-
1KORENOVANJ
Neka je a realan i n prirodan broj. Svako reenje jednaine
axn=
po x (ako postoji) naziva se n -ti koren broja a u oznaci n ax =
.Dakle: simbol n a oznaava:
1) n ti koren realnog broja a u svim sluajevima kada je on
jedinstven ,( Nn ,12 = kn ,Nk )Ra
2) Pozitivan n -ti koren broja a u sluaju ,2kn = ,Nk 0>a Ova
definicija sigurno nije ba mnogo jasna!!! Ajde da vidimo par
primera:
;3327 3 333 == 2
121
81
3
33 =
=
;2
)2(32 5 55 == 007 =_______________________________________
;224 2 22 == 21
21
161
4
4
4 =
=
Pazi: ;2216 4 44 == 2216 4 44 ==
Pogreno je pisati: 2164 = ZAPAMTI!!!
Vai:
=
,,aa
an n
nn
paranneparan
Primeri: (pazi, dogovor je da je 2 AA = , to jest, jedino se
ovde ne pie broj 2) 239 = ; 223 3 =
33)3( 2 == ; 2)2(3 3 =
-
2ZAPAMTI: Kad vidi 2, 4, 6, (parni koren) iz nekog konkretnog
broja, reenje je uvek pozitivan broj. Kad vadi 3, 5, 7 (neparan
koren) iz nekog broja, reenje moe biti i negativan broj, u
zavisnosti kakva je potkorena veliina.
55
)5
(
2 == 553 3 = 77)7(4 4 == 5)5(3 3 =
1212)12(6 6 == 101
101
5
5 =
31
31
31
8
8
==
53
53
7
7
=
Primer: Za koje realne brojeve x je tana vrednost:
a) xx =2
b) xx =3 3 v) xx =2 g) ( )44 xx
=____________________________________
Reenje: a) xx =2 je tana samo za vrednosti x koje su vee ili
jednake nuli, jer
Dakle 0x ,
b) xx =3 3 je taka samo za 0=x !!! Zato? Ako uzmemo da je x
negativan broj, na primer 5=x 5)5(3 3 = 5)5( += , a ako uzmemo
0>x , recimo 10=x
1010103 3 =
v) xx =2 , x mora biti manje od nule, ili nula jer kao malopre
vai:
=,0
,,
2 xx
x000
=
xxx
, Dakle 0x
zaxx
00
=,0
,,
2 xx
x0=x
-
3g) ( ) ,44 xx = Ovde mora biti 0x . Zato? Zbog ( )4x koji ne
moe biti negativan odnosno mora biti 0>x Pravila:
1) nm
n m aa = 2) nnn baba = 3) nnn baba :: = 4) ( ) n mmn aa = 5) mnn
m aa = 6) n mnp mp aa = p( se skrati)
Moramo naglasiti da pravila vae pod uslovima da je: ba,
pozitivni realni brojevi pnm ,, prirodni brojevi.
Zadaci:
1) a) Izraunaj 54 321625236 +
=+ 54 321625236
42210622526 5 54 4
=+==+=
b) Izraunaj 43 16
81
49 ++
=+
+
= 4 4332
221
23
4221
23 =++
c) Izraunaj 42794 3
2
+
=+
42794 3
2
=+
= 2)3(32 3 3
2 2 3 23 = 2 15 4
3 3 =
-
4 d) Izraunaj 53 32)8(9
= 53 32)8(9== 5 53 32 )2()2(3
12)2()2(3 ==
2) Izraunaj 22 )5()5( ++ xx
55)5()5( 22 ++=++ xxxx
Kako je:
=
),5(,5
5x
xx
zaza
0505
- 5III za 5
-
64) =3 26 da bi unitili koren u imeniocu moramo napraviti 3 32 ,
a poto imamo
3 126 treba racionalisati sa 3 22 . Dakle:
33
3 3
3 2
3 2
3 2
3343
246
226
22
26
26 ====
5) 34 4 4
4 4 3 44 4
10 10 3 10 27 10 2733 3 3 3
= = = =
6) 3 3 31 2 2 2
3 2
3 3 3 32 2 1 1 2 3 3
ab ab a b ab ab ab ab ababa b a b a b a b
= = = =
Kad u imeniocu imamo zbir ili razliku dva kvadratna korena,
upotrebljavamo razliku kvadrata: 22)()( BABABA =+
7) 323432
32
323232
321
321
22=
==
+=+8) ( ) ( ) ( )
42611
262611
26
26112626
2611
2611
22+=
+=+=+
+=9) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 233251812 233252934 233252332
233252332 23322332 52332 5 22 +=+= +=+=++=U zadacima u kojima se u
imeniocu javlja zbir ili razlika treih korena moramo koristiti:
))(( 2233 BABABABA ++= Razlika kubova ))(( 2233 BABABABA ++=+
Zbir kubova
10)
5469
23469
23
46922332233
231
231 333333
3333
333
3 2333 2
3 2333 2
3333
+=++=
++=+
++=+________________________________________________________________________
11) ( ) ( )3333333 3333 2333 2 3 2333 23333 162025545
16202554455 445545 545 5 ++= ++=++
++=________________________________________________________________________
-
712) = 253
4 ovde emo uraditi dupli racionalizaciju da bi ''unitili''
etvrti koren.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )4 4 4 444 4 4 2 2 2 24
3 5 2 3 5 2 3 5 2 5 4 3 5 2 5 43 3 5 2 5 4115 2 5 2 5 2 5 4 5 45
2 5 4
+ + + + + ++ += = = = = + +
Vratimo se na zadatke sa korenima:
3) Izraunati:
a) 3 13 12 xxxx b) ( )313 23 2 : xxxx
Reenje:
a) 2 1 2 1 1 1
3 3 53 5 6 102 1 1 2 1 1 1 1 15 3 5 3 6 5 10x x x x x x x x x x
x x x x x x = = = =
5 252
3012
3036520
101
51
61
32
xxxxx =====++
b) ( )
3618
69423
23
32
62
21
23
32
62
21
332
3 23
13 23 2
:
::
xxxxxxxx
xxxxxxxx
======
+++
++
ZAPAMTI:12x x=
4) Izraunaj:
a) 98508325 +b) 4822733 +
Ovde je ideja da upotrebom pravila za korenovanje baba = , svaki
sabirak svedemo na ist koren.
-
8a) 5 2 3 8 50 98
5 2 3 4 2 25 2 49 2
5 2 3 2 2 5 2 7 2
5 2
+ =+ =+ =
6 2 5 2+ 7 2 2 =
b)
32383933423333
31623933
4822733
=+=+=+
=+
5) Izraunaj: 20241512 81516827443 ++Reenje:
56
5656
20 424 415 312 2
20241512
3211
35283423
35283423
81516827443
+==++
=++=++
LAGRANOV INDENTITET:
2 2
2 2a a b a a ba b + =
Gde je ,0>a ,0>b 2ab < Primenimo ga na 2 primera: a)
32+
b) 246
a) 2
3222
3223222 ++=+
213
21
23
212
212
+=+=
++=
-
9b) 246 = pazi, prvo moramo 4 da ubacimo pod koren!!!
22242
262
262
323662
32366
23266
232663262166
22
==++=
++=
++==
7) Dokazati da je vrednost izraza 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ ++ +
iracionalan broj.
Najpre emo upotrebom Lagranovog indetiteta srediti 2 3+ i 2
3
2 3+ =(prethodni zadatak) 2
13 += , slino je i 2 32
13 = , Dakle:
2 3 2 3 2 3 2 33 1 3 12 2 3 2 2 3 2 2
2 2
+ + + = + =+ + + +
=++++
+=2
13232
2132
32 Pazi na znak!!!
( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )3333 3362233622
33322
33322
++++=
++
+=
6 2 2 6= 3 6+ 18 6 2 2 6+ + 3 62218
3 3
26
266
262126
29221239
182212 =====
-
10
8) Dokazati da je: 3
4 2 3 3 110 6 3
+ = ++
.
Poi emo od leve strane da dobijemo desnu.
( ) ( )22 13132313233213324 +=++=++=++=+=+ 3610 razmislimo da li
ovo nije ( ) ?3610 3BA+=+
( )( )
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3
3 1 3 3 3 1 3 3 1 1
A B A A B AB B+ = + + ++ = + + +
3610103333133939
13313327
+=++=+++=+++=
Dakle:
( )( )
( ) 131313
13
13
3610
3242
3 3
2
3+=+
+=++=
++
Ovim je dokaz zavren!!!
9) Racionalisati:
2327216
+++
( ) ( ) ( )132137 6132737 6232721 6 +++=+++=+++( )( )( )( ) ( )(
) ( )( )2713
3227136
2713
27136
2727
1313
27136
2222=
=
=
=
++=
-
11
10) Racionalisati: 333 469
1++
333 33 3
3 33 3 33 33 32 2 3 333
1 1 3 2 3 2 3 23 29 6 4 3 23 3 2 2 3 2
= = = =+ + + + 33
333 2 3 21= =
Ovde smo imali 22 BABA ++ , pa smo dodali A-B, da bi dobili 33
BA .
