Kõrgema matemaatika kordamisküsimused

1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks

2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks.

3. Teist ja kolmandat järku determinandid.4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi

põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide

teooria põhivalem.6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi

omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv,

kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega.

Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem

9. Gaussi meetodi sisu.10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus,

kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv.

11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust

12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum.

13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid.

14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid

15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi.

16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused.

17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel.

18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus.

Matemaatikutele tulemused tõetustega

1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga.2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi.3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem.4. Crameri valemi tuletamine5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt.7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor.8. Cauchy-Bunjakovski võrratus9. Kolmnurga võrratus10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest13. Taandatud võrranditega sirgete vahelise nurga tangensi valem14. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine15. Hüperbooli kaldasümptootid16. Parabooli optilise omaduse tõestus

1. Kasutatavad tähistused

- kuulub; – element a kuulub hulka X / a hulgast X - sisaldub; – hulk A sisaldub hulgas B - iga; - iga a hulgast X / iga a korral hulgast X - eksisteerib; - eksisteerib a hulgast X / leidub a hulgast X

summa n

n

ii xxxx +++=∑

=

211

2. Maatriksi mõiste. Maatriksite liitmine ja arvuga korrutamine

Definitsioon. Maatriks on arvude tabel; kui maatriksis on rida ja veergu, siis räägitakse ( )-maatriksist ja kirjutatakse

kusjuures arve aij nimetatakse maatriksi elementideks.

Kui nimetatakse seda n-järku ruutmatriksiks.

Definitsioon. 1) Öeldakse, et maatriksid A ja B on võrdsed, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t.

2) Maatriksite A ja B summaks nimetatakse sellist maatriksit C; mille elemendid on võrdsed maatriksite A ja Bvastavate elementide summaga, s.t.

3) Maatriksi A korrutiseks arvuga nimetatakse sellist maatriksit B; mille elemendid on maatriksi A elementide -kordsed, s.t.

Kõikide reaalarvuliste elementidega ( )-maatriksite hulka tähistame :Muidugi, siia hulka kuulub ka nullmaatriks

Definitsioon. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatakse sellist maatriksit , mis on saadud maatriksist ridade ja veergude ümbervahetamise teel (maatriksi esimene rida on maatriksi esimeseks veeruks, maatriksi teine rida on maatriksi teiseks veeruks jne) , s.t.

Näide.

=→

=

95

71

97

51 TAA

3. Maatriksite korrutamine

Definitsioon. Maatriksite A = (aij) ja B = (bij) korrutiseks nimetatakse -maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru element on võrdne

Seega me korrutame maatriksi A iga liige reas i maatriksi B veeru j vastava elemendiga ja liidame tulemused kokku.

4. Teist ja kolmandat järku determinandid.

Olgu antud teist järku ruutmaatriks:

=

2221

1211

aa

aaA

Definitsioon. Avaldist 21122211 aaaa − nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) ning tähistatakse

2221

1211)det(aa

aaA =

Näide.

.2524342

53=⋅−⋅=

Vaatleme kolmandat järku ruutmaatriksi:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Definitsioon. Kolmandat järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) nimetatakse avaldist

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

2213322311332112

322113312312332211

333231

232221

131211

)det(

−−−

−++==

Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskirja võib esitada kujul:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

+ märgiga liikmed – märgiga liikmedTahame üldistada determinandi mõistet igat järku ruutmaatriksitele. Selleks toome esmalt sisse mõningad mõisted.

5. Permutatsioonid. Inversioonid. Kõrgemat järku determinandid.

Definitsioon. Arvude n,,2,1 ümberjärjestus, milles iga arv esineb täpselt üks kord, nimetatakse permutatsiooniks.

Antud n korral kõigi permutatsioonide hulka tähistame Pn.

Näide. Kui n=1, siis on võimalik ainult 1=1! premutatsioon: 1Arvu n=2 korral on 2=2! permutatsiooni: (1,2) ja (2,1)Arvu n=3 korral on 6=3! permutatsiooni:

(1,2,3); (2,3,1); (3,1,2); (2,1,3); (3,2,1); (1,3,2).

Teoreem. Permutastoonide arv n elemendist on Pn=n!

Tõestus. Permutatsiooni esimese elemendi valimiseks on n võimalust. Teise elemendi valikuks jääb n –1 võimalust. Seega esimese kahe elemendi valikuks on n(n – 1) võimalust.

Analoogiliselt jätkates saame, et n elemetide ümberjärjestamiseks n(n – 1)(n –2) … 2 ⋅ 1 = n! võimalust.

Definitsioon. Öeldakse, et permutatsioonis

elemendipaar ( , ) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv on suurem teisest

arvust , s.o. .

Inversioonide arvu permutatsioonis tähistatakse

Koostame järgmised tabelid n = 2; 3 korral.

(i1,i2) (i1,i2)Märk

)i,(i 21)1( σ−21 21 ii aa

(1,2) 0 + a11a22

(2,1) 1 - a12a21

Summerides tabeli viimases veerus olevad liikmed koos vastavate märkidega, saame

ehk

Samasugune tabel n = 3 korral näeb välja selliselt:

(i1,i2,i3) (i1,i2,i3)Märk

)i,i,(i 321)1( σ−321 321 iii aaa

(1,2,3) 0 + a11a22 a33

(2,3,1) 2 + a12a23 a31

(3,1,2) 2 + a13a21 a32

(2,1,3) 1 - a12a21 a33

(1,3,2) 1 - a11a23 a32

(3,2,1) 3 - a13a22 a31

Summerides tabeli viimases veerus olevad liikmed koos vastavate märkidega, saame

333231

232221

131211

312213322311332112

322113312312332211

aaa

aaa

aaa

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

=−−−

++

ehk

Nüüd üldistame tulemused.

Definitsioon. Maatriksi

determinandiks (ehk n järku determinandiks) nimetatakse summat

6. Determinandi põhiomadused.

Olgu antud nn× -maatriks A .

Omadus 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu, s.t. AAT detdet = .

See omadus võimaldab sõnastada ja tõestada järgmised omadused ainult ridade jaoks (veergude jaoks need teoreemid kehtivad samuti).Omadus 2. Determinandi mistahes rea (veeru) elementidest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette.

Tõestus.

Järeldus. Kui determinandi mingi reas (veerus) on ainult nullid, siis on determinant null. Tõestus: võtame omaduses 2 � � 0. Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (veergu) omavahel ümberpaigutada, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. Näide:

�1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3� � �3 4 1 22 3 4 11 2 3 44 1 2 3�

Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (veergu) omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. Tõestus. Oletame, et determinandis read indeksitega � ja � on võrdsed ning võrdugu determinant -ga. Vahetame antud deteminandis read indeksitega � ja � ümber, siis omaduse 3 põhjal saadud determinant võrdub -ga. Et aga read indeksitega � ja � on võrdsed, siis nende ridade ümbervahetamisel determinant ei muutu, s.t. � , 2 � 0, � 0. Järeldus. Kui determinandis kaks rida (veergu) on proportsionaalsed, siis determinant võrdub nulliga. Tõestus. Kui kaks rida on proportsionaalsed, siis üke neist võrdub teine korda konstant. Omaduse 2 kohaselt saame viia seda konstandi determinanti ette. Siis maatriksi read on võrdsed, seega omaduse 4 kohaselt determinant võrdub 0. Omadus 5. Olgu determinandi mingi rea (veeru) element kahe liidetava summa. Siis avaldub determinant kahe determinandi summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas (veerus) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadeldavas reas (veerus) on teised liidetavad. Ülejäänud read (veerud) on endised.

Tõestus. Determinandi definitsiooni põhjal

Omadus 6. Detrminant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita mistahes arvuga korrutatud teine rida (veerg). Tõestus. Olgu determinant � saadud determinandist tema k-nda rea elementidele arvu c kordsete m-nda rea elementide liitmisel. Siis omaduse 5, omaduse 2 ja omaduse 4 kohaselt

� � ��

��� � ���� � ���� � ���� � ��� � ����� � ���� � ���� � ���� � ��� �� � �

���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ��� �

�

������ � ���� � ����� � ����� � ���� � ���� � ���� � ��� �

� � � � ����� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ���� � ��� �

� �

Omadus 7. Kui determinandil on peadiagonaalist allapoole on ainult nullid, siis võrdub determinant peadiagonaali elementide korrutisega. Näide.

Omadustel 6 ja 7 põhineb Determinantide leidmise meetod:

1) Lisades determinandi ridadele (veergudele) mingi rida (veerg) korda sobiv arv

teisendada determinanti kujule, kus peadiagonaalist allapoole on ainult nullid. 2) Siis determinant võrdub padigonaali elementide korrutisele.

Näide:

�1 4 1 11 1 2 30 0 2 30 0 1 2��I�

0,5�III� � �1 4 1 10 5 1 20 0 2 30 0 0 0,5� � 1 · �5� · 2 · 0,5 � 5

Omadus 8. Maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega:

7. Determinandi arendamine rea (veeru) järgi.

Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks.

Definitsioon. Maatriksi A = (aij) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel.

Näide. Determinandis ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

on elemendi a21 = 2 miinoriks

Definitsioon. Arvu

nimetatakse ka elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks.

Lemma 1. Kui determinandi detA viimases reas (veerus) kõik elemendid peale ann võrduvad nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =annMnn. Tõestus. Olgu

Siis determinandi definitsiooni põhjal

Et n on indeksitest ��, … , ��!� suurem, siis nende indeksitega ta ei moodusta ühegi inversiooni ja võib kirjutada:

ning sellepärast

Lemma 2. Kui determinandi detA mingis reas (näiteks, i-ndas reas) (veerus) kõik elemendid peale ühe (näiteks, aij) võrduvad nulliga, siis determinant võrdub selle elemendi ja tema algebralise täiendi korrutisega: detA = aijAij. Tõestus. Eeeldame, et i-ndas reas kõik elemendid peale ühe aij võrduvad nulliga. Esmärgiga

kasutada eelmise lemma nihutame rida vimasele kohale ja elemendi aij kohale " # ". Selleks kõigepealt vahetame i-nda ja (i+1) rea elemendid. Determinandi omaduse 3 kohaselt

on uus determinant võrdne det' · �1�. Nüüd vahetame uue (i+1) ja (i+2) rea ning peame

determinandi veel (-1)-ga korrutama, ehk uus determinant on nüüd �1�( · det'. Jätkame

kuni arv aij on vimases reas. Selleks teeme kokkuvõttes n-i reavahetust, seega uus

determinant on seotud esialgse determinandiga valemiga �1��!) · det' ehk

����� � ��* � ���� � � � ��)!�,� � �)!�,* � �)!�,��)+�,� � �)+�,* � �)+�,�� � � � ���!�,� � ��!�,* � ��!�,�0 � �)* � 0 �

� � �1��!) · det'.

Edasi toimetame arvu aij kohale " # " . Selleks vahetame kõigepealt j-nda ja (j+1) veeru

elemendid, siis (j+1) ja uue (j+2) veeru elemendid, jätkame seni, kuni arv aij jõuab kohale " # ". Iga veeruvahetusel korrutame determinandi (-1)-ga. Kokkuvõttes peame tegema n-j

veeruvahetust. Seega uus determinant võrdub �1��!* · �1��!) · det' � �1�!)!* · det'

ehk

����� � ��,*!� ��,*+� � ��� ��*� � � � � � ��)!�,� � �)!�,*!� �)!�,*+� � �)!�,� �)!�,*�)+�,� � �)+�,*!� �)+�,*+� � �)+�,� �)+�,*� � � � � � ���!�,� � ��!�,*!� ��!�,*+� � ��!�,� ��!�,*0 � 0 0 � 0 �)* �

� � �1�!)!* · det'.

Nüüd Lemma 1 kohaselt vasakpool võrdub

�)* · ����� � ��,*!� ��,*+� � ���� � � � � ��)!�,� � �)!�,*!� �)!�,*+� � �)!�,��)+�,� � �)+�,*!� �)+�,*+� � �)+�,�� � � � � ���!�,� � ��!�,*!� ��!�,*+� � ��!�,��

�

Determinant, mis esineb avaldises on maatriksi A determinant, kus on eemadlatud i-ndas rida ja j-ndas veerg. Seega ta võrdub miinori definitsiooni kohaselt ,)* . Kokkuvõttes saame võrduse �)* · ,)* � �1�!)!* · det', kust det' � �)* · ,)* · �1�)+* � �)* · ')*

Teoreem. Determinant detA võrdub mingi rea (veeru) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutiste summaga:

(1)

ning

(2)

Märkus. Avaldist (1) nimetatakse determinandi detA arendiseks i-nda rea järgi, avaldist (2) – determinandi detA arendiseks j-nda veeru järgi.

Tõestus. Tõestame valemi (2).

8. Determinantide teooria põhivalemid

Olgu A ruutmaatriks, mille järk on n. Eelmise paragrahvi teoreemi põhjal arendades determinandi i-nda rea järgi, saame:

(1)

Siin rea i elemeid korrutatakse sama rea elementide alamdeterminantidega. Vaatleme, mis aga juhtub, kui korrutame mingi teise rea alamdeterminantidega.

Lause. Determinandi mingi rea (veeru) elementide korrutiste summa mingi teise rea

(veeru) elementide alamdeterminantidega on võrdne nulliga e.

,0...2211 =+++inknikik

AaAaAa kui ik ≠

(2)

Tõestus. Eeldame, et ik ≠ . Vaatleme maatriksi B, kus reas i paiknevad elemendid

knkaa ,,1 K ning ülejäänud ridades maatriksi A elemendid. Rakendame eelmise paragrahvi

teoreemi põhjal ja arendame maatriksi B determinandi rea i järgi:

inknikik

nnnknn

knkkkk

knkkkk

nk

AaAaAa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

k

i

B +++== ...

......

..................

......

..................

.........

..................

......

det 2211

21

21

21

111211

.

Kuna maatriksis B kaks rida oma omavahel võrdsed, siis selle determinant võrdub 0:

.0det =B Seega

.0...2211 =+++inknikik

AaAaAa

Selleks, et ühendada valemid (1) ja (2) üheks valemiks toome sisse definitsiooni: Definitsioon. Kroneckeri sümboliks nimetatakse suurust

Nüüd Kroneckeri sümboli ikδ abil on võimalik ühendada valemid (1) ja (2):

.det...2211 AAaAaAaikinknikik

⋅=+++ δ (3)

Tõepoolest, kui i = k, siis ikδ = 1 ning saame valemi (1), vastasel juhul ik

δ = 0 ning saame

valemi (2). Et determinandi võib arendada ka veeru järgi, siis analoogilise aruteluga saame:

(4)

Valemeid (3) ja (4) nimetatakse determinantide teooria põhivalemiteks.

9. Maatriksi pöördmaatriks

Olgu

ning

n-ndat järku ühikmaatriks. Determinantide omaduse 7 kohaselt

.1111det =⋅⋅⋅= KE

Definitsioon 1. Maatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui detA ≠ 0.

Definitsioon 2. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit 1−

A , mille korral

.11EAAAA ==

−−

Teoreem. Kui maatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. Tõestus. Olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmaatriksid, st

AB = E = BA ja AC = E= CA.

Siis maatrikskorrutise assotsiatiivsuse tõttu B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C.

Lause. Kui maatriksil A on pöördmaatriks 1−

A olemas, siis maatriks A on regulaarne.

Tõestus. Eelduse kohaselt 1−∃A nii et EAA =

−1 . Kuna maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega (omadus 8), siis

.1detdet)det(det 11=⋅==

−−AAAAE

Siit järeldub, et .0)(detdet/1det 11≠==

−−AAA

Muuhulgas saime lause tõestamisel järgmise omaduse:

Omadus 1. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud e. .)(detdet 11 −−

= AA Vaatleme ka teised pöördmaatriksi omadused.

Omadus 2. Maatriksi A pöördmaatriksi pöördmaatriks 1

)( 1 −−

A langeb kokku maatriksiga A:

Tõestus. Selleks, et kehtiks AA =−

−1

)( 1 , peab kehtima .11EAAAA ==

−− See võrdus on aga rahuldatud, kuna 1−

A on A pöördmaatriks.

Omadus 3. Ühikmaatriks on iseenda pöördmaatriksiks: .1EE =

−

Tõestus. Kehtib, kuna .EEE =

Omadus 4. Kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmaatriksid, siis on regulaarne ka AB, kusjuures

.)( 111 −−−= ABAB

Tõestus. Selleks tuleb näidata, et

.))(())(( 1111EABABABAB ==

−−−−

Tõepoolest

.)())(( 111111EAAAEAABBAABAB ====

−−−−−−

Analoogiliselt kehtib ka teine võrdus. Omadus 5. Kui maatriks A on regulaarne ja 0≠c , siis on regulaarne ka cA, kusjuures

.)( 111 −−−= AccA

Omadus 6. Kui A on regulaarne, siis on regulaarne ka ,TA kusjuures

Tõestus. Näitame, et .)()( 11EAAAA

TTTT==

−−

Maatriksite korrutamise omaduse tõttu

,)()( 11EEAAAA

TTTT===

−−

sest EET

= . Analoogiliselt tõestatakse teine võrdus. Teoreem. Kui maatriks A on regulaarne, siis maatriksil A on olemas pöördmaatriks 1−

A ning

Tõestus. Teoreemi eelduse põhjal maatriks A on regulaarne, s.t. detA≠ 0 definitsiooni põhjal, järelikult, leidub arvu detA pöördarv .)(det 1−

A Kontrollime tingimuste AA1− = E ja 1−

AA = E kehtivust:

Analoogiliselt võib näidata, et kehtib ka võrdus AA

1− = E. Järgmine järeldus annab mugava valemi 2 � 2 maatriksi pöördmaatriksi leidmiseks.

Näide: Leida

�2 �1 01 3 �12 1 1 �

Lahendus. Leiame kõigepealt

� � �1�� �3 �11 1 � � 4, �� � �1��� �1 �12 1 � � �3, �� � �1��� �1 32 1� � �5, �� � �1��� ��1 01 1� � 1, ��� � �1���� �2 02 1� � 2, ��� � �1���� �2 �12 1 � � �4, �� � �1��� ��1 03 �1� � 1, ��� � �1���� �2 01 �1� � 2, ��� � �1���� �2 �11 3 � � 7.

Arendame determinanti 1. rea järgi: det � � � � � �� �� � �� �� � 2 · 4 � �1� · �3� � 0 · �5� � 11. Seega

� � 111�4 �3 �51 2 �41 2 7 �

�� 111�

4 1 1�3 2 2�5 �4 7�

Järeldus. Kui 2 � 2-maatriks � on kujul

� � � !" #$, Siis tema pöördmaatriks on leitav valemiga

� � %&'( # �!�" � $.

Tõestus. 2 � 2-maatriksi � determinant võrdub det � ��# � !". Leiame elementide algebralised täiendid: � � �1��# � #, �� � �1���" � �", �� � �1���! � �!, �� � �1����� � �. Seega Teoreemi kohaselt

� � 1�# � !" # �"�! � $� � 1�# � !" # �!�" � $. Näide: Leida

2 5�2 3$

Lahendus.

2 5�2 3$ � 12 · 3 � 5 · �2� 3 �52 2 $ � 116 3 �52 2 $.

10. Lihtsamad maatriksvõrrandid

Pöördmaatriksi mõiste abil saab lahendada maatriksvõrrandid. Edasi näeme, et linear-võrrandite süsteem taandub maatriksvõrrandiks, seega pöördmaatriks on rakendatav linear-võrrandite süsteemi lahendamiseks

Me vaatleme kolm tüüpi maatriksvõrrandeid

�* � +, *� � +, �*+ � ,.

Lause 1. Regulaarse A korral on võrrandi ainus lahend .

Tõestus: Kuna maatriks A on regulaarne, siis leidub pöördmaatriks �. Korrutame võrrandi �* � + mõlemad pooled vasakult maatriksiga �:

��* � �+ -* � �+ * � �+

Lause 2. Regulaarse A korral on võrrandi ainus lahend

BAX = BAX 1−=

BXA =1−

= BAX

Tõestus: Kuna maatriks A on regulaarne, siis leidub pöördmaatriks �. Korrutame võrrandi *� � + mõlemad pooled paremalt maatriksiga �:

*�� � +� *- � +� * � +�

Lause 3: Regulaarsete A ja B korral on võrrandi ainus lahend

Tõestus: Kuna maatriksid A ja B on regulaarsed, siis leiduvad pöördmaatriksid � ja +.

Korrutame võrrandi �*+ � , mõlemad pooled vasakult maatriksiga �:

��*+ � �, -*+ � �, *+ � �,

Nüüd kasutades Lause 2 saame võrrandi lahendiks

* � �,+.

11. Lineaarvõrrandite süsteemi mõiste.

Olgu antud võrrandisüsteem

,

(1)

kus ., .�, … , .0 on tundmatud; !, !�, … , !1 on vabaliikmed ning �, ��, … , �10on süsteemi (1) kordajad. Definistioon 1. Süsteemi (1) nimetatakse lineaarvõrrandite süsteemiks (lühidalt LVSiks). Arve ", "�, … , "0 nimetatakse süsteemi (1) lahendiks, kui süsteemi (1) tundmatute asendamisel nende arvudega saame m samasust. Definistioon 2. LVSi nimetatakse 1) vasturääkivaks, kui tal ei ole ühtegi lahendit, 2) kooskõlaliseks, kui tal on vähemalt üks lahend, 3) määratuks, kui tal on täpselt üks lahend.

Näide 1. Võrrandisüsteem

22. � 22. � 33

CAXB =11 −−

= CBAX

on vasturääkiv (lahend puudub). Siin m=2, n=1.

Näide 2. Vaatleme võrrandisüsteemi

Selle võrrandisüsteemi üheks lahendiks on x = 3; y = 2; z = 1. Kuid lahendiks on ka x = 2; y

= 1; z = 3. Seega see võrrandisüsteem on kooskõlaline, kuid pole määratu. Siin m=2, n=3.

Toome sisse järgmisi tähistusi:

- süsteemi (1) maatriks,

- süsteemi (1) laiendatud maatriks;

- tundmatute veerg ehk tundmatute maatriks;

- vabaliikmete veerg ehk vabaliikmete maatriks.

Tähistades sümboliga Aj maatriksi A j-ndat veergu, s.t

saab LVSi (1) esitada järgmisel kujul:

12. Crameri valemid.

Vaatleme LVSi, kus 1) võrrandite arv = tundmatute arvuga ning 2) süsteemi maatriks on regulaarne e. det� 4 0.

LVS on siis kujul

(1)

Kirjutame LVSi (1) maatrikskujul: �* � + (2)

Olgu 56 sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist A k-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga:

Leiame selle maatriksi determinandi. Kui determinandis det � k-nda veeru elementide algebralised täiendid on �6 , ��6 , … , �06 siis arendades determinandi 56 k-nda veeru elementide järgi saame:

Eelduse põhjal maatriks A on regulaarne, järelikult det � 4 0, seega maatriksil A leidub pöördmaatriks

Nüüd Lause 1 paragrahvist 10 kohaselt maatriksvõrrandli (2) �* � + on olemas ainus lahend: * � +�. Tähistame det � � 5, siis

Teoreem. Kui süsteemi (1) korral on võrrandite arv = tundmatute arvuga ning süsteemi maatriks on regulaarne, siis süsteemil on täpselt üks lahend

Definitsioon. Valemeid

nimetatakse Crameri valemiteks.

Näide. Lahendame süsteemi 7 . � 3.� � 02. � 4.� � 63

Siin

5 � �1 32 4� � �2, 5 � �0 36 4� � �18, 5� � �1 02 6� � 6. Seega

. � 9:9 =;� � 9, .� � 9=9 =

>� � �3.

13. Maatriksi astak.

Definitsioon. Maatriksi miinorid on selle maatriksi ridade ja veergude

eemaldamise teel saadud determinandid. r-t järku minor on r-t järku determinant.

Seega -maatriksi mingi elemendi miinor on maatriksi -t järku

miinor.

Näide. Maatriksi

esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku miinorid on näiteks

Kolmandat järku miinorid on

Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. Definitsioon. Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil

1) leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, 2) puuduvad nullist erinevad r-ist kõrgemat järku miinorid.

Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A).

Näide. Vaatleme maatriksi

Sellest on võimalik koostada kuni 4-t järku miinorid. Meid huvatavad aga nullist erinevad miinorid. Saame maatriksist koostada nullist erineva nt. sellise 3-t järku miinori

Teiselpoolt puuduvad maatriskil nullist erinevad 4-t järku miinorid, kunas igas 4-t järku miinoris peab sisalduma nullide rida, mis annab miinori väärtuseks 0. Seega maatriksi astak on 3 e.

Lause 1. Kui maatriksi A astak on r,

1) siis leidub maatriksil A r veergu millede lineaarse kombinatsioonina

avalduvad kõik maatriksi veerud e. leduvad veerud rkkk

AAA ,...,, 21

sellised et iga veeru kA jaoks leiduvad arvud

rkkk λλλ ,...,,21

et kehtiks

r

r

k

k

k

k

k

k

kAAAA λλλ +++= ...2

2

1

1

2) siis leidub maatriksil A r rida millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad

kõik maatriksi read e. leduvad read sellised rkkk AAA ,...,,

21et iga rea kA

jaoks leiduvad arvud rkkk λλλ ,...,,

21et kehtiks

rr kkkkkkk AAAA λλλ +++= ...2211

Tuleb välja, et maatriksi nn. elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Definitsioon. Maatriksi ridade (veerude) elementaarteisendusteks nimetakse

üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil:

1. maatriksi mistahes rea (veeru) korrutamine arvuga.

2. mistahes reale (veerule) arvkordse teise rea (veeru) liitmine (lahutamine).

Lause 2. Kui maatriks B saadakse maatriksist A elemntaarteisenduste abil, siis nende astakud on võrdsed e.

Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada nn. treppmaatriksiks. Definitsioon. Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Definitsioon. Öeldakse, et maatriks on trepikujuline ehk treppmaatriks, kui

1) read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all); 2) mistahes rea juhtelement (kui leidub) asetseb rangelt paremal temale

eelneva rea juhtelemendist.

Näide. Maatriksitest

esimene on trepikujuline, kuid teine ei ole. Teoreem. Treppmaatriksi astak võrdub selle maatriksi juhtelementide arvuga.

Tõestus. Eemaldame need read ja veerud, mis ei sisalda juhtelemente. Saame determinandi, kus peadiagonaalist allapoole asuvad nullid je peadiogonaalil kõik mittenullised elemendid See on nullist erinev ja tema järk võrdub juhtelementide arvuga. Suurema järguga miinorid on kõik nullid (kui eksisteerivad), sest sisaldavad ainult nullidest koosnevat rida.

Teisisõnu teoreem ütleb, et treppmaatriksi astak võrdub mittenull ridade arvule. Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada treppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Näide. Leiame maatriksi

astaku. Teisendame maatriksi treppkujule

Mittenullridade arv on 2, seega esiaglse maatriksi astak on 2. 14. Kronecker-Capelli teoreem

Selles paragrahvis me tuletame LVSi kooskõlalisuse tunnuse. Olgu antud LVS

Olgu

LVSi maatriks,

laiendatud maatriks ning

vabaliikmete veerg. Teoreem (Kronecker-Capelli teoreem). LVS on lahenduv parajasti siis, kui süsteemi laiendatud maatriksi astak on sama kui süsteemi maatriksi astak . Tõestus. „Tavilikkus“e. „ “ Eeldame, et süsteemil leidub lahend

ning näitame, et

Kuna

on süsteemi lahend, siis

Nüüd lahutame maatriksi viimasest veerust 1. veergu korrutatud , 2.

Veergu korrutatud jne kuni vimase veergu korda , saame maatriksi

See maatriks on saadud maatriksist veerude lementaartesendustega, seega

tema astak ona sama, mis astak. Teiseltpoolt, kuna see maatriks on saadud maatriksist A 0 veeru lisamisel, siis me same sellest koostada nullist erineva r-t järku miinorit (sama, mis maatriks A jaoks), samuti me ei saa sellest koostada r+1-t järku nullist erineva miinori, kuna 0 veergu lisamisel determinant saab nulliks. Järelikult maatriksi C astak sama nagu maatriksi A astak. Seega

.

„Piisavus“e. „⇐“ Eeldame, et

Näitame, et süsteemil leidub lahend. Lause 1 kohaselt süsteemi maatriksil A r veergu millede lineaarse

kombinatsioonina avalduvad kõik maatriksi veerud. Lihtsuse mõtte eeldame, et

need on veerud . Kuna süsteemi maatriksi astak on samuti r, siis

tema kõik veerg, muuhulgas ka vabaliikmete veerg B avaldub nende veerude

lineaarse kombinatsioonina. Seega leiduvad arvud et

ehk kehtib

(1)

Võtame (2)

Siis valemi (1) kohaselt kehtib

Seega arvud on LVS lahend.

Näide. Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi

Selle võrrandisüsteemi maatriks ja laiendatud maatriks on

Leiame nende astakud elementaarteisenduste abil (Lause 2 kohaselt ei muuda

nad maatriksi astakut). Rakendame elementaartesiendusi laiendatud maatriksile,

kunas ta sisaldab süsteemi maatriksi, siis samal ajal rakenduvad nad süsteemi

maatriksile.

Süsteemi maatriksist A saadud maatriksi astak on 2, kuna üks tema nullist erinev

2-järku minor on

ning kõik tema 3-t järku miinorid on 0-d. Laiendatud maatriksist teisendatud

maatriksist on aga võimalik valmistada 3-t järku nullist erineva miinori, nt.

Seega laiendatud maatriksi astak on 3. Kronecker-Capelli teoreemi kohaselt

LVS-l puuduvad lahendid.

15. Gaussi meetod

Definitsioon. Kahte n tundmatuga lineaarvõrrandite süsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui nendel on ühed ja samad lahendid. Definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi teisendust, mis seisneb kas

(1) süsteemi kahe erineva võrrandi ümbervahetamises; (2) süsteemi teatud võrrandi korrutamises nullist erineva arvuga;

(3) süsteemi teatud võrrandile mingi arvuga korrutatud mistahes teise võrrandi liitmises.

nimetatakse vastavalt esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Teoreem. Kaks LVSi on ekvivalentsed siis ja ainult siis, kui üks neist on saadav teisest teatava arvu elementaarteisenduste teel. Gaussi meetodi sisu:

Olgu meil tarvis lahendada süsteemi

Selle süsteemi laiendatud maatriks on

1) Viime LVSi laiendatud maatriks ekvivalentsele treppkujule. 2) Kontrollime astakutingimust (et laiendatud maatriksi astak sama, mis on

maatriksi astak). Kui see pole täidetud, siis süsteem pole lahenduv. Edasi teeme ainult kooskõlalise süsteemi korral

3) Kui LVSi astak on väiksem tundmatute arvust, siis valime juhttundmatud (vastavad treppmaatriksi juhtelementidele). Ülejäänud on vabad tundmatud, anname neile väärtusteks konstandid C1, C2,…

4) Avaldame juhttundmatud vabaliikmete ja vabade tundmatute kaudu. 5) Kirjutame välja lahend.

Näide. Lahendada võrrandisüsteem

Selle LVSi laiendatud maatriksiks on

Teisendame selle treppkujule

Teisendame treppmaatriksi juhtelementidele vastavates veergudes ülejäänud elemendid nullideks.

Vastav võrrandisüsteem on

Avaldame juhttundmatud

Valime vabade tundmatute x2, x4 ja x5 väärtuseks konstandid C1, C2 ja C3 ning kirjutame välja üldlahendi:

16. Kompeksarvud

Vajadus arvuvalla laiendamiseks reaalarvude vallast üldisemasse arvude hulka

tekkis juba selliste lihtsate võrrandite lahendamisel, nagu �� � 1 � 0 ja �� � � �2 � 0.

On teada, et kompleksarvudest kõneldi juba 16. sajandil (G. Cardano). Siiski

esinesid nad kuni 18. sajandi keskpaigani vaid episoodiliselt üksikute

matemaatikute töödes. Süstemaatiline kompleksarvude käsitlemine algas seoses

geniaalse Peterburi akadeemiku L. Euleri (1707 – 1783) töödega.

Definitsioon. Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus

a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i,

defineeritakse võrdusega � � 1.

Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse �.

Definitsioon. Kompleksarvu z = a + ib � � korral nimetatakse arvu a � selle

kompleksarvu reaalosaks ja arvu b � nimetatakse selle kompleksarvu

imaginaarosaks.

Definitsioon. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui

1) on võrdsed nende reaalosad,

2) on võrdsed nende imaginaarosad.

a + ib� � � � � � � � ja b=d

Defineerime tehted arvudega a + ib ja � � �:

Definitsioon. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on

kompleksarv

z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2).

Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi.

Näide.

(2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i:

Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame

võrdust � � 1:

Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu

mõiste.

Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu

�� � � �.

Kaaskompleksarvude omadused:

Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja

kaaskompleksarvuga:

Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on

reaaltelg, y-telg on imaginaartelg.

Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse (�) punkti A(a, b) ning kohavektori

��������= (a, b) ; s.t.

z = a + bi � ���, �� � ��������= (a, b).

Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt:

Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse

komplekstasandiks.

Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning

algebralised tehed kompleksarvudega.

Kui z = a + ib, siis �� � � � ehk y-koordinaat on –b ja x-koordinaat on sama

Seega geomeetriliselt kujutuvad kompleksarvud z ja �� sümmeetriliselt x –telje

suhtes.

Vaatleme nüüd liitmise geomeetrilise tõlgenduse. Olgu �� � � � �, �� � � � �, siis � �� � �� � �� � �� � �� � ��. Arvudele ��, �� ja � vastavad kohavektorid

on OA������ � �a, b�, OB������ � �c, d� ja OC������ � �a � c, b � d�. Teiselt poolt

OA������ � OB������ � �a, b� � �c, d� � �a � c, b � d� � OC������. Seega geomeetriliselt tähendab kompleksarvude liitmine vastavate kohavekotrite

liitmist.

Analoogiliselt saab näidata, et kompleksarvude lahutamine kujutub geomeetriliselt

kohavektorite lahutamist.

17. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju.

Vaatleme komplekstasandil nullist erinevat kompleksarvu z = a + ib vektorina.

Selle vektori pikkust tähistatakse r =|z| ja nimetatakse kompleksarvu mooduliks.

Nurka kompleksarvu tähistava vektori ja reaaltelje positiivse suuna vahel tähistame

φ= arg z ja nimetame kompleksarvu argumendiks.

Siis a = r cos φ; b = r sin φ: Saame kompleksarvule z= a + bi kuju

(1)

kus r =|z| ja tan+ � ,- , + � arctan /,-0 � 12, 0 3 + 4 21. Valem (1) on tuntud kompleksarvu trigonomeetrilise kuju all.

Näide. Esitame kompleksarvu � � 1 √3 trigonomeetrilisel kujul:

|z| � r � 9�1�� � �√3�� � √4 � 2, cos+ � 12 �

12, sin+ �

√32 � √32 ,

kust + � 1 � >? � @>? ja

1 √3 � 2Acos 413 � sin413 B

Mooduli omadused:

Vaatleme komleksarvude korrutamise ja jagamise trigonomeetrilisel kujul.

Olgu C � D��cos+� � sin+�� ja E � D��cos+� � sin+��. Siis

Seega kompleksarvude korrutamisel nende moodulid korrutatakse ning

argumendid liidetakse kokku e.

FCE| � |C|FE|, arg CE �arg C � argE

Enne arvude jagatise leidmist leiame arvu pöördarvu jaoks valemi:

Olgu E H 0. Siis

Seega pöördarvu leidmisel peame leida mooduli pöördarvu ning argumendi

vastandarvu e.

|EI�|� |E|I�, arg EI� � arg E. Leiame nüüd C/E:

Nüüd tuletame korrutamise valemist astendamise valemi:

C� � C � D�cos+ � sin+� C� � C · C � D · D�cos�+ � +� � sin�+ � +�� � D��cos 2++i sin 2+)

C? � C� · C � D� · D�cos�2+ � +� � sin�2+ � +�� � D?�cos 3++i sin 3+)

………………………………………………………..

CL � DL�cos M++i sin M+) (2)

Seega astendamisel me astendame arvu mooduli ning korrutame argumendi

astmega.

Näide. Leiame �1 � ��N. Selleks kõiegepealt esitame arvu � � 1 � trigonomeetrilisel kujul:

D � |�| � O1� � 1� � √2, cos+ � 1√2 , sin+ �1√2,

seega

+ �14 , 1 � � √2 /cos 14 � sin14 0.

Siit me saame

�1 � ��N � �√2��N /cos 20 · 14 � sin 20 ·14 0 � 2�N�cos 5 1 � sin 51 �� 1024�cos 1 � sin 1 � � 1024�1� · 0 � � 1024.

Erijuhul, kui r = 1, saame valemist (2)

See valem kannab Moivre’i nime. Moivre’i valemi abil saab tuletada trigonomeet-

rilised valemid cos nx ja sin nx avaldamiseks cos x ja sin x kaudu.

Näide. Kirjutades Moivre’i valemi üles n = 2 jaoks saame

Teiselt poolt

Kuna võrduste vasakud pooled on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka nende

paremad pooled. Kaks kompleksarvu on võrdsed, kui on võrdsed nende reaal- ja

imaginaarosad, seega saame

Nüüd vaatleme astendamise pöördtehe. Olgu antud kompleksarv z = a + ib.

Definitsioon. Kompleksarvu C n-juureks nimetatakse iga kompleksarvu w, mille

korral QL � C.

Kui antud võrrandil leidub kompleksarvuline lahend w � ρ�cosψ � i sinψ �; siis

Siit saame:

Siis

Igale k väärtusele vastab üks n-astme juur

Aga mitte kõik väärtused QU erinevad üksteisest. Me näitame, et kui 2� V M, siis

QUW � QUX mõni 2� � 0,… , M 1 jaoks. Siis me saame n-astme juurele √CZ vaid n

erinevat väärtust

Olgu 2� V M fikseeritud. Jagame 2�arvuga n jäägiga. Olgu q jagatis ning 2� jagatise jääk (2� � 0,… , M 1�. Siis 2� saab esitada kujul 2� � [M � 2�. Seega

argQUW � + � 212M � + � 21�[M � 2��M � + � 212�M � 21[. Siit

QUW � √DZ Acos A+ � 212�M � 21[B � sin A+ � 212�M � 21[BB� √DZ Acos A+ � 212�M B � sin A+ � 212�M BB � QUX

Teoreem. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt.

Näide. Leiame

√1\ � √1 � 0\ � O1�cos 0 � sin 0�\

� √1\ Acos0 � 2213 � sin 0 � 2213 B , 2 � 0, 1, 2. Seega

18. Geomeetrilised vektorid

Definitsioon. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakses suunatud sirgloiku tasandil või ruumis.

Vektoril on nn alguspunkt A ja lõpp-punkt B ning teda tähistatakse . Samuti kasutatakse

väiksed ladina tähed: Iga vektorit iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Vektori pikkust tähistatakse .

Definitsioon. Kahte geomeetrilist vektorit ja loetakse võrdseiks ja kirjutatakse , kui

need vektorid on kollineaarsed ( ), samasuunalised ja ühepikkused .

Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et iga vektorit võib kanda ruumi mistahes punkti.

Definitsioon. Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku nimetatakse nullvektoriks.

Tähistame nullvektorit

Definitsioon. Vektorite ja summaks nimetatakse vektorit ja tähistatakse

Siit tuleneb reegel vektorite liitmiseks: Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite

ja summaks on vektor , mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. Seda reeglit nimetatakse kolmnurka reegliks.

AB

A

B

C

Mõnikord on otstarbekas kasutada vektorite liitmisel ka nn rööpküliku reeglit, mis seisneb järgnevas: Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava alguspunkti. Vektorite summaks on vektor, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid.

Definitsioon. Arvu (skalaari) α ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit

mis rahuldab tingimusi 1) vektor on paralleelne vektoriga 2) kui siis vektori suund

ühtib vektori suunaga, korral aga on vektorid ja vastassunalised 3) vektori

pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu absoluutväärtusega e.

Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V

rahuldavad järgmised omadused:

V5. )= ,

V6. ,

V7. = ,

V8. 1 =

19. Aritmeetilised vektorid

Vektoreid saab esitada ka koordinaatide kaudu. Näiteks kolmemõõtmelises ruumis Lihtne on üldistada, võttes kolme koordinaadi asemel rohkem koordinaate. Fikseerime naturaalarvu Definitsioon. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n koosnevat arvude jada

Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks

ruumiks ja tähistatakse e.

Definitsioon. Aritmeetiliste vektorite

ja

summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit

Näide:

(2;-1; 0; 5) + (-3; 9; 7;-5) = (-1; 8; 7; 0),

Definitsioon. Arvu (skalaari) α ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist

vektorit

Näide:

Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi aritmeetiliste vektorite hulgal V

rahuldavad omadused V1-V8 eelmise paragrahvi teoreemist.

20. Vektorruum

Eelpool nägime, et nii geomeetriliste kui aritmeetiliste vektorite korral kehtisid teatud omadused V1-V8. Need omadused võetakse vektorruumi aksioomideks. Kõiki objekte, mille korral need omadused on rahuldatud, nimetatakse edaspidi vektoriteks. Definitsioon. Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulka kui temal on defineeritud liitmine ja skalaariga korrutamine nii, et

V5. )= ,

V6. ,

V7. = ,

V8. 1 =

Definitsioon. Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks.

Näited: 1) Reaalarvude hulk on liitmise ja korrutamise tehte suhtes vektorruum. 2) Kompleksarvude hulk on vektorruum üle reaalarvude hulka. 3) Kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja ruumis tavaliste tehetega on vektorruum. 4) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk on vektorruum. 5) Kõigi maatriksite hulk on vektorruum maatriksite liitmise ja skalaariga korrutamise suhtes. 6) Näide hulgast, mis pole vektorruum. Olgu V = ja defineerime tehted järgmiselt. Olgu ja , siis

Antud juhul omadus V8 aksioom ei kehti, sest

korral, kui , siis

Seega hulk V ei ole selliste tehete suhtes vektorruum.

Vektorrumi definitsioonis aksioomis V3 öeldakse, et leidub vähematl üks nullvektor. Me

näitame, et leidub täpselt üks nullvektor.

Lause. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor.

Tõestus. Vektorruumis on vähemalt üks nullvektor vektorruumi aksioomide tõttu. Näitame, et see nullvektor on ainus. Selleks oletame vastuväiteliselt, et vektorruumis leidub

veel teinegi nullvektor mille korral kehtib samuti

.

Siis kehtib see ka korral, seega

+ = .

Teiselt poolt, kuna on vektorruumi nullvektor, siis vektorruumi aksioomide tõttu

+ = . Saime kaks võrdust, mille vasakud pooled on võrdsed. Siis on võrdsed ka nende võrduste

paremad pooled, st = .

21. Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse mõiste.

Olgu V vektorruum üle reaalarvude hulka ning 1, 2,…, m

Definitsioon. Mistahes avaldist, millel on kuju

kus 1,…, m , nimetatakse vektorite 1, 2,…, m lineaarkombinatsiooniks. Skalaare 1,…, m nimetatakse antud lineaarkombinatsiooni kordajateks. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, s.t 1= 2 = …= m = 0. Lineaarkombinatsioon on mittetriviaalne, kui vähemalt üks tema kordajatest on nullist erinev, s.t. kui i i = 1, 2, …, m. Näide: Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja olgu antud kaks vektorit 1, 2 , mis

ei ole paralleelsed. Siis avaldub iga vektor sellel tasandil vektorite 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina.

Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,…, m nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui

vektorite 1, 2,…, m mingi mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdub nulliga, s.t., leiduvad

arvud k1, k2, …, km , ning mingi kordaja

nii, et

Vastasel juhul vektorite süsteemi 1, 2,…, m nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, s.t., et

parajasti siis, kui k1=k2= …= km: (Öeldakse ka, et vektorid 1, 2,…, m on kas lineaarselt sõltuvad või lineaarselt sõltumatud). Teoreem: Vektorid 1, 2,…, m on lineaarselt sõltuvad parajasti siis kui sellest hulgast leidub vähemalt üks vektor, mis avaldub ülejäänud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Näited. 1. Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil. Iga kaks vektorit 1, 2 , mis ei ole paralleelsed, on lineaarselt sõltumatud. 2. Kaks paralleelset vektorit 1, 2 on lineaarselt sõltuvad, sest üks avaldub teise kaudu:

3. Iga kolm vektorit 1, 2 3 on lineaarselt sõltuvad.

4. Olgu V = aritmeetiliste vektorite ruum. Näitame, et vektorid

on lineaarselt sõltumatud. Moodustame lineaarkombinatsiooni

1 1+ 2 2 + …+ n n 1, 2,…, n)

See lineaarkombinatsioon võrdub nullvektorile ainult siis, kui 1= 2=…, n=0.

Seega vektorid 1, 2,…, n on lineaarselt sõltumatud.

Lause: Iga vektorite hulk, mis sisaldab nullvektorit on lineaarselt sõltuv.

Tõestus. Olgu antud vektorid 2,…, m. Siis saame moodustada nullvektoriga vorduva lineaarkombinatsiooni

1 + 0 2 + … +0 m= ,

mille kõik kordajad ei ole nullid ( 1 ), seega vektorid on lineaarselt sõltuvad.

22. Vektorruumi baas ja mõõde. Olgu V mistahes vektorruum. Definitsioon. Vektorite süsteemi 1, 2,…, n vektorruumis V nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui

1) vektorruumi V mistahes vektor on avaldatav vektorite 1, 2,…, n lineaarkombinatsioonina.

2) vektorite süsteem 1, 2,…, n on lineaarselt sõltumatu. Näited.

1) Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil, siis moodustavad baasi iga kaks mitteparalleelset vektorit sellel tasandil.

Järeldus. Vektorruumis võib olla lõpmata palju baase.

2) Olgu V = . Me näitasime juba, et vektorite süsteem

on lineaarselt sõltumatu. Selleks et veenduda, et see on baas, on vaja veel näidata, et iga aritmeetiline vektor on avaldatav vektorite 1, 2,…, n lineaarkombinatsioonina. Olgu

Siis teda saab esitada kujul

1, 2,…, n)= 1 , ,…, )+ 2 , ,…, )+… n ,…, )= 1 1+ 2 2 + …+ n n

Seega vektorid 1, 2,…, n moodustavad baasi.

3) Olgu V kõigi m n -maatriksite vektorruum. Olgu Eij maatriks, mille enamus elemente on nullid, ainult i-nda rea j-nda veeru elemendiks on 1. Moodustame hulga

Siis avaldub iga m n maatriks A = (aij) baasi kaudu:

Näiteks

Fakte baaside kohta.

1) Igas nullruumist erinevas vektorruumis leidub baas. 2) Iga lineaarselt sõltumatut vektorite süsteemi saab täiendada baasiks. 3) Sama vektorruumi iga kaks erinevat baasi sisaldamad sama arvu vektoreid.

Definitsioon. Vektorruumi V mõõde ehk dimensioon (tähistatakse dim V ) on tema baasis esinevate vektorite arv.

Näited. 1) Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil. Siis dim V = 2. 2) Olgu V = , siis dim V = n.

3) Olgu V = , siis dim V = m n.

Olgu vektorruumi V baasiks B={ 1, 2,…, n}. Siis on iga vektor avaldatav lineaarkombinatsioonina

Definitsioon. Arve 1, 2, …, n . nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Teoreem. Vektori koordinaadid baasil B on on üheselt määratud.

Tõestus. Oletame, et

ja on veel mingid arvud 1,…, n nii, et

Siis

1- 1 1+ 2- 2 2 + …+ n- n n

millest baasivektorite lineaarse sõltumatuse tõttu järeldub, et

23. Vektorite skalaarkorrutis ja eukleediline vektorruum.

Eesmärgiga üldistada vektori pikkuse ja nurk vektorite vahel mõisted mistahes vektoruumile defineerime skalaarkorrutise: Definitsioon. Skalaarkorrutiseks vektorruumis nimetatakse reeglit, mis igale kahele

vektorile seab vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja

nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kui on täidetud järgmised omadused

2. parajasti siis, kui ;

Näited: 1) aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2; …; xn) ja = (y1; y2; …; yn) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt:

2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt:

aga näiteks, avaldised

skalaarkorrutist ei määra. 3) 2 2-maatriksite hulgas võib skalaarkorrutise defineerida järgmise valemiga: Olgu

Siis määrab skalaarkorrutise. Definitsioon. Vektorruumi koos temas defineeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Definitsioon. Vektori pikkuseks nimetatakse arvu

Näide: Kui aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2)

skalaarkorrutis on defineeritud võrdusega , siis vektori pikkus

langeb kokku tavalise tasandilise vektori pikkusega.

Vektori pikkuse omadused:

Tõestus:

2) On kerge kontrollida, et antud võrratus kehtib kui või : Seepärast eeldame, et

ja . Võtame suvalise reaalarvu t ja moodustame vektori

Skalaarkorrutise esimese aksioomi põhjal ehk

ja kasutades skalaarkorrutise omadusi 3)-5) ja pikkuse definitsiooni, saame:

Viimase võrratuse vasak pool on kolmliige (ruutvõrrandi vasak pool) t suhtes, mis peab iga t korral olema positiivne (või null). See tähendab, et võrrandil

on maksimaalselt üks lahend. Järelikult ruutvõrrandi diskriminant peab olema nullist väiksem (või võrdne nulliga):

3. Arvutame :

Võttes saadud võrratuse mõlemast poolest ruutjuure, saamegi

kolmnurga võrratuse.

Definitsioon. Eukleidilise vektorruumi kahe vektori ja vaheliseks nurgaks

nimetatakse sellist nurka , et

See definitsioon on korrektne: Cauchy-Bunjakovski võrratusest järeldub, et kui ja

, siis

ehk

Seega saab iga kahe nullist erineva vektori korral määrata nendevahelise nurga. 24. Ortogonaalne ja ortonormaalne baas.

Definitsioon. Öeldakse, et vektorid ja on ortogonaalsed ehk risti, kui = 0. Termin “risti” on seotud järgmise aruteluga: kui = 0, siis

Definitsioon. Vektorruumi baasi B = 1, 2,…, n} nimetatakse ortogonaaleseks ehk

ristbaasiks, kui iga kaks erinevat baasivektorit on omavahel risti, st =0, kui

Igast baasist on võimalik konstrueerida ortogonaalse baasi. Seda protsessi nimetatakse

ortogonaliseerimiseks.

Definitsioon. Öeldakse, et vektor on normeeritud ehk ühikvektor, kui tema pikkus =1.

Kui vektor ei ole normeeritud, siis seda võib normeerida jagades vektor tema pikkusega

. S.t., et vektorile vastav normeeritud vektor on leitav valemiga =

Veendume, et vektor on tõepoolest normeeritud. Vektori pikkuse omaduse 1 kohaselt:

= =

Definitsioon. Ortogonaalse baasi, mille kõik vektorid on normeeritud (ühikvektorid), nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks.

Seega, kui B = 1, 2,…, n} on vektorruumi ortonormaalne baas, siis

(1)

Juhul n = 2 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 = ; juhul n = 3 tähistatakse tavaliselt 1 = ; 2 =

3 = .

Teoreem 1. Eukleidilises vektorruumis alati võib valida ortonormaalse baasi. Teoreem 2. Olgu eukleidilises vektorruumis antud ortonormaalne baas B = 1, 2,…, n}

ning

1) Siis vektorite ja skalaarkorrutis on arvutatav valemiga

2) Vektori pikkust saab leida valemiga

Tõestus. 1) Arvutame vektorite ja skalaarkorrutis:

Ortonormaalne baasi omaduse (1) kohaselt

2) Nüüd vektori pikkuse definitsiooni kohaselt

25. Vektorite vektorkorrutis

Vaatleme kolmemõõtmelise (n=3) eukleidilise vektorruumi ning valime seal mingi

ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega)

Definitsioon. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit , mille korral on täidetud tingimused:

2. Vektorkorrutise pikkus on võrdne veltoritele ja

ehitatud rööpküliku pindalaga, st SABCD = , kui AB = ja

AD = ;

Seega

3. Vektorid , , moodustavad parema käe kolmiku; Vektorkorrutise omadused:

1. - vektorkorrutis on antikommutatiivne

2. Kui ja , siis

Tõestus:

3.

Leiame baasi vektorite omavahelised vektorkorrutised:

Nüüd olgu

ja

Leiame nende vektorkorrutise

Kasutades determinandi mõiste saame kirjutada

(1)

ehk

Samuti saame ümber kirjutada (1) 3. Järku determinandi abil kujul

26. Vektorite segakorrutis

Vaatleme kolmemõõtmelise (n=3) eukleidilise vektorruumi ning valime seal mingi

ortonormaalse baasi B = ; } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega)

Definitsioon. Vektorite ja segakorrutiseks nimetatakse arvu .

Leiame segakorrutise väärtuse:

Seega

Segakorrutise omadused:

1. Vektorite ja segakorrutise absoluutväärtus

võrdub vektoritele ja ehitatud rööptahuka

ruumalaga 2. Tetraeedri (kolmnurkse püramiidi) ABCD; mille servad

on DA = ; DB = ja DC = ; ruumala VABCD = .

3. Vektorid ja on komplanaarsed parajasti siis kui

nende segakorrutis

4. Vektorid ja moodustavad paremkäe kolmiku, kui

nende segakorrutis on positiivne ja moodustavad

vasakkäe kolmiku, kui nende segakorrutis on negatiivne.

27. Sirged

1) Vaatleme sirge kolmemõõtmilseses ruumis.

Sirge � on määratud mingi punktiga A(ax; ay; az), mille ta läbib (st A � � ), ja vektoriga �� =

(sx; sy; sz) � 0��, millega on see sirge paralleelne, st ��� (seda vektorit nimetatakse sirge �

sihivektoriks).

Olgu X (x; y; z) sirgel � paiknev suvaline punkt. Et vektor ����������, siis leidub mingi arv � �, et �������� � ��

Definitsioon. Võrrandit

�������� � ��, � � nimetakse sirge � parameetriliseks vektorvõrrandiks.

Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt

Seega

Kuna �������� � ��, siis

millest saame sirge � nn parameetrilisi võrrandeid :

Kui vektori �� = (sx; sy; sz) kõik koordinaatid pole võrdsed nulliga, saame avaldada

parameetrilistest võrranditest parameetri t:

�

�

�

saame sirge nn kanoonilisi võrrandeid:

Kui vektori �� üks koordinaat on null, nt. �� � 0, siis jab kehtima ainult üks võrdusest:

ning teine saab kuju

� � ��. Kui vektori �� kaks koordinaati on 0, nt. �� � �� � 0, siis sirge konoonilisteks võrranditeks on

� � ��; � � ��.

2) Kahemõõtmelises ruumis sirge � on määratud mingi punktiga A(ax; ay), mille ta läbib, ja

vektoriga �� = (sx; sy) � 0��, millega on see sirge paralleelne. Seega sirge parameetrilised

võrrandid on

ja sirge kanoonilised võrrandid

Võttes võrrandis ristkorrutise, saame

���� � ��� � ���� � ��� ehk ������� � ����� � ����� � 0. Tähistades

� � �� , � ��� , ! � ���� � ���� saame sirge � võrrandile kuju

�� � � � ! � 0. (1)

Definitsioon. Võrrandit (1) nimetakse sirge � üldvõrrandiks.

Kuna �� � 0�� � �0; 0�, siis võrrandis (1) ei ole a,b samaaegselt nullid.

Tähistame "�� � ��; � ja leiame tema skalaarkorrutise sirge � sihivektoriga ��:

"�� · �� � ��; � · ���; ��� � ���; ���� · ���; ��� � ���� � ���� � 0.

Seega vektorid n�� ja �� on risti ning järelikult vektor "�� on risti sirgega �.

Definitsioon. Mis tahes nullvekotirst erinevat vektorit "��, mis on risti sirgega � nimetatakse

sirge � normaalvektoriks.

Leiame nüüd mingi punkti kaugust sirgeni.

Definitsioon. Punkti kauguseks sirgeni nimetakse sellest punktist sirgeni tõmmatud

ristlõigu pikkust.

Olgu & � �'�; '�� punkt kahemõõtmelises ruumis, leiame punkti & kaugus sirgest �.

Punkti M kaugust sirgeni � tähistame d(M, �) abil. Seega vastavalt definitsioonile

d(M, �)= (&)�������(.

Vektor &)������� on risti sirgega �, seega parelleele tema normaalvektoriga "��. Valime sirgel �

mingi punkti X=(x;y) ning olgu * nurk vektorite &)������� ja &�������� vahel, seega * või + � * on

nurkvektorite "�� ja &�������� vahel. Siis

,�&, �� � (&)�������( � (&��������( cos * �(&��������(0"�� · &��������0

"��(&��������(�0"�� · &��������0"��

�0��� � '�� � �� �'��0

√�2 � 2�0�� � � � �'� � '�0

√�2 � 2

�0�! � �'� � '�0

√�2 � 2�0�'� � '� � !0

√�2 � 2.

�

&

� )

* "��

28. Tasandid.

Tasand � on määratud temal asuva mingi punktiga A���, ��, �� (st A � ) ning veel kahte

mittekollineaarsete vektoritega �� ja � (�� � � ) millega on see tasand paralleelne. Kuna

vektorid �� ja � on mitteparallellsed, siis moodustavad nad selle tasandi vektorite jaoks baasi.

Tasandit määravaid mittekollineaarseid vektoreidnimetatakse tasandi rihivektoriteks.

Olgu X ���, ��, �� mingi punkt tasandil �. Kuna ��� , � � on baas, siis vektori ������� saab üheselt

avaldada vektorite �� , � lineaarkombinatsioonina:

(1)

Definitsioon. Võrrandit (1) nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvõrrandiks.

Muutujaid t1 ja t2 nimetatakse aga parameetriteks.

Tasandil π on võrrandeid (1) lõpmatult palju, sest punkti A võib tasandil π fikseerida väga

erinevalt. Sama olukord on rihivektorite �� , � valikuga.

Olgu punktide A ja X kohavektoreid ������� ja ������� tähistatud

Me saame

ehk

Seda võrrandit nimetatakse tasandi vektorvõrrandiks. Leiame nüüd tasandi π võrrandi

koordinaatides, selleks asendame vektorvõrrandisse vektorite koordinaatid: ������� � � � ���, ��, ��; ������� � � � ���, ��, ��; �� � ���, ��, ��; � � ���, ��, ��. Seega ���, ��, �� � ���, ��, �� � �����, ��, �� � �����, ��, ��

ehk

(2)

Saadud võrrandeid nimetatakse tasandi π parameetrilisteks võrranditeks.

Meie järgmiseks sammuks on saada võrranditest (2) tasandi selline võrrand, mis ei sisalda

parameetreid t1 ja t2. Teisendame süsteemi esimesed kaks võrrandit:

����� � ���� � �� � ������ � ���� � �� � �� �

See on lineaarne süsteem muutujate ��, �� suhtes. Eeldame, et süüstemi determinant ei võrdu

0:

Δ � ��� ���� ��� � ���� � ����

Vastasel juhul saame valida teised vektorid �� , � . Seega sellel süsteemil parajasti üks lahend,

mis on Crameri valemite põhjal leitav valemitega:

�� � Δ�Δ , �� � Δ�Δ , kus

Δ� � ��� � �� ���� � �� ��� ja Δ� � ��� �� � ���� �� � ���. Nüüd asendame ��, �� väärtusi süsteemi (2) vimasesse võrrandisse:

�� � �� � Δ�Δ �� � Δ�Δ ��

ning korrutame läbi determinandiga Δ: ��� � ��Δ � Δ��� � Δ���

ehk

��� � �� ��� ���� ��� � ��� � �� ���� � �� ��� �� � ��� �� � ���� �� � ��� ��. Arvutades esimese ja teise determinanti saame:

��� � �� ��� ���� ��� � !��� � ���� � ��� � ����"�� � !��� � ���� � ��� � ����"��� !��� � ������� � ���� � ��� � ������� � ����. Siit

��� � �� ��� ���� ��� � ���� � �� ��� ���� ��� � ��� � �� ��� ���� ��� ehk

��� � �� ��� ���� ��� � ��� � �� ��� ���� ��� � ��� � �� ��� ���� ��� � 0, mis saab kolmandat järku determinandi abil kirjutada kujul

$�� � �� �� ���� � �� �� ���� � �� �� ��$ � $�� � �� �� � �� �� � ���� �� ���� �� ��

$ � 0.

Tähistades

� � ��� ���� ��� , % � � ��� ���� ��� , & � ��� ���� ���, saame ���� � �� � %��� � �� � &��� � �� � 0

ehk teisiti

��� � %�� � &�� � ' � 0, (3)

kus ' � ����� � %�� � &��.

Definitsioon. Võrrandit (3) nimetatakse tasandi üldvõrrandiks.

Tähistame (� � ��, %, &, siis

(� � )��2 �3�3 �3� , � ��1 �3�1 �3� , ��1 �2�2 �2�- � �� . � .

Kuna �� / 0� , � / 0� ning �� � � , siis (� � �� . � / 0� . Samuti vektorkorrutisena vektor (� on

risti vektoritele �� ja � , seega ka tasandile �.

Definitsioon. Vektorit (� , mis on risti tasandile �, nimetatakse tasandi � normaalvektoriks.

Vektori (� pikkuseks on 0(� 0 � 1�� � %� � &�. Jagame võrrandi (3) suurusega 0(� 0:

�0(�� 0 �� � %0(�� 0 �� � &0(�� 0 �� � '0(�� 0 � 0. (4)

Tähistame

(� 2 � 3 �0(� 0 ; %0(� 0 ; &0(� 04 � 10(� 0 ��, %, & � 10(� 0 (� . Seega (� 2 on ühikvektor, mis on risti tasandile � ehk samuti tasandi � normaalvektor.

Leiame, mis nurgad moodustab vektor (� 2 koordinaateljede sihivektoritega i ; j ; k� . Tähistame vastavad nurgad vastavalt 8, 9, :, siis

cos 8 � (�� 0 · i ?(�� 0? @i @ �

�0(�� 0 · 1 � %0(�� 0 · 0 � &0(�� 0 · 01 · 1 � �0(�� 0.

Analoogiliselt

cos 9 � %0(�� 0 ja cos : � &0(�� 0. Seega vektori (� 2 � �cos 8; cos 9; cos : koordinaatid on vektori (� 2 koordinaatteljedega

nurgade koosinused.

Nüüd tasandi võrrand (4) saab kuju �� cos 8 � �� cos 9 � �� cos : � B, (5)

kus B � �'/0(�� 0.

Definitsioon. Võrrandit (5) nimetatakse tasandi normaalvõrrandiks.

Leiame konstandi p geomeetrilise tõlgenduse. Eeldame, et B D 0, vastasel juhul korrutame

võrrandi (5) -1-ga.

Olgu X���, ��, �� suvaline punkt tasandil � ja � � ������� tema kohavektor. Valime tasandil �

punkti L selliselt, et vektor �E����� oleks risti tasandiga �. Seega vektor �E����� on paralleelne

vektoriga (� 2. Tähistame F-ga vektorite ������� ja �E����� (seega ka (� 2) vahel. Siis

cos F � (�� 0 · �� ?(�� 0? 0�� 0 � �� cos 8 � �� cos 9 � �� cos :0�� 0 � B0�� 0 .

Nüüd kuna @�E����� @ � 0� 0 cos F, siis

@�E����� @ � 0�� 0cos F � 0�� 0B0�� 0 � B. Kuna vektor �E����� on vektori ������� proektsioon vektori (� 2 suunale, siis me saame, et vektori ������� proektsioon vektori (� 2 suunale võrdub p.

29. Punkti kauguse arvutamine tasandist.

Definitsioon. Punkti kauguseks tasandini nimetatakse sellest punktist tasandini tõmmatud

ristlõigu pikkust.

L

F (� 2

Vaatleme punkti X0��2, G2, H2 ja leiame tema kaugust I tasandini �: � cos 8 � G cos 9 � H cos : � B

Tõmbame punktist X0 ristlõigu tasandini �, selle ristlõigu pikkus ongi kaugus I. Olgu

� 2=��2, G2, H2 puntki X0 kohavektor ning olgu vektor �J������ vektori ��2�������� � � 2 proektsioon

vektori (� 2 suunale (valime vektori (� 2 suunda selliselt, et nurk vektorite � 2 ja (� 2 vahel oleks

terav). Tema pikkus on

@�J������ @ � 0� 20 cos � 2, (� 2K � 0� 20 � 2 · (� 20� 200(� 20 � � 2 · (� 2 � �2 cos 8 � G2 cos 9 � H2 cos :

Nüüd olgu L lõigu �J ja tasandi lõikepunkt. Siis

I � @�J������ @ � @�E����� @ � �2 cos 8 � G2 cos 9 � H2 cos : � B� |�2 cos 8 � G2 cos 9 � H2 cos : � B| Nüüd asendame cos 8 , cos 9 , cos : ja B väärtuste suuruste A,B,C,D kaudu saame, et punkti

X0��2, G2, H2 kaugus tasandist �� � %G � &H � ' � 0

võrdub

I � |��2 � %G2 � &H2 � '|1�2 � %2 � &2

(1)

Näide 1. Koostada võrrandi tasanditele, mis asuvad tasandist

2� � 2G � H � 3 � 0

kaugusel I � 5. Lahendus: Iga punkt otsitavatest tasandites asub antud tasandist kaugusel 5. Valemi (1)

kohaselt iga punkti (x,y,z) jaoks

�2

I

�

� 2

J

E

(� 2

· ·

5 � |2� � 2G � H � 3|N22 � ��22 � 12 � |2� � 2G � H � 3|3 ,

seega |2� � 2G � H � 3| � 15. Kõrvaldadess absoluutväärtust, saame kaks võrrandit: 2� � 2G � H � 3 � 15 ja 2� � 2G � H � 3 � �15, mis vastavalt annavad otsitava tasandite võrranditeks 2� � 2G � H � 18 � 0 ja 2� � 2G � H � 12 � 0.

Uurime nüüd, kuidas saab leida sirgete ja tasandite vahelised kaugused:

Kaks tasandit: Kaks tasandit on kas lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis nende vaheline kaugus on

null või on paralleelsed. Paralleelsete tasandite vahelise kauguse võrdub ühel tasandil asuva

punkti kaugusega teisest tasandist.

Näide 2: Leida tasandite 3x - 6y- 2z + 1 = 0 ja 6x - 12y - 4z + 3 = 0 vaheline kaugus.

Lahendus. Uurime, kas tasandid on parallelsed või lõikuvad. Kui tasandid on parallesed, siis

nende normaalvektorid peavad olema parallelsed. Esimese tasandi normaalvektor on (3,-6,-

2) ja teise tasandi normaalvektor on (6,-12,-4). Vektorid on parallelsed, kuna 2�3, �6, �2 � �6, �12, �4.

Võtame mingi punkti esimesest tasandist, nt. kui x=y=0, siis 3 · 0 � 6 · 0 � 2H � 1 � 0, kust H � 1/2. Nüüd leiame saadud punkti (0;0;1/2) ja teise tasandi vahelise kauguse:

I � |6 · 0 � 12 · 0 � 4 · 1/2 � 3 |N62 � ��122 � ��42 � 114.

Sirge ja tasand Sirge ja tasand on kas lõikuvad (erijuhuna sirge asub tasandil) ja siis nende vaheline kaugus

on null või on paralleelsed. Sirge on paralleelne tasandiga ainult siis kui tema sihivektor on

risti tasandi normaalvektoriga. Kui nad on parallelsed, siis sirge iga punkti kaugus tasandist

võrdub sirge kaugusega tasandist.

Näide 3: Leida sirge

kaugust tasandist -3x + y + 5z + 6 = 0.

Lahendus: Kuna sirge sihivektor R = (2; 1; 1) on tasandi normaalvektoriga (� =(-3;1;5) risti: R · (� � 2 · ��3 � 1 · 1 � 1 · 5 � 0,

siis antud sirge on tasandiga parallelne. Sirge kauguse d tasandist leidmiseks võtame sirgel

suvalise punkti, näiteks, A(3;1; 1) ja leiame selle punkti kaugus tasandist:

I � |�3 · 3 � 1 � 5 · 1 � 6 |N��32 � 12 � 52 � 3

√35

Kaks sirget Kaks sirget ruumis on 1) lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis sirgete vaheline kaugus

on null; 2) on paralleelsed (kui sirgete sihivektorid on paralleelsed) või 3) kiivsed.

Kui sirged on parallelsed, siis ühe sirge iga punkti kaugus teisest sirgest võrdub sirgete

vahelise kaugusega.

Kui sirged on kiivsed, siis eelkõige on vaja leida kaks parallelset tasandit nii et kumbki sirge

asub ühel tasandil. Tasandite normaalvektor on leitav kui sirgete sihivektorite vektorkorrutis.

Sirgete vaheline kaugus võrdub siis tasandite vahelise kaugusega.

Näide 4: Leida sirgete

vaheline kaugus.

Lahendus. Need sirged ei ole paralleelsed, kuna nende sihivektorid (1;-2;1) ja (2,1,1) ei ole

parallelsed; kontrollime, kas need sirged lõikuvad või on kiivsed. Kui sirged lõikuvad, leidub

nendel ühine punkt, üritame seda leida järgmise süsteemi abil:

See süsteem ei ole lahenduv ja seega need sirged ei lõiku, järelikult, nad on kiivsed. Kiivsete

sirgete vahelise kauguse leidmiseks paneme läbi esimese sirge tasandi, mis oleks teise

sirgega paralleelne. Selleks võtame esimese sirge võrrandist punkti A(1; 3;-1) ja sihivektori R���� = (1;-2; 1) ja teise sirge võrrandist võtame sihivektori R���� = (2; 1; 1): Nüüd koostame

võrrand tasandile, mis läbib punkti A ja on vektoritega i R���� ja i R���� paralleelne

ehk

-3x + y + 5z + 6 = 0.

Nüüd on vaja leida teise sirge, st

kaugust tasandist -3x + y + 5z + 6 = 0. See on aga oli tehtud Näites 3: d=�

√35.

30. Nurgad sirgete ja tasandite vahel.

Nurgad kahe sirge vahel.

Olgu antud kaks sirget s1 ja s2, kusjuures pole oluline kas nad on tasandil või ruumis.

Juuresoleval joonisel on sirged s1 ja s2 ruumi kiivsirged.

Fikseerime mingi punkti A ja joonistame läbi tema kaks sirget ��� ja ��� , mis on vastavalt

paralleelsed sirgetega s1 ja s2. Sirged ��� ja ��� tekitavad neli nurka. Tähistame neid α1, α2, α3

ja α4 abil. Seejuures α3 = α1, α4 = α2 ja α1+α2= π tõttu on olulisi ainult üks.

Definitsioon. Sirgete s1 ja s2 vaheliseks nurgaks, mida tähistame ����, ��� abil, nimetatakse

sirgete ��� ja ��� vahelistest nurkadest α1, α2, α3 ja α4 vähimat.

Selle definitsiooni kohaselt kahe sirge vaheline nurk on esimese veerandi nurk, s.o.

Leiame nüüd valemid kahe sirge vahelise nurga arvutamiseks. Skalaarkorrutise abil lihtne

on leida sirgete sihivektorite vahelise nurga koosinust. Viimane annab kas sirgete

vahelise nurga ����, ��� või nurga π − ����, ��� koosinuse. Viimase kaudu saab siiski leida

ka sirgete vahelise nurga.

Tähistame sirgete s1 ja s2 sihivektoreid vastavalt ��� ja ��� abil. Samad sihivektorid on ka

abisirgetel ��� ja ��� . Siis

����, ��� � �����, ����, kui �����, ���� � �0, π2� ,π � �����, ����, kui �����, ���� � �π2 , π� .�

Kui �����, ���� � ��� , π�, siis cos����, ��� cos�π � �����, ���� �cos�����, ���� |cos�����, ����|. Kui �����, ���� � �0, ���, siis cos����, ��� cos�����, ���� |cos�����, ����|.

"� "�

"#

"$

Seega igal juhul

cos����, ��� |cos�����, ����| |��� · ���|&���&&���& (1)

Viimast valemit saab kasutada juhul, kui sirged on antud kas parameetriliste või

kanooniliste võrrandite abil, sest siis on käepärast võtta sirgete sihivektorid. Siin pole

oluline, kas sirged on tasandil või ruumis.

Eeldame, et sirged on antud üldvõrranditega (siis nad on tasandilised sirged) ��: (�) * +�, * -� 0 ja ��: (�) * +�, * -� 0. Nende sihivektorid on siis ��� ����, ���� ��+�, (��, ��� ����, ���� ��+�, (��.

mistõttu valemist (1) saame cos����, ��� |��� · ���|&���&&���& |������ * ������|&������ * ������&&������ * ������& |+�+� * (�(�|&�+��� * �(���&&�+��� * �(���& |.�� · .��|&.��&&.��&

ehk

cos����, ��� |.�� · .��|&.��&&.��&, (2)

kus vektorid .�� �(�, +��, .�� �(�, +��. on sirgete s1 ja s2 normaalvektorid.

Nüüd eeldame, et sirged on antud taandatud võrrandite abil ��: , () * + ja ��: , (/) * +/ . Siit saame leida nende sirgete üldvõrrandid ��: () * ��1�, * + 0 ja ��: (/) * ��1�, * +/ 0 . ja nendest meie sirgete normaalvektorid

Valemi (2) abil saame

(3)

Tavaliselt antakse siin nurga ����, ��� tangens. Selleks on vaja leida sin����, ���. Tegelikult me leiame koosinuse ja siinuse ruudud ning nende abil tangensi ruudu, millest

saame lõpuks tangensi. Teeme lubatud arvutused:

ja

Vastavalt definitsioonile nurk ����, ��� on esimese veerandi nurk, siis viimases valemis

sobib ainult üks lahend, selline, kus tangens on positiivne. Seega sirgete vahelise nurga

arvutamiseks saame valemi

Valemist (3) saame, et

Saime, et ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.

Nurgad kahe tasandi vahel.

Vaatleme kaks lõikuvat tasandit. Võtame tasandite π1 ja π2 lõikesirgel s = π1 ∩ π2 mistahes

punkti A � s ning joonistame läbi tema kaks sirget, millest üks s1 on tasandil π1 ja teine s2

tasandil π2 ning lisaks mõlemad olgu risti lõikesirgega s.

Definitsioon. Tasandite π1 ja π2 vaheliseks nurgaks � (π1, π2) nimetame sirgete s1 ja s2

vahelist nurka:

Paraku on selle definitsiooni abil tasandite vahelist nurka üsna raske leida, sest meil pole

sirgete s1 ja s2 sihivektoreid, et kasutada valemit (1).

Olukorra parandamiseks pöörame sirgepaari s1 ja s2 ümber nende lõikepunkti A nurga π/2

võrra, saades uued sirged ��� ja ��� Meie jaoks on siin olulised kaks asjaolu: esiteks ����, ��� ����� , ��� �, mistõttu

Teiseks on sirged ��� ja ��� vastavalt risti tasanditega π1 ja π2, mistõttu nende tasandite

normaalvektorid .�� ja .��on sirgete ��� ja ��� sihivektoriteks.

Normaalvektorid saame aga tasandite π1 ja π2 üldvõrranditest:

Nendeks on

Nüüd valemi (2) abil saame

(4)

Sama valem normaalvektorite koordinaatide kaudu

Märgime, et saadud valem on kasutatav ka paralleelsete tasandite korral. Kui tasandid on

paralleelsed, siis nende vaheline nurk on 0, mille koosinus on 1. Teiselt poolt nende

normaalvektorid on ka paralleelsed, seega .�� 2.�� mingi arvu 2 jaoks. Nüüd valemi (4)

järgi cos��3�, 3�� |.�� · .��|&.��&&.��& |.�� · 2.��|&.��&&2.��& |2||.�� · .��|4|.�� · .��|4|2.�� · 2.��| |2||.�� · .��|4|.�� · .��||2|4|.�� · .��| 1.

Nurg sirge ja tasandi vahel.

Leiame lõikuvate sirge s ja tasandi π vahelise nurga � (s, π). Lõikepunkti on tähistatud

tähega A. Nüüd projekteerime sirge s tasandile π – saadud sirge olgu s’.

Definitsioon. Sirge s ja tasandi π vaheliseks nurgaks nimetatakse sirgete s ja s′vahelist

nurka, s.o.

(5)

Selle definitsiooni puuduseks on asjaolu, et raske on leida sirge �5 sihivektorit, et saaks

kasutada kahe sirge vahelise nurga leidmise valemit, mis on meil leitud. Sellest puudusest

üle saamiseks võtame läbi punkti A tasandiga π ristuva sirge �’’. Tema sihivektoriks on

tasandi π normaalvektor .�. Oluline on märgata, et kolm sirget s, s′ja �’’ asuvad

ühisel tasandil, mistõttu

Seega valem (5) saab kuju

Kerge on leida nurga � (s, π) siinust. Saame sin���, 3� sin�32 � ���, ����� cos���, ���� |�� · .�|&��&&.�&

Saime

sin���, 3� |�� · .�|&��&&.�&.

(6)

Viimane valem on rakendatav ka siis, kui sirge on paralleelne tasandiga või asub hoopis

temal. Ilmselt siis �(s, π) = 0. Sama tulemuse saame valemi (6) abil, sest siis �� 7 .� 8 �� · .� 0 9 sin ���, 3� 0 9 ���, 3� 0.

31. Ringjoon ja ellips

Definitsioon. Ringjooneks nimetatkse kõigi selliste punktide P(x; y) hulka, mis asuvad

kindlal kaugusel r fikseeritud punktist K(x0; y0).

P(x; y) asub ringjoonel parajasti siis, kui d(K; P) = r (kaugus K ja P vahel on r).

Kauguse definitsioonist 4�) � ):�� * �, � ,:�� ; saame ringjoone võrrandi

Punkti K(x0; y0) nimetatakse ringi keskpunktiks ja kaugust r nimetatakse ringi raadiuseks.

Näide: Leida järgmise ringjoone raadius ja keskpunkti koordinaadid:

Lahendus: Eraldame täisruud x-i järgi: �)� * 2() )� * 2() * (� � (� �) * (�� � (�� )� � 4) * 4 � 4 * ,� * 2, * 1 0, �) � 2�� * �, * 1�� 4,

�) � 2�� * �, * 1�� 2�. Seega ringjoone raadius ; 2 ning keskpunkt on (2,-1).

Definitsioon. Joont tasandil, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist =� ja =� on konstantne nimetatakse ellipsiks. Punkte =� ja =� nimetakse ellipsi fookusteks.

Olgu X(x;y) punkt ellipisil, ning punkti kauguste summa punktist =� ja =� olgu 2a, siis ellipsi

võrrand on

(1)

Kõige lihtsamal kujul ellipsi võrrandi saame, kui valime ellipsi fookusteks punktid =�(-c; 0)

ja =�(c; 0).

Jooniselt näeme, 2- > 2( e. - > (. Võrrandist saame kauguse definitsiooni kasutades

võrrandi

ehk

Tõstes mõlemad pooled ruutu, saame

millest koondades jääb järele

Jagame võrrandit neljaga ja tõstame jällegi mõlemad pooled ruutu. Saame

millest peale koondamist saame

Kuna a > c, siis a

2–c

2 > 0. Seetõttu võime tähistada a

2–c

2 = b

2. Peale sellist asendamist

saame võrrandi

millest a

2b

2-ga jagades saame ellipsi kanoonilise võrrandi.

=� =�

�-� -

· · · ?

( �( �+

+

Omadus 1. Ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes.

Omadus 2. Ellipsi lõikepunktid x-teljega on ( ); 0a− ja ( ); 0a ning y-teljega ( )0; b− ja ( )0; b .

Punkte ( ); 0a± ja ( )0; b± nimetatakse ellipsi tippudeks.

Tippe ( ); 0a− ja ( ); 0a ühendavat lõiku ning tippe ( )0; b− ja ( )0; b ühendavat lõiku

nimetatakse ellipsi telgedeks. Arvud a ja b on ellipsi pooltelgede pikkused. Ellipsi telgede

lõikepunkti ( )0; 0 nimetatakse ellipsi keskpunktiks.

Ellipsi kui joone kuju sõltub ainult arvude a ja c valikust.

Definitsioon. Arvu e := c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks.

Kuna a > c > 0, siis näeme, et mistahes ellipsi ekstsentrilisus kuulub vahemikku (0, 1).

Leiame ekstsentrilisus ellipsi pooltelgede a ja b kaudu:

Kui e=0, siis 1 � @+(A� 0 8 ( +, ehk tegemist on ringjoonega. Mida väiksem e, seda rohkem ellips on lähedane ringjoonele.

Omadus 3 (ellipsi optiline omadus): Vaatleme suvalist punkti P ellipsil. Konstrueerime selles

punktis ellipsi puutuja. Lisaks tõmbame sirglõigud punktist P mõlemasse fookusesse F1 ja

F2. Lõik PF1 moodustab puutujaga nurga " ja lõik PF2 moodustab puutujaga nurga B. Kehtib

omadus " = B.

· · =� =�

· C

" B

Omadust 3 nimetatakse ellipsi optiliseks omaduseks. Selline nimetus tuleneb omaduse

optilisest tõlgendusest: paigutades valgusallika ühte fookusesse, peegelduvad sealt lähtuvad

valguskiired ellipse ja koonduvad edasi teises fookuses.

Ellipsi saab defineerida ka ellipsi juhtjoonte kaudu. Sirgeid võrranditega D: ) EFG ja H: ) � EFG

nimetatakse ellipsi juhtjoonteks. Kuna (�- (: -( (I J (,

siis asuvad ellipsi juhtjooned väljaspool ellipsit.

Omadus 4. Ellips koosneb parajasti sellistest punktidest P, mille korral punkti kaugus

fookuseni jagatud punkti kaugus juhtjooneni võrdub ellipsi ekstsentrilisus: K�L,MF�K�L,N� I ja K�L,MO�K�L,P� I

D H

Q�C, =�� Q�C, =��

32. Hüperbool

Definitsioon. Hüperbooliks nimetatakse kõigi selliste punktide X hulka tasandil, mille

kauguste vahe etteantud punktidest 1F ja 2F võrdub konstantselt arvuga 2a:

Punkte 1F ja 2F nimetatakse selle hüperbooli fookusteks.

Olgu X(x;y) punkt hüperboolil. Valime fookuste koordinaatideks F1(–c; 0) ja F2(c; 0).

Eeldame, et antud punkti X jaoks siis kolmnurka reegli kohaselt

ehk ,

kust järeldub c>a.

Saame analoogiliselt ellipsiga hüperbooli kanooniliseks võrrandiks

(1)

kus

Hüperbool koosneb kahest harust. Kui võrrandist (1) avaldada muutuja x, siis saadakse

22 2

21

y ax a b y

b b= ± + = ± + . (2)

Võttes avaldises (2) märgiks “+”, saadakse hüperbooli parempoolse haru võrrand, märgile

“-“ vastab hüperbooli vasakpoolne haru.

Omadus 1. Hüperbooli lõikepunktid x-teljega on ( ); 0a− ja ( ); 0a , lõikepunktid y-teljega

hüperboolil puuduvad.

Punkte ( ); 0a− ja ( ); 0a nimetatakse hüperbooli tippudeks.

Omadus 2. Hüperbool on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes.

Hüperbooli kuju sõltub arvudest a ja c. Suhet

ce

a=

nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Kuna c>a, siis 1e > .

Definitsioon. Kui joone punkti X(x,y) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest

läheneb nullile, siis seda sirget nimetame joone asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y =

ax + b, kus a 0, nimetatakse joone kaldasümptoodiks.

Teoreem. Sirged

by x

a= − ja

by x

a= .

on hüperbooli kaldasümptoodid.

Tõestus: Hüperboolil on neli lõpmatusse minevat ”otsa”. Näitame, et hüperbooli

”parempoolse” haru ”ülemise otsa” asümptoodiks on sirge l2. Sellel osal

Seega

Leiame punkti (x,y) kaugus väidetavast asümptootist

Asümptooti üldvõrrand on

seega punkti (x,y) kaugus asümptootist võrdub

Korrutame lugejat ja nimetajat teguriga

Me saame

Nüüd kui siis Seega sirge l2 on hüperbooli parempoolse haru ”ülemise otsa”

asümptoodiks. Kuna sirged l1 ja l2 on vastastikku sümmeetrilised ja hüperbool on

sümmeetriline teljede x ja y suhtes, siis sirged l1 ja l2 on asümptootideks ka ülejäänud

osadeks.

Hüperbooli saab defineerida ka hüperbooli juhtjoonte kaudu. Sirgeid võrranditega

ja

nimetatakse hüperbooli juhtjoonteks. Kuna

siis asuvad hüperbooli juhtjooned tema vasakpoolse ja parempoolse haru vahel.

Kanoonilise võrrandiga antud hüperbooli juhtjoonte sihivektoriks on (0;1).

Omadus 4. Hüperbool koosneb parajasti sellistest punktidest P, mille korral punkti kaugus

fookuseni jagatud punkti kaugus lähima juhtjooneni võrdub hüperbooli ekstsentrilisus:

või

Omadus 4 võimaldab defineerida hüperbooli ka teisiti, kasutades sirget (juhtjoont),

väljaspool sirget asuvat punkti (fookust) ja ühest suuremat positiivset arvu (ekstsentrilisust).

Definitsioon. Olgu tasandil antud sirge u, punkt F väljaspool sirget u ja positiivne arv e>1.

Hüperbooliks nimetatakse selliste punktide P hulka sellelt tasandilt, mille korral

Näide. Olgu hüperbooli ekstsentrilisus üheks fookuseks ja sellele

fookusele lähim juhtjoon läbib punkte ja . Leiame selle hüperbooli

võrrandi.

Lahendus. Hüperbooli juhtjoone sihivektoriks on seega kanooniline võrrand

siin ei sobi. Kasutame hüperbooli võrrandi leidmiseks eelmise definitsiooni. Juhtjoone

kanooniline võrrand on

kust

Olgu suvaline punkt hüperboolilt. Eelmise definitsiooni kohaselt

ehk

Viimane võrdus on samaväärne võrdusega

kust

Siit saamegi vaadeldava hüperbooli võrrandi

Iga hüperbooli jaoks saab määrata tema kaashüperbool, kus sümmeetria teljed on ära

vahetatud ja kaldasümptoodid on samad. Kaashüperbooli võrrand on

Kaasahüperbooli fookusteks on punktid (0;c), (0,-c), kus . Seega mõlema

hüperbooli fookused asuvad ringjoonel .

33. Parabool

Definitsioon. Olgu tasandil fikseeritud sirge u ja väljaspool seda sirget punkt F. Parabooliks

nimetatakse kõigi selliste punktide P hulka tasandil, mille kaugus sirgest u võrdub tema

kaugusega punktist F:

(1)

Punkti F nimetatakse vaadeldava parabooli fookuseks, sirget u aga tema juhtjooneks.

Seega parabooli korral

Olgu p juhtjoone ja fookuse vaheline kaugus. Valime juhtjooneks u sirge võrrandiga x = -p/2

2 ja fookuseks punkti F(p/2; 0).

Kirjutame ümber juhtjoone võrrandi sirge üldvõrrandina:

Kui vaadeldava parabooli suvaline punkt on ( );P x y , siis arvutades nõutavad kaugused

võrduses (1), saadakse

2

2

2 2

2,

21 0

px

px y

+

= − + +

2

2 .2 2

p px x y

+ = − +

(2)

Võrrand (2) ongi antud parabooli võrrand. Tõstes võrduse (2) mõlemad pooled ruutu,

saadakse temaga samaväärne võrrand

2 22 2 2

4 4

p px px x px y+ + = − + +

ehk

2 2y px= . (3)

Võrrandi (3) nimetatakse parabooli kanooniliseks võrrandiks.

Omadus 1. Parabool on sümmeetriline x-telje suhtes.

Omadus 2. Parabooli puutuja võrrand punktis P(x0; y0) on

Tõestus: Kuna punkt P(x0; y0) asub paraboolil, siis . Leiame y tuletise punktis P.

Tuletise saame:

Tuletuse väärtuseks punktis P on . See on võrdne puutuja tõusuga, seega puutujaks

on

asendades , saame ehk parabooli puutuja võrrand punktis

P(x0; y0) on:

Omadus 3. Parabooli mis tahes punkti P( korral lõigu PF ja punktis P võetud puutuja

v vaheline nurk võrdub selle puutuja ja punktist P lähtuva ning x-teljega paralleelse kiire w

vahelise nurgaga.

Tõestus: Olgu valitud punkt P(x0; y0) paraboolil. Kuna punkt P(x0; y0) asub paraboolil, siis

. Selles punktis on puutujaks

Seega puutuja normaaliks (so puutujaga risti olevaks vektoriks) on

= ,

x-telje sihilise kiire suunavektoriks on

= (1; 0),

vektori koordinaadid on . Näitame, et nurk vektorite ja vahel

võrdub nurgaga ja vahel. Selleks piisab, kui näidata, et

)= ).

Leiame

millest saamegi vajaliku võrduse.

Omadust 3 nimetatakse parabooli optiliseks omaduseks, sest sellest järeldub, et kõik x-teljega

paralleelsed kiired peegelduvad parabooli pinnalt nii, et kõik kiired läbivad oma edasisel

teekonnal parabooli fookust.

Võrrand esitab parabooli, mille teljeks on x-telg ja haripunktiks

koordinaatide alguspunkt, kuid mis avaneb x-telje negatiivses suunas. Võrrandite

ja puhul on tegemist parabooliga, mille teljeks on y-telg ja haripunktiks

koordinaatide alguspunkt ning mis esimesel juhul avaneb y-telje positiivses suunas, teisel

juhul y-telje negatiivses suunas.

Näide. Koostada parabooli juhtjoone võrrand.

Lahendus. Teisendame antud võrrandi kujule

tähistame x’=x-3, y’=y+5, saame uutes koordinaatides võrrandi kuju

Seega tegemist on parabooliga, mille haripunkt on (3;-5), mille teljeks on y-tejega

paralleelne sirge y=-5 ning mis avaneb y-telje negatiivses suunas, seejuures ,

seega . Selle parabooli juhtjooneks on järelikult x-teljega paralleelne sirge, mille

punktide ordinaadid (y-koordinaadid) on võrra suuremad haripunkti ordinaadist -5.

Juhtjoone võrrand on seega