Kõrgem matemaatika

§ 1 REAALARVUD, KOMPLEKSARVUD JA FUNKTSIOONID

1. Reaalarvud

Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st

N = {1, 2, 3,...}ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st

Z = {...,–3,–2,–1, 0, 1, 2, 3,...}.

Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul

Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nime-tatakse irratsionaalarvudeks.Irratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga I. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaal-arvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil:

a = 00... või a = .Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis.

See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad.Seega reaalarvudeks nimetame kõiki lõpmatuid kümnendmurde, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis.Reaalarvude võrdlemine Reaalarve nimetame võrdseteks, kui a = b, ... .Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k ≥ 1, nii et

> βk..Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid.Reaalarve kujutatakse arvsirge punktidena. Arvsirge punktide hulga ja reaalarvude hulga vahel on üks-ühene vastavus: igale reaalarvule a vastab parajasti üks punkt A arvsirgel ( reaalarvu a kujutis), igale punktile A arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv a (punkti A koordinaat),. Seetõttu kasutame väljendi „reaalarv a” asemel ka väljendit „punkt a”.

Reaalarvu absoluutväärtus

Reaalarvu a absoluutväärtus defineeritakse järgmiselt

Absoluutväärtuse omadused1) ³ 0, 2) 3) ,

4) 5) 6)

Vastaku reaalarvule a arvsirge punkt A ja reaalarvule b arvsirge punkt B. Siis on võrdne punktide A ja B vahelise kaugusega. Erijuhul b=0, saame, et on punkti A kaugus nullpunktist.

2. Kompleksarvud

2.1. Kompleksarvu algeraline ja geomeetriline kuju

Kompleksarvuks nimetatakse avaldist kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdusega ( kirjutatakse ka

Kompleksarvu sellist esitusviisi nimetatakse kompleksarvu algebraliseks ( ka Descartes´i) kujuks. Arvu a nimetatakse kompleksarvu z reaalosaks, arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks. Kõigi kompleksarvude hulk tähistatakse sümboliga C.

Kompleksarvu moodul

Kompleksarvu kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu

On kerge kontrollida, et ja

Tehted kompleksarvudega.Olgu antud kompleksarvud Siis nende võrdus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse järgnevalt:

Osutub, et kõigi nende tehete suhtes käitub kompleksarv nagu reaalarv a.Seetõttu võime nad omavahel samastada, st a = a+0i.Sel viisil saame, et R Ì C. Kompleksarve kujul nimetatakse imaginaararvudeks (a=0).

Märkus.Valemid kompleksarvude jagatise leidmiseks kordajate kaudu võib leida raamatust „N.Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus I ,1981, lk.237, val. (4).”

Praktikas korrutatakse kompleksarve kui algebralisi kaksliikmeid, arvestades, et .

Kompleksarve jagatakse praktikas järgmiselt: ,

mistõttu kompleksarvude jagamine taandub korrutamisele, sest on reaalarv.

Näide Leida kui ja .

Leiame

Kompleksarvu geomeetriline kuju. Igale kompleksarvule vastab üks-üheselt reaalarvude järjeatatud paar (a, b), millele omakorda vastab üks-üheselt xy- tasandi punkt A=(a, b). Seega võime kõiki kompleksarve kujutada punktidena koordinaattasandil. Sellist tasandit nimetatakse komplekstasandiks. Punkti A ( ka tema kohavektorit OA )nimetatkse kompleksarvu geomeetriliseks kujutiseks.Seejuures x-telge nimetatakse reaalteljeks ning y-telge nimetatakse imaginaar-teljeks.

2.2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Tähistame kohavektori OA pikkuse =çOA sümboliga r ning olgu nurk vektori OA ja x-telje positiivse suuna vahel. Siis ning ,millest (kompleksarvu trigonomeetriline kuju).Arvu j nimetatakse kompleksarvu z argumendiks.Kaks trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvu ja

on võrdsed parajasti siis, kui nende moodulid on võrdsed,nende argumentide vahe on -kordne, st .

Praktilistes arvutustes kasutatakse kompleksarvu argumendi peaväärust< (vahel võetakse ka < ).

Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega

Olgu ja , siis

1)

2)

3)

Kompleksarvu z n-astme juureks nimetatakse iga kompleksarvu , mille korral Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-astme juurt. Juured

leitakse valemist

4)

Näide. Leida

Valemite 1) ja 2) põhjal:

Näide. Leida ja , kui

Valemite 3) ja 4) põhjal

ja kompleksarvu z kolmanda astme juured on

2.3. Kompleksarvu eksponentkuju

Trigonomeetrilisi funktsioone ja eksponentfunktsiooni seob Euleri valem

Selle valemi põhjal

Esitust nimetatakse kompleksarvu eksponentkujuks.

Näide. Kui , siis , seega

ning seega

Seega eksponentkujul

Tehted eksponentkujul antud kompleksarvudegaOlgu ja , siis

1)

2)

3) ,

4)

Ülesandeid.

1) Leida kompleksarvu z moodul ja kaaskompleksarv , kuia) b) c) d) Kujutada antud kompleksarvud komplekstasandil.

2) Leida

a) (V. =

b) ( V. = i, ).

3) Leida (V. (vt. loengul toodud analoogne näide, viia trigonomeetrilisele kujule).

4) Leida (V. ).

2.4. Algebraliste võrrandite lahendamisest

Võrrandit (1)nimetatakse n-nda astme algebraliseks võrrandiks.

Algebra põhiteoreem. Igal n-nda astme algebralisel võrrandil on on kompleksarvude hulgas n lahendit (kui lugeda kordsed (võrdsed) lahendid erinevateks).

Polünoom lahutub järgmiste (reaalarvude vallas taandumatute) tegurite korrutiseks (astendajate summa on n), kusjuures ruutkolmliikmed on positiivsed, st vastavad ruutvõrrandid ei oma reaal-arvulisi lahendeid.Seega on reaalarvud võrrandi (1) lahendid vastavalt kordsusega , selle võrradi kompleksarvuliste lahendite leidmiseks tuleb lahendada ruutvõrrandid

(lahenditeks on kaaskompleksarvude paar).

Näiteid1) Lahendame võrrandi Selle võrrandi saame esitada kujul Seega võrrandi lahendid on ja 2) Lahendame võrrandi Selle võrrandi saame esitada kujul

Reaalarvuline lahend on Kompleksarvuliste lahendite leidmiseks lahendame ruutvõrrandi

mille lahenditeks on

seega

NB ! Kuna vaadeldud võrrandi saab esitada kujul siis leidsime arvu 1 kolmanda astme juured .Seega sama tulemuse saaksime p.2 valemit 4) kasutades.

3. Funktsioonid

Funktsioonid on matemaatilise analüüsi põhilised uurimisobjektid. Formuleerime funktsiooni mõiste. Olgu antud hulk X Ì R, X ¹ Æ.Kui igale arvule xÎ X on vastavusse seatud üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ehk y = f (x).

Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks, hulka

funktsiooni f muutumispiirkonnaks.Funktsiooni f graafikuks nimetatakse xy-tasandi punktide hulka

Funktsioon f on defineeritud, kui on antud tema määramispiirkond ning eeskiri, mis seab igale määramispiirkonna punktile vastavusse ühe reaalarvu. Funktsiooni põhilised esitu f sviisid on järgmised: 1. analüütiline esitus valemi(te) abil, 2. numbriline esitus tabeli abil,

3. geomeetriline esitus graafiku abil.--------------------------------------------------------------------Märkus. Kui funktsiooni y=f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri, määramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond).Näiteks on funktsiooni määramispiirkond X = (-¥,-2][2, ¥).

Liitunktsioon Olgu antud funktsioon , mille määramispiirkond on T, muutumispiirkond on Y ning funktsioon mille määramispiirkond on X ja muutumispiirkond U Ì T.Siis funktsiooni F, kus nimetatakse funktsioonide g ja f liit-funktsiooniks.Funktsioone g ja f nimetatakse liitfunktsiooni F komponentideks (ka koostis-osadeks).Funktsioonide f ja g liitfunktsiooni tähistatakse ka sümboliga , st kirjutame

Pöördfunktsioon Olgu antud funktsioon , mille määramispiirkond on X ja muutumispiirkond on Y .Kui iga korral leidub ainus , mille korral siis vastavus määrab funktsiooni mida nimetatakse funktsiooni pöördfunktsiooniks.

Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid.Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = xa ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a ¹ 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.

Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone,mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.

§2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS

1. Funktsiooni piirväärtuse definitsioonid

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna X kuhjumispunkt, st selle punkti a igas ümbruses U(a)=(a–d, a+d), d >0, leidub punkte xÎ X, x ≠ a.

Definitsioon 1. Arvu A nimetatakse. funktsiooni f piirväärtuseks punktis a (piirprotsessis x® a), kui iga arvu e > 0 korral leidub d = d (e ) > 0, nii et

ïf(x) - Aï< e, alati, kui 0< ïx - aï< d, xÎX.

Kirjutame

või f(x) ® A, kui x ® a.

Näide . Tõestame,et lim x®1 (2x + 1) = 3.

Olgu e > 0 suvaline. Siisïf(x) - Aï=ï(2x+1)-3 ï= 2ïx-1ï< e,

kui ïx-1ï< Seega võttes d = , näeme, et definitsiooni 1 nõuded on täidetud.

Lõpmatu piirväärtus

Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis .x® a, kui iga arvu N > 0 korral leidub arv d =d (N) > 0, nii et

f(x) > N ( f(x) < -N ), alati kui 0 < | x - a | < d, xÎX.

Kirjutame

f(x) = ¥ ( vastavalt f(x) = - ¥).

Näide . Tõestame,et

Olgu N > 0 suvaline, siis

> N,

kui < st, kui < Seega võttes näeme, et definitsiooni 2

nõuded on täidetud.

2. Funktsiooni piirväärtuse omadused

Teoreem 1..Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused

f(x) = A ja g(x) = B,siis

1) [ f(x) ± g(x)] = A ± B,

2) [ c× f(x)] = c A,

3) [ f(x)× g(x)] = A× ×B,

4) = , B ¹ 0.

Funktsiooni f nimetatakse tõkestatuks hulgal X, kui leidub M > 0, nii et |f(x)| £ M iga xÎ X korral.

Teoreem 2. Kui g(x) = 0 ja funktsioon y= f(x) on tõkestatud punkti a mingis ümbruses, siis

[f(x)×g(x)] = 0.

Teoreem 3. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x),

(£) siis ka

g(x) £ f(x).(£)

Teoreem 4. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbrusesg(x) £ f(x) £ h(x)

ja

g(x) = h(x) = A ,siis eksisteerib ka piirväärtus

f(x) = A.

Olgu X funktsiooni f määramispiirkond.

Teoreem 5. Kui f on elementaarfunktsioon ja a Î X, siis

f(x) = f(a).

3. Ühepoolsed piirväärtused

Vaatleme piirprotsesse:1. x ® a, x > a – lähenemine paremalt, so parempoolne piirväärtus.

Tähistame: f(x) või f(a+). 2. x ® a, x < a – lähenemine vasakult, so vasakpoolne piirväärtus.

Tähistame: f(x) või f(a-).NB! Definitsioonis 1 tingimus 0 < ïx - aï< d omandab vastavalt kuju

0 < (x - a)< d (parempoolse piirväärtuse korral) või 0 < (a - x)< d (vasakpoolse piirväärtuse korral).

Teoreem 6. Kui eksisteerivad ühepoolsed piirväärtused f(a+) ja f(a-), siis nn

kahepoolne piirväärtus f(x) = A eksisteerib parajasti siis, kui f(a+) = f(a-)= A.

Ühepoolsed piirväärtused on ka f(x) ja f(x).

Definitsioon 3. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis x ® ¥ (x ® – ¥), kui iga arvu e > 0 korral leidub arv K > 0, nii et

ïf( x) - A | < e,alati, kui x > K ( x < -K), xÎX.

Kirjutame

f(x) = A ( f(x) = A).

Näide Tõestada, et = .

Olgu e > 0 suvaline. Võime kirjutada

|f(x) - A| = | - | = < e,

kui x > . (kuna x® ¥, siis võime eeldada, et (2x–1)>0).

Võime võtta K = , siis on definitsiooni 3 nõuded täidetud.

Märkus. Teoreemid 1-4 kehtivad ka lõplike ühepoolsete piirväärtuste puhul.

Märkus. Asendades definitsioonis 3 tingimuse |f(x) - A |< e tingimustega f(x) > N (vastavalt f(x) < -N), saame defineerida piirväärtused

f(x) = ± ¥ ( f(x) = ± ¥ ).

. Tähtsad piirväärtused

1) Olgu f(x) = , X = (- ¥, 0) (0, ¥).

Siinjuures x on nurk radiaanides (radiaan – kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele);1 rad » 57 ° 17¢.

Punkt x = 0 on funktsiooni y = määramispiirkonna X kuhjumispunkt, saame

vaadelda piirprotsessi x ® 0. Siis

=1.

(esimene tähtis piirväärtus).

2) Vaatleme piirväärtust

(1 + )x .

On tõestatud, et see piirväärtus eksisteerib, tähistame ta sümboliga “e”.Seega

(1 + )x = e.

(teine tähtis piirväärtus).Arv e on irratsionaalarv, e = 2,71828…

Kehtivad ka valemid:

(1 + )x = e

ning

(1 + x)1/x = e.

5. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid

Definitsioon 4. Funktsiooni α= α(x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui

α(x)= 0.

Definitsioon 5 .Lõpmata väikeseid funktsioone α= α(x) ja β= β(x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui

= 1.

Kirjutame α(x) ~ β(x), x a. Teoreem 7. Kui piirprotsessis x ® a lõpmata väikeste funktsioonide y= α(x),

y = a1(x), y= b(x), y=b1(x) korral a(x) ~ a1(x), b(x) ~ b1(x) ja eksisteerib piirväärtus

siis

2) [a(x) b(x)] ~ [a1(x)b1(x)].

6. Pidevad funktsioonid

Vaatleme funktsiooni y= f(x), xÎ X.Definitsioon 6. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui

f(x) = f(a) (1)

Pidevus hulgal X – pidevus selle hulga igas punktis. Kui , siis ütleme, et funktsioon f on pidev kõikjal.

Anname pidevuse definitsioonile teise kuju. Selge, et (1) Û [f(x) - f(a)] = 0.Tähistame: Dx = x - a ( argumendi muut) ning Dy = f(x) - f(a) (funktsiooni muut), siis

(1) Û Dy = 0.

Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas (vt teoreem 5).Funktsiooni f katkevuspunktid – selle funktsiooni määramispiirkonna kuhjumis-punktid, milles funktsioon ei ole pidev.

§ 3 FUNKTSIOONI TULETIS JA DIFERENTSIAAL

1.Tuletise definitsioon. Pidevus ja diferentseeruvus

Olgu antud funktsioon , xÎ X.Anname argumendile x muudu Dx, nii et x+ Dx Î X ja vastav funktsiooni muut olgu

D y = f(x+Dx) - f(x).Definitsioon 7. Kui eksisteerib piirväärtus (lõplik või lõpmatu)

,

siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f tuletiseks punktis x.

Tähistame f¢(x ), y ¢,

Seega

Näide Kui f (x ) = c= const, siis Dy = 0 Þ ( c) ¢= 0.

Näide Olgu f (x ) = sin x,

siis Dy = sin (x+ Dx) - sin x = 2 cos ( x + ) sin , seega

(sin x)¢= × cos (x + ) = cos x.

Tuletise leidmine – diferentseerimine. Diferentsiaalarvutus – matemaatilise analüüsiosa, mis käsitleb tuletise leidmist, omadusi ja rakendusi. Funktsiooni f diferentseeruvus punktis x – lõpliku tuletise f¢(x) olemasolu.selles

punktis. Pidevus ja diferentseeruvus: iga punktis x diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis.

2.Tehetega seotud diferentseerimisreeglidTeoreem 8. Kui funktsioonidel ja eksisteerivad lõplikud tuletised

punktis x ,siis ka funktsioonidel u+v, u–v, uv, eksisteerivad lõplikud tuletised

punktis x, kusjuures

10 (u ± v)′ =u′ ± v′,

20 (uv)′ =u′ v+ v′u,

30 (cv)′ = cu′, c=const,

40

3. Liitfunktsiooni tuletis

Teoreem 9. Kui funktsioonidel ja eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt punktides x ja , siis ka liitfunktsioonil y = F(x) = =f[φ(x)] eksisteerib lõplik tuletis punktis x, kusjuures

F'(x) =

4. Pöördfunktsiooni tuletisTeoreem 10. Kui funktsioonil on olemas pöördfunktsioon piirkonnas X ja eksisteerib lõplik tuletis siis eksisteerib lõplik f'(x) ning kehtib valem

f'(x) =

5. Funktsiooni diferentsiaal, selle rakendusi

Definitsioon 8 . Kui piirprotsessis x ® a lõpmata väikeste funktsioonide a = a(x) ja = (x) korral

siis ütleme, et a = a(x) on piirprotsessis x ® a kõrgemat järku lõpmata väike kui β = b(x).

Funktsiooni y = f(x) diferentseeruvus punktis x, (st lõpliku tuletise f¢(x)) olemasolu selles punktis) on samaväärne tingimusega

D y = f ¢(x) Dx + a(x),kus a(x) on piirprotsessis Dx® 0 kõrgemat järku lõpmata väike kui Dx.

Defintsioon 9. Punktis x diferentseeruva funktsiooni f muudu peaosa f¢(x)Dx nimetatakse selle funktsiooni diferentsiaaliks punktis x.

Tähistame: dy, df, seega dy = f ¢(x) Dx.

Olgu y = f( x ) = x, siis saame :dy = dx = (x)¢Dx = Dx.

(argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga). Seega võime kirjutada

dy = f ¢(x)dx.

6. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid

Olgu funktsioonil f lõplikud tuletised hulga X igas punktis. Siis vastavus

x (x) määrab hulgal X funktsiooni f tuletisfunktsiooni .

Kui eksisteerib siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks)

tuletiseks punktis x, ja tähistatakse f² (x), seega

Funktsiooni f teist järku tuletist tähistatakse ka sümbolitega y′′,

Seega lühidalt:y′′ = (y′)′

ja analoogiliselt jätkates: n -järku tuletis

y (n) = (y(n–1))′,

mille tähistame ka f (n)(x),

Funktsiooni y = f(x) diferentsiaal dy esitub teatavasti valemiga

dy = f ¢(x) dx,

kusjuures üldjuhul dy = dy(x,dx). Kui fikseerime argumendi muudu dx, siis dy onargumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on punktis x diferentseeruv, siis saameomakorda leida diferentsiaali d(dy), mida nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) diferentsiaaliks punktis x ja tähistatakse sümboliga d2y, seega

d2y = d(dy).Analoogselt jätkates

d3y = d(d2y)

(kolmandat järku diferentsiaal) ja üldiselt

dny = d(dn–1y)(n-järku diferentsiaal).Kehtib valem (eeldame, et x on sõltumatu muutuja ja on olemas lõplik )

,kus

7. Tuletise ja diferentsiaali rakendusi

7.1. Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus

Joone Γ puutujaks punktis P0 = (x0, y0) nimetatakse selle joone kõõlu P0Q piirseisu, kui punkt Q läheneb punktile P0 mööda joont.Joonel y = f (x) (funktsiooni f graafikul) on juhul, kus f on diferentseeruv punktis x0, olemas puutuja punktis P0 = (x0, y0), mille võrrand on

Seega on joone y = f (x) punktis P0 = (x0, y0) võetud puutuja tõus f′(x0).Vaatleme joonel y = f (x) punkte P0 = (x0, y0) ja Q= (x0+Δx, y0+ Δy), siis vastav puutu- ja oordinaadi muut on dy(x0, Δx).

7.2. Tuletis kui liikumise kiirus

Kirjeldagu funktsioon s=f(t) punktmassi liikumist sirgel, st olgu s vaadeldava punktmassi kaugus nullpunktist ajahetkel t. Siis alates ajahetkest t kuni ajahetkeni t+Δt

läbib vaadeldav punkt tee pikkusega Δs = f(t+Δt)– f(t). Suhet

nimetatakse punktmassi liikumise keskmiseks kiiruseks. On ilmne, et keskmine kiirus kirjeldab liikumist seda täpsemalt, mida väiksem on Δt, seetõttu piirväärtust

nimetatakse punktmassi liikumise kiiruseks ajahetkel t.Analoogselt defineerime kiirenduse a(t)ajahetkel t ja saame

Üldiselt, mõistes liikumist kui mistahes nähtuse muutumist looduses, tehnikas, ühis-Konnas jne, võime öelda, et funktsiooni f tuletis on seaduse y = f (x) alusel toimuva nähttuse kulgemise kiirus (intensiivsus).

§4 DIFERENTSIAALARVUTUSE KESKVÄÄRTUS- EOREEMID JA NENDE RAKENDUSI

1. Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid

Järgnevalt sõnastame teoreemid, mida tuntakse vastavalt Cauchy teoreemi ja Lagrange’i teoreemi nime all.

Teoreem 11. (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b) ning g¢ (x) ≠ 0 iga xÎ (a,b) korral, siis leidub selline punkt cÎ (a,b), nii et kehtib võrdus

.

Teoreem 12. (Lagrange’i keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a b), siis leidub selline punkt cÎ (a, b), nii et

f(b) – f(a)= f’ (c)(b–a).

Lagrange’i teoreem järeldub vahetult Cauchy teoreemist, kui võtta viimases g(x) = x.Teoreeme 11 ja 12 nimetatakse diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemideks. Arv c on teatav vahepealne väärtus a ja b vahel. Nimetatud teoreemid ei anna küll eeskirja c leidmiseks, kuid sellegipoolest on neil palju rakendusi.

2. L’ Hospitali reegel

L’Hospitali reegel võimaldab leida piirväärtust

limx® a

juhtudel, kus lim x® a f(x)= lim x® a g(x)= 0 (määramatus tüüpi ) või

lim x® a (määramatus tüüpi ).

Teoreem 13. Leidugu punkti a selline ümbrus U(a)= (a- δ, a+ δ ), δ>0, milles funktsioonid f ja g on diferentseeruvad iga x ≠ a korral ning olgu g’(x)≠ 0 vaadeldavas ümbruses. Kui f(a) = g(a )= 0, siis

(*)

eeldusel, et piirväärtus võrduse paremal pool eksisteerib.

Analoogiline reegel (valem (*)) kehtib ka siis, kui lim x® a .

3. Taylori valem

Teoreem 14. (Taylori valem) Kui funktsioon f on punktis a n korda diferentseeruv,

siis kehtib valem

Suurust an = an[(x–a)] nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks.

Erijuhul a = 0, saame Maclaurini valemi:

Kui funktsioon on f on (n+1) korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses, siis jääkliige an esitub nn. Lagrange´i kujul:

kus c Î (a, x) või c Î (x, a).

4. Joone asümptoodid

Sirget u nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest u läheneb nullile.

Joone punkti P=(x,y) kaugenemine lõpmatusse tähendab seda, et x→¥ (x→–¥ ) või y→¥ (y→–¥ ).Asümptoodid liigitatakse püstasümptootideks (vertikaalasümptootideks), kald-asümptootideks ja rõhtasümptootideks ( horisontaalasümptootideks).

I Püstasümptoodid on sirged võrrandiga x=a. Sirge x=a on joone y = f(x) püst-asümptoot parajasti siis, kui

f(a+) = ¥ (–¥) või f(a–) = ¥ (–¥).

II Joone y = f(x ) kaldasümptootideks on sirged y = kx+b.Asjaolu, et sirge y = kx+b on joone y = f(x) kaldasümptoodiks, tähendab seda, et protsessis x→¥ (x→–¥) funktsiooni f väärtused lähenevad lineaarse funktsiooni y = kx+b väärtustele.Kaldasümptooti protsessis x→¥ (x→–¥) nimetatakse parempoolseks (vasakpoolseks) kaldasümptoodiks.

Parempoolse kaldasümptoodi tõus k ja algoordinaat b leitakse valemitest

vasakpoolse kaldasümptoodi tõus k1 ja algoordinaat b1 aga valemitest

.

III Joone y = f(x ) rõhtasümptootideks on sirged y =b. Sel juhul või

Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, kus tõus k = 0.

5. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmine

Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmiseks sõnastame järgnevad teoreemidTeoreem 15. Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a,b) ja > 0 ( < 0 ) iga xÎ(a,b) korral, siis funktsioon f kasvab (kahaneb) selles vahemikus.

Teoreem 16. Vahemikus (a,b) diferentseeruv funktsioon kasvab (kahaneb) selles vahemikus parajajasti siis, kui1. ≥ 0 ( £ 0) iga xÎ(a,b) korral,2. punktid xÎ(a,b), kus = 0, ei moodusta vahemikku.

Näide. Olgu f(x)= Leiame = 3 Siis > 0, kui x ≠ 0 ja = 0 vaid punktis x = 0. Seega teoreemi 16 põhjal antud funktsioon kasvab kogu oma määramispiirkonnas (–¥,¥).

6. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid

Definitsioon 10. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis a lokaalne maksimum (lokaalne miinimum ) , kui leidub selle punkti ümbrus U(a), et

f (x) £ f(a) ( f(x) ³ f(a)) iga x Î U(a) korral.

Lokaalse ekstreemumi tarvilikud tingimused.

1) Olgu funktsioon f diferentseeruv punkti a mingis ümbruses ja olgu punktis a lokaalne ekstreemum, siis f ¢(a) = 0 (a on funktsiooni f statsionaarne punkt).2) Lokaalne ekstreemum võib realiseeruda ka punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv.Näiteks, kui f(x) = | x |, siis miinumum realiseerub punktis a = 0,samas ei ole sellel funktsioonil tuletist punktis 0.

Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused .

I piisav tingimusTeoreem.17. Kui funktsioon y= f(x) on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis a, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum, kui f ²(a) > 0 ja lokaalne maksimum , kui f ²(a) < 0.

II piisav tingimusPunkti a, kus on täidetud lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus 1) või 2), nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks.

Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited:10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f ¢(x) märk muutub “+” ® “-”, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum (funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks).

20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f ¢(x) märk muutub “-” ® “+”, siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum (funktsiooni kahanemine läheb üle kasvamiseks).

30 Kui punkti a läbimisel f ¢(x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole.

7. Joone kumerus, nõgusus, käänupunktid

Jooneks y = f (x) nimetame funktsiooni f graafikut.Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis igas punktis P =(x, f(x)) on joonel y = f (x) olemas puutuja.

Definitsioon 11. Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), xÎ(a,b), ülalpool (allpool) joont.

Teoreem.18 Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b).Kui f ²(x) < 0 ( f ²(x) > 0) iga xÎ(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus) selles vahemikus.

Joone y = f (x) punkti C = (c, f (c)), mis eraldab joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks (eeldame puutuja olemasolu punktis C). Käänupunktis puutuja lõikab joont.

§5 MÄÄRAMATA INTEGRAAL

1. Algfunktsioon ja määramata integraal

Definitsioon 12. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui iga xÎ (a,b) korral.

Näide. Funktsiooni y= üheks algfunktsiooniks on funktsioon üldiselt iga

funktsioon kujul kus C on suvaline konstant.

Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C – suvaline konstant.

Definitsioon 13. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C – suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks.

Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga Seega

Funktsiooni määramata integraali leidmist nimetatakse selle funktsiooni integree-rimiseks.

Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed.1. 2. 3. Seega diferentseerimine ja integreerimine on teineteise pöördoperatsioonid (konstantse liidetava täpsusega). Funktsioonil f on määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon.Igal vahemikus (a,b) pideval funktsioonil on algfunktsioon selles vahemikus.

2. Tehetega seotud integreerimisreeglid

Teoreem 19. Kui on olemas integraalid ja , siis kõikide α, βÎ R korral on olemas integraal , kusjuures

§6 MÄÄRATUD INTEGRAAL

1. Määratud (Riemanni ) integraali definitsioon Olgu lõigus [a,b] antud funktsioon y = f(x). Teeme lõigu [a,b] alajaotusea = x0 < x1 < x2 < …< xn = b, valime punktid x iÎ [xi-1, xi ] ja olgul = max (xi – xi-1) = max Dxi, i=1,…,n ( on osalõikude [xi-1, xi ] i=1,…,n, maksimaalne pikkus).

Definitsioon 14. Kui sõltumata lõigu [a,b] alajaotusest ja punktide ξ i valikust eksisteerib piirväärtus

siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni määratud ( Riemanni ) integraaliks lõigus [a,b].

Määratud integraal tähistatakse või .

Seega

(1)

Teoreem 20. Kui funktsioonil on olemas Riemanni integraal lõigus [a,b] ja algfunktsioon F selles lõigus, siis

(2)

Valemit (2) nimetatakse Newton-Leibnizi valemiks.

2. Määratud integraali omadused

Eeldame kõigi järgnevates omadustes vaadeldavate integraalide olemasolu.

Omadus 1. (aditiivsus) Kehtib seos

Omadus 2. (lineaarsus)

Omadus 3. (monotoonsus) Kui f(x) £ g(x) iga xÎ (a,b) korral, siis

Omadus 4. (keskväärtusteoreem) Kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b], siis on olemas punkt cÎ[a,b], nii et

3. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina

Olgu funktsioon f pidev lõigus [a,b], siis eksisteerib tal algfunktsioon selles lõigus ja vastavus

määrab lõigus [a,b] funktsiooni G, kus

Teoreem 21. Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigus [a,b], siis eksisteerib tuletisG¢ (x) selles lõigus ja

G¢ (x) = f (x) .

Märkus. Teoreemist 21 ja algfunktsiooni definitsioonist järeldub, et funktsioon G on funktsiooni f üks algfunksioone, mistõttu funktsiooni f suvaline algfunktsioon avaldub kujul

4. Päratud integraalid

Määratud integraali defineerimisel eeldasime, et –¥< a £ b < ¥. Lisaks on

määratud (Riemanni) integraali olemasolu tarvilik tingimus funktsiooni f tõkestatus lõigus [a,b]. Osutub, et nendest eeldustest saab vabaneda, kui sobivalt üldistada määratud intrgraali mõistet. Niiviisi jõuame päratu integraali mõiste juurde.

4.1. Lõpmatute rajadega integraalEksisteerigu , iga korral, siis defineerime päratu integraali

piirkonnas [a,¥] seosega

(1)

Eksisteerigu , iga korral, siis defineerime päratu integraali

piirkonnas (–¥,b] seosega

(2)

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus seoses (1) (seoses (2)), siis nimetame vastavat päratut integraali koonduvaks , vastasel korral hajuvaks .

4.2. Integraal tõkestamata funktsioonist.

Olgu funktsioon f tõkestamata punkti b ümbruses ja eksisteerigu

,

iga korral, siis defineerime päratu integraali lõigus [a,b] seosega

. (3)

Analoogiliselt, kui funktsioon f on tõkestamata punkti a ümbruses ja eksisteerib

,

iga korral, siis defineerime päratu integraali

. (4)

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus seoses (3) (seoses (4)), siis nimetame vastavat päratut integraali koonduvaks , vastasel korral hajuvaks .

Näide. Integraal

ei eksisteeri Riemanni mõttes, sest integreeritav funktsioon pole tõkestatud punkti x = 1 ümbruses. Selle funktsiooni päratu integraal

§7 JADAD JA READ

1. Arvjadad

Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni

Tähistame Arvu nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks).Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn ,...).

Definitsioon 15. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus

Jada, mis ei koondu ( , nimetatakse hajuvaks.Jada piirväärtuse leidmisel võib kasutada funktsiooni piirväärtuse leidmise reegleid.

Näide. Leiame

2. Arvread

2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus.

Olgu antud arvjada (un). Avaldist

nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks).Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all.

Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat

Definitsioon 16. Arvrida (1) nimetatakse koonduvaks, kui tema osasummade jada koondub, st kui eksisteerib lõplik piirväärtus Arvu S nimetatakse rea (1) summaks.

Arvrida, mis ei koondu, nimetatakse hajuvaks.

Näide. Rida hajub, sest

Antud juhul kirjutame S = ¥.

2.2.Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus.

Teoreem 22. Kui rida (1) koondub, siis

NB ! See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks.

Näide Rida

hajub, kuna

2.3. Positiivsete arvridade koonduvustunnused.

Rida

nimetatakse positiivseks reaks, kui un ≥ 0, n=1,2,... .Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil.

Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja

korral un £ vn , n= 1,2,..., siis rea (2) koonduvusest järeldub rea (1) koonduvus ja rea (1) hajuvusest järeldub rea (2) hajuvus.

Võrdluslause rakendamisel kasutame järgmist teavet.1) Geomeetriline rida

koondub, kui < 1 ja hajub, kui ³ 1.

2) Harmooniline rida

koondub , kui > 1 ja hajub, kui

Näide Rea

korral < Kuna rida koondub (harmooniline rida, a =5), siis

võrdluslause põhjal koondubka rida .

Rea koonduvuse integraaltunnus. Kui positiivse rea korral ja f on

pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [ , siis vaadeldav rida ja

päratu integraal koonduvad (hajuvad) samaaegselt.

Näide Rea korral .

Kuna (võtame a=1)

st vaadeldav integraal hajub, siis integraaltunnuse põhjal hajub ka rida .

Märkus.Toodud näite põhjal näeme, et tingimus pole piisav rea

koonduvuseks. Tõepoolest kuid rida hajub.

Üldiselt: Integraaltunnuse abil saab näidata, et rida (harmooniline rida)

koondub, kui >1 ja hajub, kui £ 1.

2.4. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus.

Olgu antud arvjada (an), kus an > 0. Rida

nimetatakse vahelduvate märkidega reaks.

Leibnizi tunnus. Kui siis vahelduvate märkidega rida (3) koondub.Seejuures

< an+1.Seega, kui lähendame S » Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus.

Näide Rida koondub Leibnizi tunnuse põhjal, selles

näites an =

2.5. Rea absoluutne ja tingimisi koonduvus.

Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida koondub.

Rea absoluutsest koonduvusest järeldub selle rea koonduvus, vastupidi mitte.Rida, mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt, nimetatakse tingimisi koonduvaks.

Näide Rida koondub tingimisi ( koondub eelmise näite

põhjal), samas rida hajub (harmooniline rida,kus,

=1).

2.6 D´Alembert´i ja Cauchy tunnused

D´Alembert´i tunnus. Kui eksisteerib piirväärtus

siis rida koondub absoluutselt kui D < 1 ja hajub, kui D > 1.

Kui D = 1, siis jääb küsimus lahtiseks.

Näide Uurime rea

koonduvust.

Leiame seega

vaadeldav rida hajub d´Alemberti tunnuse põhjal

Cauchy tunnus. Kui eksisteerib piirväärtus

siis rida koondub absoluutselt, kui C < 1 ja hajub, kui C > 1.

Kui C = 1, siis jääb küsimus lahtiseks.

Näide Uurime rea

koonduvust.Leiame

<1,

Seega vaadeldav rida koondub absoluutselt Cauchy tunnuse põhjal

3. Astmeread

3.1 Astmerea mõiste ja koonduvuspiirkond.

Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid , kus st rida

(1)

või üldisemalt rida

(2)

Astmerea (1) koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A defineeritakse järgnevalt

X =ja

A = .Astmerea (1) koonduvuspiirkond on järgmise struktuuriga: leidub arv ≥ 0, nii et astmerida (1) koondub absoluutselt vahemikus (–R ,R) ning hajub väljaspool seda vahemikku. Punktides x = –R ja x = R tuleb koonduvust eraldi uurida.Arvu R nimetatakse astmerea koonduvusraadiuseks, vahemikku (–R ,R) astmerea (1) koonduvusvahemikuks.

Kui astmerea kordajad an ≠ 0, siis koonduvusraadiust saab leida järgmiste valemite abil

(3)

või

(4)

NäiteidLeiame järgmiste astmeridade koonduvuspiirkonna X ja absoluutse koonduvuse piirkonna A.

a) .

Siin seega Valemi (3) põhjal

Seega vaadeldav rida koondub absoluutselt vahemikus (-1, 1).

Koonduvus koonduvusvahemiku otspunktides:

Kui , saame arvrea , mis hajub (harmooniline rida, kus

Kui , saame arvrea , mis koondub Leibnizi tunnuse põhjal.

Absoluutselt see rida ei koondu (vt ).

Seega ja

b)

Valemi (3) põhjal

Seega

c)

Valemi (4) põhjal

,

seega -------------------------------------------------------------------------------------------------------Tehes muutujavahetuse t=x–c, on lihtne veenduda, et astmerea (2) koonduvus-vahemik on (c–R ,c+R). Toome näite

d) .

Selle astmerea kordajad on samad, mis osas a) ja c = 5. Seega R = 1 ning

ja

3.2.Funktsioonide arendamine astmereaks.

Kui iga xÎ X = (c–R ,c+R) korral

, (5)

st funktsioon f on vaadeldava astmerea summa, siis öeldakse, et funktsioon f on vahemikus X arendatud astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega

(6)

kusjuures 0! = 1 ja

Rida (5), mille kordajad an on antud valemitega (6), nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks (erijuhul c=0 Maclaurini reaks).

Olgu αn Taylori valemi jääkliige Lagrange´i kujul (vt § 4, p.3), st

kus asub vahemikus otspunktidega c ja x.Valem (5) kehtib parajasti siis , kui

(7)

Näide Kui , siis iga korral. Osutub, et tingimus (7) on täidetud iga korral ja

seetõttu funktsiooni Maclaurini rida on järgmisel kujl

, .

Tähtsamate elementaarfunktsioonide Maclaurini read

§8 MAATRIKSITE RAKENDUSI

1. Maatriksi omaväärtused ja omavektorid

Olgu

maatriks ja olgu ( ) (või ( ) maatriks (samastame () ja maatriksi).

Definitsioon 17. Arvu R (või C) nimetame maatriksi A omaväärtuseks, kui ta rahuldab maatriksvõrrandit

. (1)

Definitsioon 18. Võrrandi (1) lahendit , mis vastab omaväärtusele , nimetame maatriksi A omavektoriks.

Olgu

ühikmaatriks. Siis saame võrrandi (1) kirjutada kujul

või

(2)

Kuna

,siis rakendades maatriksite korrutamise reeglit saame seose (2) kirjutada kujul

(3) Saime lineaarse homogeense võrrandsüsteemi, millel on mittetriviaalne (nullist erinev) lahend ( parajasti siis, kui selle süsteemi determinant

Seega peab kehtima tingimus

(4)

Saime n-astme võrrandi suuruse leidmiseks. Võrrandit (4) nimetatse maatriksi A karakteristlikuks võrrandiks.

Kui oleme võrrandist (4) leidnud omaväärtused , siis lahendades võrransüsteemi (3), saame leida vastavad omavektorid. Märgime, et iga omavektori Xsaame leida konstantse kordaja täpsusega.

Näide. Leiame maatriksi A= omaväärtused ja neile vastavad

omavektorid.

Maatriksi A karakteristlik võrrand on

See on ruuvõrrand , mille lahendid ( omaväärtused) on ja Omaväärtusele vastav võrrandsüsteem (3) on

Saame seega vastav omavektor (kordaja k täpsusega).Analoogiliselt saame omaväärtusele vastava omavektori

maatriksi A kõigi omaväärtuste hulka nimetatakse selle maatriksi spektriks.

2. Koordinaatide teisendus maatrikskujul

Vaatleme (rist)koordinaatide süsteemi Oxy ja selles punkti Teostame koordinaattelgede pöörde nurga võrra (vastupäeva, sel juhul loetakse nurk positiivseks). Saame uue koordinaatide süsteemi Ox´y´. Siis punkti P koordinaadid x´ ja y´ süsteemis Ox´y´ avalduvad kujul

(1)

Maatriksit

nimetame pöördemaatriksiks.

Siis arvestades maatriksite korrutamise reeglit, saame seosed (1) kirjutada maatrikskujul

Näide. Olgu Siis punkti koordinaadid pärast telgede pööramist nurga

võrra saame seosest

Seega uues koordinaatide süsteemis Ox´y´ on

§9 POLAARKOORDINAADID. SILINDRILISED JA SFÄÄRILISED KOORDINAADID

1. Polaarkoordinaadid.

Polaarkoordinaadid on tasandi punkti P koordinaadid mis määratakse järgnevalt: fikseerime punkti O (poolus) ja sellest punktist lähtuva kiire (polaartelg). Siis on punkti P kohavektori OP pikkus (st punkti P kaugus poolusest) ja on nurk polaartelje ja vektori OP vahel. Nurga mõõtmisel loetakse positiivseks suunaks kellaosuti liikumisele vastupdist suunda.Kui < < , siis vastab igale punktile P tasandil parajasti üks arvupaar Arve nimetatakse nmetatakse punkti P polaarkoordinaatideks.NB ! Märgime, et vahel on kasulik võtta < kus on mingi fikseeritud nurk.

Seos polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahel

Asetsegu ristkoordinaatide alguspunkt pooluses ja ühtigu x-telje positiivne suund polaarteljega, siis

(1)

Kehtivad ka seosed ning

Märkus. Näiteid joonte esitamisest polaarkoordinaatides võib leida raamatust „N.Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus I ,1981, lk.22-25 ”.

2. Silindrilised koordinaadid

Kolmemõõtmelises ruumis kasutatakse tihti silindrilisi koordinaate ( milleks on kaugus r, polaarnurk (vt. p.1) ja kõrgus z. Ristkoordinaatidega seovad silindrilisi koordinaate valemid ( eeldame järgnevas , et xyz-teljestiku nullpunkt ja x-telg on valitud samuti kui punktis 1).

(2)

Seega silindrilistele koordinaatidele üleminekul minnakse xy-tasandil üle polaarkoordinaatidele, koordinat z jääb samaks.NB ! Vahel märgitakse ka z= h.

3. Sfäärilised koordinaadid Kolmemõõtmelise ruumi punkti P =(x,y,z) sfäärilised koordinaadid Q ,r määratakse järgnevalt: r on punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist O ( st kohavektori OP pikkus), on nurk x-telje ja vektori OP´ vahel ( siin P´= ) ning Q on nurk punkti P kohavektori OP ja z-telje vahel (seda nurka hakatakse lugema z-teljest suunaga kohavektori poole).Seosed rist- ja sfääriliste koordinaatide vahel:

sinQ , sinQ , Q . (3)

Seejuures

Märkus. Selgitavad joonised silindriliste ja sfääriliste koordinaatide kohta võib leidaraamatust „L.Loone ja V.Soomer, Matemaatilise analüüsi algkursus, 2009 , lk.295-297.

Näide Pindadega (z ³ 0) (poolsfäär) ja z=0 (xy-tasand) piiratud poolkera E saame esitada kujul (siin a > 0)

a) silindrilistes koordinaatidesKuna z ³ 0 ja , siis z= seega

.

b) sfäärilistes koordinaatides.

Kuna , siis kerapinna (sfääri) võrrand sfäärilistes koordinaatides on . Seega