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Uwe Rath Eckleinjarten 13a . 27580 Bremerhaven ℡ 0471 34126 [email protected]
rth . Kraefte_am_Hebel . 08.02.2009 Seite 1 von 15 Seite/n
5.5 Einfache Maschinen 5.5.1 Hebel Aufgaben mit Löser
1 Am 180 mm langen Hebelarm einer Blech-schere greifen 120 N an. Welche Schneidkraft wird am 20 mm langen Schneidarm wirksam?
Lösungsvorschlag
Nmm
mmNl
lFF
lFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe
108020
1801202
112
1122
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
2 An einem 1,6 m langen zweiseitigem Hebel verhalten sich Gewichtskraft und Kraft wie 3 : 5. Berechnen Sie die Hebellängen in cm.
Lösungsvorschlag
cm
cmll
llll
lll
ll
ll
ll
FF
ll
FF
lFlFMM
g
endrechtsdrehndlinksdrehe
1008
16058
558
5353535353
1
111
11
12
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2211
=
⋅=
⋅=
=+⋅=
⋅=−
⋅=
=
==
=
⋅=⋅=
cmcmcmlll
6010016012
=−=−=
F1 = Fg F2
l2 l1
Uwe Rath Eckleinjarten 13a . 27580 Bremerhaven ℡ 0471 34126 [email protected]
rth . Kraefte_am_Hebel . 08.02.2009 Seite 2 von 15 Seite/n
3 Welche Handkraft ist erforderlich, um eine 80 kg beladene Schubkarre fortzubewegen?
Lösungsvorschlag
NNmm
mmsmkg
llgm
llF
F
lFlFMM
g
g
endrechtsdrehndlinksdrehe
379...8689,378
1160
56081,980 2
1
2
1
21
211
≈=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
4 Ein Sicherheitsventil soll bei 8 bar Kesseldruck
wirksam werden. Berechne die erforderliche Masse in kg. Lösungfshinweise:
kgN
smg
cmNbar
81,981,9
101
2
2
==
=
Lösungsvorschlag
kgkg
mmkgN
mmcmcmN
lgldp
lg
ldp
lglAp
m
lgmlAp
lFlF
MM
g
endrechtsdrehndlinksdrehe
44,5...438,5
53081,94
50980
4
4
22
2
12
2
1
2
2
1
21
211
≈=
⋅⋅
⋅π⋅⋅=
⋅⋅⋅π⋅⋅
=
⋅
⋅π⋅
⋅=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅=⋅⋅
⋅=⋅
=∑ ∑
Uwe Rath Eckleinjarten 13a . 27580 Bremerhaven ℡ 0471 34126 [email protected]
rth . Kraefte_am_Hebel . 08.02.2009 Seite 3 von 15 Seite/n
5 Welcher Öldruck in bar wird im Zylinder mit einem Durchmesser von 20 mm wirksam, wenn am 460 mm langen Handhebel 180 N Handkraft angreifen?
Lösungsvorschlag
barcmNmmcmmmN
ldlF
ldlF
lAlFp
lFlAplFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
9,43
...2676,439
6044601804
44
2
2
22
11
2
211
2
11
112
1122
≈
=
⋅π⋅⋅⋅
=
⋅π⋅⋅⋅
=
⋅π⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅=⋅⋅⋅=⋅
=∑ ∑
6 Ein zweiseitiger Hebel von 480 mm Gesamtlänge wird mit 260 N Handkraft belas-
tet. Welche Masse kann gehoben werden, wenn sich Kraft- und Lastarm wie 5 : 3 verhalten?
Lösunsvorschlag
kgkgNN
gFm
FgmF
ll
FF
lFlFMM
g
Last
Kraftg
KraftLastg
ndlinksdreheendrechtsdreh
2,44
81,93
260535
3535
2
2
2
≈
⋅
⋅=
⋅⋅
=
⋅=⋅=
==
⋅=⋅=
Fg
F2 = 260 N
l2 = lKraft l1 = lLast
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7 Welche Spannung (N/mm2) tritt in der Zug-
stange auf, wenn am l1 = 630 mm langen Winkelhebel die Kraft F1 = 360 N angreifen?
Lösungsvorschlag
2
2
2
22
11
2
2
11
2
11
2
11
2
2
112
1122
25
...0669,25
641806303604
44
mmN
mmNmmmm
mmNdl
lF
dl
lFAllF
llF
A
AFl
lFF
lFlFMM
Z
Z
Z
endrechtsdrehndlinksdrehe
≈
=
π⋅⋅⋅⋅
=
π⋅⋅⋅⋅
=
π⋅⋅
⋅=
⋅⋅
=σ
⋅=⋅σ
⋅σ=
⋅=
⋅=⋅=
B1 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe F2.
Lösungsvorschlag
2
112
1122
llFF
lFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
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B2 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe l1.
Lösungsvorschlag
1
221
2211
FlFl
lFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
B3 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe F1.
Lösungsvorschlag
1
22331
223311
221133
llFlF
F
lFlFlFlFlFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅−⋅=
⋅−⋅=⋅⋅+⋅=⋅
=∑ ∑
B4 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe l3.
Lösungsvorschlag
3
22113
221133
113322
FlFlF
l
lFlFlFlFlFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅−⋅=
⋅−⋅=⋅⋅=⋅+⋅
=∑ ∑
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B5 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe F2.
Lösungsvorschlag
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )al
lFbalFlFF
lFbalFlFalFbalFlFlFalF
lFalFbalFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe
+⋅−++⋅+⋅
=
⋅−++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅=⋅++⋅⋅++⋅=++⋅+⋅
=∑ ∑
44312
44312
31442
44231
B6 Bestimmen Sie die
B6.1 hervorgehobene Größe F1
Lösungsvorschlag
alF
F
lFaFaFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
21
21
12
⋅=
⋅=⋅⋅=⋅
=∑ ∑
B6.2 hervorgehobene Größe l1
1
21
211
112
FcFl
cFlFlFcF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅=
⋅=⋅⋅=⋅
=∑ ∑
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B7 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe x.
Lösungsvorschlag
( )( )
( )5
35342211
35
33442211
5
334422113
3344221135
4422113533
FlFFFlFlF
lF
lFlFlFlFx
FlFlFlFlF
xl
lFlFlFlFxlFlFlFlFxlFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
⋅−−+⋅+⋅=
−⋅−⋅+⋅+⋅
=
⋅−⋅+⋅+⋅=+
⋅−⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅
=∑ ∑
B8 Bestimmen Sie die hervorgehobene
Größe F1.
Lösungsvorschlag
Hinweis: Für das linksdrehende Moment wirkt nur die Kraftkomponente F‘2 am Hebelarm l2.
1
221
2211
1122
2'
22
'2
112'
2
60sin60sin
60sin
60sin60sin
llFF
lFlFlFlF
FFFF mitlFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
°⋅⋅=
°⋅⋅=⋅⋅=°⋅⋅
°⋅=⇒=°⋅=⋅
=∑ ∑
F‘2 60°
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B9 Berechnen Sie das Kraftmoment in Nm.
Lösungsvorschlag
NmmN
lFM
825,33225,0150
=⋅=
⋅=
B10 Berechnen Sie die „Presskraft“?
Lösungsvorschlag
( )N
Nm
mNl
lFF
lFlF
MM endrechtsdrehndlinksdrehe
722
...0547,72286,0250,125,1210
1
221
2211
≈
=−⋅
=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
B11 Berechnen Sie die Schnittkraft.
„Presskraft“ F1
= F2
= l2
l1
= F1
= l1 = l2
Schnittkraft F2
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Lösungsvorschlag Vgl. Aufgabe 1
Nmm
mmNl
lFF
lFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe
64025
200802
112
1122
=
⋅=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
B12 Berechnen Sie die „Handkraft“.
Lösungsvorschlag
Vgl. Aufgabe 3
N
Nmm
mmNl
lFF
lFlFMM
g
endrechtsdrehndlinksdrehe
205
...8148,2041350
3957001
21
2211
≈
=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
„Handkraft“ F1 = l1
= l2
= F2 = Fg
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B13 Berechnen Sie die Schneidkraft.
Lösungsvorschlag
N
Nmm
mmNl
lFF
lFlFMM endrechtsdrehndlinksdrehe
566
...7142,56535
1651201
221
2211
≈
=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
=∑ ∑
B14 B erechnen Sie die Hebellänge l.
Lösungsvorschlag
mm
mm
kgNkg
mmcmcmN
gmldp
gm
ldp
gmlAp
FlFl
lFlFlFlF
MM
g
g
g
endrechtsdrehndlinksdrehe
4,375
...4150,35781,9214
7525,6200
44
22
222
2
222
22
22
≈
=⋅⋅
⋅π⋅⋅=
⋅⋅⋅π⋅⋅
=⋅
⋅π⋅
⋅=
⋅⋅⋅
=⋅
=
⋅=⋅
⋅=⋅
=∑ ∑
Schneidkraft F1 Handkraft F2
= l2 = l1
Fg
l2 =
F2 = p A
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B15 Berechnen Sie die Kurbelkraft.
Lösungsvorschlag Hinweis: Die Wirkungslinie der am Griff der Kurbel angreifenden Kraft verläuft rechtwinklig zum Kurbelarm.
Nmm
mmkgNkg
Rrgm
RrF
F
rFRF
RFrF
MM
Kurbel
Welle
Kurbel
WellegKurbel
WellegKurbelKurbel
KurbelKurbelWelleg
endrechtsdrehndlinksdrehe
2,196225
7581,960
≈
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅
=∑ ∑
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B16 Berechnen Sie den Druck in bar.
Lösungsvorschlag Lösungsansatz: Das Hebelsystem wird in zwei Hebel (Hebel 1 mit dem Drehpunkt A und Hebel 2 mit dem Drehpunkt B) zerlegt.
Für den Hebel 1 mit dem Drehpunkt A gilt:
2
112
1122
llFF
lFlFMM rechtslinks
⋅=
⋅=⋅=
Für den Hebel 2 mit dem Drehpunkt B gilt:
42
33
4
233
4
33
4
33
4
334
4433
4
4ldlF
ldlF
lAlF
p
llF
Ap
llF
F
lFlFMM rechtslinks
⋅π⋅⋅⋅
=⋅
π⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅=⋅
⋅=
⋅=⋅=
Mit F3 = - F2 folgt:
( ) ( )
barcmN
mmmmcmmmmmN
lldllF
ld
ll
lF
ldlF
ldlF
p
7,190...3463,1907
320380192013201504
44
44
2
2
242
311
42
32
11
42
32
42
33
−≈−=
⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
−=
⋅⋅π⋅⋅⋅⋅
−=⋅π⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅
⋅π⋅⋅−⋅
=⋅π⋅⋅⋅
=
= F1
= F2
= l2
= l1
= F3
= F4
= l4
= l3
A
B
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Wissen – Erkennen – Werten a) Erläutern Sie den Begriff Kraftmoment (Drehmoment):
Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren starren Körper, so erzeugt sie ein Kraftmoment, wenn die Wirkungslinie der Kraft nicht durch den Drehpunkt verläuft. Grafisch stellt das Kraftmoment die Fläche des Parallelogramms dar, das
mit der Kraft F und dem Hebelarm
r gebildet wird.
Wenn
M Kraftmoment,
F wirkende Kraft,
r Abstand Drehpunkt A - Angriffspunkt der Kraft F ,
l Senkrechter Abstand Drehpunkt A – Wirkungslinie der Kraft F ,
α Winkel zwischen den Wirkungslinien F (Richtungspfeil) und r (Rich-tungspfeil),
dann gilt α⋅⋅=⋅= sinrFlFM
oder in vektorieller Schreibweise
FrM ×=
Drehmoment: Bewirkt die Veränderung der Drehzahl eines drehbaren Kör-pers, wenn: α⋅= JM (J: Massenträgheitsmoment; α: Winkelbeschleunigung)
b) Welchen Einfluss haben Kraft und Hebelarm auf das Drehmoment?
Aus der Formel α⋅⋅=⋅= sinrFlFM (vgl. Frage a) folgt:
• das Drehmoment ist bei gleichem Hebelarm r und gleichem Winkel α
zwischen den Wirkungslinien F und r proportional zur wirkenden Kraft
F ;
• das Drehmoment ist bei gleicher Kraft F und gleichem Winkel α zwischen
den Wirkungslinien F und r proportional zum Hebelarm r ;
• bei gleichem Hebelarm r und gleicher Kraft F nimmt das Drehmoment
mit steigendem Winkel α zwischen den Wirkungslinien F und r zu. Das größte Drehmoment ergibt sich für α = 90° (-1 <= sin α <= 1).
α⋅=
=
=α
sin
sin
rlrlHYGK
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rth . Kraefte_am_Hebel . 08.02.2009 Seite 14 von 15 Seite/n
c) Erläutern Sie die Bezeichnung „wirksame Hebellänge“?
Die „wirksame Hebellänge“ ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie der Kraft vom Drehpunkt (vgl. Frage a).
d) Begründen Sie, wann sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet.
Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren starren Körper, so erzeugt sie ein Drehmoment, wenn die Wirkungslinie der Kraft nicht durch den Drehpunkt verläuft. Je nach Richtung der Kraft mit dem zugehörigen Hebelarm wirkt diese Kraft auf den Hebelarm rechts- oder linksdrehend (im Uhrzeiger- oder ent-gegen dem Uhrzeigersinn). Ein Hebel ist dann im Gleichge-wicht, wenn die Summen der links- und rechtsdrehenden Kraftmomen-te gleich groß sind.
∑ ∑= endrechtsdrehndlinksdrehe MM
∑ = 0M
e) Nennen Sie Anwendungsbeispiele für ein- und zweiseitige Hebel.
Einseitiger Hebel Zweiseitiger Hebel
Tafelschere Handblechschere (vgl. Aufg. 1)
Berechnung Auflagerkräfte für einen Brückenkran
Baukran
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Einseitiger Hebel Zweiseitiger Hebel
Schubkarre (vgl. Aufg. 3) Brechstange
Sicherheitsventil (vgl. Aufg. 4) Kurbelkraft (vgl. Aufg. B15)
Der menschliche Arm als Hebel Pumpenschwengel