pomiarowym, odmienna natomiast w przypadku (akceleratorowych) pomia-rów zegarowych. Uformowane w obu torach impulsy wyjściowe niosą pożądane informacje czasowe przetwarzane z kolei w kaskadzie: konwerter

3) Impuls „pomiarowy” jest skutkiem zdarzenia „referencyjnego”

12

MCATAC

START

STOP

T

VPR

LED

TOR POMIAROWY

TOR REFERENCYJNY

T

Vo Max

Rys. 1.5. Schemat blokowy typowego spektrometru czasowego

czas/napięcie (Time to Analog Converter - TAC) i analizator amplitudy (MCA), do histograficznej postaci rozkładu opóźnień czasowych.

Literatura

[1] D.Middleton.: An Introduction to Statistical Communication Theory. McGraw- Hill, New York, 1960

[2] AN-41: Techniques for Improved Time Spectroscopy. Application Note AN-41, EG&G ORTEC, Oak Ridge, TN 37830, 1981

[3] K.Korbel.: Ekstrakcja informacji z sygnału radiometrycznego. Wydz. Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, Kraków 2006, ISBN 83-921064-6-6

[4] V.Radeka and N. Karlovač.: Least-Square-Error Amplitude Measurement of Pulse Signals in Presence of Noise. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 53,

86, 1967

[5] C.W. Helstrom.: Statistical Theory of Signal Detection. Pergamon Press Ltd., England, 1960 (w przekładzie polskim: Statystyczna teoria detekcji. WNT, Warszawa, 1964)

[6] E.Fairstein, J.Hahn.: Nuclear pulse amplifiers – Fundamentals and design practice – IV. Nucleonics vol.24, no.1, 54, January 1966

[7] A.Schwarzschild.: A survey of the latest development of delayed coincidence measurements. Nuclear Instruments and Methods, vol.21, 1, 1963

[8] W.J.McDonald, D.A.Gedcke.: Detection system for a fast neutron time-of- flight spectrometer. NRC Report, University of Alberta, Edmonton, Canada, 1967

13

2. Sygnały i ich źródła

W spektrometrii zarówno amplitudowej jak i czasowej operujemy w istocie „wtórnym” sygnałem, którego pierwotnym źródłem są emitery (źródła) promienio-wania jonizującego. Jest on uzyskiwany w procesie konwersji w detektorach pro-mieniowania, przyjmując formę stochastycznego ciągu impulsów prądowych.

Zależnie od rodzaju detektora ładunek niesiony przez jego impuls prądowy jest bądź niezależny od energii promieniowania zaabsorbowanego w detektorze w ak-cie detekcji, bądź też jest z nią związany zależnością liniową. Rodzaj detektora w zasadniczy sposób wpływa na ilościowe relacje między przejętą przez detektor porcją energii a parametrami amplitudowo-czasowymi generowanego impulsu prą-dowego.

W spektrometrycznych systemach pomiarowych znajdują zastosowanie oczywiście tylko detektory wykazujące liniowy związek między wzbudzonym ła-dunkiem a energią promieniowania. Można je sklasyfikować według ogólnie przy-jętego w praktyce spektrometrycznej sposobu podziału (żeby ograniczyć się tylko do najbardziej rozpowszechnionych), w trzech grupach [1]:

detektory półprzewodnikowe. detektory gazowe (liczniki i komory proporcjonalne) detektory (liczniki) scyntylacyjne.

Własności detektorów określone są przez zespół charakterystyk i parametrów znamionowych. Dla zgrubnego porównania ograniczymy się do trzech najbardziej istotnych: średniej energii W niezbędnej do uwolnienia odpowiednio pary (e-h) elek- tron-dziura, pary elektron-jon (e-j) lub fotoelektronu, wzmocnienia wewnętrznego G oraz współczynnika Fano F.

W Tablicy 2.1 zestawiono przybliżone wartości tych parametrów dobrane z myślą uwidocznienia łatwych do mnemotechnicznego zapamiętania wzajemnych proporcji. Z tego więc względu podano wypośrodkowane wartości parametrów detektorów półprzewodnikowych oraz przyjęto za reprezentatywne detektory pro- porcjonalne z wypełnieniem gazami wieloatomowymi, a w grupie detektorów

14

scyntylacyjnych licznik z kryształem NaJ(Tl) i fotopowielaczem o wzmocnieniu równym 106.

Tablica 2.1

Parametry znamionowe detektorów umożliwiają wyznaczenie wartości parametrów sygnałowych, takich jak amplituda wzbudzonego ładunku Q oraz napięcia V na pojemności C detektora, jak również wartości średnich odchyleń standardowych tych wielkości uwarunkowanych statystycznym charakterem pro-cesu generacji ładunku.

Zakładając, dla uproszczenia i ujednolicenia formuł, stałość wzmocnienia wewnętrznego G detektorów, zależności opisujące powyższe parametry sygnałowe przybierają postać:

W

EGqQ (2.1)

W

EG

C

qV (2.2)

W

EFqGQ (2.3)

W

EF

C

qGV (2.4)

gdzie: E – energia promieniowania jonizującego tracona w detektorze, q – ładunek elementarny (1.6x10-19C)

15

Rodzaj detektora Parametr Symbol Półprzew. Gazowy Scyntylac

Energia uwolnienia pary(e-h), (e-j) lub fotoelek- W 3 30 300tronu [eV]

Wzmocnienie wewnętrzne G 1 103 106 detektora Współczynnik Fano F 0,1 0,3 1

Dla podanych w Tablicy 2.1 przykładowych wartości W, G i F obliczymy z kolei wartości parametrów sygnałowych przyjmując nadto E = 10 keV oraz C = 50 pF. Rezultaty takich przybliżonych obliczeń zestawiono w Tablicy 2.2.

Tablica 2.2

Z punktu widzenia generacji sygnału pomiarowego detektory promieniowania jonizującego można podzielić na dwie kategorie:

detektory z bezpośrednią generacją nośników ładunku elektrycznego, detektory z pośrednią generacją nośników ładunku elektrycznego.

Do pierwszej kategorii zaliczają się impulsowe, gazowe komory jonizacyjne, liczniki proporcjonalne oraz detektory półprzewodnikowe, grupę drugą natomiast konstytuują liczniki scyntylacyjne.

2.1. Impulsowe komory jonizacyjne

W przypadku detektorów tego rodzaju odpowiedź detektora na akt detekcji stanowi impuls prądowy indukowany w zewnętrznym obwodzie elektrody zbiorczej. Jego przebieg czasowy opisuje twierdzenie Ramo-Shockleya [2],[3]. Dla systemu dwuelektrodowego, jaki właśnie reprezentuje detektor tego typu, przy dodatkowym upraszczającym założeniu punktowej produkcji nośników ładunku w czynnej strefie detektora, równanie to przyjmuje postać

16

Rodzaj detektora Parametr Symbol Półprzewodn. Gazowy Scyntylac.

Ładunek wygenerowa- nego impulsu Q

i ~5 x 10-16 ~5 x 10-14 ~5 x 10-12

[C]

Amplituda impulsu napięciowego V

i ~10-5 ~10-3 ~ 10-1

[V]

Średnie odchylenie standardowe Q

i

Q ~3 x 10-18 ~ 1,5 x 10-15 ~10-12

[C]Średnie odchylenie standardowe Vi

V ~6 x 10-8 ~3 x 10-5 ~2 x 10-2

[V]

)()()( rtwQti kkkk (2.5)

w którym Qk oznacza k-tą składową globalnego ładunku wytworzonego w akcie

detekcji wk(t) - prędkość chwilową dryfu k-tej składowej ładunku

k(r) - natężenie pola elektrycznego w punkcie r wytworzonego przez

jednostkowe napięcie polaryzacji detektor w warunkach usunięcia ładunku Q z objętości czynnej detektora.

Dodajmy, że r jest chwilowym położeniem dryfującego ładunku, tj. r = r(t) określonym równaniem kinematycznym jego ruchu. Wzór Ramo-Shockleya ma charakter ogólny, nie wnika jednak w przyczyny ruchu ładunku, przyjmując że funkcja wk(t) jest znana. Dla wyznaczenia przebiegu czasowego poszczególnych składowych prądu indukowanego ik(t) należy przeto uprzednio wyznaczyć prze-bieg funkcji wk(t), oraz sprowadzić funkcję k(r) do postaci „odwikłanej” wzglę-dem czasu: k(t). Te działania obliczeniowe można wykonać dla konkretnych typów i konfiguracji detektorów. (Ogólny dowód twierdzenia Ramo-Shockleya podano w Dodatku A ).

2.1.1. Płaska komora jonizacyjna

Najprostszą strukturalnie i konstrukcyjnie formą komory jonizacyjnej jest tzw. „komora płaska”. Stanowi ją planarny układ elektrod zbiorczych usytuowanych względem siebie równolegle w odległości D i zamkniętych w szczelnej „puszce” zawierającej odpowiednią mieszankę gazową (medium aktywne) o celowo dobra-nym ciśnieniu p. Na rysunku 2.1 przedstawiono schematycznie konfigurację ta-kiej komory oznaczając symbolicznie zachodzące w niej procesy w akcie detekcji promieniowania.

17

Rys. 2.1. Schemat płaskiej komory jonizacyjnej

Ei

0 r0 D

VS

--

iKw

jonw

el

RC

K

Nq

++

N q Ei

Wytworzone w procesie detekcji promieniowania nośniki ładunku w liczbie N elektronów i N jonów dodatnich, przemieszczają się w kierunku odpowiednich elektrod zbiorczych z prędkościami dryfu wel oraz wjon , zależnymi zarówno od natężenia pola elektrycznego E istniejącego w strefie aktywnej jak i od własności medium aktywnego. Zależność tę w ogólnym przypadku przyjęto wyrażać jako funkcję stosunku (E/p)

p

Efw kk (2.6)

W szczególności dla jonów dodatnich (k = jon) opisuje ją formuła [4]

p

EK

p

Econstw jonjon )μ(

(2.7)

w której stała proporcjonalności (const) wiązana jest liniowo z ruchliwością jonu jon, a czasem nawet z nią utożsamiana. [5], [6], [7]. [8] Dla wygody notacji ozna-

czać ją będziemy dalej jako jon .

W rozważanej konfiguracji natężenie pola elektrycznego E w całym czyn-nym obszarze komory jest stałe i wynosi

constD

VrE s )( (2.8)

Niezależną od położenia jest w konsekwencji również funkcja rozkładu natężenia pola (r), którą determinuje wyrażenie:

constD

r 1

)( (2.9)

Zauważmy wreszcie, że kierunek wektorów prędkości dryfu nośników ładunku jest zgodny z kierunkiem wektora pola elektrycznego. Iloczyn skalarny tych wek-torów sprowadza się zatem do iloczynu ich modułów. W ostatecznym wyniku dla składowej jonowej indukowanego prądu ijon(t) otrzymujemy zależność

constDp

VqNti

jonsjon

2

*

)( (2.10)

jonTt 0

Dla elektronów nie daje się ustalić ogólnie słusznej formuły opisującej pręd-kość ich unoszenia w funkcji stosunku (E/p). Tym nie mniej podejmowano próby opisu dryfu elektronów w podobny sposób jak jonów ciężkich [7] korzystając z

18

uproszczenia [5] utożsamiającego prędkość unoszenia elektronu z jego prędkością średnią. Wobec dużego upowszechnienia formuł opartych na takim przybliżeniu podamy je obok ich poprawnych odpowiedników odwołujących się do ekspery-mentalnie wyznaczonych wartości wel = fel (E/p). Składową elektronową induko-wanego prądu komory impulsowej opisuje w tej notacji formuła (2.11).

constDp

VqNw

D

qNti els

pEwelel

elel

2)/(

)( (2.11)

elTt 0 Czas przepływu każdej składowej prądu indukowanego w obwodzie zew-nętrznym komory związany jest jednoznacznie z czasem zbierania nośników ła-dunku. Wyznaczają go kinematyczne parametry ruchu nośników, tj. prędkość dryfu wk oraz odległość dzieląca punkt generacji nośników ładunku ro od elektrod zbior-czych. Oznaczmy tę odległość symbolem k. Dla elektronów, zgodnie z ozna-czeniami rysunku 2.1, wynosi ona el = r0 , a dla jonów dodatnich jon = (D -r0).

Uwzględnienie tych związków prowadzi do formuł określających wartości czasów zbierania nośników ładunku.

dla elektronów

0)/(

rV

Dp

w

rT

elspEwel

oel

rlel

(2.12)

dla jonów dodatnich

)( 00 rD

V

Dp

w

rDT

jonsjonjon

(2.13)

W celu przedyskutowania wzajemnych relacji ilościowych między składowymi impulsu prądowego komory jonizacyjnej niezbędna jest znajomość wartości ruchliwości el i jon. Ruchliwość jonów w niewielkim stopniu zależy od rodzaju i temperatury gazu oraz masy jonu. W przybliżeniu można ją przyjąć rów-ną jon = (11.5) 10-4 [m2 atm/V s].

19

Rys. 2.2. Ilustracja przebiegów czasowych elektronowej i jonowej składowej indukowanego impulsu prądowego płaskiej komory jonizacyjnej.

ik i

el(t)

ijon

(t)

t

0 Tel

Tjon

Ruchliwość elektronów el jest około tysiąckrotnie większa [6]. Według ta-kiej proporcji kształtuje się stosunek amplitudy składowej elektronowej i jonowej. W związku z tym obraz graficzny obu przebiegów, przedstawiony na wspólnym rysunku (rys.2.2) ma charakter poglądowy wobec niemożliwości zastosowania identycznego skalowania.

Bardziej złożony charakter ma wzajemna proporcja czasów zbierania noś-ników ładunku. Jest ona uwarunkowana nie tylko wartościami ruchliwości ale rów-nież początkowym położeniem ro wytworzonych nośników ładunku .

Wypadkowy, indukowany impuls prądowy, będący superpozycją obu składo-wych, w przypadku punktowej generacji ładunku przybiera charakterystyczny kształt schodkowy o rozciągłości poszczególnych „stopni” zależnych od począt- kowego położenia nośników ładunku. Podobnego w kształcie przebiegu można oczekiwać w przypadku, gdy droga jonizacji gazu przebyta przez cząstkę joni-zującą jest pomijalnie mała w porównaniu z wymiarami komory, albo gdy tor cząstki jonizującej leży w dowolnej płaszczyźnie ekwipotencjalnej pola elek-trycznego komory. W ogólnym przypadku produkcja nośników ładunku zachodzi wzdłuż trajektorii cząstki jonizującej dając w wyniku zbiór przesuniętych w czasie „elementarnych mikroimpulsów” tworzących wypadkowy, prądowy impuls indu-kowany o kształcie typu „tail pulse” o stromym czole i łagodnym zaniku.

Globalny ładunek zawarty w indukowanym impulsie prądowym pozostaje w li-niowym związku z energią zdeponowaną w komorze w akcie detekcji promie-niowania jest więc nośnikiem podstawowej informacji w spektrometrii jądrowej. W procesie jej EKSTRACJI następuje całkowanie impulsu prądowego, które w skali czasowej winno obejmować pełny interwał zbierania nośników ładunku. Dopełnienie tego wymogu, wobec bardzo długiego czasu zbierania jonów dodat-nich, powoduje znaczące pogorszenie rozdzielczości czasowej (wyrażające się zmniejszeniem „obciążalności” spektrometru). Na tym tle zrodziła się idea wydzie-lenia z impulsu wypadkowego tylko „krótkiej” składowej elektronowej, która za-owocowała opracowaniem specjalnej komory, zwanej ogólnie komorą z siatką Frischa [5].

2.1.2. Komora z siatką Frischa

20

Komora tego typu została skonstruowana na osnowie zwykłej komory pla-narnej. Jej strukturę, sposób polaryzacji oraz obwód odbioru impulsów pokazano schematycznie na rysunku 2.3

Między jej podstawowymi elektrodami (katodą i anodą) zawiera ona dodatkową elektrodę (siatkę) o bardzo małym „przechwycie”, utrzymywaną na potencjale VS1 względem katody. Z kolei anoda względem siatki spolary-zowana jest napięciem VS2. Wprowadzona do struktury komory siatka dzieli komorę na dwie części.

W części pierwszej, zawartej między katodą i siatką , zachodzi RECEPCJA sygnału pierwotnego związana nierozdzielnie z produkcją nośników ładunku. Część druga, mieszcząca się między siatką i anodą, pełni funkcję właściwego generatora impulsów prądowych.

Działanie siatki wyraża się dwoma istotnymi efektami. Po pierwsze ekranuje część generacyjną sygnału wyjściowego od wpływu ruchu jonów dodatnich, po wtóre zaś „normalizuje” czas trwania indukowanych impulsów prądowych do war-tości określonej czasem przebiegu elektronów między siatką a anodą. Wpływ po-czątkowego położenia nośników ładunku sprowadza się więc jedynie do odpo-wiedniego opóźnienia czoła indukowanego impulsu prądowego względem mo-mentu powstania ładunku. Zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na rysunku 2.3. czas opóźnienia Topóź wyraża zależność:

01

)/(1

0

11

rV

ap

w

rT

elspaVw

elopóź

selel

(2.14)

a znormalizowany czas trwania impulsu elektronowego Tel

21

Rys. 2.3. Schemat płaskiej komory jonizacyjnej z siatką Frischa

Vs1

-

iK

wjon

wel

R CK

Nq

Ei

+ +-

Vs2

r0

(a) (b)

elSpbVwel

elV

bp

w

bT

selel 2

2

)/(2 22

. (2.15)

Stały w czasie, przebieg czasowy tego impulsu opisuje formuła

22

)/(2

22

)()(bp

VqNw

b

qNtiti elS

pbVwelel

selel

(2.16)

Stała wartość czasów trwania impulsów prądowych generowanych w procesie detekcji promieniowania jonizującego (recepcji sygnału pierwotnego) sprawia, że amplituda tych impulsów może być wykorzystana wprost jako miara jego energii, bez konieczności uprzedniego całkowania impulsów.

2.1.3. Cylindryczna komora jonizacyjna

Alternatywą konfiguracji planarnej impulsowej komory jonizacyjnej jest konfiguracja koaksjalna, ogólnie zwana komorą cylindryczną. Ilustruje ją sche-matycznie rysunek 2.4. Wewnętrzna, centralna elektroda wykonana w formie bardzo cienkiego przewodu o promieniu a pełni funkcję anody , natomiast okalający ją współosiowo metalowy cylinder o promieniu b stanowi katodę. Ta-kie przyporządkowanie funkcji elektrodom zbiorczym komory podyktowane jest destrukcyjnym działaniem ciężkich jonów na powierzchnię przejmującej je elek-trody.

Pole elektryczne w przestrzeni międzyelektrodowej komory cylindrycznej, wy-tworzone przez napięcie polaryzacji Vs opisuje znana formuła

22

Rys. 2.4. Schemat cylindrycznej komory jonizacyjnej

0 a ro b

R

Vs

r

CK

Ej

Nq

-+

a

br

VrE s

ln

)( (2.17)

Również w tym przypadku założymy, że w procesie detekcji produkowany jest ładunek punktowy o wartości Nq, zaś współrzędną punktu początkowego noś-ników ładunku oznaczymy symbolem ro. Dla wyznaczenia składowych induko-wanego impulsu prądowego ik(t) posłużymy się podstawowym równaniem twier-dzenia Ramo-Shockleya. oraz jednolitą, uproszczoną formą zależności (2.7).

Tak więc, z zależności (2.17) wynika wprost postać funkcji rozkładu pola elektrycznego:

a

br

rln

1)(

(2.18)

Z równań (2.7) i (2.17) otrzymujemy natomiast

a

br

Vw s

kk

ln

(2.19)

Uwzględnienie powyższych związków w równaniu (2.6) prowadzi do wyrażenia:

22

1

ln

)(r

a

bp

VqNti ks

k

(2.20)

Występujący w tym równaniu czynnik (1/ r2) wyrazimy przy pomocy parametrów określających chwilowe położenia nośników ładunku. W tym celu skorzystamy ze związku (2.19) zapisując go w postaci równania różniczkowego

dt

a

bp

Vdrr s

k

ln

(2.21)

Scałkowanie go, przy uwzględnieniu warunku początkowego, że r = ro dla t = 0, daje w wyniku

22

ln

2o

sk rt

a

bp

Vr

(2.22)

Nietrudno pokazać, że pierwszy składnik sumy w powyższym równaniu kryje w sobie zależność od początkowego położenia nośników ładunku ro oraz czasu ich zbierania Tk. Sięgnijmy w tym celu jeszcze raz do równania (2.21) i dokonaj-my jego całkowania w zadanych granicach.

23

kk

o

Tsk

r

dt

a

bp

Vdrr

0 ln

(2.23)

Symbolem k oznaczono tu, stosownie do rozpatrywanej składowej, końcowe położenia nośników danego rodzaju. Dla składowej elektronowej k = a , zaś dla składowej jonowej k = b. Tk oznacza – podobnie jak w przypadku komory płas-kiej – czas zbierania nośników k-tej składowej. W rezultacie scałkowania (2.23) otrzymujemy związek

sk

okkV

a

bp

rT

2

ln22 (2.24)

Uwzględnienie go w równaniu (2.24) pozwala przekształcić je do postaci

2

222

ok

ok rtT

rr

(2.25)

a w dalszej konsekwencji napisać równanie funkcji indukowanego impulsu prądowego ik (t)

koko

ksk

Trr

a

bp

VqNti

1

1

ln

)(222

2

(2.26)

Podstawienie w miejsce uogólnionej współrzędnej końcowego położenia nośników ładunku k ich współrzędnych a względnie b daje odpowiednio opis przebiegu składowej elektronowej iel(t) oraz jonowej ijon(t) indukowanego im-pulsu prądowego.

el

oo

selel

T

tarr

a

bp

VqNti

2222

1

ln

)(

(2.27)

elTt 0

jon

oo

sjonjon

T

trbr

a

bp

VqNti

2222

1

ln

)(

(2.28)

jonTt 0

Podobnie rozpiszemy wyrażenia określające czas zbierania nośników ładunku.

24

s

oelV

a

bp

arTel

2

ln22 (2.29)

oraz

sjon

ojonV

a

bp

rbT

2

ln22 (2.30)

Graficzne odwzorowanie przebiegów obu składowych indukowanego impulsu prądowego pokazano na rysunku 2.5 z podobną – jak uprzednio – dystorsją skali czasowej i amplitudowej.

Jak już podkreślano, jednym z założeń wyjściowych analizy było przyjęcie punktowej generacji nośników ładunku. W rzeczywistości produkcja nośników rozciągnięta jest wzdłuż pewnego odcinka trajektorii cząstek jonizujących, co powoduje w efekcie odstępstwo od kształtu opisywanego zespołem równań (2.27) i (2.28).

2.2. Licznik proporcjonalny

Pod względem konstrukcyjnym licznik proporcjonalny jest równoważny cylindrycznej, czy sferycznej komorze jonizacyjnej. Istotną cechą odróżniającą impulsową komorę jonizacyjną od licznika proporcjonalnego jest inny reżym pracy, podyktowany poziomem napięcia polaryzacji Vs . W przypadku licznika proporcjonalnego napięcie to jest na tyle wysokie, że w pewnej części objętości czynnej licznika natężenie pola elektrycznego osiąga wartość, przy której elek-trony, powstające w procesie jonizacji pierwotnej, wywołują wtórną jonizację

25

Rys. 2.5. Kształt przebiegów składowych indukowanego impulsu prądowego

0 Tel

Tjon

t

ik i

el(t)

ijon

(t)

gazu wypełniającego licznik. W zadanej geometrii walcowej największe natężenie pola elektrycznego występuje w bezpośredniej bliskości anody. W tym też obsza-rze każdy elektron wygenerowany w procesie jonizacji pierwotnej, zdolny jest na-być na swej drodze swobodnej energię kinetyczną równą lub większą od energii jonizacji atomów gazu. Wytworzone w tym procesie elektrony wtórne współ-uczestniczą w nim również nadając mu charakter procesu lawinowego. Aby za-pewnić warunki proporcjonalności konwersji sygnału, konieczne jest zreduko-wanie wzajemnego oddziaływania lawin wytworzonych przez poszczególne elektrony pierwotne do poziomu zaniedbywalnego. Wymaganie to daje się spełnić poprzez właściwy dobór napięcia polaryzacji licznika oraz odpowiedniej mieszanki gazowej.

Skoncentrowanie produkcji lawin w pobliżu anody drastycznie różnicuje dłu-gości torów nośników ładunku z ich położenia początkowego do odpowiedniej elektrody zbiorczej; droga przelotu elektronów zostaje zredukowana do mini- mum, zaś jony dodatnie muszą przebyć niemal pełną odległość międzyelektrodową (b - a). W rezultacie praca pola elektrycznego, wydatkowana na transport elek-tronów, jest pomijalna w porównaniu z energią zużywaną na przeniesienie jonów dodatnich. Stąd też wynikają odpowiednie różnice w udziale poszczególnych składowych w wypadkowym impulsie prądowym.

Z zadowalającym przybliżeniem można nawet przyjąć, że indukowany impuls prądowy licznika proporcjonalnego jest określony tylko jego składową jonową. Na miarę tego przybliżenia można też przyjąć, że r0 a, a uwzględniając nadto oczywisty fakt iż b >> a , formuły (2.28) i (2.30) można sprowadzić do postaci, rozpowszechnionej w literaturze przedmiotu.

jon

sjon

T

tba

a

bp

VqNti

222

1

ln

)(

(2.31)

oraz

sjonjon

V

a

bp

bT

2

ln2 (2.32)

Równanie (2.31), podobnie jak w przypadkach poprzednio dyskutowanych komór jonizacyjnych, obciążone jest założeniem nieskończenie szybkiego procesu produkcji nośników ładunku, które skutkuje skróceniem do zera czasu narastania impulsu prądowego. Rzeczywisty impuls prądowy wykazuje skończony czas narastania, choć nieporównywalnie mały względem jego łagodnie opadającej częś-ci, opisanej równaniem (2.31).

26

2.3. Detektory półprzewodnikowe

Półprzewodnikowe detektory promieniowania jonizującego różnią się od omówionych uprzednio komór jonizacyjnych z wypełnieniem gazowym rodzajem medium aktywnego. Stanowi je w tym przypadku materiał półprzewodnikowy, spełniający podstawowe wymagania umożliwiające wydajną produkcję nośników ładunku w procesie detekcji promieniowania oraz ich efektywne zbieranie.

Przypomnijmy najważniejsze:

Mała wartość współczynnika konwersji Duże wartości czasu życia i ruchliwości wygenerowanych nośników ładunku Wysoka, dopuszczalna wartość natężenia pola elektrycznego Pomijalnie mały prąd upływu

2.3.1. Detektor z polem jednorodnym (PIN)

Najbardziej zbliżoną do gazowej komory jonizacyjnej realizacją detektora półprzewodnikowego jest tzw. detektor z polem jednorodnym (PIN) Stanowi go spolaryzowana napięciem Vs specjalnej konstrukcji dioda półprzewodnikowa typu P-I-N. Jest to struktura trójwarstwowa, której warstwy skrajne (pełniące funkcje elektrod zbiorczych) wykonane są odpowiednio z wysoko domieszkowa-nego półprzewodnika typu p+ oraz n+, zaś dzieląca je warstwa pośrednia i (o jed-nakowych koncentracjach donorów i akceptorów ) tworzy właściwą strefę detekcji. Warstwa pośrednia wytwarzana jest w procesie dryfowania jonów litu do wyjś-ciowego materiału typu p, a jej szerokość może być formowana dowolnie w pro-cesie technologicznym. Od metody wytwarzania skompensowanej warstwy poś-redniej detektory tego typu zyskały nazwę detektorów dryfowych, oznaczanych umownie symbolami Si(Li) lub Ge(Li).

Pełna kompensacja warstwy pośredniej uniemożliwia powstanie w niej ładunku przestrzennego. Ta właśnie cecha detektora dryfowego upodabnia go szczególnie do gazowej komory jonizacyjnej.

Analiza pracy detektora z polem jednorodnym jako generatora sygnału elek-trycznego opiera się na następujących założeniach (założenia Hansena) [10].

W strefie czynnej detektora rozkład pola elektrycznego jest jednorodny Wzdłuż toru cząstki jonizującej utrzymywana jest stała jonizacja właściwa,

27

Straty nośników ładunku w procesie rekombinacji i pułapkowania są pomijalne Ruchliwość nośników ładunku nie zależy od wartości natężenia pola elek- trycznego.

Wobec wzajemnej kompensacji ładunku przestrzennego w objętości czynnej detektora, a także usunięcia z tej strefy swobodnych nośników ładunku, wytwa-rzane w niej pole elektryczne uwarunkowane jest wyłącznie napięciem polaryzacji Vs oraz szerokością warstwy skompensowanej D. Natężenie tego pola jest więc opisane taką samą formułą z jakiej korzystaliśmy w przypadku płaskiej komory gazowej (2.7). Wyjściowym równaniem w procedurze analitycznego wyznacze-nia tej zależności jest równanie Laplace’a

2 = 0 (2.33) Na gruncie założenia o jednorodności pola dalszą analizę przeprowadzimy w li-niowym układzie współrzędnych, wiążąc jego początek z warstwą półprzewodnika p+, stanowiącą kontakt omowy utrzymywany na potencjale zerowym. Dodatnio spolaryzowana (napięciem Vs) warstwa n+ stanowi drugi kontakt omowy pełniący funkcję elektrody wyjściowej; z niej też odbierany jest wyindukowany impuls prą-dowy.

Pierwsze scałkowanie równania (2.33) prowadzi do formalnego, jakościowego potwierdzenia założenia o stałości pola elektrycznego

)()( 1 constCxEdx

d

(2.34)

Powtórne całkowanie przy uwzględnieniu warunków brzegowych, stanowiących że dla x = 0 = 0

oraz (2.35) dla x = D = max Vs

daje wyrażenie określające rozkład potencjału (x) w warstwie skompensowanej i.

xD

Vx s )( (2.36)

pozwalając zarazem wyznaczyć wartość stałej całkowania C1 w równaniu (2.34). Wynosi ona DVC s /1

W rezultacie równanie opisujące rozkład natężenia pola w warstwie skompen-sowanej można przepisać w postaci dogodnej do dalszych obliczeń, a mianowicie

D

VExE s max)( (2.37)

28

Wynikająca stąd funkcja rozkładu pola elektrycznego (x) przyjmuje więc postać (2.7). Jest to jedna z wielkości determinujących według równania Ramo-Shockleya przebiegi czasowe składowych (elektronowej i dziurowej) indukowa-nego impulsu prądowego. Drugą stanowi prędkość dryfu tych nośników wk w ma-teriale półprzewodnika powiązana z natężeniem pola elektrycznego następującą zależnością Ew kk (2.38)

Indeks k określa rodzaj nośnika ładunku , przy czym k = el dla elektronów oraz k = dz dla dziur. Dodajmy jeszcze, że wartości ruchliwości elektronów i dziur są tego samego rzędu.

Zakładając nadal punktową produkcję nośników ładunku i oznaczając jego wartość przez Qo , w wyniku prostych obliczeń otrzymujemy równania opisujące odpowiednio składową elektronową i dziurową impulsu prądowego detektora

constD

VQti selo

el

2

)( (2.39)

0 < t < Te

oraz

constD

VQti sdzo

jon

2

)( (2.40)

0 < t < Tjon

Czasy zbierania nośników ładunku o początkowym położeniu w punkcie x0 wyrażają z kolei zależności

sel

el V

xDDT

0 (2.41)

oraz sdz

dz V

xDT

0

(2.42)

Rzeczywiste detektory typu PIN odbiegają swymi własnościami od przedsta-wionej wyżej struktury z polem jednorodnym. Podstawowe odstępstwo wynika z trudności uzyskania idealnej kompensacji domieszek donorowych i akcepto-rowych w warstwie pośredniej i manifestuje się określonym rozkładem natężenia pola elektrycznego w strefie czynnej detektora. Tak na przykład, w oparciu o wy- niki swych badań doświadczalnych, M. Moszyński [11] zaproponował następującą postać tego rozkładu

29

2

2

max 1)(D

xExE (2.43)

Wynika on z rozkładu koncentracji nieskompensowanych donorów Nd(x), wy-znaczonego metodą dopasowania funkcji analitycznej do przebiegu odpowiedzi napięciowej detektora na wygenerowanie na krawędzi jego strefy czynnej, okreś-lonego ilościowo ładunku punktowego.

2

2

1)(D

xAxN d (2.44)

gdzie

constq

jA

el

zaś „ j” oznacza gęstość prądu.

W tym ujęciu przebiegi obu składowych indukowanego impulsu prądowego opisu-ją odpowiednio równania (2.45) i (2.46).

D

xArtgh

t

Qti o

el02cosh

1)(

(2.45)

0 < t < Tel

D

xArtgh

b

tb

Qti o

dz02cosh

1)(

(2.46)

0 < t < Tdz

Symbolem oznaczono parametr dopasowania, związany z fizycznymi parame-trami detektora relacją

selV

D

2

3

2 (2.47)

natomiast współczynnik b oznacza stosunek ruchliwości elektronów do ruchli-wości dziur.

Niejednorodność pola elektrycznego powoduje istotne zmiany proporcji między czasami zbierania nośników ładunku. W szczególności, czas zbierania elektronów zdąża do nieskończoności, zaś czas zbierania dziur określa zależność

D

xArtghbTdz

0 (2.48)

30

2.3.2. Detektory półprzewodnikowe typu ostrego złącza

Detektor tej kategorii odpowiada strukturze skrajnie niesymetrycznego złącza p-n spolaryzowanego zaporowo zewnętrznym napięciem Vs. Warstwa p o zmi-nimalizowanej szerokości pełni z założenia funkcję okienka dla promieniowania jonizującego, zaś strefa czynna detektora rozciąga się w obszarze półprzewodnika n na głębokość równą szerokości warstwy zaporowej D.

Załóżmy, że rozważana struktura cechuje się symetrią osiową i przyjmijmy dla potrzeb analizy jednowymiarowy układ odniesienia z początkiem związanym z krawędzią wewnętrzną złącza. Warunek polaryzacji zaporowej narzuca dodatnią polaryzację warstwy n. Wyjściowym równaniem podejmowanej analizy jest w tym przypadku równanie Poissona.

o

2

(2.49)

gdzie: = q (N + p - n) , N = (Nd - Na), = (x) potencjał na współrzędnej x, , o - stała dielektryczna odpowiednio półprzewodnika i próżni, Nd, Na - koncentracja donorów w warstwie n i akceptorów w warstwie p, n, p - koncentracja elektronów i dziur w warstwie n

W warstwie zaporowej praktycznie nie ma swobodnych nośników ładunku. Z tego powodu obok określenia warstwa zaporowa używana jest nazwa warstwa zubożona oraz warstwa ładunku przestrzennego. W konsekwencji faktu, że Na=0 równanie Poissona zredukuje się do postaci

o

dNq

dx

d

2

2

(2.50)

Scałkowanie powyższego równania przy uwzględnieniu warunków brzegowych, według których dla x = D E = E(D)=0

oraz dla x = 0 E = Emax

prowadzi do zależności: )1()( max D

xExE (2.51)

przy czym o

d DNqE

max (2.52)

31

Kolejne całkowanie daje w wyniku wyrażenie, określające rozkład potencjału wzdłuż osi x. Uwzględniając warunki brzegowe tj.

= 0 dla x = 0 , oraz = max dla x = D jak również związek ma x = (Vs+d) Vs

dochodzimy do szukanej funkcji rozkładu potencjału (x)

22

max 222

)( xDxNq

Dxx

D

Ex

o

d

(2.53)

Kombinacja powyższych zależności umożliwia wyznaczenie wartości maksymal-nej natężenia pola Emax w funkcji napięcia polaryzacji detektora Vs, a mianowicie

D

VE s2

max (2.54)

W dalszej kolejności, korzystając z ukazanych związków, funkcję E(x) określoną równaniem (2.51) wyrazimy w postaci

DxD

VxE s

2

2)( (2.55)

Determinuje ona, stosownie do relacji (2.38), prędkość dryfu nośników ładunku w funkcji ich chwilowego położenia „x”, które z kolei jest określoną funkcją czasu. W celu odwikłania tej zależności funkcyjnej skorzystamy ponownie z róż-niczkowej formy jej zapisu.

dtD

V

Dx

dx k

2

2

(2.56)

Scałkowanie równania (2.56) przy uwzględnieniu warunków początkowych [dla t=0 x=xo] daje w wyniku

)exp()()(k

o

txDDtx

(2.57)

gdzie symbolem k oznaczono tzw. dielektryczną stałą czasową równą

sk

k V

D

2

2

(2.58)

Podstawienie (2.57) do równania opisującego rozkład natężenia pola elektryczne-go E(x), daje z kolei zależność natężenia pola od czasu w układzie ruchomym związanym z dryfującymi swobodnymi nośnikami ładunku, a w dalszej konse-kwencji również zależność wk (t)

32

kkk

txDtw exp

1)( 0 (2.59)

Dla struktury planarnej, jaka jest przedmiotem niniejszej analizy, funkcja (x), jest tożsama z funkcją uzyskaną uprzednio w analizie płaskiej komory jonizacyjnej (2.8). W przyjętej tu notacji wynosi ona

D

x1

)( (2.60)

Podstawienie wyrażeń (2.59) i (2.60) do równania Ramo-Shockleya , przy za-danej wartości ładunku Qo , wygenerowanego w akcie detekcji promieniowania, daje w wyniku ogólną postać równania opisującego przebieg składowych induko-wanego impulsu prądowego ik (t)

ko

k

o

Ttk

txD

D

Qti

k

exp)(0

(2.61)

W celu wyraźniejszego uwidocznienia różnic przebiegów obu składowych iel (t) oraz ijon (t) rozpiszmy postać ogólną na dwa wyrażenia szczegółowe. Tak więc:

Dla składowej elektronowej

t

D

V

oselo

Ttel

sel

D

exDD

VQti

2

2

30

2)(

(2.62)

Dla składowej dziurowej

t

D

V

osdzo

Ttdz

sdz

dz

exDD

VQti

2

2

30

2)(

(2.63)

Przebiegi obu tych składowych przedstawiono poglądowo na rysunku 2.6

33

Rys. 2.6. Przybliżony kształt przebiegów składowych impulsu prądowego

0 Tdz

Tel

ik

idz

(t)

iel

(t) t

Jak uprzednio wspomniano, wartości ruchliwości elektronów i dziur są tego samego rzędu, stąd też początkowe wartości obu składowych [ik(0)] są współ-mierne. Jak wskazuje równanie (2.59), proces zbierania nośników ładunku prze-biega w warunkach eksponencjalnie wzrastającej prędkości dryfu dziur oraz male-jącej wykładniczo prędkości dryfu elektronów. W rezultacie czas zbierania elek-tronów teoretycznie zdąża do nieskończoności. Łatwo to wykazać całkując rów- nanie (2.56) obustronnie w granicach; odpowiednio <xo D> oraz <0 Tel >. Prowadzi ono do wyrażenia

elsel

D

xT

D

VDx

o

2

2)ln(

(2.64)

skąd wynika, że elT (2.65)

Podobna procedura w odniesieniu do składowej dziurowej dla właściwych tym nośnikom granic całkowania [<xo 0> oraz <0 Tdz>] daje w wyniku

osdzdz xD

D

V

DT ln

2

2

(2.66)

Dla porównania w poniższej tablicy zestawiono zespół diagramów charakte-ryzujących dyskutowane typy detektorów półprzewodnikowych

Tablica 2.3

34

DETEKTORY typu P-I-N DETEKTOR typu P-N E(x) = const E(x) const

CD

0 Tdz

Tel

t 0 Tdz

Tel t 0 T

dz T

el t

+V

s

p+ n

0 xo

D x

x

- E(x)

Nd

x

Emax

(x)

Na

Q

o

CD

ik

idz

(t)

iel

(t)

+V

s

p+ i n+

Q

o

x

0 xo

D x Nd

Na

x

Emax

(x)

E(x)

ik i

dz (t)

iel

(t)

x

0 xo

D x

Emax

E(x)

+Vs

p+ i n+

Q

o

CD

ik

idz

(t)

iel(t)

x

Nd

(x)

Równanie (2.53) daje podstawę dla ilościowego określenia szerokości bariery D. Kładąc w nim x = D i uwzględniając, że (D) Vs otrzymujemy związek

2222

DDNq

Vo

ds

(2.67)

Proste przekształcenie daje w wyniku

d

so

Nq

VD

2 (2.68)

Zależność ta jest skrępowana ograniczeniem wnoszonym przez dopuszczalną wartość napięcia polaryzacji detektora Vs max, powyżej której może nastąpić prze-bicie.

Detektory półprzewodnikowe typu ostrego złącza p-n wykonywane są w dwu podstawowych odmianach, jako detektory z barierą wewnętrzną oraz de-tektory z barierą powierzchniową. W obu przypadkach strefę detekcji wyznacza obszar bariery uformowanej w słabo domieszkowanym półprzewodniku typu n. Do strefy tej promieniowanie jonizujące dociera poprzez bardzo cienką warstwę wysoko domieszkowanego półprzewodnika typu p (w detektorach z barierą wewnętrzną) względnie przez, napyloną na powierzchnię czołową półprze-wodnika n, mikrowarstwę złota (w detektorach z barierą powierzchniową).

Omawiany rodzaj detektorów produkowany jest fabrycznie w postaci stan-dardowych struktur w kształcie płaskich krążków o różnej grubości warstwy pod-stawowej, wyposażonych w zróżnicowane obudowy i wyprowadzenia elektrod [12]. Z grubością warstwy podstawowej wiąże się możliwość rozbudowania bariery na całą grubość tej warstwy. Stąd też liczna rodzina detektorów typu P-N wyróżnia dwa charakterystyczne ich rodzaje: detektory częściowo zubożone („partially depleted detectors”) oraz detektory całkowicie zubożone („totally depleted detectors”).

W realizacjach specjalnych, zorientowanych głównie na detekcję pozycyjną, detektory P-N przybierają odpowiednio różną konfigurację geometryczną. Sta-nowią je w tym przypadku złożone struktury wielodetektorowe wykonane bądź tow formie matrycy mikrodetektorów (pixels) [13], bądź też jako zespół mikro-struktur paskowych (microstrip detectors [14] lub checker-board counters [15]).

35

Do detektorów pozycjoczułych zaliczają się również tzw. krzemowe komory dryfowe (silicon drift chambers). Nie mieszczą się one jednak w dyskutowanych uprzednio kategoriach detektorów półprzewodnikowych i wymagają odrębnego potraktowania

2.4. Krzemowe komory dryfowe

W strukturze detektora tego rodzaju można wyróżnić dwie strefy o określo-nych zadaniach funkcjonalnych. Strefa pierwsza, którą zwać będziemy „strefą transportową”, jest odpowiedzialna za istotny w tej metodzie parametr deskryptywny sygnału, niosący informację o współrzędnej miejsca interakcji cząstki jonizującej z medium aktywnym detektora. W drugiej strefie, którą określimy mianem „strefy generacyjnej” sygnału, zachodzi właściwy proces formowania indukowanego impulsu prądowego detektora iD (t).

Na rysunku 2.7 pokazano schematycznie poprzeczny przekrój omawianego detektora. Posłuży on do zwięzłego przypomnienia zasady jego działania.

Strefa transportowa obejmuje równoległy zespół „bliźniaczych”, zaporowo spolaryzowanych złącz paskowych p+n , utworzonych po obu stronach cienkiej płytki półprzewodnika typu n („wafera”). Przy dostatecznie dużym napięciu pola-ryzacji tych złącz przynależne im warstwy zubożone osiągają szerokość równą połowie wzajemnej odległości przeciwległych złącz, powodując w efekcie całko-wite zubożenie zawartego między nimi obszaru „wafera”. Na płaszczyźnie x-y ustala się wówczas minimum potencjału, ku któremu będą wciągane, „wytwarza-ne” w akcie detekcji elektrony.

36

Rys. 2.7. Schematyczny przekrój poprzeczny krzemowej komory dryfowej.

Trajektoria cząstki jonizującej

A E1

E

1

E2

E

3

D4 D

3 D

2 D

1 F

3 F

2 F

1

wel

D1

D2

D3

D4

y

z

yox

„n”

„p+”

„p+”

Przy spełnieniu warunku

Vcałkowitego zubożenia < VD(n)<VD(n-1)<VDn-2) ....... <VD1) ..... <VE/F

w objętości wafera wytworzone zostaje wzdłużne pole elektryczne Ey wywołujące dryf, skoncentrowanych w dolinie potencjału pola poprzecznego Ez , elektronów w kierunku osi y z prędkością wel. Transportowana „chmura” elektronów w trak-cie swego ruchu ulega dyspersji wzdłużnej w efekcie rozmycia dyfuzyjnego i od-pychania kulombowskiego, przybierając na krawędzi strefy generacyjnej charak-terystyczną formę garbu gaussowskiego.

2

0

4exp

4),(

tD

twy

tD

nytn

n

el

n

(2.69)

W wyrażeniu powyższym przyjęto następujące oznaczenia: no - liczba elektronów powstała w akcie detekcji, wel - prędkość dryfu elektronów Dn - współczynnik dyspersji elektronów

Dla zadanej współrzędnej y (odpowiadającej odległości punktu detekcji od kra-wędzi strefy generacyjnej) przy uwzględnieniu związków:

tDny 4 , Tely w oraz pel twy (2.70)

równanie (2.69) sprowadzimy do postaci

2

exp)(T

p

Tel

oy

tt

w

ntn (2.71)

gdzie tp oznacza średni czas przejścia elektronów przez strefę transportową, zaś T - dyspersję czasu przejścia.

Z planarnej konfiguracji detektora wynika konieczność zakrzywienia toru transportowanych elektronów w celu skierowania ich do elektrody zbiorczej (A). Celowi temu służy zespół asymetrycznie spolaryzowanych pasków pomocniczych (E,F). Dla uproszczenia analizy przyjmiemy jednak liniową konfigurację strefy generacyjnej o zastępczej szerokości bariery „D”. Docierający do niej pojedynczy elektron w czasie swego dryfu do anody generuje w jej obwodzie zewnętrznym indukowany mikroimpuls prądowy oznaczany umownie symbolem „SER” (Single Electron Response). Opisuje go znane nam już ogólne równanie (2.61), które po uwzględnieniu faktu, że xo = 0 , przyjmie formę

37

elel

tqSER exp (2.72)

Indukowany impuls prądowy i (t) stanowi superpozycję odpowiedzi wszyst-kich elektronów wchodzących w skład rozmytej paczki elektronów. Opisuje go splot funkcji (2.71) i (2.72).

SERtntiti yel )()()( (2.73)

Napiszmy zatem

d

ttq

w

nti

t

elT

p

elTel

o

0

2

expexp)( (2.74)

skąd po wykonaniu całkowania otrzymujemy

T

p

el

T

el

p

T

p

el

pTt

erftt

erftti

ti224

exp2

)(2

2max (2.75)

przy czym

elel

o

w

qni

max (2.76)

Z dobrym przybliżeniem można przyjąć , że

12

T

p

el

Tt

erf

Ułatwia ono istotnie graficzną prezentację zależności funkcjonalnej (2.75). Przedstawiono ją na rysunku 2.8 w układzie współrzędnych znormalizowanych [i/imax ] - [(t-tp)/el ].

38

Rys. 2.8. Rodzina znormalizowanych przebiegów indukowanego impulsu prądo- wego w krzemowej komorze dryfowej. ( Parametr =

T/

el ) .

-4 -2 2 4 6

0.8

0.6

0.4

0.2

i /imax

(t-tp) /

el

0

=0.1

=0.5

=1

=2

Rysunek powyższy ukazuje ewolucję odpowiedzi komory dryfowej na quasidirakowskie wymuszenie ładunkowe (noq) w zależności od jego współrzędnej przestrzennej (yo). Łatwo na nim zauważyć, że poczynając od wartości parametru 0.5, o kształcie odpowiedzi decyduje głównie dyspersja ładunku (T) w strefie transportowej. Dysponując uzyskaną z pomiaru wartością dyspersji (T) można w oparciu o zespół związków (2.70) wyznaczyć wartość współrzędnej (yo). Proste działania arytmetyczne dają w wyniku zależność

23

0 4 Tn

el

D

wy (2.77)

W równaniu (2.73) formalnie utożsamiono przebieg indukowanego impulsu prądowego i(t) z przebiegiem składowej elektronowej iel (t). Dla pełności opisu funkcjonalnego dodajmy więc, że w procesie formowania indukowanego impulsu prądowego nie uczestniczą nośniki dziurowe, jako że są one zbierane daleko poza zasięgiem pola elektrycznego strefy generacyjnej przez najbliższe miejsca ich ge-neracji elektrody zbiorcze złącz Dk.

2.5. Licznik scyntylacyjny

Proces generacji sygnału elektrycznego w liczniku scyntylacyjnym dokonuje się w jego drugim (w porządku topologicznym) podzespole funkcjonalnym, jaki stanowi – przedstawiony schematycznie na rysunku 2.9 – fotopowielacz.

39

Rys. 2.9. Uproszczony schemat fotopowielacza.

WEJŚCIOWY SYSTEMELEKTRONOWOOPTYCZNY

FOTOKATODA

SYSTEM POWIELANIAELEKTRONÓW

COKÓŁ

ANODA

fot

ia

n DYNOD

el

Poprzedza go stopień konwersji sygnału pierwotnego (promieniowania jonizującego) w sygnał pośredni (promieniowanie świetlne), którą to funkcję pełni scyntylator. Odpowiedzią scyntylatora na akt detekcji jest impuls fotonowy o prze-biegu czasowym (t) zależnym od mechanizmu wzbudzenia scyntylacji oraz procesu reemisji promieniowania. Według ogólnie uznawanego opisu [16],[17], kształt impulsu świetlnego, emitowanego przez scyntylator, można przedstawić za-leżnością

1

0 expexp)(tt

t (2.78)

gdzie 1 jest stałą czasową procesu transferu energii do poziomu optycznego, zaś 1

stanowi stałą czasową zaniku emisji. W pewnych przypadkach wzajemne pro-porcje tych stałych czasowych pozwalają zaniedbać człon odpowiedzialny za czoło impulsu świetlnego i wówczas otrzymujemy bardzo rozpowszechnioną w praktyce spektrometrycznej zależność

t

t exp)( 0 (2.79)

Problematyka formowania impulsu świetlnego w scyntylatorach była przed-miotem szczególnie intensywnych studiów w latach pięćdziesiątych i sześćdzie-siątych ubiegłego stulecia. Doprowadziły one między innymi do sformułowania opisu przebiegu impulsu świetlnego jako splotu funkcji (2.78) oraz funkcji gęstości prawdopodobieństwa f (t) [18]

)(exp)( 0 tft

t

(2.80)

Powyższa postać dobrze „pracuje” zwłaszcza w przypadku scyntylatorów plas-tikowych [19]. Proces konwersji promieniowania w tego rodzaju scyntylatorach jest bardzo złożony i nie będzie tutaj dyskutowany. Ograniczymy się również je-dynie do zwięzłego przypomnienia podstawowych procesów zachodzących w przypadku najprostszym. Są nimi: wzbudzenie, degradacja nadmiaru energii wzbu-dzenia z wyższych poziomów do najniższego, oraz emisja światła z najniższego poziomu energetycznego.

Proces emisji promieniowania świetlnego, czyli luminescencja może zacho-dzić bądź to w efekcie fluorescencji lub fosforescencji. W pierwszym przypad-

40

ku przejście ze stanu wzbudzonego do podstawowego jest dozwolone, wobec cze-go prawdopodobieństwo takiego przejścia jest bardzo duże. W przypadku drugim najniższy stan wzbudzony jest stanem metastabilnym i bezpośrednie przejście do stanu podstawowego może zachodzić z bardzo małym prawdopodobieństwem. Zważywszy, że prawdopodobieństwo przejścia jest odwrotnie proporcjonalne do czasu zachodzącego efektu, należy oczekiwać bardzo krótkich czasów wyświet-lania scyntylatora w procesie fluorescencji oraz stosunkowo długich w procesie fosforescencji. W istocie, mieszczą się one odpowiednio w przedziałach od 10 -5 do 10-9 s oraz od mikrosekund do wielu nawet godzin [20],[8].

Z mechanizmem emisji promieniowania wiąże się również „kształt” emi-towanego impulsu fotonowego. Tak więc emisja typu fluorescencyjnego daje impuls o przebiegu wykładniczym, natomiast impuls generowany w procesie fosforescencji można opisać funkcją hiperboliczną .

Konwersja nieelektrycznego w potocznym rozumieniu sygnału fotonowego w proporcjonalny sygnał elektryczny dokonuje się w drugim członie funkcjonal-nym licznika scyntylacyjnego, to jest w fotopowielaczu. W tym przyrządzie foto-elektrycznym, którego uproszczony schemat pokazano na rysunku 2.9, następuje podstawowa konwersja fotoelektryczna sygnału (fot el), oraz wzmocnienie wygenerowanego impulsu prądowego w układzie powielania elektronów.

W idealnym przypadku pełnego izochronizmu fotoelektronów i elektronów wtórnych układu powielającego odpowiedzią fotopowielacza na wymuszenie im-pulsem świetlnym scyntylatora byłby impuls prądowy o przebiegu czasowym pokrywającym się wiernie z przebiegiem impulsu fotonowego. Jeśli więc przyjąć kształt impulsu fotonowego według formuły (2.79), wówczas wyjściowy impuls prądowy fotopowielacza ia (t) odbierany z jego obwodu anodowego przyjmie formę

t

iti aa exp)( max (2.81)

Całka określona powyższej funkcji, obliczona w przedziale < 0 >, determinuje globalny ładunek Q zawarty w impulsie ia (t). Korzystając z tej oczywistej zależ- ności można wyrazić wartość ia max przez parametry globalne impulsu prądowego, tj. Q oraz .

0

max exp mazaa idtt

iQ (2.82)

skąd

Q

iamax

W konsekwencji

41

tQ

tia exp)( (2.83)

Powyższa postać równania, opisującego przebieg wyjściowego impulsu prądo-wego fotopowielacza, stosowana jest z zadowalającym przybliżeniem w przy-padkach braku izochronizmu, gdy dyspersja czasu przelotu elektronów w foto-powielaczu jest znikomo mała w porównaniu z czasem wyświetlania scyntylatora. Użyty tu termin: czas wyświetlania określa czas, po upływie którego natężenie impulsu fotonowego spadnie do poziomu e-krotnie niższego od jego amplitudy; odpowiada więc wartości stałej czasowej zaniku impulsu.

Podstawowe parametry czasowe współczesnych fotopowielaczy, jak średni czas przelotu tp, dyspersja czasu przelotu T, oraz czas narastania odpowie-dzi tn na wymuszenie quasidirakowskie, przyjmują odpowiednio wartości

tp = (20 40) ns T = (1.5 4.0) ns tn = (0.2 0.5) ns Są one uwarunkowane głównie geometrią układu optoelektronicznego oraz stochastycznym charakterem wykorzystywanych w nim zjawisk fizycznych foto-emisji i emisji wtórnej

O wiele szerszy jest przedział wartości czasu wyświetlania scyntylatorów. Dla jego zilustrowania zestawiono w Tablicy 2.4 orientacyjne dane kilku wybra-nych typów scyntylatorów.

Tablica 2.4

Rozmycie (dyspersja) czasu przelotu elektronów wywiera zasadniczy wpływ na przebieg czoła i czas narastania prądowego impulsu wyjściowego licznika scyntylacyjnego. W granicznym przypadku emisji przez fotokatodę tylko jednego fotoelektronu, na wyjściu fotopowielacza pojawi się rozmyta paczka elektronów

42

Scyntylatory

Nieorganiczne Plastikowe

LaBr38(Ce) 16 ns NATON 136 1.6 nsNaJ(Tl) 250 ns Pilot B 1.8 nsCsJ (Tl) 1100 ns NE 102A 2.4 ns Organiczne Ciekle

Antracen 27 ns NE 211 2.6 nsStilben 4.5 ns NE 218 3.9 ns NE 223 7.8 ns

wtórnych, której przebieg czasowy (SER) można zadowalająco opisać rozkładem normalnym Gaussa.

Oznaczając symbolem No całkowitą liczbę elektronów docierających do anody, przez tp średni czas przelotu (zdefiniowany jako odległość czasowa współrzędnej punktu ciężkości impulsu wyjściowego od momentu przyłożenia jednoelektronowego wymuszenia), oraz przez T dyspersję czasu przelotu elek-tronów, prąd anodowy wywołany przez jeden fotoelektron iaq przyjmie formę

2

0 exp)(T

p

T

qa

ttqNti (2.84)

W warunkach rzeczywistych mamy jednak do czynienia nie z pojedynczym fotoelektronem lecz z ich lawiną o intensywności, zależnej od natężenia strumie-nia fotonowego fo (t). Jeśli zatem przez N oznaczymy całkowitą liczbę fotoelek-tronów wytworzonych przez indywidualny impuls świetlny scyntylatora, w kon-tekście formuł (2.79) i (2.83) możemy napisać

tN

tn exp)( (2.85)

gdzie n(t) określa chwilową wartość liczby fotoelektronów emitowanych przez fotokatodę w czasie jednej sekundy.

Prądową odpowiedź licznika scyntylacyjnego na wymuszenie impulsem foto-nowym (2.79) określa całka splotu funkcji (2.84) i (2.85). Jej ostatecznym rezul-tatem jest zależność

224exp

2)(

2

20 T

T

pT

T

pTpa

terf

tterf

ttqNNti (2.86)

W rozważanym obecnie przypadku zarówno średni czas przelotu tp jak i dys-persja czasu przelotu T są wielkościami stałymi, zależnymi od wybranego typu fotopowielacza. Korzystniej jest zatem przyjąć za czynnik normalizacji zmiennej niezależnej dyspersję czasową T zaś za parametr rodziny funkcji prądu anodo-wego (podobnie jak uprzednio) stosunek T/.

Przekształcona według takiej konwencji funkcja (2.86) przyjmie postać:

43

224exp

2)(

2

20 T

T

pT

T

pTT

T

pT

T

qa

terf

tterf

ttNNti (2.87)

Odwzorowuje ona „naturalny” kształt sygnału prądowego fotopowielacza. Rodzinę tego rodzaju przebiegów, o sprowadzonych do wspólnego poziomu ampli-tudach, przedstawiono na rysunku 2.10.

Wyznaczono je dla przeciętnych wartości parametrów czasowych fotopo-wielacza i różnych rodzajów scyntylatorów. W szczególności przyjęto: T = 3 ns oraz tp = 30 ns , zaś z poszczególnych grup scyntylatorów wybrano jako reprezen-tatywne następujące typy: NE 218, NATON 136, Antracen i NaJ(Tl). Wartości ich czasu wyświetlania (podane w Tablicy 2.4) determinują wespół z wartością dyspersji czasu przelotu T wartości parametru = (T/) funkcji (2.85).Wynoszą one: dla scyntylatora NATON 136 1.9 dla scyntylatora NE 218 = 0.75 dla scyntylatora antracenowego = 0.111 dla scyntylatora NaJ(Tl) = 0.012

Zauważmy, że dla scyntylatora NaJ(Tl) wzajemne relacje czasu narastania i opadania wyjściowego impulsu prądowego fotopowielacza pozwalają z dobrym przybliżeniem opisać jego przebieg ogólną formułą (2.80). Jeszcze lepsze dopa-sowanie dawać będzie ona dla szeregu innych scyntylatorów nieorganicznych. Zaniedbanie dyspersji czasowej w fotopowielaczu formalnie jest równoważne przyjęciu dirakowskiej charakterystyki impulsowej tego przyrządu. W przypadku

44

Rys. 2.10. Rodziny przebiegów prądowej odpowiedzi „standardowego” fotopo- wielacza na wymuszenia impulsami fotonowymi różnych scyntylatorów.

20-5 10 15 25 30

0.8

1.0

0.6

0.4

0.2

0

5

NaJ(Tl)

NE 218

Naton 136

Antracen

(t-tp) /

T

kn (i / i

max)

alternatywnym, gdy czas wyświetlania scyntylatora jest znacząco mniejszy od dys-persji T fotopowielacza, jej wartość decyduje głównie o kształcie wyjściowego sygnału prądowego.

Literatura

[1] D. Middleton.: An Introduction to Statistical Communication Theory. McGraw Hill, New York, 1960

[2] S. Ramo.: Currents induced by electron motion. Proc. IRE, Vol. 27, 584, 1939

[3] W. Shockley.: Currents to Conductors Induced by a Moving Point Charge. Journal of Appl. Phys., Vol, 9. 635, 1938

[4] D.H. Wilkinson.: Ionisation Chambers and Counters. Cambridge University Press. 1950

[5] A.H. Snell (Editor).: Nuclear instruments and their uses. John Wiley, New York, London, 1962

[6] Knoll F.G.:Radiation Detection and Measurement. John Wiley & Sons. Inc. New York-Chichester-Weinheim-Brisbane-Toronto-Singapore, 2000

[7] E. Kowalski: Nuclear Electronics. Springer Verlag, Berlin – Heidelberg – New York, 1970

[8] W. Price.: Detekcja promieniowania jądrowego. PWT, Warszawa, 1960

[9] O. Frisch.: Isotope Analysis of Uranium Samples by means of their Alpha-Ray Groups. British Atomic Energy Project Report BR-49, 1944

[10] N.J. Hansen.: Solid State Charged Particle Detectors (in: Progress in Nuclear Energy, Ser.IX., Vol. 4, Pt. 1.), Analytical Chemistry. Pergamon Press 1964

[11] M. Moszyński.: Proces zbierania ładunku w krzemowym detektorze dryfo- wym z niejednorodnym rozkładem pola elektrycznego. Raport IBJ, Nr. 972/IA/E., Warszawa, 1968

[12] ORTEC Instruments for Research Catalog No. 1002

[13] E.H.M. Heijne.: Development of silicon pixel detectors: an introduction. Nucl. Instr. and Methods., Vol. A 349, 138, 1994

[14] J. Kremmer. Fabrication of low noise silicon radiation detectors by planar process. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 169, 449, 1980

[15] TENNELEX Semiconductor Radiation Detectors. Leaflet 639924301019

45

[16] A. Raviart, V, Koechlin.: Analyse per echantillonage sur photon individuelles des liquides fluorescents dans le domaine de la sub-nanoseconds. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 29, 45, 1966

[17] F.J. Lynch.: Improved timing with NaJ(Tl). Transactions on Nuclear Science, NS-13, No. 3, 149, 1966

[18] B. Bengston, M. Moszyński.: Energy transfer and light-collection characte- ristics for different types of plastic scintillators. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 117, 227, 1974

[19] M. Moszyński, B. Bengston.: Light pulse shapes from plastic scintillators. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 142, 417, 1972

[20] M. Massalski.: Detekcja promieniowania jądrowego. PWN, Warszawa. 1959

46

3. Źródła szumów

Spontaniczne fluktuacje swobodnych nośników ładunku, stanowiące istotę szumów elektrycznych, mogą zachodzić zarówno w warunkach równowagi termo-dynamicznej jak i w różnych warunkach nierównowagowych. Wynika stąd zróżnicowanie mechanizmów generacji szumu oraz rozkładów gęstości widmowej ich mocy. Bogata literatura przedmiotu [15] omawia wyczerpująco wiele specy-ficznych zjawisk fluktuacyjnych manifestujących się w układach elektronicznych jako szum. Za najbardziej znaczące uznawane są następujące rodzaje szumów: szum termiczny, szum śrutowy, szum generacyjno-rekombinacyjny, szum rozdziału i szum nadmiarowy.

Lapidarne definicje wymienionych rodzajów szumu określają je w relacji przyczynowo-skutkowej. W szczególności:

przyczyną powstania szumu termicznego są przypadkowe zderzenia nośników ładunku z siecią krystaliczną w warunkach równowagi termodynamicznej,

szum śrutowy powstaje w rezultacie stochastycznych przejść nośników ładun- ku przez barierę potencjału względnie w wyniku przypadkowej emisji elek- tronów lub fotonów,

przyczyną szumu generacyjno-rekombinacyjnego są przypadkowe akty gene- racji i rekombinacji par dziura-elektron, oraz przypadkowe procesy związane z pułapkowaniem nośników ładunku,

przypadkowy strukturalnie rozpływ wewnętrzny prądu w wieloelektrodowych przyrządach elektronowych daje w efekcie szum zwany szumem rozdziału,

w odniesieniu do szumu nadmiarowego nie można podać uniwersalnego uza- sadnienia przyczynowo-skutkowego, istnieją natomiast liczne modele tłumaczą- ce ten efekt dla konkretnych elementów czy przyrządów elektronicznych. Wspólną cechą szumów nadmiarowych jest ich charakterystyka widmowa typu 1/f n, co dało zresztą asumpt do nazywania tego rodzaju szumów szumami 1/f.

Rzeczywiste elementy i przyrządy układów elektronicznych w warunkach pra-cy generują szumy w wielu równocześnie zachodzących procesach fluktuacyjnych.

47

Ich ilość oraz waga z jaką wchodzą do szumu globalnego są indywidualnymi cechami konkretnych elementów składowych układu.

W obszarze problematyki niniejszej monografii dwa rodzaje szumów odgry-wają kluczową rolę, tj. szum termiczny i szum śrutowy (w tym śrutowe w swym charakterze szumy generacyjno-rekombinacyjne oraz szumy fotoemisji i emisji wtórnej).

3.1. Szum termiczny

Pierwsze analityczne ujęcie zagadnienia szumu termicznego substancji prze-wodzących zawdzięczamy A. Einsteinowi. Uogólniając wyniki swoich prac nad zjawiskiem dyfuzji molekularnej w warunkach równowagi termodynamicznej [6],[7] wskazał on na możliwość wyznaczenia wartości średniego kwadratu fluktuacji ładunku elektrycznego na gruncie zależności opracowanej przezeń teorii ruchu brownowskiego. Wyprowadzona na tej drodze formuła przyjmuje postać [5]

,20 2 tGkTqtq (3.1)

gdzie: q(t) - ładunek jaki do chwili t zdołał przeniknąć przez wybrany, dowolny przekrój przewodnika, G - konduktancja przewodnika, T - temperatura bezwzględna przewodnika, k - stała Boltzmanna, t - czas.

Teorię ruchu brownowskiego Einsteina istotnie wzbogacił Langevin [8]. Zaproponowany przezeń formalizm okazał się szczególnie przydatny dla opisu fluktuacji w obwodach elektrycznych. Metoda Langevina polega na uzupełnieniu deterministycznych równań różniczkowych układu dodatkowym członem stochas-tycznym odpowiedzialnym za procesy fluktuacyjne.

Wykorzystanie metody Langevina dla opisu szumu termicznego sprowadza się do analizy obwodu zawierającego wyidealizowany rezystor R, element konser-watywny L lub C oraz wyodrębnione źródło fluktuacji (odpowiednio napięciowe lub prądowe).

Dla przypomnienia procedur obliczeniowych rozważymy obwód R-C, którego zastępczy schemat szumowy przedstawiono na rysunku 3.1. Opisujące go równa-nie różniczkowe wygodnie jest zapisać w postaci

48

,tAV

dt

dV

(3.2)

gdzie =RC, zaś zmienna losowa ./ CtItA 1)

Z założenia przypadkowości procesu fluktuacyjnego wynikają trzy warunki formalne

a) 0tA

b) 021 tAtA gdy t2 > t1 (3.3)

c) 02 tA

które muszą być uwzględnione w dalszym toku obliczeń

Rozwiązaniem równania (3.2) jest następująca funkcja V(t):

t utt

duuAeeeVtV0

0 (3.4)

gdzie V0 =V(0) (napięcie początkowe na zaciskach obwodu). Średnia bieżąca (nieustalona) wartość napięcia na zaciskach obwodu wyniesie zatem

t tttt t

eVduuAeeeVtV0

00

0

(3.5)

zaś jego średni kwadrat )(2 tV będzie

1) Dla prostoty zapisu symbol zmiennej losowej (kreska pod oznaczeniem zmiennej) będzie pomijany

49

Rys. 3.1. Szumowy schemat zastępczy obwodu R-C.

V (t )I (t )CR

t t t wututt

dwduwAuAeeduuAeeVeVtV0 0 0

22

0

22

02 .2 (3.6)

Łatwo zauważyć, że drugi składnik sumy prawej strony równania (3.6) jest równy zeru, natomiast człon trzeci wobec u w, z mocy warunku (3.3 c) jest różny od zera i wynosi

.12

t

eE

W rezultacie z równania (3.6) otrzymujemy

.122

20

2

tt

eEeVtV (3.7)

Stałą E wyznaczymy z warunku osiągnięcia stanu ustalonego (t >>) przy równoczesnym uwzględnieniu praw mechaniki statystycznej

Po pierwsze więc w stanie termodynamicznie zrównoważonym średnia po czasie równa się średniej po zbiorze i wynosi

EVtV t 22 (3.8)

Po wtóre zaś w układnie jednowymiarowym (o jednym stopniu swobody) z za- sady ekwipartycji energii mamy

22

2 TkVC t

(3.9)

Ostatecznie więc dla stanu termodynamicznie zrównoważonego otrzymujemy zależność opisującą średni kwadrat fluktuacji napięcia na zaciskach obwodu R-C

EC

kTVt 2 (3.10)

Znajomość wyznaczonej w poprzedniej procedurze stałej E jest niezbędna dla obliczenia funkcji autokorelacji sygnału V(t), a w dalszej konsekwencji, gęstości widmowej mocy fluktuacji termicznych.

Zgodnie z definicją, funkcję autokorelacji R(t’) zmiennej V(t) opisuje zależność

50

'' ttVtVtR

t tt ttttwutttt

eeEeVdwduwAuAeeeV0

'

0

2''22

0

'2'22

0 1

.'

tt

eC

Tk (3.11)

Gęstość widmową mocy sygnału S(f) determinuje z kolei twierdzenie Wienera-Chinczyna 2)[9], [10], według którego

0

2cos4 dtfttRfS (3.12)

W rozważanym przypadku

20

'2

21

4''2cos4

fC

kTdttfe

C

kT

df

VdfS

t

u

21

14

RkT (3.13)

Uzyskane wyrażenie (3.13) opisuje gęstość widmową mocy szumów na zaciskach R-C, zmodyfikowaną charakterystyką częstotliwościową tego obwodu.

Z prostej relacji wiążącej gęstość widmową mocy szumów w źródle dfId /2

z gęstością widmową mocy szumów na zaciskach obwodu wynika, że

df

VdY

df

Id

22

2

(3.14)

Moduł admitancji obwodu równoległego R-C wynosi

RY /1 2 (3.15)

wobec czego

R

kT

df

Id 42

(3.16)

Na rezystorze R nieobciążonym pojemnością otrzymamy zatem

2) Dowód tego twierdzenia podano w Dodatku B.

51

.44 2

2

kTRRR

kT

df

Vd

(3.17)

W takim ujęciu schemat zastępczy z rysunku 3.1 (zgodnie z twierdzeniem Thevenina) przekształca się do konfiguracji przedstawionej na rysunku 3.2

Równanie (3.17) przyjęto powszechnie nazywać twierdzeniem Nyquista 3)

mimo, że taką właśnie zależność wyznaczył on znacznie później [11], prezentując nowy, oryginalny sposób podejścia do zagadnienia opisu szumu termicznego rezystorów.

Metoda Nyquista w „teoretycznym eksperymencie” realizuje transformację fourierowską sygnału pułapkowanego w idealnej, dopasowanej linii opóźniającej wykorzystując jej własności selektywne, dzięki którym sygnał ulega przekształ-ceniu na odpowiednio liczny zbiór harmonicznych fal stojących (modów). Jak pokażemy dalej, liczebność tego zbioru jest uwarunkowana szerokością pasma przenoszenia układu pomiarowego.

Zauważmy, że z każdym modem związany jest jeden stopień swobody. Stąd więc jawi się dogodna możliwość powiązania analizy energetycznej z zasadami mechaniki statystycznej.

Koncepcję Nyquista ilustruje rysunek 3.3.

3) Obszerny przegląd metod wyznaczenia formuły Nyquista znajdzie Czytelnik w publika- cji [12]

52

Rys. 3.2. Zastępczy schemat szumowy obwodu R-C w wersji z napięciowym źródłem szumu

df

Vd 2

df

Vd R 2

C

R

Rys. 3.3. Schemat hipotetycznego układu Nyquista

R1

K1

R2

K2

L

DL, Z0=R, v

df

VdS R

u

2

1 df

VdS R

u

2

2

Ukazuje on energetycznie dopasowany układ rezystorów R1 i R2 oraz linii opóźniającej DL. Z mocy tego założenia R1 = R2 = Z0 . Zakłada się nadto, że rezys-tory utrzymywane są w stanie równowagi termodynamicznej w temperaturze T, zaś linia opóźniająca jest absolutnie bezstratna. Jej długość oznaczmy symbolem L a prędkość propagacji sygnału przez v. Rozważany układ uzupełnia para kluczy S1 i S2 bocznikujących odpowiednie rezystory, oraz para ekwiwalentnych, napię-ciowych źródeł szumów.

W warunkach otwartych kluczy wytwarzana w rezystorach moc szumu PW

przekazywana jest dwustronnie za pośrednictwem linii DL. W ustalonym stanie transmisji sygnału zawarta w linii opóźniającej energia wynosi

v

LPE wDL 2 (3.18)

gdzie pvL t - czas propagacji sygnału w linii.

Zamknięcie kluczy sprawia, że zawarta w niej energia zostaje w niej „uwięziona” w procesie bezstratnych odbić na zwartych końcach linii. W ten sposób powstają w linii fale stojące o częstotliwościach fn

.....,3,2,12

nL

vnf n (3.19)

Liczba modów (drgań harmonicznych) mieszczących się w założonym paśmie częstotliwości f będzie więc równa

.22

1212 fv

Lff

v

LnnN (3.20)

Jeśli symbolem E oznaczyć średnią energię każdego modu, to całkowita ener-gia uwięziona w linii wyrazi się oczywistym związkiem

.2

Efv

LENEDL (3.21)

Porównując powyższą zależność z wyrażeniem (3.18) otrzymujemy zaska-kujący na pozór rezultat stanowiący, że wytwarzana moc szumów Pw nie zależy od wartości rezystancji.

.fEPw (3.22)

Wytwarzaną moc szumów można wyznaczyć w alternatywny sposób na podstawie schematu zastępczego z rysunku 3.3. Zauważmy, że każde źródło jest obciążone sumaryczną rezystancją R1 + R2 = 2R, a średniokwadratowa wartość napięcia szu-

mów z nim wytwarzanych wynosi 2/12 Rrms VV . W konsekwencji wartość śred-

niokwadratowa prądu wymuszanego w obwodzie wyniesie

53

R

VI rms

rms 2 (3.23)

zaś moc Pw wyrazi się związkiem

.42

22

2

R

VR

R

VRIP rmsrms

rmsw

(3.24)

Równania (3.18) (3.24) prowadzą do prostej relacji

fREVR 42 (3.25)

z której wynika formuła opisująca gęstość widmową mocy szumu termicznego w wersji napięciowej

.42

REdf

VdfS R

u

(3.26)

Dalszą analizę można prowadzić dwoma sposobami: w ujęciu klasycznym względnie w ujęciu kwantowo-mechanicznym.

Średnia energia modu w ujęciu klasycznym odpowiada energii jednowymia-rowego oscylatora harmonicznego i jest równa [13]

TkE (3.27)

W takim przybliżeniu gęstość widmową mocy szumu termicznego wyraża się ogólnie znaną formułą

.42

RTkdf

Vd R

(3.28)

dobrze funkcjonującą w zakresie niezbyt wysokich częstotliwości.

W obszarze częstotliwości bardzo wysokich należy sięgnąć do ujęcia kwantowo-mechanicznego, według którego średnia energia oscylatora harmo-nicznego opisana jest równaniem [14]

.1exp2

1

kThf

fhhfE (3.29)

Jego pierwszy człon stanowi energię stanu podstawowego (zerowego) oscylatora 4).

4) Energia ta jest „niedostępna” (niewydobywalna z oscylatora) a związane z nią fluktuacje nie poddają się wzmacnianiu ani tłumieniu. Nie daje zatem wkładu do mocy szumów i w formule (3.31) reprezentujący ją składnik ½ należy pominąć [15].

54

Gęstość widmowa mocy szumów termicznych daje się wówczas przedstawić w formie

fpRTkdf

Vd R 42

(3.30)

gdzie p(f) nosi nazwę czynnika Plancka, równego

.1exp2

11

kT

hf

kT

hffp (3.31)

Dla częstotliwości spełniających warunek 1kThf czynnik Plancka zdąża do

jedności i formuła (3.30) sprowadza się do postaci (3.27). Prosty rachunek po-kazuje, że widmo szumu termicznego pozostaje praktycznie (z dokładnością do 1%) białe aż do częstotliwości rzędu 100 GHz (dla T = 300 K). Widać stąd, że obszar słuszności uproszczonej postaci formuły Nyquista (3.27) z nadmiarem pokrywa zakres tzw. „szybkiej elektroniki”.

Prowadzonym dotąd rozważaniom towarzyszyło zawsze „ciche założenie” o niezależności rezystancji od częstotliwości. Założenie takie nie jest jednak ogólnie słuszne. W szczególności nie jest ono spełnione w przypadku wysoko-omowych (rzędu gigaomów) rezystorów stosowanych w wejściowych obwodach elektroniki odczytu. Zależność R(f) tego rodzaju rezystorów wyraża się dziesięciokrotnym spadkiem rezystancji w obrębie dwóch dekad częstotliwości (1-100 kHz). W konsekwencji widmo mocy szumów ulega odpowiedniej mody-fikacji podobnie zresztą - co może nawet ważniejsze – ulega zmianie przepusto-wość widmowa całego układu.

Charakterystyczny dla rezystorów szum termiczny występuje również w rze-czywistych elementach reaktancyjnych: indukcyjnościach i pojemnościach. Jest on spowodowany stratnością tych elementów, uwarunkowaną poziomem składowej dyssypatywnej ich impedancji.

Współczesne układy elektroniki odczytu, zwłaszcza w realizacjach struktur scalonych, stosują wyłącznie sieci bezindukcyjne R-C, stąd też nieco uwagi poświęcimy tylko szumom wnoszonym przez pojemności (kondensatory).

Podstawowe własności kondensatorów są określone dwoma parametrami znamionowymi, a mianowicie pojemnością nominalną C oraz współczynnikiem stratności tg. Ten drugi parametr zdefiniowany zależnością

C

Gtg

(3.32)

55

zawiera informację o składowej dyssypatywnej kondensatora tj. o jego konduktan-cji G(). Dodajmy, że kondensatory stosowane w układach elektroniki „Front-End” należą do kategorii o szczególnie niskiej stratności, charakteryzującej się nadto niezależnością współczynnika stratności od częstotliwości. Ich konduktancja jest więc liniową funkcją częstotliwości

CtgG (3.33)

Nośniki ładunku odpowiedzialne za przewodnictwo dielektryków (jony, elektrony) podlegają termicznie uzależnionym procesom fluktuacyjnym, manifes-tującym się w postaci szumu „barwnego” o gęstości widmowej mocy równej

.42

CtgTkdf

idS C

iC (3.34)

Powyższy sposób opisu szumów implikuje szumowy schemat zastępczy rzeczywistego kondensatora w formie równoległego układu prądowego źródła szumów i bezszumnej pojemności C. Jego alternatywą jest szeregowy układ bezszumnej pojemności C i napięciowego źródła szumów opisanego równaniem (3.35)

.4

2

2

C

tgkT

df

UdS C

uC (3.35)

3.2. Szum śrutowy Generacja szumu śrutowego związana jest z przepływem prądu, w którym ruch poszczególnych nośników ładunku jest wzajemnie niezależny i przypadkowy. Wa-runki takie występują w szczególności w przypadku przepływu prądu w diodzie próżniowej pracującej w nasyceniu a także z pewnymi ograniczeniami w każdej próżniowej lampie elektronowej. Właśnie szumy lamp elektronowych zainspi-rowały W. Schottky'ego do podjęcia studiów nad tym zjawiskiem [16]. W lapi-darnym wręcz wywodzie wyznaczył on średni kwadrat fluktuacji prądu odpo-wiedzialnych za efekt szumowy. Zwięzłość ujęcia Schottky'ego skłania do za-prezentowania jego rozważań w oryginalnej postaci z niewielkimi tylko zmianami oznaczeń.

Niech więc i0 oznacza średnią wartość prądu w bardzo długim (nieskończonym) przedziale czasu, zaś i jego wartość średnią liczoną w zało-żonym niewielkim interwale pomiarowym . Różnica obu wielkości stanowi od-

56

chylenie średniej wartości „krótkoterminowej” i od „rzeczywistej” wartości średniej i0

)( 0` iii (3.36)

W terminach ilości elementarnych nośników ładunku zależność (3.36) można zapisać w postaci

. Nnn (3.37)

gdzie N - średnia częstotliwość przepływu nośników ładunku, zaś n - liczba ła-dunków, które przepłynęły w czasie .

Stochastyczny charakter ruchu nośników ładunku implikuje z kolei związek

Nn 2 (3.38)

Podstawiając do powyższej zależności oczywiste relacje

nqi oraz Nqi 0 (3.39)

otrzymujemy

02 iq

i (3.40)

przy czym q oznacza ładunek elementarny.

Wyprowadzona przez Schottky'ego formuła (3.40)) opisuje szum śrutowy w dziedzinie czasu. Dla jego przedstawienia w domenie częstotliwości skorzysta-my z twierdzenia McDonalda [17], wiążącego gęstość widmową mocy procesu stochastycznego z poziomem fluktuacji czasowych

0

2sin4 dfffS (3.41)

Funkcja () zwana funkcją McDonalda zdefiniowana jest jako iloczyn śred-niego kwadratu zmiennej losowej i kwadratu jej argumentu .

W przypadku szumu śrutowego funkcja McDonalda sprowadza się do postaci

020 iq

iq (3.42)

a gęstość widmową mocy szumu określa wyrażenie

57

.22sin4 00

0 iqdfiqffS i

(3.43)

W stosowanej powszechnie notacji powyższe równanie zapisywane jest w formie

0

2

2 iqdf

id

(3.44)

znanej pod mianem formuły Schottky'ego.

Literatura przedmiotu podaje szereg innych sposobów wyznaczenia gęstości widmowej mocy szumu śrutowego. W latach 50-tych dużą popularność zyskał spekulatywny raczej sposób zaproponowany przez Pierce'a [18].

Koncepcja Pierce'a nawiązuje do podejścia Nyquista kojarząc w układzie równoległym dwie struktury diodowe generujące szum śrutowy. W hipotetycznym przyrządzie próżniowym stanowią je położone naprzeciw, identyczne termokatody pełniące wobec siebie wzajemnie funkcje elektrod zbiorczych (anod). Każdy, tak pomyślany ustrój diodowy reprezentuje określoną konduktancję, której formalnie można przypisać szum termiczny. Określamy ją dla identycznych warunków pracy diod, które można uzyskać jedynie przy zwarciu zacisków zewnętrznych układu. Tym samym zewnętrzne napięcia polaryzacji sprowadzone zostają do zera.

Podstawę obliczeń stanowi w tych warunkach charakterystyka diody dla zakresu prądu początkowego.

kT

qVII ea exp (3.45)

gdzie Ia - prąd anodowy a Ie - prąd emisyjny katody.

Za generację szumu odpowiedzialne są fluktuacje prądu emisyjnego katody. Według równania(3.45) wynosi on

.exp

kT

qVII ae (3.46)

Jego pochodna względem napięcia V daje na mocy definicji szukaną konduktancję Gi

.exp

kT

qV

kT

Iq

U

IG aa

i (3.47)

Kładąc z kolei V = 0 otrzymujemy

58

.Tk

IqG a

k (3.48)

Stąd, w ramach przyjętego formalizmu, gęstość widmowa szumu termicznego struktury diodowej wyniesie

.442

aaa Iq

kT

qITk

df

Id

(3.49)

Zauważmy, że przez każdy ustrój diodowy przepływa jego prąd własny oraz prąd ustroju bliźniaczego. Prądy te są wzajemnie niezależne dając 50 % wkład do generowanego w każdym z nich szumu śrutowego. Dla jednej diody otrzymujemy zatem

.22

ai Iqdf

idfS

(3.50)

a więc postać identyczną z formułą (3.44).

Źródło szumu śrutowego można formalnie traktować jako dwuelementowy, spolaryzowany element randomizujący przepływ swobodnych nośników ładunku. Przypadkowy, ukierunkowany ruch nośników ładunku w takim elemencie, zgodnie z twierdzeniem Ramo, indukuje w stowarzyszonym obwodzie elektrycznym stochastyczny ciąg elementarnych mikroimpulsów prądowych. Ich przebieg czasowy (kształt i czas trwania) jest jednoznacznie określony przez parametry robocze „randomizatora”, a częstotliwość przez natężenie płynącego przezeń prądu.

Dane te umożliwiają wyznaczenie gęstości widmowej mocy fluktuacji prądu na podstawie twierdzenia Carsona [19] stanowiącego, że

22 jsfS ii (3.51)

gdzie: <f> - średnia częstotliwość mikroimpulsów prądowych zaś si (j) - widmo indywidualnego mikroimpulsu.

Załóżmy na zasadzie pierwszego przybliżenia, że impulsy prądowe niosące ładunek elektryczny q mają postać impulsu dirakowskiego, czyli

.tqti (3.52)

W dziedzinie częstotliwości opisuje go transformata fourierowska

.qsi (3.53)

Średnia częstotliwość mikroimpulsów <f> wynika z oczywistego związku

59

qfI (3.54)

Podstawienie zależności (3.54) i (3.53) do wzoru (3.51) daje

Iqqq

IS i 22 2 (3.55)

W kolejnym, lepszym przybliżeniu uwzględnimy skończony czas przelotu nośników ładunku zakładając tym razem, że mikroimpulsy prądowe mają kształt prostokątny, tj.:

.

tHtHq

ti (3.56)

Widmo częstotliwościowe takiego impulsu ma postać funkcji filtrującej 5)

.2

sincsin

2

2

qqsi (3.57)

wobec czego dla nieskończonego, stochastycznego ciągu takich impulsów o śred-niej częstotliwości określonej równaniem (3.54) otrzymujemy

.

22

)(

sin2 2

22

22

SaqIqIS i (3.58)

Unormowany przebieg powyższej funkcji przedstawiono na rysunku 3.4.

5) Funkcja sinc(x) oznaczana jest również symbolem Sa(x) (sampling function).

60

0 2 4 6 8 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

[(d<

I2 >/d

f)/2

qI]1/

2

Rys. 3.4. Widmo szumu śrutowego w przybliżeniu prądu I stocha- stycznym ciągiem impulsów prostokątnych ciągiem impulsów prostokątnych.

Szum śrutowy, jak widać, odbiega od szumu białego. Zakres częstotliwości, w którym wykazuje on względnie słabą zależność od częstotliwości ustalono umownie według kryterium 10 % spadku poziomu szumu.

Przybliżenie „impulsu prostokątnego” dobrze pracuje w przypadku złącz pół-przewodnikowych i tak np. dla złącza o szerokości bariery D = 1 m i prędkości dryfu nośników ładunku w = 105 m/s czas ich przelotu przez barierę wynosi =10-11 s. Obliczona według powyższego kryterium wartość graniczna częstotliwości wyznaczająca zakres szumu białego wynosi fmax =17.6 GHz.

Dla lamp elektronowych przebieg czasowy indukowanego impulsu prądowego opisuje funkcja „trójkątna”

.22

tHtHtHtq

ti (3.59)

Jego widmo amplitudowe ma postać

sincos122 2

2

qts i (3.60)

umożliwiając przy równoczesnym uwzględnieniu związku (3.51) i (3.54) wy-znaczenie gęstości widmowej mocy szumu śrutowego diody próżniowej.

.sincos124

2 2

4

qIS i (3.61)

Rysunek 3.5 ukazuje w formie znormalizowanej przebieg tej charakterystyki

61

[(d<

I2 >/d

f) 2

qI]1/

2

0 2 4 6 8 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Rys. 3.5. Widmo szumu śrutowego w przybliżeniu prądu I stochastycz- nym ciągiem impulsów trójkątnych.

W swej początkowej części przebieg (3.61) nie wiele odbiega od (3.58), zakres szumu białego jest jednak znacznie krótszy, co wynika z dłuższego czasu przelotu elektronów. Dla typowych lamp elektronowych czas przelotu jest rzędu 10 -9 s, wobec czego częstotliwość graniczna szumu białego sięga w tym przypadku poziomu 200 MHz.

3.3. Szum generacyjno-rekombinacyjny

Szum generacyjno-rekombinacyjny występujący w przyrządach półprzewod-nikowych uwarunkowany jest obecnością w paśmie wzbronionym półprzewodnika zlokalizowanych, głębokich poziomów energetycznych określanych mianem cen-trów generacyjno-rekombinacyjnych lub centrów SRH (Shockleya Reada i Halla). Powstanie tego rodzaju poziomów wynika z zaburzeń sieci krystalicznej półprze-wodnika spowodowanych tzw. „głębokimi” domieszkami oraz defektami krystalo-graficznymi.

Centra generacyjno-rekombinacyjne stosownie do swego stanu ładunkowego wnoszą określony wkład do ładunku przestrzennego złącz półprzewodnikowych pełniąc zarazem funkcję poziomów pośredniczących w przejściach elektronów między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa.

Zaproponowany przez Shockleya, Reada i Halla [20], [21] model powyższego zjawiska wyróżnia cztery rodzaje procesów zachodzących na centrach SRH: emisję elektronu, wychwyt elektronu, emisję dziury i wychwyt dziury. Procesy te cha-rakteryzowane są odpowiednio współczynnikami emisji en i ep oraz współ-czynnikami wychwytu cn i cp elektronów i dziur. Proces emisji jest równoważny generacji nośników zaś proces wychwytu - rekombinacji. Globalnym rezultatem tych procesów są odpowiednio: prąd generacji Ig oraz prąd rekombinacji Ir Ich natężenia zależą między innymi od polaryzacji złącza.

Przy braku zewnętrznego napięcia polaryzującego złącze ustala się na nim pewien stan równowagi obsadzenia centrów SRH, w którym prądy Ig i Ir wza-jemnie się kompensują dając zerowy wypadkowy prąd generacyjno-rekombina-cyjny Ig-r .

W warunkach polaryzacji zaporowej złącza, gdy praktycznie wszystkie swo-bodne nośniki ładunku zostają z niego usunięte przez zewnętrzne pole elektryczne, pułapki mogą wychwytywać elektrony tylko z pasma walencyjnego. Wobec na-tychmiastowego usuwania powstających wówczas dziur drastycznie maleje praw-dopodobieństwo powrotu pułapkowanych elektronów do pasma walencyjnego. W kolejnym akcie procesu relaksacyjnego przechodzą one zatem do pasma prze-

62

wodnictwa zwiększając prąd zwrotny o wartość prądu generacji Ig . Warto zau-ważyć, że składowa generacyjna prądu zwrotnego w złączach krzemowych okazuje się dominującą, wielokrotnie przewyższając wartość prądu nasycenia Is [22].

Przy polaryzacji w kierunku przewodzenia wzrasta w złączu koncentracja swobodnych nośników ładunku wskutek czego rośnie również prawdopodo-bieństwo procesu rekombinacyjnego. Jego efektem jest prąd rekombinacyjny Ir

sumujący się z prądem przewodzenia If. Natężenie prądu rekombinacyjnego silnie maleje ze wzrostem napięcia polaryzacji tak, że jego udział w prądzie przewo-dzenia staje się praktycznie zaniedbywalny.

Obydwa procesy, generacyjny i rekombinacyjny, są procesami stochastycz-nymi, a ich fluktuacje podyktowane statystyką zmian stanów ładunkowych centrów SRH objawiają się w postaci szumu zwanego szumem generacyjno-rekombi-nacyjnym. Statystyka modelu SRH stanowi zatem podstawę obliczeń gęstości wid-mowej mocy tego rodzaju szumu.

Procedury obliczeniowe są na ogół bardzo złożone i żmudne. Poniechamy przeto ich prezentację ograniczając się zaledwie do zasygnalizowania toku dwóch, uznawanych już za klasyczne, sposobów obliczeń 6) . Są to: przybliżenie korpus-kularne Lauritzena [22] i przybliżenie kolektywne Van Vliet [23].

Tok obliczeń w przybliżeniu korpuskularnym przebiega w zasadzie w sposób konwencjonalny. Wyznaczenie gęstości widmowej mocy szumów następuje na podstawie twierdzenia Wienera-Chinczyna po uprzednim obliczeniu funkcji auto-korelacji stochastycznego ciągu impulsów indukowanych w obwodzie zewnętrz-nym, z uwzględnieniem statystyki zmian stanów ładunkowych centrów SRH.

Przybliżenie kolektywne korzysta z metody Langevina, wprowadzając człony fluktuacyjne do równań transportu nośników w obszarze bariery złącza. Rozwiązanie układu równań wyjściowych przy szeregu założeń upraszczających pozwala wydzielić składową fluktuacji generacyjno-rekombinacyjnych a następnie poprzez transformację fourierowską wyznaczyć szukane widmo mocy szumów.

W zakresie niskich iniekcji, gdy zadawalająco dobrze spełniony jest warunek niezależności zdarzeń, obydwa przybliżenia dają zgodne rezultaty. Zakładając nad-to stałość koncentracji Nt centrów generacyjno-rekombinacyjnych w całym obsza-rze ładunku przestrzennego złącza rozkład gęstości mocy szumów generacyjno-rekombinacyjnych przyjmuje postać

6) Zwięzłe omówienie tych procedur znajdzie Czytelnik w monografii Wł. Dąbrowskiego [24] poświęconej problematyce głębokich poziomów w diodach krzemowych

63

w

t

tH

t

Lti dxSSANS

rg

0

22

22

122111

1 (3.62)

Funkcja podcałkowa w powyższym wyrażeniu opisuje widmo mocy szumów od pojedynczego centrum g-r, przy czym

2222222

1 22 isspntisspnt

L nnpccnnpccqS (3.63)

natomiast

1

221

222221 222 sPppsnnisspnpntH pcqnncqnnpccqqS (3.64)

oraz

Nt - koncentracja centrów generacyjno-rekombinacyjnych, A - powierzchnia przekroju poprzecznego złącza, w - szerokość bariery, cn, cp - współczynniki wychwytu odpowiednio elektronu i dziury przez pojedyncze centrum g-r, ns, ps - koncentracje swobodnych elektronów i dziur w stanie ustalonym, n1, p1- koncentracje odpowiednio elektronów i dziur w przypadku równości po- ziomu centrum g-r i poziomu Fermiego, ni - samoistna koncentracja elektronów, t - stała czasowa relaksacji centrum g-r, qn,qp - ładunek indukowany w obwodzie zewnętrznym ruchem odpowiednio elek- tronów i dziur w obszarze bariery ( w

xwn qq oraz w

xp qq przy założeniu

stałej prędkości nośników ładunku); q = 1.6x10-19 C.

Gęstość widmową mocy szumów przyjęto w praktyce wyrażać w terminach ekwiwalentnego prądu szumu śrutowego Ieq zdefiniowanego formułą Schottky’ego.

q

SI i

eq 2

)(

(3.65)

Procedura obliczeniowa zastosowana w przybliżeniu kolektywnym prowadzi właśnie wprost do takiej postaci

22

22

22 11

1

t

tHeq

t

Leq

rgeq III

(3.66)

gdzie:

64

w

LtLeq dxxS

q

ANI

012

oraz w

HtHeq dxxS

q

ANI

012

Uprzednio podkreślono dominujący udział prądu generacyjno-rekombi-nacyjnego w prądzie wstecznym złącza spolaryzowanego zaporowo. Istotnego znaczenia w takich warunkach nabiera szum generacyjno - rekombinacyjny. Centra g-r generują wówczas przemiennie dziurę i elektron, a funkcje LS1 i HS1 wobec usunięcia z obszaru bariery swobodnych nośników ładunku ulegają znacznemu uproszczeniu.

Uwzględniając związki między współczynnikami wychwytu i współczynnikami emisji dziur i elektronów

en = n1 cn ep = p1 cp (3.67)

w przybliżeniu deplecyjnym otrzymamy zespół zależności:

22221 pnpntL eeeeqS (3.68)

221 pnpntH qqeeS (3.69)

1 pnt ee (3.70)

weeNAqwnccNAqI pnttipnttrg 2 (3.71)

W zakresie bardzo niskich częstotliwości, gdy t << 1 z dobrym przy-

bliżeniem można przyjąć, że Leq

rgeq II natomiast w obszarze bardzo wysokich

częstotliwości tj. dla t >>1 Heq

rgeq II

.

Nietrudno wykazać, że .rgrg

eq II W szczególności w zakresie niskich

częstotliwości

2

22

pn

pn

rg

rgeq

ee

ee

I

I

(3.72)

i w przypadku równości współczynników emisji (en = ep) stosunek ten wynosi ½ zaś w sytuacji gdy jeden ze współczynników jest znacząco większy od drugiego (en << ep względnie en >> ep) stosunek powyższy zdąża do jedności.

W obszarze częstotliwości wysokich otrzymujemy natomiast relację

65

3

2

rg

rgeq

I

I (3.73)

Oznacza to, że szum generacyjno-rekombinacyjny jest niepełnym szumem śrutowym

Podane wyżej relacje ilościowe uzyskano przy założeniu stałej prędkości dryfu nośników ładunku równoznacznym z założeniem jednorodnego pola w obszarze bariery, nie są więc ogólnie słuszne [24].

3.4. Szumy fotoemisji i emisji wtórnej

Szumy generowane w zjawiskach emisji fotoelektrycznej i emisji wtórnej są rezultatem fluktuacji statystycznych obu tych procesów stochastycznych. Ich sta-tystyka podlega rozkładowi dwumianowemu [25], które określa prawdopodo-bieństwo P(n) zaistnienia „n” skutków pozytywnych w populacji „m” zdarzeń zachodzących w interwale czasu jeśli prawdopodobieństwo pozytywnego skutku w indywidualnym zdarzeniu wynosi „p”.

nmn ppnmn

nnP

1

!)!

! (3.74)

Wartość średnia ilości skutków pozytywnych n takiego układu wynosi

mpn (3.75)

zaś ich wariancja

ppmn 1var (3.76) W ogólnym przypadku wielkości „m” oraz „p” mogą być zmiennymi los-owymi o właściwej im statystyce. Wariancję skutków pozytywnych określa wów-czas twierdzenie Burgessa [26] stanowiące, że

pmmpn varvarvar2

(3.77)

przy czym

pmn (3.78)

66

W omawianych zjawiskach wielkość „m” odpowiada liczbie fotonów Nf

uczestniczących w procesie fotoemisji a liczbie elektronów pierwotnych Ne1 w procesie emisji wtórnej. Z kolei wielkość „n” określa odpowiednio liczbę fotoelektronów Ne względnie liczbę elektronów wtórnych Ne2. Wielkość „p” wreszcie reprezentowana jest odpowiednio przez wydajność kwantową fotoemisji „q” lub współczynnik powielania elektronów „”.

Traktując powyższe zjawiska oddzielnie dla przypadku fotoemisji równanie Burgessa zapiszemy w postaci

qffq NNn varvarvar2

(3.79)

Statystyka strumienia fotonów opisana jest rozkładem Poissona natomiast wydajność kwantową zjawiska emisji fotoelektrycznej charakteryzuje dwupunk-towy rozkład statystyczny [28]. Odpowiednie wariancje wynoszą

q

eff

NNN

var (3.80)

.1var qqq (3.81)

Podstawienie (3.80) i (3.81) do równania (3.79) daje

eqe

q

eq NN

Nn

1var 2

(3.82)

Oznacza to, że strumień elektronów emitowanych przez fotokatodę podlega rozkładowi Poissona.

Wyrażając zależność (3.82) w terminach prądu emisyjnego otrzymujemy

q

Iq

Ni eme

2

var (3.83)

gdzie

qN

I eem

Znane nam już procedury prowadzą do transformacji (3.83) w dziedzinę częs-totliwości dając w wyniku

67

emi Iqdf

idS 2

2

(3.84)

Uzyskany rezultat wskazuje, że szum procesu emisji fotoelektrycznej jest pełnym szumem śrutowym Schottky'ego.

Dla przypadku emisji wtórnej równanie Burgessa zgodnie z przyjętą notacją przyjmuje postać

varvarvar 11

2

ee NNn (3.85)

przy czym

21 ee NNn

Również obecnie, choćby tylko z racji rezultatów poprzedniej analizy, jesteś-my uprawnieni do założenia poissonowskiego rozkładu statystycznego elektronów pierwotnych. Stąd więc

11var ee NN (3.86)

Wariancję współczynnika emisji wtórnej wyznaczymy wychodząc z defini-cji tej wielkości

.var22

(3.87)

Zauważmy, że wartość średnia zmiennej losowej i wartość jej średniego kwadratu są w danym procesie stałe. Stały jest zatem ich iloraz, co pozwala napisać

2

(3.88)

gdzie jest również pewną stałą będącą miarą fluktuacji statystycznych zmiennej . Zależy ona podobnie jak od energii elektronów pierwotnych. Wielkość tę nazwano współczynnikiem fluktuacji prądu wtórnego [29], [30]. Podstawienie (3.87) do (3.79) daje

2var (3.89)

Równanie (3.76) możemy teraz napisać w postaci

11

2var ee NNn (3.90)

Pierwszy człon prawej strony powyższego równania opisuje wzmocnione fluktuacje pierwotne, drugi natomiast fluktuacje generowane w procesie emisji wtórnej. Po wykonaniu sumowania i uwzględnieniu związku 21 ee NNn

68

równanie to znacznie się upraszcza ujawniając ważną cechę procesu emisji wtór-nej. Stanowi ją „superpoissonowski” charakter fluktuacji elektronów wtórnych, wynikający z faktu, iż współczynnik jest na ogół większy (a nawet znacznie większy) od jedności.

Z przekształceń równania (3.90) poprzez wyrażenia go w terminach prądów pierwotnego i wtórnego oraz transformację w dziedzinę częstotliwości otrzymu-jemy rozkład gęstości mocy szumu wyjściowego.

21

2

12 222 IqIqIqS i (3.91)

W kaskadzie n identycznych stopni powielających szum wejściowy (prądu fo-tokatody IK) wzmacniany jest 2n - krotnie, szumy powielania natomiast przeka-zywane są na wyjście z kwadratem efektywnego wzmocnienia prądowego Gik.

knikG (3.92)

gdzie k oznacza numer kolejnego stopnia (k = 1,2,...n ).

Poziom szumu powielania kolejnych stopni wzrasta z k-tą potęgą współ-czynnika emisji wtórnej , wobec czego sumaryczny szum wyjściowy zespołu zawierającego stopień konwersji fotoelektrycznej (fotokatodę), n stopni powie-lania elektronów (dynod) i elektrodę zbiorczą (anodę), wyrazi się związkiem

12

2 1...

11112

nn

Ki IqS (3.93)

Z dobrym przybliżeniem można go wyrazić w postaci [30]

1

12

nAi IqS (3.94)

gdzie IA jest prądem wyjściowym (anodowym) zespołu.

Dla obliczenia gęstości widmowej mocy szumów według zależności (3.94) niezbędna jest znajomość wartości średnich zarówno jak i . Ogranicza to istotnie praktyczną przydatność tej formuły. Stąd też w obliczeniach zgrubnych, wbrew rzeczywistości, zakłada się poissonowski charakter procesu emisji wtórnej czemu odpowiada przyrównanie różnicy (-) do jedności. Uwzględnienie takiego warunku w (3.94) daje

12

12

1

n

An

Ai IqIqS (3.95)

69

3.5. Szum nadmiarowy

W ogólnym spojrzeniu na problematykę szumów wymieniono uprzednio jako ważniejsze również szumy rozdziału. Szumy te odgrywają jednak mało znaczącą rolę w interesującym nas obszarze. W konwencjonalnych systemach spektro-metrycznych umiarkowanej rozdzielczości (w szczególności w technice lampowej) można również zaniedbać szumy nadmiarowe. Powinny być one jednak uwzględ-niane w systemach wysokiej rozdzielczości.

Szum nadmiarowy został wykryty w roku 1925 przez Johnsona [31] w lam-pach elektronowych pracujących w stanie nasycenia. Ten rodzaj szumów wiązał on z fluktuacjami funkcji pracy wyjścia elektronów z katody spowodowanymi ich mi-gracją do powierzchni katody. Stąd też przedmiotem jego „obserwacji” był wpływ rodzaju katody na poziom szumów na wyjściu lampy. Obserwacje Johnsona zapo-czątkowały nowy, atrakcyjny kierunek prac badawczych nad szumami elementów i przyrządów elektronicznych. Godzi się przeto przypomnieć choćby ulotnie, po-woływany zresztą w literaturze przedmiotu diagram, ilustrujący pierwsze wyniki obserwacji Johnsona. Przedstawiono go na rysunku 3.6

70

Rys. 3.6. „Historyczny” diagram pierwszych obserwacji szumu nadmiarowego wg [31] <V2>

POM – wariancja szumów napięciowych uzyskana z pomiaru

<V2>OBL

– wariancja referencyjnych szumów śrutowych

0 1 2 3 4 5

20

16

12

8

4 KATODA WOLFRAMOWA

KATODAPOŚREDNIO ŻARZONA (z koszulką z BaO)

f [kHz]

OBL

POM

V

V

2

2

Pierwszą próbę teoretycznego uzasadnienia tego rodzaju zjawiska fizycznego zaprezentował w rok później Schottky [32], nadając mu nazwę efektu migotania (Fackelneffekt) 7)

Fenomenologia tego procesu polega na przypadkowym, krótkotrwałym poja-wianiu się przy powierzchni katody atomów domieszkowych i ich oddziaływaniu na emisyjność jej warstwy emisyjnej. W prostym związku przyczynowo-skutko-wym prowadzi to do wzrostu fluktuacji prądu anodowego lampy elektronowej.

Wyróżniającą cechą szumów nadmiarowych jest kształt ich charakterystyki widmowej. Zazwyczaj jego zależność od częstotliwości daje się opisać funkcją typu 1/f n, przy czym n przyjmuje wartości w przedziale <12>. Przez wzgląd na postać tej zależności szum nadmiarowy nazywany jest również szumem 1/f. W lite-raturze technicznej spotkać można nadto określenia: szum modulacyjny, szum strukturalny, lub szum niskoczęstotliwościowy. Nazwy te wynikają ze sposobu spojrzenia na zagadnienie, odzwierciedlając bądź to mechanizm lub przyczynę ich powstawania, bądź też podobieństwo rozkładu widmowego. Ostatnia z wymienio-nych nazw akcentuje istotną cechę szumu nadmiarowego, tj. jego dominację w za-kresie niskich częstotliwości. Pojęciem tym obejmuje więc rozkłady różniące się od typu 1/f n jak na przykład rozkład typu const /(1+22) 8) (tzw. widmo Loren-tzowskie)

Mimo dobrego rozpoznania wpływu różnych czynników (zarówno materia-łowych jak konstrukcyjnych) [1],[33] na intensywność i rozkład widmowy szumu nadmiarowego w próżniowych lampach elektronowych, kwestia ścisłego opisu teo-retycznego pozostaje jednak nadal otwarta. Nota bene, wobec burzliwego rozwoju elektroniki półprzewodnikowej zainteresowanie problematyką lamp próżniowych wydatnie zmalało. Nie mniej jednak, pewne idee wypracowane w tym obszarze zostały wykorzystane i rozwinięte w dziedzinie badań struktur półprzewodni-kowych.

Burzliwy ich postęp zapoczątkowały w latach 50-tych ub.w. prace McWhortera [34], Fongera [35] oraz van der Ziela [36]. Zaproponowane przez nich modele teoretyczne uzasadniają (pośrednio lub bezpośrednio) charakterystyczny kształt rozkładu gęstości widmowej szumów nadmiarowych

fdf

idfS N

i

1)(

2

(3.96)

7) Stąd też wywodzi się inna nazwa szumu nadmiarowego: szum migotania (flicker-noise) 8) – pulsacja, a – średni czas życia nośników nadmiarowych

71

procesami rekombinacji powierzchniowej; wychodzą jednak z odmiennych zało-żeń. Sformułowana przez Fongera propozycja fenomenologicznego opisu tego zja- wiska fizycznego wiąże zjawisko generacji szumów tego typu z fluktuacjami prędkości rekombinacji powierzchniowej S na powierzchni półprzewodnika.

Modele van der Ziela i nieco późniejszy McWhortera, efekt ten tłumaczą fluk- tuacjami obsadzenia pułapek w tlenku (tj. fluktuacjami Nt liczby pułapko- wanych swobodnych nośników ładunku).

Osnowę koncepcji Fongera stanowią parametry i S teorii tranzystora planarnego Shockleya [37]. Ukazuje ona doświadczalnie potwierdzone zależności nie wnika jednak głębiej w istotę mechanizmu generacji szumu. Pod tym wzglę-dem ustępuje modelom van der Ziela i McWhortera, zwanych ogólnie modelami typu N 9). Z uwagi na ich znaczenie i pionierską rolę przypomnimy w krótkości ich konstrukcję na przykładzie modelu van der Ziela.

U podstaw tego modelu leży założenie, że nośniki ładunku z obszaru półprze-wodnika przechwytywane są przez pułapki istniejące w warstwie tlenku po-wierzchniowego w efekcie tunelowym, a stała czasowa tego procesu () jest eks-ponencjalną funkcją odległości pułapki od powierzchni granicznej półprzewodnik – tlenek.

)(exp0 x (3.97)

gdzie: 0 - stała czasowa dla stanów zlokalizowanych na samej granicy tlenku z materia- łem półprzewodnikowym, x - grubość warstwy tlenku dzielącej dany stan od granicy z półprzewodnikiem, - współczynnik o wartości rzędu 108 cm –1.

Teorię van der Ziela przedstawimy w jej wersji „naturalnej” – jak nazwał ją sam jej Autor – tj. w formie analizy kinetyki pułapek w warstwie tlenkowej[38]10). Rozważmy zatem element objętości warstwy tlenkowej V = S·x zawierający NT pułapek o koncentracji nT, usytuowany w jej miąższu w odległości x od gra-nicy z półprzewodnikiem. Załóżmy też, że w tym elemencie V znajduje się Nt elektronów przechwyconych przez pułapki. Oznaczając symbolami g(Nt) oraz r(Nt) odpowiednio natężenia generacji i emisji elektronów więzionych w pułapkach, możemy napisać.

)(exp)()( 1 xNNnCNg tTTt (3.98)

9) W praktyce upowszechnione pod nazwą: „model McWhortera”10) Posłużmy się tu oryginalną notacją Autora [38]

72

)(exp)(exp)( 2 xkT

ENCNr t

tt (3.99)

gdzie C1 i C2 są stałymi, n – gęstością elektronów w półprzewodniku, a Et – ener-gią poziomu pułapkowania poniżej dna pasma przewodnictwa w półprzewodniku

W stanie równowagi g(Nt) = r(Nt) wobec czego średnia liczba pułapkowa-nych elektronów wynosi

Tt NN (3.100)

przy czym

)/(exp21

1

kTECnC

nC

t (3.101)

Fluktuacje Nt podlegają statystyce dwumianowej. Oznaczmy je symbolem Nt . W przyjętej notacji ich wariancja przyjmuje więc postać

)1(2 tt NN (3.102)

Biorąc pod uwagę fakt, że aktywnie uczestniczące w procesie poziomy położone są w pobliżu poziomu Fermiego dla których ½ , oraz uwzględniając oczywisty związek NT = nT Sx otrzymujemy

xSnNN TTt 41

412 (3.103)

Stałą czasową procesów pułapkowania opisuje wówczas równanie

nC

x

dtNdg

dtNdr tt

1)()(0 2

)(exp1

(3.104)

Kontynuując prezentację wywodu van der Ziela rozkład widmowy fluktuacji

liczby pułapkowanych elektronów )( fStN wyznaczymy w oparciu o twierdzenie

Wienera-Chinczyna w jego postaci alternatywnej.

0

2 )(cos)()(4)( dsssctXfS (3.105)

gdzie c(s)11) – współczynnik korelacji (znormalizowana funkcja autokorelacji)

11) )(/)()( 2 tXtRtc

73

Wyznaczenia tego parametru dokonamy z kolei korzystając z metody Langevena. W rozważanym przypadku wyjściowe równanie różniczkowe przyjmuje postać12)

)()( tAN

Ndt

d

(3.106)

o takiej samej strukturze jak równanie (3.2) w analizie szumów Johnsona-Nyquista. Postępując przeto według analogicznej procedury dochodzimy ostatecz-nie do wyrażeń opisujących funkcję korelacji R(t) , oraz współczynnik korelacji c(t). Ten ostatni jest równy

)(exp)(0

s

sc (3.107)

Równanie (3.105) po podstawieniu 22tNX oraz (3.107) przybiera postać

0 0

2 )(cos)(exp4)( dsss

NfS t , (3.108)

a po wykonaniu całkowania

22222

114)(

xSnNfS TtNt

(3.109)

Powyższą analizę odniesiono do elementu objętości V zawierającego N noś-ników nadmiarowych. Sumując efekty fluktuacyjne od wszystkich takich objętości warstwy tlenkowej (w całej jej objętości V = S·x1) otrzymamy wypadkowe ich wid-mo SN ( f )

10

220

22

11

1)(

x

dxVndxSnSfS

x

T

x

TV

NN t

(3.110)

Dla założonego rozkładu (3.91) stałych czasowych (x)

/ddx oraz

)/(ln 011x (3.111)

co, po podstawieniu do równania (3.110), pozwala sprowadzić go do postaci

1

001 )/(ln

/)(

z

TN

dSnfS (3.112)

12) W oryginalnych pracach van der Ziela zastępcze źródło fluktuacji oznaczone jest sym- bolem H(t)

74

dającej po scałkowaniu

)]()([)/ln(

)( 0101

1

arctgarctgxSn

fS TN (3.113)

Dla przykładu na rysunku 3.7 przedstawiono znormalizowany przebieg widma szumów nadmiarowych obliczonych wg równania (3.113) dla zadanych wartości stałych czasowych: o i 1.

Uwidacznia on (wyróżniony szarym tłem) zakres, w którym przebieg widma dobrze opisuje zależność hiperboliczna (1/f ). Po obu jego stronach charakterystyka ulega istotnym zmianom. Po stronie częstotliwości skrajnie niskich widmo szumów przechodzi w „białe”, zaś pod stronie bardzo wysokich w „czerwone” (typu 1/f 2) [40].

Dzieląc charakterystykę widmową według kryterium kształtu, z równania (3.113) można wyprowadzić uproszczone13) formuły dla każdego z trzech wymie-nionych obszarów [41], [42]. Tak więc:

dla strefy częstotliwości najniższych gdy <<1/1<<1/0

101

2 4)/(ln

1)(

1

tN NfS (3.114)

dla strefy centralnej charakterystyki gdy 1/1<<<<1/0

13) Korzystając z przybliżeń: )(arctg oraz

2

)/1(arctg

75

Rys. 3.7. Znormalizowana charakterystyka widmowa szumów wg (3.113)

10-6 10-4 10-2 1 102 104 106 f [ Hz ]

1

10-2

10-4

10-6

10-8

10-10

1 = 102 s

0 = 10-6

s

SN

(f )

ln ( 1

/0)

n T S

x1

f

NfS tN

1

)/(ln

1)(

01

22

(3.115)

dla strefy częstotliwości najwyższych gdy 1/1<<1/0<<

20

201

2 1

)/(ln

1)(

3 fNfS tN

(3.116)

Graniczne wartości fn i fw strefy centralnej można wyznaczyć na drodze fitowania tego fragmentu charakterystyki do przebiegu idealizowanego przy zało-żonej dopuszczalnej dewiacji na obu jego krańcach (vide rys. 2.8).

Przytoczona wyżej analiza dotyczyła konkretnego mechanizmu generacji szu-mów 1/f, uwiarygodnionego eksperymentami potwierdzającymi słuszność poczy-nionych założeń (np. [43], [44]). Równanie (3.113) ukazuje explicite zależność in-tensywnosci szumu od koncentracji pułapek nT. Tym samym wskazuje na możli-wość minimalizacji poziomu generowanego szumu na drodze technologicznej re-dukcji liczby pułapek. Można tego dokonać gdyż nT nie ma wpływu na funkcjo-nalne własności elementów i przyrządów zawierających tego rodzaju źródła szu-mów – zwanych z tego właśnie względu „nie podstawowymi” (nonfundamental) [41]14).

Generacja szumów nadmiarowych może zachodzić w wielu innych mecha-nizmach fizycznych. Omawianie ich wykracza jednak daleko poza główny nurt ni-niejszej monografii. Poprzestając zatem na zwięzłym przypomnieniu teorii „szumu powierzchniowego” Mc Whortera, odsyłamy zainteresowanego Czytelnika do bar-dzo bogatej literatury przedmiotu [38], a w szczególności monografii [3], [27], [47], oraz artykułów przeglądowych i „zamawianych” artykułów problemowych [46] – [52].

3.6. Szumowe schematy zastępcze Podstawę analizy szumowej układów elektronicznych stanowią schematy zas-tępcze uwzględniające w sieci elementów aktywnych i pasywnych stowarzyszone z nimi zastępcze generatory szumów. W najprostszym przypadku szumiącego ele-mentu pasywnego rezystora, jego schemat zastępczy w wersji napięciowej i prą-dowej przyjmuje odpowiednio postać ukazaną na rys. 3.8.

14) Źródła szumów, od mechanizmu których zależą również własności funkcjonalne danej struktury półprzewodnikowej, nazywane są natomiast „podstawowymi” (fundamental).

76

W obu konfiguracjach schematu zastępczego rzeczywisty rezystor szumiący jest zastępowany przez odpowiedni generator szumów oraz wyidealizowany rezystor bezszumowy (takiej samej wartości).

Formuła Nyquista (3.17) określa wartość gęstości widmowej mocy szumów na nieobciążonych zaciskach wyjściowych obu konfiguracji. Dodanie jakiejkolwiek impedancji (admitancji) modyfikuje odpowiednio kształt widma szumów.

Każdy rezystor rzeczywisty bocznikowany jest swą pojemnością własną, a włączony do sieci elementów biernych – pojemnością rozproszoną i ewentualnie inną pojemnością układową. Powoduje to modyfikację widma szumów na zacis-kach rezystora Pamiętając więc, że gęstość widmowa mocy rezystora „idealnego” szumów transformowana jest z kwadratem modułu transmitancji względnie impe-dancji, łatwo wykazać, że zmodyfikowany rozkład opisuje zależność funkcyjna

R

RC

kT

df

vdS R

VRC 2

2

1

4)(

(3.117)

W obszarze wysokich częstotliwości, gdy 1)( RC równanie (3.117) redukuje się do postaci

RC

kT

df

vd R 142

2

(3.118)

Widać z niej, że prosta zależność gęstości widmowej mocy szumów od rezystancji (3.117) uległa odwróceniu. Innymi słowy, rezystor zabocznikowany po-jemnością w zakresie wysokich częstotliwości „szumi” tym słabiej im większa jego wartość. Szumowe schematy zastępcze elementów aktywnych konstruowane są również według takiej samej zasady. Wyodrębniają one z rzeczywistego elementu jego efekty fluktuacyjne przedstawiając je w formie zastępczych generatorów szumu przyłączonych do struktury idealnej (bezszumnej). Zjawiska fluktuacyjne zachodzą zarówno w wejściowym jak i wyjściowym obwodzie elementu aktywnego, co w sposób naturalny lokalizuje zastępcze generatory odpowiednio na jego zaciskach wejściowych i wyjściowych.

77

4 kT

R

R

4 kTR R

Rys. 3.8. Szumowe schematy zastępcze rezystora.

W warunkach pracy liniowej szumy generatora wyjściowego można sprowa-dzić na wejście [53]. Otrzymujemy wówczas schemat zastępczy z komplementarną parą generatorów szumu, prądowym i napięciowym, włączonych w obwód wejś-ciowy struktury odpowiednio w układzie równoległym (a) i szeregowym (b). Rysunek 3.9 ilustruje obydwie (a i b) wersje szumowego schematu zastępczego.

Jak się przekonamy, bardziej dogodną w analizie szumowej okazuje się wer-sja druga. Równoległy generator prądowy reprezentuje w niej szum śrutowy prądu wejściowego elementu aktywnego, natomiast szeregowy generator napięciowy wszystkie inne szumy w nim wytwarzane.

Widmo szumu równoległego z natury swej jest białe. Gęstość widmową jego mocy opisuje znana nam formuła Schottky'ego

iP Iq

df

Id2

2

(3.119)

gdzie Ii jest prądem wejściowym.

W widmie szumu napięciowego znaczącymi składnikami są szum biały oraz szum typu 1/f. W założonym paśmie przenoszenia „elektroniki odczytu” druga

składowa jest na ogół zaniedbywalna. Składowa biała dfVd S /2 wywodzi się ze

śrutowego szumu prądu wyjściowego Io. Określa ją zależność

22

22 21

m

o

m

oS

g

Iq

gdf

Id

df

Vd

(3.120)

przy czym gm oznacza transkonduktancję elementu aktywnego.

Składową białą szumu szeregowego można formalnie traktować jako szum termiczny generowany przez równoważną szumowo rezystancję Req zwaną ekwi-walentną rezystancją szumów. Z mocy tak sformułowanej konwencji Req definiuje związek

78

Rys. 3.9. Szumowe schematy zastępcze elementu aktywnego.

a)

IP

VS

gm

IPi I

Po

gm

b)

kT

dfVdR S

eq 4

/2 (3.121)

Wyznaczymy ją dla rozporządzalnych elementów aktywnych stosowanych w stop-niu wejściowym układów elektroniki odczytu.

W przypadku lampy elektronowej konieczne jest skorygowanie formuły Schottky'ego przez wprowadzenie współczynnika depresji (wygładzania) [54] 2. Uwzględnia on istnienie w lampie elektronowej ładunku przestrzennego. Dla triod jest on określony półempiryczną formułą

aI

S12.02 (3.122)

gdzie S - nachylenie charakterystyki siatkowej (S gm ) oraz Is - prąd anodowy lampy.

Uwzględniając ten efekt we wzorze Schottky'ego otrzymujemy

SqIqdf

Ida

a 24.02 22

(3.123)

Sprowadzenie z kolei szumu śrutowego prądu anodowego na wejście lampy (siatkę sterującą) daje składową białą szeregowego szumu napięciowego

S

q

S

Sq

df

Vd s 24.024,02

2

(3.124)

Podstawienie (3.124) do (3.120) przy umownym założeniu, że ekwiwalentny rezystor będzie utrzymywany w temperaturze pokojowej (T=290K) i uwzględ-nieniu wartości liczbowych q i k prowadzi do ostatecznego rezultatu

SSTk

qReq

5.2

4

24.0 (3.125)

Równie proste obliczenia pozwalają wyznaczyć Req tranzystora bipolarnego. Przyjmijmy w nich, że tranzystor pracuje w układzie OE (ze wspólnym emiterem). Szum śrutowy prądu kolektorowego IC przeniesiony w obwód bazy daje

20

2 2

m

CS

g

Iq

df

Vd

(3.126)

przy czym

79

Cm IkT

qg 0 (3.127)

Z kombinacji (3.126) i (3.127) otrzymujemy

0

2 2

mCkTq

CS

gI

Iq

df

vd

(3.128)

co po podstawieniu do formuły (3.120) daje

00

5.012

mmeq gkTg

TkR (3.129)

W tranzystorach unipolarnych prąd drenu (kanału) nie daje szumu śrutowego, pojawia się natomiast szum termiczny przewodzącego kanału. W układzie zastęp-czym można go wyodrębnić w formie przyłączonego na wyjście generatora prądowego szumu.

Gęstość widmową mocy tego szumu opisuje wyprowadzona na drodze teoretycznej przez van der Ziela formuła [55]

),(4 max

2

yxQgTkdf

Id d

(3.130)

Funkcja Q(x,y) odzwierciedla zmienność profilu kanału na jego długości. W ogól-nym przypadku polaryzacji tranzystora ma ona postać

23

23

21

23

23

32

2221

34

1

,

yxyxy

yxyxyx

yxQ (3.131)

Parametry x i y oznaczają w niej, znormalizowane do wartości napięcia odcięcia kanału VP , potencjały bramki względem kanału odpowiednio przy drenie i przy źródle.

W warunkach normalnej pracy tranzystora funkcja Q(x,y) przyjmuje wartości w przedziale od 0.6 do 0.67. Jeśli jednak uwzględnić wpływ nieaktywnych (wybiegających poza strefę bramki) części kanału ulega ona około 10 % wzros-towi. Tak skorygowana funkcja oznaczana jest symbolem Q'(x,y), a jej wartość dla warunków nominalnych pracy tranzystora kształtuje się na poziomie 0.7.

80

Sprowadzenie wyjściowego szumu prądowego na wejście daje

7.04

max

2

g

Tk

df

Vd C

(3.132)

a proste przeliczenie według formuły (3.120) pozwala wyznaczyć wartość ekwiwa-lentnej rezystancji szumów

max

7.0

gReq (3.133)

Jest to najbardziej rozpowszechniona postać formuły określającej Req złączowego tranzystora polowego. Często jest ona uzupełniana dodatkowym członem uwz-ględniającym szum indukowany bramki. W tym ujęciu otrzymujemy

2

max

'

3

11

7.0

D

GSeq C

C

gR (3.134)

gdzie CGS - pojemność bramka, źródło, CD - pojemność źródła sygnału (detek-tora).

Podobny rezultat daje analiza oparta na modelu dwutranzystorowym Saha [56] i Trofimenkoffa [57]. Dla typowych warunków pracy tranzystora w zakresie nasy-cenia przybiera ona postać

max

' 65.0

gReq (3.135)

R. Cobbold [58] posłużył się tym modelem dla obliczenia ekwiwalentnej re-zystancji szumów termicznych kanału tranzystora polowego z izolowaną bramką (MOS-FET) uzyskując niemal identyczną relację dla pentodowego zakresu jego pracy

max

' 3/2

gReq (3.136)

Szumy nadmiarowe (1/f ) tranzystorów polowych wyrażane są na zastępczych schematach szumowych w formie napięciowego źródła szumu zapiętego szerego-wo na bramkę FET’a. Fenomenologicznie wiążemy go z modulacją potencjału po-wierzchniowego warstwy tlenkowej przez fluktuacje zawartego w niej ładunku, a tym samym z fluktuacjami liczby pułapkowanych nośników ładunku [58]. Rozkład

gęstości widmowej mocy szumu tak pomyślanego źródła )( fSFV stanowi więc

„skalowaną” replikę rozkładu widmowego fluktuacji liczby pułapkowanych noś-ników (3.109), nie trudno bowiem wykazać, że

81

)()()( 2 fSC

efS N

oxVF (3.137)

gdzie e – ładunek elementarny, a oxC – pojemność warstwy tlenkowej15).

W praktyce projektowania struktur MOS’owskich korzysta się z bardziej przy-datnej dla tych celów formuły uwzględniającej explicite główne parametry geome-tryczne (W, L), materiałowe (KFF) i technologiczne (Cox) tranzystora, a mianowi-cie [59]

fWLC

KFfS

ox

FVF

11)(

2

(3.138)

Dla konkretnej realizacji tranzystora zawarty w nawiasie człon powyższego wyrażenia jest wielkością stałą, oznaczaną zazwyczaj symbolem AF [60]. Formuła (3.138) przyjmuje wówczas postać

f

AfS F

VF)( (3.139)

Z tego sposobu notacji widma szumu nadmiarowego korzystać będziemy w kolejnych rozdziałach monografii.

Źródła sygnału informacyjnego (detektory promieniowania) obciążone są inhe-rentnie różnej natury szumami „własnymi”. Rysunek 3.10 przedstawia typowy, szumowy schemat zastępczy detektora półprzewodnikowego. Wyróżniono na nim cztery główne źródła szumów:

równoległe źródła prądowe (Si (śr)), (Si (g-r)), (SiF), szeregowe źródło napięciowe (Sv(r)), orazźródło sygnału informacyjnego (ID) wraz z jego pojemnością własną (CD).

Poszczególne źródła szumów oznaczono symbolami przynależnymi nazwom rozkładów widmowych generowanego szumu. W szczególności (Si (śr)) dotyczy szumu śrutowego prądu wstecznego detektora, (Si (g-r)) – szumu generacyjno-

15) W przypadku tranzystora JFET – pojemność strefy zubożonej.

82

Rys. 3.10. Szumowy schemat zastępczy detektora.

ID

Si (d)

Si (g-r)

Sv (r)

rS

CD

Si (1 / f)

rekombinacyjnego, (SiF) – szumu nadmiarowego prądu upływu powierzchnio-wego, zaś (Sv(r)) – szumu termicznego obszarów pozabarierowych złącza.

Zastępcze schematy szumowe tworzą kanwę dla analizy optymalizacyjnej sys-temu spektrometrycznego. Dominującą rolę odgrywają w tym aspekcie przedsta-wiony wyżej schemat szumowy detektora oraz omówiony wcześniej analogiczny schemat wejściowego stopnia układu odczytu (rys. 2.19 b). Dla prostoty prezenta-cji posłużymy się przeto uproszczonym, łącznym schematem tego rodzaju obej-mującym oba wymienione człony funkcjonalne. Ukazano go na rysunku 3.11.

Symbolami IP oraz VS oznaczono tu odpowiednio ekwiwalentne źródła szu-mów „równoległych” oraz „szeregowych”, przy czym każda z tych komponent za-wiera zarówno szum „biały” (niezależny od częstotliwości) jak i szum „czerwony” (typu 1/f ). Relacje te, odniesione do ich rozkładów widmowych, zapiszemy w for-mie skróconej

FequS vv

SV SS

df

vdS

2

(3.140)

rrgśrFp iiii

PI SSSS

df

idS

2

(3.141)

Na wejściu układu odczytu („x”) dają one globalny szum napięciowy o gęs-tości widmowej Wn()

df

vd

Cdf

idW SP

n

2

2

2

)(

1)( 16) (3.142)

Mając na uwadze poziom poszczególnych składowych szumów pewne z nich można w uproszczonej analizie pominąć. W przykładowych obliczeniach z reguły zaniedbuje się szumy nadmiarowe, oraz szumy rezystancji pozabarierowych de-tektora jak również jego szum generacyjno-rekombinacyjny. Przy takich ograni-czeniach. równanie (3.142) sprowadza się do postaci

16) Czynnik [1/(C)2] stanowi kwadrat impedancji obciążającej „równoległe” źródła prą- dowe

83

Rys. 3.11. Szumowy schemat zastępczy zespołu: detektor – układ odczytu

ID

VS

IpCD

kV

(x)

bC

aRTk

C

IqW eq

Dn

22224

2)( (3.143)

znane i stosowane powszechnie w wersji

2

22)(

nW (3.144)

uzyskanej z (3.143) po zmianie notacji: 22

C

a oraz b2

Z tej też formuły korzystać będziemy w obliczeniach optymalizacyjnych wskaźników jakości pomiarów spektrometrycznych, tj. stosunku sygnału do szumu (SNR) oraz stosunku nachylenia do szumu (SLNR).

Literatura

[1] D.Smulin, H.A.Haus.: Noise in Electron Devices. The Technology Press of the Massachussets Institute of Technology and John Wiley and Sons, Inc.: Lon- don: Chapman and Hall, Ltd.:1959

[2] A.van der Ziel.: Noise, Sources, Characterization, Measurement. Prentice- Hall, Inc. Englewood, Cliffs.N.J. 1970

[3] A.van der Ziel.: Noise in solid state devices and circuits. A Wiley-Inter- science Publication, John Wiley and Sons, 1986

[4] L.Hasse, L.Spiralski.: Szumy elementów i układów elektronicznych, WNT, Warszawa, 1981

[5] D.K.C.Mac Donald.: Noise and fluctuations: An introduction. John Wiley and Sons Inc., New-York, London 1962

[6] A.Einstein.: Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme ge- forderte Bewegung von in ruhenden Flüussigkeiten suspendierten Teilchen . Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 17, 1905, 549

[7] A.Einstein.: Zur Theorie der Brownschen Bewegung. Annalen der Physik, Band 19, No.2, 1906, 371

[8] P.Langevin. Sur la théorie du mouvement brownian. Comptes Rendus Vol. 146, No.1, Paris, 1908, 530

[9] N.Wiener.: Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica, Stockholm 55, 1930, 117

84

[10] A.Chinczyn.: Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen 109, 1934, 604

[11] H.Nyquist.: Thermal agitation of electronic charge in conductors. Physical Review, Vol.32, 1928, 110

[12] K.Korbel.: “75 lat formuły Nyquista”. Elektrotechnika i Elektronika, Tom 22, Zeszyt 2, 71, 2003

[13] K.Zalewski.: Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i statystycznej. PWN, Warszawa, 1976

[14] G.I.Jepifanow.: Fizyczne podstawy mikroelektroniki. WNT, Warszawa, 1976

[15] G.Grau, W.Kleen.: Comments on zero-point energy, quantum noise and spon- taneous-emission noise. Solid-State Electronics, vol.25, no.8, 1982, 749

[16] W.Schottky.: Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizi- tätsleitern. Annalen der Physik, vol.57, 1918, 541

[17] D.K.C.Mac Donald.: Transit-time deterioration of space-charge reduction of shot effect. Phil.Mag.Ser.7, vol.40, no.304, 1949, 561

[18] J.R.Pierce.: General sources of noise in vacuum tubes. Trans.IRE, PGED, ED-1,1954, 135

[19] J.R.Carson.: The statistical energy-frequency spectrum of random disturban- ces. Bell System Technical Journal, vol.10, 1931, 374

[20] W.Shockley, W.T.Read Jr.: Statistics of the recombinations of holes and elec- trons. Phys.Rev. vol.87, 1952, 835

[21] R.N.Hall.: Electron-hole recombination in germanium. Phys.Rev. vol.87, 1962, 387

[22] P.O.Lauritzen.: Noise due to generation and recombination of carriers in p-n junction transition region. IEEE Trans. on Electron Devices, vol.ED-15, 1968, 770

[23] K.M.van Vliet.: Noise and admittance of the generation-recombination cur- rent involving SRH centers in the space-charge region of junction devices. IEEE Trans. on Electron Devices, vol.ED-23, 1976, 1236

[24] Wł.Dąbrowski.: Głębokie poziomy w krzemowych detektorach promieniowa- nia jądrowego. Zesz. Nauk.AGH, nr.1365, Fizyka. Zeszyt 20, Kraków, 1990

[25] M.Fisz.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. PWN, Warszawa, 1969

[26] R.E.Burgess.: Homophase and heterophase fluctuations in semiconductors. Discussion of the Faraday Society, no.28, 1959, 151

[27] A.van der Ziel.: Noise in Measurements. John Wiley and Sons. New York- London-Toronto-Sydney, 1976

85

[28] W.Sobczak.: Metody statystyczne w elektronice. WNT. Warszawa, 1971

[29] M.Ziegler.: Shot effect of secondary emission. Physica III, Part I, No.1, (1936), 1 oraz Part II No.5, 1936, 307

[30] A. van der Ziel.: Podstawy fizyczne elektroniki ciała stałego. PWN, Warszawa, 1980[31] J.B. Johnson: The Schottky effect in low frequency circuits. Physical Review, Vol. 26, 71, 1925

[32] W.Schottky.:Small-shot effect and flicker effect. Physical Review, Vol. 28, 74, July 1926

[33] Study of the cause and effect of flicker noise in vacuum tubes. U..S. Signal Corps contract DA36-039 SC15355,Reports 1–9; DA36-039 SC56683, Re- ports 1–8, University of Minnesota, 1951 – 1955

[34] A.I. McWhorter: 1/f noise and related surface effects in germanium. Lincoln Laboratory Report 80, Boston, May 1955

[35] W. Fonger.: A determination of 1/f noise in semiconductor diodes and transis- tors. w: “Transistors I” RCA Laboratories, Princeton NJ. str. 259, 1956 , oraz Noise in Transistors w: [9], Rozdz.7:

[36] A.van der Ziel.: On the noise spectra of semi-conductor noise and on flicker effect. Physica, Vol.16, 359, 1950

[37] W. Shockley.: Elektrony i dziury w półprzewodnikach. PWN, Warszawa, 1964

[38] A. van der Ziel: Noise in Solid-State Devices and Lasers. Proceedings of the IEEE, Vol. 58, No.8, August 1970

[39] A.van der Ziel: Fluctuation phenomena in semiconductor. Butterworth, Lon- don, 1959

[40] C.D. Motchenbacher, F.C. Fitchen.: Projektowanie elementów i układów elek- tronicznych niskoszumnych. WNT, Warszawa, 1977

[41] A.van der Ziel.: Unified Presentation of 1/f Noise in Electronic Devices: Fundamental 1/f Noise Sources. Proceedings of the IEEE, Vol. 76, No.3, March 1988

[42] F.N.Hooge.:1/f Noise Sources. IEEE Transactions on Electron Devices, Vol. 41, No. 11, November 1994

[43] RH. Kingston, A.L. Mc Whorter: Relaxation Time of Surface States on Ger- manium Physical Review, Vol. 103, No. 3, 534, August 1956

[44] C.T. Sah, F.H. Hielscher.: Evidence of the surface origin of the 1/f noise. Physical Review Letters, Vol. 17, No. 18, 956, 31 October 1966

[45] 1/f Noise Bibliography: “1/f (One-Over_F) Noise in Electronic Devices”.

http://www.nslij-genetics.org/wli/1fnoise/1 fnoise_device.html

86

[46] C.M. van Vliet.: A survey of results and future prospects on quantum 1/f noise

and 1/f noise in general. Solid State Electronics, Vol. 34, No.1, 1, 1991

[47] E.P.Vandamme, L.K.J. Vandamme.:Critical Discussion on Unified 1/f Noise Models for MOSFETs. IEEE Transactions on Electron Devices, Vol.55, No. 11, 2146, November 2008

[48] F.N. Hooge.:1/f Noise Sources. IEEE Transactions on Electron Devices, Vol. 41, No. 11, 1926, November 1994

[49] L.K.J. Vandamme, F.N. Hooge: What Do We Certainly Know About 1/f Noise in MOSTs ?, IEEE Transactions on Electron Devices, Vol.55, No. 11, 3070, November 2008

[50] Hei Wong.: Low-Frequency noise study in electron devices: review and up- date. Microelectronics Reliability, Vol. 43, 585, 2003

[51] L.K.J. Vandamme, Xiaosong Li, D. Rigaud.: 1/f Noise in MOS Devices, Mobi- lity or Number Fluctuations ?. IEEE Transactions on Electron Devices, Vol.41, No. 11, 1936, November 1994

[52] P.H. Handel.: Fundamental Quantum 1/f Noise in Semiconductor Devices. IEEE Transactions on Electron Devices, Vol.41, No. 11, 2023, November 1994

[53] H.Rothe.: The theory of noise four-poles. Trans.IRE, vol.ED-1, 58. 1954

[54] A.B.Gillespie.: Signal, noise and resolution in nuclear counter amplifiers. Pergamon Press, Oxford - London - New York - Paris, 1953

[55] A. van de Ziel.: Thermal noise in field-effect transistor. Proceedings IRE, Vol.59, 1808, 1962

[56] C.T. Sah.:Theory of Low-Frequency Generation Noise i Junction-Gate Field - Effect Transistors. Proc. IEEE Vol. 52, 795. July 1964

[57] F.N. Trofimenkoff.: Thermal Noise in Field-Effect Transistors. Proc. IEEE (Correspondence), Vol. 53, 1236, September 1965

[58] R.S.C. Cobbold.: Teoria i zastosowanie tranzystorów polowych. WNT, War- szawa, 1975

[59] Yannis Tsividis (edit): Operation and modelling of the MOS transistors. WOB/ Mc Graw Hills, 1999

[60] E. Kowalski.: Nuclear Electronics, Springer Verlag, Berlin – Heidelberg – New York, 1970

87

88

4. Dopasowany Filtr Optymalny

Problem optymalnej filtracji sygnału można traktować bardzo ogólnie bez względu na rodzaj sygnału i zakłóceń szumowych. W przedstawionych dalej rozważaniach poniechamy tak ogólnego podejścia, odnosząc je do sytuacji właś-ciwej dla spektrometrycznego toru pomiarowego. W konsekwencji sygnał będzie dany w postaci przebiegu napięciowego Vi(t) mającego jednoznacznie określony rozkład widmowy Si(j). Załóżmy na razie, że towarzyszący mu szum jest szumem białym o równomiernym widmie energetycznym W0.

Celem analizy będzie zbadanie, czy możliwa jest synteza liniowego filtru sta-cjonarnego, który by maksymalizował stosunek sygnału do szumu, a jeśli tak, to jaka powinna być transmitancja takiego filtru optymalnego i jego charakterystyka impulsowa.

Zauważmy, że naturalnymi sposobami opisu sygnału wejściowego oraz włas-ności filtru są opisy dokonywane odpowiednio w domenie czasu i częstotliwości. Z fenomenologicznego punktu widzenia działanie filtru na przenoszony przezeń sygnał zachodzi w domenie częstotliwości, wyrażając się modyfikacją widma prze-noszonego sygnału zgodnie z relacją

)()()( jFjSjS io (4.1)

gdzie Si (j) – widmo sygnału na wejściu filtru, So (j) – widmo sygnału na wyjściu filtru,oraz F(j) zespolona przepustowość widmowa filtru.

Jak już powiedziano, przebieg czasowy sygnału wejściowego Vi (t) ma jedno-znaczną reprezentację w domenie częstotliwości w formie rozkładu widmowego Si (j). Analogicznie rozkład widmowy sygnału wyjściowego So (j) jest jedno-znacznie odwzorowany w dziedzinie czasu jako funkcja Vo (t).Wynikający z anali-zy harmonicznej dualizm jego opisu wyrażają dwie transformacje Fouriera [1]. transformacja prosta

�

dtetVjS tj)()( (4.2)

89

transformacja odwrotna

�

dejStV tj)(2

1)( (4.3)

Załóżmy też na razie, że rozpatrywany filtr nie jest optymalnym, a jego prze-pustowość widmowa wynosi

)()()( jeFjF (4.4)

Odpowiedzią na sygnał wejściowy Vi(t) o rozkładzie widmowym

)()()( jii eSjS (4.5)

będzie zatem sygnał opisany zależnością

�

deFStV tjio

)]()([)()(2

1)( (4.6)

Jeśli czas pomiaru (obserwacji) sygnału Tm, równoznaczny z momentem odczytu, dobrać w taki sposób, aby dla t = Tm sygnał wyjściowy osiągał wartość maksy-malną, wówczas równanie (4.6) przyjmie postać

�

deFSV mTj

io)]()([

max )()(2

1 (4.7)

Z drugiej strony gęstość widmowa mocy szumów wejściowych

0

2

Wdf

Vd Ni

(4.8)

jest transmitowana na wyjście filtru z kwadratem jego przepustowości, czyli

20

2

)]([

FWdf

Vd No (4.9)

Relacje (4.8) oraz (4.9) dotyczą zarówno dwustronnej (matematycznej) W0m

jak i jednostronnej (fizycznej) W0f gęstości widmowej. Przypomnijmy, że wielkości te związane są znaną zależnością

)(2)()()( 0000 mmmf WWWW (4.10)

Równanie (4.9) pozwala w prosty sposób obliczyć wartość średniokwadratową napięcia szumów ma wyjściu

dF

WV om

rmsNo2)]([

2 (4.11)

90

Iloraz wyrażeń (4.7) i (4.11) reprezentuje STOSUNEK SYGNAŁU DO SZUMU na wyjściu filtru. Zatem

�

dFW

deFSSNR

m

Tj m

20

)]()([

)]([2

)()(2

1

(4.12)

Na podstawie powyższej zależności można określić warunki jakim powinien odpowiadać filtr optymalny. Dokonamy tego w oparciu o nierówność Schwarza [2],[3]

�

dvdudvu 222

)()()()( (4.13)

którą w rozważanym przypadku zapiszemy w postaci

�

dFdSdeFS mTj 222

)]()([ )()()()( (4.14)

Aplikując ją z kolei do formuły (4.12) uzyskujemy nową nierówność

m

i

m

Tji

W

dS

dFW

deFS m

0

2

20

)]()([

2

)]([

)(2

)()(2

1

�

(4.15)

Łatwo zauważyć iż nierówność powyższa przechodzi w równość w przypadku gdy SNR osiąga wartość maksymalną. Z formalnego punktu widzenia równość obu stron wyrażenia (4.15) daje się osiągnąć jeśli przepustowość filtru spełniać będzie następujące warunki (4.16) i (4.17)

)]([)( mT (4.16)

)()( iSBF (4.17)

gdzie B jest dowolną stałą o wymiarze równym odwrotności wymiaru S.

Filtr o przepustowości określonej zależnościami (4.16) i (4.17) jest zatem FILTREM OPTYMALNYM. W konsekwencji możemy napisać

mm Tji

Tjiopt ejSBeSBjF )()()( *])([

(4.18)

91

Jego charakterystykę impulsową wyznaczymy poprzez odwrotną transformację Fouriera

�

dejSB

dejFth mTtji

tjoptopt

)(* )(2

)(2

1)( (4.19)

Na drodze prostych przekształceń (podstawiając )()(* jSjS ii oraz wpro-

wadzając nową zmienną = (1 ) uzyskujemy

�

1)(

11)(

2)( dejS

Bth tTj

ioptm (4.20)

Jeśli porównać powyższą zależność z przebiegiem sygnału wejściowego opisanego według formuły (4.3) dochodzimy do konkluzji, że

)()( tTVBth miopt (4.21)

czyli, że charakterystyka impulsowa filtru optymalnego stanowi lustrzane odbicie przebiegu sygnału wejściowego, przesunięte w czasie o okres obserwacji Tm. Na rysunku 4.1 przedstawiono dla przykładu przebieg czasowy przyjętego dowolnie sygnału wejściowego Vi(t) (przy wartości =0), jego lustrzane odbicie Vi(t), oraz charakterystykę impulsową filtru optymalnego hopt (t). Ze względu na symetrię przebiegów Vi(t) i hopt (t) Middleton nadał tego rodzaju filtrom nazwę „FILTR DOPASOWANY” [3].

Zwięzłego choćby komentarza wymagają dwa zagadnienia wiążące się po pierwsze z FIZYCZNĄ REALIZOWALNOŚCIĄ dopasowanego filtru optymalnego, a po wtóre z WYBOREM CZASU POMIARU Tm.

Za realizowalny fizycznie układ o stałych skupionych uważa się czwórnik zbu-dowany bądź to wyłącznie z elementów R, L, C bądź też zawierający obok elementów pasywnych IDEALNY WZMACNIACZ LINIOWY. Według powyższego

92

Rys. 4.1. Przykładowe przebiegi Vi (t) = 1 exp (-t/3) – exp (-t), Vi (-t) oraz hop t (t)

Vi (-t) Vi (t)

hopt (t)

Tm-1 0 .00 -5 .0 0 0 .00 5 .00 10 .000 .00

0 .10

0 .20

0 .30

0 .40

kryterium podziału wyróżnia się dwie kategorie filtrów, a mianowicie odpowiednio FILTRY PASYWNE oraz FILTRY AKTYWNE.

Warunki konieczne i wystarczające realizowalności fizycznej filtru zapiszemy w postaci [4] h(t) = 0 dla t ≤ 0- (4.22)

0)(lim

tht (4.23)

Warunek pierwszy wyraża fizyczną niemożliwość uzyskania odpowiedzi na wyjś-ciu filtru przed pojawieniem się sygnału wejściowego. Drugi warunek uzupełnimy słownie wymaganiem aby funkcja h(t) zdążała (możliwie szybko) do zera dla zachowania stabilności układu. Warunek ten wyraża nierówność

�

dtth )( (4.24)

Inną jeszcze formą jego reprezentacji jest kryterium Peley’a-Wienera [4],[5], według którego

�

djF2

2

1

)(log (4.25)

Zagadnienie czasu pomiaru Tm wiąże się nierozdzielnie z efektywnością filtra-cji. Dla wykazania tego związku załóżmy, że dla pewnej, określonej wartości Tm

na wyjściu filtru uzyskujemy maksymalną możliwą wartość amplitudy Vo max .Wynosi ona

�

dSB

dejFjSTV iTj

optimom 2)(

2)()(

2

1)( (4.26)

Zauważmy, że wyrażenie

�

ii EdS 2)(2

1 (4.27)

zgodnie z twierdzeniem Parsevala1) [1] podaje wartość energii Ei sygnału wejś-ciowego w domenie czasu opisanego formułą

dttVE ii

�

2)( (4.28)

1) Dowód twierdzenia Parsevala zamieszczono w Dodatku C

93

przy czym dla sygnału o skończonym czasie trwania ti za górną granicę całko-wania wystarczy przyjąć ti. Wynika stąd oczywisty wniosek iż osiągnięcie maksy-malnego stosunku sygnału do szumu możliwe jest pod rygorem dopełnienia warunku

im tT

gdyż tylko wtedy do formowania „piku” odpowiedzi wykorzystana jest całkowita energia sygnału wejściowego.

Kombinacja zależności (4.26), (4.27), (4.11) oraz (4.17) daje formułę okreś-lającą ilościowo stosunek sygnału do szumu na wyjściu dopasowanego filtru opty-malnego.

m

i

im

i

im

iopt W

E

EBW

EB

dSBW

EBSNR

02

02

1

20 )(2

(4.29)

Nierzadko, a w spektrometrycznych systemach pomiarowych z reguły, za-chodzi konieczność ograniczenia czasu pomiaru Tm do wartości istotnie mniejszej od czasu trwania sygnału ti. W takich przypadkach użyteczne jest pojęcie WZGLĘDNEGO STOSUNKU SYGNAŁU DO SZUMU zdefiniowanego jako

2

1

,0

,0

i

miT

E

TE

SNR

SNRm (4.30)

gdzie SNR oznacza wartość stosunku sygnału do szumu przy nieskończenie dłu-gim czasie pomiaru, zaś SNRTm odpowiednio wartość SNR uzyskiwaną w czasie rzeczywistym pomiaru Tm.

Charakterystycznym przykładem „obcinania” sygnału jest pomiar ampli-tudy impulsów o zaniku eksponencjalnym

t

AtVi exp)( (4.31)

W takim przypadku każdy dowolnie przyjęty, rzeczywisty czas pomiaru Tm, będzie krótszy od pełnego czasu trwania impulsu. Energia równoważnego sygnału zawarta w przedziale <0,Tm> będzie więc równa

m

m TT

mi eAdtt

ATE2

2

0

2 12

2exp,0 (4.32)

94

a osiągalna wartość stosunku sygnału do szumu SNRTm wyniesie

m

m

T

fT e

WASNR

2

0

1 (4.33)

W równaniu powyższym w miejsce matematycznej gęstości widmowej wprowa-dzono – zgodnie z relacją (4.10) – instrumentalnie mierzalną, fizyczną gęstość wid-mową mocy szumów.

Bezwzględna, maksymalna wartość stosunku sygnału do szumu w danym przypadku wynosi

fW

ASNR0

(4.34)

wobec czego względny stosunek sygnału do szumu według definicji (4.31) wyrazi zależność

2

12

1

mT

e (4.35)

Charakter powyższej zależności funkcyjnej wskazuje, że dla wartości Tm rela-tywnie bliskich wartości stałej czasowej względny stosunek sygnału do szumu niewiele odbiega od jedności. Wynika to z faktu, że wobec stosunkowo szybkiego spadku poziomu sygnału wejściowego w jego części początkowej, niewielka tylko część jego energii pozostaje niewykorzystana w procesie formowania odpowiedzi filtru.

Moment obcięcia sygnału wejściowego tj. sprowadzenie go do poziomu zerowego w chwili zakończenia pomiaru (t-Tm) manifestuje się na wyjściu filtru osiągnięciem wartości szczytowej Vo max, po czym następuje eksponencjalny spadek odpowiedzi ze stałą czasową filtru równą stałej czasowej impulsu wejś-ciowego. Przebieg odpowiedzi przyjmuje charakterystyczny kształt „pół-księżycowy” („CUSP”). Jego analityczny opis daje całka splotu funkcji Vi(t) oraz hopt (t).

dhtVtVt

io )()()( (4.36)

przy czym w rozważanym przypadku

)(

exp)(t

AtVi (4.37)

95

oraz

)(

exp)( mopt

TBh (4.38)

Dla uproszczenia przyjmijmy B =1. Rozwiązanie (4.36) daje wówczas:

- w przedziale czasu t <- ,Tm>

)(

exp2

)( mo

TtAtV (4.39)

- w przedziale czasu t <Tm,+>

)(

exp2

)( mo

TtAtV (4.40)

oraz wartość maksymalną odpowiedzi (dla t = Tm) równą

2

)( max

AVTV omo (4.41)

Opisana formułami (4.39), (4.40) i (4.41) odpowiedź filtru, choć formalnie poprawna, pozbawiona jest sensu fizycznego wobec niedopełnienia warunku realizowalności fizycznej. Odpowiedź filtru rzeczywistego nie może w czasie wy-przedzać wymuszenia, wobec czego konieczne jest ustalenie dolnej granicy całko-wania całki splotu (4.36) na wartości zerowej zamiast -. Otrzymujemy wtedy odpowiednio rozwiązania:

ttT

Tto eee

AtV

m

m 2)(

0 (4.42)

m

m

T

Tto e

AV

2

max 12

(4.43)

mm

m

TTt

tTo eee

AtV

2)( (4.44)

96

Rysunek 4.2 przedstawia rodzinę odpowiedzi opisanych powyższymi równa-niami dla kilku wartości czasu pomiaru Tm.

W procedurze projektowania filtrów dopasowanych należy na równi z warun-kiem realizowalności fizycznej uwzględnić warunki realizowalności technicznej. Wynikają one, mówiąc najogólniej, z ograniczeń strukturalnych oraz niedos-konałości subukładów i elementów składowych filtrów, W rezultacie tych ogra-niczeń pierwsze propozycje układowe [6] ze względu na stopień złożoności i kom-plikacji nie znalazły praktycznego zastosowania.

Możliwość stosunkowo łatwej realizacji filtru dopasowanego prześledzimy, dla przykładu, przy założeniu wymuszenia standardowym impulsem prostokątnym o amplitudzie A, czasie trwania ti oraz = 0.

(4.45)

Jego rozkład widmowy opisuje równanie

i

i

t

tjtji e

j

AdteAjS

0

1)( (4.46)

Skończony czas trwania impulsu wejściowego pozwala w pełni wykorzystać jego energię do formowania odpowiedzi, co zachodzi dla Tm = ti. Przepustowość wid-mowa, zgodnie z relacją formuły (4.18) przyjmuje zatem postać

imi tjTjtjopt e

j

ABee

j

ABjF

11)( (4.47)

97

A dla 0 t ti

Vi(t) =

0 dla t < 0 i t > ti

Rys. 4.2. Rodzina odpowiedzi filtru dopasowanego na wymuszenie typu exp (-t/)

Tm2

Tm3

Tm4

Tm5

t

)2

exp(1

mTVo

Wobec tego (4.48)

Z porównania wyrażeń (4.45) i (4.48) widać, że charakterystyka impulsowa filtru dopasowanego pokrywa się wiernie z przebiegiem sygnału wejściowego. Synteza filtru dopasowanego sprowadza się więc w tym przypadku do realizacji czwórnika liniowego, który w odpowiedzi na impuls dirakowski da na swym wyjściu impuls prostokątny. Jedną z możliwych konfiguracji takiego układu przed-stawiono na rysunku 4.3.

Zawiera on cztery idealne podzespoły funkcjonalne: wzmacniacz liniowy o wzmocnieniu B, integrator, linię opóźniającą o opóźnieniu TD = ti oraz sub-traktor. Jeśli na wejście tego układu podać impuls dirakowski Vi(t) = A (t) to w rezultacie idealnego całkowania zostanie on przekształcony do postaci funkcji skokowej A H (t). Sygnał ten z kolei, dwoma torami: bezpośrednim i poprzez li-nię opóźniającą, przekazywany jest na odpowiednie wejścia układu odejmującego (subtraktora), dając w efekcie na jego wyjściu impuls prostokątny o amplitudzie A i szerokości ti = TD. Oznacza to, że charakterystyka impulsowa h (t) całego układu odpowiada postawionym wymaganiom.

W opisie funkcjonalnym układu z rysunku 4.3 mocno podkreślano własności zastosowanych podzespołów, traktując je jako idealne. Układy rzeczywiste mniej lub bardziej odbiegają od powyższego założenia, stąd więc i uzyskane efekty będą odpowiednio gorsze od teoretycznie przewidywanych.

Przepiszmy teraz zależność (4.36) w jej postaci równoważnej

t

optio dthVtV

)()()( (4.49)

Dla sygnału wejściowego opisanego ogólnie formułą

98

BA dla 0 t ti

Vi(t) =

0 dla t > ti

Rys. 4.3. Schemat blokowy filtru dopasowanego o charakterystyce impulsowej (4.48)

Vi (t) V

x (t) V

o (t)

DL WY

TD = t

i

xWE B

DL

)()()( tsAtStVi (4.50)charakterystyka impulsowa dopasowanego filtru optymalnego będzie opisana równaniem

)()()( tTsBAtTSBth mmopt (4.51)

zaś odpowiedź filtru

t

mo dtTSBStV ])[()()( (4.52)

W chwili t = Tm sygnał wyjściowy osiąga teoretycznie swą bezwzględnie maksymalną wartość równą

�

dttstSBAVo )()()( (4.53)

Jeśli przyjąć, że B = 1 wówczas zależność (4.53) sprowadzi się do postaci formuły (1.4) odniesionej wyłącznie do sygnału. Zważywszy iż poza oczywiście dopuszczalną dowolnością doboru wartości stałej B nie wprowadzono żadnych innych warunków ani ograniczeń, zależność (4.53) jest ogólnie słuszną. Tym sa-mym wykazano również ogólną słuszność formuły (1.4).

W dotychczasowych rozważaniach zakładaliśmy, że widmo szumu towarzy-szącego sygnałowi jest niezależne od częstotliwości. Jest to przypadek szczególny, na ogół bowiem będziemy mieli do czynienia z szumem „kolorowym” o dowol-nym w zasadzie rozkładzie gęstości widmowej mocy szumu WN (). Przeprowa-dzona uprzednio analiza optymalnego filtru dopasowanego wymaga zatem uogól-nienia.

Dokonamy go w oparciu o równoważny układ blokowy filtru przedstawiony schematycznie na rysunku 4.4.

Układ zawiera zespół trzech czwórników liniowych, z których pierwszy (F1) ma za zadanie transformację widma szumów WN() w widmo białe W0, zaś dwa

99

F2/3

W0

Wn()

Si () S

1 ()

WE WY

mTj

n

i eW

jSk

)(

)(*

F2

F3

F1

Rys. 4.4. Schemat blokowy filtru dopasowanego z układem wybielania szumu

kolejne (F2 i F3) pełnią łącznie, funkcję filtru dopasowanego do sygnału wyjścio- wego pierwszego czwórnika. Zgodnie z założeniem przepustowość widmowa pierwszego czwórnika powinna wynosić

2

1

01 )(

)(

nW

WF (4.54)

Powoduje ona oprócz „wybielania” szumu wejściowego WN() zmianę widma sygnału wejściowego według relacji

)()()( 11 jFjSjS i (4.55)

a tym samym odpowiednią zmianę przebiegu czasowego sygnału wejściowego.

Przepustowość widmową drugiego czwórnika przyjmujemy za równą odwrot-ności przepustowości widmowej czwórnika pierwszego, tj.

)(

1

12

jFF (4.56)

zaś wypadkowa przepustowość widmowa czwórników drugiego i trzeciego, sto-sownie do przyjętego kryterium optymalizacji, powinna wynosić

mTjejSBjFjF

jF

)()()(

1)( *

131

3/2 (4.57)

Kombinacja zależności (4.54), (4.55) i (4.56) prowadzi do wyniku

mm Tj

N

iTji e

W

jSWBjFejSBjFjF

)(

)()()()()(

*

01**

13 (4.58)

Wypadkową przepustowość widmowa całego układu Ftot (j) określa iloczyn przepustowości czwórników składowych.

)()()()( 321 jFjFjFjFtot (4.59)

Z mocy poczynionego założenia (4.56) działania dwóch pierwszych czwór-ników w kaskadzie wzajemnie się kompensują, co jest równoznaczne z ich zupełnym pominięciem. W przedstawionej wyżej analizie dopuszczono ich istnie-nie tylko z przesłanek formalnych, mających na celu ułatwienie wyznaczenia prze-

100

pustowości filtru optymalnego Fopt (j) F3 (j) pracującego w warunkach dowolnego szumu kolorowego. Zastępując wreszcie iloczyn stałych wielkości B W0 nową stałą k, otrzy-mamy wyrażenie opisujące przepustowość powyższego filtru w często spotykanej postaci.

mTj

n

iopt e

W

jSkjF

)(

)()(

*

(4.60)

Koncepcja wydzielania w strukturze dopasowanego filtru optymalnego członu „wybielającego” została skutecznie wykorzystana w realizacjach praktycznych. W tego rodzaju konfiguracji optymalizacja stosunku sygnału do szumu dokony-wana jest w drugiej części filtru o przepustowości określonej zależnością (4.57).

Dla ilustracji możliwości syntezy filtru wybielającego posłużymy się przedsta-wionym na rysunku 3.11 zastępczym schematem układu detektor – przedwzmac-niacz, oraz uproszczonymi formułami (4.61) i (4.62). Przypomnijmy, że zanied-bano w nich szumy nadmiarowe, a gęstości widmowe szumów białych (prądowych i napięciowych) wyrażono odpowiednio równaniami

aIqdf

idP

P

22

(4.61)

bRTkdf

vdeq

S

42

(4.62)

Mając na względzie, że Zi = 1/ωC, gęstość widmowa mocy szumów na wyjściu przedwzmacniacza przy kv = 1 będzie równa

bC

a

df

vdZ

df

id

df

VdW S

iPNi

n

22

22

22

)()( (4.63)

Dla wygody wprowadźmy nowe oznaczenia

)/( 22 Ca oraz b2 (4.64)

Wówczas Wn() wyrazi się jako

2

22)(

nW (4.65)

Formuła (4.54) opisująca przepustowość czwórnika (filtru) wybielającego przyjmie więc postać

22

0)(

W

F (4.66)

101

W szczególnym przypadku, gdy dopuścimy aby poziom wyjściowego szumu białego był równy poziomowi składowej białej szeregowego szumu napięciowego przedwzmacniacza, tj. dla W0 = b = 2 zależność (4.66) przybierze formę

1

)(

22

F , (4.67)

wykazującą strukturalną identyczność z formułą opisującą przepustowość wid-mową prostego układu różniczkującego C-R. Funkcję filtru wybielającego szum o rozkładzie widmowym (4.65) może więc pełnić czwórnik typu C-R o wartości stałej czasowej Tc = RC = /. W terminach parametrów pierwotnych a, b i C tę stałą czasową określa związek

a

bCTC (4.68)

Odwrotność Tc wyznacza wartość częstotliwości kątowej N, dla której oby-dwie składowe szumu Wn () są sobie równe. Na diagramach charakterystyk wid-mowych przy wartości N następuje ich wzajemne przecięcie, tworzące charakte-rystyczne „naroże”, co dało asumpt do nazwania Tc mianem SZUMOWEJ NA-ROŻNEJ STAŁEJ CZASOWEJ (Noise Corner Time Constant)

W warunkach zadanych schematem z rysunku 2.11 dirakowski (z upraszcza-jącego założenia) impuls prądowy detektora

)()( tQtI D (4.69)

daje na pojemności wejściowej C impuls napięciowy

)()( tHC

QtV i

i

(4.70)

Filtr wybielający transformuje go następnie w impuls o zaniku eksponencjal-nym V1(t)

c

i

T

t

C

QtV exp)(1 (4.71)

Dla takiego też kształtu sygnału wyznaczono uprzednio przebieg odpowiedzi dopasowanego filtru optymalnego [formuły (4.39) – (4.44)]. Oznacza to, że charak-terystyka impulsowa całego filtru obejmującego stopień wstępnego całkowania, obwód różniczkujący oraz właściwy filtr dopasowany, pokrywa się ściśle z cha-rakterystyką impulsową ostatniego z wymienionych członów składowych.

102

Można ją oczywiście wyznaczyć w sposób bezpośredni, pod warunkiem spro-wadzenia wszystkich źródeł szumu do postaci ekwiwalentnych źródeł prądowych, działających w układzie równoległym ze źródłem sygnału. Wymóg ten w odnie-sieniu do schematu z rysunku 3.11 dotyczy szeregowego źródła napięciowego VS. Równoważne mu źródło prądowe nie będzie już generować szumu białego lecz szum o widmie typu f 2 a mianowicie

222

222

bCdf

vdC

df

id ss (4.72)

Rysunek 4.5 przedstawia strukturę zmodyfikowanego według powyższej koncepcji zastępczego schematu szumowego.

Sygnałowi pomiarowemu (4.68) towarzyszy w tym podejściu szum kolorowy o składnikach opisanych wzorami (4.61) i (4.72)

222

222

)(

Cbadf

vdC

df

idW SP

i (4.73)

Zauważmy, że odpowiedź impulsowa filtru ma obecnie charakter hybrydowy wobec „różnoimienności” wymuszenia i odpowiedzi (sygnał wejściowy - prądowy, sygnał wyjściowy - napięciowy). Oznaczmy ją z tego względu symbolem k (t), zaś jej transformatę fourierowską odpowiednio jako K (j).

Dla wygody obliczeń zwiążmy współrzędną czasową maksimum odpowiedzi impulsowej z początkiem układu współrzędnych, kładąc Tm = 0. Odpowiedź filtru na sygnał (4.69) wyrazimy tym razem przy pomocy kosinusowej formy prze-kształcenia Fouriera

�

dtjK

QtV i

o )cos()(2

)( (4.74)

W chwili t = Tm = 0

�

djK

QVTV i

omo )(2

)( max (4.75)

103

Rys. 4.5. Zmodyfikowany, zastępczy schemat szumowy

IS

I P C

I D

1

V

o (t)

Wo (ω)

Szumy, jak wiemy, przenoszone są na wyjście filtru z kwadratem jego przepustowości widmowej, a ich gęstość widmowa na wyjściu przyjmuje znaną nam postać

�

dKW

df

Vdmi

No 22

)()(2

1 (4.76)

Uwzględniając związek między matematyczną i fizyczną gęstością widmową mocy szumów (4.10), dla rozważanego przypadku możemy napisać

�

dKW

dKQ

SNR

fi

i

2)()(

)(

(4.77)

Dla określenia warunków zapewniających maksymalizację powyższej funkcji posłużymy się standardową metodą rachunku wariacyjnego [7]. W tym celu funk-cję )(K w równaniu (4.77) zastąpimy przez sumę )()( GK , czyniąc (4.77) funkcją dwóch zmiennych: i . Warunek maksymalizacji funkcji (4.77) otrzymamy w rezultacie przyrównania do zera pochodnej tej funkcji względem kładąc z kolei = 0. Przyjmuje ona postać

�

�

dGKWdK

fi )()()()(

�

�

dKWdG

fi2)()()( (4.78)

Powyższa równość musi zachodzić dla dowolnej funkcji G(), co pociąga za sobą wymaganie aby

)(

1)(

fiWK (4.79)

Proste podstawienia prowadzą do wyrażenia na (SNR) 2

�

22

222

)()(

bCa

dQ

W

dQSNR i

i

i

f

(4.80)

Korzystając z podstawienia

Ca

bx (4.81)

104

sprowadzimy równanie (4.80) do dogodniejszej postaci

�

2

22

)1()(

x

dx

baC

QSNR i (4.82)

która po scałkowaniu daje

baC

Qxtgarc

baC

QSNR ii

222 )()(

(4.83)

W terminach zdefiniowanych przez (4.70) stosunek sygnału do szumu wyrazi się zatem wzorem

C

QSNR i)( (4.84)

Jak należało oczekiwać, uzyskany wynik jest tożsamościowo zgodny z SNR

opisanym formułą (4.35) jeśli uwzględnić związki:

C

QA i

a

bCTc

2 bWfo 22Ca (4.85)

Odpowiedź impulsową filtru w warunkach optymalnych otrzymamy podsta-wiając do równania (4.74) zależności (4.73) i (4.79) przy założeniu jednostkowego wymuszenia (t.j. dla Qi = 1 )

�

tt

etetdbCa

ttk )(1)(1

)(

cos

2

1)(

22 (4.86)

Jeżeli moment zadziałania wymuszenia związać z punktem zerowym osi czasu, maksimum odpowiedzi wystąpi w chwili t = Tm, a składowe równania (4.86) przy-biorą postać

m

m

Tt

Tt

etk )( oraz

m

m

Tt

tT

etk )( (4.87)

zgodnie z brzmieniem formuł (4.20) i (4.41).

Koncepcja dopasowanego filtru optymalnego sformułowana w dziedzinie pomiarów amplitudy sygnałów impulsowych, aplikuje się również do sfery spektrometrii czasowej. Przedmiotem analizy optymalizacyjnej jest w tym przy-padku minimalizacja nieoznaczoności estymacji współrzędnej czasu aparaturo-wego odpowiedzi filtru σT na założonym poziomie jego przebiegu, równoznaczna z maksymalizacją stosunku nachylenia (stromości krawędzi impulsu) do szumu

105

SLNR Parametry te określono uprzednio w rozdziale pierwszym formułami defini-cyjnymi (1.6) i (1.7).

W prezentowanej niżej analizie [8] posłużymy się znanymi nam już procedu-rami korzystającymi z własności nierówności Schwarza. Z tego też względu wy-godniej jest operować kwadratem stosunku nachylenia do szumu

2

22 ]/)([

N

o

V

dttdVSLNR (4.88)

Załóżmy, że na wejście filtru o przepustowości widmowej F(jω) podano napię-ciowy sygnał wejściowy Vi(t) o znanej transformacie Fourierowskiej Vi(jω) na tle szumu o gęstości widmowej mocy WN(ω). Na wyjściu filtru otrzymujemy więc od-powiednio

�

dejjFjVdt

tdV tji

o )()(2

1)( (4.89)

�

djFWV nN22 )()(

2

1 (4.90)

Stąd też dla t = Tm

2

2

)()(

2

)()(2

)()(

djFW

dejeFeV

SLNR

n

Tjjji

m

(4.91)

Stosując podstawienia

)()()( juWjF n (4.92)

)()(

)(

jvej

W

jVmTj

n

i (4.93)

i spełniając warunek kompensacji faz

)()( * jvkju (4.94)

(gdzie k jest dowolną stałą), oraz korzystając z własności nierówności Schwarza, na drodze prostych podstawień i przekształceń [8], [9] dochodzimy do formuł określających maksymalną wartość SLNRmax oraz przepustowość filtru optymal-nego Fopt(jω)

106

W szczególności, podstawienie (4.92) i (4.93) do (4.94) prowadzi do wyra-żenia na Fopt (jω)

mTj

n

iopt e

W

jVjkjF

)(

)()()( (4.95)

natomiast funkcje zespolone w równaniu (4.91) redukują się do ich modułów. Ko-rzystając z alternatywnej formy zapisu nierówności Schwarza 2) otrzymujemy

djW

V

dWF

dejVF

n

i

n

Tji

m

22

2

2

)()(

)(

)()(

)()( (4.96)

Porównując równanie (4.96) z formułą (4.91) przy równoczesnym uwzględnieniu warunku (4.94) stwierdzamy, że

�

dW

jVSLNR

n

i

)(

()(

2

1)(

22max (4.97)

Wyprowadzone wyżej formuły mają charakter ogólny. W szczególnym przy-padku szumu białego (tj. dla Wn() = W0 = const) stają się atrybutami dopasowa-nego filtru optymalnego (DFO).

mDFO

Tji

m

ejVjW

kjF )()()(

0 (4.98)

�

djV

WSLNR i

m

DFO

2

0

)()(2

11)( (4.99)

Wyrażenie pod „dużym” pierwiastkiem reprezentuje w istocie energię zróżnicz-kowanego impulsu wejściowego [pochodnej dVi(t)/dt]

�

�

dtdtdVdjVE iiVi

22 /)()(2

1˙ (4.100)

Podstawienie tego związku do formuły (4.99) sprowadza ją do kształtu final-nej postaci zależności (4.29).

2)

du

dv

dvu2

2

2

)(

)(

)()(

107

Charakterystyka impulsowa dopasowanego filtru optymalnego wynosi

�

�

dejVj

W

kdejFth m

OPDDFOTj

im

tj )(22

1)( *

0

(4.101)

Jak wynika z równania (4.101), przybiera ono formę opóźnionego o czas Tm

lustrzanego odbicia przebiegu pochodnej napięcia wejściowego. Jeśli dla wygody założyć k = 2 W0m otrzymamy

dt

tTdVth mi

DFO

)()(

(4.102)

W sytuacji, gdy towarzyszący sygnałowi informacyjnemu szum ma widmo – mówiąc najogólniej – kolorowe, niezbędne jest poprzedzenie dopasowanego filtru optymalnego pomocniczym filtrem „wybielającym”. Stosownie do jego przepusto-wości modyfikowana jest oczywiście funkcja kształtu s(t) sygnału wejściowego, a w dalszej konsekwencji formuły (4.98 – 4102).

Informację o czasie zdarzenia pozyskuje się przez monitorowanie przekrocze-nia przez impuls zadanego a’priori poziomu przy założonym również kierunku je-go przekraczania. Funkcję tego rodzaju czujnika pełni z reguły polaryzowany dys-kryminator progowy. Moment pobudzenia dyskryminatora wyznacza zarazem czas pomiaru Tm. Formalnie możliwa jest pełna dowolność wyboru jego ustawienia, wa-runki minimalizacji nieoznaczoności Tm narzucają konieczność lokowania go w ob-szarze sygnału Vi(t) o jak największej stromości jego przebiegu; w praktyce na kra-wędzi czołowej impulsu. Z tego względu należy urealnić uprzednio zakładany kształt impulsu wejściowego (4.31) zastępując go, uwzględniającą skończone cza-sy narastania τ n i opadania τ, postacią [10 ]

][)( n

tti

i eeC

QtV

(4.103)

Alternatywną, wygodniejszą formę opisu sygnału wejściowego Vi(t) filtru, stanowi jednak często używane przybliżenie [8], [11]:

]1[)( n

t

ii e

C

QtV

(4.104)

Skorzystajmy dla przykładu z tej drugiej. W tym przypadku chwilowa wartość stromości (nachylenia) przebiegu impulsu wynosi

108

)/()(

nt

n

ii eC

Q

dt

tdV

(4.105)

Charakterystyka impulsowa )(thDFO dopasowanego filtru optymalnego przybiera zatem postać

)(exp

)( tTHC

Qth m

n

tT

i n

m

DFO

(4.106)

Założona w przykładzie forma impulsu narzuca sposób monitoringu czasu zda-rzenia techniką dyskryminacji na czole, w której wybór czasu pomiaru dokonywa-ny jest pośrednio poprzez ustawienie wysokości progu dyskryminatora VPROG. Poziom ten zaznaczono na rysunku 4.6 przestawiającym w znormalizowanej formie przebiegi impulsu wejściowego )(tVi , jego pochodnych )(),( tVtVi ˙˙ oraz

optymalnej charakterystyki impulsowej )(thDFO .

Dla rozważanego przykładowo impulsu (4.104) obciążonego białym szumem o fizycznej gęstości widmowej W0f stosunek nachylenia do szumu w funkcji czasu obserwacji Tm wyrazi się formułą (4.107)

m

m

T

fn

iT e

WC

QSNR

2

0

11

(4.107)

Wobec ewidentnej nierealizowalności fizycznej determinującego ją filtru nie ma ona praktycznego znaczenia. Znajomość jej wykorzystywaną jest jedynie jako

109

Rys. 4.6. Znormalizowane diagramy przebiegówi hDFO

(t)

Vi(t) = [ 1 – exp (-t /

n) ] ;

n =1 s

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-4.0 - 2.0 0 Tm 2.0 4.0 6.0 [s]

VPROG

Vi (t)

dVi (t)/dtdV

i (-t)/dt

hDFO

(t)

oznaczany symbolem SLNR standard w porównawczej ocenie różnych, realizo-walnych technicznie, suboptymalnych systemów filtracji.

2/1

0)(

fni

T

def

WC

QSLNRSLNR

m (4.108)

Literatura

[1] Ron Bracewell.: Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania, WNT, Warsza- wa, 1968

[2] F. Leja.: Rachunek różniczkowy i całkowy. PZWS, Warszawa, 1949

[3] D. Middleton.: An Introduction to Statistical Communication Theory. Mc - Graw-Hill, Inc., New York, 1960

[4] J. Osiowski.: Zarys rachunku operatorowego. WNT, Warszawa, 1981

[5] R .E. Paley, N. Wiener.: Fourier Transform in the Complex Domain. Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 19, New York, 1934

[6] R. Wilson.: Noise in Ionization Chamber Pulse Amplifiers. Philosophical Ma- gazine 41, No.312, 66, 1950

[7] K. von Halbach.: Berechnung linearer, realisierbarer Netzwerke zur Erzielung optimaler Signal/Rauschverhältnisse. Helv. Phys. Acta. Vol. 26, 1953.

[8] T.D. Douglas, C.W. Williams, J.F. Pierce.:The application of time-variant fil- ters to time analysis. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 66, 181, 1968

[9] V.Radeka, M.Karlovač.: Least-square-error amplitude measurement of pulse signals in presence of noise. Nuclear Instruments & Methods, Vol. 52, 86,1967

[10] F.J. Lynch.: Improved timing with NaJ(Tl) IEEE Trans. on Nuclear Science, Vol. NS-13, No. 3, 149, 1966

[11] J.G. Melbert.: On the design of filters for pulse-height and time analy- sis.IEEE Transactions on Nuclear Science. Vol. NS-9, No.1, 614. February 1982

110

5. Tryby odczytu detektorów

Terminem „odczytu” przyjęto określać operację odbioru sygnału z detektora. natomiast realizujące ją bloki funkcjonalne – „układami odczytu” względnie ukła-dami „Front-End”1). Stanowią je „wzmacniacze wstępne”(przedwzmacniacze) typu transimpedancyjnego organizowane w różnych trybach pracy: prądowym, napię-ciowym lub ładunkowym. Z racji jego podstawowej funkcji – wzmacniania, blok ten nazwać można prekondycjonerem; z tego też powodu na schemacie z rysunku 1.3 potraktowano go jako subukład systemu kondycjonowania sygnału.

W prądowym trybie pracy (Rys. 5.1) impuls prądowy detektora w swej postaci pierwotnej zostaje przekazany do przedwzmacniacza i wzmacniany bez zmiany kształtu si(t) jego przebiegu czasowego. W konsekwencji odpowiedź na-pięciowa przedwzmacniacza, zachowując niezmieniony kształt impulsu, zachowuje zarazem informację w nim zawartą. Warunkiem takiego przekazu jest dominacja konduktancji wejściowej przedwzmacniacza w obwodach obciążenia detektora, równoznaczna z wymogiem bardzo małej rezystancji wejściowej ri przedwzmac-niacza.

Warunek ścisłej identyczności kształtu wymuszenia i odpowiedzi znalazł wy-raz w określaniu tego trybu pracy mianem trybu wiernoprądowego (True Current Mode). Obok niego funkcjonuje w praktyce jego „złagodzona” wersja zwana try-bem semi-prądowym (Semi-Current Mode), oparta na kryterium przekazu maksy-malnej mocy sygnału.

Dla dopełnienia wymogów kryterialnych konieczne jest ustalenie wzajemnych relacji parametrów układowych i sygnałowych. Podstawę wyznaczenia tych związ-ków stanowi podany niżej (Rys. 5.2) sygnałowy układ zastępczy. Dla prostoty, cał-kowitą pojemność bocznikującą CT oznaczono na nim symbolem C.

1) Powszechnie przyjęła się nazwa wyłącznie w terminologii angielskiej.

111

Rys. 5.1. Schematyczna ilustracja trybu prądowego a) prosty stopień wejściowy układu b) konfiguracja ze wzmacniaczem transimpedancyjnym

CT

Ii

Ro

Vo

-

RF

CT

Ii

Vo

ri

a) b)

Rys. 5.2 Zastępczy schemat sygnałowy zespołu DETEKTORUKŁAD ODCZYTU

ID

iC

iR

C RDetektor Odbiornik

Wyjściowymi równaniami procedur obliczeniowych są równania Kirchhoffa. W zapisie operatorowym przyjmują one postać

sisisi CRD (5.1)

01

sCsiRsi CR (5.2)

a ich rozwiązaniem jest funkcja operatorowa prądu iR(s) przekazywanego do odbiornika reprezentowanego w układzie zastępczym przez rezystor R.

sRC

sisi DR

1

1 (5.3)

Równanie powyższe pokazuje, że dla uzyskania identyczności przebiegów iR(t) i iD(t), a tym samym spełnienia wymogu kryterialnego wierno-prądowego trybu pracy, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, aby wartość stałej czasowej obwodu RC zdążała do zera. W praktyce wiąże się to z koniecznością maksy-malnie możliwej redukcji rezystancji wejściowej odbiornika sygnału.

Warunki zapewniające przekaz sygnału do odbiornika z maksymalną mocą, zależą od „kształtu” impulsu prądowego tj. jego funkcji czasu iD(t). Określimy je zatem dla dwóch, istotnie różnych w kształcie impulsów detektorowych: pros-tokątnego i eksponencjalnego. Pierwszy z wymienionych opisany jest w dziedzi-nie czasu równaniem

imD tHtHiti (5.4)

które w zapisie operatorowym przyjmuje formę

s

sisi inD

exp1 (5.5)

Symbolem i oznaczono tu szerokość impulsu. W tym też interwale następuje przekaz energii impulsu do odbiornika. Ograniczenie czasowe podyktowane szero- kością impulsu można przenieść na funkcję mocy PR(t) w rezystancji R, wyrażając przebieg impulsu iD(t) pojedynczą funkcją skokową. W postaci operatorowej otrzymamy więc

112

s

isi mD

1 (5.6)

W konsekwencji operatorowa funkcja prądu odbiornika iR(s) będzie równa

RCmR ssRC

isi1

11

(5.7)

a jej oryginał daje opis odbieranego impulsu w dziedzinie czasu

RC

titi mR exp1 (5.8)

Wyrażenie (5.8) pozwala wyznaczyć funkcję mocy sygnału dostarczanego do odbiornika PR(t) a w normalnej procedurze analitycznej określić warunki osiąg-nięcia przez nią wartości maksymalnej PR max. Obliczenia szczegółowe dają w efek- cie równanie

RCRC

ii

21exp (5.9)

które uchyla się od rozwiązania analitycznego. Metoda kolejnych przybliżeń pro-wadzi w tym przypadku do ostatecznej postaci warunku kryterialnego

iRC 8,0 (5.10)

Drugi z przyjętych do analizy impulsów opisany jest w dziedzinie czasu zależ-nością eksponencjalną

imD

titi exp (5.11)

o obrazie w dziedzinie operatorowej

i

sisi mD

1

1 (5.12)

Podstawienie tego wyrażenia do równania (5.3) i wykonanie prostych operacji matematycznych daje w ostatecznym rezultacie opis impulsu prądowego iR(t).

RC

tt

RCiti

ii

imR expexp (5.13)

Załóżmy nadto, że przekaz energii impulsu do odbiornika następuje wyłącznie w interwale równym stałej czasowej zaniku impulsu detektora. Kryterialny waru-

113

nek maksimum mocy odbieranego sygnału dla wykładniczego przebiegu impulsu detektora wyrazi się wówczas żądaniem aby

iRC (5.14)

Mimo znacznej różnicy kształtu rozważanych przebiegów uzyskane wyniki są na tyle bliskie, że skłaniają do uznania za ogólnie słuszny warunek dopełnienia wymogów omawianego kryterium, równość stałej czasowej obwodu wyjściowego detektora i szerokości impulsu.

W trybie napięciowym, schematycznie zilustrowanym na rysunku 5.3, pier-wotny impuls prądowy zostaje wstępnie scałkowany w zewnętrznym obwodzie wejściowym R-C przedwzmacniacza, a następnie wzmacniany jako wtórny impuls napięciowy o silnie zmodyfikowanym przebiegu czasowym. Racjonalne zdymen-sjonowanie obwodu R-C (duża rezystancja i możliwie mała pojemność) podnosi wówczas korzystnie amplitudę formowanego na nim impulsu napięciowego.

Struktura obwodu obciążającego detektor w trybie napięciowym jest identycz-na jak w trybie prądowym. Różnice dotyczą jedynie wartości elementów tego ob-wodu. Możemy zatem korzystać z tego samego schematu zastępczego i opisują-cych go zależności ogólnych.

W szczególności iloczyn prądu opisanego równaniem (5.5) i rezystancji obcią-żenia R wyraża przebieg formowanego w tym obwodzie impulsu napięciowego.

RCDDD sC

siRsRC

sisV1

11

1

1

(5.15)

Formalnie równanie powyższe można rozwiązać w klasyczny sposób w o-parciu o przekształcenia Laplace’a, transformując funkcję iD(t) w postać opera-torową iD(s), a następnie po wykonaniu wymaganych działań, wyznaczając oryginał VD(t) uzyskanej funkcji VD(s). Sposób ten wymaga jednak uprzedniej

114

Rys. 5.3. Schematyczna ilustracja trybu napięciowego a) prosty stopień wejściowy układu b) konfiguracja ze wzmacniaczem transimpedancyjnym

Vo

CIi

RE

R

+ -

C I

i R1

R2

Vo

R

a) b)

znajomości funkcji iD(t). W ogólnym podejściu wygodniej jest przeprowadzić obliczenia w dziedzinie czasu. Impuls napięciowy wyrazi się wówczas związkiem

thtiRtV DD (5.16)

gdzie h(t) = (1/RC) exp (- t /RC ) stanowi charakterystykę impulsową obwodu ob-ciążenia detektora.

Równanie (5.16) po rozpisaniu go w formie całki splotu i wykonaniu prostych przekształceń przyjmuje postać

tRC

DRC

t

D deieC

tV0

1 (5.17)

Ukazuje ono wpływ stałej czasowej RC na formę sygnału napięciowego. Czynnik eksponencjalny przed całką determinuje przebieg krawędzi opadającej impulsu na-pięciowego podczas gdy podobny człon podcałkowy modyfikuje przebieg czoła impulsu. W hipotetycznym przypadku gdy R równanie (5.17) ulega znacz-nemu uproszczeniu, a mianowicie

t

DD diC

tV0

1 (5.18)

W układach rzeczywistych rezystancja obciążenia ma jednak określoną, skończoną wartość. Jej wpływ manifestuje się obniżeniem amplitudy formowanego w tym ob-wodzie impulsu napięciowego. Efekt ten ilustruje rysunek 5.4 przedstawiający ro-dzinę znormalizowanych przebiegów „wtórnych” impulsów napięciowych, ufor-mowanych w obwodzie całkującym RC przez „pierwotne” impulsy prądowe o kształcie prostokątnym i szerokości i.

Symbolem MAXV oznaczono maksymalną (asymptotyczną) wartość napięcia

wyjściowego Vo(t) w ekstremalnym przypadku gdy R , czyli dla nieskończe-nie dużej stałej czasowej obwodu RC.

115

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0 2 4 6 8 10

ti

VVMAX

R =

RC=100 i

RC=10 i

RC=5 i

RC=2 i

RC= i

RC=0.5 i

Rys. 5.4. Rodzina znormalizowanych impulsów napięciowych uformowanych w obwodzie obciążenia detektora generującego prostokątne impulsy prądowe.

Wobec nieciągłości funkcji Vo(t) na współrzędnej t = i w jej opisie skorzy-stamy z metody superpozycji funkcji standardowych. Według takiej procedury otrzymamy

iRC

t

RC

RCRC

t

RC

t

iMAX

tHee

eetHeRC

V

V

ii

ii

(1

11)(1

(5.19)

Pierwszy składnik sumy powyższej zależności opisuje krawędź narastającą (czoło) impulsu napięciowego, ostatni natomiast jego krawędź opadającą (ogon). Wyrazy środkowe wygaszają funkcję czoła impulsu poczynając od t = i , przy czym człon {1-exp(-i/RC } określa wartość szczytową napięcia impulsu osiągalną dla danej wartości stałej czasowej RC.

t

DD diC

tV0

1 (5.20)

W uproszczonej analizie optymalizacyjnej zakłada się często2) dirakowską for-mę (4.69) impulsu wyjściowego detektora. Przebieg formowanego wówczas na impedancji wejściowej układu odczytu Zi=(RC) impuls napięciowy łatwiej wyz-naczyć klasyczną metodą rachunku operatorowego. Tą drogą otrzymujemy trans-formatę VRC (s)

)(

1)()()(

1rc

iDRC sCQsZsIsV

(5.21)

a z kolei jej oryginał w znanej nam już postaci (4.71)

2) W szczególności w przypadku detektorów półprzewodnikowych

116

RCt

eC

QtVRC

)( (5.22)

W tej formie, po odpowiednim wzmocnieniu przez elementy aktywne układu odczytu impuls napięciowy przenoszony jest na jego wyjście.

Tryb ładunkowy realizuje wierniej całkowanie impulsu prądowego w ukła-dzie (idealnego) integratora aktywnego typu „OP-INT” (operational integrator), co zapewnia uzyskanie odpowiedzi napięciowej o amplitudzie liniowo zależnej od ładunku niesionego przez pierwotny impuls prądowy, a tym samym od energii pro-mieniowania.

Przedwzmacniacz pracujący w tym trybie, potocznie zwany jest przed-wzmacniaczem ładunkoczułym względnie ładunkowym. Jego struktura wywo-dzi się z konfiguracji konwertera prądowo-napięciowego, przybierając dwie formy układów z „rezystywną” lub „bezrezystywną” pętlą sprzężenia zwrotnego. Ukaza-no je w uproszczeniu na rysunku 5.5.

Dla ogólności analizy sygnałowej powyższych konfiguracji posłużymy się schematem przedstawionym na rysunku 5.6. Celem jej będzie wyznaczenie trans-mitancji i parametrów znamionowych wzmacniacza w warunkach zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego, oraz odpowiedzi na wymuszenie prądowym impulsem dirakowskim.

117

CF

Rys. 5.5. Konfiguracja konwertera I / V i pochodnych jej struktur ładunkoczułych

RF

Ii

CT

-kV

a)

RF

CB

-kV V

o

Ii (Q

i)

RB

b)

CF

Ii (Q

i)

CB

-kV

RB

c)

Rys. 5.6. Uogólniony schemat wzmacniacza transimpedancyjnego I /V

ID V

x

II

ZB

-kv

VO

IB

IF

VF

ZF

W notacji przyjętej na rysunku układ opisuje zespół równań operatorowych

sIsIsI BFi (5.23)

0 sVsVsV oFX (5.24)

sZsIsV FFF (5.25)

sZsIsVsV BBBX (5.26)

sVksV XVo (5.27)

Rozwiązanie powyższego układu równań opisuje transmitancję napięciowo-prądową wzmacniacza przy zamkniętej pętli sprzężenia zwrotnego

V

BFF

i

odef

iv

k

sYsYsY

sI

sVsF

)()()(

1

)(

)()(

(5.28)

YF(s) = 1/ZF(s) oraz YB(s) = 1/ZB(s) oznaczają tu odpowiednio admitancje obwodu wejściowego oraz pętli sprzężenia zwrotnego.

Dla układu z rysunku 5.5 b odpowiednie admitancje wynoszą

)1

(1

)(F

FF

FF sCR

CssY

(5.29)

)1

(1

)(B

BB

BB sCR

CssY

(5.30)

gdzie F = RFCF oraz B = RBCB.

Podstawiając powyższe zależności do ogólnej formuły (5.28), oraz uwzględniając w niej zakładany charakter wymuszenia (4.69), otrzymujemy

BB

FF

VFF

io

sCsCk

sC

QsV

1111 (5.31)

Sprowadźmy tę formułę do bardziej przejrzystej postaci, a mianowicie

118

bsCkC

QksV

BVF

iVo

1

1 (5.32)

przy czym

Fk

BVF

BV

F

VCkC

Rk

Rb

1

1

11

1

1

(5.33)

Przebieg czasowy odpowiedzi wzmacniacza opisany oryginałem funkcji ope-ratorowej (5.31) przybiera znany nam już kształt impulsu o zaniku eksponencjal-nym

)(exp)( max btVtVo (5.34)

gdzie

F

i

kBVF

iVo C

Q

CkC

QkV

V

1

max 1 (5.35)

Równanie (5.35) ukazuje liniowy związek amplitudy odpowiedzi wzmac-niacza z wymuszającym ją ładunkiem wejściowym Qi. Stosunek tych wielkości wyznacza podstawowy parametr techniczny wzmacniacza ładunkowego – czułość ładunkową 3) (charge sensitivity) kq.

i

odef

q Q

Vk max (5.36)

Przy dostatecznie dużej wartości współczynnika wzmocnienia w otwartej pętlitj. dla kV >> 1 czułość ładunkowa zależy wyłącznie od pojemności CF

F

kq C

kV

11

(5.37)

co stanowi istotną właściwość układu. Z tego też względu pętla ujemnego sprzę-żenia zwrotnego często nazywana jest pętlą ładunkową.

Stała czasowa F w praktycznych rozwiązaniach wynosi 50 100 s. W rela-cji do czasu obserwacji Tm (pomiaru) impulsu jest na tyle duża, że w uproszczo-nych obliczeniach kształt odpowiedzi przedwzmacniacza ładunkowego można przybliżyć funkcją skokową

)()( tHC

QtV

F

io (5.38)

3) W praktyce stosowana jest również alternatywna nazwa: wzmocnienie ładunkowe

119

Uzyskanie ściśle heaviside’owskiego przebiegu odpowiedzi zapewnia alterna-tywna wersja z bezrezystywną pętlą ładunkową (rys.5.5 c). W tym przypadku for-muła (5.31) przyjmuje postać

BV

B

VF

io

sk

C

kCs

QsV

111

(5.39)

prowadząc w konsekwencji warunku 1Vk do zależności (5.38).

Przypomnijmy, że w warunkach normalnej pracy detektor generuje stocha-styczny ciąg impulsów prądowych o średniej częstości zależnej on natężenia mie-rzonego promieniowania. Odpowiedź tej wersji przedwzmacniacza ładunkowego na każdy, kolejny impuls prądowy rozbudowuje się na heaviside’owskim piedestale odpowiedzi jego poprzedników. Efekt ten manifestuje się schodkowym wzrostem napięcia na wyjściu przedwzmacniacza. Dla zapobieżenia wprowadzaniu układu w zakres nasycenia niezbędne jest więc zastosowanie dodatkowych subukładów, restytuujących cyklicznie stan spoczynkowy przedwzmacniacza.

W wersji z rezystywną pętlą ładunkową powrót układu do stanu podstawowe-go następuje samoczynnie na skutek bieżącego rozładowywania pojemności CF

przez bocznikującą ją rezystancję RF. Rysunek 5.7 ilustruje poglądowo formę syg-nału wejściowego i odpowiedzi w obu rozważanych przypadkach.

Przekaz szumów z wejścia na wyjście dowolnego czwórnika liniowego zacho-dzi z kwadratem modułu przepustowości widmowej tego czwórnika. W przypadku systemu odczytu z „idealnym” wzmacniaczem napięciowym (rys. 3.11) szumy wszystkich źródeł, sprowadzone do wspólnej formy napięciowej, transmitowane więc były z kwadratem współczynnika wzmocnienia wzmacniacza. Bardziej złożo-

120

Rys. 5.7. Stylizowane przebiegi sygnału wejściowego (a) oraz odpowiedzi wzmacniaczy: z pętlą bezrezystywną (b) i rezystywną (c)

Ii

t a)

Vo

t b)

Vo

tc)

ny charakter ma przekaz szumów w konfiguracji ze wzmacniaczem ładunkowym, gdzie ekwiwalentne źródła szumów IP i VS objęte są różnego rodzaju sprzężeniami zwrotnymi. Łatwo je zidentyfikować na zastępczym schemacie szumowym przed-stawionym na rysunku 5.8.

Elementarna analiza powyższego układu pozwala wyznaczyć odnośne prze-pustowości widmowe. Dla szumów równoległych możemy wprost skorzystać z za-leżności (5.28) i wyrażeń pochodnych (5.32) i (5.39). W szczególności dla przy-wołanej tu konfiguracji z bezrezystywną pętlą sprzężenia zwrotnego, przy utrzy-maniu warunku kV>>1, przepustowość widmowa przybiera postać

FF

kP C

j

CjjF

V

1)(

1 (5.40)

Przy takich samych założeniach upraszczających przepustowość widmową dla szumów szeregowych opisuje zależność

F

B

CCF

BF

kS C

C

C

CCjF

FBV

1)( (5.41)

Moduły funkcji (5.40) i (5.41) wynoszą więc odpowiednio

)/(1)()( FPP CFjF (5.42)

)/()()( FBSS CCFjF (5.43)

Proste działania arytmetyczne prowadzą do wyrażenia określającego suma-ryczne widmo szumów na wyjściu przedwzmacniacza ładunkowego – jak należało oczekiwać – zgodnego z brzmieniem formuły (3.142). Gwoli ścisłości „równo-ległe”szumy prądowe w równaniu (3.142) należy uzupełnić dodatkową składową „białą” termicznego szumu rezystora wejściowego obwodu przedwzmacniacza4)

P

Ri R

TkS

P

4)( (5.44)

4) W konfiguracji z rezystywną pętlą ładunkową RP = (RB║RF)

121

Rys. 5.8. Zastępczy schemat szumowy zespołu detektor – przedwzmacniacz ładunkowy

ID

VS

Ip CB

-kV

CF

Wobec bardzo dużej wartości tej rezystancji, w praktyce rzędu 10 8 ÷109 , szum ten w uproszczonej analizie jest jednak z reguły pomijany. W analizie sygnałowej przedwzmacniacza ładunkowego nie nakładaliśmy żadnych ograniczeń na własności jego struktury aktywnej. Oznacza to, że traktuje-my ją jako strukturę „idealną” zakładając eo ipso nieskończenie wielką impedancję wejściową (Zi), zerową impedancję wyjściową (Zo) oraz nieograniczone pasmo przenoszenia. Ostatnia z wymienionych własności implikuje stałość współczyn-nika wzmocnienia kV (w otwartej pętli) w całym paśmie BW<0>

Zrezygnujmy teraz z tak daleko idącego uproszczenia, zastępując go przybliże-niem prostego układu dolnoprzepustowego o górnej częstotliwości granicznej g.

g

gVV s

ksk

0 (5.45)

Dla przejrzystości obliczeń odnieśmy je do konfiguracji z bezrezystywną pętlą ła-dunkową wprowadzając zależność (5.45) do równania (5.39) i kładąc CT = CF +CB

1

0

0 1)(

gV

T

F

T

gVio k

C

Css

C

kQsV (5.46)

Wprowadźmy z kolei oznaczenie

gVT

F kC

C

01 (5.47)

Wobec tego równanie (5.46) możemy zapisać w bardziej dogodnej dla późniejszej transformacji formie

ssC

kQsV

T

gVio

10 (5.48)

W dziedzinie czasu otrzymujemy więc

t

FVT

Vit

T

gVio e

CkC

kQe

C

kQtV

0

00 11

(5.49)

Pochodna funkcji odpowiedzi na współrzędnej czasowej t = 0 wyznacza jej maksymalne nachylenie,

gT

Vit

o

C

kQ

dt

tdV o 0

)( (5.50)

które może posłużyć do wyznaczenia wskaźnika jakości pomiaru czasu zdarzenia SLNR.

122

123

124

6. Suboptymalne, stacjonarne filtry pasywne

W wyniku przeprowadzonej w rozdziale trzecim teoretycznej analizy optyma-lizacyjnej uzyskaliśmy przepis określający wymaganą przepustowość filtru, który zapewniałby osiągnięcie maksymalnego stosunku sygnału do szumu. Zadaniem wtórnym w procedurze projektowania było natomiast zaproponowanie konkretnej konfiguracji filtru opartej na dostępnych elementach i podzespołach układowych. Na tym etapie pojawiają się wszakże istotne trudności wynikające z omawianych uprzednio warunków realizowalności fizycznej i technicznej. W skrajnym przy-padku niemożliwości dopełnienia tych warunków zadowalamy się na ogół użyciem filtrów o własnościach nieznacznie odbiegających od własności filtru optymalnego.Filtry takie w literaturze przedmiotu zwane są FILTRAMI QUASI-OPTYMALNYMI.

Zaliczają się one do kategorii filtrów SUBOPTYMALNYCH, w syntezie któ-rych procedura optymalizacyjna poprzedzona jest arbitralnym w zasadzie wyborem struktury filtru, a przedmiotem optymalizacji jest tylko dobór wartości elementów filtru.

Podstawę analizy optymalizacyjnej wszelkiego rodzaju filtrów stanowi znajomość globalnego widma szumów Wn() oraz przebiegu czasowego sygnału Vi(t), działających na wejściu filtru. W analizie wybranych konfiguracji filtrów suboptymalnych skorzystamy z tych samych założeń upraszczających jakimi pos-łużyliśmy się w przypadku filtru wybielającego, a mianowicie

22

2

)(

nW (6.1)

oraz

)()( tHC

QtV i

i

(6.2)

Należy jednak pamiętać iż w konkretnej sytuacji pomiarowej mogą one okazać się niezadowalającymi a czasem wręcz niedopuszczalnymi. W pierwszym rzędzie uwaga ta dotyczy zaniedbania szumu nadmiarowego o gęstości widmowej od-wrotnie proporcjonalnej do częstotliwości (typu 1/f) w układzie napięciowego szu-mu szeregowego (3.62).

125

6.1. Filtr typu CR-RC

Filtr złożony z dwóch elementarnych rezystywno-pojemnościowych obwodów formujących: różniczkującego C-R i całkującego R-C, stanowi najprostszą konfigu-rację w kategorii nierekursywnych filtrów suboptymalnych. Obwody formujące są rozdzielone przy pomocy aktywnego stopnia separującego, nie wywierającego nie-mal żadnego wpływu na przepustowość układu, a zapobiegającego wzajemnemu ich oddziaływaniu (rys. 6.1).

Transmitancja tego układu wynosi

id

i ss

ssF

11

1)(

(6.3)

Dla obliczenia optymalnych wartości i opt i d opt należy uprzednio w od-dzielnych procedurach wyznaczyć wartość szczytową odpowiedzi filtru na sygnał (6.2) oraz wartość średnio-kwadratową napięcia szumów na wyjściu VNo rms a na-stępnie określić warunki maksymalizacji ich stosunku (SNR) jako funkcji d i i.

Korzystając z dogodności rachunku operatorowego możemy napisać

id

i

iio

ss

s

sC

QsFsVsV

11

1)()()(

(6.4)

gdzie C – oznacza pojemność źródła wejściowego impulsu prądowego (detektora).

W dziedzinie czasu otrzymujemy zatem

126

Rys. 6.1. Schemat struktury filtru „CR – RC”

Vo (t)

Ri

Vi (t) R

d

Ci

1

d

i

Cd

di eeC

QtV

t

di

dio

1

)( (6.5)

Funkcja powyższa osiąga maksimum dla t = tmax równego

i

d

id

dit

lnmax (6.6)

Wynosi ono

di

d

di

i

i

d

i

d

id

dio C

QV max (6.7)

Dla skrócenia zapisu wprowadźmy oznaczenie =(d/i). Wówczas równanie (6.7) przyjmie postać

1

1

max C

QV i

o (6.8)

Gęstość widmowa mocy szumów wejściowych przenoszona jest na wyjście filtru z kwadratem modułu jego przepustowości widmowej, równym w rozwa-żanym przypadku

)1()1(

)(2222

222

ii

dF

(6.9)

Wariancja szumów będzie więc równa1}

0

22222

2222

22

)1()1(2

1dV

ii

iNo (6.10)

Wprowadzając parametr , wyrugowano w powyższym równaniu explicite stałą czasową d. Jego scałkowanie w zadanych granicach daje

I

INoV 2

22

14

1 (6.11)

1} Alternatywny sposób wyznaczenia wariancji szumów wyjściowych (w domenie czasu) podano w DODATKU D.

127

Z warunku minimalizacji powyższej funkcji względem i wyznaczymy z kolei optymalną wartość tej stałej czasowej tj. i opt.

1opti (6.12)

Podstawienie (6.12) do (6.11) daje w wyniku wyrażenie opisujące wariancję szumów wyjściowych w funkcji parametru

12

12NoV (6.13)

Dysponując zależnościami (6.8) i (6.13) możemy wyznaczyć optymalną wartość parametru opt, co pozwoli w prostej konsekwencji obliczyć wartości obu stałych czasowych filtru. Drogą do tego celu jest wyrażenie stosunku sygnału do szumu jako funkcji parametru .

)(

1

2)(

1

1

fG

C

QSNR

(6.14)

Funkcja f () osiąga maksimum przy = opt = 1 wykazując relatywnie płaski przebieg w okolicy maksimum. Jej przebieg w zakresie czterech dekad wartości parametru pokazuje rysunek 6.2.

Z przeprowadzonej analizy wynika, że dla uzyskania maksymalnej wartości stosunku sygnału do szumu, rozważany filtr powinien mieć identyczne wartości stałych czasowych, równe wg wzoru (6.12)

128

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.01 0.1 1.0 10 100

f ()

Rys. 6.2. Graficzne odwzorowanie funkcji f()

di (6.15)

Jak łatwo zauważyć, odpowiadają one wartości szumowej narożnej stałej cza-sowej Tc (4.68). Należy tu również zwrócić uwagę na ważną właściwość omawianego filtru zwiazaną z równością stałych czasowych. Otóż przy = 1 amplituda impulsu wyjściowego jest niezależna od wspólnej wówczas wartości stałych czasowych i wynosi

C

QV i

o 368.0max (6.16)

Wartość maksymalna stosunku sygnłu do szumu wyniesie wtedy

C

QSNR i736.0 (6.17)

Zauważmy, że bezwzględnie maksymalna wartość stosunku sygnału do szumu optymalnego filtru dopasowanego w identycznych warunkach pomiaru tj. dla

,C

QA i

cT oraz 2

foW

wynosi

C

Q

C

QSNR ii

2

/ (6.18)

Wypływa stąd wniosek iż względny stosunek sygnału do szumu filtru CR – RC odniesiony do wyżej sformułowanego poziomu referencyjnego osiąga wartość

736.0 (6.19)

Względny stosunek sygnału do szumu można wyrazić również stosunkiem ekwiwalentnych ładunków szumu ENC, przy czym

opt

opt

ENC

ENC

SNR

SNR

(6.20)

Słuszność powyższego związku łatwo wykazać wyznaczając odpowiednio ENC (dla referencyjnego filtru dopasowanego) oraz ENCopt (dla filtru CR-RC) w warunkach optymalnych). Przypomnijmy, że według definicji ekwiwalentny ładunek szumów (Equivalent Noise Charge) określony jest jako ładunek, który po-dany na wejście układu w formie dirakowskiego impulsu prądowego daje na jego wyjsciu odpowiedź o wartości maksymalnej równej wartości średnio-kwadratowej

129

napięcia szumów na wyjściu. Dla przypadku układu zawierającego filtr CR-RC możemy napisać

2

1368.0

C

ENCopt (6.21)

skąd

CENCopt 355.1 (6.22)

W analogiczny sposób wyznaczymy ekwiwalentny ładunek szumów dopaso-wanego filtru optymalnego. Określa go związek

CENC (6.23)

Iloraz wyrażeń (6.23) i (6.22) daje wartość liczbową równą 0.736, co dowodzi słuszności relacji (6.20).

W oparciu o zależność (4.33) możemy wreszcie stwierdzić, że rozpatrywany filtr „CR-RC” daje idnetyczne rezultaty jak realizowalny filtr dopasowany, jeśli przyjąć czas pomiaru Tm = 0.39 Tc. Relację tę uwidacznia rysunek 6.3.

Wyznaczona z powyższej charakterystyki wartość zastępcza czasu pomiaru zwana jest EFEKTYWNYM CZASEM POMIARU, oznaczanym symbolem Tm(eff). Jej stosunek do czasu martewego Td, rozumianego jako interwał czasu niezbędny na to, aby sygnał wyjściowy filtru opadł do założonego umownie poziomu, określa tzw. CZASOWY WSKAŹNIK JAKOŚCI – TFM (Time Figure of Merit) [1].

d

m

T

effTTFM

)( (6.24)

W pomiarach spektrometrycznych bardzo wysokiej rozdzielczości energe-tycznej Td przyjmuje się na poziomie 0.1 % amplitudy impulsu, co wyraża się w konsekwencji wartością TFM dla filtru CR-RC równą 0.04.

130

0.0 0.39 0.5 1.0 1.5

1.0

0.736

0.5

0.0

Tm/ /Tc

Rys. 6.3. Przebieg funkcji (Tm/Tc)

W oczywisty sposób rozciągłość czasowa odpowiedzi filtru decyduje o ROZ-DZIELCZOŚCI CZASOWEJ spektrometru. Innymi słowy, CZAS ROZDZIELCZY spektrometru pozostaje w ścisłym związku z parametrami czasowymi sygnału wyjściowego. Bardzo często jest on utożsamiany z czasem martwym Td; w spek-trometrach gorszej rozdzielczościi energetycznej za poziom odniesienia przyjmuje się 1 % amplitudy impulsu.

Inny sposób definiowania czasu rozdzielczego TR posługuje się METODĄ MOMENTÓW. Metoda ta korzysta z formalizmu matematyki statystycznej, trak-tując przebieg sygnału wyjściowego Vo(t) jako rozkład gęstości prawdopodo-bieństwa zmiennej losowej t . Wartość średnią to zmiennej t określa formuła

0

0

)(

)(

dttV

dttVtt

o

o (6.25)

a jej dyspersję

0

0

2

)(

)()(

dttV

dttVtt

o

oo

(6.26)

Oznaczając przez Hk moment k-tego rzędu funkcji Vo(t)

0

)( dttVtH ok

k (6.27)

nietrudno sprowadzić wyrażenie (6.26) do postaci (6.28) wiążącej na zasadzie konwencji dyspersję czasową z czasem rozdzielczym TR.

2

0

1

0

222 22H

H

H

HT

def

R (6.28)

W latach 60-tych ubiegłego stulecia dużą popularność zyskała definicja czasu rozdzielczego oparta na koncepcji RÓWNOWAŻNEGO IMPUILSU PROSTOKĄT-NEGO.[2]. Utożsamia ona czas rozdzielczy TR z szerokością zastępczego impulsu prostokątnego o wysokości równej amplitudzie rozpatrywanego impulsu oraz takiej samej powierzchni zawartej pod obwiedniami tych impulsów. Przyjęte umownie uzależnienia ukazuje wzór

131

max

0

)(

V

dttVTR

(6.29)

Dla porównania rozdzielczości czasowej różnych filtrów używane jest pojęcie WZGLĘDNEGO CZASU ROZDZIELCZEGO Tw określanego relacją

optR

Riiw T

TT (6.30)

gdzie TRj oraz Tr opt reprezentują odpowiednio czasy rozdzielcze rozpatrywanego „i-tego” filtru oraz referencyjnego, fizycznie realizowalnego filtru optymalnego. W szczególności dla filtrów dających sygnał wyjściowy zanikający w nieskończo-ności, za filtr referencyjny przyjmiemy filtr typu INFINITE WIDTH CUSP [3], któ-rego odpowiedź opisują rownania (4.42) i (4.44) (przy Tm=Tc). Dla filtrów o skoń-czonym czasie trwania odpowiedzi filtrem referencyj-nym będzie natomiast filtr typu FINITE WIDTH CUSP o czasie trwania odpowiedzi równym 2Tm (przy TmTc).

Wartości czasów rozdzielczych obu filtrów referencyjnych według definicji (6.29) wynoszą odpowiednio w pierwszym przypadku

coptR TT 463.1 (6.31)

w przypadku drugim

moptR TT 924.0 (6.32)

W oparciu o powyższe konwencje wyznaczymy BEZWZGLĘDNY i WZGLĘDNY CZAS ROZDZIELCZY przeanalizowanego uprzednio filtru CR-RC. Wcześniej skorygujemy wyjściowe równanie (6.3) dla dopełnienia warunku optymaliza-cyjnego (6.15). Przybierze ono teraz formę

21

1)(

s

ssF

(6.33)

W konsekwencji odpowiedź Vo(t) oraz jej wartość maksymalna Vo max opisane będą odpowiednio wzorami (6.16) i (6.34)

tt

C

QtV i

o exp)( (6.34)

Podstawienie obu powyższych wyrażeń do formuły definicyjnej (6.29) prowadzi do wyniku

cRCCR

R TT 718.2 (6.35)

132

W konsekwencji

86.1462.1

718.2 RCCR

wT (6.36)

Dodajmy, że wartości czasu martwego Td obliczone według kryterium 1% oraz 0.1% residuum sygnału wynoszą odpowiednio

cd TT 63.7%1 (6.37)

cd TT 23.9%1.0 (6.38)

Względny stosunek sygnału do szumu oraz bewzględny czas rozdzielczy stanowią podstawowe parametry znamionowe filtrów, decydujące o ich prak-tycznej przydatności w spektrometrycznym systemie pomiarowym. Przydatność filtrów można również oceniać na podstawie kształtu odpowiedzi na wymuszenie skokowe. Na tej drodze, zakładając docelowy kształt odpowiedzi, można z góry przewidywać ogólną strukturę filtru. Oczywiście w miarę zaostrzania wymogów podobieństwa do kształtu optymalnego (CUSP) wzrastać będzie złożoność filtrui stopień trudności analizy matematycznej. Według tak właśnie przyjętej syste-matyki przedyskutujemy kilka wybranych filtrów nierekursywnych, stosowanych w impulsowych, liniowych wzmacniaczach kształtujących.

Zbadajmy teraz przydatność omawianego filtru CR-RC w pomiarach spektro-metrii czasowej. Jak już wiemy określa ją wskaźnik jakości pomiaru SLNR zdefi-niowany formułami (1.7) i (4.88), a zwłaszcza jego wartość względna *

)(

)(*

SLNR

SLNR optdef

(6.39)

Dla wygody przywołajmy in extenso formułę (1.7)

rmssz

TdttdV

VSLNR AP

S )(

(6.40)

Mianownik powyższej zależności opisują równania (6.13) i (6.12) dając łącznie wyrażenie

2

12normssz VV (6.41)

Dla obliczenia licznika skorzystamy z równania (6.34) opisującego odpowiedź filtru na wymuszenie skokowe2). Nachylenie tego przebiegu w chwili Tm wynosi

2) Zamiast wymuszenia funkcją (1-exp(-t/))

133

mm Tt

tti

To t

C

Q

dt

tdV

expexp

1)( (6.42)

przy czym Tm wiążemy z przekroczeniem poziomu dyskryminacji przyjętego arbi-tralnie jako 10% amplitudy impulsu wyjściowego Vo max.

Według (4.16) CQ

oiV 368.0max wobec czego

0382,0mT 3) (6.43)

W konsekwencji

036.0)(

C

Q

dt

tdV iT

om gdzie

(6.44)

Ostatecznie więc otrzymujemy

3189.0

2

1036.0)/(

C

QCQSLNR ii

RCCR (6.45)

a odnosząc tę wartość do (4.108) uzyskujemy

189.0)/( .* SLNRSLNR RCCRRCCR (6.46)

6.2. Filtr typu CR-(RC)2

Filtr tego typu jest drugim w kolejności pod względem prostoty układowej filtrem stacjonarnym RC. Przyjęty tu sposób notacji oznacza, że filtr jest złożony z jednego czwórnika różniczkującego CR oraz dwóch czwórników całkujących RC. Przepustowość operatorowa tego filtru jest opisana równaniem

22

11

1)(

id

ss

ssF

(6.47)

a jego odpowiedź na wymuszenie skokowe zadane formułą (6.2) przyjmuje w do-menie czasu postać.

3) Rozw. równania: x exp (-x)/ 0.368 – 0.1 = 0 daje x1 = 0.0382.. oraz x2 = 4.889.. gdzie x- t/.

134

ii

t

i

t

io e

te

C

QtV

11

1)(

2

(6.48)

przy czym oznacza tutaj, jak poprzednio, stosunek stałych czasowych d/i.

Wartość maksymalną odpowiedzi w funkcji parametrów filtru określa zależność

11

2

max )1(1

xxi

o exeC

QV (6.49)

przy czym parametr x wyznacza warunek: ex = x + 1.

Obliczenia optymalizacyjne filtru, jak to pokazano na przykładzie filtru CR-RC, przebiegają dwustopniowo. Pierwsze działanie, przy niezdeterminowanej jesz-cze wartości parametru , zmierza do ustalenia związku jednej ze stałych czaso-wych filtru (np. i) z parametrami szumowymi szumów wejściowych. W rozwa-żanym przypadku 2

NoV opisuje formuła

i

iNoV 2

222 )12(

18

1 (6.50)

Funkcja powyższa wykazuje minimum dla wartości i opt równej

12

1opti (6.51)

Odpowiadająca powyższym warunkom średniokwadratowa wartość napięcia szu-mów na wyjściu filtru wyniesie więc

42 1212

1

NoV (6.52)

Iloraz wyrażeń (6.49) i (6.52) z mocy definicji daje ogólną postać zależności SNR od parametru

114

1

)1()12(1

2xx

i exeC

QSNR (6.53)

Równanie (6.53) stanowi podstawę drugiego etapu analizy optymalizacyjnej. Celem jego jest po pierwsze zbadanie czy funkcja SNR() posiada maksimum, a po wtóre, obliczenie wartości parametru = opt, dla której to ewentualne maksimum występuje.

135

Udzielenie odpowiedzi na tak sformułowane pytanie jest możliwe na drodze obliczeń numerycznych. Uzyskane w ten sposób rezultaty pokazują, że istotnie stosunek sygnału do szumu osiąga wartość maksymalną dla wartości parametru opt = 1.06, zaś przebieg badanej funkcji w okolicy maksimum jest relatywnie płaski. Uwzględniając związek (6.51) możemy w konkluzji zapisać warunki optymalnego zdymensjonowania filtru CR-(RC)2

opt = 1.06

i = 0.57 Tc (6.54)

d = 0.60 Tc

Mając na uwadze słabą zmienność SNR w sąsiedztwie maksimum oraz war-tość opr bardzo bliską jedności, można oczekiwać, że przyjęcie identycznych war-tości i i d nie spowoduje zauważalnej degradacji stosunku sygnału do szumu. Istotnemu uproszczeniu ulegną natomiast procedury obliczeniowe.

W szczególności równanie (6.48) zostanie sprowadzone do postaci

tt

C

QtV i

o exp2

1)(

2

(6.55)

a wyrażenie (6.49) przyjmie formę

C

Q

C

Q

eV ii

o 271.022max (6.56)

W miejsce warunku wiążącego parametry x i mogliśmy w tym przypadku obli-czyć w łatwy sposób wartość współrzędnej czasowej osiągnięcia maksimum – tmax.

tmax = 2 (6.57)

Wariancja szumów na wyjściu wyrazi się zależnością

22

2 332

1NoV (6.58)

zaś stała czasowa topt warunkująca minimalizację 2NoV będzie równa

copt T58.03

1

(6.59)

W wyniku prostych działań otrzymujemy ostatecznie dla filtru CR-(RC)2

136

108.016

32NoV

C

QSNR i

opt 824.0

824.0 (6.60)

cR TT 132.2

46.1wT

cd TT 66.5%1

cw TT 48.7%1.0

Jak widzimy, filtr w konfiguracji CR-(RC)2 zapewnia osiągnięcie o 12% więk-szej wartości stosunku sygnału do szumu (SNR)opt niż filtr CR-RC.

Przeanalizujemy obecnie relację optymalnych wartości stosunków nachylenia do szumu (SLNR) obu porównywanych struktur. I tym razem za podstawę analizy optymalizacyjnej przyjmiemy założenia (4.65) i (4.70). Skorzystamy także z wyprowadzonych wyżej formuł (6.55) i (6.56).

Pochodna impulsu wyjściowego (6.55) w tym przypadku wynosi

tt

io et

et

C

Qdt

dt

tdV3

2

2 2

)( (6.61)

Wyznaczymy jej wartość na współrzędnej Tm uwarunkowanej odczytem na pozio-mie dyskryminacji równym 10% amplitudy. Warunek ten określa równanie

01.0271.0

1

2

1 2

mTm e

T 4) (6.62)

którego rozwiązaniem jest 266.0mT (6.63)

Z procedury minimalizacji szumu uzyskaliśmy uprzednio zależność (6.58) poz-walająca wyznaczyć optymalną wartość stałej czasowej filtru opt (6.59), a w dal-szej konsekwencji, wartość zminimalizowanych jego działaniem szumów .

537.02noV (6.64)

Podstawiając = opt oraz t = Tm w równaniu (6.61) otrzymujemy

4) Współczynnik normalizujący: 0.271 = Vo max (C/Qi)

137

C

QC

Q

C

Q

dt

tdV i

i

opt

i

Tto

m306.0

58.0

1767.01767.0)( (6.65)

Kolejne podstawienia uzyskanych wyrażeń (6.64) i (6.65) do formuły definiu-jącej SLNR daje ostatecznie

3/

57.0537.0

306.0

2

C

QC

Q

SLNR i

i

RCCR

(6.66)

określając zarazem względny stosunek nachylenia do szumu analizowanego filtru

57.0*

/ 2 RCCR

6.3. Filtry R-C wyższych rzędów

Jak wskazują formuły (6.16) i (6.56) amplitudy odpowiedzi filtrów CR-RC oraz CR-(RC)2

są niezależne od wartości . Jest to ogólna cecha filtrów typu CR-(RC)n , w których wartości stałych czasowych wszystkich czwórników składowych są takie same. Ze względu na kształt odpowiedzi na wymuszenie skokowe filtry tego rodzaju zwane są FILTRAMI QUASI-GAUSSOWSKIMI. Ich transmitancje w postaci ogólnej podaje wzór

11

)(

n

n

s

ssF

(6.67)

Dla sygnału wejściowego oraz towarzyszących mu szumów określonych odpo-wiednio formułami (6.2) i (6.1) otrzymujemy

tt

nC

QtV

ni

o exp!

1)( (6.68)

ntmax (6.69)

n

io e

n

nC

QV

!

1max (6.70)

138

22

2

2

22

)!(2

)!2(

4!)!1(2

)]!1(2[

2 n

n

nn

nV

nnNo

(6.71)

12

1

nopt (6.72)

W miarę zwiększania ilości czwórników całkujących n przebieg odpowiedzi staje się coraz bardziej symetryczny względem współrzędnej tmax. W szczegól-ności dla bardzo dużych wartości n (tj. dla n ) przebieg sygnału wyjściowego (6.68) przybiera kształt krzywej Gaussa.

2

2

2

)(

2

1)(lim

t

io

ne

nC

QtV (6.73)

gdzie .

Z oczywistych względów technicznych filtr odwzorowujący wiernie funkcję Gaussa jest nierealizowalny. Pożytecznym wydaje się jednak obliczyć, dla celów porównawczych. wartości względnego stosunku sygnału do szumu i czasów roz-dzielczych (bezwzględnego oraz względnego) takiego filtru. Tak więc z kombi-nacji zależności (6.70), (6.71) i (6.72) otrzymamy wyrażenie na SNR. W opisującej go formule posłużono się przybliżeniem Stirlinga [4].

nne

nn

n

2

1

!

1lim (6.74)

uzyskując

2

1

222 )!()!12(

)!2(

2

1

)!(1)1(

)]!1(2[12

2

nn

n

nn

nn

n

C

QSNR

ni =

2

1

22 )!(12

)!2(

2

nn

nn

C

Qn

i (6.75)

W idealizowanym przypadku granicznym otrzymujemy

C

Q

C

QSNR ii 893.0

24 (6.76)

a w konsekwencji

139

= 0.89

TR = 1.77 Tc

Tw = 1.21 (6.77)

Td Wartości i Tw bardzo bliskie idealnym (6.77) daje w tej klasie filtrów układ zawierający tylko cztery czwórniki całkujące. Własności takiego filtru tj. CR-(RC)4 opisuje zespół wielkości znamionowych (6.78).

C

QV i

o 195.0max

copt T38.0

227.02NoV

C

QSNR i858.0 (6.78)

858.0

cR TT 925.1

31.1wT

cd TT 087.5%1

cd TT 27.6%1.0

Podane wyżej dane ukazują, że filtr piątego rzędu, zawierający jedną sekcję różniczkującą i cztery całkujące R-C, można uznać za zadowalający dla potrzeb rutynowej spektrometrii promieniowania gamma.

W prostej realizacji technicznej poszczególne sekcje filtru muszą być rozdzielone stopniami separującymi, z reguły wtórnikami, zapewniającymi multy-plikatywność transmitancji. Ich stosunkowo duża ilość oraz związany z nimi system przełączania stałych czasowych jest dość kłopotliwy w wykonaniu prak-tycznym. Z tego też powodu takie konfiguracje nie są stosowane w przypadku filtrów wyższych rzędów niż drugiego. Współczesne rozwiązania liniowych wzmacniaczy kształtujących korzystają natomiast niemal z reguły z filtrów aktyw-nych.

Wykazaliśmy, że optymalne warunki filtracji w spektrometrii amplitudowej zapewniają filtry dające symetryczne przebiegi odpowiedzi na wymuszenie sko-

140

kowe. Były to: optymalny filtr dopasowany oraz idealny filtr gaussowski. Jak po-każemy dalej, pośrednie miejsce między nimi zajmuje filtr o trójkątnym kształcie odpowiedzi, zwany z tego powodu FILTREM TRÓJKĄTNYM.

6.4. Filtry R-C skompensowane indukcyjnością

Mając na uwadze rozdzielczość czasową filtru, powinien on prócz optymaliza-cji stosunku sygnału do szumu zapewniać odpowiednią smukłość sygnału wyjś-ciowego Vo(t). W konwencjonalnych filtrach niskiego rzędu efektywne zwiększe-nie smukłości odpowiedzi daje się uzyskać w układzie z kompensacją indukcyj-nością L, włączoną w szereg z rezystorem kompensowanej komórki C-R lub R-C [5]. Rozważmy oddzielnie tego rodzaju struktury, przedstawione schematycznie na rysunku 6.4.

Pierwsza wiąże napięciowy sygnał wyjściowy Vo(t) z wymuszeniem napię-ciowym Vi(t), podczas gdy druga daje odpowiedź napięciową na wymuszenie prą-dowe Ii(t). O kształcie odpowiedzi decydują odpowiednio: transmitancja czwórnika różniczkującego Fd (s) oraz impedancja dwójnika całkującego Zi (s). Wynoszą one odpowiednio:

LCL

Rss

L

Rss

sCsLR

sLRsF d

11)(

2

(6.79)

sCL

Rss

L

Rs

CsLR

sCsZ d

11

11

)(2

(6.80)

Odpowiedzi na wymuszenia skokowe: napięciowe Vi(t) = 1 H(t) i prądowe Ii (t) = 1 H(t) wyniosą wiec

dla czwórnika różniczkującego

141

Rys. 6.4. Przykłady kompensowanych układów C-R i R-C.

Vo (t)V

i (t )

C R

LV

o (t )I

i (t )

C R

L

)()(

)(1

)(2 csbs

as

LCL

Rss

pL

Rs

sV dok

(6.81)

dla czwórnika całkującego

)()(

)(1

1

1)(

2 csbss

as

C

LCL

Rsss

L

Rs

CsV i

ok

(6.82)

przy czym w obu przypadkach

L

Ra

, Q

L

Rb 11(

,

QL

Rc 411(

, CR

LQ

2

.

W warunkach tłumienia krytycznego tj. gdy Q = 0.25 (co odpowiada war-tości L = 0.25 R2C) równania (4.67) i (4.68) sprowadzają się do postaci

2

2

)(

L

Rs

L

Rs

sV dok (6.83)

oraz

2

2

)(

L

Rss

L

Rs

sV iok (6.84)

zaś ich transformaty odwrotne przybierają formę5)

t

RCdok et

RCtV

22

1)(

(6.85)

5) Dolne indeksy „n” i „k” oznaczają „niekompensowany” oraz „kompensowany”

142

t

RCiok e

RC

t

CtV

2

111

)( (6.86)

Przypomnijmy dla porównania kształty przebiegów analogicznych odpowiedzi nieskompensowanych odpowiedników dyskutowanych czwórników kształtujących. Wyrażają je wzory:

RC

td

on etV

1)( (6.87)

oraz

RC

ti

on eC

tV 11

)( (6.88)

Na rysunku 6.5 przedstawiono w postaci znormalizowanej wykresy tych przebiegów zestawionych w pary stosownie do rodzaju operacji, różniczkowania względnie całkowania, w jakich zostały one uzyskane. Uwidaczniają one efekt szybszego dochodzenia do końcowego stanu ustalonego, a w przypadku czwórnika różniczkującego dodatkowo poszerzenia górnej części przebiegu odpowiedzi

Rysunek 6.6 podaje trzy pary przebiegów odpowiedzi na skokowy sygnał jed-nostkowy układu filtru zawierającego w kaskadzie jeden czwórnik różniczkując, bez kompensacji i z kompensacją, oraz n niekompensowanych czwórników całku-jących (dla n = 1,2,3).

143

Rys. 6.5. Odpowiedzi czwórników różniczkujących i całkujących na wymuszenia sko- kowe: z kompensacją (linia ciagła) i bez kompensacji (linia przerywana)

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

10

0.8

0.6

0.4

0.2

RC

t

CZWÓRNIKI CAŁKUJĄCE

CZWÓRNIKI ROŻNICZKUJĄCE

Vo,n

Rys. 6.6. Odpowiedzi układów na wymuszenie skokowe

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Vo,n

RC

t

n = 1

n = 2

n = 3

Również w tym przypadku wprowadzono normalizację skali czasowej wyra-żając ją w jednostkach względnych (t /RC).

Funkcje s(t) przedstawionych tu przebiegów opisane są zespołem równań (6.89) i (6.90):

dla kaskad typu nnn RCCR )()(

RC

tn

eRC

t

nts

!

1)( (6.89)

dla kaskad typu nnk RCCR )()(

RC

t

RC

t

ne

RC

tets

2

13

23)(

RC

t

RC

t

n RC

te

RC

tts

2

2exp5

25

3)(

(6.90)

RC

t

RC

t

ne

RC

te

RC

t

RC

tts

22

37

27

5

2

3)(

Pożądane zwiększenie smukłości przebiegu odpowiedzi oraz jego symetrię względem szczytu można uzyskać w układzie filtru zawierającym dwie sekcje różniczkujące oraz n całkujących.

144

6.5 Filtry typu (CR)2 – (RC)n

Załóżmy, że stałe czasowe wszystkich sekcji filtru tego typu są identyczne, równe = RC. Transmitancja całej kaskady wynosi więc

2

12

1)(

n

s

ssF

(6.91)

Daje ona w odpowiedzi na jednostkowy sygnał skokowy 1 H(t) bipolarny prze-bieg wyjściowy

t

nno et

n

tntV

1)!1(

)1()( (6.92)

osiągający wartości ekstremalne odpowiednio dla współrzędnych czasowych tmax i tmin równych

11max nnt (6.93)

oraz

11min nnt (6.94)

i przecinający oś czasu w chwili t0

)1(0 nt (6.95)

Podstawienie wyrażeń (6.93) względnie (6.94) do równania (6.92) pozwala obliczyć wartości amplitud impulsu podstawowego (dodatniego) oraz przerzutu (ujemnego).

11(max 1)1(

)!1(

1)(

nnn

o ennn

ntV (6.96)

11(min 1)1(

)!1(

1)(

nnn

o ennn

ntV (6.97)

Stosunek obu powyższych wielkości charakteryzuje stopień symetrii przebiegu bipolarnego. W praktyce przyjęto w tym celu relację Vo (tmin) /Vo (tmax), określającą w istocie względną wartość przerzutu odniesioną do amplitudy podstawowej części odpowiedzi. Oznaczymy ją symbolem WAP (WZGLĘDNA AMPLITUDA PRZE-RZUTU) i zapiszmy według przyjętej konwencji jako

145

12

11

11

n

n

enn

nnWAP (6.98)

W celu ilościowego zobrazowania wpływu ilości sekcji całkujących na syme-tryzację odpowiedzi zestawiono w Tablicy 6.1, wyrażone w procentach, wartości WAP obliczone dla kilku wartości n. Tablica 6.1.

Do zagadnienia symetrii sygnału względem poziomu zerowego wrócimy później, obecnie zaś poddamy analizie własności filtracyjne kaskady (CR)2-(RC)n. Celem jej będzie, jak poprzednio, optymalizacja stosunku sygnału do szumu, obarczona a’ priori ograniczeniem wynikającym z przyjęcia identycznych stałych czasowych wszystkich czwórników.

Moduł przepustowości widmowej omawianego filtru wynosi

222

22

1)(

nF (6.99)

Wariancję szumów na wyjściu filtru, obliczoną według znanych nam już pro-cedur i przy takich samych założeniach dotyczących sygnału wejściowego (6.2) i szumu (6.1), opisuje formuła

)!1(!2

)!2(

4)!1()!1(2

)!1(2

4

32

2

2

22

nn

n

nn

nV

nnNo (6.100)

Osiąga ona wartość minimalną dla = opt

12

3

nopt (6.101)

równą

)!1(!2)12(

)!2(

2

312

2

nnn

nV

nNo (6.102)

Wartość maksymalna odpowiedzi Vo max wynosi

C

QtsV i

o )( maxmax (6.103)

146

n 1 2 5 10 15 20 50

WAP [%] 34.5 43.6 56.9 66.4 70.3 74.5 83.0 100

gdzie s (tmax) jest określone formułą (6.96)

Wyrażenia (6.103) i (6.102) determinują jednoznacznie wartość stosunku sygnału do szumu SNR, ze względu jednak na złożoność ogólnej formuły opisującej SNR poniechamy jej rozpisywania, ograniczając się tylko do podania wartości WZGLĘDNYCH STOSUNKÓW SYGNAŁU DO SZUMU filtrów tego typu dla n = 1, 2, 3 i 4.

Zestawiono je w Tablicy 6.2 wspólnie z analogicznymi wartościami filtru typu CR-(RC)n.

Tablica 6.2.

Zamieszczone w Tablicy 6.2 dane liczbowe wskazują, że filtry z pojedynczym różniczkowaniem zapewniają osiągnięcie lepszego stosunku sygnału do szumu niż ich odpowiedniki z podwójnym różniczkowaniem. Z tego punktu widzenia wpro-wadzenie drugiego różniczkowania okazuje się niekorzystne.

Celowość, czy wręcz nieodzowność zastosowania dwóch sekcji różniczku-jących CR wynika z uwarunkowań innego rodzaju jak np. nieprzeciążalność ampli-tudowa, efekt kumulacji ładunku czy też odbiór informacji czasowej.

Nie wchodząc w szczegóły poświęćmy tym zagadnieniom kilka zdań komen-tarza. Tak więc, przypomnijmy że głębokie przesterowanie wzmacniacza mani-festuje się czasową utratą zdolności jego pracy, przy czym za miarę odporności na przeciążenie przyjmuje się interwał czasu, w ciągu którego – po zaistnieniu prze-sterowania określonej krotności – układ powraca do stanu normalnego. Czas ten zwany jest CZASEM POWROTU (Recovery Time). Proces powrotu daje się znacz-nie przyspieszyć działaniem impulsu wymuszającego odwrotnej polarności niż impuls przeciążający. Najprostszym sposobem minimalizacji skutków przeciążenia amplitudowego jest celowe przekształcenie mierzonego impulsu monopolarnego na w pełni symetryczny sygnał bipolarny.

Taki przebieg sygnału zabezpiecza skutecznie przed przesuwaniem poziomu zerowego (linii zerowej – Base Line) powodowanym KUMULACJĄ ŁADUNKÓW w rezultacie nakładania się kolejnych monopolarnych impulsów na opadające fragmenty ich poprzedników.

Sygnał bipolarny, uformowany w procesie dwukrotnego różniczkowania charakteryzuje się ważną z punktu widzenia ODBIORU INFORMACJI CZASOWEJ

147

n 1 2 3 4

0.701 0.739 0.734 0.725

0.736 0.824 0.844 0.858

(Time Pick-Off) [6] cechą, a mianowicie niezależnością położenia punktu prze-cięcia linii zerowej (PRZEJŚCIA PRZEZ ZERO) od amplitudy sygnału. Nadto, duża stromość przebiegu w otoczeniu tego punktu minimalizuje wpływ efektów fluktuacyjnych (szumów) na dokładność oznaczenia (pomiaru) tej współrzędnej czasowej.

Dla ilustracji przeprowadzonej dyskusji własności omawianych filtrów, na rysunku 6.7 przedstawiono w znormalizowanej względem RC skali czasowej, przebiegi funkcji odpowiedzi s(t) tych filtrów dla wartości n równych odpo-wiednio 1,2,3 i 4.

Należy pamiętać, że każdy z przebiegów odpowiada OPTYMALNYM WARUN-KOM FILTRACJI, co wyraża się inną optymalną wartością stałej czasowej filtru, określoną odpowiednio formułą (6.71) względnie (6.101)

148

Rys. 6.7. Znormalizowane przebiegi funkcji odpowiedzi filtrów (CR) - (RC)n oraz (CR)2 - (RC)n na jednostkowe wymuszenie skokowe

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

s

RC

t

n=1

n=2

n=3

n=4

1

2

3

4

(CR) – (RC)n

(CR)2 – (RC)n

6.6. Filtr typu DL - RC

Zastąpienie w układzie sekcji różniczkującej typu CR linią opóźniającą zwartą, daje w efekcie nową klasę filtrów o szczególnie korzystnych parametrach czasowych. Są one oznaczane umownie symbolem „DL-RC”. Ewentualne górne wskaźniki, podobnie jak to miało miejsce w przypadku filtrów „CR-RC”, określają ilość sekcji danego rodzaju, np. (DL)2-(RC)3.

Podstawową strukturę filtru DL–RC przedstawia rysunek 6.8. Zawiera ona obwód różniczkujący wykonany na linii opóźniającej DL o czasie opóźnienia TD

oraz konwencjonalny stopień całkujący RC o stałej czasowej i = RC.

Rezystancja szeregowa Rd obwodu różniczkującego reprezentuje sumaryczną rezystancję napięciowego źródła sygnału oraz dodatkowego rezystora dobieranego z warunku dopasowania impedancji sieci zewnętrznej i linii opóźniającej, żądają-cego aby Rd = Z0. W takim przypadku transmitancja stopnia różniczkującego przyjmuje postać:

DTsd esF 212

1)( (6.104)

a przepustowość widmowa odpowiednio

Dd TF sin)( (6.105)

Uwzględniając analogiczne wyrażenia opisujące transmitancję obwodu całku-jącego i jego przepustowość widmową łatwo uzyskać formuły określające globalną transmitancję F(s) oraz przepustowość widmową F() całości filtru „DL-RC). Wyrażają je odpowiednio równania

)1(

1

2

1)(

2

i

sT

s

esF

D

(6.106)

oraz

149

Vo (t)

Rys. 6.8. Schemat układu filtru typu „DL – RC”

Vi (t)

RR d

Z0

1

Td

DLC

2

1

22

2

1

sin)(

i

DTF (6.107)

Tę drugą funkcję przestawiono graficznie no na rysunku 6.9.

Przebieg odpowiedzi na sygnał wymuszający (6.2) opisują równania

w przedziale 0 < t < 2TD

i

t

iO e

C

QtV 1

2)( (6.108)

w przedziale 2TD < t <

i

t

io ee

C

QtV

1

2)( (6.109)

gdzie i

DT

2

Przebieg ten przedstawia rysunek 6.10. Ze względu na jego charakterystyczny kształt piłoząbkowy – zbliżony do trójkąta – omawiany filtr DL-RC zaliczany jest do kategorii tzw. FILTRÓW TRÓJKĄTNYCH.

Sygnał wyjściowy osiąga wartość maksymalną Vo maz dla t = 2TD . Wynosi ona

eC

QV i

o 12max (6.110)

150

Rys. 6.10. Przebieg odpowiedzi filtru „DL-RC” na sygnał skokowy 1H(t)

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 2TD 2 4 6 [s]

i = 1.1 s

TD =0.75 s

V0

t

Rys. 6.9. Przebieg charakterystyki amplitudowej filtru DL - RC -RC

10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 T

0

-20

-40

-60

-80

dB

Jeśli przyjąć nadal widmo szumów wejściowych według formuły (6.1) wariancja szumów na wyjściu będzie równa

i

iNo eeV 2

22 11

8

1 (6.111)

Warunek minimalizacji szumów wyjściowych sprowadza się do żądania, aby

1

1

e

ei (6.112)

Jego dopełnienie redukuje formułę (6.111) do postaci

114

12 eeVmimNo (6.113)

Daje ona z kolei wespół z wyrażeniem (6.110) podstawę do wyznaczenie zależności opisującej stosunek sygnału do szumu, oraz obliczenia wartości parametru , gdy SNR osiąga maksimum. Stosunkowo proste procedury obliczeniowe prowadzą do wyniku

036.1 opt (6.114)

W warunkach optymalnej filtracji obowiązują więc w rozważanym przypadku następujące związki

C

QV i

o 323.0max

copti T285.1

125.02NoV (6.115)

151

C

QSNR i

opt 909.0

cD TT 666.0

Czas rozdzielczy według definicji (6.39) przyjmuje natomiast wartość

ciDR TTT 063.261.123.3 (6.116)

a względny czas rozdzielczy

41.1462.1

063.2

c

cw T

TT (6.117)

Przytoczmy jeszcze wartości czasu martwego liczone według konwencji spadku impulsu do poziomu 1% i 0.1% jego amplitudy

cd TT 24.7%1

cd TT 20.10%1.0 (6.118)

Sygnał wyjściowy Vo(t) uzyskany w odpowiedzi na wymuszenie skokowe umożliwia ekstrakcję informacji o czasie zdarzenia tzd metodą dyskryminacji na czole (LED) Przypomnijmy, że dokładność pomiaru tzd tą metodą jest silnie degradowana efektami uzależnienia wielkości mierzonej od amplitudy i czasu narastania impulsu – tzw. EFEKT WĘDROWANIA (Walk Effect)

O wiele korzystniejszym w tym względzie jest układ filtru złożonego z kas-kady dwóch, wykonanych na liniach opóźniających, stopni różniczkujących oraz jednego obwodu całkującego RC. Konfigurację tę – oznaczaną skrótowo akroni-mem (DL)2-(RC) – ukazano schematycznie na rysunku 6.11.

152

Rys. 6.11. Schemat filtru pasmowego typu (DL)2-(RC)

Vi (t)

RR d

Z0

1

Td

DLC

R d

Z0

1

Td

DL V

o (t)

Jego globalną transmitancję opisuje równanie operatorowe

)1(

1

4

1)(

22

i

sT

s

esF

D

(6.119)

zaś jego odpowiedź na sygnał (6.2) przyjmuje formę ukazana na rysunku 6.12.

opisaną zespołem zależności

w przedziale 0 < t <2TD

i

t

io e

C

QtV 1

4)( (6.120)

w przedziale 2TD < t < 4TD

1114

)( eeC

QtV i

t

io (6.121)

w przedziale 4TD , t <

21

4)(

eeC

QtV i

t

io

(6.122)

Jest to więc sygnał bipolarny z punktami nieciągłości w t = 2 TD oraz t = 4 TD , determinującymi odpowiednio położenie maksimum i minimum sygnału.

Wartość szczytowa podstawowej (dodatniej) części sygnału wyjściowego w funkcji parametru „”wynosi

153

Rys. 6.12. Przebieg odpowiedzi filtru (DL)2-(RC) na sygnał skokowy 1H(t)

0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

0 2TD 2 4T

D 4 6 [s]

i = 1.1 s

TD =0.75 s

Vo

t

eC

QV i

o 14max (6.123)

Zauważmy, że dla osiągnięcia możliwie dużej wartości maxoV pożądane jest

dopełnienie warunku pomijalności składnika wykładniczego w równaniu (6.123). Jak się przekonamy w toku dalszej analizy optymalizacyjnej, wymaganie tego rodzaju jest skrajnie przeciwstawne w stosunku do wymagania wynikającego z wa-runków minimalizacji szumów. W przedziale <2TD, 4TD> przebieg sygnału wyjściowego przecina linię zerową, przy czym współrzędna przejścia przez zero (Zero Crossing Point} jest niezmienniczą względem amplitudy sygnału zgodnie z relacją

12ln et iz (6.124)

Moment przejścia przez zero determinuje więc jednoznacznie współrzędną cza-sową początku sygnału, którą można utożsamiać z CZASEM ZDARZENIA (Event Time) początkującego generację sygnału dyskryminatora.

Towarzyszące sygnałowi szumy i inne zakłócenia fluktuacyjne wprowadzają pewną nieokreśloność estymacji czasu tz. Wyraża ją zależność

ztdt

dVo

VT

(6.125)

w której: T oznacza średnie odchylenie standardowe wartości estymowanej tz, V - średnie odchylenie standardowe napięcia szumów na wyjściu filtru,

zaś zt

dt

dVo - szybkość przejścia przez linię zerową.

W rozważanym przypadku wartość pochodnej funkcji (6.121) dla tz okreś-lonego związkiem (6.124) wynosi

Ci

iQ

ztdt

dVo

4 (6.126)

wobec czego dla zminimalizowania T przy narzuconych wartościach V, Qi oraz C należy stosować odpowiednio małe wartości i. Wręcz przeciwstawne zalecenia wypływają z warunku minimalizacji szumów.

154

Przyjmując nadal widmo szumów według formuły (6.1) wariancja szumów na wyjściu filtru przybierze obecnie postać

d

TV

i

DNo 22

4222

1(

sin

22

1

eeee ii

1321332

1 22

(6.127)

Funkcja ta osiąga minimum dla wartości i równej

ee

eeopti

132

13 (6.128)

Kojarząc zespół równań (6.123), (6.127) i (6.128) otrzymujemy wyrażenie na SNR w funkcji parametru

eeee

e

C

QSNR i

13132

1 (6.129)

by następnie wyznaczyć wartość opt zapewniającą osiągnięcie maksymalnej (optymalnej) wartości SNR = SNRopt. Uzyskane na drodze procedury obliczenio-wej rezultaty zestawiono poniżej

0 opt

0i

C

QSNR i

opt 930.0 (6.130)

cD TT 414.12

0max0 V

Z oczywistych względów realizacja filtru o powyższych własnościach nie ma sensu! Krytycznymi parametrami okazują się: stała czasowa integratora oraz napięcie szczytowe impulsu wyjściowego. W praktyce projektowania filtru w roz-ważanej konfiguracji zakłada się więc a’priori skończoną, możliwie dużą wartośći, dbając zarazem o to, by Vo max było dostatecznie duże w stosunku do poziomu szumów własnych kolejnego stopnia toru spektrometrycznego.

155

Dla porównania skutków odstępstwa od warunków „optymalnych” (6.130) przytoczymy analogiczny zespół danych odpowiadających wartości = 1.

Tak więc dla 1zal otrzymujemy

C

QV i

makso 166.0

ci T225.2

C

QSNR i731.0 (6.131)

cD TT 112.1 Zespół wyprowadzonych wyżej zależności (6.126) (6.131) pozwala łatwo wyznaczyć wartość stosunku nachylenia do szumu (SLNR).Wystarczy bowiem do formuły definicyjnej, którą przywołujemy w postaci (6.132)

2no

t

o

V

dt

dV

SLNR Z (6.132)

podstawić wprost wyprowadzoną wyżej zależność (6.126) oraz dyspersję szumów wyjściowych, wyrażoną stosunkiem amplitudy impulsu Vo max do jego SNR

SNR

VV

ono

max2 (6.133)

W rezultacie otrzymujemy

3)(708.02

C

QSLNR i

RCDL (6.134)

oraz

708.0*

)( 2 RCDL (6.135)

6.7. Skutki odstępstw od założeń idealizujących

U podstaw wszystkich dotychczasowych analiz teoretycznych kładliśmy założenia upraszczające. W sposób jawny były one sformułowane w odniesieniu do formy sygnału wejściowego oraz widma towarzyszących szumów, a także cha-

156

rakteru impedancji wejściowej układu. Uzupełniało je „ciche” założenie dotyczące poziomu sygnału wejściowego, wykluczające przesterowanie wzmacniacza. Dodaj-my jeszcze, że świadomie zaniedbaliśmy efekt spiętrzania impulsów, dokonując obliczeń w przybliżeniu pojedynczego (samotnego) impulsu sygnałowego.

W rzeczywistości widmo szumów odbiega znacznie od założonego (6.1)i w przypadku przesunięcia okna częstotliwościowego filtru w stronę niższych częstotliwości konieczne jest uwzględnienie szumu nadmiarowego (typu 1/f). Wnosi on do wariancji szumów wejściowych wkład niezależny od wartości stałej czasowej filtru. Wykażemy to na najprostszym przykładzie filtru CR-RC o prze-pustowości widmowej danej formułą (6.9).

Rozkład widmowy szumów wejściowych zapiszemy obecnie w formie

222

2

22FNi A

fdf

dV

(6.136)

gdzie AF jest współczynnikiem szumów nadmiarowych.

Scałkowanie iloczynu (6.136) i (6.9) w granicach od 0 do daje w wyniku szukaną wariancję szumów wyjściowych. Opisuje ją wyrażenie

f

AV F

No

88

222 (6.137)

ukazujące jasno niewrażliwość szumu nadmiarowego na wartość stałej czasowej filtru.

Wkład szumu 1/f do wariancji szumów wyjściowych określa parametr AF

oraz współczynnik wagi (w zależności (6.136) równy 0.5) zależny od rodzaju fil-tru [7].

Z drugiej strony sygnał wejściowy Vi(t) nie jest impulsem heaviside’owskim. Wykazuje on skończony czas narastania tn uwarunkowany długotrwałością procesu zbierania ładunku w detektorze, oraz eksponencjalny zanik ze stałą cza-sową s.

Skończony czas narastania sygnału (tj. tn>0) jest powodem degradacji war-tości maksymalnej odpowiedzi (tj. Vo max) w stopniu zależnym od rodzaju filtru. W prostym związku ulega zatem redukcji wartość stosunku sygnału do szumu SNRopt. Ustalenie ilościowych zależności wymaga skonkretyzowania analitycznego opisu sygnału wejściowego i wiąże się w konsekwencji z pewnymi trudnościami natury formalnej.

157

Dla ich złagodzenia często stosowana jest aproksymacja czoła impulsu prze-biegiem liniowym. Dopuszczając wspomniany wyżej zanik impulsu ze stałą cza-sową s otrzymamy w tym przypadku wyrażenie na Vi(t) w postaci

nn

n

tt

n

ii ttH

t

ttetH

t

t

C

QtV s

n

(1)()( (6.138)

Odpowiedź najprostszej nawet konfiguracji filtru pasywnego CR-RC na tego rodzaju wymuszenie przyjmuje już bardziej złożoną formę.

)()(

1)( tHab

eaeb

a

dtV

btat

o

)()()(

)()()()(

)()((

accbba

ebaceacbeabattH

nnn ttcttbtta

n (6.139)

)(1

)(

)()()()(

ab

eaeb

a

d

ab

ee nnnn ttbttattbtta

gdzie dla wygody przyjęto następujące oznaczenia

d

a

1

; i

b

1

; s

c

1

; nt

d1

(6.140)

Nietrudno się przekonać iż na drodze czysto analitycznej nie można wyznaczyć ogólnej formuły opisującej Vo max. Względnie łatwo daje się to osiągnąć rezygnując z uwzględnienia eksponencjalnego zaniku impulsu, co jest równo-znaczne z zadaniem zerowej wartości parametru c (c = 0). W tak zmodyfikowanej sytuacji amplitudę odpowiedzi określa zależność

C

Q

e

e

V io

1

1

1

*max

1

1

(6.141)

gdzie i

nt

oraz (jak poprzednio)

i

d

.

158

Dla dowolnej, niezerowej wartości parametru amplituda impulsu wyjś-

ciowego *maxoV według formuły (6.141) jest mniejsza od amplitudy Vo max określonej

wzorem (6.8), właściwym dla wymuszenia skokowego (tj. przy tn = 0). Oznacza to, że skończony czas narastania sygnału wejściowego jest przyczyną degradacji wartości maksymalnej odpowiedzi.

Za miarę tej degradacji przyjęto względną różnicę amplitud określaną mianem WZGLĘDNY DEFICYT BALISTYCZNY () [8]

max

maxmax

o

oodef

V

VV (6.142)

Podstawienie do powyższej zależności definicyjnej wyrażeń (6.8) i (6.141) prowa-dzi do zależności

1

1

1

1

1

11

1

e

e (6.143)

W przypadku gdy = 1 formuła powyższa sprowadza się do wręcz trywialnie prostej, choć obarczonej pewnym błędem aproksymacji, postaci [8]

24

2 (6.144)

Graficzne odwzorowanie zależności (6.143), w tym również (6.144) podaje rysunek 6.13.

W przypadku bardziej złożonych struktur komplikują się oczywiście również procedury obliczeniowe, wymagając na ogół korzystania z metod numerycznych. Rysunek 6.14 ilustruje rezultaty takich obliczeń przeprowadzonych przy założeniu =1. Do problemu skończonego czasu narastania impulsu wejściowego nawiążemy jeszcze później w rozdziale traktującym o filtrach niestacjonarnych.

W analizie zmierzającej do wyznaczenia DEFICYTU BALISTYCZNEGO

przeprowadzonej na przykładzie filtrów CR-RC pominęliśmy ze względów for-malnych eksponencjalny zanik impulsu wejściowego. Przy dostatecznie dużych wartościach jego stałej czasowej s popełniany wskutek tego błąd pomiaru można było uznać za mało znaczący.

159

Rys. 6.13. Rodzina charakterystyk = f() filtru CR-RC dla różnych wartości parametru

0.1 1.0 10

16

12

8

4

0

[%]

4321 5

1 - = 0.52 - = 0.73 - = 1.04 - = 1.55 - = 2.0

Nie można jednak zaniedbać wpływu takiego przebiegu krawędzi opadającej impulsu wejściowego na CZAS POWROTU przy dużym przeciążeniu ampli-tudowym. Dla skrótowego naświetlenia tego problemu załóżmy, że sygnał wejś-ciowy zadany formułą

s

t

m eAtV

)( (6.145)

jest przyłożony na wejście filtru różniczkującego CR o stałej czasowej d = RC pomijalnie małej względem s.

160

Rys. 6.14. Przebiegi zależności = f() różnych konfiguracji biernych filtrów stacjonarnych przy = 1.

1 - (CR) - (RC) 2 - (CR) - (RC)2 3 - (CR)2 - (RC) 4 - (DL) - (RC)2

5 - (DL)2 - (RC)

0.1 1.0 10

[ ]

0

2

4

6

8

10

12

5

1 2 3

6 4

Na wyjściu powyższego filtru otrzymujemy w odpowiedzi sygnał opisany równaniem

s

t

eRC

RCe

RCAtV

s

RC

t

s

sm

do )( (6.146)

które przy uwzględnieniu postawionego założenia, że RC << s sprowadza się do uproszczonej postaci przybliżonej

s

t

s

RC

t

md

o eRC

eAtV 1)( (6.147)

Wyrażenie w nawiasie można traktować, na miarę założenia o małości stałej czasowej RC, jako oddzielne przebiegi sygnału podstawowego o amplitudzie Am

oraz przerzutu o amplitudzie (RC/s) – razy mniejszej. W typowych, rzeczywistych warunkach pomiaru spektrometrycznego, gdy źródłem sygnału dla wzmacniacza kształtującego (głównego) jest przedwzmacniacz ładunkowy, stała czasowa s

przybiera wartości w przedziale od 50 s do 100 s, zaś optymalna wartość stałej czasowej filtru mieści się w zakresie od 1 s do 2 s. Amplituda przerzutu kształtuje się wówczas na poziomie około 2 % amplitudy sygnału podstawowego, o ile oczywiście zachowane są warunki liniowej pracy wzmacniacza. Skrajnym wyrazem naruszenia wymogu liniowości wzmacniacza jest wprowadzenie do-wolnej jego sekcji w stan nasycenia. Przy względnie niewielkich przesterowaniach osiągnięcie takiego stanu zachodzi wyłącznie w obrębie podstawowej części impulsu, natomiast przy dużych przeciążeniach amplitudowych manifestuje się również w obszarze przerzutu.

Zgodnie z brzmieniem formuły (6.147) szybkość powrotu do stanu spo-czynkowego zależy od wartości stałych czasowych s i d. Według tego samego prawa zachodzi restytucja stanu aktywnego dalszych stopni, które w przypadku głębokiego przeciążenia amplitudowego zostały działaniem sygnału wejściowego wprowadzone w nasycenie. Szczególnie dotkliwe okazują się skutki przekroczenia poziomu nasycenia przez przerzut ze względu na jego długi czas zaniku. Sytuację tego rodzaju ilustruje rysunek 6.15.

Skutecznym środkiem zaradczym, redukującym rozciągłość czasową za-istniałego przerzutu do wartości równej czasowi trwania poprzedzającej go części podstawowej sygnału wyjściowego filtru jest dodanie drugiego, identycznego stopnia różniczkującego. Pojawia się wprawdzie wtedy – po radykalnie skróconym przerzucie ujemnym – przerzut dodatni zanikający ze stałą czasową s, jednak jego amplituda osiąga wartość znikomo małą. Jeśli założyć, że stopień separujący obydwa czwórniki różniczkujące nie wzmacnia przenoszonego sygnału, wówczas

161

wartość szczytowa overshoot’u (przerzutu dodatniego) wyniesie w przybliżeniu 2)(

s

RCmA .

Dla przyjętych uprzednio typowych wartości stałych czasowych stanowi to około 0.04% amplitudy impulsu wejściowego Am, co oznacza 200-krotne zwię-kszenie odporności układu na przeciążenie w porównaniu z układem zawierającym jeden tylko czwórnik różniczkujący.

Rozwinięciem powyższej techniki, zapewniającej wzrost odporności na prze-ciążenie amplitudowe o jeden do dwóch rzędów wielkości, jest zaproponowany przez Fairsteina [9] układ filtru z trzykrotnym różniczkowaniem. Zawiera on trzy identyczne sekcje różniczkujące CR oraz alternatywnie: dolnoprzepustowy filtr aktywny w wersji wzmacniacza operacyjnego z pętlą typu „T- zmostkowane” w gałęzi sprzężenia zwrotnego, względnie prosty czwórnik całkujący RC.

Filtr taki w odpowiedzi na sygnał wejściowy o zaniku eksponencjalnym (Long Tail Pulse) daje sygnał wyjściowy mający po swej podstawowej części (Primary Pulse) trzy kolejne przerzuty – pierwszy przerzut ujemny (Primary Undershoot}, przerzut dodatni (Overshoot) i drugi przerzut ujemny (Secondary Undershoot). Przy testowaniu układu sygnałem skokowym zanika drugi przerzut ujemny.

Przypadek taki, w wersji układowej (CR)3-(RC) ilustruje rysunek 6.16. Jeśli spełniony jest warunek RC << s wówczas amplituda drugiego przerzutu ujemnego staje się pomijalnie mała. Dla przyjętych przykładowo wartości RC i s

wynosi ona w przybliżeniu mRC

m AAs

%0008.0)( 3 . Uwypuklona zostaje natomiast

amplituda pierwszego przerzutu ujemnego do poziomu przewyższającego o około 20 % amplitudę podstawowej części odpowiedzi. Zauważmy, że w sytuacji gdy „PRIMARY PULSE” ze względu na obecność silnego przerzutu dodatniego nie może być przedmiotem analizy amplitudowej, analizie takiej poddaje się pierwszy

162

Rys. 6.15. Ilustracja skutków przeciążenia amplitudowego w układzie filtr CR - wzmacniacz liniowy

s

t

e

Vi

t

s

t

e

nasycenie

Vo

tC

RWE WY

s >> RC

przerzut ujemny, praktycznie nie obciążony efektem nieoznaczoności pomiaru. Dzięki temu uzyskuje się nadto znaczne poszerzenie możliwości organizacji systemu pomiarowego. Wynika ono z faktu istnienia dwóch punktów przejścia przez zero obu krawędzi, wiodącej i opadającej, pierwszego przerzutu ujemnego.

Nietrudno wykazać, że interwały czasowe dzielące te punkty od fizycznego początku sygnału są niezależne od amplitudy sygnału wejściowego. Stąd więc momenty przejścia przez zero determinują jednoznacznie współrzędną czasową początku analizowanego sygnału. Dodajmy, że dają się one względnie łatwo wy-krywać instrumentalnie, przy czym w rezultacie tego rodzaju działań pomiarowych uzyskuje się parę impulsów standardowych o krawędziach czołowych „przywią-zanych” do przynależnych im punktów przecięcia linii zerowej. Wygenerowane w ten sposób impulsy umożliwiają względnie ułatwiają realizacje złożonych systemów pomiarów koincydencyjnych oraz analizy amplitudowej i czasowej impulsów.

Powróćmy jeszcze do ogólnej koncepcji omówionych skrótowo sposobów zwiększania odporności na przeciążenie amplitudowe. Otóż polega ona na „przenoszeniu” stałej czasowej opadania sygnału wejściowego na ostatni, n-ty przerzut odpowiedzi, którego amplituda względna jest redukowana z krotnością

nSRC )/( . Sprowadzenie amplitudy ostatniego przerzutu do poziomu zaniedby-

walnego wymaga zastosowania odpowiednio dużej liczby sekcji różniczkujących.

Techniki powyższe można zatem nazywać TECHNIKAMI WYTŁUMIANIA wolnogasnącej składowej sygnału wyjściowego. Wielce konkurencyjną alterna-tywą jest dla nich technika pozwalająca całkowicie wyeliminować składową o dłu-gim czasie zaniku, zwana techniką WYMIANY BIEGUNÓW lub techniką

163

Rys. 6.16. Odpowiedź filtru (CR)3-(RC) na wymuszenie skokowe

0.2

0.1

0.0

- 0.1

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10 12 14

RC

t

Vo

KOMPENSACJI BIEGUN-ZERO (Pole Zero Cancellation), oznaczaną skrótowo akronimami PZC lub PZ [10].

6.8. Układ wymiany biegunów

Załóżmy, że dany jest sygnał wejściowy o zaniku eksponencjalnym ze stałą czasową s. Przyjmijmy też dla wygody iż jego amplituda Am = 1. W reprezentacji operatorowej opisuje go funkcja

as

sVi

1)( (6.148)

posiadająca jeden biegun ujemny, równy s = - a, przy czym sa /1 .

Stawiamy z kolei zadanie wyznaczenia transmitancji oraz struktury czwórnika kształtującego RC, które umożliwiłyby przekształcenie sygnału wejściowego Vi(t) w przebieg podobny (tzn. również o zaniku wykładniczym) lecz o zredukowanej stałej czasowej o < s. Oznacza to, że żądamy aby funkcja operatorowa sygnału wyjściowego miała postać

bs

sVo

1)( (6.149)

przy czym ob /1 .

Zadaniem czwórnika kształtującego jest więc „wymiana” bieguna si = - a na biegun so = - b. Wyrażenia (6.148) i (6.149) definiują transmitancję pożądanego czwórnika kształtującego

bs

as

sV

sVsF

i

odef

)(

)()( (6.150)

Będzie to zmodyfikowany układ różniczkujący o strukturze podanej na ry-sunku 6.17

164

R1

R2

CV

i (t) V

o (t)

Rys. 6.17. Schemat zmodyfikowanego układu różniczkującego

W terminach elementów składowych tej konfiguracji: R1, R2 i C transmitan-cja jej opisana jest równaniem

CRRs

RCs

sCR

RsF

)(

1

1

1)(

212

2

(6.151)

przy czym 21

2121 )(

RR

RRRR

oznaczać będziemy dalej przez Rw.

Przyrównując wyrażenia (6.150) i (6.151) otrzymujemy parę tożsamości

s = R1C

o = RwC (6.152)

które dają się spełnić równocześnie tylko pod warunkiem s > o, co ma w istocie miejsce w rozważanym przypadku.

Prosty układ PZC okazuje się nieco kłopotliwy w praktyce, gdy zachodzi potrzeba dopasowania go do innej niż znamionowa wartość s, przy zachowaniu niezmienionej wartości o. Ze względu na wzajemne powiązanie wielkości R1 i Rw

niezbędne jest wówczas dokonywanie równoczesnej zmiany obu rezystancji składowych R1 i R2.

Wolnym od powyższej niedogodności jest ulepszony układ PZC z ciągłą regulacją zera jego operatorowej funkcji przenoszenia, którego konfigurację oraz schemat zastępczy przedstawia rysunek 6.18.

Dla powyższego układu zastępczego możemy napisać zespół równań

sC

sisVsV oi

1)()()( 1

12 )()()( RsisVsVk oi (6.153)

221 )]()([)( RsisisVo

165

Vo

Vi

R1

R2

C

k V

i

C

R1

R2

kVi

Vo

Rys. 6.18. Konfiguracja i schemat zastępczy układu PZC z ciągłą regulacją s

którego rozwiązanie prowadzi do wyrażenia na transmitancję F(s) w postaci

CRR

RRs

CR

ks

sF

21

21

1)(

(6.154)

dla współczynników podziału (attenuacji) potencjometru zawartych w przedziale 0 k 1.

Ulepszona wersja układu PZC znalazła zastosowanie w wielu realizacjach fa-brycznych, jak na przykład: RESEARCH AMPLIFIER Mod. 450 f-my ORTEC [11] , LINEAR AMPLIFIER Mod. TC 220 f-my TENNELEC [12], czy też wzmacniacze produkcji krajowej – WZMACNIACZ LINEARNY WL-42 oraz WZMACNIACZz FILTRAMI AKTYWNYMI typ 1101 [13],[14].

Literatura

[1] V. Radeka, N. Karlovač.: Least-square-error amplitude measurement of pulse signals in presence of noise. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 52. 86, 1967

[2] E. Fairstein, J. Hahn.: Nuclear pulse amplifiers – Fundamentals and design practice. Nucleonics, Vo. 24, No.7; Vol 24, No. 9, 1965

[3] V. Radeka.: Optimum signal-processing for pulse-amplitude spectrometry in the presence of high-rate effects of noise. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-15, No.3, 1968

[4] F. Leja.: Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN, Warszawa 1949

[5] E. Fairstein.: Electrometers and amplifiers. Rozdz. 4 w Nuclear Instruments and their Uses. Vol. 1, Edit. A. H. Snell

[6] K. Korbel.: Elektronika Jądrowa. Cz. III. Układy i systemy elektroniki jąd- rowej. Skrypty Uczelniane Nr. 1078, AGH, Kraków, 1987

[7] J. J. Samueli, J. Pigneret, A. Sarazin.:Instrumentation electronique en physique nucleaire. Masson et Cie Editeurs, Paris, 1968 w przekładzie polskim: Elektroniczne metody pomiarowe w technice jądrowej.PTJ, Seria Aparatura i Technika Pomiarowa, Nr. 58, 451, 1970

166

[8] E. Baldinger, W. Franzen.: Amplitude and time measurement in nuclear physics. w Advances in electronics and electron physics. Vol. VIII, Acad. Press Inc., Publ. New York, 1956 [9] E. Fairstein.: Pulse shaping by triple differentiation in nuclear pulse ampli- fiers. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-13, 1965

[10] C. H. Nowlin, J. L. Blankenship.: Elimination of undesirable undershoot in the operation and testing of nuclear pulse amplifiers. Rev. Sci. Instr., Vol. 36, No. 12, 1965

[11] Model 450 Research Amplifier, Operating and Service Manual. Ortec Incorporated 1969

[12] Instruction Manual TC 220 Linear Amplifier. Tennelec, Oak Ridge, 1967

[13] Instrukcja obsługi - Active Filter Amplifier 1101., ZZUJ POLON, Warszawa 1976

[14] Instrukcja obsługi – Wzmacniacz linearny WL-41. ZZUJ POLON, Warszawa, 1973

167

168

7. Filtry aktywne RC

Filtrem aktywnym nazywamy czwórnik zawierający w sieci elementów pa-sywnych RC liniowe elementy aktywne (wzmacniacze). Według kryteriów ogól-nej klasyfikacji filtry aktywne RC zaliczyć należy do kategorii STEROWANYCH

CZWÓRNIKÓW NIEWŁAŚCIWYCH z dodatkowym uwarunkowaniem wykluczającym indukcyjności z zespołu elementów reaktancyjnych [1].

Zadaniem filtru aktywnego, podobnie zresztą jak pasywnego, jest uformo-wanie pasma przenoszenia toru pomiarowego stosownie do stawianych wymagań. Dalszą dyskusję w tym przedmiocie zawęzimy do specyficznych wymagań optymalizacji stosunku sygnału do szumu w systemach spektrometrii amplitu-dowej. W szczególności wymagania te znalazły odzwierciedlenie w koncepcji FILTRU QUASI-GAUSSOWSKIEGO. Filtr tego rodzaju w realizacji na elementach pasywnych RC zawierał pojedynczy stopień różniczkujący (górnoprzepustowy) oraz kaskadę n stopni całkujących (dolnoprzepustowych). Jego transmitancję opi-saną równaniem (6.67) wyrazimy obecnie w formie

)()(

)( 0

dn

i as

s

as

FsF

(7.1)

z wyodrębnionymi transmitancjami sekcji dolno- i górno-przepustowej. Uprzednio sygnalizowano niedogodności z jakimi należy się liczyć przy realizacji technicznej filtru wyższego rzędu wyłącznie na elementach pasywnych, wskazując zarazem na możliwość ich złagodzenia przez zastosowanie filtrów aktywnych. Możliwość ta jest powszechnie wykorzystywana w układach filtracji współczesnych, zaawan-sowanych rozwiązań wzmacniaczy kształtujących.

W interesującej nas klasie filtrów dolnoprzepustowych jako najczęściej stosowane w realizacjach fabrycznych należy wymienić [2]

filtry z dodatnim sprzężeniem zwrotnym, filtry z wielokrotnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym, oraz filtry z pojedynczym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Wykonywane są one niemal z reguły w wersji filtrów drugiego rzędu, które stanowią podstawowe sekcje składowe filtrów wyższych rzędów.

169

7.1. Układ z dodatnim sprzężeniem zwrotnym

Konfigurację tego rodzaju filtru (dolnoprzepustowy filtr drugiego rzędu Sallena-Key’a) przedstawiono na rysunku 7.1.

Równania wyjściowe dla wyznaczenia transmitancji filtru, przy zachowaniu oznaczeń przyjętych na schemacie, przybierają postać

1

21 1

)()()()()()(

sC

sVsV

R

sVsV

R

sVsV oxyxxi

(7.2)

221

1)()(

RsCsVsV xy

oraz )()( sVKsV yVo

W wyniku prostych działań algebraicznych otrzymujemy

1)1()()(

112122

2121

sKCRRRCsCCRR

KsF

V

V (7.3)

Wyrażenie powyższe ulega istotnemu uproszczeniu w przypadku gdy KV = 1. Wówczas

)(

1

1)(

1)(

2122

2122 sDsRRCsCCRRsF

(7.4)

Własności rozważanego filtru są więc jednoznacznie określone wartościami czysto rzeczywistych współczynników wielomianu D(s) mianownika funkcji transmitancji. W konsekwencji własności filtru odwzorowuje rozkład biegunów funkcji F(s) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. W danym przypadku występuje para biegunów (7.5)

170

Rys. 7.1. Schemat dolnoprzepustowego filtru aktywnego drugiego rzędu w układzie z dodatnim sprzężeniem zwrotnym

Vo

Ri

Vi

R 2

1

Vy

Vx

Ci

C2

1

)(

41

2 2212

211

211

212,1

RRC

RRCj

RRC

RRs (7.5)

zaś o ich charakterze (rzeczywiste, zespolone – sprzężone) decydują konkretne re-lacje między wartościami zastosowanych elementów biernych.

Częściej dla opisu własności filtru korzysta się ze znormalizowanej trans-mitancji, którą dla omawianego filtru przedstawia równanie

1

2

1)(

2

2022

2

0

nn

nb

n

ssF

sQ

sFsF

(7.6)

gdzie n jest pulsacją charakterystyczną bieguna funkcji F(s), zaś Q – dobrocią bieguna, będącą miarą selektywności filtru w okolicy pulsacji .

Dla konfiguracji z rysunku 7.1 możemy napisać

21212111

2

2121

111

1

)(

CCRRs

RCRCs

CCRRsF

(7.7)

skąd

1, 02

1

2121 FCCRRn

oraz (7.8)

2

1

2212

211

)(

RRC

RRCQ

Czasem zamiast wielkości Q stosowane jest pojęcie względnego współczyn-nika tłumienia, oznaczanego umownie symbolem . Jest on związany z dobrocią Q prostą relacją )2/(1 Q .Wprowadźmy ten parametr do równania (6.6) i prze-kształćmy je do postaci typu

220)(

1)(

basfsf

(7.9)

której oryginał w domenie czasu wynosi

)sin(1

)( 0 btate

bftf (7.10)

171

Dokonując działań według tej procedury otrzymujemy

)1()(

1)(

2222

nnn

ssF (7.11)

a z kolei

tetF n

tnn 2

21sin

1)( (7.12)

Funkcja F(t) opisuje przebieg odpowiedzi filtru na wymuszenie dirakowskie, reprezentuje więc charakterystykę impulsową filtru. Będzie ona dla nas użyteczna przy wyznaczaniu przebiegu sygnału wyjściowego UKŁADU FILTRU (obejmu-jącego obok omawianej sekcji dolnoprzepustowej również sekcję górnoprze-pustową) przy wymuszeniu wejściowym sygnałem skokowym.

Jak wiadomo, postać operatorowa funkcji przenoszenia filtru ma swój odpo-wiednik w domenie częstotliwości w formie zespolonej przepustowości widmowej F(j), z której wywodzą się dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych: amplitudowa F() i fazowa (). Wyrażając je w terminach parametrów n i otrzymamy odpowiednio

2

12

2

4

42224

2

124)24(

)(

nnnn

nF (7.13)

oraz 2

1

2

)(

n

ntgarc (7.14)

Odnotujmy wreszcie wyrażenie podające związek między pulsacją bieguna n, a 3 dB pulsacją graniczną filtru g.

442 44221 ng (7.15)

Konfiguracja z dodatnim sprzężeniem zwrotnym została wykorzystana w nie-których rozwiązaniach fabrycznych. Dla przykładu omówimy dwie realizacje:

WZMACNIACZ Z FILTRAMI AKTYWNYMI – Typ 1101 [3], SPECTROSCOPY AMPLIFIER – Model 2020 [4].

172

Na rysunku 7.2 przedstawiono uproszczony (z pominięciem m.i. zespołu przełączanych kondensatorów C1 i C2) schemat ideowy filtru całkującego, pierw-szego z wymienionych wyżej wzmacniaczy. Funkcję podukładu aktywnego pełni w nim wtórnik emiterowy (T1) obciążony źródłem prądowym (T2).

W porównaniu z konfiguracją podaną na rysunku 7.1 filtr ten zawiera dodat-kową rezystancję R3 wtrąconą w gałąź pojemności C2. Chwilowo zaniedbamy obecność tej rezystancji, by skorzystać bez żadnych zmian z wyprowadzonych poprzednio zależności ogólnych. Własności rozpatrywanego filtru, obciążone po-czynionym założeniem (R3 = 0), określone są przez wartości składowych ele-mentów pasywnych oraz ich wzajemne relacje. W szczególności obowiązują tu związki

R1 = R2 = R ; C1=C; 42

CC (7.16)

W rezultacie ich podstawienia do formuł (7.7), (7.5), (7.8) i (7.12) otrzymujemy

22

2

)/2()/2(

)/2()(

RCsRCs

RCsFi

(7.17)

311

2,1 jRC

s (7.18)

)/2( RCn (7.19)

1Q (7.20)

5.0 (7.21)

t

RCe

RCth RC

t3

sin3

4)( (7.22)

173

Rys. 7.2. Schemat całkującego filtru aktywnego wzmacniacza 1101

WY

Ri

T

2

R 2

WET

1

Ci

C2

R3

(indeks „i” wprowadzono dla oznaczenia rodzaju filtru – integrator)

Uwzględnienie skończonej wartości rezystancji R, wynoszącej w omawianej konfiguracji R3 = 0.1 R, modyfikuje funkcję transmitancji filtru do postaci

22 )/2()/1.2(

)/40(

10

1)(

RCsRCs

RCs

RCsFi

(7.23)

Istotnym skutkiem wprowadzenia rezystancji R3 jest pojawienie się rzeczywis-tego zera o wartości

RC

z40

(7.24)

W konsekwencji, przy zachowaniu niezmienionej wartości częstotliwości charakterystycznej n, pewnej minimalnej zmianie uległa wartość dobroci Q, a za-tem i względnego współczynnika tłumienia . Tak więc

)/2( RCn (7.25)

952.0Q (7.26)

525.0 (7.27)

Również niewielkiej translacji na płaszczyźnie zmiennej zespolonej doznała para biegunów sprzężonych, oddalając się nieznacznie od osi urojonej i zbliżając nieco do osi rzeczywistej. Na rysunku 7.3 pokazano położenia biegunów obu dys-kutowanych struktur.

W dalszej dyskusji, mającej na celu wyznaczenie wartości stosunku sygnału do szumu oraz czasu rozdzielczego filtru, posłużymy się zależnościami wy-prowadzonymi przy założeniu R3 = 0. W ten sposób, mieszcząc się dobrze w gra-nicach dopuszczalności aproksymacji, osiągniemy znaczne uproszczenie działań

174

Rys. 7.3. Położenia par biegunów sprzężonych na płaszczyźnie zmiennej zespolonej dla przypadku R

3 = 0 oraz R

3 = 0.1 R

Im

Re

1.73/RC1.61/RC

-1.61/RC-1.73/RC

-2/RC -1/RC

-1.05/RC

-40/RC

matematycznych oraz większą ich przejrzystość. Charakterystykę amplitudową tego filtru opisuje równanie.

2

124 1)(25.0)(0625.0)(

RCRCF (7.28)

Przedstawiono ją na rysunku 7.4 w funkcji bezwymiarowego parametru (RC)

Omówiony wyżej filtr aktywny wzmacniacza typu 1101 ogranicza jego pasmo przenoszenia od strony wyższych częstotliwości, dając w tym obszarze (powyżej górnej częstotliwości granicznej) spadek wzmocnienia równy 12 dB/oktawę. Dopełnieniem układu filtrującego tego wzmacniacza jest górnoprzepustowy filtr aktywny CR pierwszego rzędu w konfiguracji PZC, ograniczający pasmo prze-noszenia po stronie częstotliwości niskich.

Odwołując się z kolei do definicji stosunku sygnału do szumu

2

max

No

o

V

VSNR (7.29)

wyznaczymy kolejno obydwa czynniki powyższego wyrażenia dla kaskady obu filtrów składowych, przyjmując przebieg sygnału wejściowego Vi(t) oraz rozkładu widmowego szumu Wn() odpowiednio według formuł (6.2) i (6.1) Skokowy przebieg wymuszenia o amplitudzie CQi / , po zróżniczkowaniu w obwodzie RC, daje sygnał wejściowy dla całkującego filtru aktywnego. Oznaczmy go symbolem VF (t).

dRC

t

iF e

C

QtV )()(

(7.30)

175

Rys. 7.4. Charakterystyka amplitudowa dolnoprzepustowego filtru aktywnego wzmacniacza 1101 [wg. formuły (7.28)].

0.001 0.01 0.1 1.0 10

0.0

-10

-20

[dB]

RC

5

gdzie (RC)d = d oznacza stałą czasową stopnia różniczkującego.

Znając wcześniej wyznaczoną charakterystykę impulsową całkującego filtru aktywnego hi(t) (7.22), dalszy tok obliczeń przeprowadzimy w dziedzinie czasu. W takim ujęciu sygnał wyjściowy filtru jest opisany splotem

)()()( thtVtV iFo (7.31)

Jeśli założyć równość stałych czasowych: różniczkowania d i całkowania i

oraz oznaczyć je wspólnym symbolem , wówczas otrzymamy

tt

io dee

C

QtV

0

3sin

3

4)(

te

C

Qt

i 3cos1

3

4 (7.32)

Funkcja powyższa osiąga maksimum dla t = tmax spełniającego warunek

013

sin33

cos

tt (7.33)

czyli dla

21.133

2maxt (7.34)

Podstawienie (7.34) do (7.32) daje wartość maksymalną Vomax

C

QV i

o 5968.0max (7.35)

Obliczenie wariancji szumów przeprowadzimy również w dziedzinie czasu, posługując się formułą wyprowadzoną przez Wilsona [5] na gruncie drugiego twierdzenia Campbella-Francisa1) o wariancji [6]. W reprezentacji napięciowej przybiera ona postać

0

22

0

22

2 )(2

)(2

dttRdtthVNo 2) (7.36)

1) Dowód twierdzeń Campbella-Francisa podano w DODATKU E 2) Wyprowadzenie formuły (7.36) zamieszczono w DODATKU D

176

gdzie: h(t) – odpowiedź filtru na jednostkowe wymuszenie dirakowskie (tj. charak-terystyka impulsowa filtru), R(t) – odpowiedź filtru na jednostkowe wymuszenie heaviside’owskie (skokowe).

Funkcję R(t) otrzymujemy wprost z równania (7.32) kładąc w nim oczywisty warunek (Qi/C) = 1. Wobec tego

tetR

t3

cos13

4)( (7.37)

oraz

1

3sin3

3cos

3

4)()( tte

dt

tRdth

t

(7.38)

W rezultacie podstawienia powyższych wyrażeń do równania (7.36) oraz wykonania całkowań otrzymujemy

2

22 214286.0285714.0NoV (7.39)

Wariancja szumów osiąga wartość minimalną dla = opt określonego warunkiem zerowania pierwszej pochodnej funkcji (7.39) względem .

copt T1547.11547.1214286.0

285714.02

2

(7.40)

Wynosi ona

49487.02NoV (7.41)

wobec czego

70346.0min2

NormsNo VV (7.42)

Szukana wartość optymalnego stosunku sygnału do szumu SNRopt jest więc równa

C

QSNR i

opt 84865.070346.0

596878.0 (7.43)

a względny stosunek sygnału do szumu

84865.0 (7.44)

Czas rozdzielczy filtru według definicji (7.29) wyrazi się związkiem

177

67504.1

596878.0

3cos1

3

4

0

C

Q

teC

Q

Ti

ti

R

(7.45)

W warunkach optymalnej filtracji (dla = opt) czas rozdzielczy wynosi

cR TT 9341.1 (7.46)

Jak już podkreślano, większą użyteczność praktyczną daje definicja czasu rozdzielczego według kryterium spadku poziomu sygnału do 1 % lub 0.1 % jego amplitudy. Dla kaskady filtrów aktywnych wzmacniacza 1101 ten sposób daje w wyniku:

Gdy R3=100 : 335.3%1dT i cd TT 9347.3%1.0

Gdy R3=0 : 925.5%1.0dT i cd TT 75.6%1.0 (7.47)

We wzmacniaczu spektrometrycznym CANBERRA Model 2020 w układzie dolnoprzepustowego filtru aktywnego zastosowano kaskadę dwóch konfiguracji z dodatnim sprzężeniem zwrotnym, realizując w ten sposób filtr czwartego rzędu. Obydwa subukłady składowe różnią się nieznacznie strukturalnie jak również war-tościami stosunków pojemności (C1/C2) . Na rysunku 7.5 przedstawiono schemat ideowy drugiego w sekwencji topologicznej filtru całkującego.

W obu integratorach zastosowano scalone wzmacniacze operacyjne w kon-figuracji wtórnikowej, przy czym pierwszy integrator wyposażono w dodatkowy wtórnik przeciwstanie symetryczny obsługujący wyłącznie pętle dodatniego sprzę-żenia zwrotnego. Decydujące o własnościach transmisyjnych filtru wartości jego elementów biernych ustalono według następujących relacji

178

R1 R

2

C1

C2

+-WE

WY

Rys. 7.5. Schemat struktury drugiego integratora wzmacniacza 2020

Pierwszy integrator Drugi integrator

R1 = R2 = R R1 = R2 = R

C1 = C C1 = C

C2 = 0.68 C C2 = 0.34 C

W rezultacie globalna transmitancja filtru aktywnego charakteryzuje się dwoma parami biegunów sprzężonych leżących na wspólnej prostej (rysunek 7.6).

39.111

2,1 jRC

s

(7.48)

68.011

4,3 jRC

s

Częstotliwości charakterystyczne oraz dobroci i względne współczynniki tłu-mienia obu integratorów przyjmują odpowiednio następujące wartości

RCn /715.11 RCn /213.1

2

606.01 Q 857.02 Q (7.49)

825.01 583.02

Rysunek 7.7 przedstawia znormalizowane przebiegi charakterystyk amplitu-dowych obu filtrów, oraz ich charakterystykę wypadkową.

179

Rys. 7.6. Położenia biegunów filtru aktywnego wzmacniacza CANBERRA 2020

Im

Re

1.39/RC

0.68/RC

-0.68/RC

-1.39/RC

-1/RC

Charakterystyki te opisane są odpowiednio równaniami

2

124

1 1)(218.0)(115.0)(

RCRCF

2

124

2 1)(489.0)(462.0)(

RCRCF (7.50)

Ich iloczyn opisuje wypadkową, sumaryczna charakterystykę (1+2) zespołu obu integratorów .

7.2. Układy z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

Spośród licznych układów tego rodzaju szczególnie dużą prostotą wyróżnia się struktura przedstawiona na rysunku 7.8 Przy założeniu, że kV >> 1 jej transmitancja przyjmuje postać ogólną

4354321

31

)()(

YYYYYYY

YYsF

(7.51)

180

0.001 0.01 0.1 1.0 10

0.0

- 10

- 20

- 30 RC

[dB]

(1) (2)

(1+2)

Rys. 7.7. Charakterystyki amplitudowe filtru aktywnego CANBERRA 2020

O własnościach filtru decyduje charakter admitancji składowych o równaniu (7.51) Nietrudno wykazać, że dla filtru dolnoprzepustowego admitancje Y1, Y3 oraz Y4 powinny być rzeczywiste, zaś admitancje Y2 i Y5 – pojemnościowe. Układ z ry-sunku 7.8 przekształca się wówczas do wersji szczególnej, podanej na rysunku 7.9.

W notacji przyjętej na rysunku transmitancja powyższego filtru wyraża się następująco

1323121221321

23

)()(

RRRRRRRCsCCRRRs

RsF

(7.52)

Sprowadzenie równania (7.52) do postaci (7.6) prowadzi do wyznaczenia cha-rakterystycznych parametrów filtru, a mianowicie

1

30 R

RF

2

1

2132 CCRRn

(7.53)

1

1

32

2

3

3

2

2

1

R

RR

R

R

R

R

C

CQ

181

Y4

Y1

Y2

Y3

Y5

-KV

Rys. 7.8. Schemat filtru drugiego rzędu z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Rys. 7.9. Schemat dolnoprzepustowego filtru drugiego rzędu z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

R1

C1

R2

R3

-KV

C2

Vi V

o

Ten popularny skądinąd układ filtru nie znalazł jednak zastosowania w zna-nych rozwiązaniach fabrycznych wzmacniaczy spektrometrycznych. Wykorzys-tano natomiast w tym celu inną wersję strukturalną typu „FLF” (Follow the Leader Feedback), implementowaną do wzmacniacza liniowego WL-41, wchodzą-cego w skład systemu aparatury jądrowej „STANDARD-70”. Uproszczony schemat ideowy tego filtru przedstawia rysunek 7.10 [7].

Analizę powyższego układu oraz pełnej struktury systemu filtracji wzmac-niacza WL-41 przeprowadzimy poniżej według tej samej procedury jaką posłu-żyliśmy się w przypadku wzmacniacza typu 1101. Zespół równań wyjściowych zapisanych zgodnie z oznaczeniami na rysunku 7.10

110 /1

)()()()()()(

sC

sVsV

R

sVsV

R

sVsV yxoxxi

)()(1

sVksV xVy

)()(2

sVksV zVo (7.54)

221

1)()(

RsCpVsV yz

daje przy założeniu wartości współczynników wzmocnienia napięciowego wzmac-niaczy

1Vk i 12 Vk (7.55)

ogólne wyrażenie opisujące transmitancję filtru

010121210

21)(

RRRCsCCRRRs

RsF

(7.56)

182

Rys. 7.10. Uproszczony schemat dolnoprzepustowego filtru aktywnego wzmacniacza WL-41

R0

C1

R1

R2

C2V

iV

o

+KV2

-KV1

Vx

Vy V

z

Proste przekształcenia prowadzą do bardziej dogodnej postaci

221122

2

2211

0

1

11

1

)(

CRCRCRss

CRCR

R

RsF

(7.57)

Dla skrócenia zapisu wprowadźmy oznaczenia stałych czasowych kładąc od-powiednio T1 = R1C1 oraz T2 = R2C2. Ostateczne ukształtowanie transmitancji zachodzi na drodze doboru relacji między obu stałymi czasowymi. W interesują-cym nas obecnie układzie filtru aktywnego wzmacniacza WL-41 przyjęto.

21 2TT (7.58)

uzyskując – jak się przekonamy – maksymalnie płaską charakterystykę ampli-tudową (Butterwortha) [8].Uwzględniając postawiony warunek (7.58) w równaniu (7.57) otrzymujemy

2

2

2

0

1

22

2

0

1

11

12

12

2

)(

sR

R

ssR

RsF (7.59)

Równanie powyższe stanowi podstawę dla wyznaczenia charakterystyk po-chodnych (impulsowej, amplitudowej, fazowej) oraz parametrów charakterys-tycznych filtru. Poniżej zestawimy tylko wyniki odpowiednich obliczeń i prze-kształceń pomijając właściwe im działania rachunkowe.

;2

n ;707.0

2

1Q 707.0

2

1

tt

R

Rthi sinexp

2)(

0

1 (7.60)

2

14 125.0)(

F

Zauważmy, że brak członów niższych potęg wielkości () sprawia iż prze-bieg charakterystyki amplitudowej jest maksymalnie płaski.

Odnosząc dalszą dyskusję do wymuszenia typu (6.2) i szumu (6.1) oraz obejmując nią cały układ filtracji (stopień różniczkujący CR i omówiony wyżej całkujący filtr aktywny) wyznaczymy stosunek sygnału do szumu oraz determi-

183

nujące go wielkości. Utrzymajmy nadal w mocy założenie o równości stałych czasowych stopnia różniczkującego i integratora. Wówczas szukane zależności będą następujące:

tt

R

RtR cos1exp

2)(

0

1 (7.61)

1cossinexp2

)(0

1 ttt

R

Rth (7.62)

cTtopt

283.12max

(7.63)

0

1

0

1max 416.0

2exp

2

R

R

C

Q

R

R

C

QV ii

o

(7.64)

2

22

0

12 3.02.0R

RVNo (7.65)

copt T816.03

2

(7.66)

2

0

12 244.0min R

RVNo (7.67)

;842.0

C

QSNR i

opt 842.0 (7.68)

cR TTopt

96.1404.2 (7.69)

cd TT 27028.4323.5%1 (7.70)

cTT 25517.4892.5%1.0 (7.71)

184

7.3. Układy z pojedynczym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

W tej kategorii filtrów aktywnych czołowe miejsce zajmują konfiguracji za-wierające w pętli sprzężenia zwrotnego układy typu „T zmostkowane”. One właś-nie zostały wykorzystane w złożonych strukturach filtracji wysokiej klasy wzmac-niaczy spektrometrycznych, jak np.: TENNELEC RC 22O BRL LINEAR AMPLIFIER [9] czy ORTEC 450 RESEARCH AMPLIFIER [10].

Dla ogólnego opisu takiej konfiguracji posłużymy się schematem podanym na rysunku 7.11, przedstawiającym konwencjonalny układ wzmacniacza operacyj-nego, pełniący funkcję filtru aktywnego RC.

Układ powyższy zawiera wzmacniacz odwracający o teoretycznie nieskoń-czenie wielkim wzmocnieniu napięciowym (KV ) oraz dwa subukłady RC: szeregowy NA na wejściu wzmacniacza i równoległy NB w gałęzi sprzężenia zwrotnego. Jego transmitancję napięciową wygodnie jest przedstawić w postaci [11].

)(

)()(

12

12

sy

sysF

B

A (7.72)

gdzie: y12A - transmitancja prądowo-napięciowa podukładu NA, y12 B - transmitancja prądowo-napięciowa podukładu NB.

W obu wymienionych przykładowo wzmacniaczach (TC220 oraz ORTEC 450) zastosowano podukłady NB o identycznej strukturze; różnią się one jedynie względ-nymi wartościami elementów pasywnych. Możemy zatem dokonać ogólnej analizy układu NB zorientowanej na wyznaczenie transmitancji prądowo-napięciowej y12 B, a uzyskany rezultat spożytkować w szczegółowej dyskusji obu filtrów. Z ogólnych własności wzmacniacza operacyjnego wynika, że w przypadku KV , dla dowolnych wartości sygnału na wyjściu Vo, w punkcie węzłowym „x”

185

Rys. 7.11. Schemat blokowy filtru aktywnego RC w konfiguracji z poje- dynczym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

N B

N A

-KV

Y12A

Y12B

zawsze Vx = 0 przy prądzie dopływającym do węzła I 0. Sytuację taką odzwier-ciedlono na schemacie subukładu NB (Rys. 7.12).

Zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na powyższym schemacie, dla założonych warunków możemy napisać zespół równań wyjściowych.

;01

1 oVsC

I ;012

2

4 RIsC

I ;21 III

;324 III 0232

4 oVRIsC

I (7.73)

Daje on w wyniku

21212

21121212 1)(

)( RRRRCs

RRCsCCRRs

sV

I

o

(7.74)

Wyrażenie (7.74) z definicji określa transmitancję prądowo-napięciową y12 B

rozważanego układu. Zapiszmy go w postaci

21211222

2

212

21

112 111

1

)(

1

CCRRRCRCss

RRC

RRs

Csy B

(7.75)

W układzie filtru aktywnego wzmacniacza TC 220 BLR subukład NA stanowi wyłącznie jeden rezystor szeregowy. Oznaczmy go symbolem R.

On więc określa wartość transmitancji prądowo-napięciowej tego subukładu, a mianowicie

186

Rys. 7.12. Schemat subukładu NB

typu T zmostkowane.

Vo

R1

C1

R2

-KV

C2

Vx = 0

I

I1

I2

I4

I3

( X )

R

y A

112 (7.76)

W stosunku do tej wartości ustalono wartości rezystorów subukładu NB według następujących proporcji

RR4

51 oraz RR

4

32 (7.77)

Nadto założono stosunek pojemności (C2 /C1) = 2 , co zapiszemy jako

CC 2 oraz 2/1 CC (7.78)

Iloczyn RC determinuje wartość stałej czasowej filtru .

Uwzględnienie zależności (7.75) do (7.78) w równaniu (7.72) prowadzi do formuły

22 1

15

321

15

32

15

322

)(

RCRCss

s

RCsF (7.79)

Stąd otrzymujemy

;20 F ;46.1

RCn 68.0Q

08.1106.1

2,1 jRC

s (7.80)

oraz

55.4)(0284.0)(

55.4)(2)(

24

2

F (7.81)

Powyższy zespół zależności opisuje własności impulsowe i częstotliwościowe drugiego w kolejności filtru aktywnego systemu filtracji rozważanego wzmacnia-cza TC 220 BLR.

Pierwszy filtr zawiera identyczny subukład NB w pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego, odmienny natomiast subukład wejściowy NA. Stanowi go mianowicie prosty, szeregowy dwójnik CR, którego transmitancja prądowo-napięciowa wynosi

RCs

s

Rsy A 1

1)(12

(7.82)

187

Transmitancja napięciowa całego układu, pierwszego filtru aktywnego jest więc równa

RCs

s

RCRCss

RCs

RCsF

11

`15

321

15

32

1

15

322

)(2

2 (7.83)

i jak łatwo zauważyć, odzwierciedla ona dwa procesy funkcjonalne, realizowane przez tę sekcję, tj. całkowanie i różniczkowanie sygnału. Wypadkowa transmitan-cja całego filtru (tj. obu jego sekcji łącznie) dana jest iloczynem funkcji (7.79)i (7.83). W wyrażeniu uzyskanym w wyniku przemnożenia transmitancji cząstko-wych można wyodrębnić człon różniczkujący i całkujący, przy czym ten drugi reprezentuje dolnoprzepustowy filtr aktywny rzędu czwartego.

W tym miejscu wypada wrócić do omówionych wcześniej układów filtrów aktywnych wzmacniaczy POLON 1101 i CANBERRA 2020. Otóż we wzmacnia-czach tych zastosowano również górnoprzepustowe filtry aktywne RC pierwszego rzędu z pojedynczą pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego. Pominięto wówczas świadomie ich analizę gdyż przedmiotem dyskusji była inna kategoria filtrów aktywnych.

Idealizując nieco układy rzeczywiste można założyć, że funkcję subukładu NB

pełni w nich wyłącznie rezystor RB, na ogół o innej wartości niż rezystor wcho-dzący w skład subukładu NA. Stąd, transmitancja prądowo-napięciowa y12 B będzie w tym przypadku równa odwrotności RB, co przy zachowaniu relacji (7.82) prowadzi do wyrażenia na transmitancję napięciową filtru różniczkującego Fd(s):

CR

s

s

R

RsF

A

A

Bd 1

)(

(7.84)

Układ różniczkujący w wersji filtru aktywnego kojarzony jest również z obwo-dem kompensacji biegun – zero (PZC). W wzmacniaczu POLON 1101 dokonano tego przez wprowadzenie dodatkowych elementów pasywnych do struktury subukładu NA, który przybiera postać podaną na rysunku 7.13.

188

Rys. 7.13. Schemat struktury subukładu NA aktywnego filtru różniczkującego

C

PR

1

R2

k

WE WY

Transmitancję prądowo-napięciową y12 A powyższego układu określa zależność

CRR

RRs

CR

ks

sy A

21

21

112 2

1)(

(7.85)

Jeśli z kolei założyć, że konstytuująca subukład NB rezystancja RB będzie równa wartości R2, wówczas funkcja transmitancji będzie tożsamościowo równa funkcji (6.151).

Przypomnijmy, że według koncepcji układu PZC biegun funkcji operatorowej sygnału wejściowego jest kompensowany przez zero funkcji transmitancji zmo-dyfikowanego układu różniczkującego. Innymi słowy, stała czasowa R1C powinna być równa stałej czasowej zaniku impulsu wejściowego, a więc dla zadanego kształtu impulsu wejściowego powinna przy zmianach stałej czasowej różnicz-kowania pozostawać stałą. W realizacjach praktycznych, dla utrzymania stałej war-tości wzmocnienia wysokoczęstotliwościowego (równego RB /R2) zakłada się sta-łość wartości R2. Pociąga to za sobą, przy zmianach stałej czasowej różnicz-kowania, konieczność równoczesnego przełączania pojemności C oraz rezystancji R1. W takiej też konwencji wykonano układ różniczkowania we wzmacniaczu CANBERRA 2020 z tą różnicą iż wejściowy wzmacniacz buforowy (o wzmocnieniu jednostkowym) włączono do subukładu NA w gałąź przełączanych pojemności.

Alternatywne rozwiązanie układowe operacji różniczkowania i eliminacji bie-guna sygnału wejściowego zostanie omówione w Dodatku F na przykładzie rozbu-dowanego systemu kształtowania sygnału we wzmacniaczu ORTEC 450.

Bardzo urozmaicony zespół filtrów aktywnych z pojedynczą pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego zastosowano w tym właśnie wzmacniaczu. Na rysunku 7.14 przedstawiono w znacznym uproszczeniu pełną kaskadę tych układów zawartych w torze formowania wyjściowych impulsów monopolarnych.

Bloki funkcjonalne będące przedmiotem naszego zainteresowania, ujęto w ramki i oznaczono symbolami A, B, C i D. Strzałkami i kotwiczkami oznaczono odpowiednio przełączane elementy pasywne służące do regulacji wzmocnienia oraz przełączane elementy pasywne decydujące o wartości stałych czasowych filtrów.

Zadaniem bloku „A” jest wymiana bieguna impulsu wejściowego o stałej czasowej zaniku mieszczącej się w przedziale od 35 s do nieskończoności, na biegun 1-mikrosekundowy. Ustalenie niskoczęstotliwościowej krawędzi pasma przenoszenia następuje w bloku „B” pełniącym funkcję układu różniczkującego z równoczesną kompensacją wprowadzonego przez blok „A” bieguna 1 s. Kolejne dwa bloki stanowią dolnoprzepustowe filtry aktywne (integratory).

189

Blok funkcjonalny „A” został już omówiony szczegółowo. Jego strukturę uka-zuje wiernie rysunek 7.13. Wartości elementów pasywnych są dobrane w ten sposób, aby spowodować pożądaną, założoną wymianę bieguna impulsu wejścio-wego.

Określa go warunek

sRR

RRC

1

21

21 (7.86)

Kolejna wymiana biegunów następuje w układzie „B”. Łączny skutek dzia-łania bloków „A” i „B” wyraża się uformowaniem impulsu o zaniku eksponen-cjalnym ze stałą czasową różniczkowania d. Innymi słowy, uzyskany przebieg impulsu pokrywa się z przebiegiem odpowiedzi filtru różniczkującego CR na wymuszenie skokowe.

Względnie prosta struktura bloku „B” implikuje równie prostą jego analizę. Dla jej dokonania wprowadźmy oznaczenia:

w obwodzie subukładu NA - R1 i C1

w obwodzie subukładu NB - R2 i C2 (rys. 7.11 i 7.12).

W terminach tych oznaczeń odpowiednie transmitancje prądowo-napięciowe wynoszą

11

12 1)(

sCR

ssy A

(7.87)

oraz

190

WE

WY

Vi (t)

Vo (t)

Rys. 7.14. Uproszczony schemat kaskady filtrów aktywnych wzmacniacza impulsowego ORTEC 450

C

R1

R2

Pk

C1

R1

C2

R2

R1

R2

C1

C2

R

R1

R2 R

3

R4

C1 C

2

C3

A B

C D

22

12 1)(

sCR

ssy B

(7.88)

zaś transmitancja napięciowa filtru „B” przyjmie postać

111

222

""1

1

)(

CRsR

CRsR

sF B (7.89)

Z założenia warunkującego zamierzone działanie układu, stałe czasowe determinujące wartości rzeczywiste zera i bieguna funkcji transmitancji (7.89) spełniają warunki

sCR 122 (7.90)

oraz dCR 11 (7.91)

W celu wyznaczenia transmitancji filtru „C” określimy, zgodnie z podaną wcześniej procedurą, transmitancje prądowo-napięciowe jego subukładu NA oraz jego postaci równoważnej (Rys. 7.15)

Odwołując się do reprezentacji równoważnej i użytych tam oznaczeń, napiszemy

1GVI ii oraz

111 sCGVI A 21 III i

22 GVVI BA 23 II (7.92)

233 sCGVI B 3GVI Bo

W wyniku prostych działań algebraicznych dochodzimy do wyrażenia

191

Rys. 7.15. Schemat subukładu NA (bloku „C”) i jego postaci równoważnej

Vx = 0

R1

R2

C1

Vi

C2

R3

VA

VB

I 2

I i

I1

I 3

VA

VB

I o

G1

G2

G3

C1

C2

22121232

32112 )(

)()(

GsCGGsCGG

GGG

sV

sIsy

i

oA

(7.93)

Drugi subukład bloku „C” (NB) stanowi dwójnik zawierający równolegle połą-czone rezystor R4 i pojemność C3. W tym przypadku mamy więc

3412 )( sCGsy B (7.94)

Zastępując w wyrażeniach (7.93) i (7.94) konduktancje odwrotnościami rezystancji i podstawiając je do ogólnej zależności (7.72) otrzymujemy

4332121

321

211

21

322

322

321321""

1

1

)(

RCs

RRRCC

RRR

RRC

RR

RRC

RRss

RRRCCCsF C (7.95)

Powyższa funkcja operatorowa ma trzy bieguny. Jeden z nich uwidoczniony jest w sposób jawny w ostatnim członie mianownika, dwa pozostałe natomiast od-powiadają pierwiastkom równania kwadratowego zawartego w nawiasie kwadra-towym.

34

11

CRs

11

2

1

CRs (7.96)

11

353.1

CRs

W obliczeniach biegunów s2 i s3 uwzględniono relacje między wartościami elementów pasywnych, a mianowicie

R1= R3, R2 = 3.735 R1 i C1 = C2

Należy pamiętać, że w analizie każdego z dyskutowanych układów stosowano niezależny sposób notacji. Również wzajemne proporcje wartości składowych elementów pasywnych obowiązują wyłącznie w odniesieniu do danej konfiguracji. W tej też konwencji wyznaczymy transmitancję filtru „D”, dla którego, stosownie do oznaczeń przyjętych na schemacie ogólnym 7.12 i towarzyszącym mu tekście, narzucone warunki przyjmują postać

192

,21 RR ,21

CC CC 2 oraz R3 = var (regul. wzmocnienia)

W rozważanym przypadku transmitancja filtru będzie więc równa

223

""

)(

22

22

)(

RCRCss

RCs

CRsF D

(7.97)

Powyższa funkcja operatorowa ma parę zespolonych biegunów sprzężonych

2

11

12,1 j

RCs (7.98)

oraz jedno zero rzeczywiste

RC

z2

(7.99)

Globalną wypadkową transmitancję całego filtru wyraża iloczyn transmitancji poszczególnych bloków składowych kaskady, opisanych odpowiednio równa-niami (6.151), (7.89), (7.95) i (7.97) – oczywiście przy uwzględnieniu wzajemnych relacji między wartościami stałych czasowych. Relacje te w formie znorma-lizowanej względem stałej czasowej bieguna dominującego są następujące

1""11 dBCR

1"" iDRC (7.100)

648.0""11 CCR

464.0""43 CCR

Indeksy przy symbolach elementów pasywnych lokalizują te elementy w danej strukturze układu funkcjonalnego, zaś indeksy ujęte w cudzysłowach identyfikują dany układ zgodnie z oznaczeniami na rysunku 7.14.

Biorąc pod uwagę związki (7.100) wyrazimy w jednolity sposób bieguny i zera globalnej transmitancji układu filtracji wzmacniacza ORTEC 450 w kolej-ności topologicznej struktury filtru. Przyjmiemy nadto równość d = i, wartość których określa iloczyn RC (wg. 7.100).

193

Tak więc

w bloku ”A” constss 161 10

s

z

1

1 (7.101)

w bloku ”B” RC

s1

2

constsz 162 10 (7.102)

w bloku ”C” RC

s155.2

3

RC

s543.1

4 (7.103)

RC

s365.2

5

w bloku ”D”

2

11

17,6 j

RCs (7.104)

RC

z2

3

Przypomnijmy, że wszystkie przeprowadzone uprzednio analizy filtrów były dokonane przy założeniu standardowego impulsu skokowego. Jest to równoważne z przyjęciem wartości s = , w wyniku czego zero „z1” przybiera wartość zerową (z1 = 0).

Zauważmy nadto iż biegun s1 jest kompensowany przez zero z2, zaś biegun s3 wydaje się być bliski kompensacji przez zero z3. Jeśli więc uwzględnić powyż-sze okoliczności, efektywnie pozostaną tylko bieguny s2, s4, s5, s6 i s7 oraz jedno zero z1 = 0. Ich rozmieszczenie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej pokazuje rysunek 7.16.

W analizie układu filtracji wzmacniacza ORTEC 450 elementy poszczególnych jego bloków („A” „B” „C” „D”) numerowano w sposób wzajemnie niezależny. W opisie globalnym niezbędnym było by dodatkowe ich indeksowanie. Wygod-niejszą i bardziej przejrzystą alternatywą jest wprowadzenie jednolitej numeracji

194

bieżącej. W tej konwencji uzupełniającą analizę omawianego tu systemu filtracji przedstawiono w DODATKU F.

7.4. Filtry typu „(DL)-(OP.INT)”

Na kanwie analizy filtrów aktywnych przedyskutujemy strukturę filtru o włas-nościach bardzo bliskich własności dopasowanego filtru optymalnego. Jest to mia-nowicie filtr typu (DL)2-(OP.INT) składający się z kaskady dwóch stopni różnicz-kujących wykonanych na liniach opóźniających (DL)2 oraz aktywnego integratora (OP.INT) zrealizowanego w wersji wzmacniacza operacyjnego (Operational Integrator).

Transmitancję tego filtru, którego schemat podaje rysunek 7.17, opisuje wyrażenie

i

sT

sRCesF D

11

2

1)(

22

(7.105)

a jego charakterystyki: skokową R(t) i impulsową h(t) odpowiednio zależności

)4()2(2)(4

1)( DD

i

TtHTtHtHRC

tR (7.106)

oraz

)4()2(2)(4

1)(')( DD

i

TtHTtHtHRC

tRth (7.107)

195

_ 1.543 RC

1 _ 1 . RC

_ 2.363 RC

s1

s4

s5

s6

s7

_ 0.707 RC

0.707 RC Re

Im

Rys. 7.16. Położenie biegunów i zer na płaszczyźnie zmiennej zespolonej filtru aktywnego wzmacniacza ORTEC 450

Te ostatnie wygodniej jest przedstawić w formie

mi T

t

RC4

1 dla 0 < t < Tm

R (t) =

mi T

t

RC1

4

1 dla Tm < t < 2Tm (7.108)

0 dla t > 2Tm

i odpowiednio

mi TRC

1

4

1 dla 0 < t < Tm

R’(t) =

mi TRC

1

4

1 dla Tm < t > 2Tm (7.109)

0 dla t > 2Tm

gdzie Tm = 2TD.

Wyznaczenia stosunku sygnału do szumu dokonamy w tym przypadku metodą WSKAŹNIKÓW SZUMOWYCH zaproponowaną przez Goulding’a [12]. Na użytek bieżącej analizy przytoczymy kilka podstawowych formuł i zależności tej metody odsyłając Czytelnika do szczegółowego omówienia zamieszczonego w DODAT-KU G.

Metoda Goulding’a wyróżnia dwa rodzaje wskaźników szumowych: wskaźnik typu SCHODKA (Step-Noise Index), oraz wskaźnik typu DELTA (Delta-Noise In-dex). Wielkości te są zdefiniowane równaniami

196

Rys. 7.17. Schemat filtru typu (DL)2 – (OP.INT)

DL DLTD

Z0

TD

Z0

R0 = Z

0R

0R

1

C i

Vi (t) V

o (t)

STEP-NOISE INDEX dttRDNFs

N s

0

2

2max0

2 )(1

(7.110)

DELTA-NOISE INDEX dttRSNFs

N

0

2

2max0

2 )('1

(7.111)

gdzie s0 max oznacza maksymalną wartość odpowiedzi filtru na jednostkowy syg-nał skokowy, zaś RSNF – tzw. REZYDUALNĄ FUNKCJĘ SZUMÓW SCHODKO-WYCH (Residual Step-Noise Function).3)

Funkcja RSNF (t) określa wkład wnoszony do poziomu sygnału wyjściowego w chwili Tm przez pojedynczy impuls szumowy typu „schodka”, wyprzedzający Tm

o czas równy to.

W przypadku FILTRU STACJONARNEGO funkcja RSNF (t) odpowiada funkcji odpowiedzi skokowej R(t). Równania (7.110) i (7.111) sprowadzają się wówczas do postaci

0

2

2max0

2 )(1

dttRs

N s (7.112)

oraz

0

2

2max0

2 )('1

dttRs

N (7.113)

bardzo przydatnej w analizie rozważanego układu filtru.

Globalny wskaźnik szumów 2N równy średniej geometrycznej wskaźników

składowych 2sN i

2N determinuje jednoznacznie wartość WZGLĘDNEGO

STOSUNKU SYGNAŁU DO SZUMU zgodnie z relacją:

4

122 NN s

(7.114)

Znajomość pozwala w konsekwencji wyznaczyć SNR oraz optymalną wartość czasu pomiaru Tm, a więc również wymaganego opóźnienia trans-misyjnego linii TD. Aplikując powołane wyżej zależności do rozważanego przypadku stwierdzamy, że

3) W oryginalnej notacji autora metody REZYDUALNA FUNKCJA SZUMÓW SCHODKOWYCH

oznaczona jest symbolem R(t) używanym powszechnie na oznaczenie odpowiedzi skoko-

wej, a 2max0s symbolem S2.

197

m

T T

T mms Tdt

T

tdt

T

tN

m m

m3

21

0

2 22

2

(7.115)

zaś

m

m

m T

T mm

T

m Tdt

Tdt

TN

2 2

0

2

2 211 (7.116)

Wobec tego

931.04

34 (7.117)

Zauważmy, że wskaźniki szumów 2sN i

2N określają wagę z jaką do glo-balnej wariancji szumów wchodzą oba rodzaje szumów.

Możemy więc napisać

m

mi

No TTRC

V 22

22

3

1

4

1 (7.118)

Wariancja szumów osiąga wartość minimalną dla optmT wyznaczonego z wa-

runku zerowania pochodnej dtVd No /)( 2 czyli dla

coptm TT 33

(7.119)

Biorąc pod uwagę, że Tm = 2 Tc otrzymamy wartość optymalną czasu opóź-nienia linii opóźniającej TD opt.

coptD TT2

3 (7.120)

Wariancja szumów wyjściowych w warunkach filtracji optymalnej będzie wynosić

22

min38 i

NoRC

V

(7.121)

zaś wartość maksymalna sygnału wyjściowego przy wymuszeniu skokowym (6.2)

C

Q

RCV i

io 4

1max (7.122)

198

Iloraz wyrażeń (7.121) i (7.122) wyznacza wartość optymalnego stosunku sygnału do szumu.

384

C

QSNR i

opt (7.123)

W konsekwencji względny stosunek sygnału do szumu osiągnie wartość

931.04

3

4

384

SBR

SNRoptdef

(7.124)

Przebieg czasowy sygnału wyjściowego opisuje jednoznacznie funkcja R(t) o kształcie trójkątnym. Z tego względu omawiany filtr nazywany jest FILTREM

TRÓJKĄTNYM. Jego czas rozdzielczy według definicji (6.39) jest równy połowie rozciągłości czasowej podstawy trójkąta czyli

TR = Tm (7.125)

Odnosząc powyższą wielkość do czasu rozdzielczego filtru referencyjnego typu „FINITE WIDTH CUSP” otrzymamy wartość WZGLĘDNEGO CZASU ROZ-DZIELCZEGO rozważanego filtru

08.1924.0

m

mw T

TT (7.126)

Czas rozdzielczy obliczany z warunku spadku poziomu odpowiedzi do wa-runku 1% lub 0.1% wartości maksymalnej jest bardzo bliski w obu przypadkach wartości 2Tm.

W dotychczasowych rozważaniach przyjmowano, że sygnał wejściowy opisany jest funkcją skokową o amplitudzie (Qi/C). Taki kształt sygnału napię-ciowego Vi(t) wynikał z upraszczających założeń dotyczących pierwotnego syg-nału prądowego iD (t), aproksymowanego funkcją delta, oraz wejściowego obwodu całkującego zredukowanego wyłącznie do pojemności C. Na gruncie tych założeń wyprowadzono zależności opisujące filtry optymalne „CUSP” i „TRÓJKĄT”.

W rzeczywistości impuls prądowy detektora ma pewną, skończoną rozciągłość czasową oraz konkretny kształt, uwarunkowane przebiegiem procesu zbierania ładunku w detektorze.

Stąd też charakterystyka impulsowa filtru optymalnego w sensie maksymaliza-cji stosunku sygnału do szumu będzie odbiegać od kształtu ostrego grotu, wyka-zując w przypadku ogólnym zaoblenie swego wierzchołka. Dla zapobieżenia efek-towi wpływu kształtu funkcji iD (t) na pomiar amplitudy, charakterystyka impulso-wa filtru powinna w pewnym obszarze, równym co najmniej „szerokości” sygnału prądowego, mieć przebieg płaski. W rezultacie zamiast formy CUSP będziemy

199

mieli CUSP SPŁASZCZONY lub SCIĘTY, a w miejsce TRÓJKĄTA pojawi się teraz TRAPEZ.

Rysunek 7.18 pokazuje schemat jednej z możliwych realizacji praktycznych tego rodzaju FILTRU TRAPEZOIDALNEGO.

Czas trwania czołowej i tylnej flanki sygnału wyjściowego jest zdeterminowany przez LINIĘ OBCINAJĄCĄ – DL1, a szerokość odcinka płaskiego przez LINIĘ TRANSMISYJNĄ – DL2, przy czym pierwszy z wymienionych tn = t0

= 2 TD1, drugi natomiast tw = TD2 – 2TD1.

Stosunek sygnału do szumu wyznaczymy również w tym przypadku metodą znormalizowanych wskaźników szumowych. Możemy wręcz wprost skorzystać ze związków wyprowadzonych dla filtru TRÓJKĄTNEGO, uzupełniając je dodat-kowymi członami z płaską częścią sygnału. Możemy więc napisać

33

10

2

0

2

0

2

2 ow

nt

o

tt

ns

tt

tdt

t

tdtdt

t

tN

own

(7.127)

oraz

on

t

o

t

n ttdt

tdt

tN

on 1111

0

2

0

2

2

(7.128)

Jeżeli założyć symetryczny kształt odpowiedzi filtru tj. tn = to, oraz przyjąć, że maksymalna szerokość sygnału jest równa czasowi martwemu td = tn = tw + to, wówczas formuły (7.127) i (7.128) można wyrazić w postaci

200

Rys. 7.18. Przykład struktury filtru trapezoidalnego

Vi (t) V

o (t)

VA (t)

VB (t) V

C (t)

DL1

DL2

TD1

Z0

TD2

R0 = Z

0

R0 = Z

0

R

1

C iA

B

C

wds ttN 23

12 (7.129)

wd ttN

42 (7.130)

Obliczenia wartości SNR można wykonać dla konkretnych relacji między parametrami czasowymi sygnału. Dla przykładu przyjmijmy następujące proporcje

ndw ttt9

21.0

no tt (7.131)

Znormalizowane wskaźniki szumowe przyjmą wtedy wartości

nnnns ttttN 888.09

8

9

2

3

22

nt

N22 (7.132)

Postępując dalej według procedury zastosowanej w przypadku filtru trójkąt-nego łatwo dojść do wyników

866.04

122

NN s

coptn Tt 644.1644.1

cn

D Tt

T 822.021 (7.133)

cwnmD TttTT 808.12

Czas rozdzielczy filtru trapezoidalnego TR zgodnie w przyjętą definicją (6.39)

mR TT (7.134)

przy czym współrzędna czasowa Tm jest tutaj przywiązana do drugiego punktu nieciągłości odpowiedzi filtru.

W celu wyznaczenia wartości względnego czasu rozdzielczego należy określić związek między współrzędnymi czasowymi CZASÓW POMIARÓW analizowanego filtru Tm oraz filtru referencyjnego Tm ref. Podstawę dla ustalenia takiego związku stanowi konwencja, według której odpowiedzi obu filtrów powinny mieć taką

201

samą rozciągłość czasową. Biorąc za referencyjny, symetryczny przebieg typu FINITE WIDTH CUSP otrzymamy

2

2

2WNd

refm

tttT

(7.135)

Natomiast czas pomiaru Tm na mocy założenia wynosi

wnm ttT (7.136)

Wzajemną relację Tm ref i Tm ilustruje rysunek 7.19

Z zależności (7.125) i (7.136) mamy

refmwn

wnm T

tt

ttT

2

2 (7.137)

co przy uwzględnieniu założonych proporcji (7.131) daje

refmm TT 10.1 (7.138)

202

Rys. 7.19. Przebiegi odpowiedzi filtru TRAPEZOIDALNEGO oraz referencyjnego filtru FINITE-WIDTH CUSP

tw

to

to

Tm ref

Tm

t

t

Vo

Vo ma

Vo

Vo may

1

1

Kojarząc wreszcie wyrażenia (6.148), (6.32), (7.134) i (7.137) dochodzimy do wyniku

19.1924.0

1.1

refm

refmw T

TT (7.139)

Literatura

[1] M. Białko, A. Guziński, W. Sieńko, J. Żurada.: Filtry aktywne RC. W.N.T., Warszawa, 1979

[2] Z. Kulka, M. Nadachowski.: Wzmacniacze operacyjne i ich zastosowania. Cz. 2. Realizacje praktyczne. W.N.T., Warszawa, 1982

[3] Instrukcja obsługi: Active Filter Amplifier 1101, ZZUJ POLON, Warszawa 1976

[4] Instruction Manual: CANBERRA 2020 Spectroscopy Amplifier. 1980

[5] R. Wilson.: Noise in Ionization Chamber Pulse Amplifiers. Philosophical Ma- gazine, 41, No 312, 66, 1950

[6] N. R. Campbell, V. J. Francis.: A Theory of Valve and Circuit Noise. Journal of

I.E.E. Vol. XCIII, pt. III, 45, 1946

[7] Instrukcja techniczna wzmacniacza liniowego WL-41. ZZUJ POLON

[8] A. Papoulis.: Obwody i układy. W. K.i Ł., Warszawa, 1988

[9] Instruction Manual TC 220 BLR Linear Amplifier. Tennelec, Oak Ridge, 1967

[10] Model 450 Research Amplifier, Operating and Service Manual. Ortec Incorporated, 1969

[11] W. Golde, L. Śliwa.: Wzmacniacze operacyjne i ich zastosowania. Cz. 1. Pod- stawy teoretyczne. W.N.T., Warszawa, 1972

[12] F. S. Goulding.: Pulse-Shaping in Low-Noise Nuclear Amplifiers: A Physical Approach to Noise Analysis. Nuclear Instruments and Methods, 100, 493, 1972

203

204

8. Filtry niestacjonarne

Istotnym, milczącym założeniem, poczynionym w dotychczasowych rozwa-żaniach było zawężenie analizy do sytuacji, gdy na tle szumu występuje tylko jeden „samotny” impuls sygnałowy. W rzeczywistych warunkach filtracji ciągu impulsów proces filtracji będzie skuteczny jedynie wówczas, gdy każdy kolejny impuls ciągu pojawiać się będzie dopiero po zupełnym wygaśnięciu odpowiedzi filtru na impuls poprzedni. Innymi słowy, czas trwania odpowiedzi musi być skoń-czony i zredukowany do poziomu zależnego od średniej częstotliwości impulsów tego ciągu. Wymaganiom takim w znacznej mierze czynią zadość omówione wyżej FILTRY STACJONARNE typu FINITE WIDTH, nie mniej jednak rozciągłość czaso-wa odpowiedzi tych filtrów przewyższa interwał czasu pomiaru Tm, Uogólniając powyższe spostrzeżenia można stwierdzić, że filtry stacjonarne wszelkiego rodzaju okazują się niezadowalającymi w aspekcie stosunku czasu pomiaru Tm niezbęd-nego do ekstrakcji informacji o amplitudzie impulsu, do czasu martwego filtru „td”, tj. czasu w przeciągu którego nie można dokonać poprawnej ekstrakcji infor-macji z impulsu następnego. Stanowi to podstawowe ograniczenie filtrów stacjo-narnych.

Na gruncie tych ograniczeń i wobec rosnących wymagań ze strony spektro-metrii amplitudowej i czasowej skrajnie wysokich rozdzielczości, zrodziła się kon-cepcja FILTRU NIESTACJONARNEGO (Time Variant Filter), Mianem tym okreś-lamy liniową sieć elementów pasywnych, których wartości ulegają zmianom we-dług założonych funkcji czasu, inicjowanym przez każdy impuls sygnałowy. Oznacza to, że transmitancja filtru niestacjonarnego, stała pod nieobecność syg-nału, zmienia się w sposób zsynchronizowany z przebiegiem impulsu sygna-łowego po podaniu go na wejście filtru. W konsekwencji, opisu własności tego rodzaju filtru dokonać można jedynie w domenie czasu. Charakteryzuje je miano-wicie tzw. UOGÓLNIONA FUNKCJA ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ – RW(Tm,t) [1], określająca poziom odpowiedzi filtru w chwili Tm na wymuszenie dirakowskie wprowadzone na wejście filtru w chwili t.

Relację między sygnałem wejściowym Si(t) a sygnałem wyjściowym So(Tm) określa całka ważona

205

mT

mimo dttTRWtSTS ),()()( (8.1)

Jest to inna forma zapisu równania (1.4) uwzględniająca skończony czas obser-wacji (pomiaru) Tm i dopuszczająca nieoptymalne warunki filtracji.

Dla ustalonej wartości zmiennej Tm równanie (8.1) przyjmuje postać

mT

Timo dttWtSTS )()()( (8.2)

gdzie WT(t) jest FUNKCJĄ WAGI właściwą dla zadanego Tm, wywodzącą się z uogólnionej funkcji odpowiedzi impulsowej według relacji

mTT tRWtW )()( (8.3)

Przyjmując za parametr zmienną „ t” funkcja RW (Tm,t) stanowić będzie odpowiedź filtru Rt(Tm) w chwili Tm na wymuszenie dirakowskie wprowadzone na wejście w chwili t. tmmt TRWTR )()( (8.4)

W przypadku filtru stacjonarnego uogólniona funkcja odpowiedzi impulsowej jest funkcją tylko jednej zmiennej , równej różnicy czasu pomiaru Tm i czasu pobudze-nia t, tj. = (Tm - t) (8.5)

Dla raz ustalonej wartości Tm będziemy pomijać dalej, dla prostoty zapisu, indeks „T” przy symbolu FUNKCJI WAGI oznaczając ją krótko przez W(t).

FUNKCJA WAGI pozostaje w jednoznacznym związku z FUNKCJĄ ODPO-WIEDZI IMPULSOWEJ filtru h(t). Dla wyznaczenia tej zależności odwołajmy się znowu do całki splotu, wiążącej odpowiedź z wymuszeniem w dziedzinie czasu, w wersji formuły (4.49)

t

io dthStS )()()( (8.6)

Do chwili t = Tm równanie powyższe sprowadza się do postaci

mT

mimo dttThtSTS )()()( (8.7)

w której ze względów czysto formalnych symbol zastąpiono wprost przez t.

206

Równania (8.2) i (8.7) opisują taki sam efekt pomiarowy, są zatem tożsamoś-ciowo równe. Wynika stąd, że

W (t) = h (Tm - t) (8.8)

czyli, że FUNKCJA WAGI filtru stacjonarnego stanowi zwierciadlane odbicie jego ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ przesunięte w czasie o Tm. Funkcja wagi opisuje więc jednoznacznie przebieg odpowiedzi filtru na sygnał dirakowski i w tym sensie te dwie wielkości można uważać za identyczne. Ścisłe pokrywanie się tych prze-biegów zachodzi w przypadku symetrycznego względem Tm kształtu funkcji h(t).

W spektrometrycznym torze pomiarowym wymuszenia dirakowskie genero-wane są w detektorze promieniowania jądrowego w formie indukowanych impul-sów prądowych. W stowarzyszonym układzie wejściowym są one całkowane przy-bierając formę napięciowych impulsów heaviside’owskich (skokowych), które pod-legają z kolei procesowi filtracji we wzmacniaczu kształtującym. Na tej podstawie można przekształcić zastępczy schemat sygnałowo-szumowy toru analogowego do równoważnej postaci eliminującej wejściowy stopień całkujący i zawierający wy-łącznie źródła napięciowe; zarówno sygnałowe jak i szumowe. Z formalizmu tego korzystaliśmy zresztą uprzednio nie odwołując się jednak do modyfikacji struktury schematu zastępczego. Jest rzeczą oczywistą, że charakterystyka impulsowa pełnej struktury podstawowej h(t) jest tożsamościowo równa charakterystyce skokowej R*(t) zachowanej części toru.

W przypadku FILTRU STACJONARNEGO w interwale czasowym zawartym między momentem pojawienia się impulsu t = t0 a czasem pomiaru Tm przepus-towość filtru nie ulega zmianie. Oznacza to, że kształt odpowiedzi na wymuszenia tego samego rodzaju jest zawsze taki sam. Prawidłowość powyższa nie występuje już w przypadku FILTRÓW NIESTACJONARNYCH, gdy proces „ważonej transmi-sji” inicjowany jest każdorazowo i wyłącznie przez impulsy sygnału mierzonego.

Przez NIESTACJONARNOŚĆ FILTRU rozumiemy uzależnienie jego przepusto-wości od czasu. Może ono mieć charakter zmian ciągłych lub skokowych i według tej właściwości FILTRY NIESTACJONARNE klasyfikowane są w dwóch podstawo-wych grupach:

FILTRY NIESTACJONARNE z REGULOWANYM WZMOCNIENIEM, FILTRY NIESTACJONARNE z KLUCZOWANIEM.

Strukturę filtrów pierwszej grupy ukazuje schematycznie rysunek 8.1.

Podstawowymi jej elementami składowymi są: UKŁAD REGULACJI WZMOC-NIENIA oraz konwencjonalny FILTR STACJONARNY. W skład układu regulacji wzmocnienia wchodzi GENERATOR FUNKCJI WAGI oraz sterowany przezeń WZMACNIACZ lub ATTENUATOR. Proces generacji FUNKCJI WAGI jest każdo-razowo inicjowany przez podlegający filtracji sygnał wejściowy. Dla pełnej syn-

207

chronizacji sygnałów: sterującego i sterowanego w UKŁADZIE REGULACJI WZMOCNIENIA, w tor transmisyjny sygnału sterowanego (filtrowanego) wprowa-dzono linię opóźniającą o opóźnieniu rzędu czasu narastania impulsu wejściowe-go.

Generator funkcji wagi wymusza pożądany przebieg funkcji wzmocnienia wzmacniacza (lub attenuacji dzielnika) WA(t). Oznaczając najogólniej funkcje wagi stowarzyszonego FILTRU STACJONARNEGO przez h(Tm-t), możemy napisać wyrażenie określające globalną, całkowitą FUNKCJĘ WAGI FILTRU NIESTACJO-NARNEGO W(t) w postaci

)()()( tThtWtW mA (8.9)

W szczególnym przypadku, gdy w charakterze filtru stacjonarnego zastosować aktywny integrator wykorzystujący wzmacniacz operacyjny, otrzymujemy wprost

)()( tWtW A (8.10)

Punkt ciężkości procedury projektowania tego rodzaju filtrów przesuwa się na zagadnienia związane z syntezą i praktyczną realizacją generatora funkcji wagi i szybkiego, precyzyjnego układu mnożącego.

Jeśli układ mnożący i wzmacniacz sterowany zastąpić KLUCZEM względnie BRAMKĄ LINIOWĄ, to otrzymamy nowy rodzaj filtru niestacjonarnego zaliczany już do drugiej grupy filtrów niestacjonarnych. Miejsce generatora funkcji wagi zaj-muje wówczas znacznie mniej skomplikowany UKŁAD CZASOSTERU, determinu-jący parametry czasowe włączenia TON i wyłączenia TOFF KLUCZA lub BRAMKI, a globalna funkcja wagi wyrazi się w formie

)()()()( tThTtHTtHtW mOFFON (8.11)

Kluczowanie nakłada więc na filtr ograniczenia czasowe do przedziału . OFFON TT Nie może ono jednak powodować nieciągłości globalnej funkcji

wagi całego filtru prowadzącej w efekcie do gwałtownego wzrostu udziału szu-

208

Rys. 8.1. Schemat filtru niestacjonarnego w układzie z regulowanym wzmocnieniem

WA

h(t)x

WE WY

DL

mów szeregowych. Wyrazem tych zastrzeżeń są wymagania, aby wyłączenie klu-cza zachodziło w chwili gdy h (TOFF - t) = 0, oraz by pochodne funkcji wagi w mo-mentach przełączania klucza miały wartości skończone. [2]

Stawianym wymaganiom czynią zadość filtry stacjonarne o bipolarnej charak-terystyce impulsowej, jeśli współrzędną czasową TOFF związać z momentem przejścia przez zero tej charakterystyki. W celu uzyskania w chwili TOFF maksy-malnej wartości odpowiedzi na sygnał wejściowy, należy go odpowiednio opóźnić w stosunku do momentu włączenia klucza. Z tego względu rozważany filtr powi-nien zawierać w torze transmisyjnym linię opóźniającą, poprzedzającą klucz.

Czas opóźnienia TD jest uzależniony od kształtu odpowiedzi impulsowej, przy czym najkorzystniejszym okazuje się symetryczny jej przebieg w interwale

. OFFON TT W takim przypadku czas opóźnienia TD będzie równy połowie czasu załączenia klucza.

W kategorii filtrów niestacjonarnych z kluczowaniem wyodrębniła się spe-cjalna klasa filtrów zwana FILTRAMI z INTEGRATOREM BRAMKOWANYM [3]. Ich podstawowym elementem składowym jest obok BRAMKI liniowej AKTYWNY INTEGRATOR, zrealizowany w konfiguracji wzmacniacza operacyjnego. Są one z reguły poprzedzone stopniem prefiltracji, w którym stosowane są rozmaite kon-figuracje FILTRÓW STACJONARNYCH, decydujących w istotny sposób o kształcie wypadkowej funkcji wagi całego filtru.

Funkcja wagi takiej kaskady, w której filtr stacjonarny poprzedza filtr niestacjonarny określona jest splotem funkcji wagi obu filtrów składowych. Można ją zatem wyznaczyć znając funkcje wagowe obu części filtru W1(t) i W2(t), zgodnie z relacją całki splotu

t

duutWuWtW )()()( 12 (8.12)

Alternatywny sposób, wynikający bezpośrednio z definicji funkcji wagi, pole-ga na wyznaczeniu odpowiedzi całego filtru w chwili pomiaru Tm na wejściowy impuls dirakowski pojawiający się w chwili t0. W rozważanym przypadku filtru z integratorem bramkowanym wyraża ją całka funkcji odpowiedzi impulsowej prefiltru stacjonarnego w przedziale czasu otwarcia bramki.

Z zasady działania tej klasy filtrów wynika, że otwarcie bramki następuje z chwilą (pod wpływem) pojawienia się impulsu sygnału. Innymi słowy, dla impulsów podlegających pomiarowi tor transmisyjny jest zawsze otwarty, a prze-pustowość filtru jest stała w całym okresie obserwacji TG = (TOFF – TON). W od-niesieniu do sygnału pomiarowego filtr zachowuje się więc jak układ stacjonarny.

209

NIESTACJONARNOŚĆ filtru ma natomiast miejsce w przypadku impulsów szumowych, pojawiających się stochastycznie w czasie z wyprzedzeniem względnie z opóźnieniem w stosunku do przyjmowanego za zerowy momentu otwarcia bramki (TON = 0). Impulsy te wnoszą w konsekwencji odpowiednie wkła-dy do efektu pomiaru sygnału w chwili t = Tm, uwarunkowane ich relacją czasową względem impulsu sygnału. [4].

O ile więc dla sygnału funkcję wagi opisuje wyrażenie

t

dtthtW0

1 )()( (8.13)

to w odniesieniu do szumów SZUMOWĄ FUNKCJĘ WAGI definiować będziemy oddzielnie

dla impulsów wyprzedzających (Early Pulses) jako

t

tt

dttthttW00

)(),( 010

0 (8.14)

dla impulsów zapóźnionych

t

Tt

dttthttWm 0

010

0 )(),(0

(8.15)

W konsekwencji przyjętego wcześniej zastępczego schematu sygnałowo-szu-mowego miejsce odpowiedzi impulsowej pełnego prefiltru h(t) zajmie odpowiedź skokowa )(*

1 tR jego wydzielonej części (tj. bez wejściowego stopnia całkującego). Naturalną też konsekwencją takiego podejścia jest powiązanie funkcji wagi szu-mów prądowego generatora równoległego z odpowiedzią skokową ),( 0

*1 ttR

a funkcji wagi napięciowego generatora szeregowego z odpowiedzią impulsową )( 0

*1 tth uwzględnianej części prefiltru.

Równania (8.13) do (8.15) przyjmują wówczas formę:

dla sygnału

t

m dttRtW0

*1 )()( (8.16)

dla wyprzedzających impulsów równoległego źródła szumów

t

tpw dtttRttW

00

*1

00, )(),(

0

(8.17)

210

dla zapóźnionych impulsów równoległego źródła szumów

t

tTtpz dtttRttW

m 00

)().( 0*1

00, (8.18)

dla wyprzedzających impulsów szeregowego źródła szumów

t

tsw dttthttW

00

*1

00, )(),(

0

(8.19)

dla zapóźnionych impulsów szeregowego źródła szumów

t

tTtsz dttthttW

m 00

)(),( 0*1

00, (8.20)

Znajomość szumowych funkcji wagi pozwala obliczyć udziały wyodręb-nionych składowych globalnej wariancji szumów na wyjściu filtru w chwili pomiaru t = Tm. Ogólnie zapiszemy je w postaci.

iT

xxx

x dttWAkV 02

022 )( (8.21)

Indeks „x” oznacza tu rodzaj szumów, A – charakteryzuje ich intensywność, Ti – determinuje interwał całkowania, zaś „k” jest mianowanym współczynnikiem skali. Wypadkowa wariancja, wobec niezależności statystycznej impulsów szu-mowych stanowi sumę wariancji składowych.

Z drugiej strony równanie (8.16) określające wagę a jaką amplituda wejś-ciowego sygnału skokowego jest przekazywana na wyjście filtru umożliwia obli-czenie wartości maksymalnej odpowiedzi V0 max.

)(max mmxo TWAkV (8.22)

Dysponując zespołem zależności (6.21) i (6.22) określimy wzajemne relacje między wariancjami. Można je wyrazić na dwa sposoby:

poprzez stosunek sygnału do szumu (SNR), bądź też przy pomocy wskaźników szumu 2

sN oraz 2N

Wielkości te są ze sobą związane jednoznacznie podanymi uprzednio zależnościa-mi (6.112).i (6.113).

211

Przedstawione wyżej ogólnie procedury analityczne wykorzystamy dalej w przykładowych obliczeniach wybranych, konkretnych układów filtrów niestacjonarnych z integratorem bramkowanym.

8.1. Konfiguracja z prefiltrem „CR”

Najprostszą konfigurację omawianej klasy filtrów stanowi układ złożony z po-jedynczego stopnia różniczkującego CR oraz integratora z bramką liniową. Rysunek 8.2 przedstawia schemat takiej konfiguracji.

Charakterystyki: skokową )(*1 tR i impulsową )(*

1 th prefiltru opisują odpowiednio funkcje

d

ttR exp)(*

1 (8.23)

oraz

dd

ttth exp

1)(1)(*

1 (8.24)

gdzie d oznacza stałą czasową stopnia różniczkującego CR.

Podstawienie powyższych wyrażeń do równań (8.16) (8.20) i wykonanie całkowań w przynależnych im granicach (< 0 ÷Tm > i < to ÷ 0 >) prowadzi do związków

d

mT

dmm eTW 1)( (8.25)

212

∫C

dS

R d

d

WE WY

Rys. 8.2. Schemat filtru niestacjonarnego „CR – GATED INTEGRATOR”

d

m

d

Tt

dpw eetW 1)(0

0, (8.26)

d

dt

dpz etW0

1)( 0, (8.27)

1)(0

0,d

m

d

Tt

sw eetW (8.28)

mo Tt

sz etW )( 0, (8.29)

Odwołajmy się teraz do formuł (6.1) i (6.2) opisujących rozkład widmowy szumów oraz sygnał wejściowy formowany na zaciskach wejściowego stopnia całkującego (tj. na pojemności wejściowej C ). Mając je na uwadze i oznaczając przez stosunek czasu pomiaru do stałej czasowej różniczkowania ( )/( dmT możemy napisać

eC

QkV d

io 1max (8.30)

232

20

02

0,

222

, 122

)(2

ekdttWkV dpwpw (8.31)

eekdttWkV dT

pzpz

m

31222

)(2

322

00

20,

222

, (8.32)

0

22

20

20,

222

, 122

)(2

ekdttWkV dswsw (8.33)

22

20

0

20,

222

, 122

)(2

ekdttWkV dT

szsz

m

(8.34)

213

Globalna, sumaryczna wariancja szumów na wyjściu wyniesie więc

eekV ddNo 1

21

2

23

222 (8.35)

Stosunek sygnału do szumu (SNR) określają jednoznacznie wyrażenia (8.30) i (8.35). Jest on funkcją dwóch zmiennych: d i , jak to ukazuje explicite równanie (8.36)

ee

e

C

QSNR

dd

i

11

21

2

122 (8.36)

Osiąga on wartość maksymalną przy stałej czasowej d opt warunkującej minimum funkcji pod pierwiastkowej wyrażenia (8.36)

e

eoptd

1

1 (8.37)

Przy ustalonej według powyższego kryterium wartości d funkcja SNR () przybiera postać

4

3

4

1

11)(

eeC

QSNR i

(8.38)

Można wykazać, że osiąga ona wartość maksymalną dla = 1.035 wynoszącą

C

QSNR i910.0max (8.39)

co oznacza iż względny stosunek sygnału do szumu jest równy

= 0.910 (8.40)

Optymalna wartość stałej czasowej stopnia różniczkującego wyniesie zatem

coptd T282.1282.1

(8.41)

zaś minimalna wartość wariancji szumów wyjściowych

504.0min2

NoV (8.42)

Drugi sposób określenia relacji między sygnałem a szumem, tj. metoda WSKAŹNIKÓW SZUMOWYCH [5] prowadzi do wyników

214

mdds Te

eN 978.0941.0

1

1035.12

2

(8.43)

oraz

mdd TeN

1488.1

1547.1

1

1

1035.1

2

(8.44)

Znajomość wskaźników szumowych umożliwia, jak już wspominaliśmy, wyz-naczenie wartości względnego stosunku sygnału do szumu . Dokonajmy zatem sprawdzającego obliczenia.

910.01

547.1941.04

1

3

122

d

ds NN (8.45)

8.2. Konfiguracja z prefiltracją na zwartej linii opóźniającej

W strukturze prefiltru omówionej poprzednio konfiguracji zastosowano prosty obwód różniczkujący CR. Stąd też wkład do globalnej wariancji szumów wyjś-ciowych wnoszony przez szumowe impulsy wyprzedzające pochodził, traktując rzecz teoretycznie, z nieskończonego interwału czasu poprzedzającego impuls sygnałowy. Interwał ten można wydatnie skrócić stosując w układzie prefiltru w miejsce członu CR stopień formujący ze zwartą linią opóźniającą. Tego rodzaju konfigurację przedstawiono schematycznie na rysunku 8.3.

Odpowiedź skokowa stopnia formującego R-DL prefiltru ma przebieg prosto-kątny o czasie trwania s równym podwójnej wartości opóźnienia transmisyjnego linii TD. Według przyjętej notacji zapiszemy ją równaniem

215

Rys. 8.3. Schemat filtru niestacjonarnego „DL – GATED INTEGRATOR”

∫T

D

SR

DL

WE WY

stHtHtR ()(2

1)(*

1 (8.46)

Załóżmy, że okres całkowania w integratorze bramkowanym TG jest dłuższy od s. Funkcja wagi całego filtru przyjmuje wtedy charakterystyczny kształt TRAPE-ZOWY. Jeśli nadal początek osi czasu wiązać z momentem otwarcia bramki, w re-zultacie prostych operacji matematycznych otrzymamy analityczną postać szumo-wej funkcji wagi W(t0).

00000 2

1)( tHttHttW ss

s

mmsmsm TtHTtTtHTt 0000 (8.47)

Jak widać, funkcja wagi jest funkcją nieciągłą z punktami nieciągłości w mo-mentach włączania poszczególnych jej składowych. Dla wygody dalszych obliczeń korzystniej jest wyrazić ją przez zespół równań

0)( 0 tW dla st 0

s

ttW

2)( 0 dla 00 ts

2

1)( 0 tW dla )(0 0 smTt (8.48)

s

ttW 0

0 12

1)( dla msm TtT 0

0)( 0 tW dla mTt 0

Rysunek 8.4 ukazuje kształt dyskutowanej funkcji oraz ilustruje graficznysposób jej wyznaczania. Wartość funkcji wagi, określona całką splotu (8.12), dana jest w tej reprezentacji wartością pola przekrycia splatanych funkcji (część zakreskowana na wykresach). Zauważmy przy tym, że kształt funkcji wagi prefiltru stacjonarnego jest taki sam jak kształt jego odpowiedzi impulsowej, a w relacji do wydzielonej jego części „R-DL”, odpowiada jej odpowiedzi skokowej (8.46).

Na przykładzie rozważanego układu ujawniła się tożsamościowa równość SZUMOWEJ FUNKCJI WAGI (wg podejścia Radeki [2]) oraz REZYDUALNEJ FUNKCJI SZUMÓW SCHODKOWYCH (Step-Noise Residual Function - w ujęciu Gouldinga [5]). Jak pamiętamy, metoda Gouldinga prowadzi do wyznaczenia wartości względnego stosunku sygnału do szumu poprzez uprzednie obliczenie wartości WSKAŹNIKOW SZUMOWYCH.

216

Skorzystajmy z tej metody, odwołując się do równań (7.110) i (7.111). War-tość maksymalna odpowiedzi na jednostkowe wymuszenie skokowe wynosi w tym przypadku

2

1max oS (8.49)

Uwzględniając (8.48) możemy więc napisać

dtt

dtdtt

NSSmS

S

T

SS

2

00

2

2

0

2 1

333S

mS

SmS TT

(8.50)

S

SS

dtN0

2

2 212 (8.51)

217

Rys. 8.4. Graficzny sposób wyznaczania szumowej funkcji wagi

t0

t0

t0

t0

t0

t0

t0

t0

t0

W (to)

W

t0

TON

= 0 TOFF

=Tm

Interwał całkowania (bramkowania) wygodnie jest wyrazić w jednostkach s kła-dąc Tm = ms

W takiej notacji równanie (8.50) zapiszemy jako

SS

mN

3

132 (8.52)

W rezultacie otrzymamy globalny wskaźnik szumów 2N

133

2222 mNNN S (8.53)

uzależniony od relacji między Tm i s. Dalsze obliczenia można kontynuować po uprzednim założeniu proporcji między czasem integracji i szerokością odpowiedzi prefiltru. Dla przykładu załóżmy m = 1.11, czemu odpowiada przyjęcie roz-ciągłości czasowej płaskiej części funkcji wagi na poziomie 10% czasu integracji.

Dla takich warunków

SSN 777.02 (8.54)

a w konsekwencji

555.1777.022 N (8.55)

oraz

895.01

2

N (8.56)

Porównując uzyskany rezultat z wynikami analizy stacjonarnego filtru trapezo-idalnego odniesionej do analogicznych proporcji czasowych (długość grzbietu funkcji wagi vs czas martwy) uwidacznia się ponad 3% wzrost wartości stosunku sygnału do szumu.

Wskaźniki szumowe często podawane są w literaturze jako funkcja czasu integracji (bramkowania) TG. Podobnie też wyrażana jest wariancja szumów na wyjściu filtru niestacjonarnego. W celu ułatwienia ewentualnych porównań spro-wadzimy formuły (8.50) i (8.51) do tego rodzaju reprezentacji, pamiętając zara-zem, że TG =Tm.

mS Tm

mN

3

132 (8.57)

mT

mN

22 (8.58)

218

W takiej też konwencji wyrazimy globalną wariancję szumów wyjściowych 2NoV .

m

mNo Tm

kT

m

mkV

12

4

1

23

13

4

1

2

22222

(8.59)

Osiąga ona minimum dla Tm opt

13

6 2

m

mT optm (8.60)

które wynosi

13

3

2

2

2

min2 m

kVNo (8.61)

Wartość maksymalna sygnału na wyjściu filtru jest równa

C

QkV i

o 2max (8.62)

wobec czego stosunek sygnału do szumu w warunkach optymalnych przyjmuje wartość

C

Q

mk

C

Qk

SNR i

i

opt 895.0

133

2

2

22 (8.63)

zaś względny stosunek sygnału do szumu, zgodnie z oczekiwaniem wynosi

895.0

8.3. Konfiguracja z prefiltrem quasigaussowskim.

Uzyskiwany w praktyce impuls „prostokątny” odbiega kształtem od przebiegu idealnego opisanego równaniem (8.46). Wynika to zarówno z rzeczywistego kształtu pierwotnego impulsu prądowego jak i ograniczenia pasma przenoszenia stopni wzmacniających stacjonarnej części filtru. Stąd też zrodziła się koncepcja realizacji niestacjonarnego filtru trapezoidalnego w konfiguracji: STACJONARNY FILTR QUASIGAUSSOWSKI – INTEGRATOR BRAMKOWANY [6], w którym za-

219

miast impulsu ściśle prostokątnego formowany jest smukły impuls o przebiegu aproksymowanym funkcją Gaussa.

Wykazaliśmy wcześniej, że odpowiedź skokowa filtru typu CR-(RC)n przy-biera postać (5.68). Jej znormalizowany kształt s(t) dany jest więc równaniem

tt

nts

n

exp!

1)( (8.64)

W granicznym przypadku gdy n wyrażenie (8.64) sprowadza się do postaci

2

2

2exp

2

1)(

n

nt

nts (8.65)

Ostro sformułowany warunek nałożony na ilość czwórników całkujących „n” ulega w praktyce znacznemu złagodzeniu, dopuszczając stosowanie formuły (8.65) z zadowalającym przybliżeniem dla n = 7.

Jeśli posłużyć się notacją przyjętą poprzednio w analizie szumowej filtrów z integratorem bramkowanym, wyrażeniom (8.64) i (8.65) należy przyporządko-wać oznaczenie ),(*

1 tR by w dalszej konsekwencji wykorzystać je do obliczenia

funkcji wagi filtru. Dla skrócenia zapisu wprowadźmy oznaczenia: )/( mT

oraz )/( 0t

Dla impulsów schodkowych (typu STEP) zgodnie z ogólną postacią formuł (8.17) i (8.18) otrzymamy odpowiednio: w interwale od - do TON = 0 (8.66)

)(

000?, !

1],1[],1[

!)(

e

nenn

ntW

n

r

rn

r

rvel

P

w interwale od TON = 0 do TOFF = Tm (8.67)

)(

00?, !

11]1[],1[

!)( e

nnn

ntW

n

r

rvel

P

Zależnie od rzędu prefiltru formuły opisujące funkcje wagi przyjmują odpo-wiednio rozbudowaną formę. Stosunkowo prostymi okazują się funkcje wagi qua-

220

sigaussowskiego prefiltru rzędu pierwszego RC-CR (tj. dla n=1). W formie znor-malizowanej () wyrażają je zależności

)]1(1[)(0

,

eeW pw (8.68)

)]1(1[)(0

,

eW pz (8.69)

w których max

)()(

k

kk W

WW

Przypomnijmy, że warunkiem koniecznym uzyskania trapezoidalnego kształtu funkcji wagi, oprócz wymogu symetrii i dużej smukłości przebiegu odpowiedzi skokowej )(*

1 tR jest żądanie, aby interwał całkowania <0Tm> był dłuższy od jej czasu rozdzielczego TR . Wypada w tym miejscu uzasadnić celowość formowania tego rodzaju funkcji wagowej. Otóż wynika ona z faktu iż pierwotny impuls prądowy detektora nie jest impulsem dirakowskim. Jak wiemy, czas jego trwania podyktowany jest długotrwałością procesu zbierania nośników ładunku w detek-torze. Wyznacza on w konsekwencji czas narastania tn czoła impulsu napię-ciowego detektora Vi(t) kształtowanego na zaciskach wejściowego stopnia całkującego.

Zagadnienie wpływu skończonego czasu narastania sygnału wejściowego filtru stacjonarnego na wartość amplitudy jego odpowiedzi dyskutowaliśmy już wcześ-niej na przykładzie prostego filtru CR-RC. Wpływ ten manifestuje się degradacją amplitudy odpowiedzi filtru określaną mianem DEFICYTU BALISTYCZNEGO. Je-go wartość bezwzględną stanowi różnica amplitud odpowiedzi uzyskiwanych odpowiednio na napięciowe wymuszenia: ściśle skokowe oraz skokowe z liniowo narastającym czołem.

*maxmax oo VVD (8.70)

Można wykazać [7], że deficyt balistyczny D jest w przybliżeniu proporcjo-nalny do drugiej pochodnej odpowiedzi skokowej filtru w punkcie jej maksimum. Innymi słowy, jest on zależny od krzywizny charakterystyki skokowej filtru w punkcie wierzchołkowym. Z tego więc względu dla redukcji efektu balis-tycznego pożądane jest spłaszczenie grzbietu charakterystyki skokowej filtru w ob-rębie czasu dłuższym od czasu narastania impulsu wejściowego Vi(t) (tj. od czasu zbierania nośników ładunku w detektorze).

Przypomnijmy również, że charakterystykę skokową filtru stacjonarnego utożsamialiśmy z jego funkcja wagi W(t). Bardziej ogólnym i właściwszym oka-zuje się więc wiązanie wrażliwości odpowiedzi na szybkość narastania wymu-szenia napięciowego z funkcją wagi filtru. Układy z integratorem bramkowanym

221

i prefiltrem quasi-gaussowskim umożliwiają uformowanie funkcji wagi o kształcie zbliżonym do trapezowego. Tego rodzaju funkcje wagi zwać będziemy quasi-trapezoidalnymi.

Dla zilustrowania procesu formowania takiego kształtu funkcji wagi, na rysunku 8.5 przedstawiono diagramy znormalizowanych funkcji wagi filtru oma-wianego typu ze stacjonarną sekcją CR-RC, wyznaczone dla różnych wartości czasu integracji Tm, (). Zamieszczono na nim również znormalizowane przebiegi: charakterystyki skokowej )(*

1 tR prefiltru oraz sygnału wyjściowego filtru so(t).

Niski rząd filtru stacjonarnego (n=1) nie zapewnia pożądanej symetrii funkcji ),(*

1 tR co znajduje odbicie w różnych nachyleniach flanki czołowej i opadającej globalnej (wypadkowej) funkcji wagi filtru. Znaczące spłaszczenie grzbietu funkcji wagi zaznacza się dopiero dla wartości 5, rozszerzając się następnie w miarę wzrostu czasu integracji. Obszar idealnie płaskiego przebiegu funkcji wagi wnosi proporcjonalne do swej rozciągłości czasowej wkład do wskaźnika szumów równoległych 2

SN , nie

daje natomiast żadnego przyczynku do wskaźnika szumów szeregowych 2N .

Według tej samej procedury, odniesionej do odpowiedzi impulsowej )(* th prefiltru, wyznacza się znormalizowane funkcje wagi impulsów typu DELTA. Dla rozważanego przykładowo układu (n=1) opisują je odpowiednio równania (8.71) i (8.72).

)]1([)(,

eeW sw (8.71)

222

Rys. 8.5. Przebiegi charakteryzujące filtr niestacjonarny typu (CR-RC)-INTEGRATOR BRAMKOWANY

maxmax

)(,

)(

o

o

V

tV

W

W

t,

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

- 10 - 5.0 0 5.0 10

R1

*(t )

so

(t )

=10

=5

=3 =1 =2

Wk

(t )

)()(0

,

eW sz (8.72)

Zespół zależności (8.68), (8.69), (8.71) i (8.72) uzupełniony formułą okreś-lającą amplitudę odpowiedzi filtru na wymuszenie jednostkowym sygnałem skokowym

))1(1(max eso (8.73)

stanowi podstawę dla wyznaczenia znormalizowanych wskaźników szumowych. W przyjętej konwencji wyrażają je związki

(8.74)

2max

0

0

2

,

2

,2

)(

)()(

o

T

pzpw

Ss

dtWdtW

N

m

,

2max

0

0

2

,

2

,2

)(

)()(

o

T

szsw

s

dtWdtW

N

m

Rysunek 8.6 przedstawia zależności globalnych parametrów ( ,2N ) zna-

mionujących omawiany filtr od znormalizowanego interwału integracji . Przywo-łajmy dla przypomnienia, znane nam już relacje (vide rozdz. 7.4).

22222 NNNNN SS

oraz 4 22

1

NN S

223

Rys. 8.6. Zależności <N 2> = f () oraz = f () niestacjonarnego filtru z integratorem bramkowanym z prefiltrem typu (CR-RC) rzędu pierwszego.

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

0.75

0.8

0.85

1.4

1.6

1.8

1.9 2N

<N 2> = f () = f ()

CR-RC

Globalny wskaźnik szumu osiąga wartość minimalną, równą <N 2> 1.267, dla czasu integracji Tm = 3.2 . Wartości składowych wskaźników szumów wyra-żone w postaci naturalnej (nie znormalizowanej) wynoszą wówczas odpowiednio

659.22SN oraz 12 609.0

N

zaś względny stosunek sygnału do szumu osiąga maksimum max 0.889.

Zauważmy, że optymalna z punktu widzenia filtracji szumów, wartość Tm

okazuje się nie zadowalającą w aspekcie deficytu balistycznego. Z drugiej strony, dopełnienie wymogu wyraźnego spłaszczenia grzbietu funkcji wagi ( 5) wiąże się z degradacją względnego stosunku sygnału do szumu do poziomu 0.84. Dla porównania, na rysunku 8.6. zaznaczono symbolicznie poziom (wartość) CR-RC stacjonarnego filtru (CR)-(RC).

W układach filtrów niestacjonarnych z prefiltrami RC o identycznych war-tościach stałych czasowych, wskaźniki szumowe odnoszone są w zasadzie do tej wartości (). W konfiguracjach prefiltrów tego rodzaju o zróżnicowanych stałych czasowych wskaźniki szumowe wiązane są z innymi parametrami znamionowymi sekcji stacjonarnej, jak narożna, szumowa stała czasowa Tc (noise corner time constant) bądź czas osiągnięcia maksimum tpeak (peaking time).

8.4. Filtr niestacjonarny z podwójnym kluczowaniem

W rozważanej klasie filtrów z integratorem bramkowanym [8],[9] można osiągnąć dalszą poprawę stosunku sygnału do szumu oraz skrócenie czasu roz-dzielczego przez zastąpienie prefiltru stacjonarnego niestacjonarnym. Wprowa-dzona celowo niestacjonarność prefiltru ma na charakter skokowy, zsynchronizo-wany z przełączaniem bramki integratora, przy czym realizacja praktyczna nie-stacjonarności prefiltru sprowadza się do prostych operacji zwierania względnie odłączania niektórych jego elementów składowych.

Układ taki w terminologii anglosaskiej nazwano mianem SWITCHED GATED INTEGRATOR. Zasadę jego działania omówimy na przykładzie konfiguracji przedstawionej schematycznie na rysunku 8.7.

Współpracujący z integratorem bramkowanym filtr stanowi tu kaskadę dwóch czwórników biernych: pierwszy całkujący (Ri -Ci), pracujący w reżymie stacjo-narnym i drugi, niestacjonarny czwórnik różniczkujący (Rd –Cd). Klucz „S” w ga-łęzi rezystora Rd umożliwia przełączanie stałej czasowej różniczkowania od war-

224

tości spoczynkowej ddd RC 1 do nieskończenie wielkiej wartości alternatywnej 2d przyporządkowanej stanowi aktywnej integracji układu.

W stanie spoczynkowym transmitancja układu wynosi

1

11

1

1

11)(

di

i ss

sF (8.75)

decydując o formie odpowiedzi na wymuszenia wejściowe wnoszone przez szumowe impulsy „wyprzedzające”. W chwili t = TON (umownie przyjmowanej za „zerową”) wartości chwilowe tych odpowiedzi kształtują się na poziomie zależnym od ich rodzaju (skokowe lub delta) oraz czasu wyprzedzenia t0. Stanowią one piedestały, na których formowane są zmodyfikowane przebiegi odpowiedzi uwa-runkowane zmianą transmitancji filtru do wartości F2(s)

i

i s

sF1

11)(2

(8.76)

Ta część przebiegu odpowiedzi na wymuszenia szumowe pojawiające się w chwi-lach t0 < TON podlega całkowaniu w integratorze w interwale Tm = (TOFF – TON). Wartość wyznaczonej w ten sposób całki określa wagę z jaką dany impuls szumo-wy nakłada się na sygnał wyjściowy. Dla licznego ciągu impulsów szumowych otrzymamy na tej drodze funkcję wagi rozpatrywanego rodzaju szumów.

Obliczenia analityczne szumowych funkcji wagi są już bardziej skompli-kowane i uciążliwe, ograniczymy się więc tylko do fenomenologicznego opisu ich kształtowania, posiłkując się poglądowymi rysunkami przedstawiającymi przebiegi odpowiedzi skokowych i impulsowych filtru w jego punktach węzłowych (Rys. 8.8).

225

Rys. 8.7. Schemat filtru niestacjonarnego typu SWITCHED GATED INTEGRATOR

WE WYG

Rii

Rd

C d

Cd

i

d

S

BA

W górnym rzędzie zestawiono diagramy dla szumów typu STEP z zas-tępczego, równoległego źródła prądowego, a w dolnym, dla szumów typu DELTA z zastępczego, szeregowego źródła napięciowego. W obu rzędach zilustrowano trzy przypadki dla różnych wartości to. Symbolem „x” oznaczono przebiegi uzys-kiwane na wyjściu stacjonarnego czwórnika całkującego, zaś symbolami „y” i „z”, przebiegi otrzymywane na wyjściu niestacjonarnego czwórnika różniczkującego – odpowiednio przy zwartym („y”) i rozwartym („z”) kluczu S.

Do chwili t = TON przebieg „z” pokrywa się wiernie z przebiegiem „y”, by następnie w interwale (TON TOFF) przybrać formę przebiegu „x” przesuniętą w pionie o wartość równą różnicy wartości chwilowych x (TON ) i y (TON ). Powierzchnia zawarta pod tym fragmentem przebiegu „z” określa wartość funkcji wagi W (to) dla wymuszenia wyprzedzającego, zaistniałego w chwili to. Pomijając żmudne procedury obliczeniowe przytoczymy, za Deightonem [9] jedynie ostatecz-ne ich rezultaty. Są nimi formuły opisujące amplitudę sygnału informacyjnego na wyjściu integratora w chwili t = Tm oraz wariancje towarzyszących mu szumów równoległych i szeregowych.

W przypadku ogólnym, gdy i d

mi

o Te

C

QkV

1

max (8.77)

226

x

Rys. 8.8. Diagramy przebiegów odpowiedzi filtru na impulsy szumowe typu STEP i DELTA

to

TON T

OFFto T

ONT

OFFT

ONT

OFFto

x

x

x = y = z

x x = y =z y

y

y

z

z z

z

33

223

222 222

3

2

4

eT

kV mNP (8.78)

e

Tk

V mNS

222

4

222

(8.79)

gdzie: imT / oraz dmT /

Na gruncie ogólnej analizy zaproponowanego układu Deighton przedys-kutował trzy przypadki szczególne, dla wyspecyfikowanych relacji między cza-sowymi parametrami deskryptywnymi ).,,( mdi T Z punktu widzenia maksy-malizacji stosunku sygnału do szumu najbardziej interesującym okazuje się przypadek ( ), gdy wobec bezpośredniego zwierania punktu węzłowego „B” filtru do masy (tj. dla Rd = 0), stała czasowa różniczkowania przyjmuje wartość zerową (d = 0).

Przeanalizujmy szczegółowo ten przypadek. W pierwszym kroku działań analitycznych wyznaczymy szumową funkcję wagi W(to). Reprezentują ją, jak już wiemy, dwie cząstkowe funkcje wagi: dla wymuszeń wyprzedzających Ww(to) oraz dla wymuszeń zapóźnionych Wz(to).

Zgodnie z notacją przyjętą na rysunku 8.7 dla impulsów szumowych „STEP” możemy napisać

OFF

ON

T

Towp dttztW )()( (8.80)

przy czym (przy zwartym kluczu S)

)()()( ONTxtxtz (8.81)

oraz

i

otttx exp1)( (8.82)

gdzie: = i zaś TON = 0 i TOFF =Tm.

W rezultacie podstawień otrzymujemy

i

o

m

i

o

i

o t

m

T

ttt

owp eT

dteetW 111)(

0

(8.83)

227

Analogicznie dla impulsów zapóźnionych

m

o

T

tozp dttztW )()( (8.84)

przy czym obecnie (w warunkach otwartego klucza S)

)()( txtz (8.85)

oraz

i

otttx exp1)( (8.86)

Otrzymujemy zatem

m

i

o

i

o

T

t

i

o

t

m

tt

ozp

te

TdtetW

0

11)( (8.87)

Pochodne równań (8.78) i (8.79) wyznaczają z kolei funkcje wagi szumowych impulsów typu DELTA. Tak więc

i

ot

ows eetW

1)( (8.88)

1)( i

ot

ozs etW (8.89)

Znane nam już procedury (vide Rozdział 8.1) prowadzą w ostatecznym efek-cie do zależności określających sumaryczne wariancje obu rodzajów szumu.

3

3

222 11

2

1

3

1

2 mNP Te

kV

(8.90)

mNS Te

kV

11

22

222

(8.91)

228

Wyprowadzone formuły wynikają zresztą bezpośrednio z równań (8.76) (8.77), stanowiąc ich wartości graniczne przy warunku . Globalna wariancja szumów 2

NoV jest funkcją dwóch parametrów i Tm.

Nietrudno wykazać [9] iż przyjmuje ona wartość minimalną dla wartości = 2. Amplituda sygnału informacyjnego Vo max osiąga wówczas poziom

mi

o TC

QkV 568.0max (8.92)

a wariancje szumów przyjmują wartości

)1576.0(2

32

22mNP TkV

(8.93)

oraz

)7030.0(2

222

mNS TkV

(8.94)

W tych warunkach stosunek sygnału do szumu wynosi

2

122 1

181.22

489.02

mm

i

TT

C

QSNR (8.95)

wykazując maksimum dla Tm opt równego

coptm TT 112.2489,0

181.2

(8.96)

Podstawiając (8.96) do (8.95) otrzymujemy SNRopt

C

QSNR i

opt 984.0 (8.97)

a w konsekwencji

984.0opt (8.98)

Zauważmy, że uzyskany w tym układzie stosunek sygnału do szumu jest za-ledwie o 1.6% gorszy od maksymalnej wartości teoretycznej dopasowanego filtru optymalnego. Tak doskonałe własności filtracyjne omawianej konfiguracji z po-dwójnym kluczowaniem odzwierciedla kształt jego funkcji wagi, bardzo zbliżony

229

do kształtu wierzchołkowego (CUSP) odpowiedzi skokowej filtru idealnego. Przebieg tej funkcji wagi pokazuje w formie znormalizowanej rysunek 8.9.

Z zależności (8.95) możemy wyodrębnić wskaźniki szumowe 2SN i

2N . Wynoszą one odpowiednio

mS TN 489.02 (8.99)

oraz

mT

N1

181.22 (8.100)

Literatura

[1] M. Konrad.: Detector Pulse Shaping for High Resolution Spectroscopy. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-15, No. 1, 268, 1968

[2] V. Radeka.: Optimum Signal-Processing for Pulse-Amplitude Spectrometry in the Presence of High-Rate Effects of Noise. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-15, No.3, 455, 1968

[3] K.Kandiah.: Active Integrators in Spectrometry with Radiation Detectors. AERE-R 5019, Harwell, Berks., 1965

[4] M. O. Deighton.: A Time-Domain Method for Calculating Noise of Active Inte- grators used in Pulse Amplitude Spectrometry. Nuclear Instruments and Me- thods, Vol.58, 201, 1968

230

Rys. 8.9. Przebieg znormalizowanej funkcji wagi filtru niestacjonarnego typu SWITCHED GATED INTEGRATOR

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0t

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

WP znorm

[5] F.S. Goulding.: Pulse-Shaping in Low-Noise Nuclear Amplifiers. A Physical Approach to Noise Analysis. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 100, 493, 1972

[6] V. Radeka.: Trapezoidal Filtering of Signals from Large Geman Detectors at High Rates. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 99, 525, 1972

[7] E. Baldinger.: Amplitude and Time Measurement in Nuclear Physics. Advances in Electronics and Electron Physics, Vol. VIII, 255. Academic Press Inc. Publishers, New York, 1956

[8] K. Kandiah.: Reduction of Noise in Nuclear-Particle Spectrometry by Using Switched Time Constants and Gate Integrators. National Academy of Science Publication 1593, 544, Washington D.C. , 1956

[9] M. O. Deighton.: Calculation of Noise/Signal Ratio of Nuclear Pulse Amplifier EmployingGated Active Integration. AERE-R 5021, Harwell, Berks., 1967

231

232

9. Filtry transwersalne

Odpowiedź sieci optymalizującej stosunek sygnału do szumu można wyrazić, jak wykazano wcześniej, na dwa różne sposoby

przy pomocy całki splotu sygnału wejściowego Vi (t) oraz charakterystyki impulsowej sieci h (t)

t

io dthtVtV0

)()()( (9.1)

jako całkę ważoną sygnału wejściowego

t

io dWtVtV0

)()()( (9.2)

gdzie W() oznacza funkcję wagi sieci.

Instrumentalnej realizacji procedury opisanej równaniem (9.1) poświęciliśmy już poprzednio sporo uwagi. Obecnie zajmiemy się możliwościami syntezy ukła-dów działających według przepisu zawartego w równaniu (9.2) Formalnie rozdzie-la on operacje ważenia (mnożenia przez zadane chwilowe wartości funkcji wagi) chwilowych wartości sygnału wejściowego oraz ich sukcesywnego sumowania (całkowania). Działania te można więc powierzyć wyodrębnionym subukładom funkcjonalnym, jak to pokazano w poprzednim rozdziale na rysunku 8.1 ilustru-jącym strukturę filtru niestacjonarnego z ciągłą regulacją jego przepustowości. Powróćmy jeszcze do tego przykładu uzupełniając schemat z rysunku 8.1 pomi-niętymi uprzednio (dla uproszczenia) blokami funkcjonalnymi. W tak rozwiniętej formie przedstawia go rysunek 9.1.

233

Rys. 9.1. Schemat blokowy układu filtracji metodą korelacyjną

WE WY

DL

Wo

Wn

WoT

D

WF M INT

zero

TAD WFG

Obciążony szumem kolorowym Wn skokowy sygnał wejściowy Vi(t) prze-kazywany jest w tej konfiguracji do dwóch równoległych gałęzi. W jednej z nich, po niewielkim opóźnieniu TD wnoszonym przez linię opóźniającą (DL), ulega on modyfikacji w stacjonarnym filtrze wybielającym (WF) do postaci

Vi*(t) = A exp(-t/Tc), (9.3)

a następnie zostaje podany na jedno z wejść układu mnożącego (M). W gałęzi dru-giej, zawierającej dyskryminator czasu nadejścia impulsu (TAD) i generator funkcji wagi (WFG), sygnał wejściowy aktywizuje oba podzespoły funkcjonalne inicjując w efekcie proces generacji przebiegu w(t) podawanego z kolei na drugie wejście układu mnożącego. Właściwy dobór czasu opóźnienia TD zapewnia wymaganą, pełną synchronizację przebiegu mnożonego i mnożącego. Uzyskiwany na wyjściu układu mnożącego przebieg napięciowy zostaje scałkowany w aktywnym inte-gratorze (INT) dając w ostatecznym rezultacie w chwili Tm sygnał wyjściowy o am-plitudzie Vo(Tm) określonej całką (9.4).

dttwtVTVmT

imo )()()(0

* (9.4)

Zauważmy jeszcze, że dzięki wybieleniu szumu, problem filtracji sprowa-dziliśmy do sytuacji, w której dla osiągnięcia maksymalnej dokładności estymacji amplitudy sygnału funkcja wagi w(t) powinna pokrywać się ze znormalizowanym kształtem sygnału si

*(t). Stąd też realizowany w tym układzie pomiar amplitudy sygnału zalicza się do kategorii pomiarów korelacyjnych [1]. Alternatywny, a zarazem szczególnie atrakcyjny sposób realizacji operacji (9.4) zapewniają tak zwane FILTRY TRANSWERSALNE [2]. Zasada ich działania polega na bieżącym, ważonym sumowaniu zbioru równoodległych w czasie próbek (wartości chwilowych) sygnału wejściowego. W procesie formowania próbek wy-korzystuje się bądź linie opóźniające (o stałych skupionych bądź też przyrządy z przenoszeniem ładunku CTD (charge transfer device).

9.1. Filtry transwersalne z liniami opóźniającymi

W pierwszym rzędzie omówimy układy na liniach opóźniających z odczepami [3] (tapped delay lines). Umożliwiają one, jak to pokazano na rysunku 0.2, łatwy odbiór próbek sygnału z pożądanym wzajemnym przesunięciem czasowym za poś-rednictwem gałęzi rezystorowych Rk łączących odczepy linii z wejściem układu sumującego. Zastosowanie w tym stopniu wzmacniacza operacyjnego pozwala w prosty sposób uzyskać wymagany stopień attenuacji w każdej gałęzi, równowa-

234

żny wartości współczynnika wagi wk z jakim w danej gałęzi powinna być ważona próbka sygnału.

Stosownie do oznaczeń na rysunku 9.2, przedstawiającym schemat omawianej konfiguracji filtru transwersalnego, współczynnik wagi k-tej gałęzi wyrazi się jako

k

Fk R

Rw (9.5)

Oznaczmy ze względów formalnych przez (N+1) łączną liczbę odczepów li-nii opóźniającej i załóżmy, że całkowity czas propagacji (opóźnienia) TD jest rów-ny czasowi obserwacji (pomiaru) Tm. Sygnał wyjściowy Vo w chwili t = Tm

osiągnie wartość opisaną równaniem

N

kkkimo wtVTV

0

)()( (9.6)

stanowiącym w istocie aproksymację równania (9.4). Symbolem tk oznaczono współrzędną czasową „lokalnego” czasu pomiaru przebiegu na k-tym odczepie, przy czym

N

Tkt m

k (9.7)

Liczba odczepów linii opóźniającej nie jest krytyczna. Można przyjąć, że dla N > 15 uzyskuje się zadowalającą dokładność aproksymacji. Również „dopaso-wanie” kształtów funkcji wagi i sygnału nie stanowi istotnego problemu.

Dla przykładu rozważmy przypadek sygnału wejściowego opisanego formułą (6.2) (impuls skokowy) na tle szumu kolorowego o widmie określonym wzorem (6.1). Po wybieleniu szumu sygnał przybiera kształt impulsu o zaniku eksponen-cjalnym.

235

Rk

DL Tm

R0 = Z

0

RF

R0

Rk1

Rkn

WE

WY

Rys. 9.2. Schemat filtru transwersalnego z linią opóźniającą i sumatorem aktywnym

c

ii T

t

C

QtV exp)(*

(9.8)

Uwzględniając znane nam już zależności (4.21) i (8.8) możemy więc sformułować warunek optymalizacji filtru. Wyraża się on żądaniem, aby jego funkcja wagi wy-nosiła

copt T

tBtw exp)( (9.9)

przy czym B jako dowolną stałą możemy przyjąć równą jedności.

W hipotetycznym (nierealistycznym) przypadku (dla Tm ) stosunek syg-nału do szumu osiąga bezwzględnie maksymalną wartość (4.84) równą

]/([ CQSNR i . Akceptowalne w praktyce pomiarów spektrometrycznych

wartości SNR można jednak uzyskać przy relatywnie niewielkich wartościach Tm.

Dopuśćmy dla przykładu uproszczenia [3].

W pierwszym przybliżeniu wyrazimy funkcję wagi (9.9) przez dwa pierwsze składniki jej rozwinięcia w szereg potęgowy. Funkcja wagi będzie wówczas linio-wą względem czasu

cT

ttw 1)( (9.10)

a względny stosunek sygnału do szumu osiągnie wartość

6

)(exp11

1

(9.11)

Symbolem „” oznaczono dla zwięzłości zapisu stosunek czasu pomiaru Tm do na-rożnej stałej czasowej Tc. Funkcja (9.11) osiąga przy = 2.15 maksimum o war-tości = 0.98; zaledwie o 2 % mniejszej od bezwzględnie maksymalnej.

Jeszcze bardziej drastyczne uproszczenie funkcji (9.9), polegające na zanied-baniu wszystkich składników rozwinięcia poza pierwszym, to jest przy założeniu

w(t) = 1 (9.12)

daje w wyniku

236

2

)exp(1

(9.13)

Względny stosunek sygnału do szumu osiąga w tych warunkach wartość ma-ksymalną równą = 0.90 przy wartości parametru = 1.26. Przypomnijmy, że dla prostego filtru CR-RC wartość względnego stosunku sygnału do szumu wynosiła 0.736 , a dla filtru „trójkątnego” odpowiednio - 0.8.

Zapięte na odczepy linii opóźniającej gałęzie równoległe (stąd nazwa tej klasy filtrów) nie mogą zaburzać propagacji sygnału w linii. Z tego powodu ich impe-dancje powinny być dostatecznie duże. W praktyce dla spełnienia tego warunku stosuje się oddzielnie w każdej gałęzi wzmacniacze separujące o wysokiej impe-dancji wejściowej, co znacząco podnosi koszt realizacji filtru.

Eliminację wzmacniaczy separujących zapewnia alternatywna wersja filtru transwersalnego z pojemnościowych sprzężeniem ze sumatorem4. Rysunek 8.3 pokazuje takie rozwiązanie, w którym pojemności równoległe C linii LC o stałych skupionych zastąpiono układem dwóch pojemności Ck1 i Ck2, spełniającym warunek

C = Ck1 + Ck2 (9.14)

Jak to uwidacznia rysunek 9.3, pojemność Ck1 jest połączona bezpośrednio z rzeczywistą masą układu, zaś pojemność Ck2 łączy się z masą pozorną na wejściu sumującego wzmacniacza operacyjnego. Tak więc na każdym odczepie linii działa taka sama pojemność efektywna, określona warunkiem (9.14), zaś odbiór sygnału nie zakłóca normalnej pracy linii. Wartości współ czynników wagi wk są w tym przypadku określone stosunkiem pojemności sprzęgającej Ck2 do pojemności CF

obwodu sprzężenia zwrotnego wzmacniacza operacyjnego.

F

kk C

Cw 2 (9.15)

z oczywistym ograniczeniem

0 < Ck2 < C (9.16)

Normalizując wk max do jedności, nakładamy warunek równości pojemności C i CF, dla którego wyrażenie (9.15) przekształca się do postaci

21

2

kk

kkN CC

Cw

(9.17)

237

Odzwierciedla on efekt rozpływu prądów w węźle danego odczepu pomiędzy po-jemności składowe Ck1 i Ck2.

Filtr transwersalny ze sprzężeniem pojemnościowym można również zrealizo-wać przy użyciu linii opóźniających o stałych rozłożonych [4]. Pewną trudność w tym przypadku stanowi problem odbioru sygnału z zadaną wagą. Jeśli dopuści-my stałą wartość współczynnika wagi równą wk max, to zagadnienie ekstrakcji syg-nałów upraszcza się do skrajnie prostej konfiguracji przedstawionej na rysunku 9.4.

Funkcję linii opóźniającej pełni tu odcinek kabla koncentrycznego z obustronnym dopasowaniem falowym, zaś odbiór sygnału dokonywany jest z jego elektrody (ekranu) zewnętrznej. Odpowiedź impulsowa takiego filtru ma przebieg prostokątny. Stwarza to dogodną możliwość syntezy złożonego filtru trapezoidalnego przez skojarzenia filtru transwersalnego omawianego typu z filtrem quasigaussowskim odpowiednio wysokiego rzędu.

Uzależnione od wymaganego czasu pomiaru Tm całkowite opóźnienie trans-misyjne linii TD kształtuje się na ogół na poziomie pojedynczych mikrosekund. Względy konstrukcyjne wykluczają zatem możliwość zastosowania w filtrze zwykłych kabli koncentrycznych, których opóźnienie jednostkowe wynosi około 5 ns/m.

238

Tm

DL

R0 = Z

0R

0

Ck1

Ck

2

WE

WY

CF

Rys. 9.3. Schemat filtru transwersalnego z pojemnościowo sprzężoną linią opóźniającą

R0 = Z

0R

0

WE

WY

CF

DL

Rys. 9.4. Schemat konfiguracji filtru transwersalnego z kablem koncentrycznym

Pod tym względem mogą być brane pod uwagę jedynie specjalne linie spiral-ne. Wśród nich, ze względu na łatwość dokonywania modyfikacji strukturalnych, wyróżniają się tak zwane „prętowe” linie spiralne (helical stick delay lines). Osno-wę takiej linii stanowi „pręt” z materiału ferromagnetycznego powleczony cienką warstewką izolacyjną. Na nim ułożona jest rozwarta przekładka z folii metalowej, na której z kolei nawinięte jest uzwojenie z cienkiego przewodu izolowanego. Przekładka pełni funkcję „zimnej” elektrody dla pojemności rozłożonych linii i jest na ogół łączona z rzeczywistą masą układu. Przez odpowiednio uprofilowane roz-cięcie wzdłużne uzyskuje się podział elementarnych pojemności „lokalnych” na dwie składowe dC1(x) oraz dC2(x), proporcjonalne do „lokalnych” szerokości przynależnych segmentów tej elektrody. W strukturze tego filtru jeden z segmen-tów przekładki połączony jest wprost z rzeczywistą masą układu, drugi natomiast z wejściem stowarzyszonego wzmacniacza operacyjnego. Rysunek 9.5 pokazuje konfigurację dyskutowanego układu, przedstawiając zarazem poglądowo podział metalowej elektrody (przekładki) na segmenty

Przypomina on znaną nam konfigurację z rysunku 9.3. Podobne będą zatem i formuły opisujące wartości współczynników wagi z tą tylko różnicą, że w miejsce wartości dyskretnych związanych z odczepami linii pojawią się ciągłe funkcje położenia „x” wzdłuż linii. Rysunek 8.5 uwidacznia nadto wspomagający układ przywracania poziomu zerowego (BLR). Restytucja poziomu zerowego dokony-wana jest w przedstawionej schematycznie wersji układowej w przerwach między impulsami filtrowanego sygnału. Normalnie aktywny, bramkowany wzmacniacz operacyjny, jest blokowany na czas transmisji sygnału działaniem sygnału wzbra-niającego VINH formowanego w osobnych – nie pokazanych na rysunku – sub-układach.

239

Rys. 9.5. Schemat filtru transwersalnego ze zmodyfikowaną linią opóźniającą

R0 = Z

0R

0

WE

WY

CF

DL

2

1

x

VINH

BLR

9.2. Filtry transwersalne z przyrządami CTD

Poważnym niedostatkiem filtrów transwersalnych z elektromagnetycznymi liniami opóźniającymi jest stała, z założenia, wartość opóźnienia transmisyjnego. Dotyczy to całej klasy układów stosujących inne media opóźniające (jak np. przyrządy z powierzchniową falą akustyczną) charakteryzujące się określoną, nie dającą się regulować wartością prędkości propagacji sygnału.

Korzystną alternatywę stanowią filtry z analogowymi liniami opóźniającymi wykonanymi na przyrządach z przenoszeniem ładunku CTD (Charge Ttransfer Devices).[5] Filtry takie są określane również mianem FILTRÓW Z PRÓBKO-WANIEM DANYCH (Sampled Data Filter).

Spośród rozmaitych, zaliczających się do tej kategorii przyrządów, praktyczne zastosowanie znalazły tu dwa ich rodzaje:

przyrządy typu ŁAŃCUCHA POŻAROWEGO – BBD (Bucket Brigade Devices), przyrządy o SPRZĘŻENIU ŁADUNKOWYM – CCD (Charge Coupled Devices).

Stanowią one kaskadę elementarnych komórek zdolnych do przejmowania ła-dunkowych próbek sygnału, przetrzymywania ich (pułapkowania) przez założony interwał czasu, oraz przekazywania go następnym komórkom. Nie wnikając na razie w szczegóły mechanizmów fizycznych odpowiedzialnych za proces przeno-szenia ładunku – różnych w obu rodzajach przyrządów CTD – zasadę ich dzia-łania można wyjaśnić przy pomocy przedstawionego na rysunku 9.6 uproszczone-go, blokowego schematu funkcjonalnego.

Próbka sygnału poprzez wejściowy układ kierujący jest wprowadzana do ele-mentu zapamiętującego, w którym jest ona przechowywana przez pożądany okres czasu, po czym, za pośrednictwem wyjściowego układu kierującego jest przekazy-wana do komórki następnej.

Całą kaskadę poprzedza wejściowy układ próbkujący, a poszczególne komórki wyposażone są w odpowiednie odczepy umożliwiające podłączenie układów śle-dzących zawartość każdego elementu pamiętającego. Kolejność uaktywniania

240

M 1 UKŁAD KIERUJĄCY

2 UKŁAD KIERUJĄCY

ELEMENT PAMIĘCI

WE WY

Rys. 9.6. Uproszczony schemat funkcjonalny komórki CTD

układów kierujących, jak również długotrwałość przetrzymywania próbki ła-dunkowej w pamięci komórki, kontrolowane są sygnałami autonomicznego zegara, który równocześnie (synchronicznie z wymienionymi procesami) steruje pracą wejściowego układu próbkującego.

W rezultacie, analogowy sygnał wejściowy jest cyklicznie próbkowany z zada-ną częstotliwością próbkowania fs a pobrane próbki są sukcesywnie przenoszone do coraz bardziej odległych komórek. Na wyjście kaskady docierają one po łącz-nym czasie opóźnienia TD równym

s

D fNT

1 (9.18)

gdzie N – liczba komórek w kaskadzie.

Ta prosta zależność uwidacznia bardzo ważną zaletę omawianego układu, a mianowicie łatwą możliwość regulacji czasu opóźnienia (w przedziale od poje-dynczych mikrosekund do dziesiątek milisekund) poprzez zmianę częstotliwości zegara fs.

Jak widać z przedstawionego opisu fenomenologicznego przyrząd CTD z od-czepami stanowi w istocie odpowiednik linii opóźniającej o stałych skupionych wyróżniający się podkreślaną już właściwością – regulowanego w szerokich granicach opóźnienia jednostkowego. Wykorzystanie go w układzie filtru trans-wersalnego wymaga skojarzenia przyrządu CTD z wejściem sumującego wzmacniacza operacyjnego w sposób zapewniający pożądane „ważenie” przekazy-wanych sygnałów. W tym celu stosowane są głównie dwie techniki [6].

technika zaczepów na bramce (gate tapping technique),oraz technika ważenia na elektrodzie (electrode weighting technique).

Obie te techniki znalazły zastosowanie w konstrukcji filtrów transwersalnych z przyrządami typu BBD; przyrządy typu CCD – z natury ich działania – dopusz-czają wykorzystanie tylko drugiej z wymienionych.

Przypomnijmy [5], że przenoszenie próbek sygnału analogowego w przyrzą-dach typu BBD zachodzi w procesie uzupełniania wprowadzonego uprzednio do komórki ładunku do ustalonego poziomu referencyjnego kosztem ładunku refe-rencyjnego komórki następnej. Innymi słowy, mamy tu do czynienia z transferem „niedoboru ładunku”. Dla prawidłowego przebiegu tego procesu wymagane jest wyraźne oddzielenie w czasie stanów aktywnych kolejnych układów tranzystorów kierujących, który to warunek spełniany jest dzięki odpowiedniemu uformowaniu sygnałów zegarowych i organizacji systemu sterowania.

241

Za przykładowy wzór dla realizacji tego rodzaju filtrów dla potrzeb spektro-metrii amplitudowej można uznać opracowanie firmy Texas Instruments [6]. Podstawową jego strukturę i konfigurację elementarnej komórki „łańcucha” pokazano schematycznie na rysunku 9.7. Komórkę elementarną tworzą tranzys-torowe klucze kierujące (T1 i T2) wraz ze stowarzyszonymi pojemnościami akumulującymi (C1 i C2). W jej skład wchodzi nadto – pracujący w technice „gate trapping” – układ nieniszczącego odbioru sygnału. Transfer niedoboru ładunku zdeponowanego pierwotnie w pojemności C1 komórki następuje w dwóch kolej-nych, funkcjonalnie identycznych fazach pod działaniem sterujących sygnałów zegarowych 1 i 2 . W trakcie pierwszej fazy stan naładowania C1 ulega przenie-sieniu na C2, zaś w ciągu fazy drugiej następuje jego przeniesienie do kolejnej komórki przyrządu. Na powołanym rysunku uwidoczniono też przebiegi obu syg-nałów zegarowych eksponując ich wzajemne relacje czasowe.

Zmiana stanu naładowania pojemności akumulującej C1 prowadzi w kon-sekwencji do zmiany panującego się na niej napięcia Vk. Uformowany w ten spo-sób sygnał napięciowy jest następnie transformowany w stopniu ważonego odbioru sygnału w proporcjonalny sygnał prądowy Ik . Układ nieniszczącego odbioru i wa-żenia sygnału tworzą tranzystory T3 i T4; pierwszy pracujący w konfiguracji wtórnika źródłowego, drugi zaś, stanowiący jego obciążenie dynamiczne, pełni funkcję sterowanej konduktancji Gk. Relacja między Vk i Ik przyjmuje więc postać

kkk GVI (9.19)

Formalnie parametr Gk można traktować jako współczynnik wagi wk gałęzi związanej z k-tą komórką kaskady, determinowany przez dobieraną celowo war-tość napięcia polaryzacji bramki VGG. Równoległe przyłączenie wyjść wszystkich układów ważonej ekstrakcji sygnału do sumującego wejścia konwertera prądowo-

242

Rys. 9.7. Schemat przyrządu BBD w układzie ważonego odbioru sygnału techniką zaczepu na bramce (GATE TAPPING)

2

1

t

ik

-VDD

-VGG

1

2

T1

T2

T3

T4

C1

C2

Gk

WEWY

i

k

ik

R 1 N kUPP UPŁ

napięciowego prowadzi do realizacji struktury filtru transwersalnego BBD. Uzupeł-niają ją po obu krańcach kaskady komórek transferujących: wejściowy układ próbkująco-pamiętający (UPP) oraz wyjściowy układ przywracania ładunku (UPŁ)

W przedstawionym opisie przyrządu BBD posłużono się wersją ze sterowa-niem dwufazowym. Łatwo zauważyć, że w takim przypadku tylko połowa komó-rek układu zawiera niedobór ładunku sygnałowego, co powoduje mało efektywne wykorzystanie miejsca w strukturze przestrzennej przyrządu. Poprawę w tym względzie udaje się osiągnąć przez zastosowanie bardziej złożonych systemów ste-rowania wielofazowego. Można wykazać [5], że w przyrządzie o sterowaniu p-fa-zowym względna liczba komórek magazynujących sygnał, odniesiona do całko-witej ich ilości w przyrządzie wynosi

p

p

N

N m 1 (9.20)

Lepsze wykorzystanie materiałowe okupione jest wszakże znaczącym skróceniem czasu transferu niedoboru ładunku.

Przyrządy typu ŁAŃCUCHA POŻAROWEGO można wykonać zarówno na ele-mentach dyskretnych jak i w technice układów scalonych. Względy ekonomiczne przesądzają o preferencji drugiej techniki w masowej produkcji przyrządów BBD o dużej liczbie komórek.

Realizację przyrządów o SPRZĘŻENIU ŁADUNKOWYM (CDD) dopuszcza je-dynie technologia monolitycznych struktur scalonych MOS. Dla przypomnienia zasady ich działania odwołajmy się do najprostszej konfiguracji układu przedstawionej na rysunku 9.8.

243

Rys. 9.8. Poglądowy schemat fragmentu przyrządu CCD o sterowaniu 3-fazowym

V3

+

V3

-

V1

V2

Al

Si

SiO2

Zawiera on kaskadę kondensatorów MOS uformowanych na wspólnym pod-łożu krzemowym. Na przykładowym schemacie przyrządu przyjęto krzem typu „p”. Podłoże struktury stanowi w konsekwencji wspólną elektrodę całego zespołu kondensatorów, natomiast indywidualne elektrody metalowe są skojarzone w trzy grupy zgodnie z przyjętym systemem sterowania 3-fazowego, Uzyskuje się w ten sposób łańcuch tripletów stanowiących funkcjonalne komórki przyrządu.

Impulsy sterujące podawane są na stałym piedestale polaryzacji spoczynkowej, dając w rezultacie charakterystyczny, uwidoczniony na rysunku, kształt warstwy deplecyjnej w półprzewodniku. Poszerzone jej strefy związane są z podwyższo-nymi lokalnie potencjałami polaryzacji, wywołanymi działaniem przełączających impulsów sterujących.

Analogiczny w formie jest przynależny rozkład potencjału powierzchniowego (tj. potencjału na powierzchni granicznej Si-SiO2) wzdłuż kaskady. Występujące tu cyklicznie jamy potencjału tworzą pułapki dla mniejszościowych nośników ładun-ku (w danym przypadku – elektronów) wprowadzonych uprzednio do przyrządu. Służą one do przetrzymywania i transportu tych porcji ładunku w efekcie sterowa-nego przemieszczania lokalnych, wzajemnie izolowanych jam potencjału.

Czas przetrzymywania ładunku w pułapce uwarunkowany jest częstotliwością repetycji impulsów sterujących, zaś przesuwania jam potencjału – właściwą se-kwencją pojawiania się tych impulsów na kolejnych elektrodach tripletów, przy dopełnieniu warunku niewielkiego wzajemnego przekrycia (overlappingu).

Ważonej ekstrakcji sygnału ładunkowego z poszczególnych komórek przy-rządu dokonuje się, jak już wspomniano, techniką ważenia na elektrodzie (ELECTRODE WEIGHTING TECNIQUE) [4]. Wykorzystywana jest w tym celu trzecia elektroda każdego tripletu, zwana elektrodą detekcyjną.

Zasada pomiaru przy użyciu tej techniki opiera się na liniowej zależności między ładunkiem wprowadzonym pod elektrodę detekcyjną a całką prądu do niej dopływającego podczas transferu ładunku. Problem pomiarowy sprowadza się więc do zastosowania integratora prądu na linii elektrod detekcyjnych . Taka prosta organizacja odbioru sygnału nie zapewnia jeszcze wymaganego „ważenia”. Jego realizację umożliwia równie prosty w koncepcji układ pomiaru różnicowego z dzielonymi elektrodami detekcyjnymi. W wyniku podziału elektrody detekcyjnej na dwa segmenty o różnych (z założenia) powierzchniach otrzymujemy w miejsce pojedynczego sygnału komórki parę sygnałów składowych proporcjonalnych do powierzchni segmentów. Łatwo wykazać, że różnica obu sygnałów jest równo-ważna globalnemu sygnałowi elektrody detekcyjnej ważonemu z wagą równą względnej różnicy powierzchni obu jej segmentów. Poprzez odpowiedni podział elektrod można zatem uzyskać wymagany stopień attenuacji sygnału, a tym samym, wartość współczynnika wagi dla poszczególnych komórek przyrządu. Podział taki musi być wprowadzony już w procesie technologicznym produkcji

244

przyrządu i nie może być potem korygowany. Innymi słowy, funkcja wagi w tego rodzaju przyrządzie jest trwale zaprogramowana. Na rysunku 9.9 przedstawiono schematycznie organizację operacji ważonego odbioru sygnałów oraz ich sumo-wania, uwidaczniając zarazem poglądowo kształt zaprogramowanej funkcji wagi.

Filtry transwersalne, jak zresztą omówione w poprzednim rozdziale filtry niestacjonarne, nie znalazły zastosowania w standardowych rozwiązaniach fa-brycznych wzmacniaczy kształtujących. Wynika to z konieczności rozbudowy układu o wspomagające bloki funkcjonalne podnoszące znacznie koszt realizacji, a po części również z faktu, że rutynowa, amplitudowa spektrometria jądrowa zadowala się rezultatami osiągalnymi przy zastosowaniu stacjonarnych filtrów aktywnych. Nie mniej jednak podejmowano próby implementacji tego rodzaju filtrów do konwencjonalnych systemów spektrometrycznych. Uwadze czytelnika polecić można, dla przykładu, opracowanie J. Melberta [8] wdrożone praktycznie do systemu spektrometrii gamma z detektorem Si (Li).

Literatura.

[1] V. Radeka, N. Karlovač.: Least-Square-Error Amplitude Measurement of Pulse Signals in Presence of Noise. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 52,

86, 1967

[2] A. Papoulis.: Obwody i układy. Wyd. Komunikacji i Łączności, Warszawa,

1988

245

Rys. 9.9. Schemat układu filtru wykonanego w technice „ważenia na elektrodzie”

V2

V3

-

WY

V1

V3

+

[3] P. De Wit, A.C. Wolf.:The Use of Tapped Delay Lines for Optimal Filtering of

Nuclear Pulses. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 61, 237, 1968

[4] G.L. Miller, D.A. Robinson.: Transversal Filters for Pulse Spectroscopy. IEEE

Transactions on Nuclear Science, NS-22, No. 5, 2022, 1975

[5] G.S. Hobson.: Przyrządy z przenoszeniem ładunku. WNT, Warszawa, 1981

[6] D.D. Buss, D.R. Collins, W.H. Balley, C.R. Reeves.: Transversal Filtering Using Charge-Transfer Devices. IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol.

SC-8, 138, 1973

[7] D.D. Buss, W.H. Balley, D.R. Collins.: Matched Filtering Using Tapped Bucked-Brigade Delay Liones. Electronic Letters, Vol. 8. No. 4, 106, 1972

[8] J.G. Melbert.: CCD Transversal Filter for Pulse Shaping. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS-34, No. 1, 312, 1977

246

10. Filtracja cyfrowa w spektrometrach promieniowania jądrowego

Każdy fizycznie realizowalny, stacjonarny filtr analogowy można zrealizować w formie równoważnego filtru cyfrowego. To główny wniosek wynikający z trak-tatu K. Steiglitza [1] o izomorfizmie przestrzeni sygnału analogowego L2(-,) i cyfrowego l2.

Możliwość zastąpienia filtru analogowego filtrem cyfrowym uwarunkowana jest uprzednią przemianą sygnału analogowego w uzyskiwany w procesie digita-lizacji, równoważny sygnał cyfrowy. Proces ten obejmuje sekwencję dwu operacji:pobieranie próbek przebiegu analogowego (próbkowania) i ich kwantyzację (kon-wersję a/c). Rysunek 10.1 ilustruje istotę pierwszej operacji. Polega ona na wybo-

rze z nieskończonego zbioru chwilowych wartości sygnału wejściowego si(t) skoń-czonej ich liczby n równomiernie rozłożonych w obrębie czasu pomiaru sygnału Ti Tak wydzielony zbiór próbek odwzorowuje wiernie przebieg pierwotny pod warunkiem ścisłej odwracalności procesu próbkowania sformułowanym w twier-dzeniu Kotielnikowa - Shannona [2],[3]

1) .

Orzeka ono, że sygnał ciągły o skończonym widmie może być odtworzony z pełną dokładnością ze swej postaci spróbkowanej, jeśli był spróbkowany z częs-

1) Znane także pod nazwą „twierdzenia Whittakera-Nyquista-Kotielnikowa-Shannona” względnie „twierdzenia o próbkowaniu”

247

Rys. 10.1. Symulowane przebiegi sygnału wejściowego a) przed spróbkowaniem b) po spróbkowaniu T

pr – okres próbkowania

si (t)

t

a)

s (t)

t

b) Tpr

totliwością fs co najmniej dwukrotnie większą od krańcowej (maksymalnej) częstotliwości fkr swego widma.

Tak zdefiniowana częstotliwość próbkowania

krpr ff 2 (10.1)

zwana jest częstotliwością Nyquista W praktyce zależność (10.1) wygodniej jest odnosić do pulsacji. W tych termi-nach przybiera ona postać

pr

prkr T

2 (10.2)

gdzie: ωpr=2πfpr, ωkr=2πfkr, zaś symbol Tpr oznacza okres próbkowania, (zwany również granicznym przedziałem próbkowania lub przedziałem Nyquista)

W spektrometrii jądrowej widma sygnałów (impulsów) generowanych w de-tektorach promieniowania są nieograniczone, nie spełniają więc podstawowego warunku twierdzenia o próbkowaniu. Ich przebiegi charakteryzują się jednak sil-nym spadkiem w miarę wzrostu pulsacji przyjmując pomijalnie niskie wartości powyżej pewnego progu odcięcia ωodc Położenie tego progu jest oczywiście dla różnych sygnałów różne. Rysunek 10.2 ukazuje, na przykładzie impulsu eksponen-cjalnego i jego widma, swobodę w doborze tego progu.

t

ets 1)( 21

221)(

S

Nadając częstotliwości odcięcia ωodc atrybut krańcowej częstotliwości maksy-malnej ωkr widma popełniamy oczywisty błąd. Można go jednak praktycznie do-wolnie zmniejszyć dobierając racjonalnie wartość progu odcięcia.[4].

Wydzielania próbek ciągłego sygnału analogowego Sa(t) dokonuje się na dro-dze kluczowania impulsowego lub (częściej) modulacji iloczynowej. Uformowany w tej operacji zdyskretyzowany sygnał wyjściowy )(tSn przybiera więc postać

)()()( tStmtS an (10.3)

248

Rys. 10.2. Przykładowe przebiegi sygnału i jego widma z zaznaczoną (dobraną) częstotliwością odcięcia ω

odc

ωodc ω

10-1 1.0 10 100 1000

t

0 2 4 6 8 10

gdzie m(t) przedstawia funkcję modulacji impulsowej

0n

nTtTtm 2) (10.4)

a symbolem T oznaczono dla zwięzłości zapisu okres próbkowania (T = Tpr)W ostatecznym wyniku otrzymujemy więc

00

)()()()()(n

an

an nTtnTSTnTttSTtS (10.5)

Dopełnieniem procesu digitalizacji jest operacja kwantyzacji zbioru analo-gowych próbek sygnału ciągłego. Na schemacie blokowym (Rys.10.3) oznaczono ją symbolem Q (quantizer) i skojarzono w jednym bloku ADC z operacją próbko-wania (sampling); n.b. takie skojarzenie realizuje funkcjonalnie konwerter a/c typu flash (FADC) pracujący w trybie „free running”[6], [7].

Podobnie też w jednym bloku funkcjonalnym zawarto dwa subukłady: znany nam już układ kompensacji par biegun-zero (PZC) oraz filtr antyaliasingowy, zadaniem którego, mówiąc najogólniej, jest dopełnienie wymogu kryterium Nyquista.

Ostatni człon funkcjonalny tego toru to blok filtru cyfrowego. Jego własności opisywane są – analogicznie jak filtru analogowego – zarówno w dziedzinie częs-totliwości jak i w dziedzinie czasu.

W pierwszym przypadku sygnał w postaci ciągu próbek poddawany jest dys-kretnej transformacji Fouriera (DFT), a uzyskana w tej procedurze charakterysty-ka częstotliwościowa korygowana jest stosownie do wymagań filtracji w drodze odpowiednich manipulacji matematycznych. Z kolei transformacja cyfrowo-ana-logowa (DAC) sprowadza ją ponownie do formy analogowej. W dziedzinie czasu własności filtru opisuje charakterystyka impulsowa, która w wersji cyfrowej dana jest w formie skończonego ciągu liczb. W procedurze spla-

2) Ta postać różni się od dystrybucji grzebieniowej „sza” czynnikiem T wprowadzonym w celu zachowania (w przybliżeniu) zgodności mocy sygnałów: ciągłego i zdyskretyzowa- nego [5]

249

Rys. 10.3. Schemat blokowy toru spektrometrycznego z filtracją cyfrową

detektor

Qsamp

FILTRCYFROWY

PZC + FILTR ANTYALIAS

WZMACNIACZ

WSTĘPNY

Y

tania ich ze zdyskretyzowanym sygnałem wejściowym mogą być one wykorzysta-ne wprost bądź po uprzednim przetworzeniu.

Przypomnijmy, że w analizie filtrów analogowych korzystaliśmy z ciągłej formy funkcji h(t) i jej transformaty Laplace’a h(s). W sferze filtrów cyfrowych posługujemy się natomiast dyskretną aproksymacją funkcji ciągłej hn(t) h(nT) oraz jej transformatą „z”[8], [9].

Zważywszy, że hn(t) de facto jest sygnałem (odpowiedzią filtru na wymuszenie dirakowskie), możemy go wyrazić wg formuły (10.5)

0

)()()()()(n

aan nTtnThTtmthth (10.6)

a jego transformata Laplace’owska (transmitancja filtru) przyjmuje postać

00

)][exp()()()(n

n

n

snTn sTnThTenThTsh (10.7)

Zauważmy, że czynnik [exp(-sT)] określa jednostkowe (w terminach interwału próbkowania T) opóźnienie sygnału. Przyjęto go traktować jako nową zmienną „z”

z = esT (10.8)

względem której dokonuje się przekształcenia zdyskretyzowanej funkcji czasu h(nT).Ten sposób transformacji sygnału zwany jest standardową transformacją . Dla ciągu wartości dyskretnych f (n) wyraża ją relacja

0

)()()]([n

nznfzHnfZ (10.9)

o strukturze podobnej do przekształcenia Laplace’a funkcji ciągłych f(t).

Dla dyskutowanej funkcji odpowiedzi impulsowej uzyskujemy więc wyrażenie3)

00

1 )()()(n

nn

n

nn zAznThTzhzH (10.10)

gdzie

)(nThTAn (10.11)

Urealniając równanie (10.10) można w nim przyjąć dostatecznie dużą, skończoną wartość (N) górnej granicy sumowania (tj. skończoną liczbę ogniw opóźniających), co sprowadza go do postaci

3) Ogólnie słuszne dla dowolnego sygnału Sn(t) =S(nT)

250

N

n

nnn zAzh

0

1)( (10.12)

Równanie to pozwala wykreślić diagram przepływu sygnału w układzie filtru stanowiący podstawę jego praktycznej realizacji, tak hardware’owej jak i soft-ware’owej. W pierwszej z wymienionych form realizacyjnych odzwierciedla on wprost strukturę układu filtru. Przedstawiono ją na rysunku 10.4.

Łatwo zauważyć4), że jest ona w istocie emulacją cyfrową analogowe-go filtru transwersalnego.

Ze względu na sposób tworzenia sygnału wyjściowego5) filtr ten zwany jest filtrem nierekursywnym. a wobec skończonego czasu trwania jego odpowiedzi impulsowej zaliczany jest do kategorii filtrów oznaczanych skrótowo akronimem FIR (Finite Impulse Response).

Alternatywą filtrów nierekursywnych są filtry rekursywne 6) o nieskończo-nym czasie odpowiedzi impulsowej IIR (Infinite Impulse Response). Niezbędny dla ich realizacji diagram przepływu sygnału można wyznaczyć – podobnie jak poprzednio – w oparciu o równanie (10.6) w którym miast wiązać ze sobą funkcje h(t) i m(t), wykorzystuje się transformatę Laplace’a iloczynu obu tych funkcji cza-su [5].Procedura ta prowadzi finalnie do wyznaczenia transformaty transmi-tancji filtru. W ogólnym przypadku filtru fizycznie realizowalnego (kauzalnego) przybiera ona formę

MM

NN

zazaza

zbzbzbb

zA

zBzH

......1

.....

)(

)()(

22

11

22

110

1

11

(10.13)

gdzie B(z-1) i A(z-1) oznaczają odpowiednio transformaty odpowiedzi i wymu-szenia, zaś większa z wielkości N lub M decyduje o rzędzie filtru.

4) Porównaj z rysunkiem 8.2 5) Bieżąca odpowiedź filtru nie zależy od jej wcześniejszej wartości.6) Bieżąca odpowiedź filtru zależy również od jej uprzedniej wartości

251

z-1z-1WE

WY

Ao A

1 A

n-1 A

n

Rys. 10.4. Schemat struktury transwersalnego filtru cyfrowego

Rysunki 10.5 i 10.6 przedstawiają dwie formy diagramu przepływu sygnału filtru drugiego rzędu (Biquad)7), skonstruowanego na podstawie powyższego rów-nania. Powszechnie przyjęto określać je według terminologii angielskiej mianem „Direct Form I” oraz odpowiednio „Direct Form II”. W sposób bezpośredni de-terminują one strukturę filtru8).

Korzystając z zasady przemienności strukturę z rys, 10.5 można sprowadzić do drugiej postaci poprzez zamianę położeń sekcji lewostronnych (licznika) z prawo-stronnymi (mianownika). W tak zrekonfigurowanej strukturze kolumny członów opóźniających okazują się wzajemnie redundancyjnymi. Można zatem we wspól-nej gałęzi członów opóźniających posłużyć się tylko jedną ich kolumną, tak jak to pokazuje rysunek 10.6.

Struktura Direct Form II w ogólnym przypadku wymaga znacznie mniej czło-nów funkcjonalnych aniżeli jej „protoplasta” – Direct Form I. Z tego też względu nazywana jest formą kanoniczną.

7) Biquad – “biquadratic”8) Współczynniki licznika H(z-1) są mnożnikami (cyfrowymi) prawej zaś współczynniki mianownika odpowiednio lewej sub-gałęzi struktury filtru.

252

b0

b1

b2

- 1

- 2

z-1

z-1

z-1

z-1

WE(n) WY(n)

Rys. 10.5. Schemat struktury rekursywnego filtru cyfrowego drugiego rzędu (Biquad) – wersji „Direct Form I”

Rys.10.6. Schemat struktury rekursywnego filtru cyfrowego drugiego rzędu (Biquad) – wersji „Direct Form II”

WY(n) b

0

- 1

b1

z-1

z-1

- 2

b2

WE(n)

W przypadkach syntezy cyfrowego symulatora filtru analogowego, gdy zadana (znana) jest postać jego transmitancji H(s), wygodniej jest korzystać z innego ro-dzaju transformacji – przekształcenia bilinearnego [10]9). Wiąże ono zmienne zespolone s i z zależnością

1

1

1

12

z

z

Ts (10.14)

Uzyskano ją na drodze dwu kolejnych przekształceń 1ss oraz zs 1 :

21Ts

ths (10.15)

T

zs

)(ln1 (10.16)

Korzystając z zależności )]exp(1/[)]exp(1[)2/( xxxth napiszemy więc

Ts

Ts

e

e

T

Tsth

Ts

1

1

1

12

2

2 1 (10.17)

by po podstawieniu (10.16) do (10.17) otrzymać podaną wyżej zależność (10.14) Zauważmy, że transformacja bilinearna stanowi przybliżenie pierwszego rzędu standardowej metody unilateralnej. Wynika to wprost z rozwinięcia wyra-żenia (10.16) w szereg potęgowy [11].

........1

1

7

1

1

1

5

1

1

1

3

1

1

12

1)ln(

1753

z

z

z

z

z

z

z

z

Tz

Ts (10.18)

jeśli zaniedbać w nim wszystkie wyrazy w potęgach większych od jedności. Na miarę założonego stopnia przybliżenia otrzymujemy wówczas odpowiednio:

dla przekształcenia zs 1

1

1

12

1

12

z

z

Tz

z

Ts (10.19)

dla przekształcenia sz sT

sT

e

ez

sT

sT

s

s

T

T

2

2

1

1

2

2

2

2

(10.20)

Przedstawione w zarysie główne metody transformacji zilustrujemy pros-tymi przykładami ich praktycznego wykorzystania w procedurze syntezy cyfrowe-go symulatora dolnoprzepustowego filtru RC pierwszego rzędu. (Rys. 10.7)10)

9) Zwanego również transformacją Tustina10) Przykładowe obliczenia filtru trzeciego rzędu podano w Dodatku H

253

Celem obu dyskutowanych metod jest wyznaczenie transformaty przepus-towości operatorowej filtru [H(s)]=H(z-1), a w konsekwencji – określenie struktu-ry symulatora cyfrowego.

W standardowej metodzie unilateralnej. transformacji dokonuje się we-dług zależności definicyjnej (10.9) po uprzednim wyznaczeniu zdyskretyzowanej odpowiedzi impulsowej filtru analogowego h(nT). Zestawmy kolejne kroki tej pro-cedury obliczeniowej

Obliczenie transmitancji filtru analogowego

RC

RC

ssRCsH

1

1

1

1)(

(10.21)

Wyznaczenie charakterystyki impulsowej

RC

t

eRC

th

1 (10.22)

Aproksymacja cyfrowa funkcji h(t) 11)

RC

nT

eRC

TnTh

(10.23)

Wyznaczenie transformaty [h(nT)]

1

1

11

zeze

ze

RC

Tzh

RCT

RCT

RCT

RCT

(10.24)

W terminach ogólnej formuły (10.13) przybiera ona postać

11

0

1)(

za

bzH (10.25)

11) z uwarunkowaniem przypisu 2)

254

Rys. 10.7. Analogowy filtr dolnoprzepustowy RC

RC WE WY

określającą strukturę filtru cyfrowego. Przedstawiono ją na rysunku 10.8.

W metodzie bilinearnej transformacji przejście z obszaru s do z następuje w drodze bezpośredniego podstawienia związku (10.18) do funkcji przepustowości operatorowej (10.21)

)1()1(2

)1()(

1

1

1

12 zTzRC

zTsHzH

z

z

Ts

zTRCTRC

z

)/21()/21(

)1(

(10.26)

czyli

11

110

1

11

1)/21()/21(

1)(

za

zbb

zTRCTRC

zzH (10.27)

gdzie: TRC

bb/21

110 ;

TRC

TRCa

/21

/211

Struktura równania (10.27) i wartości jego stałych współczynników determinu-ją – podobnie jak w poprzednim przypadku – strukturę tej wersji filtru cyfrowego (Rys. 10.9).

255

Rys. 10.8. Schemat struktury cyfrowego odpowiednika filtru (R-C) (wg metody standardowej)

T/RC

z-1

-1

b0

WE WY

Rys. 10.9. Schemat struktury cyfrowego odpowiednika filtru (R-C) (wg metody bilinearnej)

b0

b1-

1

z-1

WE WY

W realizacji hardware’owej (sprzętowej) określa on symbolicznie rodzaje bloków funkcjonalnych ich rozmieszczenie w sieci układu filtru oraz podaje war-tości realizowanych przez nie operacji (sumowania, mnożenia i opóźnienia). W al-ternatywnej realizacji software’owej, gdy zadane operacje matematyczne wykonuje komputer lub dedykowany procesor, stanowi podstawę ich oprogramowania

Wdrażanie metod cyfrowej filtracji sygnału do spektrometrycznych systemów pomiarowych zainicjowało (w roku 1975) „pilotowe” opracowanie H. Koemana – cyfrowy filtr transwersalny [12],[13]. Upowszechnienie tej techniki w formie roz-wiązań hardware’owych następowało na miarę ogólnego rozwoju elementów i uk-ładów „szybkiej elektroniki”; w szczególności konwerterów FADC (Flash ADC) oraz programowalnych układów logicznych PLD (Programmable Logical Devi-ces). Dobrą ilustracją tego trendu rozwojowego może być pobieżna choćby kwerenda materiałów źródłowych. Włączono ją do wykazu literatury w pozycjach od [14] do [23].

Podstawę hardware’owych realizacji filtrów cyfrowych, w szczególności zaś ich symulatorów komputerowych stanowią algorytmy skonstruowane na gruncie wybranej metody ich syntezy [24]. Stąd też w literaturze przedmiotu pojawiło się w minionym dwudziestoleciu wiele publikacji poświęconych metodom syntezy fil-trów optymalnych, dedykowanych dla potrzeb spektrometrii wysokiej rozdziel-czości. Szczegółowa ich prezentacja wybiegałaby poza założone ramy niniejszej monografii, ograniczymy się zatem tylko do uwzględnienia ich w wykazie litera-tury. {poz. od [25] do [38]). Z wyjątkiem publikacji [27] i [38} są to prace Zespo-łu Politechniki Mediolańskiej 12). Ilustrują one ewolucję koncepcji optymalnego fil-tru cyfrowego na bazie metody najmniejszych kwadratów (LMS). Jej finalnym efektem jest „Cyfrowa Metoda Najmniejszych Kwadratów z Karą” (DPLMS) 14)

syntezy filtrów z uwzględnieniem dowolnych ograniczeń (jak np. deficyt balis-tyczny, skończony czas odpowiedzi czy efekt spiętrzania) i rodzajów szumów [36], [37].

Literatura

[1] K. Steiglitz.: The Equivalence of Digital and Analog Signal Processing. Infor- mation and Control. Vol. 8., No.5., 455, October 1965

12) Prof, E. Gatti’ego14) Digital Penalyzed Least Mean Squares

256

[2] B.A. Kотелъников : О пропускной способности эфира и проволоки в элек- тросвязи. Ред. Управл. Связи. ПККА, 1933

[3] C.E. Shannon.: A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal, Vol. 27, 379÷423 i 623÷656, 1948

[4] J.Szabatin.: Podstawy teorii sygnałów. Wyd. Komunikacji. i Łączności, War- szawa 1982

[5] G.C.Temes, S.K. Mitra (red.).: Modern Filter Theory and Design. A Wiley In- terscience Publications, John Wiley and Sons, New York; London; Syd- ney; Toronto. 1973 Polskie tłumaczenie B.Galińskiego: Teoria i projektowanie filtrów. WNT, Warszawa 1978

[6] Hao Peng, P.D. Olcott, A.M.K. Fondray, C.S. Levin.: Evaluation of free-run- ning ADCs for high resolution PET data acquisition . 2007 IEEE Nuclear Science Symposiom, Conference Record M18-34, 3328

[7] J.R.Ragazzini, I.A.Zadeh.: The analysis of sampled-data systems. Trans, Am. Inst. Electr.. Eng. Vol. 71, 225, (1952)

[8] E.I.Jury.: Przekształcenie Z i jego zastosowania. PWN, W-wa 1972

[9] R.M. Golden, J.F. Kaiser.: Design of wideband sampled-data filters. Bell Sys- tem Techn. Journ., Vol. 46, Part 2. 1533, July 1964

[10] E. Adams.: Smitsonian mathematical formulae. Washington, 1922

[11] H. Koeman.: Principle of operation and properties of a transversal di- gital filter. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 123, 169, 1975[12] H. Koeman.: Practical performance of the transversal, digital filter in con- junction with X-ray detector and preamplifier. Nuclear Instruments and Me- thods, Vol. 123, 181, 1975

[13] V.T. Jordanov, G.F. Knoll.: Digital Pulse Processor Using A Moving Average

Technuque. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 40, 764, No.4. August 1975

[14] A. Gieorgiev, W. Gast.: Digital Pulse processing in High Resolution, High Throughput Gamma Ray Spectroscopy> IEEE Transactions on Nuclear Science, Vol. 40, No. 4, 770, August 1993

[15] N. Bingefors et al.: A novel technique for fast pulse-shaping using a slow amplifier at LHC. Nuclear Instruments and Methods, Vol. A 326, 112, 1993

[16] M. Rost, W. Weihs.: 30 MHz hardware digital filter for signals of the ZEUS forward tracking detector. Nuclear Instruments and Methods, Vol. A 345, 324, 1994

257

[17] P.C.P.S. Simőes, J,C. Martins, C.M.B.A. Correia.: A New Digital Signal Pro- cesing Technique for Application in Nuclear Spectroscopy . IEEE Trans- actions. on Nuclear Science. Vol. 43, No.3, 1804, June 1996

[18] G.P. Wesphal, K. Jöstl, P. Schröder, W.Winkelbauer.:Adaptuve Digital Filter for High-Rate Hugh-Resolution Gamma Spectroscopy. IEEE Transactions. on Nuclear Science. Vol. 48, No.3, 461, June 2001

[19] M. Streun, G. Brandenburg, H. Larue, E. Zimmermann, K. Ziemons, H. Hall- |ing.: A PET system with free-running ADCs. Nuclear Instruments and Me- thods, Vol. A 486, 18, 2002

[20] G. Seferiadis, M. Pouchet, M.P. Gough.: FPGA implementation of a delay-line readout system for a particle detector. Measurement, Vol.30, 90, 2006

[21] M. Bogovac, M. Jakšič, D. Węgrzynek, A. Markowicz.: Digital pulse pro- cessor for ion beam microprobe tomography. Nuclear Instruments and Me- thods, Vol. A 608, 157, (2009

[22] D. Alberto, E. Falletti, L.Ferrero, R. Garello. M. Greco, M. Maggiora.: FPGA implementation of digital filters for nuclear detectors . Nuclear Instruments and Methods, Vol. A 611, 99, 2009

[23] PX4 Digital Pulse Processor User’s Manual Rev A1 DP-4 Digital Pulse Processor User Manual. DP-5 Digital Pulse Processor User Manual and Operating Instructions Amptek, Inc http://www.amptek.com

[24] A.V. Oppenheim, R.W. Shafer.: Discrete-Time Signal Processing. 2-nd Edi- tion, Prentice Hall Signal Processing Series, ISBN 0-13-754920-2. 1999

[25] E.Gatti, M.Sampietro.: Optimum filters for detector charge measurement in presence of 1/f noise. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 287, 1990, 513-520

[26] G.Bertuccio, E Gatti, M. Sampietro.: Sampling and optimum data processing of detector signals. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 322, 1992, 271-279

[27] V. T. Jordanov, G. F. Knoll.: Digital synthesis of pulse shapes in real time for high resolution radiation spectroscopy. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 345, 1994, 337-345

[28] G. Ripamonti, A. Castoldi, E. Gatti.: :Multiple delay line shaping: a new class of weighting functions suitable for digital signal processing. Nuclear Instru- ments and Methods in Physics Research,, A 340, 1994, 584

258

[29] A. Geraci, E. Gatti.: Optimum filters for charge measurements in the presence of 1/f noise. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 361 1995, 277-289

[30] E. Gatti, A. Geraci, G. Ripamonti.: Automatic synthesis of optimum filters with arbitrary constraints and noises: a new method.: Nuclear Instruments and Me- thods in Physics Research, A-381, 1996, 117-127

[31] E. Gatti, A Geraci G, Ripamonti.: Optimum time-limited filters for input sig- nals of arbitrary shape. Nuclear Instruments and Methods in Physics Re- search, A 395, 1997, 226-230

[32] E. Gatti, A. Geraci, G. Ripamonti.: Optimum filters from experimentally mea- sured high resolution nuclear spectroscopy. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 417, 1998, 131-136

[33] E. Gatii, A. Geraci, Ch. Guazzoni.: Multiple read-out of signals in presence of arbitrary noises. Optimum filters. Nuclear Instruments and Methods in Physics

Research, A 417, 1998, 342-353

[34] E. Gattu, A. Geraci, G. Ripamonti.: Timing of pulses of any shape with arbi- trary constraints an noises: optimum filters synthesis methods . Nuclear Instru- ments and Methods in Physics Research, A 457, 2001, 347-355

[35] A. Geraci, I. Rech, E. Gatti, G, Ripamonti.: Shared baseline restoration at mi- nimum noise for high resolution spectroscopy . Nuclear Instruments and Me- thods in Physics Research, A 482, 2002, 441-448

[36] S. Riboldi, A. Geraci, R. Abbiati, E. Ratti, G, Ripamonti.: A new method for LMS synthesis of optimum finite impulse response (FIR) filters with arbitrary time and frequency constraints and noises. Proceedings of 2002 IEEE Nuclear Science Symposium, Virginia, USA, November 10-16, 2002, 198-202

[37] E. Gatti, A. Geraci, S. Riboldi, G.Ripamonti.: Digital Penalized LMS method for filter synthesis with arbitrary constraints and noise. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 523, 2004, 167-185

[38] D. Alberto, M.P. Bussa, E. Falletti, L. Ferrero, R. Garello, A. Grasso, M. Gre- co, M. Maggiora.: Digital filtering for noise reduction in nuclear detectors. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, A 594, 2008, 382-388

259

260

Dodatek A Twierdzenie Ramo-Shockleya

Ogólny dowód twierdzenia Ramo-Shockleya, oparty na zmodyfikowanej pos-taci tożsamości Greena, podali Hunsuk, Min, Tang i Park. Zgodnie z ich kon-cepcją rozważmy system M dowolnie ukształtowanych elektrod mieszczących się w niejednorodnym ośrodku o znanym rozkładzie przestrzennym stałej dielek-trycznej (r). Potencjały tych elektrod ak(t) (dla k=1,....M) wymuszane są przez zewnętrzne źródła polaryzacji, przy czym dopuszczamy ich dowolną, funk-cjonalnie określoną zależność od czasu.

Załóżmy, że w zadanym ośrodku znajduje się N nośników ładunku (ruchomych i nieruchomych) tworzących w nim ładunek przestrzenny o gęstości (r,t). Niech qi oznacza ładunek elektryczny i-tego nośnika, zaś ri(t) oraz vi(t) od-powiednio chwilową wartość jego położenia i prędkości. Czasowo-przestrzenny rozkład gęstości ładunku przestrzennego zapiszemy więc w postaci

(r,t) =

N

i 1qi (r-ri)) (A-1)

W oparciu o zasadę niezależności działań, zarówno pole elektryczne jak i po-tencjały pola rozłożymy na dwie składowe: jedną pochodzącą od ładunku prze-strzennego i drugą od zewnętrznej polaryzacji elektrod. Niech (r-ri) oznacza chwilową wartość potencjału w punkcie r wywołanego ładunkiem przestrzennym przy uziemionych wszystkich elektrodach systemu, natomiast a(r,t) analogiczną wartość potencjału pola spowodowaną istnieniem skończonych wartości napięć polaryzujących elektrody w warunkach usunięcia z obszaru systemu wszystkich nośników ładunku. Wypadkowy potencjał (r,t) wyrazi się zatem w formie

(r,t) = (r,t) + a(r,t) (A-2)

Wyróżnione stany systemu w przybliżeniu elektrostatycznym można opisać odpowiednio równaniem Poissona i Laplace’a.

W szczególności dla ak = 0 oraz (r,t)0

- div[(r)o grad (r,t)] = (r,t) (A-3)

natomiast w przypadku alternatywnym gdy (r,t) = 0 oraz ak(r,t)0

- div[(r)o grad a(r,t) = 0 (A-4)

261

Zależności powyższe wykorzystamy w zmodyfikowanym przez Hunsuka twierdzeniu Greena dla medium niejednorodnego. W ogólnym zapisie przyjmuje ono postać:

Va(r,t) div [(r)o grad (r,t)] - (r,t) div [(r)o grad a(r,t)] } dV =

= S

[ a(rs) (rs)o grad (rs,t) - (rs) (rs)o grad a(rs,t) ] dS (A-5)

gdzie V oznacza całkowitą objętość systemu z wyłączeniem objętości własnej M elektrod, S stanowi powierzchnię M elektrod, zaś rs jest wektorem położenia na powierzchni elektrod.

Z podstawienia równań (A-3) i (A-4) do (A-5) otrzymujemy.

- V

a(r,t) (r,t) dV = Sa(rs) (rs)o grad (rs,t) dS (A-6)

Kolejne podstawienia za (r,t) wyrażenia (A-1) prowadzi do związku (A-7)

-

N

i 1qi a(ri,t) =

M

k 1ak(t) Qk(t) (A-7)

przy czym wielkość

Qk(t) = sk

(rs)ograd (rs,t) dS (A-8)

reprezentuje ładunek wyindukowany na k-tej elektrodzie przez zadany rozkład nośników ładunku przestrzennego.

Wyraźmy dla wygody potencjał pola a(r,t) wywołany wyłącznie napię-ciem polaryzacji k-tej elektrody ak(t) w punkcie r rozważanego obszaru jako iloczyn czynnika skalującego ak(t) oraz funkcji rozkładu fk(r)

ak(r,t) = ak(t) fk (r) (A-9)

Funkcja rozkładu pola fk(r) stanowi w tym ujęciu niezależny od czasu i ła-dunku przestrzennego czysto geometryczny czynnik i oznacza potencjał elektrycz-ny w punkcie r wywołany jednostkowym potencjałem k-tej elektrody, gdy wszyst-kie pozostałe elektrody są uziemione, a ładunek przestrzenny usunięty z obszaru systemu.

W tym sposobie zapisu chwilowa wartość potencjału elektrycznego w punkcie r uwarunkowana napięciami polaryzacji elektrod przyjmie postać:

262

ak(r,t) =

M

k 1ak(t) fk (r) (A-10)

Podstawienie (A-10) do (A-7) daje

N

k 1ak(t) [ Qk(t) -

N

i 1qi fk(ri) ] = 0 (A-11)

gdzie fk(ri) jest wartością fk(r) na współrzędnej wektora położenia r = ri(t).

Równanie (A-11) musi być spełnione dla dowolnych wartości potencjałów ak(t), wobec czego wyrażenie w nawiasie kwadratowym równania (A-11) (niezależne od potencjału elektrody) musi się zerować dla wszystkich k elektrod. Ładunek indukowany na k-tej elektrodzie będzie więc równy

Qk(t) = -

N

i 1qi fk(ri) (A-12)

Jego pochodna względem czasu określa składową prądu indukowanego w k-tej elektrodzie przez poruszające się nośniki ładunku przestrzennego.

ik(t) = dt

dQ = -

N

i 1qi vi(t) grad fk(ri) (A-13)

Oprócz niej pojawia się druga składowa tego prądu pochodząca od ładunku Qak(t) indukowanego na k-tej elektrodzie wskutek pojemnościowego sprzężenia z pozo-stałymi elektrodami o potencjałach zmieniających się w czasie, przy czym

Qak(t) = sk

(rs)o grad ak(rs,t) dS (A-14)

Przyjęcie zgodnie z pierwotnym założeniem Ramo stałości napięć polaryzujących elektrody sprowadza tę składową do zera. Całkowity prąd indukowany w k-tej elektrodzie opisany jest wówczas równaniem (A-13).

Zauważmy, że gradient funkcji rozkładu potencjału reprezentuje w istocie funkcję rozkładu natężenia pola elektrycznego k(r) generowanego wyłącznie przez jednostkowe napięcie polaryzacji k-tej elektrody, tj. przy uziemionych pozostałych elektrodach systemu i przy braku ładunku przestrzennego w objętości systemu. Równanie (A-13) można zatem przepisać w postaci:

ik(t) = ik(t) =

N

i 1qi vi(t) k(r) (A-15)

263

Formuła wyprowadzona przez Ramo dotyczyła systemu z jednym tylko rucho-mym elektronem. Przypomnijmy jej oryginalne brzmienie.

i = e v Ev (A-16)

gdzie: e - ładunek elektronu, v - prędkość elektronu, zaś Ev - składowa pola (zdefi-niowanego tak samo jak w przedstawionej wyżej analizie) na kierunek prędkości v.

W przypadku planarnego systemu dwuelektrodowego (jak np, płaska komora jonizacyjna lub planarny detektor półprzewodnikowy) o odległości elektrod D funkcja rozkładu pola ma wartość stałą (nie zależy od położenia) i wynosi

k(r) = 1

D (A-17)

wobec czego prąd indukowany w elektrodzie odbiorczej przez pojedynczy (punktowy) ładunek ruchomy Qo poruszający się z prędkością dryfu w(t) jest opisany równaniem

D

tQti o )()(

w (A-18)

Z tej właśnie postaci twierdzenia Ramo skorzystaliśmy przy wyznaczaniu kształtu indukowanego impulsu prądowego w detektorach półprzewodnikowych.

Referencje

[1] Hunsuk Kim, H.S.Min, T.W.Tang, Y.J.Park.: An extended proof of the Ramo- Shockley theorem. Solid-State-Electronics, vol.34, no.11, 1251, 1991

[2] Simon Ramo.: Currents induced by electron motion, Proc.IRE, vol.27, 584, 1939

[3] W.Shockley.: Currents to conductors induced by a moving point charge. Journ. Appl. Phys., vol.9, 635, 1938

264

Dodatek B Twierdzenie Wienera-Chinczyna

Twierdzenie Wienera-Chinczyna znane również jako twierdzenie Wienera-Chinczyna-Einsteina lub twierdzenie Chinczyna-Kołmogorowa stanowi, że gęstość widmowa mocy przypadkowego w szerokim sensie procesu stacjonarnego jest równa transformacie Fouriera jego funkcji autokorelacji.

Wyraża ją para transformat Fouriera

0

)()( deRS tj (B-1)

0

)(2

1)( deSR j (B-2)

zapisywana często w równoważnych formach

00

2 )2(cos)(4)(2)( dfRdeRfS tfj (B-3)

0

2)()( dfefSR fj dfftfS

2cos)(0

(B-4)

Zwięzłego sprawdzenia słuszności twierdzenia Wienera-Chinczyna dokonamyna gruncie formuły (B-2).

Przywołajmy zatem definicję funkcji autokorelacji jako podstawę procedury weryfikacyjnej.

dttftftftfRdef

)()()()()( (B-5)

Skorzystajmy z kolei z właściwości transformaty Fouriera wyznaczonych relacją

dFFdttftf )()(2

1)()( 2121 (B-6)

gdzie

detfFF tj)()()( 111 (B-7)

265

tjetfF )()( 22 (B-8)

Kładąc w wyrażeniach (B-7) i (B-8) w miejsce funkcji )(1 tf oraz )(2 tf odpo-

wiednio )(tf i )( tf i uwzględniając związek

jeFtf )()( (B-9)

możemy napisać

deFdeFFdttftf jj 2)(

2

1)()(

2

1)()( (B-10)

Zauważmy, że człon 2

)(F reprezentuje widmo gęstości energii S() proce-

su (funkcji) f(t). Ostatecznie więc otrzymujemy relację pokrywającą się ściśle z brzmieniem formuły (B-2). Przypomnijmy nadto, że funkcja autokorelacji jest funkcją parzystą

0

)(2

1)()( deSRR j (B-11)

co umożliwiło sprowadzenie pary transformat (B-1) i (B-2) do równoważnych postaci trygonometrycznych (B-3) i (B-4).

Referencje

[1] N.Wiener.: Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica, Stockholm 55, 1930, 117.

[2] A.Chinczyn.: Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen 109, 1934, 604.

[3] D.K.C. MacDonald.:Noise and fluctuation. An Introduction. John Wiley and Sons. Inc., New York – London, 1962

[4] R. Bracewell.: Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. W.N.T., Warsza- wa, 1968

[5] A. van der Ziel.:: Noise, Sources, Characterization, Measurement. Prentice- Hall., Inc., Englewood. Cliffs. New Jersey, 1970

[6] J. Sobkowski.: Częstotliwościowa analiza sygnałów. Wydawn.Min.Obrony Narodowej, Warszawa, 1975

266

[7] J. Szabatin.:Podstawy teorii sygnałó. Wyd. Komunikacji i Łączności, Warsza- wa 1982

[8] A. van der Ziel.: Noise in solid state devices and circuits. A Wiley Inter- science Publication, John Wiley & Sons. Inc. New York – Chichester – Brishane – Toronto - Singapore 1986

267

268

Dodatek C Twierdzenie Parsevala

W pierwotnej swej formie postulowało ono równość sumy kwadratów współczynników cn rozkładu Fouriera funkcji f(x) i kwadratowej całki tej funkcji [1].

� dxxfc

nn

22)(

2

1 *) (C-1)

gdzie współczynniki cn rozkładu

dxexfc jnxn )( (C-2)

W fizyce i naukach technicznych upowszechniła się jej postać – nota bene przypisywana M. Plancherelowi [2] – stanowiąca, że całka kwadratu modułu funkcji )(tf jest równa całce kwadratu modułu jej widma )( fF

dffFdttf22

)()( (C-3)

Zapiszmy ją w terminach sygnałów elektrycznych

dffSdttVi22

)()( (C-4)

Uwzględniając związki

dffSfSdffS )()()(2 (C-5)

dttVtVdttV iii )()()( 22 (C-6)

dtetVfS tfji

2)()( (C-7)

dfefStV tfji

2)()( (C-8)

*) Parseval podał ją bez dowodu jako „samą przez się” oczywistą .

269

i dokonując odpowiednich podstawień i zmian kolejności całkowania otrzymuje-my

dffSfSdffS )()()(2

dtetVdffS tfji

2)()(

dfefSdttV tfji

2)()(

dttVi

2)( (C-9)

cbdo

Referencje

[1] Marc-Antoine Parseval.: Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux differences partielle linéaire du second ordre, à coefficiens constans. Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et phy- siques. (Savans étrangers), Vol.1, 638, 1806

[2] M. Plancherel.:Contribution àl’étude de la représentaion d’une fonction arbi- traire par les intégrales définies. Rendiconti del Circolo Matematico di Pa- lermo, Vol.30, 298, 1910

[3] R. Bracewell.: Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. W.N.T., Warsza- wa, 1968

[4] A. van der Ziel.: Noise, Sources, Characterization, Measurement. Prentice- Hall., Inc., Englewood. Cliffs. New Jersey, 1970

270

Dodatek D Wariancja szumów w dziedzinie czasu

Przyjmijmy układ wzmacniacza kształtującego z wyodrębnionymi na wejściu zastępczymi źródłami szumu białego.

równoległym źródłem prądowym o gęstości widmowej mocy szumów

adf

id P 2

(D-1)

szeregowym źródłem napięciowym o gęstości widmowej mocy szumów

bdf

vd S 2

(D-2)

oraz czysto pojemnościową impedancję (reaktancję) wejściową reprezentowana przez pojemność C.

Dla uproszczenia załóżmy, że wzmocnienie napięciowe wynosi kv = 1, zaś przepustowość układu określona jest jednoznacznie przez transmitancję filtru F(s). Wprowadzając pojęcia ekwiwalentnej rezystancji szeregowej RS oraz ekwi-walentnego prądu szumów równoległych IP formuły (D-1) i (D-2) sprowadzimy do postaci

PP Iq

df

id2

2

(D-3)

oraz

SS RTk

df

vd4

2

(D-4)

W oparciu o twierdzenie Thevenina źródło napięciowe (D-4) przetransfor-mujemy w równoważne źródło prądowe

S

S

R

kT

df

id 42

(D-5)

i stosownie do relacji równania Schottky’ego wyznaczymy ekwiwalentny prąd szu-mów szeregowych

SS

IqR

kT2

4 (D-6)

271

Każdy z ekwiwalentnych prądów IS oraz IP można formalnie traktować jako stochastyczny ciąg impulsów dirakowskich (elektronów) o średniej częstotliwości

if określonej związkiem

qfI ii (D-7)

Dla szumów szeregowych otrzymamy zatem

qfqR

kTI S

SS

2

4 (D-8)

skąd

222 22

4

SSS

Rq

b

Rq

kTf (D-9)

zaś dla szumów równoległych, analogicznie

qfI PP (D-10)

skąd znowu

22 22

2

q

a

q

qI

q

If PP

P (D-11)

Dirakowskie impulsy ładunkowe szeregowego źródła szumów można wyrazić w postaci dirakowskich impulsów napięciowych )(tV iS

)()( tqRtV SiS (D-12) Z kolei dirakowskie impulsy ładunkowe równoległego źródła szumów tworzą na pojemności C napięciowe impulsu skokowe )(tViP

)()( tHC

qtViP (D-13)

Dysponując zależnościami (D-9), (D-11), (D-12) i (D-13) można, w oparciu o drugie twierdzenie Campbella-Francisa o wariancji, wyznaczyć wariancje syg-nałów wyjściowych pochodzących od obu rodzajów wymuszeń szumowych. W od-niesieniu do sygnałów napięciowych twierdzenie to przybiera formę

0

22 )( dttVfV oo (D-14)

Zauważmy, że odpowiedź układu na sygnał wejściowy (D-12) (impuls dira-kowski) dana jest w postaci

)()( thqRtV SoS (D-15)

272

gdzie h (t) jest charakterystyką impulsową filtru

Druga komponenta sygnału szumowego )(tViP (D-13) daje na wyjściu filtru

)()( tRC

qtVoP (D-16)

przy czym R(t) oznacza odpowiedź filtru na skok jednostkowy (tj. charakterys-tykę skokową). Wariancje szumów obu składowych zapiszemy więc odpowiednio.

dla szumów szeregowych

0

2

0

2

222 )(

2)(

2dtth

bdtthqR

Rq

bV s

SoS (D-17)

dla szumów równoległych

dttRC

adttR

C

q

q

aVoP

0

2

2

0

2

22 )(

2)(

2 (D-18)

Dla wygody wprowadźmy jednolite oznaczenia współczynników przed cał-kami, kładąc

2b (D-19)

oraz 22

C

a (D-20)

W takiej notacji sumaryczna wariancja szumów na wyjściu filtru 2NoV wyrazi się

jako

dttRdtthVNo

0

22

0

22

2 )(2

)(2

(D-21)

Referencje

[1] R. Wilson.: Noise in Ionization Chamber Pulse Amplifiers, Philosophical Magazin. Vol. 41, Bo. 312, 66, 1950

[2] N.R. Campbell, V.J. Francis.: A Theory of Valve and Circuit Noise, Journal of I.E.E. , Vol. XCIII, Pt. III, 45, 1946

[3] M.O. Deighton.: A Time-Domain Method for Calculating Noise of Active Integrators used in Pulse Amplitude Spectrometry. Nuclear Instruments and Methods, Vol. 58, 201, 1968

273

274

Dodatek ETwierdzenia Campbella-Francisa

Rozważmy sygnał )(t stanowiący nieskończony ciąg impulsów )(t o przy-padkowym rozkładzie czasowym. Zapiszemy go w postaci

i

t )( (t-ti) (E-1)

gdzie ti jest zmienną losową.

Wydzielmy z tego ciągu podzbiór kolejno po sobie następujących impulsów o liczności K mieszczący się w interwale T. W takim przypadku (E-1) przyjmie postać:

K

i

t1

)( (t-ti) (E-2)

Wobec wzajemnej niezależności impulsów ciągu i przypadkowości ich następ-stwa w czasie, prawdopodobieństwo pojawiania się poszczególnych impulsów w przedziale od ti do ( ti + dti ) wynosi Pi = dti/T. W konsekwencji średnia war-tość sygnału na podzbiorze K będzie wynosić.

T K

i

kT

is

T

dt

T

dt

0 10

(t-ti) =

K

i

Ti

T

dt

1 0

(t-ti) (E-3)

Wartość średnia na podzbiorze jest niezależna od czasu, można więc za „ t” przyjąć wartość dowolną. Dla wygody przyjmijmy ją równą połowie rozciągłości czasowej podzbioru. Kładąc t = T/2 oraz (T/2 - ti) = u otrzymamy:

T

TK

s

0

( )2 iT t =

2

2

)(

T

T

duuTK (E-4)

a jeśli T jest dostatecznie duże

duuTK

s)( (E-5)

Średnia ze średnich na podzbiorach po wszystkich wartościach K daje uśrednie-nie sygnału po czasie. Zatem:

f =

duuTK

s)( (E-6)

275

W wyrażeniu (E-6) iloraz KT reprezentuje średnią po czasie częstotliwość impul-

sów f wobec czego możemy napisać

dttf )( (E-7)

W terminach sygnału napięciowego otrzymamy znaną postać 1-go twierdzenia Campbella-Francisa o wartości średniej.

dttVfV )( (E-8)

W podobny sposób wykażemy słuszność 2-go twierdzenia Campbella-Francisa o wariancji. W pierwszym kroku tej procedury wyznaczmy średni kwadrat funkcji sygnału (t) na podzbiorze K.

T

is

T

dt

0

2 )()(10 1

ji

K

j

K K

i

k ttttT

dt

(E-9)

W powyższym wyrażeniu występuje K całek, dla których i = j oraz (K-1) całek, dla których i j. Wynoszą one odpowiednio:

T

iiT dttt0

21 )( dla i = j

oraz

T

j

T

jiiT dtttdttt0 0

1 )()( dla i j

Uwzględniając z kolei niezależność wartości średniej na podzbiorze od czasu przyjmijmy znów t = T/2 i wprowadźmy nowe zmienne u i w :

)( 2 iT tu oraz )( 2 j

T tw

W tych terminach otrzymujemy

2/

2/

2/

2/

2/

2/

)1(22 )()()(T

T

T

T

T

TTkK

YK

s

dwwduuduu (E-10)

Dla T dostatecznie dużego

222 )()( 2

2

duuduuT

KKTK

s

(E-11)

276

Zauważmy, że kwadrat wartości średniej na podzbiorze funkcji )(t wynosi

222

)()( 2

2

duuduuTK

TK

s (E-12)

Obustronne odjęcie równań (E-11) i (E-12) daje

2

22

2 )()( 2 duuduuTK

TK

ss (E-13)

skąd po uśrednieniu na wszystkich wartościach K otrzymujemy

TK)var(

2

2 )()( 2 duuduuT

K (E-14)

Pamiętając, że fTK , dla warunku T równanie (E-14) sprowadza się

do postaci

duuf )()var( 2 (E-15)

W terminach sygnału napięciowego otrzymujemy więc

dttVfV 2)()var( (E-16)

Referencje

[1] N.R. Campbell.: The Study of Discontinuous Phenomena. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 15, 117, 1908-1910

[2] N.R. Campbell, V.J. Francis. A Theory of Valve and Circuit Noise.Proceed- ings of the Institution of Electrical Engineers (I.E.E.) vol. XCIII, Part III, 45, 1946

[3] A. van der Ziel.: Noise, Sources, Characterization, Measurements. Prentice Hall, Englewood Cliffs., N.J. 1970.

277

278

Dodatek FFiltr wzmacniacza ORTEC 450

W analizie układu filtracji wzmacniacza ORTEC 450 elementy poszczegól-nych jego bloków (A,B,C,D) numerowano w sposób wzajemnie niezależny. W opi-sie globalnym niezbędnym było by dodatkowe ich indeksowanie. Wygodniejsząi bardziej przejrzystą alternatywą jest wprowadzenie jednolitej numeracji bieżącej, jak to uczyniono właśnie na schemacie z rysunku F-1.

Przypomnijmy, że w konwencjonalnych rozwiązaniach systemu filtracji wzmacniaczy spektrometrycznych różniczkowanie impulsu dokonywane jest w wejściowym stopniu formowania łącznie z operacją wymiany jego bieguna. W rozważanym układzie obie te operacje przebiegają sekwencyjnie w kaskadzie oddzielnych bloków funkcjonalnych („A” „B”). Opisują je odpowiednio, wyrażone równaniami (F-1) i (F-2), transmitancje F1(s) oraz F2(s) F „B”(s)

)()(

132

12

)(11

CRR

CRk

s

ssF

(F-1)

)(

)()(

2

35

41

1

4

52

CR

CR

s

s

R

RsF

(F-2)

W warunkach dostrojenia obwodu PZC, tj. gdy k=(R2C1)/i , odpowiedź bloku „A” na wymuszenie impulsem wejściowym 1 exp (-t/i) przyjmuje postać

)(

11)(

132

1

)(1

CRR

Fo s

sV

(F-3)

279

Rys. F-1. Schemat ideowy „powolnego” toru filtracji wzmacniacza ORTEC 450

F1

F2

F3

F4

F5

CB

PZC 1s WYMIANA BIEGUNA 1s INTEGRATORY

WY

DIFF C8

D

R4

R6

R5

R7

R

8

R9

R10

R11

R12

C2

C3

C4

C5

C7

WZM

WE

A k

R1

R2

R3

C1

WZM

IC1

IC2

IC3 IC

4IC

5 IC

6

C6

WZM

tożsamościowo równą odpowiedzi stopnia różniczkującego o stałej czasowej (R2R3)C1 na jednostkowe wymuszenie skokowe. Z założenia projektu wartość jej wynosi 1 s.

Biegun operatorowej funkcji odpowiedzi bloku „A” ulega z kolei wymianie w bloku „B” na (przełączalny) biegun wyznaczający niskoczęstotliwościową kra-wędź pasma przenoszenia filtru. Kojarząc wyrażenia (F-1) i (F-2) i uwzględniając efekt kompensacji bieguna [-1/(R2R3)C1] zerem [-1/R5C3]1) dochodzimy do za-leżności

)(

1)(

24

4

321̀1CR

RRF

o ssV

(F-4)

tożsamościowo równej odpowiedzi obwodu różniczkującego R4C2 na skokowe wymuszenie o amplitudzie R5/R4. W stosunku do tej stałej czasowej, którą dalej – jako dominującą – oznaczać będziemy symbolem *, odnoszone będą stałe czaso-we obwodów formujących bloków „C” i „D”. Na podstawie danych firmowych zestawiono niżej odnośne relacje wraz ze związkami narzuconymi przez założenia projektowe.

R6C4 = 0.648 * Filtr F3

R8C5 = 0.648 * Filtr F3

R9C6 = 0.468 * Filtr F4

R11C7= * Filtr F5

R12C8= 0.5 * Filtr F5

R6=R8, R7=3.753 R6, R11=R12, C4=C5, C8=0,5 C7

Przy ich uwzględnieniu i na miarę dokładności firmowych danych tech-nicznych znormalizowane charakterystyki amplitudowe filtrów F3(*), F4(*) i F5(*) przyjmują odpowiednio formę.

358.2*)(.406.1*)(176.0

153.1*)(

243

F (F-5)

4*)(

4*)(

24

F (F-6)

1) Obie stałe czasowe według specyfikacji producenta są równe 1s

280

4*)(

4*)(*)(

4

2

5

F (F-7)

Ich iloczyn wyraża wypadkową charakterystykę amplitudową FLP(*) fil-trów dolnoprzepustowych (LP - Low Pass)

4*)(

2

358.2*)(406.1*)(176.0

53.1*)(

424 LPF (F-8)

Zespół tych charakterystyk przedstawiono na rysunku F-2

Ograniczenie pasma przenoszenia po stronie niskich częstotliwości zapewnia filtr górnoprzepustowy w układzie stopnia różniczkującego R4-C2 . Jego charakte-rystykę amplitudową FHP(*) opisuje równanie (F.9)

2

2

*)(1

)(*)(

HPF (F-9)

a globalną, znormalizowaną charakterystykę amplitudową całego filtru – równanie

505.0/)1*)(

)(

1*)(6.0*)(07.0(

1

4*)(

2(*)(

2244

TOTF

(F-10)

281

Rys. F-2 Znormalizowane charakterystyki amplitudowe filtrów wzmacniacza ORTEC 450 a) 1 - Filtr F

3, 2 - Filtr F

4,

3 - Filtr F

5, 4 - Kaskada F

LP = ( F

3 F

4 F

5)

b) Rodzina charakterystyk filtrów FLP

o różnych stałych czasowych

102 103 104 105 106 107

dB

0.0

-3.0

-10

-20

f [Hz]

10 s 5s 2s 1s 0.5s 0.1s1

3

4 2

*

0.01 0.1 1 10

dB

0.0

-3.0

-10

-20a) b)

Kolejny rysunek przedstawia dwie rodziny charakterystyk amplitudowych całości filtru (a) i jego części dolnoprzepustowej (b) dla nominalnych wartości stałych czasowych różniczkowania i całkowania (przy d = i)

Omówiony system filtracji wzmacniacza Ortec 450 tworzy w jego układzie tzw. „tor wolny” dający na wyjściu – „wygładzony” stosownie do wymagań spek-trometrii amplitudowej – impuls monopolarny. Uzupełnia go równoległa gałąź „toru szybkiego” przetwarzająca. dla potrzeb spektrometrii czasowej. standardowy (1s) impuls wyjściowy układu PZC w impuls bipolarny. Zawiera ona jeden tylko różniczkująco-wzmacniający blok funkcjonalny o ustalonej (nie przełączalnej) sta-łej czasowej (d2 = 0.5 s)2). W uproszczonej formie konfigurację tę ilustruje rysu-nek F-4.

2) Wg specyfikacji firmowej: Instruction Manual 450 Research Amplifier. October 5 1970

282

Rys. F-3. Znormalizowane charakterystyki amplitudowe filtrów wzmacniacz ORTEC 450 a) 4 - Filtry F

LP, 5 - Filtr F

HP, 6 - Charakterystyka globalna (F

LP F

HP)

b) Rodzina globalnych charakterystyk amplitudowych

dB

0.0

- 3.0

- 10

- 20

f [Hz]

102 103 104 105 106 107

10s 5s 2s1s 0.5s 0.1s

4 5 6

*

0.01 0.1 1 10

dB

0.0

- 3.0

- 10

- 20

Rys. F-4. Uproszczony schemat systemu filtracji wzmacniacza ORTEC 450 (z wyróżnieniem „toru szybkiego”)

WY ”wolne”

unipolarne

WY „szybkie”

bipolarne

PZC

IC4

WE

BLR

CR = 0.5 s

Dodatek G Metoda wskaźników szumowych Gouldinga

Metoda WSKAŹNIKÓW SZUMOWYCH F.S. Gouldinga bazuje na zastępczym schemacie szumowym według rysunku 4.5 dopuszczając tylko dwa ekwiwalentne źródła szumu białego: szeregowe i równoległe. Każde ze źródeł traktowana jest jako generator dirakowskich mikroimpulsów ładunkowych o amplitudzie jednego elektronu. Generatory te wytwarzają dwa stochastyczne ciągi impulsów o różnych w ogólności średnich częstotliwościach.

Impulsy dirakowskie z generatora równoległego ulegają scałkowaniu na pojemności wejściowej C, tworząc na niej napięciowe mikroimpulsy heavi-side’owskie (schodkowe). Mając na względzie kształt tych impulsów Goulding nazwał przynależny im szum SZUMEM SCHODKOWYM (step-noise).

Szeregowe źródło impulsów ładunkowych daje się natomiast sprowadzić do postaci zastępczego źródła napięciowego generującego napięciowe impulsy dira-kowskie (DELTA). W konsekwencji związany z nimi szum szeregowy nazwano SZUMEM DELTA (delta-noise).

Obydwa rodzaje impulsów szumowych (STEP i DELTA) działają na wejściu toru spektrometrycznego wespół z SYGNAŁEM (przybierającym formę relatywnie dużych napięciowych impulsów skokowych) powodując odpowiednią nieoznaczo-ność jego amplitudy. W celu zminimalizowania tej nieoznaczoności stosuje się, jak wiemy, układ filtrujący.

Oznaczmy przez Tm moment pomiaru amplitudy sygnału informacyjnego na wyjściu filtru. Uzyskiwany rezultat stanowi sumę nieskażonej zakłóceniami fluktuacyjnymi, wiernej amplitudy sygnału S i łącznego efektu wywołanego dzia-łaniem wszystkich impulsów szumowych wyprzedzających moment pomiaru Tm (w tym również impulsy SYGNAŁOWE).

Rozważmy oddzielnie wpływ obu wyróżnionych rodzajów szumu. Metoda Gouldinga wprowadza w tym celu pojęcie REZYDUALNEJ FUNKCJI SZUMÓW SCHODKOWYCH (step-noise residual function), oznaczaną symbolem R(t). Jest ona zdefiniowana jako rezydualny skutek w chwili Tm działania pojedynczego, schodkowego impulsu szumowego o jednostkowej amplitudzie, pojawiającego się o „t” sekund przed momentem pomiaru.

Załóżmy, że średnia wartość częstości zliczeń impulsów schodkowych wynosi ns. Ze względu na ich stochastyczny charakter liczba impulsów N zawarta w takich samych, krótkich interwałach t będzie różna.

283

Wartość średnia zliczeń N z dostatecznie licznego zbioru pomiarów będzie równa

tnN s (G-1)

Średni kwadrat fluktuacji (wariancja) tej liczby zliczeń, zgodnie z właściwościami rozkładu poissonowskiego, będzie równy wartości średniej (G-1), czyli

tnn s 2 (G-2)

Każdy impuls szumowy mieszczący się w przedziale t, pojawiający się przed momentem pomiaru Tm, daje na wyjściu filtru w chwili Tm odpowiedź R(t1). Średni kwadrat „rozmycia” amplitudy sygnału informacyjnego spowodowanego impul-sami szumowymi zawartymi w elementarnym interwale t, wyprzedającymi moment pomiaru Tm o czas t1, będzie więc równy

ttRntRn s 21

21

2 )()( (G-3)

Globalny efekt spowodowany działaniem wszystkich schodkowych impulsów szumowych, wyprzedzających Tm otrzymamy przez zsumowanie wyrażeń (G-3) dla wszystkich wartości ti. Daje ono w wyniku wariancję szumów równoległych na wyjściu filtru

0

2

0

22 )()( iisdtti

issi dttRnttRnv (G-4)

Wskaźniki szumów według koncepcji Gouldinga mają opisywać skuteczność filtracji i powinny być wyrażone tylko przez wielkości zależne od parametrów filtru. Wielkościami takimi są: wyrażenie całkowe w równaniu (G-4) oraz amp-lituda charakterystyki skokowej filtru (tj. amplituda odpowiedzi so max na jednost-kowe wymuszenie skokowe). Obie te wielkości determinują z mocy definicji WSKAŹNIK SZUMÓW SCHODKOWYCH 2

SN (step-noise index)

0

2

2max

2 )(1

dttRs

No

S (G-5)

W analogiczny sposób wyznacza się drugi wskaźnik szumowy związany z działaniem szumów szeregowych (DELTA). Skorzystamy w tym celu z rów-noważnej reprezentacji impulsów dirakowskich w postaci tandemu infinite-zymalnie bliskich impulsów schodkowych przeciwnej polarności, ale o identycz-nych amplitudach. Przy założonej jednostkowej amplitudzie impulsu dirakow-skiego, a raczej quasidirakowskiego, amplitudy par impulsów schodkowych będą równe 1/t, przy czym t stanowi odległość tworzących je impulsów schod-kowych.

284

Każdy impuls szumowy DELTA, wyprzedzający moment pomiaru o t wnosi w chwili Tm wkład do amplitudy sygnału na wyjściu filtru równy

)()(1

)( 0 ttRtRt

v

(G-6)

Dla skrajnie małych wartości t wyrażenie (G-6) sprowadza się do pochodnej funkcji R(t) względem czasu. Goulding nazwał ją REZYDUALNĄ FUNKCJĄ SZUMÓW DELTA (delta-noise residual function) R’(t).

Postępując dalej według przedstawionej uprzednio procedury dochodzimy do wyrażenia definiującego WSKAŹNIK SZUMÓW DELTA

2N (delta-noise index)

0

2

2max0

2 )('1

dttRs

N (G-7)

Obydwa wskaźniki szumowe, traktowane oddzielnie, reprezentują odpowied-nio stosunki wariancji stochastycznych ciągów impulsów dirakowskich lub heaviside’owskich (szumów) o unormowanych do jedności średnich częstotli-wościach zliczeń (nP = nS = 1) do kwadratu aplitudy odpowiedzi filtru na jednostkowy, heaviside’owski, impuls informacyjny.

Ich średnia geometryczna określa wypadkowy, globalny wskaźnik szumów

222 NNN SNo (G-8)

powiązany (w rezultacie wprowadzonych normalizacji) ze względnym stosunkiem sygnału do szumu

4

122

2

1

NN

NS

No

(G-9)

Daje więc dogodną możliwość porównania efektywności filtracji różnych filtrów.

Praktyczną użyteczność metody wskaźników szumowych ilustrowano już parokrotnie w poprzednich rozdziałach. Zalety jej uwidaczniają się szczególnie, na przedstawionym niżej, przykładzie prostego filtru stacjonarnego typu CR-RC. W danym przypadku dla

d =i = oraz Vi(t) = 1H(t) (G-10)

wyrażenia determinujące wskaźniki szumowe przyjmują formę

tt

tR exp)( ,

t

tR 1exp1

)(' , 1max

eso (G-11)

Ich podstawienie odpowiednio do formuł (G-5) i (G-7) prowadzi do wyników

285

87.1

4exp

1 2

0

2

12 e

dttt

eN S (G-12)

0

22

12 87.1

41exp

1 edt

tt

eN (G-13)

a w konsekwencji

736.087.1

87.14

1

(G-14)

Dla porównania przytoczymy procedury klasycznej metody obliczeń SNR opt i . Wyjściowymi w analizie wielkościami obok założonej ogólnej struktury filtru (w danym przypadku CR-RC) są: sygnał informacyjny oraz gęstość widmowa mocy szumów, opisane odpowiednio formułami (6.1) i (6.2). Uzupełnijmy je rów-naniem przepustowości widmowej filtru F()

)1(

)(22

F (G-15)

Kolejne formuły reprezentują w skrócie poszczególne kroki obliczeń anali-tycznych

8881

22222

222

22

0

22

22 dVNo (G-16)

C

Q

C

QeV i

o 367879.01

max (G-17)

opt (G-18)

736.0

4

368.0

88

368.0

22

C

QC

Q

C

Q

SNR i

ii

opt (G-19)

286

prowadzące w ostatecznym efekcie do wyniku

736.0SNR

SNRopt (G-20)

Referencje

[1] F.S. Goulding.: Pulse-Shaping in Low-Noise Amplifiers. A Physical Approach to Noise Analysis. Nuclear Instrument and Methods, Vol. 100, 493, 1972

[2] F.S. Goulding, D.A. Landis.: Signal Processing for Semiconductor Detectors. IEEE Transactions on Nuclear Science, NS.29, No. 3, 1125, 1982

287

288

Dodatek H Cyfrowa emulacja analogowego filtru Butterwortha (Przykład obliczeń filtru trzeciego rzędu)

Dla większej przejrzystości obliczeń przeprowadzimy je w formie unormowa-nej. W takiej konwencji transmitancja analogowego filtru Butterwortha trzeciego rzędu H(s)n=3 przyjmuje postać 1)

122

1

)1()1(

1)(

2323

sssssssH n (H-1)

W obliczeniach posłużymy się metodą transformacji bilinearnej W pierwszymkroku procedury obliczeniowej dokonamy normalizacji formuły (9.18). Przepisz-my wprzód wyrażenie (9.1) w formie równości podstawiając (1/Tpr) za fpr

gpr ff 2 2

1 kg

pr

fkT

(H-2)

i przyjmijmy na użytek bieżącego przykładu k = 2.5

ggpr

pr ffkT

5.2

2

5.2

11 (H-3)

Wtedy

1

1

1

1

1

15.2

1

12

z

z

z

z

Ts

g

pr

(H-4)

Kładąc z kolei w (H-4) 1g (warunek normalizacji) otrzymujemy

1

1

1

1

1

159155.1

1

15.21

z

z

z

zs

g

g

(H-5)

W kolejnym kroku dokonujemy podstawienia (H-5) do (H-1), w wyniku którego otrzymujemy

)5971.03787.0()2278.0(

)1(0754.0)(

2

3

zzz

zzH

(H-6)

a uzyskaną funkcję H(z) sprowadzamy następnie do postaci H(z-1)

1) Obok symbolu H(s) używane są inne oznaczenia transmitancji jak k(s),T(s) czy F(s). Os-tatnim z wymienionych posługiwaliśmy się w analizie filtrów analogowych

289

W tym celu licznik [L(z)] i mianownik [M(z)] ilorazu (H-6) rozkładamy odpo-wiednio w szeregi

32 0754.022613.022613.00754.0)( zzzzL (H-7)

3282493,051470.008626.0)( zzzzM (H-8)

i dzielimy każdy z osobna przez z w największej jego potędze (tj. przez z3)

32113

0754.022613.022613.00754.0)()( zzzzL

z

zL (H-9)

32113

08626.051470.082493.01)()( zzzzM

z

zM (H-10)

Ostatecznie otrzymujemy funkcję )( 1zH

321

32`1

1

11

08626.051470.082493.01

0754.022613.022613.00754.0

)(

)()(

zzz

zzz

zM

zLzH (H-11)

determinującą strukturę symulatora cyfrowego. Rysunek H-1 pokazuje ją w wersji Direct Form II. 2)

Rekursywne filtry cyfrowe w miarę wzrostu ich rzędów stają się bardziej wrażliwe na dokładność kwantyzacji ich współczynników co może prowadzić do niestabilności syntetyzowanego na ich gruncie układu. Z tego powodu zaleca się stosować realizacje kaskadowe, oparte na strukturach pierwszego i drugiego rzędu.

2) W pracy [2] podano opis praktycznej implementacji takiego filtru na układzie FPGA

290

WY WE b

0

z-1

- 1

b1

z-1

- 2

b2

z-1

- 3

b3

0.8266

-0.5154

0.08626

0.0754

0.2259

0.2259

0.08626

Rys. H-1. Struktura cyfrowego filtru Butterwortha 3-go rzędu – „Direct Form II”

Alternatywą dla struktury z rysunku H-1 będzie więc szeregowy układ (kaska-da) dwóch filtrów (1-go i 2-go rzędu) o wypadkowej transmitancji (H-11).Transmi-tancje wyodrębnionych filtrów kaskady wyznaczymy na drodze faktoryzacji funk-cji (H-11) i odpowiedniego uporządkowania (parowania) czynników wielomianów.

Bezpośrednim rezultatem faktoryzacji jest funkcja (H-12)

)596552.0377526.0()230448.0(

)12233.1()1()891004.0(075.0)(

2zzz

zzzzH

(H-12)

Łatwo zauważyć, że daje ona możliwość kojarzenia i parowania jej czynników w wielu różnych kombinacjach. Jedną z nich, wybraną dla przykładu, stanowi (H-13)

)596552.0377526.0(

)12233.1()891004.0(075.0

)230448.0(

)1()(

2zz

zz

z

zzH

(H-13)

Po sprowadzeniu jej (w znany nam już sposób) do postaci )( 1zH otrzymujemy

21

21

1

11

3775.0013.21

075.0151.0075.0

2305.01

1)(

zz

zz

z

zzH (H-14)

Strukturę tej wersji cyfrowej emulacji omawianego filtru Butterwortha przedstawiono na rysunku H-2.

Znamienną cechą filtru Butterwortha jest „maksymalnie płaski” przebieg jego charakterystyki amplitudowej. Jak mogliśmy zauważyć, w omawianych uprzednio wzmacniaczach spektrometrycznych preferowano filtry dolnoprzepustowe o takiej właśnie (WL-41) bądź bardzo jej bliskiej (Canberra 2020 i Ortec 450) charakte-rystyce. Inspiracją dla wynalazcy tego filtru (angielskiego inżyniera Stefana Butter-wortha) była idea idealnego filtru elektrycznego, „o jednakowej czułości w paśmie przenoszenia” Rezultaty swych dociekań przedstawił on w Wireles

291

0.075

z-1

z-1

2.013

-0.3775

0.151

0.075

z-10.2305

-11

-12

-22

b12

b02

b22

Rys. H-2. Struktura cyfrowego filtru Butterwortha 3-go rzędu – Układ kaskadowy

Engineer [1] w 1930 roku ukazując możliwości praktycznej realizacji filtrów aproksymujących hipotetyczne filtry idealne. Uogólniając wyprowadzone przezeń formuły opisujące charakterystyki amplitudowe

3) proponowanych konfiguracji dolnoprzepustowych możemy (w obecnie używanej notacji) napisać

n

n

cn

c

F2

2

1

11)(

21

(H-15)

gdzie n – liczba biegunów (rząd filtru) zaś ωc – pulsacja odcięcia 4)

Zależność powyższa pozwala wprost wyznaczyć bieguny transmitancji roz-ważanej klasy filtrów. Uwzględniając mianowicie związki (H-16)

22 )()( jHF oraz )()()(

2sHsHjH (H-16)

sprowadzamy kwadrat przepustowości widmowej do postaci

n

c

sHsH2

1

1)()(

(H-17)

Bieguny tej funkcji są równomiernie rozmieszczone na okręgu o promieniu ωc. W szczególności bieguny leżące na lewej (ujemnej) półpłaszczyźnie zmiennej zes-polonej s wyznaczają transmitancję filtru. Elementarne podstawienia: = (s/j) oraz(-1) = e-j w kolejnych krokach obliczeniowych dają w wyniku

nsnjnsnns

c

kcc

esHsH

221

1

)1(1

1

)(1

1)()(

2

2

(H-18)

Z warunku zerowania mianownika finalnej postaci (H-18)

012 nsnj

c

ke

otrzymujemy wyrażenie opisujące k-ty biegun transmitancji filtru n-tego rzędu

)1(2 )1(

j

nj

j

nj

ns ee

e

ec

k dla k = 1,2,3,......n

skąd

nnkj

es ck2

)12(

dla k = 1,2,3,....n (H-19)

Wyrażoną w terminach tych biegunów transmitancję dolnoprzepustowego fil-tru Butterwortha n-tego rzędu opisuje równanie [3], [4], [5]

3) Określane przez Autora mianem filter factor4) Odnoszoną zwykle do 3 dB spadku charakterystyki amplitudowej

292

c

n

kch

sBss

sH

1

/)(

1)(

1

(H-20)

którego mianownik stanowi wielomian Butterwortha n-tego stopnia.

Nakładając na (H-19) warunek normalizacji (c= 1 rd/s) otrzymujemy

nnkj

esk2

)12(

dla k = 1,2,3,....n (H-21)

Unormowane wielomiany Butterwortha przyjmują natomiast formę [6]

2

1

2

2

12cos2)(

n

kn n

nksssB dla parzystych n (H-22a)

2

1

1

2

2

12cos2)1()(

n

kn n

nkssssB dla nieparzystych n (H-22b)

Dla n=3 wg formuły (H-22b) otrzymujemy )1()1()( 23 ssssB co prowa-

dzi w konsekwencji do równania (H-1)

Referencje

[1] S. Butterworth.: On the Theory of Filter Amplifiers. Wireless Engineer Vol. 7, 536, 1930[2] D. Alberto, E. Falletti, L.Ferrero, R. Garello. M. Greco, M. Maggiora.: FPGA implementation of digital filters for nuclear detectors. Nuclear Instruments and Methods, Vol. A 611, 99, (2009[3] W. Golde.: Układy elektroniczne Tom 1. W.N.T. Warszawa 1970[4] J.Osiowski, J.Szabatin: Podstawy teorii obwodów. Tom 3. WNT, Warszawa 1995, ISBN 83-204-1495-4 [5] T.P. Zieliński.: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wyd. Wydział E.A.I. i E. AGH, Kraków, 2002, ISBN: 83-88309-55-2[6] Butterworth filter. http://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth_filter

293