Koso Savijanje

Embed Size (px)

Citation preview

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    1/39

    ZAVRNI RAD

    Koso savijanje ravnih tapova(sveuilini preddiplomski studij)

    Mentor : Studentica:Doc. dr. sc. DIANA IMI MAJA BANIEK

    Matini broj :0082032412

    Zagreb, listopad, 2008. g

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    2/39

    SADRAJ :

    1.SAETAK........................................................................................................................ 1

    2.KOSOSAVIJANJE............................................................................................................ 3

    istokososavijanje..........................................................................................................5

    Poloajneutralneosi........................................................................................................7

    Dimenzioniranjeiprovjerauvjetavrstoe...................................................................10

    Provjerauvjetakrutosti.................................................................................................13

    Kososavijanjesilama.....................................................................................................16

    3.NUMERIKIPRIMJER..................................................................................................... 17

    2.ZAKLJUAK.................................................................................................................... 37

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    3/39

    1. SAETAK

    Kosim savijanjem naziva se takav oblik savijanja pri kojemu se ravnina djelovanja

    momenta savijanja ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog

    presjeka nosaa po emu se koso savijanje razlikuje od obinog savijanja ravnog tapa kod kojeg

    se ravnina djelovanja momenta savijanja poklapa sa jednom od glavnih sredinjih osi tromosti

    poprenog presjeka.

    Ovisno o vrsti optereenja na popreni presjek nosaa imamo nekoliko sluajeva kosog

    savijanja : isto koso savijanje, popreno koso savijanje ili koso savijanje silama, ravninsko koso

    savijanje i prostorno koso.

    Razmotrit emo sluaj istog kosog savijanja kod kojeg u bilo kojem presjeku tapa

    ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi teitem poprenog presjeka i sa glavnom osi

    tromosti zatvara kut a.

    Ako u svakoj toki presjeka u smjeru noramle nanesemo vektor naprezanja sx , skup

    vrhova tih vektora, kao i pri obinom savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom

    poprenog presjeka jest neutralna os presjeka. Jednadbu neutralne osi presjeka dobit emo

    pomou jednadbe pravca koji prolazi kroz ishodite koordinatnog sustava (teite poprenogpresjeka). Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti i pomou sredinje

    elipse tromosti poprenog presjeka. Neutralna os pri istom kosom savijanju usporedna je sa

    tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja

    optereenja. Normalno naprezanje je pri kosom savijanju razmjerno udaljenosti promatrane

    toke od neutralne osi.

    Izrazom da maksimalna naprezanja, normalna ili posmina, moraju biti manja ili jednaka

    doputenim normalnim i posminim naprezanjima kontroliramo uvjete vrstoe poprenog

    presjeka i provodimo dimenzioniranje poprenog presjeka.

    Diferencijalnom jednadbom elastine linije tapa dobivamo veliinu progiba, koji za

    razliku od obinog savijanja kod kojeg je progib u smjeru glane osi tromosti i u ravnini

    djelovanja optereenja,u sluaju kosog savijanja zatvara sa glavnom osi z kut b. Pri kosom

    savijanju ukupni progib usmjeren je okomito na neutralnu os, tj. nosa se savija u ravnini

    okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s ravninom djelovanja

    vanjskog optereenja.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    4/39

    Koso savijanje primjenjuje se kod krovnih nosaa, kad opterenje nije u smjeru glavnih

    osi tromosti. Najpovoljniji popreni presjek kod tako optereenih nosaa je Z presjek uz

    najekonominiju iskoristivost materijala u odnosu na ostale oblike presjeka.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    5/39

    2. KOSO SAVIJANJE

    Promatra se ravni tap izloen djelovanju vanjskog optereenja, koje lei u jednoj ravnini

    ravnini optereenja, koja prolazi kroz uzdunu os tapa. Pod djelovanjem danog optereenja

    uzduna os tapa se iskrivljuje (mijenja se zakrivljenost tapa). Takav oblik optereenja i

    deformacije tapa naziva se savijanje. tap izloen savijanju se naziva nosaem.

    Ako se ravnina djelovanja momenta savijanja , odnosno ravnina optereenja ne poklapa

    ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog presjeka (slika 1.) onda je to sluaj

    kosog savijanja. U tom sluaju ravnine savijanja tapa ne podudaraju se s ravninom djelovanja

    momenta savijanja.

    xy

    zF glevne sredinjeosi tromosti

    uzduna os nosaca

    glavne ravnine

    Slika 1.

    Ako u poprenim presjecima djeluje poprena sila i moment savijanja (slika 2.) onda je to

    popreno koso savijanjeilikoso savijanje silama.

    xy

    z

    F2F1

    Slika 2.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    6/39

    isto koso savijanje(koso savijanje spregovima)je takav sluaj kosog savijanja kad u

    poprenim presjecima tapa djeluje samo moment savijanja (slika 3.).

    M

    xy

    z

    Slika 3.

    Sluaj kada optereenje koje savija tap djeluje u jednoj ravnini koja prolazi kroz os

    tapa, ali se ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti presjeka naziva se

    ravninsko koso savijanje (slika 2.). U tom je sluaju elastina linija tapa ravninska krivulja u

    ravnini koja se ne poklapa s ravninom djelovanja optereenja, to je karakteristino za koso

    savijanje.Ako optereenje koje savija tap ne lei u jednoj ravnini, smjerovi se djelovanja

    rezultntnog momenta savijanja u razliitim poprenim presjecima tapa ne podudaraju. Sluaj se

    zove prostorno koso savijanje, a elastina linija tapa je u tom sluaju prostorna krivulja.

    xy

    z

    F3

    F1

    F2 F3F2F1

    z

    y

    Slika 4.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    7/39

    2.1. ISTO KOSO SAVIJANJE

    U bilo kojem presjeku tapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolazi teitem

    poprenoga presjeka i s glavnom osi tromostiz zatvara kut (slika 5.).

    Pretpostavimo da suyiz glavne sredinje osi tromosti presjeka, axyixzdvije glavne ravnine. Za

    takav popreni presjek je centrifugalni momenttyz= 0.

    Vektor momenta savijanja M okomit je na ravninu m-m i s drugom glavnom osi tromosti

    yzatvara kut. Moment savijanja M moemo rastaviti na komponente:

    = cosMMy = sinMMz (1)

    zy MMM +=

    koje predstavljaju momente savijanja oko glavni osi tromosti y i z. Prema tome, isto koso

    savijanje moemo promatrati kao istodobno savijanje tapa u dvjema glavnim ravninamaxzixy.

    Moment savijanja Mydjeluje na vlakna prvog kvadranta u ravninixztako da se one produljuju

    (isteu) pa u toki A(y,z) poprenog presjeka moment savijanja My izaziva normalno vlano

    naprezanje:

    zI

    M

    y

    y

    1x = (2)

    gdje je Iy glavni moment tromosti obzirom na osy.

    Moment savijanja Mzdjeluje u ravninixyi u promatranoj toki A(y,z) izaziva normalno

    vlano naprezanje:

    yI

    M

    z

    z2x = , (3)

    Gdje je Izglavni moment tromosti obzirom na osz.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    8/39

    z

    y

    m

    m

    M

    Mz

    My

    n

    n

    n.o.

    Ky

    o

    zoz

    yA

    2

    t

    t

    1

    -

    +

    iz

    iy

    Slika 5.

    Ukupno normalno naprezanje u promatranoj toki A(y,z) poprenog presjeka zbogdjelovanja momenta savijanja M dobit emo superpozicijom :

    2x1x +=

    yI

    Mz

    I

    M

    z

    z

    y

    y

    x += (4)

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    9/39

    Ako izraz (1) uvrstimo u izraz (4) dobit emo ukupno normalno naprezanje u toki A :

    +

    = y

    I

    sinz

    I

    cosM

    zy

    x (5)

    2.2. POLOAJ NEUTRALNE OSI

    Za razliku od obinog savijanja kod kosog savijanja neutralna os nije okomita na ravninu

    djelovanja momenta savijanja.

    Iz izraza (5) slijedi da izmeu naprezanja xi koordinata yizpostoji linearna ovisnost.

    Ako u svakoj toki presjeka u smjeru normale nanesemo vektor naprezanja x, skup svih vrhova

    tih vektora, kao i pri obinu savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom

    poprenog presjeka jest neutralna ospresjeka.

    Jednadu neutrelne osi dobit emo ako u izraz (5) stavimo da je x=0 (dijagram

    normalnog naprezanja se mijenja linearno (slika 5.), a na neutralnoj osi normalno naprezanje ima

    vrijednost nula).

    0yI

    sinz

    I

    cos

    zy

    =

    +

    (6)

    Jednadba (6) jest jednadba pravca koji prolazi ishoditem koordinatnog sustava

    (teitem poprenog presjeka). Iz izraza (6) slijedi :

    z

    y

    I

    I

    tgy

    z

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    10/39

    Oznaimo li s f kut to ga neutralna os (pravac n-n (slika 5.)) zatvara s osi y,

    dobivamo:

    2

    z

    2

    y

    z

    y

    i

    itgI

    Itgtg == (7)

    gdje su iyi izglavni sredinji polumjeri tromosti poprenog presjeka.

    Iz jednadbe (7) slijedi da u opem sluaju kut || nije jednak kutu a, to znai da

    neutralna os n-n nije okomita na ravninu djelovanja rezultantnog momenta savijanja m-m, a to i

    ini razliku izmeu kosog i obinog savijanja. Neutralna os moe biti okomita na ravninu

    djelovanja optereenja samo kada se ravnina djelovanja optereenja poklapa s jednom od glavnih

    sredinih osi tromosti presjeka (tg= 0 ili tg= ) ili kada je:

    ,zy II =

    jer je u tom sluaju svaka sredinja os ujedno i glavna os tromosti presjeka (kruni i kvadratni

    presjeci).

    Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti pomou sredinje

    elipse tromosti poprenog presjeka ija jednadba glasi:

    1i

    z

    i

    y2

    y

    2

    2

    z

    2

    =+

    Jednadba je tangente na elipsu u toki K(y0,z

    0) u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja

    optereenja ova:

    1i

    zz

    i

    yy2

    y

    0

    2

    z

    0 =+

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    11/39

    i odatle dobivamo:

    0

    2

    y

    0

    0

    2

    z

    2

    y

    z

    iy

    z

    y

    i

    iz +=

    ili:

    0

    2

    y

    2

    z

    2

    y

    z

    iytg

    i

    iz +=

    Tangens kuta to ga tangenta na elipsu zatvara s osiyjest:

    == tgI

    Itg

    i

    itg

    z

    y

    2

    z

    2

    y

    Iz usporedbe ovog izraza s izrazom (7) dobivamo da je = . Zbog toga je neutralna os

    pri istom kosom savijanju usporedna s tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj

    elipsa sijee ravninu djelovanja optereenja. To znai da su preavci n-n i m-m konjugirani

    promjeri sredinje elipse tromosti.Izraz (6) predstavlja implicitni oblik jednadbe neutralne osi pri kosom savijanju.

    Normalni oblik jednadbe dobit emo tako da se jednadba (6) podjeli s drugim korijenom

    zbroja kvadrata koeficijenata:

    0

    I

    sin

    I

    cos

    yI

    sinz

    I

    cos

    2

    z

    2

    2

    y

    2

    zy =

    +

    +

    Iz analitike je geometrije poznato da se udaljenost zadane toke od pravca dobije tako

    da se u normalni oblik jednadbe pravca uvrste koordinate zadane toke pa je udaljenost neke

    toke A(x, y) poprenog presjeka od neutralne osi n-n (slika 5.) :

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    12/39

    0

    I

    sin

    I

    cos

    yI

    sinz

    I

    cos

    2

    z

    2

    2

    y

    2

    zy =

    +

    +

    =

    i odatle:

    2

    z

    2

    2

    y

    2

    zy I

    sin

    I

    cosy

    I

    sinz

    I

    cos +

    =

    +

    Ako dobiveni izraz uvrstimo u izraz (5), dobivamo:

    2

    z

    2

    2

    y

    2

    xI

    sinI

    cosM += (8)

    Vidimo da je pri kosom savijanju normalno naprezanje razmjerno udaljenosti promatrane

    toke od neutralne osi. Normalno naprezanje x poprima ekstremne vrijednosti u tokama

    presjeka, koje su naudaljenije od neutralne osi (toke 1 i 2 na slici 5. ).

    Da bismo odredili toke presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi potrebno je

    odrediti neutralnu os i tangirati presjek tangentama paralelnim s neutralnom osi.

    2.3. DIMENZIONIRANJE I PROVJERA UVJETA VRSTOE

    Dimenzioniranje ili provjera postojeih dimenzija obavlje se, u ovom sluaju (slika 6.),

    na osnovi izraza (4), uz uvjet da treba odrediti presjek gdje je moment savijanja maksimalan.

    Ako doputena vlana i tlana naprezanja nisu jednaka, imat emo dva uvjeta vrstoe:

    dopt2

    z

    z2

    y

    y

    )2(xminx

    dopv1

    z

    z1

    y

    y

    )1(xmaxx

    yI

    Mz

    I

    M

    yI

    Mz

    I

    M

    +==

    +==

    (9)

    dopV - doputeno vlano naprezanje

    dopV - doputeno tlano naprezanje

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    13/39

    Ako je , proraun vrstoe provodi se prema, po apsolutnoj

    vrijednosti, najveem naprezanju:

    dopdoptdopv ==

    dopmaxx . (10)

    Kod nekih se presjeka odreivanje najveih naprezanja znatno pojednostavljuje jer se

    moe lako utvrditi u kojim se tokama pojavljuju najvea normalna naprezanja. Kod

    pravokutnog presjeka (slika 6.) toke u uglovima presjeka najudaljenije su toke od neutralne osi

    i ujedno najudaljenije toke i od glavnih osi tromosti pa je max1 zz = , .max1 yy =

    Normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti u tokama 1 i 2 i odreene suizrazom:

    +=

    z

    z

    y

    y

    min

    maxx

    W

    M

    W

    M. (11)

    Uvjet vrstoe glasi:

    dop

    z

    z

    y

    y

    W

    M

    W

    M+

    ili:

    ( ) dopzyyzzy

    yy

    MMW

    1M

    W

    WM

    W

    1+=

    +

    i odatle:

    ( )zydop

    y MM1

    W +

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    14/39

    ili:

    ( + sincosM

    W dopy ). (12)

    z

    y

    m

    m

    1

    M

    Mz

    My

    n

    n

    n.o.

    -

    +

    h

    b

    ++

    +-

    --

    -+

    2

    -

    +

    -

    +

    Mz/Wz

    My/Wy

    Slika 6.

    Za pravokutni je presjek koeficijent :

    b

    h

    6

    hb

    6

    bh

    W

    W2

    2

    z

    y === .

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    15/39

    Najvea naprezanja u nosaima iji presjeci imaju dvije osi simetrije odreuju se pomou

    izraza (11), a dimenzioniranje pomou izraza (12). Pri tome je prije toga potrebno izabrati odnos

    =z

    y

    W

    W. Kao vrijednost koeficijenata u prvoj se aproksimaciji uzima 8,5 10 za presjeke I,

    odnosno 6 8 za presjeke [ .

    2.4. PROVJERA UVJETA KRUTOSTI

    Diferencijalna jednadba projekcije elastine linije tapa na glavne ravninexzixybit e:

    y

    y

    2

    2

    EI

    M

    dx

    wd= ;

    z

    z

    2

    2

    EI

    M

    dx

    vd= , (13)

    Gdje je w progib u smjeru glavne osi tromostiz, a v progib u smjeru glavne osi tromostiy.

    Ukupni e progib biti:

    22 wvf += (14)

    Prema grafoanalitikoj metodi, progib tapa u smjeru glavnih osi tromosti presjeka

    odreeni su izrazima:

    y

    y

    EI

    Mw=

    z

    z

    EI

    Mv= (15)

    Ravnine djelovanja fiktivnih momenata savijanja yM I zM i rezultantnog fiktivnog

    momenta savijanja2

    z

    2

    y MMM += poklapaju se s pripadajuim ravninama djelovanja My, Mz

    i M pa imamo:

    = cosMMy ; = sinMMz

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    16/39

    yEI

    cosMw

    = ;

    zEI

    sinMv

    =

    i:

    2

    z

    2

    2

    y

    2

    22

    Isin

    Icos

    EMwvf +=+=

    z

    y

    m

    m

    M

    Mz

    My

    n

    n

    neutraln

    aos

    ravnin

    aopte

    rece

    nja

    f

    v

    w

    ravnin

    asavija

    nja

    Slika 7.

    Oznaimo li s kut to ga vektor ukupnog progibafzatvara s osiz(slika 7. ), bit e:

    =

    == tg

    I

    I

    cosMEI

    EIsinM

    w

    vtg

    z

    y

    z

    y (16)

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    17/39

    Iz usporedbe izraza (7) i (16) slijedi da je:

    = tgtg ili =

    to znai da je pri kosom savijanju ukupni progib usmjeren okomito na neutralnu os n-n, tj.

    nosa se savija u ravnini okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s

    ravninom djelovanja vanjskog optereenja.

    2.5. KOSO SAVIJANJE SILAMA

    z

    yTz

    Ty

    A

    xz

    xy

    by

    bz 0

    Slika 8.

    U opem sluaju kosog savijanja silama rastavimo sile na komponente koje lee u

    glavnim ravninama xy, i xz. U poprenom presjeku tapa djeluju momenti savijanja My, Mz i

    poprene sile Ty i Tz. Normalna naprezanja u nekom presjeku tapa moemo odrediti pomou

    istih izraza kao i za sluaj istog kosog savijanja.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    18/39

    Komponente posminih naprezanja, paralelne sa glavnim osima tromosti presjeka,

    moemo odrediti pomou izraza:

    yy

    yz

    xz bI

    ST

    = ; zz

    zy

    xy bI

    ST

    = (17)

    gdje su:

    by - irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osiy,

    bz - irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osiz,

    Syi Sz statiki moment povrine odrezanog dijela poprenog presjeka (slika 8. ) s obzirom na

    glavne sredinje osi tromostiyiz.

    Puno posmino naprezanje u promatranoj toki A jest:

    xz2

    xy2 += . (18)

    U opem sluaju kosog savijanja silama ravnina djelovanja momenta savijanja u

    razliitim je presjecima razliito orjentirana s obzirom na glavne osi tromosti presjeka. Odatle

    slijedi da neutralna os tapa biti prostorna krivulja, tj. postojat e prostorno koso savijanje.

    U sluaju kosog savijanja silama, dovoljno je kontrolirati uvjete vrstoe za normalna

    naprezanja u opasnome presjeku. Poloaj opasnog presjeka pri ravninskome kosom savijanju

    moemo nai neposredno iz konfiguracije dijagrama My i Mz , jer momenti savijanja My i Mz

    dostiu najvee vrijednosti u istom presjeku, koji je ujedno i opasan presjek.

    Pri prostornom kosom savijanju presjeci s najveim vrijednostima momenata savijanja

    My i Mz esto se ne podudaraju. U tom sluaju ne moemo izravno odrediti poloaj opasnog

    presjeka, veproraun treba provesti za nekoliko presjeka koje moemo pretpostaviti opasnim.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    19/39

    3. NUMERIKI PRIMJER:

    Za zadani nosaprikazan na slici treba:

    a) odrediti geometrijske karakteristike poprenog presjeka, nacrtati elipsu tromosti i

    odrediti poloaj neutralne osi poprenog presjeka

    b) odrediti normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i

    nacrtati pripadne dijagrame naprezanja

    c) kontrolirati uvjete vrstoe

    d) postaviti diferencijalnu jednadbu elastine linije nosaa i odrediti progib i kut

    zaokreta u karakteristinim presjecima nosaa

    e) kontrolirati uvjete krutosti

    MPa140dop = , , ,MPa90dop = MPa102E5=

    300

    1

    l

    f=

    9 1 3

    2

    20cm

    2

    3 1 9

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    20/39

    F= 20 kN

    FA FB

    q = 20 kN

    Mmax=30,625 kNm

    45 kN

    20 kN 20 kN35 kN

    x = 1,75 m

    l =4,0 m a = 1,0 m

    M=20,0 kNmM

    T

    1

    1

    2

    2

    Reakcije u leajevima:

    Uvjeti ravnotee:

    kN35F

    00,1F2

    0,4q0,4F

    0M

    kN65F

    00,5F0,4F2

    0,4q

    0M

    A

    2

    A

    B

    B

    B

    2

    A

    =

    =+

    =

    =

    =+

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    21/39

    Maksimalni moment u polju:

    kNm625,302

    75,12075,135

    2

    xqxFM

    m75,1x

    0x2035

    0xqF

    0TM

    22

    amax

    A

    max

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    a) geometrijske karakteristike poprenog presjeka, elipsa tromosti i poloaj neutralneosipoprenog presjeka

    y

    z

    T

    Slika 11.Povrina:

    72002)20130()10200( =+=A mm2

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    22/39

    Momenti tromosti:

    63

    23

    y 1081,7012

    21010

    21102013012

    20130

    I =

    +

    +

    = mm4

    63

    23

    z 1002,1212

    10210211020130

    12

    13020I =

    +

    +

    = mm4

    Centrifugalni moment tromosti:

    6

    yz 1016,17)110()30(201301103020130I =+= mm4

    Glavni momenti tromosti:

    ( ) ( )

    ( ) 6

    622yz

    22

    zy

    zy

    v,u

    10866,23415,41

    1016,17402,1281,702

    1

    2

    02,1281,70I4II

    2

    1

    2

    III

    =

    =

    +=

    +=

    6

    u 10281,,65I = mm4

    6

    v 10549,17I = mm4

    Smjer glavnih osi tromosti:

    0

    06

    6

    zy

    yz

    0 138,1558377,010)02,1281,70(

    1016,172

    II

    I2tg ==

    =

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    23/39

    Kontrola:

    +=+ zuzy IIII 6666 10549,1710281,651002,121081,70 +=+

    66 1083,821083,82 =

    00=

    Neutralna os:

    00

    v

    u 66,449882,0)138,15(tg549,17281,65tg

    IItg ====

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    24/39

    y

    z

    n.o.

    u

    v

    1

    2

    iv

    iu

    Slika 9.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    25/39

    b) normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i pripadnidijagrami naprezanja

    Pri prelasku iz koordinatnog sustavay,zu koordinatni sustav u,v (slika 13.) koristimo

    jednadbe transformacije.

    y

    zv

    Ay

    zvA

    uA

    f

    ,Slika 10.

    00A

    00A

    sinycoszv

    sinzcosyu

    =

    +=

    2611447,0sin

    9652996,0cos

    138,15

    0

    0

    O

    0

    =

    =

    =

    y[mm] z[mm] u[mm] v[mm]

    1 +35,0 +65,0 +65,0 -106,7

    2 -35,0 -65,0 -65,0 +106,7

    Karakteristini presjeci nosaa su na mjestima maksimalnih momenata 1 i 2.

    Normalna naprezanja :

    Karakteristini presjek 1-1 (slika 11.) :

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    26/39

    ( ) MPa946,770,6510549,17

    2611447,07,106

    10281,65

    9652996,010625,30

    uI

    sinv

    I

    cosM

    66

    6

    1

    v

    01

    u

    0maxmin1

    =

    +

    =

    =

    +

    ==

    ( ) MPa946,770,6510549,17

    2611447,07,106

    10281,65

    9652996,010625,30

    uI

    sinv

    I

    cosM

    66

    6

    1

    v

    02

    u

    0maxmax2

    +=

    +

    =

    =

    +

    ==

    y

    z

    n.o.

    u

    v

    1

    2

    iv

    iu

    2=+77

    ,94

    1=-77

    ,94

    SLika 11.

    Karakteristini presjek 2-2 (slika 12.) :

    ( )

    MPa90,50

    0,6510549,17

    2611447,07,106

    10281,65

    9652996,0100,20u

    I

    sinv

    I

    cosM

    66

    6

    1

    v

    01

    u

    0max1

    +=

    =

    +

    =

    +

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    27/39

    ( )

    MPa90,50

    0,6510549,17

    2611447,07,106

    10281,65

    9652996,0100,20u

    I

    sinv

    I

    cosM

    66

    6

    1

    v

    02

    u

    0max1

    =

    =

    +

    =

    +

    =

    y

    z

    n.o.

    u

    v

    1

    2

    iv

    iu

    2=-50

    ,90

    1=+50,9

    0

    Slika 12.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    28/39

    Posmina naprezanja:

    y

    z

    u

    v

    Slika 13.

    y

    z

    u

    v

    D

    vd

    s/2*sin

    T3

    T3T3

    T3 T3

    TV

    B

    A

    v

    B

    s/2*sin

    Slika 14.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    29/39

    kN74,62TcosT

    kN97,16TsinT

    138,15

    zv

    zu

    o

    ==

    ==

    =

    1. dio :

    ( )

    MPa83,10mm/N83,10210281,65

    27,225311074,62

    tI

    ST

    mm27,22531

    s262,0s98,251s131,099,1302ssin2

    svtsS

    mm99,13013,15sin95138,15cos110sinycoszv

    2

    3

    3

    1u

    1uVuv

    3

    2

    11111

    D111u

    oo

    D

    ==

    =

    =

    =

    =+=+=

    +=

    ===

    2. dio :

    ( )

    MPa42,3mm/N42,3210281,65

    65,71121074,62

    tI

    ST

    mm65,7112

    s2611,0s08,194s131,004,972ssin2

    svtsS

    mm04,9713,15sin35138,15cos110sinycoszv

    2

    3

    3

    2u

    2uV

    uv

    3

    2

    22222

    B222u

    ooB

    ==

    =

    =

    =

    =+=+=

    +=

    ===

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    30/39

    3.dio :

    MPa61,5mm/N61,5210281,65

    5,58351074,62

    tI

    ST

    mm5,5835

    s483,0s18,106sin2

    s

    vtsS

    mm18,10613,15sin0138,15cos110sinycoszv

    2

    3

    3

    3u

    3uVuv

    3

    2

    33

    3

    C333u

    oo

    C

    ==

    =

    =

    =

    ==

    =

    ===

    y

    z

    u

    v

    D

    uD

    T3

    T3T3

    T3 T3

    TV

    B

    A

    uB

    s/2*cos

    Tu

    s/2*cos

    Slika 15.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    31/39

    1.dio

    MPa57,1mm/N57,1210549,17

    125,32561097,16

    tI

    ST

    mm125,3256

    s965,0s95,125sin2

    sutsS

    mm97,6213,15sin110138,15cos95sinzcosyu

    2

    3

    3

    1v

    1uVuv

    3

    2

    11

    1

    D111u

    oo

    D

    ==

    =

    =

    =

    ==

    =

    ===

    2.dio

    MPa54,1mm/N54,1210549,17

    58,31931097,16

    tI

    ST

    mm58,3193

    s965,0s02,125sin2

    sutsS

    mm51,6213,15sin110138,15cos35sinzcosyu

    2

    3

    3

    2v

    2uUuv

    3

    2

    222

    B222u

    oo

    B

    ==

    =

    =

    =

    =+=

    =

    ===

    3.dio

    MPa06,3mm/N06,3210549,17

    3,31601097,16

    tI

    ST

    mm3,3160s73,28utsS

    mm73,28sinzv

    2

    3

    3

    3v

    3uUuv

    3

    3C333u

    C

    ==

    =

    =

    ===

    ==

    2uv2

    1uv2 +=

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    32/39

    Za 1. dio:

    MPa94,1057,183,10 222uv2

    1uv2

    1 =+=+=

    Za 2. dio:MPa75,354,142,3 222uv

    21uv

    2

    2 =+=+=

    Za 3. dio:

    MPa39,606,361,5 222uv2

    1uv2

    2 =+=+=

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    33/39

    c) kontrola uvjeta vrstoe

    Karakteristini presjek 1-1 :

    140MPa77,946MPa dopmax2 =+==

    Karakteristini presjek 2-2 :

    140MPa50,90MPa dopmax1 =+==

    Kontrola posminih naprezanja :

    MPa90MPa94,10 dop1 ==

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    34/39

    d) elastina linija nosaa, progibi i kutevi zaokreta u karakteristinim presjecimanosaa

    Grafoanalitiki postupak :

    F= 20 kN

    FA FB

    q = 20 kN

    Mmax=30,625 kNmx = 1,75 m

    l =4,0 m a = 1,0 m

    M=20,0 kNmM

    T

    1

    1

    2

    2

    FAFA

    FB

    FB

    TCMC

    CB

    A

    a)

    b)

    c)

    Slika 16.

    Moment savijanja u polju je:

    2

    xqx35)x(M

    2=

    Moment savijanja na prepustu:

    11 x20)x(M =

    Na slici 16b. prikazan je fiktivni nosas fiktivnim optereenjem u obliku dijagrama

    momenta savijanja zadanog nosaa. Fiktivni nosarastavljamo na dva dijela kao to je prikazano

    na slici 16c.

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    35/39

    Pri odreivanju fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje zamjenjujemo

    koncentriranim silama u teitu odgovarajuih povrina (slika 16c.) :

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    kNm10200,12

    1

    kNm67,106400,43

    2

    kNm40200,42

    1

    ==

    ==

    ==

    Iz uvjeta = 0MA dobivamo :

    03

    8400,267,1060,4FB =+

    2

    B kNm67,26F =

    Progib u karakteristinom presjeku 1-1 :

    Moment :

    2

    11 kNm02,70M =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    36/39

    Progib :

    cm73,0fff

    cm51,0m0051,010306,1

    cos02,70

    IE

    cosMf

    cm52,0m0052,010351,0

    sin02,70

    IE

    sinMf

    2

    v

    2

    u11

    4

    u

    11v

    4

    v

    11u

    =+=

    ==

    =

    =

    ==

    =

    =

    Presjek C :

    3

    C

    2

    C

    kNm0,203

    2100,167,26M

    kNm67,161067,26T

    =+=

    =+=

    Progib :

    cm021,0fff

    cm15,0m0015,010306,1

    cos20

    IE

    cosMf

    cm15,0m0015,010351,0

    sin20IEsinMf

    2

    v

    2

    uC

    4u

    Cv

    4v

    Cu

    =+=

    ==

    =

    =

    ==

    =

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    37/39

    Kut zaokreta:

    "11,6'00rad0017,0

    "46,4'00rad0012,010306,1

    coc67,16

    IE

    cosT

    "46,4'00rad0012,010351,0

    sin67,16

    IE

    sinT

    o2

    v

    2

    u)C(

    o

    4u

    C)C(v

    o

    4v

    C)C(u

    ==+=

    ==

    =

    =

    ==

    =

    =

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    38/39

    e) kontrola uvjeta krutosti

    300

    1

    l

    f=

    Provjera krutosti u presjeku 1-1 :

    00333,0300

    1

    l

    f001825,0

    400

    73,0==

  • 5/28/2018 Koso Savijanje

    39/39

    ZAKLJUAK :

    U numerikom dijelu zadatka ravnina vanjskog optereenja ne poklapa se s jednom od

    glavih ravnina poprenog presjeka pa se stoga radi o kosom savijanju. Kako je centrifuglani

    moment tromosti poprenog presjeka razliit od nule glavne osi tromosti ui vsu u odnosu na osi

    x i y pod kutem f. Zbog toga smo morali koristiti jednadbe transformacije pri prelasku iz

    jednog koordinatnog sustava u drugi koordinatni sustav.

    Kritini presjeci nalaze se na mjestima maksimalnih momenata gdje raunamo i

    maksimalna naprezanja te provjeravamo uvjete vrstoe. Dijagram normalnih naprezanja je

    linearan, a maksimalna naprezanja su na mjestima toaka presjeka koje su najudaljenije od

    neutralne osi poprenog presjeka. Kod posminih naprezanja sredite posmika se ne poklapa sa

    teitem poprenog presjeka jer je popreni presjek nesimetrian. Pretpostavili smo da poprena

    sila, koja predstavlja optereenje, prolazi sreditem posmika i projicirali smo je na glavne

    sredinje osi tromosti. Pri proraunu posminih naprezanja zanemarili smo uvijanje poprenog

    presjeka i u obzir uzeli samo savijanje.

    Grafoanalitikim postupkom prikazali smo fiktivni nosa sa fiktivnim optereenjem u

    obliku dijagrama momenata savijanja zadanog nosaa i rastavili ga na dva dijela. Pri odreivanju

    fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje smo zamjenili koncentriranim silama u teitu

    odgovarajuih povrina. Tim postupkom dobili smo progibe i kuteve zaokreta u kritinim

    presjecima.

    Kontrolu uvjeta krutosti proveli smo usporedbom dobivenog progiba sa zadanim

    doputenim progibom. Dobiveni progib mora biti manji ili jednak zadanom doputenom progibu.