Zjawiska korpuskularno-falowe

Gustaw Kirchoff (1824-1887)

W 1859 rozpoczyna się droga do mechaniki kwantowej od odkrycia linii D w widmie słonecznym

Elektron odkryty przez J.J. Thompsona w 1897 (neutron w 1932). Nowe idee były przyjmowane niechętnie

Promieniowanie termiczne

Podstawowe źródła światła:

- ogrzane ciała stałe lub gazy, w których zachodzi wyładowanie elektryczne.

Emisja ↔↔↔↔ absorpcja

R - widmowa zdolność emisyjna promieniowania

R dλ - szybkość z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię z zakresu długości fal λ, λ+dλ.

Całkowita zdolność emisyjna promieniowania – szybkość z jaką jednostka powierzchni wypromieniowuje energię:

(analogia do rozkładu Maxwella dla prędkości!)

Własności widma termicznego:

- nie zależy ani od rodzaju substancji ani od kształtu, a jedynie od temperatury ciała;

- widmo jest ciągłe;

- opisane jest dla ciała doskonale czarnego

(ciała, którego powierzchnia absorbuje całe promieniowanie termiczne).

Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą zgodnie z prawem Stefana-Boltzmana:

Idealny absorber

aλ =1

eλ =K(λ,T)

R = σ⋅T4

∫∞

=0

λλdRR

gdzie σ =

Zauważmy, że maksima natężenia promieniowania dla różnych temperatur przypadają na różne długości fal.

Tzn. można to zapisać:

λ1T1 = λ2T2= λ3T3=….

Ogólnie λ⋅T = const - prawo Wiena

Zastosowanie: pomiar temperatury gwiazd na podstawie analizy widmowej. Mierzymy λ ⇒ λ⋅T = 2,898⋅10-3 [m⋅K] i stąd obliczmy temperaturę gwiazdy.

Podejmowano różne próby oparte na fizyce klasycznej, wyjaśnienia rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego.

Teoria Wiena:

gdzie c1, c2 to stałe wyznaczane doświadczalnie.

Pokrywała się ona z wynikami doświadczalnymi jedynie dla małych długości fal.

Z kolei teoria Rayleigh’a była zgodna z doświadczeniem tylko dla dużych λ.

Dopiero Max Planck (1900) zmodyfikował wzór Wiena:

⋅ −42

81067,5Km

W

Tc

e

cR

λλ λ 2

151=

otrzymując pełną zgodność z wynikami doświadczalnymi.

Dla krótkich fal czyli małych λ otrzymujemy wzór Wiena

Chcąc zbudować teorię wyjaśniającą otrzymaną zależność założył, że atomy ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne o charakterystycznych częstościach drgań

1. Energia oscylatora jest kwantowana i dana wzorem: E = nhν gdzie

n = 1, 2, 3… - liczba kwantowa, h = 6,63⋅10-34 - stała Plancka.

2. Oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, ale kwantowany, tzn. wypromieniowana ilość energii ∆E = hν.

3. Oscylator znajdujący się w stanie stacjonarnym (jeden ze stanów kwantowych) nie emituje ani ni absorbuje energii.

Planck wyznaczył wówczas na drodze teoretycznej stałe:

gdzie c – prędkość światła, k – stała Boltzmana. (1918 – nagroda Nobla)

Przykład:

Klasyczny oscylator o częstotliwości ν = 0,5 Hz i energii E = 0,1 J.

Liczba kwantowa takiego oscylatora:

Jeżeli n zmienia się o jedność, to względna zmiana energii oscylatora

co jest praktycznie niemierzalne, czyli kwantowa natura drgań obiektów makroskopowych jest niewidoczna.

1

125

1

−=

Tc

e

cR

λλ λ

2 1cTλ >>

k

hcc =2

21 2 ;c c hπ= ⋅

3234

1001,35,01063,6

1,0 ⋅=⋅⋅

== −νh

En

3334

103,31,0

5,01063,6 −−

⋅=⋅⋅=∆E

E

W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić wzoru Planck’a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Planck’a oznacza koniec fizyki klasycznej

E = hν

E = hc/λ

E – energia cząstki, ν - częstotliwość, λ-długość fali

Promieniowanie należy w pewnych przypadkach traktować jak fale a w innych eksperymentach jako cząstki.

To jest dualizm korpuskularno-falowy

Zjawisko fotoelektryczne

Fotoelektrony wybijane z katody, przyspieszane przez pole elektryczne, tworzą prąd elektryczny, który płynie między katodą a anodą nawet po przyłożeniu przeciwnego potencjału do anody. Natężenie prądu fotoelektrycznego spada do zera przy potencjale anody równym

Uh – potencjał (napięcie) hamujące. Ekmax= e⋅ Uh

Na wykresie natężenia fotoprądu od przyłożonego napięcia, krzywą b otrzymano przy dwukrotnym zmniejszeniu natężenia światła.

Stosowane katody I grupa: Li, Cs, Rb

Einstein: światło rozchodzi się w postaci cząsteczek – fotonów, z których każdy unosi kwant energii:

A zatem w zjawisku fotoelektrycznym spełniona jest zasada zachowania energii:

hν = W + Ek

gdzie W – praca wyjścia elektronu, charakterystyczna dla danego metalu katody.

Jeżeli Ek = 0 to

jest to graniczna długość światła, przy której zachodzi zjawisko fotoelektryczne.

Z zasady zachowania energii:

Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka.

λν c

hhE ==

W

hcW

hch gr

grgr =⇒== λ

λν

e

W

e

hUh −= ν

αα tgehe

htg ⋅=⇒=

Zjawisko Comptona

Jest to drugi efekt wskazujący na korpuskularna naturę światła. Compton (1923) zaobserwował rozproszone promienie X o zmienionej długości fali. Klasyczna teoria fal elektromagnetycznych zjawisko rozproszenia tłumaczyła jako pobudzenie do drgań elektronów ośrodka rozpraszającego, które stają się wtórnym źródłem fal – ale bez zmiany długości !

Według teorii kwantowej zjawisko polega na zderzeniu padającego fotonu z elektronem swobodnym. Podczas zderzenia foton oddaje elektronowi jedynie część energii.

Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami)

Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotunu γ na quasi-swobodnym elektronie e w metalicznej próbce (folii)

γ + e → γ' + e’

Zasada zachowania energii:

( )22

020

1'c

v

cmhccm

hc

−+=+

λλ

Zasada zachowania pędu dla osi OX:

Zasada zachowania pędu dla osi OY:

Po wyeliminowaniu z równań v oraz ϕ otrzymujemy:

W zjawisku Comptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia.

Dla ϕ = 00 ∆λ = 0;

dla ϕ = 1800 ∆λ = 2 Λ (rozproszenie wsteczne),

a dla ϕ = 900 ∆λ = Λ

( )�� ��� ��

�����

elektron

foton cv

vmhh ϕϕλλ

cos1

cos' 2

0

−+=

( )�� ��� ��

���

elektron

foton cv

vmh ϕϕλ

sin1

sin'

02

0

−−=

)cos1('0

ϕλλλ −=−=∆cm

h

Oba opisy światła: falowy i korpuskularny są poprawne: w pewnych przypadkach promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje się jak fala o określonej długości i częstotliwości, a w innych jak zbiór fotonów o określonym pędzie i zerowej masie spoczynkowej. Przejście od obrazu falowego do korpuskularnego opisują wzory:

Dokładniej omówiony ten problem będzie w następnym rozdziale.

Model atomu Bohra

Postulaty Bohra:

I. Atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach stacjonarnych, w których nie promieniuje energii.

II. Elektron atomu w stanie stacjonarnym porusza się tylko po takich orbitach

kołowych, dla których moment pędu jest skwantowany, tzn. spełnia zależność: gdzie n = 1, 2, ..

III. Warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o energii wyższej Ek do stanu o energii niższej Ej :

hν = Ek - Ej

Skoro elektron porusza się po orbicie kołowej pod wpływem siły kulombowskiej będącej siłą dośrodkową, to z tego warunku można obliczyć prędkość elektronu. Zatem pęd p elektronu i jego moment pędu L można zapisać:

Uwzględniając warunek kwantyzacji momentu pędu otrzymujemy wyrażenia na promień orbity i energię kinetyczną elektronu.

mv

hhphE === λ

λν

π2

hnLn =

0

2

0

2

44 πεπεrme

prLr

memvp ====

220

4

20

22

8 nh

meE

me

hnr nn επ

ε −==

Czyli promień orbity rośnie jak n2, a energia całkowita rośnie (do zera) jak 1/n2. Jonizacji atomu odpowiada n = ∝. Wówczas całkowita energia atomu E = 0, a r

= ∝.

Energia atomu w stanie podstawowym n = 1 : E1 = -13,6 eV

Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy wzór na częstość linii widmowych atomu wodoru:

gdzie R jest stałą Rydberga.

Przejścia elektronu między kwantowanymi poziomami energetycznymi można przedstawić w postaci tzw. serii widmowych.

Linie serii zagęszczają się w kierunku fal krótkich, a każdą serię ogranicza linia odpowiadająca najmniejszej długości fali danej serii.

−⋅=

−=

2222320

4 1111

8 kjcR

kjh

me

εν

Przykład:

Obliczyć długość fali emitowanej przy przejściu elektronu z orbity 3 na 1.

313113 λ

ν hchEE ==−

9131

121

21

31

EE

EEhc −=

−−

−=λ

1311

31 8

9

9

8

E

hcE

hc =⇒= λλ

Hipoteza de Broglie’a

1923 – Ludwik de Broglie – cząsteczki materialne, podobnie jak fale elektromagnetyczne powinny wykazywać cechy falowe. Pęd fotonu Masa fotonu stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o częstotliwości i długości Fala materii nie ma nic wspólnego z falą elektromagnetyczną ! Cząstce można przyporządkować grupę fal o różnych ν i określonej prędkości grupowej. Przykłady Fale materii związane z obiektami mikro- i makroskopowymi: Elektron przyspieszony różnicą potencjałów U = 150 [V] uzyskuje prędkość

2

2

mvUe= →

72 m~ 10

s

Uev

m= ≈

a zatem

10~ 10 m2

h

emUλ −= ≈

h

E=ν

mv

h

p

h ==λ

f

E h hp

c c

νλ

= = =

2f

hm

c

ν=

Klasyczny obiekt – piłka o pędzie

m(1kg) 10

sp mv

= =

34

356.6 10 J6.6 10 [m]

kg×m10

s

h

pλ

−−⋅= = = ⋅

Jak widać w przypadku obiektu makroskopowego, w porównaniu z jego rozmiarami λ ≈ 0 tzn. nie rejestrujemy jego falowej natury. Natomiast jeżeli cząstce można przypisać cechy falowe, to powinny istnieć zjawiska, w których te cechy by się ujawniły – np. interferencja, czy dyfrakcja. Doświadczenie Davissona Germera 1922 – C.J. Davisson i K.H.Germer badali zjawisko rozproszenia wiązki elektronów przechodzącej przez folię monokryształu niklu (umieszczony w punkcie C). Natężenie wiązki odbitej badane jest dla różnych wartości potencjału przyspieszającego V. Prąd kolektora w detektorze (D) jest funkcją energii kinetycznej padających elektronów i wykazuje maksimum dyfrakcyjne dla określonego kąta ϕ odpowiadającego napięciu 54 V.

Spełniony jest warunek Bragga λ = 2dsinΘ.

Dla warunków przedstawionych na rysunku, obliczona długość fali wynosi: λ = 2.(0.091 nm) sin65° = 0.165 nm Natomiast długość fali obliczona ze wzoru de Broglie’a, dla napięcia przyspieszającego 54 V:

0.165nm2 2k

h h h

p mE mUeλ = = = =

Zgodność wyników jest doświadczalnym potwierdzeniem hipotezy de Broglie.

Ruch elektronów w atomach Ruch elektronów w wiązce emitowanej z katody np.wolframowej nie jest niczym ograniczony. Natomiast w przypadku związania elektronów z atomami, ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii, a na dodatek ruch ten jest kwantowany – energia ich może przyjmować tylko określone wartości. Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić następująco: Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę fal materii:

p

hnrnr =⇒= πλπ 22

A więc moment pędu:

2

hL rp n

π= =

gdzie n = 1, 2,.. jest to warunek kwantyzacji Bohra ! Zasada nieoznaczoności Heisenberga (1927) Z dyfrakcji światła na szczelinie

1-sze minimum dyfrakcyjne powstaje pod kątem α

sin2 2

xλ α∆=

sinxλ α= ∆

x

px

P0

Wiązka elektronów cząstek przechodzących przez szczelinę doznaje zmiany pędu ∆px w kierunku równoległym do szczeliny

sinxp p α∆ =

sinxλ α= ∆

sinh

xp

α= ∆

sin x

h hp p

x xα= ⇒ = ∆

∆ ∆

Elektrony (fale) tworzące maksima wyższych rzędów doznają większego odchylenia stąd

xp x h∆ ∆ = xp x h∆ ∆ ≥

yp y h∆ ∆ ≥

zp z h∆ ∆ ≥ Iloczyn nieokreśloności pędu i jej położenia w danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka Nieoznaczoność energii i czasu

dvdpdx mdvdx m dxdt madxdt Fdxdt dEdt

dt= = = = =

stąd

p x E t E t h∆ ∆ = ∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ≥ Przykład Stan wzbudzenia atomu charakteryzuje energia i czas wzbudzenia . niepewność

określenia energii: 34

26 78

6.63 10~ 6.6 10 J 4 10 eV

10

hE

t

−− −

−

⋅∆ ≥ = ≈ ⋅ ≥ ⋅∆

. Dokładność

określenia stanu wzbudzenia atomu jest rzędu 10-7 eV.